2021高中数学2.1等式性质与不等式性质课件新人教A版必修第一册
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人教版高中数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质 第1课时【课件】
D.4ab＝200
题型二 比较大小
例2 (1)比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R. (2)已知x>3，比较x3＋3与3x2＋x的大小． (3)已知x，y∈R，求证：x2＋2y2≥2xy＋2y－1.
【解析】 (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0， ∴x2＋3>3x. (2)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0， ∴x3＋3>3x2＋x. (3)证明：由题意x2＋2y2－(2xy＋2y－1)＝x2－2xy＋y2＋y2－2y＋1＝(x－y)2＋ (y－1)2≥0，∴x2＋2y2≥2xy＋2y－1成立．
方法二：∵a>b，∴a－b>0，∴a3－b3－ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)－ab(a
－b)＝(a－b)(a2＋b2)>0，
∴a3－b3>ab(a－b)．
题型三 重要不等式的应用
例3 已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 【证明】 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 即2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 当且仅当a＝b＝c时取等号．
2.1 等式性质与不等式性质(第1课时) 不等关系与比较大小
要点1 比较两实数a，b大小的依据
文字叙述
符号表示
如果a－b是正数，那么a>b
a－b>0⇔__a_>_b____
题型二 比较大小
例2 (1)比较x2＋3与3x的大小，其中x∈R. (2)已知x>3，比较x3＋3与3x2＋x的大小． (3)已知x，y∈R，求证：x2＋2y2≥2xy＋2y－1.
【解析】 (1)∵(x2＋3)－3x＝x2－3x＋3＝x－322＋34≥34>0， ∴x2＋3>3x. (2)x3＋3－3x2－x＝x2(x－3)－(x－3) ＝(x－3)(x＋1)(x－1)． ∵x>3，∴(x－3)(x＋1)(x－1)>0， ∴x3＋3>3x2＋x. (3)证明：由题意x2＋2y2－(2xy＋2y－1)＝x2－2xy＋y2＋y2－2y＋1＝(x－y)2＋ (y－1)2≥0，∴x2＋2y2≥2xy＋2y－1成立．
方法二：∵a>b，∴a－b>0，∴a3－b3－ab(a－b)＝(a－b)(a2＋ab＋b2)－ab(a
－b)＝(a－b)(a2＋b2)>0，
∴a3－b3>ab(a－b)．
题型三 重要不等式的应用
例3 已知a，b，c∈R，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 【证明】 ∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(c－a)2≥0. ∴(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0， 即2(a2＋b2＋c2－ab－bc－ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)≥0. ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 当且仅当a＝b＝c时取等号．
2.1 等式性质与不等式性质(第1课时) 不等关系与比较大小
要点1 比较两实数a，b大小的依据
文字叙述
符号表示
如果a－b是正数，那么a>b
a－b>0⇔__a_>_b____
2021新版课件 新教材人教A版高中数学必修第一册第二章第一节等式性质与不等式性质
性质4 a＞b，c＞0⇒_____a_c_＞__b_c____，(乘正保序性)a＞b，c＜ 0⇒ac＜bc；(乘负反序性)
性质5 a＞b，c＞d⇒____a_＋__c_＞__b_＋__d_____；(同向相加保序性) 性质6 a＞b＞0，c＞d＞0⇒_____a_c_＞__b_d____；(正数同向相乘保序 性) 性质7 a＞b＞0⇒___a_n＞__b_n___(n∈N，n≥2)．(非负乘方保序性)
这时菜园的另一条边长为302－x＝(15－2x)(m)．
因此菜园面积 S＝x·(15－2x)，依题意有 S≥110， 即 x(15－2x)≥110，
0＜x≤18， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为x15－2x≥110．
题型二
比较实数的大小
例2
已知
a，b
为正实数，试比较
a＋ b
b与 a
a＋
b的大小．
[解析] 因为组建中型图书角 x 个，所以组建小型图书角为(30－x) 个，
0＜x＜30，x∈N*，
则80x＋3030－x≤1 900， 50x＋6030－x≤1 620．
解这个不等式组得 18≤x≤20． 由于 x 只能取正整数， ∴x 的取值是 18,19,20．
当x＝18时，30－x＝12； 当x＝19时，30－x＝11； 当x＝20时，30－x＝10． 故有三种组建方案：方案一，组建中型图书角18个，小型图书角12 个；方案二，组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案三，组建中 型图书角20个，小型图书角10个．
题型三
不等式的实际应用
例 3 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的 乙型卡车，且有9名驾驶员，此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼 厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次， 写出满足上述所有不等关系的不等式．
2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 教学课件
答案
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
B
)
3.设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是(
A.6
B.4 2
C.2 6
D.8
解析 ∵a＋b＝3，
＋
∴2a＋2b≥2 2a·2b＝2 2a b＝2 8＝4 2，
3
当且仅当 a＝b＝2时，“＝”成立.
答案 B
)
4.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形
的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费
C.a2－b2<0
D.a＋b<0
解析
)
本题可采用特殊值法，取a＝－2，b＝1，则a－b<0，a3＋b3<0，a2－b2>0，
排除A，B，C，故选D.
答案 D
3.设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(
A.M＞N
B.M＝N
C.M＜N
D.与x有关
12 3
解析 M－N＝x ＋x＋1＝(x＋ ) ＋ ＞0.
知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建
应用基本不等式的条件.
(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求
最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的
p
结果往往是错误的，这时通常可以借助函数 y＝x＋x(p>0)的单
调性求得函数的最值.
4.求解应用题的方法与步骤：
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1等式性质与不等式性质
2.2基本不等式 P24
2.3二次函数与一元二次方程、不等式 P53
学习目标
1.理解不等式的概念.
2.了解不等式（组）的实际背景.
3.掌握不等式的性质.
人教版高中数学必修第一册2.1等式性质与不等式性质公开课优秀课件.(新教材、经典)
OA<OB
BA
探索思考 一、不等关系及其表示
问题2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本. 据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就可能减少2000 本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元?
分析：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2 万本，
0.1
因此，销售总收入为：
(8
x
2.5
0.2)x
0.1
用不等式表示为： (8 x 2.5 0.2)x 20
0.1
题型总结 将不等关系表示成不等式的思路
(1)读懂题意，找准不等式所联系的量； (2)用适当的不等号连接； (3)实例题要注意变量本身的范围；
随堂练习 一、不等关系及其表示
P39 1
探索思考 二、实数的大小比较
性质3 如果a>b，则a+c>b+c
a>b⟺ a+c>b+c
可加性
不等式的两边都加上同一个实数,所得的不等式与原不等式同向.
a+b>c a+b+(－b)>c+(－b) a>c－b.
结论：不等式中的任何一项可以改变符 号后移到不等号另一边（移项法则）
新知初探 不等式的性质
性质4：如果a>b，c>0，则ac>bc； 如果a>b，c<0，则ac<bc.
在北京召开的第24届国际数学家大会的会 标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图 设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车, 代表中国人民热情好客。你能在这个图中 找出一些相等关系和不等关系吗?
探索思考
赵爽，又名婴，字君卿。中国古代数学家、 天文学家，他的主要贡献是约在222年深入 研究了《周髀算经》，为该书写了序言，并 作了详细注释。其中一段530余字的"勾股圆 方图"注文是数学史上极有价值的文献。它记 述了勾股定理的理论证明，将勾股定理表述 为:"勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之， 即弦。"证明方法叙述为:"按弦图，又可以勾 股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之 差自相乘为中黄实，加差实，亦成弦实。"
2.1等式性质与不等式性质课件——高中数学人教A版必修第一册
[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号” 是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式 分解法、配方法、有理化法等．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
1．若 x∈R，y∈R，则( ) A．x2＋y2>2xy－1 B．x2＋y2＝2xy－1 C．x2＋y2<2xy－1 D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选 A.因为 x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋ 1>0，所以 x2＋y2>2xy－1，故选 A.
bc 的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由 ac2>bc2，知 c≠0，故 c2>0，所以 a>b 成立，故②正
确．
③中，a<b，⇒a2>ab，a＜b，⇒ab>b2，所以 a2>ab>b2，故③
a<0
b<0
正确．故填②③.
(2)证明：因为 a>b>0⇒－a<－b⇒c－a<c－b. 因为 c>a，所以 c－a>0，所以 0<c－a<c－b. 上式两边同乘（c－a）1（c－b），得c－1 a>c－1 b>0. 又因为 a>b>0，所以c－a a>c－b b.
用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在 15 天里加工零件 408 个，最初三天中， 每天加工 24 个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规 定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工 x 个，求解此问题需要构建的不等关系式为________． (2)用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙 长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
习题2.1 第7、10题
等式2 + 2 ≥ 2;
2.习题2.1 第2、3、8题
0,要证
>
0,求证
1
,即证
证： 因为 > > 0,
1
1
所以
< ,
又因为 < 0,
所以
> ,
得证.
<
1
.
>
.
LOGO
例2：求解本节问题2所列不等式 8 −
解： 8 −
−0.5
0.1
−0.5
0.1
× 0.2 ≥ 20
× 0.2 − 20 ≥ 0
−2 2 + 13 − 20 ≥ 0
f≥2.5%,g≥2.3%
2
连接直线外一点与直线上
各点的所有线段中，垂线
段最短。
CD<CE
3
三角形两边之和大于第三
边，两边之差小于第三边；
a+b>c;a-b<c
LOGO
情景导入
某种杂志原以每本25元的价格销售，可以售出8万本。
据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可
提价后的销售总收
入≥2 x 1 x 4
作差
变形
定号
结论
在正方形ABCD中有四个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边的长为, .
> 4△
= 4△
=
（1）如图，可得不等式
2
+
2
> 2
数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
新知探索 关于两个实数大小关系的基本事实为研究基本不等式的性质奠
定了基础.那么，不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样，都是对大小关系的刻画，所以我们可
以从等式的性质及其研究方法中获得启示.
不等式的性质： 性质1：如果a＞b，那么b＜a； 性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c； 性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c；
新知探索
基本事实：a,b∈R
a>b a-b>0； a=b a-b=0；
a<b a-b<0
例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小.
作差法比较大小的步骤：
作差 → 化简 → 定号 → 确定大小.
变式练习 1.已知x<y<0,比较(x2＋y2)(x-y)与(x2-y2)(x+y)的大小. 2.比较x2+y2与2xy的大小.
能力提升
1.比较x2＋3与3x的大小. 2.已知a、b为正实数，比较
3.比较 2011 2010与
ab 与 ba
a b
的大小.
2012 2011 的大小.
4.用数学知识解释：糖水加糖变甜.
小结 1.实际问题抽取数学关系—注意实际意义； 2.实际问题解决途径—化为数学问题；
(1)抽取数学关系； (2)解决数学问题； (3)数学结论化实际结论. 3.作差法比较大小.
解法一： 设x=a+b,y=a-b, 得a x y ,b x y ,
2
2
∴4a-2b=2x+2y-x+y=x+3y.
∵1≤x≤4,-1≤y≤2,∴-3≤3y≤6. 则-2≤x+3y≤10,即-2≤4a-2b≤10.
人教A版高数必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
D
GFC
A
H a
E
a2+b2
b B
等式性质与不等式性质(1)
实际 一 不
问题
等
一 不等式
不等 式性
?
关系
质
数学抽象
两个实数大小 关系的基本事 实（作差法）
高中数学
高中数学
注：a + c ＞ b ，a – c ＜ b 等其它合理情势也正确.
高中数学
问题2： 你能用不等式或不等式组表示下列问题中
的不等关系吗？
（4） 连接直线外 一 点与直线上各点的所有线段中，
垂线段最短.
解：如图， 设C是直线AB外的任意一 点，
C
CD⊥AB于点D，E是直线AB上不同于D的任
意 一 点， 连接线段CE， 则CD＜CE.
等式性质与不等式性质(1)
高中数学
代数学习
等式 → 方程（组）
数式
函数
不等式
一
一 元 一 次不 等式（组）
解不等式（组） 的理论根据是什么？
方程（组） 、 不等式与函数之间有什么联系？
高中数学
问题1： 常见的不等关系有哪些？ 你能用文字语言 和符号语言表述吗？
文字语言
符号语言
大于
>
小于
<
大于或等于（ 不小于）
≥
小于或等于（ 不大于）
≤
高中数学
问题2： 你能用不等式或不等式组表示下列问题中 的不等关系吗？
（ 1） 某路段限速40 km/h； 解：设在该路段行驶的汽车的速度为 v km/h，“ 限 速40 km/h ”就是 v 的大小不能超过40， 于是0 ＜v ≤ 40.
高中数学
高中数学必修第一册人教A版2.1等式性质与不等式性质_课件
000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示
销售的总收入仍不低于20万元？
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
2．某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若
2
1 2
4
7
7
8
8
+ ≥ >0,
所以 2x2+3>x+2.
(2)(a+2)-
3
1-
=
(+2)(1-)-3
所以当 a>1 时,
当 a<1 时,
1-
2 ++1
2 ++1
-1
-1
=
- 2 --1
>0,即 a+2>
<0,即 a+2<
故当 a>1 时,a+2>
3
1-
1-
3
1-
[解析] 设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的
钢管 y 根，
500x＋600y≤4
3x≥y
依题意，可得不等式组：
x≥0
y≥0
5x＋6y≤40
3x≥y
即
.
x≥0
y≥0
000
，
归纳总结
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待
(2)对于任意两个实数a和b，
销售的总收入仍不低于20万元？
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
2．某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若
2
1 2
4
7
7
8
8
+ ≥ >0,
所以 2x2+3>x+2.
(2)(a+2)-
3
1-
=
(+2)(1-)-3
所以当 a>1 时,
当 a<1 时,
1-
2 ++1
2 ++1
-1
-1
=
- 2 --1
>0,即 a+2>
<0,即 a+2<
故当 a>1 时,a+2>
3
1-
1-
3
1-
[解析] 设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600 mm 的
钢管 y 根，
500x＋600y≤4
3x≥y
依题意，可得不等式组：
x≥0
y≥0
5x＋6y≤40
3x≥y
即
.
x≥0
y≥0
000
，
归纳总结
用不等式(组)表示实际问题中不等关系的步骤：
①审题．通读题目，分清楚已知量和待求量，设出待
(2)对于任意两个实数a和b，
高中数学人教A版必修第一册课件2.1等式性质与不等式性质(课件共11张PPT)
性质3 若a b,则a c b c 不等式左右两边同时加上(或减去)同一个数,不等号方向不变.
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
性质3的推论 若a b c,则a c b. 不等式中的项移到另一边时，要改变符号.
性质4 若a b, c 0则ac bc. 若a b, c 0则ac bc.
不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变. 不等式左右两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
探究: 当 a>b 时, 1a与1b的大小关系如何？
一个重要的常用不等式:
a>b,
ab>0
11 a<b
例1
(1)已知a b, c d , 求证：a c b d; (2)已知a b c 0, 求证： b b c .
ab ac ac
练习
(1)已知 a>b>0,c<0, 求证: ac>bc
达式中，从而用f (1)与f (2)来表示f (3)。最后运用已知条
件确定f (3)的取值范围。
解：
f
x
ax2
c
f (1) a c f (2) 4a c
即4aacc
f (1) .
f (2)
解之得ca113[[ff((22))4ff((11))]]
f
(3)
9a c
8 3
f
(2)
5 3
f
例 2 已知 f(x)=ax2－c, 且－4≤ f(1) ≤－1, －1≤f(2)≤5, 求 f(3)的取值范围.
例 2:已知函数f (x) ax2 c, 4 f (1) 1,
1 f (2) 5,求f (3)的取值范围.
分析：利用f (1)与f (2)设法表示a、c然后再代入f (3)的表
数学人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质课件
样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
x－2.5
[解析] 提价后杂志的定价为 x 元，则销售的总收入为(8－ 0.1 ×0.2)x 万元，
那么不等关系“销售的收入不低于 20 万元”用不等式可以表示为：
x－2.5
(8－ 0.1 ×0.2)x≥20.
练一练
1.某工厂在招标会上，购得甲材料x t，乙材料y t，若维
0是相等与不等的分界
定号
定论
小提供了标杆.
练一练
2. 已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
3 + 3 − 2 + 2
= 3 − 2 + 3 − 2
= 2( − ) + 2( − )
= − 2 − 2
= −
2
+ .
∵ ≠ ∴ −
2
>0
又 ∵ + > 0, ∴ 3 + 3 > 2 + 2.
综上所述, 3 + 3 ≥ 2 + 2.
练一练
3.已知x＜y＜0，比较(x2＋y2)(x－y)与
(x2－y2)(x＋y)的大小．
[解析]
∵x＜y＜0，xy＞0，x－y＜0，
解析：各边都缩短 x 后,长度仍然为正数,只要最短边大于零即可,因此 5-x>0.而要构成三角形,
还要满足(5-x)+(12-x)>13-x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最长边所
对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,
5- > 0,
故 x 应满足的不等关系为 (5-) + (12-) > 13-,
新人教A版高中数学必修第一册2.1 等式性质与不等式性质 课件
答案：（1） > （2） < （3） <
（4） <
第十五页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
题型二 比较大小 例2：(1).比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小。
解：因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4) =x2+5x+6-(x2+5x+4)
=2>0， 所以(x+1)(x+2)>(x+1)(x+4)
1、利用已知条件列出满足的等式和不等式，然后利用重要不等式解决相应的问
题。（注意等于号满足的条件） 2、多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相乘.（将减法 转化为加法，将除法转化为乘法）
第二十二页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
1.某学习小组,调查鲜花市场价格得知,购买2只玫瑰与1只康乃馨所需 费用之和大于8元,而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22 元.设购买2只玫瑰花所需费用为A元,购买3只康乃馨所需费用为B元, 则A,B的大小关系是( )
答案：A
第十页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
答案：A
第十一页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
3. 用不等号填空:
(1)若a>b,则ac2
bc2.
(2)若a+b>0,b<0,则b
a.
(3)若a>b,c<d,则a-c
b-d.
答案(1)≥ (2)< (3)>
第十二页，编辑于星期日：十二点 四十六分。
A.A>B
B.A<B
C.A=B
等式性质与不等式性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件PPT1
C、2a 2b D、a2 b2
2、已知 a b 0 ，下列不等式成立的有（ ）
① a2 b2； ② 1 1；③ 1 1；④ 1 1 .
ab a b
ab
A、①②
B、①②③
C、①②④
D、①②③④
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
D
a2 b2
b
GF A aH E
D
CA
a
C b E(FGH)
BB
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 适用范围：
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
a,b∈R
北京——第24届国际数学 家大会会标．
根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
ICM2002会标
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT ) 2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
A
aHE
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的关系？
B
问：那么它们有相等的情况吗？
S > S′
a2 b2 2ab
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
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2.1等式性质与不等式性质
目录
基础——在批注中理解透课时跟踪检测单纯识记无意义，深刻理解提能力
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
基础——在批注中理解透
单纯识记无意义，深刻理解提能力
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
看个性
对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于零就是相应的找
二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小共于零就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在性
x轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值.。