结构动力学课件—2dyanmics of structures-ch3
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结构动力学完整ppt课件
输出 （动力反应）
.
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
本课程主要介绍结构的反应分析
任务 讨论结构在动力荷载作用下反应的分析的方法。寻找
结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者间的相互关 系，即结构在动力荷载作用下的反应规律，为结构的动力 可靠性（安全、舒适）设计提供依据。
结构动力学是研究结构、动荷载、结构反应三者关 系的学科。
.
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第三类问题：荷载识别。
输出 （动力反应）
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
11
l3 3 EI
柔度系数
m y (t)3lE3 Iy(t)P(t)
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
.
二、刚度法
P(t)
m
1
m y(t)
y(t)
l EI
y
k11
k11y(t)
k 1y 1 (t)P (t) m y (t)
EI
m
l/2
l/2
W
m y(t)
1
11
st y(t)
Y(t)y(t)st
加速度为
Y(t) y(t)
y (t) s t 1[P 1 (t) W m y (t)]
st W11
结构动力学
结构动力学课件PPT
地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通 常称为结构振动分析。 结构在随机荷载作用下的响应分析， 被称为结构的随机振动分析。 本课程主要学习确定性荷载作用下的结 构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性
元件中） 分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成） 只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
A
x
x p( x,t ) = p a ( t )
1
令：
5l FE (t ) q(t ) 8
y FE (t )
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
P FE (t )
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
已经知道柔度和刚度k 之间的关系为： k 表达式成为：
简支梁： 比较： 刚架： 基本质量弹簧体系：
大型桥梁结构 的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。
结构动力学课件—dyanmics of structures-ch(2)
184 BEAM FLEXURE: ORTHOGONALITY OF VIBRATION MODE SHAPES
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
The second orthogonality condition, For a nonuniform beam, the equation of motion in free vibrations
CHAPTER 17. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF MOTION
173 BEAM FLEXURE: INCLUDING AXIALFORCE EFFECTS
momentequilibrium equation now becomes
Rotation of beam axis
Example E182. Cantilever Beam
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
183 BEAM FLEXURE: WITH DISTRIBUTED ELASTIC SUPPORT Separating variables as before
giving two independent equations
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
equilibrium relationship for vertical forces
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
The second orthogonality condition, For a nonuniform beam, the equation of motion in free vibrations
CHAPTER 17. PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS OF MOTION
173 BEAM FLEXURE: INCLUDING AXIALFORCE EFFECTS
momentequilibrium equation now becomes
Rotation of beam axis
Example E182. Cantilever Beam
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
183 BEAM FLEXURE: WITH DISTRIBUTED ELASTIC SUPPORT Separating variables as before
giving two independent equations
CHAPTER 18. ANALYSIS OF UNDAMPED FREE VIBRATION
equilibrium relationship for vertical forces
结构动力学英文课件_Part2
CE4258: Structural Stability & Dynamics
cf
cu ku p(t ) Mu
14
Generalized SDOF Systems
• Most real systems which can be considered as SDOF require more complicated idealizations • What is a generalized SDOF system?
Equation of Motion (by direct equilibrium)
ut ut pt
fS
k
m
fI
pt
Free-Body Diagram
c
fD
• Idealized SDOF System
– Each property is assumed concentrated in a single physical element
– Can be easily expressed since these arise from discrete springs and dampers
• Two classes of generalized SDOF structures
– Assemblages of rigid bodies in which elastic deformations are limited to localized springs – Systems having distributed mass or elasticity
Overview and Basic Concepts
Motivation What is Linear Structural Dynamics? Fundamental Objective & Scope Dynamic vs Static Analysis Types of Dynamic Loadings Degrees of Freedom Methods of Discretization Formulation of Equations of Motion
结构动力学1 56页
《结构动力学》
Dynamics of Structures
雷庆关 2011年3月
2019/12/11
Dynamics of Structures
1
参考教材
1.《结构力学(Ⅱ)》龙驭球、包世华主编，高等教育出版社 2.《结构动力学及其应用》陆伟民、刘雁编著，同济大学出版社 3.《结构动力学》包世华编著，武汉理工大学出版社 4.《结构动力学》杨茀康编著，人民交通出版社
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
2019/12/11Dynamics of Structures
本课程主要介绍结构的反应分析,其主要任务是：
讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。 寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者 间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规 律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供 依据。
两个质点 一个DOF
两个质点 三个DOF
复杂体系可通过附加链 杆法确定体系的自由度
（2）体系动力自由度与其超静定次数无关
（3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度
转化
2019/12/11Dynamics of Structures
1.2 单自由度体系的自由振动
1.2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立 1.2.2 自由振动微分方程的解答 1.2.3 结构的自振周期和自振频率 1.2.4 阻尼对自由振动的影响
y
y2
EI
EI 2EI
(a)单自由度
v(t) u(t)
θ(t)
(c)三个自由度
Dynamics of Structures
雷庆关 2011年3月
2019/12/11
Dynamics of Structures
1
参考教材
1.《结构力学(Ⅱ)》龙驭球、包世华主编，高等教育出版社 2.《结构动力学及其应用》陆伟民、刘雁编著，同济大学出版社 3.《结构动力学》包世华编著，武汉理工大学出版社 4.《结构动力学》杨茀康编著，人民交通出版社
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
2019/12/11Dynamics of Structures
本课程主要介绍结构的反应分析,其主要任务是：
讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。 寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者 间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规 律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供 依据。
两个质点 一个DOF
两个质点 三个DOF
复杂体系可通过附加链 杆法确定体系的自由度
（2）体系动力自由度与其超静定次数无关
（3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度
转化
2019/12/11Dynamics of Structures
1.2 单自由度体系的自由振动
1.2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立 1.2.2 自由振动微分方程的解答 1.2.3 结构的自振周期和自振频率 1.2.4 阻尼对自由振动的影响
y
y2
EI
EI 2EI
(a)单自由度
v(t) u(t)
θ(t)
(c)三个自由度
结构动力学2PPT课件
可见质量 mi 的惯性力幅值为
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
l2
2021/5/25
第10页/共32页
10
解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
Ii mi Ai 2 (i 1,2,n)
3.动内力幅值计算
位移、惯性力、动荷载频率相同，对于无阻尼体系三者同时达到幅值。故，可 将荷载幅值和惯性力幅值加在结构上，按静力学方法体系的最大动内力和最大 动位移。
例1 试求图示体系质量的最大动位移，并绘制结构的最大动力弯矩图。已知＝
3
EI 。 m l3
A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l2
l2
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解 本例静定结构，选择柔度法求解。
1 A m1 m
l2
EI
q sin t
B
C m2 2m EI
l/2
l2
l2
M1图
M图21源自l/4M图
P
q
ql2/8
用图乘法求得，11
l3 8E
小到大排列，称为频率谱。
➢将求得的 1 2 回代入(2)，由于系数行列式等于零，n个方程是相关的，只
能由其中的n-1个方程解得各自由度动位移之间的比值。可见，体系按某一频
率振动的形状是不变的，称之为振型。
✓ 振型向量 Ai A1i A2i
Ani T
✓ 振型向量常用表述方法一：令某自由度位移为1，例 Ai 1 2i
k 是对称矩阵，k k T
M 也是对称矩阵，同理，有 A jT M Ai AiT M A j
(3)-(4)，有
i2
2 j
AiT M A j 0
因为 i j ，所以 AiT M A j 0 i j
振型第一正交性：多自由度体系任意两个不同振型关于质量矩阵正交。
结构动力学(课用ppt)
10/28/2015 29
10/28/2015
30
10/28/2015
18
（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷 载。 由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动， 以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
10/28/2015
19
1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定 运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
10/28/2015
20
二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：
张亚辉 林家浩 编著, 结构动力学基础，大连理工大学出版社，2007. 刘晶波等编著，结构动力学，机械工业出版社，2005. 张子明等编著，结构动力学，河海大学出版社，2001.
10/28/2015
3
第一章 绪论
1.1 动力问题的基本特征 1.2 结构动力分析的目的
1.3 结构动力学研究的内容
1.4 动力荷载类型
注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关，如下图所示的体系。
10/28/2015
26
2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
nx nx u( x, t ) bn sin bn (t ) sin L L n 1 n 1
10/28/2015
30
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（4）一般任意荷载 荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷 载。 由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动， 以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
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1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力 惯性力的产生是由结构的质量引起的 动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定 运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
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二. 自由度的简化 实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程 角度也没必要。常用简化方法有：
张亚辉 林家浩 编著, 结构动力学基础，大连理工大学出版社，2007. 刘晶波等编著，结构动力学，机械工业出版社，2005. 张子明等编著，结构动力学，河海大学出版社，2001.
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第一章 绪论
1.1 动力问题的基本特征 1.2 结构动力分析的目的
1.3 结构动力学研究的内容
1.4 动力荷载类型
注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关，如下图所示的体系。
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2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
nx nx u( x, t ) bn sin bn (t ) sin L L n 1 n 1
《结构动力学ch》课件
自由度 刚度 自由度与刚度的关系
结构中自由移动的数量。决定了结构的自由振 动模式。
结构的抵抗力，决定了结构对外部力量的响应。 较高的刚度意味着较小的挠度和变形。
增加结构的自由度可以降低结构的整体刚度。
结构的振型与固有频率
振型
结构在自由振动时所呈现的形态，可以通过模态 分析进行预构的刚度和质 量分布。
2
地震分析方法
地震响应分析通常包括静力分析、等效线性分析和时程分析等方法。
3
设计地震加速度谱
设计地震加速度谱用于描述地震的频率和幅值，用于确定结构的抗震性能。
结构的钢结构及振动控制
钢结构的优点
钢结构具有高强度、轻质和可塑性，适用于大跨度和高层建筑。
振动控制方法
振动控制技术可以减小结构振动，包括主动控制和被动控制等。
《结构动力学ch》PPT课 件
PPT课件介绍
结构动力学的概述
What is Structural Dynamics?
Structural Dynamics is the study of how structures respond to dynamic forces, such as vibrations and earthquakes.
结构的阻尼与动态响应
1 阻尼的作用
阻尼可以降低结构的振幅和能量传递，减缓结构的动态响应。
2 阻尼比
阻尼比是阻尼效果的衡量，可以调节结构的动态响应。
3 动态响应
结构在受到外部激励力时的振动响应，可以通过时程分析和频率响应分析进行研究。
结构的地震反应及分析方法
1
地震反应特点
地震激励会导致结构发生复杂的振动，可能产生位移、应力和破坏。
ANSYS结构动力学分析PPT课件
ANSYS瞬态动力分析的主要步骤有7步： (1) 模型建立和网格划分(前处理) (2) 建立初始条件 ANSYS中可以施加三种初始条件：初始位移、初始速度和初始加速度。 GUI：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Initial Condit’n>Define (3) 设定求解器及其参数 该步骤中可以求解器和其他参数，如求解选项、非线性选项和高级非线性选项。 GUI：Main Menu>Solution> Analysis Type>Sol’n Control (4) 设定求解的其它选项参数 该步骤中可以设置应力刚化效应、牛顿-拉普森选项、蠕变选项、输出控制等，另 外还包括预应力、阻尼和质量阵。 ①预应力影响：ANSYS中允许包含预应力 命令：PSTRES GUI：Main Menu>Solution>Unabridged Menu>Analysis Type>Analysis Options ②阻尼选项：在瞬态动力学分析中设置如下几种阻尼有材料阻尼(MP,DAMP)和单 元阻尼(COMBIN7等)，其中材料阻尼施加方法如下。 命令：MP,DAMP
一般而言缩减法比完全法，所需要的计算时间及计算机内存 会大大减少。但它的缺点主要有两个方面：(1) 缩减法只适用 于线性分析，因为它控制方程式假设式是线性的；(2) 缩减法 是针对线性静力分析的问题而发展出来的，对线性静力分析 而言是一个很好的方法，并没有引进任何假设，所以不会引 进任何额外的误差。但是动力学的平衡方程式在静力分析方 程的基础上还需加上惯性力和阻尼力两项，求解过程只是一 个近似的计算。总而言之，缩减法对动学力求解而言是一个 近似的方法，这个方法会产生一定的误差。
一般而言缩减法比完全法，所需要的计算时间及计算机内存 会大大减少。但它的缺点主要有两个方面：(1) 缩减法只适用 于线性分析，因为它控制方程式假设式是线性的；(2) 缩减法 是针对线性静力分析的问题而发展出来的，对线性静力分析 而言是一个很好的方法，并没有引进任何假设，所以不会引 进任何额外的误差。但是动力学的平衡方程式在静力分析方 程的基础上还需加上惯性力和阻尼力两项，求解过程只是一 个近似的计算。总而言之，缩减法对动学力求解而言是一个 近似的方法，这个方法会产生一定的误差。
结构力学——结构动力学PPT课件
由静止状态考虑一个瞬时冲量的影响。dS FE( )d
FE(t)
dS=FE()d
mdy
dy( ) FE ( )d
m
d
t
dy( ) FE ( ) (d )2
2m
0
瞬时激振作用效果就在于使质点在τ时
t
刻产生一个初速度，而初位移为零。质
点作以此初始条件引起的自由振动。
dy(t) dy0 sin(t )
y 0
2
A0
A1
A2
arctan
y0
y 0
A0 ——振幅（amplitude of vibration）
——初始相位角。
总动力位移
第4页/共65页
4 / 67
第三节 单自由体系自由振动
1、无阻尼的自由振动 ( ＝ 0 )
T
2
f1 T
称周期（振动一次所需的时间） 称工程频率（单位时间内振动次数）
23 / 67
第三节 单自由体系自由振动
3、确定体系阻尼比的方法
y
Ae
y
t
s
i
n
(dt
)
发现
1/
衰减性振动；
Ae t
2/ 非周期性振动； 3/ 质点两次通过平衡位
o
t
置的时间间隔相等
2
Td d 准周期
第24页/共65页
24 / 67
第三节 单自由体系自由振动
3、确定体系阻尼比的方法 ① 阻尼对自振频率的影响.
第31页/共65页
31 / 67
第四节 单自由体系受迫振动
1、单自由体系受迫振动的一般解
整个加载过程可以考虑成是由一系列瞬时冲量对同一时
结构动力学课件—2dyanmics of structures-ch3
which has a complementary solution of the free-vibration
Particular Solution The general solution must also include the particular solution which depends upon the form of dynamic loading. In this case of harmonic loading, it is reasonable to assume that the corresponding motion is harmonic and in phase with the loading; thus, the particular solution is
Then we have,
0
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
General Solution
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
3-2 SYSTEM WITH VISCOUS DAMPING
The complementary solution of this equation is the damped free-vibration response
FIGURE 3-4 Variation of phase angle with damping and frequency.
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
Example E3-1. A portable harmonic-loading machine provides an effective means for evaluating the dynamic properties of structures in the field. By operating the machine at two different frequencies and measuring the resulting structural-response amplitude and phase relationship in each case, it is possible to determine the mass, damping, and stiffness of a SDOF structure. In a test of this type on a single-story building, the shaking machine was operated at frequencies of =16 rad/sec and =25 rad/sec, with a force amplitude of 500 lb [226.8 kg] in each case. The response amplitudes and phase relationships measured in the two cases were
Particular Solution The general solution must also include the particular solution which depends upon the form of dynamic loading. In this case of harmonic loading, it is reasonable to assume that the corresponding motion is harmonic and in phase with the loading; thus, the particular solution is
Then we have,
0
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
General Solution
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
3-2 SYSTEM WITH VISCOUS DAMPING
The complementary solution of this equation is the damped free-vibration response
FIGURE 3-4 Variation of phase angle with damping and frequency.
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
Example E3-1. A portable harmonic-loading machine provides an effective means for evaluating the dynamic properties of structures in the field. By operating the machine at two different frequencies and measuring the resulting structural-response amplitude and phase relationship in each case, it is possible to determine the mass, damping, and stiffness of a SDOF structure. In a test of this type on a single-story building, the shaking machine was operated at frequencies of =16 rad/sec and =25 rad/sec, with a force amplitude of 500 lb [226.8 kg] in each case. The response amplitudes and phase relationships measured in the two cases were
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In order to satisfy this equation for all values of t, it is necessary that each of the two square bracket quantities equal zero; thus, one obtains
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
3-3 and 3-4, respectively, for discrete values of damping ratio, .
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
FIGURE 3-2 Variation of dynamic magnification factor with damping and frequency.
The ratio of the resultant harmonic response amplitude to the static displacement which
would be produced by the force p0 will be called the dynamic magnification factor D; thus
FIGURE 3-4 Variation of phase angle with damping and frequency.
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
Example E3-1. A portable harmonic-loading machine provides an effective means for evaluating the dynamic properties of structures in the field. By operating the machine at two different frequencies and measuring the resulting structural-response amplitude and phase relationship in each case, it is possible to determine the mass, damping, and stiffness of a SDOF structure. In a test of this type on a single-story building, the shaking machine was operated at frequencies of =16 rad/sec and =25 rad/sec, with a force amplitude of 500 lb [226.8 kg] in each case. The response amplitudes and phase relationships measured in the two cases were
The particular solution
in which the cosine term is required as well as the sine term because, in general, the response of a damped system is not in phase with the loading. Then we have,
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
3-1 UNDAMPED SYSTEM
Before considering this viscously damped case, it is instructive to examine the behavior of an undamped system as controlled by
It is seen that both the dynamic magnication factor D and the phase angle vary with the
frequency ratio and the damping ratio . Plots of D vs. and vs. Are shown in Figs.
Then we have,
0
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
General Solution
CHAPTER 3. RESPONSE TO STEM WITH VISCOUS DAMPING
The complementary solution of this equation is the damped free-vibration response
Then we have the general solution,
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
Of great interest, however, is the steady-state harmonic response given by the second term
which has a complementary solution of the free-vibration
Particular Solution The general solution must also include the particular solution which depends upon the form of dynamic loading. In this case of harmonic loading, it is reasonable to assume that the corresponding motion is harmonic and in phase with the loading; thus, the particular solution is
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
3-3 and 3-4, respectively, for discrete values of damping ratio, .
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
FIGURE 3-2 Variation of dynamic magnification factor with damping and frequency.
The ratio of the resultant harmonic response amplitude to the static displacement which
would be produced by the force p0 will be called the dynamic magnification factor D; thus
FIGURE 3-4 Variation of phase angle with damping and frequency.
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
Example E3-1. A portable harmonic-loading machine provides an effective means for evaluating the dynamic properties of structures in the field. By operating the machine at two different frequencies and measuring the resulting structural-response amplitude and phase relationship in each case, it is possible to determine the mass, damping, and stiffness of a SDOF structure. In a test of this type on a single-story building, the shaking machine was operated at frequencies of =16 rad/sec and =25 rad/sec, with a force amplitude of 500 lb [226.8 kg] in each case. The response amplitudes and phase relationships measured in the two cases were
The particular solution
in which the cosine term is required as well as the sine term because, in general, the response of a damped system is not in phase with the loading. Then we have,
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
3-1 UNDAMPED SYSTEM
Before considering this viscously damped case, it is instructive to examine the behavior of an undamped system as controlled by
It is seen that both the dynamic magnication factor D and the phase angle vary with the
frequency ratio and the damping ratio . Plots of D vs. and vs. Are shown in Figs.
Then we have,
0
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
General Solution
CHAPTER 3. RESPONSE TO STEM WITH VISCOUS DAMPING
The complementary solution of this equation is the damped free-vibration response
Then we have the general solution,
CHAPTER 3. RESPONSE TO HARMONIC LOADING
Of great interest, however, is the steady-state harmonic response given by the second term
which has a complementary solution of the free-vibration
Particular Solution The general solution must also include the particular solution which depends upon the form of dynamic loading. In this case of harmonic loading, it is reasonable to assume that the corresponding motion is harmonic and in phase with the loading; thus, the particular solution is