《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念汇编
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一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种物品数 量无限。每种物品每件的重量、价值如下表所示：
物品1 物品2 物品3
重量（公斤/件） 10
41
20
价值（元 / 件） 17
72
35
x1
x2
x3
要在背包中装入这三种物品各多少件，使背包中的物品价值 最高。
8
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
x1 ，
x1 + x2 ，
x2 +
x3 +
x3 ， x4 ≥优解为：
x1=26.58 x2=31.57 x3=41.84 x4=0
最大利润为
z=9549.87（元）
7
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
例2-3 背包问题
Linear Programming
第1节 线性规划的数学模型
LP
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一、现实中的线性规划问题及数学模型 二、线性规划的标准形式 三、线性规划的几何解释 四、线性规划的基及基本可行解
2
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
例2-1 生产计划问题
例2-4 最小费用流问题
某公司下设两个分工厂，两个仓库及一个配送中心。其中 F1和F2是两个工厂，W1和W2是两个仓库。D是一个分销中心。 由工厂生产的产品经由图所示的运输网络运往仓库。每一条路 线运输的单位成本在线段上给出，其中，F1→F2与D→W2路线 由于受到路线中的桥梁承重上限的要求，因此有最大运输量限 制。其他路线有足够的运输能力来运输两个工厂生产的货物。 需要制订的决策是关于每一条路线应该运输多少，目标是总体 的运输成本最小化。
0 目标函数
1.5x1 + 1.0x2 + 2.4x3 + 1.0x4 ≤ 2000 ①
1.0x1 + 5.0x2 + 1.0x3 + 3.5x4 ≤ 8000 ② 函数约束 s.t. 1.5x1 + 3.0x2 + 3.5x3 + 1.0x4 ≤ 8000 ③
x1 ， x2 ， x3 ， x4 ≥ 0
T1 T2 T3 T4
G
Cr
3.21 4.53 2.19 1.76 3.20
Mn
2.04 1.12 3.57 4.33 2.10
Ni
5.82 3.06 4.27 2.73 4.30
单价（元/公斤） 115 97 82 76
x1
x2 x3 x4
设熔炼时重量没有损耗，要熔炼成100公斤不锈钢G，应选用 原料T1，T2，T3和T4各多少公斤，使成本最小。
max z = 17x1 +72x2 +35x3 s.t. 10x1 + 41x2 + 20x3 ≤ 50
x1 ， x2 ， x3 ≥ 0 且为整数 求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=1 x2=0 x3=2
最高价值为
z= 87（元）
9
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
产品乙 产品丙 产品丁
1.0 2.4 1.0 5.0 1.0 3.5 3.0 3.5 1.0
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
5.24 7.30 8.34 4.18
3
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
单位产品消 产品 耗的机时数
设备A 设备B 设备C
利润 （元/件）
④ 非负性约束
4
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=294.12（件） x3=0 （件）
最大利润为
x2=1500 （件） x4=58.82 （件）
z=12737.06（元）
请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产 计划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产品 品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法安排 生产计划很难获得满意的结果。
产品甲
1.5 1.0 1.5
产品乙 产品丙 产品丁
1.0 2.4 1.0 5.0 1.0 3.5 3.0 3.5 1.0
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
5.24 7.30 8.34 4.18 z
x1
x2 x3 x4
决策变量
max z = 5.24x1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4
5
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
例2-2 配料问题
某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为原料，经熔炼成为一种 新的不锈钢G。这四种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍 （Ni）的含量（%），这四种原料的单价以及新的不锈钢材料 G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含量（%）如下表所示：
6
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
min z = 115x1 +97x2 +82x3 +76x4
0.0321x1 + 0.0453x2 + 0.0219x3 + 0.0176x4 ≥ 3.20
0.0204x1 + 0.0112x2 + 0.0357x3 + 0.0433x4 ≥ 2.10 s.t. 0.0582x1 + 0.0306x2 + 0.0427x3 + 0.0273x4 ≥ 4.30
=50
- x1
+x4
s.t.
-x2 - x4 +x5
=40 =0
-x3 +
x6 – x7 = -30
-x5 - x6 + x7 = -60
x1 ≤ 10， x5 ≤ 80
x1 ，… ， x7 ≥ 0 求解这个线性规划，可以得到最优解为：
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四 种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品 可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如表2-1所示，试 用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
单位产品消 产品 耗的机时数
设备A 设备B 设备C
利润 （元/件）
产品甲
1.5 1.0 1.5
10
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
例2-4 最小费用流问题
F1
W1
D
F2
W2
11
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
min z = 200x1 +400x2 +900x3 +300x4 +100x5 +3x6 +200x7
x1 + x2 + x3
物品1 物品2 物品3
重量（公斤/件） 10
41
20
价值（元 / 件） 17
72
35
x1
x2
x3
要在背包中装入这三种物品各多少件，使背包中的物品价值 最高。
8
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
x1 ，
x1 + x2 ，
x2 +
x3 +
x3 ， x4 ≥优解为：
x1=26.58 x2=31.57 x3=41.84 x4=0
最大利润为
z=9549.87（元）
7
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
例2-3 背包问题
Linear Programming
第1节 线性规划的数学模型
LP
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一、现实中的线性规划问题及数学模型 二、线性规划的标准形式 三、线性规划的几何解释 四、线性规划的基及基本可行解
2
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
例2-1 生产计划问题
例2-4 最小费用流问题
某公司下设两个分工厂，两个仓库及一个配送中心。其中 F1和F2是两个工厂，W1和W2是两个仓库。D是一个分销中心。 由工厂生产的产品经由图所示的运输网络运往仓库。每一条路 线运输的单位成本在线段上给出，其中，F1→F2与D→W2路线 由于受到路线中的桥梁承重上限的要求，因此有最大运输量限 制。其他路线有足够的运输能力来运输两个工厂生产的货物。 需要制订的决策是关于每一条路线应该运输多少，目标是总体 的运输成本最小化。
0 目标函数
1.5x1 + 1.0x2 + 2.4x3 + 1.0x4 ≤ 2000 ①
1.0x1 + 5.0x2 + 1.0x3 + 3.5x4 ≤ 8000 ② 函数约束 s.t. 1.5x1 + 3.0x2 + 3.5x3 + 1.0x4 ≤ 8000 ③
x1 ， x2 ， x3 ， x4 ≥ 0
T1 T2 T3 T4
G
Cr
3.21 4.53 2.19 1.76 3.20
Mn
2.04 1.12 3.57 4.33 2.10
Ni
5.82 3.06 4.27 2.73 4.30
单价（元/公斤） 115 97 82 76
x1
x2 x3 x4
设熔炼时重量没有损耗，要熔炼成100公斤不锈钢G，应选用 原料T1，T2，T3和T4各多少公斤，使成本最小。
max z = 17x1 +72x2 +35x3 s.t. 10x1 + 41x2 + 20x3 ≤ 50
x1 ， x2 ， x3 ≥ 0 且为整数 求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=1 x2=0 x3=2
最高价值为
z= 87（元）
9
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
产品乙 产品丙 产品丁
1.0 2.4 1.0 5.0 1.0 3.5 3.0 3.5 1.0
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
5.24 7.30 8.34 4.18
3
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
单位产品消 产品 耗的机时数
设备A 设备B 设备C
利润 （元/件）
④ 非负性约束
4
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
求解这个线性规划，可以得到最优解为：
x1=294.12（件） x3=0 （件）
最大利润为
x2=1500 （件） x4=58.82 （件）
z=12737.06（元）
请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产 计划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次 序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产品 品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法安排 生产计划很难获得满意的结果。
产品甲
1.5 1.0 1.5
产品乙 产品丙 产品丁
1.0 2.4 1.0 5.0 1.0 3.5 3.0 3.5 1.0
设备能力 （小时）
2000 8000 5000
5.24 7.30 8.34 4.18 z
x1
x2 x3 x4
决策变量
max z = 5.24x1 +7.30x2 +8.34x3 +4.18x4
5
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
例2-2 配料问题
某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为原料，经熔炼成为一种 新的不锈钢G。这四种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍 （Ni）的含量（%），这四种原料的单价以及新的不锈钢材料 G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含量（%）如下表所示：
6
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
min z = 115x1 +97x2 +82x3 +76x4
0.0321x1 + 0.0453x2 + 0.0219x3 + 0.0176x4 ≥ 3.20
0.0204x1 + 0.0112x2 + 0.0357x3 + 0.0433x4 ≥ 2.10 s.t. 0.0582x1 + 0.0306x2 + 0.0427x3 + 0.0273x4 ≥ 4.30
=50
- x1
+x4
s.t.
-x2 - x4 +x5
=40 =0
-x3 +
x6 – x7 = -30
-x5 - x6 + x7 = -60
x1 ≤ 10， x5 ≤ 80
x1 ，… ， x7 ≥ 0 求解这个线性规划，可以得到最优解为：
某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四 种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品 可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如表2-1所示，试 用线性规划制订使总利润最大的生产计划。
单位产品消 产品 耗的机时数
设备A 设备B 设备C
利润 （元/件）
产品甲
1.5 1.0 1.5
10
第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
例2-4 最小费用流问题
F1
W1
D
F2
W2
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第1节 线性规划的数学模型及相关概念
一 现实中的线性规划问题及模型
min z = 200x1 +400x2 +900x3 +300x4 +100x5 +3x6 +200x7
x1 + x2 + x3