平面向量基本定理练习题
高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。
高中数学6.3《平面向量基本定理及坐标表示》基础过关练习题
第六章 6.3 6.3.2 6.3.3 6.3.4A 级——基础过关练1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7,6)C ．(5,0)D ．(11,8)【答案】D 【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 3．(2020年重庆月考)若向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则与a ＋b 共线的向量是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，－4) C ．(－4,3)D ．(2，－3)【答案】C 【解析】向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则a ＋b ＝(4，－3)，所以与a ＋b 共线的向量是λ(4，－3)，其中λ∈R .当λ＝－1时，共线向量是(－4,3)．故选C ．4．(2020年宁波月考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC →＋AB →＝0，则点C 坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，12B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)D 【解析】设C (x ，y )，由A (－1,2)，B (2，－1)，得AC →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，－3)．又AC →＋AB →＝0，∴AC →＝－AB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－3，y －2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5.∴点C 坐标为(－4,5)．故选D ．5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．15B ．13C ．25D ．23【答案】C 【解析】如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3,0)，B (0,2)，所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．(2020年道里区校级期中)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称作“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB →＝a ，AD →＝b ，E 为BF 的中点，则AE →＝( )A ．45a ＋25bB ．25a ＋45bC ．43a ＋23bD ．23a ＋43b【答案】A 【解析】如图所示，建立直角坐标系．设AB ＝1，BE ＝x ，则AE ＝2x .∴x 2＋4x 2＝1，解得x ＝55.设∠BAE ＝θ，则sin θ＝55，cos θ＝255.∴x E ＝255cos θ＝45，y E ＝255sin θ＝25.设AE →＝mAB →＋nAD →，则⎝⎛⎭⎫45，25＝m (1,0)＋n (0,1)．∴m ＝45，n ＝25.∴AE →＝45a ＋25b .故选A ．7．(2020年苏州期末)已知A (2，－3)，B (8,3)，若AC →＝2CB →，则点C 的坐标为________． 【答案】(6,1) 【解析】设C (x ，y )，∵A (2，－3)，B (8,3)，AC →＝2CB →，∴(x －2，y ＋3)＝2(8－x,3－y )＝(16－2x,6－2y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝16－2x ，y ＋3＝6－2y ，解得x ＝6，y ＝1.∴点C 的坐标为(6,1)．8．(2020年广州模拟)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)．若向量(a －2b )∥b ，则m ＝________. 【答案】－32 【解析】∵向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)，∴a －2b ＝(3－2m ，－4)．∵(a －2b )∥b ，∴－4m ＝3－2m .∴m ＝－32.9．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°. (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．10．如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．解：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．连接OC ，则AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)．由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34.所以OP →＝34OB →＝(3,3)．所以点P 的坐标为(3,3)．B 级——能力提升练11．已知向量a ＝(1＋λ，2)，b ＝(3,4)，若a ∥b ，则实数λ＝( ) A ．－113B ．－52C ．12D ．53【答案】C 【解析】a ∥b ，∴4(1＋λ)＝6，即λ＝12.12．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)【答案】B 【解析】∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)．易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)．故选B ．13．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)【答案】D 【解析】由题意，得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝(－2，－6)．14．向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(1,2)，则|a|＝________；若向量a ，b 不能作为一组基底，则tan θ＝________.【答案】1 12【解析】∵a ＝(sin θ，cos θ)，∴|a |＝sin 2θ＋cos 2θ＝1.∵向量a ，b 不能作为一组基底，∴a ∥b ，则2sin θ－cos θ＝0，得tan θ＝12.15．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，则向量OB →＝________.【答案】⎝⎛⎭⎫－115，235 【解析】设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9，解得⎩⎨⎧m ＝235，n ＝115.因此，OB →＝⎝⎛⎭⎫－115，235. 16．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)及AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )． (1)λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)四边形ABCP 能成为平行四边形吗？若能，求出相应的λ的值；若不能，请说明理由．解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)．∵AP →＝AB →＋λAC →，∴(x －2，y －3)＝(3,1)＋λ(5,7)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4，∴P (5λ＋5,7λ＋4)．(1)当点P 在第一、三象限的角平分线上时，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝12.(2)AB →＝(3,1)，PC →＝(2－5λ，6－7λ)．若四边形ABCP 为平行四边形，需AB →＝PC →，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－5λ＝3，6－7λ＝1.方程组无解，故四边形ABCP 不能成为平行四边形． 17．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a ，b 表示c.解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2,0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝⎛⎭⎫－32＝－32，y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12 .所以b ＝⎝⎛⎭⎫－32，12 .同理可得c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－332 .设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝⎛⎭⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝⎛⎭⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎫2λ1－32λ2，12λ2.所以⎩⎨⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.所以c ＝－3a －33b.C 级——探索创新练18．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点．若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．【答案】32＋2 【解析】AB →＝OB →－OA →＝(2－a ，－2)，AC →＝OC →－OA →＝(b ＋2，－4)．由A ，B ，C 三点共线，得2(2－a )＝b ＋2，即2a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1.所以1a ＋1b ＝a ＋b 2a ＋a ＋b 2b ＝32＋b 2a ＋a b ≥32＋212＝32＋2，当且仅当b 2a ＝a b ，即a ＝12，b ＝22时等号成立，所以最小值为32＋ 2. 19．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)求证：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标． (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， ∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)解：f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)解：设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，∴y＝p,2y－x＝q，∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．。
(完整版)平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行. 二.课前预习1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( ) A 、2 B 、 2- C 、 2± D 、 22.下列各组向量，共线的是 ( ) ()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ⋅=⋅=2,3,则=MN ____ 4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为 三.知识归纳1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。
其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a的坐标，记作____________。
3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：OM =________________，M 点的坐标为_____________．5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠b b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠b b a ．6. a=（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：aa e = 四．例题分析：例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P点的坐标为（ ）A （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4） (2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。
平面向量基本定理练习题
专题八平面向量的根本定理〔A 卷〕〔测试时间：120分钟 总分值：150分〕第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，那么向量BC =( )A. (7,4)--B.(7,4)C.(1,4)-D.(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=〔3,1〕，∴BC =AC AB -=(-7,-4)，应选A. 2.【2021届湖北省黄石市第三中学〔稳派教育〕高三阶段性检测】假设()1,3MA =-， ()1,7MB =，那么12AB = ( )A. ()0,5B. ()1,2C. ()0,10D. ()2,4 【答案】B 【解析】()()()111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=- ()()()1111,732,41,222=+-==，应选B.向量()2,4a =，()1,1b =-，那么2a b -=〔 〕A.()5,7B.()5,9C.()3,7D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =，所以2(4,8)(1,1)a b -=--=()5,7，应选A. 4.【2021届重庆市第一中学高三上学期期中】直角坐标系中点，向量，，那么点的坐标为〔 〕 A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵向量，，∴，又∴点的坐标为应选：C.ABC ∆中，D 为AB 边上一点，12AD DB = ，23CD CA CB λ=+，那么λ=〔 〕 A ．13- B. 13 C.231- D.2【答案】B【解析】由得，13AD AB =，故13CD CA AD CA AB =+=+1()3CA CB CA =+-2133CA CB =+,故13λ=．6. 平面向量(1,2)a =，(2,)a k =-，假设a 与b 共线，那么|3|a b +=( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．5 【答案】C.【解析】∵a 与b 共线，∴⇒=-⨯-⨯0)2(21k 4-=k ，∴3(1,2)a b +=，|3|5a b +=.(,),(1,2)a x y b ==-，且(1,3)a b +=，那么|2|a b -等于〔 〕A ．1B ．3C ．4D ．5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故22|2|435a b -=+=,故应选D.8.【2021届湖北省襄阳市四校〔襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中〕高三上期中联考】点G 为ABC ∆的重心〔三边中线的交点〕．设,GB a GC b ==，那么12AB 等于 〔 〕A. 3122a b - B. 12a b + C. 2a b - D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图，∵点G 为ABC ∆的重心， ∴()()11112222AB GB GA a a b a b ⎡⎤=-=++=+⎣⎦.选B.()()2,3,cos ,sin a b θθ==，且//a b ，那么tan θ=〔 〕A ．32B ．32-C ．23D ．23- 【答案】A 【解析】由//a b ，可知2sin 3cos 0θθ-=，解得tan θ=32，应选A.()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//a b ，那么cos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭〔 〕A ．13- B ．13 C ．2 D ．22【答案】A11.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．假设AC =a ，BD =b ，那么AF =〔 〕A.1142+a b B. 1124+a b C. 2133+a b D. 1233+a b 【答案】C【解析】,AC a BD b ==，11112222AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+ 因为E 是OD 的中点,||1||3DE EB ∴=,所以，13DF AB =11112266AF AD DF a b a b =+=++-＝2133a b +,应选C.12. ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 为AC 边的中点，BF 交CE 于点G ，假设AG x AE y AF =+，那么x y +等于〔 〕 A.32B.43C.1D.23【答案】B ．第II 卷〔共90分〕二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，共20分。
专题02 平面向量基本定理及坐标表示(专题测试)--解析版
专题02 平面向量基本定理及坐标表示（专题测试）【基础题】1. （2020·广东东莞市·高一期末）已知向量()2,3a =，(),6b m =，且a b ⊥,则m =（ ） A ．4- B ．4C ．9-D ．9【答案】C【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,3)a =，(),6b m =，因为a b ⊥，可得2362180a b m m ⋅=⨯+⨯=+=，解得9m =-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2. （2020·广东揭阳市·高一期中）已知(1,1)AB =-，(0,1)C ，若2CD AB =，则点D 的坐标为 A ．(2,3)- B ．(2,3)-C ．(2,1)-D ．(2,1)-【答案】D【分析】设出D 的坐标，代入2CD AB =，计算出D 点的坐标.【详解】设(),D x y ，则(),1CD x y =-，()22,2AB =-，根据2CD AB =得()(),12,2x y -=-，即212x y =⎧⎨-=-⎩，解得()2,1D -，故选D. 【点睛】本小题主要考查向量的减法和数乘计算，考查两个向量相等的坐标表示，属于基础题.3．（2020·广东汕头市·高二期末）如图所示，已知在ABC 中，D 是边AB 上的中点，则CD =（ ）A ．12BC BA -B ．12BC BA -+ C ．12BC BA --D ．12BC BA + 【答案】B【分析】利用向量减法和数乘运算求得正确结论. 【详解】1122CD BD BC BA BC BC BA =-=-=-+.故选：B 4. （2019·广东深圳市·福田外国语高中高三一模（文））向量(1,2)a =，(2,)b k =-，若a 与b 共线，则|3|a b +=（ ）A B ．C ．D ．5【答案】A【分析】通过向量共线求出k ，然后求解|3|a b +即可. 【详解】向量(1,2)a =，(2,)b k =-，a 与b 共线， ∴4k =-，即3(1,2)a b +=，∴2312a b +=+=故选：A .【点睛】本题考查向量的共线，向量的模的求法，属于基础题.5．（2020·东莞市光明中学高二月考）已知向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，则x 的值是（ ） A ．6- B ．83C ．6D ．83-【答案】C【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数x 的等式，由此可解得实数x 的值. 【详解】向量()3,2a =，(),4b x =且//a b ，212x ∴=，解得6x =.故选：C.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题.6．（2020·汕头市澄海中学高二期中）已知向量()2,1a =-，()5,4b =-，(),c x y =，若()a b c +⊥，则x 、y 可以是（ ）A ．1x =，1y =B ．0x =，1y =C ．1x =，0y =D ．1x =，1y =- 【答案】A【分析】根据()0a b c +⋅=可得x y =.【详解】因为()a b c +⊥，所以()()()3,3,330a b c x y x y +⋅=-⋅=-+=，即x y =，故选：A. 【点睛】本题考查了平面向量垂直的坐标表示，考查了平面向量线性运算的坐标表示，属于基础题. 7．（2020·广东深圳市·高一期末）设向量(,1)a x x =+，(1,2)b =，且a b ⊥，则x =（ ）. A ．23-B ．23C ．1-3D ．13【答案】A【分析】由a b ⊥得0a b ⋅=，建立方程求解即可. 【详解】a b ⊥，()210a b x x ∴⋅=++=，解得23x =-.故选：A. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，属于基础题.8．（2012·广东湛江市·）已知向量()3,4a =，()sin ,cos b αα=，且//a b ，则tan α=（ ） A ．34B ．34-C ．43D ．43-【答案】A【分析】根据向量共线的坐标表示以及同角公式可得结果. 【详解】因为//a b ，所以3cos 4sin 0αα-=，所以3tan 4α=.故选：A. 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，考查了同角公式，属于基础题.9.（2020·广州市·广东实验中学高三月考（文））已知向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则2a b -等于（ ） A ．1 B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】先根据已知求出x,y 的值，再求出2a b -的坐标和2a b -的值.【详解】由向量()(),,1,2a x y b ==-，且()1,3a b +=，则()(1,2)1,3a b x y +=-+=，解得2,1x y ==，所以()()2,1,1,2a b ==-，所以2(2,1)2(1,2)(4,3)a b -=--=-，所以224(5a b -=+=，故答案为D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．（多选题）（2020·廉江市第三中学高二月考）如果平面向量(2,0)a=，(1,1)b =，那么下列结论中正确的是（ ） A ．2a b = B ．22a b ⋅=C ．()-⊥a b bD ．//a b【答案】AC【分析】根据题中条件，由向量模的坐标表示，数量积的坐标表示，以及向量共线的坐标表示，逐项判定，即可得出结果. 【详解】由平面向量(2,0)a=，(1,1)b =知：在A 中，2=a ，2b =，∴=2a b ，故A 正确；在B 中，2a b，故B 错误；在C 中，(1,1)a b -=-，∴()110a b b -⋅=-=，∴()-⊥a b b ，故C 正确； 在D 中，∵2011≠，∴a 与b 不平行，故D 错误. 故选：A C .【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量共线的坐标表示等，属于基础题型.【提升题】11．（2021·广东高三其他模拟）在90A ∠=︒的等腰直角ABC 中，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，BC AF CE λμ=+，则λ=（ ）A ．23-B ．32-C ．43-D ．1-【答案】A【分析】以A 为原点建立直角坐标系，设直角边长为2，写出各点坐标，计算可得λ的值. 【详解】以A 为原点建立直角坐标系，设()2,0B ，()0,2C ，则()1,1F ，()1,0E ，则()2,2BC =-，()()()1,11,2,2AF CE λμλμλμλμ+=+-=+-，所以222λμλμ+=-⎧⎨-=⎩，所以23λ=-.故选：A12．（2020·广东高三月考）已知菱形ABCD 的边长为2，60A ∠=︒，点P 满足1()2AP AB AC =+，则PA PD ⋅=（ ）A ．0B ．3C ．3D ．92【答案】C【分析】如图，以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系，由1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，由60A ∠=︒，菱形ABCD 的边长为2，可求出,,P A D 的坐标，从而可求出PA PD ⋅的值【详解】以菱形ABCD 的对角线AC 方向为x 轴方向，DB 方向为y 轴方向建立平面直角坐标系， 根据1()2AP AB AC =+，可知P 点为线段BC 的中点，又因为60A ∠=︒，所以2AB BC CD DA BD =====，易求得31,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)A -，(0,1)D -，331,22PA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以，3PA PD ⋅=， 故选：C ．13. （2020·广东汕尾市·高一月考）已知向量()1,2a =，()2,b t =.若a b ⊥，则t =______，此时a 与a b +的夹角为______. 【答案】1-π4【分析】利用向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得t 的值.利用夹角公式，求得a 与a b +的夹角的余弦值，进而求得a 与a b +的夹角.【详解】由于a b ⊥，所以()()1,22,220t t ⋅=+=，解得1t =-， 所以()()2,1,3,1b a b =-+=. 设a 与a b +的夹角为θ，则()()()22221,23,152cos 25101231a a ba a bθ⋅+⋅====⋅⋅++⋅+. 由于[]0,θπ∈，所以4πθ=.故答案为：1-；π4【点睛】本小题主要考查向量数量积的坐标运算，考查向量垂直的坐标表示，考查向量夹角的计算，属于中档题.14（2021·全国高三其他模拟）地砖是一种地面装饰材料，也叫地板砖，用黏土烧制而成质坚、耐压、耐磨、防潮．地板砖品种非常多，图案也多种多样．如图是某公司大厅的地板砖铺设方式，地板砖有正方形与正三角形两种形状，且它们的边长都相同，若OA a =，OB b =，则AF =（ ）A ．5122a b -- B ．33232a b ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭C ．3323a b ⎛--+ ⎝⎭ D ．3323a b ⎛-+- ⎝⎭ 【答案】D【分析】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，根据平面向量的坐标运算公式，结合平面向量基本定理进行求解即可.【详解】以AB 的中点M 为坐标原点建立平面直角坐标系，设2AB =，则(3O ，()1,0A -，()10B ,，(1,223F +，所以(1,3OA =--，(1,3OB =-，(2,2AF =+．设AF OA OB λμ=+，则22λμ-+=⎧⎪-=+233λμ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以33233AF OA OB ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，即3323AF a b b ⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭，故选：D 【点睛】用一组基底表示平面向量往往利用平面向量的坐标表示公式以及平面向量运算的坐标表示公式进行求解.15.（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b，则函数f （x ）的值域． 【答案】（1（2） 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示可得cos 02x x -=，根据二倍角的正弦公式可得1sin 22x =，根据x 的范围可得26x π=，进一步可得tan 23x =；（2）利用平面向量的数量积的坐标表示与两角和的正弦公式可得())4fx x π=+，再根据x 的范围，结合正弦函数的图象可得结果.【详解】（1）因为//a b ，所以cos 02x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan6x π==. （2）()f x a b =⋅=2cos x x x x+=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以2sin()(,1]42x π+∈，所以()(3,6]f x ∈. 【点睛】本题考查了平面向量共线的坐标表示，考查了二倍角的正弦公式，考查了平面向量数量积的坐标表示，考查了两角和的正弦公式，考查了利用正弦函数的图象求值域，属于中档题.【拓展题】(选用)16．（2020·山西太原市·高三期末（理））赵爽是我国古代数学家大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设AD AB AC λμ=+，若2DF AF =，则可以推出λμ+=_________.【答案】1213【分析】利用建系的方法，假设1AF =，根据120ADB ∠=，利用余弦定理可得AB 长度，然后计算cos ,sin DAB DAB ∠∠，可得点D 坐标，最后根据点,B C 坐标，可得结果.【详解】设1AF =，则3,1AD BD AF ===如图由题可知：120ADB ∠=，由2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠所以AB =AC AB ==所以),22BC ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0A又sin sin sin 26BD AB BAD BAD ADB =⇒∠=∠∠所以cos BAD ∠==所以()cos ,sin D AD AD BAD BAD ∠∠即D ⎝⎭所以()2113339,13,026,26ADAB ⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭13,22AC ⎛=⎝⎭又ADAB AC λμ=+所以913313μλμμ⎧==⎪⎪⇒⎨⎪==⎪⎩ 所以1213λμ+=故答案为：1213【点睛】本题考查考查向量的坐标线性表示，关键在于建系，充分使用条件，考验分析能力，属难题.。
平面向量基本定理基础训练题(含详解)
平面向量基本定理基础训练题（含详解)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在ABC 中，E 是AC 的中点，3BC BF =，若AB a =，AC b =，则EF =（ ）A ．2136a b - B ．1133a b +C ．1124a b D ．1133a b -2．如图，已知AB a =，AC b =，3BD DC =，用a 、b 表示AD ，则AD 等于（ ）A ．34a b + B ．3144a b + C ．1144a b +D ．1344a b +3．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足0OA OB OC ++=，则下列结论正确的是( ) A ．1233OA AB BC =+ B ．2133OA AB BC =+ C ．1233OA AB BC =- D ．2133OA AB BC =-- 4．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11D ．125．在等腰梯形ABCD 中，//AB DC ，2AB DC =，E 为BC 的中点，则（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+B ．3122AE AB AD →→→=+C ．1142AE AB AD →→→=+D ．3144AE AB AD →→→=+6．在平行四边形ABCD 中，若4CE ED =，则BE =（ ）A ．45AB AD -+ B ．45AB AD - C ．45AB AD -+D ．34AB AD -+二、填空题7．在正方形ABCD 中，,M N 分别是,BC CD 的中点，若AC AM AN λμ=+，则实数λμ+=_______.8．已知ABC ，若点D 满足34AB ACAD +=，且()BD CD λλ=∈R ，则λ=________．参考答案1．A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则计算得到答案. 【详解】1223EF EC CF AC CB =+=+()12212336AC AB AC AB AC =+-=-2136a b =-. 故选：A . 【点睛】本题考查了向量的基本定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 2．D 【解析】分析：用向量的加法法则表示出AD ，再由数乘与减法运算可得． 详解：由题意34AD AB BD a BC =+=+3()4a AC AB =+-3()4a b a =+-1344a b =+， 故选D ．点睛：本题考查平面向量基本定理，考查平面向量的线性运算，解题时抓住向量线性运算的运算法则（加法、减法、数乘等）就可以把任一向量用基底表示出来． 3．D 【解析】 【分析】由0OA OB OC ++=可知，所以O 为ABC ∆的重心，运用向量的加法运算，21()32OA AB AC →→→=-⨯+,整理后可求结果.【详解】因为0OA OB OC ++=，所以O 为ABC ∆的重心，所以211121()()()323333OA AB AC AB AC AB AB BC AB BC →→→→→→→→→→=-⨯+=-+=-++=--.故选:D. 【点睛】本题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的基本定理,属于基础题. 4．D 【解析】 【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,A B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得：31m n+的最小值是12.本题选择D 选项. 【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 5．A 【解析】 【分析】根据题意，选基底AB →，AD →表示向量AE →即可求解. 【详解】由等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，E 为BC 的中点可知，AE AB BE →→→=+,①12AE AD DC CE AD AB CE→→→→→→→=++=++②①+②得：322AE AD AB →→→=+,即3142AE AB AD →→→=+，故选：A 【点睛】本题主要考查了向量的加法，向量的基底，属于容易题. 6．A 【解析】 【分析】由4,CE ED =得45CE CD =，在BEC △中，利用向量加法可得. 【详解】44,,5CE ED CE CD =∴=4455BE BC CE AD CD AB AD ∴=+=+=-+故选：A. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算. 用已知向量表示某一向量的两个关键点:(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． 7．43【解析】 【分析】由题意结合平面向量线性运算法则可得22AC AB AB A A D D μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝+⎭⎝⎭，由平面向量基本定理可得1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即可得解.【详解】由题意画出图形，如图所示：由题意可得()()AC AB BM A AM AN D DN λμλμ=++++=11112222AB BC AD DC AB AD AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22AB AD μλλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又AC AB AD =+，所以1212μλλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，从而3()22λμ+=，即43λμ+=. 故答案为：43.【点睛】本题考查了平面向量线性运算法则、平面向量基本定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 8．13-【解析】【分析】根据题意，利用平面向量的基本定理，化简即可得到结论. 【详解】由34AB ACAD+=，可得43AD AB AC=+，所以，33AD AD AB AC+=+，即()3AD AB AC AD-=-，所以，3BD DC=，故13BD CD=-．故答案为：1 3 -.【点睛】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．。
平面向量基本定理练习题
平面向量基本定理练习一、选择题1.如图所示，矩形ABCD 中，BC →＝5e 1，DC →＝3e 2，则OC →等于( )A.12(5e 1＋3e 2)B.12(5e 1－3e 2)C.12(3e 2－5e 1)D.12(5e 2－3e 1) 2.如图所示，用向量e 1，e 2表示向量a －b 为( )A.－4e 1－2e 2B.－2e 1－4e 2C.e 1－3e 2D.3e 1－e 23.设向量e 1和e 2是某一平面内所有向量的一组基底，若3x e 1＋(10－y )e 2＝(4y －7)e 1＋2x e 2，则实数y 的值为( )A.3B.4C.－14D.－344.若OP →1＝a ，OP →2＝b ，P 1P →＝λPP →2(λ≠－1)，则OP →等于( )A.a ＋λbB.λa ＋(1－λ)bC.λa ＋bD.11＋λa ＋λ1＋λb 5.(2017·石嘴山第三中学四模)设点D 为△ABC 中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( )A.BO →＝－16AB →＋12AC →B.BO →＝16AB →－12AC → C.BO →＝56AB →－16AC → D.BO →＝－56AB →＋16AC → 6.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( )A.14a ＋12bB.12a ＋14bC.23a ＋13bD.12a ＋23b 7.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝⎛⎭⎫12OA →＋12OB →＋2OC →，则点P 一定为( ) A.AB 边中线的中点 B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.△ABC 的重心D.AB 边的中点二、填空题8.已知e 1，e 2不共线，a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1＋λe 2，要使a ，b 能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为 .9.如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝ . 10.如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →.其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝23，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝ .三、解答题11.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是DA ，BC 的中点，且DC AB＝k .设AD →＝e 1， AB →＝e 2，以e 1，e 2为基底表示向量DC →，BC →，MN →.12.已知点O 为坐标原点，A (0，2)，B (4，6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →.(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线.13.A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D ，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ∈R ，μ∈R )，求λ＋μ的取值范围.14.如图，在△ABC 中，AD 为三角形BC 边上的中线且AE ＝2EC ，BE 交AD 于点G ，求AG GD及BG GE的值.。
高中数学第六章平面向量及其应用6.3.1平面向量基本定理同步练习含解析第二册
课时素养评价六平面向量基本定理（15分钟30分)1。
设{e1,e2}是平面内一组基底,则下面四组向量中，能作为基底的是（) A。
e1-e2与e2—e1B。
2e1+3e2与—4e1—6e2C.e1+2e2与2e1—e2D.—e1+e2与e1-e2【解析】选C。
因为只有不共线的两个向量才能作为基底，选项A、B、D中的两个向量都是共线的,不可以作为基底.选项C中的两个向量不共线,可作为基底.2.(2020·湖州高一检测)在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x+y,且=2,则() A.x=,y= B.x=,y=C。
x=，y=D。
x=，y=【解析】选A。
因为=2,所以+=2+2,即3=2+，所以=+,即x=,y=。
3.（2020·长沙高一检测)如图,在正方形ABCD中,点E是DC的中点,点F满足=2,那么= ()A.-B。
+C.—D.+【解析】选C。
=+=+=-。
【补偿训练】如图所示,在正方形ABCD中,E为AB的中点，F为CE的中点,则= （）A.+B.+C。
+ D.+【解析】选D.根据题意得：=（+),又=+,=,所以==+.4。
如图所示，在6×4的方格中，每个小正方形的边长为1,点O,A,B,C均为格点(格点是指每个小正方形的顶点）,则·=.【解析】设水平向右和竖直向上的单位向量为e1和e2，则|e1｜=|e2|=1，e1·e2=0，由题图可知，=3e1+2e2，=6e1-3e2，·=（3e1+2e2）·（6e1-3e2）答案:125.已知e1，e2不共线,且a=k e1-e2，b=e2—e1，若a,b不能作为基底,则实数k等于.【解析】因为a，b不能作为基底,所以a，b共线，可设a=λb,λ∈R，则k e 1—e2=λ,即k e1-e2=λe2-λe1，因为e1，e2不共线，所以所以k=1.答案:1【补偿训练】已知e1，e2不共线,a=e1+2e2,b=2e1+λe2,要使{a,b｝能作为平面内的一个基底,则实数λ的取值范围为。
高考数学(人教a版,理科)题库：平面向量的基本定理及向量坐标运算(含答案)
第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )． A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析 由题意得a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴． 答案 C2．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)． 答案 C3．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )．A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)解析 设d ＝(x ，y )，由题意知4a ＝(4，－12)，4b －2c ＝(－6,20)，2(a －c )＝(4，－2)，又4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，解得x ＝－2，y ＝－6，所以d ＝(－2，－6)．故选D. 答案 D4． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ＝ ( )． A.14B.12C ．1D ．2解析 依题意得a ＋λb ＝(1＋λ，2)，由(a ＋λb )∥c ，得(1＋λ)×4－3×2＝0，∴λ＝12. 答案 B5. 若向量AB =（1,2），BC =（3,4），则AC =( )A （4,6）B (-4，-6)C (-2，-2)D (2,2) 解析 因为AC =AB +BC =(4,6),所以选A. 答案 A6．若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( )．A ．(2,0)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(0,2)解析 ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2,4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )， ∴⎩⎨⎧ －x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案 D 二、填空题7．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________． 解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，依题意，有(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，所以1a ＋1b ＝12. 答案 128．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．解析 设a ＝λb (λ＜0)，则|a |＝|λ||b |，∴|λ|＝|a ||b |， 又|b |＝5，|a |＝2 5. ∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a ＝λb ＝－2(2,1)＝(－4，－2)． 答案 (－4，－2)9．设OA→＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为________． 解析 AB→＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →.∴2(a －1)－(－b －1)＝0，∴2a ＋b ＝1. ∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝14，b ＝12时取等号． ∴1a ＋2b 的最小值是8. 答案 810．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC .已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为________．解析 由条件中的四边形ABCD 的对边分别平行，可以判断该四边形ABCD 是平行四边形．设D (x ，y )，则有AB →＝DC →，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x ，y )，解得(x ，y )＝(0，－2)． 答案 (0，－2) 三、解答题11．已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)． 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，所以有⎩⎨⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2，和⎩⎨⎧ －1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4，和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别是(0,4)、(－2,0)，从而CD →＝(－2，－4)． 12．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？解 法一 k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ使k a ＋b ＝λ(a －3b )，由(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)得，⎩⎨⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得k ＝λ＝－13， ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行， 这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )． ∵λ＝－13<0，∴k a ＋b 与a －3b 反向． 法二 由法一知k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(10，－4)，∵k a ＋b 与a －3b 平行 ∴(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13， 此时k a ＋b ＝⎝⎛⎭⎪⎫－13－3，－23＋2＝－13(a －3b )．∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2,1)，A (1,0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB→，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标；(2)若a ∥AB→，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值．解 (1)∵AB→＝(cos θ－1，t )，又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB→|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1，∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12， ∴y ＝cos 2θ－cos θ＋(cos θ－1)24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15， ∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.14．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，求 (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 (1)OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t,2＋3t )．若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，∴t ＝－23；若P 在y 轴上，只需1＋3t ＝0，∴t ＝－13；若P 在第二象限，则⎩⎨⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0.∴－23＜t ＜－13.(2)因为OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )．若OABP 为平行四边形，则OA →＝PB →，∵⎩⎨⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2无解．所以四边形OABP 不能成为平行四边形．。
平面向量的基本定理及坐标表示 练习 含答案
平面向量的基本定理及坐标表示1．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A BC D2.已知向量a,b ,且AB =a+2b 5BC ,=-a +6b 7CD ,=a-2b,则一定共线的三点是( )A.A 、B 、DB.A 、B 、CC.B 、C 、DD.A 、C 、D3.已知平行四边形ABCD 中DA ,=a DC ,=b ,其对角线交点为O,则OB 等于( ) A.12a +bB.a 12+bC.12(a +b )D.a +b4.已知OA =a OB ,=b ,C 为AB 上距A 较近的一个三等分点,D 为CB 上距C 较近的一个三等分点,则用a ,b 表示OD 的表达式为( ) A.4+59a b B +7169a b . C. +32a b D. +43a b5.已知P 是△ABC 所在平面内的一点,若CB PA PB λ=+,其中λ∈R ,则点P 一定在( )A.△ABC 的内部B.AC 边所在的直线上C.AB 边所在的直线上D.BC 边所在的直线上 6.在△ABC 中AB ,=c AC ,=b ,若点D 满足2BD DC =,则AD 等于( ) A.23b 13+ c B.53c 23-b C.23b 13- c D.13b 23+c7.在△ABC 中,设AB =m AC ,=n ,D 、E 是边BC 上的三等分点,即BD=DE=EC,则AD = AE ,= .8．设为内一点，且满足，则为的（ ）A 外心B 内心C 重心D 垂心9.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD =4DB ,CD =r AB +s AC ,则3r+s 的值为 .12,e e 1212e e e e +-和1221326e e e e --和4122122e e e e ++和212e e e +和O ABC ∆0AO BO CO ++=O ABC ∆10.计算下列各题:(1)3(3a -b )+4(b -2a );14(2)[(a +2b )+3a 13(6-a -12b )];(3)()(λμ+a +b )()(λμ--a -b ).11.已知M 是△ABC 的重心,设MA =a MB ,=b ,用a 、b 表示AC 、BC .12.已知a ,b 是两个不共线的非零向量,若a 与b 起点相同,则实数t 为何值时,a ,t b 13(,a +b )三向量的终点共线?13.(1)在△ABC 中,D 为BC 边上的中点. 求证:12()AD AB AC =+. (2)求证:G 为△ABC 重心,O 为平面内不同于G 的任意一点,则13()OG OA OB OC =++.平面向量的基本定理及坐标表示1．B 2. A 3. C 4.A 5.B 6. A 7. 23m n AD += 23n m AE += 8． C 9. 8510. (1) a +b (2)32a b +(3) 22b a λμ+ 11. 2AC a b =-- 82C a b =--12. 解:由已知,存在唯一实数λ,使a -t b [λ=a 13(-a +b )],化简得23(1)λ-a =3()t λ-b .由于a ,b 不共线,故 233100t λλ-=,⎧⎨-=,⎩ 解得 3212t λ=,⎧⎨=,⎩ 即12t =时,三向量的终点共线. 13.(1)证法一:AD AB BD AD AC CD =+,=+, 又D 为中点,∴BD CD +=0.∴2AD AB AC =+,即12()AD AB AC =+. 证法二:延长AD 至E,使DE=AD.∵BD=DC,∴四边形ABEC 为平行四边形.∴AE AB AC =+.又AE AD DE AD DE =+,=, ∴12()AD AB AC =+. (2)证明:∵OG OB BG =+,OG OA AG OG OC CG =+,=+,又∵G为△ABC的重心,∴AG CG++=0.∴OG OG OG OA OB OC ++=++,即13()OG OA OB OC=++.。
平面向量基本定理及经典例题
平面向量基本定理一．教学目标：了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行.二.课前预习1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( )A 、2B 、 2-C 、 2±D 、 22.下列各组向量，共线的是 ( )()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ⋅=⋅=2,3,则=MN ____4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为三.知识归纳1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。
其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作基底，则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a 的坐标，记作____________。
3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：OM =________________，M 点的坐标为_____________．5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠ b b a ；坐标形式： _____________)0(//⇔≠ b b a ．6. a =（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：aa e ±=四．例题分析：例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P点的坐标为（ ）A （－14，16） （B ）（22，－11） （C ）（6，1） （D ） （2，4）(2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。
平面向量的基本定理及坐标表示——选择题【100道】
平面向量的基本定理及坐标表示——选择题【100道】一、单选题1．设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则()AB FB FC ⋅+的值为A ．1-B ．0C ．2D ．3A ．2134AB AC +B 3．下列四组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是A ．()1,2a =，()2,4b =-- B ．()3,4a =，()4,3b = C ．()2,1a =-，()2,1b =-D ．()3,5a =，()6,10b =4．已知点(1,1)A -，(0,2)B ，若向量(2,3)AC =- ，则向量BC =（ ）A ．(3,2)-B ．(2,2)-C ．(3,2)--D ．(3,2)-A ．16-B ．1A ．2a －(1+C ．－2a ＋10．已知点()1,1A -，()2,B y ，向量()1,2a =r，若AB a∥，则实数y 的值为A ．5B ．6C ．7D ．813．已知向量()()3,1,,1a b m =-= .若向量a b - 与b平行，则m =（ ）A ．－3B ．1C ．1或2D ．214．已知向量 (1,6)a =- ，(3,2)b =- ，则a b +=（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件16．设x ，y ∈R ，向量(),1a x =r ，()1,b y = ，()2,4c =- ，且a c ⊥ ，//b c ，则a b +=（ ） A ．()2,1B ．()2,2-C ．()3,1-D ．()3,123．已知向量(2,0),(1,1)a b ==--，则下列结论正确的是（ ）24．若=(2,1), =(1,0)a b ，则32a b +的坐标是A ．()53，B ．()43，C ．()83，D ．()01-，25．已知正方形ABCD 内接于半径为1的圆O ，P 是圆O 上的一点（异于A ，B ，C ，D ），则PA PB PC PD ⋅+⋅的值为（ ） A ．2B ．2-C ．4D ．4-26．已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=- ，且m n∥，则实数=a （ ）A ．1-B ．2或1-C ．2D ．2-28．已知点()1,2A -和向量()1,3a = ，且2AB a =，则点B 的坐标为（ ）A ．(1,8)B ．(0,5)C ．(3,4)--D ．(3,4)A ．35B ．37C ．411 D 32．ABC 的边BC 所在直线上有一点D ，满足2BC DC = ，则AC可表示为（ 33．已知向量(3,1)a = ，(1,3)b = ，且()()a b a b λ+⊥-，则λ的值为（ ）35．已知向量()2,6a = ，()1,b λ= ，若//a b r r，则λ等于（ ）A ．2B ．3-C ．3D ．2-37．向量、,下列结论中,正确的是．．．．πA ．25B ．A ．9B ．4C ．3D ．541．已知向量()3,0a = ，()1,1b =-，()1,c k = ，若()//a b c + ，则实数k 的值为（ ）42．空间四边形ABCD 中，点M 在AB 上，且2AM MB =，N 为CD 的中点，则MN =（ ）A ．121232AB AC AD -+11244．向量1OZ 对应的复数是54i -，向量2OZ 对应的复数是54i -+，则1OZ ＋2OZ对应的复数是（ ）A ．108i -+B ．108i -C ．0D ．108i +45．如图，在平行四边形ABCD 中，若OA a = ，OB b = ，则BC =（ ）A ．a b +B ．a b -C ．()a b -+D ．a b -+47．设向量a ，b 满足||1a = ，(0,2)b =- ，且2=rr g a b ，则||a b +=A ．6B ．8C ．10D ．1250．已知()2,4AB =-，则下面说法正确的是（ ）A ．A 点的坐标是()2,4-B ．B 点的坐标是()2,4-C ．当B 点是原点时，A 点的坐标是()2,4-D ．当A 点是原点时，B 点的坐标是()2,4-51．若直线(1)x m m =>与函数()log ,()log a b f x x g x x ==的图象及x 轴分别交于,,A B C三点.若2AB BC =，则（ ）55．已知向量()()1,1,2,1a b m =-=-+，若()2a a b ⊥- ，则m =（ ）A ． 1-B ． 2-C ． 4-D ． 7-57．已知平面向量,,a b c 满足a b ⊥ ，且||||2,||1a b c a b ==--= ，则||2||c a c b -+-的最A ．2133AB AC -+uu ur uuu r61．已知(8,5)PQ =，点(7,8)Q ，则点P 的坐标为（ ）A ．(1,3)B ．(1,3)-C ．(1,3)--D ．(15,23)62．下列说法错误的是（ ）64．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD △内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．A ．[0,2]B ．66．已知ABC 是边长为1的等边三角形，若AP AB AC λμ=+且||2AP = ，则2λμ+的最小值为（ ）70．已知平面向量()1,a x =，()1,2b x =- ，若a 与b 共线且方向相同，则x =（ ）A ．2B ．1C ．1-D ．2-71．设向量()1,1a = ，()3,2b =- ，则32a b -= （ ）A ．(3,7)-B ．(0,7)C ．(3,5)D ．(3,5)-A ．()4,2-B ．()4,2--C ．()4,2-D ．()4,278．已知ABC 是边长为4的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC ⋅的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4D ．22A ．21m n -=B ．221m n -=C ．21m n -=D ．221n m -=80．已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，向量()5,27m a →=，()9=3,n a →，且//m n →→，则37log a =A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题82．在ABC 中，下列命题正确的是（ ）A ．若222a b c +>，则ABC 定为锐角三角形；B ．若A B >，则sin sin A B >；C ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形或直角三角形；D ．若点P 满足0PA PB PC ++=，则点P 必为此三角形的重心.85．已知平面上三点坐标为()()()37,46,1,2A B C -，，，若点D 使这四个点构成平行四边形的四个顶点，则点D 的坐标可以是（ ）A ．()01-，B ．()3-2，C ．()615，D ．()2,386．已知()1,2a = ，()4,b k = ，若()2a b +∥()3a b - ，则下列说法正确的是（ ）则下列命题正确的是（ ））91．已知向量1(1,2)e =- ，2(2,1)e = ，若向量1122a e e λλ=+ ，则可使120λλ<成立的a可能是（ ）A ．(1,0)B ．()0,1C ．(3,0)-D ．(0,1)-92．关于平面向量，下列说法正确的是（ ）A ．若, ∥∥a b b c ，则a c∥B ．在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 与一组邻边,AB AD 满足等式：()22222AC BD AB AD +=+C ．若()(),1,1,2a b λλ==- ，且a 与b 的夹角为锐角，则()1,2λ∈-93．已知向量(2,1),(1,3)a b =-=-，下列结论正确的是（ ）94．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1DP DD DA λμ=+uu u r uuur uu u r，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则以下说法正确的是（ ）95．已知向量()()2,1,1,a b t =-=-，则下列说法正确的是（ ）96．已知向量()3,4a =- ，()4,3b = ，()4,3c =--，则（ ）97．设向量(1,1),(0,2)a b =-=，则（ ）影向量坐标为(1,1)-98．已知复数11i z =-，复数2=+z x yi ，,R x y ∈，1z ，2z 所对应的向量分别为1OZ ，2OZ，其中O 为坐标原点，则（ ）99．已知向量(2,1)a =-，(1,)()b t t =∈R ，则下列说法正确的是（ ）A ．12EF AB =参考答案：【点睛】本题考查了向量的乘法，将AB2．A由题意，得∠ACD⎛⎫uuu v2，则12AE a b=+设,AB a AD b==【详解】的外接圆半径为1,以外接圆圆心【点睛】本题主要考查了用基底表示向量，属于中档题23．C【分析】由向量加法的坐标运算、因为11,22AM AB BC AB AD AN =+=+=()()()006006，，，，，，A B C，的方程分别为则直线BE AD(12MN AN AM AC =-=+ 故选：B.设BC中点为E，则因,故,应选54．D【解析】由向量三点共线，以及由基底的不同表示，由此能求出因为2BE EC = ，所以()2233BE BC AC AB ==- 22213333AE AB BE AB AC AB AC AB =+=+-=+ 设2s AP s A s AE C AB ==+57．D【分析】建立如图所示直角坐标系，由向量的坐标运算得点似将||2||c a c b -+-转为求线段和最短，即可将根据图形求解58．B【分析】利用数量积定义可得设(),P x y ，2由图可知，当该直线经过点(1,1B 366．B根据向量的线性运算及平面向量基本定理可知79．D【详解】(AC BD AB ⋅=+如图所示，连接AG 并延长交则GB GC GD += ，88．BCD【分析】由相等向量的概念判断A，由余弦定理与勾股定理以及向量垂直可判断形相似与向量基本定理可判断C，由向量的线性运算与共线定理可判断89．ABD2对于A ，12||||||OF OF OA ==，因此⎧。
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题
高三数学平面向量基本定理及坐标表示试题1.若向量=（1,2），=（3,4），则=A．（4,6）B．(-4，-6)C．(-2，-2)D．(2,2)【答案】A【解析】因为=+=,所以选A.【考点】本题考查平面向量的坐标运算(加法),属基础题.2.若向量，则( )A．(1，1)B．（-1，-1）C．(3，7)D．（-3，-7）【答案】B【解析】解：所以选B．【考点】向量的运算．3.设△ABC的三个内角为A,B,C,向量m=(sinA,sinB),n=(cosB,cosA),若m·n=1+cos(A+B),则C=()(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】依题意得sinAcosB+cosAsinB=1+cos(A+B),sin(A+B)=1+cos(A+B),sinC+cosC=1,2sin(C+)=1,sin(C+)=.又<C+<,因此C+=,C=,选C.4.已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则=.【答案】-【解析】【思路点拨】根据条件求出向量的夹角,进而寻求向量坐标间的关系,化简求值即可. 解：设a,b的夹角为θ,则a·b=|a||b|cosθ=-6,∴cosθ=-1,∴θ=180°.即a,b共线且反向.又∵|a|=2,|b|=3,∴a=-b,x1=-x2,y1=-y2,∴=-.5.已知向量a=(1,-2),b=(m,4),且a∥b,那么2a-b=()A．(4,0)B．(0,4)C．(4,-8)D．(-4,8)【答案】C【解析】由a∥b,得4=-2m,∴m=-2,∴b=(-2,4),∴2a-b=2(1,-2)-(-2,4)=(4,-8).6.已知向量a＝(3,1)，b＝，若a＋λb与a垂直，则λ等于________．【答案】4【解析】根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解．由条件可得a＋λb＝，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋λ＝0⇒λ＝4.7.在边长为1的正方形ABCD中,E、F分别为BC、DC的中点，则__________.【答案】1【解析】以A为原点，AB,AD分别为x,y轴的正版轴，建立平面直角坐标系，即,，所以【考点】平面向量数量积的运算8.已知向量，,若∥，则代数式的值是．【答案】5【解析】利用向量平行的充要条件，由∥得，即，代入求值式即得．【考点】向量平行．9.已知是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求：的坐标（2）若，且与垂直，求与的夹角.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设根据可得，而由得，联立即可解得；（2）根据向量垂直得，展开整理得，故，即可解得.试题解析：设由得所以，.（2）∵与垂直，∴即；∴∴，∵∴.【考点】1.向量共线的充要条件；2.向量的数量积；3.向量运算的坐标表示.10.是双曲线的两个焦点，过点作与轴垂直的直线和双曲线的交点为，满足，则的值为 .【答案】．【解析】由双曲线方程知,，，又由题意知点，由得，把代入上式解得．【考点】双曲线的性质及向量运算.11.如图所示，是圆上的三点，线段的延长线于线段的延长线交于圆外的一点，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】线段的延长线与线段的延长线的交点为，则，在圆外，，又、、共线，故存在，使得，且，又，.，.选D.【考点】圆的性质，平面向量基本定理.12.已知向量，若与垂直，则______.【答案】【解析】，，.【考点】1.向量的模；2.向量垂直.13.设 ,向量且 ,则( )A．B．C．D．【答案】B【解析】,则，再利用向量模的计算公式得.【考点】平面向量垂直的充要条件，模的计算.14.已知向量，，若，则实数等于．【答案】.【解析】，两边平方得，则有，化简得，即，解得.【考点】平面向量的模、平面向量的坐标运算15.在△ABC中，M是AB边所在直线上任意一点，若＝－2＋λ，则λ＝( )A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由点分线段所成比例向量形式公式知，，所以.选C.【考点】1.向量的运算； 2.平面向量的基本定理.16.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴同方向的单位向量），则P点的斜坐标为(， )，向量的斜坐标为(， )．给出以下结论：①若，P(2,－1)，则；②若，，则；③若，，则；④若，以O为圆心，1为半径的圆的斜坐标方程为．其中所有正确的结论的序号是．【答案】①②④【解析】①中是两临边常分别为2，1且一内角为的平行四边形较短的对角线，解三角形可知；结合向量的平行四边形加法法则可知②若，，则是正确的；，，所以③错误；④中设圆上任意一点为【考点】向量坐标的定义及运算点评：本题为新定义，正确理解题中给出的斜坐标并与已知的向量知识相联系是解决问题的关键17.若向量，且，则锐角的大小是【答案】【解析】因为，所以，所以，又为锐角，故.【考点】共线向量点评：本题考查共线向量的坐标运算，记住公式是解题的关键，属基础题.18.以下说法错误的是（）A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D．空间两条直线所成角的取值范围是【答案】C【解析】∵两向量可以反向，∴两向量的夹角可以为，所以平面内两个非零向量的夹角的取值范围是，错误，选C【考点】本题考查了空间角的概念点评：掌握平面和空间中的角的概念是解决此类问题的关键，属基础题19.已知△ABC和点M满足．若存在实数m使得成立，则m=( ) A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为△ABC和点M满足，所以又，故m=3，选B。
平面向量综合练习7讲(等和线,极化恒等式,奔驰定理,矩形大法一应俱全)
目录第1讲平面向量基本概念和基本定理..............................................................................................1第2讲平面向量基本定理及三点共线定理....................................................................................21第3讲平面向量中的范围、最值问题..........................................................................................30第4讲极化恒等式............................................................................................................................44第5讲矩形大法................................................................................................................................50第6讲五心问题（奔驰定理）........................................................................................................55第7讲等和线 (67)第1讲平面向量基本概念和基本定理题型1平面向量的线性运算1．如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且||||1,||3OA OB OC === ，若OC OA OB λμ=+，则(λμ+=)A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解： OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC的夹角为30︒，且||||1,||3OA OB OC === ；∴对OC OA OB λμ=+两边平方得：223λλμμ=-+①；对OC OA OB λμ=+ 两边同乘OA 得：322μλ=-，两边平方得：22944μλλμ=-+②；①-②得：23344μ=；根据图象知，0μ>，1μ∴=，代入322μλ=-得，2λ=；3λμ∴+=．故选：C ．2．已知向量,OA OB 满足||||1,,(,)OA OB OA OB OC OA OB R λμλμ==⊥=+∈，若M 为AB 的中点，并且||1MC =，则λμ+的最大值是()A ．1-B ．1+C ．D ．1【解析】解：如图所示，向量,OA OB 满足||||1OA OB == ，OA OB ⊥，不妨取(1,0)A ，(0,1)B ．M 为AB 的中点，11(,)22M ∴．(1OC OA OB λμλ=+=，0)(0μ+，1)(λ=，)μ． ||1MC =，∴2211(()122λμ-+-=，设1cos 2λθ=+，1sin 2μθ=+，[0θ∈，2)π．则1sin cos 1)14πλμθθθ+=++=++ sin(14πθ+=时取等号．λμ∴+的最大值是1+故选：B ．3．在ABC ∆中，AB c = ，AC b =．若点D 满足2,(BD DC AD == 则)A ．2133b c+ B ．5233c b-C ．2133b c-D ．1233b c+【解析】解：由题意可得AD AB BD=+22()33AB BC AB AC AB =+=+- 12213333AB AC b c =+=+故选：A ．4．已知OA ，OB 是两个单位向量，且0OA OB =．若点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，(,)OC mOA nOB m n R =+∈ ，则(m n=)A ．13B ．3C ．D 【解析】解：因为OA ，OB 是两个单位向量，且0OA OB = ．所以OA OB ⊥，故可建立直角坐标系如图所示．则(1,0)OA = ，(0,1)OB = ，故(1OC mOA nOB m =+=，0)(0n +，1)(m =，)n ，又点C 在AOB ∠内，所以点C 的坐标为(,)m n ，在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan 30n m ︒==mn=故选：D ．5．在ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】解：设BM tBC=则1111()2222AN AM AB BM AB BM==+=+ 111()2222t AB tBC AB AC AB =+⨯=+-1()222t t AB AC =-+∴122t λ=-，2tμ=∴12λμ+=故选：A ．6．点M 是ABC ∆的边BC 上任意一点，N 在线段AM 上，且AN xAB y AC =+ ，若13x y +=，则NBC ∆的面积与ABC ∆的面积的比值是()A ．12B ．13C ．23D ．14【解析】解：如图，设BM BC λ= ，AM AN μ=，∴111()()AN AM AB BM AB BC λμμμ==+=+11()AB AC AB AB AC λλλλμμμ-=+-=+， AN xAB y AC =+ ，且13x y +=，∴1113λλμμμ-+==，则3μ=．∴3AM AN = ，则2AM NM = ，又NBC ∆ 与ABC ∆的底边BC 相等，NBC ∴∆的面积与ABC ∆的面积的比值是||23||AM NM =．故选：C ．7．ABC ∆中，M 为边BC 上任意一点，N 为线段AM 上一点，且3AM AN =，又AN AB AC λμ=+ ，则λμ+的值为()A ．12B ．13C ．14D ．1【解析】解：设BM tBC = ，3AM AN =，∴11()33AN AM AB BM ==+ 1133AB BM =+1133AB tBC =+11()33AB t AC AB =+-1(333t t AB AC =-+，又AN AB AC λμ=+ ，所以11(3333t t λμ+=-+=故选：B ．8．在ABC ∆中，点D 满足3,(,)AD DC BD BA CB R λμλμ==-∈，则λμ= 316．【解析】解： 点D 满足3AD DC =，∴34AD AC = ，又AC BC BA =- ，∴3()4AD BC BA =- ，∴313()444BD BA AD BA BC BA BA CB =+=+-=- ．又BD BA CB λμ=- ，∴14λ=，34μ=．∴1334416λμ=⨯=．故答案为：316．9．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心、AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为12．【解析】解：以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则1(2E ，0)，(1,1)C ，(0,1)D ，(0,0)A ，(1,0)B ．设(cos ,sin )P θθ，∴(1,1)AC =．再由向量1(2AC DE AP λμλ=+= ，1)(cos μθ-+，sin )(θ=cos 2λμθ+，sin λμθ-+)(1=，1)，∴cos 12sin 1λμθλμθ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，∴2sin 2cos 2cos sin 32cos sin θθλθθμθθ-⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，32sin 2cos (2cos sin )3sin 33sin 312cos sin 2cos sin 2cos sin θθθθθθλμθθθθθθ+---+++∴+===-++++．由题意得02πθ ，0cos 1θ∴，0sin 1θ ．求得223cos (2cos sin )(33)(2sin cos )66sin 3cos ()0(2cos sin )(2cos sin )sn θθθθθθθθλμθθθθ+-+-++-+'=>++，故λμ+在[0，2π上是增函数，故当0θ=时，即cos 1θ=，这时λμ+取最小值为3021202+-=+，故答案为：12．10．如图，在ABC ∆中，M 为BC 上不同于B ，C 的任意一点，点N 满足2AN NM =．若AN xAB y AC =+ ，则229x y +的最小值为25．【解析】解：不妨设BM BC λ=，01λ<<，∴222222222()()33333333AN AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ-==+=+=+-=+ ，AN xAB y AC =+，223x λ-∴=，23y λ=，222222(22)4084401294()99999105x y λλλλλ-∴+=+=-+=-+，当110λ=时，229x y +有最小值，最小值为25，故答案为：25．题型2平行问题1．已知(1,1),(1,0),(1,2)a b c =-==- ，若a与b mc - 平行，则(m =)A ．1-B ．1C ．2D ．3【解析】解：(1,1),(1,0),(1,2)a b c =-==-，(1,2)b mc m m -=-，当a与b mc - 平行时，1(1)(1)20m m ⨯---⨯=，解得1m =-．故选：A ．2．已知向量()()1,2,,1,2,2,//a b x u a b v a b u v ===-=+若，则实数x 为()A ．112-B ．72或2-C ．1D ．12【解析】解：由题意可得：22(1u a b =-=，2)(x -，1)(2x =-，3)，2(1v a b =+=，2)2(x +，1)(12x =+，4)//u v，(2)43(12)0x x ∴-⨯-⨯+=，解得12x =故选：D ．3．已知向量(3,)m k = ，(2,4)n = ，若//m n ，则m n =30．【解析】解： 向量(3,)m k = ，(2,4)n = ，且//m n，212k ∴=，即6k =．则(3m n =，6)(2 ，4)326430=⨯+⨯=．故答案为：30．4．已知向量(,2)a x x =+ ，(3,4)b = ，若//a b ，则向量a的模为10．【解析】解：向量(,2)a x x =+，(3,4)b = ，若//a b，则43(2)0x x -+=，解得6x =，∴(6,8)a =，∴向量a的模为||10a == ．故答案为：10．5．已知||10a =，(3,4)b = ，//a b ，则向量a =(6,8)或(6,8)--．【解析】解；设：(,)a x y =， //b a ，||10a =，∴22430100x y x y +=⎧⎨+=⎩解得；68x y =⎧⎨=⎩或68x y =-⎧⎨=-⎩∴a等于(6,8)或(6,8)--故答案为(6,8)或(6,8)--．题型3模长问题1．设向量a，b满足||a b +=||a b -= ，则(a b = )A ．1B ．2C ．3D ．5【解析】解：||a b +=||a b -=，∴分别平方得22210a a b b ++= ，2226a a b b -+= ，两式相减得41064a b =-=，即1a b =，故选：A ．2．若向量a，b 满足||1a = ，(2)a b a +⊥ ，(2)a b b +⊥ ，则||(b = )A ．2B ．22C ．1D【解析】解： 向量a，b 满足||1a = ，(2)a b a +⊥ ，(2)a b b +⊥ ，∴222cos ,02cos ,0a ab a b a b a b b ⎧+<>=⎪⎨<>+=⎪⎩ ，∴22b a =，||||1b a ∴== ．故选：C ．3．已知向量a，b 的夹角为45︒，且||1a =，|2|a b -= ||(b = )AB．C．D．【解析】解：因为向量a，b 的夹角为45︒，且||1a =，|2|a b -= 所以224410a a b b -+=，即2|||60b b --= ，解得||b = 或||b =)．故选：C ．4．已知向量a与b 的夹角为45︒，且||1a = ，||b = ||a b -=1．【解析】解：根据题意得，222()21221451a b a a b b -=-⋅+=+-⨯⨯︒=∴1a b-= 故答案为1．5．已知向量a，b 夹角为45︒，且||1a = ，||b = ，则|2|a b - 【解析】解：根据题意，得；|2|a b -====6．已知向量(2,1),10,||a a b a b =⋅=+=，则||b = 5．【解析】解： 向量(2,1),10a a b =⋅=，又 ||a b +=∴2()50a b +=即22||||250a b a b ++⋅=即25||2050b ++=即2||25b =∴||5b = 故答案为：57．已知向量,a b满足||2a = ，||b = ，a 与b 的夹角为4π，则||a b +【解析】解：向量,a b满足||2a =，||b = a 与b 的夹角为4π，则||a b +===．题型4夹角问题1．已知向量a = ，(3,)b m = ，若向量a，b 的夹角为6π，则实数(m =)A．BC ．0D．【解析】解：由题意可得cos 62||||a b a b π== ，解得m =，故选：B ．2．已知非零向量a ，b 满足||4||b a = ，且(2)a a b ⊥+ ，则a与b 的夹角为()A ．3πB ．2πC ．23πD ．56π【解析】解：由已知非零向量a，b 满足||4||b a = ，且(2)a a b ⊥+ ，可得2(2)20a a b a a b +=+= ，设a与b 的夹角为θ，则有22||||4||cos 0a a a θ+= ，即1cos 2θ=-，又因为[0θ∈，]π，所以23πθ=，故选：C ．3．已知非零向量,a b满足：||2||a b a b ==- ，则a与b 的夹角为()A ．23πB ．2πC ．3πD ．6π【解析】解：由||2||a b a b ==-，所以22222874(2)a b a a b b ==-+ ，解得||2||b a = ，且2||a b a =- ；所以2||1cos ||2||2||||a b a a a a b θ-===-⨯⨯ ；又[0θ∈，]π，所以23πθ=，即a与b 的夹角为23π．故选：A ．4．已知非零向量,a b满足||||a b a b +=- ，则a 与b 的夹角为()A ．3πB ．2πC ．4πD ．23π【解析】解：由于非零向量,a b满足||||a b a b +=- ，等号两边同时平方化简得：0a b =，则夹角为2π，故选：B ．5．已知向量(1,2)a =- ，(1,)b λ= ，若a b ⊥ ，则2a b + 与a的夹角为()A ．23πB ．34πC ．3πD．4π【解析】解：根据题意，设2a b + 与a的夹角为θ，向量(1,2)a =-，(1,)b λ= ，若a b ⊥，则有(1)120a b λ=-⨯+= ，解可得12λ=，则1(1,2b = ，则2(1,3)a b +=，则有|2|a b +=，||a =(2)(1)1235a b a +=-⨯+⨯= ，则有(2)cos 2|2|||a b a a b a θ+===+，则4πθ=；故选：D ．6．在ABC ∆中，22AB AC ==，120BAC ∠=︒，点D 为BC 边上一点，且2BD DC =，则AB AD =23．【解析】解：由题意可知D 为BC 的靠近C 的三等分点，∴2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，∴21212122()412cos1203333333AB AD AB AB AC AB AB AC =+=+=⨯+⨯⨯⨯︒= ．故答案为：23．题型5平面向量的坐标运算1．已知(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈ ，则m n -的值为()A ．2B ．2-C ．3D ．3-【解析】解：(2,1)a =，(1,2)b =- ，(2,2)ma nb m n m n +=+- ，(9,8)(,)ma nb m n R +=-∈，可得：2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得2m =，5n =．3m n -=-故选：D ．2．向量a，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈ ，则(λμ=)A ．2B ．4C ．12D ．12-【解析】解：以向量a，b 的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得(1,1)a =- ，(6,2)b = ，(1,3)c =--(,)c a b R λμλμ=+∈，∴1632λμλμ-=-+⎧⎨-=+⎩，解之得2λ=-且12μ=-，因此，则4λμ=故选：B ．3．已知向量(1,1)a =-，(1,2)b =- ，则(2)(a b b += )A ．1-B ．0C ．1D ．2【解析】解： (1,1)a =-，(1,2)b =- ，222(2)22(12)(1)2651a b b a b b ∴+=+=--+-+=-+=- 故选：A ．4．在ABC ∆中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 的中点，若(4,3)PA = ，(1,5)PQ = ，则(BC = )A ．(2,7)-B ．(6,21)-C ．(2,7)-D ．(6,21)-【解析】解：(3,2)AQ PQ PA =-=-点Q 是AC 的中点∴2(6,4)AC AQ ==-(2,7)PC PA AC =+=-2BP PC = 3(6,21)BC PC ==-故选：B ．5．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则(AE BD =)A ．2-B ．6C ．2D ．6-【解析】解：根据题意，如图：以B 为坐标原点建立坐标系，BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立坐标系，则(2C ，0)(0A ，2)，(2,2)D ，则(2,1)E ，则(2,1)AE =- ，(2,2)BD =，则22(1)22AE BD =⨯+-⨯=，故选：C ．6．已知向量(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9ma nb += ，8)(m -，)n R ∈，则m n -的值为3-．【解析】解：向量(2,1)a =，(1,2)b =- ，若(9,8)ma nb +=- 可得2928m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得2m =，5n =，3m n ∴-=-．故答案为：3-．7．已知ABC ∆是边长为1的等边三角形，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则AF BC的值为18．【解析】解：以BC 所在的直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，ABC ∆ 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，1(2B ∴-，0)，1(2C ，0)，(0,0)E ，2A ，1(4D ∴-，∴(1,0)BC = ，1(4DE = ，34-，设(,)F x y ，∴(,)EF x y =，2DE EF = ，∴2DE EF = ，1(4∴，2(x =，)y ，解得18x =，38y =，∴(AF = 18，8-，∴(AF BC = 18，(1 ，10)8=，故答案为：18．题型6投影问题1．已知点(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，则向量AB 在CD方向上的投影为()A ．3152-B ．3152C ．322-D ．322【解析】解：(2,1),(5,5)AB CD ==；∴向量AB 在CD 方向上的投影为：32||cos ,2||AB CD AB AB CD CD <>==．故选：D ．2．已知ABC ∆外接圆圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+ ，且||||OA AB = ，则向量AB 在向量BC方向的投影为()A ．12B ．2C ．2D ．12-【解析】解：由2AO AB AC =+知，O 为BC 的中点，如图所示；又O 为ABC ∆外接圆的圆心，半径为1，BC ∴为直径，且2BC =，1OA AB ==，3ABC π∠=；∴向量AB 在向量BC 方向的投影为1||cos()32AB ππ-=- ．故选：D ．3．已知ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++= ，则向量CA 在向量CB方向上的投影为()A ．3B C ．3-D ．【解析】解：ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为2，且0OA AB AC ++= ，∴OB CA =，OBAC ∴为平行四边形．ABC ∆ 的外接圆的圆心为O ，半径为2，得||||||OA AB OB ==，∴四边形OBAC 是边长为2的菱形，且60ABO ACO ∠=∠=︒，因此，1302ACB ACO ∠=∠=︒，∴向量CA 在CB方向上的投影为：||cos 2cos30AC ACB ∠=︒= 故选：B ．4．已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a = ，|2|a b -= ，则向量b 在a方向上的投影等于()A ．2B ．32C ．12D ．1【解析】解： ,60a b <>=︒，||2a = ，|2|a b -= ，∴244||4||28b b +-= ，解得||3b =或2-（舍去），∴b 在a方向上的投影等于3||cos 602b ︒= ．故选：B ．5．已知向量(1,2)a = ，(,1)b m = ，且向量b 满足()3b a b ⋅+= ，则向量a在b 方向上的投影为()A B ．22C ．2D ．2或22【解析】解：向量(1,2)a =，(,1)b m = ，()3b a b ⋅+= ，可得：20m m +=，解得0m =，1m =-，当0m =时，(0,1)b =，向量a在b 方向上的投影为2||a b b ⋅= ，当1m =-时，(1,1)b =-，向量a在b 方向上的投影为2||a b b ⋅== ，故选：D ．6．向量a ，b 满足a = ，||1b = ，||a b += b 在a方向上的投影为()A ．1-B ．12-C ．12D ．1【解析】解：向量a，b 满足a = ，||1b = ，||a b += 可得2223a a b b ++= ，所以1a b =-，则b 在a方向上的投影为：1||2a b a =- ．故选：B ．7．已知向量b =，向量a在b 方向上的投影为4-，若()a b b λ+⊥ ，则实数λ的值为()A ．3B ．12C ．13D ．23【解析】解： ||2b = ，a在b 方向上的投影为4-，∴42a b =- ，8a b =-，又()a b b λ+⊥，∴2()840a b b a b b λλλ+=+=-+= ，解得12λ=．故选：B ．8．若b 为单位向量，||||a b a += ，则向量a在向量b 方向上的投影为()A ．1-B ．1C ．12D ．12-【解析】解： ||1,||||b a b a =+=，∴2212a a b a ++= ，∴12a b =-，∴a在b 方向上的投影为：12||a b b =- ．故选：D ．9．已知非零向量a ，b 满足||2a = ，|2|4a b -= ，a在b 方向上的投影为1，则(2)b a b ⋅+= 36．【解析】解：设a ，b 的夹角为θ，则a在b 方向上的投影为||cos 1||a b a b θ⋅== ，∴||a b b ⋅=，|2|4a b -= ，∴224||4||16a a b b -⋅+=，2164||||16b b ∴-+= ，解得：||4b = ，∴4a b ⋅=，∴2(2)2||43236b a b a b b ⋅+=⋅+=+=．故答案为：36．10ABC ∆中，则向量AB在向量CA方向上的投影为32．【解析】解：根据题意，||,120AB AB CA =<>=︒，∴AB 在CA 方向上的投影为：1||cos120()22AB ︒=-=-．故答案为：11．已知向量||3b = ，且6a b ⋅= ，则向量a在向量b 的方向上的投影为2．【解析】解： ||3,6b a b =⋅=，∴a在b 的方向上的投影为2||a b b ⋅= ．故答案为：2．12．若两单位向量a ，b 的夹角为3π，则向量2a b - 在a方向上的投影为32．【解析】解： ||||1,,3a b a b π==<>=，∴12a b = ，213(2)2222a b a a a b -=-=-=，∴2a b - 在a方向上的投影为：(2)3||2a b a a -= ．故答案为：32．13．已知向量a ，b 满足|||2|a b a b +=- ，其中b 是单位向量，则a在b 方向上的投影为．【解析】解： ||1b = ，|||2|a b a b +=-，∴221244a a b a a b ++=+- ，∴12a b = ，∴a在b 方向上的投影是12||a b b = ．故答案为：12．题型7垂直问题1．已知向量(1,2)a =，(,1)b m =- ，且()a a b ⊥+ ，则(m =)A ．5-B ．5C ．6D ．7【解析】解：(1,3)a b m +=- ，(1,2)a =，且()a a b ⊥+ ，∴()160a a b m +=-+=，解得7m =．故选：D ．2．已知向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y = ，若//a b ，a c ⊥，则()(b ac -= )A ．14B ．14-C ．10D ．6【解析】解：向量(1,2)a = ，(,4)b x = ，(2,)c y =，//a b，可得142x ⨯= ，解得2x =，(2,4)b = ，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．3．已知向量(1,2)a =，向量(,4)b x = ，且a b ⊥ ，则(x =)A ．6B ．2C ．6-D ．8-【解析】解： 向量(1,2)a = ，向量(,4)b x = ，且a b ⊥，∴80a b x =+=，则8x =-，故选：D ．4．已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ．若向量a b + 与a垂直，则(m =)A ．6B ．3C ．7D ．14-【解析】解：已知向量(1,2)a =- ，(,1)b m = ，若向量a b + 与a垂直，则2()5(2)0a b a a a b m +=+=+-+=，求得7m =，故选：C ．5．设x ，y R ∈，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ==-=- 且a c ⊥，//b c ，则||(a b += )A B C ．D ．10【解析】解： a c ⊥；∴240a c x =-=；2x ∴=； //b c ；420y ∴-=；2y ∴=；∴(2,1),(1,2)a b ==-；∴(1,3)a b +=；∴||10a b +=．故选：B ．6．已知两个单位向量a，b 的夹角为60︒，(1)c t a tb =-+ ，若0b c = ，则t =1-．【解析】解： 两个单位向量a，b 的夹角为60︒，∴111cos 602a b =⨯⨯︒=．(1)c t a tb =-+ ，0b c =，∴20(1)b c t a b tb ==-+ ，10(1)2t t ∴=-+，解得1t =-，故答案为：1-．第2讲平面向量基本定理及三点共线定理一．选择题（共4小题）1．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则x y +的最小值为()A ．2B ．13C ．43D ．34【解析】解：根据条件：1AC AN y= ，1AB AM x =；又1133AG AB AC =+ ；∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点共线；∴11133y x+=；0x > ，0y >；111124()()23333333333x y x y x y x y x y y x y x ∴+=++=++++= ；x y +的最小值为43．当且仅当23x y ==．故选：C ．2．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM xAB =，AN y AC =，则2x y +的最小值为()A ．2B ．13C ．3223+D ．34【解析】解：M ，N ，G 三点共线，∴MG GN λ= ，∴()AG AM AN AG λ-=- ， 点G 是ABC ∆的重心，∴1()3AG AB AC =+ ，∴11()(())33AB AC x AB y AC AB AC λ+-=-+，∴11331133x y λλλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得，(31)(31)1x y --=；结合图象可知112x ，112y ；令31x m -=，31y n -=，1(22m ，12)2n ；故1mn =，13m x +=，13ny +=；故112233m n x y +++=+⨯211221333m n =+++ ，（当且仅当233m n=，即2m =，22n =时，等号成立），故2x y +的最小值为132222133++= ；故选：C ．3．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过点G 作直线分别与AB ，AC 两边交于M ，N 两点（点N 与点C 不重合），设AB xAM = ，AC y AN = ，则111x y +-的最小值为()A ．2B ．12+C ．32D ．22+【解析】解：G 为ABC ∆的重心，∴21()32AG AB AC =⨯+ 1()3xAM y AN =+又G 在线段MN 上，∴11133x y +=3x y ∴+=(1)2x y ∴+-=∴11111[(1)]()121x y x y x y +=+-+--11(11)21x y y x-=+++-1(22)22+= 故选：A ．4．已知G 是三角形ABC 的重心，过G 的直线分别交直线AB ，AC 于M ，N 两点，AB mAM = ，AC nAN =，(m ，n 都是正数），12m n+的最小值是()A ．2B ．3C ．1D ．2213+【解析】解：如图所示，设D 是BC 的中点．M ，N ，G 三点共线，∴存在实数λ使得(1)AG AM AN λλ=+-， AB mAM = ，AC nAN =，(m ，n 都是正数），∴1AG AB AC m n λλ-=+，G 是三角形ABC 的重心，∴22111()33233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+．∴13113m nλλ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，化为3m n +=．又m ，n 为正数，∴1211212122()()(3)(313333n m m n m n m n m n +=++=+++=+，当且仅当1)n ==时取等号．∴12m n +的最小值是2213+．故选：D ．二．填空题（共5小题）5．如图，在ABC ∆中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM AB λ= ，(0,0)AN AC μλμ=>>，则3λμ+的最小值是3．【解析】解： 若AM AB λ= ，(0,0)AN AC μλμ=>>，∴(1)MB MD DB AB λ=+=- ，M ，D ，N 三点共线，∴存在实数k ，使()MD kMN k AN AM k AB k AC λμ==-=-+． 111444DB CB AB AC ==- ，11()((1)44k AB k AC AB λμλ∴-+-=-，∴114k λλ-=-，104k μ-=，43λμλ∴=-，3343λλμλλ+=+-．设3()43f λλλλ=+-，0λ>，则29()1(43)f λλ-'=+-，令()0f λ'=得，0λ=，或32λ=．在3(0,)2上，()0f λ'<；在(32，)+∞时，()0f λ'>；32λ∴=时，()f λ取极小值，也是最小值；()f λ∴的最小值为3，即3λμ+的最小值是3，故答案为：3．6．在ABC ∆中，M ，N 分别在AB ，BC 上，且2AM MB = ，3BN NC =，AN 交CM 于点P ，若BP xPA yBC =+ ，则x =18，y =．【解析】解：如图：过点M 作//MD BC 交AN 于D ； 2AM MB = ，3BN NC = ，2AD DN ∴=；2DP PN =；18NP AP ∴=∴3148BP BN NP BC PA =+=+ ；BP xPA yBC =+ ，18x ∴=，34y =．故答案为：18，34．7．如图所示，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，则xyx y+的值为13．【解析】解：根据题意G 为三角形的重心，∴1()3AG AB AC =+ ，111()()333MG AG AM AB AC x AB x AB AC =-=+-=-+ ，111()()333GN AN AG y AC AG y AC AB AC y AC AB =-=-=-+=-- ，由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ= ，即1111()[(]3333x AB AC y AC AB λ-+=--，∴113311()33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消去λ得30x y xy +-=，3x y xy ∴+=，即13xy x y =+．8．已知点G 为ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且,AM xAB AN y AC ==，x ，y R +∈，则x y +的最小值为43．【解析】解：M ，G ，N 三点共线，∴存在m ，使(1)(1)AG mAM m AN mxAB m y AC =+-=+-，又G 是ABC ∆的重心，∴1()(1)3AG AB AC mx AB m y AC =+=+- ，13mx ∴=，1(1)3m y -=，∴11133x y +=，即113x y+=．111114()()(2)(23333y x x y x y x y x y ∴+=++=+++= ，当且仅当23x y ==时取等号．故答案为：43．9．点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM xAB = ，AN y AC =．若12x =，则y =1，若23AMN ABC S S ∆∆=，则x y +=．【解析】解：根据条件：1AC AN y = ，1AB AM x=；又1133AG AB AC =+ ；∴1133AG AM AN x y=+；又M ，G ，N 三点共线；∴11133x y+=；12x =，1y ∴=； 23AMN ABC S S ∆∆=，∴1sin 2213sin 2AM AN MANAM AN xy AB AC AB AC BAC ∠===∠ ，又113x y +=，即3x y xy+=，2x y ∴+=．故答案为：1，2．三．解答题（共3小题）10．已知点G 为ABC ∆的重心，过点G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM xAB AN y AC == ，求11x y+的值．【解析】解：根据题意G 为三角形的重心，1()3AG AB AC =+ ，111()()333MG AG AM AB AC x AB x AB AC =-=+-=-+ ，GN AN AG y AC AG=-=-1()3y AC AB AC =-+ 11(33y AC AB =--，由于MG 与GN 共线，根据共线向量基本定理知，存在实数λ，使得MG GN λ= ，即1111()[()]3333x AB AC y AC AB λ-+=--，即113311(33x y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴11331133xy -=--即30x y xy +-=两边同除以xy 整理得113x y+=．11．若点M 是ABC ∆所在平面内一点，且满足：3144AM AB AC =+．（1）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比．（2）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO xBM yBN =+，求x ，y 的值．【解析】解（1）由3144AM AB AC =+，根据三点共线的性质，31144+=，且AB 与AC 不共线，可知M 、B 、C 三点共线．如图令1()(1)4BM BC AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλλλ=⇒=+=+=+-=-+⇒= ，∴14ABM ABC S S ∆∆=，即面积之比为1:4．（2）由2y BO xBM yBN BO xBM BA =+⇒=+，4x BO BC yBN =+ ，由O 、M 、A 三点共线及O 、N 、C 三点共线41726147y x x x y y ⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩12．在ABC ∆中，3144AM AB AC=+（Ⅰ）求ABM ∆与ABC ∆的面积之比（Ⅱ）若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点P 且(,)AP xAB y AC x y R =+∈，求x y +的值．【解析】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，3144AM AB AC =+⇒4303()AM AB AC AM AB AC AM--=⇒-=- 3BM MC ⇒=，即点M 在线段BC 上的靠近B 的四等分点，ABM ∴∆与ABC ∆的面积之比为14．（Ⅱ） 3144AM AB AC =+ ，(,)AP xAB y AC x y R =+∈，//AP AM ，∴设334424AP AM AB AC AN AC λλλλλ==+=+ ；三点N 、P 、C 共线，∴341,247λλλ+==解得，3311,4747x y λλ====，47x y +=．第3讲平面向量中的范围、最值问题一．选择题（共17小题）1．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，3OD =，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于()A ．14B ．43C ．13D ．1【解析】解：以O 为原点，以OD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设点(,)P x y ， OP OC OD αβ=+，则(x ，)(0y α=，1)(3β+，0)(3β=，)α．所以，3x y βα=⎧⎨=⎩13x y αβ+=+．由于点P 在BCD ∆内（包含边界），目标函数为13x y αβ+=+，如图所示，当点P 为点(1,1)B 时，13x y αβ+=+取得最大值，其最大值为14133+=，故选：B ．2．已知1,||,||AB AC AB AC t t ⊥== ，若P 点是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB ACAP AB AC =+，则PB PC ⋅ 的最大值等于()A ．13B ．15C ．19D ．21【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(B t，0)，(0,)C t ，4||||AB ACAP AB AC =+，(1,4)P ∴，∴1(1PB t=- ，4)-，(1,4)PC t =-- ，∴11(1)4(4)17(4PB PC t t t t ⋅=----=-+ ，由基本不等式可得144t t += ，117(4)17413t t ∴-+-= ，当且仅当14t t =即12t =时取等号，∴PB PC ⋅的最大值为13，故选：A ．3．已知AB AC ⊥ ，1||AB t = ，||AC t = ，1[4t ∈，4]；若P 是ABC ∆所在平面内一点，且4||||AB AC AP AB AC =+，则PB PC的取值范围是()A ．[13，17]B ．[12，13]C ．3[4，12]D ．3[4，13]【解析】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得(0,0)A ，1(B t，0)，(0,)C t ，4(1||||AB ACAP AB AC =+=，0)(0+，4)(1=，4)，(1,4)P ∴，∴1(1PB t =- ，4)-，(1,4)PC t =-- ，∴11(1)4(4)17(4)1713PB PC t t t t =----=-+-= ，当且仅当14t t =，即11[24t =∈，4]，时，取等号，由4t =可得1317(1644-+=，由14t =可得17(14)12-+=，∴PB PC 的最大值为13，最小值为34．则PB PC 的范围是3[4，13]．故选：D ．4．已知a，b 是平面内互不相等的两个非零向量，且||1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则||b 的取值范围是()A ．(0B ．[1C ．(0，2]D ．2]【解析】解：如图所示，设OA a = ，OB b = ，则BA OA OB a b =-=-．由于||1a =，a b - 与b 的夹角为150︒，可得OAB ∆中，1OA =，30OBA ∠=︒．由正弦定理可得：OAB ∆的外接圆的半径1r =．则点B 为圆上的动点．由图可令(1cos ,sin )b OB θθ==+，则||b ==．∴||(0,2]b ∈．故选：C ．5．设向量α，β 的夹角θ定义：||||sin αβαβθ⨯= 若平面内互不相等的两个非零向量a ，b满足：||1a = ，()a b - 与b 的夹角为150︒，a b ⨯的最大值为()A ．2BC ．D 【解析】解：设a OA =，b OB = ，则BA a b =- ，||1a = ，a b - 与b的夹角为150︒，OAB ∴∆中，1OA =，30OBA ∠=︒，由正弦定理可得：OAB ∆的半径为1，则B 点为圆上与OA 不重合的动点，设(0150)AOB θθ∠=︒<<︒，由正弦定理可得，2sin AB θ=，2sin(150)OB θ=︒-，则sin 2sin30OAB a b OA OB S AB OB θ∆⨯===︒2sin sin(150)[cos150cos(2150)]θθθ=︒-=-︒--︒cos(2150)2θ=+-︒，当75θ=︒时，a b ⨯取得最大值，且为1+故选：C ．6．已知平面内互不相等的非零向量a，b 满足||1a = ，a b - 与b 的夹角为150︒，则a b 的最大值为()A ．2BC ．32D ．32【解析】解：如图所示，设OA a = ，OB b =．则BA OA OB a b =-=- ．||1a =，a b - 与b 的夹角为150︒，OAB ∴∆中，1OA =，18015030OBA ∠=︒-︒=︒．由正弦定理可得：OAB ∆的外接圆的半径1r =．则点B 为圆上与A 点重合的动点．由图可令：1(,2a OA ==，(1cos ,sin )b OB θθ==+ ．∴11313cos sin()222622a b πθθθ=+-=--+ ，当sin(16πθ-=-时取等号．∴a b 的最大值为32．故选：C ．7．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA = ，||1OB = ，OP tOA = ，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取最小值，当0104t <<时，cos θ的取值范围为()A ．1(2-，0)B ．1(2-，14-C ．1(4，1)D ．1(2-，1)4【解析】解：由题意得：21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-=-- ，∴22222(1)2(1)PQ t OB t OA t t OA OB=-+-- 222(1)44(1)cos (54cos )(24cos )1t t t t t t θθθ=-+--=++--+，由二次函数知，当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，0104t <<，12cos 1054cos 4θθ+∴<<+，解得11cos 24θ-<<．cos θ∴的取值范围为11(,)24-．故选：D ．8．已知向量OA 与OB 的夹角为θ，||2OA = ，||1OB = ，OP tOA = ，(1)OQ t OB =-，||PQ 在0t 时取得最小值．当0105t <<时，夹角θ的取值范围为()A ．(0,)3πB ．(3π，)2πC ．(2π，2)3πD ．2(0,3π【解析】解：由题意可得21cos 2cos OA OB θθ=⨯⨯=，(1)PQ OQ OP t OB tOA =-==-- ，∴2222222(1)2(1)(1)44(1)cos PQ t OB t OA t t OA OB t t t t θ=-+--=-+-- 2(54cos )(24cos )1t t θθ=++--+，由二次函数知，当上式取最小值时，012cos 54cos t θθ+=+，由题意可得12cos 1054cos 5θθ+<<+，求得1cos 02θ-<<，∴223ππθ<<，故选：C ．9．设向量1e 、2e 满足：12||2,||1e e == ，1e ，2e 的夹角是90︒，若1227te e + 与12e te +的夹角为钝角，则t 的取值范围是()A ．(,0)-∞B ．1414(,(22-∞-C ．(,)2-∞-D ．(2-【解析】解： 向量1e 、2e 满足：12||2,||1e e == ，1e ，2e 的夹角是90︒，∴120e e =．若1227te e + 与12e te +的夹角为钝角，则1212(27)()0te e e te ++< ，且12(27)te e + 与12()e te +不共线，即22122070te te ++< ，且271t t≠，即870t t +<，且t ≠．求得0t <，142t ≠±，即(t ∈-∞，1414)(22--⋃，0)，故选：B ．10．在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,2,3)OA = ，(2,1,2)OB = ，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB取得最小值时，点Q 的坐标为()A ．131(,,)243B ．133(,,)224C ．448(,,)333D ．447(,,333【解析】解： 点Q 在直线OP 上运动，∴存在实数λ使得(OQ OP λλ==，λ，2)λ，∴(1,2,32)QA λλλ=--- ，(2,1,22)QB λλλ=---．∴(1)(2)(2)(1)(32)(22)QA QB λλλλλλ=--+--+--22498616106()33λλλ=-+=--，当且仅当43λ=时，上式取得最小值，448(,,333Q ∴．故选：C ．11．已知Rt AOB ∆的面积为1，O 为直角顶点，设向量||OA a OA ==，||OB b OB =，2OP a b =+ ，则PA PB 的最大值为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设(,0)A m ，(0,)B n ，则(1,0)a =，(0,1)b = ，2(1,2)OP a b =+=，(1,2)PA m =-- ，(1,2)PB n =-- ，Rt AOB ∆的面积为1，即有2mn =，则12(2)PA PB m n =---5(2)55221m n =-+-=-⨯= ．当且仅当22m n ==时，取得最大值1．故选：A ．12．已知向量a ，b 均为单位问量，且12a b = ．向量a c - 与向量b c - 的夹角为6π，则||a c - 的最大值为()A ．32B ．1C ．233D ．2【解析】解： 由12a b = ，向量a ，b 为单位向量，可得a ，b的夹角为60︒．设OA a = ，OB b = ，OC c = ．由向量12a b = ，向量a ，b 均为单位问量11cos a ∴⨯⨯<，12b >= ，∴a <，3b π>= ．设OA a = ，OB b = ，OC c = ． 向量c 满足a c -与b c - 的夹角为6π，6ACB π∴∠=．由等边三角形OAB ，点C 在AB 外且ACB ∠为定值，可得C 的轨迹是两段圆弧，ACB ∠是AB 所对的圆周角．可知：当AC 时是弧 AB 所在圆（上述圆弧）的直径时，||a c -取得最大值||AC ，在ABC ∆中，由正弦定理可得：2sin 30ABAC ==︒．|∴，||a c -取得最大值||AC 取得最大值是2．故选：D ．13．已知平面向量(1,2)a = ，(2,1)b = ，(,)c x y =，满足0x ，0y ．若1a c ⋅ ，1b c ⋅ ，()z a b c=-+⋅ 则()A ．z 有最大值2-B ．z 有最小值2-C ．z 有最大值3-D ．z 有最小值3-【解析】解： 21a c x y ⋅=+21b c x y ⋅=+332x y ∴+ ()(33)3()2Z a b c x y x y =-+⋅=-+=-+-Z ∴的最大值为2-故选：A ．14．已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0c a c b --= ，则||c 的最大值是()A ．1B ．2C ．D【解析】解：由题意可得0a b =，可得||a b +== 2()()()c a c b c a b c a b --=+-+ 2||||||cos (c c a b a b =-+<+ ，0c >=，即为||c a b =<+ ，c > ，当cos a b <+ ，1c >= 即a b + ，c同向时，||c故选：C ．15．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量b = 1)-则|2|a b - 的最大值，最小值分别是()A ．0B ．4，C ．16，0D ．4，0【解析】解：2(2cos a b θ-=-，2sin 1)θ+，|2|a b -===4，最小值为0．故选：D ．16．已知,a b是单位向量，0a b = ，若向量c 满足||1c a b -+= ，则|||c b - 的取值范围是()A ．1]-B ．1]+C ．[0，2]D ．1]-+【解析】解：由,a b是单位向量，且0a b = ，则可设(1,0)a = ，(0,1)b = ，(,)c x y = ；向量c满足||1c a b -+= ，|(1,1)|1x y ∴-+=，∴1=，即22(1)(1)1x y -++=，它表示圆心为(1,1)C -，半径为1r =的圆；又|||(c b x -=，1)|y -=C 上的点到点(0,1)B 的距离，如图所示：且||BC =，∴1||1PB - ；即||c b -的取值范围是1-1]+．故选：D．17．设1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈，若1e ，2e 的夹角为6π，则||||b x的最小值为()A ．14B ．12C ．1D ．4【解析】解： 1e ，2e 为单位向量，非零向量12b xe ye =+ ，x ，y R ∈，若1e ，2e 的夹角为6π，∴12123||||cos 62e e e e π==，则22221212||()2b xe ye x y xye e =+=++=，则||1||2b x ==== ，当且仅当y x =故选：B ．二．填空题（共7小题）18．在边长为2的等边三角形ABC 中，D 是AB 的中点，E 为线段AC 上一动点，则EB ED的取值范围为23[16，3]．【解析】解：由题意可得AE 和AB 的夹角为60︒，设||AE x =，[0x ∈，2]，22()()212cos60cos60EB ED AB AE AD AE AB AD AB AE AD AE AE x x x=--=--+=⨯-︒-︒+ 2233232()2416x x x =-+=-+，故当34x =时，EB ED 取得最小值为2316，当2x =时，EB ED 取得最大值为3，故EB ED 的取值范围为23[,3]16，19．已知向量,,a b c满足||6,||a b == ，a 与b 的夹角为4π，()()4c a c b --=- ，则||c a - 的最小值为1-．【解析】解：由向量||6a = ，||b = ，a与b 的夹角为4π，可设(6,0)OA a == ，4OB b π== ，(24π=，2)，(,)OC c x y == ，由()()4c a c b --=-，得(6)(2)(2)4x x y y --+-=-；化为22(4)(1)1x y -+-=，所以点C 在以(4,1)M 为圆心，以1为半径的圆的上；且||c a -=表示圆上的点到点(6,0)A 的距离，。
高中数学平面向量基本定理题库
高中数学平面向量基本定理题库1. 向量的概念与运算(a) 请简述向量的定义，并说明向量与有向线段的关系。
(b) 如何表示向量的模、方向和共线性？(c) 证明向量加法满足交换律和结合律。
(d) 向量的数量积和叉积分别是什么，它们有什么特点？2. 平面向量基本定理(a) 什么是平面向量基本定理？请写出其几何解释。
(b) 根据平面向量基本定理，如果向量a和向量b的数量积为0，能得出什么结论？(c) 证明平面向量基本定理对应的数学表达式。
3. 平面向量基本定理的应用(a) 判断以下向量是否共线：向量m = (2, -3)和向量n = (-4, 6)。
(b) 若向量a = (3, -2)和向量b = (k, 4)共线，求k的值。
(c) 若向量a = (4, -3, 5)和向量b = (2k, -k, 10)共线，求k的值。
4. 平行四边形的性质(a) 平行四边形的定义和性质是什么？(b) 若平行四边形ABCD中，向量AB = (3, 5)和向量AD = (1, 2)，求向量AC和向量BC。
(c) 若平行四边形ABCD中，向量AB = (2, 1)和向量BC = (4, k)，求k的值。
5. 三角形的面积与向量表示(a) 利用向量求证：三角形的面积公式。
(b) 已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(2, 1)，B(-1, 3)和C(3, -2)，求三角形ABC的面积。
(c) 设三角形ABC的顶点坐标分别为A(1, k)，B(3, 4)和C(5, -2)，若三角形ABC的面积为6平方单位，求k的值。
6. 向量垂直与平行的判定(a) 如何判断两个向量垂直？(b) 如何判断两个向量平行？(c) 证明向量的数量积性质：若向量a与向量b垂直，且向量b与向量c平行，则向量a与向量c垂直。
7. 向量投影与向量夹角(a) 定义向量的投影是什么？(b) 如何计算向量在另一个向量上的投影？(c) 定义向量的夹角是什么？(d) 利用向量的数量积计算夹角的公式是什么？总结：以上是高中数学平面向量基本定理题库的内容。
平面向量基本定理基础训练题(含详解)
平面向・根本定理根底练习题〔含详解〕一、单项选择题1.在A A 8c 中,E 是AC 的中点,BC = 3BF ＞假设而=工,衣=B ,那么丽=〔3.A,8, C 三点不共线,且点.满足OU .月+3=6,那么以下结论正确的选项是〔4 .在△A8C 中,E 为AC 上一点,AC = 3AE^ P 为BE 上任一点、,假设一 一 一 3 1AP = mAB + nAC(m > 0,〃 > 0),那么—+ -的最小值是 ni nB. 10 D. 12 5 .在等腰梯形A8CD 中,AB//DC , AB = 2DC. E 为BC 的中点,那么〔〕 6 .在平行四边形A5CD 中,假设右后=4瓦,那么诟=〔〕学校;姓名: 班级: 考号:C. 1 - 1 rD. —a ——b 3 32・如图,方=[,AC = b^ Bl5 = 3DC ,用£、办表示那么45等于〔 A.B. 1 - > rC. —a + —h 4 4D. 3 - 1 r — a + — b 4 4 1 - 31 — a +—b 4 4 一 1 ____ ? ____ A. OA = -AB + -BC一 ? 一 1 ________ B. OA = -AB + -BC 3 3—1 —,2 — C. OA = — AB — BCD. OA = --AB--BC A. 9C. 11 T 3 T 1 一 A. AE = -AB+-AD 4 2 — 1 T 1 一 C. AE = -AB+-AD 4 2 T 3 T 1 T B. AE =」A8+ — A . 2 2 T 3 T 1TD. — 4 43 6 4B. -AB-ADC. -AB + -AD 5 5 二、填空题7 .在正方形48CQ 中,M,N 分别是的中点,假设/=幺而+以丽,那么实 数九〞 =.8 .△A8C,假设点D 满足'万,且丽=23(4eR),那么2 =.A. —AB + AD 5 D. —AB + AD 4参考答案1. A【解析】【分析】根据向量的运算法那么计算得到答案.【详解】正皮+入汐毛衣+|〔金衣〕=1通-次亨力应选：A.【点睛】此题考查了向量的根本定理,意在考查学生的计算水平和转化水平.2. D【解析】分析：用向量的加法法那么表示出Afi,再由数乘与减法运算可得.详解：由题意__ ____ ____ 3 ___ 3 __ ___ 3 _ ] _ 3 _AD = AB + BD = a + — BC =d +二〔AC — A8〕=a + —〔b -ci〕 = —a + — h ♦4 4 4 4 4应选D.点睛：此题考查平面向量根本定理,考查平面向量的线性运算,解题时抓住向量线性运算的运算法那么〔加法、减法、数乘等〕就可以把任一向量用基底表示出来.3.D【解析】【分析】由3A +砺+ 0心=6可知,所以.为AABC的重心,运用向量的加法运算,T 2 1T -= 一一x —〔A8+ AC〕,整理后可求结果.3 2【详解】由于.4+oQ+od =〔i,所以.为AABC的重心,T 7 1 -> -> 1T T 1 2Tl 7所以QA = ——x — (A8+ AC) = 一一( A8+ AC) = 一一( A8+ AB+ 8C)= —二48 一一3c.3 2 3 3 3 3应选:D.【点睛】此题考查了向量加法的运算,考查了向量的线性表示,考查了平面向量的根本定理,属于根底题.4. D【解析】【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定〃?,〃的关系,然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：AP = mAB + nAC = mAB + 3nAE^A,8,E三点共线,那么：〃? + 3〃 = l,据此有：3 1 (3 1 Y 、9n m 回~nt — + —= — + — (〃? + 3〃) = 6 + — + —>6 + 2—x—= 12, m n \ m n J m n V in n当且仅当m =1,〃 =,时等号成立.2 63 1综上可得：二十一的最小值是12.m n此题选择O选项.【点睛】此题主要考查三点共线的充分必要条件,均值不等式求最值的方法等知识,意在考查学生的转化水平和计算求解水平.5. A【解析】【分析】根据题意,选基底荒,行表示向量/即可求解.【详解】由等腰梯形A3CQ中,AB = 2DC , E为8c的中点可知,AE = AB+BE(X)AE = AD+DC+CE = AD^-AB + CE®2T T 3 T ①+②得：2AE = AO+二A8,2T 3 T 1 一即AE = -AB+-AD.4 2应选：A【点睛】此题主要考查了向量的加法,向量的基底,属于容易题.6. A【解析】【分析】由在=4瓦,得在=：也,在△8EC中,利用向量加法可得.【详解】vCE = 4EZ),.-.CE = -CD,।・・・・・—।।।・... BE = BC + CE = AD + — CD = —— AB + AD5 5应选:A.【点睛】此题考查平面向量的线性运算.用向量表示某一向量的两个关键点：⑴用向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.⑵要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.47.-3【解析】【分析】由题意结合平面向量线性运算法那么可得=2 _ __ .// + — AD = AB + AD ,由2)2+2=1平而向量根本定理可得J ,即可得解.〃十丁1【详解】由题意画出图形,如下图：.4 ____________________ BD N C由题意可得衣=夭宿+ 4 病=人〔而+ 两〕 + 〃〔而+ 7= /i〔A8 + ； 8c〕 + 〃〔AO + goC〕= 4〔45 + ；4O〕+ 4W〕AD+^AB\ +外荏+ 〔〃 +.酝X +幺=1又就=丽+莅,所以J 1 ,k=l3 4从而二〔2 + 〃〕= 2,即2 + 〃 =不.4 故答案为：y.【点睛】此题考查了平而向量线性运算法那么、平而向量根本定理的应用根底题.I8.—3,考查了运算求解水平,属于【解析】【分析】根据题意,利用平而向量的根本定理,化简即可得到结论. 【详解】由而可得4而=3而+ /,4所以,3AD + AD = 3AB + AC^即3〔而-而〕=正-所以,3前=灰,故= .3故答案为：一1.3【点睛】此题考查平面向量的根本定理,属于根底题.。
平面向量基本定理
课时跟踪检测（十九） 平面向量基本定理层级一 学业水平达标1．已知▱ABCD 中，∠DAB ＝60°，则AD ―→与CD ―→的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选C 如图，AD ―→与CD ―→的夹角为∠ABC ＝120°.2．若向量e 1，e 2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )A ．e 1－e 2，e 2－e 1B ．e 1－e 2，e 1＋e 2C ．2e 2－e 1，－2e 2＋e 1D ．2e 1＋e 2,4e 1＋2e 2解析：选B 不共线的向量能作为基底，因为e 1－e 2＝－(e 2－e 1)，所以向量e 1－e 2，e 2－e 1共线，排除A ；因为2e 2－e 1＝－(－2e 2＋e 1)，所以2e 2－e 1，－2e 2＋e 1共线，排除C ；因为2e 1＋e 2＝12(4e 1＋2e 2)，所以2e 1＋e 2,4e 1＋2e 2共线，排除D ，故选B.3．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12AB ，则AB ―→与BC ―→的夹角是( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C如图，作向量AD ―→＝BC ―→，则∠BAD 是AB ―→与BC ―→的夹角，在△ABC 中，因为∠C ＝90°，BC ＝12AB ，所以∠BAC ＝30°，所以∠BAD ＝120°.4.如图所示，|OA ―→|＝|OB ―→|＝1，|OC |＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，设OC ―→＝x OA ―→＋y OB ―→，则( )A ．x ＝－2，y ＝－1B ．x ＝－2，y ＝1C ．x ＝2，y ＝－1D ．x ＝2，y ＝1解析：选B 过点C 作CD ∥OB 交AO 的延长线于点D ，连接BC (图略)．由|OB ―→|＝1，|OC ―→|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥OC ，知∠COD ＝30°.在Rt △OCD 中，可得OD ＝2CD ＝2，则OC ―→＝OD ―→＋OB ―→＝－2OA ―→＋OB ―→.5．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( ) A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：选A 由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→. 6.如图，在△MAB 中，C 是边AB 上的一点，且AC ＝5CB ，设MA ―→＝a ，MB ―→＝b ，则MC ―→＝________(用a ，b 表示)．解析：MC ―→＝MA ―→＋AC ―→＝MA ―→＋56AB ―→＝MA ―→＋56(MB ―→－MA ―→)＝16MA ―→＋56MB ―→＝16a ＋56b .答案：16a ＋56b7．向量a 在基底{e 1，e 2}下可以表示为a ＝2e 1＋3e 2，若a 在基底{e 1＋e 2，e 1－e 2}下可表示为a ＝λ(e 1＋e 2)＋μ(e 1－e 2)，则λ＝________，μ＝________.解析：由条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝2，λ－μ＝3，解得⎩⎨⎧λ＝52，μ＝－12.答案：52 －128．已知O 为△ABC 内一点，且OB ―→＋OC ―→＝2AO ―→，且λAD ―→＝AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则实数λ的值为________．解析：设点E 为边BC 的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意，得AO ―→＝OE ―→，所以AO―→＝12AE ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋λ4AD ―→，因此若B ，O ，D 三点共线，则14＋λ4＝1，即λ＝3. 答案：39.如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ―→＝13BC ―→，CN ―→＝13CA ―→，AP ―→＝13AB ―→，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，试用a ，b 将MN ―→，NP ―→，PM ―→表示出来．解：NP ―→＝AP ―→－AN ―→＝13AB ―→－23AC ―→＝13a －23b ，MN ―→＝CN ―→－CM ―→＝－13AC ―→－23CB ―→＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，PM ―→＝－MP ―→＝－(MN ―→＋NP ―→)＝13(a ＋b )．10.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于O 点，线段OD 上有点M 满足DO ―→＝3DM ―→，线段CO 上有点N 满足OC ―→＝λON ―→(λ>0)，设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，已知MN ―→＝μa －16b ，试求实数λ，μ的值．解：依题意得BD ―→＝b －a ，AC ―→＝a ＋b ， 且DM ―→＝16DB ―→＝16(a －b )＝16a －16b ，AN ―→＝AO ―→＋ON ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋12λAC ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋12λ(a ＋b )， ∴AM ―→＝AD ―→＋DM ―→＝b ＋⎝⎛⎭⎫16a －16b ＝16a ＋56b ， AN ―→＝AM ―→＋MN ―→＝16a ＋56b ＋⎝⎛⎭⎫μa －16b ＝ ⎝⎛⎭⎫16＋μa ＋23b ，即AN ―→＝⎝⎛⎭⎫12＋12λ(a ＋b )＝⎝⎛⎭⎫16＋μa ＋23b ， 由平面向量基本定理，得⎩⎨⎧12＋12λ＝23，12＋12λ＝16＋μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ―→＝2DC ―→，设AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则AD ―→可用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b ) 解析：选C ∵BD ―→＝2DC ―→，∴BD ―→＝23BC ―→.∴AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→＝13a ＋23b .2．设点D 为△ABC 中BC 边上的中点，O 为AD 边上靠近点A 的三等分点，则( ) A ．BO ―→＝－16AB ―→＋12AC ―→B ．BO ―→＝16AB ―→－12AC ―→C ．BO ―→＝56AB ―→－16AC ―→D ．BO ―→＝－56AB ―→＋16AC ―→解析：选D 依题意，得BO ―→＝AO ―→－AB ―→＝13AD ―→－AB ―→＝13×12(AB ―→＋AC ―→)－AB ―→＝－56AB ―→＋16AC ―→.故选D.3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ―→＝a ，BD ―→＝b ，则AF ―→＝( )A.14a ＋12bB.12a ＋14b C.23a ＋13b D.13a ＋23b 解析：选C 如图，∵AC ―→＝a ，BD ―→＝b ， ∴AD ―→＝AO ―→＋OD ―→＝12AC ―→＋12BD ―→＝12a ＋12b .∵E 是OD 的中点， ∴|DE ||EB |＝13，∴|DF |＝13|AB |. ∴DF ―→＝13AB ―→＝13(OB ―→－OA ―→)＝13×⎣⎡⎦⎤－12 BD ―→－⎝⎛⎭⎫－12 AC ―→＝16AC ―→－16BD ―→＝16a －16b ，∴AF ―→＝AD ―→＋DF ―→＝12a ＋12b ＋16a －16b ＝23a ＋13b ，故选C.4.如图，平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O,7AE ―→＝5AB ―→，AD ―→＝4AF ―→，EF 交AC 于点K ，AK ―→＝λOA ―→，则实数λ的值为( )A ．－1027B ．－13C.1027D.13解析：选A 因为AK ―→＝λOA ―→＝－λAO ―→＝－λ2(AB ―→＋AD ―→)，所以AK ―→＝－λ2⎝⎛⎭⎫75 AE ―→＋2AF ―→ .又E ，F ，K 三点共线，所以－λ2⎝⎛⎭⎫75＋4＝1，解得λ＝－1027. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .－ 答案：23 －136．若a ≠0，b ≠0，|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为________． 解析：如图，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则BA ―→＝a －b .以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB .∵|a |＝|b |＝|a －b |，∴∠BOA ＝60°，四边形OACB 为菱形．又OC ―→＝a ＋b ，且在菱形OACB 中，对角线OC 平分∠BOA ，∴a 与a ＋b 的夹角为30°.答案：30°7．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式；(3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)， 则3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3,1.8．若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足：AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→.(1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O ，设BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→，求x ，y 的值． 解：(1)如图，由AM ―→＝34AB ―→＋14AC ―→可知M ，B ，C 三点共线，令BM ―→＝λBC ―→⇒AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→⇒λ＝14，所以S △ABM S △ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)由BO ―→＝xBM ―→＋y BN ―→⇒BO ―→＝xBM ―→＋y 2BA ―→，BO ―→＝x 4BC ―→＋y BN ―→，由O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.。
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平面向量基本定理及坐标表示强化训练
姓名__________
一、选择题
1．下列向量给中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 （ ） A ．e 1=(0,0), e 2 =(1,－2) ; B ．e 1=(-1,2),e 2 =(5,7); C ．e 1=(3,5),e 2 =(6,10); D ．e 1=(2,-3) ,e 2 =)4
3,21(- 2. 若AB =3a, CD =－5a ,且||||AD BC =,则四边形ABCD 是 （ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．等腰梯形 D ．不等腰梯形
3. 在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →
=2DB →, CD →
=13CA →+λCB →
,则λ 等于（）
A. 23
B. 13
C. 13-
D. 2
3-
4．已知向量a 、b ，且AB =a +2b ,BC = -5a +6b ,CD =7a -2b ,则一定共线的三点是 （ ） A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D
5．如果e 1、 e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有 （ ）①λe 1＋μe 2(λ, μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a ,使a =λe 1＋μe 2的λ, μ有无数多对；
③若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数k ,使λ2e 1+μ2e 2=k (λ1e 1+μ1e 2)； ④若实数λ, μ使λe 1＋μe 2=0，则λ=μ=0.
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．仅②
6．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11
x y
+的值
为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
7．若向量a =(1,1),b =（1,-1) ,c =(-2,4) ,则c = ( ) A ．-a +3b B ．3a -b C ．a -3b D ．-3a +b
二、填空题
8．作用于原点的两力F 1 =(1,1) ,F 2 =(2,3) ,为使得它们平衡，需加力F 3= ; 9．若A (2,3)，B (x , 4),C (3,y ),且AB =2AC ,则x = ，y = ; 10．已知A (2,3),B (1,4)且
1
2
AB =(sin α,cos β), α,β∈(-2π,2π),则α+β=
*11．已知
a =(1,2) ,
b =(-3,2),若k a +b 与a -3b 平行，则实数k 的值为
12.在△A BC,M 、N 、P 分别是AB 、BC 、CA 边上的靠近A 、B 、C 的三等分点,O 是△A BC 平面上的任意一点,若OA OB OC ++=11
3
e -212e ,则OP ON OM ++=________.
三、解答题
13．如果向量AB =i -2j ,BC =i +m j ,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线。
14.已知△A BC 的重心为G,O 为坐标原点,OA a =,OB b =,OC c =,求证: 1
()3
OG a b c =++
15．设21,e e 是两不共线的向量，已知2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=， ①若C B A ,, 三点共线，求k 的值， ②若A ，B ，D 三点共线，求k 的值．
16．已知e 、f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝-4e-f ， CD →
＝－5e-3f. 将AD →
用e 、f 表示； (2)证明：四边形ABCD 为梯形
*17．已知
A (2,3)、
B (5,4)、
C (7,10)，若()AP AB AC R λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在第三象限内？。