《试卷3份集锦》甘肃省庆阳市2020高一数学下学期期末教学质量检测试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若4c =，4a =，45A =︒，则sin C 等于（ ） A ．12B ．22C ．14D ．242．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30A =，45B =，8b =，则a 等于（ ） A ．4B ．42C ．43D ．463．若数列{}n a 对任意2()n n N ≥∈满足()()11220n n n n a a a a -----=，下面给出关于数列{}n a 的四个命题：①{}n a 可以是等差数列，②{}n a 可以是等比数列；③{}n a 可以既是等差又是等比数列；④{}n a 可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个4．51(1)x x++展开式中的常数项为（ ） A ．1B ．21C ．31D ．515．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =+，则2016a =（ ） A ．1B ．1-C ．2-D ．20166．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，且243,,S S S 成等差数列，则3a 等于( ) A ．14-B ．12-C ．14D ．127．已知函数sin(2)0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤⎪⎝⎭，此函数的图象如图所示，则点(,)P ωϕ的坐标是（ ）A ．1,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,2π⎛⎫⎪⎝⎭D ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭8．若存在正实数b ，使得 ()a b a b b a +=-，则（ ） A ．实数a 21 B ．实数a 21 C ．实数a 21D ．实数a 219．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-.若对任意正整数n 都有10n n S S λ+-<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(),1-∞B ．12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D ．14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，10． “2a =”是“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ---=互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知两点()4,0P -,()3,2Q ,若直线2y kx =-与线段PQ 相交,则实数k 的取值范围是( ) A ．14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．41,,32⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．14,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭12．点(1,2)P -到直线kx y k 0--=（k ∈R ）的距离的最大值为 A ．22B ．2C ．2D ．32二、填空题：本题共4小题13．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222()tan 3b c a A bc +-=，则角A 的大小为为____．14．当函数2cos 3sin y αα=-取得最大值时，tan α=__________．15．设数列{}n a 满足1226a a ==，，且21122n n n n na a ab a ，++-+==，则数列{}n b 的前n 项和n S =_______________.16．若6是-2和k 的等比中项，则k =______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在边长为2的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，E 为BC 的中点.（1）用AD 和AB 表示AE ； （2）求AE BD ⋅的值.18．已知函数()23 32()f x sin x sin x cos x ππ=+-+⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 图象的对称轴方程;（2）若对于任意的,122x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()20f x m --≤恒成立，求实数m 的取值范围. 19．（6分）经观测，某公路段在某时段内的车流量y (千辆/小时)与汽车的平均速度v (千米/小时)之间有函数关系：()2920031600=>++vy v v v ．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时车流量y 最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？ 20．（6分）设函数f （x ）＝2cos 2x ﹣cos （2x ﹣3π）． （1）求f （x ）的周期和最大值；（2）已知△ABC 中，角A ．B ．C 的对边分别为A ，B ，C ，若f （π﹣A ）＝32，b+c ＝2，求a 的最小值． 21．（6分）在已知数列{}n a 中，112a =，()*12n n a n a n N ++=∈. （1）若数列{}n b 中，11n n n b a a +--=，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）设数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由. 22．（8分）记为等差数列的前项和，已知.（1）求的通项公式 （2）求，并求的最小值参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】 【分析】利用正弦定理可求sin C .由正弦定理得sin 2sin 442A C c a ==⨯=.故选 B.【点睛】本题考查正弦定理的应用，属于容易题. 2．B 【解析】 【分析】 根据正弦定理sin sin a b A B=，代入数据即可。

【详解】 由正弦定理，得：sin sin a b A B=，即8sin 30sin 45a =︒︒，即：42a =解得：选B 。

【点睛】此题考查正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，代入数据即可，属于基础题目。

3．C 【解析】 【分析】由已知可得a n ﹣a n ﹣1＝2，或a n ＝2a n ﹣1，结合等差数列和等比数列的定义，可得答案． 【详解】∵数列{a n }对任意n≥2（n ∈N ）满足（a n ﹣a n ﹣1﹣2）（a n ﹣2a n ﹣1）＝0，∴a n ﹣a n ﹣1＝2，或a n ＝2a n ﹣1， ∴①{a n }可以是公差为2的等差数列，正确； ②{a n }可以是公比为2的等比数列，正确；③若{a n }既是等差又是等比数列，即此时公差为0，公比为1，由①②得，③错误； ④由 （a n ﹣a n ﹣1﹣2）（a n ﹣2a n ﹣1）＝0， a n ﹣a n ﹣1＝2或a n ＝2a n ﹣1， 当数列为：1，3，6，8，16……【点睛】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差，等比数列的相关内容，属于中档题. 4．D 【解析】常数项有三种情况，1,x x 都是0次，或者1,x x 都是1次，或者1,x x都是二次，故常数项为112254531C C C C 1203051++=++=5．C 【解析】 【分析】利用n S 和n a 关系得到数列{}n a 通项公式，代入数据得到答案. 【详解】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =+，1122n n S a --=+ 相减：112(2)n n n n a a a a a n --=-⇒=-≥ 取1n = 111222S a a =+⇒=20162a =-答案选C 【点睛】本题考查了n S 和n a 关系，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力. 6．A 【解析】 【分析】根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得3a 的值. 【详解】由于243,,S S S 成等差数列，故4232S S S =+，即1234123222222a a a a a a a +++=++，所以3420a a +=，2311120,2a q a q q +==-，所以()23111144a a q ==-⨯=-，故选A.【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列基本量的计算，属于基础题. 7．B根据确定的两个相邻零点的值可以求出最小正周期，进而利用正弦型最小正周期公式求出ω的值，最后把其中的一个零点代入函数的解析式中，求出ϕ的值即可. 【详解】设函数的最小正周期为T ，因此有1732,012882T T T ππππωωω=-⇒==>∴=， 当38x π=时，330sin(2)0()08424y k k Z ππππϕϕπϕϕ=⇒⋅+=⇒+=∈<≤∴=，因此(,)P ωϕ的坐标为：1,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查了通过三角函数的图象求参数问题，属于基础题． 8．C 【解析】 【分析】将题目所给方程转化为关于b 的一元二次方程，根据此方程在0b >上有解列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围，进而求出正确选项. 【详解】由()ab a b b a +=-得()2210ab a b a +-+=，当0a =时，方程为0,0b b -==不和题意，故这是关于b的一元二次方程，依题意可知，该方程在0b >上有解，注意到121b b ⋅=，所以由()2222140102a a a a⎧∆=--≥⎪⎨-⎪->⎩解得01a <≤，故实数a 1，所以选C.【点睛】本小题主要考查一元二次方程根的分布问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 9．C 【解析】 【分析】先利用1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩求出数列{}n a 的通项公式，于是可求出n S ，再利用参变量分离法得到1n n S S λ+<，利用数列的单调性求出数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小项的值，可得出实数λ的取值范围．当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，得11a =；当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，12nn a a -∴=，所以，数列{}n a 为等比数列，且首项为1，公比为2，11122n n n a --∴=⨯=. 12122121n n n n S a -∴=-=⨯-=-，由10n n S S λ+-<，得()()11111112121112221212221n nn n n n n S S λ+++++---<===----， 所以，数列1n n S S +⎧⎫⎨⎬⎩⎭单调递增，其最小项为122211213S S -==-，所以，13λ<， 因此，实数λ的取值范围是1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列的通项，其关系式为1,1,2n nn S n a S S n =⎧=⎨-≥⎩，其次考查了数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题． 10．A 【解析】 【分析】对a 分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出. 【详解】由题意，当0a =时，两条直线分别化为：0x =，310y -=，此时两条直线相互垂直；当32a =时，两条直线分别化为：2330x y +-=，23x =，此时两条直线不垂直，舍去； 当0a ≠且23a ≠时，由两条直线相互垂直，则()230a a a --=，即2240a a -=，解得0a =或2a =；综上可得：0a =或2a =，两条直线相互垂直，所以“2a =”是“直线0x ay a +-=与直线()2310ax a y ---=互相垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 11．D 【解析】 【分析】找出直线2y kx =-与PQ 相交的两种临界情况，求斜率即可. 【详解】因为直线2y kx =-恒过定点()0,2M -，根据题意，作图如下：直线2y kx =-与线段PQ 相交的临界情况分别为直线MP 和直线MQ ， 已知12MP k =-，43MQ k =，由图可知： 当直线绕着点M 向y 轴旋转时，其斜率范围为：4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； 当直线与y 轴重合时，没有斜率；当直线绕着点M 从y 轴至MP 旋转时，其斜率范围为：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦综上所述：k ∈14,,23⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选：D. 【点睛】本题考查直线斜率的计算，直线斜率与倾斜角的关系，属基础题. 12．A 【解析】 【分析】把直线方程化为(1)0k x y -+=，得到直线恒过定点(1,0)，由此可得点P 到直线的距离的最大值就是点P 到定点(1,0)的距离，得到答案．由题意，直线kx y k 0--=可化为(1)0k x y -+=，令100x y -=⎧⎨=⎩，解得10x y =⎧⎨=⎩，即直线恒过定点(1,0)，则点P 到直线的距离的最大值就是点P 到定点(1,0)的距离为：max d ==，故选A ．【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，其中解答中把直线方程化为(1)0k x y -+=，得出直线恒过定点(1,0)是解答本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．6π 【解析】由()222tan b c a A bc +-=，两边同除以2bc 得2221tan 22b c a A bc +-=，由余弦定理可得cos tan A A ⋅=11sin ,2A A ⇒=是锐角，6A π∴=，故答案为6π.14．32-【解析】 【分析】利用辅助角θ将函数利用两角差的正弦公式进行化简，求得函数取得最大值时的θ与α的关系，从而求得sin α，cos α，可得结果.【详解】因为函数()y 2cos α3sin αsin ααθα⎫=-==-⎪⎭，其中sin θ=，cosθ=2πθα-=时，函数y 2cos α3sin α=-取得最大值，此时 2παθ=-，∴sin sin?cos2παθθ=-=-=cos cos?sin 2παθθ=-==∴3tan 2α=- 故答案为32-【点睛】15．1n n + 【解析】令1112,62442(1)22n n n n n n c a a c c c c n n ++=-∴-==-=∴=+-=+1(22)22(2)(22)42(1)2n n n n n a a n a n n n n ++∴-=+∴=+-+++==+ 11111(1)111n n nb S n n n n n n ∴==-∴=-=++++16．-18 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，列出等式可求得结果. 【详解】由等比中项的性质可得，262=-k ，得18k =-. 故答案为：-18 【点睛】本题主要考查等比中项的性质，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。