基于Rényi熵图的医学图像自动弹性配准

g1
⎥ ⎥
⎢⎢u1
g2 M
⎥ ⎥ ⎥
=
⎢⎢⎢uM2
gn⎥⎦ ⎢⎣un
0⎤
v1
⎥ ⎥
v2 M
⎥ ⎥ ⎥
vn ⎥⎦
(8)
其中， rij2 = (xi − x j )2 + ( yi − y j )2 。
解这个方程组，可以得到待定系数 fi 和 gi。 在 multi-quadric 插值函数中，C2 项是一个很重要的调节 因子。在二维医学图像的弹性配准中，参数 C2 的平滑作用可
2 基于熵最小生成图的图像配准
目前，信息论中的一些概念已经广泛地被应用到医学图 像配准的框架中，特别是互信息理论。由于该度量不需要对 不同成像模式下图像灰度间的关系做任何假设，也不需要对 图像进行分割或者任何干预处理，因此它能够较好地处理多
模图像之间的配准问题。在信息论中，通过计算独立灰度采
样熵的生成图，可以找到一种概率密度的熵度量。文献[5]给
苏志勋，王 伟，刘秀平
(大连理工大学应用数学系，大连 116024)
摘 要：提出一种基于 Rényi 熵最小生成图和 multi-quadric 径向基函数的医学图像自动弹性配准方法。应用图像金字塔的思想，对图像分 层分块，将 Rényi 熵最小生成图作为相似性测度对子块进行配准，在对应的子块中选取对应的标记点，用 multi-quadric 径向基函数插值这 些标记点，从而实现医学图像弹性配准。实验结果表明，该方法配准速度较快，精度较高，是一种有效的自动弹性配准方法。 关键词：Rényi 熵；熵最小生成图；医学图像弹性配准；multi-quadric 方法
—219—
函 数 是 f。 空 间 变 换 函 数 TtR : Ω a R2 具 有 m 个 参 数 ， 即
(t1,t2,L,tm ) 。定义最小生成树的权函数如下：
F(t) = { f1(x, y), f2 (TtR (x, y)) : ∀(x, y) ∈ Ω}
(3)
在实际计算中，取 γ = 1 。选取不同的 γ，可能产生不同
⎢
⎢1 r121 +C2
⎢
⎢1 r221 +C2
⎢⎢M
M
⎢⎣1 rn21 +C2
1L r122 +C2 L r222 +C2 L
MM rn22 +C2 L
1
r12n +C2 r22n +C2
M rn2n +C2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡a0
⎢ ⎢
f1
⎢ ⎢ ⎢
f2 M
⎢⎣ fn
b0 ⎤ ⎡ 0
至此，作为图像配准相似性测度的熵最小生成图可以应
用到医学图像配准中，利用它来自动选取对应的标记点。
3 multi-quadric方法
在图像的自动配准中，对应点匹配的准确性对配准的效
果有很大影响。本文采用 mulit-quadric 方法求取图像之间的
配准变换，这个方法中有平滑参数，合适地选取此参数可以
(9)
在此范围选择 C2 值，可得到好的配准结果。
4 配准方法
基于上述讨论，利用 Rényi 熵最小生成图作为医学图像
—220—
配准的相似性测度，选取 multi-quadric 径向基函数作为医学 图像的变形区域的弹性描述。配准算法步骤如下：
(1)对参考图像 A 和浮动图像 B 进行刚性粗配准，得到刚 性变换参数，然后对浮动图像 B 进行刚体变换得到图像 B1。
的配准结果，但这里仅讨论其框架问题。配准问题归结为下
面的优化问题：
Y = arg mint W (t)
(4)
这是一个典型的非凸问题，寻找其全局最优解是一个困
难的任务。文献[6]给出了解上述优化问题的梯度迭代方向：
ud = − ∑ ∇ | e(t0 ) |
(5)
e∈Et0
其中， Et0 是属于 F (t0 ) 的最小生成树中的边的集合。
以使得对应特征点选取的数量、精确度的要求都降低，为实 现快速选点的方法提供了条件。C2 值的选取与图像的变形程 度和变形控制点的数目有关。在二维图像的配准中，C2 的选 择有所不同，要根据图像大小、对应点位置差异大小确定。
根据实际经验，得到下式，作为选择的参照：
C2 = (0.5 ~ 0.7) min( (xi − x j )2 + ( yi − y j )2 )
(7)
i=1
其中， a0,b0 ∈ R 是待求的插值数； fi , gi ∈ R (i = 1, 2,L, n) 分别是
2 个方向上待求的插值系数。
将 2 幅图像提取对应的特征点的集合 (xi , yi ) 和 (ui , vi ) ,
i = 1, 2,L, n ，代入上两式中，建立以下方程组：
⎡0 1
5 实验结果分析与结论
为了验证本文提出方法的有效性，对同一层面的 CT-t1 和 CT-pd 这 2 幅图像进行了弹性配准实验。
对不同大小的图像进行了实验，所使用的电脑配置是 CUP：AMD Sempron(tm) processor 2500+，内存 1 GB。在 表 1 中，采用 Rényi 熵最小生成图作为相似性测度，在用梯 度下降法求解其优化问题时，给出了其梯度迭代方向，比在 基于互信息作为相似性测度图像的配准中，直接优化计算相 似性测度所使用的时间明显提高。
第 36 卷 第 9 期 Vol.36 No.9
计算机工程 Computer Engineering
2010 年 5 月 May 2010
·图形图像处理·
文章编号：1000—3428(2010)09—0219—03 文献标识码：A
中图分类号：TP391.41
基于 Rényi 熵图的医学图像自动弹性配准
(i = 1, 2,L, N) 是待求的插值系数。
在二维图像的弹性配准中，对 2 幅待配准的图像分别在
x, y 方向上建立插值函数：
n
u = ∑ fi
(x − xi )2 + ( y − yi )2 + C 2 + a0
i=1
n
v = ∑ gi
(x − xi )2 + ( y − yi )2 + C 2 + b0
最小生成图的权函数是
Wγ (Zn ) = minG∈g(Zn ) Wγ (Gn )
(1)
可以得到
lim
n→∞
ln(Wγn(αZn
) )
=
Hα
(
f
)ห้องสมุดไป่ตู้
+
c
(2)
其中，c 是一个常数，仅和 g(Zn ) 有关系，是一个拓扑上的制
约； f 是 Zn 的一个基本密度； Hα ( f ) 是 f 的 α 熵的一致估
计。最小生成图的权函数常被看作是 Rényi 熵的一个不对称
无偏和强相合估计。为了计算方便，下文中提到的最小生成
图特指最小生成树。
已知 2 幅待配准图 Ii (x, y), i = 1, 2 ，用 Rényi 熵最小生成
树度量作为配准的相似性测度，其采样范围是 Ω ⊂ R2 ，特征
基金项目：国家自然科学基金资助项目(60673006, 60533060)；美国 国立卫生研究院基金资助项目(5P20RR01647206) 作者简介：苏志勋(1965－)，男，教授、博士，主研方向：图形图像 处理，计算机辅助设计；王 伟，博士研究生；刘秀平，教授、 博士 收稿日期：2009-12-24 E-mail：garywangzi@
Automatic Elastic Registration of Medical Images Based on Rényi Entropic Graph
SU Zhi-xun, WANG Wei, LIU Xiu-ping
(Department of Applied Mathematics, Dalian University of Technology, Dalian 116024)
【Abstract】This paper presents an automatic elastic registration of medical images based on Rényi entropic minimum spanning graph and multi-quadric radial basis function. Images are layered and blocked based on image pyramid process and its sub-image blocks are registered using Rényi entropic minimum spanning graph’s similarity measure. Landmark points in corresponding sub-image blocks are extracted. Those landmark points are interpolated via multi-quadric radial basis function so as to achieve elastic registration of medical image. Experimental results indicate that the method is a fast, accurate and effective elastic registration of image. 【Key words】Rényi entropy; entropic minimum spanning graph; elastic registration of medical images; multi-quadric method