第6章 频率域图像增强-刘海军

F(u,v)的原点变换


M N ,v ) 2 2
用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心 u=0,1,2,…,M-1, v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换

直流份量
F(0,0)表示
F 0,0 1 MN
M 1 N 1


f(x,y)
D(u,v)
实用公式常用K 系数调整： D u , v log 1 K F u , v
从谱图像中可看出什么？
实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度 的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对
应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上
MN m0 n 0
卷积定理 f x, y hx, y Fu, vHu, v f x, yhx, y Fu, v Hu, v
傅里叶变换
9.
相关性理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的相关 性定义为 1 M 1 N 1 * f x, y 。hx, y f m, nhx m, y n
f x , y
x0 y0
这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级
变换系数矩阵F(u,v)的意义
1、若变换矩阵F(u,v)原点设在中心，其频谱能量集中分布 在变换系数矩阵的中心附近；若所用的二维傅立叶变换 矩阵F(u,v)的原点设在左上角，那么图像信号能量将集 中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身 性质决定的。同时也表明一般图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像（频率谱）在原点平移之前四角是
频率域滤波

频率域滤波 Gu,v Hu,vFu,v

H和F的相乘在逐元素的基础上定义，即H的 第一个元素乘以F的第一个元素，H的第二个 元素乘以F的第二个元素

一般，F的元素为复数，H的元素为实数
H为零相移滤波器，因为滤波器不改变变换 的相位.
I (u, v ) (u, v ) arctan R ( u , v )
了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集
合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的 通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰
频谱图（频谱的图像显示）的含义
谱图象：就是把 F u, v 作为亮度显示出来。 人的视觉可分辨灰度有限： D u , v log 1 F u , v
边界分明且边界两边像素差异较大的。
频谱图像
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 反映出原始图像 的灰度级变化， 这正是图像的轮 廓边
频谱图像
频谱图像中间对应低频 远离中间对应高频 这些图像没有特定 的结构，左上角到 右下角有一条斜线， 它可能是由帽子和 头发之间的边线产 生的 两个图像都存在一 些小边界
傅里叶变换原理
傅里叶级数的频谱
矩形在频率域空间中频率图像： 俗称频谱
傅里叶级数的频谱
傅里叶级数的频谱
傅里叶级数的相位谱

在纸上画sin(x) 在纸上画sin(3x)+sin(5x)----会画吗？ 给你sin(3x) +sin(5x)的图像，拿掉sin(3x)，能做到吗？ 频率域中呢？拿掉sin(3x)，无非是拿掉一条竖线而 已！
MN m0 n 0
f *表示f的复共轭。对于实函数， f *＝f
相关定理
f x, y。hx, y F u,vHu, v
*
f *x, yhx, y Fu,v。Hu, v
频率域图像增强
傅里叶变换的频率分量和图像空间特征之间的联系 变化最慢的频率成分(u=v=0)对应一幅图像的平均灰度 级
相位谱
傅里叶变换总图
傅里叶变换的本 质：基的变换
4.2 傅里叶变换(一种正交变换)
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列 周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域 转换到频率域
为什么要在频率域研究图像?
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一些在空
我们看到的明暗不一的亮点，实际上是图像上某一点与邻域点 灰度值差异的强弱，即梯度的大小，一般来讲，频谱图上某点
的亮度强则意味着梯度大，亮度弱则意味着梯度小。这样通过 观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看 出，图像的能量分布，如果频谱图中暗点多，那么实际图像是
比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小）， 反之，如果频谱图中亮点数多，那么实际图像一定是尖锐的，
M 1 N 1
f x, y e
x0 y0 M 1 N 1 x0 y0
j 2 ux / M vy / N
1 所以 F 0,0 MN 而

f x, y
M 1 N 1
f x, y

所以
1 MN
f x, y
x0 y0
傅里叶变换

二维离散傅里叶变换及反变换

图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为
F(u,v) 1
M1N1
MN

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f x , y e j 2 ux / M vy / N
x0 y0
u=0,1,2,…,M-1,

M1N1 u0 v0
v=0,1,2,…,N-1
给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
f x, y F 0,0
上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在原点 的傅里叶变换即等于图像的平均灰度级
傅里叶变换
8.
卷积理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散 卷积 1 M 1 N 1 f x, y hx, y f m, nhx m, y n
a)Image A; b)Image B; c)0.25 * A + 0.75 * B
线性性： af ( x, y ) bg( x, y ) aF(u, v ) bG(u, v )
a)spectrum A; b)spectrum B; c)0.25 * A + 0.75 * B
旋转性质
频谱图像
从幅度谱中我们 可以看出明亮线 和原始图像中对 应的轮廓线是垂 直的。如果原始 图像中有圆形区 域那么幅度谱中 也呈圆形分布
傅里叶变换
3. 尺度变换（缩放）及线性性
立
给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列2个公式成 af x, y aF u, v f ax, by 1 F u / a, v / b ab
2. 3.
变换到频域 F (u, v ) f ( x, y)(1) x y 频域滤波: G(u, v ) F (u, v ) H (u, v ) 取实部:


4.
5.
变换到空间域 g( x, y) 1 F (u, v ) H (u, v )
Reg( x, y ) 取消输入图像的乘数 f ( x, y) Reg( x, y)(1) x y
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
相角或相位谱为 ( u, v ) arctan
I ( u, v ) R( u, v )

功率谱为 P (u, v ) F (u, v ) 2 R2 (u, v ) I 2 (u, v )
f ( x , y )(1) x y F ( u

频率域滤波

频率域滤波的基本步骤
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图像 变换，然后通过取结果的反变换来获得处理后 的输出图像
频率域滤波

频率域的滤波步骤
1.
用(-1)x+y乘以输入图像进行中心变换 f x, y1 x y Fu M / 2, v N / 2
Matlab function: Fc=fftshift(fft2(f ))
f(x,y)
F u , v e
j 2 ux / M vy / N
x=0,1,2,…,M-1,
y=0,1,2,…,N-1
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变 量
图像傅立叶变换的物理意义
傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实
空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵
1 F 0,0 MN
M 1 N 1
f x, y f x, y
x0 y0
_
频率域滤波
傅里叶变换的频率分量和图像空间特征 之间的联系（续）

当从变换的原点移开时，低频对应着图像的 慢变化分量，如图像的平滑部分

进一步离开原点时，较高的频率对应图像中 变化越来越快的灰度级，如边缘或噪声等尖锐 部分
频率域图像增强
-刘海军
傅里叶变换的原理
(a)：cos(x) (b)： cos (x) +a.cos (3x) (c)：四个正弦波叠加 (d)：十个正弦波叠加
• 随着正弦波数量的增加， 图像越开越接近矩形 • 任意形状的图像都可以 用正弦波叠加出来
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理
表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维 的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由 梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中 的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立 叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各 点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况 下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际 上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点 的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，
低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大
说明低频的能量大（幅角比较大）
频谱的频域移中
y
v
x
v u
u
频谱移中的好处
对频谱移频到显示屏中心以后，可以看出图像的频率分 布是以中心为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除
了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，
它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰， 一副带有正弦干扰，移频到中心的频谱图上可以看出除
原图像及其 傅里叶变换
旋转后图像及 其傅里叶变换
傅里叶变换
6.分离性
1 F ( u, v ) M 1 M
M 1 x0
e
j
2 ux M
1 N
N 1 y0
e
j
2 vy N
M 1 x 0
e
j
2 ux M
F ( x, v )
沿着f(x,y)的一行所 进行的傅里叶变换。
当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计算傅里叶变换。
傅里叶变换
6.
分离性——二维傅里叶变换的全过程

先通过沿输入图像的每一行计算一维变换
再沿中间结果的每一列计算一维变换
可以改变上述顺序，即先列后行 上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换
傅里叶变换 7. 平均值
由二维傅里叶变换的定义 F u, v 1 MN
高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点
亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图
傅里叶变换
二维傅里叶变换的极坐标表示F (u, v) F (u, v) e j ( u,v )
幅度或频率谱为
F ( u , v ) R 2 ( u, v ) I 2 ( u , v )
频率域滤波

一些基本的滤波器：如何作用于图像？

陷波滤波器 低通（平滑）滤波器 高通（锐化）滤波器
频率域滤波
间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通
滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性
质
给出一个问题，寻找某个滤波器解决该问题，频率域处理
对于试验、迅速而全面地控制滤波器参数是一个理想工具
图像的频率指什么？
图像的频率：
表征图像中灰度变化剧烈程度的指标 是灰度在平面空间上的梯度。 如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值 很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧 烈的区域，对应的频率值较高。