人教A高中数学选修23作业：第1章计数原理2 含解析

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第1章计数原理专解2 求特定条件下方法种数必备知识点巩固练习-人教A版高中数学选修2-3

【必备知识点】1.排列的定义一般地，从n 个不同的元素中取出m （m≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．2.排列数的定义从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.3.排列数公式，其中n ，m ∈N +，且m≤n ．4. 阶乘表示式（1）全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.全排列.（2）阶乘的概念：把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.规定：．（3）排列数公式的阶乘式：所以．5.组合定义：一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．m m n ≤n m m n A A (1)(2)(1)mn n n n n m =---+n n (1)(2)321nn A n n n =--⨯⨯⨯n n !n nn A =!n 0!1=(1)(2)(1)()21!A (1)(2)(1)()21()!m n n n n n m n m n n n n n m n m n m ⋅-⋅-⋅⋅-+⋅-⋅⋅⋅=---+==-⋅⋅⋅-!A ()!mn n n m =-n m m n ≤n m6.组合数及其公式（1）组合数的定义：从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．（2）组合数的公式及推导求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：第一步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素的组合数；第二步，求每一个组合中m 个元素的全排列数．根据分步计数原理，得到．因此这里n ，m ∈N +，且m ≤n ，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．7. 组合数公式：(1)（、，且）(2) （、，且）8.组合数的性质性质1：（、，且）性质2：（、，且）n m n m ≤n m mn C mn A mn C mm A m m mn n m A C A =⋅2)(n m -+!()!mn n A n m =-!!()!mn n C m n m =-(-1)(-2)(-1)!m mn nm mA n n n n m C m A +==m +∈N n n m ≤!!(-)!mn n C m n m =m +∈N n n m ≤mn n m n C C -=m +∈N n n m ≤11-++=m n m n m n C C C m +∈N n n m ≤【典例展示】例1（重庆高考）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科，脑壳外和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________（用数学作答）.【解析】按每科选派人数分3,1,1和，2,2,1两类.当选派人数为3，1,1时，有3类，共有种200351413153413151433=++CCCCCCCCC.当选派人数为2,1,1时，有3类，共有种390252413251423152423=++CCCCCCCCC.故共有200+390=590（种）答案：590例2：（浙江高考）若从1,2,3,……，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（）A.60种B.63种C.65种D.66种答案：D例3：（陕西高考）两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有（）A.10种B.15种C.20种D.30种答案;C【思路总结与方法】1.思路：解决这个问题首先要确定所给问题的类别.再根据问题类别采用相应的计数原理进行计算求出方法的个数.2.解题步骤：①确定所给问题是“分类”问题还是“分步”问题②根据分类加法计数原理或分步乘法计数原理列出算式.③求出方法总数.【巩固练习】1.（山东）现有16张不同的卡片，期中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）A.232 B.252 C.472 D.484解析：含有红色时，C(4,1)*C(12,2)=264种；不含红色时，分为两种小情况：1）含有三色，C(4,1)*C(4,1)*C(4,1)=64种；2）含有两色，必然是1色1种，另一色2种。

2021-2022学年高中数学第一章计数原理测评(含解析)新人教A版选修2-3

第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.若A m4=18C m3,则m等于()A.9B.8C.7D.6,得m-3=3,m=6.A m4=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·m(m-1)(m-2)3×2×12.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12D.15:分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=C42+C41+1=11.3.若实数a=2-√2,则a10-2C101a9+22C102a8-…+210等于()A.32B.-32C.1 024D.512,得a10-2C101a9+22C102a8-…+210=C100(-2)0a10+C101(-2)1a9+C102(-2)2a8+…+C10(-2)10=(a-2)10=(-√2)10=25=32.104.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( ) A.A 43种B .A 33A 31种C .C 42A 33种D .C 41C 31A 33种4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家,故有C 42A 33种.5.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、第二象限不同点的个数是( ) A.18B.16C.14D.10N 1=2×2+2×2=8(个),第二象限的不同点有N 2=1×2+2×2=6(个), 故N=N 1+N 2=14(个). 故答案为C .6.将A,B,C,D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球,且A,B 不能放入同一个盒子中,则不同的放法有( ) A.15种B.18种C.30种D.36种A,B 放入不同盒中,有3×2=6(种)放法,再放C,D,若C,D 在同一盒中,有1种放法;若C,D 在不同盒中,则有2×2=4(种)放法. 故共有6×(1+4)=30(种)放法.故答案为C .7.为支持地震灾区的灾后重建工作,某公司决定分四天每天各运送一批物资到A,B,C,D,E 五个受灾地点.由于A 地距离该公司较近,安排在第一天或最后一天送达;B,C 两地相邻,安排在同一天上午、下午分别送达(B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同的运送顺序),且运往这两地的物资算作一批;D,E 两地可随意安排在其余两天送达.则安排这四天运送物资到五个受灾地点的不同运送顺序的种数为( ) A.72B.18C.36D.24.第1步,安排运送物资到受灾地点A,有C 21种方法;第2步,在余下的3天中任选1天,安排运送物资到受灾地点B,C,有C 31A 22种方法;第3步,在余下的2天中安排运送物资到受灾地点D,E,有A 22种方法.由分步乘法计数原理得,不同的运送顺序共有C 21·(C 31A 22)·A 22=24(种).8.将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i 个数为a i (i=1,2,…,6),若a 1≠1,a 3≠3,a 5≠5,a 1<a 3<a 5,则不同的排列方法种数为( )A.30B.18C.36D.48a 1,a 3,a 5的大小顺序已定,且a 1≠1,a 3≠3,a 5≠5,所以a 1可取2,3,4,若a 1=2或3,则a 3可取4,5,当a 3=4时,a 5=6,当a 3=5时,a 5=6;若a 1=4,则a 3=5,a 5=6.而其他的三个数字可以任意排列,因而不同的排列方法共有(2×2+1)A 33=30(种).9.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人,后排6人),若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A.6C82 B.720C82C.30C82 D.20C822人有C82种方法,再插空.由题意知先在4人形成的5个空当中插入1人,有5种方法,余下的1人要插入前排5人形成的6个空当中,有6种方法,即为30种方法.故共有30C82种调整方法.10.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么a0+a2+a4a1+a3的值为()A.-122121B.-6160C.-244241D.-1x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.又由条件可知a5=-1,故a0+a2+a4a1+a3=-6160.11.形如45 132的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A.20B.18C.16D.11,十位和千位数字只能是4,5或3,5,若十位和千位排4,5,则其他位置任意排1,2,3,这样的数有A 22A 33=12(个);若十位和千位排5,3,这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻,1,2在其余位置上任意排列,这样的数有A 22A 22=4(个).综上,共有16个.故答案为C .12.若自然数n 使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n 为“可连数”.例如:32是“可连数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因23+24+25产生进位现象.则小于1 000的“可连数”的个数为( ) A.27 B.36C.39D.48,要构造小于1000的“可连数”,个位上的数字的最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取.十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.当“可连数”为一位数时,有C 31=3(个);当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有C 31C 31=9(个);当“可连数”为三位数时,有C 31C 41C 31=36(个);故共有3+9+36=48(个).二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答).第1类,每级台阶只站一人,则有A 73种站法;第2类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则有C 31A 72种站法,因此共有不同的站法种数是A 73+C 31A 72=336.14.若(x +√x3)8的展开式中x 4的系数为7,则实数a= .(x √x 3)8的通项为C 8rx 8-r a r(x -13)r=C 8r a r x8-r x -r3=C 8r a r x8-43r,令8-43r=4,解得r=3. ∴C 83a 3=7,得a=12.15.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:先排列好除甲、乙两人外的4人,有A 44种方法,再把甲、乙两人插入4个人的5个空当,有A 52种方法,所以共有A 44·A 52=480(种).16.(1+sin x )6的二项展开式中,二项式系数最大的一项的值为52,则x 在[0,2π]内的值为 .,得T 4=C 63sin 3x=20sin 3x=52,∴sin x=12.∵x ∈[0,2π], ∴x=π6或x=5π6.5π6三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)有6个除颜色外完全相同的球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?.(1)若取1个黑球,和另外3个球排成一列,不同的排法种数为A 44=24;(2)若取2个黑球,和从另外3个球中选的2个排成一列,2个黑球是相同的,所以不同的排法种数为C 32C 42A 22=36;(3)若取3个黑球,和从另外3个球中选的1个排成一列,不同的排法种数为C 31C 41=12.综上,不同的排法种数为24+36+12=72.18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球. (1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?将取出的4个球分成三类:①取4个红球,没有白球,有C 44种;②取3个红球1个白球,有C 43C 61种;③取2个红球2个白球,有C 42C 62种,故有C 44+C 43C 61+C 42C 62=115(种).(2)设取x 个红球,y 个白球,则{x +y =5,2x +y ≥7,0≤x ≤4,0≤y ≤6,故{x =2,y =3或{x =3,y =2或{x =4,y =1.因此,符合题意的取法种数有C 42C 63+C 43C 62+C 44C 61=186(种).19.(12分)已知(x +2√x )n展开式中的前三项的系数成等差数列. (1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.由题意,得C n 0+14C n 2=2×12C n 1, 即n 2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).故n=8. (2)设第r+1项的系数最大,则{12r C 8r ≥12r+1C 8r+1,12r C 8r ≥12r -1C 8r -1, 即{18-r≥12(r+1),12r≥19-r.解得2≤r ≤3.∵r ∈N *,∴r=2或r=3.∴系数最大的项为T 3=7x 5,T 4=7x 72.20.(12分)设1+12x m =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a m x m,若a 0,a 1,a 2成等差数列. (1)求1+12x m 展开式的中间项;(2)求1+12x m展开式中所有含x 的奇次幂的系数和. 解(1)依题意a 0=1,a 1=m 2,a 2=C m2122.由2a 1=a 0+a 2,求得m=8或m=1(应舍去),所以1+12x m展开式的中间项是第五项, T 5=C 8412x 4=358x 4.(2)因为1+12x m =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a m x m, 即1+12x 8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8. 令x=1,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 8=328, 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8=128,所以a 1+a 3+a 5+a 7=38-129=20516,所以展开式中所有含x 的奇次幂的系数和为20516.21.(12分)把n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数; (2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.的再生数的个数为A 44=24,其中最大再生数为4321,最小再生数为1234.(2)需要考查5个数中相同数的个数. 若5个数各不相同,有A 55=120(个);若有2个数相同,则有A 55A 22=60(个);若有3个数相同,则有A 55A 33=20(个);若有4个数相同,则有A 55A 44=5(个);若5个数全相同,则有1个.22.(12分)已知m ,n 是正整数,f (x )=(1+x )m +(1+x )n 的展开式中x 的系数为7. (1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ,n ,求出此时x 3的系数; (2)利用上述结果,求f (0.003)的近似值;(精确到0.01)(3)已知(1+2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ,系数的最大值为b ,求ba .根据题意得C m 1+C n 1=7,即m+n=7,①f (x )中的x 2的系数为C m 2+C n 2=m (m -1)2+n (n -1)2=m 2+n 2-m -n2.将①变形为n=7-m 代入上式得x 2的系数为m 2-7m+21=m-722+354, 故当m=3或m=4时,x 2的系数的最小值为9.当m=3,n=4时,x 3的系数为C 33+C 43=5;当m=4,n=3时,x 3的系数为C 43+C 33=5.(2)f (0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈C 40+C 41×0.003+C 30+C 31×0.003≈2.02.(3)由题意可得a=C 84=70,再根据{C 8k ·2k≥C 8k+1·2k+1,C 8k ·2k ≥C 8k -1·2k -1,即{k ≥5,k ≤6, 求得k=5或6,此时,b=7×28,∴b a =1285.2021-2022学年高中数学第一章计数原理测评（含解析）新人教A版选修2-311 / 1111。

(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测(答案解析)(2)

一、选择题1．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布2(100,)(0)σσ>，若ξ在(80,120)内的概率为0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不高于80的概率为（） A ．0.05 B ．0.1C ．0.15D ．0.22．甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（） A ．0.2484B ．0.25C ．0.90D ．0.39243．西大附中为了增强学生对传统文化的继承和发扬，组织了一场类似《诗词大会》的PK 赛，A 、B 两队各由4名选手组成，每局两队各派一名选手PK ，除第三局胜者得2分外，其余各胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A 队选手获胜的概率均为23，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为（） A ．2027B ．5281C ．1627D ．794．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(2,4)的概率是（）A ．612⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．44612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．62612C ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．6246612C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．下列命题中真命题是（）（1）在18的二项式展开式中，共有4项有理项；（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2） B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（1）（2）（3）7．设102x <<，随机变量ξ的分布列如下：ξ0 1 2P0.50.5x -x则当x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时（）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ增大，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小D ．()E ξ减小，()D ξ增大8．先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，落在水平桌面上，设事件A 为“第一次正面向上”，事件B 为“后两次均反面向上”，则概率(|)P B A =（） A ．12B ．13C ．14D ．389．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)等于 A ．715B ．815C ．1415D ．110．随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（）A ．2B ．3C ．4D ．511．某工厂生产的零件外直径（单位：cm ）服从正态分布()10,0.04N ，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为9.75cm 和9.35cm ，则可认为（）A ．上午生产情况异常，下午生产情况正常B ．上午生产情况正常，下午生产情况异常C ．上、下午生产情况均正常D ．上、下午生产情况均异常12．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼·秋官》记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试(每轮测试的客观条件视为相同)，每轮测试结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为_________.14．3月5日为“学雷锋纪念日”，某校将举行“弘扬雷锋精神做全面发展一代新人”知识竞赛，某班现从6名女生和3名男生中选出5名学生参赛，要求每人回答一个问题，答对得2分，答错得0分，已知6名女生中有2人不会答所有题目，只能得0分，其余4人可得2分，3名男生每人得2分的概率均为12，现选择2名女生和3名男生，每人答一题，则该班所选队员得分之和为6分的概率__________.15．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠.若该电梯在底层有6个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X表示这6位乘客在第20层下电梯的人数，则(4)P X==________.16．若随机变量3~34X B⎛⎫⎪⎝⎭，, 则方差()D x=____________.17．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X的均值EX=_____.18．小李练习射击,每次击中目标的概率均为13,若用ξ表示小李射击5次击中目标的次数,则ξ的均值E(ξ)与方差D(ξ)的值分别是____.19．运动员参加射击比赛,每人射击4次(每次射一发),比赛规定:全不中得0分,只中一弹得15分,中两弹得40分,中三弹得65分,中四弹得100分.已知某一运动员每一次射击的命中率为35,则他的得分期望为_____.20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以利用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为12，复审的稿件能通过评审的概率为13，若甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为__________.三、解答题21．《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“行让行人”.下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让斑马线"驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆy bx a =+；（2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”.试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布()~8,9X N ，求该月没能在 14天内缴纳人数. 参考公式：()()()112211ˆˆˆ,nni i i ii i nniii i x x y yx y nxybay bx x x xnx====---===---∑∑∑∑()()()0.6826,220.9544,330.9974P Z P Z P Z μσμσμσμσμσμσ-<<+=-<<+=-<<+=22．某运动会将在深圳举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；（2）若从身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差cm ξ（0ξ≥），求ξ的分布列和数学期望（均值）．23．某大型电器企业，为了解组装车间职工的生活情况，从中随机抽取了100名职工进行测试，得到频数分布表如下：日组装个数 [)155,165[)165,175[)175,185[)185,195[)195,205[]205,215人数6123430108（1）现从参与测试的日组装个数少于175的职工中任意选取3人，求至少有1人日组装个数少于165的概率；（2）由频数分布表可以认为，此次测试得到的日组装个数Z 服从正态分布(),169N μ，μ近似为这100人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）.（i ）若组装车间有20000名职工，求日组装个数超过198的职工人数；（ii ）为鼓励职工提高技能，企业决定对日组装个数超过185的职工日工资增加50元，若在组装车间所有职工中任意选取3人，求这三人增加的日工资总额的期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<<+=，()220.9545P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.24．某高三年级学生为了庆祝教师节,同学们为老师制作了一大批同一种规格的手工艺品，这种工艺品有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若A 项技术指标达标的概率为3,4B 项技术指标达标的概率为89，按质量检验规定：两项技术指标都达标的工艺品为合格品.（1）求一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标的概率；（2）任意依次抽取该工艺品4个，设ξ表示其中合格品的个数，求ξ的分布列. 25．近期，某超市针对一款饮料推出刷脸支付活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用刷脸支付.该超市统计了活动刚推出一周内每一天使用刷脸支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用刷脸支付的人次，统计数据如下表所示：（1）在推广期内，与y c d =⋅（均为大于零的常数）哪一个适宜作为刷脸支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用刷脸支付的人次；（3）已知一瓶该饮料的售价为2元，顾客的支付方式有三种：现金支付、扫码支付和刷脸支付，其中有10%使用现金支付，使用现金支付的顾客无优惠；有40%使用扫码支付，使用扫码支付享受8折优惠；有50%使用刷脸支付，根据统计结果得知，使用刷脸支付的顾客，享受7折优惠的概率为16，享受8折优惠的概率为13，享受9折优惠的概率为12.根据所给数据估计购买一瓶该饮料的平均花费.参考数据：其中1i i v g y =，7117i i v v ==∑参考公式：对于一组数据1122,),,(,)n n x v x v ，其回归直线ˆˆˆv a bx=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ˆ,ni i i nii x v nxvbxnx==-=-∑∑ˆˆa v bx=-. 26．2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID -9病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程.但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验.已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体.试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期.已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为12，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关. （1）求一个接种周期内出现抗体次数k 的分布列；（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X 元；②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y 元. 比较随机变量X 和Y 的数学期望的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】1(80120)(80)(120)0.12P X P X P X -<<≤=≥== ,选B.2．D解析：D 【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案．【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙两人各投2次：两人两次都未投中的概率：()()22010.610.70.0144P =-⨯-=；两人各投中一次的概率：()()111220.610.60.710.70.2016P C C =⨯⨯-⨯⨯⨯-=；两人两次都投中的概率：2220.60.70.1764P =⨯=.所以，两人投中次数相等的概率为：0120.3924P P P P =++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.3．A解析：A 【分析】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的情况有3种：A 全胜；A 三胜一负、A 第三局胜，另外三局一胜两负.所以，比赛结束时A 队的得分高于B 队的得分的概率为43232432212122033333327P C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅+⋅⋅=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查概率的求解，考查独立重复试验概率的求解，考查计算能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】根据题意，质点P 移动六次后位于点(4,2)，在移动过程中向右移动4次向上移动2次，即6次独立重复试验中恰有4次发生，由其公式计算可得答案．【详解】根据题意，易得位于坐标原点的质点P 移动六次后位于点(2,4)，在移动过程中向上移动4次向右移动2次，则其概率为4262466111222C P C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==. 故选：C ．【点睛】本题考查二项分布与n 次独立重复试验的模型，考查对基础知识的理解和掌握，考查分析和计算能力，属于常考题.5．C解析：C【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.6．D解析：D 【分析】对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】对于（1），18的二项展开式的通项为1815163621818rrrr rC x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确；对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3，所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．B解析：B 【分析】分别计算()E ξ和()D ξ的表达式，再判断单调性. 【详解】()00.51(0.5)20.5E x x x ξ=⨯+⨯-+=+,当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时, ()E ξ增大()222210.5(0.50)(0.5)(0.51)(0.52)24D x x x x x x x ξ=⨯+-+-⨯+-++-=-++ ()25(1)4D x ξ=--+，当x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭内增大时, ()D ξ增大故答案选B 【点睛】本题考查了()E ξ和()D ξ的计算，函数的单调性，属于综合题型.8．C解析：C 【分析】由先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，得出事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，再由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，即可求解. 【详解】由题意，先后抛掷三次一枚质地均匀的硬币，共有2228⨯⨯=种不同的结果，其中事件A “第一次正面向上”，共有4种不同的结果，又由事件A “第一次正面向上”且事件B “后两次均反面向上”，仅有1中结果，所以()()1(|)4P AB P B A P A ==，故选C. 【点睛】本题主要考查了条件概率的计算，其中解答中认真审题，准确得出事件A 和事件A B 所含基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果【详解】由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝1173210715C C C =⋅，P(X ＝2)＝23210115C C =，于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714151515+= 故选C 【点睛】本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．10．C解析：C 【解析】1111632p =--=，111()0223623E X a a =⨯+⨯+⨯=⇒=∴222111()(02)(22)(32)1623D X =-⨯+-⨯+-⨯=∴2(23)2()4D X D X -==点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根据概率之和为1，求出p 的值，再根据数学期望公式，求出a 的值，再根据方差公式求出D （X ），继而求出D （2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布列与数学期望．11．B解析：B 【解析】分析：根据3σ原则判断.详解：因为服从正态分布()10,0.04N ，所以10,0.2(100.23,100.23)(9.4,10.6)x μσ==∴∈-⨯+⨯= 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常, 选B.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34，故选B ．二、填空题13．【分析】根据题意求出家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家公司排名不变的概率根据题意满足二项分布根据二项分布概率计算即可【详解】解：首先在一轮测试中家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现家解析：572【分析】根据题意求出5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率，根据题意满足二项分布，根据二项分布概率计算即可. 【详解】解：首先，在一轮测试中5家快递公司进行排名与测试之前的排名比较出现2家公司排名不变的概率为255522011206C A ⨯==，其次，3轮测试每次发生上述情形的概率均为16P =, 故3轮测试中恰好有2轮测试结果都出现2家公司排名不变的概率为223155()6672C ⨯⨯=. 故答案为：572. 【点睛】独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略：（1）在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率；（2）在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率.14．【分析】首先对事件进行分类分成女生0分男生6分或女生2分男生4分或女生4分男生2分女生的概率可以按照超几何概率求解男生按照独立重复求解概率【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A 则可分为解析：43120【分析】首先对事件进行分类，分成女生0分，男生6分，或女生2分，男生4分，或女生4分，男生2分，女生的概率可以按照超几何概率求解，男生按照独立重复求解概率. 【详解】依题意设该班所选队员得分之和为6分记为事件A ，则可分为下列三类：女生得0分男生得6分，设为事件1A ；女生得2分男生得4分，设为事件2A ；女生得4分男生得2分，设为事件3A ，则：()32321326112120C P A C C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭， ()211224232611241221205C C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22143326111832212020C P A C C ⎛⎫⎛⎫=⨯== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()()12343120P A P A P A P A =++=. 故答案为：43120【点睛】本题考查概率的应用问题，重点考查分类讨论，转化与化归的思想，熟练掌握概率类型，属于中档题型.本题的关键是对事件分类.15．【分析】根据次独立重复试验的概率公式进行求解即可【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验这是次独立重复试验故即有123456故答案为：【点睛】本题主要考查次独立重复试验的概率的计算根据解析：20243【分析】根据n 次独立重复试验的概率公式进行求解即可．【详解】解：考查一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是6次独立重复试验，故1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．即有6612()()()33k kk P X k C -==⨯，0k =，1，2，3，4，5，6．42641220(4)()()33243P X C ∴==⨯=．故答案为：20243【点睛】本题主要考查n 次独立重复试验的概率的计算，根据题意确实是6次独立重复试验，是解决本题的关键，属于中档题．16．【分析】利用方差公式即可得出答案【详解】结合方差【点睛】本题考查了方差计算公式记住即可解析：916【分析】利用方差公式()D x npq =，即可得出答案．【详解】结合方差()31934416D x npq ==⋅⋅=．【点睛】本题考查了方差计算公式，记住()D x npq =，即可．17．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可．【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．18．【解析】试题分析：的可能取值是012345 0 1 2 3 4 5 考点：期望方差的计算解析：510 , 39【解析】试题分析：ξ的可能取值是0,1,2,3,4,5,012345．考点：期望、方差的计算．19．552【解析】分析：由次独立重复试验的概率公式计算出射中01234次的概率得到得分的分布列再由期望公式得期望详解：设该运动员中弹数为ξ得分数为η则P(ξ=4)==01296P(ξ=3)==03456解析：552.【解析】分析：由n次独立重复试验的概率公式计算出射中0，1，2，3，4次的概率得到得分的分布列，再由期望公式得期望．详解：设该运动员中弹数为ξ,得分数为η,则P(ξ=4)=435⎛⎫⎪⎝⎭=0.129 6,P(ξ=3)=33432C?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.345 6,P(ξ=2)=222432C?·55⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=0.345 6,P(ξ=1)=31432C?·55⎛⎫⎪⎝⎭=0.153 6,P(ξ=0)=425⎛⎫⎪⎝⎭=0.025 6.由题意可知P (η)=P (ξ),所以E (η)=100×0.129 6+65×0.345 6+40×0.345 6+15×0.153 6+0×0.025 6=51.552.点睛：本题考查随机变量的分布列与期望．解题时关键是理解射击时命中n 次就是n 次独立重复试验，由此可由概率公式计算出概率，从而可得得分的分布列，由分布列的期望公式计算出期望．20．【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果【详解】记事件甲的稿件被录用则因此甲乙两人分别向该出版社投稿篇则两人中恰有人的稿件被录用的概率为故答案为：【点睛】思路点解析：3572【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果. 【详解】记事件:A 甲的稿件被录用，则()2212111522312P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此，甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为125735121272P C =⋅⋅=. 故答案为：3572. 【点睛】思路点睛：独立重复试验概率求法的三个步骤：（1）判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验；（2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；（3）计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算.三、解答题21．（1）ˆ8124yx =-+；（2）达到“理想状态”；（3）2. 【分析】（1）请根据表中数据计算x 、y ，求出回归系数，写出回归直线方程；（2）利用回归方程计算6x =时ˆy的值，比较即可得出结论；（3）根据正态分布的性质，结合()2140.9544P X <<=即可得答案. 【详解】（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=；12222221()()(2)20(1)5001(15)2(10)ˆ8(2)(1)012()nii i nii xx y y bxx ==---⨯+-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑，ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=； y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124y x =-+；（2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=；且807645-=<，6∴月份该十字路口“礼让斑马线”情况达到“理想状态”；（3）因为X 服从正态分布()~8,9X N ，所以()2140.9544P X <<=，该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=，【点睛】方法点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算211,,,nnii ii i x y x x y ==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a=+. 22．（1）710p =；（2）分布列见解析，()116E ξ= 【分析】（1）根据分层抽样的比例关系得到人数，再计算概率得到答案.（2）ξ的可能取值为0,1,2,3,4，计算概率得到分布列，再计算数列期望得到答案. 【详解】（1）根据茎叶图：“高个子”有12个，“非高个子”有18个，故抽取的“高个子”为125230⨯=个，抽取的“非高个子”有3个. 至少有一人是“高个子”的概率为232537111010C p C =-=-=. （2）身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男，女各有3人和2人，故ξ的可能取值为0,1,2,3,4，故()1113206p ξ==⨯=，()11111321323p ξ=⨯+⨯==， ()1113226p ξ==⨯=， ()1113236p ξ==⨯=，()1113246p ξ==⨯=.故分布列为：故()01234636666E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了分层抽样，概率的计算，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 23．（1）149204（2）（i ）3173人（ii ）75 【分析】（1）利用对立事件公式结合古典概型求解（2）（i ）先求平均数185μ=，结合σ公式求得()10.68271980.158652P X ->==，再求人数；（ii ）先由正态分布得日组装个数为185以上的概率为0.5.设三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，增加的日工资总额为η，得到ξ服从二项分布，由50ηξ=求得期望【详解】（1）设至少有1人日组装个数少于165为事件A ，则()3123181491204C P A C =-=，（2）1606170121803419030200102108185100X ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（个）又2169σ=，所以13σ=，所以185μ=，13σ=，所以198μσ+=.（i ）()10.68271980.158652P X ->==，所以日组装个数超过198个的人数为0.15865200003173⨯=（人）（ii ）由正态分布得，日组装个数为185以上的概率为0.5.设这三人中日组装个数超过185个的人数为ξ，这三人增加的日工资总额为η，则50ηξ=，且()~3,0.5B ξ，所以()30.5 1.5E ξ=⨯=，所以()()5075E E ηξ==. 【点睛】本题考查古典概型，考查正态分布的概率，考查二项分布，考查转化化归能力，其中确定人数与工资总额的函数关系是关键，是中档题 24．（1）3536；（2）见解析【分析】(1)结合对立事件的概率关系可求出至少一项技术指标达标的概率； (2)由题意知，2~4,3B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可求出()0P ξ=，(1)P ξ=，()2P ξ=，()3P ξ=，()4P ξ=的值，从而可求出分布列.【详解】(1)设:M 一个工艺品经过检测至少一项技术指标达标，则38()1-11493635P M ⎛⎫⎛⎫=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)依题意知2~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则411(0)381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1314218(1)3381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()222421823327P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()334213233381P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭分布列为：本题考查了独立事件的概率，考查了离散型随机变量的分布列求解.本题关键是求出ξ每种可能取值下的概率.求离散型随机变量的分布列时，第一步写出变量的可能取值，第二步求出每种取值下的概率，第三步写出分布列.25．（1）x y c d =⋅适宜（2）23.210320y =⨯=，活动推出第8天使用刷脸支付的人次为320（3）平均花费为251150（元）【分析】（1）直接根据统计数据表判断，x y c d =⋅适宜；（2）把x y c d =⋅，两边同时取常用对数，1gy 11gc gd x =+⋅，则lg y 与x 两者线性相关，根据已知条件求出lg y 关与x 的线性回归方程，进而转化为y 关与x 的线性回归方程；（3）记购买一瓶该饮料的花费为Z （元），则Z 的取值可能为：2,1.8,1.6,1.4，求出Z 的分布，进而求出Z 的期望. 【详解】（1）直接根据统计数据表判断，x y c d =⋅适宜作为扫码支付的人数y 关于活动推出天数x 的回归方程类型；。

高中数学第一章计数原理1-2排列与组合1-2-2组合优化练习新人教A版选修2-3【2019-2020学年度】

解析：C ＝4.
答案：B
3．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
A．12种B．10种
C．9种D．8种
解析：分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C ＝2(种)选派方法；
第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C ＝6(种)选派方法．
(2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(或乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一场，所需比赛的场次即为从2个元素中任取2个元素的排列数，所以半决赛共要比赛2A ＝2×1×2＝4(场)．
(3)决赛只需比赛1场，即可决出胜负．所以全部赛程共需比赛30＋4＋1＝35(场)．
所以n＝9.
10．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？
(1)甲当选且乙不当选；
(2)至少有1女且至多有3男当选．
解析：(1)∵甲当选且乙不当选，
∴只需从余下的8人中任选4人，有C ＝70种选法．
(2)至少有1女且至多有3男当选时，应分三类：
第一类是3男2女，有C C 种选法；
解析：由题意知，所有可能的决赛结果有C C C ＝6× ×1＝60(种)．
答案：60
7．50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有________种．
解析：分两类，有4件次品的抽法有C C 种；有3件次品的抽法有C C 种，所以共有C C ＋C C ＝4 186种不同的抽法．
答案：C
3.如图，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有________种．
解析：四个小岛中每两岛建一座桥共建六座桥，其中建三座桥连接四个小岛符合要求的建桥方案是只要三座桥不围成封闭的三角形区域符合要求，如桥AC，BC，BD符合要求，而围成封闭三角形不符合要求，如桥AC，CD，DA，不符合要求，故共有C －C ＝16(种)．

(易错题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》检测题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（） A ．4B ．6C ．8D ．112．设1~(10,)B p ξ，2~(10,)B q ξ，且14pq >，则“()()12E E ξξ>”是“()()12D D ξξ<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．随机变量X 的取值为0，1，2，若1(0)5P X ==，()1E X =，则()D X =（）A ．15B ．25C D 4．已知随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-，(1)P p ξ==，其中01p <<.令随机变量|()|E ηξξ=-，则（）A ．()()E E ηξ>B ．()()E E ηξ<C ．()()D D ηξ> D ．()()D D ηξ<5．将4个文件放入到3个盒子中,随机变量X 表示盒子中恰有文件的盒子个数,则EX 等于( ) A ．6227B ．73C ．6427D ．65276．已知随机变量X 的方差()D X m =，设32Y X =+，则()D Y =（） A ．9mB ．3mC ．mD ．32m +7．设X 为随机变量，且1:,3X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若随机变量X 的方差()43D X =，则()2P X == ( )A ．4729B ．16C ．20243D ．802438．设随机变量X 的分布列为()()1,2,32iP X i i a===，则()2P X ≥= ( ) A ．16B ．56 C ．13D ．239．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(4)0.8P ξ<=，(02)P ξ<<=（）． A ．0.6 B ．0.4C ．0.3D ．0.210．如果()20,X B p ，当12p =且()P X k =取得最大值时， k 的值是（）A ．8B ．9C ．10D ．1111．2017年5月30日是我国的传统节日端午节，这天小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个大枣馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件A =“取到的两个为同一种馅”，事件B =取到的两个都是豆沙馅”，则(|)P B A =（） A ．34B ．14C ．110D ．31012．小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子，其中两个腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事件‘‘"A 取到的两个为同一种馅，事件‘‘"B =取到的两个都是豆沙馅，则()P B A =∣ （）A ．14B ．34C ．110D ．310二、填空题13．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若1()3E X =，则(31)D X +的值是______14．在高三的一个班中，有14的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生人数1(5,)4B ξ～，则()P k ξ=取最大值时k =_______．15．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元，则所需检测费的均值为___________ 16．若随机变量~(2,)X B p ，随机变量~(3,)Y B p ，若4(2)9P X ==，则(21)E Y +的值为_______.17．(理)假设某10张奖券中有一等奖1张,奖品价值100元;有二等奖3张,每份奖品价值50元;其余6张没有奖.现从这10张奖券中任意抽取2张,获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率为_________.18．同学甲参加某科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错或不答均得零分.假设同学甲答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8，0.6，0.5，且各题答对与否相互之间没有影响，则同学甲得分不低于300分的概率是_______.19．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲袋装有4个红球,2个白球,乙袋装有1个红球,5个白球.现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球,记抽取到红球的个数为X,则随机变量X 的均值EX=_____.20．设随机变量ξ的分布列为P (ξ=k )=300-30012C?33kkk ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(k=0,1,2,…,300),则E (ξ)=____.三、解答题21．某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2:1.监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同. （1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过4次.在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列. 22．为加快推进我区城乡绿化步伐，植树节之际，决定组织开展职工义务植树活动，某单位一办公室现安排4个人去参加植树活动，该活动有甲､乙两个地点可供选择.约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个地点植树，掷出点数为1或2的人去甲地，掷出点数大于2的人去乙地.（1）求这4个人中恰有2人去甲地的概率；（2）求这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去甲､乙两地的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ.23．某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“33+”的构成模式，第一个“3”是语文、数学、外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体S ，从学生群体S 中随机抽取了50名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如下表：(I)从所调查的50名学生中任选2名，求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；(II)从所调查的50名学生中任选2名，记X 表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望；(III)将频率视为概率，现从学生群体S 中随机抽取4名学生，记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y ，求事件“2y ≥”的概率.24．国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm ）在区间[]165,175内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为[)165,167，[)167,169，[)169,171，[)171,173，[]173,175五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数x 和方差2s （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X （cm ）近似服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）求()167.86174.28P X <<；（ii ）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率.参考数据：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=11510.7≈，100.95440.63≈，90.97720.81≈，100.97720.79≈.25．在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：（1）取出的3个球中红球的个数X 的分布列；（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．26．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. （1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由已知条件求得()2D ξ=，再由2(23)2()D D ξξ+=⨯，即可求解. 【详解】由题意，随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，可得()2D ξ=，所以2(23)2()8D D ξξ+=⨯=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.2．C解析：C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式，可知()110E p ξ=，()210E q ξ=，那么()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >，并且()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，则()()12D D ξξ>等价于()()101101pp q q -<-，即()()11p p q q -<-，分情况讨论，看这两个条件是否可以互相推出即得. 【详解】由题得，()110E p ξ=，()210E q ξ=，故()()12E E ξξ>等价于1010p q >，即p q >. 又()()1101D p p ξ=-，()()2101D q q ξ=-，故()()12D D ξξ>等价于()()101101p p q q -<-，即()()11p p q q -<-.若p q >，因为14pq >，说明12p >，且()()211124p p p p pq +-⎛⎫-<=< ⎪⎝⎭，故1p q -<，故有1122p q ->-.若12q <，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若12q ≥，则自然有11022p q ->->，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即()()11p p q q -<-.若()()11p p q q -<-，则221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为()()1114p p q q pq -<-≤<，1p q -<，即1122p q ->-.若102p -≤，则与221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矛盾，故12p >，若12q ≤，则自然有p q >，若12q >，则由221122p q ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭知1122p q ->-，即p q >. 所以是充要条件.故选：C 【点睛】本题综合的考查了离散型随机变量期望方差和不等式，属于中档题.3．B解析：B 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(0)5P X ==，()1E X =，列出方程组，求出35p =，15q =，由此能求出()D X ．【详解】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，1()0215E X p q =⨯++=①，又115p q ++=，② 由①②得，35p =，15q =， 2221312()(01)(11)(21)5555D X ∴=-+-+-=，故选：B . 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．D解析：D 【分析】根据题意,列表求得随机变量ξ及η的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出()(),E D ξξ和()E η()D η,根据01p <<比较大小即可得解. 【详解】随机变量ξ满足(0)1P p ξ==-,(1)P p ξ==,其中01p <<. 则随机变量ξ的分布列为:所以,1E p D p p ==- 随机变量|()|E ηξξ=-,所以当0ξ=时,()E p ηξξ=-=,当1ξ=时,()1E p ηξξ=-=-所以随机变量|()|E ηξξ=-的分布列如下表所示(当0.5p =时,η只有一个情况,概率为1):则1121E p p p p p p =-+-=-()()()()22211121D p p p p p p p p η=--⋅-+---⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2121p p p =--当()()E E ξη=即()21p p p =-,解得12p =.所以A 、B 错误. ()()D D ξη-()()()21121p p p p p =----()22410p p =->恒成立.所以C 错误,D 正确故选:D 【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.5．D解析：D 【分析】本道题分别计算X=1,2,3对应的概率，然后计算数学期望，即可．【详解】()()()21322213432423441141,2327327C C C A C C C P X P X +======, ()234344339C A P X ===列表：所以数学期望1232727927EX =⋅+⋅+⋅=，故选D ．【点睛】本道题考查了数学期望的计算方法，较容易．6．A解析：A 【解析】∵()D X m =，∴2()(32)3()D Y D X D X =+=9()D X =9m =，故选A ．7．D解析：D 【解析】随机变量X 满足二项分布，所以1224(),3393D x npq n n ==⨯⨯==n=6,所以224612(2)()()33P X C ===80243，选D.8．B解析：B 【解析】由概率和为1,可知1231222a a a++=，解得3a =，()P X 2≥=235(2)(3)666P X P X =+==+=选B. 9．C解析：C 【解析】∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ<0)－P (ξ>4)＝0.6. ∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3 10．C解析：C 【解析】因为()20,X B p ~，12p =，所以()20202020111222kkk k P X k C C -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当10k = 时20kC 取得最大值，故选C. 11．A解析：A 【解析】由题意，2223C +C 4P A ==1010（）,23C 3P AB ==1010（）P AB 3P A |B ==P A 4（）（）（）∴，故选：A ．【思路点睛】求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝n AB n A （）（），其中n(AB)表示事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝p AB p A （）（），特别要注意P(AB)的求法．12．B解析：B 【详解】由题意，P （A ）=222310C C +=410，P （AB ）=2310C =310， ∴P （B|A ）=()AB A)P P （=34，故选B ．二、填空题13．5【分析】由离散型随机变量的分布列的性质可知结合数学期望公式和abc 成等差数列列出式子求出各个概率的值以及方差并代入即可【详解】abc 成等差数列又且联立以上三式解得:则故答案为:5【点睛】本题考查随解析：5 【分析】由离散型随机变量的分布列的性质可知, 1a b c ++=,结合数学期望公式和a ，b ，c 成等差数列列出式子,求出各个概率的值以及方差,并代入(31)D X +即可. 【详解】a ，b ，c 成等差数列，2b a c ∴=+, 又1a b c ++=,且1()3E X a c =-+=,联立以上三式解得:111,,632a b c ===, ()22211111151013633329D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则()25(31)3959D X D X +==⨯=,故答案为: 5. 【点睛】本题考查随机变量的分布列以及随机变量的方差的求法,解题时需认真审题,注意使用离散型随机变量的分布列的性质和数学期望的性质,结合等差数列合理运用.14．1【分析】可得则且计算可得【详解】解：依题意可得则且解得又所以故答案为：1【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式组合数的计算公式考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：1 【分析】1~(5,)4B ξ，可得5511()()(1)44k k k P k C ξ-==⨯-．则()(1)P k P k ξξ=≥=-且()(1)P k P k ξξ=≥=+计算可得．【详解】解：依题意，可得5511()()(1)44kk k P k C ξ-==⨯-则5C k3()45k-1()4k15C k -≥3()45(1)k --1()41k -，且5C k3()45k-1()4k ≥15C k +5(1)3()4k -+11()4k +，解得12k ≤≤32，又*k N ∈，所以1k =．故答案为：1 【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．3500【分析】设检测机器所需检测费为则的可能取值为200030004000分别求出相应的概率由此能求出所需检测费的均值【详解】设检测的机器的台数为则的所有可能取值为234所以所需的检测费用的均值为解析：3500 【分析】设检测机器所需检测费为X ,则X 的可能取值为2000,3000,4000,分别求出相应的概率,由此能求出所需检测费的均值.【详解】设检测的机器的台数为X ,则X 的所有可能取值为2，3，4.1123223233522513133(2000),(3000),(4000)1101010105A C A A A P X P X P X A A +========--=所以所需的检测费用的均值为()133200030004000350010105E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为: 3500. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和均值,考查学生分析问题的能力,难度一般.16．5【分析】根据随机变量和求出从而确定随机变量再用均值公式求解【详解】因为随机变量所以所以所以随机变量所以所以故答案为：5【点睛】本题主要考查了随机变量的二项分布还考查了运算求解的能力属于基础题解析：5 【分析】根据随机变量~(2,)X B p ，和2224(2)9===P X C p 求出p ，从而确定随机变量~(3,)Y B p ，再用均值公式求解.【详解】因为随机变量~(2,)X B p ，所以2224(2)9===P X C p 所以23p =所以随机变量2~(3,)3Y B ，所以()2==E Y np所以(21)2()15+=+=E Y E Y 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了随机变量的二项分布，还考查了运算求解的能力，属于基础题.17．【分析】奖品的总价值可能值为050100150分别求出求出期望即可求解【详解】奖品的总价值可能值为050100150其分布列为 150 获得奖品的总价值不少于其数学期望的概率即获解析：23【分析】奖品的总价值ξ可能值为0,50,100,150，分别求出()0P ξ=，5(0)P ξ=，0(0)1P ξ=，5(0)1P ξ=，求出期望，即可求解.【详解】奖品的总价值ξ可能值为0,50,100,150，262101()03C P C ξ===，11632105502()C C P C ξ===，1263210+101()50C C P C ξ===，132101(150)15C P C ξ===，其分布列为()0501001505055515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，获得奖品的总价值ξ不少于其数学期望E ξ的概率，即获得奖品的总价值ξ不少于50的概率为23. 故答案为:23【点睛】本题考查离散型随机变量的期望，求出随机变量的概率是解题的关键，属于中档题.18．46【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分这两种情况是互斥的根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案【详解】解:设同学甲答对第i 个题为事件则且相互独立同学甲得分不低于300分对应于解析：46 【分析】得分不低于300分包括得300分或得400分，这两种情况是互斥的，根据互斥事件和相互独立事件的概率公式得到答案．【详解】解:设“同学甲答对第i 个题”为事件(1,2,3)i A i =，则()10.8P A =，()20.6P A =，()30.5P A =，且1A ，2A ，3A ，相互独立，同学甲得分不低于300分对应于事件()()()123123123A A A A A A A A A ⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂发生，故所求概率为()()()123123123P P A A A A A A A A A ⎡⎤=⋂⋂⋃⋂⋂⋃⋂⋂⎦⎣()()()123123123P A A A P A A A P A A A =⋂⋂+⋂⋂+⋂⋂ ()()()()()()()()()123123123P A P A P A P A P A P A P A P A P A =++0.80.60.50.80.40.50.20.60.50.46=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.故答案为0.46【点睛】本题考查相互独立事件同时发生的概率，考查应用概率知识解决实际问题的能力，是一个综合题，注意对题目中出现的“不低于”的理解19．【分析】结合题意分别计算对应的概率计算期望即可【详解】列表：X 0 1 2 P 所以【点睛】本道题考查了数学期望计算方法结合题意即可属于中等难度的题解析：56【分析】结合题意，分别计算0,1,2x =对应的概率，计算期望，即可．【详解】()112511665018C C P x C C ===，()111452116611118C C C P x C C +===，()11411166129C C P x C C === 列表：所以012181896EX =⨯+⨯+⨯= 【点睛】本道题考查了数学期望计算方法，结合题意，即可，属于中等难度的题．20．【解析】分析：由二项分布的期望公式计算详解：由题意得ξ~B 所以E(ξ)=300=100点睛：本题考查二项分布的期望计算公式若则解析：【解析】分析：由二项分布的期望公式计算．详解：由题意,得ξ~B 1300,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以E (ξ)=30013⨯=100. 点睛：本题考查二项分布的期望计算公式．若(,)B n p ξ，则E np ξ=，(1)D np p ξ=-．三、解答题21．（1）80243；（2）分布列答案见解析. 【分析】（1）利用独立重复试验的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，由此可得出随机变量ξ的分布列. 【详解】（1）因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率为3225218033243P C ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）随机变量ξ的可能取值为：0、1、2、3、4，()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221423327P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， ()321833381P ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()42164381P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以ξ的分布列如下表所示：思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 22．（1）827；（2）19；（3）分布列答案见解析，数学期望：14881. 【分析】(1)参加甲游戏的概率P=13,设"这4个人中恰有k 人去参加甲游戏"为事件A k (k ＝0,1,2,3,4),可求这4个人中恰有2个人去参加甲游戏的概率()2P A ,计算即可得出结果; (2)由(1)可知求()()34P A P A +;(3)ξ的所有可能取值为0,2,4,写出其对应的概率和分布列. 【详解】依题意知，这4个人中每个人去甲地的概率为13，去乙地的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去甲地”为事件0,1,2,3,4i A i =（），则4-412()()()33iiii P A C =.（1）这4个人中恰有2人去甲地的概率为22224128()()()3327P A C ==（2）设“这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数”为事件B ，则34B A A =⋃，由于3A 与4A 互斥，故3144443341211()()()3339PB P A PC C A =++==（）（）（）. 所以这4个人中去甲地的人数大于去乙地的人数的概率为19. （3）ξ的所有可能的取值为0,2,4，由于1A 与3A互斥，0A 与4A 互斥，故28270PP A ξ===（）（），1340812P P A P A ξ==+=（）（）（）， 0417814P P A P A ξ==+=（）（）（）. 所以ξ的分布列为：故1714827801818124Eξ=⨯+⨯+⨯=（）. 【点睛】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.应用性问题是高考命题的一个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新,对于此类考题，要注意认真审题，对二项分布的正确判读是解题的关键，属于一般难度题型. 23．（Ⅰ）2949; （Ⅱ）见解析; （Ⅲ）1116.【解析】试题分析：（Ⅰ）设“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件的概率，从而得到选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率；（Ⅱ）由题意得到随机变量的取值，计算其概率，列出分布列，根据公式求解数学期望. （Ⅲ）由题意得所调查的学生中物理、化学、生物选考两科目的学生的人数，得到相应的概率，即可求解“2Y ≥”的概率. 试题（Ⅰ）记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A则()222525202502049C C C P A C ++== 所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为()29149P A -=（Ⅱ）由题意可知X 的可能取值分别为0，1，2()2225252025020049C C C P X C ++===， ()1111525202525025149C C C C P X C +=== ()115202504249C C P X C === 从而X 的分布列为()01249494949E X =⨯+⨯+⨯= （Ⅲ）所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名相应的概率为251502P ==，所以Y ~14,2B ⎛⎫⎪⎝⎭所以事件“2Y ≥”的概率为()223423444411111112112222216P Y C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-+-+= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 24．（1）170x =，2 4.6s =；（2）（i ）0.8185；（ii ）0.21 【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解；（2）（i ）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii ）由题意结合正态分布的性质可得()174.280.0228P X >=，再由()10110.0228P =--即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为750.375200=，则第五组的频率为0.70.3750.12520.075--⨯=，第二组的频率为10.70.0520.2--⨯=，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故0.11660.21680.3751700.251720.075174170x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，22222(170166)0.1(170168)0.2(170172)0.25(170174)0.075s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯4.6=；（2）由题知170μ=， 2.14σ==≈，（i ）()()167.86174.282P X P X μσμσ<<=-<<+()()()222P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<<+--<<+=-<<++0.95440.68260.68260.81852-=+=；（ii ）()()10.9544174.2820.02282P X P X μσ->=>+==，故10人中至少有1人的身高在174.28cm 以上的概率：()1010110.022810.977210.790.21P =--=-≈-=.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题. 25．（1）详见解析；（2）13．【分析】（1）优先表示随机变量可能的取值，显然该事件服从超几何分布，由其概率计算公式分别求得对应概率即可列出分布列；（2）事件“红球个数多于白球个数” 可以分解为，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，再由计数原理和古典概型概率公式分别计算概率，最后由相互独立事件的概率计算方式求得答案. 【详解】（1）题意知X 的所有可能取值为0，1，2，3，且X 服从参数为10N =，3M =，3n = 的超几何分布，因此 ()()337310C C 0,1,2,3C k k P X k k -===．所以 ()0337310C C 3570C 12024P X ====， ()1237310C C 63211C 12040P X ====，()2137310C C 2172C 12040P X ====，()3037310C C 13C 120P X ===．故 X 的分布列为：（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A ，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件1A ，“恰好取出2个红球”为事件2A ，“恰好取出3个红球”为事件3A ，由于事件1A ，2A ，3A彼此互斥，且123A A A A =++，而()12341310C C 3C 20P A ==，()()27240P A P X ===，()()313120P A P X ===，所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：()()()()123371120401203P A P A P A P A =++=++=．答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为13．【点睛】本题考查求超几何分布事件的分布列，还考查了相互独立事件的概率的计算，属于中档题. 26．（1）13；（2）15；（3）12．【分析】（1）将所有的基本事件一一列举出来，从中找出该事件所发生的基本事件，从而计算概率；（2）利用条件概率的公式即可计算结果；（3）与（2）解法相同. 【详解】（1）记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，从6名成员中挑选2名成员，有AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A事件M 所包含的基本事件数为AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab 共有5种，故()51153P M ==．（2）记“男生甲被选中”为事件M ，“女生乙被选中”为事件N ，不妨设女生乙为b ，则()115P MN =，又由（1）知()13P M =，故()()()15P MN P N M P M ==．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件S ，则()815P S =， “女生乙被选中”为事件N ，()415P SN =，故()() ()12 P SNP N SP S==．【点睛】本题考查了等可能事件的概率，列举法求古典概型的概率，条件概率的计算，属于中档题.。

高中数学人教A版选修2-3习题第1章计数原理1.2.2 第2课时 Word版含答案

选修第一章第课时一、选择题．名同学合影，站成前排人后排人，现摄影师要从后排人中抽人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( )．．．．[答案][解析]第一步从后排人中抽人有种抽取方法，第二步前排共有个位置，先从中选取个位置排上抽取的人，有种排法，最后把前排原人按原顺序排在其他个位置上，只有种安排方法，∴共有种排法．．从编号为、、、的四种不同的种子中选出种，在块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中号种子必须试种，则不同的试种方法有( )．种．种．种．种[答案][解析]先选后排＝，故选．．把、、、、、这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( )．个．个．个．个[答案][解析]先选取个不同的数有种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有种排法，故共有＝个三位数．．某同学有同样的画册本，同样的集邮册本，从中取出本赠送给位朋友，每位朋友本，则不同的赠送方式共有( )．种．种．种．种[答案][解析]分两类：第一类，取出两本画册，两本集邮册，从人中选取人送画册，则另外两人送集邮册，有种方法．第二类，本集邮册全取，取本画册，从人中选人送画册，其余送集邮册，有种方法，∴共有＋＝种赠送方法．．(·青岛高二检测)从甲、乙等名志愿者中选出名，分别从事，，，四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事工作，则不同的工作分配方案共有( )．种．种．种．种[答案][解析]解法：根据题意，分两种情形讨论：①甲、乙中只有人被选中，需要从甲、乙中选出人，担任后三项工作中的种，由其他三人担任剩余的三项工作，有＝种选派方案．②甲、乙两人都被选中，则在后三项工作中选出项，由甲、乙担任，从其他三人中选出人，担任剩余的两项工作，有··＝种选派方案，综上可得，共有＋＝种不同的选派方案，故选．解法：从甲、乙以外的三人中选一人从事工作，再从剩余四人中选三人从事其余三项工作共有＝种选法．．如图，用种不同的颜色涂入图中的矩形、、、中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有( )．种．种．种[答案][解析]解法：()种颜色全用时，有＝种不同涂色方法．()种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从种颜色中选种，涂入、、中，有种涂法，然后涂，可以与(或)同色，有种涂法，∴共有＝种，∴共有不同涂色方法＋＝种．解法：涂有种方法，涂有种方法，涂有种方法，涂有种方法，故共有×××＝种涂法．二、填空题．一排个座位分给人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有种[答案][解析]对于任一种坐法，可视个空位为个人为则所有不同坐法的种数可看作个和的一种编码，要求不得相邻故从个形成的个空档中选个插入即可．∴不同排法有＝种．．将支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个笔筒中至少放两支笔，有种放法(用数字作答)[答案][解析]设有，两个笔筒，放入笔筒有四种情况，分别为支，支，支，支，一旦笔筒的放法。

高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.4知识点总结含同步练习及答案

描述：例题：高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第一章计数原理 1.4 计数模型（补充）一、学习任务掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．二、知识清单数字组成模型条件排列模型分组分配模型染色模型计数杂题三、知识讲解1.数字组成模型与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．由、、、、这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？解：首位不能是，有种，后四位数有种排列，所以这五个数可以组成个无重复的五位数．012340C 14A 44=96C 14A 44用数字、组成四位数，且数字、至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是或的情况不合题意，所以符合题意的四位数有个．23231423−2=1424从，中选一个数字，从、、中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A． B． C． D．解：B当选时，先从、、中选个数字有种方法，然后从选中的个数字中选个排在末位有种方法，剩余个数字排在首位，共有种方法；当选时，先从、、中选个数字有种方法，然后从选中的个数字中选个排在末位有种方法，其余个数字全排列，共有种方法．依分类加法计数原理知共有个奇数．02135241812601352C 2321C 121=6C 23C 1221352C 2321C 122=12C 23C 12A 226+12=18用，，，，，这个数字，可以组成______个大于且小于的012345630005421描述：例题：2.条件排列模型计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某人只能或不能排在某些位置的问题等等．不重复的四位数．解：分四类：①千位数字为，之一时，百十个位数只要不重复即可，有（个）；②千位数字为，百位数字为，，，之一时，共有（个）；③千位数字是，百位数字是，十位数字是，之一时，共有（个）；④最后还有也满足条件．所以，所求四位数共有（个）．175342=120A 3550123=48A 14A 245401=6A 12A 135420120+48+6+1=175 名男生，名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．解：（1）先考虑甲的位置，有种方法，再考虑其余人的位置，有种方法．故有种方法；（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把名男生进行全排列，有种排法，与名女生组成个元素全排列，故有种不同的排法；（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的名同学全排列，有种排法，然后将甲、乙分别插到个空中，有种排法，故有种不同的排法．34A 136A 66=2160A 13A 663A 3345=720A 33A 555A 556A 26=3600A 55A 26有甲、乙、丙在内的个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有种方法；最后甲、乙两人的排法有种方法．综上，总共有种排法．6144A 44A 13A 22=144A 44A 13A 22 把椅子摆成一排，人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）A． B． C． D．解：D“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有种不同坐法．6314412072244=24A 34某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？解：法一：门课程总的排法是种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有种排法，数学排在最后一节有种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，这种情况有种排法，因此符合条件的排法应是：种．法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有种排法；② 数学6A 66A 55A 55A 44−2+=504A 66A 55A 44⋅A 24A 44⋅144种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）72种花，且相邻的96高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

人教A版22019高中数学选修2-3教学案：复习课(一) 计数原理_含解析

复习课(一)计数原理对应学生用书P48(1)两个计数原理是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等．(2)运用两个计数原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”．分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成这件事情，而分步则只能“局部到位”——任何一步中任何一种方法都不能完成这件事情，只能完成事件的某一部分，只有当各步全部完成时，这件事情才完成．[考点精要]计数原理(1)分类加法计数原理：N＝n1＋n2＋n3＋…＋n m；(2)分步乘法计数原理：N＝n1·n2·n3·…·n m．[典例]如图所示，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多的栽种方案有()A．180种B．240种C．360种D．420种[解析]由题意知，最少用三种颜色的花卉，按照花卉选种的颜色可分为三类方案，即用三种颜色，四种颜色，五种颜色．①当用三种颜色时，花池2,4同色和花池3,5同色，此时共有A35种方案．②当用四种颜色时，花池2,4同色或花池3,5同色，故共有2A45种方案．③当用五种颜色时有A55种方案．因此所有栽种方案为A35＋2A45＋A55＝420(种)．[答案] D[类题通法]使用两个原理解决问题时应注意的问题(1)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．(2)当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步．[题组训练]1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A．24种B．18种C．12种D．6种解析：选B法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．2．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成的信号有________种．解析：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．答案：39(1)高考中往往以实际问题为背景，考查排列与组合的综合应用，同时考查分类讨论的思想方法，常以选择题、填空题形式出现，有时与概率结合考查．(2)解决排列组合问题的关键是掌握四项基本原则①特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置的解题原则．②先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列中，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．③正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题的原则．④先分组后分配原则：在分配问题中如果被分配的元素多于位置，这时要先进行分组，再进行分配．[考点精要]1．排列与组合的概念2．排列数与组合数的概念3．排列数与组合数公式 (1)排列数公式①A m n ＝n (n －1)…(n －m ＋1)＝n ！(n －m )！；②A n n ＝n ！． (2)组合数公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！．4．组合数的性质(1)C m n ＝C n－mn；(2)C m n ＋C m －1n＝C mn ＋1． [典例] (1)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!(2)(重庆高考)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．120C ．144D ．168(3)从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15[解析] (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B ．(3)法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C 44种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有C 12C 34种选法．故共有C 44＋C 12C 34＝9种选法．法二：(间接法)C46－C24＝9种．[答案](1)C(2)B(3)A[类题通法]排列与组合综合问题的常见类型及解题策略(1)相邻问题捆绑法．在特定条件下，将几个相关元素视为一个元素来考虑，待整个问题排好之后，再考虑它们“内部”的排列．(2)相间问题插空法．先把一般元素排好，然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中，它与捆绑法有同等作用．(3)特殊元素(位置)优先安排法．优先考虑问题中的特殊元素或位置，然后再排列其他一般元素或位置．[题组训练]1．有5盆各不相同的菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花的不同摆放种数是()A．12 B．24C．36 D．48解析：选B2盆黄菊花捆绑作为一个元素与一盆红菊花排列，2盆白菊花采用插空法，所以这5盆花的不同摆放共有A22A22A23＝24种．2．某班准备从含甲、乙的7名男生中选取4人参加4×100米接力赛，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们在赛道上顺序不能相邻，那么不同的排法种数为()A．720 B．520C．600 D．360解析：选C根据题意，分2种情况讨论．①只有甲乙其中一人参加，有C12C35A44＝480种情况；②若甲乙两人都参加，有C22C25A44＝240种情况，其中甲乙相邻的有C22C25A33A22＝120种情况，不同的排法种数为480＋240－120＝600种，故选C．(1)求二项展开式中的项或项的系数是高考的热点，通常以选择题、填空题形式考查，难度中低档．(2)解决此类问题常遵循“知四求一”的原则在二项式的通项公式中共含有a, b，n，k，T k＋1这五个元素，只要知道其中的4个元素，便可求第5个元素的值，在有关二项式定理的问题中，常常会遇到这样的问题：知道这5个元素中的若干个(或它们之间的关系)，求另外几个元素．这类问题一般是利用通项公式，把问题归结为解方程(组)或不等式(组)．这里要注意n为正整数，k为自然数，且k≤n．[考点精要]1．二项式定理2．二项式系数的性质[典例](1)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝()A．－4 B．－3C．－2 D．－1(2)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝()A．5 B．6C．7 D．8(3)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝________．[解析](1)展开式中含x2的系数为C25＋a C15＝5，解得a＝－1，故选D．(2)由题意得：a＝C m2m，b＝C m2m＋1，所以13C m2m＝7C m2m＋1，∴13·(2m)！m！·m！＝7·(2m＋1)！m！·(m＋1)！，∴7(2m＋1)m＋1＝13，解得m＝6，经检验为原方程的解，选B．(3)令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0．[答案](1)D(2)B(3)0[类题通法]求二项式展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项．可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可． (2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．(3)与二项式各项系数的和有关的问题一般用赋值法求解．[题组训练]1．在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15D ．10解析：选C 只需求(1＋x )6的展开式中含x 2项的系数即可，而含x 2项的系数为C 26＝15，故选C ．2．若(x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 2＋a 4的值为( ) A ．9 B ．8 C ．6D ．5解析：选B 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝0，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝16，∴a 0＋a 2＋a 4＝8．1．设二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3x n 的展开式各项系数的和为a ，所有二项式系数的和为b ，若a ＋2b ＝80，则n 的值为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选C 由题意a ＝4n ，b ＝2n ，∵a ＋2b ＝80， ∴4n ＋2×2n －80＝0，即(2n )2＋2×2n －80＝0，解得n ＝3．2．教室里有6盏灯，由3个开关控制，每个开关控制2盏灯，则不同的照明方法有( ) A ．63种 B ．31种 C ．8种D ．7种解析：选D 由题意知，可以开2盏、4盏、6盏灯照明，不同方法有C 13＋C 23＋C 33＝7(种)．3．分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道．要求4名水暖工都分配出去，且每户居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( )A ．A 34种B ．A 33A 13种 C ．C 24A 33种D ．C 14C 13A 33种解析：选C 先将4名水暖工选出2人分成一组，然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家，故有C 24A 33种．4．(x ＋2)2(1－x )5中x 7的系数与常数项之差的绝对值为( ) A ．5 B ．3 C ．2D ．0解析：选A 常数项为C 22·22·C 05＝4，x 7系数为C 02·C 55(－1)5＝－1，因此x 7系数与常数项之差的绝对值为5．5．⎝⎛⎭⎫x 2－12x 6的展开式中，常数项是( ) A ．－54B ．54C ．－1516D ．1516解析：选D T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－12x r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 6x 12－13r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4． ∴常数项为⎝⎛⎭⎫－124C 46＝1516．故选D ． 6．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种解析：选A 分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C 14＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C 24＝6种放球方法．∴共有C 14＋C 24＝10种不同的放球方法．7．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________．解析：不妨设1＋x ＝t ，则x ＝t －1，因此有(t －1)5＝a 0＋a 1t ＋a 2t 2＋a 3t 3＋a 4t 4＋a 5t 5，则a 3＝C 25(－1)2＝10．答案：108．农科院小李在做某项试验中，计划从花生、大白菜、大豆、玉米、小麦、高粱这6种种子中选出4种，分别种植在4块不同的空地上(1块空地只能种1种作物)，若小李已决定在第1块空地上种玉米或高粱，则不同的种植方案有________种．(用数字作答)解析：由已知条件可得第1块地有C 12种种植方法，则第2～4块地共有A 35种种植方法，由分步乘法计数原理可得，不同的种植方案有C 12A 35＝120种．答案：1209．(北京高考)把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种．解析：将A ，B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 44种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A ，B ，C 3件在一起，且A ，B 相邻，A ，C 相邻有CAB ，BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法，故A ，B 相邻，A ，C不相邻的摆法有48－12＝36种．答案：3610．若(2x ＋3)3＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3，求a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3的值．解：由(2x ＋3)3＝[2(x ＋2)－1]3＝C 03[2(x ＋2)]3(－1)0＋C 13[2(x ＋2)]2(－1)1＋C 23[2·(x ＋2)]1(－1)2＋C 33[2(x ＋2)]0(－1)3＝8(x ＋2)3－12(x ＋2)2＋6(x ＋2)－1 ＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋a 3(x ＋2)3．则a 0＝－1，a 1＝6，a 2＝－12，a 3＝8．则a 0＋a 1＋2a 2＋3a 3＝5．11．将7个相同的小球放入4个不同的盒子中． (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？解：(1)将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔板”将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有C 36＝20种不同的放入方式．(2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10个位置中选3个位置安排隔板，故共有C 310＝120种放入方式．12．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992． (1)求展开式中二项式系数的最大项； (2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x ＝1，则二项式各项系数和为(1＋3)n ＝4n ，展开式中各项的二项式系数之和为2n ．由题意，知4n －2n ＝992．∴(2n )2－2n －992＝0．∴(2n ＋31)(2n －32)＝0． ∴2n ＝－31(舍)或2n ＝32，∴n ＝5．由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是 T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223．(2)展开式通项公式为T r ＋1＝C r 53r·(x 23)5－r (x 2)r ＝C r 5·3r ·x 103＋4r 3．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎨⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92． ∵r ∈N *，∴r ＝4．∴展开式中系数最大项为T 5＝C 45·34·x 103＋4×43＝405x 263．。

高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案

1 6 7 12 C0 12 < C12 < ⋯ < C12 > C12 > ⋯ > C12 ，所以 2x − 3 ⩾ 5 且 2x ⩽ 12 解得 4 ⩽ x ⩽ 6．
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− A5 9
= =
8 × 7 × 6 × 5 × (8 + 7) 8 × 7 × 6 × 5 × (24 − 9) = 1.
2×8×7×6×5×4+7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1−9×8×7×6×5
（3）根据原方程，可得
3x(x − 1)(x − 2) = 2(x + 1)x + 6x(x − 1).
0 10 （1）计算：C5 10 ⋅ C10 − C10 ； m−1 （2）证明：mCm n = nCn−1 ．
解：（1）原式= （2）证明：因为
10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 1 − 1 = 252 − 1 = 251 ； 5×4×3×2×1
Cm n =
n! , m!(n − m)! (n − 1)! n(n − 1)! n m−1 n n! ⋅ = = . Cn−1 = m m (m − 1)!(n − m)! m ⋅ (m − 1)!(n − m)! m!(n − m)!
正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘，用 n! 表示．另外，我们规定 0! = 1 ．所以排列数公式还可以写成
Am n =
(n − m)！
n！
.
组合的定义一般地，从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）．组合数及组合数的公式从 n 个不同元素中取出 m （m ⩽ n ）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号 Cm n 表示．

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 1.3.2 含解析

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质课时过关·能力提升基础巩固1.已知(a+b )n 展开式中只有第5项的二项式系数最大,则n 等于( )A.11B.10C.9D.8只有第5项的二项式系数最大,∴n2+1=5.∴n=8.2.(a+b )n 二项展开式中与第(r-1)项系数相等的项是 ( )A.第(n-r )项B.第(n-r+1)项C.第(n-r+2)项D.第(n-r+3)项(r-1)项的系数为C n r -2=C n n -r+2,所以第(n-r+3)项与第(r-1)项的系数相等.3.若(x +1x)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为( )A.10B.20C.30D.1202n =64,得n=6,则T k+1=C 6k x 6-k (1x )k=C 6k x6-2k (0≤k ≤6,k ∈N ).由6-2k=0,得k=3.则T 4=C 63=20.4.若(x+3y )n 的展开式的系数和等于(7a+b )10展开式中的二项式系数之和,则n 的值为( ) A.5 B.8 C.10 D.15a+b )10展开式的二项式系数之和为210,令x=1,y=1,则由题意知,4n =210,解得n=5.5.若(3x 23)n的二项式系数之和为128,则展开式中含1x 3的项是( )A .7x 3B .-7x 3C .21x 3D .-21x 3(3x 23)n的二项式系数之和为128可得2n=128,n=7.其通项T k+1=C 7k (3x )7-k (23k=(-1)k C 7k·37-k x 7-5k 3,令7-5k3=-3,解得k=6,此时T 7=21x 3.6.已知C n 0+2C n 1+22C n 2+…+2n C n n =729,则C n 1+C n 3+C n 5的值等于( )A.64B.32C.63D.31(1+2)n =3n =729,解得n=6.则C n 1+C n 3+C n 5=C 61+C 63+C 65=32.7.如图是一个类似杨辉三角的递推式,则第n 行的首尾两个数均为 .1个数1,3,5,7,9…成等差数列,由等差数列的知识可知,a n =2n-1.n-18.设(2x-3)10=a 0+a 1(x-1)+a 2(x-1)2+…+a 10(x-1)10,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 10= .x=2,则(2×2-3)10=a 0+a 1+a 2+…+a 10,所以a 0+a 1+…+a 10=1.9.如图,在杨辉三角中,虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列{a n },则数列的第10项为 .a 1=1,a 2=1,a 3=2,a 4=3,…,从第三项开始每一项为前两项之和,a 10=a 9+a 8=2a 8+a 7=3a 7+2a 6=5a 6+3a 5=8a 5+5a 4=13a 4+8a 3=21a 3+13a 2=42+13=55.10.已知(2x-1)5=a 0x 5+a 1x 4+a 2x 3+a 3x 2+a 4x+a 5. (1)求a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5; (2)求|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|; (3)求a 1+a 3+a 5.令x=1,得(2×1-1)5=a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5,∴a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1.①(2)∵(2x-1)5的展开式中偶数项的系数为负值,∴|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|=a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5.令x=-1,得[2×(-1)-1]5=-a 0+a 1-a 2+a 3-a 4+a 5,即a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=-(-3)5=35. ②则|a 0|+|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+|a 5|=35=243. (3)由①②两式联立,得{a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=1,a 0-a 1+a 2-a 3+a 4-a 5=243,则a 1+a 3+a 5=12×(1-243)=-121.11.若(2x-3y )10=a 0x 10+a 1x 9y+a 2x 8y 2+…+a 10y 10,求: (1)各项系数之和;(2)奇数项系数的和与偶数项系数的和.各项系数之和即为a 0+a 1+a 2+…+a 10,可用“赋值法”求解.令x=y=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 10=(2-3)10=(-1)10=1.(2)奇数项系数的和为a 0+a 2+a 4+…+a 10,偶数项系数的和为a 1+a 3+a 5+…+a 9. 由(1)知a 0+a 1+a 2+…+a 10=1,① 令x=1,y=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 10=510,②①+②得,2(a 0+a 2+…+a 10)=1+510,则奇数项系数的和为1+5102;①-②得,2(a 1+a 3+…+a 9)=1-510,则偶数项系数的和为1-5102. 能力提升1.已知(1+x )n 的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( ) A.212B.211C.210D.29C n 3=C n 7,∴n=10.∴(1+x )10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.2.(1+x )n (3-x )的展开式中各项系数的和为1 024,则n 的值为( ) A.8B.9C.10D.11(1+1)n (3-1)=1 024,即2n+1=1 024,故n=9.3.若(1-2x )2 016=a 0+a 1x+…+a 2 016x 2 016(x ∈R ),则a12+a 222+…+a 2 01622 016的值为( )A.2B.0C.-1D.-2x=0,则a 0=1,令x=12,则a 0+a12+a 222+…+a 2 01622 016=0,故a 12+a 222+…+a 2 01622 016=-1.4.(x+1)9按x 的升幂排列二项式系数最大的项是( ) A.第4项和第5项 B.第5项 C.第5项和第6项 D.第6项10项,由二项式系数的性质可知,展开式的中间两项的二项式系数最大,即第5项和第6项的二项式系数最大.5.在(a-b )10的二项展开式中,系数最小的项是 .(a-b )10的二项展开式中,奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,且偶数项系数的绝对值为对应的二项式系数,因为展开式中第6项的二项式系数最大,所以系数最小的项为T 6=C 105a 5(-b )5=-252a 5b 5.252a 5b 56.设(x-1)21=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 21x 21,则a 10+a 11= .(x-1)21的展开式的通项为T k+1=C 21k x 21-k(-1)k ,∴a 10+a 11=C 2111(-1)11+C 2110(-1)10=-C 2111+C 2110=-C 2110+C 2110=0.7.如图数表满足:(1)第n 行首尾两数均为n ;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n (n ≥2)行的第2个数是 .,第n (n ≥2)行的第2个数是第(n-1)行第1个数跟第2个数的和,即a 2=2,a 3=a 2+2=2+2=4,a 4=a 3+3=4+3=7,…….则a n =2+2+3+4+5+…+…+n-1=1+(n -1)(1+n -1)2=n 2-n+22.8.若(2x+√3)4=a 0+a 1x+…+a 4x 4,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为 .x=1,得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+√3)4,令x=-1,得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(-2+√3)4,(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(a 0+a 1+a 2+a 3+a 4)·(a 0-a 1+a 2-a 3+a 4)=(2+√3)4(-2+√3)4=1.★9.已知(√x 23+3x 2)n 的展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项; (2)求展开式中系数最大的项.x=1得展开式各项系数和为(1+3)n =4n .展开式二项式系数和为C n 0+C n 1+…+C n n=2n ,由题意有4n -2n =992.即(2n )2-2n -992=0,(2n -32)(2n +31)=0, 解得n=5.(1)因为n=5,所以展开式共6项,其中二项式系数最大的项为第3项、第4项,它们是T 3=C 52(√x 23)3·(3x 2)2=90x 6, T 4=C 53(√x 232(3x 2)3=270x 223.(2)设展开式中第k+1项的系数最大. 由T k+1=C 5k (√x 23)5-k ·(3x 2)k =C 5k 3k x 10+4k3,得{C 5k ·3k≥C 5k -1·3k -1,C 5k ·3k ≥C 5k+1·3k+1 ⇒{3k ≥16-k ,15-k ≥3k+1⇒72≤k ≤92.因为k ∈Z ,所以k=4,所以展开式中第5项系数最大.T 5=C 5434x263=405x 263.★10.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第4个数;(2)在第2斜列中,前5个数依次为1,3,6,10,15;第3斜列中,第5个数为35.显然,1+3+6+10+15=35.事实上,一般有这样的结论:第m 斜列中(从右上到左下)前k 个数之和,一定等于第m+1斜列中第k 个数. 试用含有m ,k (m ,k ∈N *)的数字公式表示上述结论,并给予证明.C 203=1 140.(2)C m -1m -1+C m m -1+…+C m+k -2m -1=C m+k -1m ,证明如下:左边=C m m +C m m -1+…+C m+k -2m -1=C m+1m +C m+1m -1+…+C m+k -2m -1=…=C m+k -2m +C m+k -2m -1=C m+k -1m =右边.。

高中数学人教A版选修2-3习题第1章计数原理1.3.2 Word版含答案

选修第一章一、选择题．若(－)的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项是( )．第项．第项．第项．第项[答案][解析]令＝，得出(－)的展开式中各项系数和为(－)＝，解得＝；∴(－)的展开式通项公式为：－·(－)＝(－)·－··－，＋＝·()令－＝，解得＝.∴展开式的常数项是＋＝，即第项．故选．．若＋·－＋…＋·＋是的倍数，则自然数为( )．奇数．偶数．的倍数．被除余的数[答案][解析]＋·－＋…＋·＋＝(＋＋＋…＋＋＋)－＝(＋)＋－＝(＋－)是的倍数，∴＋为偶数，∴为奇数．．(·潍坊市五校联考)已知(－)的展开式中，常数项为，则的值可以为( ) ．．．．[答案][解析]通项＋＝()－(－)＝(－)－，当＝时为常数项，即(－))＝，经检验＝.．若为正实数，且(－)的展开式中各项系数的和为，则该展开式第项为( ) ．．－．．－[答案][解析]由条件知，(－)＝，∴－＝±，∵为正实数，∴＝.∴展开式的第项为：＝·()·(－)＝－·－＝－－，故选．．(湖北高考)若二项式(＋)的展开式中的系数是，则实数＝( )．．．．[答案][解析]二项式(＋)的通项公式为＋＝()－()＝－－，令－＝－，得＝.故展开式中的系数是＝，解得＝.．(·南安高二检测)除以的余数是( )．．．．[答案][解析]＝()＝(－)＝－＋＋…＋－＝(－＋…＋－)＋，∴除以的余数是.故选．二、填空题．若展开式的各项系数之和为，则＝，其展开式中的常数项为(用数字作答)[答案][解析]令＝，得＝，得＝，则＋＝·()－·＝·－，令－＝，＝.故常数项为＝.．已知(－)展开式中常数项为，其中实数是常数，则展开式中各项系数的和是[答案]或[解析]＋＝－(－)＝(－)··－，令－＝得＝，由条件知，＝，∴＝±，令＝得展开式各项系数的和为或.．在二项式(＋)的展开式中，各项系数之和为，各项二项式系数之和为，且＋＝，则＝[答案][解析]由题意可知，＝，＝，由＋＝，得＋＝，∴＝，∴＝.三、解答题．设(－)＝＋＋＋…＋(∈)()求＋＋＋…＋的值．()求＋＋＋…＋的值．()求＋＋＋…＋的值．[解析]()令＝，得：＋＋＋…＋＝(－)＝－①()令＝－，得：－＋－…－＝②。

人教A高中数学选修23作业：第1章计数原理1章末跟踪测评1 含解析

第一章章末跟踪测评(时间：120分钟满分：150分)只有一项是符合题目要求的)1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种D解析5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种．故选D项．2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有()A．36种B．48种C．96种D．192种C解析甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C24·C34·C34＝96种．故选C项．3．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1 440种B．960种C．720种D．480种B解析5名志愿者先排成一排，有A55种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有A22C14A55＝960种不同的排法．故选B项．4．设x∈N，x<55，则(55－x)(56－x)…(68－x)用排列数符号表示是()B．A1368－xA．A55－x68－xC．A1468－x D．A1455－xC解析(55－x)(56－x)…(68－x)＝A1468－x.5．在《爸爸去哪儿》某期节目中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知①食物投掷地点有远、近两处；②由于某位小朋友年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小朋友在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小朋友须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．则不同的搜寻方案有( )A ．40种B ．70种C ．80种D ．100种A 解析若年纪尚小的小朋友不参与该项任务，有C 15C 24C 22＝30种方案；若年纪尚小的小朋友参与该项任务，有C 25C 33＝10种方案．故共有30＋10＝40种方案．6．若⎝⎛⎭⎫x －3x n 的展开式中各项系数绝对值之和为1 024，则展开式中x 项的系数为( ) A ．15 B ．－15 C ．10D ．－10B 解析 ⎝⎛⎭⎫x －3x n 的展开式中各项系数绝对值之和等于⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中各项系数之和，故令x ＝1，得4n ＝1 024，所以n ＝5，所以T r ＋1＝C r 5(x )5－r⎝⎛⎭⎫－3x r ＝(－3)r C r5x 5－3r2. 令5－3r2＝1，解得r ＝1，所以T 2＝C 15(－3)1x ＝－15x ，故展开式中x 项的系数为－15. 7．某同学忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的六位数，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为( )A ．96B ．180C ．360D ．720B 解析根据题意，其QQ 号由1,2,5,5,8,8共6个数字组成，将这6个数字全排列，有A 66种情况，而这6个数字中有两个5和两个8，则共可以组成A 66A 22A 22＝180个六位数，那么他找到自己的QQ 号最多尝试180次．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15A 解析依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝⎛⎭⎫－x ＋1x 6＝⎝⎛⎭⎫x －1x 6，由通项T r ＋1＝C r 6(－1)r x 3－r ，可得常数项为C 36(－1)3＝－20.9. 把7个字符1,1,1，A ，A ，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A ”也不相邻，则这样的排法共有( )A ．12种B ．30种C ．96种D ．144种C 解析先排列A ，A ，α，β，若A ，A 不相邻，有A 22C 23＝6种，若A ，A 相邻，有 A 33＝6种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空中选3个插入1,1,1，共有12C 35＝120种．若A ，A 相邻时，从所形成的4个空中选3个插入1,1,1，共有6C 34＝24种，故三个“1”两两不相邻，且两个“A ”也不相邻，则这样的排法共有120－24＝96种．故选C 项．10．若数列{a n }满足规律：a 1>a 2<a 3>…<a 2n －1>a 2n <… ，则称数列{a n }为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为( )A ．12B ．14C ．16D ．18C 解析当a 1，a 3，a 5从3,4,5中取值时，a 2，a 4从1,2中取值，共有A 33A 22＝12种；当a 1，a 3，a 5依次取2,4,5时，a 2，a 4依次取1,3，有1种；当a 1，a 3，a 5依次取2,5,4时，a 2，a 4依次取1,3，有1种；a 1，a 3，a 5依次取4,5,2时，a 2，a 4依次取3,1，有1种；当a 1，a 3，a 5依次取5,4,2时，a 2，a 4依次取3,1，有1种．由分类加法计数原理得，不同的排法为12＋4＝16种．故选C 项．11.⎝⎛⎭⎫12x ＋128＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7＋a 8x 8，其中a k (k ＝0,1,2，…，7,8)是常数，则a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋7a 7＋8a 8的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1A 解析因为⎝⎛⎭⎫12x ＋128＝⎝⎛⎭⎫128(x ＋1)8＝⎝⎛⎭⎫128·(C 08x 8＋C 18x 7＋…＋C 78x ＋C 88)，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋7a 7＋8a 8＝⎝⎛⎭⎫128(C 78＋2C 68＋…＋8C 08)．设T ＝0C 88＋1C 78＋2C 68＋…＋8C 08，T ＝8C 08＋7C 18＋…＋0C 88，所以2T ＝8(C 08＋C 18＋…＋C 88)，即T ＝4×28，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋7a 7＋8a 8＝4.12．如图为与杨辉三角结构相似的“巴斯卡”三角，这个三角的构造方法是：除第1行为1外，其余各行中的每一个数，都等于它右肩上的数乘以右肩所在的行数，再加上左肩而得．例如第5行第3个数是35，它的右肩为6，左肩为11，右肩所在的行数为4，所以35＝6×4＋11.这个三角中的数与下面这个展开式中的系数有关：x(x＋1)(x＋2)…[x＋(n－1)]＝a n x n＋a n－1x n－1＋…＋a1x.则在“巴斯卡”三角中，第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为()A．322 559 B．35 279C．5 880 D．322 560B解析由已知中“巴斯卡”三角的前5行可得，第n行的第1个数为(n－1)！，故第8行的第1个数为7！，第9行的第1个数为8！.又因为第1行的累加和等于第2行的第1个数；第2行的累加和等于第3行的第1个数；第3行的累加和等于第4行的第1个数；第4行的累加和等于第5行的第1个数；……故第8行的所有数的和为第9行的第1个数8！，设第8行从左到右的第2个数到第7个数之和为S，则S＋7！＋1＝8！，故S＝8！－7！－1＝35 279.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将正确答案填在题中横线上)13．(2017·山东卷)已知(1＋3x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n＝________.解析由二项式定理的通项公式T r＋1＝C r n(3x)r＝C r n·3r·x r，令r＝2得C2n·32＝54，解得n ＝4.答案 414．用二项式定理计算9.985，精确到1的近似值为________.解析9.985＝(10－0.02)5＝105－C15×104×0.02＋C25×103×(0.02)2－C35×102×(0.02)3＋C45×10×(0.02)4－C55×(0.02)5＝105－103＋4－0.008＋…≈99 004.答案99 00415．若C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝363，则自然数n＝________.解析C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C2n＝363＋1⇒C34＋C24＋C25＋…＋C2n＝364⇒C35＋C25＋…＋C2n＝…＝C3n＋1＝364，故n＝13.答案1316．已知函数f(x)＝ln(x2＋1)的值域为{0,1,2}，则满足这样条件的函数的个数为________.解析因为值域为{0,1,2}，即ln(x 2＋1)＝0⇒x ＝0，ln(x 2＋1)＝1⇒x ＝±e －1，ln(x 2＋1)＝2⇒x ＝±e 2－1，所以定义域取值即在这5个元素中选取，①当定义域有3个元素时，有C 11C 12C 12＝4种取法，②当定义域中有4个元素时，有C 11C 34＝4种取法，③当定义域中有5个元素时，有1种取法．所以共有4＋4＋1＝9个这样的函数．答案 9三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)解方程．(1)A 42x ＋1＝140A 3x ； (2)C n ＋1n ＋3＝C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n －2n . 解析 (1)因为A 42x ＋1＝140A 3x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥4，x ≥3且x ∈N ，(2x ＋1)2x (2x －1)(2x －2)＝140x (x －1)(x －2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥3且x ∈N ，(2x ＋1)(2x －1)＝35(x －2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3且x ∈N ，4x 2－35x ＋69＝0，解得x ＝3.(2)因为C n ＋1n ＋3＝C n －1n ＋1＋C n n ＋1＋C n －2n ，所以C 2n ＋3＝C 2n ＋1＋C 1n ＋1＋C 2n ，即C 2n ＋2＋C 1n ＋2＝C 2n ＋2＋C 2n ，即C 1n ＋2＝C 2n ，所以n ＋2＝n (n －1)2，解得n ＝4.18．(本小题满分12分)已知(x －3x )n 二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为512.(1)求n 的值；(2)求展开式的所有有理项．解析 (1)由题可知C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1＝512＝29，所以n －1＝9，即n ＝10.(2)T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·(－3x )r＝(－1)r C r 10x10－r 2＋r3＝(－1)r C r 10x 5－r6(r ＝0,1，…，10)，因为5－r6∈Z ，所以r ＝0或6，有理项为T 1＝C 010x 5＝x 5，T 7＝C 610x 4＝210x 4.19．(本小题满分12分)已知6个人坐在一排10个座位上． (1)求空位不相邻的坐法种数；(2)求4个空位只有3个相邻的坐法种数．解析 6个人排有A 66种， 6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位． (1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中，有C 47＝35种插法，故空位不相邻的坐法有A 66C 47＝25 200 种．(2)将相邻的3个空位当作一个元素，另一空位当作另一个元素，往7个“间隔”里插，有A 27种插法，故4个空位中只有3个相邻的坐法有A 66A 27＝30 240种．20．(本小题满分12分)从{－3，－2，－1,0,1,2,3,4}中任选三个不同元素作为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的系数，问能组成多少条图象为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？解析抛物线经过原点，得c ＝0，当顶点在第一象限时，a <0，－b 2a >0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0，则有C 13C 14种；当顶点在第三象限时，a >0，－b2a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0，则有A 24种．共计有C 13C 14＋A 24＝24种．21．(本小题满分12分)已知A 5n ＝56C 7n ，且(1－2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n .(1)求n 的值；(2)求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 的值．解析 (1)因为A 5n ＝56C 7n ，所以n ！(n －5)！＝56×n ！7！(n －7)！，化简得n 2－11n －60＝0，解得n ＝15，n ＝－4(舍)． (2)令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－1，所以 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝－2.22．(本小题满分12分)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的系数和比(3x －1)n 的展开式的系数和大992，求⎝⎛⎭⎫2x －1x 2n 的展开式中满足下列条件的项． (1)二项式系数最大的项； (2)系数的绝对值最大的项．解析由题意知22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝C 510·(2x )5·⎝⎛⎭⎫－1x 5＝－8 064. (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，因为T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·C r 10·210－r ·x 10－2r ，则⎩⎪⎨⎪⎧C r 10·210－r ≥C r －110·210－r ＋1，C r 10·210－r ≥C r ＋110·210－r －1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧11－r ≥2r ，2(r ＋1)≥10－r ，解得83≤r ≤113，所以r ＝3，故系数的绝对值最大的项是第4项，即T 4＝C 310(2x )7⎝⎛⎭⎫－1x 3＝－15 360x 4.。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 1.2.2 含解析

1.2.2 组合课时过关·能力提升基础巩固1.C 62+C 75的值为( )A.72B.36C.30D.4262+C 75=6×52×1+7×62×1=15+21=36.2.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案共有( ) A.16种B.36种C.42种D.60种2个城市,则有C 42C 32A 22=36种投资方案;若选择了3个城市,则有C 43A 33=24种投资方案,因此共有36+24=60种投资方案.3.某高校外语系有8名志愿者,其中有5名男生,3名女生,现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作,若要求这3人中既有男生,又有女生,则不同的选法共有( ) A.45种 B.56种C.90种D.120种,不同的选法种数为C 83−C 53−C 33=45.4.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一,某肽链由7种不同的氨基酸构成,若只改变其中3种氨基酸的位置,其他4种不变,则不同的改变方法的种数为 ( )A.210B.126C.70D.357种中取出3种有C 73=35种取法,比如选出a ,b ,c 3种,再都改变位置有b ,c ,a 和c ,a ,b 两种改变方法,故不同的改变方法有2×35=70种.5.在某次数学测验中,学号i (i=1,2,3,4)的四位同学的考试成绩f (i )∈{90,92,93,96,98},且满足f (1)<f (2)≤f (3)<f (4),则这四位同学的考试成绩的所有可能的情况为( ) A.9种 B.5种 C.23种 D.15种6.某书店有11种杂志,2元1本的有8种,1元1本的有3种.小张用10元钱买杂志(每种至多买1本,10元钱刚好用完),则不同买法的种数为 .(用数字作答):(1)买5本2元的买法种数为C 85.(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C 84·C 32.故不同的买法种数为C 85+C 84·C 32=266.7.从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的个数为 .(用数字作答)0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为C 32C 22A 44=72.若选0,则可组成没有重复数字的四位数的个数为C 21C 32C 31A 33=108.则共可组成没有重复数字的四位数的个数为108+72=180.8.从7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有种.(用数字作答)C 73种方法,第二步安排周日有C 43种方法,故不同的安排方案共有C 73C 43=140种.9.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个.(用数字作答):第一类:个位、十位和百位上各有一个偶数,有C 31A 33+C 32A 33C 41=90个.第二类:个位、十位和百位上共有两个奇数一个偶数,有C 32A 33C 41+C 31C 32A 33C 31=234个,共有90+234=324个.10.8人排成一排,其中甲、乙、丙3人中有2人相邻,问这3人不同时排在一起的排法有多少种?5人有A 55种排法;再从甲、乙、丙3人中选2人排在一起并插入已排好的5人的6个间隔中有C 61A 32种排法,余下的1人可以插入另外5个间隔中有C 51种排法,由分步乘法计数原理知,共有A 55C 61A 32C 51=21 600种排法. 11.(1)求证:C m+2n =C m n +2C m n -1+C m n -2; (2)解:方程:3C x -3x -7=5A x -42.C n+1m =C n m +C n m -1可知,右边=(C m n +C m n -1)+(C m n -1+C m n -2)=C m+1n +C m+1n -1=C m+2n =左边.右边=左边,所以原式成立.3C x -34=5A x -42,即3(x -3)(x -4)(x -5)(x -6)4×3×2×1=5(x-4)(x-5), 所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5. 所以x=11或x=-2(舍去负根).经检验,x=11符合题意,所以方程的解为x=11.能力提升15.个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有一个球,若甲球必须放入A 盒,则不同的放法种数是 ( )A.120B.72C.60D.36A盒后分两类:一类是除甲球外,A盒还放其他球,共A44=24种放法;另一类是A盒中只有甲球,则其他4个球放入另外三个盒中,有C42·A33=36种放法.故总的放法有24+36=60种.2.某科技小组有6名学生,现从中选出3人去参加展览,至少有1名女生入选的不同选法有16种,则该小组中的女生人数为()A.2B.3C.4D.5x人,则女生有(6-x)人.依题意得C63−C x3=16,即x(x-1)(x-2)+16×6=6×5×4.解得x=4,故女生有2人.3.已知一组曲线y=13ax3+bx+1,其中a为2,4,6,8中的任意一个,b为1,3,5,7中的任意一个.现从这些曲线中任取两条,它们在x=1处的切线相互平行的组数为()A.9B.10C.12D.142+b,曲线在x=1处切线的斜率k=a+b.切线相互平行,则需它们的斜率相等,因此按照在x=1处切线的斜率的可能取值可分为五类完成.第一类:a+b=5,则a=2,b=3;a=4,b=1.故可构成两条曲线,有C22组.第二类:a+b=7,则a=2,b=5;a=4,b=3;a=6,b=1.可构成三条曲线,有C32组.第三类:a+b=9,则a=2,b=7;a=4,b=5;a=6,b=3;a=8,b=1.可构成四条曲线,有C42组.第四类:a+b=11,则a=4,b=7;a=6,b=5;a=8,b=3.可构成三条曲线,有C32组.第五类:a+b=13,则a=6,b=7;a=8,b=5.可构成两条曲线,有C22组.故共有C22+C32+C42+C32+C22=14组曲线,它们在x=1处的切线相互平行.4.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A.4225B.2225C.275D.475C62=15条直线,如图,其中有6对平行线,所求概率P=12×115×15=475.故选D.5.如图,一只电子蚂蚁在网格线上由原点O(0,0)出发,沿向上或向右方向爬至点(m,n)(m,n∈N*),记可能的爬行方法总数为f(m,n),则f(m,n)=.O出发,只能向上或向右方向爬行,记向上为1,向右为0,则爬到点(m,n)需m个0和n个1.这样爬行方法总数f(m,n)是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占(m+n)个位置,m.只要从中选取m个放0即可.故f(m,n)=C m+nmm+n6.如图,工人在安装一个正六边形零件时,需要固定六个位置的螺丝,第一阶段,首先随意拧一个螺丝,接着拧它对角线上的(距离它最远的,下同)螺丝,再随意拧第三个螺丝,第四个也拧它对角线上的螺丝,第五个和第六个以此类推,但每个螺丝都不要拧死;第二阶段,将每个螺丝拧死,但不能连续拧相邻的2个螺丝.则不同的固定方式有种.(用数字作答)7.在如图所示的四棱锥中,顶点为P,从其他的顶点和各棱中点中取3个,使它们和点P在同一平面内,则不同的取法种数为.(用数字作答):第一类,在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点,有4C53种取法;第二类,在两个对角面上除点P外任取3点,有2C43种取法;第三类,过点P的侧棱中,每一条上的三点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面,有4C21种取法.因此,满足题意的不同取法共有4C53+2C43+4C21=56种.★8.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数.0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类:第一类,与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选2个位置相同,其他2个不同有C42=6个信息.第二类,与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同,即从4个位置中选1个位置相同,其他3个不同有C41=4个信息.第三类,与信息0110没有一个对应位置上的数字相同,即4个位置中对应数字都不同,有C40=1个信息.由分类加法计数原理知,与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11.★9.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各1名,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法?(1)有3名内科医生和2名外科医生;(2)既有内科医生,又有外科医生;(3)至少有1名主任参加;(4)既有主任,又有外科医生.先选内科医生有C63种选法,再选外科医生有C42种选法,故选派方法的种数为C63·C42=120.(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,易得出选派方法的种数为C61·C44+C62·C43+C63·C42+C64·C41=246.若从反面考虑,则选派方法的种数为C105−C65=246.(3)分两类:一是选1名主任有C21·C84种方法;二是选2名主任有C22·C83种方法,故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C21·C84+C22·C83=196.若从反面考虑:至少有1名主任参加的选派方法的种数为C105−C85=196.(4)若选外科主任,则其余可任选,有C94种选法.若不选外科主任,则必选内科主任,且剩余的四人不能全选内科医生,有C84−C54种选法.故有选派方法的种数为C94+C84−C54=191.。

【专业资料】新版高中数学人教A版选修2-3习题：第一章计数原理 1.3.1 含解析

1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理课时过关·能力提升基础巩固1.(x-y )n 的二项展开式中,第r 项的二项式系数为( )A .C n rB .C n r+1 C .C n r -1 D.(-1)r-1C n r -1T r =C n r -1x n+1-r ·(-y )r-1,则第r 项的二项式系数为C n r -1.2.(x √x 3)12展开式中的常数项为( ) A.-1 320 B.1 320 C.-220 D.220k+1=C 12k ·x 12-k ·(-1√x 3)k =(-1)k C 12k x 12-43k ,令12-43k=0,得k=9.故T 10=(-1)9C 129=-220.3.(2x +1x2)7的展开式中倒数第3项的系数是( ) A .C 76·2B .C 76·26 C .C 75·25D .C 75·22+1x 2)7的展开式中倒数第3项为二项展开式中的第6项,而T 6=C 75·(2x )2·(1x 2)5=C 75·22·x -8.该项的系数为C 75·22.4.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=( )A.x 4B.x 4+1C.(x-2)4D.x 4+4(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C 40(x-1)4+C 41(x-1)3+C 42(x-1)2+C 43(x-1)+C 44=[(x-1)+1]4=x 4,故选A .5.(√x 3+a x )12的展开式中的常数项为-220,则a 的值为( )A.1B.-1C.2D.-2k+1=C 12k ·x 12-k 3-k ·a k .∵T k+1为常数项,∴12-k 3-k=0, ∴k=3.∴C 123·a 3=-220,∴a=-1.6.(x -1x )5的展开式中含x 3项的二项式系数为( )A.-10B.10C.-5D.5k+1=C 5k ·x 5-k (-1x )k =(-1)k C 5k ·x 5-2k ,令5-2k=3,则k=1.故含x 3项的二项式系数为C 51=5.7.(x 32√x )5的展开式中x 8的系数是 .(用数字作答)T k+1=C 5k ·(x 3)5-k ·(2√x )k =C 5k ·2-k ·x 15-72k (k=0,1,2,…,5).令15-72k=8,得k=2,于是展开式中x 8项的系数是C 52·2-2=52.8.若A=37+C 72·35+C 74·33+C 76·3,B=C 71·36+C 73·34+C 75·32+1,则A-B= .37-C 71·36+C 72·35-C 73·34+C 74·33-C 75·32+C 76·3-C 77=(3-1)7=27=128.9.在(2x 2√x 3)8的展开式中,求: (1)第5项的二项式系数及系数;(2)x 2的系数.因为T 5=C 84(2x 2)4(√x3)4=C 8424·x 203,所以第5项的二项式系数是C 84=70,第5项的系数是C 84·24=1 120. (2)(2x 2√x 3)8的通项是 T k+1=C 8k (2x 2)8-k (-1√x3)k =(-1)k C 8k ·28-k ·x 16-73k , 根据题意得,16-73k=2,解得k=6,因此x 2的系数是(-1)6C 86·28-6=112.10.求证:32n+3-24n+37能被64整除.2n+3-24n+37=3×9n+1-24n+37=3(8+1)n+1-24n+37=3(C n+10·8n+1+C n+11·8n +…+C n+1n ·8+1)-24n+37=3×64(C n+10·8n-1+C n+11·8n-2+…+C n+1n -1)+24C n+1n -24n+40=64×3(C n+10·8n-1+C n+11·8n-2+…+C n+1n -1)+64.显然上式是64的倍数,故原式可被64整除.能力提升1.对任意实数x ,有x 3=a 0+a 1(x-2)+a 2(x-2)2+a 3(x-2)3,则a 2的值是( )A.3B.6C.9D.21x 3=[2+(x-2)]3=C 30·23+C 31·22·(x-2)+C 32·2·(x-2)2+C 33(x-2)3.所以a 2=C 32·2=6.2.若(1+√2)5=a+b √2(a ,b 为有理数),则a+b 等于( )A.45B.55C.70D.80,得(1+√2)5=1+C 51·√2+C 52·(√2)2+C 53·(√2)3+C 54·(√2)4+C 55·(√2)5=1+5√2+20+20√2+20+4√2=41+29√2,即a=41,b=29,故a+b=70.3.(1-√x )6(1+√x )4的展开式中x 的系数是( )A.-4B.-3C.3D.4:(1-√x )6的展开式的通项为C 6m (-√x )m ,(1+√x )4的展开式的通项为C 4n (√x )n ,其中m=0,1,2,…,6;n=0,1,2,3,4.令m +n=1,得m+n=2,于是(1-√x )6(1+√x )4的展开式中x 的系数等于C 60·(-1)0·C 42+C 61·(-1)1·C 41+C 62·(-1)2·C 40=-3. 方法二:(1-√x )6(1+√x )4=[(1-√x )(1+√x )]4·(1-√x )2=(1-x )4(1-2√x +x ).于是(1-√x )6(1+√x )4的展开式中x 的系数为C 40·1+C 41·(-1)1·1=-3.4.设a ∈Z ,且0≤a<13,若512 016+a 能被13整除,则a 等于( )A.0B.1C.11D.12,得512 016+a=a+(1-13×4)2 016=a+1-C 2 0161(13×4)+C 2 0162(13×4)2-…+C 2 0162 016(13×4)2 016,显然当a+1=13k (k ∈Z )时,512 016+a 能被13整除.又0≤a<13,则a=12.5.若x>0,设(x 2+1x )5的展开式中的第3项为M ,第4项为N ,则M+N 的最小值为 .T 3=C 52·(x 2)3(1x )2=54x , T 4=C 53·(x 2)2·(1x )3=52x ,则M+N=5x 4+52x ≥2√258=5√22. 当且仅当5x 4=52x ,即x=√2时,等号成立.6.二项式(√x -2√x 3)10的展开式中,常数项的值为 .★7.已知(ax+1)n =a n x n +a n-1x n-1+…+a 2x 2+a 1x+a 0(x ∈N *),点A i (i ,a i )(i=0,1,2,…,n )的部分图象如图,则a= .T k+1=C n k (ax )n-k =a n-k ·C n k x n-k ,由题图可知a 1=3,a 2=4,即a C n n -1=3,且a 2C n n -2=4,化简得na=3,且n (n -1)a 22=4,解得a=13.★8.(1)求(1+x )2(1-x )5的展开式中x 3的系数;(2)已知(x √x +2√x 3)n展开式的前三项系数的和为129,这个展开式中是否含有常数项?一次项?如果没有,请说明理由;如果有,请求出来.+x )2的通项为T r+1=C 2r ·x r ,(1-x )5的通项为T k+1=(-1)k ·C 5k x k ,其中r ∈{0,1,2},k ∈{0,1,2,3,4,5},令k+r=3,则有k=1,r=2;k=2,r=1;k=3,r=0.故x 3的系数为-C 22C 51+C 21C 52−C 20C 53=5.(2)展开式的通项为T k+1=C n k (x √x )n-k ·(2√x 3)k=C n k ·2k ·x 9n -11k 6(k=0,1,2,…,n ),由题意,得C n 020+C n 12+C n 222=129.所以1+2n+2n (n-1)=129,则n 2=64,即n=8.故T k+1=C 8k ·2k ·x 72-11k 6(k=0,1,2,…,8),若展开式存在常数项,则72-11k 6=0, 解:之,得k=7211∉Z ,所以展开式中没有常数项.若展开式中存在一次项,则72-11k 6=1, 即72-11k=6,所以k=6.所以展开式中存在一次项,它是第7项,T 7=C 8626x=1 792x.★9.已知f (x )=(1+x )m ,g (x )=(1+2x )n (m ,n ∈N *).(1)若m=3,n=4,求f (x )g (x )的展开式含x 2的项;(2)令h (x )=f (x )+g (x ),h (x )的展开式中x 的项的系数为12,当m ,n 为何值时,含x 2的项的系数取得最小值?当m=3,n=4时,f (x )g (x )=(1+x )3(1+2x )4.(1+x )3展开式的通项为C 3k x k ,(1+2x )4展开式的通项为C 4k (2x )k ,f (x )g (x )的展开式含x 2的项为1×C 42(2x )2+C 31x ×C 41(2x )+C 32x 2×1=51x 2.(2)h (x )=f (x )+g (x )=(1+x )m +(1+2x )n .因为h (x )的展开式中x 的项的系数为12,所以C m 1+2C n 1=12,即m+2n=12,所以m=12-2n.x 2的系数为C m 2+4C n 2=C 12-2n 2+4C n 2=12(12-2n )(11-2n )+2n (n-1) =4n 2-25n+66=4(n -258)2+43116,n ∈N *,所以当n=3,m=6时,x 2的项的系数取得最小值.。

人教A版高中数学选修2-3作业：第1章计数原理1.2.1(2)

第一章 1.2 1.2.1 (二)(建议用时：40分钟)1．A ，B ，C ，D ，E 五人站一排，B 必须站A 右边，则不同的排法数为( ) A ．24 B ．60 C ．90D ．120B 解析五人全排列，B 站A 右边和B 站A 左边排法数相同，故共有排法A 55A 22＝60种．2．从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有( )A ．180种B ．280种C ．96种D ．240种D 解析特殊位置优先考虑，既然甲、乙不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一个参加生物竞赛有4种方案，然后从剩下的5个人中选择3个人参加剩下的3科竞赛，有A 35种方案，故选派方案有4A 35＝4×60＝240种．3．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字且比20 000大的五位偶数共有( ) A ．288个 B ．240个 C ．144个D ．126个B解析根据题意，分个位是0和个位不是0两类情形讨论：①个位是0时，比20 000大的五位偶数有A14A34＝96个；②个位不是0时，比20 000大的五位偶数有A12A13A34＝144个．故共有96＋144＝240个．4．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且1,2都不与5相邻的五位数的个数是()A．36 B．32C．28 D．24A解析如果5在两端，则1,2有三个位置可选，排法有A12A23A22＝24种；如果5不在两端，则1,2只有两个位置可选，排法有A13×A22A22＝12种．由分类加法计数原理知，共有12＋24＝36种．5．某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空车位必须都相邻，则不同的停放方法共有()A．16种B．18种C．24种D．32种C解析方法一首先安排三辆车的位置，假设车位是从左到右一共7个，当三辆车都在最左边时，有A33种停放方法，当左边两辆，最右边一辆时，有A33种停放方法，当左边一辆，最右边两辆时，有A33种停放方法，当最右边三辆时，有A33种停放方法，综上可知共有不同的停放方法4×A33＝24种．方法二先将3辆汽车排列有A33种方法，将4个空车位捆绑插入3辆车形成的4个空中有A14种方法，所以共有A33A14＝24种停放方法．6．4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有()A．12种B．14种C．16种D．24种B解析若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A44＝24种排法，除甲跑第一棒有A33＝6种排法，乙跑第四棒有A33＝6 种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A22＝2种排法，共有A44－2A33＋A22＝14种不同的出场顺序．二、填空题7．5把椅子摆成一排，2人随机就座，则两人不相邻的坐法有________种(用数字作答)．解析这是一个元素不相邻问题，采用插空法，3把空椅子摆成一排，有4个空，再把2个人带椅子插放在4个空中，所以有A24＝12种坐法．答案128．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有________种(用数字作答)．解析当甲在最左端时，有A55＝120种排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A11A14A44＝4×24＝96 种排法，共计120＋96＝216种排法．答案2169．安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是________(用数字作答)．解析分两种情况：①不最后一个出场的歌手第一个出场，有A44种排法；②不最后一个出场的歌手也不第一个出场，有A13A13A33种排法．所以根据分类加法计数原理共有A44＋A13A13A33＝78种排法．答案78三、解答题10．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法数．(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两端的位置；(2)全体排成一行，男、女各不相邻；(3)排成前后二排，前排3人，后排4人；(4)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人．解析(1)利用元素分析法，甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择，有A13种，其余6人全排列，有A66种．由乘法原理得共有A13A66＝2 160种．(2)插空法．先排好男生，然后将女生插入其中的四个空位，共有A33A44＝144种．(3)与无任何限制的排列相同，有A77＝5 040种．(4)从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A35种，甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有A22A33种．最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可，共有A35A22A33＝720种．11．已知有0,1,2,3,4,5六个数字．(1)这六个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？(2)这六个数字能组成多少个能被5整除的没有重复数字的四位数？(3)这六个数字能组成多少个比3 210大的没有重复数字的四位数？解析(1)因为要注意首位不能为零，先确定首位的数字，然后其余的数字任意选择即可，有A15A35＝300个．(2)因为是能被5整除的没有重复数字的四位数，分末尾是0或者5两种情况讨论．个位是0时有A35＝60个，个位是5时有4×4×3＝48个，所以共60＋48＝108个．(3)比3 210大的没有重复数字的四位数，要考虑首位比3大的情况，然后就是首位相同，十位上数字比2大，以此类推分类讨论得到，共有2A35＋2A24＋2A13＋2＝152个．12．有四张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有多少种？解析和为10的有1＋2＋3＋4＝10,1＋1＋4＋4＝10,2＋2＋3＋3＝10.①若取出的4张卡片所标数字各不相同，则有24×A44种；②若取出的4张卡片所标数字出现两小组相同，则有2A44种．故共有24×A44＋2A44＝432种．四、选做题13．某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有()A．14种B．16种C．20种D．30种C解析把语文和英语看作一个复合元素和数学全排，形成了三个空，把音乐和体育插入到其中2个空中，故有A22A22A23＝24种，若第一节排数学，3,4节只能排语文和英语，2,5节只能排音乐和体育，故有A22A22＝4种，故第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有24－4＝20种．故选C项．由Ruize收集整理。

人教A版高中数学选修2-3作业：第1章计数原理1.2.3

第一章 1.2 1.2.3(建议用时：40分钟)一、选择题1．编号为1,2,3,4,5的5个人分别去坐编号为1,2,3,4,5的5个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有()A．10种B．20种C．30种D．60种B解析5个人有两个人的编号与座位号相同，此两人的选法共有C25种；假如编号1,2的人坐的号为1,2，其余三人的编号与座号不同，共有2种坐法．所以符合题意的坐法为2C25＝2×10＝20种．2．现将2名医生和4名护士分配到2所学校给学生体检，每校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法共有()A．6种B．12种C．18种D．24种B解析只需让第一所学校选取即可．先从2名医生中选取1名，不同的选法有C12＝2种；再从4名护士中选取2名，不同的选法有C24＝6种．由分步乘法计数原理可得，不同的分配方案有2×6＝12种．3．从6人中选出4人参加数学、物理、化学、英语比赛，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加英语比赛，则不同的参赛方案为( )A ．96种B ．180种C ．240种D ．288种C 解析方法一有三种情况： (1)甲、乙都不参加比赛有A 44种；(2)甲、乙中只有一人参加比赛有C 12C 13A 34种； (3)甲、乙都参加比赛有A 23A 24种．故共有A 44＋C 12C 13A 34＋A 23A 24＝240种．方法二先选1人参加英语比赛有C 14种，再从剩下5人中选3人参加数学、物理、化学比赛有A 35种．故共有C 14A 35＝240种．4．从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取两个数字，一共可以组成没有重复数字的五位偶数的个数为( )A ．2 880B ．7 200C ．1 440D ．60A 解析先取后排，一共有C 24C 35A 12A 44＝2 880个．5．将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A ，B ，C ，D ，E 中，恰有两个球放入同一个盒子的概率为( )A ．725B ．1225C ．715D ．1215B 解析基本事件总数：3个球放入五个盒子中有53＝125个，两个球放入同一个盒子有C 23A 25＝60个．故所求概率P ＝60125＝1225. 6．两个三口之家拟乘两艘不同的游艇一起水上游，每艘游艇最多只能坐4个人，其中两个小孩(另4个为两对夫妇)不能独坐一艘游艇，则不同的乘坐方法种数是( )A ．48B ．49C ．68D ．69A 解析 ①两船分别坐2人、4人，有C 46·C 22·A 22－C 22·A 22＝28种； ②两船分别坐3人、3人，有C 36·C 33A 22·A 22＝20种．所以不同的方法共48种．二、填空题7．学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修班每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答)．解析根据题意，分2步进行分析：①将5名同学分成1,2,2的三组，有C 25C 23C 11A 22＝15种分组方法；②将分好的3组全排列，对应3个班级，有A 33＝6种情况，则安排好这5名同学的方案有15×6＝90种．答案 908．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为________.解析首先从14人中选出12人共C 1214种，然后将12人平均分为3组共C 412C 48C 44A 33种，然后这两步相乘得C 1214C 412C 48A 33.将三组分配下去共C 1214C 412C 48A 33A 33＝C 1214C 412C 48种．答案 C 1214C 412C 489．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况一共有______种(用数字作答)．解析分两种情况：一种是有一人获得两张有奖的奖券，一人获得一张有奖的奖券，有C 23A 24＝36种；另一种是三人各获得一张有奖的奖券，有A 34＝24种．故共有60种获奖情况．答案 60 三、解答题10．有10个不同的试验产品，其中有4个次品，6个正品，现每次取1个测试，直到4个次品全测出为止，试问4个次品恰在第五次测试完后被全部检测出来的不同情形有多少种？解析方法一设想有五个位置，先从6个正品中任选1个，放在前四个位置的任一个上，有C 16C 14种方法；再把4个次品在剩下的四个位置上任意排列，有A 44种排法．故不同的情形共有C 16C 14A 44＝576种．方法二设想有五个位置，先从4个次品中任选1个，放在第五个位置上，有C 14种方法；再从6个正品中任选1个，和剩下的3个次品一起在前四个位置上任意排列，有C 16A 44种方法．故不同的情形共有C 14C 16A 44＝576种．11．号码为1,2,3,4,5,6的六个大小相同的球，放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球．(1)若1号球只能放在1号盒子中，2号球只能放在2号盒子中，则不同的放法有多少种？ (2)若3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中，则不同的放法有多少种？(3)若5,6号球只能放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？解析 (1)1号球放在1号盒子中，2号球放在2号盒子中，其余球任意放，有A 44＝24种．(2)3号球只能放在1号或2号盒子中，则3号球有2种选择，4号球不能放在4号盒子中，则有4种选择，其余球任意放，则3号球只能放在1号或2号盒子中，4号球不能放在4号盒子中有C 12C 14A 44＝192种．(3)号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6，共5种情况，则符合题意的放法有C 15A 22A 44＝240种.12．各位数字互不相同，且能被3整除的四位数有多少个？解析若正整数的各位数字之和为3的倍数，则该正整数必是3的倍数，据此0～9中以被3除的余数分类，得被3除余数为0的数的集合为A ＝{0,3,6,9}，被3除余数为1的数的集合为B ＝{1,4,7}，被3除余数为2的数的集合为C ＝{2,5,8}．①当四位数上的数字都从A 中取，则四位数有C 13A 33种；②当四位数上的数字从A 中取2个，从B ，C 中各取一个，则四位数有C 13C 13C 13C 13A 33＋C 23C 13C 13A 44种； ③当四位数上的数字从A 中取1个，从B 或C 中取3个，则四位数有2C 13A 33＋2C 13A 44种； ④当四位数上的数字从B 和C 中各取2个，则四位数有C 23C 23A 44种．故符合条件的四位数有C 13A 33＋C 13C 13C 13C 13A 33＋C 23C 13C 13A 44＋2C 13A 33＋2C 13A 44＋C 23C 23A 44＝1548个．四、选做题13．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”“青春风街舞社”“羽乒协会”“演讲团”“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为( )A ．4 680B ．4 770C ．5 040D ．5 200C 解析若有1人参加“演讲团”，则从6人中选1人参加该社团，其余5人去剩下4个社团，人数安排有2种情况：1,1,1,2和1,2,2，故1人参加“演讲团”的不同参加方法数为C 16⎝⎛⎭⎫C 25C 23A 22A 34＋C 15C 14C 13A 33A 44＝3 600；若无人参加“演讲团”，则6人参加剩下4个社团，人数安排有2种情况：1,1,2,2和2,2,2，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为C 26C 24C 12A 22A 22A 44＋C 26C 24C 22A 33A 34＝1 440.故满足条件的方法数为3 600＋1 440＝5 040.由Ruize收集整理。

数学人教A选修23教材习题点拨：第一章计数原理含解析

教材习题点拨复习参考题A 组1．(1)n 2 点拨：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”．由于项的形式是a i b j ，而i ，j 都有n 种取法．(2)525 点拨：3576C C =525⋅. (3)1545A A =480⋅或2454A A =480⋅点拨：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置；第二种方法是先考虑有限制的两个位置．(4)5 点拨：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题．(5)35 点拨：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答．(6)54 点拨：对角线的条数等于连结正十二边形中任意两个顶点的线段的条数C 212，减去其中的正十二边形的边12条：2121211C 12=12=542⨯--. (7)n ＋1 点拨：展开式共有2n ＋1项，且各项的系数与相应的二项式系数相同． 2．解：(1)1 956；(2)240.点拨：(1)只要数字是1,2,3,4,5,6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求．(2)只有首位数是6和5的六位数才符合要求．3．解：(1)56；(2)30.点拨：(1)38C =56；(2)12345555C +C C +C =30+.4．解：98.点拨：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题．按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类．5．解：(1)12n n (-)；(2)12n n (-). 点拨：(1)任意两条直线都有交点，而且交点各不相同；(2)任意两个平面都有一条交线，而且交线各不相同．6．解：(1)64 446 024；(2)442 320；(3)446 976.点拨：(1)597C ＝64 446 024；(2)23397C C =442 330⋅；(3) 2332397397C C +C C =446 976⋅⋅. 7．解：103 680.点拨：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列．但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列．8．解：(1)－26x 2.(2)T k ＋1＝18C k(9x )18－k k，由题意有18－k －2k ＝0，解得k ＝12，T 13＝18 564. (3)由题意，得98102C =C +C n n n ，即2!!!9!9!8!8!10!10!n n n n n n ⋅=+(-)(-)(-)，化简，得n 2－37n ＋322＝0，解得n ＝14或n ＝23.(4)解法一：设T k ＋1′是(1－x )10展开式的第k ＋1项，由题意，知所求展开式中x 4的系数为T 4＋1′，T 3＋1′与T 2＋1′的系数之和．T 4＋1′＝410C (－x )4，T 3＋1′＝310C (－x )3，T 2＋1′＝210C (－x )2，所以x 4的系数＝432101010C C C =135-+.解法二：原式＝(1－x 3)(1－x )9＝(1－x 3)(1－9x ＋229C x －339C x ＋449C x ＋…)，所以x 4的系数＝49C ＋9＝135.点拨：(1)问，第三项是含x 2的项，其系数是2211224455C 3+C C (23)+C (2)=26⋅⋅-⨯--.9．证明：因为5555＋9＝(56－1)55＋9＝5655－155C ·5654＋…＋5455C ·56－1＋9＝5655－155C ·5654＋…＋5455C ·56＋8.因为5655－155C ·5654＋…＋5455C ·56＋8中各项都能被8整除，所以5555＋9也能被8整除．B 组1．(1)6 点拨：1211C =C =21n n n -+++，即12(n ＋1)·n ＝21，解得n ＝6. (2)192 点拨：先排有特殊要求的，再排其他的．(3)34，43 点拨：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B 中能够找到唯一对应的元素，就能确定一个映射，对应的元素可以相同，所以是“有重复排列”问题．(4)6 500 000 点拨：注意数字可以相同．根据分步乘法原理，有226A ·104＝6 500 000种牌照．(5)58 点拨：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数C 48中，排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及对角面上的四点共面的6种情况，因此三棱锥的个数为48C －12＝58.(6)1或－1 点拨：令x ＝1，这时(1－2x )n 的值就是展开式中各项系数的和，其值是(1－2)n ＝(－1)n ＝1,1,.n n -⎧⎨⎩奇数,是偶数2．解：(1)先从1,3,5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况；所以能组成的六位奇数有114344A A A =288个．(2)解法一：由0,1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201 345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201 345这1个；当首位数字是1时，有55A 个．因此，所求的正整数的个数是155555A A (1A )=479⋅-+.解法二：由0,1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的正整数中，大于201 345的正整数分为以下几种情况：前4位数字为2 013，只有201 354，个数是1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3,4,5中的一个，个数为1535A A ⋅.根据分类加法计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351A A A A A A A A 479⋅⋅⋅⋅++++=.点拨：(2)解法一应用间接法，解法二应用分类加法计数原理． 3．解：(1)221C C (1)(1)4m n mn m n ⋅=--； (2)2221C C C (1)(1)(1)8m n l mnl m n l ⋅⋅=--⋅-．点拨：(1)分别从两组平行线中各取两条平行线，就可构成一个平行四边形． (2)分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体． 4．解：(1)1444A A =96⋅种；(2)2333A A =36⋅.点拨：(1)先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法，根据分步乘法计数原理可得；(2)先排不能放在最前和最后的两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理可得．5．解：由等比数列求和公式得(1＋x )3＋(1＋x )4＋…＋(1＋x )n ＋2＝3311n x x x+(+)-(+)，上述等式右边分子的两个二项式中含x 3项的系数分别是33C n +，33C ，因此它们的差23333611CC 6n n n n +(++)-=，就是所求展开式中含x 2项的系数．点拨：本题还可与B 组第二题类似，原式中含x 2项的系数分别是23C ，24C ，…，22C n +，因此它们的和就是所求展开式中含x 2项的系数．可得2223234232C +C C =C C n n ++++-L ＝26116n n n (++).。

人教A高中数学选修23作业：第1章 计数原理2 含解析

第1章计数原理 专解2 求特定条件下方法种数 必备知识点 巩固练习-人教A版高中数学选修2-3

2021-2022学年高中数学 第一章 计数原理测评(含解析)新人教A版选修2-3