双曲线及其标准方程1(上课)

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练习2.写出符合下列条件的双曲线的标准方程: 2 2 x y （） 1 a 3, b 4, 焦点在x轴上 1 9 16 （2）c 5, b 3, 焦点在x轴上 （3）焦点为 0,-6 、 0,6 , a 3 (4) 焦点F （ 0） , F2 (5,0), 双曲 1 5， 线上一点P到F1 , F2的距离的差的绝 对值等于8
焦点
F（±c，0） F（0，±c）
F（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a.b.c的 关系
a>b>0，a2=b2+c2
[练习1] 判断下列各双曲线方程焦点所在的坐标轴；求a、 b、c各为多少？
x y (1) 1 25 144
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y x (2) 1 25 16
椭圆的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的 2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹. 提出问题： 平面内与两定点F1、F2的距离的 的点的轨迹是什么呢？ 差 等于常数 和 等于常数
实验探究 生成定义
（一）用心观察，小组共探
（要求：请同学们认真观察图中动画，对比椭圆定义的生成，思考点M在运 动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）
[2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的 轨迹是什么？
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数
（差的绝对值）
| |MF1|-|MF2| | = 常数
上面 两条合起来叫做双曲线
根据以上分析，试给双曲线下一个 完整的定义？
实验探究 生成定义
双曲线的几何定义：平面内与两个定点F1，F2的 距离的差的绝对值等于常数（小于︱F1F2︱)的点的 轨迹叫做双曲线.
2
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再次平方，得： (c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2) 两边同时除以
a (c a )，得
2 2 2
x y - 2 1 2 2 a c -a
2
2
由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,故c2-a2>0, 令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得：
x2 - y2 1 = (a>0,b>0) 2 2 b a
y F2
F1
2
o
2
F2
x
o
x F1
2
F1（-c, 0）、F2（ c , 0）
x y － 2 2 =1 a b
c2=a2＋b2
(a>0, b>0)
F1（0, -c）、F2（ 0, c ）
y x － 2 2 =1 a b
2
根据系数正负来判断焦点位置。
归纳比较 强化新知 双 曲 线 与 椭 圆 区 别 与 联 系
x2 y 2 1 16 9 y x 1 9 27
2 2
例 1(参考课本 P58 例 ) 已 知 两 定 点 F1 (5,0) , F2 (5,0) , 动 点 P 满 足
PF1 PF2 6 , 求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 10 >6,
PF1 PF2 6
解: 由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点
的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|>680m,所以爆炸点 的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.
如图所示，建立直角坐标系xOy, 使A、B两点在x轴上，并 且点O与线段AB的中点重合 y P 设爆炸点P的坐标为(x,y)， 则 PA PB 340 2 680 A o B x AB 800 即 2a=680，a=340 2c 800, c 400, b2 c 2 a 2 44400 800 PA PB 680 0 , x 0 x 2 y2 1( x 0) 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 115600 44400
椭
定义
圆
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a
方程
2 2 x2 y 2 x y 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 2 2 y 2 x2 y x 2 1(a b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b
x2 y2 ∴可设双曲线方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b 2 2 2 ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b =5 －3 =16. 2 2 x y 1 ( x ≥ 3) . 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
知识迁移 深化认知
变式 2:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
知识迁移 深化认知
双曲线:
(1)定义:| |MF1|-|MF2| | =2a（0<2a<|F1F2|） 2 2 x y 2 1 2 a b 2标准方程 : (a 0, b 0) 2 2 y x 1 2 2 (3)应用 b a
由方程定焦点：椭圆看分母大小 双曲线看系数符号
x2 y2 1 表示双曲线，则m的取值范围 4、如果方程 2 m m 1
m | m>－1或m< －2 是 __________
2
2
老师寄语:
学好数学,登上人生的又一高度. • 数学是金——析疑解难，无坚不克，所向披靡；
数学是美——逻辑之美，形象之美，美不胜收； 数学是恨——成也数学，败也数学； 数学是爱——我爱数学，数学爱我， 数学是我获胜的法宝。 • 让我们一起来享受数学的快乐，探求数学的真谛，感受数学的出神入 化。
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距. 双曲线定义的符号表述：
M
F1
o F2
思考：
| |MF1| - |MF2| | = 2a ( 2a< |F1F2|)
定义中需要注意什么?
讨论：定义当中条件2a<|F1F2 |=2c如果去掉，那么点的
轨迹还是双曲线吗？
群策群力 深化概念
y
M
O
|MF1| - |MF2|=±2a
求点M轨迹方程。
F1
F2
x
理解概念 探求方程
（二）自我展示，大家共赏
（自由发言，其他小组仔细观察、听取推导 过程，如有不同见解及时补充。）
y
M
F1
_ 2a } P= {M ||MF1 | - | MF2| = +
o
x
(x c) y (x c) y 2a
变式 1:已知两定点 F1 (5,0) , F2 (5,0) ,动点 P 满足
பைடு நூலகம்
PF1 PF2 6 ,求动点 P 的轨迹方程. ∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6 解：
∴由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
1.椭圆的定义 平面内与两定点F1、F2的距离之 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|) 的点的轨迹.
2.椭圆的标准方程
x y y x 2 1, 2 2 1(a b 0) 2 a b a b
3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系
2
2
2
2
a b c
2 2
2
复习旧知 导入新知
[1]取一条拉链； 数学试验演示 [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的 轨迹是什么？
[动画演示]
实验探究 生成定义
（一）用心观察，小组共探
（要求：请同学们认真观察图中动画，对比椭圆定义的生成，思考点M在运 动过程中那些量没有发生变化？在试验中能否找到一种等量关系？）
Music
爱
Transcend State Diligent Glory Strength Spur
存于心 超 然应对 境 勇 争第一 勤 勉好学 心 怀天下 越 自高远 界 起生命 奋 至金开 敢 发图强 诚 为人先 言而有 信
满人间
2.3.1 双曲线及其标准方程
平度九中数学组
复习旧知 导入新知
2
2
思考： 2 2 x y 方程 1 表示焦点在y轴双曲线时， 2 m m 1
∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
m 2 则m的取值范围_____________.
例2.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆 炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程 .
知识迁移 深化认知
x2 y2 1 1、a=4，b=3 ,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是 16 9 2、焦点为（0, -6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标 2 2 y x 准方程是 1 20 16
课堂练习
x y 1 3、设双曲线 上的点P到(5,0)的距离是15,则P到 16 9 (-5,0)的距离是 7或23 .
∴ 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, ∵焦点为 F1 (5,0), F2 (5,0)
x2 y2 ∴可设所求方程为: 2 2 1 (a>0,b>0). a b ∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5. x2 y2 1. 所以点 P 的轨迹方程为 9 16
知识迁移 深化认知
可口可乐的下半部
玉枕的形状
生活中的双曲线
隔 离 分 家 万 华 事 罗 休 庚 。
数 形 结 合 百 般 好 ，
形 少 数 时 难 入 微 。
数 缺 形 时 少 直 观 ，
理解概念 探求方程
（一）齐思共想，推导方程
建系标准：简洁、对称
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的 中点为原点建立直角坐标系，设M（x , y） ,则F1(-c,0),F2(c,0)
[1]取一条拉链； 数学试验演示 [2]如图把它固定在 板上的两点F1、F2； [3] 拉动拉链（M）。 思考：拉链运动的 轨迹是什么？
[动画演示]
实验探究 生成定义
（一）用心观察，小组共探
观察AB两图探究双曲线的定义 常数 ②如图 (B)， |MF2|-|MF1|=常数 记为2a 数学试验演示 [1]取一条拉链； 由①②可得：
理解概念 探求方程
（三）提炼精华，总结方程
y
M
F1
方程 叫做双曲线的标准方程
x2 - y2 = 1 (a>0,b>0) a2 b2
它表示的双曲线焦点在x轴上，
o
F2
x
思考： 当双曲线的焦点在y轴上时,它的标准方程 是怎样的呢？
理解概念 探求方程
（三）提炼精华，总结方程
（1）焦点在x轴上
y
（2）焦点在y轴上
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
P Q
M F1
F2
M
M
F1 o F2
两条射线F1P、F2Q。 （2）若2a>2c,则轨迹是什么？
无轨迹。
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
F1 M F2
|MF1|=|MF2| 线段F1F2的垂直平分线。
生活中的双曲线
双曲线型自然通风冷却塔
迪拜双曲线建筑
生活中的双曲线
PF1 PF2 10 ,求动点 P 的轨迹方程.
解： ∵ F1F2 10 ,
PF1 PF2 10
∴ 点 P 的轨迹是两条射线,
轨迹方程为 y 0( x ≥ 5 或x ≤ 5) .
知识迁移 深化认知
x y 例2:如果方程 1 表示双曲 2 m m 1 线，求m的取值范围. 解:由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1