巧用数形结合求最值
“数形结合”巧计算
“数形结合”巧计算数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。
比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。
对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。
下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。
例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数．分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下．方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为21）（+nn，即1＋2＋3＋4＋…＋n＝21）（+nn．图1方案二：设计图形如图2所示．图2因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2．（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。
例说数形结合解决求函数最值问题
例说数形结合解决求函数最值问题数形结合就是将抽象的数的方式与直观图形结合起来，既分析其代数含义又分析其几何含义。
在数与形的结合上往往采用“以形助数”或“以数辅形”的手段寻找解题的思路。
求函数的最值是中学数学的重要内容之一，题型多变，解法灵活，也是历年高考的必考内容，下面仅就这一方面利用数形结合的技巧举例说明。
例1：求函数的值域。
分析：我们可以先进行换元，去掉根号，然后在寻找解决问题的突破口。
解：令则原函数表达式等价转化为，即为过点和点的直线的斜率。
作出示意图像，经观察，计算可知的变化范围为。
评注：此题若采取代数方法，比较繁琐，但是给代数问题赋以一个合适的几何意义，问题就变得鲜活，简单。
例2：已知，求的最小值。
【分析】将看成是直线上的点A（x，y）与定点B（1，1）间的距离，则的最小值也就是点B（1，1）到直线的距离。
解：是由直线上动点与定点间的距离，显然的最小值是点到直线的距离，即例3.求函数的最值。
分析：等式右边根号内同为的一次式，如简单的换元无法转化为二次函数求最值，故用常规方法比较难。
如能联想到直线的截距，数形结合换元后，以形助数，则可轻松解决。
令则则所函数化为以为参数的直线族，它与椭圆在第一象限的部分有公共点又例4：对于任意函数f（x）、g（x），在公共定义域内，规定f（x）*g（x）=min{ f（x）、g（x）}，若f（x）=，g（x）=，求f（x）*g（x）的最大值。
分析：本题可首先确定函数的定义域，然后作出函数的图像，由图像可求出解析式，最后求最大值。
解：由题意得：的解为x=2故其图象如图，显然在点P时f（x）*g（x）取最大值，最大值为1。
例5.甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a 元（1）把全程运输成本y（元）表示为v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？分析：本题可根据实际问题抽象出函数模型，然后根据不等式性质、最值等知识，结合函数的图像，即可求解。
利用数形结合求函数的最大值和最小值
求函数 的最大值和最小值． 22
22 17 ()(cos 1)(sin 1)cos sin 55 f t t t t t æö
æö
=-+++
++- ç÷ç÷ èøèø
文件名
解 因为cos 2 t ＋sin
2 t =1 (0≤t <2p )，所以，f (t )可以看成是坐 标平面xOy 内单位圆x 2 ＋y 2 =1上的点P (cos t ，sin t )到两定点A (1， －1)、B 的距离之和．
17
(,) 55 - 注意到点A 、B 均在单位圆x 2 ＋y 2 =1外，
且线段AB 与单位圆x 2 ＋y 2 =1相交(如图)，
所以，函数f (t )的最小值就是线段AB 的长
度，即[f (t )] min 65 || 5
AB ==
又当点P 不在线段AB 上时，
视点P 是以A ，B 为焦点；|PA |+|PB |
为长轴长的椭圆上的点，而线段
AB 的垂直平分线l 的方程为 ， 此直线经过坐标原点，所以直线l
既是以A ，B 为焦点的椭圆的对称
轴，也是单位圆x 2 ＋y 2 =1的对称
轴．
1 2
y x =
max 2 [()]|'||'|||75105 5
f t P A P B MN =+==+ 所以，当此椭圆与单位圆x 2 ＋
y 2 =1相切于点P ' 时， 所求函数f (t )取得最大值，(如右图)．
255 (,) 55
-- 因此，所求函数f (t )的最小值为 ，最大值为 ． 655 2 75105 5 +。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位.为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1.配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)=6z/(x)2+/7/(x)+c(qHO)的最值问题，可以考虑用配方法.［例 1］已知函数 =(eA—a)2+(e A—tz)2(tzeR, aHO),求函数 y 的最小值.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和-:角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题.如可用三角换元解决形如/+/=1及部分根式函数形式的最值问题.3・不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式來解决函数最值问题的一-种方法.常常使用的基本不等式有以下几种：aIb#a|b。
er2ab(a, b 为实数),° ^y［ab(a0, b20), abW。
J 些艺(a, b为实数).14［例3］函数fix) =-+t^(O<x< 1)的最小值为・兀1X4.函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法.这种方法在高考屮是必考的，多在解答题中的某一问出现.［例4］已知函数»=xln x,则函数心)在也r+2］(r>0)上的最小值为.5.导数法设函数兀Q在区间［a, b］上连续,在区间(a, b)内可导,则的在［a, b］上的最大值和最小值应为兀0在(d, b)内的各极值与», fib) 中的最大值和最小值.利用这种方法求函数最值的方法就是导数法.［例5］函数»=x3-3x+l在闭区间［—3,0］上的最大值，最小值分别是，•6.数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的…种常用的方法.这种方法借助儿何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的-种重要途径.［a,［例 6］对 a, bWR,记 max|d, b\=\i1 函数=max||x+l|, |x—2||(x£R)的最小值是.二、巧用数形结合妙解3类求参数问题通过以下三个方面体会数形结合思想的运用.1.通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值|lg x|, OvxWlO,若a,b,c互不相等,［例1］已知函数fix)=<1—2^+6,兀>10,_!»=»=»,则abc的取值范围是(2•通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围［例2］已知mGR,函数/(x)=x2+2(m2+l)x+7,g(x)=-(2m2—m+2)x+m.(1)设函数p(x)=/U)+g(x)・如果p(x)=0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数加的取值范围；d,总存在唯一非零实数b(bHa),使得/2(d)=/z(b)成立？若存在，求加的值；若不存在，请说明理由.3.通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围［例3］如果函数y=l+p4—F(|x|W2)的图象与函数2)。
例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用
课程篇例谈数形结合在初中数学解题过程中的妙用张守军（山东省东营市垦利区郝家镇中学）数形结合思想是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观意义，使数量关系的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，让“形”变为“象”。
在初中数学教学中如果利用这种结合，寻找解题思路，可以让问题化难为易，化繁为简，从而轻易得到解决。
下面就以教学中的数学问题谈谈数形结合思想的渗透与妙用。
第一，利用数形结合解决物体运动位置、数的绝对值、二次根式等方面的问题：这类问题往往是确定大小、化去绝对值、判断二次根式的取值范围等，利用数形结合方法解决此类问题更直观准确。
【例1】对于正数a、负数b，若有|a|<|b|，试判断a、b、-a、-b的大小。
【观察与思考】根据正数a、负数b，|a|<|b|，可以在数轴上标记出四个数字所在的位置，如下图，故可以轻易判断a、b、-a、-b的大小。
b-a0a-b【归纳】此类问题由于引进了数轴，就把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”进行结合，二者相互补充，相辅相成，把复杂的问题转化为简单的问题。
因此，此类题中要注意渗透并运用数形结合思想。
第二，利用数形结合解决与方程相关的实际应用题：在研究实际应用问题的过程中，我们常常结合具体问题由数思形、由形化数，特别是在列方程解决应用题时，常采用画线段示意图和交叉列表关系图的方法展示问题中的数量关系，从而使我们更形象、更直观地理解问题。
【例2】某省甲、乙两个地区同时发生了灾害，恰好另外A、B 两地库存紧缺物资分别有2000吨、3000吨，现要把这些物资最快时间内全部运往甲、乙两地，从A地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨200元和250元；从B地往甲、乙两个地区运送物资的费用分别是每吨1500元和2400元，现甲地需要物资2400吨，乙地需要物资2600吨，如果这两批物资让你来调运，怎样安排总运费最少？【观察与思考】从题意中可以看出，这是一道关于物资分配问题的应用题，那怎么去分配物资呢？数据太多，似乎看起来杂乱无章，无从下手。
数形结合求最值
数形结合求最值作者：李维奇来源：《考试·高考理科版》2011年第05期关键词数形结合斜率截距距离求最值是数学中一个重要专题，而解析几何中的一些概念和公式也被广泛运用于此，方法简洁实用。
如：斜率、截距、点与点的距离公式、点到直线的距离公式，以及直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系等。
一、斜率模式当x1≠x2时，斜率k=y1－y2x1－x2，因此，对于分式的形式，视情况可以将其转化为斜率的形式。
例1 如果实数x,y满足(x－2)2+y2=3，求yx的最大值。
解：条件中的方程在解析几何中表示圆，而yx=y－0x－0，即表示圆上的点与原点的连线的斜率，如图1，易得此斜率的最值应是该直线与圆相切时取得，易得最大值为3。
如果利用选修教材中的圆的参数方程，即x=3cosθ+2y=3sinθ，就有如下变式：变式11 求函数y=3sin x3cos x+2的值域。
可变形为y=3sin x－03cos x+2－0，也可变形为y=3sin x3cos x－(－2)。
若将sin x与cos x的关系表示出来，即可得如下变式：变式12 求函数y=3•1－x23x+2的最大值。
可设x=cosθ，则有y=3sinθ3cosθ+2，即转化为变式11，但与之相区别的是θ∈［0,π］，这是后者所没有要求的。
其几何意义就不能完全用图1来表示，而是个半圆。
变式2 求函数y=2sin x－12sin x+1的值域。
函数变形为y=sin x－12sin x+12，即表示点(sin x,sin x)与点C－12,12的连线的斜率，如图2，由于sin x∈［－1,1］，可得点(sin x,sin x)是线段AB上的动点，易得经过点C的直线l1,l2的斜率分别为3和13，可知原函数的值域为(－SymboleB@ ,13］∪［3,+SymboleB@ )。
变式3 求函数y=x2+1x－1的值域。
y=x2－(－1)x－1，表示点(x,x2)与点(1,－1)的连线的斜率，而点(x,x2)是抛物线y=x2上的动点(x≠1)，如图3，直线l1与l2是抛物线的切线，设切点为(x0,x02)，则由导数知，斜率为2x0，则切线方程为y－x02=2x0(x－x0)，将点(1,－1)代入，得x0=1±2，直线l1与l2的斜率即为2±22，因此原函数的值域为(－SymboleB@ ,2－22］∪［2+22,+SymboleB@ )。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。
通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。
例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。
对于一个连续递减函数，则相反。
因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。
2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。
根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。
因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。
利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。
3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。
平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。
利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。
除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。
这些方法在不同的问题中都有所应用。
最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。
在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。
因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。
巧用数形结合解最值问题
—
解得 ： ２ －
３ 。
≤ ≤
３
ｋ＋ｌ
２ ＋ 、 ／ 了， 所 以
一
的最小值 为２ 一 、 ／ 了 ， 最大值 为
Ｖ十
，
Ｉ ｙ ＋２
Ｃ Ａ 边 上分别取 一点Ｄ、 Ｅ、 Ｆ ，
设ｌ ＡＤＩ ＝ ０ ， Ｉ Ｄ Ｂｌ ＝ ｍ， Ｉ Ｂ Ｅｌ ： ｃ ． Ｂ
Ｉ ＥＣＩ －ｒ ， Ｉ Ｃ同 ＝６， Ｉ Ｉ ＝ ｎ。
‘
当 然 这 里 的ｋ 并 非 是 某 一 条直 线 的斜 率 ， 所 以 问题 比 上一题要复杂。 解： 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２ 则（ １ 一
生 问题 熟 悉 化 。
一
例３ ： 已知 ： 点Ｐ （ ， ｙ ） 是 圆 卅ｙ 的 最 大值 。
＝ ９ 上的一动点 ， 求
距。 画与直线ｙ ＝ ｘ ＋ ｂ 平行的 、 ７ （ 、 、１ 直线系， 问题转化为： 求直 — ＝ ＝ ＿ ７ ＿
－
、
利 用 数 形 结 合 转化 为两 点 之 间的 距 离 问题
二、 利 用 数 形 结 合 转 过
程。
Ａ
例２ ： 已知 ＋ ≤１ ， 求 型 ± 的最值 。
’ —
ｙ ＋２
分析 ： 本 题 可 以 转化 为斜 率 问题 ， 令： ： — ｘ ＋ ｙ — ＋ ２
解 ：构 造 边 长 为ｋ 的 等 边 三 角形 Ａ Ｂ Ｃ ， 并 在 Ｂ、 Ｂ Ｃ、
２
＼
即： ａ ｎ ＋ ｃ ｍ ＋ ｂ ｒ ＜ Ｋ ２ 。
从 以上例子可以知道 ， 使用了数形结合 的方法 ， 很多 问题便迎刃而解了。可见巧妙运用数形结合 的 思想方法 ， 解决一些抽象的数学问题 ， 可起到事半功 倍 的效果 。利用数形结合 ， 不仅使问题更 直观 ， 而且 时也大大加快 了解题的速度。所 以我们要 注意培养
数形结合在求解最值中应用
数形结合在求解最值问题中的应用数形结合思想:在求解数学中，把数量关系的精确刻画与空间形式的形象直观密切结合，调用代数与几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的，这就是数形结合思想.纵观历年高考，以数形结合思想方法的巧妙运用解决的问题比比皆是.通过数形结合，可以将抽象的数学语言，符号，与其所反映的（可能是隐含的）图形有机的结合起来，从而促进抽象思维与形象思维的有机结合，通过对直观图形的观察与分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.利用数形结合解题主要包括两方面的内容：一方面，借助于图形的性质将图形信息转换成代数信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；另一方面，在解决与数量关系相关的数学问题时，根据数量关系的特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题.两者都是利用数形的辩证统一和各自的优势尽快的得到有效解题途径.高中最值问题:用数形结合方法求解最值问题的依据是笛卡尔创立的坐标系思想.坐标系包括斜坐标系（包含直角坐标系）和极坐标系.坐标系的创立沟通了代数和几何之间的联系，成为近代数学的开端.“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是对立的，又是统一的.每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.实现数形结合解题，主要通过以下三种途径：其一是通过坐标系；其二是通过转化；其三是构造图形，构造函数.因此在解决数学问题时，要根据待解题目，选择适当的方法，把抽象的问题具体化，具体化的问题精确化.数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野.以下就数形结合在最值方面的运用作些讨论.1.直接为数配形问题是数学的心脏，如果数学问题中的数量关系比较抽象，直接求解最值比较困难，我们就要考虑数学问题的条件或表达式是否有明显的几何意义,如果可以将其数学符号语言直接翻译为图形语言，那么就可以给出数量关系的直接的几何解释，为数配上形.再运用所给的代数式的结构中所含的几何意义来探求数量关系.根据问题中的数量关系以及其限制条件，结合图形（象）作出解答.例1、 已知a,b,c,d 22)()(,012,042,d b c a S d c b a R +++==-+=++∈求的最小值.分析：可把已知条件中的两个方程视为两条平行线，把求22)()(d b c a S +++=的最小值视为求点d)c,B(A(a,b)--与之间的距离的平方求最小值.视点A(a,b)在直线042:1=++y x l 上;点d)c,B(--在直线012:2=-+y x l 上,从而转化为求两条平行线间的距离.根据两条平行线0:,0:2211=++=++C By Ax L C By Ax L ()022≠+B A 的距离公式 2221||BA C C d +-=如图1-1，不难得出所求函数的最小值为52.借助变化，为数配形许多数学问题，直观上很难发现它具有某种几何意义，但可以通过变形，将其数量关系的问题转化成图形性质或利用图形性质的问题.把抽象的问题具体化.具体的问题精确化，从而使问题得到解决。
高中数学 数形结合_巧解“与圆有关的最值问题” 知识点+例题
数形结合，巧解“与圆有关的最值问题”例1 平面上有两点A （1-，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22最小值．解析：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422，设点P 的坐标为(,)x y 00,则2222220000||||(1)(1)S AP BP x y x y =+=+++-+222002(1)2(1)x y OP =++=+ 要使22||||BP AP S +=最小,需||OP 最小,即使圆上的点到原点的距离最小.结合图形,容易知道325||min =-=-=r OC OP ,所以20)13(22min =+=S ．点评：设 P （x ，y ），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值，实质上是利用初中学过的“连结两点的线段中，直线段最短”这一性质．例２ 点A 在圆()()x y -+-=53922上，则点A 到直线3420x y +-=的最短距离为（ ）A. 9B. 8C. 5D. 2解析：过C 作CD ⊥直线3420x y +-=于D ，交圆C 于A ， 则AD CD r =-为所求 ．∴AD例３ )0,3(P 在圆0122822=+--+y x y x 内一点．求（1）过P 的圆的最短弦所在直线方程（2）过P 的圆的最长弦所在直线方程解析：圆方程可以化成5)1()4(22=-+-y x ，圆心)1,4(O 1=OP k∴ 短l ：)3(--=x y 即 03=-+y x ； 长l ：)3(-=x y 即03=--y x ． 点评：最长弦当然是直径了，而最短弦是与直径垂直的弦．例４ 已知实数x ，y 满足方程22(2)3x y -+=．（1） 求y x的最大值与最小值； （2） 求y x -的最大值与最小值； （3） 求22x y +的最大值和最小值．分析：22(2)3x y -+=为圆的方程，(,)P x y 是圆心为（2，0）点．y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，y x -的几何意义是直线y x b =+在轴上的截距，22x y +的几何意义是圆上一点到原点距离的平方．解：（1）设y k x=，即y kx =．当直线y kx =与圆相切时，斜率k 取最大值与最小值，=k =．所以y xk = （2）设y x b -=，当直线y x b -=与圆相切时，纵截距b 取得最大值与最小值，=解得2b =-所以y x -的最大值为2-，最小值2-．（3表示圆上一点到原点距离，由平面几何知识知，其最大值为圆心到原点的距离加上圆的半径，其最小值为圆心到原点的距离减去圆的半径，分别是2与222x y +的最大值和最小值分别为7+7-．例5 过直线1y =上一点P （x ，y ）作圆22(1)(1)1x y +++=的切线，求切线长的最小值．解析：如图所示，切线长2221PM PC CM PC =-=-，所以要求PM 的最小值，只需求PC 的最小值．PC 是直线上一点到圆心的距离，由于经直线外一点所引直线的垂线段的长度是该点到直线的距离的最小值，所以当PC 垂直于直线时，min 2PC =，此时，切线长最小，为3．小结与提升：圆的知识在初中与高中都要学习，是一典型的知识交汇点．现在的数学高考非常重视初高中知识的衔接问题，所以同学们在处理与圆有关的小题时，一定要数形结合，多联想一下与之有关的平面几何知识，以免“小题大作”．。
数形结合巧解绝对值问题
和－ 3．
４２
y － 5 ＋ y ＋ 1 ＝9.
∵ x ＋ 2 ＋ x － 1 ≥3，y － 5 ＋ y ＋ 1
≥6，
而 x＋2 ＋ x－1 ＋ y－5 ＋ y＋1
＝9，
∴ x ＋ 2 ＋ x － 1 ＝3，y － 5 ＋ y ＋ 1
＝6，
∴－ 2≤x ≤1，－ 1≤y ≤5，
故 x＋y 的最大值与最小值分别为 6
四、解不等式
例 ６ 不等式 x ＋ 2 ＋ x － 3 ＞5 的解集
是
．
解：由绝对值的几何意义知， x＋2 ＋
x － 3 的最小值为 5，此时 x 在－ 2～3 之间（包
括两端点）取值. 若 x ＋ 2 ＋ x － 3 ＞5 成立，
则 x 必在－ 2 的左边或 3 的右边取值 （如图 5
所示），故原不等式的解集为 x ＜－ 2 或 x ＞3．
图5
五、判断方程解的个数
例 ７ 方 程 x ＋ 1 + x ＋ 99 + x ＋ 2 ＝
1996 共有（ ）个解．
A.4 B． 3
C． 2
D．1
解：当 x 在－ 99～－ 1 之间（包括这两个端
点）取值时，由绝对值的几何意义知，x ＋ 1 ＋
x ＋ 99 ＝98， x ＋ 2 ＜98． 此时， x ＋ 1 ＋
一点到表示数 3 和 6 两点的距离的差. 当 P 点
在 3 的左边时，其差恒为－3；当 P 点在 6 的右
边时，其差恒为 3；当 P 点在 3～6 之间（包括这
七、巧用乘法分配律
例８
解方程
1 2018
（x＋2688）－
1 2016
（x＋
2688）＋
七年级数学绝对值数形结合题目就最大和最小值
七年级数学中，绝对值数与数形结合的题目是关于寻找最大和最小值的问题。
通过对数形的理解和绝对值数的运用，我们可以通过具体的例题来深入探讨这一主题。
1. 理解绝对值数和数形的关系在数学中，绝对值是一个数离原点的距离，它不考虑数的正负。
而数形指的是可以用图形表示的数学概念，例如直角三角形、圆形等。
绝对值数与数形结合的题目通常是利用绝对值符号来求解数形的性质或特点，进而求得最大和最小值。
2. 通过例题深入探讨例题一：一个数的绝对值与这个数本身的乘积最大是多少？解析：假设这个数为x，根据绝对值的定义可知该题实质上就是求x和-x的乘积的最大值。
通过观察可以得出结论，当x取0时，这个乘积最小为0；而当x取正数或负数时，乘积始终为负数。
最大值为0。
例题二：求解一个绝对值数与一个给定数相加的最大值和最小值。
解析：设给定数为a，绝对值数为x。
根据题目要求，可以列出不等式|x + a|的最大值和最小值。
通过分情况讨论，当a为正数时，最小值为0，最大值为2a；当a为负数时，最小值为2a，最大值为0。
3. 总结与回顾通过以上例题的探讨，我们可以得出结论：绝对值数与数形结合的题目往往涉及到对绝对值性质和数形性质的综合运用，通过巧妙地利用绝对值数的非负性和数形的图像直观性，可以快速而准确地求解最大和最小值问题。
这种方法既能够提高学生对绝对值概念的理解，也能够培养他们的逻辑思维能力和数学应用能力。
4. 个人观点和理解在教学中，我认为教师应该引导学生通过练习和实践，不断加深对绝对值数和数形结合题目的理解和掌握。
通过引导学生分析解题思路，帮助他们建立数学模型，并鼓励他们勇于尝试不同的解题方法，从而提高他们的数学解决问题能力和创造性思维。
以上是我对七年级数学中绝对值数与数形结合题目求最大和最小值的文章撰写，请查看后如有需要，欢迎进一步讨论。
绝对值数与数形结合题目是数学中一个重要的内容，通过深入理解和掌握这一主题，能够帮助学生提高数学思维能力，培养解决问题的能力。
巧用数形结合求函数的最值
设 ｕ ｔ） （ ＋ １ ＜ Ｏ对 某 个 ｔ∈｛ ， ， （。 “ ｔ ｏ ） 。 Ｏ １ 丁） 立． 失一 般 性 ， 设 （。 ） 成 不 假 ｔ＋１ ＞０
“ ｆ＋ ２ （０ ） 一 （ ＋ ６ ｔ＋ １ ） （ｏ １ 一 ｕ ｔ） ２ （０ ） “ ｔ＋ ） （０ ＞ （ ＋ ｂ ｔ ＋ １ ） （ｏ １ ２ （。 ） ｕ ｔ十 ） （ ４ １）
＼
在 轴上 的 截距 （ 图 ３ ． 为直 线 与 椭 圆 如 ）因 部分 有公 共 点 ， 以 当且 仅 当直 线 与椭 圆 部 所 分相切 时， Ｙ最 大 ．由 判 别 式 法 求 得 ＋： 的 离 平 专如 ） ｘ ｙ １ 距 的 方１ 图１ ＝ ＝ （ ・
例
￣
的最 大值 是 ３ 当且仅 当 ；
＋ Ｙ 过 点 （ ３， ） ， √ ０ 时 Ｙ＝ ￣ ／ ＋１＋
２
设
Ｙ ＝ ￣ ｚ １ｘ ２ ＋ ／ － ０＋ ６ — ｘ —
／ ２ —＋５ ｘＥＲ ， Ｙ的最小 值． — －２ ｘ ｘ （ ）求 解
＝
￣ —２ ／ ｘ的最小值 是√ ． ４ ３
在 （） ， ￡ 。 ， ７ 中 令 一ｔ＋２ 利用 （ ４ 可得 １）
ｕ（ｏ ３ ｔ＋ ）
一
设存在 ｔ∈Ｖ， ０ 使得 Ｕ ） ， Ｕ ｔ一 （ 一０ 则 （ｏ １ ｕ ｔ＋１ ＜Ｏ 不失一 般性 ， ）（ 。 ） ． 假定
“ ｔ十 １ ＞ “ ｔ） （ｏ ） （０ ． （） ８
（ ＋ ｂ ｔ＋ ２ ） （ ＋ ２ － ｕ ｔ＋ １ ２ （ｏ ）“ ） （ｏ ）
小值 为 Ｉ ＡＢｆ ． 一５
收 稿 日期 ：０ ９ １ —０ ２０ － ０ １
５ ６
数形结合求值域(最值)
／ ｅ ４ ＋５ ｘ —－ — ｘ 的最 小 值 ． ｊ一 分 析 ： 函 数 可 化 为 ， 原
变式 ：１ 已知实 数 ， 足（ （） Ｙ满 ＋３ ｙ ２ 。 ）＋（ － ）
Ｈ 呲 ｆ［ Ｂ ｌ
解题 方法 与技 巧
数 形 结台 求 值 域 （ 值 ） 最
江 苏灌 南高级 中 的一个重要思想 ， 许多求值 域 的 题 目在 用 常 规 方法 无 法 解 决 或 者较 为繁 琐 时 ， 不 妨 采 用数 形 结 合 思 想试 一 试 ， 往 会 收 到 意 想 不 到 的 往 效果．
４ 一 ０上 ，
二 、数与 斜 率 的 结 合
斜 率 是 解 几 中 的基 本 概 念 ， 有 着 非 常 直 观 的 几 它
何意义． 当所求最值 的形式是 比值的时候 ， 们通常 我 考 虑能 否 转 化 为 斜 率 的 问题 ．
【 ２ 已 知 ， 例 】 Ｙ满 足 （
ｙ
设 ｆ 一 ２ 得直 线 ， — ， ： 一２ —ｆ ． 一０ ．直 线 ｌ 圆 Ｃ 有 公 共 点 ． ． 与
圆 （， ） 心ＣＩ一２到直线ｚ 的距离卫 ｛ 二 呈
√ｂ
＋３。 ｙ ２。 ． 的最 ）＋（－ ）一１求÷
大值． 分 析 ： Ｐ（ Ｙ） 圆 Ｃ： 点 ， 在
（＋３： （ 丁 － ） ＋ Ｙ一 ２ 一 ｌ上 ． ） 故
图 １
．
＜√ ， ｌ ５ ≤５ Ｏ ≤１． ５ 即 ｔ ｌ ，≤ｆ ０ － 故 一 ２， ．的取 值 范 围 是 ［ ，Ｏ ． ， Ｏ １］
四 、 与 向量 的结 合 数
０ ：
÷ 可看作原点到圆（ －）＋ ４ ３：
【 】求 数 ２＋— 值 ‘ 例１ 函 ｙ 』【 ＋ 域 。４ 的 ＿ ５
数形结合思想在解题中的应用--以最值问题为例
数形结合思想在解题中的应用--以最值问题为例
发布时间：2023-06-06T08:10:56.427Z 来源：《基础教育参考》2023年6月作者：邓力铖
[导读] 数形结合是高中数学解题中重要的思想之一，特别是在解决圆的综合问题时，经常将题设中所给的数量关系和图形结合起来，避免大量的代数运算.对于圆中所涉及到动点中求最值问题，大部分学生更是一筹莫展.本文从“图形”出发，结合代数关系，呈现出动点运动状态，求出最值，简化运算，让学生体会数形结合的优势.
（四川省达州市第一中学校）
中图分类号：G626.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1672-1128（2023）6-261-01。
巧用数形结合解决高中数学中的的最值问题
教学研究幸福生活指南28幸福生活指南巧用数形结合解决高中数学中的的最值问题彭永波辽宁省盘锦市盘山县高级中学 辽宁 盘山 124100摘 要：高中数学教学中数和形是相互联系和相互转换的。
许多数学问题都是数和形的结合。
数形结合思想就是将数量关系和空间图形结合起来考查的思想方法[张福庆2013]。
高中数学的解题的本质就是要理解数和形的关系，找粗他们相互转换的规律。
高中数学中的数，一般是指实数、复数或代数对象及其关系，隶属抽象思维范畴."形"主要是指几何图形，隶属形象思维范畴。
关键词：高中数学；数形结合；函数教学；最值问题数形结合，顾名思义，就是将数学中的代数和图像相互转换，结合起来解决数学问题的数学思想。
随着教育改革进程不断加快，对于高中数学而言，其教学的最终目的是培养学生掌握学习的方法，数形结合作为高中数学的主要教学方法之一，将形与数有机结合，进而开拓思维，掌握解题思路.它能够使数学中一些抽象的题目解答变得更加直观、生动，化抽象为具体，学生在解题时会变得相对容易。
把握数形结合思想的使用，可以拓宽数学解题的思路和方法，学生能够更加快速、正确地解答出数学题目。
一、在例题讲解中运用数形结合的思想解决数学最值问题例题是教学中不可缺少的内容，教师在教学中要做到运用图形循序渐进，立足于学生已有认知，逐渐提升难度，所以，在例题中要先让学生根据图形做基础题热身。
教师可以将看图设计的题目展示给学生：（1）求函数f(x)=x 2+2x-2的最小值；（2）求函数f(x)=x 2+2x-2在[0，5]上的最大值和最小值。
”，可以看到，这道题比较基础，很多学生都能够正确的做出来，求出题目的最值，还需要展现出求二次函数最值的基本思想方法。
就两道题目来说，不同就在于（2）是在（1）的基础上增加了定义域，基于对比学习，学生就可以认识到定义域会影响到二次函数最值。
之后在图例的启示下教师可以带着学生引入参数深化研究。
数形结合解最值
数形结合解最值四川省广元市宝轮中学 唐明友“数”转化为“形”直观，“形”结合于“数”简便，两者之间相辅相成，相互转化，“数”和“形”的这种辩证关系就是数形结合思想。
本文例析运用数形结合思想解决最值问题。
一.结合数轴例1.若a<b<c ，试求函数y=ax -+b x -+cx -的最小值。
分析与解：本题若用“零点区间讨论法”解， 且a 、b 、c 不是具体的数，计算起来非常麻烦。
根据绝对值的几何意义，在数轴上ax -、b x -、cx -分别表示线段AX 、BX 、CX 的长。
现在要求ax -+b x -+cx -的最小值，从几何意义上理解，就是在数轴上找一点X ，使点X 到A 、B 、C 三点距离之和最小。
由图知，当X 与点B 重合时，即当x=b 时该距离之和最小，∴y 的最小值为c －a 。
说明：如果a 、b 、c 是具体的常数，还可通过分类讨论，画出分段函数的图像，再根据图像找出最小值。
二.结合直角三角形 例2.求代数式42+a +9)12(2+-a 的最小值分析与解：仅从代数角度思考显然难以奏效，观察到两个根号下都是平方和的形式，自然联想到勾股定理，进而可考虑构造R t △ACP 和R t △BDP 。
如图，A C ⊥l 于C,BD ⊥l 于D,AC=2,BD=3,CD=12,P 在直线l 上， 且PC=a(由题意a 为负数或0均不是最小的，可设a>0), 则PA+PB=42+a +9)12(2+-a ，因此，本题化为“在直线l 上求一点P ，使PA+PB 的 值最小”。
为此，取点A 关于直线l 的对称点A ，，过点A ，作A ，E ⊥BD 交其延长线于点E ，连接PA ，、A ，B ，则 原式=PA+PB=PA ，+PB ≥A ，B=22BE E A +，=223)(212++=13因此，原式的最小值是13。
说明：本题亦能构造平面直角坐标系，求代数式的最小值，相当于要在x 轴上求一点（a,0）,使它到（2,0）和（12，3）这两点的距离的和最短，请同学们去思考。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析例题1：已知直角三角形ABC中，\angle B=90^\circ, AB=3, BC=4.过点B画高BD交AC于点D，求\bigtriangleup ABD的面积。
解析：在解决这个问题时，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过勾股定理知道AC=5。
然后我们可以通过计算直角三角形ABC的面积，S_{\bigtriangleup ABC}=\frac{1}{2}\times 3\times 4=6。
接着，我们可以通过计算直角三角形ABC在AC上的高BD，可以用\frac{1}{2}AB\times BC=6可以得到BD=1.5。
接下来，我们可以计算\bigtriangleup ABD的面积，S_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\times 3\times 1.5=2.25。
\bigtriangleup ABD的面积为2.25。
通过这个例题我们可以看到，通过数形结合的思想，我们可以用较为简洁的步骤来解决这个问题，使得我们更清晰地理解题目，找到更加直观的解法。
例题2：已知f(x)=x^2+bx+c是一个以x为自变量的二次函数，且f(2)+f(3)=26,f(4)=19，求b,c的值。
解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
我们可以通过函数值的计算得到f(2)=4+2b+c，f(3)=9+3b+c，f(4)=16+4b+c。
由f(2)+f(3)=26可得13+5b+2c=26，所以5b+2c=13。
由f(4)=19可得16+4b+c=19，所以4b+c=3。
通过解这个方程组可以得到b=5,c=3。
例题3：已知椭圆的离心率为\frac{1}{2}，长轴的长为8，求其短轴的长。
解析：对于这个问题，我们可以通过数形结合的思想来进行分析。
椭圆的离心率定义为e=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}，其中a为长轴的长，b为短轴的长。
利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题
利用数形结合思想探究与圆有关的最值问题
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，与圆有关的长度最值问题有以下题型：
思路分析：
已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问
的不等式，即可解出
=45，
2
45
=
2
在运动变化中，动点到直线、圆的距离会发生变化，在变化过程中，就会
与圆有关的长度最值问题有以下题型：
到圆上距离最近为
③直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离
动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转
+，最小值的距离为d，圆半径为r，则圆上的点到直线的距离的最大值为d r
时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解
圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题
例5 实数x 、y 满足22326x y x +=，则22y x +的最大值为 . 用消元法化为关于.
法二：令
2
y+
=k，
d－r.
纵观近几年高考对于圆的的考查，重点放在与圆相关的最值问题上,主要考查与圆相关的参数范围问题和圆相关的长度或面积的最值问题.要求学生有较强的数形结合能力、转化与化归意识和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.。
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C
生的.数与形常常根据一定的条件相互联系：每一个直观的几何图
B
形中都蕴含着一定的数量关系，而抽象的数量关系又常常可以用 形象和直观的几何图形来表示.因此，在解决数学问题时，常需分 析数学问题中条件与结论之间的内在联系.研究数量关系时，有时
O
A
x
要借助图形来观察，揭示其几何意义；而研究图形时，常借助数去 思考，分析其代数意义，使数量关系（数）和空间形式（形）巧妙地
4-
姨 3
7
，ymax=
4+
姨 3
7
一、转化为求斜率
二、构建三角形
例 1.如果实数 x，y 满足（x-4）2+（y-3）2=4，那么 y 的最大值是 x
多少？ y
B A（4，3） P
例 3.设 a，b，c 为正实数，求 y= 姨x2+a + 姨（c-x）2+b （x<c）的 极小值.
Q
PC O
AB
a
姨1+m2
6
6
故
1+
姨21 6
是y x
的最大值.
例
2.求
y=
2-sinx 2-cosx来自的最值.分析：仔细观察两个根式的几何特征：姨x2+a 和 姨（c-x）2+b 可以分别看作是以 x，姨 a 和 c-x ，姨 b 为两直角边的直角三角 形之斜边，据此，便可以构建相应的三角形.
解：在直线 l 上作 OA =x，AB =c-x，过 A 作 AP⊥OA 于点 A，在 AP 上取 AP =姨 a ，过 B 作 BQ⊥OB 于点 B，则 BQ =姨 a + 姨 b ，再过点 P 作 PC∥AB，交 BQ 于点 C.
秋冬交接时是孩子们最容易感冒的时候，在预防流感的工作 想，为他们插上飞翔的翅膀！
中，我除了做好晨、午检及日常的消毒工作外，还时时提醒、督促
（作者单位 河北省容城县大河镇大河小学）
的最小值.
y
A B
数方法来处理，而一些代数问题也可以用几何图形或函数图 形来化解.据此，我们应仔细挖掘出题目中数与形的结合点，认 真剖析题意中数中形与形中数的化解点，通过数形结合，构建 思路.
由于建立了直角坐标系平面上的点和有序实数对之间便 建立了一一对应关系,这就为数形结合创造了条件.从而通过 数的抽象性加深对形的认识，通过形的直观性加深对数的理 解，最终实现简化计算的目的.
a1
O
x
解：在直角坐标系 xOy 中，方程（x-4）2+（y-3）2=4 是一个圆的 方程，圆心为 A（4，3），P 点为圆 A 上任一点，则 y 是直线 OP 的斜
x 率.显然，切线 OB 的斜率就是 y 的最大值.则切线 OB 的方程为：
x y=mx（m>0），
则 4m-3 =2，解之 m= 6+ 姨21 =1+ 姨21 ，
儿。我所在的幼儿园覆盖周围几个村和附近的砖窑。由于生活环 掌握了正确的洗手方法，还养成了勤洗手的好习惯。
境的不同，砖窑里的外地幼儿常常是脸像花猫，浑身是土。由于语
不知大家是否读过《苹果里的星星》这篇文章，切苹果时，我
言不通，这些幼儿性格内向，不愿与人交流。我对他们总是给予特 们总是习惯竖着切，而横着切时，苹果里的籽就像是一颗颗的小
华罗庚指出：“数与形，本是两倚依，焉能分作两边飞？”“切莫忘，
［3］符平和.数思形，形觅数，数形结合百般好［J］.辽宁教
几何代数统一体，永远联系切莫分离.”实践告诉我们，数形结合思想 育学院学报，2001，18（10）：78-79.
是一种重要的解题思想，有这种思想的指导，一些几何问题可以用代
（作者单位 江苏省金坛市第四中学）
平方.
解：不等式表示的区域如图所示，
原点到直线 BC 的距离为 0+0-3 = 3 ，因此 z=x2+y2 的最小 姨5 姨5
有创新美;推导理由的充分,具有完全美. 参考文献： ［1］袁桂珍.关于数形结合的若干基本观点［J］.广西师范
大学学报：自然科学版，1998（6）.
值为 9 5
.
［2］陈金寿.数形结合法在解题中的应用［J］.中学数学教 学，1999（增刊）:70-71.
这时，有 BC =a，则 OQ = 姨 b ，于是 OP = 姨x2-a ， PQ = 姨（c-x）2+b ， y= 姨x2+a + 姨（c-x）2+b = OP + PQ ≥ OQ ， 即 OQ 是y= 姨x2+a + 姨（c-x）2+b 的极小值.
因为 OQ = 姨OB2+BQ2 = 姨C2+（姨 a + 姨 b ）2
解：把
y=
2-sinx 2-cosx
看作点 C（2，2）与点（cosx，sinx）连线的斜率，
结合起来，并充分利用这种结合，常常可以使所要研究的问题化 要求其最大值和最小值.
难为易，化繁为简，使问题得到解决.简而言之，就是把数学问题中
因为 sin2x+cos2x=1，所以点（cosx，sinx）可以看作是单位圆上
心、更体贴的照顾。早晨，我会用微笑迎接每一张纯真的小脸，和 题的孩子给予肯定，然后组织他们进行讨论：“小动物们能不能把
他们亲切地问好。对每一位幼儿进行晨检：做到一摸、二看、三问、 大灰狼赶走？如果能赶走，怎样赶？如果不能赶走，那小动物们该
四查。午睡起床后，我会用梳子给幼儿梳理头发，并时时给女孩子 怎么办？”真没想到，孩子们讨论的还很热烈，思维和语言的组织
释；反之，数的简练又常使形中某些难以表达的性质得以展现. 数学中很多求最值的问题，用普通的方法求解往往很困难，
则由 2-2k =1， 姨k2+1
但如果我们善于利用所给的代数式构造图形，把数量关系转化为 相应的图形关系，就可以利用几何知识加以解决，使问题得到快 速地解答.
可得
k=
4±
姨 3
7
，
所以
ymin=
殊“照顾”。离园时，我耐心地叮嘱他们要讲究卫生，来园后，稍有 星星。由此，我想到同一个孩子，站在不同的角度，运用不同的教
变化，就大加赞扬。自由活动时，鼓励他们多与其他幼儿进行交 育方法，就会出现不同的教育效果。我在讲《好朋友》这个童话故
流，并有意将他们与性格外向的幼儿结为一组，尽量给他们创造 事时，当讲到小白兔、小花猫和小刺猬齐心协力把大灰狼赶跑时，
128 治学之法
新课程·下旬
2012 年 1 月 28 日
巧用数形结合求最值
文/王亚娟
摘 要：介绍了数形结合思想，并且通过例题探讨了数形结合在解决最值问题中的巧妙运用。 关键词：数形结合；最值；数学问题
数学研究的两大对象分别是数与形. 数与形是数学海洋中最
y
耀眼的两颗珍珠. 数学中几乎所有的问题都是围绕着数与形而产
变换她们喜欢的发型。我时时注意每一个幼儿的细微变化，嘱咐
能力都超出了我的预想，幼儿在讨论中获得了知识。 他们要多喝水，随时增减衣服。有付出就会有回报，孩子们星期一
来园后说得最多的一句话就是：老师，我想你了！听到这句话时，
世界上本没有“笨”孩子，让我们用不变的爱心、美丽的语言
我的心里甜甜的。
把孩子带入一个神奇的世界，用五彩的积木，搭起他们未来的梦
的数量关系和空间形式结合起来加以考查，这种处理数学问题的 的一个动点，过 C 点作这个圆的切线 CA，CB，A，B 为切点，而 C
方法，称之为数形结合的思想方法.
（2，2）是一个定点，从而只要求 kCA，kCB 的值.
“形”的直观常可以给出“数”的性质，并以最生动说明或诠
为此，设切线方程为 y-2=k（x-2），即 kx-y+2-2k=0，
2012 年 1 月 28 日
新课程·下旬
治学之法 129
所以，y= 姨x2+a + 姨（c-x）2+b2 ，的极小值为姨C2+（姨 a +姨 b ）2 .
三、转化为求距离
≤≤x-2y+7≥0
≤
例 4.已知 x，y 满足线性约束条件 ≤≤≤4x-3y-12≤0 ，求函数 z=x2+y2 ≤ ≤ ≤≤≤x+2y-3≥0
数形结合思想造化神奇,妖娆多姿,深邃精美,魅力无穷.它 突出地反映在使用数形结合思想解题的过程中:语言表达的简
C
x
练,具有简约美;取材组合的匹配,具有和谐美;层次结构的严密,
分析：求函数 z=x2+y2 的最小值，即求动点（x，y）与原点的距离的 具有严整美;解题过程的有序,具有逻辑美;求解思路的奇妙,具
表现自我的机会。经过一段时间的努力，他们有了明显的变化，不 一个孩子突然站起来大声地说：“老师，那是骗人的！它们几个太
只是干净了，脸上也有了灿烂的笑容。
小了，根本赶不走大灰狼。”听完这话，活动室里一下子就乱了，孩
幼儿年龄小，身体各器官发育尚不成熟，需要教师给予更细 子们开始七嘴八舌地争起来。面对这突发情况，我首先对提出问
插上天使的翅膀
文/王凤茹
世上有一种美好的东西，那就是爱！
幼儿勤洗手。为了让幼儿尽快掌握正确的洗手方法，我将洗手的
作为幼儿教师，要用无私的爱去关心、爱护每一个幼儿。每一 要领编成易记的儿歌：“先用肥皂抹一抹，小手交叉搓一搓，小手
天，我都会在心中默默地提醒自己：公正、平等地对待每一个幼 握拳揉一揉，前前后后洗一洗，干干净净香又香。”现在，幼儿不仅