06-07线性代数A卷试题及答案

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

2006—2007学年第2学期 考试科目： 线性代数

考试类型：（闭卷） 考试时间： 120 分钟

学号 姓名 年级专业

一、填空题（每空3分，共24分）

1、()1122⎛⎫

⎪⎝⎭

＝ ．

2、若cos sin sin cos X θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭

，则1

X -＝ ．

3、设1(1,,1)x α=，2(2,1,2)α=-，3(0,1,2)α=，当x ＝ 时，1α，2α，3α 线性相关．

4、在Matlab 软件中，求矩阵行列式的指令是____________．

5、 设方阵A 满足矩阵方程2240A A E --=（注：在本试卷中，单位矩阵均用E 表示），则1()A E -+＝________．

6、设A 是一个三阶方阵，1，2，3是它的三个特征值，则2A A E ++＝________．

7、二次型22212341231223(,,,)2342f x x x x x x x x x x x =++++的秩为_________．

8、设3阶方阵A 的转置伴随矩阵为*A 且12

A =，则()1

*32A A --＝ ． 二、选择题（每空3分，共24分）

1、设A ，B 都是n 阶实对称矩阵，且都正定，那么AB 是（ ）． （A ） 实对称矩阵 （B ） 正定矩阵 （C ） 可逆矩阵 （D ） 正交矩阵

2、设A 、B 都是方阵，下列四个式子中：①AB BA =；②()2

22AB A B =；③

()

2

222A B A AB B +=++；④()()22A B A B A B +-=-，一定正确的有（ ）个．

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

3、设1α，2α，3α线性无关，向量组1α，2α，4α线性相关，则下列结果错误．．的是（ ）．

（A ）1α，2α线性无关 （B ） 4α可以表示为1α，2α的线性组合 （C ）1α，2α，3α，4α线性相关 （D ） 1α，2α，3α，4α线性无关 4、设A 是n 阶方阵，则下列四个式子中表明A 是正交矩阵的式子为（ ）． （A ）1AA E -= （B ）1T A A -= （C ）AA E = （D ）1A =± 5、设n 阶方阵A 不可逆，则必有（ ）

（A ） 秩(A ) < n （B ）秩(A ) = n -1

（C ） A =0 （D ）方程组Ax =0只有零解

6、已知21

0110003a a -⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪+⎝⎭

是正定矩阵，则a 的取值为（ ）．

（A ）2a < （B ）3a >- （C ） 31a -<< （D ） 1a < 7、设A 为n 阶方阵, 且R （A ）= n －1，1α，2α是非齐次线性方程组AX b =的两个不同的解向量，则是0AX =通解的为（ ）．

( A ) 1k α (B ) 2k α (C ) ()12k αα- (D ) ()12k αα+ 8、在Matlab 软件中，求矩阵特征值的指令为（ ）

(A ) rank (B ) eig (C ) inv (D ) orth

三、（本题10分）求行列式D ＝

10

11

0011001a b c d

---．

四、（本题8分）设,A B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明T B AB 也是对称

矩阵.

五、（本题12分）设线性方程组为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-+-=+++=+++=+++b

x x x x x x a x x x x x x x x x x 432143214

32143213172315320

3， 问a ,b 各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？

给定向量组12103α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21324α⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33021α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，401

49α⎛⎫

⎪- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

．试判断4α是

否为1α，2α，3α的线性组合；若是，则写出4α与1α，2α，3α的关系式．

求一个正交变换x Q y =，把二次型

123121323(,,)222f x x x x x x x x x =++

化为标准型．

华南农业大学期末考试试卷（A 卷）

参考答案与评分标准

一．填空题（每题3分，共24分）

二、选择题（每题3分，共24分）

三、（本题10分）

解：

10

011

0011001a b c d ---12r ar +010

110

011001

a b a

b c d

+---…………………2分 ＝21

10

(1)(1)

1101ab

a

c d ++----…………………4分

32

c dc +1110

10

ab a

ad

c c

d +-+-…………………6分

＝32

1(1)(1)11ab ad

cd

++---+ …………………8分

＝1abcd ab cd ad ++++………………………10分

四、（本题8分）

证明：因为A 为对称矩阵，所以T A A = …………………………………………3分

于是，()()

T

T

T

T

T

T B AB B A

B = ………………………………………………6分

＝T B AB ………………………………………………7分

所以，T B AB 是一个对称矩阵。 ……………………………………………8分

五、（本题12分）

解： 11

1301113021

3510111132710041011

31

0022A a a b b ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

--

⎪

⎪

=→→ ⎪

⎪

--

⎪ ⎪

----⎝⎭⎝⎭

………4分

当≠a 4时，方程组有唯一解……………………………………………7分 当=a 4，≠b 2时，方程组无解 ………………………………………10分 当=a 4，=b 2时，)(A r =)(A r ＝3 < 4，方程组有无穷多组解。 …12分

六、（本题10分）

解一： 2130053213011301022401123419013112---⎛⎫⎛

⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝

⎭

1035011200880

01414

⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-

-

⎝⎭ 103501120011

00

0⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭10020101,00110

00

0⎛⎫

⎪ ⎪

→ ⎪ ⎪⎝⎭

………………………………………7分 所以41232αααα=++。………………………………………………………10分

解二： 考虑4112233x x x αααα=++， ……………………………………………2分