数学百大经典例题——棱锥(新课标)

典型例题一

例1 正六棱锥的底面周长为24，侧面与底面所成角为

60，求：（1）棱锥的高；（2）斜高；（3）侧棱长；（4）侧棱与底面所成角．

分析：本题涉及了正棱锥的若干基本量，可以把基本量放置到直角三角形中，由已知量求未知量．

解：正六棱锥的底面周长为24． ∴正六棱锥的底面边长为4． 在正棱锥ABCDEF S -中，

取BC 中点H ，连SH ，BC SH ⊥， O 是正六边形ABCDEF 的中心． 连SO ，则⊥SO 底面ABCDEF ∴BC OH ⊥．

∴SHO ∠是侧面与底面所成二面角的平面角，即

60=∠SHO ．

（1）在Rt △SOH 中，322

3

==BC OH ， 60=∠SHO ， ∴660tan ==

OH SO ．

（2）同样在△SOH 中，斜高342==OH SH ， （3）Rt △SOH 中，6=SO ，4==BC OB ． ∴13222=+=OB SO SB ．

（4）∵⊥SO 底面ABCDEF ，∴SBO ∠是侧棱与底面所成角， 同样在△SOB 中，23tan ==

∠BO SO SBO ，∴2

3

arctan =∠SBO ， 说明：在立体几何中，要善于把长度和角度放到三角形中去解决，正棱锥中有关长度、角度主要在两

上重要的直角三角形中，本题中的方法也可用于其它正棱锥中．比如：已知正四棱锥底面边长为a ，相邻两侧面所成二面角为

120，求正棱锥的高、斜高、侧棱长．正四棱锥相邻侧面是全等的等腰三角形，利用

这个性质先落实相邻侧面所成二面的平面角，先计算侧棱长为

a 2

3

，然后利用底面边长和侧棱长在两个重要的直角三角形中，计算出高为

a 21，斜高为a 2

2． 典型例题二

例2 如图所示，正四棱锥ABCD P -棱长均为13，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且

85：：：==ND BN MA PM ．

（1）求证：直线//MN 平面PBC ；

（2）求直线MN 与底面ABCD 所成角的正弦． 分析：（1）要证明//MN 平面PBC ，只需证明MN 与平面PBC

内某一条直线平行．为此连AN 并延长交BC 于E ，连PE ．可考虑证明PE MN //．（2）若能证明PE MN //，则PEO ∠即

为直线MN 与

底面所成的角．

解：（1）连AN 并延长交BC 于E ，再连PE ． ∵AD BE //，∴ND BN AN EN ：：=， 又MA PM ND BN ：：=， ∴MA PM AN EN ：：=， ∴MN PE //，

又⊂PE 平面PBC ，⊄MN 平面PBC ，∴//MN 平面PBC ．

（2）设O 为底面中心，连PO ，EO ，则⊥PO 平面ABCD ．又PE MN //，则PEO ∠为直线MN 与平面ABC 所成的角．

由85：

：：==ND BN AD BE 及13=AD ，得8

65=BE ，在△PBE 中，

60=∠PBE ，13=PB ，865=

BE ，由余弦定理，得891=PE ．在Rt △POE 中，2

213=PO ，891=PE ，则7

2

4s i n =

=

∠PE PO PEP ． 说明：本题（2）若直接求MN 与平面ABCD 所成的角，计算就比较复杂，而平移为求PE 与底面所

成的角，计算就易得多．可见，平移是求线线、线面所成角的重要方法．

典型例题三

例3 斜三棱柱111-C B A ABC 的底面△ABC 是直角三角形，

90=∠C ，侧棱与底面成

60角，点1

B 在底面的射影D 为B

C 的中点，cm 2=BC ．

（1）求证11BC AB ⊥；

（2）若C BB A --1为

30的二面角，求四棱锥11-BCC B A 的体积．

分析：证11BC AB ⊥关键在于证出其中一条线垂直于另一条线所在的平面；而求棱锥的体积关键在于求出其底面积和高．这两个问题可由题设及线与线、线与面的位置关系求得．

解：如图所示，

（1）∵⊥D B 1平面ABC ，

⊂AC 底面ABC ，

∴D B AC 1⊥． ∵BC AC ⊥， ∴⊥AC 平面BC B 1， ∴1BC AC ⊥．

∵1B 在底面ABC 上的射影D 为BC 的中点，侧棱与底面成

60角， ∴四边形11B BCC 是菱形， ∴11BC CB ⊥， ∴⊥1BC 平面1ACB ， ∴11AB BC ⊥．

（2）过C 作B B CE 1⊥，连结AE ． ∵⊥AC 平面C C BB 11，

∴CE 是AE 在平面C C BB 11上的射影， ∴B B AE 1⊥，

∴AEC ∠是二面角C B B A --1的平面角， ∴

30=∠AEC ．

在Rt △BEC 中，360sin =⋅=

BC EC ，在Rt △ACE 中，由 90=ACE 可得

130tan 3tan ==∠= AEC EC AC ．

∴2

3312121=⨯⨯=⋅=

∆CE AC S ACE ， ∴ACE B ACE B BC B A V V V ---11+=

EB S E B S ACE ACE ⋅+⋅=

∆∆31

311 ()EB E B S ACE +=∆131

13

1

BB S ACE ⋅=∆