浙教版九年级(上册)二次函数知识点与题型总结

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浙教版初三数学上学期二次函数的性质知识点

书山有路勤为径；学海无涯苦作舟浙教版初三数学上学期二次函数的性质知识点如果令二次函数的值等于零，则可得一个二次方程。

该方程的解称为方程的根或函数的零点，接下来由为大提供了二次函数的性质知识点，望大家好好阅读。

知识点1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0 时，抛物线的对称轴是y 轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b )/4a )当-b/2a=0 时，P 在y 轴上;当Δ= b -4ac=0 时，P 在x 轴上。

3.二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小。

当a 大于0 时，抛物线向上开口;当a 小于0 时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。

当a 与b 同号时(即ab 大于0)，对称轴在y 轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a 小于0,所以b/2a 要大于0，所以a、b 要同号当a 与b 异号时(即ab 小于0)，对称轴在y 轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a 大于0,所以b/2a 要小于0，所以a、b 要异号可简单记忆为左同右异，即当a 与b 同号时(即ab 大于0)，对称轴在y 轴左;当a 与b 异号时(即ab 小于0)，对称轴在y 轴右。

事实上，b 有其自身的几何意义：抛物线与y 轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k 的值。

可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c 决定抛物线与y 轴交点。

今天的努力是为了明天的幸福。

初中数学浙教版九年级上册第1章二次函数复习知识归纳

二次函数（注意图像辅助功能）1、二次函数的概念二次函数基本表示形式y=ax 2+bx+c(a ≠0)，自变量为x,因变量为y 。

称为y 为x 的二次函数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。

2、二次函数的三种表达式一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0)顶点式：2()y a x h k =-+224()24b ac b y a x a a-=-+ 交点式：12()()y a x x x x =-- 即与x 轴有两个交点（x 1,0）(x 2,0)3、二次函数图像和性质对称轴：2b x a=- 顶点坐标：24(,)24b ac b a a-- 与y 轴交点：（0，c ）a ——开口方向b ——对称轴与a 左同右异（可以用对称轴2b x a =-来判断） 4、二次函数的增减性在此类题目中通常用图形进行辅助作图（作图无需精美，只需要表达出开口方向，题目中已知的坐标需要经过，例如：对称轴、顶点、与x 轴交点、与y 轴交点或是给出的普通坐标）增减性：当a>0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大当a<0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小5.图像的平移当做到此类题目时，我们可以使用两种方法首先，我们在图像平移的过程中需要确认，图像的形状是没有改变的，也就是说图像的大小、开口方向及大小都未改变，所以a 是始终没有变动的（一般式中的a ）具体不太清楚可以画出出a 不同，其他相同的二次函数进行比较（例如可以观察y=4x 2与y=x 2之间的差异，实际上a 绝对值越大，开口越小，无需死记硬背，图形辅助记忆）一般图像平移有两种方法第一种：直接用一般式进行计算，因为a 未变，所以此式子有两个未知数，我们至少需要知道两个坐标进行计算，由原式找出两个比较简单的坐标，例如x=1、x=0、x=-1等整数带入得到原坐标，后将坐标也进行相应的平移操作，得到新坐标，带入新的二次函数，求得最终解。

浙教版九年级数学上册知识点汇总

九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。

当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。

函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。

函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。

注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。

2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。

2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。

事件A发生的概率记为P(A)。

必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，那么事件A发生的概率为：P(A)=m/n。

(完整版)浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题,推荐文档

y a(x m)2 b(x m) c （或 y a(x m)2 b(x m) c ）
【例 1】、将抛物线 y x2 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的解析式是(
)
A． y (x 2)2 B． y x2 2 C． y (x 2)2 D． y x2 2
【例 2】、将抛物线 y=x2－2x 向上平移 3 个单位,再向右平移 4 个单位等到的抛物线是_______.
随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即
当 x≥ b 时，y 随 x 的增大而减小，简 2a
记左增右减；
（4）抛物线有最高点，当 x= b 时，y 有最 2a
小值，
y最小值
4ac b2 4a
大值，
y最大值
4ac b2 4a
2、二次函数 y ax 2 bx c(a,b, c是常数，a 0) 中， a、b、c 的含义：
a
a
对称轴在 y 轴右侧.口诀---左同，右异（a、b 同号，对称轴在 y 轴左侧）
（3） c 的大小决定抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴交点的位置.
当 x 0 时， y c ，∴抛物线 y ax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（0， c ）：
① c 0 ，抛物线经过原点; ② c 0 ,与 y 轴交于正半轴； ③ c 0 ,与 y 轴交于负半轴.
【例 2】、如图，抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴的一个交点 A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），
顶点 C 是矩形 DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则（1）abc （2）a 的取值范围是
0 （＞或＜或=）
【例 3】、下列二次函数中，图象以直线 x = 2 为对称轴，且经过点(0，1)的是 ( )

浙教版-数学-九年级上册-《二次函数的性质》知识总结

1.3 二次函数的性质◆目标指引1．利用二次函数的图象理解二次函数的性质．2．体会二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系．3．经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象特点与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系．◆要点讲解1．二次函数的性质可通过它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、•函数值y随自变量x的变化情况以及最值等方面研究．2．抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的根．•当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点；当b2－4ac=0时，抛物线与x•轴只有一个交点；•当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点．3．抛物线y=ax2+bx+c与其a，b，c及判别式b2－4ac的符号有密切的联系，它们之间的相互制约关系如下表：◆学法指导1．任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a（x+m）2+k，•抛物线的顶点坐标是（－m，k），当m=0时，抛物线y=ax2+k的顶点在y轴上；当k=0时，抛物线y=a （x+m ）2的顶点在x 轴上；当m=0且k=0时，抛物线y=ax 2的顶点在原点上．2．当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交点的横坐标为x 1，x 2时，其解析式可写成两根的形式：y=a （x －x 1）（x －x 2），抛物线与x 轴的两个交点间的距离为│x 2－x 1│=222212121224()()4()4b c b ac x x x x x x a a a --=+-=--==24||b ac a -，即│x 2－x 1│=24||b ac a -．这就是抛物线与x 轴两个交点之间的距离公式．其次，抛物线的对称轴为直线x=122x x +． ◆例题分析【例1】二次函数y=x 2+bx+8的图象的顶点在x 轴的负半轴上，那么b 等于多少？【分析】由抛物线的顶点在x 轴上，可知b 2－4ac=0，又由顶点在x 轴的负半轴上，可知抛物线的对称轴在y 轴的左侧，即－2b a<0．【解】∵顶点在x 轴负半轴 ∴20042,b ac x b a ⎧-=⎪⎨=-<⎪⎩解得42,0b b ⎧=±⎪⎨>⎪⎩ ∴b=42．【注意】（1）抛物线顶点在x 轴上，表明一元二次方程x 2+bx+8=0•有两个相等的实数根，即b 2－4ac=0．（2）观察图象主要要把握本质特征：开口方向由a 决定；对称轴位置由－2b a决定等性质．【例2】已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①a+b+c<0；•②a －b+c>0；③abc>0；④b=2a ．其中正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【分析】二次函数的图象在直角坐标系里位置就决定了解析式y=ax 2+bx+c•中a ，b ，c 的正负．本题由图象即可确定③abc>0，④b=2a 是正确的；把x=1或x=－1代入y=ax 2+bx+c 可确定①a+b+c<0，②a －b+c>0都正确．【解】∵二次函数的图象开口向下∴a<0又∵对称轴是直线x=－2b a=－1 ∴b=2a<0∵抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴∴c>0∴abc>0正确，b=2a 正确又当x=1时，y=ax 2+bx+c=a+b+c<0；当x=－1时，y=ax 2+bx+c=a －b+c>0故a+b+c<0，a －b+c>0均正确．故选A ．【注意】本例体现了数形结合思想的应用，数形结合思想是数学的一种重要思想，本例借助函数的图象研究函数的性质是一种很重要的方法，也是我们需要掌握的数学基本技能之一．【例3】如图，抛物线y=a （x －m ）2+n 的顶点为M （3，0），它与y 轴交于点A （0，3），若直线L ：y=3ax+b 过M 点与抛物线交于B 点，与y 轴于交Q 点，求这个二次函数、一次函数的解析式．【分析】由顶点M （3，0）可以确定m=3，n=0．结合A 点的坐标（0，3），可以确定a=13，从而得到二次函数的解析式y=13（x －3）2，把a=13和点M （3，0）代入y=3ax+b ，可得到一次函数的解析式y=x －3．【解】∵抛物线的顶点为M （3，0）∴m=3，n=0∴y=a （x －3）2又∵抛物线与y 轴交于点A （0，3）∴3=a （0－3）2，∴a=13∴二次函数的解析式为y=13（x －3）2 ∵a=13且直线L 过点M （3，0）即0=3×13×3+b ∴b=－3，故一次函数的解析式为y=x －3．。

第1章二次函数复习二浙教版数学九年级上册

(1)当m＝－1时，求a和b的值；
(2)若二次函数的图象经过点A(n，3)且点A不在坐标轴上，当－2<m<－1
时，求n的取值范围；
(3)求证：b2＋4a＝0.
例题探究
解：（1）当 m＝－1 时，图象过点(1，0)和(－3，0)，
0＝a＋b＋3，
a＝－1，
∴
解得
0＝9a－3b＋3，
b＝－2.
（2）∵函数图象过点(－m，0)和(3m，0)，
∴函数图象的对称轴为直线x＝m.
易知图象过点(0，3)．
又∵图象过点(n，3)，∴根据图象的对称性得n＝2m.
∵－2<m<－1，∴－4<n<－2.
例题探究
（3）证明：∵图象过点(－m，0)和(3m，0)，
b
∴根据图象的对称性得－＝m.
2a
∴b＝－2am，顶点坐标为(m，am 2＋bm＋3)．
将点 ( － m ， 0) 和 (3m ， 0) 的坐标分别代入表达式，得
y
O
y=ax2+bx+c
x
新知学习
【2】一元二次方程与二次函数的关系
（1）一元二次方程
ax2+bx+c＝0
y
(a≠0)的解
y=ax2+bx+c
就是二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图像与x
轴交点的横坐标.
（2）若一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的解为
x1和x2，则二次函数 y=ax2+bx+c的表达式可
则与x轴的交点为(－1,0)和(4,0)
与y轴的交点为(0, －4)

二次函数的图象与性质(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)

二次函数y=ax^2＋c(a ≠0)与y=a （x-h)^2＋k(a ≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象（1）（2）2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：>a 0<a 0=+≠y ax c a (0)2jjjj向上向下 (0，c) (0，c) 3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到的图象. 要点诠释：函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．二、函数2()(0)y a x h a =−≠与函数2()(0)y a x h k a =−+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =−≠的图象与性质()20y ax a =≠()20y ax c a =+≠()20y ax a =≠()20y ax c a =+≠2(0)y ax c a =+≠2(0)y ax a =≠||c2.函数2()(0)y a x h k a =−+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．三、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．2()+(0y a x h k a =−≠）()2y a x h k =−+()h k ，2y ax =()h k，h k要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【考点剖析】题型一、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质例1．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线；（2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线．【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为，又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ ，解得．∴ 所求抛物线为．【总结升华】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式．例2．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．2=++y ax bx c y m 2=++y ax bx c 2=+++y ax bx c m 2=++−y ax bx c m 2=++y ax bx c m 2=++y ax bx c 2()()=++++y a x m b x m c 2()()=−+−+y a x m b x m c =−+y x 2312=−+y x 231221=−k 5=−y x 2512=+y ax 12+=−a 912=−a 31=−+y x 3112a ||a k =+y ax k 2=−y x 2=−+y x 12(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0；＝0；大；大； 1. 【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．(1)抛物线向下平移 1__个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是向下，对称轴为___ y 轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；(3)抛物线，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小；当x ＝0__时，函数y 有最大值，其最大__值是 1 ．【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．例3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．21y x =−+2y x =−21y x =−+21y x =−+21y x =−+2y x =−21y x =−+21y x =−+21y x =−+2y x =−2(0)y ax k a =+≠2(0)y ax a =≠2(0)y ax k a =+≠2(0)y ax a =≠(0)k >(0)k <||k【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a ＜0）， ∵点A （-4，0）或B （4，0）在抛物线上， ∴0=a•（-4）2+6， 16a+6=0，16a=-6，．故抛物线的函数关系式为.（2）过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，连接PB ，则PQ=4.5m ．将y=4.5代入，得x=±2．∴P （-2，4.5），Q （-2，0），于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，从而所以照明灯与点B 的距离为7.5m ．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A （-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m ，即y=4.5时，求x 的值，再根据P 点坐标，勾股定理求PB 的值.38a =−2368y x =−+2368y x =−+7.5m =【变式】(1)抛物线的开口方向，对称轴是，顶点坐标是． (2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为． (3)抛物线向平移个单位后，得到抛物线. 【答案】(1)下；y 轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1, y=-3x2+1. (3)下；10.例4. 根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a -2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a -2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线．【答案与解析】(1)由题意得，a-2＜0，解得a ＜2．(2)由题意得，3a-2＜0，解得．(3)由题意得，，解得，． (4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a ＞0，∴ a ＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象大致为（）．【答案】B.225y x =−−2y ax c =+23y x =2172y x =−+2132y x =−−212y x =−2a ay ax +=23a <1|2|2a +=−152a =−232a =−220a a a ⎧+=⎨>⎩y ax c =+2y ax c =+例5.在同一坐标系中，一次函数y=ax +b 与二次函数y=ax 2﹣b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【总结升华】先由一次函数y=ax+b 图象得到字母a 、b 的正负，再与二次函数y=ax2﹣b 的图象相比较看是否一致．【答案】D. 【解析】解：A 、由直线y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限可知：a ＜0，b ＜0，二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上， ∴a ＞0，A 不正确；B 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限可知：a ＞0，b ＞0，二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向下， ∴a ＜0，B 不正确；C 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0，二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上， ∴a ＞0，C 不正确；D 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限可知：a ＞0，b ＞0，二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上，顶点在y 轴负半轴， ∴a ＞0，b ＞0，D 正确．故选D ．【总结升华】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a 、b 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论．题型二、二次函数2()(0)y a x h k a =−+≠图象及性质例6．二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是，对称轴是．【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可．【答案】（3，2），直线x=3．【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2；顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3．故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为．【答案】. 例7．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向平移4个单位，再向平移3个单位得到的．【答案】上；右.例8.已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；23y x =−23127y x x =−+−21(3)42y x =−+212y x =2()y a x h k =−+212y x =−2()y a x h k =−+212y x =−2()y a x h k =−+(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，∴，1h =，．(2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2． (4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2．【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．2()y a x h k =−+212y x =−21(1)22y x =−−+12a =−2k =21(1)22y x =−−+212y x =−21(1)22y x =−−+1x <1x >212y x =−2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+21(1)12y x =−+−2()y a x h k =−+【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），当x ≥1时，y 随x 的增大而减小；当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.例9.二次函数y=（x ﹣1）2+1，当2≤y ＜5时，相应x 的取值范围为．【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x 的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x 的取值范围．【答案】﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3．【解析】解：当y=2时，（x ﹣1）2+1=2，解得x=0或x=2，当y=5时，（x ﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，又抛物线对称轴为x=1， ∴﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3．【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x 的值，再结合图象确定x 的取值范围．题型三、二次函数2()(0)y a x h k a =−+≠性质的综合应用例10．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点．（1）确定二次函数与直线AB（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣， ∴二次函数解析式为y1=﹣（x ﹣2）2=﹣a2+a ﹣1；设直线AB 解析式为y=kx+b ，1,1,52a h k =−==−把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y1＜y2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x ＜2．【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．例11.在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．【答案与解析】（1）列表：描点、连线，可得抛物线．将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．抛物线，与开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．212y x =2132y x =+2132y x =−212y x c =+212y x =212y x=2132y x =+2132y x =−212y x =2132y x =+2132y x =−（2）抛物线的开口向上，对称轴是y 轴（或直线），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：．例12.已知：二次函数y=x 2﹣4x+3．（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标；（2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标；（3）当x 取何值时，y ＜0．【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3， ∴y=（x ﹣2）2﹣1， ∴对称轴为：直线x=2， ∴顶点（2，﹣1）；（2）令y=0，则，x2﹣4x+3=0， ∴（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴x1=1，x2=3，∴与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；（3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便．【变式】已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8．（1）直接写出它的顶点坐标：，对称轴：；（2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1；（2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．212y x c =+0x =212y x=2y ax k =+k ←⎯⎯⎯⎯⎯向上平移个单位2y ax =k ⎯⎯⎯⎯→向下平移个单位2(0)y ax k k =−>例13. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得， ∴ ．由待定系数法可求出，∴．(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知． ∴ ．(3)根据图象知或时，有．【总结升华】图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A 、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．【过关检测】一、单选题1．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）二次函数22y x =−的顶点坐标是（） A ．（0，0）B ．（0，﹣2）C ．（0，2）D ．（，0）211)y x =+2y kx b =+12y y >211)y x =+y =A b =k =2y =+211)y x =+(B −122ABC S =⨯=△0x >1x <−12y y >【分析】直接2y ax k =+根据的性质求解即可．【详解】解：二次函数22y x =−的顶点坐标是（0，﹣2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数2y ax k =+ (a ，h ，k 为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数2y ax k =+的性质是解答本题的关键．2y ax k =+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(0，k)，对称轴是y 轴．2．（2023·浙江宁波·统考二模）已知点()11,A x y ，()22,B x y 是二次函数()233y x =−+上的两点，若123x x <<，126x x +>，则下列关系正确的是（）A ．123y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<【答案】B【分析】根据二次函数的性质，进行分析即可得出结论．【详解】解：∵()233y x =−+，对称轴为3x =，10a =>，∴抛物线的开口向上，当3x =时，函数取得最小值，3y =，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵123x x <<，126x x +>，∴点,A B 在对称轴的两侧，且1233x x −<−，∴123y y <<；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）对于二次函数()223y x =−+的图象，下列说法不正确的是（） A ．开口向下B ．对称轴是直线3x =−C ．顶点坐标为()30−，D ．当3x <−时，y 随x 的增大而减小【分析】根据二次函数的图象和性质，即可进行解答．【详解】解：A 、∵20a =−<，∴函数图象开口向下，故A 正确，不符合题意； B 、对称轴是直线3x =−，故B 正确，不符合题意； C 、顶点坐标为()30−，，故C 正确，不符合题意；D 、∵函数图象开口向下，对称轴是直线3x =−，∴当3x <−时，y 随x 的增大而增大，故D 不正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数()2y a x h =−的顶点坐标为()0h ，，对称轴为x h =，当0a >时，函数图象开口向上，当a<0时，函数图象开口向下．4．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知()14.4,A y −，()23.3,B y −为抛物线()21y x =−+上的两点，则下列结论一定成立的是（） A ．210y y << B ．120y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【答案】C【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴位置，再根据增减性求解即可．【详解】解：∵抛物线()21y x =−+的对称轴为直线=1x −，开口向下，顶点坐标为：()10−，，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大，又∵ 4.4 3.31−<−<−， ∴120y y <<，故选 C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）设函数()112y x a =−，()222y x a =−，()323y x a =−．直线x b =的图象与函数1y ，2y ，3y 的图象分别交于点()1,A b c ，()2,B b c ，()3,C b c ，（） A ．若123b a a a <<<，则312c c c << B ．若123a b a a <<<，则123c c c << C ．若123a a b a <<<，则321c c c << D ．若123a a a b <<<，则321c c c << 【答案】D【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x b =与二次函数图象的交点进行判断即可．【详解】解：如图所示，A ．由图象可知，若123b a a a <<<，当x b =时，123c c c <<，故选项错误，不符合题意；B ．由图象可知，若123a b a a <<<，，当x b =时，123c c c <<不一定成立，故选项错误，不符合题意；C ．由图象可知，若123a a b a <<<，当x b =时，321c c c <<不一定成立，故选项错误，不符合题意；D ．由图象可知，若123a a a b<<<，当x b =时，321c c c <<，故选项正确，符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．6．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）若二次函数2y 2(x 1)1=−−的图象如图所示，则坐标原点可能是（）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【分析】根据顶点坐标，进行判断即可．【详解】解：∵2y 2(x 1)1=−−，∴顶点坐标为：()1,1-，∴顶点坐标在第四象限， ∴原点在函数顶点的左上方，由图可知，坐标原点只可能是点A ；故选A ．【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．【答案】C【分析】根据题意分别画出12,y y 的图象，继而根据图象即可求解．【详解】解：∵直线1x =的图象与函数1y ，2y 的图象分别交于点()11,A c ，()21,B c ，A. 若121a a <<，如图所示，则12c c >B. 若121a a <<，如图所示，则12c c >则12c c <，故B 选项不合题意，C. 若121a a <<，如图所示，∴12c c <，故C 选项正确，D 选项不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．【答案】C【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．【详解】解：A 、2(0)y x x =−>中，20k =−<，则当0x >时，y 随x 的增大而增大，即当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立；B 、∵2(2)5(0)y x x =−+≥的对称轴为直线2x =，∴当02x <<时，y 随x 的增大而减小，当2x >时y 随x 的增大而增大， ∴当2x >时，当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立；C 、∵2(3)4(0)y x x =−−<的对称轴为直线3x =，∴当3x <时，y 随x 的增大而减小， ∴当0x <时，当12x x >时，必有12y y <，此时21210y y x x −<−，故本选项成立；D 、∵37y x =+中，30k =>， ∴y 随x 的增大而增大，即当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的增减性是关键．二、填空题【答案】a ＞2【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a ＜0．【详解】∵抛物线y=（2-a ）x2+2开口向下， ∴2-a ＜0，即a ＞2，故答案为：a ＞2．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）来说，当a ＞0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）开口向上；当a ＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）开口向下．10．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）二次函数()()232y x h t x t =−++≤≤+的图象上任意二点连线不与x 轴平行，则t 的取值范围为______．【答案】5t ≤−或3t ≥−【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答．【详解】解：∵二次函数表达式为()()232y x h t x t =−++≤≤+，∴该函数的对称轴为直线3x =−， ∵图象上任意二点连线不与x 轴平行， ∴3x ≤−或3x ≥−， ∵2t x t ≤≤+，∴233t t +≤−⎧⎨≥−⎩，解得：5t ≤−或3t ≥−．故答案为：5t ≤−或3t ≥−．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．【答案】()2213y x =−−或()2213y x =−−−【分析】根据二次函数的顶点坐标为()1,3−，可得可设这个二次函数的解析式为()213y a x =−−，再根据图象的形状和与抛物线22y x =相同，可得2a =±，即可求解．【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为()1,3−，∴可设这个二次函数的解析式为()213y a x =−−，∵二次函数图象的形状与抛物线22y x =相同，， ∴2=a ，∴2a =±，∴这个二次函数的解析式为()2213y x =−−或()2213y x =−−−．故答案为：()2213y x =−−或()2213y x =−−−．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．12．（2022·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如果一抛物线的对称轴为1x =，且经过点A （3,3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________ 【答案】（-1,3）【分析】根据抛物线的对称性即可得到点B 的坐标．【详解】解：∵抛物线的对称轴为1x =，点A （3,3）， ∴点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为（-1,3）【点睛】本题主要考查二次函数图形的性质和特征，应用对称性性是解题的关键．13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知点()11,A x y 、()22,B x y 为抛物线()22y x =−上的两点，如果122x x <<，那么1y ______2.(y 填“>”“<”或“=”)【答案】>【分析】根据函数的表达式即可得出该函数的对称轴和开口方向，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性即可解答．【详解】解：抛物线表达式为：()22y x =−，∴函数开口向上，对称轴为2x =，∴当2x <时，y 随x 的增加而减小，2x >时，y 随x 的增大而增大， ∵122x x <<，∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．【答案】23(2)32y x =++【分析】根据二次函数的图象与性质即可得．【详解】抛物线的顶点为(2,3)−∴可设此抛物线的解析式为2(2)3y a x =++又此抛物线的形状，开口方向与23312y x x =−+相同32a ∴=则此抛物线的解析式为23(2)32y x =++故答案为：23(2)32y x =++．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线22(3)4y x =−++的开口方向是______．【答案】向下【分析】由函数解析式可得20a =−<，结合抛物线的性质即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵22(3)4y x =−++，∴20a =−<，故答案为：向下．【点睛】本题考查抛物线的性质：a<0开口向下，正确理解二次函数的性质是解题的关键．16．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数()2y x a =−+，当4x ≤−时，y 随x 的增大而增大；当4x ≥−时，y 随x 的增大而减小，当0x =时，y 的值是______．【答案】16−【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为4x =−，从而确定a 值，得到二次函数解析式为()24y x =−+，将0x =代入即可得到结论．【详解】解：二次函数()2y x a =−+，当4x ≤−时，y 随x 的增大而增大；当4x ≥−时，y 随x 的增大而减小，4x a ∴=−=−，即4a =，∴二次函数解析式为()24y x =−+，当0x =时，()20416y =−+=−，故答案为：16−．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．17．（2020·浙江·模拟预测）无论a 取什么实数，点()21,241P a a a −−+都在二次函数y 上，(,)Q m n 是二次函数y 上的点，则2421m n −+=_____________．【答案】3【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q （m ，n ）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m ，n 的等式进一步整理得出答案即可．【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1， ∴可得：y=2x2-1，∵Q （m ，n ）是二次函数y=2x2-1上的点， ∴2m2-1=n ， ∴2m2-n=1，所以4m2-2n+1=2（2m2-n ）+1=3 故答案为：3．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二次函数．18．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数2(1)10y x =−−+，当m x n ≤≤，且0mn <时，y 的最小值为2m ，y 的最大值2n ，则m n +的值为___________．【答案】2【分析】由题意可得0m <，0n >，则y 的最小值为2m 为负数，最大值为2n 为正数．分两种情况讨论：①当1n <时，x m =时，y 取最小值，求出m 的值，当x n =时，y 取最大值，可求得n 的值，即可得到m n +的值；②当1n ≥时，当x m =时，y 取最小值，求出m 的值，当1x =时，y 取最大值，求出n 的值，或x n =时，y 取最小值，1x =时，y 取最大值，分别求出m ，n 的值，故可求解．【详解】解：二次函数2(1)10y x =−−+的大致图象如下：0mn <时，y 的最小值为2m ，y 的最大值为2n ，0m ∴<，0n >，①当1n <时，x m =时，y 取最小值，即()22110m m =−−+，解得：3m =−．当x n =时，y 取最大值，即()22110n n =−−+，解得：3n =或3(n =−均不合题意，舍去)；②当1n ≥时，当x m =时，y ()22110m m =−−+，解得：3m =−．当1x =时，y 取最大值，即()221110n =−−+，解得：5n =，或x n =时，y 取最小值，1x =时，y 取最大值，()22110m n =−−+，5n =，3m ∴=−，所以352m n +=−+=．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键．三、解答题19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图像以点()1,4A −为顶点，且过点()2,5B −．（1）求该函数的解析式；（2）直接写出y 随x 的增大而增大时自变量x 的取值范围．【答案】（1）223y x x =−−+；（2）1x <−【分析】（1）根据顶点坐标直接设解析式为顶点式，然后代入B 点坐标求解即可；（2）结合解析式，根据开口方向以及对称轴即可确定范围．【详解】（1）设二次函数的解析式为()2y a x h k=−+．由题知：1h =−，4k =，则()214y a x =++，又∵二次函数图像过点()2,5B −∴()25214a −=++，∴1a =−．∴二次函数的解析式为：()221423y x x x =−++=−−+．（2）由（1）知当1x <−时，y 随x 的增大而增大．【点睛】灵活从二次函数三种形式中选择合适的表达式求解是解题关键．20．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知经过原点的抛物线22y x mx =+与x 轴交于另一点A (2，0)．（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标；（2）求直线AM 的解析式．【答案】（1）4m =−，M (1，-2)；（2）24y x =−【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m 的值，再配成顶点式即可求解；（2）利用待定系数法即可求得直线AM 的解析式．【详解】解（1）∵抛物线22y x mx =+过点A(2，0)，22220m ∴⨯+=，解得4m =−，224y x x ∴=−，22(1)2x =−−,∴顶点M 的坐标是(1，-2)；（2）设直线AM 的解析式为()0y kx b k =+≠，∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，202k b k b +=⎧∴⎨+=−⎩，解得24k b =⎧⎨=−⎩， ∴直线AM 的解析式为24y x =−．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【答案】(1)285S t t =++(2)25(3)S 有最小值-11【分析】（1）将x 和y 的表达式代入S 的表达式即可；（2）将2t =代入（1）中得到的函数表达式求解即可；（3）将（1）中的函数表达式化为顶点式即可解答．【详解】（1）解：将231x t y t −==+，代入8S x y =+得：()()2238185S t t t t =−++=++，∴S 与t 的函数关系式为：285S t t =++．（2）将2t =代入285S t t =++得：2282525S =+⨯+=，∴当2t =时25S =．（3）()2285411S t t t =++=+−，∴当4t =−时，函数S 有最小值-11．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将函数表达式化为顶点式，得出函数的最值．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可. 【详解】（1）解：如图：，2113=+y x 与2113=−−y x 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴，2113=+y x 与2113=−−y x 图象的不同点是：2113=+y x 开口向上，顶点坐标是（0，1），2113=−−y x 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：2113=+y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；2113=−−y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键. 23．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点是(2,3)P −，且过C 点(0,5)．（1）求此二次函数的解析式；（2）已知直线1y x =+与该二次函数图像相交于点,A B ，求,A B 两点的坐标．（3）写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】（1）()2223y x =−−；（2）A （12，32），B （4，5）；（3）12＜x ＜4【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点C 坐标代入，即可求出解析式；（2）令()22231x x −−=+，解方程即可得到A 、B 的横坐标，从而计算出纵坐标；（3）根据图象可得出当一次函数图像在二次函数图像上方时的x 取值范围．【详解】解：（1）∵二次函数的图象顶点是(2,3)P −，设二次函数表达式为()223y a x =−−，∵过C 点(0,5)，代入，()20235a −−=，解得：a=2，∴二次函数表达式为：()2223y x =−−；（2）由题意可得：()22231x x −−=+，解得：x=12或4，。

浙教版初三数学上册第1章二次函数知识点

浙教版初三数学上册第1章二次函数知识点1.1 二次函数一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax+bx+c(a，b，c为常数，ane;0，且a决定函数的开口方向，agt;0时，开口方向向上，alt;0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

更多详细知识点请点击gt;gt;gt;gt;gt;浙教版初三数学上学期二次函数知识点1.2 二次函数的图象二次函数的概念：一般地，形如ax+bx+c=0的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数ane;0，而b,c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.二次函数图像与性质口诀二次函数抛物线，图象对称是关键;开口、顶点和交点，它们确定图象限;更多详细知识点请点击gt;gt;gt;gt;gt;浙教版初三数学上学期二次函数的图象知识点1.3 二次函数的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)更多详细知识点请点击gt;gt;gt;gt;gt;浙教版初三数学上学期二次函数的性质知识点1.4 二次函数的应用二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。

上低下高很显眼。

更多详细知识点请点击gt;gt;gt;gt;gt;浙教版初三数学上册二次函数的应用知识点二次函数知识点的全部内容就是这些，更多的精彩内容请点击初三数学知识点栏目了解详情，预祝大家在新学期可以更好的学习。

浙教版九年级上册二次函数知识点与题型总结(K12教育文档)

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第一部分二次函数基础知识✧ 相关概念及定义➢ 二次函数的概念：一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调:和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．➢ 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． ✧ 二次函数各种形式之间的变换➢ 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=，.➢ 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2。

✧ 二次函数解析式的表示方法➢ 一般式:2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数,0a ≠); ➢ 顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，0a ≠）；➢ 两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）。

新浙教版九年级上册知识点

九年级上册第一章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．向下 y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．向下 y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．向下 X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系向下 X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02b a-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴ab x 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b ac AB x x a -=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：第二章简单事件的概率一、可能性1、必然事件：有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件．2、不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件．3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的。

新浙教九年级上册知识点

九年级上册第一章二次函数一、二次函数观点：1．二次函数的观点：一般地，形如y ax2bx c （ a，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数a0 ，而 b ，c 能够为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c 的结构特色：⑴等号左边是函数，右边是对于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b，c 是常数，a是二次项系数， b 是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a 的符号张口极点坐对称轴方向标向上y 轴向下y 轴a的绝对值越大，抛物线的张口越小。

2.y ax2 c 的性质：上加下减。

a 的符号张口极点坐方向对称轴标向上y 轴向下y 轴3.y a x h 2的性质：左加右减。

性质x 0 时，y随x的增大而增大；x0 时，y 随 x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 ．x0 时，y随x的增大而减小； x 0 时，y随 x 的增大而增大；x 0时， y 有最大值 0 ．性质x0 时，y随x的增大而增大； x 0 时，y 随 x 的增大而减小；x 0时， y 有最小值 c ．x0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时，y 随 x 的增大而增大；x0 时，y有最大值 c ．a 的符号张口极点坐性质方向对称轴标x h 时，y随x的增大而增大； x h 时，向上X=h y 随 x 的增大而减小；x h 时，y有最小值 0 ．x h 时，y随x的增大而减小； x h 时，向下X=h y 随 x 的增大而增大；x h 时，y有最大值 0 ．4.2y a x hk 的性质：a 的符号张口极点坐性质方向对称轴标x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时，向上X=h y 随 x 的增大而减小；x h 时，y有最小值 k ．x h 时，y随x的增大而减小； x h 时，向下X=h y 随 x 的增大而增大；x h 时，y有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一⑴ 将抛物线分析式转变为极点式 y a x h 2h ，k ；k ，确立其极点坐标⑵保持抛物线 y ax 2 的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y ax 2bx c 沿y轴平移:向上（下）平移m个单位， y ax 2bx c 变为y ax 2bx c m （或 y ax2bx c m ）⑵ y ax 2bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，y ax 2bx c 变为y a(x m)2b(x m) c （或 y a( x m)2b(x m) c ）四、二次函数 y a x2k 与y ax2bx c的比较h从分析式上看， y2k 与y ax2bx c 是两种不一样的表达形式，后者经过a x h2b2b，k2配方能够获得前者，即 y a x b4ac，此中 h4ac b．2a4a2a4a五、二次函数 y ax2bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax 2bx c 化为极点式 y a( x h )2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图 . 一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c、以及0，c对于对称轴对称的点2h ，c 、与x 轴的交点 x1，0 ， x2，0 （若与x轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点） .画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y ax 2bx c 的性质1. 当a0 时，抛物线张口向上，对称轴为 x b，极点坐标为 b ，4ac b 2．2a2a4a当 xb时， y 随 x 的增大而减小；当xb时， y 随 x的增大而增大；当2a2a2xb时， y 有最小值 4ac b． 2a4a2. 当 a 0 时，抛物线张口向下，对称轴为 xb，极点坐标为b 22ab ，4ac ．当 xb时， y 随 x 的增大而增大；当 xb时， y 随 x 的增大而减2 a 4a2a2a2小；当 xb时， y 有最大值4ac b．2a4a七、二次函数分析式的表示方法1. 一般式：2. 极点式：3. 两根式：y ax 2 bx c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ）； y a(x h)2 k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ）；y a(x x 1 )(x x 2 ) （ a 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 4ac 0 时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2 bx c 中， a 作为二次项系数，明显 a 0 ．⑴ 当 a 0 时，抛物线张口向上， a 的值越大，张口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵ 当 a 0 时，抛物线张口向下， a 的值越小，张口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线张口的大小和方向， a 的正负决定张口方向， a 的大小决定张口的大小．2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确立的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在 a 0 的前提下，当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左边；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右边．2a⑵ 在 a0 的前提下，结论恰好与上述相反，即当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右边；2a当 b 0 时，b 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左边．2a总结起来，在 a 确立的前提下， b 决定了抛物线对称轴的地点．ab 的符号的判断：对称轴 xb在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右边则2aab 0 ，归纳的说就是“左同右异”3. 常数项 c⑴当 c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶当 c 0 时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与 y 轴交点的地点．总之，只需 a ，b ，c 都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；2.已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常采用极点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点状况）：一元二次方程 ax2bx c 0 是二次函数 y ax2bx c 当函数值 y0 时的特别状况.图象与 x 轴的交点个数：① 当b24ac0 时，图象与x 轴交于两点 A x1，0 ，B x2，0( x1x2 )，此中的1，x2x是一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0的两根．这两点间的距离AB x2x1b24ac.a② 当0 时，图象与 x 轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与 x 轴没有交点.1'当 a0 时，图象落在 x 轴的上方，不论 x 为任何实数，都有y0 ；2'当 a0 时，图象落在x轴的下方，不论x为任何实数，都有 y0 ．2. 抛物线y ax2bx c 的图象与y轴必定订交，交点坐标为 (0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转变为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转变为极点式；⑶依据图象的地点判断二次函数y ax2bx c 中a， b ，c的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的地点，要数形联合；⑷二次函数的图象对于对称轴对称，可利用这一性质，乞降已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与 x 轴二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实有两个交点正、可零、可负根抛物线与 x 轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实只有一个交点非负数根抛物线与 x 轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根 .无交点为正⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c(a0) 自己就是所含字母 x 的二次函数；下边以a 0时为例，揭露二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：第二章简单事件的概率一、可能性1、必定事件：有些事件我们能确立它必定会发生，这些事件称为必定事件．2、不行能事件：有些事件我们能必定它必定不会发生，这些事件称为不行能事件．3、确立事件：必定事件和不行能事件都是确立的。

浙教版初三数学上册二次函数的应用知识点

浙教版初三数学上册二次函数的应用知识
点
知识点
二次方程零换y，二次函数便出现。

全体实数定义域，图像叫做抛物线。

抛物线有对称轴，两边单调正相反。

A定开口及大小，线轴交点叫顶点。

顶点非高即最低。

上低下高很显眼。

如果要画抛物线，平移也可去描点，
提取配方定顶点，两条途径再挑选。

列表描点后连线，平移规律记心间。

左加右减括号内，号外上加下要减。

二次方程零换y，就得到二次函数。

图像叫做抛物线，定义域全体实数。

A定开口及大小，开口向上是正数。

绝对值大开口小，开口向下A负数。

抛物线有对称轴，增减特性可看图。

线轴交点叫顶点，顶点纵标最值出。

如果要画抛物线，描点平移两条路。

提取配方定顶点，平移描点皆成图。

列表描点后连线，三点大致定全图。

若要平移也不难，先画基础抛物线，
顶点移到新位置，开口大小随基础。

课后练习
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