多元函数微积分测试题

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(完整版)多元函数微分学复习题及答案

第八章多元函数微分法及其应用复习题及解答

一、选择题

1. 极限lim x y x y

x y

→→+00

242= （提示：令22y k x =）（ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于

12 (D) 存在且不等于0或1

2 2、设函数f x y x y y x

xy xy (,)sin sin

=+≠=⎧

⎨⎪⎩⎪1100

，则极限lim (,)x y f x y →→0

= （ C ）

（提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小）

(A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2

3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧⎨⎪

⎩

⎪22

2222000

，则(,)f x y （ A ）

（提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =

，

0(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续.所以，

(,)f x y 在整个定义域内处处连续.）

(A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续

4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ A ） (A)必要而非充分条件

(B)充分而非必要条件

(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件

5、设u y x =arctan ，则∂∂u x = （ B ）

(A)

x y 22

(B) -

+y x y 22 (C) y

x y 22

多元微积分试题

一、判断题(每题1分)

1．平面032=++y x 与z 轴垂直．（）

2．多元初等函数在其定义区域上是连续的（）

3．若函数),(y x f 可微则一定连续．（）

4．点)0,0(是函数xy z =的极值点．（）

5．若D ：1,3≤≤y x ,则0)x =+⎰⎰

dxdy y （．（）二、填空题(每题2分)

1.二元函数)ln(1xy z =

的定义域为。 2.函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(2

22222y x y

x y x xy y x f ，在原点的极限。 3.222y xy x z ++=，则11

==y x dz = 。 4.设)(y x e e f z --+=,且)(u f 可微，则=∂∂-∂∂--y z

e x z

e x y 。

5.设⎰⎰≤≤≤≤D

,20,1x 0D xydxdy y 则：= 。三、选择题（每题3分）

1．若A y x f kx y =→=),(lim 0对任何k 都成立，则必有（）．

(A) ),(y x f 在（0，0）处连续；

（B ）),(y x f 在（0，0）处有偏导数；

(C)A y x f y x =→→),(lim 00

；

(D)

),(lim 0

0y x f y x →→不一定存在；

2．)(sin 2

by ax z += 则y x z ∂∂∂2

=（）

(A))(2cos 22by ax a + ；（B ）)(2cos 2by ax ab + ；

(完整版)多元函数微积分复习试题

多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

A. 若0

lim x x

y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0

lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处

∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处

∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22

y ∂∂.

5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).

A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;

(完整版)第7章多元函数微积分测试题讲义

第7章多元函数微积分测试题

一、单项选择题。 1．设23)12(++=y x z ，则

=∂∂y

（ D ）。 A ．13)12)(23(+++y x y B ．13)12)(23(2+++y x y C ．)12ln()12(23+++x x y D ．)12ln()12(323+++x x y 2．设)ln(y x z +=，则=)

0,1(d z

（ B ）

。 A ．y x d d +- B ．y x d d + C ．y x d d - D ．y x d d -- 3．下列说法正确的是（ A ）。

A ．可微函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ；

B ．函数),(y x f 在),(00y x 处达到极值，则必有),(00y x f x 0),(00==y x f y ；

C ．若),(00y x f x 0),(00==y x f y ，则函数),(y x f 在点),(00y x 处达到极值。

D ．若),(00y x f x 或),(00y x f y 有一个不存在，则函数),(y x f 在点),(00y x 处一定没有极值。

4．设uv z =，v u x +=，v u y -=，若把z 看作y x ,的函数，则

=∂∂x

（ A ）

。 A ．x 21 B ．)(21

y x - C ．x 2 D ．x

5．下列各点中（ B ）不是函数x y x y x z 9332233-++-=的驻点。 A ．)0,1( B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)0,3(-

多元函数微分习题.docx

一、选择题

1. z = In yjx~ - y 的定义域是

A. ｛（X, v ） |x 2 > V ）;

B. ｛（X, v ） | X 2 > y ｝：

C. ｛（X, v ） |x 2 < y ｝：

D. ｛（X, V ）|x 2 < V ）.

2.函数z = /(x, y)在点(x 0, v 0)处对y 的偏导数是

A lim /(心 + 山，几+勺)—/(X 。，％)r 丘皿 g + 心,％ + △『)—/(x°,几) C Um /(Xo + Ax, X )) —/(兀,几).

D lim /(Xo ，%+4v) —/(Xo’o)

AXTO A X

R TO A X

3. 如果/(x, y)具有二阶连续偏导数，则空华卫= (D )

oxoy

A . o ；

B . ^21； c. ^21； D . ^2).

a%2 dy2

dydx

4. 函数z = /(x,y)在点(无)，％))处连续是函数在该点处可微分的

(B )

A.充分但不必要条件；

B.必要但不充分条件；

C.必要且充分条件；

D.既不充分也不必要条件. 5. 设z= I 1 =,则下列结论中正确的是

(C )

1 、一 2 (2)

A.在xoy 平面上连续；

B.在xoy 平面上，只有((

C.在圆周x 2 + v 2 = 1上间断；

D.在x' + y~ < 1内连续二、计算题

1.已知 /(x, y) = x y + 2xy ,试求 /(2,-1)和/(" + 2v, z/v). 解:因为 /(x, v) = X'v + 2xy

第八章多元函数微分自测题及答案

第八章多元函数微分学自测题及解答

一、选择题

1．若函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处不连续，则( C )

（A ）) ,(lim y x f y y x x

→→必不存在；（B ）) ,( y x f 必不存在；

（C ）) ,(y x f 在点) ,( y x 必不可微；（D ）) ,( y x f x 、) ,( y x f y 必不存在。 2．考虑二元函数) ,(y x f 的下面4 条性质： ①函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处连续；

②函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数连续； ③函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处可微；

④函数) ,(y x f 在点) ,( y x 处两个偏导数存在。则下面结论正确的是（ A ）

（A ）②⇒③⇒①；（B ）③⇒②⇒①；（C ）③⇒④⇒①； D ）③⇒①⇒④。

3．设函数⎪⎩⎪

⎨⎧=+≠++=0 , 0 0 ,),(2222242y x y x y x y

x y x f ，则在)0 ,0(点处（ C ）

（A ）连续，偏导数存在；（B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在。解：取2

x y =，∵

0)0,0(2

lim

),(lim 444

=≠=+=→→=→f x x x

y x f x x y x ,

∴)0,0(f 在)0 ,0(点处不连续，而0)0,0()0,0(==y x f f 。故应选（C ） 4．设z y x u =

，则=∂∂)2,2,3(y

(完整版)多元函数微分学测试题及答案

第8章测试题

1.),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数且在),(00y x 处有极值是 0),(00=y x f x 及0),(00=y x f y 的（）条件．

A ．充分

B ．充分必要

C ．必要

D ．非充分非必要

2.函数(,)z f x y =的偏导数z x

∂∂及z y ∂∂在点(,)x y 存在且连续是 (,)f x y 在该点可微分的（）条件．

A ．充分条件

B ．必要条件

C ．充分必要条件

D ．既非充分也非必要条件

3. 设(,)z f x y =的全微分dz xdx ydy =+，则点（0，0）是（）

A 不是(,)f x y 连续点

B 不是(,)f x y 的极值点

C 是(,)f x y 的极大值点

D 是(,)f x y 的极小值点

4. 函数22

224422,0

(,)0,0

x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在（0，0）处（ C ）

A 连续但不可微

B 连续且偏导数存在

C 偏导数存在但不可微

D 既不连续，偏导数又不存在

二元函数22((,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)

⎧

+≠⎪=⎨⎪=⎩x y x y

f x y x y 在点(0,0)处( A

). A ．可微,偏导数存在 B ．可微,偏导数不存在

C ．不可微,偏导数存在

D ．不可微,偏导数不存在

6.设),(),,(y x v v v x f z ==其中v f ,具有二阶连续偏导数. 则=∂

∂22y z

( ). (A)222y v v f y v y v f ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂； (B)22

多元函数微分学单元测试题及答案解析

多元函数微分学单元测试题A

一、选择题

1. 极限2420

0lim

y x y x y

y x x +→→= （）

A.等于0；

B.不存在；

C.等于 12；

D.存在且不等于0或1

. 2.设),(b a f y '存在，则y

y b a f y b a f y )

,(),(lim 0

--+→= （）

A.),(b a f y '；

B. 0； C . 2),(b a f y '； D.

),(b a f y '. 3. 若函数) ,(y x f 在点) ,(00y x 处不连续，则 ( ) A.

) ,(lim 0

0y x f y y x x →→必不存在； B.) ,(00y x f 必不存在；

C. ) ,(y x f 在点) ,(00y x 必不可微；

D.) ,(), ,(0000y x f y x f y x 必不存在.

4.函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( ) A. 充分而不必要条件; B. 必要而不充分条件; C. 必要而且充分条件; D. 既不必要也不充分条件.

5.函数xy x

z +=arcsin

的定义域是（） A.

{}0,|),(≠≤x y x y x ； B.{}0,|),(≠≥x y x y x ；

{}0,0|),(≠≥≥x y x y x {}0,0|),(≠≤≤⋃x y x y x ；

{}{}0,0|),(0,0|),(<<⋃>>y x y x y x y x .

6、函数22(,)ln()f x y x y =-的定义域是（）

多元函数的微分及应用测试题

1、设,0ln =-z y z x 求.,,2y

x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂ 2、设f 为可微函数，且0),(≠v u f v ，由方程0),(=+z

x z z y f 确定了),,(y x z z =证明：z y

z y x z x =∂∂+∂∂。 3、设),(v u ϕ为可微函数，b a ,为常数，证明：由方程

0),(=--bz y az x ϕ所确定的函数),(y x z z =满足.1=∂∂+∂∂y

z b x z a 4、已知点)1,2,3(),1,1,1(-B A ，求函数)23ln(3z xy u -=在点

A 处沿A

B 方向的方向导数。

5、证明曲面)0(,>=++a a z y x 上任何一点处的

切平面在各坐标轴上的截距之和等于a 。并求函数

z y x u ++=在点)9

,9,9(a a a A 处的梯度及在A 点处沿梯度方向的方向导数。

6、设),(y x αα=可微，证明：由方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧='--=-22222)()]([)()]([x f f z y x f z ααααα 所确定的函数),(y x z z =满足方程： .xy y

z x z =∂∂⋅∂∂ 7. 求抛物面22220z x y x y z =++--=与平面之间的最短距离.

多元函数微积分学历年试题

1. 二元函数的偏导数

1994——2012年共考了22次，考到的概率P=100%，为必考题.

（1）（0105）设)(,1=∂∂=

xy z 则

1 B. x 1

- C. 2

1xy D. 21xy - （2）（0114）设=∂∂=)

1,1(,x

z x

则

（3）（0215）设=∂∂+=x

z y x z 则),cos(22

（4）（0314）设=

∂∂=+)

0,0(2

,)(y

e x

f y

x 则

（5）（0508）设函数)(,=∂∂=+x

e z y x 则

A. y x e +

B. y x ye +

C. y x xe +

D. y x e y x ++)(

（6）（0608）设函数)(,=∂∂=x

e z xy 则

A. xy ye

B. xy xe

C. xy e

D. y e

（7）（0708）设函数)(),tan(=∂∂=x

xy z 则

)(cos 2xy y

B. )(cos 2xy x

C. )(cos 2xy x -

D. )

(cos 2

xy y - （8）（0808）设函数)(,32=∂∂+=x

y x z 则

A. y x 32+

B. x 2

C. 32+x

33y x +

（9）（0908）设函数)(),tan(=∂∂=x

xy z 则

)(cos xy x 2 B. )(cos 2xy x C. )(cos 2xy y D. )

(cos 2xy y

（10）（1008）设函数)(,)

0,1(2=∂∂=y

xe z y 则

A.0

C.1

D. 2 （11）（1108）设函数)(,33=∂∂+=y

多元函数积分学100题

多元函数积分学100题（附答案）

一．计算下列二重积分

1. (1)D

x y d σ--⎰⎰，其中:0,0,1D x y x y ≥≥+≤；

d x

σ+⎰⎰

，其中2

:,1D y x y y ≤≤≤≤；

3. xy

xe d σ⎰⎰ ，其中1:

2,12D y x x

≤≤≤≤；

4. x y

d σ+⎰⎰，其中:1D x y +≤；

5. D

xyd σ⎰⎰，其中D 是由1y x =-及226y x =+所围成的闭区域；

6. (2)D

x y d σ+⎰⎰，其中D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域；

sin D

y d σ⎰⎰，其中D 是由0,1x y ==及y x =所围成的闭区域；

8．3

(3)D

x y d σ+⎰⎰，其中D 是由22,4y x y x ==及1y =所围成的闭区域； 9.

σ⎰⎰

，其中2:D x y ≤≤

10. 1

x d y σ+⎰⎰

，其中D 是由2

1,2y x y x =+=及0x =所围成的闭区域；

11. 2

y x d σ-⎰⎰，其中:01,01D x y ≤≤≤≤；

12. D

xy d σ⎰⎰，其中222

:D x y a +≤；

13. 22

x y

d σ+⎰⎰，其中22

:4D x y +≤；

14.

ln(1)D

x y d σ++⎰⎰，其中2

:1,0,0D x y x y +≤≥≥；

15.

arctan

y d x

σ⎰⎰，其中D 是由2222

4,1,x y x y +=+=及0,y y x ==围成的第一象限内的闭区域；

16. D

σ⎰⎰

多元微积分考题

清华大学土木建管系学交部 (A) 若 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 连续，则 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 的偏导数都存在。 (B) 若 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 的两个偏导数都存在，则 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 连续。 (C) 若 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 的两个偏导数都存在，则 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 可微。 (D) 若 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 可微，则 f ( x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 连续。答：D 4．函数 f ( x, y, z ) 3 x 2 y 2 z 2 在点 (1,1,2) 处的梯度是
清华大学土木建管系学交部（A）函数 f ( x, y) 在点 (0, 0) 可微且 df (0, 0) 4dx dy 。（B）函数 f ( x, y) 在点 (0, 0) 的某邻域内必有定义。
z f ( x, y ) （C）空间曲线在点 (0, 0) 处的一个切向量为 i 4k 。 y 0
(C) lim 答：B
x 0 y x2 x
(D)
lim
x 0 y 0
xy 不存在。 x y
xy , ( x, y ) (0,0) 7．设函数 z f ( x, y ) x 2 y 2 ，又 x t , y t ，则下列结论中 0, ( x, y ) (0,0)

多元函数微积分复习试题.doc

多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可微分的( B )

(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;

2 ．设函数 f x, y 在点 x0 , y0 处连续是函数在该点可偏导的（ D )

(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;

3．函数f x, y在点x0, y0 处偏导数存在是函数在该点可微分的( B ).

(A) 充分而不必要条件 ; (B) 必要而不充分条件 ;

4 ．对于二元函数z f (x, y) , 下列结论正确的是 ( C ).

A. 若lim A , 则必有 lim f (x, y) A 且有 lim f (x, y) A;

x x0 x x y y

0 0

y y0

B. 若在( x0, y0)处z

和

都存在 , 则在点 (x0 , y0 ) 处 z f ( x, y) 可微; x y

C. 若在( x0, y0)处z

和

存在且连续 , 则在点 ( x0 , y0 ) 处 z f (x, y) 可微; x y

D. 若 2 z 和2z

都存在 , 则. 2 z 2 z .

x2 y2 x2 y2

5．二元函数z f (x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处满足关系( C ).

A.可微 ( 指全微分存在 ) 可导 ( 指偏导数存在 ) 连续 ;

第七章-多元函数微积分简介-自测题

第七章多元函数微积分简介自测题

一．选择题

1．二元函数z=f(x,y)在点(0

,x y )处可微的充分条件

是（）

A f(x,y)在点（0

,x y ）处连续；

B 00(,),(,),x y f x y f x y x y ''在（）

的某邻域存在；

C 220000(,)(,),0

x y f x y x f x y y x y ''∆∆-∆∆+∆→z-当时，是无穷小量；

222

(,)(,)0

f x y x f x y y

x y x y

''∆∆-∆∆+∆∆+∆z-，当时，是无穷小

量。 2．

1()sin ,(,)0,x y x y f x y ⎧+⎪+=⎨

⎪⎩

222

00x y x y +≠+=，。

则在原点（0,0）

处f(x,y) ( )

A 偏导数不存在；

B 不可微

C 偏导数存在且连续

D 可微

3．设x ϕ（）为任意一个x 的可微函数，ψ（y ）为任意一个y 的可微函数，若已知

22F f

,(,)F x y x y x y

∂∂≠∂∂∂∂则是（） A f(x,y)+

x ϕ（） B f(x,y)+

ψ（y ）

C f(x,y)+

x ϕ（）+ψ（y ）

D f(x,y)+ x ϕ（）ψ（y ）

4．已知

（axy -y cosx ）dx+(1+bysinx+3x y )dy 为某一函数f(x,y)的全微分，则a 和b 的值分别是（） A -2和2， B 2和-2， C -3和3 D 3和-3. 5．设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=⎧

多元函数微积分练习题

练习题

一多元函数微分学部分练习题

1 求函数y

x y

x z -+

11的定义域.

2已知xy y x xy y x f 5),(22-+=-，求),(y x f . 3计算下列极限（1）

22)

0,1(),()

ln(lim

y x e x y y x ++→ （2） 442

2),(),(lim y x y x y x ++∞∞→

（3）

43lim

)

0,0(),(-+→xy xy y x （4）

y x xy 1)

1,0(),()1(lim +→

（5）2222)1,2(),(2lim y x y x xy y x ++→ （6）2222)0,0(),()

(2sin lim y

x y x y x ++→ 4 证明极限

y x y

x y x +-→)0,0(),(lim

不存在.

5 指出函数2

2),(y x y

x y x f -+=

的间断点.

6计算下列函数的偏导数（1）)ln(2y x z =

（2）x xy z )1(-=

（3）),(2y x f x z = （4）)(xy x

z ϕ=

（5）y xy y x z 234

4+-+= （6）)ln(22y x z +=

（7）)3cos(22y x e z y

x += （8）y xy z )1(+=

（9）2

y x u ++=

（10）⎰

220

sin y x dt t z

7 计算下列函数的二阶偏导数

（1）2

43y xy x z -+= （2）)ln(xy y z =

（3）y e z xy

sin = （4）),(2

y x f x z = （5）2

多元函数微积分复习试题

多元函数微积分复习题

一、单项选择题

1．函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可微分的 ( B )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件; (C) 必要而且充分条件; (D) 既不必要也不充分条件.

2．设函数()y x f ,在点()00,y x 处连续是函数在该点可偏导的（ D )

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

3．函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在是函数在该点可微分的 ( B ).

(A) 充分而不必要条件; (B) 必要而不充分条件;

A. 若0

lim x x

y y A →→=, 则必有0lim (,)x x f x y A →=且有0

lim (,)y y f x y A →=; B. 若在00(,)x y 处

∂∂和z y ∂∂都存在, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; C. 若在00(,)x y 处

∂∂和z y ∂∂存在且连续, 则在点00(,)x y 处(,)z f x y =可微; D. 若22z x ∂∂和22z y ∂∂都存在, 则. 22z x ∂∂=22

y ∂∂.

5．二元函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处满足关系( C ).

A. 可微(指全微分存在)⇔可导(指偏导数存在)⇒连续;

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