[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题五三角函数

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名师手拉手高三数学第二轮专题复习---三角函数

高三数学第二轮专题复习---三角函数一、本章知识结构：应用二、高考要求一．理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。

二．掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）三．能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

四．会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图线、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象、会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数及Y=Asin(ωχ+φ)的简图、理解A、ω、的物理意义。

五．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx arccosx arctanx表示角。

三、热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至2002年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.4.立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要打好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.四、复习建议本章内容由于公式多，且习题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：(1)首先对现有公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。

[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题二函数的图象与性质

专题二函数的图象与性质(见学生用书P 7)(见学生用书P 7)1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一个函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．2．函数的单调性(1)单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )也是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性．3．函数的奇偶性(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0；f (x )为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝0.只有当定义域关于原点对称时，这个函数才能具有奇偶性．(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性．(4)若f(x＋a)为奇函数⇒f(x)的图象关于点(a，0)中心对称；若f(x ＋a)为偶函数⇒f(x)的图象关于直线x＝a对称．(5)在f(x)，g(x)的公共定义域上，奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．4．函数的周期性(1)若y＝f(x)在x∈R时，f(x＋a)＝f(x－a)恒成立，则函数f(x)的周期为2|a|.(2)若y＝f(x)在x∈R时，恒有f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝±1f（x），则函数y＝f(x)的周期为2|a|.5．函数的图象重点结论：(1)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，即f(x)＝f(2a －x)，则f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(3)若函数y＝f(x)满足f(x)＝2b－f(2a－x)，则该函数的图象关于点(a，b)成中心对称．(见学生用书P8)考点一函数及其表示考点精析1．构成函数概念的三要素(1)三要素是指定义域、对应法则、值域．(2)三要素中只要有一个不同，两个函数就是不同的函数．(3)三要素都相同的两个函数是一个函数．2．当函数是由解析式给出时，则其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．也就是：(1)分式的分母不得为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；(5)三角函数中的正切函数y ＝ tan x ，x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .例 1－1(2015·湖北卷)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6x －3的定义域为( )A ．(2，3)B ．(2，4]C ．(2，3)∪(3，4]D ．(－1，3)∪(3，6]考点：函数定义域的求法．分析：可以根据选项，用排除法，也可以直接列出使函数解析式有意义的x 的不等式组，解不等式组即可．解析：(方法1)当x ＝3和当x ＝5时，函数均没有意义，故可排除选项B 、D ；当x ＝4时，函数有意义，可排除选项A.故选C.(方法2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－|x |≥0，x 2－5x ＋6x －3>0，x ≠3，解得2<x ≤4且x ≠3，所以定义域为(2，3)∪(3，4]．答案：C点评：本题主要考查函数定义域的求法，根据题目及选项特点，可用直接法，也可用排除法，属基础题．例 1－2已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数f (2x －1)的定义域为________．考点：函数的定义域及其求法．分析：根据题目给出的函数f (x )的定义域，由2x －1在函数f (x )的定义域内求解x 的范围得函数f (2x －1)的定义域．解析：函数f (x )的定义域为(－3，0)，则由－3<2x －1<0，解得－1<x <12.∴函数f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 点评：本题考查了复合函数的定义域及其求法，给出函数f (x )的定义域[a ，b ]，求解函数f [g (x )]的定义域，只需由a ≤g (x )≤b 求解x 的取值集合即可，是基础题．规律总结函数的概念及其表示是研究函数的基础，因而也是高考重点考查对象．考查时，一般较少直接考查，主要在考查其他知识的同时间接考查；若直接考查，函数的定义域问题则是其热点问题，应重点突破．偶尔也会涉及到函数的概念，甚至映射的概念．因此我们在二轮复习中对本考点内容复习的策略是：重点突破函数的定义域问题，兼顾函数概念乃至映射概念，不要留下知识的盲点，造成不必要的丢分．变式训练【1－1】已知函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数y＝f(x＋3)＋f(x2)的定义域为()A．[－2，1] B．[1，2]C．[－2，－1] D．[－1，2]解析：∵函数f(x)的定义域为[0，4]，要求函数y＝f(x＋3)＋f(x2)的定义域，∴x＋3∈[0，4]且x2∈[0，4]，∴－3≤x≤1且－2≤x≤2，∴抽象函数的定义域是[－2，1]．答案：A【1－2】若函数f(x)＝lg(x＋2x－m)在区间[1，2]上有意义，则实数m的取值范围是()A．(－∞，3) B．(－∞，6)C．[1，2] D．(－∞，3]解析：令对数的真数t＝x＋2x－m，则它的导数为t′＝1＋2x ln 2，再由x∈[1，2]，可得t′>0，故函数t＝x＋2x－m在区间[1，2]上为增函数，故函数f(x)＝lg(x＋2x－m)在区间[1，2]上是增函数．再由函数f(x)＝lg(x＋2x－m)在区间[1，2]上有意义，可得当x＝1时，t>0，即1＋2－m>0，解得m<3.答案：A考点二函数的图象及其应用考点精析1．作图：常用描点法或变换作图法．2．识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面，找准解析式与图象的对应关系．3．用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数的性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．例 2－1(2014·长郡二模)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝sin x cos x ；②f (x )＝2sin 2x ＋1；③f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4； ④f (x )＝sin x ＋3cos x .其中“同簇函数”的是( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点：函数的图象与图象变化．分析：由于f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再根据函数图象的平移变换规律，可得它与f (x )＝2sin x ＋π4的图象间的关系．而其余的两个函数的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标(或纵坐标)的伸缩变换，故不是“同簇函数”．解析：由于①f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 与②f (x )＝2sin 2x ＋1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于①f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x 与④f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横、纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．②f (x )＝2sin 2x ＋1与③f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横、纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于④f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，故把③f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向左平移π12，可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，故③和④是“同簇函数”．答案：D点评：本题主要考查新定义，函数图象的平移变换规律，属于基础题．例2－2)(2014·武汉调研)如图，直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的大致图象是()考点：函数图象的识别与应用问题．分析：认真阅读、理解题目意思，找出面积S与时间t的变化关系．解析：随着时间的增长，直线被圆截得的弦长先慢慢增加到直径，再慢慢减小，所以圆内阴影部分的面积增加速度先越来越快，然后越来越慢，反映在图象上面，则先由平缓变陡，再由陡变平缓，结合图象知，选C.答案：C点评：本题考查阅读理解能力和函数图象的识别，根据题意，明确S与t的变化关系，找出其对应的图象，属中档题．规律总结函数的图象是函数的一个重要组成部分，是数形结合的桥梁．因而本考点内容是高考重点考查对象，考查的热点问题是“用图”．这类问题一般处在高考试卷的选择、填空题的压轴位置．因此需要我们在二轮复习中重点关注和重点突破．变式训练【2－1】(2015·山西四校联考)函数y＝2x sin⎝⎛⎭⎪⎫π2＋6x4x－1的图象大致为()解析：y ＝2x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋6x 4x －1＝2x cos 6x 22x －1＝cos 6x 2x －2－x，由此容易判断函数为奇函数，可以排除A ；又函数有无数个零点，可排除C ；当x 取一个较小的正数时，y >0，由此可排除B ，故选D.答案：D【2－2】 (2014·太原一模)已知方程|sin x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α<β)，则下面结论正确的是( )A ．sin α＝αcos βB ．sin α＝－αcos βC ．cos α＝βsin βD ．sin β＝－βsin α解析：∵|sin x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个根，∴函数y ＝|sin x |和函数y ＝kx 在(0，＋∞)上有两个交点，由题可知x >0且k >0，画出两个函数的图象，如图所示．函数y ＝|sin x |和函数y ＝kx 在(0，π)上有一个交点A (α，sin α)，在(π，2π)上有一个切点B (β，sin β)时满足题意，α，β是方程的根．当x ∈(π，2π)时，f (x )＝|sin x |＝－sin x ，f ′(x )＝－cos x ，∴在B 处的切线为y －sin β＝f ′(β)(x －β)，将x ＝0，y ＝0代入方程，得sin β＝－βcos β，∴sin ββ＝－cos β. ∵O ，A ，B 三点共线，∴－sin αα＝－sin ββ， ∴sin αα＝－cos β，∴sin α＝－αcos β. 答案：B考点三分段函数考点精析对于分段函数应当注意的是分段函数是一个函数，而不是几个函数，其特征在于“分段”，即对应关系在不同的定义区间内各不相同．在解决有关分段函数问题时既要紧扣“分段”这个特征，又要将各段有机联系使之整体化、系统化．分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数的几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，且分别注明各部分的自变量的取值情况．例3－1(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( ) A ．－74 B ．－54C ．－34D ．－14考点：分段函数的正向求值与逆向求值问题．分析：分类讨论处理条件f (a )＝－3，解得a ，再代入函数解析式计算f (6－a )．解析：当a ≤1时，则2a －1－2＝－3，2a －1＝－1，a 无解．当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，a ＋1＝8，a ＝7.从而f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74，故选A.答案：A点评：分段函数的求值问题应根据自变量的值所属区间选定相应的解析式代入求解，即对号入座．例 3－2设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．考点：函数的周期性，分段函数的解析式求法及其图象的作法．分析：由于f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，由f (x )的表达式可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－12a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ＋43；再由f (－1)＝f (1)得2a ＋b ＝0，解关于a ，b 的方程组可得到a ，b 的值，从而得到答案．解析：∵f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1－12a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b ＋43，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∴1－12a ＝b ＋43.① 又f (－1)＝f (1)，f (1)＝b ＋22，f (－1)＝1－a ，∴b ＋22＝1－a ，即2a ＋b ＝0.②由①②解得a ＝2，b ＝－4.∴a ＋3b ＝－10.答案：－10点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到关于a ，b 的方程组并求得a ，b 的值是关键，属于中档题．规律总结新《课程标准》和《考试大纲》对分段函数提出了明确的具体要求(原来的《考试大纲》未明确提出要求)：了解简单的分段函数，并能简单的应用．因此分段函数问题是近几年高考命题的热点之一．变式训练【3－1】已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x －5，x >6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋4，x ≤6，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，且数列{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是__________．解析：由题意知：数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧a n －5，n >6，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2n ＋4，1≤n ≤6，由于数列是递增数列，∴4－a 2>0，即a <8.又∵a 7>a 6，∴a 2>28－3a ，解得a >4或a <－7.故a 的取值范围是4<a <8或a <－7.答案：(4，8)或(－∞，－7)【3－2】 (2014·南充一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－13x ＋16，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x 3x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，函数g (x )＝a cos πx 2－2a ＋12(a <0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围是__________________．解析：∵x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f (x )＝2x 3x ＋1，∴f ′(x )＝6x 2（x ＋1）－2x 3（x ＋1）2＝4x 3＋6x 2（x ＋1）2，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f ′(x )>0，函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1上为增函数，∴f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤16，1.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，函数f (x )为减函数，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，16.∴在[0，1]上f (x )∈[0，1]．又g (x )＝a cos πx 2－2a ＋12，当x ∈[0，1]时，cos πx 2∈[0，1]，∴g (x )∈－2a ＋12，－a ＋12.若存在x 1、x 2∈[0，1]，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，说明函数g (x )的最大值与最小值中至少有一个在[0，1]中，∴0≤－2a ＋12≤1或0≤－a ＋12≤1，解得－14≤a ≤14，或－12≤a ≤12，又a <0，∴实数a 的取值范围是a |－12≤a <0.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |－12≤a <0考点四函数性质的综合运用考点精析1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法．(4)对于抽象函数一般用定义法．2．函数奇偶性的应用应用函数的奇偶性可先求参数的值，画关于原点对称区间上函数的图象，再求解析式、函数值、判断单调性．3．函数周期性若T 为f (x )的一个周期，则f (x ＋nT )＝f (x )(n ∈Z )．4．求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数；(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数；(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或二元的函数；(4)导数法：适合于可求导数的函数．注意：(1)对于同增(减)的不连续的单调区间不能写成并集，只能分开写．(2)对于解析式较复杂的函数，可通过换元法转化为熟悉的函数，再求最值(值域)．例 4－1(2014·湖北卷)如图所示，函数y ＝f (x )的图象由两条射线和三条线段组成．若∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)，则正实数a 的取值范围是________．考点：考查函数图象的读图及函数求值问题，考查恒成立问题等知识．分析：通过分析题意，把问题转化为x 轴上区间的长度问题，寻找满足条件的临界值．解析：(方法1)由题中图象知f (x )为奇函数，当x ≤－2a 或x ≥2a 时，f (x )为增函数，要使∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)成立，因为f (4a )＝f (－2a )＝a ，故只需4a －(－2a )<1，即a <16.又a 为正实数，故a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16. (方法2)“∀x ∈R ，f (x )>f (x －1)”等价于“函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝f (x －1)的图象的上方”，函数y ＝f (x －1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向右平移一个单位得到的，如图所示．因为a >0，由图知6a <1，所以a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，16 点评：熟练掌握函数图象的作图、识图、用图，灵活运用数形结合、等价转化的思想方法及正确理解题意是解题的关键．规律总结函数性质的综合是高考重点考查对象，主要考查函数的单调性、最值、奇偶性、周期性、图象对称性以及给出新定义性质等．其中函数单调性往往结合导数在一起以解答题形式来考查．变式训练【4－1】 (2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 解析：易判断f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2. ∵f ′(x )＝11＋x ＋2x （1＋x 2）2>0， ∴f (x )在(0，＋∞)是增函数，∴不等式可化为f (|x |)>f (|2x －1|)，即|x |>|2x －1|，即3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.答案：A(见学生用书P 11)例定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3，4]时，f (x )＝x －2，则( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12B ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3 C ．f (sin 1)<f (cos 1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32 考场错解：由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期．设x ∈[－1，0]，则x ＋4∈[3，4]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2，∴f (x )在[－1，0]上是增函数．又f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )，∴x ∈[0，1]时，f (x )＝x ＋2，即f (x )在[0，1]上也是增函数．又∵sin 12<cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12. 故选A 项．专家把脉：上面解答错在由f (x )＝f (－x )得f (x )＝x ＋2这一步上，导致错误的原因主要是对偶函数图象不熟悉．对症下药：由f (x )＝f (x ＋2)知T ＝2为f (x )的一个周期，设x ∈[－1，0]，则x ＋4∈[3，4]，∴f (x )＝f (x ＋4)＝x ＋4－2＝x ＋2.∴f (x )在[－1，0]上是增函数．又∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称．∴f (x )在[0，1]上是减函数． A ：sin 12<cos 12⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 12>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 12； B ：sin π3>cos π3⇒f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3； C ：sin 1>cos 1⇒f (sin 1)<f (cos 1)； D ：sin 32>cos 32⇒f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 32. 故正确答案为C.(见学生用书P 119)一、选择题1．(2013·广东卷)函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1的定义域是( ) A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．[－1，1)∪(1，＋∞)解析：要使函数有意义需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0，解得x >－1且x ≠1.∴函数f (x )＝lg （x ＋1）x －1的定义域是(－1，1)∪(1，＋∞)．答案：C2．(2015·湖北卷)设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn |x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：由已知可知x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，所以|x |＝x sgn x ，故选D.答案：D3．(2014·雅礼二模)已知f (x )＝a （x －1）（x －3）(a <0)，定义域为D ，任意m ，n ∈D ，点P (m ，f (n ))组成的图形为正方形，则实数a 的值为( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析：要使函数有意义，则a (x －1)(x －3)≥0.∵a <0，∴(x －1)(x －3)≤0，即1≤x ≤3，∴定义域D ＝[1，3]．∵任意m ，n ∈D ，点P (m ，f (n ))组成的图形为正方形，∴正方形的边长为2.∵f (1)＝f (3)＝0，∴函数的最大值为2，即a (x －1)(x －3)的最大值为4.设g (x )＝a (x －1)(x －3)＝ax 2－4ax ＋3a ，∴当x ＝2时，g (x )有最大值g (2)＝－a ＝4，即a ＝－4.答案：D4．(2015·河北唐山上学期期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，ln 1≤1－2a ＋3a ， ∴ ⎩⎨⎧a <12，a ≥－1，∴ －1≤a <12.故选C.答案：C5．(2014·福建卷)现有四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x 的图象(部分)如下，则按照图象顺序对函数序号排序正确的一组是( )A ．①④③②B ．④①②③C ．①④②③D ．③④②①解析：分析函数的解析式，可得：①y ＝x ·sin x 为偶函数；②y ＝x ·cos x 为奇函数；③y ＝x ·|cos x |为奇函数；④y ＝x ·2x 为非奇非偶函数．且当x <0时，③y ＝x ·|cos x |≤0恒成立；则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③.答案：C6．(2015·湖北武汉模拟)若不等式x 2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．[－2，2]C ．(－∞，－2] D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞ 解析：不等式x 2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12恒成立等价于|x |2＋a |x |＋1≥0对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |. 令t ＝|x |，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，g (t )＝t ＋1t . ∵g (t )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12单调递减． ∴g (t )≥12＋2＝52，故－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－52，所求实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52，＋∞. 答案：D7．(2014·兰州、张掖联考)设f (x )的定义域为D ，若f (x )满足下面两个条件则称f (x )为闭函数：①f (x )是D 上的单调函数；②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[a ，b ]．现已知f (x )＝2x ＋1＋k 为闭函数，则k 的取值范围是( )A ．－1<k ≤－12B ．k <1C.12≤k <1D ．k >－1解析：函数f (x )的定义域为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，显然在定义域上函数f (x )单调递增．依题可知在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞上，方程x －k ＝2x ＋1有两个不同的解，结合图象易得实数k 的取值范围为－1<k ≤－12.答案：A8．(2014·岳阳二模)定义在R 上的函数y ＝f (x )在(－∞，a )上是增函数，且函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)≥f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)≤f (x 2)解析：∵y ＝f (x ＋a )是偶函数，∴f (－x ＋a )＝f (x ＋a )，∴f (x )关于x ＝a 对称．∵偶函数在(－∞，a )上是增函数，∴在(a ，＋∞)上是减函数．∵x 1<a ，x 2>a ，|x 1－a |<|x 2－a |，∴去掉绝对值得a －x 1<x 2－a ，即2a －x 1<x 2，且2a －x 1>a ，x 2>a .由(a ，＋∞)上是减函数知f (2a －x 1)>f (x 2)．∵f (x )关于x ＝a 对称，∴f (2a －x 1)＝f (x 1)，∴f (x 1)>f (x 2)．答案：A二、填空题9．设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析：f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝x 2＋1＋2x ＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1. 令g (x )＝2x ＋sin x x 2＋1，则g (x )为奇函数，对于一个奇函数来说，其最大值与最小值之和为0，即g (x )max ＋g (x )min ＝0，而f (x )max ＝1＋g (x )max ，f (x )min ＝1＋g (x )min ，所以f (x )max ＋f (x )min ＝2.故M ＋m ＝2.答案：210．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧1|x －1|，x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的整数解x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23等于______．解析：函数f (x )＝⎩⎨⎧1|x －1|，x ≠1，1其图象如图所示．令t ＝f (x )，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0，可化为t 2＋bt ＋c ＝0.若此方程无正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0无根；若此方程有一个非1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有两根；若此方程有一个等于1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有三根；此时t ＝f (x )＝1，x 1＝0，x 2＝1，x 3＝2，∴x 21＋x 22＋x 23＝5；若此方程有两个非1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有四根；若此方程有一个非1，一个等于1的正根，则方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有五根．综上x 21＋x 22＋x 23＝5.答案：511．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin （πx 2），－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a ＝__________．解析：由于f (1)＝e 1－1＝1，再根据f (1)＋f (a )＝2⇒f (a )＝1.当a >0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1；当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1⇒a 2＝12⇒a ＝±22，由于－1<a <0，得出a ＝－22.故a ＝1或－22.答案：1或－2212．已知f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数且f (1)＝2，当x 1、x 2∈[－1，1]，且x 1＋x 2≠0时，有f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2>0，若f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1，1]恒成立，则实数m 的取值范围是__________．解析：∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，∴当x 1、x 2∈[－1，1]，且x 1＋x 2≠0时，有f （x 1）＋f （x 2）x 1＋x 2>0等价为f （x 1）－f （－x 2）x 1－（－x 2）>0， ∴函数f (x )在[－1，1]上单调递增．∵f (1)＝2，∴f (x )的最小值为f (－1)＝－f (1)＝－2.要使f (x )≥m 2－2am －5对所有x ∈[－1，1]、a ∈[－1，1]恒成立，即－2≥m 2－2am －5对所有a ∈[－1，1]恒成立，∴m 2－2am －3≤0.设g (a )＝m 2－2am －3，则满足⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝m 2＋2m －3≤0，g （1）＝m 2－2m －3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤m ≤1，－1≤m ≤3，∴－1≤m ≤1.即实数m 的取值范围是[－1，1]．答案：[－1，1]。

[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题十空间几何体

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图和俯视图分别为(
)
A．①和② C．④和③ 考点：画出三视图．
B．③和① D．④和②
分析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得结论．解析：在坐标系中，标出已知的四个点，根据三视图的画图规则，可得三棱锥的正视图和俯视图分别为④②.
答案：D 规律总结纵观这几年的高考试题，有关三视图的内容已成为高考的一个热点，试题主要以选择题、填空题的形式出现，主要考查三视图的识别与判断问题，以及逆向思维能力．变式训练【1－1】 (2014· 江西卷)一几何体的直观图如图所示，下列给出
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1．(2015· 陕西卷)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．3π C．2π＋4
B．4π D．3π＋4
解析：由三视图可知该几何体的直观图是截去一半的圆柱，其表 1 面积为 S＝2π×2×2＋π×12＋2×2＝3π＋4. 答案：D 2．(2014· 广西卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为( 81π A. 4 C．9π B．16π 27π D. 4 )
求：(1)该三棱柱侧面展开图的对角线长； (2)PC 与 NC 的长．考场错解：第(2)问：过 M 作 MN⊥CC1 于 N，则由已知有 MN＋NP＝3＋NP＝ 29，NP＝ 29－3，此时 N 为 CC1 的中点， NC＝2，PC＝ NP2－NC2＝ 34－6 29. 专家把脉：依题意有 MN＋NP 的最小值为 29，而错解中认为 MN 最小，则 MN＋NP 就最小，这是错误的．对症下药：(1)正三棱柱 ABC－A1B1C1 的侧面展开图是一个长为 9，宽为 4 的矩形，其对角线长为 92＋42＝ 97. (2)如图所示，将侧面 BB1C1C 绕棱 CC1 旋转 120°，使其与侧面

[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书题型精讲

题型精讲第一讲选择题的解法(见学生用书P 100)高考数学选择题主要考查考生对基础知识的理解程度、基本技能的熟练程度以及基本运算的准确程度等方面，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查考生灵活应用基础知识解决数学问题的能力．选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解．解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏．解答选择题的常用方法主要是直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．总的来说，选择题属于小题，解题的常用原则是：小题巧解．方法一直接法方法点拨直接法就是从题干给出的条件出发，进行演绎推理，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解选择题最常用的策略．这类选择题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，然后与选择支对照，从而作出相应的选择．例 1－1(2014·北京模拟)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：依题意作出相应图形如图．∵F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，∴||F 2F 1＝2c .∵△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，∴∠PF 2D ＝60°.∵P 为直线x ＝3a 2上一点，∴||F 2D ＝||OD －||OF 2＝32a －c .∴||PF 2＝||F 2D cos 60°＝2⎝⎛⎭⎪⎫32a －c . 又∵||F 2F 1＝||PF 2，即2c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c . ∴e ＝c a ＝34.故选C.答案：C点评：直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．变式训练【1－1】 (2015·黄冈模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sin B ，且S △ABC ＝2，则b ＝( )A ．1B ．2 3C ．3 2D ．3解析：∵cos A ＝13，∴sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，∴bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，∴c ＝3b ，∴b ＝1，c ＝3.答案：A【1－2】 (2015·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12解析：S 8＝8a 1＋12×8×(8－1)d ＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6，由S 8＝4S 4，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192.答案：B方法二排除法方法点拨在解答某些选择题时，可以根据选项的特征，通过灵活赋值，利用一些特殊的对象，如数、点等代入选项进行验证，根据选择题的特征——只有一个选项符合题目要求这一信息，可以间接地得到符合题目要求的选项．例 2－1(2015·黄冈模拟)函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B ．[－1，0] C ．[－2，－1] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 解析：令sin x ＝0，cos x ＝1，则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B. 答案：B变式训练【2－1】 (2015·浙江卷)设实数a ，b ，t 满足|a ＋1|＝|sin b |＝t .( )A ．若t 确定，则b 2唯一确定B ．若t 确定，则a 2＋2a 唯一确定C ．若t 确定，则sin b 2唯一确定D ．若t 确定，则a 2＋a 唯一确定解析：利用排除法进行分析，若t 确定，则|sin b |随之确定，但由正弦函数周期性可知b 不确定，故A ，C 错，由t ＝|a ＋1|，得t 2－1＝a 2＋2a ，若t 确定，则t 2－1确定，所以a 2＋2a 确定，故B 正确，D 错误，故选B.答案：B方法三特例法方法点拨特例检验(也称特例法或特殊值法)是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例检验是解答选择题的最佳方法之一，适用于解答“对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”，这样以全称判断形式出现的题目，其原理是“结论若在某种特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真”，利用“小题小做”或“小题巧做”的解题策略．例 3－1(2014·长沙模拟)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为( )A ．130B ．170C ．210D ．260解析：取m ＝1，依题意a 1＝30，a 1＋a 2＝100，则a 2＝70，又{a n }是等差数列，进而a 3＝110，故S 3＝210，选C.答案：C例 3－2(2015·浙江卷)存在函数f (x )满足：对于任意x ∈R 都有( )A ．f (sin 2x )＝sin xB ．f (sin 2x )＝x 2＋xC ．f (x 2＋1)＝|x ＋1|D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|解析：取x ＝0，π2，可得f (0)＝0，f (0)＝1，这与函数的定义矛盾，所以选项A 错误；取x ＝0，π，可得f (0)＝0，f (0)＝π2＋π，这与函数的定义矛盾，所以选项B 错误；取x ＝1，－1，可得f (2)＝2，f (2)＝0，这与函数的定义矛盾，所以选项C 错误；取f (x )＝x ＋1，则对任意x ∈R ，都有f (x 2＋2x )＝x 2＋2x ＋1＝|x ＋1|，所以选项D 正确．综上，本题选D.答案：D变式训练【3－1】 (2015·黄冈模拟)过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 作直线交抛物于A 、B 两点，若AF 与FB 的长分别是p 、q ，则1p ＋1q ＝( )A ．2a B.12aC ．4a D.4a解析：每一个选项都是一个确定的常数，取一个方便计算的特殊位置，由此计算出的目标值必然与错误选项不同，由此排除错误选项．考虑AB 过焦点且与抛物线对称轴垂直，则AB 是抛物线的通径．AF＝FB ＝12a ，此时1p ＋1q ＝4a ，排除A 、B 、D ，选C.答案：C方法四图解法方法点拨在解答选择题的过程中，可先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质、综合图象的特征等，得出结论，习惯上也叫数形结合法．例 4－1(2014·河北模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ，x ≠0，0，x ＝0，则关于x的方程[f (x )]2＋bf (x )＋c ＝0有5个不同实数解的充要条件是( )A ．b <－2且c >0B ．b >－2且c <0C ．b <－2且c ＝0D ．b ≥－2且c ＝0解析：设t ＝f (x )，则方程化为关于t 的一元二次方程t 2＋bt ＋c ＝0，而函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 的图象如图所示，显然，当⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝t >2时，有4个不同的x 的值与同一个t (t >2)对应，而当f (x )＝0时，只有x ＝0，所以要使原方程有5个不同实数解，应使方程t2＋bt＋c＝0有一个零根和一个大于2的根，故b<－2且c＝0，故所求充要条件为b<－2且c＝0.答案：C点评：图解法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择．变式训练【4－1】(2015·武汉模拟)若a＝(1，3)，|a－b|＝1，则|b|的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(1，2)C．(1，3) D．[1，3]解析：(方法1)当a，b共线时，|b|＝1或3，当a，b不共线，a，b，a－b必构成一个三角形，如图．而|a|＝2，|a－b|＝1，∴2－1<|b|<2＋1，∴1<|b|<3.∴1≤|b|≤3，故选D.(方法2)(利用向量模的几何意义)如图所示．→.设b＝(x，y)，则a－b＝(1－x，3－y)，且a＝OA∵|a－b|＝1，∴(1－x)2＋(3－y)2＝1，即(x－1)2＋(y－3)2＝1.又|b|＝x2＋y2，∴|b|的取值范围即为圆(x－1)2＋(y－3)2＝1上的点到原点距离的最大值和最小值之间的值．∴|b|max＝12＋（3）2＋1＝3，|b|min＝12＋（3）2－1＝1.∴1≤|b|≤3，故选D.→的端点A在以(方法3)如图所示，因为a＝(1，3)，所以a＝OA原点为圆心，2为半径的圆上，因为|a －b |＝1，所以a －b ＝OB →的端点B 在单位圆上，b ＝a －OB→＝OA→－OB →＝BA →.由图可知1≤|b |≤3. 综上可知，选D.答案：D方法五推理分析法方法点拨推理分析法是通过逻辑推断过程，分析四个选项之间的逻辑关系，从而否定干扰项，肯定正确选项的方法．使用该方法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确．例 5－1(2014·长沙模拟)若某函数同时具有性质：(1)最小正周期是π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．则该函数可能是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 C ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 解析：A 选项中，函数的周期为T ＝2π12＝4π，不满足题意，排除；因为图象的对称轴对应着函数的最大值或最小值，而C 选项中，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝cos π2＝0，对应的不是最值，排除；B 选项中，cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝cos 0＝1，cos 2×π3＋π3＝cos π＝－1，显然函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，排除．故只有D 选项满足条件．答案：D点评：应用此法需对题中条件进行分析，作出推断，排除干扰项，筛选出唯一正确的答案．变式训练【5－1】设x 、y 是两个异号实数，则必有( )A ．|x －y |<|x |－|y |B ．|x －y |<|x |＋|y |C ．|x ＋y |≥|x －y |D ．|x ＋y |<|x －y |解析：选C 、D 是相互对立的，其中必有一选项正确，取x ＝1，y ＝－1，排除C ，选D.答案：D方法六估算法方法点拨由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例 6－1(2015·武汉模拟)设a 、b 、c 均为正数，且2a ＝log 0.5a ，0.5b ＝log 0.5b ，0.5c ＝log 2c ，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c解析：选项均是对三个正实数根a 、b 、c 的排序，其中a 、b 、c 是三个不同方程的实根，但三个方程都无法准确求其根，考虑通过方程估算其根所在大致范围，通过恰当的范围来对a 、b 、c 排序．a >0，则log 0.5a ＝2a >1＝log 0.50.5，a ∈(0，0.5)；b >0⇒0<0.5b <1，log 0.5b ＝0.5b ∈(0，1)，则b ∈(0.5，1)；c >0，则log 2c ＝0.5c ∈(0，1)，c ∈(1，2)．由a 、b 、c 所在范围知a <b <c ，排除B 、C 、D ，选A.答案：A变式训练【6－1】 (2014·大连模拟)已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球面面积是( )A.169πB.83π C ．4π D.649π解析：∵球的半径R 不小于△ABC 的外接圆半径r ＝233，则S 球＝4πR 2≥4πr 2＝163π>5π.答案：D1．选择题设置特点精巧易错近年来，高考选择题减少了繁琐的运算，着重考查学生的逻辑思维与直觉思维能力，考查学生观察、分析、比较、选择简便运算方法的能力，试题具有设置精巧、运算量不大、试题破解时易错的特点，着重考查学生的解题能力．2．选择题的解题策略灵活多变选择题的解题策略需要因题而变，对于容易题和大部分的中等难度的题，可采取直接法；与几何图形有关的题，尽可能先画出图形，用数形结合的方法或者几何法；难度较大或一时找不到思路的题，常使用一些技巧，采用非常规方法的同时注意多用图，能不算则不要算；实在不会的，猜一下，不要留空．温馨提示：小题小做，小题巧做，切忌小题大做．3．选择题的破解技巧多样简洁选择题的解题方法较多，解答选择题的首要标准是准确，其次要求是快速，力求做到又准又快．解数学选择题有两类基本技巧：一是直接法；二是间接法．直接法：指充分利用题干和选项两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略；间接法：解选择题时通过注意到通常各类常规题的解题思想来指导选择题的解答，或根据选择题的特殊性，寻找存在着若干异于常规题的特殊解法．一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其他方法，充分利用题干和选项两方面提供的信息，快速、准确地作出判断，是解选择题的基本策略．第二讲填空题的解法(见学生用书P104)1．数学填空题的特点填空题缺少选择的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上．但填空题既不用说明理由，又无需书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题．填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为熟知的题目或基本题型．填空题不需过程，不设中间分值，更易失分，因而在解答过程中应力求准确无误．填空题虽题小，但跨度大，覆盖面广，形式灵活，可以有目的地、和谐地结合一些问题，突出训练学生准确、严谨、全面、灵活地运用知识的能力和基本运算能力，突出以图助算、列表分析、精算与估算相结合等计算能力．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略，尽量避开常规解法．2．数学填空题的类型根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等．由于填空题和选择题相比，缺少选择的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现．二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的焦点坐标、离心率等等．近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题．3．解数学填空题的原则解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格．《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”．为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．方法一直接法方法点拨直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例 1－1(2015·黄冈模拟)已知△ABC 的周长为6，三边a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 面积的最大值为________．解析：cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12(a ＝c 时取等号)．∴B ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3. 又b ＝ac ≤a ＋c 2＝6－b 2⇒b ∈(0，2]．∴S ＝12ac sin B ＝12b 2sin B ≤12·22·sin π3＝ 3. 答案： 3点评：直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．变式训练【1－1】 (2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________．解析：∵a n ＋1＝S n S n ＋1，且a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，∴1S n－1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1. 又1S 1＝1a 1＝－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列， ∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n . ∴S n ＝－1n .答案：－1n方法二特例法方法点拨一个结论在一般情形下成立，在特殊情形下必然成立，填空题只要结果，不要过程，所以可将填空题中的一般情形特殊化再求解，这种解填空题的方法，叫做特殊化法．凡在一般情形下探求结论的填空题，都可用特殊化法进行求解，即取特殊值、特殊位置、特殊图形、特殊函数、特殊数列等进行求解．例 2－1 (2014·长沙模拟)如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP→＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.解析：由题意可知，1λ＋1μ的值是定值，与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ 重合时，则有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.答案：2点评：(1)当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以直接赋予参数一个特殊的数值(或函数、角、数列等)，代入计算即可得到结论．(2)求值或比较大小关系等问题均可利用特殊值法求解，但要注意此种方法仅限于所求值只有一种的填空题，对于开放性的问题或者多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．变式训练【2－1】 (2015·黄冈模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：△ABC 为等边三角形时满足条件，则S △ABC ＝332. 答案：332【2－2】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A ·cos C＝________．解析：令a ＝3，b ＝4，c ＝5，则△ABC 为直角三角形，且cos A ＝45，cos C ＝0，代入所求式子得：cos A ＋cos C 1＋cos A ·cos C ＝45＋01＋45×0＝45. 答案：45方法三数形结合法方法点拨对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般比较明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间的距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形，虽然作图要花费一些时间，但只要认真将图形作完，解答过程就会简便很多．例 3－1(2014·北京模拟)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1，1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有________个．解析：如图，作出图象可知y ＝f (x )与y ＝|lgx |的图象共有10个交点．答案：10点评：图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．变式训练【3－1】 (2015·浙江卷)已知实数x 、y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |的最大值是________．解析：∵x 2＋y 2≤1，∴2x ＋y －4<0，6－x －3y >0，∴|2x ＋y －4|＋|6－x －3y |＝4－2x －y ＋6－x －3y ＝10－3x －4y .令z ＝10－3x －4y ，如图，设OA 与直线－3x －4y ＝0垂直，∴直线OA 的方程为y ＝43x .联立⎩⎨⎧y ＝43x ，x 2＋y 2＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－45， ∴当z ＝10－3x －4y 过点A 时，z 取最大值z max ＝10－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝15. 答案：15方法四构造法方法点拨构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决．它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例 4－1(2014·杭州模拟)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．解析：如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.答案：6π点评：构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．变式训练【4－1】 (2015·黄冈模拟)a ＝ln 12 012－12 012，b ＝ln 12 013－12 013，c ＝ln 12 014－12 014，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－x x .当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，1)上是增函数．∵1>12 012>12 013>12 014>0，∴a >b >c .答案：a >b >c方法五估算法方法点拨所谓估算法，就是一种粗略的计算方法，即对有关数值进行扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围或作出一个估计的方法．例 5－1(2014·广州模拟)若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋8，则ab 的取值范围为________．解析：令a ＝b ，则已知等式可化为a 2＝2a ＋8，解得a＝－2(舍去)或a＝4，此时ab＝16；而当a＝2时，b＝10，此时ab＝20>16，所以ab的取值范围为[16，＋∞)．答案：[16，＋∞)点评：估算需要根据已知条件和所求的问题进行灵活处理，该题主要利用了已知等式中a与b互换后等式不变的特征，所以猜测a＝b 时取得最值，若a与b互换后已知等式发生变化，则不能利用a＝b 求最值，必须结合等式的特征灵活处理．有些计算型填空题，不必经过繁杂的计算，只需大体估算一下，便可快速准确地得到答案．变式训练【5－1】(2014·长沙模拟)已知x，y∈(0，＋∞)，且xy＝x＋y＋8，则x＋y的取值范围是________．解析：令x＝y，则已知等式可化为x2＝2x＋8，解得x＝－2(舍去)或x＝4，此时x＋y＝8，而当x＝2，y＝10时，x＋y＝12>8，所以x＋y≥8，即x＋y的取值范围为[8，＋∞)．答案：[8，＋∞)方法六归纳推理法方法点拨做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例6－1(2014·南昌模拟)已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，f n＋1(x)＝f n′(x)，n∈N*，则f2 013(x)＝________.解析：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，…由此归纳，知f n(x)的解析式的周期为4，即f n(x)＝f n＋4(x)．所以f2 013(x)＝f1(x)＝sin x＋cos x.答案：sin x＋cos x点评：这类问题是近几年高考的热点．解决这类问题的关键是找准归纳对象．如本题把函数的前几个解析式一一列举出来．观察前面列出的解析式的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得解析式．变式训练【6－1】(2014·珠海模拟)观察下列算式，猜测由此提供的一般性法则，用适当的数学式子表示它．1＝1，3＋5＝8，7＋9＋11＝27，13＋15＋17＋19＝64，21＋23＋25＋27＋29＝125，设这些式子的第n个为a1＋a2＋…＋a n＝b n，则(a1，a n)＝________，b n＝________.解析：观察每一个式子的首项分别为1、3、7、13、21…均为奇数，对它们都减去1，则为0，2，6，12，20，…，即为12－1，22－2，32－3，42－4，52－5，…所以归纳为n2－n＋1.同理末项归纳为n2＋n－1.观察等式右边可得b n＝n3.答案：(n2－n＋1，n2＋n－1)n31．填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基本技能以及思维能力和分析问题、解决问题的能力．填空题只要求直接填写结果，不必写出计算或推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．2．填空题的主要特征是题目小、跨度大，知识覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能力．近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口，出现了一些创新题，如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际应用型等，这些题型的出现，使解填空题的要求更高、更严了．3．填空题不同于选择题，由于没有非正确的选项干扰，因而不必担心“上当受骗”而误入歧途．但填空题最容易犯的错误，要么答案不当，要么答案不全．选择填空题专练(一)(见学生用书P149)一、选择题1．已知集合a ＝{x |x 2－3x －4≤0}，B ＝{x |0<x <5}，则A ∩B ＝( )A ．{x |0<x <5}B ．{x |－1<x <5}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |0<x ≤4}解析：因为A ＝{x |－1≤x ≤4}，B ＝{x |0<x <5}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤4}．故选D.答案：D2．给出下列两个命题，命题p 1：y ＝ln(1－x )(1＋x )为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x 1＋x是奇函数，则下列命题是假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2)C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(綈p 2)解析：由偶函数的定义易知命题p 1为真命题，对于命题p 2，由于f (x )＋f (－x )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1＋x 1－x＝ln 1＝0，即－f (x )＝f (－x )，故函数在其定义域内为奇函数，因此命题p 2为真命题，则p 1∧(綈p 2)为假命题．答案：D3．命题p ：若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；命题q ：若函数f (x )在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A ．“p 且q ”是真命题B ．“p 或q ”是假命题C ．綈p 为假命题D ．綈q 为假命题解析：∵当a·b>0时，a 与b 的夹角为锐角或零度角，∴命题p 是假命题；命题q 是假命题，例如f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＝0，－x ＋2，x >0，综上可知，“p 或q ”是假命题．答案：B4．“θ＝π2”是“曲线f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：当θ＝π2时，有f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π2＝－cos 3x 为偶函数，函数图象关于y 轴对称；f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称，即该函数为偶函数，故得θ＝（2k ＋1）π2，(k ∈Z )，故“θ＝π2”是“θ＝π2”是“曲线f (x )＝sin(3x －θ)的图象关于y 轴对称”的充分不必要条件．答案：B5．对具有线性相关关系的变量x 、y ，有一组观测数据(x i ，y i )(i＝1，2，…，8)，其回归直线方程为y ^＝16x ＋a ，且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝3(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6＋y 7＋y 8)＝6，则实数a 的值为( )A.116B.18C.14D.1116解析：由题中数据得——,x ) ＝34，y －＝14，由回归直线过点(——,x ) ，y －)，得14＝16×34＋a ，解得a ＝18.故选B.答案：B6．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图，则f (x )在[－2，1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．3解析：由函数f (x )的导函数f ′(x )的图象可知，函数f (x )为二次函数，且其图象的对称轴为x ＝－1，开口方向向上．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)，∵f (0)＝0，∴c ＝0，f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )的图象过点(－1，0)与点(0，2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ×（－1）＋b ＝0，2a ×0＋b ＝2，∴a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ，则f (x )在[－2，1]上的最小值为f (－1)＝－1.答案：A7．平面上满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＋y ≤0，x －y －10≤0的点(x ，y )构成的区域为D ，区域D 关于直线y ＝2x 对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为( ) A.655 B.1255 C.835 D.1655解析：三条直线的交点为A (2，－2)、B (2，－8)、C (5，－5)，区域D 为△ABC ，A (2，－2)到直线y ＝2x 的距离最小，为|2×2－1×（－2）|5＝655.区域D 和区域E 中距离最近的两点的距离为2×655＝1255.故选B.答案：B8．已知g (x )为三次函数f (x )＝a 3x 3＋ax 2＋cx 的导函数，则它们的图象可能是( )解析：由题意知g (x )＝f ′(x )＝ax 2＋2ax ＋c ＝a (x ＋1)2＋c －a ，则g (x )的图象关于直线x ＝－1对称，排除B 、C ；对选项A ，由g (x )的图象知x ＝0是f (x )的极小值点，与f (x )的图象不相符，所以只有D 项的图象是可能的．答案：D9．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x ＋2)<f (x )的x 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．[－2，－1)∪(2，＋∞)D ．(－1，2)解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．又∵f (x ＋2)<f (x )，∴f (x ＋2)<f (|x |)，∵f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴x ＋2<|x |，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x ＋2≥0，解得－2≤x <－1或x >2.答案：C10．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个解析：函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象如图所示，由图示可得，函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有4个．答案：B11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：由三视图可知，此组合体是由半个圆柱体与半个球体的底面互相合在一起组合而成的，其表面积πr 2＋2πr 2＋4r 2＋2πr 2＝20π＋16，所以r ＝2.答案：B12．设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a 的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．4解析：将y ＝2x ＋a 两边取对数得x ＝log 2y －a ，因为两函数的图象关于y ＝－x 对称，所以－y ＝log 2(－x )－a ，所以f (x )＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，知a －log 22＋a －log 24＝1，所以a ＝2. 答案：C 二、填空题 13．执行如图所示的程序框图，若输入m ＝6，则输出n ＝________.解析：第一次循环：n ＝6÷3＋1＝3，|6－3|＝3>1；执行第二次循环：m ＝3，n ＝3÷3＋1＝2，|3－2|＝1；执行第三次循环：m ＝2，n ＝23＋1＝53，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－53＝13<1，跳出循环，故n ＝53.答案：5314．在△ABC 中，已知BM →＝NC →＝13BC →，|BC →|＝3，AM→·AN →＝6，则AB→·AC →的值为________．解析：由BM →＝NC →＝13BC →知 M 、N 是BC 的三等分点，设BC 的中点为O ，由AM→·AN →＝6，即(AO →＋OM →)·(AO→＋ON →)＝|AO →|2－|OM →|2＝6，因为|BC →|＝3，所以|OM →|2＝14，由此可得|AO →|2＝254，而AB→·AC →＝|AO →|2－|OB →|2，由已知|OB →|2＝94，所以|AO →|2－|OB →|2＝254－94＝4. 答案：415．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝e x－ax ，若函数f (x )在R 上有且只有4个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )是定义在R 上的偶函数得其图象关于y 轴对称，所以函数f (x )在R 上有且只有4个零点等价于函数f (x )＝e x －ax 在(0，＋∞)内有且只有2个零点，即函数y ＝e xx (x >0)与y ＝a 的图象有且仅有两个交点．∵y ′＝e x （x －1）x 2， ∴当x ∈(0，1)时，y ′<0，当x ∈(1，＋∞)时，y ′>0，且当x ＝1时，y ＝e ，所以当a >e 时，函数y ＝e xx (x >0)与y ＝a 的图象有且仅有两个交点．故a 的取值范围是(e ，＋∞)．答案：(e ，＋∞) 16．已知函数y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1的零点为a n ，b n (n ∈N *)，设c n ＝|a n －b n |，则数列{c n }的前2 016项的和为________．解析：令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，则a n ＋b n ＝2n ＋1n 2＋n ，a n ·b n ＝1n 2＋n，所以c n ＝|a n －b n |＝（a n ＋b n ）2－4a n b n＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，故数列{c n }的前2 016项的和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016－12 017。

[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题三初等函数、函数的应用

专题三初等函数、函数的应用(见学生用书P 12)(见学生用书P 12)1．对数的性质及恒等式、换底公式(1)恒等式：①a log a N ＝N ；②log a a N ＝N (a >0且a ≠1，N 使式子有意义)．(2)换底公式：log b N ＝log a N log a b (a ，b ，N 的值均使式子有意义)． (3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．2．对数的运算性质如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )；(4)log am M n ＝n m log a M ；(5)log a b ＝1log ba ，即log ab ·log b a ＝1.(1)函数有零点的几个等价关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．(2)函数有零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．6．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε.(2)求区间(a，b)的中点x1.(3)计算f(x1)：①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．7．三种函数模型增长速度比较y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)与y＝x a(a>0)尽管都是增函数，但由于它们增长速度不同，而且不在同一个“档次上”，因此在(0，＋∞)上，随x的增大，总会存在一个x0，当x>x0时，有a x>x a>log a x．(见学生用书P13)考点一基本初等函数的图象与性质考点精析1．利用分数指数幂进行根式化简的顺序是：先把根式化成分数指数，再利用分数指数幂进行计算．对于对数的运算首先要利用换底公式转化为同底的对数，再利用对数运算性质进行化简．2．要准确把握指数函数、对数函数、幂函数的图象，再利用图象的形象直观理解和记忆这些函数的性质．例1－1(2014·四川卷)已知b>0，log5b＝a，lg b＝c，5d＝10，则下列等式一定成立的是()A．d＝ac B．a＝cdC．c＝ad D．d＝a＋c考点：指数式与对数式的互化．分析：利用指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式即可得出．解析：因为log5b＝a，lg b＝c，所以5a＝b，b＝10c.又5d＝10，所以5a＝b＝10c＝(5d)c＝5cd，所以a＝cd.答案：B点评：本题考查了指数式与对数式的互化、对数的运算性质和换底公式，属于基础题．例1－2(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m 为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．c<a<bC．a<c<b D．c<b<a考点：函数的奇偶性，函数值的运算以及对数的运算性质．分析：先求得字母的取值，再求得a、b、c的值并比较大小．解析：因为f(x)是偶函数，所以m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由题意得a＝f(log0.53)＝f(－log23)＝f(log23)，因为log25>log23>0，所以f(log25)>f(log23)>f(0)，即b>a>c.故选B.答案：B点评：本题考查函数的奇偶性及对数的运算，考查运算求解能力和应用意识，试题难度中等．例1－3(2014·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x的图象可能是()考点：幂函数、对数函数的图象及性质．分析：根据题目已知条件及选项特点，可用排除法判断求解．解析：对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝x a(x>0)中a>1，g(x)＝log a x中0<a<1，不符合题意；对C，f(x)＝x a(x>0)中0<a<1，g(x)＝log a x中a>1，不符合题意；对D，f(x)＝x a(x>0)中0<a<1，g(x)＝log a x 中0<a<1，符合题意，故选D.答案：D点评：本题考查函数图象的判断，注意指、对、幂等基本初等函数的图象特点，考查图象的识别能力和应用意识．例1－4(2013·浙江卷)已知x，y为正实数，则()A．2lg x＋lg y＝2lg x＋2lg yB．2lg(x＋y)＝2lg x·2lg yC．2lg x·lg y＝2lg x＋2lg yD．2lg(xy)＝2lg x·2lg y考点：有理数指数幂的化简求值，对数的运算性质．分析：直接利用指数与对数的运算性质，判断选项即可．解析：因为a s＋t＝a s·a t，lg(xy)＝lg x＋lg y(x，y为正实数)，所以2lg(xy)＝2lg x＋lg y＝2lg x·2lg y，满足上述两个公式．答案：D点评：本题考查指数与对数的运算性质，是对基本知识的考查．例1－5(2014·大连一模)已知函数f(x)＝e x，g(x)＝ln x＋1，对∀a ∈R，∃b∈(0，＋∞)，使得f(a)＝g(b)，则b－a的最小值为() A．1 B．2C．2e－1 D．e2－1考点：指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质．分析：由f(a)＝g(b)，求出a的表达式，从而得出b－a的表达式，再利用导数求出b－a的最小值．解析：根据题意，f(a)＝g(b)，即e a＝ln b＋1＝ln(b e)，∴a＝ln(ln(b e))，∴b－a＝b－ln(ln(b e))＝ln e b－ln(ln(b e))＝ln e bln（b e）.设h(b)＝e bln（b e），则h′(b)＝e b⎝⎛⎭⎪⎫ln b＋1－1b （ln b＋1）2.令h′(b)＝0，得ln b＋1－1b＝0，当b＝1时，h′(x)＝0，且此时b－a取得最小值，a＝ln(ln(1·e))＝0，∴b－a的最小值是1－0＝1.答案：A点评：本题考查了求函数最值的问题，解题的关键是建立目标函数，利用导数求目标函数的最值，是较难的题目．规律总结幂、指、对数运算是研究初等函数的基础，因而也是高考重点考查对象，一般情况下较少直接考查，即使直接考查也是比较简单的问题，但我们必须熟练掌握其运算法则及性质，以免造成不必要的丢分．高考对本考点考查的热点是：利用基本初等函数图象作出有关函数图象(如例1－3)、利用指数与对数的运算性质进行计算、化简(如例1－4)、基本初等函数性质的综合运用(如例1－5)，这些需要我们在二轮复习中重点关注和重点突破．变式训练【1－1】 (2014·福建卷)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )D解析：由题意可知图象过(3，1)，故有1＝log a 3，解得a ＝3，选项A ，y ＝a －x ＝3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 单调递减，故错误；选项B ，y ＝x 3，由幂函数的知识可知正确；选项C ，y ＝(－x )3＝－x 3，其图象应与B 项关于x 轴对称，故错误；选项D ，y ＝log a (－x )＝log 3(－x )，当x ＝－3时，y ＝1，但图象明显当x ＝－3时，y ＝－1，故错误．答案：B【1－2】 (2014·武汉调研)已知指数函数y ＝f (x )、对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝( )A.76B.65C.54D.32解析：设指数函数f (x )＝a x ，对数函数g (x )＝log b x ，幂函数h (x )＝x c ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a 12＝a ＝2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log b 12＝－log b 2＝2，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝2，所以a ＝4，b ＝22，c ＝－1，即f (x )＝4x ，g (x )＝log 22x ，h (x )＝x －1.因此，令f (x 1)＝4x 1＝4得x 1＝1；令g (x 2)＝log 22x 2＝4得x 2＝14；令h (x 3)＝x －13＝4得x 3＝14，故x 1＋x 2＋x 3＝32.答案：D考点二函数与方程考点精析1．确定函数零点存在区间及个数的常用方法：(1)利用零点存在的判定定理．(2)利用数形结合法，尤其是那些两端是不同的绝对值、分式、指数、对数以及三角函数等方程多用数形结合法求解．2．应用函数零点的情况求参数或取值范围的方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．注意：(1)利用零点存在判定定理时要找准区间的端点，准确判断端点处函数值的正负．(2)利用数形结合法时，函数图象的关键点及特征要判断准确．例 2－1(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．考点：函数的零点、函数图象的作法、函数的周期性．分析：将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题，通过图象解决问题．解析：当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（x －1）2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3，4]上有10个不同的根，则由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，12 点评：本题考查了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合的思想以及简单的运算求解能力，是一道很好的小题．例 2－2若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( )A ．多于4个B ．4个C ．3个D ．2个考点：对数函数的图象与性质，函数的周期性．分析：根据定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，我们易画出函数f (x )的图象，然后根据函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数，等价于对应方程的根的个数，即为函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象交点的个数，利用图象法得到答案．解析：若函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，则函数是以2为周期的周期函数，又由函数是定义在R 上的偶函数，结合当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，我们可以在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象如下图所示：由图可知函数y ＝f (x )与函数y ＝log 3|x |的图象共有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是4个．答案：B点评：将函数零点个数问题转化为两函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．规律总结函数零点问题是近几年新课标高考命题的热点问题，有一定难度，基本上处在选择、填空题的压轴位置．因而是我们二轮复习重点突破对象．变式训练【2－1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，4x ，x ≤0，若函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝f (x )－k 存在两个零点，∴函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个公共点，在同一个坐标系中作出它们的图象，由图象可知：实数k 的取值范围是(0，1]．答案：(0，1] 【2－2】 (2015·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x >2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：由已知条件可得g (x )＝3－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|＋1，x ≥0，3－x 2，x <0.函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点个数，在平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如图所示．由图象可知函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有2个交点，所以函数y＝f (x )－g (x )的零点个数为2.答案：A考点三函数的实际应用考点精析1．解答函数应用题的思维流程2．解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数函数与对数函数、幂函数模型等．3．函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式及导数法．注意：在建立函数模型时一定要根据实际情况，确定准函数的定义域．例 3－1 如图，长方形物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：(Ⅰ)P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；(Ⅱ)其他面的淋雨量之和，其值为12，记y 为E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离d ＝100，面积S ＝32时．(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10，0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．考点：分析：(1)E 移动时的总淋雨量应该等于单位时间内的淋雨量乘以所用的时间，可先求出单位时间内的淋雨量的式子，再乘以时间100v 即可．(2)根据绝对值的性质，将(1)中的函数分解为分段函数的形式，再由c 的不同取值范围讨论函数的单调性，在不同的情况下，单调区间不同，总淋雨量最小值对应的v 值也不同．解析：(1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v (3|v －c |＋10)．(2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5（3c ＋10）v －15；当c ≤v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5（－3c ＋10）v＋15. 故y ＝⎩⎨⎧5（3c ＋10）v－15，0<v ≤c ，5（10－3c ）v＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时， y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c2；②当103<c ≤5时，在(0，c ]上y 是关于v 的减函数，在(c ，10]上，y 是关于v 的增函数，故当v ＝c 时，y min ＝50c . 答：(1)函数y 的表达式为 y ＝5v (3|v －c |＋10)．(2)①在0<c ≤103的情况下，当v ＝10时，总淋雨量y 最少；②在103<c ≤5的情况下，当v ＝c 时，总淋雨量y 最少．点评：本题着重考查函数应用能力，所建立的函数式为含有绝对值的式子．解决问题的关键一是要能根据v 的范围将式子化简为分段函数，二是要将常数c 进行讨论得出函数的单调性，从而得出不同情况下的最小值点．变式训练【3－1】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解析：(1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，故a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10（x －6）2＝2＋10(x －3)(x －6)2. 从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －6)(x －4)，于是，当x最大值点．所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42. 答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．(见学生用书P 17)例已知a ≥0，且函数f (x )＝(x 2－2ax )e x 在[－1，1]上是单调函数，求a 的取值范围．考场错解：f ′(x )＝e x (x 2－2ax )＋e x (2x －2a ) ＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]，又f (x )在[－1，1]上是单调函数，则f ′(x )≥0在[－1，1]上恒成立，即e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]≥0在[－1，1]上恒成立．又e x >0，则x 2＋2(1－a )x －2a ≥0在[－1，1]上恒成立．令g (x )＝x 2＋2(1－a )x －2a ，则⎩⎨⎧－2（1－a ）2≤－1，g （－1）≥0，或Δ＝4(1－a )2＋8a <0，或⎩⎨⎧－2（1－a ）2≥1，g （1）≥0，解得a ∈∅.故f (x )在[－1，1]上不可能为单调函数．专家把脉：上面解答认为f (x )为单调函数，f (x )就只能为单调增函数，其实f (x )还有可能为单调减函数，因此应令f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在[－1，1]上恒成立．对症下药：f ′(x )＝e x (x 2－2ax )＋e x (2x －2a ) ＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．由f (x )在[－1，1]上是单调函数，可得： (1)若f (x )在[－1，1]上是单调递增函数，则f ′(x )≥0在[－1，1]上恒成立，即e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]≥0在[－1，1]上恒成立．∵e x >0，∴x 2＋2(1－a )x －2a ≥0在[－1，1]上恒成立．令g (x )＝x 2＋2(1－a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤－1，g （－1）≥0，或Δ＝4(1－a )2＋8a <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，g （1）≥0，解得a ∈∅. (2)若f (x )在[－1，1]上是单调递减函数，则f ′(x )≤0在[－1，1]上恒成立．∴e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]≤0在[－1，1]上恒成立． ∵e x >0，∴x 2＋2(1－a )x －2a ≤0在[－1，1]上恒成立，令h (x )＝x 2＋2(1－a )x －2a ，则有⎩⎪⎨⎪⎧h （－1）≤0，h （1）≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1≤0，3－4a ≤0，∴a ≥34.∴当a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞时，f (x )在[－1，1]上是单调函数.(见学生用书P 121)一、选择题1．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.（p ＋1）（q ＋1）－12C.pqD.（p ＋1）（q ＋1）－1 解析：设原来的生产总值为a ，平均增长率为x ，则a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2，解得1＋x ＝（p ＋1）（q ＋1），即x ＝（p ＋1）（q ＋1）－1. 答案：D 2．(2013·陕西卷)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )A ．log a b ·log c b ＝log c aB ．log a b ·log c a ＝log c bC ．log a bc ＝log a b ·log a cD ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c解析：对于A ，log a b ·log c b ＝log c a ⇒log a b ＝log c alog cb ，与换底公式矛盾，所以A 不正确；对于B ，log a b ·log c a ＝log c b ⇒log a b ＝log c blog ca ，符合换底公式，所以正确；对于C ，log a bc ＝log a b ·log a c ，不满足对数运算公式log a (xy )＝log a x ＋log a y (x 、y >0)，所以不正确；对于D ，log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c ，不满足log a (xy )＝log a x ＋log a y (x 、y >0)，所以不正确．答案：B3．定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>f (x )恒成立，若x 1<x 2，则e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系为( )A ．e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)B ．e x 1f (x 2)<e x 2f (x 1)C ．e x 1f (x 2)＝e x 2f (x 1)D ．e x 1f (x 2)与e x 2f (x 1)的大小关系不确定解析：构造函数g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x>0， ∴函数g (x )单调递增．∵x 1<x 2，∴g (x 1)<g (x 2)，即f （x 1）e x 1<f （x 2）e x 2，∴e x 1f (x 2)>e x 2f (x 1)．答案：A 4．(2015·湖北黄冈中学等八校第一次联考)若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在点A 处的切线方程是( )A ．2x －y ＝0B ．2x ＋y ＝0C ．4x －4y ＋1＝0D ．4x ＋4y ＋1＝0解析：∵f (x )＝mx α的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，f (x )是幂函数，∴m ＝1，α＝12，∴f (x )＝x .f ′(x )＝12x，则它在点A 处的切线方程为4x －4y ＋1＝0，故选C.答案：C5．(2014·重庆卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1－3，x ∈（－1，0]，x ，x ∈（0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 解析：由g (x )＝f (x )－mx －m ＝0，得f (x )＝m (x ＋1)，分别作出函数f (x )和y ＝g (x )＝m (x ＋1)的图象如图．由图象可知f (1)＝1，g (x )表示过定点A (－1，0)的直线．当g (x )过(1，1)时，m ＝12，此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0<m ≤12.当g (x )过(0，－2)时，g (0)＝－2，解得m ＝－2，此时两个函数有两个交点．当g (x )与f (x )相切时，两个函数只有一个交点，此时1x ＋1－3＝m (x ＋1)，即m (x ＋1)2＋3(x ＋1)－1＝0，当m ＝0时，x ＝－23，只有1解；当m ≠0，由Δ＝9＋4m ＝0得m ＝－94，此时直线和f (x )相切． ∴要使函数有两个零点，则－94<m ≤－2或0<m ≤12. 答案：A 6．(2015·四川卷)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )A ．16小时B ．20小时C ．24小时D ．28小时解析：由已知得192＝e b ，① 48＝e 22k ＋b ＝e 22k ·e b ，②将①代入②得e 22k ＝14，则e 11k ＝12，当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝e 33k ·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.答案：C二、填空题 7．(2015·浙江六校联考)若实数a 和b 满足2×4a －2a ·3b ＋2×9b＝2a ＋3b ＋1，则2a ＋3b 的取值范围为______．解析：令2a ＝x (x >0)，3b ＝y (y >0)，x ＋y ＝t (t >0)，则2×4a －2a ·3b ＋2×9b ＝2a ＋3b ＋1可化为2x 2－xy ＋2y 2＝x ＋y ＋1，即5x 2－5tx ＋2t 2－t －1＝0，令f (x )＝5x 2－5tx ＋2t 2－t －1，则f (0)＝2t 2－t －1>0，Δ＝25t 2－20(2t 2－t －1)≥0，解得1<t ≤2，∴ 2a ＋3b 的取值范围为(1，2]．答案：(1，2] 8．(2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是______________．解析：函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点等价于函数y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象有两个不同的交点．在同一坐标系中作出函数y ＝|2x －2|及y ＝b 的图象，如图．由图可知b ∈(0，2)．答案：(0，2)9．(2014·上海卷)设f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：当x ＝0时，f (0)＝a ，由题意得：a ≤x ＋1x ，又∵x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴a ≤2. 答案：(－∞，2]10．已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是__________．解析：函数y ＝|x 2－1|x －1＝|x ＋1|·|x －1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－（x ＋1），－1≤x <1，x ＋1，x <－1，由图可知当一次函数y ＝kx 的斜率k 满足0<k <1或1<k <2时，直线y ＝kx 与函数y ＝|x 2－1|x －1的图象相交于两点．答案：(0，1)∪(1，2) 三、解答题11．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值．解析：(1)当x ＝0时，C ＝8，∴ k ＝40，∴ C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴ f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10,令t ＝3x ＋5，则f (x )＝y ＝2t ＋800t －10，5≤t ≤35，∴ y ′＝2－800t 2.当5≤t <20时，y ′<0，y ＝2t ＋800t －10为减函数；当20<t ≤35时，y ′>0，y ＝2t ＋800t －10为增函数．∴ 函数y ＝2t ＋800t －10在t ＝20时取得最小值，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴ 隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元．12．已知f (x )＝x ＋1|x |. (1)指出的f (x )值域；(2)求函数g (x )＝f (x )－p (p ∈R )的零点的个数．(3)若函数f (x )对任意x ∈[－2，－1]，不等式f (mx )＋mf (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)当x >0时，f (x )＝x ＋1x ≥2；当x <0时，f (x )＝x －1x ∈R . 所以，f (x )值域为R .(2)函数g (x )＝f (x )－p (p ∈R )的零点的个数，即函数f (x )的图象和直线y ＝p 的交点个数．由(1)可得，当x >0时f (x )＝x ＋1x ≥2.当x <0时f (x )＝x －1x ，由⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2>0，可得f (x )在(－∞，0)上是增函数．故当p >2时，函数g (x )＝f (x )－p (p ∈R )的零点的个数是3. 当p ＝2时，函数g (x )＝f (x )－p (p ∈R )的零点的个数是2，当p <2时，函数g (x )＝f (x )－p (p ∈R )的零点的个数是1.(3)显然，m ≠0，函数f (x )＝x －1x 在[－2，－1]上是增函数，再由不等式f (mx )＋mf (x )＝2mx －m 2＋1mx <0恒成立，可得①当m >0时，mx <0，∴2m 2x 2－m 2－1>0恒成立，即m 2>12x －1恒成立，而12x 2－1在[－2，－1]上的最大值为1，∴m >1. ②当m <0时，mx >0，可得2m 2x 2－m 2－1<0恒成立，即m 2<12x 2－1恒成立，而12x 2－1在[－2，－1]上的最小值为17， ∴m <17，故此时可得m <0.综上可得，m 的范围为(－∞，0)∪(1，＋∞)．。

高三数学第二轮复习教案三角问题的题型与方法(3课时)

高三数学第二轮复习教案第4讲三角问题的题型与方法〔3课时〕一、考试内容角的概念的推广，弧度制；任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：sin2a+cos2a=1，sin a/cos a=tan a，tan a cot a=1，正弦、余弦的诱导公式；两角和与差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切；正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期函数，函数y=As in(ωx+ψ)的图象，正切函数的图象和性质，三角函数值求角；正弦定理，余弦定理，斜三角形解法举例。

二、考试要求1．理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。

2．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同解三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4．能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。

5．了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法〞画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图，理解A、ω、ψ的物理意义。

6．会由三角函数值求角，并会用符号arcsin x, arcos x,arctan x表示。

7．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题。

三、复习目标1．熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义，应用特点，常规使用方法等．2．熟悉三角变换常用的方法——化弦法，降幂法，角的变换法等．并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明．3．掌握三角变换公式在三角形中应用的特点，并能结合三角形的公式解决一些实际问题．4．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．5．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、6．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．四、双基透视〔一〕三角变换公式的使用特点1．同角三角函数关系式 (1)理解公式中“同角〞的含义． (2)明确公式成立的条件。

2016届高三理科数学一轮总复习第五章-三角函数(教师用书)

三角函数知识网络任意角的三角函数的概念典例精析题型一象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、2的终边所在的象限.【变式训练1】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( ) A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角题型二弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值.题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x ≤32的角x 的集合.【变式训练3】函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为 .总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k ·360°＋π3的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限.【变式训练1】已知f (x )＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f (sin 2θ)＋f (－sin 2θ)＝ .【例2】已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值； (2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ的值.【变式训练2】已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos 2α等于( )A.45B.85C.65D.2题型三三角函数式的简单应用问题【例3】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin 3(π2－x )＋cos 3(π2＋x )的值.【变式训练3】化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α.总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin 2(－2α)＋cos 2(－2α)＝1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一三角函数式的化简【例1】化简θθθθθ cos 22)2 cos 2 )(sin cos sin 1(+-++(0＜θ＜π).【变式训练1】化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan(π4－x )sin 2(π4＋x ).题型二三角函数式的求值【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2x2cos(π4＋x )sin x的值.【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .题型三已知三角函数值求解【例2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( ) A.α＝βB.α＜βC.α＞βD.以上都有可能总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”； (3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1322C.723D.318题型二等式的证明【例2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2co s(α＋β).【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.题型三三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ；(2)若A ＞B 且tan A ＝－2tan B ，求证：tan C ＝sin 2B3－cos 2B ；(3)在(2)的条件下，求tan C 的最大值.【变式训练3】在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.三角函数的图象和性质典例精析题型一三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f (x )＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断g (x )的奇偶性.【变式训练1】函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T 等于( )A.2πB.πC.π2D.π3题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域：(1)f (x )＝sin 2x sin x1－cos x ；(2)f (x )＝2cos(π3＋x )＋2cos x .【变式训练2】求y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域.题型三三角函数的单调性【例3】已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求ω，φ的值；(2)设g (x )＝f (x )f (x －π4)，求函数g (x )的单调递增区间.【变式训练3】使函数y ＝sin(π6－2x )(x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.[0，π3]B.[π12，7π12]C.[π3，5π6]D.[5π6，π]总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.函数y ＝A sin (ωx ＋ )的图象和性质典例精析题型一 “五点法”作函数图象【例1】设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象； (3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到.【变式训练1】函数的图象如图所示，则( )A.k ＝12，ω＝12，φ＝π6B.k ＝12，ω＝12，φ＝π3C.k ＝12，ω＝2，φ＝π6D.k ＝－2，ω＝12，φ＝π3题型二三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f (x )＝sin 2ωx ＋3sin ωx sin(ωx ＋π2)＋2cos 2ωx ，x ∈R (ω＞0)在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及单调递减区间.【变式训练2】若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( )A.π4B.π3C.π2D.3π4题型三三角函数的综合应用【例3】已知函数y ＝f (x )＝A sin 2(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2).(1)求φ的值；(2)求f (1)＋f (2)＋…＋f (2 008).【变式训练3】已知函数f (x )＝A cos 2ωx ＋2(A ＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (20)＝ .1.用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx ＋φ的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x 本身而言的，无论沿x 轴平移还是伸缩，变化的总是x .3.在解决y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关性质时，应将ωx ＋φ视为一个整体x 后再与基本函数 y ＝sin x 的性质对应求解.正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1) 求sin A 的值；(2)求BC ∙CA 的值.【变式训练1】在△ABC 中，已知a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为a 2＋b 2－c 24，则∠C ＝ .题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC 是锐角三角形，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边长，并且sin 2A ＝sin(π3＋B )sin(π3－B )＋sin 2B .(1)求角A 的值；(2)若AB ∙AC ＝12，a ＝27，求b ，c (其中b ＜c ).【变式训练2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足(2a －c )cos B ＝ b cos C .(1) 求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D 点需要多长时间？【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件时，该船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A ＞B 与sin A ＞sin B 是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在上，相邻两边CQ 、CR 分别落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t ，把sin θcos θ用t 表示，从而把问题转化成关于t 的二次函数的最值问题.注意t 的取值范围.【变式训练1】若0＜x ＜π2，则4x 与sin 3x 的大小关系是( )A.4x ＞sin 3xB.4x ＜sin 3xC.4x ≥sin 3xD.与x 的值有关题型二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t ).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b .(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【点拨】用y ＝A sin(ωx ＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式. 【变式训练2】如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d m(P 在水面下则d 为负数)，则d (m)与时间t (s)之间满足关系式：d ＝A sin(ωt ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.其中正确结论的序号是 .题型三正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间距离的步骤.【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函数的综合题时应注意：(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝A sin(ωx＋φ)＋B或y＝a sin2x＋b sin x＋c；(3)换元方法在解题中的运用.。

高中数学二轮复习教师用书：专题二三角函数、解三角形+Word版含答案

专题二三角函数、解三角形解三角形问题重在“变”——变角、变式尽管解三角形的解答题起点低、位置前，但由于其公式多、性质繁，使得不少同学对其有种畏惧感．突破此难点的关键在于“变”——变角与变式，从“变角”来看，主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换以及三角形内角和定理的变换运用，如：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β2，α＋β2＝⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β等．从“变式”来看，在解决解三角形的问题时，常利用正、余弦定理化边为角或化角为边等．错误！未指定书签。

【典例】 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c ．(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长． [解题示范] (1)由已知2cos C (a cos B ＋b cos A )＝c 及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ，❶即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2cos C sin C ＝sin C ．❷ 可得cos C ＝12，所以C ＝π3． (2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6．由已知及余弦定理得a2＋b2－2ab cos C＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，即a＋b＝5．所以△ABC的周长为5＋7．❶变式：利用正弦定理把已知等式中的边a，b，c变为sin A，sin B，sin C．❷变角：利用两角和的正弦公式及三角形的内角和定理把等式中sin A cos B＋sin B cos A 变为sin(A＋B)再变为sin C．“明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式”是三角变换的基本要诀．在解题时，要紧紧抓住“变”这一核心，灵活运用公式与性质，仔细审题，快速运算.经典语录1、最疼的疼是原谅，最黑的黑是背叛。

[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题九推理与证明.

专题九推理与证明(见学生用书P59)(见学生用书P59)一、推理1．合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物全部对象都是具有这些特征的推理．分类：完全归纳和不完全归纳．特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理．(2)类比推理定义：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．特点：类比推理是由特殊到特殊的推理．2．演绎推理模式：三段论(1)大前提——已知的一般原理．(2)小前提——所研究的特殊情况．(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．特点：演绎推理是由一般到特殊的推理二、证明1．直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P 表示条件，Q表示要证结论)(2)分析法定义：要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．框图表示：P⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个显然成立的条件2．间接证明反证法：假设原命题结论的反面成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．(见学生用书P 60)考点一合情推理考点精析1．由某类事物的部分对象具有的某些性质，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个体到一般的推理．2．由两类对象具有某些类似的特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．例 1－1(2014·上海模拟)有下列各式：1＋12＋13>1，1＋12＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：_______________________________________________.考点：归纳推理．分析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子的项数，不等式右侧式子分别写成22，32，42，故猜想第n 个式子，由此可写出一般的式子．解析：观察各式左边为1n 的和的形式，项数分别为：3，7，15，故可猜想第n 个式子中应有2n ＋1－1项，不等式右侧分别写成22，32，42，故猜想第n 个式子应为n ＋12，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *)．答案：1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12(n ∈N *) 点评：本题考查归纳推理，考查观察、分析、解决问题的能力，关键是猜想第n 个式子与n 的关系．规律总结尽管合情推理得到的结果不一定正确，但它是科学发现和创造的基础，因而是近几年高考重点考查对象．高考对合情推理的考查，题型较为灵活，以填空题和选择题为主，难度中等，区分度较大，因而是我们二轮复习中需要重点突破的地方，其中归纳推理问题是热点问题．变式训练【1－1】 (2014·广州模拟)请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.根据上述证明方法，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1时，你能得到的结论为______________．解析：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1，由对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，得a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .答案：a 1＋a 2＋…＋a n ≤n【1－2】 (2014·师大附中模拟)已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋a t ＝6at (a ，t 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a ，t 的值，a ＋t ＝________．解析：观察下列等式：2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，照此规律，第5个等式中：a ＝6，t ＝a 2－1＝35，a ＋t ＝41.答案：41考点二反证法考点精析1．反证法证明数学命题的一般步骤是：(1)反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立．(2)归谬：由“反设”出发，通过正确的推理，导出矛盾．(3)结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论的成立．运用反证法的关键是导出矛盾．2．宜用反证法证明的题型：(1)一些基本命题、基本定理．(2)易导出与已知矛盾的命题．(3)“否定性”命题．(4)“唯一性”命题．(5)“必然性”命题．(6)“至多”、“至少”类命题．(7)涉及“无限”结论的命题等等．例2－1(2013·陕西卷)设{a n}是公比为q的等比数列．(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．考点：等比数列的概念、通项公式及反证法．分析：利用等比数列的概念及通项公式推导前n项和公式，利用反证法证明要证的结论．解析：(1)设{a n}的前n项和为S n，当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，①qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，②①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q， ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)，a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1q k －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列．点评：本题考查了等比数列的概念，通项公式与反证法，考查了利用反证法证明有关命题的能力，一般对于唯一命题，否定性命题，存在性问题或直接证明比较困难等命题的证明，都可考虑用反证法证明．规律总结反证法可应用于数学证明的各个方面，只要是直接证明有困难的，且有可能从结论的否定推出矛盾的都可以．尽管在高考中较少要求用反证法证明，但有时命题者为了考查反证法掌握的程度，有意设置成宜用反证法证明的问题．因此，我们必须熟练掌握这一方法．变式训练【2－1】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S n n (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S n n ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(q ＋2)(r ＋2)，∴(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0.∵p ，q ，r ∈N *，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，则(p －r )2＝0， ∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(见学生用书P62)例已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．考场错解：假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，(*)即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．专家把脉：上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，“方程没有两个相异实根时Δ≤0”．对症下药：假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0.相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．专家会诊：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．(见学生用书P133)一、选择题1．(2014·广州质检)观察(x2)′＝2x，(x4)′ ＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数，从而g (x )是奇函数．∴g (－x )＝－g (x )．答案：D2．(2014·黄冈模拟)面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1，2，3，4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离为h i (i＝1，2，3，4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2S k .根据以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1，2，3，4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1，2，3，4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝k ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝( )A.V kB.3V kC.4V kD.8V 5解析：根据三棱锥的体积公式V ＝13Sh ，得：13S 1H 1＋13S 2H 2＋13S 3H 3＋13S 4H 4＝V ，即kH 1＋2kH 2＋3kH 3＋4kH 4＝3V ，∴H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4＝3V k ，即i ＝14(iH i )＝3V k . 答案：B3．(2014·长沙模拟)已知函数y ＝f(x)的定义域为D ，若对于任意的x 1，x 2∈D(x 1≠x 2)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2，则称y ＝f(x)为D 上的凹函数．由此可得下列函数中为凹函数的是( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 3解析：结合函数图象，直观观测C 满足．事实上f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222， f （x 1）＋f （x 2）2＝x 21＋x 222.∵2x 1x 2＜x 21＋x 22(x 1≠x 2)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＝x 21＋x 22＋2x 1x 24＜x 21＋x 222，因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f （x 1）＋f （x 2）2， y ＝f(x)＝x 2在D 上为凹函数．答案：C4．(2015·武汉质检)给出下列三个类比结论：①(ab)n ＝a n b n 与(a ＋b)n 类比，则有(a ＋b)n ＝a n ＋b n ；②log a (xy)＝log a x ＋log a y 与sin (α＋β)类比，则有sin (α＋β)＝sin αsin β；③(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2与(a ＋b )2类比，则有(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2.其中结论正确的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①不妨取n＝2，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≠a2＋b2，故①类比结论错误；②∵sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β≠sin αsin β，故②类比结论错误；③根据向量的运算法则知：(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，故③正确．答案：B5．(2014·长沙市一中模拟)用反证法证明命题：“a，b，c，d∈R，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，则a，b，c，d中至少有一个负数”时的假设为()A．a，b，c，d中至少有一个正数B．a，b，c，d全为正数C．a，b，c，d全都大于等于0D．a，b，c，d中至多有一个负数解析：“a，b，c，d中至少有一个负数”的否定为“a，b，c，d 全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a，b，c，d全都大于等于0”．答案：C6．(2015·福建质检)如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1，0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1，0)处标5，点(－1，1)处标6，点(0，1)处标7，依此类推，则标签为2 0132的格点的坐标为()A．(1 006，1 005) B．(1 007，1 006)C．(1 008，1 007) D．(1 009，1 008)解析：因为点(1，0)处标1＝12，点(2，1)处标9＝32，点(3，2)处标25＝52，点(4，3)处标49＝72，依此类推得点(n＋1，n)处标(2n ＋1)2，故点(1 007，1 006)处标2 0132.故选B.答案：B7．(2014·北京卷)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．3.50分钟B．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：将(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入p ＝at 2＋bt ＋c ，可得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2，∴p ＝－0.2t 2＋1.5t －2，对称轴为t ＝－ 1.52×（－0.2）＝3.75. 答案：B8．(2015·江西模拟)已知[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[π]＝3.S 1＝[1]＋[2]＋[3]＝3，S 2＝[4]＋[5]＋[6]＋[7]＋[8]＝10，S 3＝[9]＋[10]＋[11]＋[12]＋[13]＋[14]＋[15]＝21，…，依此规律，那么S 10＝( )A ．210B ．230C ．220D ．240解析：因为S 1＝3＝2×32，S 2＝10＝4×52，S 3＝21＝6×72，所以S 10＝20×212＝210，故选A.答案：A9．(2014·黄冈模拟)已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD ＝2.若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM ＝() A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：推广到空间，则有结论：“AO OM ＝3”．设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM ＝63，又O 到四面体各面的距离都相等，所以O 为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r ，则有r ＝3VS 表，可求得r 即OM ＝612，所以AO ＝AM －OM ＝64，所以AOOM ＝3.答案：C二、填空题10．(2015·陕西卷)观察下列等式1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16……据此规律，第n 个等式可为________．解析：观察可知，等式每一行的左边分数的个数是行数的2倍且正负交替出现，分母为自然数；等式的右边分数的个数等于行数，且分母的第一个数会比行数多1.这样就可归纳出第n 个等式为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 答案：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)11．(2014·长沙调研)如图甲，在△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，D 是垂足，则AB 2＝BD ·BC ，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A —BCD 中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在△BCD 内，类比射影定理，探究S △ABC 、S △BCO 、S △BCD 这三者之间满足的关系式是________．解析：连接DO 并延长交BC 于点E ，连接AE .由AO ⊥BC ，AD ⊥BC 可知BC ⊥平面AED ，则BC ⊥DE ，BC ⊥AE .∴S △ABC ＝12BC ·AE ，S △BCO ＝12BC ·EO ，S △BCD ＝12BC ·DE .又AE 2＝EO ·ED ，∴S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD .答案：S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD12．(2014·雅礼模拟)两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如下图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a 1＝1，第2个五角形数记作a 2＝5，第3个五角形数记作a 3＝12，第4个五角形数记作a 4＝22，…，若按此规律继续下去，则(1)a 5＝________；(2)若a n ＝117，则n ＝________．解析：(1)观察得知：a 1＝1＝3×1－2，a 2＝5＝a 1＋3×2－2，a 3＝12＝a 2＋3×3－2，a 4＝22＝a 3＋3×4－2，…a n ＝a n －1＋3n －2，(n ≥2，n ∈N *)．叠加得到：a n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )－2n ＝3n 2－n 2(n ≥2，n ∈N *)．令n ＝5，则a 5＝a 4＋3×5－2＝22＋15－2＝35.(2)令a n ＝117，则3n 2－n 2＝117，∴n ＝9.答案：(1)35 (2)9三、解答题13．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解析：(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°·cos α＋sin 30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32·sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34.14．(2014·广州模拟)出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼－闵可夫斯基所创立的．在出租车几何学中，点还是形如(x ，y )的有序实数对，直线还是满足ax ＋by ＋c ＝0的所有(x ，y )组成的图形，角度大小的定义也和原来一样．直角坐标系内任意两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)定义它们之间的一种“距离”：|AB |＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|，请解决以下问题：(1)求点A (1，3)、B (6，9)的“距离”|AB |；(2)求线段x ＋y ＝2(x ≥0，y ≥0)上一点M (x ，y )到原点O (0，0)的“距离”；(3)定义：“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，点A (1，3)、B (6，9)，C (1，9)，求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象．(所给图形小正方形的单位是1)解析：(1)根据出租车几何学中“距离”的定义，得|AB |＝|x 1－x 2|＋|y 1－y 2|＝|6－1|＋|9－3|＝5＋6＝11.(2)点M (x ，y )到原点的距离为：|MO |＝|x －0|＋|y －0|＝|x |＋|y |.∵线段x ＋y ＝2上的点M (x ，y )满足x ≥0，y ≥0，∴|x |＝x ，|y |＝y ，∴|MO |＝|x |＋|y |＝x ＋y ＝2.(3)设“圆心”坐标为N (m ，n )，则由|NA |＝|NC |，得|m －1|＋|n －3|＝|m －1|＋|n －9|，所以点N 在y ＝6上．又因为|NB |＝|NC |，即|m －1|＋|n －9|＝|m －6|＋|n －9|，所以点N 在x ＝72上．∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，6， R ＝|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72－1＋|6－3|＝112. “圆N ”的图象如图所示．15．(2014·衡阳模拟)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和，已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，试求：(1)a 18的值；(2)该数列的前n 项和S n . 解析：(1)∵数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，由等和数列的定义易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ∈N *)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n )＝2＋2＋…＋2,n 2个2＋3＋3＋…＋3,n 2个3＝2·n 2＋3·n 2＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧52n （n 为偶数），52n －12（n 为奇数）.。

[状元桥]2016届高三数学(文)二轮复习教师用书：专题十二直线与圆的方程

4－ 7
3
，
4＋ 7 . 3
(2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)．将 y＝kx＋1 代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
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4（1＋k） 7 所以 x1＋x2＝，x1x2＝， 2 1＋k 1＋k2 → ·ON → ＝ x x ＋y y OM 1 2 1 2 ＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝ 4k（1＋k）＋8. 1＋k2
(1)圆 C 的标准方程为________； (2)圆 C 在点 B 处的切线在 x 轴上截距为________．考点：直线的斜率、截距、圆的标准方程及直线方程的求解．分析：(1)结合图形，确定圆 C 的圆心坐标和半径，从而写出圆的标准方程；(2)如图，先求出点 B 的坐标，进而求出圆 C 在点 B 处的切线方程，再求切线在 x 轴上的截距．解析：(1)由题意设圆的标准方程为 (x－1)2＋(y－r)2＝r2， ∵|AB|＝2，∴r＝ 2. ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y－ 2)2＝2.
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距、圆半径、半弦长组成的直角三角形结合勾股定理求得． 2．圆的参数方程不是唯一的，圆的参数方程不同，其几何意义也会改变，最值问题常用圆的参数方程转化为三角函数问题求解．例 3－1(2015· 湖北卷)如图，已知圆 C 与 x 轴相切于点 T(1，0)，与 y 轴正半轴交于两点 A，B(B 在 A 的上方)，且|AB|＝2.
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专家把脉：方程①与原方程并不等价，应加上 y∈[0，＋∞). 对症下药：原方程的对应曲线应为椭圆的上半部分(如图)．结合图形易求得 m 的范围为 m＝5 或－2 5<m<2 5.

高三数学一轮总复习第五章三角函数(文)(教师用书)

第五章三角函数高考导航知识网络5.1 任意角的三角函数的概念典例精析题型一象限角与终边相同的角【例1】若α是第二象限角，试分别确定2α、2α的终边所在的象限.【解析】因为α是第二象限角，所以k ∙360°＋90°＜α＜k ∙360°＋180°(k∈Z).因为2k ∙360°＋180°＜2α＜2k ∙360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴的负半轴上.因为k ∙180°＋45°＜α2＜k ∙180°＋90°(k∈Z)，当k ＝2n(n ∈Z)时，n ∙360°＋45°＜α2＜n ∙360°＋90°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，n ∙360°＋225°＜α2＜n ∙360°＋270°.所以α2是第一或第三象限角.【点拨】已知角α所在象限，应熟练地确定α2所在象限.如果用α1、α2、α3、α4分别表示第一、二、三、四象限角，则α12、α22、α32、α42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟记右图，解有关问题就方便多了.【变式训练1】若角2α的终边在x 轴上方，那么角α是( ) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角【解析】由题意2k π＜2α＜2k π＋π，k ∈Z ，得k π＜α＜k π＋π2，k ∈Z.当k 是奇数时，α是第三象限角.当k 是偶数时，α是第一象限角.故选C. 题型二弧长公式，面积公式的应用【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【解析】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，因为α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝10π3cm ，S 弓＝S 扇－S Δ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.(2)因为C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，所以R ＝C2＋α， S 扇＝12αR2＝12α(C 2＋α)2＝C22∙αα2＋4α＋4＝C22∙1α＋4α＋4≤C216，当且仅当α＝4α时，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C216.【点拨】用弧长公式l ＝ |α| R 与扇形面积公式S ＝12lR ＝12R2|α|时，α的单位必须是弧度.【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值.【解析】因为S ＝12Rl ，所以Rl ＝2S ，所以周长C ＝l ＋2R≥22Rl ＝24S ＝4S ，当且仅当l ＝2R 时，C ＝4S ，所以当α＝lR＝2时，周长C 有最小值4S.题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例3】(1)已知角α的终边与函数y ＝2x 的图象重合，求sin α；(2)求满足sin x≤32的角x 的集合.【解析】(1)由⎩⎨⎧=+=1222y x x y ⇒交点为(－55，－255)或(55，255)，所以sin α＝±255.(2)①找终边：在y 轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x 轴的平行线与单位圆分别交于P1、P2两点，连接OP1、OP2，则为角x 的终边，并写出对应的角. ②画区域：画出角x 的终边所在位置的阴影部分.③写集合：所求角x 的集合是{x|2k π－4π3≤x≤2k π＋π3，k ∈Z}.【点拨】三角函数是用角α的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观. 【变式训练3】函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为 .【解析】⇒2k π＜x ≤2k π＋π3，k ∈Z.所以函数的定义域为{x|2k π＜x≤2k π＋π3，k ∈Z}.总结提高1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小.2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k ·360°＋π3的错误书写.3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙.5.2 同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将α视为锐角后，再判断所求角的象限. 【变式训练1】已知f(x)＝1－x ，θ∈(3π4，π)，则f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|.因为θ∈(3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.所以|sin θ－cos θ|＋|sin θ＋cos θ|＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ. 题型二三角函数式的求值问题【例2】已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2). (1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|，0＜θ＜π，求 θ的值.【解析】(1)因为a ∥b ，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin(2θ＋π4)＝－22.又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.【变式训练2】已知tan α＝12，则2sin αcos α＋cos2α等于( )A.45B.85C.65D.2【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故选B.题型三三角函数式的简单应用问题【例3】已知－π2＜x ＜0且sin x ＋cos x ＝15，求：(1)sin x －cos x 的值；(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.【解析】(1)由已知得2sin xcos x ＝－2425，且sin x ＜0＜cos x ，所以sin x －cos x ＝－(sin x －cos x)2＝－1－2sin xcos x ＝－1＋2425＝－75. (2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x －sin3x ＝(cos x －sin x)(cos2x ＋cos xsin x ＋sin2x)＝75×(1－1225)＝91125. 【点拨】求形如sin x±cos x 的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x±cos x 取值符号.【变式训练3】化简1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]＝2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“同角”的含义，只要是“同一个角”，那么基本关系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单.5.3 两角和与差、二倍角的三角函数典例精析题型一三角函数式的化简【例1】化简θθθθθ cos 22)2cos 2 )(sin cos sin 1(+-++(0＜θ＜π).【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝2cos 2)2cos 2 )(sin 2 cos 22 cos 2 sin 2(22θθθθθθ-+＝2cos 2)2cos 2 (sin 2 sin 222θθθθ-＝－cos θ.【点拨】先从角度统一入手，将θ化成θ2，然后再观察结构特征，如此题中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.【变式训练1】化简2cos4x －2cos2x ＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).【解析】原式＝12(2cos2x －1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x 4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x 2sin(π2－2x)＝12cos2x.题型二三角函数式的求值【例2】已知sin x 2－2cos x2＝0.(1)求tan x 的值； (2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.【解析】(1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2，所以tan x ＝2tan 12tan 22xx-＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos2x －sin2x 2(22cos x －22sin x)sin x＝(cos x －sin x)(cos x ＋sin x)(cos x －sin x)sin x ＝cos x ＋sin x sin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14.【变式训练2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝ 3.题型三已知三角函数值求解【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.【解析】因为tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4. 【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小. 【变式训练3】若α与β是两锐角，且sin(α＋β)＝2sin α，则α与β的大小关系是( ) A.α＝β B.α＜βC.α＞βD.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是锐角，所以α≤30°.又当α＝30°，β＝60°时符合题意，故选B.方法二：因为2sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以sin α＜sin β.又因为α、β是锐角，所以α＜β，故选B. 总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题； (2)对公式会“正用”、“逆用”、“变形使用”；(3)掌握角的演变规律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件.5.4 三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值.【解析】由4tan α2＝1－tan2α2，得tan α＝2tan 12tan 22αα-＝12.由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1. 又因为α、β∈(0，π4)，所以α＋β＝π4.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1322C.723D.318【解析】因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)，所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.故选C.题型二等式的证明【例2】求证：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β).【证明】证法一：右边＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α＝sin [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左边.证法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.【点拨】证法一将2α＋β写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.【证明】因为5sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β，所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0. 即tan(α－β)＋4tan β＝0. 题型三三角恒等变换的应用【例3】已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C ； (2)若A ＞B 且tan A ＝－2tan B ，求证：tan C ＝sin 2B3－cos 2B ；(3)在(2)的条件下，求tan C 的最大值. 【解析】(1)因为C ＝π－(A ＋B)，所以tan C ＝－tan(A ＋B)＝－(tan A ＋tan B)1－tan Atan B，所以tan C －tan Atan Btan C ＝－tan A －tan B ，即tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C.(2)由(1)知tan C ＝－(tan A ＋tan B)1－tan Atan B ＝tan B 1＋2tan2B ＝sin Bcos Bcos2B ＋2sin2B ＝)cos 2(22 sin B B -∙＝sin 2B 2(2－1＋cos 2B 2)＝sin 2B 3－cos 2B .(3)由(2)知tan C ＝tan B 1＋2tan2B ＝12tan B ＋1tan B≤122＝24，当且仅当2tan B ＝1tan B ，即tan B ＝22时，等号成立.所以tan C 的最大值为24. 【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识.【变式训练3】在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan Btan C ＝3，3tan A ＋3tan B ＋1＝tan Atan B ，试判断△ABC 的形状.【解析】由已知得tan B ＋tan C ＝3(1－tan Btan C)， 3(tan A ＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，即tan B ＋tan C 1－tan Btan C ＝3，tan A ＋tan B 1－tan Atan B ＝－33.所以tan(B ＋C)＝3，tan(A ＋B)＝－33. 因为0＜B ＋C ＜π，0＜A ＋B ＜π，所以B ＋C ＝π3，A ＋B ＝5π6.又A ＋B ＋C ＝π，故A ＝2π3，B ＝C ＝π6.所以△ABC 是顶角为2π3的等腰三角形.总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“统一”：①统一角度，即化为同一个角的三角函数；②统一名称，即化为同一种三角函数；③统一结构形式.5.5 三角函数的图象和性质典例精析题型一三角函数的周期性与奇偶性【例1】已知函数f(x)＝2sin x 4cos x 4＋3cos x2.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)令g(x)＝f(x ＋π3)，判断g(x)的奇偶性.【解析】(1)f(x)＝2sin x 4cos x 4＋3cos x 2＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)，所以f(x)的最小正周期T ＝2π12＝4π. (2)g(x)＝f(x ＋π3)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.所以g(x)为偶函数.【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数.【变式训练1】函数y ＝sin2x ＋sin xcos x 的最小正周期T 等于( ) A.2πB.πC.π2D.π3【解析】y ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝22(22sin 2x －22cos 2x)＋12＝22sin(2x －π4)＋12，所以T ＝2π2＝π.故选B. 题型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域： (1)f(x)＝sin 2xsin x1－cos x ；(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x.【解析】(1)f(x)＝2sin xcos xsin x 1－cos x ＝2cos x(1－cos2x)1－cos x ＝2cos2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，当cos x ＝1时，f(x)max ＝4，但c os x≠1，所以f(x)＜4，当cos x ＝－12时，f(x)min ＝－12，所以函数的值域为[－12，4).(2)f(x)＝2(cos π3cos x －sin π3sin x)＋2cos x＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)，所以函数的值域为[－23，23].【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键.【变式训练2】求y ＝sin x ＋cos x ＋sin xcos x 的值域.【解析】令t ＝sin x ＋cos x ，则有t2＝1＋2sin xcos x ，即sin xcos x ＝t2－12.所以y ＝f(t)＝t ＋t2－12＝12(t ＋1)2－1.又t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，所以－2≤t≤ 2.故y ＝f(t)＝12(t ＋1)2－1(－2≤t≤2)，从而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.所以函数的值域为[－1，2＋12].题型三三角函数的单调性【例3】已知函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(φ＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示.(1)求ω，φ的值；(2)设g(x)＝f(x)f(x －π4)，求函数g(x)的单调递增区间.【解析】(1)由图可知，T ＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.因为|φ|＜π，所以φ＝－π2. (2)f(x)＝sin(2x －π2)＝－cos 2x.所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x －π2)]＝cos 2xsin 2x ＝12sin 4x.所以当2k π－π2≤4x≤2k π＋π2，即k π2－π8≤x≤k π2＋π8(k ∈Z)时g(x)单调递增.故函数g(x)的单调增区间为[k π2－π8，k π2＋π8](k ∈Z).【点拨】观察图象，获得T 的值，然后再确定φ的值，体现了数形结合的思想与方法. 【变式训练3】使函数y ＝sin(π6－2x)(x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.[0，π3]B.[π12，7π12]C.[π3，5π6]D.[5π6，π]【解析】利用复合函数单调性“同增异减”的原则判定，选C.总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象.2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间.3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响.4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性.5.6 函数y ＝Asin(ωx ＋ )的图象和性质典例精析题型一 “五点法”作函数图象【例1】设函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到.【解析】(1)f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2(12sin ωx ＋32cos ωx)＝2sin(ωx ＋π3)，又因为T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x ＋π3)，所以函数f(x)＝sin ωx ＋3cos ωx(ω＞0)的振幅为2，初相为π3.(2)列出下表，并描点画出图象如图所示.(3)把y ＝sin x 图象上的所有点向左平移π3个单位，得到y ＝sin(x ＋π3)的图象，再把y ＝sin(x ＋π3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x ＋π3)的图象，然后把y ＝sin(2x ＋π3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin(2x ＋π3)的图象.【点拨】用“五点法”作图，先将原函数化为y ＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相应的x 值及相应的y 值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象.【变式训练1】函数的图象如图所示，则( )A.k ＝12，ω＝12，φ＝π6B.k ＝12，ω＝12，φ＝π3C.k ＝12，ω＝2，φ＝π6D.k ＝－2，ω＝12，φ＝π3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k ＝12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数ω由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T ＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.将点(5π3，0)代入解析式y ＝2sin(12x ＋φ)，得12×5π3＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－5π6，k ∈Z.结合各选项可知，选项A 正确.题型二三角函数的单调性与值域【例2】已知函数f(x)＝sin2ωx ＋3sin ωxsin(ωx ＋π2)＋2cos2ωx ，x ∈R(ω＞0)在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间. 【解析】(1)f(x)＝32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋32＝sin(2ωx ＋π6)＋32. 令2ωx ＋π6＝π2，将x ＝π6代入可得ω＝1.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x ＋π6)＋32，经过题设的变化得到函数g(x)＝sin(12x －π6)＋32，当x ＝4k π＋43π，k ∈Z 时，函数g(x)取得最大值52.令2k π＋π2≤12x －π6≤2k π＋32π，即[4k π＋4π3，4k π＋103π](k ∈Z)为函数的单调递减区间.【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换.【变式训练2】若将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到的图象关于点(π3，0)对称，则|φ|的最小值是( ) A.π4B.π3C.π2D.3π4【解析】将函数y ＝2sin(3x ＋φ)的图象向右平移π4个单位后得到y ＝2sin[3(x －π4)＋φ]＝2sin(3x －3π4＋φ)的图象.因为该函数的图象关于点(π3，0)对称，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，故有π4＋φ＝k π(k ∈Z)，解得φ＝k π－π4(k ∈Z).当k ＝0时，|φ|取得最小值π4，故选A. 题型三三角函数的综合应用【例3】已知函数y ＝f(x)＝Asin2(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2). (1)求φ的值；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).【解析】(1)y ＝Asin2(ωx ＋φ)＝A 2－A2cos(2ωx ＋2φ)，因为y ＝f(x)的最大值为2，又A ＞0，所以A 2＋A2＝2，所以A ＝2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.所以f(x)＝22－22cos(π2x ＋2φ)＝1－cos(π2x ＋2φ)，因为y ＝f(x)过点(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.所以π2＋2φ＝2k π＋π(k ∈Z)，解得φ＝k π＋π4(k ∈Z)，又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π4.(2)方法一：因为φ＝π4，所以y ＝1－cos(π2x ＋π2)＝1＋sin π2x ，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，又因为y ＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.方法二：因为f(x)＝2sin2(π4x ＋φ)，所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，又因为y ＝f(x)的周期为4,2 008＝4×502.所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.【点拨】函数y ＝Acos(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π，可得x ＝k π－φω，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决.【变式训练3】已知函数f(x)＝Acos2ωx ＋2(A ＞0，ω＞0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .【解析】f(x)＝Acos2ωx ＋2＝A×1＋cos 2ωx 2＋2＝Acos 2ωx 2＋A2＋2，则由题意知A ＋2＝6，2π2ω＝8，所以A ＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cos π4x ＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…观察周期性规律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38. 总结提高1.用“五点法”作y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象，关键是五个点的选取，一般令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整ωx ＋φ的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值.2.在图象变换时，要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x 本身而言的，无论沿x 轴平移还是伸缩，变化的总是x.3.在解决y ＝Asin(ωx ＋φ)的有关性质时，应将ωx ＋φ视为一个整体x 后再与基本函数 y ＝sin x 的性质对应求解.5.7 正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1，cos C ＝34.(1)求sin A 的值；(2)求的值. 【解析】(1)由cos C ＝34得sin C ＝74.所以sin A ＝BC sin CAB＝1×742＝148. (2)由(1)知，cos A ＝528.所以cos B ＝－cos(A ＋C)＝－cos Acos C ＋sin Asin C ＝－15232＋7232＝－24.所以·＝·(＋BA )＝∙＋∙BA ＝－1＋1×2×cos B＝－1－12＝－32.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识. 【变式训练1】在△ABC 中，已知a 、b 、c 为它的三边，且三角形的面积为a2＋b2－c24，则∠C ＝ .【解析】S ＝a2＋b2－c24＝12absin C.所以sin C ＝a2＋b2－c22ab ＝cos C.所以tan C ＝1，又∠C ∈(0，π)，所以∠C ＝π4. 题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC 是锐角三角形，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边长，并且sin2A ＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.(1)求角A 的值；(2)若AB ∙＝12，a ＝27，求b ，c(其中b ＜c). 【解析】(1)因为sin2A ＝(32cos B ＋12sin B)(32cos B －12sin B)＋sin2B ＝34cos2B －14sin2B ＋sin2B ＝34，所以sin A ＝±32.又A 为锐角，所以A ＝π3.(2)由∙AC ＝12可得cbcos A ＝12.① 由(1)知A ＝π3，所以cb ＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A ，将a ＝27及①代入得c2＋b2＝52.③ ③＋②×2，得(c ＋b)2＝100，所以c ＋b ＝10.因此，c ，b 是一元二次方程t2－10t ＋24＝0的两个根. 又b ＜c ，所以b ＝4，c ＝6.【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力.【变式训练2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，且满足(2a －c)cos B ＝ bcos C.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积. 【解析】(1)在△ABC 中，由正弦定理得 a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，代入(2a －c)cos B ＝bcos C ，整理得2sin Acos B ＝sin Bcos C ＋sin C ∙cos B ，即2sin Acos B ＝sin(B ＋C)＝sin A ，在△ABC 中，sin A ＞0,2cos B ＝1，因为∠B 是三角形的内角，所以B ＝60°.(2)在△ABC 中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac ∙cos B ＝(a ＋c)2－2ac －2ac ∙cos B ，将b ＝7，a ＋c ＝4代入整理，得ac ＝3. 故S △ABC ＝12acsin B ＝32sin 60°＝334.题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例3】(2010陕西)如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点.现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，则该救援船到达D 点需要多长时间？【解析】由题意知AB ＝5(3＋3)(海里)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，所以∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，所以DB ＝ADB DAB AB ∠∠∙sin sin ＝︒︒+∙105 sin 45 sin )33(5＝︒︒+︒︒︒+∙60 sin 45 cos 60 cos 45 sin 45 sin )33(5＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD ∙BC ∙cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时).所以，救援船到达D 点需要1小时.【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是： (1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论.【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m km 后在B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n km 范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件时，该船没有触礁危险.【解析】由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得BM sin(90°－α)＝m sin(α－β)，解得BM ＝mcos αsin(α－β)，要使船没有触礁危险需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos βsin(α－β)＞n.所以α与β的关系满足mcos αcos β＞nsin(α－β)时，船没有触礁危险.总结提高1.正弦定理、余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A ＞B 与sin A ＞sin B 是一种等价关系.2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系，再用恒等变形(如因式分解、配方)求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解.3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解.5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一利用三角函数的性质解应用题【例1】如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在上，相邻两边CQ 、CR 分别落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.【解析】如图，连接AP ，过P 作PM ⊥AB 于M.设∠PAM ＝α，0≤α≤π2，则PM ＝90sin α，AM ＝90cos α，所以PQ ＝100－90cos α，PR ＝100－90sin α，于是S 四边形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos α)(100－90sin α)＝8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.设t ＝sin α＋cos α，则1≤t≤2，sin αcos α＝t2－12. S 四边形PQCR ＝8 100·t2－12－9 000t ＋10 000 ＝4 050(t －109)2＋950 (1≤t≤2). 当t ＝2时，(S 四边形PQCR)max ＝14 050－9 000 2 m2；当t ＝109时，(S 四边形PQCR)min ＝950 m2. 【点拨】同时含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函数求最值时，可设sin θ±cos θ＝t ，把sin θcos θ用t 表示，从而把问题转化成关于t 的二次函数的最值问题.注意t 的取值范围.【变式训练1】若0＜x ＜π2，则4x 与sin 3x 的大小关系是( ) A.4x ＞sin 3x B.4x ＜sin 3xC.4x≥sin 3xD.与x 的值有关【解析】令f(x)＝4x －sin 3x ，则f′(x)＝4－3cos 3x.因为f′(x)＝4－3cos 3x ＞0，所以f(x)为增函数.又0＜x ＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x －sin 3x ＞0.所以4x ＞sin 3x.故选A.题型二函数y ＝Asin(ωx ＋φ)模型的应用【例2】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f(t).下表是某日各时的浪花高度数据.经长期观测，y ＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y ＝Acos ωt ＋b.(1)根据以上数据，求出函数y ＝Acos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放. 请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？【解析】(1)由表中数据知，周期T ＝12，所以ω＝2πT ＝2π12＝π6. 由t ＝0，y ＝1.5，得A ＋b ＝1.5，由t ＝3，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以A ＝0.5，b ＝1，所以振幅为12.所以y ＝12cos π6t ＋1. (2)由题知，当y ＞1时才可对冲浪者开放，所以12cos π6t ＋1＞1，所以cos π6t ＞0，所以2k π－π2＜π6t ＜2k π＋π2，即12k －3＜t ＜12k ＋3.① 因为0≤t≤24，故可令①中k 分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t ＜15或21＜t≤24.故在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9：00至下午15：00.【点拨】用y ＝Asin(ωx ＋φ)模型解实际问题，关键在于根据题目所给数据准确求出函数解析式.【变式训练2】如图，一个半径为10 m 的水轮按逆时针方向每分钟转4圈，记水轮上的点P 到水面的距离为d m(P 在水面下则d 为负数)，则d(m)与时间t(s)之间满足关系式：d ＝Asin(ωt ＋φ)＋k(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且当点P 从水面上浮现时开始计算时间，有以下四个结论：①A ＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k ＝5.其中正确结论的序号是 . 【解析】①②④.题型三正、余弦定理的应用【例3】为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内(如图所示)，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 之间的距离，请设计一个方案，包括：(1)指出需测量的数据(用字母表示，并在图中标示)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间距离的步骤.【解析】(1)如图所示：①测AB 间的距离a ；②测俯角∠MAB ＝φ，∠NAB ＝θ，∠MBA ＝β，∠NBA ＝γ.(2)在△ABM 中，∠AMB ＝π－φ－β，由正弦定理得BM ＝ABsin φsin ∠AMB ＝asin φsin(φ＋β)，同理在△BAN 中，BN ＝ABsin θsin ∠ANB ＝asin θsin(θ＋γ)，所以在△BMN 中，由余弦定理得MN ＝MBN BN BM BN BM ∠-+∙cos 222 ＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ). 【变式训练3】一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时.【解析】本题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB ＝10，∠OCB ＝60°，∠OCA ＝75°.我们只需计算出OC 的长，即可得出船速.在直角三角形OCA 和OCB 中，显然有OB OC＝tan ∠OCB ＝tan 60°且OA OC＝tan ∠OCA ＝tan 75°，因此易得AB ＝OA －OB ＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有OC ＝AB tan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°＝10tan(30°＋45°)－t an 60°＝10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13－3＝5.由此可得船的速度为5海里÷0.5小时＝10海里/小时.总结提高1.解三角形的应用题时应注意：(1)生活中的常用名词，如仰角，俯角，方位角，坡比等；(2)将所有已知条件化入同一个三角形中求解；(3)方程思想在解题中的运用.2.解三角函数的综合题时应注意：(1)与已知基本函数对应求解，即将ωx＋φ视为一个整体X；(2)将已知三角函数化为同一个角的一种三角函数，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c；(3)换元方法在解题中的运用.。

高三数学(文)二轮复习(通用版)教师用书：题型专题(十)三角函数的图象与性质含答案

题型专题(十) 三角函数的图象与性质[师说考点]1．三角函数的定义若角α的终边过点P (x ，y )，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx (其中r ＝x 2＋y 2)．2．利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．(注意“奇变偶不变，符号看象限”)3．基本关系sin 2x ＋cos 2x ＝1，tan x ＝sin xcos x.[典例] (1)(2016·广州模拟)已知cos(θ＋π)＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝________.[解析] 因为cos(θ＋π)＝－13，所以cos θ＝13，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π2＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－79.[答案] －79(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4，3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin （－π－α）cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．[解析] 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，∴原式＝－34.[答案] －34[类题通法]应用三角函数的定义和诱导公式的注意事项(1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误．(2)应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定注意三角函数的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．[演练冲关]1．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4解析：选D tan θ＝cos 3π4sin 3π4＝－cosπ4sinπ4＝－1，又sin 3π4>0，cos 3π4<0，所以θ为第四象限角且θ∈[0，2π)，所以θ＝7π4.2．若θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝________. 解析：因为1－2sin （π＋θ）sin ⎝⎛⎭⎫3π2－θ＝1－2sin θcos θ＝（sin θ－cos θ）2＝|sin θ－cos θ|，又θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以原式＝sin θ－cos θ.答案：sin θ－cos θ[师说考点]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x 的值与相应的y 的值，描点、连线可得．(2)图象变换y ＝sin x 的图象y ＝sin(x ＋φ)的图象y ＝sin(ωx ＋φ)的图象y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象．[典例] (1)(2016·全国甲卷)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3[解析] 选A 由图象知T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，故T ＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图象的一个最高点坐标为⎝⎛⎭⎫π3，2，所以A ＝2，且2×π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，故φ＝2k π－π6(k ∈Z )，结合选项可知y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.故选A.(2)(2016·全国乙卷)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3[解析] 选D 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得图象对应的函数为y ＝2sin[2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6]＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故选D.[类题通法]解决三角函数图象问题的方法及注意事项(1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．(如例(1))(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．(如例(2))[演练冲关]1．(2016·西安质检)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是( )A ．x ＝－π12B ．x ＝π12C ．x ＝π3D ．x ＝2π3解析：选D 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin(12x ＋π6)的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k∈Z ，∴当k ＝0时，函数图象的对称轴为x ＝2π3.2．(2016·贵州模拟)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ(0<φ≤π2)个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选A 将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ≤π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x ＋φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2φ＋π6，由题知，该函数是偶函数，则2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0<φ≤π2，所以φ＝π6，选项A 正确．3.(2016·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，取k ＝0，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3. 答案：－ 3[师说考点]1．三角函数的单调区间y ＝sin x 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )，单调递减区间是⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )；y ＝cos x 的单调递增区间是[]2k π－π，2k π(k ∈Z )，单调递减区间是[2k π，2k π＋π](k ∈Z )；y ＝tan x 的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )．2．三角函数的奇偶性、对称轴方程y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得．y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得．y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数．[典例] (2016·天津高考)已知函数f (x )＝4tan x sin(π2－x )cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性．[解] (1)f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－3＝4sin x ⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x －3 ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝2sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z .由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎡⎦⎤－π4，π4，B ＝{x |－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z }，易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤－π12，π4.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上单调递减．[类题通法]三角函数的单调性、周期性及最值的求法(1)三角函数单调性的求法求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间的一般思路：令ωx ＋φ＝z ，则y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)三角函数周期性的求法函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx＋φ)|的周期为T ＝π|ω|. (3)三角函数最值的求法在求最值时，一般要先确定函数的定义域，然后结合三角函数性质可得函数f (x )的最值．[演练冲关]1．(2016·全国甲卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1，1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. 2．(2016·兰州模拟)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增，为奇函数C ．在⎝⎛⎭⎫－3π8，π8上单调递增，为偶函数D ．周期为π，图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称解析：选B 由题意可得将f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位得到g (x )＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos(π2－2x )＝sin 2x 的图象，因为函数g (x )为奇函数，所以排除C ，又当x＝π2时函数值为0，当x ＝3π8时，函数值为22，所以A 和D 中对称的说法不正确，选B. 3．(2016·重庆模拟)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3 B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎫π6，2π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，5π6解析：选A 依题意得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，于是有T ＝2πω＝2×π2＝π，ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.当2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，即k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z 时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6单调递增．因此结合各选项知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π6，π3，选A.三角函数与其他知识的交汇三角函数的图象与性质是高考考查的重点，近年来，三角函数与其他知识交汇命题成为高考的热点，由原来三角函数与平面向量的交汇渗透到三角函数与函数的零点、数列、不等式、复数、方程等知识的交汇．[典例] (1)已知方程|cos x |x ＝k 在(0，＋∞)上有两个不同的解α，β(α<β)，则下列的四个命题正确的是( )A ．sin 2α＝2αcos 2αB ．cos 2α＝2αsin 2αC ．sin 2β＝－2βsin 2βD ．cos 2β＝－2βsin 2β[解析] 选C 依题意y ＝|cos x |与y ＝kx 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，如图，设直线y ＝kx 与y ＝－cos x 的切点B (β，－cos β)，与y ＝cos x 的一个交点为A (α，cos α)，又y ′＝(－cos x )′＝sin x ，依题意y ′|x ＝β＝sin β，∴k ＝sin β，又－cos β＝kβ， ∴cos β＝－βsin β， ∴2sin βcos β＝－2βsin 2β，即sin 2β＝－2βsin 2β.(2)(2016·合肥质检)存在实数φ，使得圆面x 2＋y 2≤4恰好覆盖函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫πk x ＋φ图象的最高或最低点共三个，则正数k 的取值范围是________．[解析] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫πk x ＋φ的图象的最高点或最低点一定在直线y ＝±1上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝±1，x 2＋y 2≤4，解得－3≤x ≤3，由题意可得：T ＝2ππk＝2k ，T ≤23<2T ，解得正数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤32，3.[答案] ⎝⎛⎦⎤32，3[类题通法]解决三角函数与其他知识的交汇问题，要充分利用三角函数的图象与性质，如本例(2)，可利用三角函数的周期性结合x 的范围列出不等关系求解，而本例(1)可利用数形结合思想．[演练冲关]1．设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100解析：选D 当1≤n ≤24时，a n >0，当26≤n ≤49时，a n <0，但其绝对值要小于1≤n ≤24时相应的值；当51≤n ≤74时，a n >0；当76≤n ≤99时，a n <0，但其绝对值要小于51≤n ≤74时相应的值．故当1≤n ≤100时，均有S n >0.2．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的横坐标之差为π2，则函数在[0，2π]上的零点个数为________．解析：由已知得f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的周期为π，即2πω＝π，得ω＝2，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.当f (x )＝0时，2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，即x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，则当x ∈[0，2π]时f (x )有4个零点．答案：4一、选择题1．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( )A.π2B.π3C.π4D.π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D. 2．(2016·全国丙卷)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝( )A.6425B.4825 C ．1 D.1625解析：选A 因为tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1＋4tan αtan 2α＋1＝1＋4×34⎝⎛⎭⎫342＋1＝6425.故选A.3．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴T ＝2π2＝π.故选B.4．(2016·湖南东部六校联考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π6B.⎝⎛⎭⎫－π2，π2C.⎝⎛⎭⎫－π3，π3D.⎝⎛⎭⎫－π6，2π3解析：选A 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，结合各选项知函数的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π3，π6.5．(2016·山西质检)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(|φ|<π2)的图象关于直线x ＝π12对称，且当x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32D ．1 解析：选C 由题意得，2×π12＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴k ＝0，φ＝π3，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π6，π3，∴2x 1＋π3∈(0，π)，2x 2＋π3∈(0，π)，∴2x 1＋π3＋2x 2＋π32＝π2，解得x 1＋x 2＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π3＝32，故选C.6．(2016·河北三市联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋1(ω>0，|φ|≤π2)，其图象与直线y ＝－1相邻两个交点的距离为π，若f (x )>1，对∀x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3恒成立，则φ的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π2B.⎣⎡⎦⎤π6，π3C.⎣⎡⎦⎤π12，π3D.⎝⎛⎦⎤π6，π2 解析：选B 由已知得函数f (x )的最小正周期为π，则ω＝2.当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，π3时，2x＋φ∈⎝⎛⎭⎫－π6＋φ，2π3＋φ，∵f (x )>1，|φ|≤π2，∴⎩⎨⎧－π6＋φ≥0，2π3＋φ≤π，解得π6≤φ≤π3.二、填空题7．已知α为第二象限角，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－33，则tan α的值为________．解析：∵cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，∴sin α＝33，又α为第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－63，∴tan α＝sin αcos α＝－22. 答案：－228．(2016·重庆模拟)将函数y ＝sin x ＋3cos x 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，再向上平移1个单位后，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，1，则φ的最小值为________．解析：依题意，将y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象向右平移φ个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －φ＋π3的图象，再向上平移1个单位得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －φ＋π3＋1的图象，又该图象经过点⎝⎛⎭⎫π4，1，于是有2sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＋π3＋1＝1，即sin(7π12－φ)＝0，φ－7π12＝k π，k ∈Z ，φ＝k π＋7π12，k ∈Z ，因此正数φ的最小值是7π12. 答案：7π129．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤12·2πω，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案：π2 三、解答题10．(2016·合肥质检)已知m ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，1，n ＝(cos x ，1)． (1)若m ∥n ，求tan x 的值；(2)若函数f (x )＝m ·n ，x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间．解：(1)由m ∥n 得，sin ⎝⎛⎭⎫x －π6－cos x ＝0，展开变形可得，sin x ＝3cos x ，即tan x ＝ 3. (2)f (x )＝m ·n ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋34，由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. 11．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋33sin 2x －33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x ＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. 令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )． (2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象，即g (x )＝－33cos 2x . 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，可得cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，所以g (x )＝－33cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－33，36，即函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域是⎣⎡⎦⎤－33，36. 12．(2016·湖北七市联考)已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )．(1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x ＝22(12sin x ＋32cos x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z . 于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z . 又α∈[0，π]，故α＝5π12. (2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3图象上所有点向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z . 由于y ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，k ∈Z ，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.。

高三数学(文)教师用书：第三章-三角函数、解三角形(有答案)

第三章⎪⎪⎪三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad ． (2)公式：3．[小题体验]1．若θ满足sin θ<0，cos θ>0，则θ的终边所在的象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：D2．已知角α的终边经过点(－4，－3)，则cos α＝() A ．45B ．－45C ．35D ．－35答案：B3．已知半径为120 mm 的圆上，有一条弧的长是144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为________．答案：1．21．注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．4．三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α ＝x r ，tan α＝yx ．[小题纠偏]1．若角α终边上有一点P (x,5)，且cos α＝x13(x ≠0)，则sin α＝( )A ．513B ．1213C ．512D ．－513答案：A2．3 900°是第________象限角，－1 000°是第________象限角．答案：四一考点一角的集合表示及象限角的判定(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选C －3π4是第三象限角，故①错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，从而③正确；－315°＝－360°＋45°，从而④正确．2．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( ) A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<0解析：选C ∵π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<α2<π2＋k π．当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角，即tan α2>0一定成立，故选C ．3．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°有相同终边的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°，得－765°≤k ×360°<－45°，解得－765360≤k <－45360，从而k ＝－2或k ＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°．答案：－675°或－315°4．已知角β的终边在直线3x －y ＝0上，则角β的集合S ＝____________________．解析：如图，直线3x－y＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA上的角是60°，终边落在射线OB上的角是240°，所以以射线OA，OB为终边的角的集合为：S1＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝240°＋k·360°，k∈Z}，所以角β的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋180°＋k·360°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z} ＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．答案：{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}[谨记通法] 1．终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，αk(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或αk的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．考点二扇形的弧长及面积公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若一扇形的圆心角为72°，半径为20 cm，则扇形的面积为()A ．40π cm 2B ．80π cm 2C ．40 cm 2D ．80 cm 2解析：选B ∵72°＝2π5，∴S 扇形＝12|α|r 2＝12×2π5×202＝80π(cm 2)．2．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4解析：选C 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1，l ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1．3．扇形弧长为20 cm ，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm 2．解析：由弧长公式l ＝|α|r ，得 r ＝20100π180＝36π，∴S 扇形＝12lr ＝12×20×36π＝360π．答案：360π[谨记通法]弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略(1)明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量，如“题组练透”第3题．考点三三角函数的定义(题点多变型考点——多角探明)[锁定考向]任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中多以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)三角函数定义的应用； (2)三角函数值的符号判定； (3)三角函数线的应用．[题点全练]角度一：三角函数定义的应用1．已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________．解析：∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－xx 2＋36＝－513，即x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6， ∴sin α＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23．答案：－23角度二：三角函数值的符号判定 2．若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角．由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．角度三：三角函数线的应用3．函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________．解析：∵3－4sin 2x >0， ∴sin 2x <34，∴－32<sin x <32．利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)， ∴x ∈⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z)．答案：⎝⎛⎭⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z) [通法在握]定义法求三角函数的3种情况(1)已知角α终边上一点P 的坐标，可求角α的三角函数值．先求P 到原点的距离，再用三角函数的定义求解．(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．[演练冲关]1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α的值为( )A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选D 因为点A 的纵坐标y A ＝45，且点A 在第二象限，又因为圆O 为单位圆，所以A 点横坐标x A ＝－35，由三角函数的定义可得cos α＝－35．2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |．当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55．因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 因为点P 在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧tan α<0，cos α<0，所以α的终边在第二象限，故选B ．2．设角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A ．35B ．－35C ．45D ．－45解析：选B 设点P 与原点间的距离为r ， ∵P (－4a,3a )，a <0， ∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝|5a |＝－5a ．∴sin α＝3a r ＝－35．3．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α(0<α<π)的弧度数为( ) A ．π3B ．π2C ． 3D ．2解析：选C 设圆半径为r ，则其内接正三角形的边长为3r ，所以3r ＝αr ，所以α＝3．4．在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°，设点B 坐标为(x ，y )，所以x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)．答案：(－1，3)5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________．解析：因为sin θ＝y42＋y 2＝－255，所以y ＜0，且y 2＝64，所以y ＝－8．答案：－8二保高考，全练题型做到高考达标1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3B ．π6C ．－π3D ．－π6解析：选C 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16，即为－16×2π＝－π3．2．(2016·福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43解析：选D 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0．又cos α＝15x ＝x x 2＋16．解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43．3．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则sin α等于( ) A ．sin 2 B ．－sin 2 C ．cos 2D ．－cos 2解析：选D 因为r ＝(2sin 2)2＋(－2cos 2)2＝2，由任意三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos 2．4．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角．5．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选C 当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．6．与2 017°的终边相同，且在0°～360°内的角是________．解析：∵2 017°＝217°＋5×360°，∴在0°～360°内终边与2 017°的终边相同的角是217°．答案：217°7．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．解析：由α是第二象限的角可得90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z)，则180°－(180°＋k ·360°)＜180°－α＜180°－(90°＋k ·360°)(k ∈Z)，即－k ·360°＜180°－α＜90°－k ·360°(k ∈Z)，所以180°－α是第一象限的角．答案：一8．一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527， ∴α＝5π6．∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518．答案：5189．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________________． cos π4＝22，解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝sin5π4＝cos 5π4＝－22．根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4．答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π410．已知扇形AOB 的周长为8．(1)若这个扇形的面积为3，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB ．解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝3，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6．(2)法一：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝14l ·2r ≤14⎝ ⎛⎭⎪⎫l ＋2r 22＝14×⎝⎛⎭⎫822＝4，当且仅当2r ＝l ，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴圆心角α＝2，弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1．法二：∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12r (8－2r )＝r (4－r )＝－(r －2)2＋4≤4，当且仅当r ＝2，即α＝lr ＝2时，扇形面积取得最大值4． ∴弦长AB ＝2sin 1×2＝4sin 1．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α＜0 B ．tan α－sin α＜0 C ．cos α－tan α＜0D ．tan αsin α＜0解析：选B ∵α是第三象限角，∴sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A 、C 、D ．2．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0．所以y ＝－1＋1－1＝－1． 3．已知sin α＜0，tan α＞0． (1)求α角的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0, 知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ． (2)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限． (3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2 sin α2 cos α2取正号；当α2在第四象限时， tan α2＜0， sin α2＜0, cos α2＞0，所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式_1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系： tan α＝sin αcos α． 2．诱导公式[小题体验]1．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin(π＋α)＝______．答案：－452．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值为________．答案：21．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐．特别注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号． 3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．[小题纠偏]1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________．答案：－12132．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－31π4＝________， (2)tan ⎝⎛⎭⎫－26π3＝________．答案：(1)22(2) 3考点一三角函数的诱导公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．化简sin(－1 071°)sin 99°＋sin(－171°)sin(－261°)的结果为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．2解析：选C 原式＝(－sin 1 071°)·sin 99°＋sin 171°·sin 261°＝－sin(3×360°－9°)sin(90°＋9°)＋sin(180°－9°)·sin(270°－9°)＝sin 9°cos 9°－sin 9°cos 9°＝0． 2．已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}解析：选C 当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2．3．已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，则tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝________．解析：tan ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π－π6＋α ＝tan ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－33．答案：－334．(易错题)设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α⎝⎛⎭⎫sin α≠－12，则f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝________．解析：∵f (α)＝(－2sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α(1＋2sin α)sin α(1＋2sin α)＝1tan α， ∴f ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π6＝1tan π6＝3．答案： 3[谨记通法]1．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤也就是：“负化正，大化小，化到锐角就好了．” 2．利用诱导公式化简三角函数的要求 (1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值，如“题组练透”第4题．考点二同角三角函数的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值为( )A ．－15B ．－25C ．15D ．25解析：选D 依题意得：tan α＋33－tan α＝5，∴tan α＝2． ∴sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝22－222＋1＝25．2．若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．解析：由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α<0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105．答案：－105[由题悟法]同角三角函数基本关系式的应用技巧[即时应用]1．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A ．125B ．－125C ．512D ．－512解析：选D 法一：因为α为第四象限的角，故cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－5132＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－5131213＝－512．法二：因为α是第四象限角，且sin α＝－513，所以可在α的终边上取一点P (12，－5)，则tan α＝y x ＝－512．故选D ． 2．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23B ．－23C ．13D ．－13解析：选B 因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29．又因为θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( ) A ．－45 B ．45C ．35D ．－35解析：选B 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，即cos(－α)＝45． 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：选D ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3．∵|θ|＜π2，∴θ＝π3．3．(2017·赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α的值为( )A ．45B ．－45C ．2D ．－12解析：选A 由题意可得tan α＝2，所以cos ⎝⎛⎭⎫2 017π2－2α＝sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45．故选A ． 4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝________．解析：∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43．答案：－435．如果sin(π＋A )＝12，那么cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A 的值是________．解析：∵sin(π＋A )＝12，∴－sin A ＝12．∴cos ⎝⎛⎭⎫3π2－A ＝－sin A ＝12．答案：12二保高考，全练题型做到高考达标1．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A ．45B ．－45C ．35D ．－35解析：选B 因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34．又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45．2．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A ．223B ．－223C ．13D ．－13解析：选D ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13． 3．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选B ∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1．∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3． 4．(2017·广州模拟)当θ为第二象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13时，1－sin θcos θ2－sin θ2的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1D ．0 解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫θ2＋π2＝13，∴cos θ2＝13， ∴θ2在第一象限，且cos θ2<sin θ2， ∴1－sin θcos θ2－sin θ2＝－⎝⎛⎭⎫cos θ2－sin θ2cos θ2－sinθ2＝－1．5．计算：cos 350°－2sin 160°sin (－190°)＝( )A ．－ 3B ．－32C ．32D ． 3解析：选D 原式＝cos (360°－10°)－2sin (180°－20°)－sin (180°＋10°)＝cos 10°－2sin (30°－10°)－(－sin 10°)＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°＝3．6．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________．解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α， ∴tan α＝－2， ∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1 ＝－25．答案：－257．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝________．解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ．又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55．答案：558．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan ⎝⎛⎭⎫－π－π3 ＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3 ＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334．答案：－3349．求值：sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°．解：原式＝－sin 1 200°·cos 1 290°＋cos 1 020°·(－sin 1 050°)＋tan 945° ＝－sin 120°·cos 210°＋cos 300°·(－sin 330°)＋tan 225° ＝(－sin 60°)·(－cos 30°)＋cos 60°·sin 30°＋tan 45° ＝32×32＋12×12＋1＝2． 10．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α．解：由已知得sin α＝2cos α． (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16．(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85．三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________．解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912．答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z)．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z)时，f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ；当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z)时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ，综上得f (x )＝sin 2x ． (2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1．第三节三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，(π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z)．[小题体验]1．函数y ＝2－cos x3(x ∈R)的最小正周期为________．答案：6π2．(教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋2的定义域为________________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π3，k ∈Z1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．[小题纠偏]1．函数y ＝4sin(－x )，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数答案：D2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________．解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22．答案：－22考点一三角函数的定义域(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(易错题)函数y ＝1tan x －1的定义域为__________________．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z.故函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z ．答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z 2．函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为______________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧k π<x <k π＋π2，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2．∴函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2．答案：⎣⎡⎭⎫－3，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2 [谨记通法](1)应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域，如“题组练透”第1题易忽视． (2)求复杂函数的定义域时转化为求解简单的三角不等式．考点二三角函数的值域或最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－3 B ．0 C ．－1D ．－1－ 3解析：选A ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1． ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－3．2．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________________．解析：设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤2．∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1．当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1． ∴函数的值域为[－1,1]．答案：[－1,1][由题悟法]三角函数最值或值域的3种求法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域． (3)换元法：把sin x 、cos x 、sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数．[即时应用]求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值．解：令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22． ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，当t ＝－22时，y min ＝1－22．∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22．考点三三角函数的性质(题点多变型考点——多角探明)三角函数的性质主要包括单调性、奇偶性、周期性、对称性，而三角函数的对称性多与奇偶性、周期性结合．常见的命题角度有： (1)三角函数的周期性； (2)三角函数的对称性；(3)三角函数的单调性． [锁定考向][题点全练]角度一：三角函数的周期性1．(2016·山东高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π解析：选B ∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π．故选B ．角度二：三角函数的对称性2．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称解析：选B ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4．当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4， ∴A 、C 错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 正确，D 错误．3．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－ 3 cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ|θ|<π2的图象关于原点对称，则角θ＝( ) A ．－π6B ．π6C ．－π3D ．π3解析：选D ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋θ－π3，且f (x )的图象关于原点对称，∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝0，∴θ－π3＝k π(k ∈Z)，即θ＝π3＋k π(k ∈Z)．又|θ|<π2，∴θ＝π3．角度三：三角函数的单调性4．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________．解析：由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z ．又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4．答案：⎣⎡⎦⎤0，π4 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________．解析：∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32．答案：32[通法在握]1．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0．(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．2．求三角函数单调区间的2种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．[演练冲关]1．最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 解析：选B 由函数的最小正周期为π，排除C ；由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于B ，因为sin ⎝⎛⎭⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选B ． 2．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调减区间为____________．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)．所以函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 3．函数y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为_______．解析：如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝⎛⎭⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π．答案：⎝⎛⎦⎤－π2，0和⎝⎛⎦⎤π2，π一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2017·广州五校联考)下列函数中，周期为π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，选A ．2．(2016·合肥质检)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为( ) A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6解析：选D 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z)，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin ＝π6，故选D ．3．下列各点中，能作为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心的点是( ) A ．(0,0) B ．⎝⎛⎭⎫π5，0 C ．(π，0)D ．⎝⎛⎭⎫3π10，0解析：选D 由x ＋π5＝k π2(k ∈Z)，得x ＝k π2－π5(k ∈Z)，当k ＝1时，x ＝3π10，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心的点是⎝⎛⎭⎫3π10，0，故选D ．4．(2017·湖南六校联考)函数y ＝3sin x ＋3cos xx ∈⎣⎡⎭⎫0，π2的单调递增区间是________．解析：化简可得y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，由2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，得－2π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3．答案：⎣⎡⎦⎤0，π3 5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为______，此时x ＝______．解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：53π4＋2k π(k ∈Z) 二保高考，全练题型做到高考达标 1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C ．⎣⎡⎦⎤π，3π2 D ．⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D ．2．设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34B ．－14C ．－12D ．34解析：选D 由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34． 3．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B ． 4．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2解析：选A 由题意得3cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋φ＝3cos 2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝0， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6．5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，54 B ．⎣⎡⎦⎤12，34 C ．⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54，故选A ． 6．若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k ．又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3．答案：2或37．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________________．解析：由2x ＋π4＝k π(k ∈Z)得，x ＝k π2－π8(k ∈Z)．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z ．答案：⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0，k ∈Z8．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________．解析：由题意得T 2＝π2，T ＝π，ω＝2．又2x 0＋π6＝k π(k ∈Z)，x 0＝k π2－π12(k ∈Z)，而x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以x 0＝5π12．答案：5π129．已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x －2． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值，最小值．解：(1)f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ．故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z ． (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4，∴3π4≤2x ＋π4≤7π4， ∴－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤22，∴－2≤f (x )≤1， ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－2． 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<2π3的最小正周期为π． (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．解：∵f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，∴ω＝2． ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2．(2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时，sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32．又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π．∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3．令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ．∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z ．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2017·衡水中学检测)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝⎛⎭⎫π6，2π3B ．⎝⎛⎭⎫π3，5π6 C ．⎝⎛⎭⎫π2，πD ．⎝⎛⎭⎫2π3，π解析：选B ∵x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝1，∴2×π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π3<x <k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎫π3，5π6，故选B ． 2．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．解：(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z ． (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1．(3)由f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2＝1，可得sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝－12，则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，可解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6．第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3．由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种方法[小题体验]1．(2016·浙江高考)函数y ＝sin x 2的图象是( )答案：D2．函数y ＝23sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的振幅为__________，周期为________，初相为________．答案：23 4π －π43．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______．答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，01．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象． 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数． 3．由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|．[小题纠偏]1．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为________．答案：142．要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移______个单位长度．答案：π6考点一函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象与变换(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．(3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．解：(1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：。

高三文科数学专题复习三角函数、解三角形

高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式A组三年高考真题（2016～2014年）1.(2015 福·建，6)若sin α＝－5，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) 13A. 125125B.－5C.12D.－5122.(2014 大·纲全国，2)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝( )A. 4535B.C.－3545D.－3.(2014 新·课标全国Ⅰ，2)若tan α＞0，则( )A.sin α＞0B.cos α＞0C.sin 2α＞0D.cos 2α＞04.(2016 新·课标全国Ⅰ，14)已知θ是第四象限角，且sin θ＋π＝435，则tan θ－π＝________.45.(2016 四·川，11)sin 750 ＝°________.2α的值是________．6.(2015 四·川，13)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cosB组两年模拟精选(2016～2015 年)1.(2016 济·南一中高三期中)若点(4，a)在1y x2 图象上，则tan a6π的值为( )A.0B.33 C.1 D. 32.(2016 贵·州4月适应性考试)若sin π＋α＝－235，且α∈π，π，则sin(π－2α)＝( )2A. 24 1225 B. 25 C.－12 2425 D.－253.(2016 南·充市第一次适应性考试)已知角α的终边经过点P(2，－1)，则s in α－cos α＝( ) sin α＋cos α13 A.3 B.13C.－D.－34.(2015 乐·山市调研)若点P 在－10π角的终边上，且P 的坐标为(－1，y)，则y 等于( ) 3A. －33B.33C.－ 3D. 35.(2015 石·家庄一模)已知cos α＝k，k∈R，α∈π，π，则sin( π＋α)＝( ) 22 B. 1－k2 C.－k D. ±1－k2A. －1－k6.(2015 洛·阳市统考)已知△ABC 为锐角三角形,且A 为最小角,则点P(sin A-cos B,3cos A-1)位于( )A. 第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.(2016 山·东日照第一次模拟)已知角α为第二象限角，cos π－α＝245，则cos α＝________.8.(2015 湖·南长沙一模)在平面直角坐标系xOy 中，将点A( 3，1)绕原点O 逆时针旋转90°到点B，那么点 B 坐标1为________，若直线O B 的倾斜角为α，则t an 2α的值为 ________.专题二三角函数的图象与性质A组三年高考真题（2016～2014年）π6.(2016 新·课标全国Ⅰ，6)若将函数y＝2sin 2x＋的图象向右平移6 14个周期后，所得图象对应的函数为( )πA. y＝2sin 2x＋4πB.y＝2sin 2x＋3C. y＝2sin 2x－π4πD.y＝2sin 2x－37.(2016 新·课标全国卷Ⅱ，3)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则()πA. y＝2sin 2x－6πB. y＝2sin 2x－3ππ C. y＝2sin x＋6 D. y＝2sin x＋38.(2016 四·川， 4)为了得到函数y＝sin x＋π的图象，只需把函数y＝sin x 的图象上所有的点3( )ππ个单位长度 B.向右平行移动个单位长度 A. 向左平行移动3 3ππ个单位长度 D.向下平行移动个单位长度 C.向上平行移动3 34．(2015 新·课标全国Ⅰ，8)函数 f( x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )1 3，kπ＋A. kπ－4 41 3，k∈Z B. 2kπ－，2kπ＋4 4，k∈Z C. k－1 3，k＋4 41，k∈Z D. 2k－，2k＋434，k∈Z9.(2015 山·东， 4)要得到函数y＝sin 4x－π的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象 ( ) 3A．向左平移π个单位B．向右平移12π个单位12C．向左平移π个单位D．向右平移3π个单位310.(2014 天·津， 8)已知函数f( x)＝3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为π，则f( x)的最小正周期为( ) 3A. π2π2 B.3 C. π D.2 π11.(2014 陕·西， 2)函数 f(x)＝cos 2x＋π的最小正周期是( ) 4A. π2B. πC.2 πD.4 π29.(2014 四·川，3)为了得到函数y＝sin( x＋1)的图象，只需把函数y＝sin x 的图象上所有的点( ) A．向左平行移动1个单位长度B．向右平行移动1个单位长度C．向左平行移动π个单位长度D．向右平行移动π个单位长度10.(2014 浙·江，4)为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x 的图象，可以将函数y＝2cos 3x 的图象( )A. 向右平移π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向左平移12π个单位411.(2014 安·徽，7)若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A. π8πB.43πC.8D.3π4π12.(2014 新·课标全国Ⅰ，7)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos 2x＋，6④y＝tan 2x－π中，最小正周期为π的所有函数为( ) 4A. ①②③B.①③④C.②④D. ①③13.(2014 福·建，7)将函数y＝sin x 的图象向左平移π个单位，得到函数y＝f( x)的图象，则下列说法正确的是( ) 2A. y＝f(x)是奇函数B. y＝f(x)的周期为ππ对称 D.y＝f(x)的图象关于点－C. y＝f(x)的图象关于直线x＝2 π，0 对称214.(2016 新·课标全国Ⅲ，14)函数y＝sin x－3cos x 的图象可由函数y＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.15.(2015 天·津，11)已知函数f( x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f( x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．16.(2015 陕·西，14)如图，某港口一天 6 时到18 时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin πx＋φ＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．617.(2015 湖·南，15)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2 3，则ω＝________.18.(2014 重·庆，13)将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，－ππ≤φ＜)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标2 2不变，再向右平移π个单位长度得到y＝sin x 的图象，则 f6π＝________.63π19.(2015 湖·北，18)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) ω>0，|φ|<在某一个周期内的图象时，列表并2填入部分数据，如下表：ωx＋φ0 π2π3π22πx π35π6Asin(ωx＋φ) 0 5 －5 0(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；π个单位长度，得到y＝g( x)的图象，(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平移6求y＝g(x)的图象离原点O 最近的对称中心．20.(2014 湖·北，18)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：πf(t)＝10－3cos t－sin12 πt，t∈[0,24) ．12(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．21.(2014 四·川，17)已知函数f(x)＝sin 3x＋π4 .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角， f α34π＝cos 2α，求cos α－sin α的值．cos α＋5 4422.(2014 福·建，18)已知函数f(x)＝2cos x(sin x＋cos x)．(1)求f 5π的值；(2)求函数f( x)的最小正周期及单调递增区间．4π23.(2014 北·京，16)函数f(x)＝3sin 2x＋的部分图象如图所示．6(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0 的值；π(2)求f(x)在区间－，－2 π12上的最大值和最小值．B组两年模拟精选(2016～2015 年)12.(2016 四·川成都第二次诊断)将函数f(x)＝cos x＋π的图象上所有点的横坐标缩短为原来的612倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为()ππA. g(x)＝cos 2x＋3B. g( x)＝cos 2x＋6 C.g(x)＝cos x π＋3 D. g(x)＝cos2x π＋2 6π13.(2016 山·西四校联考)已知函数f(x)＝cos ωx＋φ－2πω>0，|φ|<的部分图象如图所示，2π则y＝f x＋取得最小值时x的集合为()6A. x |x＝kπ－π，k∈Z B. x|x＝kπ－6π，k∈Z C. x |x＝2kπ－3π，k∈Z D. x|x＝2kπ－6π，k∈Z3π个单位，所得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的 3.(2015 石·家庄模拟)将函数f(x)＝sin(2 x＋φ)的图象向左平移8 ()一个可能取值为5A. 3πππ4 B.4 C.0 D.－424.(2015 黄·冈模拟)当x ＝π时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f43π－x 是( )4A. 奇函数且图象关于点π，0 对称 B.偶函数且图象关于点( π，0)对称2C.奇函数且图象关于直线x＝π对称 D.偶函数且图象关于点2π，0 对称225.(2015 河·南焦作市统考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜π的最小正周期为π，且其图象向右平移2π个单位后12得到的函数为奇函数，则函数f( x)的图象( )A. 关于点π，0 对称 B.关于直线x＝5π对称 C.关于点2 125π，0 对称 D.关于直线x＝π对称12 1226.(2015 怀·化市监测)函数y＝2sin π－2x 的单调增区间为________. 327.(2015 辽·宁五校联考)已知函数f(x)＝3 3sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的周期为 4.2 2(1)求f(x)的解析式；(2)将f (x)的图象沿x 轴向右平移23个单位得到函数g(x)的图象，P，Q 分别为函数g( x)图象的最高点和最低点(如图)，求∠OQP 的大小.专题三三角恒等变换A组三年高考真题（2016～2014年）14.(2016 新·课标全国Ⅲ，6)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )45 A. －B.－1515C.45D.15.(2016 新·课标全国Ⅱ，11)函数f(x)＝cos 2x＋6cos π－x 的最大值为( ) 2A.4B.5C.6D.716.(2015 重·庆，6)若tan α＝1，tan(α＋β)＝1，则tan β＝( ) 3 2A. 17B.1657C.56D.17.(2016 浙·江，11)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________.62 28.(2016 山·东，17)设f(x)＝2 3sin( －πx)sin x－(sin x－cos x) .(1)求f(x)的单调递增区间；(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π个单位，得到3函数y＝g(x)的图象，求g π的值. 629.(2016 北·京，16)已知函数f(x)＝2sin ωx cos ωx＋cos 2ωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)求f(x)的单调递增区间.30.(2015 广·东，16)已知tan α＝2.(1)求tan α＋π的值；(2)求4sin 2α的值．2sin α＋sin αcos α－cos 2α－12x31.(2015 北·京，15)已知函数f(x)＝sin x－2 3sin .22π(1)求f(x)的最小正周期；(2) 求f(x)在区间0，上的最小值．3732.(2015 福·建，21)已知函数f(x)＝10 3sin xcos2x 2x＋10cos.2 2(1)求函数f(x)的最小正周期；π个单位长度，再向下平移a( a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，(2)将函数f(x)的图象向右平移6且函数g(x)的最大值为2.①求函数g( x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g( x0)＞0.π，x∈R，且 f 33.(2014 广·东，16)已知函数f(x)＝Asin x＋3 5π 3 2＝.12 2(1)求A 的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝3，θ∈0，π，求 f2π－θ.62A－B＋4sin Asin＝2＋ 2. 11.(2014 浙·江,18)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a ,b, c.已知4sin2(1)求角C 的大小；(2)已知b＝4,△ABC 的面积为6,求边长 c 的值．B组两年模拟精选(2016～2015 年)318.(2016 江·西九校联考)已知α∈π，π，cos α＝－2 4，则tan5π－α等于( )4A.7B. 17C.－17D.－719.(2016 洛·阳统考)若α∈[0，2π，)则满足1＋sin 2α＝sin α＋cos α的α的取值范围是( )π2 B.[0，π] C. 0，A. 0，3π3π4 D. 0，∪44D. 0，∪7π，2π41 20.(2016 河·南六市联考)设a＝cos2 －°23sin 2 ，°b＝22tan 14 °，c＝1－tan214°214°1－cos 50 °，则有()2A. a< c<bB. a<b<cC.b<c<aD.c< a<b834.(2015 大·庆市质检二 )已知 sin α＝ 52 2，则 sin α－cos α的值为 ( ) 41 8 A. － 3 8 B.－ 1 8 C. 3 8 D.35.(2015 烟·台模拟 )已知 cos α＝ 3 5，cos(α＋ β)＝－5 ， α，β都是锐角，则 cos β等于( )13 63 65 A. － 33 65 B.－ 33 65 C. 63 65 D. 36.(2015 河·北唐山模拟 )已知 2sin 2α＝1＋cos 2α，则 tan 2α＝( )A. 4 3B.－ 4 34 3 或 0 D.－ C.4 3 或 0 37.(2015 巴·蜀中学一模 )已知sin αcos α ＝ 1－cos 2α 1 2 ，tan(α－ β)＝1 2，则 tan β＝________.4 1338.(2015 河·南洛阳统考 )已知向量 a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，|a －b |＝ .13 π (1)求 cos(α－ β)的值；(2)若 0＜α＜，－ 2π ＜β＜0 且 sin β＝－ 24 5，求 sin α的值. 专题四解三角形A 组三年高考真题（ 2016～2014 年）21.(2016 新·课标全国Ⅰ， 4)△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.已知 a ＝ 5，c ＝2，cos A＝2 3，则 b ＝( )A. 2B. 3C.2D.32＝2b2(1－sin A)，则A＝( ) 2.(2016 山·东，8)△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，已知b＝c，aA. 3π4 B.ππ3 C.4 D.π63.(2015 广·东,5)设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a＝2,c＝2 3,cos A＝A. 3B.2 2C.2D. 33,且b< c,则b＝( ) 2939.(2014 四·川，8)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC 等于( )A．240( 3－1)m B．180( 2－1)m C．120( 3－1)m D．30( 3＋1)m40.(2016 新·课标全国Ⅱ，15)△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，4 5若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________.5 132π，a＝3c，则41.(2016 北·京，13)在△ABC 中，∠A＝3 bc＝________.2π，则∠B＝________. 7.(2015 北·京，11)在△ABC 中，a＝3，b＝6，∠A＝322.(2015 重·庆，13)设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－14，3sin A＝2sin B，则c＝________.23.(2015 安·徽，12)在△ABC 中，AB＝6，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.24.(2015 湖·北，15)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.25.(2014 新·课标全国Ⅰ，16)如图，为测量山高MN ，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点．从 A 点测得M26.点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.π，a＝1，12.(2014 湖·北，13)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知A＝6b＝3，则B＝________.4.(2014 福·建，14)在△ABC 中，A＝60°，AC＝2，BC＝3，则AB 等于________．5.(2014 北·京，12)在△ABC 中，a＝1，b＝2，cos C＝14，则c＝________；sin A＝________.6.(2016 浙·江，16)在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acos B.(1)证明：A＝2B；(2)若cos B＝2，求cos C 的值. 37.(2016 四·川，18)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，且c os A cos B sin C＋＝.a b c102＋c 2－a 2＝6 (1)证明： sin Asin B ＝sin C ； (2)若 b5bc ，求 tan B.42.(2015 江·苏， 15)在△ABC 中，已知 AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求 BC 的长； (2)求 sin 2C 的值．43.(2015 新·课标全国Ⅱ， 17)在△ABC 中，D 是 BC 上的点， AD 平分∠ BAC ，BD ＝2DC .44. sin ∠ B ； (2)若∠BAC ＝60°，求∠ B.(1)求sin ∠ C45.(2015 天·津， 16)在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.已知 △ABC 的面积为 3 15，b －c ＝2，cos A ＝－1 . 4(1)求 a 和 sin C 的值； (2)求 cos 2A ＋π 的值．646.(2015 山·东， 17)在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.已知 cos B ＝ 3，3sin (A ＋B)＝ 6，ac ＝2 3，求 sin A 和 c 的值．947.(2015 湖·南， 17)设△ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，a ＝btan A.(1)证明： sin B ＝cos A ； (2)若 sin C －sin Acos B ＝3 4，且 B 为钝角，求 A ，B ，C.48.(2015 浙·江， 16)在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.已知 tan π ＋A ＝2. 4sin 2A (1)求sin 2A ＋cos2 A 的值； (2)若 B ＝π ，a ＝3，求 △ABC 的面积． 449.(2015 新·课标全国Ⅰ,17)已知a,b,c 分别为△ABC 内角A,B,C 的对边,sin2B＝2sin Asin C.(1)若a＝b,求cos B；(2)设B＝90°,且a＝2,求△ABC 的面积．1150.(2014 重·庆，18)在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且a＋b＋c＝8.(1)若a＝2，b＝52，求cos C 的值；2B 2A＋sin Bcos ＝2sin C，且△ABC 的面积S＝2 2(2)若sin Acos 92sin C，求a 和b 的值．51.(2014 山·东，17)△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b ,c .已知a＝3，cos A＝(1)求b 的值；(2) 求△ABC 的面积．6，B＝A＋3π.252.(2014 陕·西，16)△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.(1)若a，b，c 成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；(2)若a，b，c 成等比数列，且c＝2a，求cos B 的值．53.(2014 湖·南，19)如图，在平面四边形ABCD 中，DA⊥AB，DE ＝1，EC＝7，EA＝2，2ππ∠ADC＝，∠BEC＝327.(1)求sin∠CED 的值；(2)求BE 的长．B 组两年模拟精选(2016～2015 年)2＋b2－c2)tan C＝ab ,则角 C 为( ) 1.(2016 湖·南四校联考)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若(aA. π或65π6π2πB. 或3 3πC.62πD.32＝(a－b)2＋6，C＝π 2.(2016 河·南三市调研)△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若c3 面积为( )9 3 3 3A.3B. 2C.2 D.3 38.(2016 济·南一中检测)在△ABC 中，内角A，B，C 对边的边长分别为a，b，c，A 为锐角，lg b＋lg 1c＝lg sin A＝－lg 2，则△ABC 为( )A. 等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2＋b22－b29.(2015 山·东省实验中学三诊)在△ABC 中，若(aA. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形10.(2015 江·西赣州摸底)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B(如图)，要测算两点的距离，测量人员在岸边定出基线BC，测得BC＝50 m，∠ABC＝105°，∠BCA＝45°，就可以计算出A，B 两点的距12离为( )25 2m2A.50 2 mB.50 3 mC.25 2 mD.54.(2015 湖·南十二校联考)在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，2－b2a若tan A＝7tan B，＝3，则c＝( )cA.4B.3C.7D.61，则sin A＝________. 7.(2016 湖·南株洲 3 月模拟)在△ABC 中，a＝1，b＝2，cos C＝428.(2015 太·原模拟)在△ABC 中，已知(sin A＋sin B＋sin C) ·(sin B＋sin C－sin A)＝3sin Bsin C.(1) 求角A的值；(2) 求3sin B－cos C的最大值13高考文科数学专题复习三角函数、解三角形专题一三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）55.解析∵sin α＝－5 12 sin α，且α为第四象限角，∴cos α＝，∴tan α＝＝－13 13 cos α5，故选D. 答案 D1256.解析记P(－4，3)，则x＝－4，y＝3，r＝|OP |＝（－4）2＋32＝5，故cos α＝x＝＝r－4＝－545，故选D.57.解析由tan α＞0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号，故sin 2α＝2sin αcos α＞0，故选C. 答案 Cπ58.解析由题意，得cos θ＋＝4π4，∴tan θ＋＝5 4ππ3.∴tan θ－＝tan θ＋－4 4 4π＝－21tan θ＋＝－π443. 答案159.解析∵sin θ＝sin( k·360°＋θ)，(k∈Z)，∴sin 750 ＝°sin(2 3×60°＋30°)＝sin 30 ＝°. 答案2 1 260.解析∵sin α＋2cos α＝0，∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，2α＝又∵2sin αcos α－cos22sin α·c os α－cosα＝2 2sin α＋cosα2tan α－12，∴原式＝tan α＋12×（－2）－1（－2）2＋1 ＝－1.答案－12＋1 ＝－1. 答案－1 B组两年模拟精选(2016～2015 年)12＝2，∴tan 29.解析∵a＝4 a6π＝ 3. 答案 D30.解析由sin π＋α＝－235得cos α＝－35，又α∈π4，π，则s in α＝，2 5所以sin( π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－2425. 答案 D31.解析因为角α终边经过点P(2，－1)，所以tan α＝－12，sin α－cos α＝sin α＋cos αtan α－1＝tan α＋1－－1212－1＝－3，故选D.＋110π＝－4π＋32.解析－3 2π，所以－310π2π与的终边相同，所以tan3 32π＝－3＝－y，则y＝ 3. 答案 D333.解析因为α∈π，π，所以sin α>0，则s in(π＋α)＝－sin α＝－1－cos2 α＝－1－k2，故选A. 答案 A 2ππ即A＞－B，且A∈0，34.解析由题意得，A＋B＞2 2 π，3π－B＞0，2故sin A＞sin π－1＝1－B ＝cos B，即sin A－cos B＞0，3cos A－1＞3×1，故点P 在第一象限. 答案 A 2 2 235.解析sin α＝cos π42－α＝，又α为第二象限角，所以cos α＝－1－sinα＝－2 5311. 答案－358.解析设点A( 3，1)为角θ终边上一点，如图所示，|OA |＝2，14由三角函数的定义可知：s in θ＝12，cos θ＝3，则θ＝2kπ＋2π(k∈Z)，则A(2cos θ，2sin θ)，6设B(x，y)，由已知得x＝2cos θ＋π2π＝2cos 2kπ＋＝－1，y＝2sin θ＋2 3π2＝2sin 2kπ＋π＝3，2 3所以B(－1，3)，且tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α＝ 3. 答案(－1，3) 3 1－tan2α2α专题二三角函数的图象与性质A组三年高考真题（2016～2014 年）答案精析61.解析函数y＝2sin 2x ＋ππ的周期为π，将函数y＝2sin 2x＋的图象向右平移6 614个周期即π个单位，所得函数为4πy＝2sin 2 x－4 ＋π＝2sin 2x－6π，故选 D. 答案 D362.解析由题图可知，T＝2 π－－3π6π＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×＋φ＝3π，所以φ＝－2π，6所以函数的解析式为y＝2sin 2x－π，故选 A. 答案 A 663.解析由y＝sin x得到y＝sin(x±a)的图象，只需记住“左加右减”的规则即可. 答案 A64.解析由图象知T2＝54－14＝1，∴T＝2.由选项知 D 正确．答案 D65.解析∵y＝sin 4x－π＝sin 4 x－3π12，π∴要得到函数y＝sin 4x－的图象，只需将函数y＝sin 4x 的图象向右平移3 π个单位．答案 B 1266.解析由题意得函数f(x)＝2sin ωx ＋π6 (ω＞0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1 相邻交点距离的最小值是π，3由正弦函数的图象知，ωx＋π＝6ππ和ωx＋＝6 65ππ对应的x 的值相差，即6 32ππ＝，解得ω＝2，3ω 32π所以f(x)的最小正周期是T＝＝π. 答案 Cω2π＝π. 答案 B 7.解析由余弦函数的复合函数周期公式得T＝236.解析由图象平移的规律“左加右减”，可知选 A. 答案 Aπ37.解析因为y＝sin 3x＋cos 3x＝2cos 3x－，所以将y＝2cos 3x 的图象向右平移4π个单位后可得到12y＝2cos 3x－π的图象．答案 A 10.解析方法一f(x)＝2sin 2x＋4π，4π将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2sin 2x＋－2φ，由该函数为偶函数4π可知2φ－＝kπ＋4 πkπ3π，k∈Z，即φ＝，k∈Z，所以φ的最小正值为＋2 2 83π.8方法二f(x)＝2cos 2x－π，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位后所得图象对应的函数为4y＝2cos 2x－π－2φ，且该函数为偶函数，故2φ＋4π＝kπ，k∈Z，所以φ的最小正值为4153π8 . 答案 Cπ 67.解析 ①y ＝cos|2x |，最小正周期为 π；② y ＝ |cos x|，最小正周期为 π；③ y ＝cos 2x ＋6，最小正周期为 π；④y ＝tan 2x － π ，最小正周期为 4 π ，所以最小正周期为π的所有函数为①②③，故选A .答案 A2π π个单位后，得到函数 f(x)＝sin x ＋＝cos x 的图象， f(x)＝cos x 为偶函数， 68.解析函数 y ＝sin x 的图象向左平移 2 2 排除 A ；f (x)＝cos x 的周期为 2π，排除 B ；因为 f π π ＝cos ＝0，所以 f(x)＝cos x 不关于直线x ＝2 2π 对称，排除 C ； 2故选D . 答案 Dπ π 69.解析 y ＝sin x － 3cos x ＝2sin x －，由 y ＝2sin x 的图象至少向右平移个单位长度得到 . 答案 3 3π 370.解析 f(x)＝sin ωx ＋cos ωx ＝ 2sin ωx ＋ π ，由－ 4 π ＋2k π≤ωx ＋ 2π π ＋2k π，k ∈Z ，≤ 4 2得－ 3π π＋2k π≤ωx≤ ＋2k π，由题意f ( x)在区间(－ω，ω)内单调递增，可知 k ＝0，ω≥4 4π ， 2 又函数 y ＝f(x)的图象关于直线x ＝ ω对称，所以 sin(ω 2＋π 2＋π4)＝1，ω ＝4 π ，所以 ω＝ 2π 2 . 答案 π 2 71.解析由题干图易得 y min ＝k － 3＝2，则k ＝5， ∴y max ＝k ＋3＝ 8. 答案 872.解析由y ＝2sin ωx ， y ＝2cos ωx ，π知 sin ωx ＝cos ωx ，即 sin ωx － cos ωx ＝0， ∴ 2sin ωx －＝0，4π1∴ ωx ＝＋k π，x ＝4 ωπ ＋k π(k ∈ Z )， ∴两函数交点坐标为 4 1 ω π ＋k π， 2 (k ＝0，2，4，⋯ )， 4或 1 ω π ＋k π，－ 2 (k ＝⋯ ，－ 3，－ 1，1，3， ⋯ ) ∴最短距离为（2 2）2＋ 4 2 π 2＝2 3， ω ∴ 2 ππ 2＝4，∴ω＝2. 答案 ωπ2 π 个单位长度得到 y ＝sin x ＋ 73.解析把函数 y ＝sin x 的图象向左平移6π 的图象，6 π再把函数 y ＝sin x ＋图象上每一点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，6 得到函数 f(x)＝sin 1 πx ＋的图象，所以 f 2 6π ＝sin 61 π ＋ ×2 6π π ＝sin ＝ 6 42 2 . 答案 2 2 74.解 (1)根据表中已知数据，解得 A ＝5， ω＝2， φ＝－ π.数据补全如下表：6ωx ＋ φ0 π 2π 3π 2 2πx π12π37π125π61312πAsin(ωx＋φ) 0 5 0 －5 0π且函数表达式为f(x)＝5sin 2x－6 .πππ，因此g(x)＝5sin 2 x＋－＝5sin 2x＋(2)由(1)知f(x)＝5sin 2x－6 6 6 π. 616π＝kπ，解得x＝kπ因为y＝sin x 的对称中心为(kπ，0)，k∈Z. 令2x＋－6 2 π，k∈Z.12即y＝g(x)图象的对称中心为kπ－2π，0 ，k∈Z，其中离原点O 最近的对称中心为－12π，0 .1275.解(1)f(8)＝10－3cos π×8 －sin12π×8 ＝10－3cos122π－sin32π 1＝10－3×－3 2－3＝10.2故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f(t)＝10－232 cosπ 112t＋2sinπ12t ＝10－2sinπt＋12π，又0≤t＜24，所以3πππ≤12t＋＜3 37π，3－1≤sin ππt＋12 3 ≤ 1. 当t＝2 时，sinππ＝1；当t＝14 时，sint＋12 3ππ＝－1.t＋12 3于是f(t)在[0，24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.76.解(1)由－ππ＋2kπ≤x3＋≤2 4π＋2kπ，k∈Z，得－2π2kππ2kπ＋≤x≤＋，k∈Z.4 3 12 3所以函数f(x)的单调递增区间为－π＋42kπ，3π＋122kπ，k∈Z.3(2)由已知，有sin α＋ππ42 2＝α)，cos α＋(cos α－sin4 5 4所以sin αcos π＋cos αsin4π＝445cos αcosπ－sin αsin4π24 (cos2α－sin α)，4(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．即sin α＋cos α＝53π当sin α＋cos α＝0 时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z，此时cos α－sin α＝－ 2.4当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α).4由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－5 2 .综上所述，cos α－sin α＝－2或cos α－sin α＝－5 . 277.解f( x)＝2sin xcos x＋2cos2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin 2x＋2x＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin 2x＋π＋1. 4(1) f 5π11ππ＝2sin ＋1＝2sin ＋1＝2.4 4 42πππ＝π. 由2kπ－(2) T＝≤2x＋≤2kπ＋2 2 4 π3π，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋2 8π，k∈Z.83ππ，kπ＋所以f(x)的单调递增区间为kπ－，k∈Z.8 878.解(1) f(x)的最小正周期为π，x0＝7π，y0＝3. 6(2)因为x∈－π，－2π12，所以2x＋π∈－65π，0 . 于是当2x＋6π＝0，即x＝－6π时，f( x)取得最大值0；1217当2x＋π＝－6π，即x＝－2π时，f(x)取得最小值－ 3.3B组两年模拟精选(2016～2015 年)79.解析横坐标缩短为原来的1π倍，纵坐标不变，则有g(x)＝cos 2x＋6 . 答案 B 280.解析依题意得T ＝2π＝4ω7ππ－＝π，ω＝2，f12 3ππ＝cos φ＋＝1，3 6π又|φ|<，因此φ＝－22ππ，所以f(x)＝cos 2x－3 . 6ππ当f x＋＝cos 2x－取得最小值时，2x－6 3 π＝2kπ－π，k∈Z，即x＝kπ－3π，k∈Z，答案 B3π个单位，得g(x)＝sin 2 x＋81.解析函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移8 π＋φ＝sin 2x＋8π＋φ的图象，4又g(x)的函数图象关于y 轴对称，所以g(x)为偶函数，所以ππ＋φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋4 2π(k∈Z)，4当k＝0 时，φ＝π，故选B. 答案 B 4ππ时，函数f( x)＝Asin( x＋φ)( A＞0)取得最小值，即＋φ＝－82.解析当x＝4 4 π＋2kπ，k∈Z，即φ＝－23π＋2kπ，k∈Z43π3π所以f(x)＝Asin x－－x)＝Asin(A＞0)，所以y＝f(4 4 3π－x＋43π＝－Acos x，4所以函数为偶函数且图象关于点π，0 对称，选D. 答案 D 283.解析f(x)＝2sin π－2x ＝2cos 2x＋3ππ，π＋2kπ≤x2＋≤2＋π2kπ，k∈Z，6 6即5π11π＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 答案12 125π11π＋kπ，＋kπ(k∈Z)12 1284.解析由于函数f(x)＝sin(ωx＋φ) ω＞0，|φ|＜π2π的最小正周期为π，故＝π，ω＝2. 2ωπ把其图象向右平移个单位后得到函数的解析式为y＝sin 2 x－12π12＋φ＝s in 2x－π＋φ，为奇函数，6∴－π＋φ＝kπ，∴φ＝kπ＋6ππ，k∈Z，∴φ＝，∴函数f(x)＝sin 2x＋6 6π6 .令2x＋πkπ＝kπ，k∈Z，可得x＝－6 2π，k∈Z，故函数的对称中心为12kππ－，0 (k∈Z ).2 12故点5π，0 是函数的一个对称中心.答案 C 1285.解(1) f(x)＝3 32 sin ωx＋2cos ωx＝ 312sin ωx＋32 cos ωx＝3 sin ωx cosπ＋cos ωx sin3π＝3sin ωx＋3π3 .2ππ∵T＝4，ω＞0，∴ω＝＝. ∴f(x)＝3sin4 2 ππx＋.2 32π个单位得到函数g(x)＝3sin (2)将f(x)的图象沿x轴向右平移x.3 2∵P，Q 分别为该图象的最高点和最低点，∴P(1，3)，Q(3，－3).18∴OP＝2，PQ＝4，OQ＝12，∴cos∠OQP＝2＋PQ2－OP22OQ·QPOQ＝3.2∵∠OQP 是△OPQ 的一个内角，∴∠OQP＝π. 6专题三三角恒等变换答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）86.解析tan θ＝－132θ－sin2θ＝，则c os 2θ＝cos2 2cos θ－sin2 2θ＝cos θ＋sin θ221－tanθ＝1＋tan θ45. 答案 D87.解析因为f(x)＝cos 2x＋6cos π2－x ＝1－2sinx＋6sin x＝－2 sin x－232211＋，2所以当sin x＝1 时函数的最大值为5，故选B. 答案 Btan（α＋β）－tan α88.解析tan β＝tan[(α＋β)－α] ＝＝1＋tan（α＋β）tan α1 1－2 3＝1. 答案 A1 1 7×1＋2 389.解析∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2 22x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝ 2 22 cos 2x＋22 sin 2x ＋1＝2sin 2x＋π＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，4∴A＝2，b＝1. 答案 2 12＝2 3sin2x－(1－2sin xcos x) 5.解(1)由f( x)＝2 3sin( －πx)sin x－(sin x－cos x)π＝3(1－cos 2x )＋sin 2x－1＝sin 2x－3cos 2x＋3－1＝2sin 2x－＋3－1.3由2kπ－π≤2x－2ππ≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－3 2π≤x≤kπ＋125π(k∈Z).12π5π，kπ＋所以f(x)的单调递增区间是kπ－12 (k∈Z) 或kπ－12 π，kπ＋125π（k∈Z）.12π (2)由(1)知f(x)＝2sin 2x－＋3－1，3把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，π得到y＝2sin x－＋3－1 的图象.3π再把得到的图象向左平移个单位，得到y＝2sin x＋3－1 的图象，3即g(x)＝2sin x＋3－1. 所以g π＝2sin6π＋3－1＝ 3.638.解(1) f(x)＝2sin ωx·cos ωx＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝ 222 sin 2ωx＋22 cos 2ωx＝2sin 2ωx＋π4由ω＞0，f(x)最小正周期为π得2π＝π，解得ω＝1.2ω19π (2)由(1)得 f(x)＝ 2sin 2x ＋，令－ 4π π ＋2k π≤ x 2＋ ≤ 2 4π ＋2k π，k ∈Z ，解得－ 23π π ＋ k π≤x ≤ ＋k π，k ∈Z ，8 8 即 f(x)的单调递增区间为－ 3ππ＋k π，＋k π(k ∈Z ). 8 8 π 90.解 (1)tan α＋＝ 4 tan α＋tan 1－tan αtan π 4 ＝ π 4 tan α＋1 2＋1＝＝－ 3.1－tan α 1－2 (2) sin 2α ＝ 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 sin2sin αcos α 2α＋ sin αcos α－（ 2cos 2α－1）－ 1sin 2sin αcos α2tan α 2×2＝＝1.＝＝22＋2－222sin α＋sin αcos α－2costan α＋tan α－2 2απ－ 3. 所以 f(x)的最小正周期为 2π. 8.解 (1)因为 f(x)＝sin x ＋ 3cos x － 3.＝2sin x ＋3 (2)因为 0≤x ≤ 2π 时，所以 3 π ≤ x ＋ 3 π π ≤ π .当 x ＋＝ π，即 x ＝ 3 3 2π 时， f( x )取得最小值．3所以 f(x)在区间0， 2π 上的最小值为 f 3 2π ＝－ 3.339.(1)解因为 f(x)＝10 3sin x cos 2x 2x π＋10cos ＝ 5 3sin x ＋5cos x ＋5＝10sin x ＋＋5，2 2 6 所以函数 f(x)的最小正周期 T ＝2π. π个单位长度后得到y ＝10sin x ＋5 的图象，再向下平移a (2)证明 ①将 f(x)的图象向右平移6(a ＞0)个单位长度后得到g ( x )＝10sin x ＋5－a 的图象．又已知函数 g(x)的最大值为 2，所以 10＋5－a ＝ 2，解得 a ＝ 13. 所以 g(x)＝10sin x －8. ②要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x 0，使得 g(x 0)＞ 0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x 0，使得 10sin x 0－8＞ 0，即 sin x 0＞ 412.由4 5＜ 3 4π 知，存在 0＜α0＜，使得 sin α0＝ 2 39.4由正弦函数的性质可知，当 x ∈(α0，π－ α0)时，均有s in x ＞. 因为 y ＝sin x 的周期为 2π，5 4所以当 x ∈(2k π＋ α0，2k π＋ π－ α0)( k ∈Z )时，均有s in x ＞.5因为对任意的整数k ，(2k π＋ π－ α0)－(2 k π＋ α0)＝π－2α0＞π＞1，34 所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sin x k＞.5 亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.π10.解(1)∵f(x)＝Asin x＋，且 f3 5π 3 2＝12 2，∴Asin5ππ＋＝12 33 22? Asin3π＝43 22? A＝3.π(2)由(1)知f(x)＝3sin x＋，∵f(θ)－f(－θ)＝3，∴3sin(θ＋3 π)－3sin －θ＋3π＝3，3展开得 3 12sin θ＋32 cos θ－332 cos θ－12sin θ＝3，化简得sin θ＝33 .20π∵θ∈0，，∴cos θ＝263 . ∴fπ－θ＝3sin6π－θ＋6π＝3sin3π－θ＝3cos θ＝ 6.291.解(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sin Asin B＝2＋2，化简得－2cos Acos B＋2sin Asin B＝2，故cos(A＋B)＝－2 3ππ，从而C＝2 . 所以A＋B＝ 4.41π(2)因为S△ABC＝absin C，由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3 2，2 4由余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，得c＝10.B组两年模拟精选(2016～2015 年)3π，cos α＝－40.解析∵α∈π，2 45，∴sin α＝－35，sin α 3∴tan α＝＝，∴tancos α 4 π1－tan α－α＝＝41＋tan α17. 答案 B41.解析由1＋sin 2α＝sin α＋cos α得sin α＋cosα＝2sin α＋π≥0，43π又因为α∈[0，2π，)所以α的取值范围为0，∪4 7π，2π，故选D. 答案 D 442.解析利用三角公式化简得a ＝12cos 2 －°32 sin 2 ＝°c os(60 ＋°2°)＝cos 62 ＝°s in 28 ，°b＝tan 28 ，°c＝sin2 25 °＝sin 25 . °因为s in 25 <°s in 28 °<tan 28 °，所以c<a<b，故选D. 答案 D2 2 243.解析sin α－cos α＝－cos 2α＝2sin α－1＝－38. 答案 B44.解析∵α，β是锐角，∴0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－ 5 3 ＜0，cos α＝，13 5∴π12＜α＋β＜π，∴sin(α＋β)＝，sin α＝2 13413.又cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－5 3×＋13 512 4 33＝. 答案 C×13 5 652 14.解析因为2sin 2α＝1＋cos 2α，所以2sin 2α＝2cos α，1 所以2cos α·(2sin α－cos α)＝0，解得cos α＝0 或tan α＝.2π若cos α＝0，则α＝kπ＋，k∈Z，2α＝2kπ＋π，k∈Z ，所以tan 2α＝0；21 2tan α 4若tan α＝，则t an 2α＝＝10. 综上所述，故选C. 答案 C221－tan αsin αcos α11.解析∵＝1－cos 2αs in αcos α2α＝2sincos α＝2sin α12，∴tan α＝1.tan α－tan β 1∵tan(α－β)＝＝，∴tan β＝1＋tan αtan β 2 13. 答案138.解(1)∵a－b＝(cos α－cos β，sin α－sin β)，∴|a－b|2＝(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2＝2－2cos(α－β)，21∴16 5＝2－2cos(α－β)，∴cos(α－β)＝1313.π(2)∵0＜α＜，－2 π＜β＜0 且sin β＝－245，∴cos β＝35且0＜α－β＜π.又∵cos(α－β)＝5，∴sin(α－β)＝131245.12 3×∴sin α＝sin[( α－β)＋β]＝sin(α－β) ·c os β＋cos(α－β) ·s in β＝＋13 55×－1345＝16.65专题四解三角形答案精析A组三年高考真题（2016～2014年）2＋22－2×b×2×2，解得b＝3 b＝－15.解析由余弦定理，得5＝b3 13舍去，故选D.答案 D2＝b2＋c2－2bccos A，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cos A)，又∵a2＝2b2(1－sin A)，16.解析在△ABC 中，由余弦定理得 aπ∴cos A＝sin A，∴tan A＝1，∵A∈(0，π，)∴A＝，故选C.答案 C42＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－2×b×2 3× 317.解析由余弦定理 a，即 b2－6b＋8＝0，2∴b＝4 或b＝2，又b< c，∴b＝2. 答案 C18.解析∵tan 15 ＝°t an(60 －°45°)＝tan 60 －°t an 45 °＝2－3，1＋tan 60 ta°n 45 °∴BC＝60tan 60 °－60tan 15 °＝120( 3－1)(m)，故选C. 答案 C19.解析在△ABC 中由cos A ＝4 5，cos C＝，可得sin A＝5 133 12，sin C＝，5 1363 asin B 21，由正弦定理得b＝＝sin B＝sin( A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝.答案65 sin A 13 21 13a 20.解析由＝sin Ac csin A得sin C＝＝sin C a1 3 1 π＝，又0＜C＜，所以C＝×2 2 33ππ，B＝π－(A＋C)＝611.所以bc＝πsinsin B 6＝＝1. 答案 1 sin Cπsin6bsin ∠A12.解析由正弦定理得sin ∠B＝＝a2π6sin33＝2π，因为∠ A 为钝角，所以∠B＝. 答案2 4π413.解析由3sin A＝2sin B，得3a＝2b，∴b＝32a＝32×2＝3，在△ABC 中，由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos C＝22＋32－2×2×3×－1＝16，解得c＝4. 答案 4。

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