天津市十二校联考2017-2018届高考二模数学(理)试题含答案.docx
天津市十二区县重点中学2017高三毕业班联考(数学理)(含答案)word版
• 锥体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高.π π 22017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页.考试结束后，将 II 卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题，共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它 答案，不能答在试卷上.参考公式：·如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( AB ) = P ( A ) + P (B )•柱体的体积公式V = Sh . 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高.13一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1. 已知复数 z = 1 - i ，则z 2 z - 1=A. 2B. －2C. 2iD. －2i2．命题“函数 y = f ( x ) ( x ∈ M ) 是偶函数”的否定是A ． ∀x ∈ M ， f (- x ) ≠ f ( x )B. ∃x ∈ M ,C. ∀x ∈ M ， f (- x ) = f ( x )D. ∃x ∈ M ,f (- x ) ≠ f ( x )f (- x ) = f ( x )3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是A ． 3 3 32 + π2 25 32 32 128B ． 3 3 +C ． 9 3 +D ． 9 3 +25 25 25π1.621.5正视图俯视图4. 如果执行右面的程序框图，输入 n = 6, m = 4 ，那么输出的 p 等于A ．720 B. 360 C. 180 D. 60邻交点的距离等于πA.(ππ8．已知g(x )=mx+2，f(x)=x2-，若对任意的x∈[-1,2]，总存在x∈[1,3]，x25．已知函数f(x)=sinωx-3cosωx(ω>0)的图象与x轴的两个相π，若将函数y=f(x)的图象向左平移个单位26得到函数y=g(x)的图象，则y=g(x)是减函数的区间为ππππ,) B.(-,) C.(0,) D.(-,0)434433⎧2,x>16.已知函数f(x)=⎨，则不等式f(1-x2)>f(2x)的解集是⎩(x-1)2+2,x≤1A．{x|-1<x<-1+2}B．{x|x<-1,或x>-1+2}C．{x|-1-2<x<1}D．{x|x<-1-2,或x>2-1}1 17．在平行四边形ABCD中，AE=AB,AF=AD,CE与BF相交于G点.若34AB=a,AD=b,则AG=2 1 23 3 14 2A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b777777773x2-412使得g(x)>f(x)，则m的取值范围是12A．{0}B．(-1121,1)C．(-,)D．(,1) 23322017年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）第Ⅱ卷(非选择题，共110分)(t 为参数）与曲线： ⎨y = 3sin θ ( ) ( )( )2 ( ,注意事项：1．第Ⅱ卷共 6 页，用蓝、黑色的钢笔或圆珠笔直接答在试卷中． 2．答卷前，请将密封线内的项目填写清楚．题号 二三15 16 17 18 1920总分分数得分 评卷人二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为．⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ ⎩ （θ 为参数） 相交于 A , B 两点,则 | AB |= ．3 511．已知离心率为 的双曲线 C :5 x 2 y 2 - a 2 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物线 y 2 = 2mx 的焦点重合，则实数 m = _________．112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23f (3) + f ( - ) 的值等于 ．213. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为 1 3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6k -1 k14. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的 五位数的个数是 ．（用数字作答）三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos 2 ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．16．（本小题满分 13 分）得分 评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作 为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为 (490,495]，(495,500]，. . . ， (510,515].由此得到样本的频率分布直方图，如图所示ξ 得分 评卷人17. （本小题满分 13 分）= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 2（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过 505 克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40 件产品中任取2 件，设ξ 为重量超过505 克的产品数量，求 的分布列； （Ⅲ）从流水线上任取 5 件产品，估计其中恰有 2 件产品的重量超过 505 克的概率.如图，在三棱柱 ABC - A B C 中， AB ⊥ AC ，顶点 A 在底面 ABC 上的射影恰为点 B ， 1 1 11且 AB = AC = A B = 2 ．1（Ⅰ）证明：平面 A AC ⊥ 平面 AB B ；1 1（Ⅱ）求棱 AA 与 BC 所成的角的大小；1（Ⅲ）若点 P 为 B C 的中点，并求出二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值．1 1 1C 1A 1B 1CAB得分 评卷人18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；e 0 n +1=⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足0 f ' ( x ) 20 = (t - 1)2 ,并确定这样的 x 的个数. x 320．（本小题满分 14 分）得分 评卷人已知数列{a n}满足： a 1= 3 ， a3a - 2 nan， n ∈ N * ．⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；nnn +1nnnn n+1的最大值．（Ⅲ）设c=n2(a-2)，求c cn n2 ( ) ( ) ( )已知向量 m = ( 3sin ,1),n = (cos ,cos ) ， f ( x ) = m ⋅ n ．( ,2017 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）数学试卷（理科）答案一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分） ABCB ADCB二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．如图， CD 是圆 O 的切线, 切点为 C , 点 B 在圆 O 上，BC = 2, ∠BCD = 30︒ ，则圆 O 的面积为 ． 答案： 4π⎧ x = 2 + 2t10．若曲线 ⎨ ⎩ y = -1 + t⎧ x = -1 + 3cos θ (t 为参数）与曲线： ⎨⎩ y = 3sin θ（θ 为 参数）相交于 A , B 两点,则 | AB |= ． 答案： 43 511．已知离心率为 的双曲线 C : 5 x 2 y 2 - a 4= 1(a > 0) 的左焦点与抛物 线y 2 = 2 的焦点重合，则实数 m = _________． 答案： -6112. 设奇函数 y = f ( x )( x ∈ R ) ，满足对任意t ∈ R 都有 f (t ) = f (1- t ) ，且 x ∈ [0, ] 时， f ( x ) = - x 2 ，则23 1f (3) + f ( - ) 的值等于 ．答案： -2 413. 在直角坐标平面内，已知点列 P 1,2) P 2,2 2 , P 3,23 , , P n ,2 n , .如果 k 为3 n 正偶数，则向量 PP + PP + PP + + P P 的纵坐标（用 k 表示）为 ．1 2 3 4 5 6 k -1 k2答案： (2k - 1)314. 由 1，2，3，4，5 组成的五位数中，恰有 2 个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是 ．（用数字作答） 答案：540三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．得分 评卷人 15．（本小题满分 13 分）x x x2 4 4 4（I ）若 f ( x ) = 1 ,求 cos(π3+ x ) 值；（II ）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ，且满足 (2a - c )cos B = b cos C ，求函数 f ( A ) 的取值范围．x x x解：（I ） f ( x ) = m ⋅ n = 3 sin cos + cos 24 4 4----------------1 分 = 3 x 1 x 1sin + cos +2 2 2 2 2 ----------------3 分x π 1= sin( + ) + ----------------4 分2 6 2x π 1 π x π 1∵ f ( x ) = 1 ∴ sin( + ) = ∴ cos( x + ) = 1 - 2sin 2 ( + ) = -------6 分2 6 23 2 6 2（II ）∵ (2a - c )cos B = b cos C ，由正弦定理得 (2sin A - sin C )cos B = sin B cos C -----------------8 分 ∴ 2sin AcosB - sin C cos B = sin B cos C ∴ 2sin A c os B = sin( B + C ) - ----------------9 分 ∵ A + B + C = π ∴ sin( B + C ) = sin A ，且 sin A ≠ 0,∵0<B<π∴B=----------------10分262ξ得分评卷人17.（本小题满分13分）∴cos B=1π23 2π∴0<A<----------------11分3πAππ1Aπ∴<+<,<sin(+)<1----------------12分6262226Aπ13Aπ13∴1<sin(+)+<∴f(A)=sin(+)+∈(1,)---13分2622216．（本小题满分13分）得分评卷人某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495]，(495,500]，...，(510,515].由此得到样本率分布直方图，如图所示（Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设ξ为重量超过505克的产品数量，求的分布列；（Ⅲ）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的重量超过505克的概率.解：（Ⅰ）重量超过505克的产品数量是40⨯(0.05⨯5+0.01⨯5)=12件-------2分（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0,1,2（只有当下述没做或都做错时，此步写对给1分）情况，它们的频P(ξ=0)=C228=C24063C1C156C211,P(ξ=1)=1228=,P(ξ=2)=12=,130C2130C21304040（以上（Ⅱ）中的过程可省略，此过程都对但没列下表的扣1分）ξ的分布列为ξ012P 635611130130130------9分（每个2分，表1分）（Ⅲ）由（Ⅰ）的统计数据知，抽取的40件产品中有12件产品的重量超过505克，其频率为0.3，可见从流水线上任取一件产品，其重量超过505克的概率为0.3，令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数，则ξ~B(5,0.3)，------11分故所求的概率为p(ξ=2)=C2(0.3)2(0.7)3=0.3087------13分5如图，在三棱柱ABC-A B C中，AB⊥AC，顶点A在底面ABC上的射影恰为点B，1111且AB=AC=A B=2．1（Ⅰ）证明：平面A AC⊥平面AB B；11（Ⅱ）求棱AA与BC所成的角的大小；1（Ⅲ）若点P为B C的中点，并求出二面角P-AB-A的平面角的余弦值．111证明：（Ⅰ）∵A B⊥面ABC∴A B⊥AC,------1分11又AB⊥AC，AB A B=B1∴AC⊥面AB B，------3分1∵AC⊂面A AC，∴平面A AC⊥平面AB B；------4分111（Ⅱ）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，11 1 AA ⋅ BC8 ⋅ 8 2则 ⎨ ,由 ⎨ 得 ⎨A 12 y = 0 ⎪⎩n AB = 0 ⎪⎩ AB = (0,2,0) ⎩而平面 ABA 的法向量 n =(1,0,0)，21xAn n 2 2 55 5 n n0 0 2 0 2 2 4 2 2 2 - 0 1 3 2⎪ ⎪ 1 1 2 B5= 1(a > b > 0) 的焦点分别为 F 1 (-1,0) 、 F 2 (1,0) ，直线 l ： x = a 2x 2 y 21则 C (2，， )，B (0，， )，A (0，， )，B (0，， ) ，C (2,2,2) 1 1 AA = (0，， ) ， BC = B C = (2， 2， )------6 分 1 AA ⋅ BC -4 1cos 〈 AA ，BC 〉 = = =- ，1 1故 AA 与棱 BC 所成的角是 π． ------8 分 1 3（Ⅲ）因为 P 为棱 B C 的中点，故易求得 P (1，， )． ------9 分1 1设平面 PAB 的法向量为 n = (x , y , z ) ，1z⎧n AP = 0 ⎧ AP = (1,3,2) ⎧ x + 3 y + 2 z = 0 C 11B 1令 z = 1 ，则 n = (-2，0， )------11 分 1C则 cos n , n = = -=- ------12 分1 2 y12由图可知二面角 P - AB - A 为锐角1故二面角 P - AB - A 的平面角的余弦值是 2 51 ------13 分得分评卷人 18．（本小题满分 13 分）设椭圆 + a 2 b 2交 x 轴于点 A ，且 AF = 2 A F ．12（Ⅰ）试求椭圆的方程；（Ⅱ）过 F 、 F 分别作互相垂直的两直线与椭圆分别交于 D 、 E 、 M 、 N 四点（如图所示），若四边1 227形 DMEN 的面积为 ，求 DE 的直线方程．7解：（Ⅰ）由题意，| FF |= 2c = 2,∴ A (a 2 ,0) -------1 分2AF = 2 A F ∴ F 为 AF 的中点------------2 分1 221∴ a 2 = 3, b 2 = 2即：椭圆方程为x 2 y 2+ = 1. ------------3 分 3 2（Ⅱ）当直线 DE 与 x 轴垂直时， | DE |= 2 b 2 4 =a 3，此时 | MN |= 2a = 2 3 ， 四边形 DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉；------------4 分同理当 MN 与 x 轴垂直时，也有四边形DMEN 的面积 S = | DE | ⋅ | MN |2= 4 不符合题意故舍掉； ------------5 分 当直线 DE ， MN 均与 x 轴不垂直时，设 DE : y = k ( x + 1) ， 代入消去 y 得： (2 + 3k 2 ) x 2 + 6k 2 x + (3k 2 - 6) = 0. ------------6 分⎪⎪ 1 2 + 3k 2 设 D ( x , y ), E ( x , y ), 则⎨ ------------7 分⎪x x = 3k 2 - 6 , 3k 2 + 2 2 + 3k 2 ⎩ = . | DE | ⋅ | MN | 1 4 3(k 2 + 1) k k= ⋅ ⋅ =e 03e x 0e33⎧ - 6k 2 x + x = ,21 12 2⎪ 1 22 + 3k 24 3 ⋅ k 2 + 1所以 | x - x |= ( x + x ) 2 - 4x x = ，------------8 分 1 2 1 2 1 24 3(k 2 + 1)所以 | DE |= k 2 + 1 | x - x |= ，------------9 分1 2 同理 | MN |= 1 1 4 3[(- )2 + 1] 4 3( + 1) k k 2 1 32 + 3(- )2 2 +k k 2------------11 分所以四边形的面积 S =由 S = 27 7⇒ k 2= 2 ⇒ k = ± 2 ， ------------12 分所以直线 lDE: 2x - y + 2 = 0 或 l DE: 2x + y + 2 = 0或 l: 2x - 2 y + 2 = 0 或 l : 2x + 2 y + 2 = 0---------13 分DEDE得分 评卷人19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x ，设 t > -2 , f (-2) = m , f (t ) = n .（Ⅰ）试确定 t 的取值范围,使得函数 f ( x ) 在 [-2, t ]上为单调函数；（Ⅱ）试判断 m , n 的大小并说明理由；（Ⅲ）求证：对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ，满足的个数.f ' ( x ) 2= (t - 1)2 ,并确定这样的 xx解：（Ⅰ）因为 f '( x ) = ( x 2 - 3x + 3) ⋅ e x + (2 x - 3) ⋅ e x = x ( x -1)⋅ e x--------------1 分由 f '( x ) > 0 ⇒ x > 1或x < 0 ；由 f '( x ) < 0 ⇒ 0 < x < 1,所以 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减 --------------3 分 要使 f ( x ) 在 [- 2, t ]上为单调函数,则 -2 < t ≤ 0-------------4 分 （Ⅱ）因为 f ( x ) 在 (-∞,0),(1, +∞) 上递增,在 (0,1) 上递减， ∴ f ( x ) 在 x = 1 处有极小值 e-------------5 分又 f (-2) = 13 e 2< e ，∴ f ( x ) 在 [ -2, +∞) 上的最小值为 f (-2) -------------7 分 从而当 t > -2 时, f (-2) < f (t ) ，即 m < n-------------8 分（Ⅲ）证：∵f ' ( x ) f ' ( x ) 20 = x 2 - x ，又∵ 0 = (t - 1)2 ， 0 0x2 ∴ x 2 - x = (t - 1)2 , 0②当 1 < t < 4 时, g (-2) > 0且g (t ) > 0 ,但由于 g (0) = - (t - 1)2 < 0 , (t - 1)2 = - 3 n +1 = ⎬ 为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； n n +1 的最大值． 3a - 2 - 2 n +1 n = =n n = 2 ≠ 0 ，∴ ⎨ n ⎬ 等比数列，且公比为 2 ，----------3 分 a - 2 ⎩ a - 2 ⎭ a - 2 2n - 1令 g ( x ) = x 2- x - 2 2 (t - 1)2 ,从而问题转化为证明方程 g ( x ) = x 2 - x - (t - 1)2 =0 在 (-2, t ) 上有 3 3 解,并讨论解的个数 -------------9 分 ∵ g (-2) = 6 - 2 2 (t + 2)(t - 4) , 3 3 2 1 g (t ) = t (t - 1) - (t - 1)2 = (t + 2)(t - 1) , ---------------- 10 分 3 3① 当 t > 4或 - 2 < t < 1 时, g (-2) ⋅ g (t ) < 0 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且只有一解 ---------------- 11 分2 3所以 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有解,且有两解 ------------------- 12 分③当 t = 1 时, g ( x ) = x 2 - x = 0 ⇒ x = 0或x = 1 ,故 g ( x ) = 0 在 (-2, t ) 上有且只有一解；当 t = 4 时, g ( x ) = x 2 - x - 6 = 0 ⇒ x = -2或x = 3 ,所以 g ( x ) = 0 在 (-2, 4) 上也有且只有一解 ------------------- 13 分综上所述, 对于任意的 t > -2 ,总存在 x ∈ (-2, t ) ,满足 0 f ' ( x ) 2 0 = (t - 1)2 , e x 0 3且当 t ≥ 4或 - 2 < t ≤ 1 时,有唯一的 x 适合题意； 0 当1 < t < 4 时,有两个 x 适合题意. --------------14 分0 2 （说明:第（3）题也可以令ϕ ( x ) = x 2 - x , x ∈ (-2, t ) ,然后分情况证明 (t - 1)2 在其值域内,并讨论直 3 2 线 y = (t - 1)2 与函数ϕ ( x ) 的图象的交点个数即可得到相应的 x 的个数） 020．（本小题满分 14 分）得分 评卷人 已知数列{a n }满足： a 1 = 3 ， a 3a - 2 n a n ， n ∈ N * ． ⎧ a - 1 ⎫ （Ⅰ）证明数列 ⎨ n ⎩ a n - 2 ⎭（Ⅱ）设 b = a (a - 2) ，数列 {b }的前 n 项和为 S ，求证： S < 2 ；n n n +1 n n n （Ⅲ）设 c = n 2 (a - 2) ，求 c c n n 3a - 2 n - 1 a - 1 a 2(a - 1) 证明：（Ⅰ）∵ n +1 ， ------------2 分 a - 2 a - 2 n an又∴ a -1 2n +1 - 1 n = 2n ，解得 a = nn ； ------------4 分 （Ⅱ） b = a (a n nn +1 - 2) = 2n +1 - 1 2n +2 - 1 1 ( - 2) = 2n - 1 2n +1 - 1 2n - 1 ，------------5 分2 22 2n -1 [1- ( )n -1] = 1 + 2 2 1 2 n n +1 = 7∴当 n ≥ 2 时， b = n 1 1 1 = < ------------6 分 2n - 1 2n -1 + 2n -1 - 1 2n -11 1 1 S = b + b + b + + b < 1 + + + + n 123 n 1 1 1 = 2 - ( )n -1 < 2 ------------8 分 1 - 2 （Ⅲ） c = n 2 (a - 2) = n n n 2 n 2 (n + 1)2 ⇒ c c 2n - 1 (2n - 1)(2n +1 - 1) ----------9 分令 c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ > 1 ------------10 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n ⇒ [(n + 2)2 - 4n 2 ]2n > (n + 2)2 - n 2 ------------11 分⇒ (3n + 2)(2 - n )2n > 4n + 4 ⇒ n = 1c c c (n + 2)2 2n - 1 n +1 n + 2 = n + 2 = ⨯ < 1 ⇒ n ≥ 2 ------------12 分 c c c 2n + 2 - 1 n 2 n n +1 n 所以： c c < c c > c c > 1 2 2 3 3 4 12 故 (c c ) = c c = ． ------------14 分 n n +1 max 2 3。
2017-2018届天津市南开区高三二模理科数学试卷及答案
南开区2017-2018-2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）数学试卷（理工类） 05本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．第I卷l至2页，第II卷3至9页．祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：l.答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科p涂在答题卡上；2．每小题选出答案赢，翊铅笔把答题．f上对应题翻的答案标号涂关．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3.本卷共8小题，每小题5分，共40分，参考公式：一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)i 是虚数单位，复数242(1)412i i i i =（）． (A)0 (B)2(C) -4i (D) 4i(2)“1sin 2a”是“1cos22a ”的( )， (A)充分丽不必要条件 (B)必要两不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(3)如果执行右面的程序框图，那么输出的S=( )。
(A) 22 (B) 46(c) 94 (D)190(4)偶函数()f x 在区间0,a （a>0）上是单凋函数，且(0)()0f f a ．则方程()0f x 在区间,a a 内根的个数是( ). (A)l (B)2(C)3 (D)0(5)若11()11n x 的展开式中第三项系数等于6，则n 等于( )．(A)4 (B)8(C) 12 (D) 16(6)在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ．C 的对边，22232,sin sin sin 2C A B C A sinBsinC ，则cosC=( )．(A)18 (B)716 (C)74 ( D)716(7)设圆22:3C xy ，直线:360l x y ，点00(,)P x y ∈l ，若存在点Q ∈C ，使60OPQ 。
（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )．(A)1,12 B.60,5 (C)0,1 (D)13,22(8)如图，在△ABC 中，2CM MB ，过点M 的直线分别交射线AB 、AC 于不同的两点P 、Q ，若,AP mAB AQ nAC ，则mn+m 的最小值为( )．(A) 63 (B)23(C)6 (D)2南开区2013～2017-2018学年度第二学期高三年级总复习质量检测（二）答题纸（理工类）第Ⅱ卷注意事项：。
2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考(二)数学理科卷
2017年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）数 学(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. 参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ .∙柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高. 一、选择题:本题共8个小题，每小题5分，共40分. 1.i 为虚数单位，复数()ii -++1212的共轭复数是（ ） （A ）13i + （B ）13i - （C ）13i -+ （D ）13i --2.设变量x ，y 满足约束条件2040250x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，，，则目标函数24z x y =++的最小值为（ ） （A ）29（B ）25（C ）11（D ）93.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为（ ） （A ）0（B ）2（C ）4（D ）64.甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“9x =”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5.在直角坐标系xoy 中，圆M 的参数方程为12cos 22sin x ty tì=+ïí=-+ïî(t 为参数) ，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线lsin(),()4m m R pq -=?.若直线l 与圆M 相交于A B ，两点，MAB ∆的面积为2，则m 值为（ ） （A ）1-或3（B ）1或5（C ）1-或5-（D ）2或66.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若1,2,42b B C ac ===，则b 的值为（ ） （A）（B）（C ）83（D ）27.已知双曲线22221x y a b-=圆心在x 轴的正半轴上的圆M 与双曲线的渐近线相切，且圆M 的半径为2，则以圆M 的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（ ） （A）2y =（B）2y = （C）2y = （D）2y =8.已知函数()()()()210111xx f x f x m x ⎧-≤≤⎪=⎨-+>⎪⎩，在定义域[)0+∞，上单调递增，且对于任意0a ≥，方程()f x a =有且只有一个实数解，则函数()()g x f x x =-在区间0,2n⎡⎤⎣⎦*n N ∈（）上的所有零点的和为（ ）（A ）(1)2n n + （B ）21122n n --+（C ）()2122n +（D ）21n-第Ⅱ卷 非选择题（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.已知集合{}012,3,4A =，，，{}2,B m m n n A ==∈，{}2M x R x =∈>，则集合R B C M = .10.6x ⎛- ⎝的展开式中3x 的系数为 . (用数字作答) 11.已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），其中俯视图为 正三角形，则该几何体的体积为 3m .12.如图，在长方形OABC 内任取一点P ，则点P 落在阴影部分内的概率为.13.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意[)12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-. 若11()32f -=，182(log )1f x <，则x 的取值范围为 .14.在梯形ABCD 中，已知AB CD ∥，22AB CD ==，12AD AB AD AB ⋅=，动点E 和F 分别在线段CD 和BC 上，且BA BE ⋅ 的最大值为72，则AC AF ⋅ 的取值范围为 .三、解答题:本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分13分）已知函数()2()cos 2cos 1f x x x x a π=-++-． （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若)(x f 在区间[,]63ππ-上的最大值与最小值的和为2，求a 的值． 16. （本小题满分13分）某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学.从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A 的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，AE ABCD ⊥平面，CF ⊥平面ABCD ，2AB AE ==，G 为EF 中点．（Ⅰ）求证：OG ∥平面ABE ； （Ⅱ）求二面角D BE A --的正弦值；（Ⅲ）当直线OF 与平面BDE 所成角为45︒时，求异面直线OF 与DE 所成角的余弦值．18.（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2n n a a d +-=（d R ∈，且0d ≠），*n N ∈，12a =，22a =，且137,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求d 的值及数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()211nn n n b a a ++=⋅，(1)n n n c b =-⋅，求数列{}n c 的前2n 项和2n S .19.（本小题满分14分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，下顶点为B ,直线2BF 的方程为0x y b --=.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）设P 为椭圆上异于其顶点的一点，P 到直线2BF，且三角形12PF F 的面积为13. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为k 的直线l 与椭圆C 相切，过焦点1F ，2F 分别作1F M l ⊥，2F N l ⊥，垂足分别为M ，N ，求12()FM F N MN +⋅的最大值. 20.（本小题满分14分）设函数()321,,3f x x ax bx ab x R =-+++∈其中,a b R ∈. （Ⅰ）若函数()f x 在1x =处有极小值223-，求,a b 的值；（Ⅱ）若1a >，设()()g x f x '=,求证：当[]1,1x ∈-时，()max2g x >；（Ⅲ）若1a >，12b a <-，对于给定12,(,1)x x ∈-∞，12x x <， 21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，其中m R ∈，1α<，1β<，若|()()|f f αβ-<()()12||f x f x -，求m 的取值范围.。
天津市十二校联考2017-2018届高考二模数学(理)试题含答案
2018年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理） 第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}20A x x x =-≤，{}1B x x =<，则AB 为（ ）A ．[)0,1B ．()0,1C ．[]0,1D ．(]1,0- 2.已知x ，y 满足不等式组10,10,330,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数23z x y =-+的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．5 3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <4.已知m 为实数，直线1:10l mx y +-=，()2:3220l m x my -+-，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知函数()()sin ,04f x x x R πωω⎛⎫=+∈> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()y f x =的图象向左平移ϕ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ） A ．2π B ．38π C. 4πD ．58π6.已知定义在R 上的函数()cos f x x x =+，则三个数31log 47a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，129log 517b f ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1c f =，则a ，b ，c 之间的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．a b c >> C.b c a >> D ．c b a >>7.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M ，N 在双曲线上，且12//MN F F ，1212MN F F =，线段1F N 交双曲线C 于点Q ，1125FQ F N =，则该双曲线的离心率是（ ） AB ．52C.2 D8.已知定义在[)1,+∞上的函数()4812,12,1,2,22x x f x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩则下列说法中正确的个数有（ ）①关于x 的方程()()102nf x n N -=∈有24n +个不同的零点； ②对于实数[)1,x ∈+∞，不等式()6xf x ≤恒成立； ③在[)1,6上，方程()60f x x -=有5个零点；④当()1*2,2n n x n N -⎡⎤∈∈⎣⎦时，函数()f x 的图象与x 轴围成的面积为4.A ．0B ．1 C.2 D ．3第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9.i 为虚数单位，设复数z 满足346ii z+=，则z 的虚部是 ． 10.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为()4R πθρ=∈，它与曲线23cos ,23sin ,x y αα=+⎧⎨=-+⎩（α为参数）相交于两点A 、B ，则AB = ．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．12.若49nnx dx -=⎰（其中0n >），则()21nx -的展开式中3x 的系数为 ．13.已知a b >，二次三项式240ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20040ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为 ． 14.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90BAD ∠=，45ADC ∠=，2AD =，1BC =，P 是腰CD 上的动点，则3PA BP +的最小值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos cos A B a b +=（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）已知sin 4sin a CA=，ABC ∆的面积为b 的值.16. 某大学在一次公益活动中聘用了10名志愿者，他们分别来自于A ，B ，C 三个不同的专业，其中A 专业2人，B 专业3人，C 专业5人，现从这10人中任意选取3人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求3个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设X 表示取到B 专业的人数，求X 的分布列与数学期望.17. 如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ； （Ⅱ）求二面角E AF B --的余弦值；（Ⅲ）若M 为线段DE 上的一点，且满足直线AM 与平面ABF所成角的正弦值为15，求线段DM 的长. 18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()1n n n S a S a =-+，（a 为常数，0a ≠，1a ≠）. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n b a S =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，()()1111n n n n a c a a ++=++.若数列{}n c 的前n 项和为n T ，且对任意*n N ∈满足223n T λλ<+，求实数λ的取值范围.19.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的两个焦点分别为()1,0F c -和()()2,00F c c >，过点2,0a E c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线与椭圆交于x 轴上方的A ，B 两点，且122F A F B =. （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）（ⅰ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）设点C 与点A 关于坐标原点对称，直线2F B 上有一点()(),0H m n m ≠在1AF C ∆的外接圆上，求nm的值. 20.已知函数()()211ln 2f x x ax a x =-+-，()ln g x b x x =-的最大值为1e. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当0a =时，令()()()22ln 2F x f x g x x =+++，是否存在区间[](),1,m n ⊆+∞.使得函数()F x 在区间[],m n 上的值域为()()22?k m k n ++⎡⎤⎣⎦，若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD 6-8:CDB 二、填空题 9.12-10.2 11. 23π12.28013.2三、解答题15. 解：（1）由已知得cos cos sin b A a B C +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin B A B A B C +=， ∴()sin sin A B B C +=， 又在ABC ∆中， ()sin sin 0A B C +=≠，∴sin B =0B π<<∴3B =.（２）由已知及正弦定理4c = 又S ΔABC =3B π=∴12sin ac B = 得6a =由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得 b =16. （1）令A 表示事件“3个人来自于两个不同专业”，1A 表示事件“3个人来自于同一个专业”，2A 表示事件“3个人来自于三个不同专业”，351103311()3120C C p A C +==23521011130()3120C C C p A C ==则由古典概型的概率公式有1207933331111)()(1)(10531053221=+--=--=C C C C C C C A P A p A p ； （2）随机变量X 的取值为：0，1，2，3则12035330)0(1073===C C C X p ， 12063321)1(1073===C C C X p ， 12021312)2(1073===C C C X p , 1201303)3(1073===C C C X p ,3563211108()0123120120120120120E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． 17. 解析：（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥， 且O 为AC 中点，∵FA FC =，∴AC FO ⊥, 又FOBD O =，BDEF FO BDEF BD 平面平面⊂⊂,∴AC ⊥平面BDEF .（2）连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒， ∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，ABCD AC ABCD BD 平面平面⊂⊂,∴FO ⊥平面ABCD .∵,,OA OB OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形， 60DAB ∠=︒，∴2,BD AC ==∵DBF ∆为等边三角形，∴OF =∴)()()(,0,1,0,0,1,0,AB D F -，∴()()()1,0,3,0,3,3,1,0AF AB AD =-=-=-，)0,2,0(==设平面AEF 的法向量为),,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=+-=⋅02033222y z x令1,121==z x 则，得)1,0,1(=m设平面ABF 的法向量为),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅030332222y x z x ，令1,3,1222===z y x 则，得)1,3,1(=n所以 510,m cos ==>=<n 又因为二面角B AF E --为钝角， 所以二面角B AF E --的余弦值为510-（3）设),3,,0()3,1,0(λλλλλ-=-===)10(≤≤λ)3,1,3()3,,0()0,1,3(λλλλ---=-+--=+=DM AD AM 则所以 15302424532|||||,AM cos |2=++⋅==><λλn AM n 化简得01482=-+λλ 解得：)(431413舍或---=λ所以213-=DM . 18. 解：（1）-1-1-1(1),2(1)n n n n n n S a S a n S a S a =-+∴≥=-+时，11),(n n n n n a a a S S a aa ----∴=+ 11,=nn n n a a a a a a --∴=且 0,1a a ≠≠ ∴数列{}n a 是以a 为首项，a 为公比的等比数列n n a a ∴=（2）由n n n b a S =+得，1=2b a22=2+b a a 323=2++b a a a因为数列{}n b 为等比数列，所以2213=b b b ，22322+=2(2++)a a a a a a （） 解得1=2a . (3)由（2）知111122(21)(21)11(1)(1)22n n n n n n n n c c +++⎛⎫ ⎪⎝⎭=⇒=++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ +1112121n n n c =-++ 所以2231+1111111=+1+1+1+---2221+1222+1n n n T ++++11131-23+1<n =， 所以21233λλ≤+，解得1-13λλ≥≤或.19. 解：(1)由12=2,F A F B 得2211EF F B 1EF FA 2==，从而22a 1a 2cc c c-=+ 整理，得223a c =，故离心率3c e a == (2) 解法一：(i)由（I ）得22222b a c c =-=，所以椭圆的方程可写222236x y c +=设直线AB 的方程为2a y k x c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即(3)y k x c =-.由已知设1122(,),(,)A x y B x y ，则它们的坐标满足方程组222(3)236y k x c x y c =-⎧⎨+=⎩消去y 整理，得222222(23)182760k x k cx k c c +-+-=.依题意，2248(13)033c k k ∆=->-<<，得 而 21221823k cx x k +=+ ①22212227623k c c x x k -=+ ②由题设知，点B 为线段AE 的中点，所以 1232x c x += ③联立①③解得2129223k c c x k -=+，2229223k c cx k +=+将12,x x代入②中，解得k =解法二：00(,),A x y 设利用中点坐标公式求出200,)22a x y c B +（，带入椭圆方程 2022202220023622236a x y c c x y c⎧+⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎩（）（） 消去20y，解得00=0x y ⎧⎪⎨=⎪⎩解出k =(依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知1230,2c x x ==当3k =-时，得)A，由已知得(0,)C . 线段1AF 的垂直平分线l的方程为222c y x ⎫-=-+⎪⎝⎭直线l 与x 轴的交点,02c ⎛⎫ ⎪⎝⎭是1AF C ∆外接圆的圆心，因此外接圆的方程为222x 22c c y c ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.直线2F B的方程为)y x c =-，于是点H （m ，n ）的坐标满足方程组222924)c c m n n m c ⎧⎛⎫-+=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=-⎩， 由0,m ≠解得533m c n c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故n m=20. (1) 由题意得()'ln 1g x x =--， 令()'0g x =，解得1x e=， 当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()'>0g x ，函数()g x 单调递增；当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'<0g x ，函数()g x 单调递减. 所以当1x e=时， ()g x 取得极大值，也是最大值， 所以111g b e e e⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，解得0b =. （2）()f x 的定义域为(0,)+∞.2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+==①11a -=即2a =,则2'(1)()x f x x-=，故()f x 在(0,)+∞单调增②若11a -<,而1a >,故12a <<,则当(1,1)x a ∈-时，'()0f x <;当(0,1)x a ∈-及(1,)x ∈+∞时，'()0f x >故()f x 在(1,1)a -单调递减，在(0,1),(1,)a -+∞单调递增。
2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)
2018年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.1. 已知集合＝，＝，则为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】解不等式求得集合、，根据交集的定义写出．【解答】集合＝＝，＝＝，则＝＝．2. 已知，满足不等式组，则目标函数＝的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数求得最小值．【解答】由约束条件作出可行域如图，设可行域内一点，由图可知，直线＝经过点时取到最大值，经过点时取到最小值，联立，解得，∴的最小值为＝，3. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】负值＝，＝，＝，判断条件成立，执行＝＝，＝＝，＝；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件成立，执行＝＝，＝＝，；判断条件不成立，算法结束，输出．此时＝，不成立．故判断框中应填入的条件是．4. 已知为实数，直线＝，：＝，则“＝”是“”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据直线平行的等价条件，求出的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】当＝时，两直线方程分别为直线＝，＝满足，即充分性成立，当＝时，两直线方程分别为＝，和＝，不满足条件．当时，则，由得＝得＝或＝，由得，则＝，即“＝”是“”的充要条件，5. 已知函数＝的最小正周期为，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】根据函数的周期求，结合三角函数的图象平移关系，结合三角函数的奇偶性进行求解即可．【解答】∵函数＝的最小正周期为，∴，得＝，则＝，将＝的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则＝＝，∵图象关于轴对称，∴，则，，当＝时，，则或，即的一个值可能为，6. 已知定义在上的函数＝，则三个数＝，＝（），＝，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】对数值大小的比较【解析】求出的导数，得到函数在上为单调增函数，再求出、的范围，则答案可求．【解答】定义在上的函数＝是偶函数，时，＝，＝，∴在时递增，∵，，又＝，＝（），＝，∴，故选：．7. 双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】运用双曲线的对称性由条件可设的坐标，由向量共线定理可得的坐标，再由，在双曲线上，满足双曲线的方程，即可得到双曲线的离心率．【解答】由＝，可得＝，由，可设，设，∴，∵，∴，解得，，∵，在双曲线上，∴，消去整理可得，∴．8. 已知函数定义在上的函数，则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程，有个不同的零点②对于实数，不等式恒成立③在上，方程＝有个零点④当，时，函数的图象与轴围成的面积为A. B. C. D.【答案】B【考点】分段函数的应用【解析】根据函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合分别判断即可．【解答】作出函数的图象，如图：当＝时，方程等价为＝，∴对应方程根的个数为个，而＝个，∴ ①错误；由不等式等价为，在恒成立，作出函数的图象如图，则不等式恒成立，∴ ②正确；由函数表达式可知＝，＝，＝．由＝得，设，则＝，∴在上，方程＝有个零点，∴ ③错误；令＝得，＝，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为：＝，∴ ④错误．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.________为虚数单位，设复数________满足________，则________的虚部是【答案】,,,,【考点】复数的运算【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】由，得．∴的虚部是．以直角坐标系的原点为极点，________轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为，它与曲线，（为参数）相交于两点________、________，则________＝________．【答案】,,,,【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】把直线极坐标方程、曲线参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求得弦长．【解答】把直线极坐标方程化为普通方程是＝，曲线参数方程化为普通方程是＝，圆心为，半径为，圆心到直线＝的距离为，则弦长＝．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积________．【答案】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，分别计算它们的体积，相加可得答案．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体是一个半圆锥和一个四分之一球的组合体，球的半径为圆锥的底面半径均为，圆锥的高为，故四分之一球的体积为：，半圆锥的体积为：，故组合体的体积；若________________＝（其中________），则________________的展开式中________的系数为________．【答案】,,,,,,【考点】微积分基本定理定积分二项式定理及相关概念【解析】由微积分基本定理求得，代入，写出二项展开式的通项，由的指数为求得值，则答案可求．【解答】由＝，如图，得＝，即＝．∴＝，．由＝，得＝．∴的展开式中的系数为．已知________________，二次三项式________________+________对于一切实数________恒成立，又________，使________________＝成立，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】反证法与放缩法【解析】由条件求得，＝，由此把要求的式子化为，利用基本不等式即可求出答案．【解答】∵已知，二次三项式对于一切实数恒成立，∴，且＝，∴．再由，＝，可得＝，∴＝，即＝，∴，∵，当且仅当时取等号故的最小值为，已知直角梯形________中，________________，________＝，________＝，________＝，________＝，________是腰________上的动点，则的最小值为________．【答案】,,,,,,,,,【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建立坐标系，设出的坐标，表示出，的坐标，结合二次函数的性质求出其最小值即可．【解答】分别以，为，轴，建立直角坐标系：如图示：，∵＝，＝，＝，是腰上的动点，∴，，，，则设，故，，故，故，而＝＝，故的最小值是，三、解答题：本大题6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角的大小；（2）已知，的面积为，求边长的值．【答案】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．【考点】三角形的面积公式【解析】（1）根据题意，利用正弦定理与三角形的内角和定理求得的值，从而求得的值；（2）由题意，利用正弦定理与三角形的面积公式求得的值，再由余弦定理求得的值．【解答】锐角中，，∴，由正弦定理得，∴，又＝，∴，又，∴；由，利用正弦定理得＝；又的面积为，∴，解得＝；由余弦定理＝＝，解得＝．某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于、、三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目．（1）求个人来自两个不同专业的概率；（2）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望．【答案】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，利用列举法能求出个人来自两个不同专业的概率．（2）随机变量有取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．【解答】令事件表示“个来自于两个不同专业”，表示“个人平自于同一个专业”，表示“个人来自于三个不同专业”，，，∴个人来自两个不同专业的概率：＝＝．随机变量有取值为，，，，＝，＝，＝，＝，∴的分布列为：．如图，四边形与均为菱形，＝，且＝＝．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）若为线段上的一点，满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．【答案】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．【考点】二面角的平面角及求法【解析】（1）设与交于点，连结推导出，且为的中点，，由此能证明平面．（2）连结，由、、两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．（3）设，，则＝，利用向量法能求出线段的长．【解答】设与交于点，连结，∵四边形是菱形，∴，且为的中点，∵＝，∴，又＝，平面，平面，∴平面．连结，∵四边形是菱形，且＝，∴是等边三角形，∵为的中点，∴，又，平面，平面，∴平面，∵、、两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图，设＝，∵四边形为菱形，＝，∴＝，＝，∵为等边三角形，∴，∴，，，，∴，，，，设平面的法向量，则，取＝，得，∴，∵二面角的余弦值为．设，则＝，∴，化简，得＝，解得或（舍），∴线段的长为．已知数列的前项和满足＝，为常数，，（1）求的通项公式；（2）设＝，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，，若数列的前项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围．【答案】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．【考点】数列的求和【解析】（1）时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．利用等比数列的通项公式可得．（2）＝，可得：＝，＝，＝，利用等比数列的性质可得．（3）由（2）可得：．，利用裂项求和方法、数列的单调性、不等式的解法即可得出．【解答】时，＝＝，化为：＝，为常数，，．＝时，＝，可得：＝．∴数列为等比数列，首项与公比为．则＝．＝，可得：＝，＝，＝，∵数列为等比数列，∴＝，可得：．由（2）可得：．，∴数列的前项和为，∵对任意的满足，∴，化为：，解得：或．∴实数的取值范围是：或．已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于轴上方的，两点，且．（1）求椭圆的离心率；（2）求直线的斜率；设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．【答案】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．【考点】椭圆的离心率【解析】（1）由，可得，从而，由此可以求出椭圆的离心率．由题意知椭圆的方程可写为＝，设直线的方程为＝，设，，则它们的坐标满足方程组，整理，得＝．再由根的判别式和根与系数的关系求解．解法一：当时，得，线段的垂直平分线的方程为直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．由此可以推导出值．解法二：由椭圆的对称性可知，，三点共线，由已知条件能够导出四边形为等腰梯形．由此入手可以推导出值．【解答】由，可得，从而，整理可得＝，故，：由（1）得＝＝，所以椭圆的方程可写为＝设直线的方程为＝，即＝．由已知设，，则它们的坐标满足方程组消去整理，得＝．依题意，＝，而，①，②，由题设知，点为线段的中点，所以＝③联立①③解得，将，代入②中，解得．解法一：由可知＝，，当时，得，由已知得．线段的垂直平分线的方程为，直线与轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为＝．直线的方程为，于是点的坐标满足方程组，由，解得，故综上所述．解法二：由可知＝，，当时，得，由已知得．由椭圆的对称性可知，，三点共线，因为点在的外接圆上，且，所以四边形为等腰梯形．由直线的方程为，知点的坐标为．因为＝，所以＝，解得＝（舍），或．则，所以．已知函数，＝的最大值为．（1）求实数的值；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）当＝时，令＝，是否存在区间，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于的方程，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；（3）假设存在，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，根据函数的单调性判断即可．【解答】∵函数＝的最大值为，∴，＝，由＝＝，得，当时，，当时，，∴ x＝＝＝，解得＝．的定义域是，＝，①＝即＝时，，故在递增，②若，而，故，则当时，，，时，，故在递减，在，递增，③若，即时，同理在递减，在，递增；由（1）知＝，故＝，令＝＝，则＝对恒成立，故在区间内递增；故＝恒成立，故函数在区间递增，假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程＝在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，令＝，则＝对恒成立，故函数在区间递增，故＝恒成立，故，在递增，故方程在区间内不存在两个不相等的实根，综上，不存在区间，使得函数在区间上的值域为．试卷第21页，总21页。
2018届天津市十二校高三二模联考数学(理)试题(解析版)
2018届天津市十二校高三二模联考数学(理)试题一、单选题1．已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合和利用绝对值不等式的解法化简集合，从而得到的值.详解：因为集合；集合,所以,故选A.点睛：本题主要考查了一元二次不等式，绝对值不等式的解法以及集合的交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2．已知，满足不等式组则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移直线，结合可行域可得直线经过点时取到最小值.详解：画出不等式组表示的可行域，如图，平移直线，设可行域内一点，由图可知，直线经过点时取到最小值，联立，解得，的最小值为，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先判断循环结构类型，得到判断框内的语句性质，然后对循环体进行分析，找出循环规律，判断输出结果与循环次数以及的关系，最终得出选项.详解：经判断此循环为“直到型”结构，判断框为跳出循环的语句，第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：，此时退出循环，根据判断框内为跳出循环的语句，，故选D.点睛：题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．已知为实数，直线，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据直线平行的条件以及充分不必要条件的定义即可判断.详解：直线，，若“”，则，解得或，即时，可推出，不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查直线平行的性质以及充分条件与必要条件，属于简单题.高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意一下几点：（1）要看清，还是；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3）或成立，不能推出成立，也不能推出成立，且成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提. 5．已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据函数的最小正周期为，求出的值，再由平移后得到为偶函数，可得，进而可得结果.详解：由函数的最小正周期为，可得，，将的图象向左平移个单位长度，得的图象，平移后图象关于轴对称，，，，故选D.点睛：已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2）时，是偶函数.6．已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：求出的导数，得到函数的在上递增，利用对数函数与指数函数的性质可得，，从而比较函数值的大小即可.详解：时，，,可得在上递增，由对数函数的性质可得所以，由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7．双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：运用双曲线的对称性结合，可设出的坐标,由可得的坐标，再由在双曲线上，满足双曲线的方程，消去参数可得从而可得到双曲线的离心率.详解：由，可得，由，可设，由，可得，可得，由在双曲线上，可得，消去整理可得，，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.8．已知定义在上的函数则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程有个不同的零点；②对于实数，不等式恒成立；③在上，方程有个零点；④当时，函数的图象与轴围成的面积为.A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合分别判断即可.详解：由表达式可知.①当时，方程等价为对应方程根的个数为五个，而，故①错误；②由不等式等价为，在恒成立，作出函数图象如图，由图可知函数图象总在的图象上方，所以不等式恒成立，故②正确；③由，得，设，则在上，方程有四个零点，故③错误；④令得，，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为，故④错误，故选B.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的、函数的图象与性质，以及函数的零点与不等式恒成立问题，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二、填空题9．为虚数单位，设复数满足，则的虚部是__________．【答案】【解析】分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.详解：由，可得,，可得，所以，的虚部是，故答案为点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.10．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点、，则__________．【答案】2【解析】分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将极坐标方程为化成直角坐标方程，再将曲线的参数方程化成普通方程，最后利用直角坐标方程的形式，利用垂径定理及勾股定理，由圆的半径及圆心到直线的距离，即可求出的长.详解：，利用进行化简，，为参数），相消去可得圆的方程为：得到圆心，半径为，圆心到直线的距离，，线段的长为，故答案为.点睛：本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，分别求出圆锥与球体的体积，求和即可.详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为，高为，体积为；球半径为，体积为，所以，该几何体的体积为，故答案为.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12．若（其中），则的展开式中的系数为__________．【答案】280【解析】分析：利用微积分基本定理，求得，可得二项展开式通项为令得进而可得结果.详解：因为，所以，展开式的通项为令得所以，的展开式中的系数为，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13．已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：对于一切实数恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果.详解：已知，二次三项式对于一切实数恒成立，，且；再由，使成立，可得，，，令，则（当时，等号成立），所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14．已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为__________．【答案】【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.详解：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，由，，，，，可得，在上，可设，则，，，即的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查向量的坐标运算、向量模的坐标表设计以及利用配方法求最值，属于难题. 若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的最值，其关键在于正确化简为完全平方式，并且一定要先确定其定义域.三、解答题15．在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，进而可得结果；（２）利用（1），由已知及正弦定理可得，结合的面积为，可得，由余弦定理可得结果详解：（1）由已知得，由正弦定理得，∴，又在中，，∴所以∴.（２）由已知及正弦定理又 SΔABC=，∴，得由余弦定理得.点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.16．某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望.【答案】(1) (2)见解析.【解析】分析：（1）先利用组合知识结合古典概型概率公式求出，“个人来自于同一个专业”的概率，“个人来自于三个不同专业”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可；（2）这人中任意选取人，的可能取值为，利用组合知识结合古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：（1）令A表示事件“3个人来自于两个不同专业”，表示事件“3个人来自于同一个专业”，表示事件“3个人来自于三个不同专业”，则由古典概型的概率公式有；（2）随机变量X的取值为：0，1，2，3则，，,,．点睛：本题主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.17．如图，四边形与均为菱形，，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）.【解析】分析：（1）由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得,根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）先证明为等边三角形，可得，于是可以为坐标轴建立坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设由直线与平面所成角的正弦值为，利用空间向量夹角余弦公式列方程求得，从而可得结果.详解：（1）设与相交于点，连接，∵四边形为菱形，∴，且为中点，∵，∴,又，∴平面.（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∵为中点，∴，又，∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，设，∵四边形为菱形，，∴.∵为等边三角形，∴.∴，∴，设平面的法向量为，则令，得设平面的法向量为，则，令，得所以又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为（3）设所以化简得解得：所以.点睛：本题主要考查线面垂直的证明以及利用空间向量求二面角与线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18．已知数列的前项和满足：，（为常数，，）.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，.若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围.【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】分析：（1）可得，两式相减，可化为且，可得数列是以为首项，为公比的等比数列，从而可得结果；(2)算出数列的前三项，利用等比中项的性质列方程，可求得的值；(3)由，利用裂项相消法即可求得，于是，从而可得结果.详解：（1）且数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由得，因为数列为等比数列，所以，解得.(3)由（2）知所以，所以，解得.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19．已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值.【答案】(1) 离心率;(2) ,.【解析】分析：(1)由得，化为，从而可得结果；(2)(i)由(1)可设圆的方程可写，设直线AB的方程为，联立，结合点B为线段AE的中点可得，，从而可得结果；(ii)由(i)可知当时，得，由已知得，求出外接圆方程与直线的方程，联立可得结果.详解：(1)由得，从而整理，得，故离心率(2) 解法一：(i)由（I）得，所以椭圆的方程可写设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②w由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得，将代入②中，解得.解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程消去，解得解出(依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由解得故点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系以及椭圆离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．20．已知函数，的最大值为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，令，是否存在区间.使得函数在区间上的值域为若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】(1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时，取得极大值，也是最大值，由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定义域为.①即,则，故在单调增②若,而,故,则当时，;当及时，故在单调递减，在单调递增。
2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考数学(理)答案
2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）数学理科参考答案二、填空题: 每小题5分，共30分.9.3；10. 48π；11.4；12.13.14；14. 16. 三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） (1)()sin2cos cos2sin 66f x x x ππ=-1cos22sin 2 1...........36x x π⎛⎫++-=+- ⎪⎝⎭分∴函数()f x 的单调递增区间为(2)由2()1f C =-，得1262sin C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ………………………………6分 0C π<<……………………………………7分 26C π+=..8分 π..9分; ……………………………………10分即223a b ab +-=，② ……………………………………………………………..11分由①②解得1,2a b ==. ……………………………………………………………..12分1sin 2ABC S ab C ∆∴==………………………………………………………13分 （注：结果正确，但没写单调区间扣1分）16．（本小题满分13分）（1）方法一、令1A 表示事件“高二、一班闯过第一关”，2A 表示事件“高二、一班闯过第二关”，2139()416p A ==（） -------------------------2分2224()=39p A =（） -------------------------4分则1129953()()()(1)161694p A p A p A A =+=-+⨯=；-------------------------5分 方法二、12943()1-()1-1694p A p A A ==⨯=（2）随机变量X 的取值为：0，1，3，6,则 -------------------------6分237(0)1()416p X ==-=， -------------------------7分22325(1)()(1())4316p X ==⨯-=, -------------------------8分2232111111111(3)()()()43222222228p X ==⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, ----------------9分2232111111111(6)()()()43222222228p X ==⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, --------------------10分分751123()013616168816E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ------------------------13分17．（本小题满分13分）解：(Ⅰ)证明：因为ABCD ADEF 面面⊥，AD ABCD ADEF =面面 ADEF DE 面⊂AD DE ⊥所以ABCD DE 面⊥. ……………………2分ABCD AC 面⊂所以AC DE ⊥又因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，D BD DE = BED DE 面⊂BED BD 面⊂从而AC ⊥平面BDE . ……………………3分 又因为ACE AC 面⊂所以BED ACE 面面⊥ ……………………4分 (Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.则(3,0,0)A ，)62,0,3(F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，………… 5分(3,3,0)CA =-，)63,3,3(--=BE ，)6,0,3(-=EF设平面BEF 的法向量为),,(222z y x =，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00EF n ,即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+--0630633311111z x z y x ，362,6111===z y x ，则 则)3626(，，= ……………………6分 所以1313-392363-||||,cos =⨯=>=<n CA . …………7分所以直线CA 与平面BEF 所成角的正弦值为1313. ………………8分 (Ⅲ)解：点M 在线段AF 上，设),0,3(t M ，620≤≤t . ……………………9分则),3,0(t -=，)63,3,3(--= 设平面MBE 的法向量为),,(111z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,即⎩⎨⎧=+--=+-063330311111z y x tz y ， 令t x z t y -===633,111，则则)3,,63(t t -= ……………………10分219)63(23|669||||||,cos |22=++-⨯-==><t t t CA m ………11分整理得：22150t -+= 解得：)(26526舍，==t t ， ……………………12分 此时41=AF AM . ……………………13分 18．（本小题满分13分） 解：（1）4234332+3)S ,2(S 2S S S S S =∴-=- -------------------------1分43,22a a q ∴== -------------------------2分 又4212a a -= ,12a =2n n a ∴= -------------------------3分由()()111n n nb n b n n +-+=+两边同除以()1n n +，-------------------------4分为首项11b =，公差1d =的等差数列，所以从而数列{}n b 的通项公式为2n b n =． -------------------------5分(2)由（1）知()()2211log 2,n ,22{{2,,22nn n n n n n n n n c nnn n c -++=⇒=为奇数为奇数为偶数为偶数 ------------6分所以21232n n T c c c c =++++13521111111124622133521212222n n n n -⎛⎫⎡⎤=-+-++-+++++ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦135212462212222n n n n -⎡⎤=+++++⎢⎥+⎣⎦-------------------------8分 设1352124622222n nA -=++++， 则357211246242222n nA +=++++， -------------------------9分 两式相减得35721213222221422222n n nA -+=++++-，-------------------------10分 整理得211668992n n A -+=-⨯， -------------------------12分所以221166899221n n nn T n -+=-+⨯+. -------------------------13分 19．（本小题满分14分）解：（1得，，即22b c = ， --------------------1分由)222212x ycy xc⎧⎪+==+⎪⎨⎪⎪⎩，整理得：()22222424280c t x x ct c+++-=---------------------------------2分由Ax=可得32224Ccxc t=+，--------------------------------4分则点C的坐标是22244tcc t⎫⎪⎪+⎝⎭，-------------------------------------5分故直线BC的斜率为BCkt=-，-------------------------------------6分由于直线OP的斜率为OPk=，-------------------------------------7分所以·1BC OPk k=-，所以OP BC⊥. ---------------------------------8分（2）由（1）知，21221424tcSt c=⨯⨯=+--------------------------9分2ABP AOCS S S∆∆-==，--------------------------------10分232221221,424S tc t ttc tS c+=+≥=---------------------------------11分所以当t时，21min211122SSc⎛⎫=+⎪⎭=⎝-------------------------------------12分21c∴=-------------------------------------13分所以椭圆方程为2212xy+=-----------------------------------14分20．（本小题满分14分）解：（1）当3=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<++-=0,30,1)(23x x e x x x x f x当0<x 时，32'2()+1,()32(32)0f x x x f x x x x x =-+=-+=--<则， 所以函数)(x f 在区间)0,(-∞上为减函数. ------------------------------------1分 当0≥x 时，3)(,3)('-=-=x x e x f x e x f 则令3ln ,0)('==x x f 解得 ------------------------------------2分 当3ln 0<<x 时，0)('<x f ；当3ln >x 时，0)('>x f所以函数)(x f 在区间)3ln ,0(上为减函数，在区间),3(ln +∞上为增函数. --------3分 且1)0(=f综上，)(x f 的单调减区间为)3ln ,(-∞，单调增区间为),3(ln +∞. ------------4分（2）由)()(x g x f >可得m ax x ax e x+->-ln 对任意的正实数都成立，即m x e x >-ln 对任意的正实数都成立.记)0(ln )(>-=x x e x h x ，则min )(x h m < ------------------------------------5分可得xe x h x1)('-= 令,01)(,1)()(2''>+=-==xe x x e x h x x xϕϕ则 所以)(x ϕ在),0(+∞上为增函数，即)('x h 在),0(+∞上为增函数. ----------------6分又因为01)1(,02)21(''>-=<-=e h e h ,所以)('x h 存在唯一零点，记为01)1,21(,0000=-∈x ex x x 且则 -----------------7分 当),0(0x x ∈时，0)('<x h ，当),(0+∞∈x x 时，0)('>x h所以)(x h 在区间),0(0x 上为减函数，在区间),(0+∞x 上为增函数.所以)(x h 的最小值为00ln )(0x e x h x -=. ------------------------------------8分0000ln ,1,0100x x x e x e x x -==∴=-所以)1,21(,1)(0000∈+=x x x x h ，可得)25,2()(0∈x h .又因为min )(x h m <所以实数m 的最大整数为2. ------------------------------------9分 (3)由题意a e x f x -=)('，（0x ≥）令a x x f ln ,0)('==解得， 由题意可得，1a >, 当a x ln 0<<时，0)('<x f ；当a x ln >时，0)('>x f所以函数)(x f 在)ln ,0(a 上为减函数，在),(ln +∞a 上为增函数. ----------------10分 若存在实数]2,0[,∈n m ，)()(n f m f =，则a ln 介于n m ,之间， 不妨设2ln 0≤<<≤n a m ，因为)(x f 在)ln ,(a m 上单减，在),(ln n a 上单增，且)()(n f m f =, ------11分 所以当n x m ≤≤时，)()()(n f m f x f =≤，由1||,20≥-≤<≤n m n m ，可得],[1n m ∈，故)()()1(n f m f f =≤， -----12分 又)(x f 在)ln ,(a m 上单调递减，且a m ln 0<≤，所以)0()(f m f ≤. 所以)0()1(f f ≤，同理(2)(1)f f ≥. ------------------------------------13分⎩⎨⎧-≤-≤-ae a e a e 212,解得e e a e -≤≤-21 所以e e a e -≤≤-21. -----------------------------------14分。
【精品】2018届天津市十二重点中学高三下学期毕业班联考(二)数学(理)试题
A. [0，1） B.（0，1） C. [0，1] D.（-1，0]
x y 1 0,
2. 已
知
x，y
满足
不
等式
组
x
y
1
0,
则目标函数
3x y 3 0,
z 2x y 3的最小值为（ ）
A.1 B. 2
C. 4
D. 5
3. 一个算法的程序框图如图所示，
若该程序输出的结果是 3 ，则判断框中应填入的条件是（ ） 4
b 0) 的两个焦点分别为 F1(c, 0)和F2 (c, 0)(c
0) ，
过点
a2 E(
,
0)
的直线与椭圆相交于
x
轴上方的
A,
B
c
两点，且
F1A=2F2B ，
(1)求椭圆的离心率；w.w.w.zxxk.c.o.m (2)(i)求直线 AB 的斜率；w.w.w.zxxk.c.o.m
(ii)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称，直线 F2B 上有一点 H (m, n)(m 0) 在 AF1C 的外接圆上，
已知函数
f
x
sin
x
4
x
R,
0 的最小正周期为
，将
y
f
x 的图像向左平移
个
单位长度，所得图像关于 y 轴对称，则 的一个值是（ ）
A. 2
B. 3 8
C. 4
D. 5 8
6.已知定义在 R 上的函数
f (x)
x
cos x ，则三个数 a
f
(7log3
1 4
)
，b
9
f
(
1 7
log 1 2
天津市十二校2018年高三二模联考数学(理)试卷+Word版含解析
2018年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用一元二次不等式的解法化简集合和利用绝对值不等式的解法化简集合，从而得到的值.详解：因为集合；集合,所以,故选A.点睛：本题主要考查了一元二次不等式，绝对值不等式的解法以及集合的交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2.已知x，y满足不等式组，则目标函数的最小值为( )A. 1B. 2C. 4D. 5【答案】B【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，平移直线，结合可行域可得直线经过点时取到最小值.详解：画出不等式组表示的可行域，如图，平移直线，设可行域内一点，由图可知，直线经过点时取到最小值，联立，解得，的最小值为，故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】赋值i＝1，T＝0，S＝0，判断条件成立，执行i＝1+1＝2，T＝0+1＝1，S＝0；判断条件成立，执行i＝2+1＝3，T＝1+1＝2，S；判断条件成立，执行i＝3+1＝4，T＝2+1＝3，S；判断条件不成立，算法结束，输出S．此时i＝4，4＜4不成立．故判断框中应填入的条件是,故选：D．【点睛】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，是基础题．4.已知为实数，直线，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据直线平行的条件以及充分不必要条件的定义即可判断.详解：直线，，若“”，则，解得或，即时，可推出，不能推出，故“”是“”的充分不必要条件，故选A.点睛：本题主要考查直线平行的性质以及充分条件与必要条件，属于简单题.高中数学的每个知识点都可以结合充分条件与必要条件考查，要正确解答这类问题，除了熟练掌握各个知识点外，还要注意一下几点：（1）要看清，还是；（2）“小范围”可以推出“大范围”；（3）或成立，不能推出成立，也不能推出成立，且成立，即能推出成立，又能推出成立；（4）一定看清楚题文中的条件是大前提还是小前提.5.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先根据函数的最小正周期为，求出的值，再由平移后得到为偶函数，可得，进而可得结果.详解：由函数的最小正周期为，可得，，将的图象向左平移个单位长度，得的图象，平移后图象关于轴对称，，，，故选D.点睛：已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时，是奇函数；（2）时，是偶函数.6.已知定义在R上的函数，则三个数，，，则a，b，c之间的大小关系是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：求出的导数，得到函数的在上递增，利用对数函数与指数函数的性质可得，，从而比较函数值的大小即可.详解：时，，,可得在上递增，由对数函数的性质可得所以，由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.双曲线C：的左、右焦点分别为，，点M，N在双曲线上，且，，线段交双曲线C于点Q，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】分析：运用双曲线的对称性结合，可设出的坐标,由可得的坐标，再由在双曲线上，满足双曲线的方程，消去参数可得从而可得到双曲线的离心率.详解：由，可得，由，可设，由，可得，可得，由在双曲线上，可得，消去整理可得，，故选D.点睛：本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.8.已知函数定义在上的函数，则下列说法中正确的个数是（）①关于x的方程，有个不同的零点②对于实数，不等式恒成立③在上，方程有5个零点④当，时，函数的图象与x轴围成的面积为4A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】分析：根据函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合分别判断即可.详解：由表达式可知.①当时，方程等价为对应方程根的个数为五个，而，故①错误；②由不等式等价为，在恒成立，作出函数图象如图，由图可知函数图象总在的图象上方，所以不等式恒成立，故②正确；③由，得，设，则在上，方程有四个零点，故③错误；④令得，，当时，函数的图象与轴围成的图形是一个三角形，其面积为，故④错误，故选B.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的、函数的图象与性质，以及函数的零点与不等式恒成立问题，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.i为虚数单位，设复数z满足，则z的虚部是____【答案】【解析】分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.详解：由，可得,，可得，所以，的虚部是，故答案为点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.10.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线极坐标方程为，它与曲线，为参数相交于两点A、B，则___．【答案】2【解析】分析：先利用直角坐标与极坐标间的关系，将极坐标方程为化成直角坐标方程，再将曲线的参数方程化成普通方程，最后利用直角坐标方程的形式，利用垂径定理及勾股定理，由圆的半径及圆心到直线的距离，即可求出的长.详解：，利用进行化简，，为参数），相消去可得圆的方程为：得到圆心，半径为，圆心到直线的距离，，线段的长为，故答案为.点睛：本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积____．【答案】【解析】分析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，分别求出圆锥与球体的体积，求和即可.详解：由三视图可知，该几何体是一个组合体，它由半个圆锥与四分之一球体组成，其中，圆锥的底面半径为，高为，体积为；球半径为，体积为，所以，该几何体的体积为，故答案为.点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12.若其中，则的展开式中的系数为_____．【答案】280【解析】分析：利用微积分基本定理，求得，可得二项展开式通项为令得进而可得结果.详解：因为，所以，展开式的通项为令得所以，的展开式中的系数为，故答案为.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.13.已知，二次三项式对于一切实数x恒成立，又，使成立，则的最小值为____．【答案】【解析】分析：对于一切实数恒成立，可得；再由，使成立，可得，所以可得，可化为，平方后换元，利用基本不等式可得结果.详解：已知，二次三项式对于一切实数恒成立，，且；再由，使成立，可得，，，令，则（当时，等号成立），所以，的最小值为，故的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.14.已知直角梯形ABCD中，，，，，，P是腰CD上的动点，则的最小值为____．【答案】【解析】分析：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，可设，可得，，利用二次函数配方法可得结果.详解：以为轴，为原点,过与垂直的直线为轴，建立坐标系，由，，，，，可得，在上，可设，则，，，即的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查向量的坐标运算、向量模的坐标表设计以及利用配方法求最值，属于难题. 若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数的最值，其关键在于正确化简为完全平方式，并且一定要先确定其定义域.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角B的大小；已知，的面积为，求边长b的值．【答案】（1）；（2）.【解析】分析：(1)由，利用正弦定理得，结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得，进而可得结果；（２）利用（1），由已知及正弦定理可得，结合的面积为，可得，由余弦定理可得结果详解：（1）由已知得，由正弦定理得，∴，又在中，，∴所以∴.（２）由已知及正弦定理又 SΔABC=，∴，得由余弦定理得.点睛：本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.16.某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目. （Ⅰ）求个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望.【答案】(1) (2)见解析.【解析】分析：（1）先利用组合知识结合古典概型概率公式求出，“个人来自于同一个专业”的概率，“个人来自于三个不同专业”的概率，再由对立事件的概率公式求解即可；（2）这人中任意选取人，的可能取值为，利用组合知识结合古典概型概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得的数学期望.详解：（1）令A表示事件“3个人来自于两个不同专业”，表示事件“3个人来自于同一个专业”，表示事件“3个人来自于三个不同专业”，则由古典概型的概率公式有；（2）随机变量X的取值为：0，1，2，3则，，,,．点睛：本题主要考查互斥事件的概率公式以及对立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先正确要理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.17.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．求证：平面BDEF；求二面角的余弦值；若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF所成角的正弦值为，求线段DM的长．【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为；（3）.【解析】分析：（1）由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质可得,根据线面垂直的判定定理可得平面；（2）先证明为等边三角形，可得，于是可以为坐标轴建立坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设由直线与平面所成角的正弦值为，利用空间向量夹角余弦公式列方程求得，从而可得结果.详解：（1）设与相交于点，连接，∵四边形为菱形，∴，且为中点，∵，∴,又，∴平面.（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∵为中点，∴，又，∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，设，∵四边形为菱形，，∴.∵为等边三角形，∴.∴，∴，设平面的法向量为，则令，得设平面的法向量为，则，令，得所以又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为（3）设所以化简得解得：所以.点睛：本题主要考查线面垂直的证明以及利用空间向量求二面角与线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.18.已知数列的前n项和满足，为常数，，求的通项公式；设，若数列为等比数列，求a的值；在满足条件的情形下，，若数列的前n项和为，且对任意的满足，求实数的取值范围．【答案】(1) ;(2) ;(3) .【解析】【分析】(1)利用项和公式求数列的通项.(2)根据解得.（3）利用裂项相消求，再求得，再解不等式即得实数的取值范围．【详解】(1),且.数列是以为首项,为公比的等比数列,.(2)由得,,,,因为数列为等比数列,所以,,解得.(3)由(2)知,,所以,所以,解得.【点睛】（1）本题主要考查项和公式求数列的通项，考查等比数列的性质，考查裂项相消求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.19.已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆相交于x轴上方的A，B两点，且．求椭圆的离心率；求直线AB的斜率；设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值．【答案】(1) 离心率;(2) ,.【解析】分析：(1)由得，化为，从而可得结果；(2)(i)由(1)可设圆的方程可写，设直线AB的方程为，联立，结合点B为线段AE的中点可得，，从而可得结果；(ii)由(i)可知当时，得，由已知得，求出外接圆方程与直线的方程，联立可得结果.详解：(1)由得，从而整理，得，故离心率(2) 解法一：(i)由（I）得，所以椭圆的方程可写设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②w由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得，将代入②中，解得.解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程消去，解得解出(依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为. 直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由解得故点睛：本题主要考查椭圆与直线的位置关系以及椭圆离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．20.已知函数，的最大值为．求实数b的值；当时，讨论函数的单调性；当时，令，是否存在区间，，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数k的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1) ;(2) 时，在单调增；时, 在单调递减，在单调递增；时,同理在单调递减，在单调递增；（3）不存在.【解析】分析：(1)利用导数研究函数的单调性，可得当时，取得极大值，也是最大值，由，可得结果；（2）求出，分三种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（3）假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，进而可得结果.详解：(1) 由题意得，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定义域为.①即,则，故在单调增②若,而,故,则当时，;当及时，故在单调递减，在单调递增。
天津市十二区县重点学校2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
天津市十二区县重点学校2017-2018学年高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）己知．其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1C．2D．32．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x﹣2y﹣3的取值范围是（）A．[﹣，3]B．[﹣2，3]C．[﹣，3）D．3．（5分）若如框图所给的程序运行结果为S=1，那么判断框中应填入的关于k的条件可以是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞64．（5分）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S5=7a4，则=（）A．15 B．17 C．19 D．215．（5分）已知点P的极坐标是，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρ=1 B．ρ=cosθC．D．6．（5分）下列四个：①“a x＜a y（0＜a＜1）”成立的充要条件是“ln（x2+1）＞ln（y2+1）”；②“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆否是“若﹣x＞﹣y，则x＜y”；③设是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．47．（5分）已知双曲线M：两个焦点为分别为，过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M、N两点，且△F1MN是等边三角形，则以点F2为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为（）A． B．C． D．8．（5分）设x，y∈R，满足，则x+y=（）A．0B．2C．4D．6二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 9．（5分）设集合，B={x∈R||x﹣2|+|x﹣3|≤3}，则集合A∩B中的所有元素之积等于．10．（5分）已知（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数项为．11．（5分）由曲线（t为参数）和y=x+2围成的封闭图形的面积为．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积为．13．（5分）如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC=2CE，过E作圆O的切线，A为切点，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE=，则BE的长为．14．（5分）在△ABC中，已知，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则的最小值为．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．16．（13分）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的固定顺序的5个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题回答的正确与否都相互独立．（Ⅰ）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．17．（13分）如（图1），直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB的中点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如（图2）．（Ⅰ）求证：DF⊥BC；（Ⅱ）求平面ABC与平面AEFD所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱AC上是否存在一点M，使直线FM与平面ABC所成角的正弦值为，若存在求出点M的一个坐标，否则说明理由．18．（13分）已知椭圆的右焦点是F（c，0），左右顶点分别为A，B，上下顶点分别是C，D，且点P（2a，b）满足PF⊥CF，（Ⅰ）求椭圆E的离心率，并证明P，B，D三点共线；（Ⅱ）对于给定的椭圆E，若点R（2a，3c），过点A的直线l与椭圆E相交于另一点Q，当△OQR的面积最大等于9，求直线l的方程．19．（14分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值（Ⅱ）已知S1=0，当n≥2时，S n=+++，求S n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a n=，T n为数列{a n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．20．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，e）的有零点，求正数a的取值范围；（Ⅲ）求证不等式对任意的正整数n都成立（其中e是自然对数的底数）．天津市十二区县重点学校2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）己知．其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1C．2D．3考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数相等的条件进行化简即可．解答：解：∵．∴2（a+i）=bi+2i2，即2a+2i=﹣2+bi，则2a=﹣2且b=2，解得a=﹣1，b=2，则a+b=﹣1+2=1，故选：B．点评：本题主要考查复数的计算，根据复数相等建立方程关系是解决本题的关键．2．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x﹣2y﹣3的取值范围是（）A．[﹣，3]B．[﹣2，3]C．[﹣，3）D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．解答：解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣3得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣3=4+2﹣3=3，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣3得z=2×﹣2×﹣3=﹣，故z∈[﹣，3）故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．3．（5分）若如框图所给的程序运行结果为S=1，那么判断框中应填入的关于k的条件可以是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=6时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出S=1，从而判断框中应填入的关于k的条件可以是k＞6．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=10，S=35满足条件，S=25，k=9满足条件，S=16，k=8满足条件，S=8，k=7满足条件，S=1，k=6此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出S=1，故判断框中应填入的关于k的条件可以是k＞6．故选：D．点评：本题主要考查循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．4．（5分）设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S5=7a4，则=（）A．15 B．17 C．19 D．21考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的求和公式和性质可得=，又=，代值计算可得．解答：解：由题意和等差数列的性质可得S5===5a3=7a4，∴=，∴==21×=15故选：A点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．5．（5分）已知点P的极坐标是，则过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A．ρ=1 B．ρ=cosθC．D．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把极坐标转化成直角坐标，进一步利用过点P且垂直于极轴的位置关系求出极坐标方程．解答：解：点P的极坐标是，转化为直角坐标为：（，），则：过点P且垂直于极轴的直线方程为：，整理为：，故选：D．点评：本题考查的知识要点：极坐标和直角坐标的互化，垂直于极轴的极坐标方程的确定．主要考查学生的应用能力．6．（5分）下列四个：①“a x＜a y（0＜a＜1）”成立的充要条件是“ln（x2+1）＞ln（y2+1）”；②“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆否是“若﹣x＞﹣y，则x＜y”；③设是任意两个向量，则“”是“”的充分不必要条件；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数（x∈R）的图象．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．4考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：①“a x＜a y（0＜a＜1）”成立的充要条件是x＞y，而“ln（x2+1）＞ln（y2+1）”⇔|x|＞|y|，即可判断出正误；②利用逆否的定义即可判断出正误；③设是任意两个向量，则“”⇔“”且方向相同，即可判断出正误；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数y==（x∈R）的图象，即可判断出正误．解答：解：①“a x＜a y（0＜a＜1）”成立的充要条件是x＞y，而“ln（x2+1）＞ln（y2+1）”⇔|x|＞|y|，因此不正确；②“若x＞y，则﹣x＜﹣y”的逆否是“若﹣x≥﹣y，则x≤y”，因此不正确；③设是任意两个向量，则“”⇔“”且方向相同，因此“”是“”的充分不必要条件，正确；④把函数y=sin（﹣2x）（x∈R）的图象上所有的点向右平移个单位即可得到函数y==（x∈R）的图象，正确．其中正确的个数是2．故选：C．点评：本题考查了函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）已知双曲线M：两个焦点为分别为，过点F2的直线l与该双曲线的右支交于M、N两点，且△F1MN是等边三角形，则以点F2为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为（）A． B．C． D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题中所给条件可知M，N关于x轴对称，|NF2|=，根据△MNF1为正三角形，可得+4c2=，由此可以求出a，即可求出以点F2为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程．解答：解：由题意可知，M，N关于x轴对称，则|NF2|=，∵|F1F2|=2c，∴|NF1|2==|MN|2=，∴+4c2=∴4a2c2=3b4∴4a2c2=3（a2﹣c2）2，∵c=，∴a=1或3（舍去），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴焦点F2到渐近线的距离为=，∴以点F2为圆心，与双曲线M的渐近线相切的圆的方程为=2，故选：A．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，关键是找出几何量之间的关系，求出a．8．（5分）设x，y∈R，满足，则x+y=（）A．0B．2C．4D．6考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件，构造函数f（t）=t5+2t+sint，利用函数f（t）的奇偶性和单调性解方程即可．解答：解：∵（x﹣1）5+2x+sin（x﹣1）=3，∴（x﹣1）5+2（x﹣1）+sin（x﹣1）=3﹣2=1，∵（y﹣1）5+2y+sin（y﹣1）=1，∴（y﹣1）3+2（y﹣1）+sin（y﹣1）=1﹣2=﹣1，设f（t）=t5+2t+sint，则f（t）为奇函数，且f'（t）=5t4+2+cost＞0，即函数f（t）单调递增．由题意可知f（x﹣1）=1，f（y﹣1）=﹣1，即f（x﹣1）+f（y﹣1）=1﹣1=0，即f（x﹣1）=﹣f（y﹣1）=f（1﹣y），∵函数f（t）单调递增∴x﹣1=1﹣y，即x+y=2，故选B．点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，利用条件构造函数f（t）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中相应的横线上. 9．（5分）设集合，B={x∈R||x﹣2|+|x﹣3|≤3}，则集合A∩B中的所有元素之积等于2．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据x为整数确定出A中的元素，进而确定出A，把A元素代入B中检验求出A与B的交集，即可求出交集中所有元素之积．解答：解：由A中不等式得：A={0，1，2}，∵B={x∈R||x﹣2|+|x﹣3|≤3}，∴A∩B={1，2}，则集合A∩B中的所有元素之积等于2．故答案为：2点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．10．（5分）已知（x2+）n的展开式的二项式系数之和为32，则其展开式中常数项为80．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由二项式系数的性质求得n，写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r，则展开式中常数项可求．解答：解：由题意知，2n=32，即n=5．∴（x2+）n=（x2+）5，由=．令10﹣，得r=4．∴展开式中常数项为．故答案为：80．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．11．（5分）由曲线（t为参数）和y=x+2围成的封闭图形的面积为．考点：参数方程化成普通方程；定积分在求面积中的应用．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．分析：先消去参数t，可得曲线为y=x2，联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=x2与直线y=2+x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．解答：解：由曲线（t为参数），可得曲线为y=x2，联立，可得或，∴曲线y=x2与直线y=2+x围成的封闭图形的面积为（x+2﹣x2）dx=（x2+2x﹣x3）|=（×4+4﹣）﹣（﹣2+）=．故答案为：．点评：本题考查参数方程和普通方程的互化，利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．12．（5分）已知某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球体积为1．考点：球的体积和表面积；简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：画出几何体的图形，判断三棱锥的形状，求出外接球的半径即可．解答：解：由题意考查几何体的图形如图，该几何体是一个底面为直角三角形，顶点在底面的射影为斜边中点的三棱锥，三棱锥的数据如图，此几何体的外接球半径为1．故答案为：1点评：本题考查球的半径的求法，考查空间想象能力以及计算能力．13．（5分）如图，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，使得BC=2CE，过E作圆O的切线，A为切点，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE=，则BE的长为3．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：利用切线的性质、角平分线的性质，证明∠ADE=∠DAE，可得AE=DE，再利用切割线定理，即可求出CE的长，即可求出BE．解答：解：∵AE是圆O的切线，∴∠EAC=∠B，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠DAC．∴∠ADE=∠DAE，∴AE=DE，设CE=x，∵AE是圆O的切线，∴AE2=CE•BE，∵BC=2CE，∴DE2=x•3x=3，∴x=1，∴BE=3．故答案为：3．点评：本题考查切线的性质、角平分线的性质，考查切割线定理，考查学生的计算能力，比较基础．14．（5分）在△ABC中，已知，S△ABC=6，P为线段AB上的点，且，则的最小值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：设AB=c，BC=a，AC=b，由sinB=cosA•sinC结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求C=90°，再由=9，S△ABC=6，可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立直角坐标系，由P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=λ+（1﹣λ）=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设出单位向量=，=，=（1，0），=（0，1）推出x=3λ，y=4﹣4λ则4x+3y=12，从而转化为一元二次函数可求最小值．解答：解：△ABC中设AB=c，BC=a，AC=b，∵sinB=cosA•sinC，∴sin（A+C）=sinCcosnA，即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA，∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0，C=90°，∵=9，S△ABC=6，∴bccosA=9，bcsinA=6，∴tanA=，根据直角三角形可得sinA=，cosA=，bc=15，∴c=5，b=3，a=4，以AC所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立直角坐标系可得C（0，0）A（3，0）B（0，4），P为线段AB上的一点，则存在实数λ使得=λ+（1﹣λ）=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设=，=，则||=||=1，=（1，0），=（0，1），由=x•+y•=（x，0）+（0，y）=（x，y），∴x=3λ，y=4﹣4λ，则4x+3y=12，∴可得x=3﹣，∴=（x，y）•（x，y﹣4）=x2+y2﹣4y=（3﹣）2+y2﹣4y=，∴可解得：的最小值为﹣．故答案为：﹣．点评：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的向量关系，建立x，y与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x+3y=12为定值，从而转化为一元二次函数可求最小值．本题考查了平面向量及应用，考查了转化思想，属于中档题．三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出φ及图中x0的值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由题意可得=cos（0+φ），可得φ的值．由=cos（πx0+），可得x0的值．（Ⅱ）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．解答：（共13分）解：（Ⅰ）∵=cos（0+φ）∴φ的值是．…（2分）∵=cos（πx0+）∴2π﹣=πx0+，可得x0的值是．…（5分）（Ⅱ）由题意可得：．…（7分）所以=…（8分）==．…（10分）因为，所以．所以当，即时，g（x）取得最大值；当，即时，g（x）取得最小值．…（13分）点评：本题主要考察了，三角函数化简求值，三角函数的图象与性质，三角函数最值的解法，属于中档题．16．（13分）某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的固定顺序的5个问题中，选手若能正确回答出三个问题，即停止答题，晋级下一轮；否则不能晋级．假设某选手正确回答每个问题的概率都是，且每个问题回答的正确与否都相互独立．（Ⅰ）求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）直接利用独立重复试验求该选手连续答对三道题晋级下一轮的概率；（Ⅱ）记该选手在本轮中答对问题的个数为随机变量X，求出概率，然后得到随机变量X的分布列，求解期望即可．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“该选手是连续答对三道题晋级下一轮”的事件为A，…（1分）则…（5分）（Ⅱ）随机变量X的可能取值为0，1，2，3．…（6分），，，，（或）（每个一分）…（10分）随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P…（11分）随机变量X的期望（个）…（13分）点评：本题考查独立重复试验的概率的求法，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．17．（13分）如（图1），直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB的中点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如（图2）．（Ⅰ）求证：DF⊥BC；（Ⅱ）求平面ABC与平面AEFD所成的锐二面角的余弦值；（Ⅲ）在棱AC上是否存在一点M，使直线FM与平面ABC所成角的正弦值为，若存在求出点M的一个坐标，否则说明理由．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：（Ⅰ）由面EBCF⊥面AEFD，DF⊥EF，利用面面垂直的性质证明DF⊥BC；（Ⅱ）以FE所在直线为x轴，FD所在直线为y轴，FC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，然后利用向量的数量积求得平面ABC的法向量，由题意可得面AEFD的一个法向量为，然后利用向量的夹角公式得答案；（Ⅲ）设存在满足条件的点M，利用向量共线的条件得到，把向量的坐标用含有λ的代数式表示，再由直线FM与平面ABC所成角的正弦值为列式求得λ的值，进一步求得点M的一个坐标．解答：（Ⅰ）证明：∵面EBCF⊥面AEFD，又DF⊥EF，面EBCF∩面AEFD=EF，DF⊂面AEFD，∴DF⊥面EBCF，又∵BC⊂面EBCF，∴DF⊥BC；（Ⅱ）解：以FE所在直线为x轴，FD所在直线为y轴，FC所在直线为z轴，建立空间直角坐标系F﹣xyz，则A（2，1，0），B（2，0，1），C（0，0，3），D（0，1，0），设平面ABC的法向量，有，∴，令x0=1，得平面CBA的一个法向量，面AEFD的一个法向量为，∴．∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦是．（Ⅲ）设存在满足条件的点M，则，有，∴，依题有，整理得（2λ﹣1）（14λ﹣11）=0，故，或，都满足0≤λ≤1，故存在满足条件的点M，其一个坐标为．点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力，训练了利用空间向量求二面角的平面角，是中档题．18．（13分）已知椭圆的右焦点是F（c，0），左右顶点分别为A，B，上下顶点分别是C，D，且点P（2a，b）满足PF⊥CF，（Ⅰ）求椭圆E的离心率，并证明P，B，D三点共线；（Ⅱ）对于给定的椭圆E，若点R（2a，3c），过点A的直线l与椭圆E相交于另一点Q，当△OQR的面积最大等于9，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用PF⊥CF，得到，推出a2=b2+c2=2ac，求出椭圆E的离心率，求出P，B，D三点坐标，利用斜率相等判断P，B，D三点共线．（Ⅱ）求出直线AR的方程，推出，设直线AQ的方程为y=k（x+2c），代入椭圆方程，设点Q的坐标为（x1，y1），求解点Q坐标，利用Q到直线AR的距离，求出三角形的面积法一：设2k﹣1=t，若t=0，当t≠0时，分别评价三角形的面积的最大值，由S△OQR的最大值是9，求解直线l的方程是x+2y+2=0．法二：设，求出导函数，令f'（k）=0得，，或，利用函数的单调性求解函数的最值，然后求解直线方程．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题可知点C（0，b），，因为PF⊥CF，所以，即（c﹣2a）c+（﹣b）2=0，…（1分）∴a2=b2+c2=2ac，故椭圆E的离心率．…（2分）此时，所以点，，所以，，故P，B，D三点共线．…（4分）（Ⅱ）依题可知直线AR的方程为，即x﹣2y+2c=0，且，…（5分）可设直线AQ的方程为y=k（x+2c），代入E方程3x2+4y2=12c2整理得（3+4k2）x2+16ck2x+16c2k2﹣12c2=0，…（6分）由于﹣2c是上述方程的一个根，因此设点Q的坐标为（x1，y1），有，…（7分）故点Q到直线AR的距离等于，…（8分）所以，…（9分）法一：设2k﹣1=t，若t=0，则S△OQR=0，当t≠0时，…（10分）若t＞0，则；若t＜0，则（当且仅当t=﹣2取等号）综上可知S△OQR的最大值是9c2…（12分）由S△OQR的最大值是9可知，故直线l的方程是x+2y+2=0．…（13分）法二：设，则，…（10分）令f'（k）=0得，，或，可知f（k）在区间内单调递减，在内单调递增，在内单调递减，又当k趋向于无穷大时f（k）的值趋向于0，并且在内f（k）＜0，在内f（k）＞0，…（11分）因此，f（k）的最大值是，f（k）的最小值是，…（12分）所以S△OQR的最大值是．由此可知c=1，直线l的方程是x+2y+2=0…（13分）（注：还有其它解法，如设点Q的坐标为，用点到直线的距离公式；或数形结合求出与直线AR平行且与椭圆相切的直线等．请老师们参照给分）点评：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，三角形的面积最值的求法，韦达定理以及弦长公式的应用，椭圆方程的求法，函数的导数的应用，考查转化思想以及计算能力．19．（14分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且=．（Ⅰ）求x1+x2的值及y1+y2的值（Ⅱ）已知S1=0，当n≥2时，S n=+++，求S n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设a n=，T n为数列{a n}的前n项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c和m的值．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的求和；数列递推式；相等向量与相反向量．专题：计算题；综合题；压轴题；函数思想；转化思想；解题方法．分析：（Ⅰ）设出M的坐标，求出，．利用=．求出x1+x2的值，再用求出y1+y2的值．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，，化简S n=+++，可求S n；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，利用a n=，T n为数列{a n}的前n项和，求出T n的表达式，结合不等式，推出c，m的范围，正整数c、m，可得c和m的值．解答：解：（Ⅰ）∵点M在直线x=上，设M．又=，即，，∴x1+x2=1．（2分）①当x1=时，x2=，y1+y2=f（x1）+f（x2）=﹣1﹣1=﹣2；②当x1≠时，x2≠，y1+y2=+===；综合①②得，y1+y2=﹣2．（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x1+x2=1时，y1+y2=﹣2．∴，k=1，2，3，，n﹣1．（7分）n≥2时，S n=+++，①S n=，②①+②得，2S n=﹣2（n﹣1），则S n=1﹣n．n=1时，S1=0满足S n=1﹣n．∴S n=1﹣n．（10分）（Ⅲ）a n==21﹣n，T n=1++=.⇔⇔．T m+1=2﹣，2T m﹣T m+1=﹣2+=2﹣，∴，c、m为正整数，∴c=1，当c=1时，，∴1＜2m＜3，∴m=1．（14分）点评：本题考查分段函数，数列的求和，数列递推式，相等向量与相反向量，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．20．（14分）已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．（Ⅰ）当a=0时，求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）在区间（1，e）的有零点，求正数a的取值范围；（Ⅲ）求证不等式对任意的正整数n都成立（其中e是自然对数的底数）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=0时，求导数，确定切线的斜率，即可求函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求导数，令f'（x）=0，得或（舍去），分类讨论，确定函数的单调性，利用f （x）在区间（1，e）的有零点，求正数a的取值范围；（Ⅲ）要证，只要证，设，确定单调性，即可证明结论．解答：解：（Ⅰ）当a=0时，．…（1分）因为k=f'（1）=﹣1，f（1）=﹣2，所以切线方程是y+2=﹣（x﹣1），即x+y+1=0…（2分）（Ⅱ）由f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx．得f′（x）=（x＞0）…（3分）因为a＞0，故令f'（x）=0，得或（舍去）．…（4分）（1）当，即a≥1时，f（x）在（1，e）上单调递增，所以f（1）＜f（x）＜f（e），而f（1）=﹣2＜0，f（e）=（e2﹣e）a﹣（2e﹣1）；…（5分）要使f（x）在区间（1，e）的有零点，应有f（e）=（e2﹣e）a﹣（2e﹣1）＞0，解得由于，故a≥1适合题意；…（6分）（2）当，即时，在上f'（x）＜0，f（x）单调递减，在上f'（x）＞0，f（x）单调递增，…（7分）故，与（1）同理有，，故适合题意．…（8分）（3）当即时，f（x）在（1，e）上单调递减，所以，在（1，e）上f（x）＜f（1）=﹣2＜0，不合题意．综上（1）（2）（3）可知，正数a的取值范围是．…（9分）（Ⅲ）证明：要证，只要证…（10分）设，则故是增函数，…（11分）当k≥2时，取，有，…（12分）在上述的不等式中分别令k=2，3，4，…，n得：，…（13分）故，所以，不等式对任意的正整数n都成立．…（14分）点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的零点，考查不等式的证明，有难度．。
2018年天津市十二校高三二模联考数学(理)试卷及解析
2018年天津市十二校高三二模联考
数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：利用一元二次不等式的解法化简集合和利用绝对值不等式的解法化简集合，从而得到的值.
详解：因为集合；集合,
所以,故选A.
2.已知x，y 满足不等式组，则目标函数的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】
分析：画出不等式组表示的可行域，平移直线，结合可行
域可得直线经过点时取到最小值.
详解：
1 / 23。
2017年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共40分）1．（5分）i为虚数单位，复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y+4的最小值为（）A．29B．25C．11D．93．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．0B．2C．4D．64．（5分）甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“x ＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）在直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，（m∈R），若直线l与圆M相交于A，B两点，△MAB的面积为2，则m值为（）A．﹣1或3B．1或5C．﹣1或﹣5D．2或66．（5分）已知双曲线﹣＝1的离心率为，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x 7．（5分）已知函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点的和为（）A．B．22n﹣1+2n﹣1C．D．2n﹣1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）8．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{m|m＝2n，n∈A}，M＝{x∈R|x＞2}，则集合B∩∁R M＝．9．（5分）（x﹣）6的展开式中x3的系数为，（用数字作答）10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其中俯视图为正三角形，则该几何体的体积为m3．11．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P，则点P落在阴影部分内的概率为．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对于任意x1，∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，若f（﹣）＝，2f（x）x＜1，则x的取值范围为．13．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共80分）14．（13分）已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．15．（13分）某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．16．（13分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2，G为EF中点．（Ⅰ）求证：OG∥平面ABE；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣A的正弦值；（Ⅲ）当直线OF与平面BDE所成角为45°时，求异面直线OF与DE所成角的余弦值．17．（13分）已知数列{a n}满足a n+2﹣a n＝d（d∈R，且d≠0），n∈N*，a1＝2，a2＝2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求d的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，c n＝（﹣1）n•b n，求数列{c n}的前2n项和S2n．18．（14分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为b，且三角形PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F1，F2分别作F1M⊥l，F2M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值．19．（14分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+ab，x∈R，其中a，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处有极小值﹣，求a．b的值；（Ⅱ）若|a|＞1，设g（x）＝|f′（x）|，求证：当x∈[﹣1，1]时，g（x）max＞2；（Ⅲ）若a＞1，b＜1﹣2a，对于给定x1，x2∈（﹣∞，1），x1＜x2，α＝mx1+（1﹣m）x2，β＝（1﹣m）x1+mx2，其中m∈R，α＜1，β＜1，若|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|，求m的取值范围．2017年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共7小题，每小题5分，共40分）1．（5分）i为虚数单位，复数（1+i）2+的共轭复数是（）A．1+3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．﹣1﹣3i【解答】解：∵（1+i）2+＝，∴．故选：C．2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y+4的最小值为（）A．29B．25C．11D．9【解答】解：画出约束条件，表示的可行域，由图可知，由：，解得A（3，1）．当直线z＝x+2y+4，过A（3，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为3+2+4＝9．故选：D．3．（5分）阅读程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．0B．2C．4D．6【解答】解：该程序框图是循环结构经第一次循环得到i＝2，s＝2；经第二次循环得到i＝3，s＝4；经第三次循环得到i＝4，s＝0；不满足判断框的条件，输出0，故选：A．4．（5分）甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“x ＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由题意，x＝9时甲的平均数为＝25.8；乙的平均数为＝25.6＞25.8，所以“x＝9”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的充分条件；而已知甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数得到x可能比9大，因此已知甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数的充分不必要条件；故选：A．5．（5分）在直角坐标系xOy中，圆M的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，（m∈R），若直线l与圆M相交于A，B两点，△MAB的面积为2，则m值为（）A．﹣1或3B．1或5C．﹣1或﹣5D．2或6【解答】解：圆M的参数方程为（t为参数），化为普通方程：（x ﹣1）2+（y+2）2＝4，可得M（1，﹣2），半径r＝2．直线l的极坐标方程为ρsin（θ﹣）＝m，展开可得：（sinθ﹣cosθ）＝m，化为：y﹣x﹣m＝0，即x﹣y+m＝0．∴圆心M到直线l的距离d＝＝．∵△MAB的面积为2，∴|AB|×＝2．又|AB|＝2，∴×d＝2，解得d＝．∴＝，解得m＝﹣1或﹣5．故选：C．6．（5分）已知双曲线﹣＝1的离心率为，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切，且圆M的半径为2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（）A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝x【解答】解：设圆心M（x0，0），x0＞0，由双曲线的离心率e＝＝＝，则b＝2a，双曲线双曲线﹣＝1渐近线方程：ay±bx＝0，即y±2x＝0，则圆心到渐近线的距离d＝＝＝2，∴x0＝，则抛物线的焦点坐标为（，0），∴抛物线的标准方程为：y2＝4x，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，则函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点的和为（）A．B．22n﹣1+2n﹣1C．D．2n﹣1【解答】解：∵函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，∴m≥1，由因为对于任意a≥0，方程f（x）＝a有且只有一个实数解，∵函数f（x）＝在定义域[0，+∞）上单调递增，且图象连续，所有m＝1其图象如下：函数g（x）＝f（x）﹣x在区间[0，2n]（n∈N*）上所有零点分别为0，1，2，3，…2n，∴所有零点的和等于．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）8．（5分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{m|m＝2n，n∈A}，M＝{x∈R|x＞2}，则集合B∩∁R M＝{0，2}．【解答】解：根据题意，集合A＝{0，1，2，3，4}，则B＝{m|m＝2n，n∈A}＝{0，2，4，6，8}，而M＝{x∈R|x＞2}，则∁R M＝{x|x≤2}，故B∩∁R M＝{0，2}；故答案为：{0，2}．9．（5分）（x﹣）6的展开式中x3的系数为15，（用数字作答）【解答】解：（x﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝C6r•（﹣1）r•，令6﹣r＝3，可得r＝2，故展开式中含x3的项的系数为C62＝15，故答案为：15．10．（5分）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m），其中俯视图为正三角形，则该几何体的体积为m3．【解答】解：由已知的三视图得到几何体如图：其体积为m3；故答案为：11．（5分）如图，在长方形OABC内任取一点P，则点P落在阴影部分内的概率为1﹣．【解答】解：由题意，首先B（1，e）在y＝a x的图象上，所以e＝a1，所以a＝e，长方形的面积为1×e＝e，阴影部分的面积为：＝（e x﹣x）＝e﹣，由几何概型的公式得到点P落在阴影部分内的概率为；故答案为：1﹣．12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且对于任意x1，∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，若f（﹣）＝，2f（x）x＜1，则x的取值范围为（0，）∪（2，+∞）．【解答】解：由f（﹣x）＝f（x），得函数f（x）是偶函数，若对于任意x1，x2∈[0，+∞），x1≠x2，均有＞0，则此时函数f（x）为减函数，若f（﹣）＝，2f（x）＜1，则f（﹣）＝，f（x）＜，即不等式等价为f（x）＜f（﹣），即f（x|）＜f（），则x＞或x＜﹣，得0＜x＜（）＝或x＞（）﹣＝2，即x的取值范围是（0，）∪（2，+∞），故答案为：（0，）∪（2，+∞）13．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为[，]．【解答】解：由＝，得∠DAC＝60°．根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N则的最大值为BA•BM＝，∴BM＝，⇒AM＝，BN＝以A为原点，ADF方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（2，0），C（），D（）根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，最小，此时＝．当点F在B处时，最大，此时＝．∴则的取值范围为[]故答案为：[]三、解答题（本大题共6小题，共80分）14．（13分）已知函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值的和为2，求a的值．【解答】解：（I）函数f（x）＝2sin（π﹣x）cos x+2cos2x+a﹣1＝sin2x+cos2x+a ＝2+a．∴f（x）的最小正周期T＝＝π．（II）∵x∈[﹣，]，∴≤2x+≤，∴∈．∴f（x）∈[a﹣1，a+2]．∴a﹣1+a+2＝2，解得a＝．15．（13分）某校高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，求事件A的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中男生人数与女生人数差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）高二年级学生会有理科生4名，其中3名男同学；文科生3名，其中有1名男同学，从这7名成员中随机抽4人参加高中示范校验收活动问卷调查，基本事件总数n＝，A为事件“选出的4人中既有文科生又有理科生”，则事件A的概率p＝1﹣＝，（Ⅱ）由题意知随机变量X的所有可能取值为0，2，4，P（X＝4）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝0）＝＝．∴随机变量X的分布列为：E（X）＝＝．16．（13分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，AB＝AE＝2，G为EF中点．（Ⅰ）求证：OG∥平面ABE；（Ⅱ）求二面角D﹣BE﹣A的正弦值；（Ⅲ）当直线OF与平面BDE所成角为45°时，求异面直线OF与DE所成角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AE⊥平面ABCD，CF⊥平面ABCD，∴AE∥CF，∵四边形ABCD为菱形，∴O为AC中点，又G为EF中点，∴OG∥AE，∵OG⊄面ABE，AE⊂平面ABE，∴OG∥平面ABE．解：（Ⅱ）分别以OD、OA、OG为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D（，0，0），E（0，1，2），B（﹣，0，0），A（0，1，0），＝（﹣，1，2），＝（），＝（），设平面BDE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝2，得＝（0，2，﹣1），设平面ABE的法向量＝（x，y，z），则，取y＝3，得＝（﹣），∴cos＜＞＝＝，∴sin＜＞＝，∴二面角D﹣BE﹣A的正弦值为．（Ⅲ）设F（0，﹣1，a），＝（0，﹣1，a），∵OF与平面BDE所成角为45°，∴＝，解得a＝3，或a＝﹣（舍），∴＝（0，﹣1，3），cos＜＞＝＝，∴异面直线OF与DE所成角的余弦值为．17．（13分）已知数列{a n}满足a n+2﹣a n＝d（d∈R，且d≠0），n∈N*，a1＝2，a2＝2，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求d的值及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，c n＝（﹣1）n•b n，求数列{c n}的前2n项和S2n．【解答】解：（Ⅰ）由已知，a3＝2+d，a7＝2+3d，∵a1，a3，a7成等比数列，∴（2+d）2＝2（2+3d），解得d＝2或d＝0（舍）．于是a n+2﹣a n＝2．当n＝2k时，a n＝a2k＝a2+（k﹣1）×2＝2k＝n；当n＝2k﹣1时，a n＝a2k＝a1+（k﹣1）×2＝2k＝n+1．﹣1∴；（Ⅱ）b n＝＝，．又c n＝（﹣1）n•b n，∴＝．于是，．18．（14分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，下顶点为B，直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，P到直线BF2的距离为b，且三角形PF1F2的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线l与椭圆C相切，过焦点F1，F2分别作F1M⊥l，F2M⊥l，垂足分别为M，N，求（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由直线BF2的方程为x﹣y﹣b＝0．则F2（b，0），c＝b，则a2＝b2+c2＝2c2，椭圆的离心率e＝＝，∴椭圆C的离心率；（Ⅱ）（1）设P（x0，y0），则＝b，则x0﹣y0﹣3b＝0，或x0﹣y0+b＝0，由，无解，，解得：，由△PF1F2的面积为S＝×2b×b＝．解得：b＝1，∴椭圆的标准方程为：，（2）设直线l：y＝kx+m，则，整理得：（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，由△＝（4km）2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝0，整理得m2＝2k2+1，丨F1M丨＝，丨F2M丨＝，当k≠0时，则丨MN丨＝，则（|F1M|+|F2N|）•|MN|＝＝＝＝≤4，当且仅当丨m丨＝1时，取等号，而k≠0，则丨m丨≠1，因此（|F1M|+|F2N|）•|MN|＜4，当k＝0时，四边形F1MF2N为矩形，此时（|F1M|+|F2N|）•|MN|＝（1+1）×2＝4，综上可知：（|F1M|+|F2N|）•|MN|的最大值为4．19．（14分）设函数f（x）＝﹣x3+ax2+bx+ab，x∈R，其中a，b∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x＝1处有极小值﹣，求a．b的值；（Ⅱ）若|a|＞1，设g（x）＝|f′（x）|，求证：当x∈[﹣1，1]时，g（x）max＞2；（Ⅲ）若a＞1，b＜1﹣2a，对于给定x1，x2∈（﹣∞，1），x1＜x2，α＝mx1+（1﹣m）x2，β＝（1﹣m）x1+mx2，其中m∈R，α＜1，β＜1，若|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵＜f′（x）＝﹣x2+2ax+b，由已知可得f′（1）＝﹣1+2a+b＝0，且f（1）＝﹣+a+b+ab＝﹣，解得a＝2，b＝﹣3或a＝﹣2，b＝5，当a＝2，b＝﹣3时，f′（x）＝﹣x2+4x﹣3，x＝1是f（x）的极小值点，当a＝﹣2，b＝5时，f′（x）＝﹣x2﹣4x+5，x＝1是f（x）的极大值点，故舍去，∴a＝2，b＝﹣3；（Ⅱ）g（x）＝|f′（x）|＝|﹣x2+2ax+b|＝|﹣（x﹣a）2+b+a2|，∵|a|＞1，∴函数f′（x）的对称轴为x＝a位于区间[﹣1，1]之外，于是g（x）在[﹣1，1]上的最大值在两端点处取得，即g（x）max＝max{g（﹣1），g（1）}，于是2g（x）max≥g（1）+g（﹣1）＝|b﹣1+2a|+|b﹣1﹣2a|≥4|a|＞4，故g（x）max＞2；（Ⅲ）由题设知，f′（x）＝﹣x2+2ax+b＜﹣x2+2ax+2a﹣1＝（x+1﹣2a）（﹣x+1），∴当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，①m∈（0，1），α＝mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1＝x1α＝mx1+（1﹣m）x2＝x2﹣m（x2﹣x1）x2＜x2，∴α∈（x1，x2），同理可得β∈（x1，x2），∵f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，∴f（x1）＞f（α）＞f（x2）且f（x1）＞f（β）＞f（x2），从而有|f（α）﹣f（β）|＜|f（x1）﹣f（x2）|符合题意，即m∈（0，1）符合题意，②m≤0时，α＝mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2＝x2β＝（1﹣m）x1+mx2≤（1﹣m）x1+mx1＝x1于是可知f（β）≥f（x1）≤f（x2）≤f（α），∴进而可得|f（α）﹣f（β）|≥|f（x1）﹣f（x2）|与题设不符③m≥1时，同理可得α＝mx1+（1﹣m）x2≤mx1+（1﹣m）x1＝x1，β＝（1﹣m）x1+mx2≥（1﹣m）x2+mx2＝x2，进而可得|f（α）﹣f（β）|≥|f（x1）﹣f（x2）|与题设不符综合①②③可得m∈（0，1）。
天津市十二校联考2017-2018届高考二模数学（理）试题含答案.docx
天津市十二校联考2017-2018届高考二模数学（理）试题含答案.docx2018 年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理）第Ⅰ卷（共40 分）一、选择题：本大题共8 个小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合 A x x 2 x 0 ， Bx x 1 ，则 A B 为（）A ． 0,1B． 0,1C． 0,1D ．1,0x y 1 0,2. 已知 x ， y 满足不等式组 xy 1 0, 则目标函数 z2x y 3 的最小值为（）3x y 3 0,A ． 1B． 2C ． 4D ． 53. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是3 ，则判断框中应填入的条件是（）4A ． i 5?B． i 5?C． i 4?D． i 4?4. 已知 m 为实数，直线 l 1 : mx y 1 0 ， l 2 : 3m2 x my 20，则“ m1”是“ l 1 / /l 2 ”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5. 已知函数 f xsin xx R,0 的最小正周期为，将 yf x 的图象向左平移个单位4长度，所得图象关于 y 轴对称，则的一个值是（）A ．．3C.D．52 848log 3 1log 1 96. 已知定义在 R 上的函数 f x x cosx ，则三个数 a 4，bf12 5，则 a ，f 77，c f 1b ，c 之间的大小关系是（）A ． ac bB． ab cb caD． c b a227. 双曲线 C : x2y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ，点 M ， N 在双曲线上，且 MN / / F 1F 2 ，abMN1F 1F 2 ，线段 F 1 N 交双曲线 C 于点 Q ， F 1Q2 F 1 N ，则该双曲线的离心率是（）25A ．5 1B 5 C. 2D．72．24 8x 12 , 1 x 2,8. 已知定义在 1,上的函数 f x1 f x ,x则下列说法中正确的个数有（）2,2 2①关于 x 的方程 f x1 0 n N 有 2n4 个不同的零点；2n②对于实数 x1,，不等式 xf x6 恒成立；③在 1,6 上，方程 6 f x x 0 有 5个零点；④当 x 2n 1 , 2nnN * 时，函数 fx 的图象与 x 轴围成的面积为 4 .A ． 0B． 1 C.2D． 3第Ⅱ卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. i 为虚数单位，设复数z 满足34i 6i ，则 z 的虚部是．z10. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线极坐R ，它与曲线x 2 3cos,标方程为4y2 3sin （为参数）相交于两点 A 、B ，则 AB．,11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．n 0 ），则 2 x 1 n 的展开式中 x312. 若x dx 49 （其中 n的系数为．n13.已知 a b ，二次三项式 ax24x b0 对于一切实数x 恒成立，又x0R ，使 ax024x0 b0 成立，则a2b2的最小值为．a b14.已知直角梯形 ABCD 中， AD / / BC ，BAD 90 ，ADC45 ，AD 2 ，BC1，P是腰 CD 上的动点，则3PA BP 的最小值为．三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）15.在锐角ABC 中，角A，B， C 的对边分别为a， b ，c，且cos Acos B23 sin C .a b3a（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）已知a sin C4 ， ABC 的面积为6 3，求边长 b 的值. sin A16.某大学在一次公益活动中聘用了10 名志愿者，他们分别来自于 A ， B ，C三个不同的专业，其中 A 专业 2 人， B 专业3人，C专业5人，现从这10 人中任意选取 3 人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求 3 个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到 B 专业的人数，求X 的分布列与数学期望.17.如图，四边形ABCD 与BDEF均为菱形，FA FC ，且DAB DBF 60 .（Ⅰ）求证： AC平面 BDEF ；（Ⅱ）求二面角 E AF B 的余弦值；（Ⅲ）若 M 为线段 DE 上的一点，且满足直线AM 与平面 ABF 所成角的正弦值为2 30，求线段 DM的15长 .18.已知数列a n的前n项和 S n满足： S n a S n a n 1 ，（a为常数，a0 ， a 1 ）.（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设 b n a n S n，若数列b n为等比数列，求 a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，c na nan 1. 若数列c n的前 n 项和为T n，且对任意n N*1 a n 11，求实数的取值范围 .满足 T n319. 已知椭圆x2y21 a b0 的两个焦点分别为F1 c,0 和 F2c,0 c 0 ，过点 Ea2a2b2,0 的直线c与椭圆交于x 轴上方的A，B两点，且F1A2F2 B .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）设点C 与点A关于坐标原点对称，直线F B上有一点H m,n m 0 在AFC 的外接圆上，求n的21m 值 .20. 已知函数 f x1 x2ax a 1 ln x ，g x b x ln x 的最大值为1.2e（Ⅰ）求实数 b 的值；（Ⅱ）当 a 1时，讨论函数 f x 的单调性；（Ⅲ）当 a 0时，令F x 2 f x g x 2ln x 2 ，是否存在区间m, n1,. 使得函数F x 在区间 m,n 上的值域为k m 2 ， k n 2 ? 若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD6-8:CDB二、填空题110.211.228013.5214.9.12.2 23三、解答题15. 解：（ 1）由已知得bcosA acosB 2 3bsinC ，3由正弦定理得 sinBcosA cosBsinA 2 3sinBsinC ，3∴ sin A B 2 3sinBsinC ，3又在ABC 中，sin A B sinC0 ，3∴sin B20 B,2∴ B.3（２）由已知及正弦定理c4又 S= 6 3，3∴2 acsin B 6 3，得 a 6ABC1由余弦定理 b2a2c22ac cos B得 b 2 7 .16.（1）令A表示事件“ 3个人来自于两个不同专业”，A1表示事件“3个人来自于同一个专业”，A2表示事件“ 3 个人来自于三个不同专业”，C3 3 C5 311p( A1 )C10 3C2 1C31C5130p( A2 )120C10 3则由古典概型的概率公式有p( A)1p( A1 )P( A2 ) 1 C 21C31C5 1 C 3 3 C5 379；C10 3C10 3120（ 2）随机变量X的取值为： 0， 1，2， 3 则p( X0)C3 0C 7 335，C10 3120p( X1)C31C7 263C10 3，120p( X2)C3 2C7 121, C10 3120p( X3)C3 3C7 01, C10 3120X0123P3563211 120120120120E ( X )035632131108 11202120．12012012017.解析：（ 1）设AC与BD相交于点O，连接FO，∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC BD ，且 O 为 AC 中点，∵FA FC ，∴ AC FO ,又 FO BD O ， BD平面BDEF , FO平面BDEF∴AC 平面 BDEF .（ 2）连接DF，∵四边形BDEF 为菱形，且DBF 60 ，∴DBF 为等边三角形，∵ O 为 BD 中点，∴ FO BD ，又 AC FO ，BD平面 ABCD , AC平面ABCD∴FO平面ABCD.∵ OA, OB, OF 两两垂直，∴建立空间直角坐标系 O xyz ，如图所示，设AB 2 ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 60 ，∴BD2, AC 2 3 .∵DBF 为等边三角形，∴OF3 .∴ A3,0,0, B 0,1,0, D 0, 1,0 , F0,0,3，∴ AD3,1,0, AF3,0,3, AB3,1,0， EF DB(0,2,0)设平面 AEF 的法向量为m( x1 , y1 , z1 ) ，则AF n3x23z20EF n 2 y20令 x1, 则z1，得m(1,0,1) 12设平面 ABF 的法向量为n( x2 , y2 , z2 ) ，则AF n3x23z20 AB n3x2y20，令x21, 则 y23, z21，得 n(1,3,1)所以cos m, n | m n |10 | m || n |5又因为二面角E AF B 为钝角，所以二面角 E AF B 的余弦值为10 5（3）设DM DE BF(0,1,3)( 0,,3), ( 01)则AM ADDM(3,1,0)(0,,3)(3,1,3)所以 | cos AM ,n| AM n |23230 |5 4 215| AM || n |24化简得8 24103所以 DM3 12.18. 解：（ 1） S n a (S n a n1), n 2时， S n -1 a (S n -1 a n -11)a n a( S n S n 1 ) aa n aa n 1,a n aa n 1 ,a n=a 且 a 0,a1an 1数列 { a n } 是以 a 为首项， a 为公比的等比数列a na n（ 2）由 b aS 得， b =2annn1b 2 =2a 2 +a b 3 =2 a 3 +a 2 +a 因为数列为等比数列，所以b 2=bb，（2a2 232+a)b n 3+a ）=2a(2a +a211解得 a= .21 n 12n(3) 由（ 2）知 c n2c n1 n1n 1(2n1)(2n 1 1)(1)( 1)22c n112n1 2n+11所以 T n = 1-11 - 11 -121 +1 22 +1 22 +1 23 +12n+1 2n +1+11 - 1 < 1，3 2n+1 +1 3所以122 ，33解得1 或-1 .319.解： (1) 由 F 1 A=2F 2 B, 得EF 2 F 2B1EF 1FA 1，2a2c1从而ca22cc整理，得 a23c2，故离心率e c3a3(2) 解法一：(i)由（I ）得b2a2c22c2，所以椭圆的方程可写2x23y26c2设直线 AB的方程为y k x a2，即 y k( x 3c) .由已知设A( x1, y1), B( x2, y2)，则它们的坐标满足方cy k (x3c)程组2x2 3 y26c2消去 y 整理，得(2 3k2) x218k2cx 27k2c26c20 . 依题意，48c2 (13k 2 ) 0，得3k333而x1 x218k2c①23k227k 2c26c2②由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以x1 x2 3k22x1 3c 2x2③联立①③解得x19k 2c2c， x29k 2c2c23k223k2将x1 , x2代入②中，解得k2. 3解法二：设A(x0 , y0 ), 利用中点坐标公式求出x0a2y0，带入椭圆方程c（,)B22x0a2y0x0 =0c22222（）（）6c消去 y 0，解得解出 k2232y 03226c22c2x03y 0( 依照解法一酌情给分)3c(ii) 由(i)可知 x 10, x 22当 k2时，得 A(0, 2c) ，由已知得 C (0,2c) .3线段 AF 1 的垂直平分线 l 的方程为 y2 c 2 x c 22 2cc 2c2直线 l 与 x 轴的交点,0 是 AFC 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为2.xyc2 122直线 F 2 B 的方程为 y2( x c) ，于是点 H （ m ，n ）的坐标满足方程组c 29c2mn 224 ，n2( m c)m 5 c由 m 0, 解得 3 2 故 n 2 2n 2 c m 5320. (1) 由题意得 g ' xlnx 1，令 g ' x0 ，解得 x1，e当 x0,1时，g ' x >0 ，函数 g (x) 单调递增；e当 x1 , 时， g 'x <0 ，函数 g( x) 单调递减 .e所以当 x1时， g (x) 取得极大值，也是最大值，e所以 g 11 b1，解得 b 0 .ee e（ 2） f (x) 的定义域为 (0,) .f ' ( x) x aa 1 x 2ax a 1 ( x 1)(x 1 a)xxx① a 1 1即 a2 , 则 f '(x)(x 1)2 ，故 f ( x) 在 (0,) 单调增x当 x (0, a1)及 x(1,) 时，f'( x)0故 f ( x) 在 (a1,1)单调递减，在 (0, a 1),(1,) 单调递增。
天津市十二校联考2017-2018届高考二模数学(理)试题含答案
A． 0
B． 1
C. 2
D． 3 第Ⅱ卷（共 110 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上） 9. i 为虚数单位，设复数 z 满足
3 4i 6i ，则 z 的虚部是 z
．
10.以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴， 并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线极坐标方程为
（ ）
①关于 x 的方程 f x
1 0 n N 有 2n 4 个不同的零点； 2n
②对于实数 x 1, ，不等式 xf x 6 恒成立； ③在 1, 6 上，方程 6 f x x 0 有 5 个零点；
n 1 n * ④当 x 2 , 2 n N 时，函数 f x 的图象与 x 轴围成的面积为 4 .
且 MN / / F1 F2 ， MN 线的离心率是（ A． ）
5 1 2
B．Leabharlann 5 2C. 2D． 7
4 8 x 12 , 1 x 2, 8.已知定义在 1, 上的函数 f x 1 x 则下列说法中正确的个数有 x 2, f , 2 2
x 2 3cos , （ 为参数）相交于两点 R ，它与曲线 4 y 2 3sin ,
． ．
A 、 B ，则 AB
11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
12.若
n
n
3 ，则 2 x 1 的展开式中 x 的系数为 x dx 49 （其中 n 0 ） n 2
cos A cos B 2 3 sin C . a b 3a
2017年天津市部分区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{x∈N|x≤4}，A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，则∁U（A ∩B）＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{0，2，4} 2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．﹣2B．4C．7D．83．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出k的值是（）A．3B．4C．5D．64．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝（b+c）2﹣4，△ABC的面积为，则A等于（）A．30°B．60°C．150°D．120°6．（5分）已知函数f（x）＝log a（4﹣ax）在[0，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F 且斜率为﹣的直线与双曲线的渐近线交于点A，若△OAF的面积为4ab（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．48．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝．10．（5分）某四棱锥和球的组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积是11．（5分）直线y＝x+3与抛物线x2＝4y所围成的封闭图形的面积等于．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝3，则直线l被圆C所截得弦的长度为．13．（5分）若正数x，y满足x+2y＝4xy，则x+的最小值为．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣ax＝0恰有1个实数根，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．16．（13分）为丰富学生的课外生活，学校组织学生代表参加电视台的公益助演活动，初中部推选了6名代表，其中男生代表2名，高中部推选了4名代表，其中男生代表2名，现从这10名学生中随机选出2名男生和1名女生为压轴节目助演．（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．20．（14分）已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）证明：当x＞1时，e x lnx＞x．2017年天津市部分区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U＝{x∈N|x≤4}，A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，则∁U（A ∩B）＝（）A．{2}B．{4}C．{2，4}D．{0，2，4}【解答】解：全集U＝{x∈N|x≤4}＝{0，1，2，3，4}，∵A＝{0，1，3}，B＝{1，3，4}，∴A∩B＝{1，3}，∴∁U（A∩B）＝{0，2，4}，故选：D．2．（5分）若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（）A．﹣2B．4C．7D．8【解答】解：画出变量x，y满足约束条件的平面区域，如图示：，由，解得A（4，﹣1），由z＝2x+y得：y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x，结合图象直线过A（4，﹣1）时，z最大，z的最大值是7．故选：C．3．（5分）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出k的值是（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：由框图知：n＝3，k＝0第一次循环n＝3不是偶数，n＝10，k＝1；第二次循环n是偶数，n＝5，k＝2；第三次循环n不是偶数，n＝16，k＝3；第四次循环n是偶数，n＝8，k＝4．满足条件n＝8，跳出循环体，输出k＝4．故选：B．4．（5分）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得﹣1＜x＜3．由x2﹣2x﹣8＜0，解得﹣2＜x＜4．∴“|x﹣2|＜1”是“x2﹣2x﹣8＜0”的充分不必要条件．故选：B．5．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2＝（b+c）2﹣4，△ABC的面积为，则A等于（）A．30°B．60°C．150°D．120°【解答】解：∵a2＝（b+c）2﹣4＝b2+c2+2bc﹣4，∴cos A＝＝＝﹣1∵△ABC的面积为，∴bc sin A＝，∴bc＝，∴cos A＝﹣1＝sin A﹣1，∴sin A＝（cos A+1）∵cos2A+sin2A＝1，∴3（cos A+1）2+cos2A＝1，∴4cos2A+6cos A+2＝0（2cos A+1）（cos A+1）＝0，∵cos A+1≠0∴cos A＝﹣，∴A＝120°，故选：D．6．（5分）已知函数f（x）＝log a（4﹣ax）在[0，2]上是单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A．（0，1）B．（1，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【解答】解：由题意可得，a＞0，且a≠1，故函数t＝4﹣ax在区间[0，2]上单调递减．再根据y＝log a（4﹣ax）在区间[0，2]上单调递减，可得a＞1，且4﹣a×2＞0，解得1＜a＜2，故选：C．7．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0），过点F 且斜率为﹣的直线与双曲线的渐近线交于点A，若△OAF的面积为4ab（O 为坐标原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．4【解答】解：过点F且斜率为﹣的直线方程为y＝﹣（x﹣c），与双曲线的渐近线y＝x，联立，得到A（，），∵△OAF的面积为4ab，∴＝4ab，∴c＝4a，∴双曲线的离心率为e＝＝4，故选：D．8．（5分）平面内三点A，B，C满足||＝3，||＝4，＝0，M，N为平面内的动点，且为单位向量，若＝2，则||的最大值与最小值的和为（）A．10B．8C．7D．5【解答】解：∵＝0，∴BA⊥BC，∵||＝1，∴M在以A为原点，1为半径的圆A上，∵＝2，∴N是MC的中点，以BC，BA为坐标轴建立坐标系，如图：则B（0，0），C（4，0），A（0，3），设M（cosθ，3+sinθ），则N（cosθ+2，sinθ+），∴||＝＝＝，∴||的最大值为＝3，最小值为＝2，∴||的最大值与最小值的和为5．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）i是虚数单位，复数z＝，则z的共轭复数＝i．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：i．10．（5分）某四棱锥和球的组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积是【解答】解：该组合体由上面为球，下面为正四棱锥组成，球的半径为1，正四棱锥的底面边长为2，高为2，则该组合体的体积是π•13+•22•2＝．故答案为：．11．（5分）直线y＝x+3与抛物线x2＝4y所围成的封闭图形的面积等于．【解答】解：由直线y＝x+3与抛物线x2＝4y，联立解得，x1＝﹣2，x2＝6．6（x+3﹣x2）dx故所求图形的面积为S＝∫﹣26＝，＝（+3x﹣）|﹣2故答案为：．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝3，则直线l被圆C所截得弦的长度为2．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ＝3，化为直角坐标方程为x2+y2＝9，直线l的参数方程为（t为参数），化为标准形式，代入圆方程可得t′2﹣6t′+17＝0设方程的根为t′1，t′2，∴t′1+t′2＝6，t′1t′2＝17，∴曲线C被直线l截得的弦长为|t′1﹣t′2|＝＝2．故答案为：2．13．（5分）若正数x，y满足x+2y＝4xy，则x+的最小值为．【解答】解：根据题意，若x+2y＝4xy，则有+＝4，则x+＝×（x+）（+）＝（++）≥（+2）＝，当且仅当x＝y＝时等号成立；即x+的最小值为；故答案为：．14．（5分）已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）﹣ax＝0恰有1个实数根，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪[1，+∞）．【解答】解：f（x）＝，作出y＝f（x）的函数图象如图所示：设直线y＝ax与y＝﹣lnx相切，切点为（x0，y0），则，解得x0＝e，y0＝﹣1，a＝﹣．∵f（x）﹣ax＝0只有一解，∴y＝f（x）与y＝ax的函数图象只有1个交点，∴a≥1或a＜﹣．故答案为：（﹣∞，﹣）∪[1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）已知函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，）上的单调性．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝4tan（x+）cos2（x+）﹣1．∵正切函数的定义域满足，x+，可得：x≠，k∈Z∴函数f（x）的定义域为{x|x≠，k∈Z}，函数f（x）化简可得：f（x）＝＝2sin（2x+）﹣1∴f（x）的最小正周期T＝；（Ⅱ）∵f（x）＝2sin（2x+）﹣1，由2x+，k∈Z得：，∵x∈（0，）上时，令k＝0，可得f（x）在区间（0，]上是单调增区间．由2x+，k∈Z．得：，∵x∈（0，）上，令k＝0，可得f（x）在区间[，）上是单调减区间．∴f（x）在区间（0，）上时，（0，]是单调增区间，[，）上是单调减区间．16．（13分）为丰富学生的课外生活，学校组织学生代表参加电视台的公益助演活动，初中部推选了6名代表，其中男生代表2名，高中部推选了4名代表，其中男生代表2名，现从这10名学生中随机选出2名男生和1名女生为压轴节目助演．（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“在选出的3名代表中，2名男生都来自初中部”，则P（A）＝＝，所以事件A发生的概率为；（Ⅱ）设X为选出的3名代表中高中部男生的人数，则X的可能取值为0，1，2；则P（X＝0）＝P（A）＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝；∴随机变量X的分布列为数学期望为EX＝0×+1×+2×＝1．17．（13分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，AB＝AD＝，BC＝BD＝2，∠CBD＝90°，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵顶点A在底面BCD上的射影O在棱BD上，∴平面ABD⊥平面BCD，∵∠CBD＝90°，∴BC⊥BD，∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴BC⊥平面ABD，AD⊂面ABD，∴BC⊥AD，由AB＝AD＝，BD＝2，得BD2＝AB2+AD2，∴AD⊥AB，∵AB∩BC＝B，∴AD⊥平面ABC．解：（Ⅱ）连结OE，分别以OE、OD、OA为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，O（0，0，0），A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（2，﹣1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），＝（2，﹣1，﹣1），＝（0，﹣1，﹣1），＝（1，0，﹣1），设＝（x，y，z）为平面ABE的一个法向量，则，取x＝1，得＝（1，﹣1，1），设AC与平面ABE所成角为θ，则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．∴直线AC与平面ABE所成角的正弦值为．（Ⅲ）＝（2，﹣1，﹣1），＝（1，0，﹣1），设平面ACE的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，则＝（1，1，1），平面ABE的法向量＝（1，﹣1，1），设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．18．（13分）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足S n＝（n∈N*）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，求数列{b n}的前2n项和T2n．【解答】解：（Ⅰ）由S n＝，得当n＝1时，，得a1＝1；当n≥2时，，化简得：﹣2）（a n+a n﹣1）＝0，得a n﹣a n﹣1＝2（n≥2）．（a n﹣a n﹣1∴数列{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（Ⅱ）∵b n＝（﹣1）n a n+（﹣1）n a n2，∴T2n＝b1+b2+b3+b4+…+b2n＝（﹣1﹣12）+（3+32）+（﹣5﹣52）+（7+72）+…+[（4n﹣1）+（4n﹣1）2]＝（﹣1+3）+（﹣5+7）+…+[﹣（4n﹣3）+（4n﹣1）]+（﹣12+32）+（﹣52+72）+…+[﹣（4n﹣3）2+（4n﹣1）2]＝2n+8[1+3+5+…+（2n﹣1）]＝2n+8•＝8n2+2n．19．（14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，上顶点与右焦点的距离为2，（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线y＝kx+2与椭圆C交于A．B两点，点D（t，0）满足|DA|＝|DB|，且t∈[﹣，﹣]，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：e＝＝，则a＝2c，由上顶点与右焦点的距离为2，则a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．，整理得：（3+4k2）x2+16kx+4＝0，由x1+x2＝﹣，x1x2＝，由△＝256k2﹣4×4（3+4k2）＞0，解得：k＜﹣，k＞，∵|DA|＝|DB|，则（+）•＝0，解得：t＝﹣，t∈[﹣，﹣]，则﹣≤﹣≤﹣，整理得：，由k＜﹣，k＞，则＜k≤，∴实数k的取值范围（，]．20．（14分）已知函数f（x）＝ae x﹣x2﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围；（3）证明：当x＞1时，e x lnx＞x．【解答】解：（1）f（x）＝ae x﹣x2﹣x的导数f′（x）＝ae x﹣x﹣1，可得曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为ae﹣2，由切线与直线x+（e﹣2）y﹣1＝0垂直，可得（ae﹣2）•（﹣）＝﹣1，解得a＝1，即f（x）＝e x﹣x2﹣x的导数f′（x）＝e x﹣x﹣1，令g（x）＝e x﹣x﹣1，g′（x）＝e x﹣1，当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）递减．即有g（x）≥g（0）＝0，即有f′（x）≥0，则f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）解法一、由f′（x）＝ae x﹣x﹣1，函数f（x）有两个极值点，即为h（x）＝ae x﹣x﹣1有两个零点，h′（x）＝ae x﹣1，当a≤0时，h′（x）＜0，h（x）递减，h（x）不可能有两个零点；当a＞0时，令h′（x）＝0，可得x＝﹣lna，当x＞﹣lna时，h′（x）＞0，h（x）递增；当x＜﹣lna时，h′（x）＜0，h（x）递减．可得x＝﹣lna处h（x）有极小值也为最小值，若函数h（x）有两个零点，则h（﹣lna）＜0，即lna＜0，即有0＜a＜1；解法二、由f′（x）＝ae x﹣x﹣1，函数f（x）有两个极值点，即为f′（x）＝ae x﹣x﹣1＝0有两个不等的实根，即有a＝有两个不等实根．令h（x）＝，h′（x）＝，当x＞0时，h′（x）＜0，h（x）递减；当x＜0时，h′（x）＞0，h（x）递增．h（x）在x＝0处取得最大值1，当x＞0时，h（x）＞0，x→+∞，h（x）→0，当x≤0时，h（0）＝1，h（﹣2）＝﹣e2＜0，结合h（x）在（﹣∞，0）递增，可得h（x）在（﹣∞，0）只有一个零点；故0＜a＜1．（3）证明：由（1）可得x＞1时，e x＞x+1＞0，lnx＞0，即有e x lnx＞（x+1）lnx，设φ（x）＝（x+1）lnx﹣x+，φ′（x）＝lnx+﹣1﹣＝lnx+（1﹣）＞0（x＞1），所以φ（x）在（1，+∞）递增，即有φ（x）＞φ（1）＝0，即（x+1）lnx＞x﹣，故当x＞1时，e x lnx＞x．。
天津市数学高考二模试卷(理科)
天津市数学高考二模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分） (2018高二下·河池月考) 设为虚数单位，则复数（）A . 0B . 2C .D .2. （2分）已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,2,3},B={3,4,5}，则=（）A . {1,2,3}B . {1,4,5}C . {1.2}D . {3,5}3. （2分）对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是（）A . 所给命题为假B . 它的逆否命题为真C . 它的逆命题为真D . 它的否命题为真4. （2分） (2016高三上·厦门期中) 已知函数f（x）= sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A . [kπ+ ，kπ+ ]，k∈zB . [kπ﹣，kπ+ ]，k∈zC . [2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈zD . [2kπ﹣，2kπ+ ]，k∈z5. （2分）(2020·重庆模拟) 已知AB是圆的任意一条直径，点P在直线上运动，若的最小值为4，则实数a的值为（）A . 2B . 4C . 5D . 66. （2分） (2017高一下·淮北期末) 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为，，中位数分别为m甲， m乙，则（）A . ，m甲＞m乙B . ，m甲＜m乙C . ，m甲＞m乙D . ，m甲＜m乙7. （2分）已知直线是圆C：的切线，且直线与直线平行，则直线的方程为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·凯里期末) 某几何体的三视图及尺寸大小如图所示，则该几何体的体积为（）A . 6B . 3C . 2D . 49. （2分） (2018高一上·台州月考) 若是定义在上的奇函数，当时，（为常数），则（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·阜阳月考) 已知函数，方程，，则方程的根的个数是（）A . 2B . 3C . 4D . 5二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2016高二下·宜春期中) 如图所示，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则P（B|A）=________．12. （1分）(2017·沈阳模拟) 已知点，点A，B是圆x2+y2=2上的两个点，则∠APB 的最大值为________．13. （1分） 2015年12月26日，南昌地铁一号线开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁游览八一广场、滕王阁、秋水广场．每人只能去一个地方，八一广场一定要有人去．则不同的游览方案有________种．14. （1分） (2018高二上·江苏月考) 已知椭圆的左右焦点为，离心率为，过的直线交于两点．若的周长为，则的方程为________．15. （1分）(2017·东台模拟) 若函数f（x）= ，在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为________．三、解答题 (共6题；共55分)16. （10分）(2020·江西模拟) 的内角的对边分别为，已知 .（1）求；（2）若，求的面积.17. （5分）(2017·蔡甸模拟) 已知数列{an}是公差为2的等差数列，数列{bn}满足，若n∈N*时，anbn+1﹣bn+1=nbn ．（Ⅰ）求{bn}的通项公式；（Ⅱ）设，求{Cn}的前n项和Sn ．18. （15分） (2019高二上·德惠期中) 如图，四棱锥中，平面，底面是正方形 ,为中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的余弦值.19. （10分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．（1）求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；（2）设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．20. （5分）(2017·淄博模拟) 已知抛物线C：y2=4x，点M与抛物线C的焦点F关于原点对称，过点M且斜率为k的直线l与抛物线C交于不同两点A，B，线段AB的中点为P，直线PF与抛物线C交于两点E，D．（Ⅰ）判断是否存在实数k使得四边形AEBD为平行四边形．若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（Ⅱ）求的取值范围．21. （10分） (2017高二下·平顶山期末) 已知函数f（x）=ax﹣（a+1）ln（x+1），其中a＞0．（1）求f（x）的单调区间；（2）设f（x）的最小值为g（a），求证：．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共55分) 16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、。
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2018 年天泽市十二重点中学高三毕业班联考（二）数学（理）第Ⅰ卷（共40 分）一、选择题：本大题共8 个小题 , 每小题 5 分 , 共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1. 已知集合 A x x 2 x 0 ， Bx x 1 ，则 A B 为（）A ． 0,1B． 0,1C． 0,1D ．1,0x y 1 0,2. 已知 x ， y 满足不等式组 xy 1 0, 则目标函数 z2x y 3 的最小值为（）3x y 3 0,A ． 1B． 2C ． 4D ． 53. 一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是3 ，则判断框中应填入的条件是（ ）4A ． i 5?B． i 5?C． i 4?D． i 4?4. 已知 m 为实数，直线 l 1 : mx y 1 0 ， l 2 : 3m2 x my 20，则“ m1”是“ l 1 / /l 2 ”的（）A ．充要条件B ．充分不必要条件 C.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5. 已知函数 f xsin xx R,0 的最小正周期为，将 yf x 的图象向左平移个单位4长度，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个值是（）A ．B．3C.D．52 848log 3 1log 1 96. 已知定义在 R 上的函数 f xx cosx ，则三个数 a 4，bf12 5，则 a ，f 77，c f 1b ，c 之间的大小关系是（）A ． ac bB． ab cC.b caD． c b a227. 双曲线 C : x2y 2 1(a 0, b 0) 的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ，点 M ， N 在双曲线上， 且 MN / / F 1F 2 ，abMN1F 1F 2 ，线段 F 1 N 交双曲线 C 于点 Q ， F 1Q2 F 1 N ，则该双曲线的离心率是（ ）25A ．5 1B 5 C. 2D．72．24 8x 12 , 1 x 2,8. 已知定义在 1,上的函数 f x1 f x ,x则下列说法中正确的个数有（ ）2,2 2①关于 x 的方程 f x1 0 n N 有 2n4 个不同的零点；2n②对于实数 x1,，不等式 xf x6 恒成立；③在 1,6 上，方程 6 f x x 0 有 5个零点；④当 x 2n 1 , 2nnN * 时，函数 fx 的图象与 x 轴围成的面积为 4 .A ． 0B． 1 C.2D． 3第Ⅱ卷（共 110 分）二、填空题（每题 5 分，满分 30 分，将答案填在答题纸上）9. i 为虚数单位，设复数z 满足34i 6i ，则 z 的虚部是．z10. 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线极坐R ，它与曲线x 2 3cos,标方程为4y2 3sin （ 为参数）相交于两点 A 、B ，则 AB．,11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．n 0 ），则 2 x 1 n 的展开式中 x312. 若x dx 49 （其中 n的系数为 ．n13.已知 a b ，二次三项式 ax24x b0 对于一切实数x 恒成立，又x0R ，使 ax024x0 b0 成立，则a2b2的最小值为．a b14.已知直角梯形 ABCD 中， AD / / BC ，BAD 90 ，ADC45 ，AD 2 ，BC1，P是腰 CD 上的动点，则3PA BP 的最小值为．三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）15.在锐角ABC 中，角A，B， C 的对边分别为a， b ，c，且cos Acos B23 sin C .a b3a（Ⅰ）求角 B 的大小；（Ⅱ）已知a sin C4 ， ABC 的面积为6 3，求边长 b 的值. sin A16.某大学在一次公益活动中聘用了10 名志愿者，他们分别来自于 A ， B ，C三个不同的专业，其中 A 专业 2 人， B 专业3人，C专业5人，现从这10 人中任意选取 3 人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求 3 个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设 X 表示取到 B 专业的人数，求X 的分布列与数学期望.17.如图，四边形ABCD 与BDEF均为菱形，FA FC ，且DAB DBF 60 .（Ⅰ）求证： AC平面 BDEF ；（Ⅱ）求二面角 E AF B 的余弦值；（Ⅲ）若 M 为线段 DE 上的一点，且满足直线AM 与平面 ABF 所成角的正弦值为2 30，求线段 DM的15长 .18.已知数列a n的前n项和 S n满足： S n a S n a n 1 ，（a为常数，a0 ， a 1 ）.（Ⅰ）求a n的通项公式；（Ⅱ）设 b n a n S n，若数列b n为等比数列，求 a 的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，c na nan 1. 若数列c n的前 n 项和为T n，且对任意n N*1 a n 1122，求实数的取值范围 .满足 T n319. 已知椭圆x2y21 a b0 的两个焦点分别为F1 c,0 和 F2c,0 c 0 ，过点 Ea2a2b2,0 的直线c与椭圆交于 x 轴上方的A，B两点，且F1A2F2 B .（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）求直线AB 的斜率；（ⅱ）设点 C 与点A关于坐标原点对称，直线F B上有一点H m,n m 0 在AFC 的外接圆上，求n的21m 值 .20. 已知函数 f x1 x2ax a 1 ln x ，g x b x ln x 的最大值为1.2e（Ⅰ）求实数 b 的值；（Ⅱ）当 a 1时，讨论函数 f x 的单调性；（Ⅲ）当 a 0时，令F x 2 f x g x 2ln x 2 ，是否存在区间m, n1,. 使得函数F x 在区间 m,n 上的值域为k m 2 ， k n 2 ? 若存在，求实数k 的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD6-8:CDB二、填空题110.211.228013.5214.529.12.2 23三、解答题15. 解：（ 1）由已知得bcosA acosB 2 3bsinC ，3由正弦定理得 sinBcosA cosBsinA 2 3sinBsinC ，3∴ sin A B 2 3sinBsinC ，3又在ABC 中，sin A B sinC0 ，3∴sin B20 B,2∴ B.3（２）由已知及正弦定理c4又 S= 6 3，3∴2 acsin B 6 3，得 a 6ABC1由余弦定理 b2a2c22ac cos B得 b 2 7 .16.（1）令A表示事件“ 3个人来自于两个不同专业”，A1表示事件“3个人来自于同一个专业”，A2表示事件“ 3 个人来自于三个不同专业”，C3 3 C5 311p( A1 )120C10 3C2 1C31C5130p( A2 )120C10 3则由古典概型的概率公式有p( A)1p( A1 )P( A2 ) 1 C 21C31C5 1 C 3 3 C5 379；C10 3C10 3120（ 2）随机变量X的取值为： 0， 1，2， 3 则p( X0)C3 0C 7 335，C10 3120p( X1)C31C7 263C10 3，120p( X2)C3 2C7 121, C10 3120p( X3)C3 3C7 01, C10 3120X0123P3563211 120120120120E ( X )035632131108 11202120．12012012017.解析：（ 1）设AC与BD相交于点O，连接FO，∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC BD ，且 O 为 AC 中点，∵FA FC ，∴ AC FO ,又 FO BD O ， BD平面BDEF , FO平面BDEF∴AC 平面 BDEF .（ 2）连接DF，∵四边形BDEF 为菱形，且DBF 60 ，∴DBF 为等边三角形，∵ O 为 BD 中点，∴ FO BD ，又 AC FO ，BD平面 ABCD , AC平面ABCD∴FO平面ABCD.∵ OA, OB, OF两两垂直，∴建立空间直角坐标系 O xyz ，如图所示，设 AB 2 ，∵四边形ABCD 为菱形，DAB 60 ，∴BD2, AC 2 3 .∵DBF 为等边三角形，∴OF3 .∴ A3,0,0, B 0,1,0, D 0, 1,0 , F0,0,3，∴ AD3,1,0, AF3,0,3, AB3,1,0， EF DB(0,2,0)设平面 AEF 的法向量为m( x1 , y1 , z1 ) ，则AF n3x23z20EF n 2 y20令 x1, 则z1，得m(1,0,1) 12设平面 ABF 的法向量为n( x2 , y2 , z2 ) ，则AF n3x23z20 AB n3x2y20，令x21, 则 y23, z21，得 n(1,3,1)所以cos m, n | m n |10 | m || n |5又因为二面角E AF B 为钝角，所以二面角 E AF B 的余弦值为10 5（ 3）设DM DE BF(0,1,3)( 0,,3), ( 01)则 AM AD DM(3,1,0)(0,,3)(3,1,3)所以 | cos AM ,n| AM n |23230 |5 4 215| AM || n |24化简得8 24103所以 DM3 12.18. 解：（ 1） S n a (S n a n1), n 2时， S n -1 a (S n -1 a n -11)a n a( S n S n 1 ) aa n aa n 1,a n aa n 1 ,a n=a 且 a 0,a1an 1数列 { a n } 是以 a 为首项， a 为公比的等比数列a na n（ 2）由 b aS 得， b =2annn1b 2 =2a 2 +a b 3 =2 a 3 +a 2 +a因为数列为等比数列，所以b 2=bb，（2a2 232+a)b n 3+a ）=2a(2a +a211解得 a= .21 n 12n(3) 由（ 2）知 c n2c n1 n1n 1(2n1)(2n 1 1)(1)( 1)22c n112n1 2n+11所以 T n = 1-11 - 11 -121 +1 22 +1 22 +1 23+12n+1 2n +1+11 - 1 < 1，3 2n+1 +1 3所以122 ，33解得1 或-1 .319.解： (1) 由 F 1 A=2F 2 B, 得EF 2 F 2B1EF 1FA 1，2a2c1从而ca22cc整理，得 a23c2，故离心率e c3a3(2) 解法一： (i)由（ I ）得b2a2c22c2，所以椭圆的方程可写2x23y26c2设直线 AB的方程为y k x a2，即 y k( x 3c) .由已知设A( x1, y1), B( x2, y2)，则它们的坐标满足方cy k (x3c)程组2x2 3 y26c2消去 y 整理，得(2 3k2) x218k2cx 27k2c26c20 .依题意，48c2 (13k 2 ) 0，得3k333而x1 x218k2c①23k227k 2c26c2②由题设知，点 B 为线段 AE 的中点，所以x1 x23k22x1 3c 2x2③联立①③解得x19k 2c2c， x29k 2c2c23k223k2将x1 , x2代入②中，解得k2. 3解法二：设A(x0 , y0 ), 利用中点坐标公式求出x0a2y0，带入椭圆方程c（,)B22x0a2y0x0 =0c22222（）（）6c消去 y 0，解得解出 k2232y 03226c22c2x03y 0( 依照解法一酌情给分)3c(ii) 由(i)可知 x 10, x 22当 k2时，得 A(0, 2c) ，由已知得 C (0,2c) .3线段 AF 1 的垂直平分线 l 的方程为 y2 c 2 x c 22 2cc 2c2直线 l 与 x 轴的交点,0 是 AFC 外接圆的圆心，因此外接圆的方程为2.xyc2 122直线 F 2 B 的方程为 y2( x c) ，于是点 H （ m ，n ）的坐标满足方程组c 29c2mn 224 ，n2( m c)m 5 c由 m 0, 解得 3 2 故 n 2 2n 2 c m 5320. (1) 由题意得 g ' xlnx 1，令 g ' x0 ，解得 x1，e当 x0,1时，g ' x >0 ，函数 g (x) 单调递增；e当 x1 , 时， g 'x <0 ，函数 g( x) 单调递减 .e所以当 x1时， g (x) 取得极大值，也是最大值，e所以 g 11 b1，解得 b 0 .ee e（ 2） f (x) 的定义域为 (0,) .f ' ( x) x aa 1 x 2ax a 1 ( x 1)(x 1 a)xxx① a 1 1即 a2 , 则 f '(x)(x 1)2 ，故 f ( x) 在 (0,) 单调增x当 x (0, a1)及 x(1,) 时，f'( x)0故 f ( x) 在 (a1,1)单调递减，在 (0, a 1),(1,) 单调递增。