《空间向量的正交分解及其坐标表示》知识导引
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
2．向量可以平移，向量p在坐标系中的坐标惟一 吗？
提示：惟一．在空间直角坐标系中，向量平移后， 其正交分解不变，故其坐标也不变．
典例精析
类型一 基底的概念
[例1] 设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b， c}是空间的一组基底，给出下列向量组：①{a，b，x}， ②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}，其中 可以作为空间一组基底的向量组有( )
类型三 求向量的坐标 [例 3] 如图 5 所示，已知点 P 为正方形 ABCD
所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABCD，M、N 分别 是 AB、PC 的中点，且 PA＝AD，求向量M→N的坐标．
图5
[分析] 空间向量的坐标源于向量的正交分解，如 果把向量a写成xi＋yj＋zk，则a的坐标为(x，y，z)；还 可利用表示向量的有向线段的起点与终点坐标写出向 量的坐标．
图4
[解] 选取{C→B，C→D，C→C1} 作为空间向量的一个基底， 设C→B ＝ a，C→D＝ b，C→C1＝ c，则 C→M＝C→C1＋C→1M＝C→C1＋12(C→1B1＋C→1D1) ＝12(C→B ＋C→D)＋C→C1 ＝12a＋12b＋ c， C→N＝C→C1＋C→1D1＋D→1N
＝C→C1＋C→D＋12(D→1D＋D→1A1)
空间向量的正交分解及其坐标表示
新知视界
1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向 量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底的概念
如果三个向量a、b、c不共面，那么空间所有向量 组成的集合就是{p|p＝xa＋yb＋zc，x、y、z∈R}这个 集合可以看作是由向量a、b、c生成的，我们把{a，b， c}叫做空间的一个基底．a、b、c叫做基向量．空间任 何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．
空间向量的正交分解及坐标表示
za
实数组( a1, a2, a3)使 a=a1i a2 j a3 k
A
有序数组( a1, a2, a3)叫做 a 在空间
直角坐标系O--xyz中的坐标，
记作. a= (a1, a2, a3)
kj
iO
y
②点的坐标
x
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点A, 对应一个向量
OA 于是存在唯一的有序实数组x, y, z，使 OA=xi y j zk
点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的
M
O中点,则 MN=(
).
(A)
1 2
a
－2
3
b
+
1 2
c
(B)－
2 3
a
+
1 2
b+
1 2
c
A
C N
(C)
1 2
a
+
12b －
23 c
B
(D)
2 3
a
+
2 3
b
－
1 2
c
【例 1】 已知{e1,e2,e3}为空间一基底,且 OA =e1+2e2-e3, OB =-3e1+e2+2e3, OC =e1+e2-e3,能否以 OA , OB , OC 构成空间的一个基底?
二、距离与夹角的坐标表示
1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式
已知 a (x, y, z),则 a x2 y2 z2
注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
（2）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1)、
B(x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
空间向量的标准正交分解与坐标表示(导纲)
§3. 1《空间向量的标准正交分解与坐标表示》——（导纲）【学习目标】1、掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，理解空间向量的投影的定义，会求 空间向量的投影。
2、从向量的几何表示到坐标表示，体会向量的几何和代数的双重特点；通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
3、经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
【合作探究】课前练习2．空间向量坐标的定义,,,,,,,.i j k x y z a OP a =1)在给定的坐标系中令为直角坐标系中轴轴轴正方向上的单位向量设是空间任意向量作00,,,,2.,,==3.(1)cos ,i j k x y z i j k i j k a a xi y j zk a xi y j zk a b b a b a a b a ++++=1.在给定的空间直角坐标系中，分别为轴，轴，轴正方向上的把叫作标准正交分解：若是标准正交基，对空间任意向量，存在三元有序实数（x,y,z ）,使，把叫作的坐标的意义投影的定义：一般地，若为的单位向量，称为向量在(2)b 向量方向上的坐标的意义：向量的坐标等于3.思考探究：4.例题讲解5.动手操作—运用公式 试一试：AB A AB B AB(1)向量的起点不在坐标原点时，向量的坐标还是终点的坐标吗？如果不是，向量的坐标是怎样的？(2)起点都在坐标原点，终点关于坐标平面对称的两个向量的坐标有什么关系？关于坐标轴对称又如何呢？111111111.,,2,3, 5.(1),,,;(2).ABCD A B C D ABBC AA C AC i j k BD -===例如图在直角坐标系中有长方体写出的坐标给出关于的分解式求的坐标111111111.,,2,3, 5.(1),,,;(2).ABCD A B C D AB BC AA B AB i j kBD -===练习如图在直角坐标系中有长方体写出的坐标给出关于的分解式求的坐标6.向量坐标的意义7.空间向量投影的定义8.思考探究：9.例题讲解C1ACa b向量在方向上的投影一定是正数吗？111 12.,,(1);(2),,.CA CB BC ABB A CA BC１１１１例如图已知单位正方体ＡＢＣＤＡＢＣＤ求向量在上的投影是单位向量且垂直于平面求向量在上的投影10.动手操作—运用公式试一试：11.例题讲解12.动手操作—运用公式 试一试：13.布置作业—自主探究一：p34面练习第1,2题二：预习下一节《空间向量基本定理》导学提纲。
314空间向量的正交分解及其坐标表示
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)【课时目标］1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题 .2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念 .3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.1. 空间向量基本定理 （1） 设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点 0,那么，对于空间任一向量 P ,存在一个 ________________ ，使得 ____________ ，我们称 ______ , ______ , ______ 为 向量P 在i 、j 、k 上的分向量. （2） 空间向量基本定理：如果三个向量 a , b , c 有序实数组｛X, y, Z ｝，使得 ________________⑶如果三个向量a , b , c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 __________________ .这 个集合可看作是由向量 a , b , c 生成的，我们把｛a , b , c ｝叫做空间的一个 __________ , a , b , c 都叫做 ___________ .空间中任何三个 __________ 的向量都可构成空间的一个基底. 2. 空间向量的坐标表示若e 1、62、e 3是有公共起点0的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为 ，以 61、62、63的公共起点 0 为原点，分别以 61、62、63的方向 为X 轴、y 轴、Z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量P ,由空间向量基本定理可知， 存在有序实数组｛X, y, Z ｝,使得p =x e 1+y 62+ Z 63,把x,y, Z 称作向量P 在单位正交基底 61, 62, 63下的坐标， 一、选择题 1. 在以下3个命题中，真命题的个数是 （ ） ① 三个非零向量 a , b , c 不能构成空间的一个基底，则 ② 若两个非零向量 a , b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则 a , b 共线； ③ 若a , b 是两个不共线向量，而 c =扫+收入吐R 且入哥0），则｛a , b , c ｝构成空间 的一个基底. A . 0 B . 1B. 设向量｛a , b , c ｝是空间一个基底，则｛a + b ,C. |（ab ）c |= a||b||c ・2. 已知0、A 、B 、C 为空间不共面的四点， —0C,则与a 、b 不能构成空间基底的是 A. 0AB . 3. 以下四个命题中，正确的是1 7 1 7A.若 0P = 20A + 30B ，贝y P 、且向量 a = 0A + 0B + 0C,向量 b = 0A + 0B0B（ ）A 、B 三点共线c.oCD.OA 或 OB，那么对空间任一向量 p,存在 记作a ,b ,c 共面; b + c , c + a ｝构成空间的另一个基底3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示I)D. △ ABC 是直角三角形的充要条件 AB AC = 04.设0 — ABC 是四面体，G i 是^ ABC 的重心，G 是OG i 上的一点，且0G = 3G,G i 若 =xOA + yOB +Z 0C ,贝U （X, y, z ）为（ A.（4,4 4） c.（3 3,3）) (3, (2 =.(3' 3' 3 3 4, 2OG5.已知点 A在基底｛a, b, c｝下的坐标为（8,6,4），其中a = i + j, b= j+ k, c= k +i,则点A在基底｛i, j, k｝下的坐标是（A. （12,14,10）C. （14,12,10）6■已知空间四边形 OABC中OA = a,N为BC的中点，贝U MN等于（）A 1 2 1A.尹-3 b+ 2c1 1 1C.^a + 2b— 2 c二、填空题)B. (10,12,14)D. (4,3,2)OHB = b, O>C = c,点 M 在 OA 上，且 OM = 2MA,2 1 1—3 a+ 2 b+2c2 2 1D.3a+ 3b—2c7.设｛i, j, k｝是空间向量的一个单位正交基底，则向量a= 3i+ 2j—k, b=— 2i+ 4j + 2k的坐标分别是______________ .8.已知空间四边形 ABCD中，A B= a — 2c, CD = 5a+ 6b— 8c,对角线 AC、BD的中点分别为E、F，则EF = ______________________ .9■已知正方体 ABCD — A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，A O = xAB+ yBC +zCC i，贝y x+y+ z=三、解答题10.四棱锥P— OABC的底面为一矩形，PO丄平面OABC设O A= a, OC = b, OP = c, E、 F分别是PC和PB的中点，用a, b, c表示BF、B E、AE、EF.11■已知PA垂直于正方形 ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD, 求MN'、DC的坐标.【能力提升】12•甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F i, F2, F3,若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1= i+ 2j+ 3k, F2=-2i + 3j- k, F3= 3i-4j+ 5k,则这三名工人的合力 F = x i + y j + z k，求x、y、乙13.如图，在正方体 ABCD — A i B i C i D i中，E、F分别是BB i、D1B1的中点，求证：EF1.空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个.一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量.2.0P = xoA = xoA + yoB + zoC，当且仅当 x+y+ z= 1 时，P、A、B、C 四点共面.3.对于基底｛a, b, c｝除了应知道a, b, c不共面，还应明确:(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的 所有向量均可由基底惟一表示.(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向 量不共面，就隐含着它们都不是0.假设存在实数 k 1, k 2,使 c + a = k 1(a + b ) + k 2(b + c ) = k 1 a + (k 1 + k 2)b + k 2c , jk1 =1; 则有*1 + k 2= 0; 方程组无解，lk2= 1.即向量a + b , b + c , c + a 不共面，故 B 正确. C 中，ab =a||b |cos 〈a , b 〉w ai I •，故 C 错.D 中，由A B A C > 0? △ ABC 是直角三角形，但^ ABC 是直角三角形，可能角B 等于90° 则有"BABC ^O .故D 错.]4. A [因为 0G= 4。
空间向量的正交分解及坐标表示
36
366
变式
分棱别长为为棱2的D正D方ⅱ, D体C?A, BBCCD的- A中ⅱB点C，ⅱD以中uA，uBur ,EuA、uDurF, uA、uAur¢G
为基(1底) uA，uEur表, uAu示Fur ,下uAuGu列r ；向量:
uuur uuur
(2)EF, EG
.
变式
分棱别长为为棱2的D正D方ⅱ, D体C?A, BBCCD的- 中AⅱB点C，ⅱD以中uA，uBur ,EuAu、Dur ,FuA、uAur¢G 为基底u，uur表uu示ur 下uuur列向量: uuur uuur z
空间向量的坐标表示
设er1，er2，er3为有公共起点O的三个两两垂直
( ) 的单位向量 我们称它们为单位正交基底 ，
以er1，er2，er3的公共起点O为原点，分别以er1，er2， er3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直 角坐标系Oxyz.那么对于空间任意一个向量pr，
一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，
(1) AE, AF, AG (2) EF, EG
思考：如果在图形中以A为原点建立空
间直角坐标系, 此时,正方体中的
各个顶点和点E、F、G坐标是多
少？问题中的坐标又是多少?
y
注:在空间直角坐标u系r 中,
x
（(21）) 若若得将到A(向xO1u,u量Puyr1,=z1uppr)平,，B(移则x2,，yupr2使的, z2它坐)，的标则起恰uA点是uBur与终= (原点x2 点-Px的1O, y坐重2 -标合y1,；，z2 - z1)
,
r j
,
r k是空间三个两两垂直的向量，
那么，对空间任一个向量pr，存在一个有序
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
������������
=
������������
+
������������
+
1 2
(������������
+
������������ )=-a+c+12(-c+b)=-a+12b+12c.
������������
=
1 2
������������
=
1 2
������������
=
12a.
延伸探究若本例条件不变,试用 a,b,c 表示向量������������.
xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
答案(1)× (2)√ (3)√ (4)√
课前篇自主预习
2.空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点的两两垂直的单位向量e1,e2,e3称为单位正交基 底. (2)空间直角坐标系 以e1,e2,e3的公共起点O为原点,分别以e1,e2,e3的方向为x轴、y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. (3)空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量p,一定可以把它平移,使它的起点与原点 O重合,得到向量 ������������ =p,由空间向量基本定理可知,存在有序实数 组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3.把x,y,z称作向量p在单位正交基底 e1,e2,e3下的坐标,记作p=(x,y,z),即点P的坐标为(x,y,z).
设������������=xi+yj,则向量������������的坐标(x,y)就是点 A 的坐标,即若 ������������=(x,y),则 A 点坐标为(x,y),反之亦成立(O 是坐标原点).
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
新知探究
问题6、上述结论就是空间向量基本定 理，其中{a，b，c}叫做空间的一个基 底，a，b，c都叫做基向量.那么空间 任意三个向量都能构成一个基底吗？ 零向量能否作基向量？一个基底中的 三个基向量是否要起点相同？
新知探究
问题7、若空间向量的一个基底中的三个 基向量互相垂直，则称这个基底为正交 基底，若三个基向量是互相垂直的单位 向量，则称这个基底为单位正交基底， 在哪些空间几何图形中能找到正交基底 和单位正交基底？
新知探究
问题8、设e1，e2，e3为有公共起点O的单位 正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、 y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz. 对于空间任意一个向量p，用基底 {e1，e2，e3}可以怎样表示？
z
p e3 e2 e1 O
p＝xe1＋ye2＋ze3
y
x
新知探究
问题9、若p＝xe1＋ye2＋ze3，则把 x, y，z称为向量p在单位正交基底e1， e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z). 对一个给定的向量p，其坐标唯一吗？
3.1.4 空间向量的正交分解 及其坐标表示
复习巩固
1.平面向量基本定理是什么？
如果a、b是同一平面内的两个不共 线向量，那么对于这一平面内的任意 向量p，有且只有一对实数λ1，λ2， 使p＝λ1a＋λ2b.
{a,b}叫做平面的一个基底
复习巩固
2.平面向量的坐标表示的基本原理是 什么？
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、 y轴方向相同的两个单位向量i、j作为 基底，若a＝xi＋yj，则把有序数对（x， y）叫做向量a的坐标，记作：
相等向量的坐标相等吗？z
p e3 e2
e1 O
y
x
314空间向量的正交分解及其坐标表示
空间向量的正交分解及其坐标表示、运算教学要求：掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．教学难点：理解空间向量基本定理．自学导引1. 空间向量的正交分解设,,i j k 是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量p ，存在一个___________,使得___________，我们称___________为向量p 在,,i j k 上的分向量.2.空间向量基本定理：____________________________________________________________3. 基底，基向量如果三个向量,,a b c 不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p |p =x a +y b + z c , x 、y 、z ∈R}.这个集合可看作是由向量,,a b c 生成的，我们把___________叫做空间的一个基底，___________都叫做基向量.空间任何___________都可构成空间的一个基底.4. 单位正交基底：设123,,e e e 为______________________的单位向量，称它们为___________.5. 空间向量的坐标表示：在空间选定一个___________{123,,e e e }，以123,,e e e 的公共起点O 为___________，分别以123,,e e e 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的___________建立空间直角坐标系O —xyz.那么对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平行移动，使它的起点___________，得到一个向量___________.由空间向量分解定理可知，_________________________________.我们把___________称作向量p (在单位正交基底123,,e e e 下)的坐标，记作___________.此时向量p 的坐标恰是点P 在空间直角坐标系O —xyz 中的坐标___________.6.空间向量的坐标表示向量在空间直角坐标系中的坐标的求法：设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB ＝___________________________，AB ＝__________________________7. 向量的直角坐标运算：设 a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则⑴a b +＝______________________； ⑵a b -＝______________________；⑶λa ＝______________________； ⑷a b ∙______________________8. 两个向量共线或垂直的判定： a ∥b _______________________; a ⊥b _____________________.9.向量的模长及夹角的坐标公式设a ＝123(,,)a a a ,b ＝123(,,)b b b ,则 |a a a ⋅ =___________; cos 〈a , b 〉=||||a b a b ⋅ =______________________. 基础练习：1.已知,,i j k 是空间直角坐标系O —xyz 的坐标向量，并且=-i+j-k ,则B 点的坐标为( )A.(-1，1，-1)B.(-i,j,-k )C.(1,-1,-1)D.不确定 2.在空间直角坐标系O —xyz 中，已知点A 的坐标为(-1，2，1)，点B 的坐标为(1，3，4)，则( )A. =(-1，2，1 )B.=(1，3，4)C.=(2，1，3)D.=(-2，-1，-3)3.已知a =（2，-3，5），b =（-3，1，-4），则a b ∙的值为______________.4.已知A (3，3，3),B (6，6，6)，O 为原点，则OA 与BO 的夹角是( ) B.π C. 23π D.2π5.已知a =(1，0，1)，b =(-2，-1，1)，c =(3，1，0)，则|a -b +2c |等于( ) A.103 102 10 D.5例1如图，M,N 分别是四面体OABC 的边OA,BC 的中点，P,Q 是MN 的三等分点。
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
设平面 AEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·A→E＝ 3x＝0， 则n·A→F＝ 23x＋12y＋z＝0，
不妨取 n＝(0,2，－1)．
因为点 M 在线段 A1D 上，AA11MD＝λ，所以A→1M＝λA→1D， 得C→M＝C→A1＋λA→1D＝(－ 3，－1,2)＋λ(0,2，－2)＝(－ 3，2λ－1,2－2λ)． 因为 CM∥平面 AEF，所以C→M⊥n，从而C→M·n＝0，即 2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，
＝49＋
12454＋14＝112454，所以|G→E|＝5125.
空间中的平行与垂直关系 (南京、盐城二模)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面四边形 ABCD 为菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝π3，E，F 分别是 BC，A1C 的中点． (1) 求异面直线 EF，AD 所成角的余弦值；
课堂导学 空间向量的基本运算 已知四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，SA⊥底面 ABCD，SA＝2，设 G 是△ABC 的重心，E 是 SD 上的一点，且 SE＝3ED. (1) 试用基底{A→B，A→D，A→S}表示向量G→E； 【解答】 连接 AG 并延长，交 BC 于 F，则 F 是 BC 的中点， 则G→E＝A→E－A→G＝(A→S＋S→E)－23A→F＝A→S＋34S→D－13(A→B＋A→C)＝A→S ＋34(A→D－A→S)－13(A→B＋A→B＋A→D)＝－23A→B＋152A→D＋14A→S.
解得 λ＝23.
用向量方法解决综合问题 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PC⊥平面 ABCD， AB∥DC，DC⊥AC，PC＝AC＝AB＝2，CD＝12AB. (1) 求证：DC⊥平面 PAC. 【分析】(1) 要证 DC⊥平面 PAC，只要证明D→C与平面 PAC 的法向量平行即可； (2) 要证明平面 PAB⊥平面 PAC，只要证明两个平面的法向量垂直即可；(3) 若能证 明P→A与平面 CEF 的法向量垂直，则问题解决．
《空间向量的正交分解及其坐标表示》教学设计
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计镇海区龙赛中学盛华一、教材分析本课时是普通高中新课程标准实验教科书《数学》选修2-1中第三章空间向量与立体几何：第一节“空间向量及其运算”的第四课时。
学生之前已经学完了必修4中的第二章：平面向量，必修2中的第一章：空间几何体和第二章：点、直线、平面之间的位置关系，以及第四章第四节：空间直角坐标系．空间向量是平面向量的推广，是二维概念到三维概念的延伸，是联系代数、几何、三角的重要载体。
本节课通过类比平面向量基本定理，给出空间向量基本定理．在此基础之上，通过空间向量的单位正交分解，完成从单位正交分解到空间直角坐标系的转换，为用空间向量解决立体几何问题做好重要的铺垫．有了空间向量基本定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间中的一个点或者一个向量与一组有序实数建立起一一对应的关系。
通过不断与平面向量进行类比来学习空间向量，把三维问题转化为二维问题，充分体现了类比思想和化归思想在研究问题过程中的重要作用。
二、学情分析学生已经理解平面向量相关知识，初步学习了空间向量在表示方法、加减运算、数乘运算、数量积运算等内容。
在将平面向量推广到空间向量时，学生会感受到维度增加所带来的复杂性。
他们虽然理解了平面向量基本定理，也具备一定的分析和解决问题的能力，但可能缺乏冷静、深刻的思考，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。
三、教学目标1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量。
2、过程与方法：通过类比、归纳、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比与化归的数学思想，加深对向量的理解。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。
原创1：3.1.4 空间向量的正交分解及坐标表示
P(x，y，z)
e3
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量p，可以把它平移到以原点O为起点， O
e1
e2
y
得到OP=p.由空间向量基本定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得p= xe1 + e2 +ze3
Q (x，y，0)
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
2
2
D
x
N
M
C
B
y
归纳小结
(1)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，
解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用．
(2)根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的
线性关系式．
三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标．
所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量．
当堂训练
＝ OA＝ a.
2
2
典例分析
在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝ ，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，
2
D为A1B1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求、1 的坐标．
【解析】(1)∵DO＝－OD＝－(OO1＋O1D)
1
＝－[OO1＋ (OA＋OB)]
2
1
1
＝－OO1－ OA－ OB.
第三章 空间向量与立体几何
§3.1.2
空间向量的正交分解及坐标表示
高中数学选修2-1·精品课件
引入课题
平面向量基本定理是什么？空间向量中有类似的结论吗？
三个不共面的向量
如果有，应该如何表述？
,
Ԧ , Ԧ
空间向量的正交分解及其坐标表示 课件
空间的一个基底.
解:假设a+b,b+c,c+a共面, 则存在实数λ,μ使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a), 所以a+b=λb+μa+(λ+μ)c. 因为{a,b,c}为基底,所以a,b,c不共面.
1=，
所以1=，此方程组无解.所以a+b,b+c,c+a不共面,
0= +，
所以{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底.
一题多变:若本例条件不变,试判断{a+b,a-b,c}能否作为空间的一个基底.
解:假设a+b,a-b,c共面, 则存在实数x,y,使c=x(a+b)+y(a-b), 即c=(x+y)a+(x-y)b, 从而由共面向量知c与a,b共面, 这与a,b,c不共面矛盾. 所以a+b,a-b,c不共面,即能作为空间的一个基底.
空间向量的正交分解及其坐标表示
知识点 空间向量基本定理
如图(1)所示,已知 AB =a, AD =b, AA1 =c, AC1 =p.
问题 1:向量 p 如何用向量 a,b,c 表示? 答案:p= AB + AD + AA1 =a+b+c.
梳理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数
OO1
-
1 2
OA - 1 2
OB ,
且| OO1 |=| AA1 |=4,| OA |=4,| OB |=2, 所以 DO =(-2,-1,-4).
XX高考数学知识点归纳：空间向量的正交分解及坐标
XX高考数学知识点归纳：空间向量的正交分解及坐标高考数学知识点：空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解的定义：对空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量，使，如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解。
空间向量的坐标表示：在空间直角坐标系o—xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组，使,初中学习方法，有序实数组叫作向量A 在空间直角坐标系o—xyz中的坐标，记作A，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使。
若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设o，A，B，c是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使。
基底在向量中的应用：用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一.在空间中选择基底主要有以下几个特点：①不共面;②有公共起点;③其长度及两两夹角已知.用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来;把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系;用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
XX高考数学必考点【空间向量的正交分解及坐标】讲解为大家精心总结的，希望大家能够在复习数学考点的时候多下功夫，这样就能在高考数学考试中取得满意的成绩。
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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
问题探究
平面中的任何一个向量p都可以用两个不共线的向量a、b来表示，对于空间任何一个向量，有没有类似的结论呢？
思路分析：有类似的结论.空间内任何一个向量p都可以用三个不共面的向量a、b、c来 表示.
自学导引
1.设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，那么，对空间任一向量，存在一个___________,使得___________，我们称___________为向量p在i、j、k上的分向量.
2.空间向量基本定理：____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ _.
3.如果三个向量a、b、c不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是{p|p=xa +yb+ zc, x、y、z∈R}.这个集合可看作是由向量a、b、c生成的，我们把___________叫做空间的一个基底(base)，___________都叫做基向量(base vectors).空间任何___________都可构成空间的一个基底.
4.设e1、e2、e3为______________________的单位向量，称它们为___________.
5.在空间选定一个___________{e1,e2,e3}，以e1、e2、e3的公共起点O为___________，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的___________建立空间直角坐标系O—xyz.那么对于空间任意一个向量p,一定可以把它平行移动，使它的起点___________，得到一个向量___________.由空间向量分解定理可知，_________________________________.我们把___________称作向量p(在单位正交基底e1、e2、e3下)的坐标，记作___________.此时向量p的坐标恰是点P在空间直角坐标系O—xyz中的坐标___________.
答案：
1.有序实数组{x,y,z} p=xi+yj+zk xi、yj、zk
2.如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x,y,z}，使得p=xa+yb+zc
3.{a、b、c} a、b、c 三个不共面的向量
4.有公共点O的三个两两垂直单位正交基底
5.单位正交基底原点正方向移动到原点O处OP=p 存在有序实数组{x,y,z},使得p=xe1+ye2+ze3x、y、z p=(x,y,z) P(x,y,z)
疑难剖析
1.建立空间直角坐标系，用坐标表示向量
向量a的坐标是指a=a1i+a2j+a3k时，有序数组(a1,a2，a3).点A的坐标与向量OA的坐标相同,即点A的坐标是以原点为起点，A为终点的有向线段对应向量的坐标.
【例1】已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD. 求MN、DC的坐标.
解析：∵PA=AD=AB,且PA ⊥平面AC ，AD ⊥AB, ∴可设=e 1, =e 2, =e 3.
以i 、j 、k 为坐标向量建立空间直角坐标系A —xyz. ∵=MA +AP +=MA +AP +
21 =MA +AP +
21(PA +AD +DC ) =-21e 2+e 3+2
1(-e 3-e 1+e 2) =-21e 1+2
1e 3, ∴=(-21,0, 2
1),=(0,1,0). 温馨提示：空间直角坐标系的建立需寻求三条两两互相垂直的直线，重视向量的坐标的定义.
【类题演练1】 在空间直角坐标系O —xyz 中，下列说法正确的是（ ）
A.向量AB 的坐标与点B 的坐标相同
B.向量AB 与点A 的坐标相同
C.向量AB 与向量OB 的坐标相同
D.向量AB 与向量OB-OA 的坐标相同
2.在空间直角坐标系中，求点的坐标
【例2】 已知正方体的棱长为2，建立直角坐标系，求正方体各顶点的坐标.
解析：设正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1，以顶点A 为原点，建立空间直角坐标系A —xyz(如右图)，由正方体的棱长为2，得A(0,0,0), B(2,0,0), C(2,2,0), D(0,2,0), A 1(0,0,2), B 1(2,0,2), C 1(2,2,2), D 1(0,2,2).
温馨提示：由空间向量的坐标表示得到空间直角坐标系中点的坐标表示，这是解本题的 思路.
【类题演练2】 与向量a=(1,1,0)平行的单位向量a 0，其坐标为（ ）
A. (1, 1, 0)
B. (0, 1, 0)
C. (22,22, 0)或(-22,-2
2,0) D. (1, 1, 1)
3.空间向量基本定理的应用
【例3】 如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点.求证：EF ⊥平面B 1AC.
证明：设AB =a, AD =c, 1AA =b,则
=1EB +B 1 =2
1(1BB +11D B ) =2
1(1AA +BD ) =2
1(1AA +AD -AB ) =21(-a+ b+ c),
1AB =+1=a+ b. ∴·1AB =
21(-a+ b+ c)·(a+ b) =2
1(b 2-a 2+c ·a+ c ·b) =2
1(|b 2|-|a|2+0+0)=0. ∴EF ⊥1AB ,即EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C.
又AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.
温馨提示：选基底最好选两两垂直的向量为基底，这样利用向量的计算来证明比较简单.
【类题演练3】 以下四个命题中正确的是…（ ）
A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B.若{a ，b ，c}为空间向量的一组基底，则{a+ b ，b+ c ，c+ a}构成空间向量的另一组基底
C.△ABC 为直角三角形的充要条件是·=0
D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
答案：1.D 2.C 3.B
拓展迁移
【拓展点】 点M 、N 、P 分别是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中的棱CC 1、BC 、CD 的中点.求证：A 1P ⊥平面DMN.
解析：建立如右图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D(0,0，0),A 1(2,0, 2),P(0,1,0),M(0,2,1),N(1,2,0).
∴向量P A 1=(0,1,0)-(2,0,2)=(-2,1,-2),
=(0,2,1)-(0,0,0)=(0,2,1),
DN=(1,2,0). ∴P A 1·DM =(-2,1,-2)·(0,2,1)=(-2)×0+1×2+(-2)×1=0,
P A 1·DN =(-2,1,-2)·(1,2,0)=(-2)×1+1×2+(-2)×0=0. ∴A 1⊥, A 1⊥,
即直线A 1P ⊥DM,A 1P ⊥DN.
又∵Dm ∩DN=D,∴A 1P ⊥平面DMN.。