广西贵港市桂平市第五中学2019_2020学年高二数学下学期线上教学质量检测试题理

广西贵港市桂平市第五中学2019-2020学年高二数学下学期线上教
学质量检测试题 理
一. 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．用反证法证明“若△ABC 的三边a ，b ，c 的倒数成等差数列，则B <π
2
”时，应假设( )
A ．
B >π2 B ．B ＝π2
C ．B ≥π2
D ．B ≤π2
2. 若复数2
21z i i
=+
+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为（ ）
A ．2
2 C D ．2
3. 我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋B
2
，通过类比的
方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )
A ．3
B ．5 C. 521
7
D ．3 5
4．用数学归纳法证明2n
＞2n ＋1，n 的第一个取值应是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5. 某中学的综合教学楼除了从一楼到二楼有6个楼梯外，其他任何两个楼层之间均为5个楼梯，则从一楼上到4楼共有多少种不同的走法（ ）
A ． 150 种
B ．16 种
C ．750种
D ．21种
6. .若从6位志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作中的一种，现已确定这6人中的甲必须选上且专门从事翻译工作，则不同的选派方案有( ) A ．24种 B ．60种 C ．360种 D ．243种
7．设曲线)1ln(+-=x ax y 在点(0，0)处的切线方程为x y 2=，则=a ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8. 若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( )
A ．ac 2＜bc 2
B ．a 2＞ab ＞b 2
C. 1a ＜1b
D. b a ＞a b
9．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
10.在武汉某方仓医院中，医疗组在研究治疗轻症患者的方案中，有A ，B ，C ，D ，E 共5种消炎药和甲，乙，丙，丁共4种退烧药可供选择，要从中选两种消炎药和一种退烧药搭配组成一个方子，其中消炎药A ，B 不能共用，而消炎药A 也不能与退烧药甲共用，而消炎药B 必须与退烧药丁共用，则一共可以组成多少种不同的方子（ ）
A ．32种
B ．18 种
C ．21种
D ．24种
11..如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作； 然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三 角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形， 共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个 小三角形，则需要操作的次数是（ ）．
A ．25
B ．32
C ．33
D ．35
12．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不
可能得第一名；观众丙猜测：1, 2, 6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4, 5, 6号选手
都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，
此人是( )
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 若1a i
z i
+=
-是纯虚数，则实数a 的值是 14．若n x
x )1(-展开式的第4项含3x ，则n 的值为 15.
=+⎰
2
1
)1
(dx x
e x
16. 已知223)(a bx ax x x f +++=在x ＝1处有极值为10，则=+b a . 三. 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （10分）已知函数f (x )＝x 3
－ax ，f ′(1)＝0. (1)求a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间.
18. （12分） 6个人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻； (3)甲、乙不相邻；
19. （12分）设f(x)＝a(x－5)2＋6ln x，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2.
(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.
20. （12分）已知四棱锥S­ABCD中，底面是边长为1的正方形，又SB＝SD＝2，SA＝1.
(1)求证：SA⊥平面ABCD；
(2)在棱SC上是否存在异于S，C的点F，使得BF∥平面SAD？
若存在，确定F点的位置；若不存在，请说明理由．
21. （12分）用长为15 cm ，宽为8 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别裁去一个边长为x 的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时，容器的容积最大？
22．（12分）已知函数f (x )＝ln(ax ) (a ≠0，a ∈R )，g (x )＝x －1
x
. (1)当a ＝1时，记φ(x )＝f (x )－
x ＋1
x －1
，求函数φ(x )的单调区间； (2)若f (x )≥g (x )(x ≥1)恒成立，求实数a 的取值范围．
二. 选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 选：C
2. 选 A 解析：()()()
212
22211111i z i i i i i i i i -=+
=+=+-=+++- z ∴= 3. 选B 解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By
＋Cz ＋D ＝0
的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|
12＋22＋2
2
＝5，故选B. 4. 选C 解析：∵n ＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n
＞2n ＋1不成立；
n ＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n ＞2n ＋1不成立； n ＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n ＞2n ＋1成立． ∴n 的第一个取值应是3.
5.答案A 解析：由分步计数原理知共有150556=⨯⨯种不同的走法.
6. 选B 解析：由排列的定义可知所求为A 3
5＝60种．
7. 选D 解析：1
1+-='x a y ，由题意得2|0='=x y ，即21=-a ，所以3=a .
8. 选B 解析： a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2
－ab ＞0，
∴a 2＞ab .① 又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2
，②
由①②得a 2＞ab ＞b 2
.
方法二：若0=c ，则A 不成立，取2-=a ，1-=b ，分别代入后三项，即可知道只有B 正确. 9. 选B 解析：对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确； 对于C 和D ，大前提均错误．故选B.
10.答案：D 解析：①当消炎药有A 时，共有91313
=C C ，②当消炎药有B 时，共有31113=C C ，
③当消炎药没有A 和B 时，共有121
423
=C C .所以一共可以组成241239=++种不同的方子 11.选 C 解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共
有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.
12. 选D 解析：若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确. 二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.填1 解：()()()()()11111
111222
a i i a a i a i a a z i i i i ++-+++-+=
===+--+， 由纯虚数可得
1
012
a a -=⇒= 14．第4项为6
33334)1()1(--⋅-=-⋅⋅=n n n n
x C x
x C T ，令36=-n ，则9=n ． 15. 填 e 2
－e ＋ln2. 解析：(2)⎰+21)1(dx x e x ＝⎰21dx e x ＋⎰211dx x
＝e x |21＋ln x|21＝e 2
－e ＋ln2.
16. 填 －7 解析; f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得
⎩
⎪⎨⎪⎧
f ′1＝3＋2a ＋b ＝0， ①
f 1＝1＋a ＋b ＋a 2
＝10， ②
联立①②得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝－11，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－3，
b ＝3.
当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2
＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1) 在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．
当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2
在x ＝1两侧的符号相同， 所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去． 综上可知a ＝4，b ＝－11，∴7-=+b a .
四. 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解：(1)f ′(x )＝3x 2
－a ，由f ′(1)＝3－a ＝0，得a ＝3. (2)∵f (x )＝x 3
－3x ，∴f ′(x )＝3x 2
－3.
令f ′(x )＞0，得x ＜－1或x ＞1. 令f ′(x )<0，得－1<x ＜1
所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间是[－1，1]． 18 .解：(1)解法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个有A 1
4种站法，
然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A 5
5种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A 14·A 5
5＝480(种)．
解法二：若对甲没有限制条件共有A 66种站法，甲在两端共有2A 5
5种站法，从总数中减去
这两种情况的排列数即得所求的站法数有A 66－2A 5
5＝480(种)．
(2)解法一：先把甲、乙作为一个“整体”看作一个人与其余4人排队，有A 5
5种站法，
再把甲、乙进行全排列，有A 22种站法，根据分步乘法计数原理，共有A 55·A 2
2＝240(种)站法．
解法二：先把甲、乙以外的4个人作全排列，有A 4
4种站法，再在5个空档中选出一个供
甲、乙站入，有A 15种方法，最后让甲、乙全排列，有A 22种方法，共有站法A 44A 15A 2
2＝240(种)．
(3)因为甲、乙不相邻，中间有隔档，可用“插空法”．第一步先让甲、乙以外的4个
人站队，有A 44种；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中，有A 2
5种，故共有
站法为A 44A 2
5＝480(种)．
19.解：(1)f ′(x )＝2a (x －5)＋6x ，依题意，f ′(1)＝6－8a ＝2，得a ＝1
2
.
(2)由(1)知，f (x )＝12
(x －5)2
＋6ln x (x ＞0)，
f ′(x )＝x －5＋6
x
＝
（x －2）（x －3）
x
.
令f ′(x )＝0，得x ＝2或3.
x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (0，2) 2 (2，3) 3 (3，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
↗
极大值
↘
极小值
↗
故f (x )的单调增区间为(0，2)和(3，＋∞)，单调减区间为(2，3)．
f (x )的极大值f (2)＝92
＋6ln2，极小值f (3)＝2＋6ln3.
20.(1)证明：由已知得SA 2
＋AD 2
＝SD 2
，
∴SA ⊥AD .同理SA ⊥AB .
又AB ∩AD ＝A ，∴SA ⊥平面ABCD .
(2) 解：假设在棱SC 上存在异于S ，C 的点F ，使得BF ∥平面SAD . ∵BC ∥AD ，BC ⊄平面SAD . ∴BC ∥平面SAD .而BC ∩BF ＝B ， ∴平面SBC ∥平面SAD .
这与平面SBC 和平面SAD 有公共点S 矛盾，
∴假设不成立．故不存在这样的点F ，使得BF ∥平面SAD . 21. 解：依题意，0＜x ＜4，
容积V ＝(15－2x )·(8－2x )·x ＝4x 3
－46x 2
＋120x ， v '＝12x 2
－92x ＋120＝4(3x －5)(x －6)．
令v '＝0，得x ＝5
3
或6(舍去)．
当0＜x ＜53时，v '＞0，V 递增；当5
3＜x ＜4时，v '＜0，V 递减．
所以高x ＝5
3 cm 时容器的容积最大．
22.解；(1)当a ＝1时，φ(x )＝f (x )－
x ＋1x －1＝ln x －x ＋1x －1，则φ′(x )＝1x ＋2
x －1
2
＝
x 2＋1
x x －1
2
.
因为x >0且x ≠1，所以φ′(x )>0.
故函数φ(x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)因为ln(ax )≥
x －1
x
对x ≥1恒成立， 所以ln a ＋ln x ≥
x －1x ，即ln a ≥1－1
x
－ln x 对x ≥1恒成立． 令h (x )＝1－1x
－ln x ，则h ′(x )＝1x
2－1
x
，因为x ≥1，故h ′(x )≤0.所以h (x )在区间[1，
＋∞)
上单调递减，由ln a ≥h (x )max ＝h (1)＝0，解得a ≥1. 故实数a 的取值范围为[1，＋∞)．。