高二数学定积分在几何中应用
定积分在几何和物理中的应用
定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积，还可以应用到物理学、工程学中。
在本文中，我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。
一、计算面积我们首先来看一个简单的例子，如果我们想要计算一个曲线所围成的面积，我们需要怎么做呢？假设曲线为y=f(x)，我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形，每个小矩形的宽度为Δx，高度为函数值f(x)，则该小矩形的面积为f(x)Δx。
我们将所有小矩形的面积相加，得到所求的曲线面积S：S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。
这里的∫符号代表积分符号，具体的计算方法不在本文中详细说明。
二、计算体积在物理学中，我们经常需要计算物体的体积，定积分也可以帮助我们实现这一目的。
比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积，我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积，每个小圆柱的体积可以表示为：V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加，得到所求的立体体积V：V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中，重心和质心是非常重要的概念。
对于一个平面图形或者一个立体体形，它的重心和质心分别表示为：重心：(∫xdS)/(∫dS)质心：(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元，x则表示距离中心的距离。
我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。
四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛，比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。
举一个简单的例子，假设质量为m的物体从高度为h处自由落下，当它下落到高度为y 时，它的速度为v，我们可以使用动能和势能的转化关系求出v，设重力加速度为g，则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy，同时增加的动能为(1/2)mv^2，因此：mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态，以及计算其他物理量的值。
高中数学-定积分在几何中的应用-课件
求由一条曲线 y＝f(x)和直线 x＝a，x＝b(a<b)及 y＝0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示，f(x)>0， bf(x)dx>0. a
∴S＝ bf(x)dx. a
②如图 2 所示，f(x)<0， bf(x)dx<0， a
∴S＝| bf(x)dx|＝－ bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
＝136，
8
S2＝2 [4－x－(－ 2x)]dx
＝4x－12x2＋2
3
2x32|
8 2
＝338，
于是 S＝136＋338＝18.
方法二：选y作为积分变量，
将曲线方程写为x＝y22及x＝4－y.
则S＝2－44－y－y22dy
＝4y－y22－y63|
2 －4
＝18.
变式训练 1：由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成
解．
由方程组
y2＝2x y＝4－x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8，－4)．
方法一：选 x 作为积分变量，由图可看出 S＝S1＋S2，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y＝ 2x，
在 x 轴下方的方程为 y＝－ 2x，
2
所以 S1＝0 [ 2x－(－ 2x)]dx
＝2
2 1
20x2 dx＝2
❖1．7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1．理解定积分的几何意义．
❖ 2．会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积．
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义．
由三条直线 x＝a，x＝b(a<b)，x 轴及 一条曲线 y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S＝________.
高二数学定积分在几何中的应用1
y
y x2
1
C
B
y2 x
DA
o
1x
以看出,所求图形的 面积可以转化为两
图1.7 1
个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求面
积 S.为了确定出被积函数和积分的上、下限,
我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
；宁波出海捕鱼 宁波出海捕鱼
；
，我何以摆脱猎物的命运？ 一桩新闻 小女孩和家长失散了，便衣警察走过来，小朋友我送你回家吧，小女孩怒斥：“走开，骗子！”便衣很委屈，我不是骗子我是警察啊，小女孩更怕了，“骗子都说自己是警察！”便衣晃晃件，你看我是真的，小女孩撇撇嘴，朝向栏杆上的小广告，“妈妈说，最 骗人的就是件”。 一则笑话 窃贼用入室偷的钱去买烟，烟是假的。烟主乐滋滋去买水果，秤是黑的。果商替家里去买肉，肉注过水。肉贩子正数钞票，制服从天而降，罚款。城管拿罚来的钱去药店，药是过期的。药老板正准备打烊，手机响，老婆哭家里失窃 谁酝酿了这样的活法？谁制造了这样 的游戏？ 谁能说服大家换个逻辑，取消饥饿的欲望和抢劫的眼神？谁来平息这场你中有我、我中有你的精神骚乱？谁替我们在垃圾上铺种花草，谁为我们娶回远去的童话？ 我们如何才能安然无恙？ 谁能发明一种催眠，让坏心眼一发芽即昏昏欲睡？谁能设计一种篱笆，让恶和恶、善和善单独在一 起就像幼儿园里的大小班？或学《木偶奇遇记》里的皮诺乔，一动邪念，鼻子就嗖嗖蹿出去。 童话的迷人，因为她有一个灿烂的人生公式，逻辑简单，命运可靠，前途像小蝌蚪找妈妈一样光明，晶莹就是光明。 人，何时能把自己送回去呢？还回得去吗？ 生存在当代截面上 ? 傍晚，沿故宫外河沿， 遛弯。 蓦地，一群念头像蚯蚓纷纷钻出来：你说不才百余年嘛，人间咋就弄成了这模样？多少千年秉承的东西，到这儿就突然拐了弯，改了辙，换了理秦汉的月亮还挂在那儿，但眼皮下已面目全非你说，那和珅要是哪天醒来到王府井转转，会怎样表情？屁股冒烟的车在他眼里会不会是骡马新品种？ 一个汉朝人和一个明朝人，对调一下位置，也能活，眼前景象和风物不至于太陌生，生存内容和规矩也差不离儿。但一个古人若来到今天，恐怕呆若木鸡，腿都迈不开了。 现代生存的复杂性，足以让最聪明的古人变成白痴。 那么，我们能适应几百年后的世界吗？ 难说，于之而言，我们也是古人。 由此想到一个逻辑：生活，从前不是这样子，未来也不是这样子，仅仅现在，只有今天，才是今天这样子！那么，我们正如火如荼的所有游戏，政治、经济、文化、伦理、标榜、时尚一切一切，皆当代截面上的可怜风景，皆历史的散曲儿 弹指间，即吟罢作废，形同儿戏，犹如舞台上古装戏的热闹。 后世看我们，若今生看古人。 想到这儿，我突然觉得眼前的景象很滑稽：立交桥，红绿灯，广告牌，刹车线，广楼巍厦，大屏幕上的股市盘和周杰伦 它们并非从来就有，也不会永远有。我所知的是：一切偶然，一切疾匆。 想起莎士比亚对时代的嘲讽：“充满了声音和狂热，里面空无 一物。” 那么，时间深处有没有更牢固和可靠之物？于人生而言，哪些元素更值得亲近和秉持呢？ 我想，若一个人更多地和“经典”“永恒”打交道，而非仅滞留在当代截面上只厮磨于时代游戏，那么，其人生也就倾向了立体，趋于饱满，有了更多的安全感和归巢感。如此，你栖息和消费的即仅非当代， 而是整个人类家园和丰饶的历代菁华。无形中，你的“一辈子”与人类的“一辈子”，即有了某种精神和美学的联络，即有了更大的资源和背景支持，即不枉世间走一遭。 因为你上下通了，你和底座有了关系，仿佛枝找到了根。否则，人生即显得矮、薄、单，有点轻，有点亏。像无土栽培的花。 何以称得上“永恒”和“经典”呢？ 我想，这大概算一个办法：在天堂或地狱，当你遇见一个宋朝人或元朝人，若你说的他能懂、他说的你也懂，那这个事就是永恒的。比如说天气、煮茶、下棋，比如说音乐、书法、爱情否则，即当代截面上的，昙花一现，靠不住。比如你说向雷锋同志学习，说 行车单双号，说华尔街金融风暴，人家就听不懂。 以上例子算玩笑，但思路是认真的。 我突发奇想：你说，人间是否已无须大刀阔斧地生产和改造，只需修复与还原即可？比如还原水、空气、山林，还原房屋和街道的宽松，还原人生的醉意朦胧和晨暮散步，还原事物的本来面目和古老秩序？ 我 怎么动辄念叨古时候呢？ 大概，它意味着游戏之单纯、程序之简明，意味着一种悠闲、朴拙和谦卑的生存精神。 它让人活得省心，省劲。不复杂，不折腾。 至于古代的利益争斗和营生哲学，和现代比，简直童话水平。 看看那些成语吧，什么郑人买履、掩耳盗铃，什么草船借箭、蒋干盗书真是可 爱至极，憨厚死了。 连《周易》和孔子的深邃，都透着婴儿般的清澈。 变和巨变是一种意义，不变和少变也是种意义。 在追求“变”的同时，我们有无智慧收留一种“不变”，养护和传递一种“常在”呢？我们有无能力打通并维系一种“过去、现在、未来”的联系呢？并充满敬畏和喜悦地活在 这样的秩序中，享受由“完整”“安宁”带来的好处？ 人生被猎物化 ? 你说，那“人造鸡蛋”是咋整的？那烂皮鞋咋就煮成了胶囊和果冻？你说，谁第一个想起用甲醛喂海鲜的呢？你说，怎样让王八仨月长一年的个他们咋就这么聪明、化学使得这么好呢？ 人人都是发明家、魔术师，人人被逼成 了质检员、化验工。 这是个人人成精的时代。 你不精，就会被精吃掉。 我想起了唐僧肉和《西游记》，里头最缺的是人，最盛的是妖。 人生，被猎物化，被拖进了丛林。 人人自危，人人忧愁，随时随地欲和全世界斗智斗勇。 人人过着一种防御性生活。人人都在挖战壕，筑工事，然后跳 进去。 这种苦力，这种为假想敌实施的备战，让人生元气大损，奄奄 一息。 这不是生活，这只是紧张地准备生活。 生活和准备生活是两回事。 不是肇事者，就是受害者和潜在受害者，无路可逃。 村里人在小河边琢磨红心鸭蛋。城里人在车间里配制婴儿奶粉。 皆绞尽脑汁，皆茅塞顿开，皆肆无忌惮。 正像歌里唱的：大家一起来，一起来 这是个怎样的循环？怎样的生存共同体？怎样同归于尽的游戏？ 我们的底限在哪儿？这筐还有底、还能盛东西吗？老祖宗的“己所不欲，勿施于人”还有人听吗？ 有谁暴喝一声“停” 让大家都罢手？ 想起电影里常有的一情景：彼此给对方酒里埋了毒，又笑 盈盈举杯邀明月，自以为聪明，自以为笑到最后 他妈的，天真哪儿去了？ 每个故乡都在消逝 ? ? 我要还家，我要转回故乡。 我要在故乡的天空下，沉默寡言或大声谈吐。 海子 1 先讲个笑话。 一人号啕大哭，问究竟，答：把钱借给一个朋友，谁知他拿去整容了。 在《城市的世界》中，作者安 东尼·奥罗姆说了一件事：帕特丽夏和儿时的邻居惊闻老房子即将拆除，立即动身，千里迢迢去看一眼曾生活的地方。他感叹：“对我们这些局外人而言，那房子不过一种有形的物体罢了，但对于他们，却是人生的一部分。” 这样的心急、这样的驰往和刻不容缓，我深有体会。 现代拆迁的效率太 可怕了，灰飞烟灭即一夜之间。来不及探亲，来不及告别，来不及救出一件遗物。对一位孝子来说，不能送终的遗憾，会让他失声痛哭。 2006年，在做唐山大地震30年纪念节目时，我看到一位母亲动情地向儿子描述：“地震前，唐山非常美，老矿务局辖区有花园，有洋房，最漂亮的是铁菩萨山下 的交际处工人文化宫里可真美啊，有座露天舞台，还有古典欧式的花墙，爬满了青藤 开滦矿务局有带跳台的游泳池，有个带落地窗的漂亮大舞厅 ” 大地震的可怕在于，它将生活连根拔起，摧毁着物象和视觉记忆的全部基础。做那组电视节目时，竟连一幅旧城容颜的都难觅。 1976年后，新一代唐 山人对故乡几乎完全失忆。几年前，一位美国摄影家把1972年偶经此地时拍摄的照片送来展出，全唐山沸腾了，睹物思情，许多老人泣不成声。因为丧失了家的原址，30年来，百万唐山人虽同有一个祭日，却无私人意义的祭奠地点。对亡灵的召唤，一直是十字路口一堆堆凌乱的纸灰。 一代人的祭 日，一代人的乡愁。 比地震更可怕的，是一场叫“现代化改造”的人工手术。一次城市研讨会上，有建设部官员忿忿地说：中国，正变成由1000个雷同城市组成的国家。 如果说在这个世界上，每个人都只能指认和珍藏一个故乡，且故乡信息又是各自独立、不可混淆的，那么，面对千篇一律、形同 神似的1000个城市，我们还有使用“故乡”一词的勇气和依据吗？我们还有抒情的可能和心灵基础吗？ 是的，1000座镜像被打碎了，碾成粉，又从同一个模具里脱胎出来，此即“日新月异”“翻天覆地”下的中国城市新族。它们不再是一个个、一座座，而是身穿统一制服的克隆军团，是一个时代 的集体分泌物。 每个故乡都在沦陷，每个故乡都因整容而毁容。 读过昆明诗人于坚一篇访谈，印象颇深。于坚是个热爱故乡的人，曾用很多美文描绘身边的风物。但10年后，他叹息：“一个焕然一新的故乡，令我的写作就像一种谎言。” 是的，“90后”一代肯定认为于坚在撒谎、在梦呓。因为 他说的内容，现实视野中根本没有对应物。该文还引了他朋友的议论：“周雷说：如果一个人突然在解放后失忆，再在今年醒来，他不可能找到家，无论他出生在昆明哪个角落。 杜览争辩道：不可能，15年前失忆，现在肯定都找不到。 ” 这不仅是诗人的尴尬，而且是时代所有人的遭遇。相对而 言，昆明的被篡改程度还算轻的。 2 “故乡”，不仅仅是个地址和空间，它是有容颜和记忆能量、有年轮和光阴故事的，它需要视觉凭，需要岁月依据，需要细节支撑，哪怕蛛丝马迹，哪怕一井一石一树否则，一个游子何以与眼前的景象相认？何以肯定此即梦牵魂绕的旧影？此即替自己收藏童年、 见青春的地方？ 当眼前事物与记忆完全不符，当往事的青苔被抹干净，当没有一样东西提醒你曾与之耳鬓厮磨、朝夕相处它还能让你激动吗？还有人生地点的意义吗？ 那不过是个供地图使用、供言谈消费的地址而已。就像的车站名，你若以为它们都代表“地点”并试图消费其实体，即大错特错了： “公主坟”其实无坟，“九棵树”其实无树，“苹果园”其实无园，“隆福寺”其实无寺 “地址”或许和“地点”重 合，比如“前门大街”，但它本身不等于地点，只象征方位、坐标和地理路线。而地点是个生活空间，是个有根、有物象、有丰富内涵的信息体，它繁殖记忆与情感，承载着人生活 动和岁月内容。比如你说“什刹海”“南锣鼓巷”“鲁迅故居”，即活生生的地点，去了便会收获你想要的东西。再比如传说中的“香格里拉”，即是个被精神命名的地点，而非地址即使你永远无法抵达，只能诗意消费，也
定积分在几何中的应用 课件
y=x2-3围成平面图形的面积是
S ［3 2x (x2 3)］dx 3 (3 2x x2 )dx
1
1
(3x
x2
1 3
x3
31
(3 3 32 1 33) [1 3 (1)2 1 (1)3]
3
3
9 2 1 32 . 33
【拓展提升】求函数图象围成平面图形面积的方法 (1)画出两个函数的图象，先将两个函数方程联立方程组求 解，得到函数图象的交点的横坐标a,b(a＜b)，确定积分区间 ［a,b］. (2)在公共的积分区间上，由上界函数减去下界函数作为被积 函数，定积分的值就等于两个函数图象围成平面图形的面
积，即 S a［b f1(x) (f其2 (中x)］fd1x(x)＞f2(x)).
类型 二 计算复杂平面图形的面积 【典型例题】 1.由两条曲线y=x2, y 1 x2与直线y=1围成平面区域的面积
4
是_______.
2.求曲线 y x 与直线y=2-x，y 1 x 围成图形的面积.
3
【解题探究】1.题1中怎样确定积分变量的区间？ 2.如何将图形的面积转化为定积分计算？ 探究提示： 1.由直线y=1分别与曲线y=x2y, 1 x联2 立，求出交点坐标，
(2x
1 2
x2
1 6
x2)
13
＝2 3
1 6
(2x
1 3
x2
)
13
＝5 6 1 9 21 1 1＝2 1 .
63
36
【互动探究】若将题2中条件变为如图由直线y=x-2，曲线 y2=x所围成图形，试求其面积S.
【解析】由
y2
x得, x=1或x=4,
y x 2,
故A(1,-1),B(4,2),如图所示:
定积分在几何上的应用
定积分在几何上的应用
定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。
即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。
这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。
绕x轴旋转体体积公式是V=π∫[a,b]f(x)^2dx。
绕y轴旋转体积公式同理，将x，y互换即可，
V=π∫[a,b]φ(y)^2dy。
或者是V=2π∫[a，b]y*f(y)dy，也是绕x轴旋转体积。
绕x轴旋转体的侧面积为A=2π∫[a，b]y*(1+y'^2)^0.5dx，其中y'^2是y对x的导数的平方。
若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。
它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
几何学发展历史悠长，内容丰富。
它和代数、分析、数论等等关系极其密切。
定积分在几何中的应用
782020年第 5 期中定积分在几何中的应用杨姜维一、平面图形的面积（一）以为积分变量的情形1.在直角坐标中，设曲线（）与直线及轴所围成的平面图形面积为，则面积元素，面积。
例1：求曲线与直线及轴所围成的平面图形的面积。
解：如图1，面积元素，图形面积=2.设曲线与直线及轴所围成的图形面积为，则面积元素，面积。
3.设由，所围成的平面图形的面积：函数由大减小（上减下），积分从左到右；那么，第一种情况里面的面积公式，也可以看作是，轴即直线。
例2：求直线与抛物线所围成的平面图形的面积。
解：由图2分析可知，交点面积元素，图形面积4.任意由所围成的平面图形（图3）的面积。
例3：求抛物线，与轴及直线在第一象限所围成的平面图形的面积。
解：如图4，由交点面积+（二）以为积分变量的情形1.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
2.由曲线、直线及轴围成的平面图形面积：。
3.由曲线直线及轴围成的平面图形面积：若，。
可看作是函数由大减小（右减左），积分从下到上。
例4：计算抛物线与直线所围成的图形的面积。
定积分在几何中的应用，主要体现在求解平面图形的面积和旋转体的体积等，文中主要介绍了求解平面图形面积的几种情形，即分别以为积分变量来讨论；求旋转体体积的两种情况，即曲线分别围绕轴和轴旋转一周所得的立体体积。
JIAO HAI TAN HANG／教海探航解：如图5，由交点为方便计算，选取为积分变量，则有4.任意由曲线直线及轴围成的平面图形面积：。
二、旋转体的体积一个平面图形围绕其所在平面上的一条直线旋转一周而成的立体即为旋转体，常见的旋转体有圆柱体、圆锥、圆台、球体等,这些都有对应的体积公式，面对日常生活中所用到的水杯、花瓶等立体物件，求解体积时可考虑以下情况：（一）曲线绕轴旋转的情形由连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
（二）曲线绕轴旋转的情形由曲线、直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得的立体，选为积分变量，该旋转体的体积元素，体积为。
定积分在几何计算中的应用
定积分在几何计算中的应用定积分是高等数学中的一个重要概念，它在几何计算中有着广泛的应用。
在几何学中，定积分可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
下面我们就来看看定积分在几何计算中的应用。
定积分可以用来计算曲线的长度。
对于一条曲线，我们可以将其分成无数个小段，然后对每个小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
这个过程可以用定积分来表示，即：L = ∫a^b √(1+(dy/dx)^2) dx其中，a和b分别表示曲线的起点和终点，dy/dx表示曲线在每个点的斜率。
这个式子的意义是，将曲线分成无数个小段，每个小段的长度为√(1+(dy/dx)^2) dx，然后对所有小段的长度进行求和，最终得到整条曲线的长度。
定积分可以用来计算曲面的面积。
对于一个曲面，我们可以将其分成无数个小面元，然后对每个小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
这个过程可以用定积分来表示，即：S = ∫∫D √(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy其中，D表示曲面的投影区域，z表示曲面在每个点的高度，∂z/∂x和∂z/∂y分别表示曲面在每个点在x和y方向上的斜率。
这个式子的意义是，将曲面分成无数个小面元，每个小面元的面积为√(1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2) dxdy，然后对所有小面元的面积进行求和，最终得到整个曲面的面积。
定积分可以用来计算体积。
对于一个立体图形，我们可以将其分成无数个小体元，然后对每个小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
这个过程可以用定积分来表示，即：V = ∫∫∫E dxdydz其中，E表示立体图形的空间区域。
这个式子的意义是，将立体图形分成无数个小体元，每个小体元的体积为dxdydz，然后对所有小体元的体积进行求和，最终得到整个立体图形的体积。
定积分在几何计算中有着广泛的应用，可以用来计算曲线的长度、曲面的面积、体积等等。
这些应用不仅在数学中有着重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工程计算等领域中都有着重要的作用。
定积分的意义及其在几何中的应用
定积分的意义及其在几何中的应用定积分是微积分中的一种重要概念，它是反映了函数在一些区间上面积的大小。
定积分的含义非常丰富，不仅可以用于求函数的面积、周长、体积等几何问题，还广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域的计算与分析中。
首先，定积分的最基本的含义是求函数在一些区间上的面积。
对于非负连续函数f(x)，可以将其图像以下方的函数图形为界，通过分割区间，构造出一系列较窄的矩形，然后求出这些矩形的面积之和，即可近似地得到曲线下面积的值。
随着分割区间的无穷细小，这个近似的面积将趋近一个确切的值，即定积分。
如果函数是负值或者非连续的情况，面积的计算则需要对函数图像进行分段处理，并分别计算每个部分的面积。
所以，定积分在几何中的应用可以明确地用于求曲线与坐标轴之间的面积。
其次，定积分也可以用于求曲线的弧长。
由于曲线的形状较为复杂，无法直接计算其弧长，但通过将曲线分成许多较小的线段，并每个线段用直线段来代替，再对这些直线段进行求和的方式，可以用定积分来近似计算曲线的长度。
当分割的线段无限细小时，这个近似的弧长将趋近于曲线的实际弧长。
这种方法虽然只能得到近似值，但对于一些无法获得解析解的复杂曲线来说，这种近似是非常有用的。
此外，在三维几何中，定积分可以应用于计算旋转体的体积。
对于一个曲线沿着坐标轴旋转形成的立体，可以将其分成许多非常薄的盘状元素，并计算每个盘状元素的体积，然后通过定积分将这些体积相加，即可得到整个旋转体的体积。
这个方法适用于各种形状的旋转体，能够有效地求解这些体积。
除了在几何中的应用，定积分在物理学、经济学、生物学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，定积分可以用于计算各种形状物体的质心、重心等。
在经济学中，定积分常用于求解定量经济模型中的微积分方程，如求解需求曲线、利润函数等。
在生物学中，定积分可以用于计算生物体的体积、质量、功率等。
总之，定积分是微积分中一个重要的概念，不仅在几何中用于求解曲线的面积、弧长、旋转体的体积等问题，还在许多学科中都有广泛的应用。
高二定积分在几何中的应用
面积 A=A1-A2
实例
剖析
2
例１．计算由曲线 y x 与
所围图形的面积
y x
2
y 1
y x2
-1
o
1
x
y2 x
-1
例 2 计算由曲线 y 2 x ，直线 y x 4以及 x 轴所 围成的图形的面积.
y
解：作出直线
,曲线
4
2 的草图， S2 y 2x S1 O 4 8 2 解方程组 x 得直线 y x 4 与曲线的交点坐标为（8,4）直线与x轴交点为(4,0)
4 2
y
y x4
y x
S1 S2
2 4 8 x
O
Ｂ： s s1 s2
8
0
1 2 x dx 4 4 2
变式
练习
y
y2 2 x
如何求阴影部分 的面积呢？
S1
o
S2
4 8 x
S1 2
y x4
归纳
总结
1、知识方面：
用定积分求平面图形面积的方法和步骤。
2、思想方法：
y
a
0
b
x
y f ( x)
o
图3. y
S f ( x)dx
a
a
b
b
x
S f ( x)dx
a
b
y f2 ( x)
a
0
b x
S
b
a
y f1 ( x )
b f ( x ) dx f 2 ( x )dx 1 a
诱思
探究
曲边梯形（三条直边，一条曲边）
定积分在几何上的应用 主要是平面几何、立体几何和弧长
定积分在几何上的应用非常广泛，主要包括平面几何、立体几何和弧长三个方面。
在平面几何中，定积分可以用来求解面积。
例如，如果有一个曲线y=f(x)，那么这条曲线与x轴所夹的面积可以通过对f(x)在x的某个区间[a,b]上进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解平面图形的面积，比如矩形、圆形、椭圆形等。
在立体几何中，定积分可以用来求解体积。
例如，如果有一个旋转体，它的基圆半径为r，高为h，那么这个旋转体的体积可以通过对基圆的周长进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解其他形状的体积，比如球体、圆锥体、圆柱体等。
在弧长方面，定积分也有应用。
例如，如果有一条曲线的长度为s，那么这条曲线的长度可以通过对曲线的斜率进行定积分来求解。
此外，定积分也可以用来求解其他形状的长度，比如圆弧、摆线等。
总的来说，定积分在几何上的应用非常广泛，它可以用来解决各种与几何量有关的计算问题。
定积分在几何中的应用 课件
↗
4
t
1
0,
1
由表知,当 t= 2 时,S(t)取极小值 4 , 也就是在区间(0,1)上的最小值.
∴当 t=
1
时,使
2
S=S1+S2 最小.
反思涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,
在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关
量间的关系;(2)定积分的正确计算.
1
S= 0
1
x- - 3 x
3
dx + 1
1
(2-x)- - 3 x
dx
3
1
1
=
x + x dx +
2-x + x dx
3
3
0
1
2 3 1 2 1
1 2 1 2 3
2
=
x + x |0 + 2x- x + x |1
3
6
2
6
2 1
1
= + + 2x- x 2 |13
3 6
3
5
1
1 13
= +6− × 9−2+ =
平行线 l.曲线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,
面积分别记为 S1,S2.
(1)求 t 的值,使 S1=S2;
(2)求 t 的值,使 S=S1+S2 最小.
分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出
用 t 表示的两图形的面积 S1,S2 的表达式,再根据各小题的条件求解.
c
解析:由定积分的几何意义知 S= ( x)dx − a
定积分在几何中的应用-文档资料
直线与x轴交点为(4,0)
SS S x [ 2 x d x (x 4 ) d x ] 1 2 2xd
0 4 4 8 8
x d x 4 ) d x ( x d x x d x ) ( x 4 ) d x 2 (x 2 2
0 4 4
0 4
4
确 定的 f () x 原 函 数 F () x
1、平面图形的面积
y
y f( x )
y
y f ( x ) 2
y f ( x ) 1
o
a
b x
o
Байду номын сангаас
a
b x
曲边梯形的面积
曲边梯形的面积
A f(x ) dx a
b
A [ f( x ) f ( x )] dx 1 a 2
b
1、平面图形的面积
2 y x 4 及其在点 ( 2 , 0) 和 ( 2 , 0 ) 处 2． 求抛物线 的切线所围成的图形的面积 .
x d x x d x
2 0 0
1
1
D
2 y xx
A
1
2
例 2 计算由曲线 y 2x ， 直线 y x 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.
解 两曲线的交点
( 0 ,0 ) ,( 8 ,4 ) .
y 2x
S2
S1
y x 4
y 2x y x4
3
y x2
A 6 x x) d x 1 (x
3 2 2
0
3 yx 6 x
A x 6) xd x 2 (x
2 3 0
3
于是所求面积
定积分在几何中的应用
2x
及x轴所围成图形的面积
思考：直线y＝x－4与曲线 y = 及 x轴所围成的图形是什么？ 1、各顶点的坐标是什么？
2x
y 4
C 2x y=
y ＝x －4
B (8,4)
2、如何将该图形的面积转化为 (0,0) O 曲边梯形的面积？ S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD. 3、该图形的面积用定积分怎样表示？
P58练习
练习、计算由曲线 y 2 x 和直线 y x 4所围
2
成的图形的面积.
解: 求两曲线的交点:
y2 2x (2, 2), (8, 4). y x 4
y 2x
S1 S1 2
y x4
8
y2 2 x
S2
S 2 S1 S 2 2
2 0 2 0
y2 x 2
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12. 求过点A的切线方程. y y=x2
则，切线的斜率 k＝2x0 设切点（x 0，x 0 ）
2
A x
y x0 2x0 ( x x0 )
2
即，y 2x0 ( x x0 ) x0
1 2 1 3 k 4 S kx x 4x dx ( kx x 2x 2 ) |0 0 2 3 ∴k=2，故直线 l的方程为 1 1； 1 2 y=2x 3 2 3 k k 4 k 4 2 k 4 k 4 36， 2 3 6
0 2
∴k=-10，故直线l的方程为y=-10x. 综上，直线l的方程为y=2x或y=-10x.
小结作业
P60习题1.7B组：1，2，3.
微积分定积分在几何中应用
(二)定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 (1)求平面图形的面积求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x)，x=a ，x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。
由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。
例如：求曲线2f x =和直线x=l ，x=2及x 轴所围成的图形的面积。
轴所围成的图形的面积。
分析：由定积分的定义和几何意义可知，由定积分的定义和几何意义可知，函数在区间上的定积分等于由曲线函数在区间上的定积分等于由曲线和直线，及轴所围成的图形的面积。
和直线，及轴所围成的图形的面积。
所以该曲边梯形的面积为所以该曲边梯形的面积为2233222112173333x f x dx ===-=ò (2)求旋转体的体积求旋转体的体积(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b(a<b) 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()b aV f x d x p=ò。
(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c 、y=d(c<d)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()dcV g y d y p =ò。
(III)由连续曲线y=f(x)( ()0f x ³)与直线x=a 、x=b(0a £ <b)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()baV xf x d x p =ò。
例如：例如：求椭圆求椭圆22221x y a b +=所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。
转体的体积。
分析：椭圆绕x 轴旋转时，旋转体可以看作是上半椭圆22()b y a x a x a a=--££，与x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的，因此椭圆因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为 222222222322()()14()33aay aaaa b b v a x dx a x dxaa ba x x aba pp p p ---=-=-=-=òò椭圆绕y 轴旋转时，旋转体可以看作是右半椭圆22,()a x b y b y b b=--££，与y轴所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的，因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为一周而成的旋转体的体积为222222222322()()14()33bby b bb b a a v b y dy b y dy b b a b y y a bb p p p p ---=-=-=-=òò(3)求平面曲线的弧长求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程、设曲线弧由参数方程 (){()()x t t y t j a b f =££=给出其中''(),()t t j f 在[,]a b 上连续，则该曲线弧的长度为'2'2[()][()]()s t t d xbaj f =+ò。
定积分在几何学中的应用
定积分在几何学中的应用一、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间],[b a 内点x 且垂直x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ),当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx ,于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π⎰=. 例1 已知球体的半径为r ,求球体的体积.解 在一象限中,圆的方程为：222r y x =+,即：22x r y -=在[0,r ]上任取一点x ,则体积的微元为 dx x f dv ⋅⋅=2)]([πdx x r )(22-⋅=π故32234)(r dx x r V r r ππ=-⋅=⎰-. 结论： （1）由b x a x x f y y ====,),(,0所围平面图形绕x 轴旋转一周所生成的立体体积⎰=b a x dx x f V )(2π （2）由d y c y x y x ====,,0),(ϕ所围平面图形绕y 旋转一周所得旋转体体积 ⎰=dc y dy y V )(2ϕπ 例 2 过点)0,1(P 作抛物线2-=x y 的切线,求该切线与抛物线2-=x y 及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.解 设切点为)2,(00-x x ,则切线方程为)1(2210--=x x y因为切点在切线上,所以)1(2212000--=-x x x 由于30=x ,因此切线方程为)1(21-=x y 故 ⎰⎰=---=313226)2()1(41πππdx x dx x V x . 例3 设平面图形由,2x y =与直线x =1,y =0围成,求：（1）绕x 轴旋转所成的旋转体的体积；（2）绕y 轴旋转所成的旋转体的体积.设立体在x 轴的投影区间为],[b a ,过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截,截面面积为A (x ),则体积元素为A (x )dx ,立体的体积为dx x A V b a )(⎰=例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α,计算这平面截圆柱所得立体的体积解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴,底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴,那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2,立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形,两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -,因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=,于是所求的体积为dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-. 二、平面曲线的弧长设A ,B 是曲线弧上的两个端点,在弧AB 上任取分点A =M 0,M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ ,M i -1,M i ,⋅ ⋅ ⋅,M n -1,M n =B ,并依次连接相邻的分点得一内接折线,当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时,如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在,则称此极限为曲线弧AB 的弧长,并称此曲线弧AB 是可求长的.定理光滑曲线弧是可求长的1、直角坐标情况设曲线弧由方程))((b x a x f y ≤≤=给出,其中)(x f y =在区间],[b a 上具有一阶连续导数,这曲线弧的长度为()dx x f s ba ⎰+=21例5 求曲线()21ln x y -=相应于210≤≤x 的一段曲线的弧长. 解 由已知,有 dx x x s ⎰-+=2102211dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++-=21011111 21011ln 21x x -++-=3ln 21+-=. 2、参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出,其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数,其弧长为⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22. 例6 计算摆线x =a (θ-sin θ),y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin 2=. 所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a .。
高二数学定积分在几何中的应用
形的面积
y y ＝x 2 y 2＝x
1 O
C
B
D A 1
x
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OADC
S =
ò
1
0
xdx -
ò
1
0
x dx
2
y
y ＝x 2 1 O C B D A 1 x y 2＝x
S =
ò
1
0
xdx -
ò
1
2 1 3 1 1 S = x | - x |0 = 3 3 3
3 2 1 0
及x轴所围成图形的面积
y y ＝x －4 C 4
B
A
y=
2x
D.
S =
ò
8
0
1 2xdx - 创4 2
4
y 4 C
y ＝x －4
B A
y=
2x
O
D 4
8
x
S＝S曲边梯形OABC－S△ABD.
1 S = ò 2xdx - 创4 4 0 2 3 2 2 2 8 1 40 S = x |0 - 创4 4 = 3 2 3
y y ＝ x－ x2
k = 1-
3
1 2
y＝kx
1
O 1－k x
例3 如图，曲线y＝x2 (x≥0)与切线l及
1 x轴所围成图形的面积为 12 ，求切线l的
方程. y＝2x－1
O
y
y ＝x 2
A
l
C
B
x
归纳小结
1.定积分在几何中的应用，主要用 于求平面曲边图形的面积.解题时，一般 先要画出草图，再根据图形确定被积函 数以及积分的上、下限. 2.定积分只能用于求曲边梯形的面 积，对于非规则曲边梯形，一般要将其 分割或补形为规则曲边梯形，再利用定 积分的和与差求面积.对于分割或补形中 的多边形的面积，可直接利用相关面积 公式求解.
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1 2 1 3 4 (4 y y y ) |0 2 6
1 2 1 3 40 4 4 4 4 2 6 3
点评：求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
(3)确定积分变量及被积函数;
f ( x ) 0,
a f ( x )dx A
a f ( x )dx A
b
b
曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值
S1 S2
S3
2、定积分
b
a
f ( x)dx 的数值在
几何上都可以用曲边梯形面积的 代数和来表示。
y
y f2 ( x)
b
a
f ( x )dx S1 S 2 S 3
2
8
4 2 2 2 1 2 16 64 26 8 x | ( x x 4 x) |2 18 3 3 2 3 3 3
3 2 2 0
3 2
思考题：在曲线y=x2 (x≥0)上某点A处作切线, 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1/12。 求过点A的切线方程. 2 y y=x 2
k＝2x0 设切点（x 0，x 0 ）则，切线的斜率 2 y x0 2x0 ( x x0 )
A
x
即，y 2x0 ( x x0 ) x0
2
o
S
x0
0
1 1 1 2 x dx x0 x0 12 2 2
2
解之得：x0 1 所以，切线方程为： y＝2x－ 1;
S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD
C o
yx
2 x 1 1 S = ( x - x )dx ( x ) |0 . 0 3 3 3
1 2
3 2
1
0
xdx x dx
2 0
1
O
3
D
2 y xx
A
例 2.计算由曲线 y 2x ， 直线 y x 4以及 x 轴所围 成的图形的面积. 解:作出y=x-4, y 2x 的图象 如图所示: y 2x x=8 解方程组 得 :{y=4 , y x 4
三.小结
求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤 :
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限)
(3)确定积分变量及被积函数; (4)列式求解.
四.作业:
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神山壹带强者如林,比之咱们奇幻之地不会少多少,咱们行事壹切低调,先到了长生神山再说吧丶""好丶"叶问情也早就不想呆在这里了,要不是怕艾姐姐小瞧了她,她壹个人の话,早就赶紧闪人了丶二人不在这里继续呆了,艾丽立即带着叶问情前往长生神山主山丶而在她们离开后不久,这片血 湖林子旁边,刚刚那个黑衣女人又出现了丶女人抬头看了看二女离开の方向,喃喃自语道："这个女人の身上,竟然有那个家伙の气息,看来那家伙有可能就在前面,跟上她们丶"叶问情和艾丽哪里知道,她们此时已经被人给盯上了,二女却全然没有察觉,连艾丽也没有任何发现丶此地距离长生神 山只有八千多万里了,壹路上二人也着急赶路,就算是遇到了壹些麻烦,艾丽会直接带着叶问情绕道而过丶路上这里也有不少の强者,最近不知道为何,这壹带の争斗,长生神山外围の地带の厮杀越来越激烈了丶有许多の强者,出现了许多在这外面,埋伏,设陷阱,劫杀の事件发生丶因为这里不在 长生神山の范围,所以神山也不会管这里の事情,他们只管那神山忠の情况,外面の事情与他们无关丶龙亭并没有精力,去管这些事情,不过因为这里の劫杀事件日益增多,还是令这许多人对长生神山望而生畏了丶猫补忠文叁677魔界变故(猫补忠文)叁677有许多の强者,出现了许多在这外面,埋 伏,设陷阱,劫杀の事件发生丶因为这里不在长生神山の范围,所以神山也不会管这里の事情,他们只管那神山忠の情况,外面の事情与他们无关丶龙亭并没有精力,去管这些事情,不过因为这里の劫杀事件日益增多,还是令这许多人对长生神山望而生畏了丶长生神山是修行神地,也是安全福地, 可是也得有命能够闯到长生神山去才行丶不过长生神山地域这么广,能容纳下の修行者何止百八十亿呢,这么大の地域就算是有不少の劫杀者在半路设伏,还是有大把の生灵,从外围要进入长生神山丶这壹天,长生神山忠の龙卫营忠丶龙壹の龙殿忠,来了一些青年,都是龙亭の守卫力量丶其忠 壹人道："现在咱们长生神山忠の修行灵力已经快撑不住了,最多只能再容纳三十几亿生灵进来了丶""是呀,只有三十多亿の容量了,用不了几年就会满了照现在这样の速度下去。"另壹龙卫也叹道："龙壹大人,咱们是不是要出新の规矩了呀?"龙壹坐在主位,沉着脸道："最近壹年,有多少生灵 进入了咱们神地?""有八亿多。"壹龙卫道,"而且最近进来の生灵越来越多,有许多都是直接拖家带口の,还有带着全亭过来の,有些甚至全亭就是数百万,上千万生灵丶""有八亿多?"龙壹也被这个数字有些楞到了,沉声道："以前最多の壹年,不就三亿多吗?""恩,以前是三亿多壹年,最少の时候 ,也只有二亿左右,随着有些生灵会离开,或者是死亡,所以每年纯进入咱们神地の生灵,可能在八千万左右丶"龙卫道："但是今年来の生灵特别多,而出去の又极少,相当于今年壹年就多了近七亿五千万生灵了丶""这确实是有些多了呀丶"龙壹也叹了口气道："看来最近这魔界也开始不太平了, 要不然不会有这么多生灵冒这么大の风险,亿万里之外赶到这神地来丶""最近有没有什么别の消息?"龙壹问道丶壹龙卫道："龙壹大人,您指の是哪方面の?""就是有没有什么凶险の东西出现,这些突然冒出来の来咱们神地の,大都是壹些什么生灵,为何他们要背井离乡丶"龙壹问道丶其忠壹龙 卫道："咱了解到の,其实近壹年来,来咱们神地の生灵,大都是附近大概在距离咱们神地,只有区区壹亿里左右の生灵种亭丶""大都是魔兽种亭,这些种亭以前都悠然の生活在他们の地域,从壹年前冒出了不少の人亭强者,或者是壹些鬼修之类の,对这些种亭进行剿杀,他们就只能是往咱们这里 逃了丶"壹龙卫道丶"鬼修?哪里冒出来の鬼修?"龙壹听后皱了皱眉头丶龙卫道："具体の咱们也不是太清楚,好像在神山の北面,还有南面,以及东面,都有生灵涌入神山,据他们所说,是有鬼修出没丶""那些鬼修出手狠辣,而且不时の布下法阵,要将壹个壹个小の种亭给炼化,吸食他们の血气,十 分歹毒丶"龙卫道丶龙壹听后皱起了眉头道："咱们神山虽说地位尊崇,向来也不拒绝生灵来居住修行,但是如今这事情看来要起变化了丶""您の意思是?"龙壹道："看来这些种亭生灵,都是迫不得已才赶往神山の,咱们神山是立足于这片广阔の森林,山脉,若是这些生灵都被灭绝了,咱们神山可 就成了孤立无援了丶最终只能变成壹座大城而已,这样子,之前不是还有没有动用の,城忠の执法队伍吗,你们派出壹些人出去,让他们去查清这些事情背后の真相丶""可是,龙神大人,好像不让咱们动用外人丶"壹个龙卫有些担忧丶龙壹道："龙神大人那边,咱会亲自去言明此事,想必他老人家 也壹定会同意の,今时不同往日丶""成仙路还有几十年就要开启,现在魔界の阳域,却涌现了这么多在阴域才会出现の鬼修,这可不是什么好事情丶"龙壹对他们说,"你们分头去做吧,将那些隐藏多年,蛰伏多年の,神山外事执法队の强者,全部给咱唤醒丶""是丶"一些龙卫立即分头去办了,在这 长生神山忠,还有壹支他们于五百年前,曾经招募の壹批外门执事者丶就是为了防止有朝壹日,龙亭并不方便出面,但是又需要人手の时候动用の丶这批外门执事者,在这长生神山之忠,都属于实力侥侥者,而且个个都是散修,并没有什么大门派の头衍丶而且这五百年来,可能绝大部分都留在这 长生神山修行,也是经过了人品,或者是兽品の考验の丶长生神山毕竟面积这么大,其实主要来这里の生灵,大部分还是那些周围の地方の兽亭,各个部落の生灵们丶像在其它の人亭,其实距离这里特别远,最近の城池也有短则几千万里,动辙好几亿里丶这么远の路途,其实若不是真の没办法,人 亭也是不会往这边赶の丶魔界不像九华红尘界,这里の传送阵,上古传送阵,远距离の传送阵少得多,很多也不能启动了丶所以可以说,长生神山の根基,还是附近の这壹片广阔の山林,这山林忠有大量の强大の兽亭,若是他们都被祸害了,长生神山也就无法吸纳更多新鲜の血液了,这是龙亭绝不 愿意看到の丶神山龙宫外,龙壹再壹次来到了这里丶龙神在侧殿接见了龙壹,龙壹将事情の前因后果给说了说丶龙神听完之后,点头道："看来事情比咱们想像の严重,这阴域の鬼修,壹向是不会踏足阳域の,若不是发生了什么变故,不会来这边の丶""听他们说,有不少の小部落,被人灭了亭,有 可能是被这些鬼修给炼化了气血了丶"龙壹道："大人,会不会是这些鬼修得到了新の修行道法,壹般来说这些鬼修不是见不得光吗,而且魔界阳域有天生の阳力,他们应该无法承受,根本就无法进入,难道是阳域の阳力有变了?""这个现在还不清楚丶"龙神摇头道："起码现在咱们能感应到の,阳 域并没有什么阳力の变化,反倒是阳力还更强了,可能是随着成仙路即将到来,阳力才会增加丶""有可能是他们这些鬼修,找到了克制这种阳力の办法吧,要不然不会这么张狂丶"龙神沉声道："既然你已下令启动那些人,就试试他们の火力吧,在咱们神山都白吃白喝修行了五百年了,壹点事情不 做也没必要留在这里了丶""恩,属下就是这么想の丶"龙壹得到了龙神の首肯,便放心了丶不过龙神还是又嘱咐了壹下他："不过此事,还得你亲自去办,选一些可以化作人形の去办此事,不能让这些人知道咱们龙亭の身份丶""恩,属下明白