简单的幂函数 (7)

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幂函数拐点-概述说明以及解释

幂函数拐点-概述说明以及解释1.引言1.1 概述幂函数是一类特殊的函数，在数学中具有重要的地位和广泛的应用。

它的定义非常简单，即一个变量的指数为整数的函数。

幂函数的图像特点和拐点的研究在数学领域中引起了广泛的兴趣和研究。

本文将首先介绍幂函数的定义和特点，包括幂函数的定义、图像特点以及导数的意义。

然后，我们将着重讨论幂函数的拐点，包括拐点的定义、判定条件以及图像特点。

最后，我们将探讨幂函数拐点在经济学、物理学和生物学等领域中的应用。

通过本文的阅读，读者将能够全面了解幂函数的特点和图像特点，并且掌握如何判断幂函数是否存在拐点。

同时，我们还将展示幂函数拐点在不同领域中的重要性和应用前景。

无论是在理论研究中还是在实际应用中，对于幂函数拐点的研究都有着重要的意义。

因此，本文的内容将为读者提供一个深入了解幂函数拐点的机会，并帮助读者将这一知识应用于更广泛的领域。

让我们一起开始探索幂函数拐点的奇妙世界吧！1.2 文章结构本文共分为引言、正文和结论三个部分。

引言部分首先对幂函数拐点这一主题进行了概述，介绍了幂函数的定义和特点，以及拐点在幂函数中的重要性。

接着对文章的结构进行了简要介绍。

正文部分是本文的核心内容，主要分为三个小节。

在第2.1节中，将详细阐述幂函数的定义和特点。

包括幂函数的一般形式，以及幂函数的图像特点，如对称性、单调性等。

同时还会介绍幂函数的导数以及导数的意义，解释导数在幂函数中表示什么。

在第2.2节中，将详细探讨幂函数的拐点。

首先对拐点进行了定义，然后介绍了判定幂函数拐点的条件，包括对幂函数的二阶导数进行判定。

最后讨论了幂函数拐点在图像上的表现特点。

在第2.3节中，将介绍幂函数拐点在不同学科领域的应用。

具体涉及到经济学、物理学和生物学等领域，分别列举了幂函数拐点在这些领域中的具体应用案例，并简要讨论了这些应用的意义和价值。

结论部分对全文进行总结，强调了幂函数的特点和图像特点，并突出了幂函数拐点的重要性。

第二章-4.2-简单幂函数的图象和性质高中数学必修第一册北师大版

第二章函数
§4 函数的奇偶性与简单的幂函数
4.2 简单幂函数的图象和性质
教材帮|必备知识解读
知识点1 幂函数的概念
例1-1 在函数 = −4 , = 3 2 , = 2 + 2, = 1中,幂函数的个数为( B
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】函数 = −4 为幂函数;
函数 = 3 2 中 2 的系数不是1,所以它不是幂函数;
的增大而减小；
当 = −3时，2 − 2 − 3 = 12, = 12 是幂函数，但不满足当 ∈ 0, +∞ 时，
随的增大而减小，故舍去.
∴ 实数的值为2.
【学会了吗|变式题】
2.(2024·广东省汕头市期末)已知函数 = 2 − 2 − 2 ⋅ −2 是幂函数，且在
故A正确；
幂函数 = 的图象只在第一象限内和原点，故B不正确；
当 > 0时， > 0，所以幂函数的图象不可能在第四象限，故C不正确；
幂函数 = 与 = 3 的图象的交点为 −1, −1 ， 0,0 ， 1,1 ，共三个，故D不正确.
方法帮|关键能力构建
题型1 幂函数的定义域和值域
0, +∞ 上单调递增，则实数 =( C
A.−1
B.−1或3
)
C.3
D.2
【解析】由题意知,2 − 2 − 2 = 1，即 + 1 − 3 = 0，
解得 = −1或 = 3，
∴ 当 = −1时， − 2 = −3，则 = −3 在 0, +∞ 上单调递减，不合题意；
当 = 3时， − 2 = 1，则 = 在 0, +∞ 上单调递增，符合题意，∴ = 3，

(北师大版)简单的幂函数课件

x
例2:判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性
(1) f ( x) =－ 2 x 5
(2) f ( x) = x 4 + 2
(3) y = x 2 , x ∈ ( 3， ] － 3
(1) f ( x) =－ 2 x 5 的定义域是 R 解： 5 5 －x ∵ f ( ) = － 2( ) = 2x －x
问题1 问题 f ( x ) = x 的对称。图象关于原点对称。定义1：定义：像这样图象关于原点图象关于原点对称的函数叫奇函数。做奇函数。
3
•
••
f ( ) = ( ) = －x = －f ( x) －x －x
3 3
x
探索？
f ( ) 与 f (x) 的关系－x
• 定义2：的定义域内任意一个x，任意一个定义：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个， f ( ) = －f,(那么函数－x x) f 叫) (x 奇函数。奇函数。都有
y=x
______________
α
幂函数这样的函数称为_____. 这样的函数称为
特点:① 特点 ①底数是自变量 x ②指数是常量 ③ x 的系数是1。系数是。
α
练习：下列函数中是幂函数的有______ 下列函数中，练习：1.下列函数中，是幂函数的有 ③ ④ ⑤ 2 2 ②y = x +x ① y = 2x
2
f (1) = 1 f (2) = 4
f (3) = 9
2
？
－x 探索 f ( ) 与 f (x) 的关系
f ( ) = ( ) = x = f ( x) －x －x
x
定义2：定义：如果对于函数 f (x ) 的定义域内任意一个－x 偶函数。就叫偶函数都有 f ( ) = f ( x) ,那么函数 f (x ) 就叫偶函数。那么函数

北师大版高中数学必修第一册《函数的奇偶性与简单的幂函数》说课稿

北师大版高中数学必修第一册《函数的奇偶性与简单的幂函数》说课稿一、教材内容概述《函数的奇偶性与简单的幂函数》是北师大版高中数学必修第一册的一章内容。

该章主要介绍了函数的奇偶性及简单的幂函数的相关概念和性质。

通过学习本章内容，学生能够理解函数奇偶和幂函数的特点，并能够应用所学知识解决实际问题。

二、教学目标1.了解函数的奇偶性的概念和判断方法；2.掌握简单的幂函数及其图象的性质；3.能够应用函数的奇偶性及简单的幂函数解决实际问题。

三、教学重点1.函数的奇偶性的概念和判断方法；2.简单的幂函数的图象和性质。

四、教学难点1.如何准确地判断函数的奇偶性；2.理解和应用幂函数的图象和性质。

五、教学内容及方法5.1 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图象关于坐标原点的对称性。

奇函数关于坐标原点对称，即f(−x)=−f(x)；偶函数关于坐标原点对称，即f(−x)=f(x)。

如果函数既不是奇函数也不是偶函数，则称其为一般函数。

教学方法：通过举例、图表和实际问题引出函数奇偶性的概念，引导学生进行讨论和总结，然后讲解函数奇偶性的判断方法，并进行练习。

5.2 简单的幂函数幂函数是指以变量的某个整数次幂为自变量的函数。

本章主要讲解一次幂函数和二次幂函数的性质。

1.一次幂函数：y=ax+b。

其中a为常数，a eq0。

一次幂函数的图象是一条直线，斜率为a，在坐标平面上表现为直线的斜率性质。

教学方法：通过具体的实例和图象，引导学生理解一次幂函数的特点并进行练习。

2.二次幂函数：y=ax2+b。

其中a和b为常数，a eq0。

二次幂函数的图象是一个开口向上或向下的抛物线，通过分析二次函数的系数a和b的正负关系，引出图象和性质的讨论。

教学方法：通过图象、实例和推导，引导学生掌握二次幂函数的图象和性质。

5.3 函数应用问题教学方法：通过实际问题的引入，结合函数的奇偶性和幂函数的性质，引导学生分析问题，建立方程并解决问题。

六、教学过程1.导入：引出函数的奇偶性的概念，并让学生观察、分析一些函数的图象，引导学生发现函数奇偶性的特点。

函数简单的幂函数课件

函数简单的幂函数课件pptxx年xx月xx日contents •幂函数概述•幂函数的图象和性质•幂函数的应用•幂函数的拓展•总结与反思目录01幂函数概述幂函数定义：形如y=x^a的函数，其中a为常数。

幂函数在高等数学中占有重要地位，其性质和应用有着广泛的应用。

0102非零的常数次幂函数$y=x^a$，当a>0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递增；当a<0时，函数在$(0,+\infty)$上单调递减。

幂函数的图象幂函数的图象由点$(1,1)$出发，在$y$轴右侧的图象是上升的，在$y$轴左侧的图象是下降的，并且图象过点$(0,0)$。

幂函数的奇偶性当$a$为整数时，幂函数为奇函数；当$a$为偶数时，幂函数为偶函数。

当$a$为负奇数时，幂函数为既奇又偶函数；当$a$为负偶数时，幂函数为非奇非偶函数。

幂函数的对称性$y=x^a$的图象关于原点对称；$y=x^{-a}=1/x^a$的图象关于$y$轴对称。

幂函数的扩展在实际应用中，可以将幂函数扩展到多个变量的情形，如二元三次幂函数等。

03040502幂函数的图象和性质幂函数图象的绘制步骤、要点、注意事项总结词步骤要点注意事项1.定义域，2.函数式，3.图象1.定义域的确定，2.函数式的变换，3.图象的绘制1.定义域的边界值的处理，2.函数式变换的准确性，3.图象的精确度幂函数性质的运用基本性质、应用、实例总结词1.单调性，2.奇偶性，3.周期性基本性质1.函数的单调性，2.函数的奇偶性，3.函数的周期性应用 1.幂函数的单调递增区间，2.幂函数的奇偶性判断，3.幂函数的周期求解实例03幂函数的应用总结词了解幂函数与方程根的关系，掌握利用幂函数求解方程的方法。

利用幂函数求解方程通过对幂函数的性质和图像的掌握，利用幂函数求解方程的解，特别注意在特定区间求解方程时需要注意的问题。

幂函数与方程根的关系幂函数在方程中的应用，主要是指利用幂函数的性质和图像特点，通过观察幂函数的图像来确定方程的根。

幂函数解析

专题6 简单的幂函数与函数的奇偶性【知识回顾】一、简单的幂函数1．幂函数的定义如果一个函数，是自变量x ，是常量α，即y ＝x α，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做，有；反之，若满足的函数y=f(x)一定是奇函数。

2、函数图像关于y 轴对称函数叫做，有；反之，若满足的函数y=f(x)一定是偶函数。

【典例应用】考点1 幂函数的概念例1 下列所给出的函数中，是幂函数的是______（填序号）.①3y x =-；①3y x -=；①32y x =；①31y x =-【答案】①【解析】【分析】由幂函数的定义，排除不是幂函数的选项【详解】根据幂函数的定义可知，形如()y f x x α==的函数是幂函数①中，3x 的系数不为1；①中，=-3α的幂函数；①中，3x 的系数不为1；①中，3x 之后不能加常数项；故答案为①【点睛】本题考查了幂函数的定义，判断函数是否为幂函数，注意x α的系数为1且不含常数项，属于基础题.练习：已知幂函数2223(1)mm y m m x --=--⋅，求此幂函数的解析式，并指出其定义域. 【答案】3y x -=或0y x =，{|0}x x ≠.【解析】【分析】由幂函数的概念求解．【详解】2223(1)m m y m m x --=--为函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-.当2m =时，2233m m --=-，则3y x -=，且有0x ≠；当1m =-时，2230m m --=，则0y x =，且有0x ≠.故所求幂函数的解析式为3y x -=或0y x =，它们的定义域都是{|0}x x ≠.【点睛】本题考查幂函数的概念与性质，属于基础题．考点2 幂函数的图像例2 如图，给出四个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（）① ① ① ①A ．①12y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x -=B ．①3y x =；①12y x =；①2y x ；①1y x -=C ．①2y x ；①3y x =；①12y x =；①1y x -=D ．①3y x =；①2y x ；①12y x =；①1y x -= 【答案】D【解析】【分析】利用幂函数的奇偶性、单调性、定义域等来分析判断图象得解.【详解】3y x =是奇函数，且在R 上递增，对应题图①；2y x 是偶函数，对应题图①；12y x =的定义域为[)0,+∞，对应题图①；1y x -=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，对应题图①．故选D ．【点睛】本题主要考查幂函数的定义域、单调性和奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.练习：幂函数24m m y x =－（m Z ∈）的图象如图所示，则m 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】由给出的幂函数的图象，得到幂指数小于0，且幂函数为偶函数，然后逐一代入验证即可得到答案．【详解】解：由函数图象可知，幂函数为偶函数，且幂指数小于0，当0m =时，240m m -=，不合题意；当1m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意；当2m =时，244m m -=-，满足幂函数为偶函数，且幂指数小于0，符合题意；当3m =时，243m m -=-，幂函数为奇函数，不合题意．①m 的值为2．故选C ．【点睛】本题考查了幂函数的图象，考查了幂函数的性质，训练了代入验证法，是基础题．考点3 利用幂函数的特点求参数的值例3 已知幂函数()()23m f x m x -=-在()0,∞+为单调增函数，则实数m 的值为（）AB ．2±C ．2D ．2-【答案】D【解析】【分析】根据()f x 为幂函数，求得m 的可能取值，再由()f x 在()0,∞+上的单调性，求得m 的值.【详解】由于()f x 为幂函数，所以231,2m m -==±，当2m =时，()2f x x -=在()0,∞+上递减，不符合题意，当2m =-时()2f x x =在()0,∞+上递增，符合题意. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.练习：若函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则m =（）A ．-1B ．2C ．-1或2D ．3 【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质列方程和不等式，求解即可．【详解】解：函数()223()1m m f x m m x +-=--是幂函数且在(0,)+∞是递减的，则221130m m m m ⎧--=⎨+-<⎩，解得1m =-．故选：A ．【点睛】本题考查幂函数的定义和性质，是基础题．考点4：函数奇偶性例4.已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式；(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出函数f (x )的图像．练习：已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f (3)＝0，则使f (x )<0的x 的范围为________．【等级过关练】1．幂函数()y f x =图象过点11(,)42，则[(9)]f f =（）A B ．3 C ．13 D2．已知幂函数223()m m f x x --=（m ∈Z ）是偶函数，且112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，则m 的值是（） A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 3．下列幂函数中过点)0,0(，)1,1(的偶函数是（）A ．21x y = B ．4x y = C ．1y x -= D ．3y x =4．已知一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则m n +的值为（）A ．1-B ．1C ．0D ．25．判断下列函数的奇偶性; (1)1()f x x x=+;(2)()2||f x x =-;(3)()1x f x x =-. 参考答案1．A【解析】【分析】用待定系数法求出幂函数的解析式，然后用代入法进行求解即可.【详解】设()y f x x α==，因为幂函数()y f x =图象过点11(,)42，所以有11()24α=，解得12α=，所以12()y f x x ===因为(9)3f ==，所以[(9)](3)f f f ==故选：A【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，考查了求函数值问题，考查了数学运算能力.2．C【解析】【分析】先化简112⎛⎫> ⎪⎝⎭f 得到实数m 的范围，再检验即得解. 【详解】因为112⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，所以2230211(),31()230,122m m m m m -->-=-∴-<∴<<. 因为m ∈Z ，所以0,1,2m =.经检验，当1m =时，函数是偶函数，当0,2m =时，函数是奇函数.故选：C【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质，考查指数函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B【解析】试题分析：根据幂函数nx y =的性质，当0>n 时，图象过)1,1()0,0(、点，在第一象限部分图象为增函数；当0<n 时，图象过点)1,1(，在第一象限部分图象为减函数；排除C ，而D B A 、、中只有B 是偶函数，因此选B .考点：1.幂函数图象和性质;2.函数的奇偶性；4．B【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得结果．【详解】解：如果一个偶函数的定义域为{}2,1,,m n -,则210m n -+++=，得1m n +=，故选：B ．【点睛】本题考查奇偶函数的性质，奇偶函数的图像不仅自身具有对称性，定义域也必须要关于原点对称，本题难度不大．5．(1)奇函数.(2)偶函数.(3)非奇非偶函数.【解析】【分析】利用函数的奇偶性的定义判断得解.【详解】解:(1)函数()f x 的定义域是{|R x x ∈且0x ≠},关于原点对称,11()()f x x x f x x x ⎛⎫-=-+=-+=- ⎪-⎝⎭,()f x ∴为奇函数. (2)函数()f x 的定义域为R ,关于原点对称,()2||2||()f x x x f x -=--=-=,()f x ∴为偶函数.(3)①函数()f x 的定义域为{|R x x ∈且1x ≠},显然不关于原点对称, ()f x ∴为非奇非偶函数.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

简单的幂函数

些特征？
图像回放
对任意的x，f(-x)=-f(x)
图像关于原点对称的函数叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它有
哪些特征？
图像回放
对任意的x，f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数叫作偶函数
ks5u精品课件
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2的奇偶性
方法小结
ks5u精品课件
B .减少的 D.先减后增
ks5u精品课件
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数，且在（-1，1）上是单调递减的，则不等式
f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（） C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
ks5u精品课件
小结：
1.幂函数的概念 2.奇函数，偶函数的概念 3.函数的奇偶性及其判断方法

x
2ห้องสมุดไป่ตู้
1,
x

0.
ks5u精品课件
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
简单的幂函数
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y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
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函数简单的幂函数课件ppt

幂函数在化学反应中的运用
描述化学反应速率、平衡常数等化学现象。
幂函数在物质性质中的运用
描述物质溶解度、沸点、密度等化学性质。
幂函数在量子力学中的运用
用于描述原子能级、分子结构等化学现象。
05
总结与展望
本章内容总结
幂函数的定义
掌握了幂函数的定义和基本形式。
幂函数的性质
了解了幂函数的单调性、奇偶性、渐近线等性质。
幂函数的图像
幂函数的图像概述
幂函数的图像呈现出一种类似于直线或者曲线的形态，其变化趋势和单调性及奇偶性有关。
绘制幂函数图像的方法
可以采用描点法或者直接根据幂函数的定义绘制图像。对于不同的$a$值，可以分别绘制对应的幂函数图像，观察其变化规律。
03
幂函数的运算性质
幂函数的加减乘除运算
总结词
幂函数的求导与求积分
总结词
幂函数的求导与求积分是学习幂函数的进阶内容，掌握其方法对解决实际问题有很大帮助。
详细描述
求导是指找出函数在某一点的导数值，它反映了函数在这一点附近的斜率；求积分是指计算函数在一个区间内的面积，它反映了函数在区间内的整体性质。对于幂函数，我们可以利用微积分的基本公式进行求导与求积分。
幂函数的复合运算
01
总结词
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
幂函数的复合运算是学习幂函数的重要一环，通过复合运算可以加深
对幂函数的理解。
02 03
详细描述
复合运算通常是指将一个函数嵌套在另一个函数中，从而形成一个新的函数。在幂函数的复合运算中，我们通常将一个幂函数作为另一个幂函数的自变量。
举例
例如，我们可以将两个幂函数f(x)=x^a和g(x)=x^b进行复合，得到一个新的幂函数h(x)=f(g(x))=(x^b)^a=x^(a*b)。

高一数学知识点幂函数的总结

高一数学知识点幂函数的总结高一数学知识点关于幂函数的总结幂函数定义：形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。

在x小于0时，则只有同时q 为奇数，函数的值域为非零的实数。

而只有a为正数，0才进入函数的值域。

性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。

当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。

(学习指导) 简单幂函数的图象和性质Word版含解析

4.2 简单幂函数的图象和性质学习目标核心素养 1.了解幂函数的概念．(重点)2．掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象与性质．(重点)3．掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题．(重点、难点)1.借助幂函数的图象的学习，培养直观想象素养． 2．通过幂函数的性质的学习，培养逻辑推理素养．形如y ＝x α(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数．思考：y ＝1()x ≠0是幂函数吗？提示：是．因为它可写成y ＝x 0()x ≠0的形式． 2．幂函数的图象如图在同一坐标系内作出函数(1)y ＝x ；(2)y ＝x 12；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象．3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)；(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．1．已知幂函数f ()x ＝kx α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α等于( )A ．12B ．1C ．32 D ．2 C [由幂函数的定义知k ＝1.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝22，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32.]2．函数y ＝x 13的图象是( )A B C DB[当0<x<1时，x13>x；当x>1时，x13<x，故选B.]3．已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x12(1－4t－t2)(t∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增加的，则函数的解析式为________．f(x)＝x2[∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1，解得t＝－1或t＝0或t＝1.当t＝0时，f(x)＝x12是非奇非偶函数，不满足题意；当t＝1时，f(x)＝x－2是偶函数，但在(0，＋∞)上是减少的，不满足题意；当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．综上所述，实数t的值为－1，所求解析式为f(x)＝x2.]4．已知函数f(x)＝(2m－3)x m＋1是幂函数．(1)求m的值；(2)判断f(x)的奇偶性．[解](1)因为f(x)是幂函数，所以2m－3＝1，即m＝2.(2)由(1)得f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，故f(x)是奇函数．幂函数的概念【例1】在函数y＝x，y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．1B．2C．3D．4[思路点拨]从幂的系数、底数和指数三方面考察是否满足幂函数的定义．B [因为y ＝x ＝x 12，y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0，1), 所以常函数y ＝1不是幂函数．]函数解析式中只有满足幂的系数为1，底数为自变量x ，指数为常量这三个条件，才是幂函数．如：y ＝3x 2，y ＝(2x )3都不是幂函数．[跟进训练]1．已知y ＝(m 2＋2m －2)x m 2－2＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．[解] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，2n －3＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3或1，n ＝32，所以m ＝－3或1，n ＝32. 幂函数的图象及应用【例2】若点(2，2)在幂函数f ()x 的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14在幂函数g ()x 的图象上，问当x 为何值时，(1)f ()x >g ()x ；(2)f ()x ＝g ()x ；(3)f ()x <g ()x .[解] 设f ()x ＝x α，则2＝()2α，解得α＝2，则f ()x ＝x 2. 同理可求得g ()x ＝x －2.在同一坐标系内作出函数f ()x ＝x 2和g ()x ＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x >1或x <－1时，f ()x >g ()x ； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f ()x ＝g ()x ；(3)当－1<x <1且x ≠0时，f ()x <g ()x .随着α的变化，其图象也随着变化，讨论其图象的特点时，可分0<α<1，α>1和α<0三种情况讨论．[跟进训练]2．当0<x <1时，函数f ()x ＝x 1.1，g ()x ＝x 0.9，h ()x ＝x －2的大小关系是________________．h ()x >g ()x >f ()x [如图所示为函数f ()x ，g ()x ，h ()x 在(0，1)上的图象，由此可知，h ()x >g ()x >f ()x .]幂函数性质的应用角度一比较幂的大小【例3】比较下列各组数中两个数的大小： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1 [解](1)∵0.3>0， ∴y ＝x0.3在(0，＋∞)上为增函数．又25>13，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫250.3>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.3. (2)∵－1<0，∴y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，又－23<－35， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1. 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变．比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量．[跟进训练]3．比较下列各数的大小： (1)(－23)23和(－π6)23； (2)4.125，3.8－23和()－1.935.[解](1)函数y ＝x 23在(－∞，0)上为减函数，又－23<－π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2323>⎝ ⎛⎭⎪⎫－π623. (2)4.125>125＝1；0<3.8－23<1－23＝1；()－1.935<0， ∴()－1.935<3.8－23<4.125.角度二由幂函数的大小求字母的取值范围【例4】已知幂函数f ()x ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足()a ＋1－m3<()3－2a －m3的a 的取值范围．[思路点拨] 由幂函数的性质可得到幂指数m 2－2m －3＜0，再结合m 是整数，及幂函数是偶函数可得m 的值．[解]∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N *，∴m ＝1，2.又函数的图象关于y 轴对称， ∴m 2－2m －3是偶数，又22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1. ∴()a ＋1－13<()3－2a －13，即f (x )＝x －13在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，且当x ＜0时，f (x )＜0，当x ＞0时，f (x )＞0，∴0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＞3－2a ＞0或a ＋1＜0＜3－2a ，解得a ＜－1或23＜a ＜32.故a的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a <－1或23<a <32.幂函数y ＝x α中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性等性质，也可由这些性质去限制α的取值．[跟进训练]4．已知幂函数f (x )＝x1m 2＋m(m ∈N ＋).(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若函数还经过(2，2)，试确定m 的值，并求满足f ()2－a >f ()a －1的实数a 的取值范围．[解](1)∵m ∈N ＋，∴m 2＋m ＝m (m ＋1)为偶数．令m 2＋m ＝2k ，k ∈N ＋，则f (x )＝2k x ，∴定义域为[0，＋∞)，在[0，＋∞)上f ()x 为增函数． (2)∵ 2 ＝ 212＝21m 2＋m，∴m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2(舍去)，∴f (x )＝x 12，由(1)知f ()x 在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f ()2－a >f ()a －1等价于2－a >a －1≥0，解得1≤a <32.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32.1．幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的依据和标准．2．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α>0时，图象过(0，0)，(1，1)在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．3．在具体应用时，不一定是y ＝x α，α＝－1，12，1，2，3这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)y ＝－1x 是幂函数．( ) (2)当x ∈(0，1)时，x 2>x 3.( ) (3)y ＝x 32与y ＝x 64定义域相同．( )(4)若y ＝x α在(0，＋∞)上为增函数，则α>0.( ) [答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2，2，12 D ．2，12，－2，－12B [由幂函数的性质，知选B.]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，（x －1）3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.(0，1)[作出函数图象如图所示，则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．]4．比较下列各组数的大小 (1)2－13，⎝ ⎛⎭⎪⎫1313；(2)0.20.5，0.40.3[解](1)由于幂函数y ＝x －13在()0，＋∞上是减函数，所以2－13>3－13，又3－13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－13，所以2－13>⎝ ⎛⎭⎪⎫1313.0，＋∞上是减函数，所以0.20.5<0.20.3 (2)由于指数函数y＝0.2x在()由于幂函数y＝x0.3在()0，＋∞上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3.。

幂函数课件-高一上学期数学人教A版必修第一册

y x 1
[0，+∞），0 （0，+） [0，+∞），0 （0，+）
奇偶性奇函数偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
R上单调性
公共点
在（－∞,0]
上
R上
在(0, +∞）上
（1，1）
在(0，+∞) 在( －∞,0)，
上
(0, +∞）上
幂函数性质：
1)定点：所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当α ＞0时，幂函数的图象都通过原点
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
C
D
(2)当α∈{－1，1，1,3}时，幂函数 y＝xα的图象不可能经过第_二__、__四__象限． 2
题型三
角度1 比较幂的大小探究问题]
1．幂函数 y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂
2)单调性：当α ＞0时，在区间[0，+∞)上是增函数当α＜0时，幂函数在区间(0，+∞)上是减函数.
3)奇偶性：当α为奇数时,幂函数为奇函数, 当α为偶数时,幂函数为偶函数
题型一
1．已知幂函数 f(x)的图象过点(2,2 2)，则 f(4)的值为( )
A．4
B．8
C．2 2
[D解．析1] 设 f(x)＝xα，∴2 2＝
⑤ x3 ⑥
1
yx 2
中，是幂函数的是（①⑤⑥）
.
(2) 已知幂函数 y＝f (x)的图象过点(3， 3)，则 f (9)＝ 3 .

6、幂函数与函数的奇偶性

简单的幂函数与函数的奇偶性一、简单的幂函数1．幂函数的定义如果一个函数，是自变量x，是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：从图中可以观察得到：例1.下列函数中是幂函数的是()①y＝1x3；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式．【名师指津】1．形如y ＝x a 的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．例3.点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )?变式练习1．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2.(1)求实数α的值；(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．二、函数的奇偶性1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做，有；反之，若满足的函数y=f(x)一定是奇函数。

2、函数图像关于y 轴对称函数叫做，有；反之，若满足的函数y=f(x)一定是偶函数。

3、奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有．例4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点．( )(2)定义在R 上的函数f (x )，若存在x 0，使f (－x 0)＝f (x 0)，则函数f (x )为偶函数．( )(3)函数y ＝x 2，x ∈(－1,1]是偶函数．( )例5. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝13x 5； (2)f (x )＝3x 2；(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x －3，x ＞0，x 2＋2x ＋3，x ＜0.例6．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x （x ﹣2），求f （x ）的解析式．【名师指津】判断函数奇偶性的方法变式练习1．函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2.函数f (x )＝x 2＋x ( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．是非奇非偶函数D ．即是奇函数又是偶函数三、函数单调性与奇偶性的综合应用（一）比较大小例1、已知函数f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是增函数，则)0(),1(),5.0(f f f --的大小关系是__________.（二）解不等式例2、定义在（－2，2）上的函数f （x ）是奇函数，并且在（－2，2）上是增函数，求满足条件0)21()2(>-++m f m f 的实数m 的取值范围。

幂函数知识点总结

幂函数知识点总结幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。

从初中开始，我们就接触到了简单的幂函数，随着学习的深入，我们逐渐掌握了更多关于幂函数的知识。

在本文中，我们将对幂函数的相关概念、性质和应用进行总结和探讨。

1. 幂函数的定义和表示方式幂函数是指以一个常数为底数，自变量为指数的函数。

一般表示为：f(x) = a^x，其中a为常数，x为自变量，f(x)为函数值。

2. 幂函数的基本性质2.1 幂函数的奇偶性与增减性：当底数a为正数且不等于1时，幂函数f(x) = a^x在定义域内是奇函数；当底数a为负数时，幂函数f(x) = a^x是偶函数。

当底数a大于1时，幂函数是增函数，当底数a在(0,1)之间时，幂函数是减函数。

2.2 幂函数的单调性：当底数大于1时，幂函数是递增的；当底数小于1时，幂函数是递减的。

2.3 幂函数的相关性质：a^0=1，a^1=a，a^m * a^n = a^(m+n)，(a^m)^n = a^(m*n)，(a^m)/(a^n)=a^(m-n)，(a/b)^n=a^n/b^n。

3. 幂函数图像和特征幂函数的图像具有一些独特的特征，这在解析题或者问题求解时具有重要意义。

3.1 幂函数的渐近线：当底数大于1时，幂函数的图像在y轴上有一个水平渐近线；当底数小于1时，幂函数的图像在x轴上有一个水平渐近线。

3.2 幂函数的特殊点：当底数大于1时，幂函数的图像经过点(0,1)；当底数小于1时，幂函数的图像经过点(0,1)和点(1,a)。

3.3 幂函数的拐点：当幂函数的底数a大于1时，图像经过点(1,a)并且有一个拐点；当底数a小于1时，图像经过点(1,a)但没有拐点。

4. 幂函数的应用幂函数在实际问题的解决中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：4.1 音乐和声音强度的计算：声音的强度与音源与听者距离的幂函数关系密切，通过对幂函数的建模和计算，可以获得声音强度的变化规律。

幂函数的计算方法

幂函数的计算方法一、幂函数的基本概念。

1.1 幂函数长啥样呢？它的形式很简单，就是y = x^α（α是常数）。

这个α可不得了，它能决定幂函数的很多特性呢。

就像不同的性格能决定一个人的行事风格一样。

比如说，当α = 2的时候，函数y = x²，这就是一个很常见的幂函数啦。

1.2 幂函数的定义域也很有讲究。

这个定义域啊，得根据α的值来确定。

有时候是全体实数，有时候就得把某些数排除在外。

这就好比一个俱乐部的准入规则，不同的情况有不同的要求。

二、幂函数的计算要点。

2.1 幂的乘方。

这就像是给幂函数做“升级”。

比如说(x^m)^n，那结果就是x^(m n)。

这就好比是搭积木，一层一层往上加，规则很明确，按照这个来计算准没错。

这在幂函数的计算里可是相当重要的一个环节，就像盖房子打地基一样关键。

2.2 同底数幂相乘。

这个规则就是底数不变，指数相加。

像x^m x^n = x^(m + n)。

这多简单啊，就像把相同颜色的珠子串在一起，数量就相加了呗。

这也是幂函数计算里经常用到的规则，要是这个都不会，那计算幂函数就像没头的苍蝇——乱撞啦。

2.3 同底数幂相除。

这个规则是底数不变，指数相减。

例如x^m÷x^n = x^(m n)（x≠0）。

这也好理解，就像从一堆东西里拿走一部分，剩下的数量就是相减的结果嘛。

在幂函数的计算中，这个规则也不能忽视，不然就会算出错误的结果，那可就是竹篮打水——一场空了。

三、幂函数计算的实际例子。

3.2 再复杂一点的例子。

计算(x²)^3 x^4÷x^5。

根据幂的乘方规则，(x²)^3 = x^(2 3)= x^6。

然后，同底数幂相乘，x^6 x^4 = x^(6 + 4)= x^10。

同底数幂相除，x^10÷x^5 = x^(10 5)= x^5。

这整个过程就像走迷宫一样，每一步都得按照规则来，要是走错了，就找不到出口（正确结果）了。

幂函数展开

幂函数展开幂函数展开是数学里一种重要的计算方法，它可以帮助我们在解决复杂的问题时得到精确的解答。

在本文中，我们将介绍幂函数展开的基本原理，以及如何运用它来解决实际问题。

一、什么是幂函数展开幂函数展开是一种计算复杂问题的方法，它通过把复杂的函数表达式展开成更为简单的式子，从而解决复杂问题。

其中，幂函数是由一个定义函数$f(x)$以及它的$n$次多项式表达式组成，$f(x)$被称为函数，$n$被称为次数。

以下是幂函数的形式：$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n$，其中$a_0,a_1,a_2,…,a_n$是常量。

二、幂函数展开的基本原理幂函数展开的基本原理是，通过将幂函数拆分成一系列的次幂函数，再将这些次幂函数分别展开，最终把复杂的函数表达式展开成更为简单的式子，从而解决复杂问题。

在实际应用中，将复杂的函数表达式展开成更为简单的式子，有两种方法：1.多项式展开法：通过将复杂函数表达式拆分成一系列的次幂函数，然后再将每一部分分别用多项式展开的方法进行求解，最终得到的式子比原来的表达式要简单得多。

2.雅可比展开法：这种方法把复杂的函数表达式拆分成一系列的次幂函数，然后再利用雅可比公式中的恒等式和新变量来求解，最终得到的式子比原来的表达式要简单得多。

三、幂函数展开的应用1.解微分方程：微分方程是数学中一种常见的变分问题，它的解决往往需要使用幂函数展开的方法，让复杂的函数表达式变得更为简单，从而求解微分方程的解。

2.性分析：在定性分析中，使用幂函数展开可以使复杂的函数表达式或模型变得更为简单，更容易分析出结果，从而使定性分析变得更加清晰。

3.数最值：在多元函数的极值问题中，也可以使用幂函数展开来减少复杂性并求解出极值。

综上所述，幂函数展开是一种非常有用的数学计算方法，可以用来解决复杂的问题，例如有解微分方程、定性分析和函数最值求解等，帮助我们得到精确的解答。

幂函数正负

幂函数正负幂函数是数学中的一种非常重要的函数，在很多领域都有重要的应用。

它的定义很简单：给定一个实数x和正整数n，x的n次幂定义为x的乘积n次：x^n=x*x*x*…*x（共n项），简记为x的n次幂。

幂函数的正负是指x的n次幂时x的数字是正数还是负数，取决于x的数字与n的关系。

如果x>0，n是偶数时，x^n>0，也就是说幂函数是正的；反之，如果x>0，n是奇数时，x^n<0，即幂函数是负的。

若x<0，n为偶数时，x^n<0，即幂函数是负的；反之，如果x<0，n 为奇数时，x^n>0，即幂函数是正的。

首先，我们来看x>0，n为偶数时，x^n>0的情况，可以发现，在这种情况下，x的幂函数是正的。

这是由于n为偶数，也就是x要乘以自身偶数次，而x为正数，总会得到一个正数，这样x的幂函数就是正数。

比如说，2的4次幂：2^4=2*2*2*2=16，由此可知，2的4次幂是正数。

其次，我们来看x>0，n为奇数时，x^n<0的情况，可以发现，在这种情况下，x的幂函数是负的。

这是由于n为奇数，也就是x要乘以自身奇数次，而x为正数，总会得到一个负数，这样x的幂函数就是负数。

比如说，3的3次幂：3^3=3*3*3=-27，由此可知，3的3次幂是负数。

然后，再来看x<0，n为偶数时，x^n<0的情况，可以发现，在这种情况下，x的幂函数是负的。

这是由于n为偶数，也就是x要乘以自身偶数次，而x为负数，总会得到一个负数，这样x的幂函数就是负数。

比如说，-2的4次幂：-2^4=-2*-2*-2*-2=16，由此可知，-2的4次幂是负数。

最后，再来看x<0，n为奇数时，x^n>0的情况，可以发现，在这种情况下，x的幂函数是正的。

这是由于n为奇数，也就是x要乘以自身奇数次，而x为负数，总会得到一个正数，这样x的幂函数就是正数。

比如说，-3的3次幂：-3^3=-3*-3*-3=27，由此可知，-3的3次幂是正数。