线性代数考研复习思维导图——向量组的线性相关
考研线性代数知识框架图
考研线性代数知识框架图
()000,n
T A r A n A A A x x A x A A x A A A E ββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i
A p p p p n
B A B E A B E
⎧⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵
存在阶矩阵使得 或 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间.
()0A r A n A A A Ax A λ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩特征向量
注：()()0a b r aE bA n aE bA aE bA x λ+<⎧⎪
+=⇔+=⎨⎪⎩
0有非零解=-
⎫⎪
≅⎪−−−
→⎬⎪⎪⎭
具有
向量组等价
矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ⋅⋅⋅：
①称为n 的标准基，n 中的自然基，单位坐标向量152p 教材； ②12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性无关； ③12,,,1n e e e ⋅⋅⋅=； ④tr =E n ；
⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ⋅⋅⋅线性表示.
12121211
12121222()
121
2
()
n n n
n n j j j n j j nj j j j n n nn
a a a a a a D a a a a a a τ=
=
-∑
1
√ 行列式的计算：
①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
线性代数考研复习思维导图——矩阵代数
A
A(BC)=(AB)C
(A+B)C=AC+BC
C(A+B)=CA+CB
k
(kA)B=A(kB)
0
AB AB Ak
*A l
E (E+A)(E+A)=E*exp(2)+2A+A*exp(2)
k
=0
|A|=0
AXA=0ĺ|A|X|A|=0|A|=0
En
E
k=
X
A Ak
n-1 A
A
ad-bc=0ĺa/b=c/d
A
AX=B X XA=B
An
A,B
n
B
AB=BA=E
A
BA
0 A*XA=|A|XE
A
B
A+B
n
A
A
mn =0
ĺ =0
:A+B=B+A :A+(B+C)=(A+B)+C
A
A+0=0+ຫໍສະໝຸດ Baidu=A
A
-A
A+(-A)=0
n
1A=A,0A=0
kl
AB
k(lA)=(kl)A k(A+B)=kA+kB
(k+l)A=kA+lA
『数学必备』线性代数知识框架完整版（多图警告）
『数学必备』线性代数知识框架完整版（多图警告）
线代的难点就是公式多，知识点多，尤其是从高一学完之后，完全抛之脑后，现在一下子又要捡起来重新学，只有懵逼.gif可以表达学线代的你的心情
不过别怕，小编找来了线代的知识框架完整版，帮你助攻~
拿去不谢~
图片源自考研帮
线性代数精品思维导图
线性代数思维导图全6页及其总结
C(A+B)=CA+CB
k
(kA)B=A(kB)
0
AB AB Ak
*A l
E (E+A)(E+A)=E*exp(2)+2A+A*exp(2)
k
=0
|A|=0
AXA=0ĺ|A|X|A|=0|A|=0
En
E
k=
X
A Ak
n-1 A
A
ad-bc=0ĺa/b=c/d
=1 X
A
0
AB=BA=E
|A|
0
r(A)=m
注意将其与非齐次线性 方程组联系起来
线性表示
与齐次线性方 程组联系起来
线性相关
相册中有清晰版
A1是A的最大线性无关组的充要条件 rank(A)=rank(A1)=r 任意A1包含r个向量 r同时称为向量组A的秩
B可由A线性表示的充要条 件
rank(A | B)=rank(A)
A与B等价的充要条件是 rank(B)=rank(A)=rank(A
有无穷多组解的充要条件是rank(A)=rank(B)<n 有惟一解的充要条件是rank(A)=rank(B)=n
求特征向量 和特征值
注意A必须为方阵
设A为n阶方阵，X为n维非零向量，k为常数 若 AX=kX
则称X为A的特征向量，k为特征向量X对应的特 征值，矩阵A-kE称为A的特征矩阵 det(A-kE)=0称为特征方程
线性代数考研复习思维导图——向量组的线性相关
~
(1) ~ (2) ~
1
2
A
~ B
(RREF)
~ (1) (2)
~
~
~
=
Hale Waihona Puke Baidu
> -
~
0
0
䞣㒘ⱘ㒓ᗻⳌ݇ .mmap - 2009-11-9 -
0 k1=k2=...=ks=0
n n
0 XOY
大学计算机必考科目 线性代数(思维导图)
线性代数行列式
矩阵
高斯消元法
增广矩阵：线性方程组对应的矩阵，记作（A,a)
矩阵的加法 数量乘法 乘法
矩阵的转置 对称矩阵
可逆矩阵的逆矩阵
矩阵的初等变换和初等矩阵
分块矩阵
线性方程组
向量空间与线性变换
特征值和特征向量 矩阵的对角化
二次型
矩阵与行列式的本质区别：行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值；而矩阵是一个数表，行数和列数可不同
线性代数知识点思维导图
线性代数知识概览_思维导图XMIND
线性代数 精讲思维导图
线性代数思维导图
线性代数是数学的一个分支，其研究对象是向量，向量空间（或称为线性空间），线性变换和有限维线性方程组。向量空间是现代数学中的重要课题。因此，线性代数被广泛用于抽象代数和泛函分析。通过解析几何，可以具体表达线性代数。线性代数理论已经推广到算子理论。由于科学研究中的非线性模型可以近似为线性模型，因此线性代数在自然科学和社会科学中被广泛使用。
概念
线性代数是代数的一个分支，主要处理线性关系。线性关系是指数学对象之间的关系以单一形式表示。例如，在解析几何中，平面上的直线方程是二元线性方程；空间平面的方程是三次方程，而空间直线被视为两个平面的交点，并由由两个三次线性方程组成的方程组表示。具有n个未知数的线性方程称为线性方程。具有一度变量的函数称为线性函数。线性关系问题称为线性问题。求解线性方程式的问题是最简单的线性问题。
所谓“线性”是指以下数学关系。其中f称为线性算子或线性映射。所谓的“代数”是指用符号代替元素和运算。换句话说，我们不在乎上面的x，y是实数还是函数，以
及f是多项式还是微分。我们将它们抽象为一个符号或一类矩阵。线性代数共同研究了哪种线性算子f满足线性关系以及它们分别具有什么性质。[1]
历史
作为线性代数的一个独立分支，它仅在20世纪形成
九章算术
九章算术
很久以前了“鸡和兔子在同一个笼子里”的问题实际上是解决线性方程组的一个简单问题。最古老的线性问题是线性方程的解。在中国古代的“九章算术·方程式”一章中对此进行了完整的描述。本文描述的方法本质上等效于在方程组的增广矩阵的行上执行基本变换并消除未知变量的现代方法。