分形图形中的茹利亚julia集

分形图形中茹利亚集
（2013-7-17）
牛顿分形：在区域[ –2，2]2内确定40000个规则点（初值点）
，横坐标为实部，纵坐标为虚部，构造40000个复数。

分别以这些复数做迭代初始值，用牛顿迭代法求解方程：。

将收敛到三个根的初值点分别做三种色，称为牛顿分形图；将不收敛的初值点的集合称为Julia 集。

013=−
z
图1牛顿迭代法收敛域 图2 牛顿迭代法不收敛域
在计算过程中使用向量化编程，将这40000个复数做为200阶的复方阵进行数据块迭代。

MATLAB 程序如下(文件名:newtonlab3)
r1=1;r2=-(1+i*sqrt(3))/2;r3=conj(r2); %给出方程z 3
– 1 = 0的三个根
t=linspace(-2,2,200);[x,y]=meshgrid(t); %确定40000个网格点坐标
Z=x+i*y;A0=ones(size(x)); %设置迭代初值及不收敛域矩阵
A1=zeros(size(x));A2=A1;A3=A1; %设置收敛域矩阵
for n=1:8
Z=Z-(Z.^3-1)./(3*Z.^2+eps); %实现牛顿迭代
end
II=find(abs(Z-r1)<=.05);A1(II)=ones(size(Z(II))); %给第一收敛域矩阵赋值 II=find(abs(Z-r2)<=.05);A2(II)=ones(size(Z(II))); %给第二收敛域矩阵赋值 II=find(abs(Z-r3)<=.05);A3(II)=ones(size(Z(II))); %给第三收敛域矩阵赋值 A0=A0-A1-A2-A3;A=A0+2*A1+3*A2+4*A3; %给不收敛域矩阵赋值 figure(1),pcolor(x,y,A0),shading interp %绘Julia 图
figure(2),pcolor(x,y,A),shading interp %绘收敛域图
另两个图形是与混沌相关的分形图，一是Julia 图，二是Mandelbrot 图
图3 Julia 图 图4 Mandelbrot 图 Julia 图的出现是为了研究计算格式的迭代行为，其中，。

C z z n n +=+2165.011.0i C +−=
在区域[ –1，1]2内确定40000个规则点（初值点），横坐标为实部，纵坐标为虚部，构造40000个复数。

分别以这些复数做初始值进行迭代，迭代80次后，检测在单位圆内的初值点的情况，收集所有80后迭代值模的平方小于2的初值点绘填充图。

Julia 图绘制程序（文件名：julia ）
C=-.11+i*.65;r=sqrt()2;
[x,y]=meshgrid(-1:.01:1); %确定40000个网格点
Z=x+i*y;II0=find(abs(Z)>=1); %设置迭代初值圆域内点坐标索引 A=zeros(size(x));
for n=1:80
Z=Z.^2+C; %实现迭代
end
II=find(abs(Z)<r);A(II)=ones(size(Z(II))); %寻找满足要求的点
figure(1),pcolor(x,y,A),shading interp
A(II0)=zeros(size(Z(II0))); %限制单位圆域
figure(2),pcolor(x,y,A),shading interp %绘Julia 图
Mandelbrot 图的出现是为研究格式的迭代行为，在区域[ –2，1]C z z n n +=+212内确定规则点
（初值点），横坐标x 为实部，纵坐标y 为虚部构造复数iy x C +=。

分别以这些复数做初始值进行迭代，迭代60次后，收集所有60后迭代值模的平方小于2的初值点绘填充图。

Mandelbrot 图绘制程序(文件名：mandelbrot)
[x,y]=meshgrid(-2:.01:.6,-1:.01:1); %确定网格点
A=zeros(size(x));Z=x+i*y;C=Z; %设置迭代初值与常数
for n=1:60
Z=Z.^2+C; %实现迭代
end
II=find(abs(Z)<sqrt(2));A(II)=ones(size(Z(II))); %寻找满足要求的点
pcolor(x,y,A),shading interp %绘Mandelbrot 图。