2020版数学(理)新攻略大一轮课标通用精练：第二章 9-第九节函数模型及应用含解析

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江苏2020版高考数学第二章基本初等函数、导数的应用9第9讲函数模型及其应用课件

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：
1．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元．若公司拟定的奖励模型为 y＝alog4x＋b.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为________万元．
第二章
基本初等函数、导数的应用
第9讲
函数模型及其应用
常见函数模型 (1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x 的系数 k>0)，通过图象可以很直观地认识它． (2)指数函数模型：能用指数函数表达的函数模型，其增长特点
快 (a>1)，是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越_____
解：(1)作 PQ⊥AF 于 Q(图略)，所以 PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米．又△EPQ∽△EDF， x－4 4 EQ EF 1 所以 PQ ＝FD，即＝2.所以 y＝－2x＋10， 8－y 其定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米，则
x 1 S(x)＝xy＝x 10－2 ＝－2(x－10)2＋50，
②当 x＞7 时，y＝1.8×200x＋236＋70＋200×0.03×[(x－7)＋ (x－8)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432，所以
* 370x＋236，0＜x≤7且x∈N y＝ 2 *. 3x ＋321x＋432，x＞7且x∈N
设该厂 x 天购买一次配件时，平均每天支付的费用为 f(x)元， 236 * 370 ＋， 0 ＜ x ≤ 7 且 x ∈ N x 则 f(x)＝ . 432 * 3x＋＋ 321 ， x ＞ 7 且 x ∈ N x 236 当 0＜x≤7 时，f(x)＝370＋ x ，f(x)是(0，7]上的减函数，

(江苏专版)2020版高考数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用教案文(含解析)苏教版

第九节函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a ＞0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a ＞0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论； (4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(2019·徐州诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为________立方米．解析：设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，30＋5x －10，x ＞10，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0≤x ≤10，5x －20，x ＞10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15. 答案：152．用18 m 的材料围成一块矩形场地，中间有两道隔墙．若使矩形面积最大，则能围成的最大面积是________m 2.解析：设隔墙长为x m ，则面积S ＝x ·18－4x 2＝－2x 2＋9x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋818.所以当x ＝94时，能围成的面积最大，为818 m 2.答案：8181．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． [小题纠偏]1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是__________．答案：y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)2．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：各年产量为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2(n ∈N *)，令3n 2≤150，得1≤n ≤5 2.又n ∈N *，所以1≤n ≤7，故生产期限最长为7年．答案：7考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB 长为2 m ，跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A 处水平距h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ，规定：以CD 为横轴，BC 为纵轴建立直角坐标系．(1)当h ＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h 的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，h ≥1. 设抛物线方程为y ＝a [x －(2＋h )]2＋4. (1)当h ＝1时，最高点为(3,4)，方程为y ＝a (x －3)2＋4.(*) 将点A (2,3)代入(*)式得a ＝－1. 即所求抛物线的方程为y ＝－x 2＋6x －5.(2)将点A (2,3)代入y ＝a [x －(2＋h )]2＋4，得ah 2＝－1. 由题意，方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域；(2)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用](2019·启东中学高三检测)某企业实行裁员增效，已知现有员工a 人，每人每年可创利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员1人，则留岗员工每人每年可多创收0.01万元，但每年需付给每个下岗工人0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的34，设该企业裁员x 人后纯收益为y 万元．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围；(2)当140＜a ≤280时，问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(在保证能获得较大经济效益的情况下，应尽量少裁员)解：(1) 由题意，y ＝(a －x )(1＋0.01x )－0.4x ＝－1100x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 100－75x ＋a ，因为a －x ≥3a 4，所以x ≤a4.故x 的取值范围为0≤x ≤a4且x ∈N *.(2)由(1)知y ＝－1100⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－702＋1100⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－702＋a ，当140＜a ≤280时，0＜a 2－70≤a4，当a 为偶数时，x ＝a2－70，y 取最大值；当a 为奇数时，x ＝a ＋12－70或x ＝a －12－70，y 取最大值，因尽可能少裁员，所以x ＝a －12－70，所以当a 为偶数时，应裁员⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－70 人；当a 为奇数时，应裁员⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12－70人．考点二函数y ＝x ＋a x模型的应用重点保分型考点——师生共研 [典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥26x ＋10·8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点(1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式．(3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．[即时应用]某隧道长2 150 m ，通过隧道的车速不能超过20 m/s.一列有55辆车身长都为10 m 的同一车型的车队(这种型号的车能行驶的最高速为40 m/s)，匀速通过该隧道，设车队的速度为x m/s ，根据安全和车流的需要，当0＜x ≤10时，相邻两车之间保持20 m 的距离；当10＜x ≤20时，相邻两车之间保持⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 2＋13x m 的距离．自第1辆车车头进入隧道至第55辆车车尾离开隧道所用的时间为y (s)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)求车队通过隧道的时间y 的最小值及此时车队的速度．(3≈1.73) 解：(1)当0＜x ≤10时，y ＝2 150＋10×55＋20×55－1x＝3 780x，当10＜x ≤20时，y ＝2 150＋10×55＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 2＋13x ×55－1x＝2 700x＋9x ＋18，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 780x ，0＜x ≤10，2 700x ＋9x ＋18，10＜x ≤20.(2)当x ∈(0,10]时，在x ＝10时，y min ＝3 78010＝378(s)．当x ∈(10,20]时，y ＝2 700x＋9x ＋18≥18＋2×9x ×2 700x＝18＋1803≈329.4(s)，当且仅当9x ＝2 700x，即x ≈17.3(m/s)时取等号．因为17.3∈(10,20]，所以当x ＝17.3(m/s)时，y min ＝329.4(s)，因为378＞329.4，所以当车队的速度为17.3 m/s 时，车队通过隧道的时间y 有最小值329.4 s. 考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研 [典例引领]已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是：θ＝m ·2t＋ 21－t(t ≥0，并且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ＝m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0＜x ≤1，所以m ≥－2x 2＋2x ，因为－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12 ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，所以m ≥12，因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. [由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为________元/件时，利润最大．解析：设单价为6＋x ，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20 ＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0＜x ＜10)．所以当x ＝4时，y max ＝340. 即单价为10元/件，利润最大．答案：102．(2018·盐城中学检测)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝R －A .那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为________．(用常数a 表示)解析：D ＝R －A ＝a A －A ，令t ＝A (t ＞0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12a 2＋14a 2.所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．答案：14a 23．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0＜x ≤3，8＋2.15x －3＋1，3＜x ≤8，8＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x ＞8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 答案：94．(2019·盐城调研)一批货物随17列货车从A 市以v km/h 匀速直达B 市，已知两地铁路线长400 km ，为了安全，两列货车间距离不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202km ，那么这批物资全部运到B市，最快需要________ h(不计货车的身长)．解析：设这批物资全部运到B 市用的时间为y ，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为16×⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202时，时间最快．则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202×16＋400v＝v 25＋400v ≥2 v25×400v＝8，当且仅当v 25＝400v，即v ＝100时等号成立，y min ＝8.答案：85．(2019·南通模拟)用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为x ，则长为24－4x 2，其面积S ＝24－4x2·x ＝12x－2x 2＝－2(x －3)2＋18，当x ＝3时，S 有最大值18，所以隔墙的长度为3.答案：36．有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话m 分钟的电话费由函数f (m )＝1.06×(0.5[m ]＋1)(元)决定，其中m ＞0，[m ]是大于或等于m 的最小整数．则从北京到上海通话时间为5.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝5.5，所以[5.5]＝6.代入函数解析式，得f (5.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.24二保高考，全练题型做到高考达标1．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ，又s A (100)＝s B (100)，所以100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．答案：102．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件，根据市场预测，销售价为每件100元时可全部售完，定价每提高1元时销售量就减少5件，若要获得最大利润，销售价应定为每件________元．解析：设售价提高x 元，利润为y 元，则依题意得y ＝(1 000－5x )×(100＋x )－80×1 000＝－5x 2＋500x ＋20 000＝－5(x －50)2＋32 500，故当x ＝50时，y max ＝32 500，此时售价为每件150元．答案：1503．(2019·海安中学检测)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)解析：设2017年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以n ≥4，所以从2021年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．答案：2021年4．(2019·启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：由题意设仓库在离车站x 千米处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x ＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧ k 110＝2，10k 2＝8得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝20k 2＝45，即y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立．答案：55．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟甲桶中的水只有a8，则m ＝________.解析：根据题意知12＝e 5n，令18a ＝a e nt ，即18＝e nt，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10. 答案：106．一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度v 的平方成正比，且比例系数为k ，除燃料费外其他费用为每小时96元．当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元．若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为________海里/小时时，总费用最小．解析：设每小时的总费用为y 元，则y ＝kv 2＋96，又当v ＝10时，k ×102＝6，解得k ＝0.06，所以每小时的总费用y ＝0.06v 2＋96，匀速行驶10海里所用的时间为10v小时，故总费用为W ＝10v y ＝10v (0.06v 2＋96)＝0.6v ＋960v≥20.6v ×960v ＝48，当且仅当0.6v ＝960v，即v ＝40时等号成立．故总费用最小时轮船的速度为40海里/小时．答案：407．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．解析：依题意知：20－x 20＝y －824－8，即x ＝54(24－y )，所以阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180.所以当y ＝12时，S 有最大值为180. 答案：1808．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为______(万元)．解析：依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a log 48＋b ＝1，a log 464＋b ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋b ＝1，3a ＋b ＝4.解得a ＝2，b ＝－2.所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8.x ＝1 024(万元)．答案：1 0249．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w (单位：百千克)与肥料费用x (单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元，此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x )(单位：百元)．(1)求L (x )的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)L (x )＝16⎝⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1－x －2x ＝64－48x ＋1－3x ，x ∈(0,5]． (2)法一：L (x )＝64－48x ＋1－3x ＝67－⎣⎢⎡⎦⎥⎤48x ＋1＋3x ＋1≤67－248x ＋1·3x ＋1＝43，当且仅当48x ＋1＝3(x ＋1)，即x ＝3时取等号．故L (x )max ＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水密桃树获得的利润最大，为4 300元．法二：L ′(x )＝48x ＋12－3，令L ′(x )＝0，得x ＝3.故当x ∈(0,3)时，L ′(x )＞0，L (x )在(0,3)上单调递增；当x ∈(3,5]时，L ′(x )＜0，L (x )在(3,5]上单调递减．故L (x )max ＝L (3)＝43.答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为4 300元． 10．(2019·镇江调研)如图，政府有一个边长为400 m 的正方形公园ABCD ，在以四个角的顶点为圆心，以150 m 为半径的四分之一圆内都种植了花卉．现在中间修建一块长方形的活动广场P Q MN ，其中P ，Q ，M ，N 四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记∠Q BC ＝α，长方形活动广场的面积为S .(1)请把S 表示成关于α的函数关系式； (2)求S 的最小值．解：(1)过Q 作Q E ⊥BC 于E ，连结B Q(图略)．在Rt △B Q E 中，BE ＝150cos α，Q E ＝150sin α，0≤α≤π2，可得矩形P Q MN 的P Q ＝400－300sin α，Q M ＝400－300cos α，则S ＝P Q ·Q M ＝(400－300sin α)(400－300cos α)＝10 000(4－3sin α)(4－3cos α)，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(2)由(1)知，S ＝10 000[16－12(sin α＋cos α)＋9sin αcos α]，设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，则π4≤α＋π4≤3π4，可得1≤t ≤2，sin αcos α＝t 2－12，∴S ＝10 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤16－12t ＋92t 2－1＝5 000⎣⎢⎡⎦⎥⎤9⎝ ⎛⎭⎪⎫t －432＋7. ∴当t ＝43时，S 取得最小值5 000×7＝35 000 m 2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以x 千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60≤x ≤120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x 升，其中k 为常数，且60≤k ≤100.(1)若汽车以120千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为11.5升，欲使每小时的耗油量不超过9升，求x 的取值范围；(2)求该汽车行驶100千米的耗油量的最小值．解：(1)由题意知，当x ＝120时， 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝11.5，∴k ＝100，由15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －100＋4 500x ≤9，得x 2－145x ＋4 500≤0，∴45≤x ≤100. 又60≤x ≤120，∴60≤x ≤100. 故x 的取值范围为[60,100]．(2)设该汽车行驶100千米的耗油量为y 升，则y ＝100x ·15⎝ ⎛⎭⎪⎫x －k ＋4 500x ＝20－20k x ＋90 000x 2(60≤x ≤120)．令t ＝1x ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1120，160， ∴y ＝90 000t 2－20kt ＋20＝90 000⎝ ⎛⎭⎪⎫t －k 9 0002＋20－k 2900， ∴该函数图象的对称轴为直线t ＝k9 000.∵60≤k ≤100，∴k 9 000∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1150，190.①若k 9 000≥1120，即75≤k ≤100，则当t ＝k9 000，即x ＝9 000k 时，y min ＝20－k2900.②若k 9 000＜1120，即60≤k ＜75，则当t ＝1120，即x ＝120时，y min ＝1054－k6.答：当75≤k ≤100时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫20－k 2900升；当60≤k＜75时，该汽车行驶100千米的耗油量的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫1054－k 6升．命题点一基本初等函数(Ⅰ)1．(2017·全国卷Ⅰ改编)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则2x,3y,5z 的大小关系为________．解析：设2x ＝3y ＝5z＝k ＞1，所以x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 5k . 因为2x －3y ＝2log 2k －3log 3k ＝2log k 2－3log k 3＝2log k 3－3log k 2log k 2·log k 3＝log k 32－log k 23log k 2·log k 3＝log k98log k 2·log k 3＞0，所以2x ＞3y ；因为3y －5z ＝3log 3k －5log 5k ＝3log k 3－5log k 5＝3log k 5－5log k 3log k 3·log k 5＝log k 53－log k 35log k 3·log k 5＝log k125243log k 3·log k 5＜0，所以3y ＜5z ；因为2x －5z ＝2log 2k －5log 5k ＝2log k 2－5log k 5＝2log k 5－5log k 2log k 2·log k 5＝log k 52－log k 25log k 2·log k 5＝log k 2532log k 2·log k 5＜0，所以5z ＞2x .所以5z ＞2x ＞3y . 答案：5z ＞2x ＞3y2．(2018·天津高考改编)已知a ＝log 372，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：∵c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，又y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 35＞log 372＞log 33＝1，∴c ＞a ＞1.∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x在(－∞，＋∞)上是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1413＜⎝ ⎛⎭⎪⎫140＝1，即b ＜1. ∴c ＞a ＞b . 答案：c ＞a ＞b3．(2015·江苏高考)不等式22x x －＜4的解集为________．解析：因为2x 2－x ＜4，所以22x x－＜22，所以x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，所以－1＜x ＜2. 答案：(－1,2)4．(2015·全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－x )－f (x )＝0恒成立，所以－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，所以x ln a ＝0恒成立，所以ln a ＝0，即a ＝1.答案：15．(2018·上海高考)已知常数a ＞0，函数f (x )＝2x2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝⎛⎭⎪⎫q ，－15，若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.解析：因为函数f (x )的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15，所以f (p )＋f (q )＝2p2p ＋ap ＋2q2q ＋aq ＝2p ＋q＋aq 2p＋2p ＋q＋ap 2q2p ＋q ＋aq 2p ＋ap 2q ＋a 2pq ＝65－15＝1，化简得2p ＋q ＝a 2pq .因为2p ＋q ＝36pq ，所以a 2＝36且a ＞0，所以a ＝6.答案：66．(2016·江苏高考)已知函数f (x )＝a x＋b x(a ＞0，b ＞0，a ≠1，b ≠1)． (1)设a ＝2，b ＝12.①求方程f (x )＝2的根；②若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，求实数m 的最大值． (2)若0＜a ＜1，b ＞1，函数g (x )＝f (x )－2有且只有1个零点，求ab 的值．解：(1)因为a ＝2，b ＝12，所以f (x )＝2x ＋2－x.①方程f (x )＝2，即2x ＋2－x＝2，亦即(2x )2－2×2x＋1＝0，所以(2x －1)2＝0，即2x＝1，解得x ＝0. ②由条件知f (2x )＝22x＋2－2x＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2.因为f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，所以m ≤f x2＋4f x 对于x ∈R 恒成立．而f x 2＋4f x＝f (x )＋4f x≥2f x ·4f x ＝4，且f 02＋4f 0＝4，所以m ≤4，故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g (x )＝f (x )－2＝a x＋b x－2有且只有1个零点，而g (0)＝f (0)－2＝a 0＋b 0－2＝0，所以0是函数g (x )的唯一零点．因为g ′(x )＝a xln a ＋b xln b ，又由0＜a ＜1，b ＞1知ln a ＜0，ln b ＞0，所以g ′(x )＝0有唯一解x 0＝log b a⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln a ln b .令h (x )＝g ′(x )，则h ′(x )＝(a x ln a ＋b x ln b )′＝a x (ln a )2＋b x (ln b )2，从而对任意x ∈R ，h ′(x )＞0，所以g ′(x )＝h (x )是(－∞，＋∞)上的单调增函数．于是当x ∈(－∞，x 0)时，g ′(x )＜g ′(x 0)＝0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞g ′(x 0)＝0.因而函数g (x )在(－∞，x 0)上是单调减函数，在(x 0，＋∞)上是单调增函数．下证x 0＝0.若x 0＜0，则x 0＜x 02＜0，于是g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02＜g (0)＝0.又g (log a 2)＝a log a 2＋b log a 2－2＞a log a 2－2＝0，且函数g (x )在以x 02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断，所以在x 02和log a 2之间存在g (x )的零点，记为x 1.因为0＜a ＜1，所以log a 2＜0.又x 02＜0，所以x 1＜0，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．若x 0＞0，同理可得，在x 02和log b 2之间存在g (x )的非0的零点，与“0是函数g (x )的唯一零点”矛盾．因此，x 0＝0.于是－ln a ln b＝1，故ln a ＋ln b ＝0，所以ab ＝1.7．(2016·上海高考)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋a .(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a ＞0，若对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解：(1)由log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋5＞0，得1x＋5＞1，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－14∪(0，＋∞)． (2)由原方程可得1x＋a ＝(a －4)x ＋2a －5，即(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0.①当a ＝4时，x ＝－1，经检验，满足题意． ②当a ＝3时，x 1＝x 2＝－1，经检验，满足题意． ③当a ≠3且a ≠4时，x 1＝1a －4，x 2＝－1，x 1≠x 2. 若x 1是原方程的解，则1x 1＋a ＞0，即a ＞2；若x 2是原方程的解，则1x 2＋a ＞0，即a ＞1. 由题意知x 1，x 2只有一个为方程的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，a ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ＞1，于是满足题意的a ∈(1,2]．综上，a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}． (3)易知f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值分别为f (t )，f (t ＋1)．f (t )－f (t ＋1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋a －log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋1＋a ≤1，即at 2＋(a ＋1)t －1≥0对任意t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1恒成立．因为a ＞0，所以函数y ＝at 2＋(a ＋1)t －1在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，当t ＝12时，y 有最小值34a －12.由34a －12≥0，得a ≥23.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.命题点二函数与方程1.(2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x ＜10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质．若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝n m，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10n m ＝q p，则10n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等，只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10＜1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lg x ＝0的解的个数为8.答案：82．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解析：①当0＜x ≤1时，方程为－ln x ＝1，解得x ＝1e.②当1＜x ＜2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋2－x 2单调递减，值域为(ln 2－2,1)，方程f (x )＋g (x )＝1无解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．③当x ≥2时，f (x )＋g (x )＝ln x ＋x 2－6单调递增，值域为[ln 2－2，＋∞)，方程f (x )＋g (x )＝1恰有一解，方程f (x )＋g (x )＝－1恰有一解．综上所述，原方程有4个实根．答案：43．(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x ＞0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是________．解析：令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a ＜－1时，仅有1个交点，不符合题意．当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a ＞－1时，有2个交点，符合题意．综上，a 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)4．(2018·天津高考)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x ＞0.若关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．解析：法一：作出函数f (x )的大致图象如图所示．l 1是过原点且与抛物线y ＝－x 2＋2ax －2a 相切的直线，l 2是过原点且与抛物线y ＝x 2＋2ax ＋a 相切的直线．由图可知，当直线y ＝ax 在l 1，l 2之间(不含直线l 1，l 2)变动时，符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝－x 2＋2ax －2a ，消去y ，整理得x 2－ax ＋2a ＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，得a ＝8(a ＝0舍去)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ，y ＝x 2＋2ax ＋a ，消去y ，整理得x 2＋ax ＋a ＝0.由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4(a ＝0舍去)．综上可得a 的取值范围是(4,8)．法二：当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x ＞0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x ＞0.作出直线y ＝a ，y ＝2a ，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a ＜a 24＜2a ，解得4＜a ＜8. 答案：(4,8)命题点三函数模型及其应用1．(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x ，y ，z ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝100，5x ＋3y ＋13z ＝100，当z ＝81时，x ＝______，y ＝_______.解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋81＝100，5x ＋3y ＋13×81＝100，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝19，5x ＋3y ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝11.答案：8 112．(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为 20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值．(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域． ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20，2.5)．将其分别代入y ＝a x 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 两点，y ′＝－2 000x3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2. 故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32 t 2＋4×106t 4，t ∈[5,20]． ②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值，所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．3．(2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中目标．。

2020新课标高考艺术生数学复习教师用书：第二章第9节函数模型及应用 Word版含解析

第9节函数模型及应用最新考纲核心素养考情聚焦1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具．在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律．2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义1.用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程，达成直观想象素养． 2.应用所给函数模型解决实际问题，发展数学建模和数学运算素养． 3.构建函数模型解决实际问题，提升数学建模和数学运算素养函数模型的实际应用主要考查利用函数图象刻画实际问题，以选择题的形式出现；以解答题出现的是构建函数模型解决实际问题，综合考查导数、二次函数的图象与性质、基本不等式等，多是解决实际问题中的最值问题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力1．常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 二次函数型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数型 f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0) 对数函数型 f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)幂函数型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)2.3.解决应用问题的基本步骤(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；(2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题；(3)求解：求解数学问题，得出数学结论；(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案．形如f (x )＝x ＋ax(a ＞0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－a )和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减． (2)当x ＞0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x ＜0时，x ＝－a 时取最大值－2a .[思考辨析]判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)函数y ＝2x 的函数值在(0，＋∞)上一定比y ＝x 2的函数值大．( )(2)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x α(α>0)的增长速度．( )(3)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )(4)幂函数增长比直线增长更快．( )(5)指数函数模型一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题中．( ) 答案：(1)× (2) √ (3)× (4)× (5)√[小题查验]1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )解析：C [距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]2．(人教A 版教材习题改编)下列函数中随x 的增大，增长率最终最大的是( ) A ．y ＝1 000x B ．y ＝x 2 C ．y ＝ln xD ．y ＝(1.01)x解析：D [当x 充分大时，指数函数y ＝a x (a ＞1)增长最快，因此选D.]3．某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到( )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只解析：A [由已知得100＝a log 3(2＋1)，得a ＝100，则当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝200(只)．故选A.]4．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元．解析：由已知得L (Q )＝K (Q )－10Q －2 000＝⎝⎛⎭⎫40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120 (Q －300)2＋2 500，所以当Q ＝300时，L (Q )max ＝2 500(万元)．答案：2 5005．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________(m)．解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．答案：206．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且已知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．答案：2ln 2 1 024考点一用函数图象刻画实际问题中两变量的变化过程(自主练透)[题组集训]1．(2017·全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论错误的是()A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：A[由折线图，7月份后月接待游客量减少，A错误；本题选择A选项．]2．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况。

2020版高考数学(文)江苏专用新精准大一轮复习：第二章9第9讲函数模型及其应用含解析

1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元．在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________．(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)解析：设经过x 年后该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，则130(1＋12%)x >200，即1.12x >21.3⇒x >lg21.3lg 1.12＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，所以该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．答案：20192．在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.99－0.010.982.00则对x ，y ①y ＝2x ；②y ＝x 2－1； ③y ＝2x －2；④y ＝log 2x .解析：根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除①；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除②、③；将各数据代入函数y ＝log 2x ，都能近似相等可知满足题意．答案：④3．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值为________．解析：由题意可知，7月份的销售额为500(1＋x %)，8月份的销售额为500(1＋x %)2，因为一月至十月份销售总额至少达7 000万元，所以3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000，化简得x 2＋300x －6 400≥0，解得x ≥20(舍去x ≤－320)，故x 的最小值为20. 答案：204．某学校要装备一个实验室，需要购置实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结算，若超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购买应付a 元，但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元(价格为整数)，则a 的值为________．解析：设按出厂价y 元购买x 套(x ≤50)应付a 元，则a ＝xy ，又a ＝(y －30)(x ＋11)，又x ＋11＞50，即x ＞39，所以39＜x ≤50，所以xy ＝(y －30)(x ＋11)，所以3011x ＝y －30，又x 、y ∈N *且39＜x ≤50，所以x ＝44，y ＝150，所以a ＝44×150＝6 600. 答案：6 6005．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数，t 表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t ＝0.5时，y ＝2，所以2＝e 12k，所以k ＝2ln 2，所以y ＝e 2t ln 2，所以当t ＝5时， y ＝e 10 ln 2＝210＝1 024. 答案：2ln 2 1 0246．某汽车销售公司在A 、B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元．解析：设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得到利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×2124＝32.因为x ∈[0，16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．答案：437．2014年我国人口总数约为14 亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25 %，则________年我国人口首次将超过20 亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)解析：由已知条件：14(1＋1.25%)x－2 014>20，x －2 014>lg 107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1≈28.7，则x >2 042.7，即x ＝2 043. 答案：2 0438．(2019·镇江模拟)抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽________次．(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)解析：抽n 次后容器剩下的空气为(40%)n ，由题意知，(40%)n <0.1%，即0.4n <0.001，所以n lg 0.4<－3，所以n >31－2lg 2＝31－2×0.301 0≈7.54，所以n 的最小值为8.答案：89.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为________．解析：根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎨⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6.由y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2≤10.5，得3≤x ≤4.因为[3，4]⊆[2，6)，所以腰长x 的范围是[3，4]．答案：[3，4]10.(2019·连云港模拟)如图所示，将桶1中的水缓慢注入空桶2中，开始时桶1中有a 升水，t min 后剩余的水符合指数衰减曲线y 1＝a e －nt，那么桶2中的水就是y 2＝a －a e－nt.假设过5 min 后，桶1和桶2的水量相等，则再过m min 后桶1中的水只有a8升，则m ＝________. 解析：由题意，得a e －5n＝a －a e－5n⇒e －n＝⎝⎛⎭⎫1215 .再经过m min 后，桶1中的水只有a8升，则有a e－n (5＋m )＝a 8，即e －n (5＋m )＝2－3，亦即⎝⎛⎭⎫125＋m5＝⎝⎛⎭⎫123，所以m ＋55＝3，解得m ＝10. 答案：1011．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为yx (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x－48≥2 x 5·8 000x－48＝32，当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．所以年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．因为R (x )在[0，210]上是增函数，所以x ＝210时，R (x )有最大值为R (210)＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．12．为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115.令50x －115>0，解得x >2.3. 因为x ∈N *，所以3≤x ≤6，x ∈N *. 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115.令[50－3(x －6)]x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0. 又x ∈N *，所以6<x ≤20(x ∈N *)，故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115（3≤x ≤6，x ∈N *），－3x 2＋68x －115（6<x ≤20，x ∈N *）. (2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈N *)，显然当x ＝6时，y max ＝185. 对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋8113(6<x ≤20，x ∈N *)，当x ＝11时，y max ＝270.又因为270>185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．1．(2019·南京学情调研)某市对城市路网进行改造，拟在原有a 个标段(注：一个标段是指一定长度的机动车道)的基础上，新建x 个标段和n 个道路交叉口，其中n 与x 满足n ＝ax ＋5.已知新建一个标段的造价为m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k 倍．(1)写出新建道路交叉口的总造价y (万元)与x 的函数关系式；(2)设P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的20%，且k ≥3.问：P 能否大于120，说明理由．解：(1)依题意得 y ＝mkn ＝mk (ax ＋5)，x ∈N *. (2)法一：依题意x ＝0.2a .所以P ＝mx y ＝x k （ax ＋5）＝0.2a k （0.2a 2＋5）＝ak （a 2＋25） ≤a 3（a 2＋25）＝13⎝⎛⎭⎫a ＋25a ≤13×⎝⎛⎭⎫2a ×25a ＝130＜120.即P 不可能大于120.法二：依题意x ＝0.2a .所以P ＝mx y ＝x k （ax ＋5）＝0.2a k （0.2a 2＋5）＝ak （a 2＋25）. 假设P ＞120，得ka 2－20a ＋25k ＜0.因为k ≥3，所以Δ＝100(4－k 2)＜0，不等式ka 2－20a ＋25k ＜0无解．即P 不可能大于120.2．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋ 21－t (t ≥0，且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，所以m ≥2(y －y 2)，由于y －y 2≤14，所以m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.3．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表(x ∈N *)：月用水量x (吨)3 4 5 6 7 频数13332(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：月用水量x (吨)1 2 3 4 5 6 7 频数10201616151310解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12；当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)．(3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5，所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%.据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%.4．某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：第t 天410 16 22(1)所满足的函数关系式； (2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解：(1)P ＝⎩⎨⎧15t ＋2，0<t ≤20，－110t ＋8，20<t ≤30(t ∈N *)．(2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，把(4，36)，(10，30)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30，解得a ＝－1，b ＝40.所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝－t ＋40，0<t ≤30，t ∈N *.(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫15t ＋2×（40－t ），0<t ≤20，⎝⎛⎭⎫－110t ＋8×（40－t ），20<t ≤30，即y ＝⎩⎨⎧－15（t －15）2＋125，0<t ≤20，110（t －60）2－40，20<t ≤30(t ∈N *)．当0<t ≤20时，y 有最大值y max ＝125万元，此时t ＝15；当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小，y max <110(20－60)2－40＝120(万元)．所以，在30天中的第15天日交易额取得最大值125万元．。

2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第二章 1 第1讲函数及其表示含解析

[基础题组练]1．y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2，0)∪(1，2) B ．(－2，0]∪(1，2) C ．(－2，0)∪[1，2)D ．[－2，0]∪[1，2]解析：选C.要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2＞0，解得x ∈(－2，0)∪[1，2)，即函数的定义域是(－2，0)∪[1，2)． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝e ln x ，g (x )＝x B ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin 2x2cos x，g (x )＝sin x D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：选D.A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D.3．(2019·合肥质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x －2，x ＞2，x 2＋2，x ≤2，则f (f (1))＝( )A ．－12B ．2C ．4D ．11解析：选C.因为f (1)＝12＋2＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝3＋13－2＝4.故选C. 4．(2019·甘肃张掖诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≥4，f （x ＋1），x ＜4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝⎛⎭⎫121＋log 25C.12D.120解析：选D.因为2＜log 25＜3，所以3＜1＋log 25＜4，则4＜2＋log 25＜5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝⎛⎭⎫122＋log 25＝14×15＝120，故选D. 5．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( )A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A.令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.6．已知函数f (x －1)＝xx ＋1，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝x ＋1x ＋2B ．f (x )＝xx ＋1C ．f (x )＝x －1xD ．f (x )＝1x ＋2解析：选A.令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，所以f (t )＝t ＋1t ＋2，即f (x )＝x ＋1x ＋2.故选A.7．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x解析：选D.当x ＜0时，|x |＝－x ，x |sgn x |＝x ，x sgn|x |＝x ，|x |sgn x ＝(－x )·(－1)＝x ，排除A ，B ，C ，故选D.8．(2019·安徽合肥质检)已知函数f (x )满足f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，则f (3)＝( ) A.98 B.94 C.92D ．9解析：选C.因为f (2x )＝2f (x )，且当1≤x ＜2时，f (x )＝x 2，所以f (3)＝2f ⎝⎛⎭⎫32＝2×⎝⎛⎭⎫322＝92. 9．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )＝________．解析：设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，因为g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，所以g (x )＝3x 2－2x .答案：3x 2－2x10．(2019·安徽合肥质检)已知函数f (x )＝mx 2＋（m －3）x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，函数f (x )＝－3x ＋1的值域是[0，＋∞)，显然成立；当m ＞0时，Δ＝(m －3)2－4m ≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.显然m ＜0时不合题意．综上可知，实数m 的取值范围是[0，1]∪[9，＋∞)．答案：[0，1]∪[9，＋∞)11．(2019·安徽合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．解析：用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1，所以⎩⎨⎧3f （x ）＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1 ①，3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f （x ）＝3x ＋1 ②，①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．答案：f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)12．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．解析：因为y ＝f (x ＋1)的定义域为[－2，3]，所以－1≤x ＋1≤4.由－1≤2x －1≤4，得0≤x ≤52，即y ＝f (2x －1)的定义域为⎣⎡⎦⎤0，52. 答案：⎣⎡⎦⎤0，52 [综合题组练]1．(创新型)具有性质f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②解析：选A.对于①，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.故选A.2．(创新型)设f (x )，g (x )都是定义在实数集上的函数，定义函数(f ·g )(x )：∀x ∈R ，(f ·g )(x )＝f (g (x ))．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，x 2，x ≤0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，则( )A ．(f ·f )(x )＝f (x )B ．(f ·g )(x )＝f (x )C ．(g ·f )(x )＝g (x )D ．(g ·g )(x )＝g (x )解析：选A.对于A ，(f ·f )(x )＝f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）>0，f 2（x ），f （x ）≤0，当x >0时，f (x )＝x >0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x ；当x <0时，f (x )＝x 2>0，(f ·f )(x )＝f (x )＝x 2；当x ＝0时，(f ·f )(x )＝f 2(x )＝0＝02，因此对任意的x ∈R ，有(f ·f )(x )＝f (x )，故A 正确，选A.3．已知函数f (x )满足对任意的x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝________．解析：由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2，得f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2，f ⎝⎛⎭⎫28＋f ⎝⎛⎭⎫68＝2，f ⎝⎛⎭⎫38＋f ⎝⎛⎭⎫58＝2，又f ⎝⎛⎭⎫48＝12⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫48＋f ⎝⎛⎭⎫48＝12×2＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝2×3＋1＝7. 答案：74．(应用型)(2019·广东珠海质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a ＞0，且a ≥－1，解得－1≤a ＜12.答案：[－1，12)。

2020版高考数学新攻略江苏专用大一轮精练：第二章9-第九节函数模型及其应用含解析

第九节函数模型及其应用课时作业练1.(2018扬州中学期初检测)甲、乙二人同时从A地赶往B地,甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步;乙先跑步到两地的中点再改为骑自行车,最后两人同时到达B地.已知甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,且两人骑车的速度均大于跑步的速度.现将两人离开A地的距离s与所用时间t的函数关系用图象表示如下:则上述四个函数图象中,甲、乙两人行进的函数关系的图象应该分别是.答案①;④解析由甲先骑自行车到中点后改为跑步,知前半程的速度大于后半程的速度,则前半程的图象的斜率大于后半程图象的斜率.乙是先跑步,到中点后改为骑自行车,则前半程的图象的斜率小于后半程图象的斜率.因为甲骑自行车比乙骑自行车的速度快,所以甲前半程的图象的斜率大于乙后半程图象的斜率,所以甲是①,乙是④.2.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出,t min后剩余的细沙量(单位:cm3)为y=ae-bt,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.答案16解析当t=8时,y=ae-8b=a,∴e-8b=,当容器中的沙子只有开始时的八分之一时,ae-bt=a,则e-bt==(e-8b)3=e-24b,则t=24,所以再经过16 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.3.某城市客运公司确定客票价格的方法:若行程不超过100 km,则票价是0.5元/km,若超过100 km,则超过100 km的部分按0.4元/km定价,那么客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是.答案y=., .,4.用长度为24的材料围一矩形场地,且中间有两道隔墙(如图),要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为.答案3解析设隔墙的长度为x,矩形的面积为S,则S=(12-2x)x=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,∴当x=3时,S取得最大值.5.某产品计划每年成本降低p%,若三年后成本为a元,则现在成本为.答案-元解析设现在成本为x元,则根据题意有(1-p%)3x=a,所以x=-.6.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为m.答案20解析由题图可知矩形上方的三角形与大三角形相似,设矩形中与长为x m 的边相邻的边的长为y m,则=-,所以y=40-x,又有xy≤=400,当且仅当x=y时等号成立,则x=40-x,即x=20,故矩形的面积最大时x的值为20.7.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与年广告费x万元之间的函数解析式为L=-(x>0).则当年广告费投入万元时,该公司的年利润最大.答案4解析L=-=--(x>0).当-=0,即x=4时,L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大.8.某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元.销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为万元.答案 1 024解析依题意得, ,即,.解得a=2,b=-2.∴y=2log4x-2,当y=8,即2log4x-2=8时,解得x=1 024.9.(2019江苏泰州模拟)某驾驶员喝了m升酒后,血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)=-,,,.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升,则此驾驶员至少要经过个小时才能开车(不足1小时的部分算1小时,结果精确到1小时).答案4解析当0≤x≤1时,-2≤x-2≤-1,∴5-2≤5x-2≤5-1,而5-2>0.02,∴当0≤x≤1时, f(x)>0.02;当x>1时,由×≤0.02得≤,解得x≥1+≈3.1.故此驾驶员至少要经过4个小时才能开车.10.某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大面积是多少?解析设矩形温室的左侧边长为x m,则后侧边长为m.所以蔬菜种植面积y=(x-4)-=808-2(4<x<400).因为x+≥2=80.所以y≤808-2×80=648.当且仅当x=,即x=40时取等号,此时=20,ymax=648 m2.即当矩形温室的左侧边长为40 m,后侧边长为20 m时,蔬菜的种植面积最大,最大面积是648 m2.11. (2018江苏扬州高一上期末)近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司计划在甲、乙两座城市中共投资240万元,根据行业规定,每个城市至少要投资80万元,由前期市场调研可知:甲城市收益P(单位:万元)与投入a(单位:万元)满足P=4-6,乙城市收益Q(单位:万元)与投入a满足Q=,,,,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求当投资甲城市128万元时公司的总收益;(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使公司的总收益最大? 解析(1)当x=128时,甲城市投资128万元,乙城市投资112万元,所以总收益f(128)=4-6+×112+2=88 万元).(2)由题意知,甲城市投资x万元,乙城市投资(240-x)万元,依题意得,-,解得80≤x≤160,当80≤x<120时, 120<240-x≤160,f(x)=4-6+32=4+26<26+16,当120≤x≤160时, 80≤240-x≤120,f(x)=4-6+(240-x)+2=-x+4+56,令t=,则t∈[2,4],所以y=-t2+4t+56=-(t-8)2+88,当t=8,即x=128万元时, y取得最大值88,因为88-(26+16)=2(31-8)>0,故f(x)的最大值为88(万元),答:当甲城市投资128万元,乙城市投资112万元时,总收益最大,且最大收益为88万元.12.(2017江苏南通、徐州高三第一次学情调研)在互联网时代,网校培训已经成为青年学习的一种趋势,假设某网校的套题每日的销售量h(x)(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式h(x)=f(x)+g(x)(3<x<7,x为常数),其中f(x)与(x-3)成反比,g(x)与(x-7)的平方成正比,已知销售价格为5元/套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元/套时,每日可售出套题69千套.(1)求h(x)的表达式;(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑售出的套数),试问销售价格为多少时,才能使网校每日销售套题所获得的利润最大?(保留1位小数)解析(1)因为f(x)与(x-3)成反比,g(x)与(x-7)的平方成正比,所以可设f(x)=-,k1≠0,g x =k2(x-7)2,k2≠0,则h(x)=f(x)+g(x)=-+k2(x-7)2.将(5,21),(3.5,69)代入,得,,解得,.所以h(x)=-+4(x-7)2(3<x<7).(2)设每日销售套题所获得的利润为F(x)元,则F(x)=(x-3)--=10+4(x-7)2(x-3)=4x3-68x2+364x-578(3<x<7).从而F'(x)=12x2-136x+364=4(3x-13)(x-7)(3<x<7),当x∈,时,F'(x)>0,所以函数F(x)在,上单调递增;当x∈,时,F'(x)<0,所以函数F(x)在,上单调递减.所以当x=≈4.3时,函数F(x)取得最大值.答:当销售价格为4.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.已知集合A、B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U A∪B ={4},B={1,2},则A∩ ∁UB)= .答案{3}解析由题意可得A∪B={1,2,3},又B={1,2},则A中一定有元素3,没有元素4,则A∩ ∁UB)={3}.2.(2019南通模拟)已知“命题p:(x-m)2>3(x-m ”是“命题q:x2+3x-4<0”成立的必要不充分条件,则实数m的取值范围是.答案(-∞,-7]∪[1,+∞解析由(x-m)2>3(x-m)得x>m+3或x<m,由x2+3x-4<0得-4<x<1.因为p是q成立的必要不充分条件,所以m+3≤-4或m≥1,故m≤-7或m≥1.3.已知函数f(x)=--,则该函数的单调递增区间为.答案[3,+∞解析设t=x2-2x-3,由t≥0,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.所以函数的定义域为(-∞,-1]∪[3,+∞ .因为函数t=x2-2x-3的图象的对称轴为直线x=1,所以函数t在(-∞,-1]上单调递减,在[3,+∞ 上单调递增.所以函数f(x)的单调递增区间为[3,+∞ .4.(2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,则f(919)= .答案6解析由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f 919 =f 6×153+1 =f 1 .因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.5.关于x的方程x2-(m+3)x+m+3=0有两个不相等的正实数根,则实数m的取值范围是. 答案m>1解析∵关于x的方程x2-(m+3)x+m+3=0有两个不相等的正实数根,即x1>0,x2>0,且x1≠x2,∴Δ=(m+3)2-4(m+3)>0,且x1+x2=m+3>0,x1x2=m+3>0,解得m>1,故实数m的取值范围是m>1.6.若函数y=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]的定义域为R,则实数a的取值范围是.答案(-∞,-1]∪,∞解析由题意知(a2-1)x2+(a+1)x+1>0对任意x∈R恒成立,当a2-1=0时,经检验,a=-1符合题意,a=1不符合题意,舍去;当a2-1≠0时,-,--,解得a<-1或a>,综上,实数a的取值范围是(-∞,-1]∪,∞.7.函数f(x)=x2-2x的零点个数是.答案3解析当-1<x<0时, f(-1)=1-2-1>0, f(0)=0-20<0,有一个零点.当x<-1时, f(x)>1-2x>0.当x≥0时, f(2)=0=f(4),所以函数f(x)的零点个数为3.8.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知函数f(x)=e x-e-x+1(e为自然对数的底数),若f(2x-1)+f(4-x2)>2,则实数x的取值范围是.答案(-1,3)解析令g(x)=f(x)-1,则g(-x)=f(-x)-1=e-x-e x=-g(x),则g(x)是奇函数,且在R上递增.不等式f(2x-1)+f(4-x2)>2⇔g(2x-1)>-g(4-x2)⇔g(2x-1)>g(x2-4),则2x-1>x2-4,即x2-2x-3<0,所以-1<x<3.9.(2018江苏南京秦淮中学月考)已知函数f(x)=log2(ax2-4ax+6).(1)当a=1时,求不等式f x ≥log23的解集;(2)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围.解析(1)a=1时,log2(x2-4x+6 ≥log23,∴x2-4x+6≥3,∴x2-4x+3≥0,∴x∈ -∞,1]∪[3,+∞ ,∴不等式f x ≥log3的解集为(-∞,1]∪[3,+∞ .2(2)f(x)的定义域为R,即ax2-4ax+6>0在x∈R上恒成立.当a≠0时,a>0且Δ=16a2-24a<0,∴0<a<,当a=0时, f(x)=log6,显然f(x)的定义域为R成立,2综上,a的取值范围是,.。

(课标通用)北京市2020版高考数学大一轮复习第二章9第九节函数的模型及其应用夯基提能作业本

第九节函数模型及其应用A组基础题组1.假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下:方案一:每天回报40元;方案二:第一天回报10元,以后每天的回报比前一天多10元;方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报是前一天的两倍.若投资的时间为10天,为使投资的回报最多,你会选择哪种方案投资?( )A.方案一B.方案二C.方案三D.都可以答案 B 方案一:投资10天的回报为40×10=400元;方案二:投资10天的回报为10×10+×10=550元;方案三:投资10天的回报为=409.2元.投资回报最多的为方案二,故选B.2.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D 对于A选项:由题图可知,当乙车速度大于40 km/h时,乙车每消耗1升汽油,行驶里程都超过5 km,则A错;对于B选项:由题意可知,以相同速度行驶相同路程,燃油效率越高,耗油越少,故三辆车中甲车耗油最少,则B错; 对于C选项:甲车以80 km/h的速度行驶时,燃油效率为10 km/L,则行驶1小时,消耗了汽油80×1÷10=8(升),则C错;对于D选项:当行驶速度小于80 km/h时,在相同条件下,丙车的燃油效率高于乙车,则在该市用丙车比用乙车更省油,则D对.综上,选D.3.(2016北京丰台一模)经济学家在研究供求关系时,一般用纵轴表示产品价格(自变量),用横轴表示产品数量(因变量).某类产品的市场供求关系在不受外界因素(如政府限制最高价格等)的影响下,市场会自发调解供求关系:当产品价格P1低于均衡价格P0时,需求量大于供应量,价格会上升为P2;当产品价格P2高于均衡价格P0时,供应量大于需求量,价格又会下降,价格如此波动下去,产品价格将会逐渐靠近均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图象是( )答案 D 由题意可将B、C排除.选项A、D的区别在于两条曲线的斜率变化得快慢.当价格为P2时,供应量大于需求量,价格下降为P3,此时供应量小于需求量,价格会上升为P4,在价格由P1到P4的变化过程中,选项A和选项D如图:发现选项A的价格会越来越远离P0,选项D越来越靠近P0.故选D.4.(2017北京东城二模,7)动点P从点A出发,按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周,A, P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示,那么动点P所走的图形可能是( )答案 D 对于A,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于B,在椭圆中,y与x的函数关系的图象不是对称的,不符合题意;对于C,当点P在边AB上运动时,y=x,不符合题意;对于D,当点P运动到AP是直径时,y最大,此时,x=,符合题意.故选D.5.(2017北京顺义二模,8)某学校为了提高学生综合素质、树立社会主义荣辱观、培养学生的创新能力和实践能力、促进学生健康成长,开展评选“校园之星”活动.规定各班每10人推选一名候选人,当各班人数除以10的余数大于7时再增选一名候选人,那么,各班可推选候选人人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )A.y=B.y=C.y=D.y=答案 B 采用特值法.令余数分别为7和8,将两个临界值代入选项加以判断.=0,=0,排除A;=0,=1,B符合;=1,=1,排除C;=1,=1,排除D.故选B.6.西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.根据预算得羊皮手套的年利润L万元与年广告费x万元之间的函数解析式为L=-(x>0).则当年广告费投入万元时,该公司的年利润最大.答案 4解析L=-=-(x>0).当-=0,即x=4时,L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时,该公司的年利润最大.7.(2018北京东城一模,14)单位圆的内接正n(n≥3)边形的面积记为f(n),则f(3)= .下面是关于f(n)的描述:①f(n)= sin;②f(n)的最大值为π;③f(n)<f(n+1);④f(n)<f(2n)≤2f(n).其中正确结论的序号为.(注:请写出所有正确结论的序号)答案;①③④解析单位圆的内接正n边形可拆解为n个等腰三角形,腰长为单位长度1,顶角为,每个三角形的面积为sin,所以正n边形的面积为f(n)= sin,所以①正确,f(3)= sin=×=.正n边形的面积无法等于圆的面积,所以②不对.随着n的值增大,正n边形的面积也越来越大,所以③正确.当且仅当n=3时,有2f(3)=f(6),由几何图形可知其他情况下都有f(2n)<2f(n),所以④正确.8.有一种新型的洗衣液,去污速度特别快.已知每投放k(1≤k≤4,且k∈R)个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中,它在水中释放的浓度y(克/升)随着时间x(分钟)变化的函数关系式近似为y=k·f(x),其中f(x)=若多次投放,则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时,它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次k个单位的洗衣液,当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升,求k的值;(2)若只投放一次4个单位的洗衣液,则有效去污时间可达几分钟?(3)若第一次投放2个单位的洗衣液,10分钟后再投放1个单位的洗衣液,则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用?请说明理由.解析(1)由题意知k=3,∴k=1.(2)因为k=4,所以y=当0≤x≤4时,由-4≥4,解得-4≤x<8,所以0≤x≤4.当4<x≤14时,由28-2x≥4,解得x≤12,所以4<x≤12.综上可知,当y≥4时,0≤x≤12,所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟.(3)能,理由:在第12分钟时,水中洗衣液的浓度为2×+1×=5(克/升),又5>4,所以在第12分钟时还能起到有效去污的作用.B组提升题组9.(2018北京房山一模,8)如图,直线AB与单位圆相切于点O,射线OP从OA出发,绕着点O逆时针旋转,在旋转的过程中,记∠AOP=x(0<x<π),OP经过的单位圆内区域(阴影部分)的面积为S,记S=f(x),则下列判断正确的是( )A.当x=时,S=-B.当x∈(0,π)时, f(x)为减函数C.对任意x∈,都有f+f=πD.对任意x∈,都有f=f(x)+答案 C 当x=时,S=π-=+,故A错;f(x)显然是增函数,故B错;C项中,将x=代入等式,等式不成立,故D错,故选C.10.(2018北京门头沟一模,8)某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的,按照综合得分的高低进行综合排序,综合排序高者中标.分值权重表如下:总分技术商务报价100% 50% 10% 40%技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的.报价标则相对灵活,报价标的评分方法:基准价的基准分是68分,若报价每高于基准价1%,则在基准分的基础上扣0.8分,最低得分为48分;若报价每低于基准价1%,则在基准分的基础上加0.8分,最高得分为80分.若报价低于基准价15%以上(不含15%),每再低1%,在80分的基础上扣0.8分.在某次招标中,基准价为1 000万元.甲、乙两公司的综合得分如下表:公司技术商务报价甲80分90分A甲分乙70分100分A乙分甲公司的报价为1 100万元,乙公司的报价为800万元,则甲,乙公司的综合得分分别是( )A.73分,75.4分B.73分,80分C.74.6分,76分D.74.6分,75.4分答案 A 甲公司的报价为1 100万元,高于基准价10%,所以扣8分,报价分为68-8=60分,所以甲公司的综合得分为80×50%+90×10%+60×40%=73分;乙公司的报价为800万元,报价低于基准价20%,所以报价分为80-0.8×5=76分,所以乙公司的综合得分为70×50%+100×10%+76×40%=75.4分,故选A.11.(2017北京房山一模,14)《中华人民共和国个人所得税法》规定:从2011年9月1日开始,个人所得税起征点由原来的2 000元提高到3 500元,也就是说原来月收入超过2 000元的部分需要纳税,从2011年9月1日开始,超过3 500元的部分需要纳税,若税法修改前后超过部分的税率相同,按下表分段计税:级数全月应纳税所得额税率(%)1 不超过1 500元的部分 32 超过1 500元不超过4 500元的部分103 超过4 500元不超过9 000元的部分20某职工2011年5月缴纳个人所得税295元,在收入不变的情况下,2011年10月该职工需缴纳个人所得税元.答案145解析调整前,月收入为2 000+1 500=3 500元时,需纳税1 500×0.03=45元,月收入为3 500+3 000=6 500元时,需纳税45+3 000×0.1=345元,∵45<295<345,∴该职工的月收入超过3 500元且不超过6 500元,∴该职工在超过1 500元不超过4 500元的部分纳税295-45=250元,故超过1 500不超过4 500元的部分为250÷0.1=2 500元,∴该职工的月收入为3 500+2 500=6 000元.∴2011年10月该职工需缴纳个人所得税1 500×0.03+(6 000-3 500-1 500)×0.1=145元.方法点拨与实际生活有关的分段函数问题常要根据已知的函数值来求自变量,应抓住自变量的变化范围,求出相应的函数值的范围,判断所求问题应在哪个范围内解决.。

2020届数学(理)新攻略一轮复习课标版精练第二章+9-第九节函数模型及应用+Word版含解析

第九节函数模型及应用A组基础题组1.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据,如下表:则对x,y最适合的拟合函数是( )A.y=2xB.y=x2-1xC.y=2x-2D.y=log2答案 D 根据x=0.50,y=-0.99,代入各选项计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入各x,可知满足题意.故选D.选项计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log22.(2019山东烟台模拟)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为-万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( )A.[4,8]B.[6,10]C.[4%,8%]D.[6%,10%]答案 A 根据题意,要使附加税不少于128万元,需-×160×R%≥128,整理得R2-12R+32≤0,解得4≤R≤8,即R∈[4,8].3.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=-已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表:若四月份该家庭使用了20 m3的煤气,则其煤气费为( )A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元答案 A 由题中表格易知4≤A<25,则由题意可得--解得当x=20时, f(20)=4+× 20-5)=11.5.故选A.4.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格比较,变化的情况是( )A.减少7.84%B.增加7.84%C.减少9.5%D.不增不减答案 A 设某商品原来价格为a,依题意得:a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1 22×0 82=0.921 6a,(0.921 6-1)a=-0.078 4a,所以四年后的价格与原来价格比较,减少了7.84%.5.已知正方形ABCD的边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为S,则函数S=f(x)的图象是( )答案 D 依题意知当0≤x≤4时, f(x)=2x;当4<x≤8时, f(x)=8;当8<x≤12时,f(x)=24-2x,观察四个选项知D项符合题意.6.(2018河北武邑中学月考)已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系式R=a(a为常数且a>0),广告效应D=a-A.那么对于此商品,精明的商人为了取得最大的广告效应,投入的广告费应为.(用常数a表示)答案解析由题意得D=a-A=--+,且A≥0,∴当=,即A=时,D最大,最大为.7.(2018安徽蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系式为y=alog2(x+1),若这种动物第1年有100只,则第7年它们繁殖只.答案300解析由题意,得100=alog2(1+1),解得a=100,所以y=100log2(x+1),当x=7时,y=100log2(7+1)=300,故第7年它们繁殖300只.8.某人准备购置一块占地1 800平方米的矩形地块,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路(如阴影部分所示),大棚占地面积为S平方米,其中a∶b=1∶2,若要使S 最大,则y= .答案45解析由题意可得xy=1 800,b=2a,则y=a+b+3=3a+3,S=(x-2)a+(x-3 ×b= 3x-8)a=(3x-8 ×-=1 808-3x-y=1808-3x-×=1 808-≤1 808-2=1 808-240=1 568,当且仅当3x=,即x=40时取等号,所以当S取得最大值时,y==45.9.“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明:“活水围网”养鱼时,某种鱼在一定的条件下,每尾鱼的平均生长速度v(单位:千克/年)是养殖密度x(单位:尾/立方米)的函数.当x不超过4尾/立方米时,v的值为2;当4≤x≤20时,v是x的一次函数;当x达到20尾/立方米时,因缺氧等原因,v的值为0.(1)当0<x≤20时,求函数v关于x的函数表达式;(2)当养殖密度x为多大时,鱼的年生长量(单位:千克/立方米)达到最大?并求出最大值. 解析(1)由题意得当0<x≤4时,v=2;当4≤x≤20时,设v=ax+b(a≠0),显然v=ax+b在[4,20]内是减函数,由已知得解得-所以v=-x+,故函数v=-(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得f(x)=-当0<x≤4时, f(x)为增函数,故f(x)max=f 4 =4×2=8;当4<x≤20时, f(x)=-x2+x=-(x2-20x)=-(x-10)2+, f(x)max=f(10)=12.5.所以当0<x≤20时, f(x)的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量达到最大,最大值为12.5千克/立方米. 10.(2019河北石家庄一模)已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元,每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完,每万只的销售收入为R(x)万美元,且R(x)=--(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式;(2)当年产量为多少万只时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.解析(1)当0<x≤40时, W=xR(x)-(16x+40)=-6x2+384x-40,当x>40时,W=xR(x)-(16x+40)=--16x+7 360.所以W=----(2)①当0<x≤40时,W=-6(x-32)2+6 104,所以Wmax=W(32)=6 104;②当x>40时,W=--16x+7 360,由于+16x≥2=1 600,当且仅当=16x,即x=50∈ 40 +∞ 时,取等号,所以W取最大值,为5 760.综合①②,当x=32时,W取最大值,为6 104.B组提升题组1.某工厂产生的废气经过滤后排放,排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中,废气中的污染物数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:时)之间的函数关系为P=P0e-kt(k,P均为正常数).如果在前5个小时的过滤过程中,污染物排除了90%,那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A.小时B.小时C.5小时D.10小时答案 C 由题意,前5个小时消除了90%的污染物.∵P=P0e-kt,∴(1-90%)P=Pe-5k,∴0.1=e-5k,即-5k=ln 0.1,∴k=-ln 0.1.由1%P0=Pe-kt,即0.01=e-kt,得-kt=ln 0.01,∴t=ln 0.01,∴t=10.∴排放前至少还需要过滤的时间为t-5=5(小时).故选C.2.某地西红柿从2月1日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/100 千克)与上市时间t(单位:天)的数据如下表:根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变换关系.Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a·b t,Q=a·logbt.利用你选取的函数,求得:(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是;(2)最低种植成本是(元/100千克).答案(1)120 (2)80解析根据表中数据可知函数不单调,所以Q=at2+bt+c,且图象开口向上,对称轴t=-==120,代入数据得解得-所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120,最低种植成本是14 400a+120b+c=14 400×0 01+120× -2.4)+224=80(元/100千克).3.据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面积为时间t内台风所经过的路程s(单位:km).(1)当t=4时,求s的值;(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,台风在发生后多长时间将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.解析(1)由图象可知,直线OA的方程是v=3t,直线BC的方程是v=-2t+70.当t=4时,v=12,所以s=×4×12=24(2)当0≤t≤10时,s=×t×3t=t2;当10<t≤20时,s=×10×30+ t-10 ×30=30t-150;当20<t≤35时,s=150+300+× t-20 × -2t+70+30)=-t2+70t-550.综上可知,s随t变化的规律是s=∈-∈--∈(3)当t∈[0,10]时,smax =×102=150<650,当t∈(10,20]时,smax=30×20-150=450<650,当t∈(20,35]时,令-t2+70t-550=650,解得t=30或t=40(舍去),即台风在发生30小时后将侵袭到N城.4.某书商为提高某套丛书的销量,准备举办一场展销会.据市场调查,当每套丛书售价定为x 元时,销售量可达到(15-0.1x)万套.现出版社为配合该书商的活动,决定进行价格改革,将每套丛书的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分,其中固定价格为30元,浮动价格(单位:元)与销售量(单位:万套)成反比,比例系数为10.假设不计其他成本,即销售每套丛书的利润=售价-供货价格.问:(1)每套丛书售价定为100元时,书商所获得的总利润是多少万元?(2)每套丛书售价定为多少元时,单套丛书的利润最大?解析(1)每套丛书售价定为100元时,销售量为15-0 1×100=5 万套),所以每套丛书的供货价格为30+=32(元).故书商所获得的总利润为5× 100-32)=340(万元).(2)每套丛书售价定为x元时,由-得0<x<150.设单套丛书的利润为P元,则P=x--=x---30,因为0<x<150,所以150-x>0,所以P=---+120,又(150-x)+-≥2- ·-=2×10=20当且仅当150-x=-,即x=140时等号成立,所以Pmax=-20+120=100.故每套丛书售价定为140元时,单套丛书的利润最大,为100元.。

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第二章函数第一节函数的概念及其表示题型10 映射与函数的概念——暂无题型11 同一函数的判断——暂无题型12 函数解析式的求法题型13 函数定义域的求解题型14 函数值域的求解第二节函数的基本性质——奇偶性、单调性、周期性题型15 函数的奇偶性题型16 函数的单调性1.（2017山东理15）若函数()e x f x （e2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①()2x f x -=②()3x f x -=③()3f x x = ④()22f x x =+解析 ①()e =e e 22xxxxy f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()e =e e 33xx x x y f x -⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；③()3=e e xxy f x x =⋅，令()3e xg x x =⋅，则()()322e e 3e3xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，所以当3x >-时，()0g x '>；当3x <-时，()0g x '<，所以()3=e e x x y f x x =⋅在(),3-∞-上单调递减，在()3,-+∞上单调递增，故()3f x x =不具有M 性质；④()()2=e e 2x x y f x x =+.令()()2e 2x g x x =+，则()()()22e2e 2e 110xx x g x xx x ⎡⎤'=++⋅=++>⎣⎦，所以()()2=e e 2x x y f x x =+在R上单调递增，故()22f x x =+具有M 性质．综上所述，具有M 性质的函数的序号为①④.题型17 函数的奇偶性和单调性的综合1.（17江苏11）已知函数()312e exx f x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若()()2120f a f a -+…，则实数a 的取值范围是．解析易知()f x 的定义域为R . 因为()()()312e e xx f x x x ---=---+-()312e exx x x f x =-+-+=-，所以()f x 是奇函数．又()2213e 3e02x x f x x x +'=-+……，且()0f x '=不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增．因为()()2120f a f a -+…，所以()()()22122f a f a f a --=-…，于是212a a --…，即2210a a +-…，解得11,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．故填11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．2.（2017天津理6）已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（）. A.a b c << B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<解析因为奇函数()f x 在R 上增函数，所以当0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在(0,)+∞上是增函数.()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22l o g 5.13<<，所以0.8202log 5.13<<<，于是()()()0.822log 5.13g g g <<，即b a c <<.故选C.3.(2017北京理5)已知函数()133xxf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x （）. A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数D.是偶函数，且在R 上是减函数解析由题知()133xx f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()113333xx x x f x f x --⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数.又因为3x 是增函数，13x⎛⎫- ⎪⎝⎭也是增函数，所以()f x 在R 上是增函数.故选A. 4.（2017全国1理5）函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()211x f --剟的x 的取值范围是（）. A ．[2,2]-B ． [1,1]-C ． [0,4]D ． [1,3]解析因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --剟等价于 ()()()121f f x f --剟，又()f x 在()-∞+∞，单调递减，所以121x --剟，所以3x 1剟.故选D.题型18 函数的周期性1.（2017江苏14）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D⎧∈=⎨∉⎩．其中集合*1,n D x x n n ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是．解析由题意()[)0,1f x ∈，所以只需要研究[)1,10x ∈内的根的情况．在此范围内，x ∈Q 且x D ∈时，设*,,,2qx p q p p=∈N …，且,p q 互质，若lg x ∈Q ，则由lg (0,1)x ∈，可设*lg ,,,2nx m n m m=∈N …，且,m n 互质. 从而10n mq p =，则10mn q p ⎛⎫= ⎪⎝⎭，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ，于是lg x 不可能与x D ∈内的部分对应相等，所以只需要考虑lg x 与每个周期内x D ∉部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除()1,0外，其它交点均为x D ∉的部分．且当1x =时，()1111lg 1ln10ln10x x x x =='==<，所以在1x =附近只有一个交点，因而方程解的个数为8个．故填8．第三节二次函数与幂函数题型19 二次函数图像及应用——暂无题型20 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题1.(2017浙江理5)若函数()2f x x ax b =++在区间[]01，上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（）.A. 与a 有关，且与b 有关B. 与a 有关，但与b 无关C. 与a 无关，且与b 无关D. 与a 无关，但与b 有关解析函数()2f x x ax b =++的图像是开口朝上且以直线2ax =-为对称轴的抛物线. ①当12a ->或02a-<，即2a <-，或0a >时，函数()f x 在区间[]0,1上单调，此时()()101M m f f a -=-=+，故M m -的值与a 有关，与b 无关；②当1122a -剟，即21a --剟时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f >，此时()2024a aM m f f ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关； ③当1022a -<…，即10a -<…时，函数()f x 在区间0,2a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,12a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()01f f <)，此时()21124a a M m f f a ⎛⎫-=--=++ ⎪⎝⎭，故M m -的值与a 有关，与b 无关.综上可得，M m -的值与a 有关，与b 无关.故选B ．题型21 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系——暂无题型22 二次函数恒成立问题1.（2017天津理8）已知函数，设a ∈R ，若关于x 的不等式()2xf x a+…在R 上恒成立，则a 的取值范围是（）.A.47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.4739,1616⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎤-⎣⎦D.3916⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析解法一：易知()0f x ≥，由不等式()2x f x a +…，得()()2xf x a f x -+剟，即()()22x x f x a f x ---剟，只需要计算()()2x g x f x =--在R 上的最大值和()()2xh x f x =-在R 上的最小值即可，当1x …时，()g x =22147473241616x x x ⎛⎫-+-=---- ⎪⎝⎭…（当1=4x 时取等号），()h x =223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭…（当34x =时取等号），所以47391616a-剟；当1>x 时，()g x=323222x x x x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭…x =时取等号），()h x=222x x +=…（当=2x 时取等号），所以2a -. 综上所述，得47216a -剟．故选A ．解法二：分别作出函数和2xy a =+的图像，如图所示. 若对于任意x ∈R ，()2xf x a +…恒成立，则满足()212x x a x x ++>…且()2312x x x a x -+--厔恒成立，即()212x a x x+>…，又222x x +=?，当且仅当22x x=时，即2x =时取等号，所以2a …. 且()2312xa x x --+剟，则2min473216x a x ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭…，即4716a -?. 综上所述，a 的取值范围为47,216⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故选A. 2.(2017浙江理17)已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是 . 解析设4t x x=+，则()f t t a a =-+，[]4,5t ∈. 解法一：可知()f t 的最大值为{}max (4),(5)f f ，即(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+=⎪⎨=-+⎪⎩…或(4)45(5)55f a a f a a ⎧=-+⎪⎨=-+=⎪⎩…，解得 4.55a a =⎧⎨⎩…或 4.55a a ⎧⎨⎩……，所以 4.5a …．则a 的取值范围是(],4.5-∞. 解法二：如图所示，当0a <时，()5f t t a a t =-+=…成立；当0a t <…时，()05f t a t a t =-+-=…成立；当a t >时，()5f t t a a a t a =-+=-+…成立，即 4.5a …. 则a 的取值范围是(],4.5-∞.题型23 幂函数的图像与性质——暂无第四节指数函数与对数函数题型24 指（对）数运算及指（对）数方程1.(2017北京理8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3613，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为8010，则下列各数中与M N最接近的是（）.（参考数据：lg30.48≈）A.3310B.5310C.7310D.9310解析设36180310M x N ==，两边取对数36180lg lg 3lg10361lg 380x =-=⨯-，即93.28x =，所以接近9310.故选D.2.（2017全国1理11）设x ，y ，z 为正数，且235x y z==，则（）.aA ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z <<解析设235x y z t ===，两边取对数得ln 2ln 3ln 5ln x y z t ===，则2ln 2ln 2tx =3ln 3ln 3t y =，5ln 5ln 5t z =，ln 0t >.设()ln x f x x =，()()2ln 1ln x f x x -'=，当()0,e x ∈时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当()e,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.而()24ln x f t =，()33ln y f t =，()55ln z f t =.由e<3<4<5，得325y x z <<.故选D.题型25 指（对）数函数的图像及应用——暂无题型26 指（对）数函数的性质及应用第五节函数的图像及应用题型27 识图(知式选图、知图选式) 题型28 作函数的图像——暂无题型29 函数图像的应用1.（2017全国3理15）设函数()1020x x x f x x +⎧=⎨>⎩，，…，则满足()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是_________.解析因为()1,02 ,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭.由图像变换可作出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图像如图所示.由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解集为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.1141)2-)2.（2017山东理10）已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图像与y m =的图像有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（）. A.(])0,123,⎡+∞⎣B.(][)0,13,+∞C.()23,⎡+∞⎣D.([)3,+∞解析解法一：()222121y mx m x mx =-=-+过点()0,1且对称轴为1x m=. 当01m <<时，11m>，从而2221y m x mx =-+在区间()0,1上单调递减，函数()21y m x =-与y m =的草图如图所示，此时有一个交点；当1m >时，11m <，所以2221y m x mx =-+在区间10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间1,1m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.若函数()21ym x =-与y m =有一个交点，草图如图所示，则()211m m ⨯-?，解得3m …；当1m =时，函数()21y x =-与1y =显然在区间[]0,1有且只有一个交点为()0,1.综上所述，m 的取值范围是(][)0,13+∞，.故选B. 解法二：若m =则)[]21,0,1y x =-∈的值域为[]0,1；[]0,1y x =∈的值域为+，所以两个函数的图像无交点，故排除C 、D ；若3m =，则点()1,4是两个函数的公共点.故选B.。

2020版高考数学(理)大一轮核心素养提升练十二 2.9函数模型及其应用含解析

核心素养提升练十二函数模型及其应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列函数中,随x的增大,y的增大速度最快的是( )A.y=0.001e xB.y=1 000ln xC.y=x1 000D.y=1 000·2x【解析】选A. 在对数函数,幂函数,指数函数中,指数函数的增长速度最快,故排除B,C;指数函数中,底数越大,函数增大速度越快.2.用长度为24米的材料围成一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为( )A.3米B.4米C.6米D.12米【解析】选 A.设隔墙的长为x(0<x<6)米,矩形的面积为y平方米,则y=x×=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,所以当x=3时,y取得最大值.3.有一组试验数据如表所示:则最能体现这组数据关系的函数模型是( )A.y=x12 -1 B.y=x2-1C.y=2 log2xD.y=x3【解析】选 B.由表格数据可知,函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型,选项C不正确.取x=2.01,代入A选项,得y=x12+-1>3,代入B选项,得y=x2-1≈3,代入D选项,得y=x3>8;取x=3,代入A选项,得y=x12+-1=15,代入B选项,得y=x2-1=8,代入D选项,得y=x3=27.4.(2018·柳州模拟)设甲、乙两地的距离为a(a>0),小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,在乙地休息10分钟后,他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟,则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )【解析】选D. y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移,故排除A,C.又因为小王在乙地休息10分钟,故排除B.5.(2019·三明模拟)用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过1%,则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0) ( )A.3B.4C.5D.6【解析】选B. 设要洗x次,则≤,所以x≥≈3.322,因此至少洗4次.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·唐山联考)“好酒也怕巷子深”,许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的.已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R=a (a 为常数),广告效应为D=a-A.那么精明的商人为了取得最大广告效应,投入的广告费应为________.(用常数a 表示)【解析】令t=(t ≥0),则A=t 2,所以D=at-t 2=-+a 2,所以当t=a,即A=a 2时,D 取得最大值.答案:a 27. (2018·濮阳模拟)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=(e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.【解析】由题意得所以22ke==,所以11ke=,所以x=33时,y==(11ke)3·e b =()3·e b =×192=24.答案:248.(2019·湖北模拟)某人根据经验绘制了2018年春节前后,从12月22日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象,如图所示,则此人在12月27日大约卖出了西红柿________千克.【解析】前10天满足一次函数关系,设为y=kx+b,将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得解得k=,b=,所以y=x+,则当x=6时,y=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.某种出口产品的关税税率为t,市场价格x(单位:千元)与市场供应量p(单位:万件)之间近似满足关系式:p=,其中k,b均为常数.当关税税率t=75%时,若市场价格为5千元,则市场供应量约为1万件;若市场价格为7千元,则市场供应量约为2万件.(1)试确定k,b的值.(2)市场需求量q(单位:万件)与市场价格x近似满足关系式:q=2-x,当p=q时,市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格不超过4千元时,试确定关税税率的最大值.【解析】(1)由已知⇒解得b=5,k=1.(2)当p=q时,=2-x,所以(1-t)(x-5)2=-x⇒t=1+=1+.而f(x)=x+在(0,4]上单调递减,所以当x=4时,f(x)有最小值,故当x=4时,关税税率的最大值为500%.10.某公司为了实现2018年销售利润1 000万元的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:从销售利润达到10万元开始,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过销售利润的25%.现有三个奖励模型:y=0.025x,y= 1.003x,y=ln x+1,问其中是否有模型能完全符合公司的要求?请说明理由.(参考数据:1.003538≈5,e=2.718 28…,e8≈2 981)【解析】由题意,符合公司要求的模型需同时满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.(1)对于y=0.025x,易知满足①,但当x>200时,y>5,不满足公司的要求.(2)对于y=1.003x,易知满足①,但当x>538时,y>5,不满足公司的要求.(3)对于y=ln x+1,易知满足①.当x∈[10,1 000]时,y≤ln 1 000+1.下面证明ln 1 000+1<5.因为ln 1 000+1-5=ln 1 000-4=(ln 1 000-8)=(ln 1 000-ln 2 981)<0,满足②.再证明ln x+1≤x·25%,即2ln x+4-x≤0.设F(x)=2ln x+4-x,则F′(x)=-1=<0,x∈[10,1 000],所以F(x)在[10,1 000]上为减函数,F(x)max=F(10)=2ln 10+4-10=2ln 10-6=2(ln 10-3)<0,满足③.综上,奖励模型y=ln x+1能完全符合公司的要求.【变式备选】(2018·珠海模拟)在一次水下考古活动中,潜水员需潜入水深为30米的水底进行作业.其用氧量包含以下三个方面:①下潜时,平均速度为每分钟x米,每分钟的用氧量为x2升;②水底作业需要10分钟,每分钟的用氧量为0.3升;③返回水面时,速度为每分钟x米,每分钟用氧量为0.2升.设潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升.(1)将y表示为x的函数.(2)求y的最小值.(3)若x∈[4,8],求总用氧量y的取值范围.【解析】(1)依题意,下潜所需时间为分钟,返回所需时间为分钟,所以y=x2·+10×0.3+·0.2,整理得:y=++3(x>0).(2)由基本不等式可知y=++3≥2+3=7,当且仅当=即x=6时取等号,y min=7.(3)因为x∈[4,8],y′=,所以y=++3在[4,6]上单调递减,在[6,8]上单调递增,所以当x=6时,y取最小值7, 又因为当x=4时,y=7;当x=8时,y=7,所以y的取值范围是.(20分钟40分)1.(5分)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是( )A.8B.9C.10D.11【解析】选C. 设死亡生物体内原有的碳14含量为1,则经过n(n∈N*)个“半衰期”后的含量为,由<得n≥10.所以,若探测不到碳14的含量,则至少经过了10个“半衰期”.2. (5分)(2019·泰安模拟)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是( )A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元【解析】选C. 甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40万元,乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80万元,共获利40+80=120万元. 3.(5分)某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资,假设以v km/h的速度直达灾区,已知某市到灾区公路线长400 km,为了安全起见,两辆汽车的间距不得小于 km,那么这批物资全部到达灾区的最少时间是________ h(车身长度不计).【解析】设全部物资到达灾区所需时间为t h,由题意可知,t相当于最后一辆车行驶了km所用的时间,因此,t=≥12,当且仅当=,即v=时取“=”.故这些汽车以 km/h的速度匀速行驶时,所需时间最少,最少时间为12 h.答案:124.(12分)(2019·亳州模拟)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式.(2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.【解析】(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40,因此f(x)=6x+20C(x)=6x+(0≤x≤10).(2)f(x)=6x+10+-10≥2-10=70(万元),当且仅当6x+10=,即x=5时等号成立,所以当隔热层厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小,最小为70万元.5. (13分)某企业为了保护环境,发展低碳经济,在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了一个把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,亏损数额国家将给予补偿.(1)当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?如果亏损,则国家每月补偿数额的范围是多少?(2)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?【解析】(1)当x∈[200,300]时,设该项目获利为S,则S=200x-=-x2+400x-80 000=-(x-400)2,所以当x∈[200,300]时,S<0,因此该项目不会获利.当x=300时,S取得最大值-5 000;当x=200时,S取得最小值-20 000.所以国家每月补偿数额的范围是[5 000,20 000].(2)由题意可知,二氧化碳的每吨处理成本为=①当x∈[120,144)时,=x2-80x+5 040=(x-120)2+240,所以当x=120时,取得最小值240;②当x∈[144,500)时,=x+-200≥2-200=200,当且仅当x=,即x=400时,取得最小值200.因为200<240,所以当每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.。

2020版高考数学(理)新精准大一轮课标通用版刷好题练能力：第二章 9 第9讲函数模型及其应用含解析

[基础题组练]1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )x 1.992 3 4 5.15 6.126 y1.5174.041 87.51218.01A.y ＝2x －2 B ．y ＝12(x 2－1)C ．y ＝log 2xD ．y ＝log 12x解析：选B.由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y 的变化随x 的增大而增大得越来越快，分析选项可知B 符合，故选B.2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D.设进价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.故选D. 3．小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头方向经过点B 跑到点C ，共用时30 s ，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为t (s)，他与教练间的距离为y (m)，表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q解析：选D.A.假设这个位置在点M ，则从A 至B 这段时间，y 不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；B.假设这个位置在点N ，则从A 至C 这段时间，A 点与C 点对应y 的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；C.假设这个位置在点P ，则由函数图象可得，从A 到C 的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过30 s 时教练到小明的距离，而点P 不符合这个条件，故本选项错误；D.经判断点Q 符合函数图象，故本选项正确，故选D.4．一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期(剩余质量为最初质量的一半所需的时间叫作半衰期)是(精确到0.1，已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．5.2B ．6.6C ．7.1D ．8.3解析：选B.设这种放射性元素的半衰期是x 年，则(1－10%)x ＝12，化简得0.9x ＝12，即x ＝log 0.912＝lg12lg 0.9＝－lg 22lg 3－1＝－0.301 02×0.477 1－1≈6.6(年)．故选B.5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x ，y 应为( )A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14解析：选A.由三角形相似得24－y 24－8＝x 20.得x ＝54(24－y )，所以S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，所以当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.检验符合题意．6．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x ＜A ，cA，x ≥A (A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75，16C ．60，25D ．60，16解析：选D.由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c 4＝30，解得c ＝60，将c ＝60代入cA＝15，得A ＝16. 7．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：因为m ＝6.5，所以[m ]＝6，则f (m )＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.248．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：89．(2019·河北唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x )＋2.4x ＝14.4，化简得x －6×0.9x ＝0.令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.063 4＞0，所以函数f (x )在(3，4)上有一个零点．故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．答案：410．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)如图，作PQ ⊥AF 于Q ，所以PQ ＝8－y ，EQ ＝x －4，在△EDF 中，EQ PQ ＝EFFD ，所以x －48－y ＝42，所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S ，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，所以S (x )是关于x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x ＝10，所以当x ∈[4，8]时，S (x )单调递增，所以当x ＝8时，矩形BNPM 的面积取得最大值，最大值为48平方米．11．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4尾/立方米时，v 的值为2千克/年；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数，当x 达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年．(1)当0<x ≤20时，求函数v 关于x 的函数解析式．(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．解析：(1)由题意得当0<x ≤4时，v ＝2；当4<x ≤20时，设v ＝ax ＋b ，显然v ＝ax ＋b 在(4，20]内是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－18，b ＝52，所以v ＝－18x ＋52，故函数v ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤4，－18x ＋52，4<x ≤20.(2)设年生长量为f (x )千克/立方米，依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0<x ≤4，－18x 2＋52x ，4<x ≤20，当0<x ≤4时，f (x )为增函数，故f (x )max ＝f (4)＝4×2＝8；当4<x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋252，f (x )max ＝f (10)＝12.5.所以当0<x ≤20时，f (x )的最大值为12.5.即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．[综合题组练]1．(2019·河南洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)．要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少．则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500 B ．y ＝10x 25＋500 C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：选C.由题意知，拟定的函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝(x －50)2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x 25＋500是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11 000(x －50)3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．故选C.2．(2019·河北邯郸联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元解析：选B.由题意，产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋xy ×50%，故年销售收入为z ＝⎝⎛⎭⎫30y ＋4y ×150%＋xy ×50%·y ＝45y ＋6＋12x .所以年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x2(万元)．所以当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元)．故选B. 3．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P 、种黄瓜的年收入Q 与投入a (单位：万元)满足P ＝80＋42a ，Q ＝14a ＋120，设甲大棚的投入为x (单元：万元)，每年两个大棚的总收益为f (x )(单位：万元)．(1)求f (50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f (x )最大？解：(1)由题意知甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f (50)＝80＋42×50＋14×150＋120＝277.5(万元)．(2)f (x )＝80＋42x ＋14(200－x )＋120＝－14x ＋42x ＋250，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20，200－x ≥20⇒20≤x ≤180，故f (x )＝－14x ＋42x ＋250(20≤x ≤180)．令t ＝x ，则t ∈[25，65]，y ＝－14t 2＋42t ＋250＝－14(t －82)2＋282，当t ＝82，即x ＝128时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝282.所以甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大总收益为282万元． 4．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件； (2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．解：(1)设奖励函数模型为y ＝f (x )，则该函数模型满足的条件是： ①当x ∈[10，100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10，100]时，f (x )≤5恒成立； ③当x ∈[10，100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1，它在[10，100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x >80时，y >5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求． (b)对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①， x ＝100时，y max ＝log 2100－2＝2log 25<5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10，100]，所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )≤log 2e 10－15<210－15＝0，所以h (x )在[10，100]上是递减的，因此h (x )≤h (10)＝log 210－4<0，即f (x )≤x5恒成立，满足条件③，故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．。

2020版高考数学大一轮精准复习精练---函数的概念及表示Word版含解析

2020版高考数学大一轮精准复习精练高考专题二函数概念与基本初等函数【真题典例】2.1 函数的概念及表示挖命题【考情探究】分析解读 1.理解函数的概念,应把重点放在构成它的三要素上,并会根据定义判断两个函数是不是同一个函数.2.掌握函数的三种表示方法,即图象法、列表法、解析法.3.掌握分段函数及其应用,在解决分段函数问题时,要注意分段函数是一个函数,而不是几个函数,要会求其值域.4.分段函数图象的作法是高考的热点.5.本节在高考中分值约为5分,属中等难度题.破考点【考点集训】考点一函数的有关概念及表示1.函数f(x)=的定义域为( )A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.(-∞,0]D.(-∞,1] 答案 A2.函数f(x)=的定义域为. 答案 {x|x ≥0且x ≠1}考点二分段函数3.某市家庭煤气的使用量x(m 3)和煤气费f(x)(元)满足关系式f(x)=已知某家庭今年前三个月的煤气使用量和煤气费如下表:若四月份该家庭使用了20m的煤气,则煤气费为( )A.11.5元B.11元C.10.5元D.10元答案A4.若函数f(x)=则f= ;方程f(-x)=的解是.答案-2;-或1炼技法【方法集训】方法1求函数定义域的方法1.已知函数f(2-x)=,则函数f()的定义域为( )A.[0,+∞)B.[0,16]C.[0,4]D.[0,2]答案B2.已知函数f(x)的定义域是[-1,2],则y=f(x)+f(-x)的定义域是( )A.[-1,1]B.[-2,2]C.[-1,2]D.[-2,1]答案A方法2确定函数解析式的方法3.甲、乙两地相距500km,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度v不能超过120km/h.已知汽车每小时的运输成本为元,则全程运输成本y与速度v的函数关系是y= ,当汽车的行驶速度为km/h时,全程运输成本最小.答案18v+(0<v≤120);100方法3分段函数问题的解题策略4.已知函数f(x)=则方程f(1+x2)=f(2x)的解集是.答案[0,+∞)5.已知函数f(x)=则满足f(f(a))=|2f(a)-1|的实数a的取值范围为.答案a≤1或a≥4过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2018天津文,14,5分)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是.答案2.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞).B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一函数的有关概念及表示1.(2014江西,3,5分)已知函数f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,则a=( )A.1B.2C.3D.-1答案A2.(2018江苏,5,5分)函数f(x)=的定义域为.答案[2,+∞)3.(2016江苏,5,5分)函数y=的定义域是.答案[-3,1]考点二分段函数1.(2015课标Ⅱ,5,5分)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=( )A.3B.6C.9D.12答案C2.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)3.(2017课标Ⅲ,15,5分)设函数f(x)=则满足f(x)+f>1的x的取值范围是.答案4.(2015浙江,10,6分)已知函数f(x)=则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.答案0;2-3C组教师专用题组考点一函数的有关概念及表示(2015浙江,7,5分)存在函数f(x)满足:对于任意x∈R都有( )A.f(sin2x)=sin xB.f(sin2x)=x2+xC.f(x2+1)=|x+1|D.f(x2+2x)=|x+1|答案D考点二分段函数1.(2015山东,10,5分)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是( )A. B.[0,1] C. D.[1,+∞)答案C2.(2014福建,7,5分)已知函数f(x)=则下列结论正确的是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)答案D3.(2014上海,18,5分)设f(x)=若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为( )A.[-1,2]B.[-1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案D4.(2018江苏,9,5分)函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=则f(f(15))的值为.答案5.(2014浙江,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是.答案(-∞,]6.(2014四川,12,5分)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f= .答案1【三年模拟】选择题(每小题5分,共10分)1.(2019届天津南开中学统练(1),8)已知函数f(x)=e x+a·e-x+2(a∈R,e为自然对数的底数),若函数y=f(x)与y=f(f(x))的值域相同,则a的取值范围是( )A.a<0B.a≤-1C.0<a≤4D.a<0或0<a≤4答案A2.(2018天津南开三模,8)已知f(x)=a,b,c,d是互不相同的正数,且f(a)=f(b)=f(c)=f(d),则abcd的取值范围是( )A.(18,24)B.(18,25)C.(20,25)D.(21,24)答案D。

2020版高考数学新增分大一轮讲义习题第二章函数 2.9 Word版含解析

§函数与方程考情考向分析利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度．．函数的零点()函数零点的定义对于函数＝()(∈)，把使()＝的实数叫做函数＝()(∈)的零点．()三个等价关系方程()＝有实数根⇔函数＝()的图象与轴有交点⇔函数＝()有零点．()函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数＝()在区间[，]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()·()<，那么，函数＝()在区间(，)内有零点，即存在∈(，)，使得()＝，这个也就是方程()＝的根．．二次函数＝＋＋(>)的图象与零点的关系Δ>Δ＝Δ<二次函数＝＋＋(>)的图象与轴的交点()，() ()无交点零点个数概念方法微思考函数()的图象连续不断，是否可得到函数()只有一个零点？提示不能．题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()函数的零点就是函数的图象与轴的交点．(×)()函数＝()在区间(，)内有零点(函数图象连续不断)，则()·()<.(×)()只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×)()()＝，()＝，()＝，当∈(，＋∞)时，恒有()<()<()．(√)题组二教材改编．[练习]函数()＝＋的零点个数是．答案解析由′()＝＋>，得()在上单调递增，又(－)＝－<，()＝>，因此函数()有且只有一个零点．．[习题]已知函数()＝＋＋在区间()上有零点，则实数的取值范围是．答案(－)解析结合二次函数()＝＋＋的图象(图略)知故所以－<<.题组三易错自纠．若函数()＝＋－的零点所在的区间是(，＋)，则＝.答案。

2020版高考数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用课件文北师大版

之间的函数关系是y=0.1x2+10x+300 (0<x≤240,x∈N),若每台产品
的售价为25万元,生产的产品全部卖出,则该工厂获得最大利润(利
润=销售收入-产品成本)时的产量是( B )
A.70台
B.75台 C.80台 D.85台
解析:根据题意知销售收入是25x, 所以利润是w=25x-(0.1x2+10x+300),即w=-0.1x2+15x-300,
B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x 解析:根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据
x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x, 可知满足题意.故选D.
-8-
知识梳理考点自诊
4.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在
-11-
考点1
考点2
考点3
考点4
解由题意知 S(t)=g(t)f(t),
所以
S(t)=
-
1 3
��
+
112 3
-
1 2
��
+
52
1 4
��
+
22
(1 ≤ �� ≤ 40,��∈N),
-
1 3
��
+
112 3
(41 ≤ �� ≤ 100,��∈N).
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1); (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);

2020版高考数学新增分大一轮新高考第二章 2.9 函数模型及其应用 Word版含解析

§函数模型及其应用最新考纲.利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)的实例，了解函数模型的广泛应用．．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型()＝＋(，为常数，≠)反比例函数模型()＝＋(，为常数且≠)()＝＋＋二次函数模型(，，为常数，≠)()＝＋指数函数模型(，，为常数，≠，>且≠)()＝＋对数函数模型(，，为常数，≠，>且≠)幂函数模型()＝＋ (，为常数，≠).三种函数模型的性质函数＝(>) ＝(>) ＝(>) 性质在(，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随的增大逐渐表现为与轴平行随的增大逐渐表现为与轴平行随值变化而各有不同值的比较存在一个，当>时，有<<概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)()某种商品进价为每件元，按进价增加出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．(×)()函数＝的函数值比＝的函数值大．(×)()不存在，使<<.(×)()“指数爆炸”是指数型函数＝·＋(≠，>，≠)增长速度越来越快的形象比喻．(×)题组二教材改编．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()。

2020版数学(理)新攻略大一轮课标通用精练：第二章 9-第九节 函数模型及应用 含解析

江苏2020版高考数学第二章基本初等函数、导数的应用9第9讲函数模型及其应用课件

(江苏专版)2020版高考数学一轮复习第二章第九节函数模型及其应用教案文(含解析)苏教版

2020新课标高考艺术生数学复习教师用书：第二章第9节 函数模型及应用 Word版含解析