【配套K12】2018年高考数学二轮复习专题对点练185.1_5.3组合练理

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教育最新K12通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测五理

课时跟踪检测（五）一、选择题1．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则函数f (x )的最小正周期为( ) A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 解析：选B 由已知可画出草图，如图所示，则T 4＝π2＋2π32－π2＋π62，解得T ＝π. 2．已知外接圆半径为R 的△ABC 的周长为(2＋3)R ，则sin A ＋sin B ＋sin C ＝( ) A ．1＋32B ．1＋34C.12＋32D.12＋ 3 解析：选A 由正弦定理知a ＋b ＋c ＝2R (sin A ＋sin B ＋sin C )＝(2＋3)R ，所以sinA ＋sinB ＋sinC ＝1＋32，故选A. 3．若函数f (x )＝2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内存在零点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，2 C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) D ．[－2,1]解析：选C 设x 0为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12内的一个零点，则2m sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3－2＝0，所以m＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3.因为0≤x 0≤5π12，所以π3≤2x 0＋π3≤7π6，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3≤1，所以m ≤－2或m ≥1，故选C.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，a ＝3，cos(B －A )＝79，则△ABC 的面积为( )A.152 B.523C ．5 2D ．2 2 解析：选C 在边AC 上取点D 使A ＝∠ABD ，则cos ∠DBC ＝cos(∠ABC －A )＝79，设AD ＝DB ＝x ，在△BCD 中，由余弦定理得，(5－x )2＝9＋x 2－2×3x ×79，解得x ＝3.故BD ＝DC ，在等腰三角形BCD 中，DC 边上的高为22，所以S △ABC ＝12×5×22＝52，故选C.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6解析：选A 由射影定理可知a cos C ＋c cos A ＝b ，则(a cos C ＋c cos A )sin B ＝b sin B ，又a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，则有b sin B ＝12b ，sin B ＝12.又a >b ，所以A >B ，则B∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝π6.6．已知△ABC 为等边三角形，AB ＝2，设点P ，Q 满足AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，λ∈R ，若BQ ―→·CP ―→＝－32，则λ＝( )A.12B.1±22 C.1±102D.－3±222解析：选A 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 且垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (1，3)，∴AB ―→＝(2,0)，AC ―→＝(1，3)，又AP ―→＝λAB ―→，AQ ―→＝(1－λ)AC ―→，∴P (2λ，0)，Q (1－λ，3(1－λ))，∴BQ ―→·CP ―→＝(－1－λ，3(1－λ))·(2λ－1，－3)＝－32，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝12.二、填空题7．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝________.解析：a ∘b ＝a·b b·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |，①b ∘a ＝b·a a·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |.②∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，∴22<cos θ<1.又|a |≥|b |>0，∴0<|b ||a |≤1.∴0<|b ||a |cos θ<1，即0<b ∘a <1.∵b ∘a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2|n ∈Z ，∴b ∘a ＝12.①×②，得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，∴12<12(a ∘b )<1，即1<a ∘b <2，∴a ∘b ＝32. 答案：328.在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，P ，Q 分别是BC ，BD 的中点，则向量AP ―→与AQ ―→的夹角的余弦值为________．解析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，C (3，3)，D (1，3)，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则AP ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，AQ ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，所以cos ∠PAQ ＝AP ―→·AQ ―→|AP ―→||AQ ―→|＝154＋347×3＝32114.答案：321149．(2017·石家庄质检)非零向量m ，n 的夹角为π3，且满足|n |＝λ|m |(λ>0)，向量组x 1，x 2，x 3由一个m 和两个n 排列而成，向量组y 1，y 2，y 3由两个m 和一个n 排列而成，若x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3所有可能值中的最小值为4m 2，则λ＝________.解析：由题意，x 1·y 1＋x 2·y 2＋x 3·y 3的运算结果有以下两种可能：①m 2＋m·n ＋n 2＝m 2＋λ|m ||m |cosπ3＋λ2m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋λ2＋1m 2；②m·n ＋m·n ＋m·n ＝3λ|m |·|m |cos π3＝3λ2m 2.又λ2＋λ2＋1－3λ2＝λ2－λ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－122＋34>0，所以3λ2m 2＝4m 2，即3λ2＝4，解得λ＝83.答案：83三、解答题10．已知函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )2－2.(1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值； (2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝2，a ＝3，且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝(3sin x ＋cos x )2－2 ＝(3sin 2x ＋cos 2x ＋23sin x cos x )－2 ＝2sin 2x ＋3sin 2x －1＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，5π6，∴当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，函数f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－2；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. (2)∵f (A )＝2，∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1.∵A ∈(0，π)，∴2A －π6＝π2，解得A ＝π3.∵sin B ＝2sin C ，∴b ＝2c . ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴3＝5c 2－4c 2×cos π3，解得c ＝1，∴b ＝2.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×1×sin π3＝32.11．在△ABC 中，边a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足2sin B ＝sin A ＋sin C ，设B 的最大值为B 0.(1)求B 0的值；(2)当B ＝B 0，a ＝3，c ＝6，AD ―→＝12DB ―→时，求CD 的长．解：(1)由题设及正弦定理知，2b ＝a ＋c ，即b ＝a ＋c2.由余弦定理知，cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝a 2＋c 2－2ac 8ac≥ac －2ac 8ac ＝12，当且仅当a 2＝c 2，即a ＝c 时等号成立． ∵y ＝cos x 在(0，π)上单调递减， ∴B 的最大值B 0＝π3.(2)∵B ＝B 0＝π3，a ＝3，c ＝6，∴b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝33， ∴c 2＝a 2＋b 2，即C ＝π2，A ＝π6，由AD ―→＝12DB ―→，知AD ＝13AB ＝2，在△ACD 中，由余弦定理得CD ＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos π6＝13.12.某地拟建一主题游乐园，该游乐园为四边形区域ABCD ，其中三角形区域ABC 为主题活动区，其中∠ACB ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝126；AD ，CD 为游客通道(不考虑宽度)，且∠ADC ＝120°，三角形区域ADC 为游乐休闲中心供游客休憩．(1)求AC 的长度；(2)记游客通道AD 与CD 的长度和为L ，求L 的最大值．解：(1)由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠ABC，又∠ACB ＝60°，∠ABC ＝45°，AB ＝126，所以AC ＝126sin 45°sin 60°＝24.(2)设∠CAD ＝θ(0°<θ<60°)，则∠ACD ＝60°－θ，在△ADC 中，由正弦定理得AC sin 120°＝CD sin θ＝AD－θ，所以L ＝AD ＋CD＝163[sin(60°－θ)＋sin θ]＝163(sin 60°cos θ－cos 60°sin θ＋sin θ) ＝163sin(60°＋θ)，故当θ＝30°时，L 取到最大值16 3.。

配套K122018年高考数学二轮复习专题对点练257.1_7.3组合练理

专题对点练25 7.1~7.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2017河南焦作二模,理8)已知M是抛物线C:y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线C的焦点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKF=()A.45°B.30°C.15°D.60°答案 A解析由题意,|MF|=p,则设点M,∵K,∴k KM=1,∴∠MKF=45°,故选A.2.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2答案 A解析由x2+y2-2x-8y+13=0,得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).因为圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,所以=1,解得a=-,故选A.3.(2017辽宁鞍山一模,理10)已知点P在抛物线x2=4y上,则当点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()A.(2,1)B.(-2,1)C.D.答案 D解析如图,由几何性质可得,从Q(1,2)向准线作垂线,其与抛物线交点就是所求点,将x=1代入x2=4y,可得y=,点P到点Q(1,2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为,故选D.4.(2017河北保定二模,理9)当双曲线=1的焦距取得最小值时,其渐近线的方程为()A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x答案 B解析由题意,焦距2c=2=2,当m=1时,双曲线的焦距最小,此时双曲线的方程为=1,其渐近线的方程为y=±x,故选B.5.(2017广西南宁一模,理11)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左焦点为F(-c,0),M,N在双曲线C上,O是坐标原点,若四边形OFMN为平行四边形,且四边形OFMN的面积为cb,则双曲线C的离心率为()A.B.2 C.2D.2答案 D解析双曲线C:=1(a>0,b>0)焦点在x轴上,设M(x0,y0),y0>0,由四边形OFMN为平行四边形,得点M,N关于y轴对称,且|MN|=|OF|=c,∴x0=-,四边形OFMN的面积为cb,∴|y0|c=cb,即|y0|=b,∴M,代入双曲线可得=1,整理得-2=1.由e=,∴e2=12,由e>1,解得e=2,故选D.6.(2017福建厦门二模,理6)已知A,B为抛物线E:y2=2px(p>0)上异于顶点O的两点,△AOB 是等边三角形,其面积为48,则p的值为()A.2B.2C.4D.4答案 A解析设B(x1,y1),A(x2,y2),∵|OA|=|OB|,∴.又=2px1,=2px2,∴+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又∵x1,x2与p同号,∴x1+x2+2p≠0,∴x2-x1=0,即x1=x2.由抛物线对称性,知点B,A关于x轴对称,不妨设直线OB的方程为y=x,联立y2=2px,解得B(6p,2p),∴|OB|==4p,∴·(4p)2=48,∴p=2,故选A.7.(2017河南洛阳三模,理11)已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点,点B为抛物线的焦点,P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当m取最大值时,点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为()A.B.+1 C.D.-1答案 B解析过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,∵|PA|=m|PB|,∴|PA|=m|PN|,∴.设PA的倾斜角为α,则sin α=,当m取得最大值时,sin α最小,此时直线PA与抛物线相切.设直线PA的方程为y=kx-1,代入x2=4y,可得x2=4(kx-1),即x2-4kx+4=0,∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,∴P(2,1),∴双曲线的实轴长为|PA|-|PB|=2(-1),∴双曲线的离心率为+1.故选B.8.(2017天津,理5)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为,若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1答案 B解析设双曲线半焦距为c(c>0),则双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点F的坐标为(-c,0),渐近线方程为y=±x.∵点P的坐标为(0,4),∴直线PF的斜率为k=.由题意得. ①∵双曲线的离心率为,∴. ②在双曲线中,a2+b2=c2,③联立①②③解得a=b=2,c=4.∴所求双曲线的方程为=1.故选B.9.(2017全国Ⅰ,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()〚导学号16804224〛A.16 B.14 C.12 D.10答案 A解析方法一:由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得消去y,得x2-2x-4x+=0,所以x1+x2=.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=.由抛物线定义可知|AB|+|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=+4=+8≥2+8=16, 当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.方法二:如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为θ.作AK1垂直准线,AK2垂直x轴,结合图形,根据抛物线的定义,可得所以|AF|·cos θ+2=|AF|,即|AF|=.同理可得|BF|=,所以|AB|=.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为+θ,则|DE|=,所以|AB|+|DE|=≥16,当θ=时取等号,即|AB|+|DE|最小值为16,故选A.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017河北邯郸一模,理16)已知点A(a,0),点P是双曲线C:-y2=1右支上任意一点,若|PA|的最小值为3,则a=.答案-1或2解析设P(x,y)(x≥2),则|PA|2=(x-a)2+y2=a2-1,当a>0时,x=a,|PA|的最小值为a2-1=3,解得a=2;当a<0时,2-a=3,解得a=-1.故答案为-1或2.11.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=.答案 4解析因为|AB|=2,且圆的半径R=2,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-=0的距离为=3.由=3,解得m=-.将其代入直线l的方程,得y=x+2,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|==4.12.(2017北京,理14)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.〚导学号16804225〛答案 (1)Q1(2)p2解析 (1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然C i的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数,由图可得点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==k OC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点),由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.(2017河北保定二模,理20)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A(a,0),B(0,b),D(-a,0),△ABD的面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)如图,设P(x0,y0)是椭圆C在第二象限的部分上的一点,且直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求四边形ABNM的面积.解 (1)由题意得解得a=2,b=.故椭圆C的方程为=1.(2)由(1)知,A(2,0),B(0,),由题意可得S四边形ABNM=|AN|·|BM|,∵P(x0,y0),-2<x0<0,0<y<,3+4=12.∴直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-.从而|BM|=|-y M|=.直线PB的方程为y=x+.令y=0,得x N=-.从而|AN|=|2-x N|=.∴|AN|·|BM|====4.∴S四边形ABNM=|AN|·|BM|=2,即四边形ABNM的面积为2.14.(2017河北邯郸一模,理20)已知F为抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点,直线l:y=kx+交抛物线E于A,B两点.(1)当k=1,|AB|=8时,求抛物线E的方程;(2)过点A,B作抛物线E的切线l1,l2,且l1,l2交点为P,若直线PF与直线l斜率之和为-,求直线l的斜率.解 (1)联立消去x得y2-3py+=0,由题设得|AB|=y A++y B+=y A+y B+p=4p=8,∴p=2,故抛物线E的方程为x2=4y.(2)设A,B,联立消去y得x2-2pkx-p2=0,∴x1+x2=2pk,x1·x2=-p2,由y=x2得y'=x,∴直线l1,l2的方程分别为y=x-,y=x-,联立得点P的坐标为,∴k PF=-,∴-+k=-.∴k=-2或,∴直线l的斜率为k=-2或k=.15.(2017天津,理19)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率为,已知A是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为.(1)求椭圆的方程和抛物线的方程;(2)设l上两点P,Q关于x轴对称,直线AP与椭圆相交于点B(B异于点A),直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为,求直线AP的方程.解 (1)设F的坐标为(-c,0).依题意,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,椭圆的方程为x2+=1,抛物线的方程为y2=4x.(2)设直线AP的方程为x=my+1(m≠0),与直线l的方程x=-1联立,可得点P,故Q.将x=my+1与x2+=1联立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.。

2018届高考数学(理)二轮专题复习限时规范训练：第一部分专题一集合常用逻辑用语平面向量复数1-1-3含答案

限时规范训练三算法、框图与推理限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．请仔细观察1,1,2,3,5，( )，13，运用合情推理，可知写在括号里的数最可能是( ) A．8 B．9C．10 D．11解析：选A.观察题中所给各数可知，2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3,8＝3＋5,13＝5＋8，∴括号中的数为8.故选A.2．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为2，则输出的y的值为( )A．2 B．5C．11 D．23解析：选D.x＝2，y＝5，|2－5|＝3＜8；x＝5，y＝11，|5－11|＝6＜8；x＝11，y＝23，|11－23|＝12＞8.满足条件，输出的y的值为23，故选D.3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( ) A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析：选D.由所给等式知，偶函数的导数是奇函数．∵f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，从而g(x)是奇函数．∴g(－x)＝－g(x)．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为－4时，则输入的S0的值为( )A．7 B．8C．9 D．10解析：选D.根据程序框图知，当i＝4时，输出S.第1次循环得到S＝S0－2，i＝2；第2次循环得到S＝S0－2－4，i＝3；第3次循环得到S＝S0－2－4－8，i＝4.由题意知S0－2－4－8＝－4，所以S0＝10，故选D.5．(2017·高考山东卷)执行如图所示的程序框图，当输入的x的值为4时，输出的y的值为2，则空白判断框中的条件可能为( )A．x＞3 B．x＞4C．x≤4D．x≤5解析：选B.输入x＝4，若满足条件，则y＝4＋2＝6，不符合题意；若不满足条件，则y＝log24＝2，符合题意，结合选项可知应填x＞4.故选B.6．如图所示的程序框图的运行结果为( )A ．－1B ．12C ．1D ．2解析：选A.a ＝2，i ＝1，i ≥2 019不成立；a ＝1－12＝12，i ＝1＋1＝2，i ≥2 019不成立； a ＝1－112＝－1，i ＝2＋1＝3，i ≥2 019不成立；a ＝1－(－1)＝2，i ＝3＋1＝4，i ≥2 019不成立；…，由此可知a 是以3为周期出现的，结束时，i ＝2 019＝3×673，此时a ＝－1，故选A. 7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c.类比这个结论可知：四面体S ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体S ABC 的体积为V ，则R 等于( )A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4解析：选C.把四面体的内切球的球心与四个顶点连起来分成四个小三棱锥，其高都是R ，四个小三棱锥的体积和等于四面体的体积，因此V ＝13S 1R ＋13S 2R ＋13S 3R ＋13S 4R ，解得R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M 处的条件为( )A ．k ≥16B ．k ＜8C ．k ＜16D ．k ≥8解析：选A.根据框图的循环结构依次可得S ＝0＋1＝1，k ＝2×1＝2；S ＝1＋2＝3，k ＝2×2＝4；S ＝3＋4＝7，k ＝2×4＝8；S ＝7＋8＝15，k ＝2×8＝16，根据题意此时跳出循环，输出S ＝15.所以M 处的条件应为k ≥16.故A 正确．9．如图所示的程序框图中，输出S ＝( )A ．45B ．－55C ．－66D ．66解析：选B.由程序框图知，第一次运行T ＝(－1)2·12＝1，S ＝0＋1＝1，n ＝1＋1＝2；第二次运行T ＝(－1)3·22＝－4，S ＝1－4＝－3，n ＝2＋1＝3；第三次运行T ＝(－1)4·32＝9，S ＝－3＋9＝6，n ＝3＋1＝4…直到n ＝9＋1＝10时，满足条件n ＞9，运行终止，此时T ＝(－1)10·92，S ＝1－4＋9－16＋…＋92－102＝1＋(2＋3)＋(4＋5)＋(6＋7)＋(8＋9)－100＝1＋92×9－100＝－55.故选B.10．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：①2 018∈[3]； ②－2∈[2]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C.因为2 018＝403×5＋3，所以2 018∈[3]，①正确；－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正确；因为整数集中被5除的数可以且只可以分成五类，所以③正确；整数a ，b 属于同一“类”，因为整数a ，b 被5除的余数相同，从而a －b 被5除的余数为0，反之也成立，故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，故④正确．所以正确的结论有3个，故选C.11．执行如图所示的程序框图，如果输入x ，t 的值均为2，最后输出S 的值为n ，在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率为( )A.25B.12C.35D.710解析：选D.这是一个循环结构，循环的结果依次为M ＝2，S ＝2＋3＝5，k ＝1＋1＝2；M ＝2，S ＝2＋5＝7，k ＝2＋1＝3.最后输出7，所以在区间[0,10]上随机选取一个数D ，则D ≤n 的概率P＝710，故选D. 12．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α＞β＞γB ．β＞α＞γC ．γ＞α＞βD ．β＞γ＞α解析：选C.g (x )＝g ′(x )，即x ＝1，所以α＝1；h (x )＝h ′(x )，即ln(x ＋1)＝1x ＋1，0＜x＜1，所以β∈(0,1)；φ(x)＝φ′(x)，即x3－1＝3x2，即x3－3x2＝1，x2(x－3)＝1，x＞3，所以γ＞3.所以γ＞α＞β.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则输入的数是________．解析：令a≥b得，x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3.当x≤1时，由题意得a＝x2＝8，解得x＝－8＝－2 2.当x＞1时，由题意得b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2 2.14．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好．”乙说：“我们四人中有人考得好．”丙说：“乙和丁至少有一人没考好．”丁说：“我没考好．”结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的________两人说对了．解析：甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确．故答案为乙，丙．答案：乙，丙15．已知实数x∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于103的概率是________．解析：实数x ∈[2,30]，经过第一次循环得到x ＝2x ＋1，n ＝2；经过第二次循环得到x ＝2(2x ＋1)＋1，n ＝3；经过第三次循环得到x ＝2[2(2x ＋1)＋1]＋1，n ＝4，此时输出x ，输出的值为8x ＋7.令8x ＋7≥103，解得x ≥12.由几何概型的概率公式，得到输出的x 不小于103的概率为30－1230－2＝914. 16．集合{1,2,3，…，n }(n ≥3)中，每两个相异数作乘积，将所有这些乘积的和记为T n ，如：T 3＝1×2＋1×3＋2×3＝12×[62－(12＋22＋32)]＝11；T 4＝1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4＝12×[102－(12＋22＋32＋42)]＝35； T 5＝1×2＋1×3＋1×4＋1×5＋…＋3×5＋4×5＝12×[152－(12＋22＋32＋42＋52)]＝85.则T 7＝________.(写出计算结果)解析：由T 3，T 4，T 5归纳得出T n ＝12[(1＋2＋…＋n )2－(12＋22＋…＋n 2)]，则T 7＝12×[282－(12＋22＋…＋72)]．又∵12＋22＋…＋72＝16×7×8×15＝140，∴T 7＝12×(784－140)＝322.答案：322。

配套K12通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三理

课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)解析：选A 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)，即f (x )>3.当x <0时，x ＋6>3，解得－3<x <0；当 x ≥0时，x 2－4x ＋6>3，解得x >3或0≤x <1.综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)．2．在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2,3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2,3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知正数a ，b 的等比中项是2，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C 由正数a ，b 的等比中项是2，可得ab ＝4，又m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，所以m＋n ＝a ＋b ＋1a ＋1b ＝a ＋b ＋a ＋b ab ＝54(a ＋b )≥54×2ab ＝5，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故m ＋n 的最小值为5.4．(2017·合肥质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤4，y ≥2，则目标函数z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．5B ．6C.132D ．7解析：选C 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图易知，当直线z ＝x ＋2y 经过直线x －y ＝－1与x ＋y ＝4的交点，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，z 取得最大值，z max ＝32＋2×52＝132，故选C.5．(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]解析：选B 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l 0：y ＝x ，平移直线l 0，当直线z ＝x －y 过点A (2,0)时，z 取得最大值2，当直线z ＝x －y 过点B (0,3)时，z 取得最小值－3，所以z ＝x －y 的取值范围是[－3,2]．6．(2017·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是( )A ．－15B ．－9C ．1D ．9解析：选A 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A (0，1)，B (－6，－3)，C (6，－3)，当直线z ＝2x ＋y 过点B (－6，－3)时，z 取得最小值，z min ＝2×(－6)－3＝－15.7．已知a >0，b >0，c >0，且a 2＋b 2＋c 2＝4，则ab ＋bc ＋ac 的最大值为( ) A ．8 B ．4 C ．2D ．1解析：选B ∵a 2＋b 2＋c 2＝4，∴2ab ＋2bc ＋2ac ≤(a 2＋b 2)＋(b 2＋c 2)＋(a 2＋c 2)＝2(a 2＋b 2＋c 2)＝8，∴ab ＋bc ＋ac ≤4(当且仅当a ＝b ＝c ＝233时等号成立)，∴ab ＋bc ＋ac 的最大值为4.8．(2017·惠州调研)已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＋5≥0，x ＋y －1≤0，x ＋a ≥0，若z ＝x ＋2y 的最小值为－4，则实数a ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选B 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝x ＋2y 经过点C ⎝⎛⎭⎪⎫－a ，a －53时，z 取得最小值－4，所以－a ＋2·a －53＝－4，解得a ＝2，故选B.9．当x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤2，y －4≤x ，x －7y ≤2时，－2≤kx－y ≤2恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－2,0]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，35D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，0解析：选D 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设z ＝kx －y ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝2，y －4＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即B (－2,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝2，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0，即C (2,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝x ，x －7y ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝－1，即A (－5，－1)，要使不等式－2≤kx －y ≤2恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤－2k －2≤2，－2≤2k ≤2，－2≤－5k ＋1≤2，即⎩⎪⎨⎪⎧－2≤k ≤0，－1≤k ≤1，－15≤k ≤35，所以－15≤k ≤0，故选D.10．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )A.12万元 C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元，则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线z ＝3x ＋4y 过点B (2,3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得的最大利润为18万元．11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y4≥xy≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．(2017·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋3，x ≤1，x ＋2x，x >1.设a ∈R ，若关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 在R 上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，3916 C ．[－23，2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3916 解析：选A 法一：根据题意，作出f (x )的大致图象，如图所示．当x ≤1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x2＋a 恒成立，结合图象，只需x 2－x ＋3≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a ，即x 2－x 2＋3＋a ≥0，故对于方程x 2－x 2＋3＋a ＝0，Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－4(3＋a )≤0，解得a ≥－4716；当x >1时，若要f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，结合图象，只需x ＋2x ≥x 2＋a ，即x 2＋2x ≥a ，又x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，即x ＝2时等号成立，所以a ≤2. 综上，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 法二：关于x 的不等式f (x )≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 在R 上恒成立等价于－f (x )≤a ＋x2≤f (x )，即－f (x )－x 2≤a ≤f (x )－x2在R 上恒成立，令g (x )＝－f (x )－x2.若x ≤1，则g (x )＝－(x 2－x ＋3)－x2＝－x 2＋x2－3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142－4716，当x ＝14时，g (x )max ＝－4716；若x >1，则g (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋2x ≤－23，当且仅当3x 2＝2x ，且x >1，即x ＝233时，等号成立，故g (x )max ＝－2 3. 综上，g (x )max ＝－4716.令h (x )＝f (x )－x2，若x ≤1，则h (x )＝x 2－x ＋3－x 2＝x 2－32x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋3916，当x ＝34时，h (x )min ＝3916；若x >1，则h (x )＝x ＋2x －x 2＝x 2＋2x ≥2，当且仅当x 2＝2x，且x >1，即x ＝2时，等号成立，故h (x )min ＝2. 综上，h (x )min ＝2.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4716，2. 二、填空题13．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：由x >a ，知x －a >0，则2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥2 x －a2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32.答案：3214．若2x ＋4y＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y，所以2x ＋2y≤4＝22，即x ＋2y ≤2，所以当且仅当2x＝22y＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：215．如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝yx ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z 取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：116．对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1,2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2,1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2,1)．参考上述解法，若关于x 的不等式kx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0，可化为k a ＋1x ＋b ＋1xc ＋1x<0，故得－1<1x <－13或12<1x<1，解得－3<x <－1或1<x <2，故kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1,2)．答案：(－3，－1)∪(1,2)B 组——能力小题保分练1．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －3y ＋5≥0，x ≥0，y ≥0，则z ＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y 的最小值为( )A ．1 B.324C.116 D.132解析：选D 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，而z＝8－x·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＝2－3x －y ，欲使z 最小，只需使－3x －y 最小即可．由图知当x ＝1，y ＝2时，－3x －y 的值最小，且－3×1－2＝－5，此时2－3x－y最小，最小值为132.故选D.2．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，4x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为6，则1a ＋2b的最小值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：选B 依题意画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分．∵a >0，b >0，∴当直线z ＝ax ＋by 经过点(2,4)时，z 取得最大值6， ∴2a ＋4b ＝6，即a＋2b ＝3.∵1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋2b )×13＝53＋2b 3a ＋2a3b ≥3，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立， ∴1a ＋2b的最小值为3.故选B.3．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (n ∈N *)，若m >1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1对于任意的正整数恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫19，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，＋∞C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，19D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，19解析：选A 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0，y >0，y ≤－nx ＋3n表示的平面区域为直线x ＝0，y ＝0，y ＝－nx＋3n 围成的直角三角形(不含直角边)，区域内横坐标为1的整点有2n 个，横坐标为2的整点有n 个，所以a n ＝3n ，所以1a n a n ＋1＝13n n ＋＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫19⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1为单调递增数列，故当n 趋近于无穷大时，19⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1趋近于19，所以m ≥19.故选A. 4．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域上的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP ―→＋OQ ―→|的最小值为( )A.255 B.55 C.233 D.33解析：选B 作出不等式组对应的可行域，如图中阴影部分所示．设P (x ，y )，Q (a ，－2a )，则OP ―→＋OQ ―→＝(x ＋a ，y －2a )，则|OP ―→＋OQ ―→|＝x ＋a2＋y －2a2，设z ＝|OP ―→＋OQ ―→|，则z 的几何意义为可行域内的动点P 到动点M (－a,2a )的距离，其中M 也在直线2x ＋y ＝0上，由图可知，当点P 为(0,1)，M 为P 在直线2x ＋y ＝0上的垂足时，z 取得最小值d ＝122＋1＝15＝55. 5．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( )A.6＋2 B ．6－2 C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ca －12⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2（当且仅当t ＝62时等号成立），当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0<6－2，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.6．(2017·福州模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y ＋2≤0，x ＋y －4≤0的解集记作D ，实数x ，y 满足如下两个条件：①∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ； ②∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a . 则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分(△ABC 及其内部)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，所以点B 的坐标为(2,2)．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以点C 的坐标为(1,3)．因为∀(x ，y )∈D ，y ≥ax ，由图可知，a ≤k OB ，所以a ≤1.由∃(x ，y )∈D ，x －y ≤a ，设z＝x－y，则a≥z min.当目标函数z＝x－y过点C(1,3)时，z＝x－y取得最小值，此时z min ＝1－3＝－2，所以a≥－2.综上可知，实数a的取值范围为[－2,1]．答案：[－2,1]。

【配套K12】2018数学高考(文)二轮复习检测：综合能力训练 Word版含解析

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.设全集为R,集合A={x∈R|x2<4},B={x|-1<x≤4},则A∩(∁R B)=()A.(-1,2)B.(-2,-1)C.(-2,-1]D.(-2,2)2.若复数z=,其中i为虚数单位,则=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.函数f(x)=sin(-2x)的一个递增区间是()A.B.C.D.4.设S n为等比数列{a n}的前n项和,8a1-a4=0,则=()A.-8B.8C.5D.155.已知命题p:∃x0∈R,使;命题q:∀x∈,tan x>sin x.下列是真命题的是()A.(p)∧qB.(p)∨(q)C.p∧(q)D.p∨(q)6.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出y的值为()A.2B.7C.8D.1287.已知双曲线=1(a>0,b>0),斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.28.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.10.设变量x,y满足约束条件的最小值是.11.(2017全国Ⅰ,文15)已知α∈,tan α=2,则cos=.12.设函数f(x)=|x+2|+|x-2|,x∈R,则不等式f(x)≤6的解集M=.13.已知等差数列{a n}的前n项和为S n=(a+1)n2+a,某三角形三边之比为a2∶a3∶a4,则该三角形的面积为.14.两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A 的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知a=2,c=,cos A=-.(1)求sin C和b的值;(2)求cos的值.16.(13分)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,{b n}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.(1)求{a n}和{b n}的通项公式;(2)设c n=a n b n,n∈N*,求数列{c n}的前n项和.17.(13分)如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,矩形DCBE所在的平面垂直于☉O所在的平面,AB=4,BE=1.(1)证明:平面ADE⊥平面ACD;(2)当三棱锥C-ADE的体积最大时,求点C到平面ADE的距离.18.(13分)如图,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况.乙组某个数据的个位数模糊,记为x,已知甲、乙两组的平均成绩相同.(1)求x的值,并判断哪组学生成绩更稳定;(2)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这两名同学的得分之和低于20分的概率.19.(14分)已知点F为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.20.(14分)已知函数f(x)=2x-+b ln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x+y-8=0.(1)求a,b的值,并求函数f(x)的单调递增区间;(2)设g(x)=f(x)-,试问过点(2,2)可作多少条直线与曲线y=g(x)相切?请说明理由.##综合能力训练1.C解析A={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵B={x|-1<x≤4},∴∁R B={x|x>4或x≤-1},则A∩(∁R B)={x|-2<x≤-1}.2.B解析z==1+i,故=1-i.3.D解析f(x)=-sin 2x,由2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z)得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),当k=-1时,可知选项D符合.4.C解析8a1-a4=0⇒q3=8⇒q=2,=1+q2=5.故选C.5.D解析x=-1时,2x>3x,∴命题p是真命题;tan x=,x∈;∵0<cos x<1,sin x>0,∴>1,>sin x,即tan x>sin x,∴命题q是真命题,∴p是假命题,(p)∧q是假命题,q是假命题,(p)∨(q)是假命题,p∧(q)是假命题,p∨(q)为真命题.6.C解析当x=1时,不满足条件“x≥2”,则y=9-1=8.即输出y=8,故选C.7.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即.由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1.∴,e2=1+.∴e=.故选A.8.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-.若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-.9.1解析∵f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f(1)=a+2,∴已知切点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为=5-a,∴5-a=3a+1,解得a=1.10.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.11.解析由tan α=2,得sin α=2cos α.又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=.因为α∈,所以cos α=,sin α=.因为cos=cos αcos+sin αsin,所以cos.12.[-3,3]解析不等式即|x+2|+|x-2|≤6,而|x+2|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-2,2对应点的距离之和,-3和3对应点到-2,2对应点的距离之和正好等于6,故不等式的解集为M=[-3,3]. 13.解析∵{a n}是等差数列,∴a=0,S n=n2,∴a2=3,a3=5,a4=7.设三角形最大角为θ,由余弦定理,得cos θ=-,∴θ=120°.∴该三角形的面积S=×3×5×sin 120°=.14.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π. 15.(1)解在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=.又由及a=2,c=,可得sin C=.由a2=b2+c2-2bc cos A,得b2+b-2=0.因为b>0,故解得b=1.所以sin C=,b=1.(2)解由cos A=-,sin A=,得cos 2A=2cos2A-1=-,sin 2A=2sin A cos A=-,所以,cos=cos 2A cos-sin 2A sin.16.解(1)设数列{a n}的公比为q,数列{b n}的公差为d,由题意q>0.由已知,有消去d,整理得q4-2q2-8=0.又因为q>0,解得q=2,所以d=2.所以数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,n∈N*;数列{b n}的通项公式为b n=2n-1,n∈N*.(2)由(1)有c n=(2n-1)·2n-1,设{c n}的前n项和为S n,则S n=1×20+3×21+5×22+…+(2n-3)×2n-2+(2n-1)×2n-1,2S n=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)×2n-1+(2n-1)×2n,上述两式相减,得-S n=1+22+23+…+2n-(2n-1)×2n=2n+1-3-(2n-1)×2n=-(2n-3)×2n-3,所以,S n=(2n-3)·2n+3,n∈N*.17.(1)证明∵AB是直径,∴BC⊥AC,又四边形DCBE为矩形,∴CD⊥BC.∵CD∩AC=C,∴BC⊥平面ACD,∴DE⊥平面ACD,又DE⊂平面ADE,∴平面ADE⊥平面ACD.(2)解由(1)知V C-ADE=V E-ACD=×S△ACD×DE=×AC×CD×DE=×AC×BC≤×(AC2+BC2)=×AB2=,当且仅当AC=BC=2时等号成立,∴当AC=BC=2时,三棱锥C-ADE体积最大为.此时,AD==3,S△ADE=×AD×DE=3,设点C到平面ADE的距离为h,则V C-ADE=×S△ADE×h=,∴h=.18.解(1)×(9+9+11+11)=10,×(8+9+10+x+12)=10,解得x=1.又[(9-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(11-10)2]=1;[(8-10)2+(9-10)2+(11-10)2+(12-10)2]=,∴,∴甲组成绩比乙组成绩更稳定.(2)记甲组4名同学为A1,A2,A3,A4;乙组4名同学为B1,B2,B3,B4;分别从甲、乙两组中各抽取一名同学所有可能的结果为:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(A3,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),共16个基本事件,其中得分之和低于20分的共有6个基本事件,∴得分之和低于20分的概率是P=.19.(1)解由抛物线的定义,得|AF|=2+.因为|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),所以k GA=,k GB==-,所以k GA+k GB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等, 故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2).由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2(x-1).由得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=,从而B.又G(-1,0),故直线GA的方程为2x-3y+2=0,从而r=.又直线GB的方程为2x+3y+2=0,所以点F到直线GB的距离d==r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.20.解(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=2+.依题设,f(1)=5,f'(1)=-3,∴a=-3,b=-2.∴f'(x)=2-,令f'(x)>0,又x>0,∴x>.∴函数f(x)的单调增区间为.(2)g(x)=f(x)-=2x-2ln x,g'(x)=2-.设过点(2,2)与曲线g(x)相切的切线的切点坐标为(x0,y0),则y0-2=g'(x0)(x0-2),即2x0-2ln x0-2=(x0-2),∴ln x0+=2.令h(x)=ln x+-2,则h'(x)=,当h'(x)=0时,x=2.∴h(x)在区间(0,2)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.∵h=2-ln 2>0,h(2)=ln 2-1<0,h(e2)=>0,∴h(x)的图象与x轴有两个交点,∴过点(2,2)可作2条曲线y=g(x)的切线.。

[配套K12]2018版高考数学二轮复习大题规范练8“20题、21题”24分练理

大题规范练(八) “20题、21题”24分练(时间：30分钟分值：24分)解答题(本大题共2小题，共24分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点与其短轴的一个端点是正三角形的三个顶点，点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，P 两点，与x 轴，y 轴分别相交于点N 和M ，且|PM |＝|MN |，点Q 是点P 关于x 轴的对称点，QM 的延长线交椭圆C 于点B ，过点A ，B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为A 1，B 1.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得点N 平分线段A 1B 1？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【导学号：07804240】[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c 1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2 解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 2＝3a 2＝4，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)存在这样的直线l .∵y ＝kx ＋m ，∴M (0，m )，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k ，0， ∵|PM |＝|MN |， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m k ，2m ，则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫m k，－2m ， ∴直线QM 的方程为y ＝－3kx ＋m . 设A (x 1，y 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0， ∴x 1＋m k ＝－8km 3＋4k 2，∴x 1＝－3m ＋4k 2k ＋4k 2，设B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3kx ＋m x 24＋y 23＝1，得(3＋36k 2)x 2－24kmx ＋4(m 2－3)＝0.∴x 2＋m k ＝8km 1＋12k 2， ∴x 2＝－m ＋4k 2k ＋12k 2， ∵点N 平分线段A 1B 1，∴x 1＋x 2＝－2m k， ∴－3m ＋4k 2k ＋4k 2－m ＋4k 2k ＋12k 2＝－2m k ， ∴k ＝±12， ∴P (±2m,2m )，∴4m 24＋4m 23＝1，解得m ＝±217， ∵|m |＝217＜b ＝3， ∴直线l 的方程为y ＝±12x ±217. 21．已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若x ＞0，证明(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2.[解] (1)当a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0.(2)f ′(x )＝e x －1－2ax ，令h (x )＝e x －1－2ax ，则h ′(x )＝e x－2a .①当2a ≤1时，在[0，＋∞)上，h ′(x )≥0，h (x )单调递增，h (x )≥h (0)，即f ′(x )≥f ′(0)＝0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )≥f (0)＝0，∴当a ≤12时满足条件． ②当2a ＞1时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln 2a ，在[0，ln 2a )上， h ′(x )＜0，h (x )单调递减，∴当x ∈(0，ln 2a )时，有h (x )＜h (0)＝0，即f ′(x )＜f ′(0)＝0，∴f (x )在区间(0，ln 2a )上为减函数，∴f (x )＜f (0)＝0，不合题意．综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (3)证明：由(2)得，当a ＝12，x ＞0时，e x ＞1＋x ＋x 22，即e x －1＞x ＋x 22，欲证不等式(e x －1)ln(x ＋1)＞x 2，只需证ln(x ＋1)＞2x x ＋2. 设F (x )＝ln(x ＋1)－2x x ＋2，则F ′(x )＝1x ＋1－4x ＋2 ＝x 2x ＋x ＋2.∵当x ＞0时，F ′(x )＞0恒成立，且F (0)＝0，∴F (x )＞0恒成立．∴原不等式得证．。

[配套K12]2018年高考数学二轮复习专题对点练15 4.1-4.2组合练理

专题对点练15 4.1~4.2组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.设S n是等差数列{a n}的前n项和,若a1+a3+a5=3,则S5=()A.5B.7C.9D.11答案 A解析由a1+a3+a5=3,得3a3=3,解得a3=1.故S5==5a3=5.2.(2017全国Ⅱ,理3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案 B解析设塔的顶层共有x盏灯,则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列,由=381,可得x=3,故选B.3.已知等差数列{a n}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{a n}的前n项和S n=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.D.答案 A解析∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.∴S n=na1+d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.4.(2017宁夏银川一中二模,理8)公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n.若a4是a3与a7的等比中项,S8=16,则S10等于()A.18B.24C.30D.60答案 C解析设等差数列{a n}的公差为d≠0.由题意,得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d),即2a1+3d=0.①∵S8=16,∴8a1+×d=16,②联立①②解得a1=-,d=1.则S10=10××1=30.5.等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()A.B.-C.D.-答案 C解析设数列{a n}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵当q≠1时,S3==a1·q+10a1,∴=q+10,整理得q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1=.6.已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-7答案 D解析∵{a n}为等比数列,∴a5a6=a4a7=-8.联立可解得时,q3=-,故a1+a10=+a7q3=-7;当时,q3=-2,同理,有a1+a10=-7.故选D.7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案 C解析∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m=3-0=3.∴d=a m+1-a m=3-2=1.∵S m=ma1+×1=0,∴a1=-.又=a1+m×1=3,∴-+m=3.∴m=5.故选C.8.(2017江西新余一中模拟,理8)设等差数列{a n}满足3a8=5a15,且a1>0,S n为其前n项和,则数列{S n}的最大项为()A.S23B.S24C.S25D.S26答案 C解析设等差数列{a n}的公差为d,∵3a8=5a15,∴3(a1+7d)=5(a1+14d),即2a1+49d=0.∵a1>0,∴d<0,∴等差数列{a n}单调递减.∵S n=na1+d=n d=(n-25)2- d.∴当n=25时,数列{S n}取得最大值,故选C.9.(2017辽宁沈阳三模,理11)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n+a n+1=3×2n-1,则S2017=() 〚导学号16804195〛A.22 018-1 B.22 018+1C.22 017-1D.22 017+1答案 C解析由a1=1和a n+1=3×2n-1-a n,可知数列{a n}唯一确定,且a2=2,a3=4,a4=8,猜测a n=2n-1,经验证a n=2n-1是满足题意的唯一解.∴S2 017==22 017-1.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017辽宁鞍山一模,理15)已知等差数列{a n},a1=tan 225°,a5=13a1,设S n为数列{(-1)n a n}的前n项和,则S2 017=.答案-3 025解析设{a n}的公差为d,由题意,得a1=tan 225°=tan 45°=1,a5=13a1=13,a5-a1=4d=12,∴d=3,∴a n=1+3(n-1)=3n-2,∴S2 017=-1+(-3)×=-3 025,故答案为-3 025.11.(2017江苏无锡一模,9)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,则a8的值为.答案 2解析∵等比数列{a n}的前n项和为S n,S3,S9,S6成等差数列,且a2+a5=4,∴解得a1q=8,q3=-,∴a8=a1q7=(a1q)(q3)2=8×=2.12.已知等差数列{a n},a3=9,a5=17,记数列的前n项和为S n.若S2n+1-S n≤(m∈Z)对任意的n∈N*成立,则整数m的最小值为.〚导学号16804196〛答案 4解析设公差为d,由a3=9,a5=17,得解得∴a n=4n-3,∴S n=1++…+,令b n=S2n+1-S n=+…+,则b n+1-b n=+…+<0,∴{b n}是递减数列,∴b1最大,为,∴根据题意,S2n+1-S n≤,∴,m≥,∴整数m的最小值为4.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)13.已知数列{a n}的前n项和为S n,且对任意正整数n,都有3a n=2S n+3成立.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=log3a n,求数列{b n}的前n项和T n.解 (1)在3a n=2S n+3中,令n=1,得a1=3.当n≥2时,3a n=2S n+3,①3a n-1=2S n-1+3,②①-②得a n=3a n-1,∴数列{a n}是以3为首项,3为公比的等比数列,∴a n=3n.(2)由(1)得b n=log3a n=n,数列{b n}的前n项和T n=1+2+3+…+n=.14.(2017江苏南京一模,19)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n+n=2a n(n∈N*).(1)证明:数列{a n+1}为等比数列,并求数列{a n}的通项公式;(2)若b n=(2n+1)a n+2n+1,数列{b n}的前n项和为T n,求满足不等式>2 010的n的最小值.(1)证明当n=1时,2a1=a1+1,∴a1=1.∵2a n=S n+n,n∈N*,∴2a n-1=S n-1+n-1,n≥2,两式相减,得a n=2a n-1+1,n≥2,即a n+1=2(a n-1+1),n≥2,∴数列{a n+1}为以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n+1=2n,∴a n=2n-1,n∈N*.(2)解b n=(2n+1)a n+2n+1=(2n+1)·2n,∴T n=3×2+5×22+…+(2n+1)·2n,∴2T n=3×22+5×23+…+(2n+1)·2n+1,两式相减可得-T n=3×2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n+1)·2n+1,∴T n=(2n-1)·2n+1+2,∴>2 010可化为2n+1>2 010.∵210=1 024,211=2 048,∴满足不等式>2 010的n的最小值为10.15.(2017河南新乡二模,理17)在数列{a n}和{b n}中,a1=,{a n}的前n项和为S n,满足S n+1+=S n+(n∈N*),b n=(2n+1)a n,{b n}的前n项和为T n.(1)求数列{b n}的通项公式b n以及T n;(2)若T1+T3,mT2,3(T2+T3)成等差数列,求实数m的值.解 (1)∵S n+1+=S n+(n∈N*),∴a n+1=S n+1-S n=.∴当n≥2时,a n=.又a1=,因此当n=1时也成立.∴a n=,∴b n=(2n+1)a n=(2n+1)·.∴T n=+…+,T n=+…+,∴T n=+2+2×,∴T n=5-.(2)由(1)可得T1=,T2=,T3=.∵T1+T3,mT2,3(T2+T3)成等差数列,∴+3×=2×m×,解得m=.。

2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练二：专题对点练18 5-1~5-3组合练(含解析)

1)=π2+1,故选A.α,n⊥平面β,直线l满足C .πD 3+36该几何体的直观图为圆锥的与圆柱的12该几何体的体积为×π×12×12×13网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图C .D .102713该几何体为两个圆柱组合而成,如图所示C.64πD.81π三棱锥的高VA=4,直观图如图所示的等边三角形,的投影为△ABC的中心,C 1C 所在的直线分别为可知点A (0,1,1),N(0,12,0.12,-1).3010C .D 12ACD⊥平面BCD作BE∥CD,且BE=CDAE=2.2=3,∴cos∠2)2半径为r)组成一个几何体若该几何体的表面积为16+20π,则连接O1O,O1C,O1D B,C三点都在球面上平面ABC,∴O1O⊥O1C. Rt△O1OC中,O1C=1R OH=.3分别满分为13分,13分,14分)18)ABCD是梯形,BC∥ADAD=2DC=2.5=(0,4,0).AC侧面AA1B1B⊥底面ABC使截面垂直于AB,并证明;所成角的正弦值.OB1,B1C,则截面OB1CABC,△ABB1的中线,所以⊥平面OB1C.轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系(0,,0),B1(0,0,),C1(-1,331的一个法向量为n=(x解得平面BCC1B1的一个法向量为3 5=105ABC,∠BAC=90°,点AB=2.与直线BE所成角的余弦值为(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2), (2,0,-2),的法向量,0.MN∥平面BDE.。

配套K12通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十理

课时跟踪检测（二十）一、选择题1．若过点P (2,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y －7＝0相交于两点A ，B ，且∠ACB ＝60°(其中C 为圆心)，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －5＝0B ．x ＝2或4x －3y －5＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．x ＝2或4x －3y ＋5＝0解析：选B 由题意可得，圆C 的圆心为C (－1,2)，半径为23，因为∠ACB ＝60°，所以△ABC 为正三角形，边长为23，所以圆心C 到直线l 的距离为3.若直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝2，与圆相交，且圆心C 到直线l 的距离为3，满足条件；若直线l 的斜率存在，设l ：y －1＝k (x －2)，则圆心C 到直线l 的距离d ＝|3k ＋1|k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以此时直线l 的方程为4x －3y －5＝0.2．圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0 B ．x 2＋y 2－x ＋7y －16＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＋4y ＋9＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＋4y －8＝0解析：选A 设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0，即x 2＋y 2＋61＋λx ＋6λ1＋λy －4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x －y －4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.3．(2017·洛阳统考)已知双曲线E ：x 24－y 22＝1，直线l 交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，则l 的方程为( )A ．4x ＋y －1＝0B ．2x ＋y ＝0C ．2x ＋8y ＋7＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选C 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 214－y 212＝1，x 224－y222＝1，两式相减得x 21－x 224＝y 21－y 222，即y 1－y 2x 1－x 2＝12×x 1＋x 2y 1＋y 2.又线段AB 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，因此x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2y 1＋y 2＝－12，则y 1－y 2x 1－x 2＝－14，即直线AB 的斜率为－14，直线l 的方程为y ＋1＝－14⎝⎛⎭⎪⎫x －12，即2x ＋8y ＋7＝0，故选C.4．(2017·云南统考)抛物线M 的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴的正半轴上，准线与曲线E ：x 2＋y 2－6x ＋4y －3＝0只有一个公共点，设A 是抛物线M 上一点，若OA ―→·AF ―→＝－4，则点A 的坐标是( )A ．(－1,2)或(－1，－2)B ．(1,2)或(1，－2)C ．(1,2)D ．(1，－2)解析：选B 设抛物线M 的方程为y 2＝2px (p >0)，则其准线方程为x ＝－p2.曲线E 的方程可化为(x －3)2＋(y ＋2)2＝16，由题意知圆心E 到准线的距离d ＝3＋p2＝4，解得p ＝2，所以抛物线M 的方程为y 2＝4x ，F (1,0)．设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则OA ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204，－y 0，所以OA ―→·AF ―→＝y 204⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 204－y 20＝－4，解得y 0＝±2，所以x 0＝1，所以点A 的坐标为(1,2)或(1，－2)，故选B.5．(2017·成都模拟)已知A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的两个动点，|AB ―→|＝2，OC ―→＝53OA―→－23OB ―→.若M 是线段AB 的中点，则OC ―→·OM ―→的值为( ) A ．3 B ．2 3 C ．2D ．－3解析：选 A 由条件易知△OAB 为正三角形，OA ―→·OB ―→＝|OA ―→|·|OB ―→|·cos π3＝2.又由M 为AB 的中点，知OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，所以OC ―→·OM ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53 OA ―→－23OB ―→·12(OA ―→＋OB ―→)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫53|OA ―→|2＋OA ―→·OB ―→－23|OB ―→|2＝3.6．(2017·武昌调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1，l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1，l 2于A ，B 两点．若|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，且AF ―→与FB ―→反向，则该双曲线的离心率为( )A.52B. 3C. 5D.52解析：选C 由题可知，双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，令∠AOF ＝α，则由题意知tan α＝b a ，在△AOB 中，∠AOB ＝180°－2α，tan ∠AOB ＝－tan 2α＝|AB ||OA |，∵|OA |，|AB |，|OB |成等差数列，∴设|OA |＝m －d ，|AB |＝m ，|OB |＝m ＋d ，∵OA ⊥BF ，∴(m －d )2＋m 2＝(m ＋d )2，整理，得d ＝14m ，∴－tan 2α＝－2tan α1－tan 2α＝|AB ||OA |＝m 34m ＝43，解得b a＝2或b a ＝－12(舍去)，∴b ＝2a ，c ＝4a 2＋a 2＝5a ，∴e ＝c a＝ 5. 二、填空题7．设P ，Q 分别为圆x 2＋y 2－8x ＋15＝0和抛物线y 2＝4x 上的点，则P ，Q 两点间的最小距离是________．解析：由题意知，圆的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，则圆心C (4,0)，半径为1.由题意知P ，Q 间的最小距离为圆心C (4,0)到抛物线上的点的最小距离减去半径1.设以(4,0)为圆心，r 为半径的圆的方程为(x －4)2＋y 2＝r 2，与y 2＝4x 联立，消去y 整理得，x 2－4x ＋16－r 2＝0，令Δ＝16－4(16－r 2)＝0，解得r ＝23，所以|PQ |min ＝23－1.答案：23－18．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知 |AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b2＝1，x 2＝2py消去x ，得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，所以y 1＋y 2＝2pb 2a 2，所以2pb2a2＝p ，即b 2a 2＝12，故b a ＝22，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，|OF |＝p2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝b 2a 2·x 1＋x 2p ，则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ， ∴b 2a 2＝12，故b a ＝22， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 答案：y ＝±22x 9．(2017·洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，直线AB 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若2OA ―→＋OB ―→－3OF ―→＝0，则弦AB 中点到抛物线C 的准线的距离为________．解析：依题意得，抛物线的焦点F (0,1)，准线方程是y ＝－1，因为2(OA ―→－OF ―→)＋(OB ―→－OF ―→)＝0，即2FA ―→＋FB ―→＝0，所以F ，A ，B 三点共线．设直线AB ：y ＝kx ＋1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，则x 1x 2＝－4；①又2FA ―→＋FB ―→＝0，因此2x 1＋x 2＝0.②由①②解得x 21＝2，x 22＝8，弦AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为12[]y 1＋＋y 2＋＝12(y 1＋y 2)＋1＝18(x 21＋x 22)＋1＝94.答案：94三、解答题10．(2017·合肥质检)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，233，离心率为33. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)若A 1，A 2分别是椭圆E 的左、右顶点，过点A 2作直线l 与x 轴垂直，点P 是椭圆E 上的任意一点(不同于椭圆E 的四个顶点)，连接PA 1交直线l 于点B ，点Q 为线段A 2B 的中点，求证：直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．解：(1)依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝33，1a 2＋43b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴椭圆E 的标准方程为x 23＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0≠0且x 0≠±3)，则直线PA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，令x ＝3，得B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23y 0x 0＋3，则线段A 2B 的中点Q ⎝⎛⎭⎪⎫3，3y 0x 0＋3，∴直线PQ 的斜率k PQ ＝y 0－3y 0x 0＋3x 0－3＝x 0y 0x 20－3. ①∵P 是椭圆E 上的点，∴x 203＋y 202＝1，即x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 202，代入①式，得k PQ ＝－2x 03y 0，∴直线PQ 的方程为y －y 0＝－2x 03y 0(x －x 0)，将其与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝－2x03y 0x －x 0，x 23＋y 22＝1.又2x 20＋3y 20＝6，整理得x 2－2x 0x ＋x 20＝0， ∵Δ＝0，∴直线PQ 与椭圆E 相切，即直线PQ 与椭圆E 只有一个公共点．11．(2018届高三·广西三市联考)已知右焦点为F 2(c,0)的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为M ，点A 是椭圆C 的右顶点，求直线MA 的斜率k 的取值范围．解：(1)∵椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，∴1a 2＋94b 2＝1， ①∵椭圆C 关于直线x ＝c 对称的图形过坐标原点， ∴a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝34a 2，②由①②得a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零，故可设其方程为x ＝my ＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y 23＝1消去x ，并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0.设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)， ∴y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4，∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m m 2＋，∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4，∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.当m ＝0时，k ＝0；当m ≠0时，k ＝m4m 2＋4＝14m ＋4m， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m |＋4|m |≥8，∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18， ∴0<|k |≤18，∴－18≤k ≤18且k ≠0.综上可知，直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.12．已知F 1，F 2为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，且|PF 1|＋|PF 2|＝4.(1)求椭圆E 的方程；(2)过F 1的直线l 1，l 2分别交椭圆E 于A ，C 和B ，D ，且l 1⊥l 2，问是否存在常数λ，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．解：(1)∵|PF 1|＋|PF 2|＝4， ∴2a ＝4，a ＝2.∴椭圆E ：x 24＋y 2b 2＝1.将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入可得b 2＝3，∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当AC 的斜率为零或斜率不存在时，1|AC |＋1|BD |＝13＋14＝712；②当AC 的斜率k 存在且k ≠0时，设AC 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，并化简得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2.|AC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k 23＋4k2.∵直线BD 的斜率为－1k，∴|BD |＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 23＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＝＋k 23k 2＋4.∴1|AC |＋1|BD |＝3＋4k2＋k 2＋3k 2＋4＋k 2＝712. 综上，2λ＝1|AC |＋1|BD |＝712，∴λ＝724.故存在常数λ＝724，使得1|AC |，λ，1|BD |成等差数列．。

2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练5 1-1~1-6组合练附答案

专题对点练51.1~1.6组合练(限时45分钟,满分80分)专题对点练第5页一、选择题(共12小题,满分60分)1.(2017全国Ⅲ,理1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为()A.3B.2C.1D.0答案B解析A表示圆x2+y2=1上所有点的集合,B表示直线y=x上所有点的集合,易知圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点错误!未找到引用源。

,故A∩B中有2个元素.2.(2017全国Ⅲ,理2)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.2答案C解析由题意,得z=错误!未找到引用源。

=1+i,故|z|=错误!未找到引用源。

.3.(2017江西宜春二模,理3)命题“∀x>0,错误!未找到引用源。

≥0”的否定是()A.∃x≤0,错误!未找到引用源。

<0B.∃x>0,错误!未找到引用源。

<0C.∃x>0,0≤x<2D.∃x>0,0<x<2答案C解析∵命题“∀x>0,错误!未找到引用源。

≥0”⇔“∀x>0,x≥2”是全称命题, ∴否定为特称命题,即“∃x>0,0≤x<2”.故选C.4.(2017河南洛阳三模,理3)已知a,b∈R,则“ab=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件答案C解析由ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行,可得ab=1.反之不成立,例如a=b=1时,两条直线重合.∴“ab=1”是“直线ax+y-1=0和直线x+by-1=0平行”的必要不充分条件,故选C.5.(2017湖北黄冈3月模拟,理4)下列四个结论:①若x>0,则x>sin x恒成立;②命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”;③“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件;④命题“∀x∈R,x-ln x>0”的否定是“∃x0∈R,x0-ln x0<0”.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析①由y=x-sin x的导数为y'=1-cos x≥0,函数y为递增函数,若x>0,则x>sin x,故①正确;②命题“若x-sin x=0,则x=0”的逆否命题为“若x≠0,则x-sin x≠0”,故②正确;③“命题p∧q为真”则p,q都是真,则“命题p∨q为真”,反之不成立,故③正确;④命题“∀x∈R,x-ln x>0”的否定是“∃x0∈R,x0-ln x0≤0”,故④不正确.综上,正确命题的个数为3.故选C.6.(2017陕西咸阳模拟三,理15)学校艺术节对同一类的①、②、③、④四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四名同学对这四项参赛作品获奖情况预测如下:甲说:“③或④作品获得一等奖”;乙说:“②作品获得一等奖”;丙说:“①,④项作品未获得一等奖”;丁说:“③作品获得一等奖”.若这四名同学中只有两名说的话是对的,则获得一等奖的作品是() A.③B.②C.①D.④答案B解析若①为一等奖,则甲、丙、丁的说法均错误,故不满足题意;若②为一等奖,则乙、丙说法正确,甲、丁的说法错误,故满足题意;若③为一等奖,则甲、丙、丁的说法均正确,故不满足题意;若④为一等奖,则只有甲的说法正确,故不合题意.故若这四名同学中只有两名说的话是对的,则获得一等奖的作品是②.7.(2017全国Ⅱ,理8)执行右面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=()A.2B.3C.4D.5答案B解析程序框图运行如下:a=-1,S=0,K=1,进入循环,S=0+(-1)×1=-1,a=1,K=2;S=-1+1×2=1,a=-1,K=3;S=1+(-1)×3=-2,a=1,K=4;S=-2+1×4=2,a=-1,K=5;S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6;S=-3+1×6=3,a=-1,K=7,此时退出循环,输出S=3.故选B.8.(2017山西临汾二模,理9)设D,E,F分别为△ABC三边BC,CA,AB的中点,则错误!未找到引用源。

[配套K12]2018版高考数学二轮复习大题规范练2“17题～19题”+“二选一”46分练文

大题规范练(二) “17题～19题”＋“二选一”46分练(时间：45分钟分值：46分)解答题(本大题共4小题，共46分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知A ，B ，C ，D 为同一平面上的四个点，且满足AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设∠BAD ＝θ，△ABD 的面积为S ，△BCD 的面积为T . (1)当θ＝60°时，求T 的值； (2)当S ＝T 时，求cos θ的值.【导学号：04024217】解：(1)在△ABD 中，由余弦定理得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos θ＝22＋12－2×2×1×12＝3.在△BCD 中，由余弦定理得 cos ∠BCD ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝12＋12－32×1×1＝－12.因为∠BCD ∈(0°，180°)，所以∠BCD ＝120°，所以T ＝12BC ·CD sin ∠BCD ＝12×1×1×32＝34.(2)因为BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos θ＝5－4cos θ，所以cos ∠BCD ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC ·CD ＝4cos θ－32.易得S ＝12AD ·AB sin ∠BAD ＝sin θ，T ＝12BC ·CD sin ∠BCD ＝12sin ∠BCD .因为S ＝T ，所以sin θ＝12sin ∠BCD .所以4sin 2θ＝sin 2∠BCD ＝1－cos 2∠BCD ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4cos θ－322，所以cos θ＝78.18.某商场举行购物抽奖活动，抽奖箱中放有编号分别为1,2,3,4,5的五个小球，小球除编号不同外，其余均相同．活动规则如下：从抽奖箱中随机抽取一球，若抽取小球的编号为3，则获得奖金100元；若抽取小球的编号为偶数，则获得奖金50元；若抽取的小球是其余编号，则不中奖．现某顾客有放回地抽奖两次． (1)求该顾客两次抽奖后都没有中奖的概率；(2)求该顾客两次抽奖后获得奖金之和为100元的概率.【导学号：04024218】解：(1)该顾客有放回地抽奖两次，其结果的所有情况如下表：奖的概率为425.(2)两次抽奖获得奖金之和为100元的情况有：①第一次获奖100元，第二次没有中奖，其结果有(3,1)，(3,5)，故其概率P 1＝225； ②两次均获奖50元，其结果有(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)，故其概率P 2＝425；③第一次没有中奖，第二次获奖100元，其结果有(1,3)，(5,3)，故其概率P 3＝225. 所以所求概率P ＝P 1＋P 2＋P 3＝825.19．如图1所示，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是线段BD 的中点，点F 是线段PD 上的动点．图1(1)求证：CE ⊥BF ；(2)若AB ＝2，PD ＝3，当三棱锥P BCF 的体积等于43时，试判断点F 在线段PD 上的位置，并说明理由.【导学号：04024219】解：(1)证明：因为PD ⊥平面ABCD ，且CE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥CE . 又因为底面ABCD 是正方形，且点E 是线段BD 的中点，所以CE ⊥BD .因为BD ∩PD ＝D ，所以CE ⊥平面PBD ，而BF ⊂平面PBD ，所以CE ⊥BF .(2)点F 为线段PD 上靠近D 点的三等分点．理由如下：由(1)可知，CE ⊥平面PBF .又因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BD . 设PF ＝x .由AB ＝2得BD ＝22，CE ＝2，所以V 三棱锥P BCF ＝V 三棱锥C BPF ＝13×12×PF ×BD ×CE ＝16×22×2x ＝2x3.由已知得2x 3＝43，所以x ＝2.因为PD ＝3，所以点F 为线段PD 上靠近D 点的三等分点．(请在第22、23题中选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分)22．【选修4－4：坐标系与参数方程】极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝a (a ＞0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋π4，θ＝φ－π4，θ＝π2＋φ分别与曲线C 1交于点A ，B ，C ，D (均异于极点O )．(1)若曲线C 1关于曲线C 2对称，求a 的值，并求曲线C 1和C 2的直角坐标方程； (2)求|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |的值.【导学号：04024220】解：(1)由ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ2＝22ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，由互化公式得x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即曲线C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 由互化公式得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝a . 因为曲线C 1关于曲线C 2对称，所以a ＝1，所以曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1. (2)易知|OA |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π4， |OB |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π2＝22cos φ，|OC |＝22sin φ，|OD |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋3π4＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π4，于是可得|OA |·|OC |＋|OB |·|OD |＝4 2.23．【选修4－5：不等式选讲】设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ＞0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋2的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值.【导学号：04024221】解：(1)当a ＝1时，f (x )≥3x ＋2可化为|x －1|≥2，由此可得x ≥3或x ≤－1，故不等式f (x )≥3x ＋2的解集为{x |x ≥3或x ≤－1}． (2)由f (x )≤0得，|x －a |＋3x ≤0，此不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x －a ＋3x ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－a2，由题意可得－a2＝－1，所以a ＝2.。

2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练一专题对点练9 2-1~2-4组合练附答案

专题对点练92.1~2.4组合练(限时90分钟,满分100分)专题对点练第9页一、选择题(共9小题,满分45分)1.设函数f(x)=错误!未找到引用源。

则f(f(e))=()A.0B.1C.2D.ln(e2+1)答案C解析f(e)=ln e=1,所以f(f(e))=f(1)=12+1=2.故选C.2.(2017河南新乡二模,理4)设a=60.4,b=log0.40.5,c=log80.4,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a答案B解析∵a=60.4>1,b=log0.40.5∈(0,1),c=log80.4<0,∴a>b>c.3.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1答案D解析∵函数单调递减,∴0<a<1,当x=1时,y=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时,log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1,故选D.4.(2017山东潍坊二模,理4)函数f(x)=lo错误!未找到引用源。

cos x错误!未找到引用源。

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的图象大致是()答案C解析-错误!未找到引用源。

<x<错误!未找到引用源。

时,y=cos x是偶函数,并且y=cos x ∈(0,1],函数f(x)=lo错误!未找到引用源。

cos x错误!未找到引用源。

是偶函数,cos x∈(0,1]时,f(x)≥0.∴四个选项,只有C满足题意.故选C.5.函数y=1+log0.5(x-1)的图象一定经过点()A.(1,1)B.(1,0)C.(2,1)D.(2,0)答案C解析∵函数y=log0.5x恒过定点(1,0),而y=1+log0.5(x-1)的图象是由y=log0.5x的图象向右平移一个单位,向上平移一个单位得到,∴定点(1,0)平移以后即为定点(2,1),故选C.6.若函数f(x)=错误!未找到引用源。

2018年高考数学二轮复习专题对点练216.1_6.3组合练理

专题对点练21 6.1~6.3组合练(限时90分钟,满分100分)一、选择题(共9小题,满分45分)1.(2017河南新乡二模,理6)已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示,为了解该小区户主对户型结构的满意程度,用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查,则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()A.100,8B.80,20C.100,20D.80,8答案 A解析样本容量为(150+250+100)×20%=100,∴抽取的户主对四居室满意的人数为100××40%=8.故选A.2.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为()A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312答案 A解析由条件知该同学通过测试,即3次投篮投中2次或投中3次.故P=0.62(1-0.6)+0.63=0.648.3.(2017全国Ⅲ,理3)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳答案 A解析由题图可知2014年8月到9月的月接待游客量在减少,故A错误.4.(2017北京丰台一模,理7)小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为()A.60B.72C.84D.96答案 C5.设样本数据x1,x2,…,x10的平均值和方差分别为1和4,若y i=x i+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的平均值和方差分别为()A.1+a,4B.1+a,4+aC.1,4D.1,4+a答案 A解析由题意知y i=x i+a(i=1,2,…,10),则(x 1+x2+…+x10+10a)=(x1+x2+…+x10)+a=+a=1+a,方差s2=[(x 1+a--a)2+(x2+a--a)2+…+(x10+a--a)2]=[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2=4.故选A.6.4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. B. C. D.答案 D解析基本事件总数为24=16,周六没有同学参加即4名同学均在周日参加,只有一种情况;同理,周日没有同学参加也只有一种情况.故所求概率为.故选D.7.(2017山东,理8)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A. B. C. D.答案 C解析从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,共有种不同情况.其中2张卡片上的数奇偶性不同的有()种情况,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率P=.故选C.8.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线的一部分)的点的个数的估计值为() 〚导学号16804211〛附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.954 5.A.2 386B.2 718C.3 414D.4 772答案 C解析由X~N(0,1)知P(-1<X≤1)≈0.682 7,∴P(0≤X≤1)≈×0.682 7≈0.341 4,故阴影部分的面积S≈0.341 4.∴落在阴影部分中点的个数x的估计值满足(古典概型),∴x≈10 000×0.3414=3 414,故选C.9.(2017全国Ⅰ,理6)(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35答案 C解析方法一:(1+x)6=1·(1+x)6+(1+x)6,(1+x)6的展开式中的x2的系数为=15,(1+x)6的展开式中的x2的系数为=15,所以x2的系数为15+15=30.方法二:(1+x)6的二项展开式通项为T r+1=x r,(1+x)6的展开式中含x2的项的来源有两部分,一部分是1×x2=15x2,另一部分是x4=15x2,故(1+x)6的展开式中含x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是30.二、填空题(共3小题,满分15分)10.(2017山东,理11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=.答案 4解析二项展开式的通项T r+1=(3x)r=3r··x r,令r=2,得32·=54,解得n=4.11.(2017浙江,16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案 660解析由题意可得,总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有=660种.12.(2017河北石家庄二中模拟,理14)已知(ax+1)5的展开式中各项系数和为243,则的展开式中含x项的系数为.(用数字作答)答案-解析∵(ax+1)5的展开式中各项系数和为243,∴(a+1)5=243,得a=2,∴的展开式的通项为T r+1=(-)r=(-1)r,令5-=1,得r=3,故二项式的展开式中含x项的系数为-=-.故答案为-.13.(2017北京东城一模,理12)“墨子号”是由我国完全自主研制的世界上第一颗空间量子科学实验卫星,于2016年8月16日发射升空.“墨子号”的主要应用目标是通过卫星中转实现可覆盖全球的量子保密通信.量子通信是通过光子的偏振状态,使用二进制编码,比如,码元0对应光子偏振方向为水平或斜向下45度,码元1对应光子偏振方向为垂直或斜向上45度.如图所示.1信号发出后,我们在接收端将随机选择两种编码方式中的一种来解码,比如,信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式1进行解码,这时能够完美解码;信号发送端如果按编码方式1发送,同时接收端按编码方式2进行解码,这时无法获取信息.如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率是;如果发送端发送3个码元,那么恰有两个码元无法获取信息的概率是.〚导学号16804212〛答案解析发送端发送一个码元,基本事件总数n=2,接收端能够完美解码包含的基本事件个数m=1,故如果发送端发送一个码元,那么接收端能够完美解码的概率p1=.发送端发送3个码元,恰有两个码元无法获取信息的概率p2=.故答案为.三、解答题(共3个题,分别满分为13分,13分,14分)14.为评估设备M生产某种零件的性能,从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表:经计算,样本的平均值μ=65,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.(1)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为X,并根据以下不等式进行评判:①P(μ-σ<X≤μ+σ)≥0.682 7.②P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)≥0.954 5.③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≥0.997 3.评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁.试判断设备M的性能等级.(2)将直径小于等于μ-2σ或直径大于μ+2σ的零件认为是次品.(ⅰ)从设备M的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数Y的数学期望E(Y); (ⅱ)从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数Z的数学期望E(Z).解(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(62.8<X≤67.2)=0.8≥0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(60.6<X≤69.4)=0.94≤0.9545,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=P(58.4<X≤71.6)=0.98≤0.997 3,因为设备M的数据仅满足一个不等式,所以其性能等级为丙.(2)易知样本中次品共6件,可估计设备M生产零件的次品率为0.06.(ⅰ)由题意可知Y~B,于是E(Y)=2×.(ⅱ)由题意可知Z的分布列为Z0 1 2P故E(Z)=0×+1×+2×.15.(2016河南许昌、新乡、平顶山二模,理18)某校高二年级共有学生1 000名,其中走读生750名,住宿生250名,现采用分层抽样的方法从该年级抽取100名学生进行问卷调查.根据问卷取得了这100名学生每天晚上有效学习时间(单位:分钟)的数据,按照以下区间分为八组:①[0,30),②[30,60),③[60,90),④[90,120),…得到频率分布直方图(部分)如图.(1)如果把“学生晚上有效时间是否达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的100名学生,完成下列2×2列联表;并判断是否有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?(2)若在第①组、第②组、第③组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有效学习时间少于60分钟”的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.参考公式:K2=,n=a+b+c+d.临界值表:解 (1)把“学生晚上有效时间是否达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的100名学生,完成2×2列联表如下:K2=≈5.556.因为K2>3.841,所以有95%的把握认为学生利用时间是否充分与走读、住宿有关.(2)设第i组的频率为P i(i=1,2,…,8),则由图可知P 1=×30=,P2=×30=,P3=×30=,∴第①组1人,第②组4人,第③组10人.则X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=i)=(i=0,1,2,3),∴P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.∴X的分布列为E(X)=0×+1×+2×+3×=1.16.(2017宁夏中卫二模,理19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:吨)的影响,对近六年的年宣传费x i和年销售量y i(i=1,2,3,4,5,6)的数据作了初步统计,得到如下数据:量y/吨经电脑模拟发现年宣传费x (单位:万元)与年销售量y (单位:吨)之间近似满足关系式y=a ·x b (a ,b>0),即ln y=b ·ln x+ln a ,对上述数据作了初步处理,得到相关的值如下表: (ln (ln (ln (ln(1)根据所给数据,求y 关于x 的回归方程;(2)规定当产品的年销售量y (单位:吨)与年宣传费x (单位:万元)的比值在区间内时认为该年效益良好.现从这6年中任选3年,记其中选到效益良好的数量为ξ,求随机变量ξ的分布列和期望.(其中e 为自然对数的底数,e≈2.718 3) 附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线·u+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为.解 (1)对y=a ·x b(a>0,b>0)两边取对数,得ln y=b ·ln x+ln a ,令μi =ln x i ,v i =ln y i ,得v=b ·μ+ln a ,由所给的数据得 =4.1,=3.05,(μi ·v i )=(ln x i ·ln y i )=75.3,(ln x i )2=101.4, ∴b==1,ln a=-b ·=3.05-×4.1=1,得a=e,∴y 关于x 的回归方程为y=e·. (2)由(1)中所求回归方程,得,则x ∈(49,81),∴x=58,68,78,∴ξ的所有可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=, ∴ξ的分布列为E(ξ)=0×+1×+2×+3×.。

教育最新K12新课标2018届高考数学二轮复习题型专项训练4选择填空题组合特训四理

题型专项训练4 选择填空题组合特训(四)(时间:60分钟满分:100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1.(2017浙江杭州高级中学模拟)设集合A={y|y=sin x,x∈R},集合B={x|y=lg x},则(∁R A)∩B=()A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,1]C.(1,+∞)D.[1,+∞)2.已知抛物线y2=x的焦点是椭圆=1的一个焦点,则椭圆的离心率为()A BC D3.若x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值与最小值的和等于()A.-4B.-2C.2D.64.若函数f(x)=(x2+x-2)(x2+ax+b)是偶函数,则f(x)的最小值为()A BC.-D.-5.已知a,b,c都是实数,则“a,b,c成等比数列”是“b2=a·c”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=p k q1-k(k=0,1,p+q=1),则E(X)与D(X)依次为()A.0和1B.p和p2C.p和1-pD.p和p(1-p)7.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是()A.28+6B.30+6C.56+12D.60+128.已知△ABC和点M满足=0,若存在实数m使得=m成立,则m=()A.2B.3C.4 D二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分)9.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有圆窖,周五丈四尺,深一丈八尺,问受粟几何?”其意思为:“有圆柱形容器,底面圆周长五丈四尺,高一丈八尺,求此容器能装多少斛米.”则该圆柱形容器能装米斛.(古制1丈=10尺,1斛=1.62立方尺,圆周率π≈3)10.(2017浙江宁波诺丁汉大学附中下学期期中)在复平面内,复数z的对应点为(1,1),则z的虚部为,z2=.11.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=4,A=60°,且△ABC外接圆的面积为4π,则角B为,△ABC的面积为.12.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,则|a+b|+|a-b|的最小值是,最大值是.13.从5名男公务员和4名女公务员中选出3人,分别派到西部的三个不同地区,要求3人中既有男公务员又有女公务员,则不同的选派方法种数是.14.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为抛物线C的准线与x轴的交点,若|AB|=8,则tan∠AMB=.参考答案题型专项训练4选择填空题组合特训(四)1.C解析由集合A中的函数y=sin x,x∈R,得到y∈[-1,1],∴A=[-1,1],∴∁R A=(-∞,-1)∪(1,+∞),由集合B中的函数y=lg x,得到x>0,∴B=(0,+∞),则(∁R A)∩B=(1,+∞).故选C.2.D解析抛物线y2=x的焦点为.所以椭圆=1的一个焦点为.即c=,a2=3+,a=.椭圆的离心率e=,故选D.3.A解析由x,y满足约束条件作出可行域如图,由图可知A(0,2),由解得B(-2,-2),且A,B分别为目标函数z=2x+y取得最大值和最小值的最优解,则z min=-2×2-2=-6,z max=2×0+2=2,∴z=2x+y的最大值和最小值之和等于-4.故选A.4.C解析由已知f(x)=x4+(a+1)x3+(a+b-2)x2+(b-2a)x-2b,f(x)为偶函数,则解得即f(x)=x4-5x2+4=,所以当x2=时,f(x)min=-,故选C.5.A解析由a,b,c成等比数列可得b2=ac;但是当a=b=0时可得b2=ac,而a,b,c不成等比数列,故正确答案为A.6.D解析由题意,离散型随机变量X~B(1,p),根据二项分布的期望与方差公式可得E(X)=1·p=p,D(X)=1·p·(1-p)=p(1-p),故选D.7.B解析由三视图可得该四棱锥的底面是直角边长为4,5的直角三角形,面积为10;侧面ACD是底边长为5,高为4的三角形,面积为10;侧面BCD是直角边长为4,5的三角形,面积为10;侧面ABD是边长为,2的等腰三角形,底边上的高为=6,面积为2×6×=6.故该四棱锥的表面积为30+6.8.B解析因为=0,所以点M为△ABC的重心.设点D为底边BC的中点,则)=),∴=3.∴m=3.故选B.9.2 700解析 2πr=54,r=9,圆柱形容器体积为πr2h≈3×92×18,所以此容器能装=2 700斛米.10.12i解析在复平面内,复数z的对应点为(1,1),∴z=1+i.z2=(1+i)2=2i.11. 2解析πR2=4π⇒R=2,∴=2R=4⇒sin B=1,B=,∴a=2,c=2,S=ac=2.12.42解析设向量a,b的夹角为θ,由余弦定理得|a-b|=,|a+b|=,则|a+b|+|a-b|=.令y=,则y2=10+2∈[16,20],据此可得(|a+b|+|a-b|)max==2,(|a+b|+|a-b|)min==4.即|a+b|+|a-b|的最小值是4,最大值是2.13.420解析由题意,从5名男公务员和4名女公务员中选出3人,有种选法,再排除其中只选派3名男公务员的方案数为,只有女公务员的方案数为种,利用间接法可得既有男公务员又有女公务员的选法有种,分别派到西部的三个不同地区共有)=420.故答案为420.14.2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),则由条件得|AB|=|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=8,所以x1+x2=6,=24,y1y2=-4,x1x2==1,(y1-y2)2=-2y1y2=32.所以tan∠AMB====2.。

2018届高三数学理二轮复习课时作业：第二部分组合练

[组合练一]单独成册一、选择题1．集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则下列关系正确的是() A．A⊆∁R B B．B⊆∁R AC．∁R A⊆∁R B D．A∪B＝R解析：依题意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B⊆A，∁R A⊆∁R B，选C.答案：C2．(2017·河南八市联考)复数z＝3＋i1＋i＋3i在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝3＋i1＋i＋3i＝(3＋i)(1－i)(1＋i)(1－i)＋3i＝4－2i2＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限，故选A. 答案：A3．函数f(x)＝1x＋ln|x|的图象大致为()解析：因为f(1)＝1，排除A项；当x>0时，f(x)＝1x＋ln x，f′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2，所以当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，排除D项，又f(－1)＝－1，所以排除C项，故选B.答案：B4．已知直线l ，m ，平面α，l ⊄α且m ∥α，则“l ∥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：利用线面平行的判定和性质判断充分性和必要性．若l ⊄α，m ∥α，l ∥m ，则l ∥α，所以充分性成立；反之，若l ∥α，l ⊄α，m ∥α，则l ，m 的位置关系不确定，可能平行、相交或异面，所以必要性不成立，故“l ∥m ”是“l ∥α”的充分不必要条件，故选A. 答案：A5．(2017·湖南东部五校联考)函数f (x )＝⎩⎨⎧2e x －1，x ＜2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )＞2的解集为( ) A ．(－2,4)B ．(－4，－2)∪(－1,2)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(10，＋∞)解析：当x ＜2时，令2e x －1＞2，解得1＜x ＜2；当x ≥2时，令log 3(x 2－1)＞2，解得x ＞10，故选C. 答案：C6．(2017·重庆模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.23 B.43 C.53D.73解析：依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2)、高为1，因此该几何体的体积为12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝43，选B. 答案：B7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程是y ＝32x ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 24－y 23＝1 C.x 228－y 221＝1D.x 23－y 24＝1解析：双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，所以b a ＝32，抛物线的准线方程为x ＝－7，所以c ＝7，由a 2＋b 2＝c 2，可得a 2＝4，b 2＝3，故选B. 答案：B8．(2017·赣州摸底)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有( ) A ．36种 B ．39种 C ．42种D ．45种解析：当甲安排在10月2日值班时，则丙可以安排在1,3,4日中某一天，乙可以在剩余的3日中选一天，有C 13C 13＝9种排法，同理可得甲安排在10月3日，4日中的一天值班时，有C 13C 13＋C 13C 13＝18种排法；当甲安排在10月5日值班时，有A 24＝12种排法，所以不同的安排方法有9＋18＋12＝39种，故选B.答案：B 二、填空题9．已知n ＝∫e 611x d x ，那么(x 2－1x )n 的展开式中的常数项为________．解析：n ＝⎠⎛ 1e 61x d x ＝ln x | e 61＝ln e 6－ln 1＝6－0＝6，(x 2－1x )6的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ·(－1x)r ＝C r 6(－1)r x12－3r，令12－3r ＝0，得r ＝4，故展开式中的常数项为T 5＝C 46(－1)4＝15.答案：1510．(2017·东北三省四市模拟)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀．”乙说：“我得了优秀．”甲说：“丙说的是真话．”事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．解析：分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙．答案：丙11．(2016·广西模拟)已知在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________．解析：因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，所以12bc sin A＝2bc －2bc cos A ，所以sin A ＝4(1－cos A )，所以sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝6417. 答案：641712．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ln x ，x ≥1，ln xx，0<x <1，对于正数x ，有x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2 017＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2 016＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋f (x )＋f (x ＋1)＋…＋f (x ＋2 017)，则x ＝________. 解析：当x >1时，f (x )＝x ln x ，则0<1x <1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln 1x1x ＝－x ln x ，所以f (x )＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0，x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2 016＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋f (x )＋f (x ＋1)＋…＋f (x ＋2 017)＝f (x )．又f (1)＝0，所以当x ≥1时，x ＝f (x )＝x ln x ，所以ln x ＝1，所以x ＝e>1，符合题意；当0<x<1时，0<x＝f(x)＝ln xx<0，矛盾，故x＝e.答案：e。

配套K12通用版2018年高考数学二轮复习课时跟踪检测二十三文

课时跟踪检测（二十三）A 组——12＋4提速练一、选择题1．设f (x )＝x ln x ，f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2解析：选B ∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴f ′(x 0)＝1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e ，故选B. 2．函数f (x )＝e xcos x 的图象在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0解析：选C 依题意，f (0)＝e 0cos 0＝1，因为f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ，所以f ′(0)＝1，所以切线方程为y －1＝x －0，即x －y ＋1＝0，故选C.3．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则n ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．4解析：选C 对于y ＝x 3＋mx ＋n ，y ′＝3x 2＋m ，而直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋mx ＋n 相切于点A (1,3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ＝k ，k ＋1＝3，1＋m ＋n ＝3，可解得n ＝3.4．若下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (1)＝( )A.13 B ．－13 C.73 D ．－53解析：选A 由题意知，f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∵a ≠0，∴其图象为最右侧的一个．由f ′(0)＝a 2－1＝0，得a ＝±1.由导函数f ′(x )的图象可知，a <0，故a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，f (1)＝13－1＋1＝13.5．已知函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x ，则函数f (x )的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(1，＋∞) B ．(0,1)和(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞) D ．(1,2)解析：选C 函数f (x )＝x 2－5x ＋2ln x 的定义域是(0，＋∞)，令f ′(x )＝2x －5＋2x＝2x 2－5x ＋2x＝x －x －x>0，解得0<x <12或x >2，故函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和(2，＋∞)．6.已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ B ．[3，＋∞) C ．[－2,3]D ．(－∞，－2)解析：选D 因为f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d ，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由图可知f ′(－2)＝f ′(3)＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12－4b ＋c ＝0，27＋6b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝－18.令g (x )＝x 2＋23bx ＋c 3，则g (x )＝x 2－x －6，g ′(x )＝2x －1，由g (x )＝x 2－x －6>0，解得x <－2或x >3.当x <12时，g ′(x )<0，所以g (x )＝x 2－x －6在(－∞，－2)上为减函数，所以函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23bx ＋c 3的单调递减区间为(－∞，－2)．7．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图象与x 轴切于点(1,0)，则f (x )的极大值、极小值分别为( )A ．－427，0B ．0，－427C.427，0 D ．0，427解析：选C 由题意知，f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ，由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x＝13或x ＝1，易得当x ＝13时，f (x )取极大值427，当x ＝1时，f (x )取极小值0. 8．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)·f (x 2－1)的解集是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选D 因为f (x )＋xf ′(x )<0，所以[xf (x )]′<0，故xf (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)·f (x 2－1)，所以0<x ＋1<x 2－1，解得x >2.9.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选A 由y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，解得2<x <3或－3<x <－2.10．设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)上均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)上均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上有零点，在区间(1，e)上无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点解析：选D 因为f ′(x )＝13－1x ，所以当x ∈(0,3)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，而0<1e <1<e<3，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e ＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，所以f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上无零点，在区间(1，e)上有零点．11．(2017·成都模拟)已知曲线C 1：y 2＝tx (y >0，t >0)在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t，2处的切线与曲线C 2：y＝ex ＋1－1也相切，则t ln 4e2t的值为( )A ．4e 2B ．8eC ．2D ．8解析：选D 由y ＝tx ，得y ′＝12t ·x －12，则曲线C 1在x ＝4t 时的切线斜率为k ＝t4，所以切线方程为y －2＝t 4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t ，即y ＝t 4x ＋1.设切线与曲线y ＝e x ＋1－1的切点为(x 0，y 0)．由y ＝e x ＋1－1，得y ′＝e x ＋1，则由e x 0＋1＝t 4，得切点⎝ ⎛⎭⎪⎫ln t4－1，t 4－1，故切线方程又可表示为y－t 4＋1＝t 4x －ln t 4＋1，即y ＝t 4x ＋t 4ln 4t ＋t 2－1，所以由题意，得t 4ln 4t ＋t 2－1＝1，即t ln 4t＋2＝8，整理得t ln 4e2t＝8，故选D.12．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数g (x )＝a －x 21e≤x ≤e，e 为自然对数的底数与h (x )＝2ln x 的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，e 2－2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，1e 2＋2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e 2＋2，e 2－2D.[)e 2－2，＋∞解析：选A 由题意，知方程x 2－a ＝2ln x ，即－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．设f (x )＝2ln x －x 2，则f ′(x )＝2x－2x ＝－x ＋x －x.易知x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时f ′(x )>0，x ∈[1，e]时f ′(x )<0，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1上单调递增，在[1，e]上单调递减，所以f (x )极大值＝f (1)＝－1，又f (e)＝2－e 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－2－1e2，f (e)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，所以方程－a ＝2ln x －x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e，e 上有解等价于2－e 2≤－a ≤－1，所以a 的取值范围为[1，e 2－2]，故选A.二、填空题13．(2017·张掖模拟)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，则实数a的取值范围是________．解析：f ′(x )＝x 2－ax ＋1，∵函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上单调递减，∴f ′(x )≤0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤0，f，即⎩⎪⎨⎪⎧14－12a ＋1≤0，9－3a ＋1≤0，解得a ≥103，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞ 14．(2017·山东高考)若函数e xf (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为________．①f (x )＝2－x；②f (x )＝3－x；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x 2＋2.解析：设g (x )＝e x f (x )，对于①，g (x )＝e x ·2－x，则g ′(x )＝(e x ·2－x )′＝e x ·2－x(1－ln 2)>0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；对于②，g (x )＝e x ·3－x，则g ′(x )＝(e x ·3－x )′＝e x ·3－x(1－ln 3)<0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；对于③，g (x )＝e x ·x 3，则g ′(x )＝(e x ·x 3)′＝e x ·(x 3＋3x 2)，显然函数g (x )在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；对于④，g (x )＝e x ·(x 2＋2)，则g ′(x )＝[e x·(x 2＋2)]′＝e x ·(x 2＋2x ＋2)＝e x ·[(x ＋1)2＋1]>0，所以函数g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．综上，具有M 性质的函数的序号为①④. 答案：①④15．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )的导数f ′(x )＝e x－m ，即切线斜率k ＝e x－m ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则满足(e x －m )e ＝－1，即e x －m ＝－1e 有解，即m ＝e x ＋1e 有解，∵e x＋1e ＞1e ，∴m ＞1e.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞ 16．(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝e x＋m ln x (m ∈R ，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x 1，x 2，当x 1>x 2时都有f (x 1)－f (x 2)>x 1－x 2成立，则实数m 的取值范围是________．解析：函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．依题意得，对于任意的正数x 1，x 2，当x 1>x 2时，都有f (x 1)－x 1>f (x 2)－x 2，因此函数g (x )＝f (x )－x 在区间(0，＋∞)上是增函数，于是当x >0时，g ′(x )＝f ′(x )－1＝e x＋mx－1≥0，即x (e x －1)≥－m 恒成立．记h (x )＝x (e x－1)，x >0，则有h ′(x )＝(x ＋1)e x －1>(0＋1)e 0－1＝0(x >0)，h (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，h (x )的值域是(0，＋∞)，因此－m ≤0，m ≥0.故所求实数m 的取值范围是[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)B 组——能力小题保分练1．(2017·陕西质检)设函数f (x )＝x sin x 在x ＝x 0处取得极值，则(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)的值为( )A ．1B ．－1C ．－2D ．2解析：选D f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，令f ′(x )＝0得tan x ＝－x ，所以tan 2x 0＝x 20，故(1＋x 20)(1＋cos 2x 0)＝(1＋tan 2x 0)·2cos 2x 0＝2cos 2x 0＋2sin 2x 0＝2，故选D.2．(2017·开封模拟)过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有( ) A ．3条 B ．2条 C ．1条D ．0条解析：选A 由题意得，f ′(x )＝3x 2－3，设切点为(x 0，x 30－3x 0)，那么切线的斜率为k ＝3x 20－3，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，将点A (2,1)代入可得关于x 0的一元三次方程2x 30－6x 20＋7＝0.令y ＝2x 30－6x 20＋7，则y ′＝6x 20－12x 0.由y ′＝0得x 0＝0或x 0＝2.当x 0＝0时，y ＝7>0；x 0＝2时，y ＝－1<0.所以方程2x 30－6x 20＋7＝0有3个解．故过点A (2,1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有3条，故选A.3．(2017·惠州调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( )A ．(e ，＋∞)B ．(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析：选D f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x )，所以f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)可变形为f (ln x )<f (1)．f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )，因为2＋cos x >0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以f (ln x )<f (1)等价于|ln x |<1，即－1<ln x <1，所以1e<x <e.故选D.4．设函数f (x )＝3sin πx m.若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2<m 2，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选C 由正弦型函数的图象可知：f (x )的极值点x 0满足f (x 0)＝±3，则πx 0m ＝π2＋k π(k ∈Z)，从而得x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12m (k ∈Z)．所以不等式x 20＋[f (x 0)]2<m 2即为⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122m 2＋3<m 2，变形得m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122>3，其中k ∈Z.由题意，存在整数k 使得不等式m 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122>3成立．当k ≠－1且k ≠0时，必有⎝⎛⎭⎪⎫k ＋122>1，此时不等式显然不能成立，故k ＝－1或k ＝0，此时，不等式即为34m 2>3，解得m <－2或m >2.5．若对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，函数f (x )＝12x 2－ax －2b 与g (x )＝2a ln(x －2)的图象均有交点，则实数b 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1516＋12ln 2，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫158＋ln 2，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1516＋12ln 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1516＋12ln 2，＋∞ 解析：选A 依题意，原问题等价于对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞，关于x 的方程12x 2－ax －2a ln(x －2)＝2b 有解．设h (x )＝12x 2－ax －2a ln(x －2)，则h ′(x )＝x －a －2a x －2＝xx －a －x －2，所以h (x )在(2，a ＋2)上单调递减，在(a ＋2，＋∞)上单调递增，当x →2时h (x )→＋∞，当x →＋∞时，h (x )→＋∞，h (a ＋2)＝－12a 2－2a ln a ＋2，记p (a )＝－12a 2－2a ln a ＋2，则h (x )的值域为[p (a )，＋∞)，故2b ∈[p (a )，＋∞)对任意的a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞恒成立，即2b ≥p (a )max ，而p ′(a )＝－a －2ln a －2≤－12＋2ln 2－2<0，故p (a )单调递减，所以p (a )≤p ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝158＋ln2，所以b ≥1516＋12ln 2，故选A.6．(2017·张掖模拟)定义在R 上的可导函数f (x )满足f (1)＝1，且2f ′(x )>1，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2时，不等式f (2cos x )>32－2sin 2x 2的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫0，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3解析：选D 令g (x )＝f (x )－x 2－12，则g ′(x )＝f ′(x )－12>0，∴g (x )在R 上单调递增，且g (1)＝f (1)－12－12＝0，∵f (2cos x )－32＋2sin 2x 2＝f (2cos x )－2cos x 2－12＝g (2cos x )，∴f (2cos x )>32－2sin 2x 2，即g (2cos x )>0，∴2cos x >1，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2，∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.。

2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练：专题对点练18 5.1-5.3组合练 Word版含解析

专题对点练185、1~5、3组合练(限时90分钟，满分100分)一、选择题(共9小题，满分45分)1、(2017浙江，3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A、+1B、+3C、+1D、+3答案 A解析 V=×3××π×12++1，故选A、2、已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则( )A、α∥β，且l∥αB、α⊥β，且l⊥βC、α与β相交，且交线垂直于lD、α与β相交，且交线平行于l答案 D解析因为m⊥α，l⊥m，l⊄α，所以l∥α、同理可得l∥β、又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线、故选D、3、(2017河北邯郸一模，理10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A、πB、πC、πD、π答案 A解析由三视图可得，该几何体的直观图为圆锥的与圆柱的的组合体，由图中数据可得，该几何体的体积为×π×12×π×12×2=π，故选A、4、如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A、B、C、D、答案 C解析由零件的三视图可知，该几何体为两个圆柱组合而成，如图所示、切削掉部分的体积V1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm3)，原来毛坯体积V2=π×32×6=54π(cm3)、故所求比值为、5、(2017四川成都三诊，理11)如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形、若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A、27πB、48πC、64πD、81π答案 C解析由三视图可知，该几何体为三棱锥，三棱锥的高VA=4，直观图如图所示、∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连接OA，DA，则DE=OA=×3=2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴该球的表面积S=4πr2=64π、故选C、6、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( ) A、B、C、D、答案 C解析如图，以点C1为坐标原点，C1B1，C1A1，C1C所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，不妨设BC=CA=CC1=1，可知点A(0，1，1)，N，B(1，0，1)，M、∴、∴cos<>=、根据的夹角及AN与BM所成角的关系可知，BM与AN所成角的余弦值为、7、(2017辽宁沈阳三模，理10)已知某三棱锥的三视图如图所示，图中的3个直角三角形的直角边长度已经标出，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线成的角的余弦值为( )A、B、C、D、答案 A解析由三视图还原原几何体如图、几何体是三棱锥A-BCD，满足平面ACD⊥平面BCD，且AD⊥CD，BC⊥CD，则最短棱为CD，最长棱为AB、在平面BCD内，过B作BE∥CD，且BE=CD，连接DE，∴四边形BEDC为长方形，可得AE=2、在Rt△AEB中，求得AB==3，∴cos∠ABE=、即最短的棱和最长的棱所在直线成的角的余弦值为、故选A、8、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示、若该几何体的表面积为16+20π，则r=( )A、1B、2C、4D、8答案 B解析由条件知，该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面圆直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成，其表面积是一个矩形面积、两个半圆面积、圆柱侧面积的一半、球表面积的一半相加所得，所以表面积为S表=2r×2r+2×πr2+πr×2r+×4πr2=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2、9、(2017河南新乡二模，理10)已知正三角形ABC的三个顶点都在球心为O，半径为3的球面上，且三棱锥O-ABC的高为2，点D是线段BC的中点，过点D作球O的截面，则截面积的最小值为( )〚导学号16804204〛A、B、4πC、D、3π答案 A解析设正三角形ABC的中心为O1，连接O1O，O1C，O1D，OD，∵O1是正三角形ABC的中心，A，B，C三点都在球面上，∴O1O⊥平面ABC、又O1C⊂平面ABC，∴O1O⊥O1C、∵球的半径R=3，O1O=2，∴在Rt△O1OC中，O1C=、又D为BC的中点，∴在Rt△O1DC中，O1D=O1C=、∴在Rt△OO1D中，OD=、过D作球O的截面，当截面与OD垂直时，截面圆的半径最小，此时截面圆的半径r=，可得截面积为S=πr2=、故选A、二、填空题(共3小题，满分15分)10、已知H是球O的直径AB上一点，AH∶HB=1∶2，AB⊥平面α，H为垂足，α截球O所得截面的面积为π，则球O的表面积为、答案解析如图，设球O的半径为R，则AH=，OH=、∵π·EH2=π，∴EH=1、∵在Rt△OEH中，R2=+12，∴R2=、∴S球=4πR2=、11、(2017山西太原二模，理15)已知三棱锥A-BCD，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，则该三棱锥外接球的表面积为、答案解析由题意，得△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心、∵点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，∴BF=，∴AF=、设球心O到平面BCD的距离为h，则1+h2=，解得h=，r=，故该三棱锥外接球的表面积为4π×、12、(2017全国Ⅲ，理16)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论:①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°、其中正确的是、(填写所有正确结论的编号)答案②③解析由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，由AC⊥a，AC⊥b，得AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b、连接AD，在等腰三角形ABD中，设AB=AD=，当直线AB与a成60°角时，∠ABD=60°，故BD=、又在Rt△BDE中，BE=2，∴DE=，过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，由圆的对称性可知BF=DE=，∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF=60°，即AB与b成60°角，②正确，①错误、由最小角定理可知③正确;很明显，可以满足直线a⊥平面ABC，直线AB与a所成的最大角为90°，④错误、故正确的说法为②③、三、解答题(共3个题，分别满分为13分，13分，14分)13、(2017河南郑州一中质检，理18)如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知AC=2AB=4，BC=2AD=2DC=2、(1)求证:平面SAB⊥平面SAC;(2)求二面角B-SC-A的余弦值、(1)证明在△BCA中，∵AB=2，CA=4，BC=2，∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC、又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，∴AC⊥平面SAB、又AC⊂平面SAC，故平面SAB⊥平面SAC、(2)解如图建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，S(1，0，)，C(0，4，0)、=(1，-4，)，=(-2，4，0)，=(0，4，0)、设平面SBC的法向量n=(x，y，z)，由则取n=、设平面SCA的法向量m=(a，b，c)，由则取m=(-，0，1)，∴cos<n，m>=-，∴二面角B-SC-A的余弦值为、14、(2017辽宁沈阳三模，理19)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，△ABC和△ABB1都是边长为2的正三角形、(1)过B1作出三棱柱的截面，使截面垂直于AB，并证明;(2)求AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值、解 (1)设AB的中点为O，连接OC，OB1，B1C，则截面OB1C为所求、证明:因为OC，OB1分别为△ABC，△ABB1的中线，所以AB⊥OC，AB⊥OB1、又OC，OB1⊂平面OB1C，OC∩OB1=O，所以AB⊥平面OB1C、(2)以O为原点，OB方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得B(1，0，0)，A(-1，0，0)，C(0，，0)，B1(0，0，)，C1(-1，)，=(1，-，0)，=(1，0，-)，=(0，)、设平面BCC1B1的一个法向量为n=(x，y，z)，由解得平面BCC1B1的一个法向量为n=(，1，1)，则|cos<，n>|=，所以AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为、15、(2017天津，理17)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°，点D，E，N分别为棱PA，PC，BC 的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2、(1)求证:MN∥平面BDE;(2)求二面角C-EM-N的正弦值;(3)已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长、解如图，以A为原点，分别以方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系、依题意可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，2，2)，M(0，0，1)，N(1，2，0)、(1)证明:=(0，2，0)，=(2，0，-2)，设n=(x，y，z)为平面BDE的法向量，则不妨设z=1，可得n=(1，0，1)、又=(1，2，-1)，可得·n=0、因为MN⊄平面BDE，所以MN∥平面BDE、(2)易知n1=(1，0，0)为平面CEM的一个法向量、设n2=(x，y，z)为平面EMN的法向量，则因为=(0，-2，-1)，=(1，2，-1)，所以不妨设y=1，可得n2=(-4，1，-2)、因此有cos<n1，n2>==-，于是sin<n1，n2>=、所以，二面角C-EM-N的正弦值为、(3)依题意，设AH=h(0≤h≤4)，则H(0，0，h)，进而可得=(-1，-2，h)，=(-2，2，2)、由已知，得|cos<>|=，整理得10h2-21h+8=0，解得h=或h=、所以，线段AH的长为、。