上海南汇中学第二学期期中考试高二数学

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上海数学高二下期中经典习题(答案解析)

一、选择题1．(0分)[ID ：13609]已知向量a ，b 满足2a =，||1b =，且2b a +=，则向量a 与b 的夹角的余弦值为（）A ．22B ．23C ．28D ．242．(0分)[ID ：13580]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，三边a ，b ，c 成等差数列，且6B π=，则()2cos cos A C -的值为（）A ．13+B ．2C ．22+D ．03．(0分)[ID ：13560]函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π=4．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=5．(0分)[ID ：13611]若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（）A ．32B ．3C ．34D ．34-6．(0分)[ID ：13570]已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．89-B ．89C ．79D ．79-7．(0分)[ID ：13569]已知0w >,0φπ<<，直线4x π=和54=x π是函数()sin()f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，则φ=（）A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π48．(0分)[ID ：13566]设a b c 、、是单位向量，且·0a b ＝，则()()a cbc -⋅-的最小值为A ．2-B 2C ．1-D ．19．(0分)[ID ：13549]将函数sin ()y x x x R =+∈的图象向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（） A ．12πB ．6π C ．3π D ．56π 10．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 11．(0分)[ID ：13545]下列函数中，在区间(1,1)-上为减函数的是 A ．11y x=- B ．cos y x =C ．ln(1)y x =+D ．2x y -=12．(0分)[ID ：13541]已知a ，b 均为非零向量，()2a b a -⊥，()2b a b -⊥，则a ，b 的夹角为（）A ．3π B ．2π C ．23πD ．56π13．(0分)[ID ：13540]已知ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=且sin cos 4B B =ABC ∆是（） A ．正三角形B ．直角三角形C ．正三角形或直角三角形D ．直角三角形或等腰三角形14．(0分)[ID ：13538]3cos()45x π-=，那么sin 2x =（） A ．1825B ．2425±C ．725-D ．72515．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫⎪⎝⎭（） A ．2B ．2C ．2-D ．0二、填空题16．(0分)[ID ：13724]若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．17．(0分)[ID ：13722]已知函数f(x)=−4cos(ωx+φ)e |x |(ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，则ωφ=__________．18．(0分)[I∆：13720]∆ABC 的AB 边中点为D ，AC =1，BC =2，则AB CD ⋅的值为_______________.19．(0分)[ID ：13719]设 a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，有下列命题：①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解；②方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥；③方程22220a x a bx b +⋅+=有唯一的实数解bx a=-；④方程22220a x a bx b +⋅+=没有实数解，其中真命题有_______________.(写出所有真命题的序号)20．(0分)[ID ：13718]如图，平面内有三个向量OA 、OB 、OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且1OA OB ==，23OC =，若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则(x ,y )=___________.21．(0分)[ID ：13709]已知AB 为单位圆O 的一条弦,P 为单位圆O 上的点,若()()f AP AB R λλλ=-∈的最小值为m ,当点P 在单位圆上运动时,m 的最大值为43,则线段AB 的长度为________.22．(0分)[ID ：13700]在△ABC 中，60A ∠=°，M 是AB 的中点，若|AB|=2，|BC|=23，D 在线段AC 上运动，则DB DM ⋅的最小值为___________. 23．(0分)[ID ：13693]已知()()()()()1cos ,sin ,1cos ,sin ,1,0,0,,,2a b c ααββαπβππ=+=-=∈∈，a 与c 的夹角为1θ，b 与c 的夹角为2θ，且1θ23πθ-=，求sin2αβ-=_______.24．(0分)[ID ：13652]在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，AD AB ⊥，2AD DC ==，3AB =，点M 是线段CB 上（包括边界）的一个动点，则AD AM ⋅的取值范围是______.25．(0分)[ID ：13645]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为______．三、解答题26．(0分)[ID ：13822]已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0>ω，||2ϕπ<）满足下列3个条件中的2个条件： ①函数()f x 的周期为π； ②6x π=是函数()f x 的对称轴；③04f π⎛⎫= ⎪⎝⎭且在区间,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调. （Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域. 27．(0分)[ID ：13813]某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22π xπ35π6sin()A x ωϕ+0 55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 28．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 29．(0分)[ID ：13740]在△ABC 中，已知内角A ＝，边BC ＝2，设内角B ＝x ，周长为y ．（1）求函数y ＝f （x ）的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．30．(0分)[ID ：13827]在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．A3．A4．D5．B6．C7．A8．D9．B10．C11．D12．A13．A14．C15．A二、填空题16．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=218．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC中有由D是AB边的中点则有又因AC1BC2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算19．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有20．(42)【解析】【分析】以OC为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC为对角线作平行四边形则有所以在Rt△MO21．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】22．【解析】【分析】先对用表示并可将整理成关于的二次函数由余弦定理可解得即确定的范围进一步求得其最小值【详解】由题设由余弦定理得即整理后可得解得或（舍）当时取得最小值为故答案为【点睛】本题考查数量积的应23．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题24．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】根据平方运算可求得12a b ⋅=，利用cos ,a b a b a b ⋅<>=求得结果. 【详解】由题意可知：2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=，解得：12a b ⋅=1cos ,22a b a b a b⋅∴<>===本题正确选项：D 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.2．A解析：A 【解析】【分析】三边a ，b ，c 成等差数列，可得2b a c =+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，即sin sin 1A C +=，设cos cos A C m -=，平方相加即可得出．【详解】解：三边a ，b ，c 成等差数列， 2b a c ∴=+，利用正弦定理可得：2sin sin sin B A C =+，sin sin 2sin16A C π∴+==，设cos cos A C m -=，则平方相加可得：222cos()1A C m -+=+，22cos 11m B ∴=+=．故选：A ．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质、正弦定理、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解析：A 【解析】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A.【考点】三角函数的图像与性质【名师点睛】根据图像求解析式问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图像的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图像上的一个特殊点确定φ值．4．D解析：D 【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin cos 62x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos sin 62x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos cos sin 2222y x x x x ⎛⎫⎛⎫∴=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()221sin cos cos sin 24x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.5．B解析：B 【解析】22122cos ,sin cos 14sin sin ααααα==+=，()213cos 144sin αα∴-=-=，,cos sin 42ππααα<<∴-= B. 6．C解析：C 【解析】【分析】根据二倍角公式求得cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式求得结果. 【详解】1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 227cos 22cos 113699ππαα⎛⎫⎛⎫⇒+=+-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7cos 2cos 2sin 236269ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦7sin 269πα⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭本题正确选项：C 【点睛】本题考查二倍角公式、诱导公式的应用，关键是能够利用诱导公式将所求角与已知角联系起来.7．A解析：A 【解析】因为直线4x π=和54x π=是函数()()sin f x wx φ=+图像的两条相邻的对称轴，所以T=522π44ππ⎛⎫⨯-=⎪⎝⎭．所以ω=1，并且sin （4π+φ）与sin （54π+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=4π．故选：A ． 8．D【解析】【分析】根据向量的乘法运算展开,结合向量的数量积运算和夹角的有界性,即可求得最小值. 【详解】,,a b c 是单位向量()()a cbc ∴-⋅- 2·()b a a c c b =-+⋅+()01a b c =-+⋅+1,a b c =+1≥故选D 【点睛】本题考查了向量数量积的综合应用,向量夹角的应用,属于基础题.9．B解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意得，3cos sin 2sin()3yx x x，令,32x k k Z πππ+=+∈，可得函数的图象对称轴方程为,6x k k Z ππ=+∈，取0k =是y 轴右侧且距离y 轴最近的对称轴，因为将函数的图象向左平移()0m m >个长度单位后得到的图象关于y 轴对称，m 的最小值为6π，故选B ．考点：两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质．【方法点晴】本题主要考查了两角和与差的正弦函数及三角函数的图象与性质，将三角函数图象向左平移m 个单位，所得图象关于y 轴对称，求m 的最小值，着重考查了三角函数的化简、三角函数图象的对称性等知识的灵活应用，本题的解答中利用辅助角公式，化简得到函数2sin()3y x π=+,可取出函数的对称轴，确定距离y 最近的点，即可得到结论．10．C解析：C 【解析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=，即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．D解析：D 【解析】试题分析：11y x=-在区间()1,1-上为增函数；cos y x =在区间()1,1-上先增后减；()ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数；2x y -=在区间()1,1-上为减函数，选D.考点：函数增减性12．A解析：A 【解析】由题意得，因为()()2,2a b a b a b -⊥-⊥所以()()22220,220a b a a a b b a b b a b -⋅=-⋅=-⋅=-⋅=，即22222,2a a a b b ba b ==⋅==⋅，所以向量a 和b 的夹角为1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==⋅,又,[0,]a b π〈〉∈，所以,3a b π〈〉=，故选A.考点：向量的夹角公式及向量的数量积的运算.13．A解析：A 【解析】【分析】由tan A +tan B =tan A tan B ，推导出C ＝60°，由sin cos 4B B =，推导出A ＝60°或90°，从而得到△ABC 的形状．【详解】∵tan A +tan B =tan A tan B ，即tan A +tan B =1﹣tan A tan B ），∴1tanA tanBtanAtanB+=-tan （A +B ）=A 与B 都为三角形的内角，∴A +B ＝120°，即C ＝60°，∵sin cos B B =，∴sin2B =, ∴2B ＝60°或120°，则A =90°或60°. 由题意知90A ≠︒ ∴△ABC 等边三角形．故选A ．【点睛】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意两角和与差的正切函数及二倍角正弦公式的合理运用．14．C解析：C 【解析】【分析】由3cos 45x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式求得sin2cos 22x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的值．【详解】由题意可得3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴sin2cos 2cos 224x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2972cos 12142525x π⎛⎫=--=⨯-=- ⎪⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．15．A解析：A 【解析】【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.二、填空题16．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于解析：=4ω. 【解析】【分析】由所给函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得.【详解】由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.17．2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=2解析：2【解析】f(0)=0⇒cosφ=0∵0<φ<π∴φ=π2f(1)=0⇒cos(ω+π2)=0⇒sinω=0⇒ω=kπ(k ∈Z)∵0<2πω<2∴ω=π所以ωφ=218．【解析】【分析】如图所示利用向量的运算法则将向量和都用和来表示然后展开即可得出答案【详解】如图所示：在△ABC 中有由D 是AB 边的中点则有又因AC 1BC 2所以故答案为：【点睛】本题考查了向量的运算解析：32【解析】【分析】如图所示，利用向量的运算法则，将向量AB 和CD 都用CB 和CA 来表示，然后展开即可得出答案. 【详解】如图所示：在△ABC 中，有AB CB CA =-，由D 是AB 边的中点，则有CB CACD 2+=，又因AC =1，BC =2，所以()()()2222CB CA 113AB CD CB CA CB CA 212222+⋅=-⋅=-=-=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查了向量的运算法则的应用，能够把向量AB 和CD 进行有效的转化是解题的关键，属于一般难度的题.19．①④【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案【详解】因为是平面内互不平行的三个向量则由共面向量定理可得：共面时有且仅有一对有序实数对使得成立；则由①可化简为且共面可得有解析：①④ 【解析】【分析】利用共面向量定理以及共线向量的性质一一判断即可得出答案. 【详解】因为a b c ，，是平面内互不平行的三个向量，x ∈R ，则由共面向量定理可得：a b c ，，共面时，有且仅有一对有序实数对(),m n 使得c ma nb =+成立；则由①可化简为()()2c xa xb =-+-，且a bc ，，共面可得有序实数对()2,x x --有唯一解，即方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则①方程20ax bx c ++=不可能有两个不同的实数解正确；由①的分析可得方程20ax bx c ++=有唯一实数解，则②的说法方程20ax bx c ++=有实数解的充要条件是240b a c -⋅≥不正确；化简22220a x a bx b +⋅+=可得()20ax b+=，则()20ax b+=即得b xa =-，因为向量a b ，不共线，所以b xa =-无实数解，即方程22220a x a bx b +⋅+=无实数解，所以③不正确，④正确. 综上可得：①④正确. 故答案为：①④. 【点睛】本题考查了共面向量定理和共线向量的性质的应用，属于一般难度的题.20．(42)【解析】【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形由题中角度关系可得出；然后由向量加法的平行四边形法则得出则可得出进而得出答案【详解】如图所示以OC 为对角线作平行四边形则有所以在Rt △MO解析：(4,2) 【解析】【分析】以OC 为对角线作如图所示的平行四边形，由题中角度关系可得出||4||4,||2||2ON OA OM OB ====；然后由向量加法的平行四边形法则得出OC ON OM xOA yOB =+=+，则可得出4,2x y ==，进而得出答案()(),4,2x y =.【详解】如图所示，以OC 为对角线作平行四边形，则有MON 120∠︒=，MOC 90∠︒=，MCO NOC 30∠∠︒==，所以在Rt △MOC 中，由||23OC =OM OC tan 302︒==， ON MC 2OM 4===；由向量加法的平行四边形法则可得OC ON OM =+，又因OC xOA yOB =+，得出ON xOA =，OM yOB =，0,0x y >>，则有||||ON x OA =，||||OM y OB =，则由以上等式可解的4,2x y ==，所以()(),4,2x y =.故答案为：()4,2. 【点睛】本题考查了向量平行四边加法法则的应用，考查了特殊直角三角形边长的求解，属于一般难度的题.21．【解析】【分析】设把化简为考虑的几何意义即的最小值就是点到直线的距离由此可得结论【详解】设则因为所以点在直线上所以的最小值就是点到直线的距离因为的最大值为所以圆心到直线的距离为所以故答案为：【点睛】解析：3【解析】【分析】设AC AB λ=,把()f λ化简为CP ,考虑CP 的几何意义，即()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离，由此可得结论.【详解】设AC AB λ=,则()=f AP AB AP AC CP λλ=--=, 因为AC AB λ=，所以点C 在直线AB 上，所以()f λ的最小值就是点P 到直线AB 的距离.因为m 的最大值为43，所以圆心到直线AB 的距离为13，所以3AB =，故答案为：3. 【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确()fλ的几何意义及取到最值时的临界状态是求解的关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.22．【解析】【分析】先对用表示并可将整理成关于的二次函数由余弦定理可解得即确定的范围进一步求得其最小值【详解】由题设由余弦定理得即整理后可得解得或（舍）当时取得最小值为故答案为【点睛】本题考查数量积的应解析：2316【解析】【分析】先对DB 、DM 用AB 、DA 表示,并可将DB DM ⋅整理成关于DA 的二次函数,由余弦定理可解得4AC =,即确定DA 的范围,进一步求得其最小值【详解】由题,DB DA AB =+,12DM DA AM DA AB =+=+, ()222113322cos1202222DB DM DA AB DA AB DA AB DA AB DA DA ⎛⎫∴⋅=+⋅+=++⋅=++⨯⨯︒⎪⎝⎭22332322416DA DA DA ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭设AC x =,由余弦定理得,2222cos60BC x AB AB x =+-︒,即(222222cos 60x x =+-⋅⋅⋅︒,整理后可得2280x x --=,解得4x =或2x =-（舍）[]0,4DA ∴∈ ∴当34DA =时, DB DM ⋅取得最小值为2316故答案为2316【点睛】本题考查数量积的应用,考查余弦定理的应用,考查平面向量基本定理的应用,考查二次函数求最值,考查运算能力23．【解析】【分析】由可得的范围利用向量的夹角公式化简可得同理可得再利用即可得出的值【详解】化为故答案为：【点睛】本题考查向量的夹角公式数量积运算倍角公式考查逻辑推理能力和计算能力属于中档题解析：12-【解析】【分析】由(0,)απ∈，可得2α的范围．利用向量的夹角公式化简可得12αθ=，同理可得222βπθ=-，再利用123πθθ-=，即可得出sin 2αβ-的值．【详解】(0,)απ∈，∴(0,)22απ∈．1cos a c α=+，||(1cos a =+=||1c =，11cos cos cos ||||222cos a c a c αθ⋅+∴=====⋅+，12αθ∴=．(,2)βππ∈，∴(22βπ∈，)π，∴(0,)22βππ-∈．1cos b c β⋅=-，||(1cos b =-=21cos cos sin cos()222||||22cos b c b c ββπθ-∴=====--，222βπθ∴=-， 123πθθ-=，∴()2223αβππ--=，化为26αβπ-=-，1sinsin()262αβπ-=-=-．故答案为：12-．【点睛】本题考查向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．24．【解析】【分析】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角坐标系得出的方程为可设点的坐标为然后利用坐标计算出关于实数的表达式然后结合的取值范围得出的取值范围【详解】以点为坐标原点为轴的正方向建立平面直角解析：[]0,4【解析】【分析】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，得出BC 的方程为2y x =-，可设点M 的坐标为()(),210a a a --≤≤，然后利用坐标计算出AD AM ⋅关于实数a 的表达式，然后结合a 的取值范围得出AD AM ⋅的取值范围. 【详解】以点B 为坐标原点，AB 为x 轴的正方向建立平面直角坐标系xBy ，则点()30A -,、()0,0B 、()1,2C -、()3,2D -，BC 边所在直线的方程为2y x =-，设点(),2M a a -.()0,2AD =，()3,2AM a a =+-，4AD AM a ∴⋅=-，10a -≤≤，则044a ≤-≤，因此，AD AM ⋅的取值范围是[]0,4.故答案为：[]0,4. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围问题，可以引入参数来表示平面向量的数量积，也可以建立坐标系，将平面向量的数量积的取值范围转化为函数的值域来求解，考查运算求解能力，属于中等题.25．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定 3【解析】【分析】设DE x =，由已知结合余弦定理可求30ABD BDA ∠=∠=︒，而()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质，即可求出结果．【详解】设DE x =，1201BAD AB AD ∠=︒==，，ABD △中，由余弦定理可得，2221BD AB AD 2AB AD cos1201121132︒⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，3BD ∴=ABD ∆中，30ABD BDA ∠=∠=︒，AB BC AD CD ⊥⊥，()()AE BE AD DE BA AD DE ∴⋅=+⋅++22AD BA AD AD DE DE BA DE AD DE =⋅++⋅+⋅+⋅+223311cos 60101cos150022x x x x ︒︒=⨯⨯++-++⨯⨯++2322x x =-+ 221211616x ⎛=+≥ ⎝⎭，此时4DE x ==，【点睛】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．三、解答题 26．（Ⅰ）只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（Ⅰ）依次讨论①②成立，①③成立，②③成立，计算得到只有①②成立，得到答案. （Ⅱ）03x π≤≤得到52666x πππ≤+≤，得到函数值域. 【详解】（Ⅰ）由①可得，22ππωω=⇒=；由②得：6226k k πωπππωϕπϕπ+=+⇒=+-，k Z ∈；由③得，44m m πωπωϕπϕπ+=⇒=-，m Z ∈，220322633T πππππωω≥-=⇒≥⇒<≤；若①②成立，则2ω=，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若①③成立，则42m m πωπϕππ=-=-，m Z ∈，不合题意，若②③成立，则264k m ππωπωππ+-=-12()66m k ω⇒=--≥，,m k Z ∈，与③中的03ω<≤矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（Ⅱ）由题意得，5102()136662x x f x ππππ≤≤⇒≤+≤⇒≤≤，所以函数()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，对称轴，单调性，值域，表达式，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.27．（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-．（Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈．由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=，解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6．考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．28．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54．【解析】【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积．【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=，解得34m =-．所以()()223110BA =-+-=，13,44BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，104BC =，故ABC ∆的面积为110510244⨯⨯=．【点睛】本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．29．（1）y ＝4sinx ＋＋2；（2）6．【解析】试题分析：（1）由已知条件及正弦定理得到，AB ＝，从而得到周长y ＝4sinx ＋＋2，同时求出角x 的范围即可；（2）由两角差的正弦公式及辅助角公式将（1）中的函数解析式化为y ＝4sin （x ＋）＋2，并结合角x的范围求最值即可．试题解析：（1）△ABC 的内角和A ＋B ＋C ＝π，由A ＝，B ＞0，C ＞0，得0＜B ＜．应用正弦定理，得AC ＝·sinB ＝·sinx ＝4sinx ． AB ＝sinC ＝．∵y ＝AB ＋BC ＋CA ， ∴y ＝4sinx ＋＋2．（2）y ＝4（sinx ＋cosx ＋sinx ）＋2＝4sin （x ＋）＋2．∵＜x ＋＜， ∴当x ＋＝，即x ＝时，y 取得最大值6．考点：①求解析式；②三角函数求最值．30．（123；（2）5. 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可以得到sin sin BD ABA ADB=∠∠，根据题设条件，求得2sin 5ADB ∠=，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得223cos 1255ADB ∠=-=（2）根据题设条件以及第一问的结论可以求得2cos sin BDC ADB ∠=∠=，之后在BCD ∆中，用余弦定理得到BC 所满足的关系，从而求得结果. 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<，所以223cos 1255ADB ∠=-=；（2）由题设及（1）知，2cos sin BDC ADB ∠=∠= 在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 2582522255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=. 所以5BC =.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果.。

上海市2023-2024学年高二下学期期中考试数学(A卷)含答案

2023学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（A ）（答案在最后）时间:120分钟满分:150分注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则[]D X =_________.2.8位选手参加射击比赛，最终的成绩(环数)分别为42,38,45,43,41,47,44,46，这组数据的第75百分位数是_________.参考表格:3.在一个22⨯列联表中，通过数据计算28.325χ=，则这两个变量间有关的可能性为________．参考表格：()20P x χ≥0.050.0250.0100.0010x 3.841 5.024 6.63510.8284.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是________.5.某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有90%的可能性能做对，没思路的有25%的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.6.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的月销售额y （单位：百万元）与月份x 具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为 4.23ˆy x =+，则该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为______百万元.7.今天星期三，再过1天是星期四，那么再过20242天是星期_________.8.已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=________．（用数字作答）9.双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线()2222:10x yC a ba b-=>，，如图从C的一个焦点F射出的光线，经过P Q，两点反射后，分别经过点M和N.若12cos13PM PQ PM PQ PQN∠+=-=-，，则C的离心率为_________. 10.函数()11,03ln,0x xf xx x⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若方程()0f x ax-=恰有3个根，则实数a的取值范围为______.11.一只蜜蜂从蜂房A出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房A只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房........此类推，用na表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数.设集合{}232025S a a a=，，，，集合B是集合S的非空子集，则B中所有元素之和为奇数的概率为________.12.现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每远4分，第15-16题每题5分，满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置，将正确选项用2B铅笔涂黑.13.要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A.某城市居民3月份人均网上购物的次数B.某品牌新能源汽车最大续航里程C.检测一批灯泡的使用寿命D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间14.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A.123r r r >>B.231r r r >>C.132r r r >>D.321r r r >>15.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布2(38,7)N ，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布2(44,2)N ，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若2()~(,)P Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=A .若8:00出门，则开私家车不会迟到B.若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大D.若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到16.n S 是数列{}n a 前n 项和，11243,41n n a a a n +==--，给出以下两个命题:命题211212:2n p a a a a a a n n +++=+ ；命题q :对任意正整数n ，不等式()ln 21n S n n >++恒成立.下列说法正确的是（）A.命题p q 、都是真命题B.命题p 为真命题，命题q 为假命题C.命题p 为假命题，命题q 为真命题D.命题p q 、都是假命题三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积．18.已知函数2()6ln(1),f x ax x a =-+为常数.（1）若()y f x =在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点;（2）若()y f x =在[]23，上是增函数，求实数a 的取值范围.19.本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.（1）若数据分布均匀，记随机变量X 为各区间中点所代表的身高，写出X 的分布列及期望.（2）现从身高在区间[)170,190的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间[)170,180中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[)180,190中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.20.已知椭圆()22:11x C y t t+=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线():0l y kx m m =+≠与椭圆C 交于M N 、两点(M 点在N 点的上方)，与y 轴交于点E .（1）当3t =时，点A 为椭圆C 上除顶点外任一点，求12AF F △的周长;（2）当4t =且直线l 过点()10D -，时，设EM DM EN DN λμ== ，，求证:λμ+为定值，并求出该值;（3）若椭圆C 的离心率为223，当k 为何值时，22OM ON +恒为定值;并求此时MON △面积的最大值.21.对于有穷数列()12,,,3m a a a m ≥ ，若存在等差数列{}n b ，使得11221m m m b a b a b a b +≤<≤<<≤< ，则称数列{}n a 是一个长为m 的“弱等差数列”.（1）证明:数列124，，是“弱等差数列”;（2）设函数()sin f x x x =，()f x 在()0,2024内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,m a a a ，证明：12,,,m a a a 是“弱等差数列”;（3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.2023学年第二学期高二年级数学期中考试试卷（A ）时间:120分钟满分:150分注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设随机变量X 服从二项分布19,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则[]D X =_________.【答案】2【解析】【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算得解.【详解】依题意，11[]9(1)233D X =⨯⨯-=.故答案为：22.8位选手参加射击比赛，最终的成绩(环数)分别为42,38,45,43,41,47,44,46，这组数据的第75百分位数是_________.参考表格:【答案】45.5【解析】【分析】先排序，再由875%6⨯=，可取第6和第7个数之和的一半即可得解.【详解】先排序可得38,41,42,43,44,45,46,47，由875%6⨯=，所以第75百分位数是454645.52+=.故答案为：45.53.在一个22⨯列联表中，通过数据计算28.325χ=，则这两个变量间有关的可能性为________．参考表格：()20P x χ≥0.050.0250.0100.0010x 3.841 5.024 6.63510.828【答案】99%##0.99【解析】【分析】根据独立性检验的知识确定正确答案.【详解】由于28.325 6.635χ=>，所以两个变量之间有关系的可能性为99%.故答案为：99%4.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是________.【答案】21y x =-【解析】【分析】求出函数的导函数，把1x =代入即可得到切线的斜率，然后根据(1,1)和斜率写出切线的方程即可.【详解】解：由函数ln y x x =+知1'1y x=+，把1x =代入'y 得到切线的斜率112k =+=则切线方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-.故答案为：21y x =-【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．5.某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有90%的可能性能做对，没思路的有25%的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.【答案】5980【解析】【分析】根据全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示“考生答对”，设事件B 表示“考生选到有思路的题”则小明从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：3159()()()()(0.90.254480P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=∣∣.故答案为：5980.6.“守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的月销售额y （单位：百万元）与月份x 具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为 4.23ˆyx =+，则该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为______百万元.【答案】225【解析】【分析】根据样本中心点()x y 在回归直线上的性质，先计算出x ，代入回归方程求得y ，再用y 代表月平均销售额，即可算得总销售额.【详解】依题意，89101112105x ++++==，因样本中心点()x y 在回归直线上，代入得：4.210345y =⨯+=，所以该国货品牌2023年8-12月在D 网络平台的总销售额为545225⨯=百万元.故答案为：225.7.今天星期三，再过1天是星期四，那么再过20242天是星期_________.【答案】天(或日)【解析】【分析】首先由67432642026474724284(71)⨯+==⨯=+，再利用二项展开式即可得解.【详解】由()()6742024674326740674167367467467467422484714C 7C 7C ⨯+==⨯=+=⋅+⋅++ ()067416736736746746744C 7C 7C 74=⋅+⋅+⋅+ ，所以20242除7余4，所以再过20242天是星期天.故答案为：天（或日）.8.已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=________．（用数字作答）【答案】15【解析】【分析】根据条件，两边求导得到12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，再取=1x -，即可求出结果.【详解】因为52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，两边求导可得12342345415(23)2345x a a x a x a x a x +=++++，令=1x -，得到23454115(23)2345a a a a a -=-+-+，即12345234515a a a a a -+-+=，故答案为：15.9.双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线()2222:10x y C a b a b-=>，，如图从C 的一个焦点F 射出的光线，经过P Q ，两点反射后，分别经过点M 和N .若12cos 13PM PQ PM PQ PQN ∠+=-=- ，，则C 的离心率为_________.【答案】3【解析】【分析】作出MP ,QN 的反向延长线交于双曲线的左焦点1F ,由已知可得PM PQ ⊥ ，112cos 13PQF ∠=，设1||13||12,F Q t PQ t ==，可得||2,23,PF t a t ==由勾股定理可求得1||,F F =进而可求C 的离心率.【详解】由双曲线的光学性质可知MP ,QN 的反向延长线交于双曲线的左焦点1F ,如图所示：由||||PM PQ PM PQ +=- ,两边平方可得222222PM PM PQ PQ PM PM PQ PQ ++=-+ ,所以0PM PQ = ，所以PM PQ ⊥ ，所以190∠=︒F PF ，又12cos 13PQN ∠=-，所以112cos 13PQF ∠=，设1||13||12,F Q t PQ t ==，则1||5PF t =，设||FQ m =，则||12FP t m =-，根据双曲线定义，可得11||||||||2PF PF QF QF a -=-=，所以5(12)132t t m t m a --=-=，解得10m t =，所以||2,23,PF t a t ==在1Rt F PF 中，222211||||||29,F F PF PF t =+=所以1||,F F =所以C的离心率为3c e a ==.故答案为：3.10.函数()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若方程()0f x ax -=恰有3个根，则实数a 的取值范围为______.【答案】11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】画出()11,03ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩的图象,再分析()y f x =与直线y ax =的交点个数即可.【详解】画出函数()f x 的图象,如图所示：由题意可知0a >，先求y ax =与ln y x =相切时的情况，由图可得此时ln y x =,1y x'=设切点为()00,ln x x ,则0001ln a x x ax ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得0e x =,1e a =，此时直线e x y =，此时直线e x y =与()y f x =只有两个公共点，所以1e a <，又斜率11e 3>，又当13a =时13y x =与11,(0)3y x x =+≤平行，13y x =与()y f x =有三个公共点，而当13a <，直线y ax =与()y f x =有四个交点，故11,3e a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.一只蜜蜂从蜂房A 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房A 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房........此类推，用n a 表示蜜蜂爬到n 号蜂房的方法数.设集合{}232025S a a a = ，，，，集合B 是集合S 的非空子集，则B 中所有元素之和为奇数的概率为________.【答案】20232024221-【解析】【分析】根据题意，得到数列{}n a 满足12n n n a a a --=+，求得在{}232025S a a a = ，，，偶数项共有675项，奇数项为1349项，得到S 中有202421-的非空子集，以及B 中所有元素之和为奇数的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意知，该蜜蜂爬到1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，，则第n 号蜂房的路线数为12(3,N )n n n a a a n n *--=+≥∈，所以54575686713,21,34,a a a a a a a a a =+==+==+= ，即数列{}n a 为1,2,3,5,8,13,21,34, ，其中25811,,,,a a a a 为偶数，所以在{}232025S a a a = ，，，偶数项共有675项，奇数项为1349项，又由{}232025S a a a = ，，，，可得S 中有202421-的非空子集，若B 中元素之和为奇数，则B 中的奇数共有奇数个，偶数可以随意，所以满足条件的B 的个数为：01267513134867513482023675675675675134913491349(C C C C )(C C C )222+++++++=⋅= ，所以B 中所有元素之和为奇数的概率为20232024221P =-.故答案为：20232024221-.12.现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.【答案】256693【解析】【分析】直接根据圆排列及古典概型计算.【详解】依题意，环排列有：11111108642C C C C C 3840⋅⋅⋅⋅=种,总的连接方式有：22222121086466C C C C C 66452815610395A 720⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯⨯==种，所以恰好能围成一个圈的概率为384025610395693P ==.故答案为：256693.二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每远4分，第15-16题每题5分，满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置，将正确选项用2B 铅笔涂黑.13.要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（）A.某城市居民3月份人均网上购物的次数B.某品牌新能源汽车最大续航里程C.检测一批灯泡的使用寿命D.调查一个班级学生每周的体育锻炼时间【答案】D 【解析】【分析】结合普查和抽查的适用条件即可求解.【详解】A ，B 选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；C 选项的检测具有毁损性，适合抽查；D 选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，故选：D.14.对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（）A.123r r r >>B.231r r r >>C.132r r r >>D.321r r r >>【答案】C 【解析】【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，故10r >；第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，故23,0r r <，且23r r >，故230r r <<，综合可得231r r r <<，即132r r r >>，故选：C15.江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布2(38,7)N ，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布2(44,2)N ，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（）参考数据：若2()~(,)P Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=A.若8:00出门，则开私家车不会迟到B.若8:02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大C.若8:06出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大D.若8:12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到【答案】D 【解析】【分析】对于A ，由(59)0.0013P Z ≥=即可判断；对于BC ，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D ，计算(38)0.0013P Z ≤=即可判断【详解】对于A ，当满足1(1759)10.9974(59)0.001322P Z P Z -<≤-≥===时，江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A 错误；对于B ，若8:02出门，①江先生开私家车，当满足1(2452)(52)(2452)0.97722P Z P Z P Z -<<≤=+<<=时，此时江先生开私家车不会迟到；②江先生乘坐地铁，当满足()()().1P 40Z 48P Z 48P 40Z 48097722-<<≤=+<<=时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B 错误；对于C ，若8:06出门，①江先生开私家车，当满足1(3145)(48)(45)(3145)0.84132P Z P Z P Z P Z -<<≤>≤=+<<=时，此时江先生开私家车不会迟到；②江先生乘坐地铁，当满足().1P Z 44052≤==时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C 错误；对于D ，若8:12出门，江先生乘坐地铁上班，当满足()().1P 38Z 50P Z 38000132-<<≤==时，江先生乘坐地铁不会迟到，此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解.16.n S 是数列{}n a 前n 项和，11243,41n n a a a n +==--，给出以下两个命题:命题211212:2n p a a a a a a n n +++=+ ；命题q :对任意正整数n ，不等式()ln 21n S n n >++恒成立.下列说法正确的是（）A.命题p q 、都是真命题B.命题p 为真命题，命题q 为假命题C.命题p 为假命题，命题q 为真命题D.命题p q 、都是假命题【答案】A 【解析】【分析】由题意可求出12n a a a 的表达式，利用等差数列的求和公式可判断命题p ；证明出当01x <≤时，ln 1≤-x x ，可得出212ln2121n n n +≤--，再结合放缩法可判断命题q .【详解】因为()()11244223,4121212121n n n n a a a a a n n n n n +⎛⎫==-=-=-- ⎪--+-+⎝⎭，所以()12221121n n a a n n +-=-+--，所以，数列221n a n ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为常数列，则122121n a a n -=-=-，所以22112121n n a n n +=+=--；所以123521211321n n a a a n n +=⨯⨯⨯=+- ，令21n b n =+，则12n n b b +-=，所以数列{}n b 为首项为3，公差为2的等差数列，因此()()2112123213572122n n n a a a a a a n n n +++++=+++++=+ ，即命题p 正确；设()1ln x x x ϕ=--，其中01x <≤，则()111xx x xϕ'-=-=，当01x <<时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减，则()()10x ϕϕ≥=，即ln 1≤-x x ，当且仅当1x =时，等号成立，所以21212ln1212121n n n n n ++<-=---，即2235212ln ln ln 3211321n n S n n n n +⎛⎫=++++>++++ ⎪--⎝⎭ ，则()3521ln ln 211321n n S n n n n +⎛⎫=+⨯⨯⨯=++ ⎪-⎝⎭，所以命题q 正确.故选：A.三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点．（1）求异面直线EF 与BC 所成的角；（2）求三棱锥11C B D F -的体积．【答案】（1）arccos 3.（2）43.【解析】【分析】（1）分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线EF 与BC 所成的角．（2）先求出11C B D S ，再由向量法求出点F 到平面11D B C 的距离，由此根据1111C B D F F B D C V V --=即可求出三棱锥11C B D F -的体积．【小问1详解】以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，∵在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为线段1,DD BD 的中点，∴(0,0,1),(1,1,0),(2,2,0),(0,2,0)E F B C ，∴(1,1,1),(2,0,0)EF BC =-=-，设异面直线EF 与BC 所成的角为π,(0]2θθ∈，，则|||2|3cos cos ,|3||||32|EF BC EF BC EF BC θ⋅=〈〉==⋅⨯，∴异面直线EF 与BC 所成的角为3arccos 3．【小问2详解】∵在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，11112B D B C D C ===,∴111322222322B DC S ⨯== ∵112,2,2),0,0,2),(0,2,0),(1,1,0)((B D C F ，∴1111(2,20),(0,22),(1,1,2)D B D D C F ==-=-，，，设平面11D B C 的法向量(,,)n x y z =，则1110n D B n D C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴220220x y y z +=⎧⎨-=⎩，令1x =，则可取(1,1,1)n =--r ，∴点F 到平面11D B C 的距离1||33||3n D F d n ⋅== ，∴三棱锥11C B D F -的体积11111111234233333C BD F F B D C B D C V V S d --==⨯=⨯⨯= .18.已知函数2()6ln(1),f x ax x a =-+为常数.（1）若()y f x =在1x =处有极值，求a 的值并判断1x =是极大值点还是极小值点;（2）若()y f x =在[]23，上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】（1）32a =；1x =是()y f x =的极小值点（2）实数a 的取值范围为)1,2∞⎡+⎢⎣【解析】【分析】（1）先根据函数在1x =处有极值求出a 的值，将a 值代入原函数求导进行判断函数在1x =左右的导函数正负号即可得到结果；（2）()y f x =在[]23，上是增函数，转化成()0f x '≥在[]23x ∈，恒成立，进而分离参数转化成23a x x≥+在[]23x ∈，恒成立进行求解即可得到结果.【小问1详解】()f x 的定义域为[)1,∞-+，则6()21f x ax x-'=+；由题意，()y f x =在1x =处有极值，即()01f '=，即230a -=；∴32a =；∴63(2)(1)()311x x f x x x x+-=-'=++，∴当1x >时，()0f x '>，()f x 为增函数；当11x -<<时，()0f x '<，()f x 为减函数；∴1x =是()y f x =的极小值点.【小问2详解】∵()y f x =在[]23，上是增函数，∴()0f x '≥在[]23x ∈，恒成立，即有6201ax x-≥+，23a x x ∴≥+在[]23x ∈，恒成立，只需求2max3a x x ⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭；[]23x ∈ ，，[]22116,1224x x x ⎛⎫∴+=+-∈ ⎪⎝⎭，2311,42x x ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦；12a ∴≥，∴a 的取值范围为)1,2∞⎡+⎢⎣.19.本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.（1）若数据分布均匀，记随机变量X 为各区间中点所代表的身高，写出X 的分布列及期望.（2）现从身高在区间[)170,190的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间[)170,180中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间[)180,190中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.【答案】（1）分布列见详解，期望为171.7（2）27.25【解析】【分析】（1）依据分布列和期望的定义即可求得X 的分布列及期望；（2）依据方差的定义去求这160人的方差.【小问1详解】由(0.0270.0250.0220.010.001)101x +++++⨯=，解得0.015x =，所以X 的分布列为：X155165175185195205P0.220.270.250.150.10.01()0.221550.271650.251750.151850.11950.01205171.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由于身高在区间[)170,180，[)180,190的人数之比为5:3，所以分层抽样抽取160人，区间[)170,180，[)180,190内抽取的人数分别为100人与60人.在区间[)170,180中抽取的100个样本的均值为176，方差为10，即176x =，2110s =，在区间[)180,190中抽取的60个样本的均值为184，方差为16，即184y =，2216s =，所以这160人身高的均值为10017660184179160z ⨯+⨯==，从而这160人身高的方差为2s 22221210060()()160100s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦221006010(176179)16(184179)27.25160160⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦，因此这160人身高的方差为27.25.20.已知椭圆()22:11x C y t t+=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线():0l y kx m m =+≠与椭圆C 交于M N 、两点(M 点在N 点的上方)，与y 轴交于点E .（1）当3t =时，点A 为椭圆C 上除顶点外任一点，求12AF F △的周长;（2）当4t =且直线l 过点()10D -，时，设EM DM EN DN λμ==，，求证:λμ+为定值，并求出该值;（3）若椭圆C 的离心率为223，当k 为何值时，22OM ON +恒为定值;并求此时MON △面积的最大值.【答案】（1）（2）83（3）32【解析】【分析】（1）根据椭圆定义求解三角形周长；（2）联立:(0)l y kx m m =+≠与22:19x C y +=，得到两根之和两根之积，由,EM DM EN DN λμ== 得到121211x x x x λμ+=+++，结合两根之和，两根之积求出答案；（3）先由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出()()()2222222919121691k m k OM ON k -+++=+⨯+，结合22||||OM ON +为定值得到13k =±，并求出此时MN ，和点O 到直线l 的距离d ，利用基本不等式得到32MON S ≤.【小问1详解】当3t =时，椭圆方程为22:13x C y +=，故a =c =，由椭圆定义可得，12AF F △的周长为22a c +=；【小问2详解】4t =时，椭圆方程为22:14x C y +=，故联立:(0)l y kx m m =+≠与22:14x C y +=可得，()222418440k x kmx m +++-=设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222844,4141km m x x x x k k --+==++，因为直线l 过点()10D -，，所以0k m =-+，即k m =，所以22121222844,4141k k x x x x k k --+==++因为()10D -，，设()0,E E y ，所以()11,E x EM y y =- ，()111,D x M y =+ ，()22,E x EN y y =- ，()221,x DN y =+ ，又因为,EM DM EN DN λμ== ，所以()()11221,1x x x x λμ=+=+，所以111x x λ=+，221x x μ=+，所以121212*********x x x x x x x x x x λμ+++=+=-+++++222222841844413224218231k k k k k k +=--=+--+++=++，所以λμ+为定值83.【小问3详解】由题意得3=，解得9t =，椭圆方程2219x y +=，联立2299y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消元得()2229118990k x kmx m +++-=，当()()2222Δ324369110k m k m =-+->，即22910k m -+>时，设()()1122,,,M x y N x y ，则1221891km x x k -+=+，21229991m x x k -⋅=+，又因为M 、N 在椭圆上，则121219y x =-，222219y x =-，则22222212121199x x OM ON x x +=+-++-()()2221112222228899x x x x x x ⎡⎤=++=+-⋅⎣+⎦()()()()()2222222222299191912162169191k m m k k m k k k ⎡⎤-++-++⎢⎥=+=+⨯⎢⎥++⎣⎦当22OM ON +为定值时，即与2m 无关，故2910k -=，得13k =±，此时219MN k ===+又点O 到直线l的距离d ==所以12MON S d MN =⨯⨯=△()222333322222m m +-==≤⋅=，当且仅当m =1m =±时，等号成立，因为2291k m ∆=-+，经检验，此时Δ0>成立，所以MON △面积的最大值为32.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．21.对于有穷数列()12,,,3m a a a m ≥ ，若存在等差数列{}n b ，使得11221m m m b a b a b a b +≤<≤<<≤< ，则称数列{}n a 是一个长为m 的“弱等差数列”.（1）证明:数列124，，是“弱等差数列”;（2）设函数()sin f x x x =，()f x 在()0,2024内的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,m a a a ，证明：12,,,m a a a 是“弱等差数列”;（3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）找到一个符合条件的数列{}n b 即可证明；（2）令()0f x '=得到极值点符合的等式关系，即为y x =-和tan y x =图象交点的横坐标，再结合二者图象的特点找到交点的位置，确定数列{}n b 即可证明；（3）先构造一个等比数列{}n a ，其通项公式为()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，证明存在一个正整数k ，使其为长为2024的“弱等差数列”即可.【小问1详解】存在数列21125,,3,366是等差数列，且211251234366<<<<<<，所以数列124，，是“弱等差数列”.【小问2详解】()sin cos f x x x x +'=，令()0f x '=得tan x x -=，所以极值点即为y x =-和tan y x =图象交点的横坐标，由y x =-和tan y x =在()0,∞+内的图象可知，在每个周期都有一个交点，所以令12n n b -=π，则1n n n b a b +<<，所以12,,,m a a a 是“弱等差数列”.【小问3详解】构造正整数等比数列{}n a ，()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，其中k 是待定正整数，下面证明：存在正整数k ，使得等比数列{}n a 是长为2024的“弱等差数列”.取20242024202320231,1,b a b a =-=-若存在这样的正整数k 使得()()()()2202220232023202220211232023202420251111b k b k k b k k b k k b k b ≤<≤+<≤+<<≤+<≤+< 成立，所以()()()2023202220222024202320242023111d b b a a k k k k =-=-=+-+=+，由()()1202411,2,,2024n n n a k k n --=+= ，得()()()()112022202412024202311111n n n n n n n n a a k k k k k k k d ------+-=+-+=+<+=，于是()()()202420232024120242024n n n n a a a a a a b n d b -=+-++->--= ()12023n ≤≤，又因为2024202420241b a a =-<，所以当1,2,,2024n = 时，<n n b a ，而()()()1211211n n n n a a a a a a b n d b -+=+-++-<+-= ，所以1122202420242025b a b a b a b ≤<≤<<≤< ，最后说明存在正整数k 使得12a b <，由()()()()()202320222022122024202211211320241m b b d k m k k k k -=-=+---+=++-->，上式对于充分大的k 成立，即总存在满足条件的正整数k .所以，存在长为2024的“弱等差数列”{}n a ，且{}n a 是等比数列.【点睛】思路点睛：新定义题目解题策略：（1）依据新定义取特殊值证明其成立；（2）如果有多个条件，先假设符合其中一个条件，再证明其余的条件也符合.。

上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学

上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学满分：100分完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ；正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（）（A ）相交（B ）平行（C ）重合（D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（）（A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ）不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（）（A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点（C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求（1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分）（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。

上海市南汇中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题

(4) - f (2) 4-2
=
42
- 22 2
=
6．
故答案为：6．
6． arctan1 【分析】两直线的夹角的可由两直线的倾斜角表示，根据倾斜角和斜率的关系，用两角差的正切公式可得.
【详解】
如图，设 3x - y +1 = 0 的倾斜角为a ，则 tana =3 ，
设
x
-
2y
+
3
=
0
的倾斜角为
b
上海市南汇中学 2022-2023 学年高二下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．直线 x - 3y +1 = 0 的倾斜角为_________．
2．抛物线 y2 = -x 的准线方程为______．
( ) 8．设
P
是椭圆
C
:
x a
2 2
+
y2 6
=焦点， PF 的最小值为
2 ，则椭圆 C 的长轴长为______． 9．已知 F1 ， F2 为双曲线 C : x2 - y2 = 1 的左、右焦点，点 P 在双曲线 C 上， PF1 = 2 PF2 ，
则 cos ÐF1PF2 = ______． 10．已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点， AB = 10 ，P 为 C 的准线上一点，则VABP 的面积为______． 11．在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l : y = kx + 8 上存在点 P，过点 P 作圆
=
22 + 42 - 2 2´ 2´ 4

2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷及答案解析

2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷一．填空题（共12小题）1．（2021春•浦东新区校级期中）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的．2．（2021春•普陀区校级期中）圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径大小为．3．（2021春•浦东新区校级期中）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有种不同的选法（结果用数字作答）．4．（2020秋•杨浦区期末）若直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，则实数m ＝．5．（2021春•金山区校级期中）已知a、b、c为不重合的三条直线，且a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是．6．（2017秋•延安期末）已知球的直径为4，则该球的表面积积为．7．（2019•南通模拟）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则﹣z2＝．8．（2021秋•南开区校级月考）若复数z满足（3+4i）z＝1+i，则|z|＝．9．（2016秋•无锡期末）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1＝2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．10．（2021秋•宝山区校级月考）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得的旋转体的表面积．11．（2008•扬州二模）设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则有d1+d2+d3+d4为定值．12．如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z的对应点组成图形的面积是．二．选择题（共4小题）13．（2021•浦东新区校级三模）已知z∈C，则“z2＝﹣|z|2”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（2021•自贡模拟）已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中错误的是（）A．AE⊥平面PABB．直线PD与平面ABC所成角为45°C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行D．直线CD与PB所成的角的余弦值为15．（2021春•徐汇区校级期中）已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行16．（2015春•上饶期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB 和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．其中正确的结论是（）A．①B．②③C．①④D．②④三．解答题（共5小题）17．（2020春•威宁县期末）已知复数z＝（m∈R，i是虚数单位）．（Ⅰ）若z是纯虚数，求实数m的值；（Ⅱ）设是z的共轭复数，复数﹣2z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．18．（2021春•万宁校级期中）如图，在棱长为1的正方体中，求：（1）直线A1B与B1C所成的角的大小；（2）直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值．19．（2020春•闵行区校级期中）已知关于x的实系数一元二次方程x2+4x+p＝0的两个虚根是x1、x2．（1）若|x1|＝5，求p的值；（2）若|x1﹣x2|＝2，求p的值．20．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA＝，直角梯形ABEF中，BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF ⊥平面ABCD．（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．21．（2021秋•杨浦区校级期中）已知三棱锥P﹣ABC中，（1）若PB＝PC＝BC＝AB＝AC＝2，且二面角P﹣BC﹣A为60°，求三棱锥P﹣ABC 体积．（2）若AB＝1，BC＝2，∠ABC＝，△PBA≌△CBA，面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，当PC与DQ所成角取得最小值时，求线段AQ的长度．2022-2023学年上海市高二下期中考试数学模拟试卷参考答案与试题解析一．填空题（共12小题）1．（2021春•浦东新区校级期中）“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．【考点】直线与平面垂直；充分条件、必要条件、充要条件．【专题】阅读型．【分析】直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线，最后根据“若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件”可得结论．【解答】解：直线l垂直于平面α内的无数条直线，若无数条直线是平行线，则l与α不一定平行，如果l⊥α，根据线面垂直的性质可知直线l垂直于平面α内的无数条直线．故“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．2．（2021春•普陀区校级期中）圆x2+y2﹣2x﹣3＝0的半径大小为2．【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．【分析】已知能求出圆的标准方程，即可求解圆的半径．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣3＝0化为标准方程为（x﹣1）2+y2＝4，圆的半径为2．故答案为：2．【点评】本题考查圆的一般方程与标准方程的互化，圆的半径的求法，是基础题．3．（2021春•浦东新区校级期中）从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，共有10种不同的选法（结果用数字作答）．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；排列组合；数学运算．【分析】根据题意，由组合数公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，从a、b、c、d、e五个字母中任选三个，是组合问题，有C53＝10种选法，故答案为：10．【点评】本题考查组合数公式的应用，注意组合、排列的不同，属于基础题．4．（2020秋•杨浦区期末）若直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，则实数m＝6．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．【分析】由题意利用两条直线垂直的性质，求出m的值．【解答】解：∵直线l1：2x+my+1＝0与l2：y＝3x﹣1互相垂直，∴2×3+m×（﹣1）＝0，求得实数m＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查两条直线垂直的性质，属于基础题．5．（2021春•金山区校级期中）已知a、b、c为不重合的三条直线，且a∥c，b∥c，则a与b的位置关系是平行．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算．【分析】利用平行公理进行判断．【解答】解：a、b、c为不重合的三条直线，且a∥c，b∥c，则由平行公理得a与b的位置关系是平行．故答案为：平行．【点评】本题考查两直线位置关系的判断，考查平行公理等等基础知识，考查推理论证能力，是基础题．6．（2017秋•延安期末）已知球的直径为4，则该球的表面积积为16π．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】直接利用球的表面积公式求解即可．【解答】解：球的直径为4，球的半径为：2，球的表面积为：4π×22＝16π．故答案为：16π．【点评】本题考查球的表面积的求法，是基础题．7．（2019•南通模拟）已知复数z＝1﹣i（i为虚数单位），则﹣z2＝1+3i．【考点】复数的运算．【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z＝1﹣i（i为虚数单位），∴﹣z2＝﹣（1﹣i）2＝﹣（1﹣2i+i2）＝1+i﹣（﹣2i）＝1+3i．故答案为：1+3i．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．8．（2021秋•南开区校级月考）若复数z满足（3+4i）z＝1+i，则|z|＝．【考点】复数的模．【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及求复数模的公式，求解即可．【解答】解：∵（3+4i）z＝1+i，∴z＝＝，∴|z|＝．故答案为：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，以及复数的模，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．9．（2016秋•无锡期末）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，若AA1＝2AB，则异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；空间角．【分析】由CC1∥BB1，知∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，由此能求出异面直线BD1与CC1所成角的正切值．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CC1∥BB1，∴∠B1BD1是异面直线BD1与CC1所成角，设AA 1＝2AB＝2，则B1D1＝，BB1＝2，∴tan∠B1BD1＝＝．∴异面直线BD1与CC1所成角的正切值为．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．（2021秋•宝山区校级月考）以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得的旋转体的表面积．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】转化思想；定义法；立体几何；逻辑推理；数学运算．【分析】先确定旋转一周所得的几何体是两个同底的圆锥，然后确定圆锥的底面半径，由圆柱的表面积公式求解即可．【解答】解：以边长为1的正三角形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周所得的旋转体为两个同底的圆锥，该圆锥的底面半径为正三角形的高，即r＝，所以旋转体的表面积为S＝2×＝．故答案为：．【点评】本题考查了空间旋转体的理解与应用，圆锥的侧面展开图的理解与应用，圆锥表面积公式的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11．（2008•扬州二模）设等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD的棱长为a，P是正四面体ABCD内的任意一点，且P到四个面ABC、ABD、ACD、BCD的距离分别为d1，d2，d3，d4，则有d1+d2+d3+d4为定值a．【考点】类比推理．【专题】探究型．【分析】这是一个升维类比，线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积即可．【解答】解：由于等边△ABC的边长为a，P是△ABC内的任意一点，且P到三边AB，BC，CA的距离分别为d1，d2，d3，则有d1+d2+d3为定值；证明如下：如图，△ABC是等边三角形，点P是等边三角形内部任一点．S△APB＝a•PE，S△CPB＝a•PE，S△APC＝a•PG，+S△CPB+S△APC＝a•PE+a•PF+a•PG，于是S△APB即a•PE+a•PF+a•PG＝S，PE+PF+PG＝，为定值．即d1+d2+d3＝，为定值．由线类比为面，点到直线的距离类比为点到平面的距离，面积类比为体积得到：有d1+d2+d3+d4为定值a．故答案为：a．【点评】升维类比是一种比较重要的类比方式，要掌握好其类比规则，对于类比还有一点要注意，那就是类比的结论不一定是正确的12．如果复数z的模不大于1，而z的虚部的绝对值不小于，则复平面内复数z的对应点组成图形的面积是．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；数系的扩充和复数．【分析】设z＝x+yi（x，y∈R），则|z|≤1，且|b|，画出图形，由扇形面积减去三角形面积求解．【解答】解：设z＝x+yi（x，y∈R），则|z|≤1，且|b|，如图：由图可知，，∴复平面内复数z的对应点组成图形的面积是．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查数形结合的解题思想方法，考查扇形面积的求法，是中档题．二．选择题（共4小题）13．（2021•浦东新区校级三模）已知z∈C，则“z2＝﹣|z|2”是“z为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件；虚数单位i、复数．【专题】计算题；转化思想；定义法；简易逻辑；数学运算．【分析】由充分必要条件的判断方法，结合复数为纯虚数的条件判断即可．【解答】解：①对于复数z，若z2＝﹣|z|2，z不一定为纯虚数，可以为0，∴充分性不成立，②若z为纯虚数，设z＝bi（b∈R，且b≠0），∵z2＝﹣b2，﹣|z|2＝﹣b2，∴z2＝﹣|z|2，∴必要性成立，∴z2＝﹣|z|2是z为纯虚数的必要非充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．14．（2021•自贡模拟）已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列命题中错误的是（）A．AE⊥平面PABB．直线PD与平面ABC所成角为45°C．平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行D．直线CD与PB所成的角的余弦值为【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．【分析】对于A，推导出AE⊥PA，AE⊥AB，从而PE⊥平面PAB；对于B，推导出PA⊥AD，PA＝AD，从而∠PDA＝45°是直线PD与平面ABC所成角；对于C，由EF∥AD ∥BC，得平面PBC与平面PEF的交线与直线AD平行；对于D，由CD∥BE，得∠PBE 是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），利用余弦定理能求出直线CD与PB所成的角的余弦值．【解答】解：对于A，∵PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥PA，∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，∴AE⊥AB，∵PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，∴PE⊥平面PAB，故A正确；对于B，∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，∴PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝45°是直线PD与平面ABC所成角，故B正确；对于C，∵EF∥AD∥BC，EF⊂平面PEF，BC⊂平面PBC，∴平面PBC与平面PEF的交线与直线AD平行，故C错误；对于D，设AB＝1，则PA＝2，AE＝＝，PE＝，BE＝2，PB＝，∵CD∥BE，∴∠PBE是直线CD与PB所成的角（或所成角的补角），∴直线CD与PB所成的角的余弦值为：cos∠PBE＝＝，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，推理论证能力等数学核心素养，是中档题．15．（2021春•徐汇区校级期中）已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（）A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．【分析】当直线a∥直线l，直线b∥直线l时，a∥b，当直线a⊥直线b时，则直线a⊥直线l，与直线a与直线l不垂直相矛盾，从而a与b不可能垂直．【解答】解：直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，当直线a∥直线l，直线b∥直线l时，a∥b，排除选项AD；当直线a⊥直线b时，则直线a⊥直线l，与直线a与直线l不垂直相矛盾，∴a与b不可能垂直，排除B．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．（2015春•上饶期末）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P，Q，R分别是线段B1B，AB 和A1C上的动点，观察直线CP与D1Q，CP与D1R给出下列结论：①对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q；②对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP；③对于任意给定的点R，存在点P，使得CP⊥D1R；④对于任意给定的点P，存在点R，使得D1R⊥CP．其中正确的结论是（）A．①B．②③C．①④D．②④【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】根据直线与直线、直线与平面的位置关系，结合正方体的性质，分别判断选项，利用排除法能得出结论．【解答】解：①当点P与B1重合时，CP⊥AB，且CP⊥AD1，所以CP⊥平面ABD1，因为对于任意给定的点Q，都有D1Q⊂平面ABD1，所以对于任意给定的点Q，存在点P，使得CP⊥D1Q，所以①正确；②只有D1Q⊥平面BCC1B1，即D1Q⊥平面ADD1A1时，才能满足对于任意给定的点P，存在点Q，使得D1Q⊥CP，因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1，而D1C1∥AB，所以②错误；③当R与A1，重合时，在线段B1B上找不到点P，使CP⊥D1R，所以③不正确；④只有当CP⊥平面A1CD1时，④才正确，所以对于任意给定的点P不存在点R，使D1R⊥CP，故④不正确．故选：A．【点评】本题考查直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．三．解答题（共5小题）17．（2020春•威宁县期末）已知复数z＝（m∈R，i是虚数单位）．（Ⅰ）若z是纯虚数，求实数m的值；（Ⅱ）设是z的共轭复数，复数﹣2z在复平面上对应的点位于第二象限，求实数m 的取值范围．【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算．【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求得m值；（Ⅱ）求出，得到﹣2z，由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．【解答】解：（Ⅰ）z＝＝＝（3+2m）+（2m﹣3）i是纯虚数，∴，即m＝﹣；（Ⅱ）由z＝（3+2m）+（2m﹣3）i，得＝（3+2m）﹣（2m﹣3）i，∴﹣2z＝（3+2m）﹣（2m﹣3）i﹣（6+4m）﹣（4m﹣6）i＝（﹣3﹣2m）+（9﹣6m）i，则，解得﹣＜m＜．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18．（2021春•万宁校级期中）如图，在棱长为1的正方体中，求：（1）直线A1B与B1C所成的角的大小；（2）直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．【分析】（1）由题意可知B1C∥A1D，所以∠DA1B即为直线A1B与B1C所成的角，由△A1BD为等边三角形即可求出结果．（2）因为D1D⊥平面ABCD，所以∠D1BD即为直线D1B与平面ABCD所成的角，在Rt△D1DB中即可求出cos∠D1BD的值．【解答】解：（1）连接A1D，BD，如图所示，∵A1B1∥CD，A1B1＝CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，∴∠DA1B即为直线A1B与B1C所成的角，∴正方体的棱长为1，∴，∴△A1BD为等边三角形，∴∠DA1B＝60°，即直线A1B与B1C所成的角的大小为60°．（2）∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1BD即为直线D1B与平面ABCD所成的角，在Rt△D 1DB中，D1D＝1，BD＝，，∴cos∠D1BD＝＝＝，即直线D1B与平面ABCD所成的角的余弦值为．【点评】本题主要考查了异面直线所成角，考查了直线与平面所成角，是基础题．19．（2020春•闵行区校级期中）已知关于x的实系数一元二次方程x2+4x+p＝0的两个虚根是x1、x2．（1）若|x1|＝5，求p的值；（2）若|x1﹣x2|＝2，求p的值．【考点】二次函数的性质与图象．【专题】计算题；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．【分析】本题由一元二次方程根的求法可解决此题．【解答】解：（1）由题意知，△＝42﹣4×1×p＜0，解得：p＞4．实系数一元二次方程x2+4x+p＝0的两个虚根为：＝﹣2±i．∵|x 1|＝5，∴（﹣2）2+（）2＝25，解得：p＝25；（2）由（1）知|x1﹣x2|2＝|2i|2＝4，解得：p＝5．【点评】本题考查在复数范围内一元二次方程根的求法，考查数学运算能力，属于基础题．20．（2021秋•虹口区校级期末）如图，已知菱形ABCD中，∠CBA＝，直角梯形ABEF中，BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，O、P分别为AB、DF中点，平面ABEF ⊥平面ABCD．（1）求证：CO⊥平面ABEF；（2）异面直线PE与AB所成角的大小；（3）线段AD上是否存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，若存在，求出AG的长；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直．【专题】计算题；整体思想；演绎法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）根据题意得OC⊥AB，进而结合平面ABEF⊥平面ABCD即可证明CO⊥平面ABEF；（2）根据题意，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用坐标法求解即可；（3）假设存在，设AG＝λAD，λ∈[0，1]，再根据线面角的向量法求解即可．【解答】（1）证明：因为在菱形ABCD中，，所以△ABC为等边三角形，因为O分别为AB中点，所以OC⊥AB，因为平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF⋂平面ABCD＝AB，CO⊂平面ABCD．所以CO⊥平面ABEF．（2）解：因为直角梯形ABEF中，BE∥AF，AB⊥AF，CO⊥平面ABEF，所以，以点O为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，因为，所以B（1，0，0），E（1，0，2），A（﹣1，0，0），F（﹣1，0，4），，，，所以，，所以，所以异面直线PE与AB所成角的大小为．（3）解：假设线段AD上是存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，此时AG＝λAD，λ∈[0，1]，则，由（1）知平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，则，解得，所以线段AD上是存在一点G，使得直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，此时．【点评】本题主要考查线面垂直的证明，异面直线所成的角的计算，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．21．（2021秋•杨浦区校级期中）已知三棱锥P﹣ABC中，（1）若PB＝PC＝BC＝AB＝AC＝2，且二面角P﹣BC﹣A为60°，求三棱锥P﹣ABC 体积．（2）若AB＝1，BC＝2，∠ABC＝，△PBA≌△CBA，面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，当PC与DQ所成角取得最小值时，求线段AQ的长度．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；向量法；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．【分析】（1）取BC的中点G，连接PG，AG，可得∠PGA＝60°，求出三角形PGA的面积，再由棱锥体积公式求解；（2）过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x 轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC与DQ所成角取得最小值时，线段AQ的长．【解答】解：（1）取BC的中点G，连接PG，AG，由PB＝PC＝AB＝AC，可得PG⊥BC，AG⊥BC，∴∠PGA为二面角P﹣BC﹣A的平面角，则∠PGA＝60°，在等边三角形PBC与等边三角形ABC中，由已知求得PG＝AG＝，则，∴三棱锥P﹣ABC体积V＝×BC＝；（2）过点P作PO⊥平面ABC，交BA延长线于点O，连结OC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，在△ABC中，AB＝1，BC＝2，∠ABC＝，则B（2，0，0），A（1，0，0），O（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），设Q（x，y，z），＝λ（﹣1，0，2），λ∈[0，1]，即（x﹣1，y，z）＝（﹣λ，0，2λ），∴Q（1﹣λ，0，2λ），D（1，1，0），＝（﹣λ，﹣1，2λ），＝（0，2，﹣2），|cos＜＞|＝＝•，令f（λ）＝，λ∈[0，1]，∴f′（λ）＝，由f′（λ）＝0，λ∈[0，1]，得λ＝，λ∈[0，）时，f′（λ）＞0，λ∈（，1]时，f′（x）＜0，∴当λ＝时，f（λ）取最大值，此时PC与DQ所成角取得最小值，|AQ|＝||＝，∴线段AQ的长度为．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．。

上海市南汇中学高二数学下学期期中考试试题沪教版

上海南汇中学2011学年第二学期期中考试高二数学满分：100分完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥；⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ；正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（）（A ）相交（B ）平行（C ）重合（D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（）（A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ）不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（）（A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点（C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求（1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -=（1）求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分）（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。

2023年上海中学高二下期中数学试卷及答案

上海中学2023学年第二学期高二年级数学期中2023.04一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知直线l在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2-，则l的方程是______．2.若动点A，B分别在直线1:70l x y+-=和直线2:50l x y+-=上移动，求线段AB的中点M到原点的距离的最小值为________．3.点M与两个定点()0,0O，()2,0P的距离的比为3:1，则点M的轨迹方程为______．4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．6.点()1,2A，点()2,4B--，点P在坐标轴上，且APB∠为直角，这样的点P有______个．7.二项式321nxx⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为______．8.已知点()2,0A-，动点B的纵坐标小于等于零，且点B的坐标满足方程221x y+=，则直线AB的斜率的取值范围是______．9.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).10.在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．11.如图，在55⨯的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．12.已知,,,,,A B C D E F 六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF 的顺序的排列情况有______种．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知一个圆的方程满足：圆心在点()3,4-，且过原点，则它的方程为（）A.()()22345x y -+-= B.()()223425x y +++=C.()()22345x y ++-= D.()()223425x y ++-=14.掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则()P B A 为（）A.12B.16C.115D.1315.过点()3,0P作一条直线l ，它夹在两条直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=之间的线段恰被点P 平分，则直线l 的方程为（）A.8240x y +-=B.8240x y --=C.8240x y ++= D.8240x y ++=16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下B 和C ，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A 先向敌方成员开枪，之后若B 未倒下，则B 向敌方成员开枪，之后按C ，A ，B ，C ，A ，B ，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（）A.518B.736C.14 D.19三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知随机变量(),X B n p ，若()2E x =，()43D x =，求p 的值．18.求抛物线C ：2y x =上的点到直线l ：112y x =-的最小距离．19.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为16，4．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的a ，b 的值；（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20.为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品，从设备M 的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）：①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级并说明理由.21.（1）已知k 、n 为正整数，k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=：（2）已知k 、n 为正整数，求证：1121C C C C C nnnn n n n n k n k n+++++++++⋅⋅⋅+=；（3）m 、n 为正整数，2n ≥，求证：()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-．上海中学2023学年第二学期高二年级数学期中2023.04一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知直线l 在x 轴上的截距是3，在y 轴上的截距是2-，则l 的方程是______．【答案】2360x y --=【解析】【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式．【详解】因为直线l 在x 轴上的截距是3，在y 轴上的截距是2-，则直线l 的方程是132x y +=-，即2360x y --=，故答案为：2360x y --=．2.若动点A ，B 分别在直线1:70l x y +-=和直线2:50l x y +-=上移动，求线段AB 的中点M 到原点的距离的最小值为________．【答案】【解析】【分析】由题意线段AB 的中点M 的集合为与直线1:70l x y +-=和直线2:50l x y +-=距离相等的直线，记为l ，则M 到原点距离最小值为原点到l 的距离，结合点到直线的距离公式可求．【详解】由题意线段AB 的中点M 的集合为与直线1:70l x y +-=和直线2:50l x y +-=距离相等的直线，记为l ，则M 到原点距离最小值为原点到l 的距离，设直线:0l x y m ++=，=解得6m =-，所以:60l x y +-=，根据点到直线的距离公式可得，M=故答案为：3.点M 与两个定点()0,0O ，()2,0P 的距离的比为3:1，则点M 的轨迹方程为______．【答案】2299(416x y -+=【解析】【分析】设出动点(,)M x y3=，再化简即可得到结果.【详解】设点(,)M x y ，3=，两边平方化简得2222990x y x +-+=，即2299(416x y -+=，所以点M 的轨迹方程为2299(416x y -+=.故答案为：2299(416x y -+=.4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【答案】96【解析】【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×44A =96种考点：排列、组合及简单计数问题5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．【答案】1260【解析】【分析】利用排列知识即可求出结果.【详解】因为相同颜色的球是一样的，所以将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排，共有99342342A 1260A A A =种.故答案为：1260.6.点()1,2A ，点()2,4B --，点P 在坐标轴上，且APB ∠为直角，这样的点P 有______个．【答案】4【解析】【分析】分情况讨论，设出轴上P 点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.【详解】若P 在x 轴上，可设(,0)P x ，则(1,2),(2,4)AP x BP x →→=--=+，由APB ∠为直角可得(1)(2)80AP BP x x →→⋅=-+-=，即2100x x +-=，214(10)0∆=-⨯->，故有两解；当P 在y 轴上，可设(0,)P y ，则(1,2),(2,4)AP y BP y →→=--=+，由APB ∠为直角可得2(2)(4)0AP BP y y →→⋅=-+-+=，即22100y y +-=，224(10)0∆=-⨯->，故两解.综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，故答案为：47.二项式321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为______．【答案】5【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x 的指数为 0方程有解，即可求出正整数n 的最小值.【详解】由题意，在321nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，展开式中含有非零常数项，展开式的通项为()335121C C rn rrn n rr n r T xxx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，∵展开式中含有非零常数项，∴当350n r -=时,解得：53rn =∴当3r =时,n 最小，为 5故答案为：5.8.已知点()2,0A -，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 的坐标满足方程221x y +=，则直线AB 的斜率的取值范围是______．【答案】,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用条件，将问题转化成求直线AB 与圆相切时的斜率，再根据图形即可得出结果.【详解】由题知，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 的坐标满足方程221x y +=，所以点B 的轨迹方程为221(0)xy y +=≤，当直线AB 与圆相切时，设直线AB 方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，1=，解得3k =±，因为B 的纵坐标小于等于零，所以33k =-，由图易知，直线AB的斜率的取值范围,03k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故答案为：,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).【答案】1080【解析】【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有2216422222C C C 45A A =种方法，进而将其分配到四个不同场馆，有44A 24=种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.故答案为：1080.【点睛】易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解2216422222C C C A A 中分母的意义．10.在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．【答案】0.38144【解析】【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可..【详解】前6局中,连赢六局的概率为()660%，前6局中,连赢五局且第6局也赢的概率为()()560%160%⨯-，前6局中,连赢四局且第6局也赢的概率为()()560%160%⨯-，前6局中,连赢三局且第6局也赢的概率为()()()()44260%160%60%160%⨯-+⨯-，所以第6局的获得2分的概率为：()660%()()5260%160%+⨯⨯-()()()()44260%160%60%160%+⨯-+⨯-0.18144=，第6局的获得1-分的概率为160%0.4-=，第6局的获得1分的概率为10.181440.40.41856--=，⨯+⨯+-⨯=，所以第6局的获得的分数的数学期望是20.1814410.41856(1)0.40.38144故答案为：0.3814411.如图，在55⨯的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．【答案】4200【解析】【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个，据此分两类讨论，分别求出安排种数，再由分类加法计数原理得解.【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个.①如果该行和该列的交界处有圆圈，则去掉这个圆圈恰好每行每列1个，有5!=120种，新增的这个交界处圆圈有20种填法，共计:120×20=2400种;C C=25种，在该行该列分②如果该行和该列的交界处没有圆圈，选定该行该列的方式有1155C C=36种，最后再把剩下2个圆圈填入方格，有2种填法，共别填入2个圆圈的方法有2244⨯⨯种;计:25362=1800综上，不同的符合条件的填入方法有4200种.故答案为：4200种A B C D E F六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字12.已知,,,,,母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序的排列情况有______种．【答案】120【解析】【分析】利用条件，分析得到每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序，这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF的顺序，这里不妨记A，B，C，D，E，F六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，首先，考虑一种情况：假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作，即第一次让“B”归位，第二次让“C”归位，第三次让“D”归位，第四次将“E”与“F”同时归位，这样仅需进行4次操作，不满足题意；若A，B，C，D，E，F均不在对应的自己位置，但经过一次交换后，可使得两个字母同时归位，此时也不能满足“必须进行5次操作”的情况，C E F A B D，同时交换,B E可使两者同时归位，此时只需交换四次即可，例如，,,,,,F E D C B A，只需交换三次即可，不合要求，而,,,,,所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位，B C D E F中的一个，有5种选择，不妨设放的为C，1号位可放,,,,B D E F中选一个，有4种选择，不妨设放的为F，则3号位不能放A，可从剩余,,,则5号位不能放A，否则可先交换,A F，再交换,A C，交换过程中出现交换一次使两个字母同时归位的情况，B D E种选择一个，有3种选择，不妨设放的为B，故5号位可从,,字母A可选择4号位或5号位，有2种选择，剩余,D E只有1种放法，才能满足要求，⨯⨯⨯⨯=种.综上，总的排序方法有54321120故答案为：120【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于，分析出要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置，且交换过程中只存在一次，即最后一次交换使两个字母同时归位.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知一个圆的方程满足：圆心在点()3,4-，且过原点，则它的方程为（）A.()()22345x y -+-= B.()()223425x y +++=C.()()22345x y ++-= D.()()223425x y ++-=【答案】D 【解析】【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.【详解】设圆的半径为r ，因为圆心是()3,4C -，且过点(0,0)，所以5r ==，所以半圆的方程为()223(4)25x y ++-=，故选：D.14.掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A ，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B ，则()P B A 为（）A.12B.16C.115D.13【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A 发生的概率与事件AB 发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P (B |A )的值.【详解】根据题意，记小骰子的点数为x ，大骰子的点数为y ，事件A 包含的基本事件有“4,6x y ==”，“5x y ==”，“6,4x y ==”共3个,∴事件A 发生的概率31()6612P A ==⨯，而事件A B 包含的基本事件有“6,4x y ==”一个，可得事件AB 发生的概率1()36P AB =，()1(|)()3P AB P B A P A ∴==.故选：D 15.过点()3,0P作一条直线l ，它夹在两条直线1l ：220x y --=和2l ：30x y ++=之间的线段恰被点P 平分，则直线l 的方程为（）A.8240x y +-=B.8240x y --=C.8240x y ++=D.8240x y ++=【答案】B 【解析】【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为()3y k x =-，进而得出交点，根据点P 为两交点的中点建立等式，求出k 的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：3x =，不符合题意；所以直线斜率存在设为k ，则直线l 方程为()3y k x =-，联立直线1l 得：()323242202k x y k x k k x y y k -⎧=⎪⎧=-⎪-⇒⎨⎨--=⎩⎪=⎪-⎩，联立直线2l 得：，()33316301k x y k x k kx y y k -⎧=⎪⎧=-⎪+⇒⎨⎨-++=⎩⎪=⎪+⎩，所以直线l 与直线1l ，直线2l 的交点为：324336,,,2211k k k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--++⎝⎭⎝⎭，又直线l 夹在两条直线1l 和2l 之间的线段恰被点P 平分，所以3233466,02121k k k kk k k k ---+=+=-+-+，解得：8k =，所以直线l 的方程为：8240x y --=，故选：B.16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A ，而乙带了两名手下B 和C ，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A 先向敌方成员开枪，之后若B 未倒下，则B 向敌方成员开枪，之后按C ，A ，B ，C ，A ，B ，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（）A.518B.736C.14 D.19【答案】A 【解析】【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件，分别求出概率，利用互斥事件概率加法公式求和得解.【详解】对于甲来说，一旦唯一一名手下A 被击毙，则甲方必败，同理，若乙方B 、C 两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：乙甲甲乙，B 甲C ，C 甲B ，B 甲乙甲，C 甲乙甲，事件概率分别记为(1,2,3,4,5)i P i =，则111111322336P =⨯⨯⨯=，2111132212P =⨯⨯=，3111132212P =⨯⨯=，411111322224P =⨯⨯⨯=，511111322224P =⨯⨯⨯=，所以甲最终获胜的概率是11152236122418P =+⨯+⨯=,故选：A三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知随机变量(),X B n p ，若()2E x =，()43D x =，求p 的值．【答案】13【解析】【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得.【详解】因为随机变量(),X B n p ，所以()2E x np ==，()()413D x np p =-=，两式相除可得213p -=，解得13p =.18.求抛物线C ：2y x =上的点到直线l ：112y x =-的最小距离．【答案】8【解析】【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.【详解】设抛物线2y x =上的点200(,)P x x ，则点P 到直线112y x =-，即220x y --=的距离2201152(35488x d -+==，当且仅当014x =时取等号，所以所求最小距离为8.19.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在[)50,60，[]90,100的频数分别为16，4．（1）求样本容量n 和频率分布直方图中的a ，b 的值；（2）70分以下称为“不优秀”，其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生女生总计优秀不优秀总计()20P K k ≥0.100.050.0100.0050.0010k 2.7063.8416.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．【答案】（1）1000.0040.030,,n b a ===（2）联表见解析，没有【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图，计算样本容量n 及,a b 的大小即可；（2）由题意列出联表，计算2K 与临界值比较得出结论.【小问1详解】由题意可知，样本容量161000.01610n ==⨯，40.00410010b ==⨯，0.1000.0040.0100.0160.0400.030.a =----=【小问2详解】100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;男生女生总计优秀243054不优秀262046总计5050100()22100242030261001.4492.705050465469K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ，∴没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.20.为评估设备M 生产某种零件的性能，从设备M 生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：直径mm5859616263646566676869707173合计件数11356193318442121100经计算，样本的平均值65μ=，标准差 2.2σ=，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件认为是次品，从设备M 的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y 的数学期望()E Y ；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X ，并根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率）：①()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M 的性能等级并说明理由.【答案】（1）9()50E Y =；（2）设备M 的性能为丙级别.理由见解析【解析】【分析】（1）对于次品个数Y 的数学期望()E Y 的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于2μσ-或直径大于2μσ+的零件个数求得，再根据该分布符合3~3,50Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，进行期望的求值（2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>，94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+==<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，三个条件中只有一个符合，等级为丙【详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于2μσ-的零件有2件，大于2μσ+的零件有4件，共计6件，从设备M 的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为6310050=，依题意3~3,50Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故39()35050E Y =⨯=；（2）由题意知，62.8μσ-=，67.2μσ+=，260.6μσ-=，269.4μσ+=，358.4μσ-=，371.6μσ+=，所以由图表知道：80()0.800.6826100P X μσμσ-<≤+==>，94(22)0.940.9544100P X μσμσ-<≤+==<，98(33)0.980.9974100P X μσμσ-<≤+==<，所以该设备M 的性能为丙级别.【点睛】对于正态分布题型的数据分析，需要结合μσ，的含义来进行理解，根据题设中如()0.6827P X μσμσ-<≤+≥；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≥；③(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≥来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算μσ-，μσ+等数据时21.（1）已知k 、n 为正整数，k n ≤，求证：11C C k k n n k n --=：（2）已知k 、n 为正整数，求证：1121C C C C C nnnn n n n n k n k n+++++++++⋅⋅⋅+=；（3）m 、n 为正整数，2n ≥，求证：()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据组合数的公式及阶乘的定义化简变形即可得证；（2）由组合数的性质11C C C mm m n nn -++=可证明；（3）利用（1）和（2）的结论，及()2212121C 1C C n n k n n n k n k n k n n k n k-+---+-+-+--=<++可证明.【详解】（1）()()()()()111!!C C !!1![11]!k k nn n n n k k n k n k k n k --⋅-===----- ，11C C k k n n k n --=∴.（2）由11C C C mm m n nn -++=知，12C C C C n n n n n n n n k++++++⋅⋅⋅+1112C C C C n n n n n n n n k +++++=++++ 122C C C n n n n n n k ++++=+++ 133C C C n n n n n n k++++=+++ ⋯⋯11C n n k +++=.（3）由（1）可知，2n ≥时，()()()()()1111C C C 111n n n n m n m n m m n n n m n m n n n --+-++-+==+-+--，而()2212121C 1C C n n k n n n k n k n k n n k n k-+---+-+-+--=<++，故11111111111C C C 12n n n n n n n n m n n n n n n n n m-----++-----+++++++ ，2222212C C C C n n n n n n n n m ------+-<++++ 11n n m C -+-=，故()()1111111C 1111C C C C 121n n n n n n mn n n n m n n n n n m n m n ----+-++-+++⋅⋅⋅+<++++-，其中2n ≥.。

(整理版)南汇第二学期期中考试

南汇第二学期期中考试高二数学总分值：100分完成时间：90分钟一、填空题〔每题3分，共36分〕1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、假设椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，那么椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _. 6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、方程221104x y k k -=--表示双曲线，那么实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,那么12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，假设点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，那么BC 边所在直线方程为 .11、假设方程0x k +只有一个解，那么实数k 的取值范围是 _. 12、以下五个：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，那么直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，那么4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么y x④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，那么m 的取值范围是1m ≥；⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ；正确的选项是__________ _.二、选择题〔每题3分，共12分〕13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………〔〕〔A 〕相交〔B 〕平行〔C 〕重合〔D 〕由m 决定14、假设椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，那么实数a 为 …………〔〕〔A 〕 1 〔B 〕 1- 〔C 〕 1± 〔D 〕不确定15、抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k 〞是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点〞的………………………………………………………………………………………〔〕〔A 〕充分不必要条件〔B 〕必要不充分条件〔C 〕充要条件〔D 〕既不充分也不必要条件 16、曲线C ：22||||1x x y y a b-=，以下表达中错误的选项是．．．．．．………………………………〔〕〔A 〕垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点〔B 〕直线y kx m =+〔,k m ∈R 〕与曲线C 最多有三个交点〔C 〕曲线C 关于直线y x =-对称〔D 〕假设111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，那么有12120y y x x ->-三、解答题〔第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分〕 17、△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求（1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、双曲线1C ：2214y x -=〔1〕求与双曲线1C 有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；〔5分〕〔2〕直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。

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上海南汇中学 2011 学年第二学期期中考试高二数学（答案）满分： 100 分完成时间： 90 分钟命题人：吴世星周华审核人：潘静红一、填空题（每小题 3 分，共 36 分）1、直线x 3y 1 0 的倾斜角.62、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0, 2)，则椭圆的标准方程为___ x2 y2 1_________.32 363、经过点A(1,0)且与直线x y 1 0 平行的直线 l 的方程为x y 1 0 _.x2 y21的虚轴长是9 _.4、双曲线4 95、已知直线2x y 2 0和3x y 1 0 的夹角是4_.6、直线x y 1被圆x2 y2 1所截得的弦长等于 2 _.7、已知方程x2 y 21表示双曲线，则实数k 的取值范围为___ k 4或 k 10 .10 k k 48、过点(1,2)且与圆x2y21 3x 4 y 5 0或 x 1_.相切的直线的方程是9、已知双曲线x2 y2 1的两个焦点分别为F1、F2, P 为双曲线上一点，且F1PF2 ,4 2 则F1PF2的面积是 4 .10、设F为抛物线y2 4x 的焦点，A, B, C为该抛物线上三点，若点A(1,2) ，ABC 的重心与抛物线的焦点 F 重合，则 BC 边所在直线方程为2x y 1 0 .11、若方程x k 1 x2 0 只有一个解，则实数k 的取值范围是[ 1,1) { 2}.12、下列五个命题：①直线l 的斜率 k [ 1,1]，则直线 l 的倾斜角的范围是[ , ] ；4 4②直线 l : y kx 1 与过 A( 1,5) ， B(4, 2) 两点的直线相交，则k 4 或 k 3 ；43，那么y的最大值为③如果实数 x, y 满足方程( x 2)2 y2 3 ；x④直线 y kx 1 与椭圆x2 y2 1恒有公共点，则m 的取值范围是m 1；5 m⑤方程 x2 y 2 4mx 2 y 5m 0 表示圆的充要条件是m 1 或 m 1 ；4正确的是 _____② _③_⑤ ___ _.二、选择题（每小题 3 分，共 12 分）13、直线3x 2 y m 0 与直线 2x 3y 1 0 的位置关系是,,,,,,,,,, （ A ）（ A）相交（B）平行（ C）重合（ D）由 m决定14、若椭圆x2 y 2 1与双曲线x4 a 2 a2y 2 a为,,,, （ C ）21有相同的焦点，则实数2（ A ） 1 （B ） 1 （C） 1 （D ）不确定15、已知抛物线C : y2 x 与直线l : y kx 1，“k 0 ”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, （ B ）（ A ）充分不必要条件（ B）必要不充分条件（C）充要条件（ D）既不充分也不必要条件16、已知曲线C： x | x | y | y | 1 ，下列叙述中错误的是 ,,,,,,,,,,,, （ C ）2 2 ．．a b（ A ）垂直于x轴的直线与曲线 C 只有一个交点（ B ）直线y kx m （k, m R）与曲线C最多有三个交点（ C）曲线 C 关于直线y x 对称y1 y2（ D）若P1( x1, y1)，P2( x2, y2)为曲线 C 上任意两点，则有x2x1三、解答题（第 17、18 题各 8 分，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，第 21 题 14 分，共 52 分）17、已知△ ABC 的三个顶点是A(3, 4) 、 B(0,3) 、 C ( 6,0) ，求（ 1）BC 边所在直线的一般式方程；(4 分 )（ 2）BC 边上的高 AD 所在直线的一般式方程. (4 分 )解；（ 1）BC ( 6, 3) 是BC边所在直线的方向向量故 l BC : x y 3，即 l BC : x 2 y 6 0 ,,,,,,,,,, 4 分6 3（ 2）BC ( 6, 3) 高 AD 所在直线的法向量故 l AD : 6( x 3) 3( y 4) 0 ，即 l AD :2x y 2 0 ,,,,,,,,,, 8 分18、求经过A( 3,0) ,且与圆C : ( x 3)2 y2 64 内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8 分 ) 解：根据题意得，MA MC 8 AC , ,,,,,,,,,,,,,, 2 分由椭圆定义得 a 4, c 3 ，所以 b2 7 ,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分所以所求的圆心M 的轨迹方程为x2 y2 1 ,,,,,,,,,,,,,, 8 分16 719、已知双曲线C1 ： x2 y2 14（ 1）求与双曲线C1有相同的焦点，且过点P(4, 3) 的双曲线 C2的标准方程；（5分）（ 2）直线l：y x m 分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点。

2020-2021下海南汇第二中学高中必修二数学下期中试题带答案

2020-2021下海南汇第二中学高中必修二数学下期中试题带答案一、选择题1．设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（） A ．-4 B ．14- C ．14 D ．42．水平放置的ABC V 的斜二测直观图如图所示，若112A C ＝，111A B C △的面积为22，则AB 的长为（）A ．2B ．217C ．2D ．83．已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．设圆C ：223x y +=，直线l ：360x y +-=，点()00,P x y l ∈，若存在点Q C ∈，使得60OPQ ∠=︒（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是( )A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．60,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．16,25⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),A m m -，(),B m m -()0m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．42B ．32C ．322D ．226．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．12B ．18C ．24D ．307．已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（） A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 8．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( ) A ．72π B ．56π C ．14π D ．64π9．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 、2F ，以2F 为圆心的圆过椭圆的中心，且与椭圆交于点P ，若直线1PF 恰好与圆2F 相切于点P ，则椭圆的离心率为（） A ．312+ B ．31- C ．22 D ．512- 10．某锥体的三视图如图所示（单位：cm ），则该锥体的体积（单位：cm 3）是（）A ．13 B ．12 C ．16 D ．111．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A ．3πB 3C ．4πD 3 12．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ；②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值；④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等，A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题13．光线由点P(2,3)射到直线x+y+1=0上，反射后过点Q(1,1) ，则反射光线方程为__________．14．如图，在正方体1111—ABCD A B C D 中，M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，有以下四个结论：①直线AM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的结论的序号为________．15．如图，以等腰直角三角形斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 与△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①0BD AC ⋅≠u u u r u u u r；②∠BAC ＝60°；③三棱锥D ﹣ABC 是正三棱锥；④平面ADC 的法向量和平面ABC 的法向量互相垂直．其中正确结论的序号是．（请把正确结论的序号都填上）16．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．17．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 是棱1BB 的中点，则点1B 到平面ADE 的距离为__________.18．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1BB 的中点，直线1D M 与平面ABCD 交于点N ，则线段AN 的长度为________19．函数2291041y x x x =++-+的最小值为_________.20．如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为__________．三、解答题21．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =.（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .22．在四棱锥S ABCD -中，平面SAB ⊥平面ABCD ，平面SAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）证明：SA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若底面ABCD 为矩形，23SA AD AB ==，F 为SC 的中点，23BE BC =u u u v u u u v ，求直线EF 与平面SCD 所成角的正弦值.23．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内；②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ；④直线l 不经过点A .（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒∠=，1AB AA =，,M N 分别为AC ，11B C 的中点.（1）求证：//MN 平面11ABB A ；（2）求证：1AN A B ⊥.-中，PA⊥平面ABC，且25．如图，在三棱锥P ABC===,2 2.2PA AB BCAC=-为鳖臑；（1）证明：三棱锥P ABC--的余弦值.注：在《九章算术》中鳖臑（2）若D为棱PB的中点，求二面角D AC P是指四面皆为直角三角形的三棱锥.26．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝6，M 是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B--AM--C的平面角的大小．.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】x=时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 求出原函数的导函数，得到函数在2值．解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-，又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．B解析：B【解析】【分析】依题意由111A B C △的面积为114B C =，所以8BC =，2AC =，根据勾股定理即可求AB ．【详解】依题意，因为111A B C △的面积为所以11111sin 452AC B C ︒=⨯⋅=111222B C ⨯⨯⨯，解得114B C =，所以8BC =，2AC =，又因为AC BC ⊥，由勾股定理得：AB ====故选B ．【点睛】本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一是与x 轴平行的线段仍然与x '轴平行且相等；二是与y 轴平行的线段仍然与y '轴平行且长度减半. 3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．B解析：B【解析】【分析】圆O 外有一点P ，圆上有一动点Q ，OPQ ∠在PQ 与圆相切时取得最大值．如果OP 变长，那么OPQ ∠可以获得的最大值将变小．因为sin QO OPQ PO∠=，QO 为定值，即半径，PO 变大，则sin OPQ ∠变小，由于(0,)2OPQ π∠∈，所以OPQ ∠也随之变小．可以得知，当60OPQ ∠=︒，且PQ 与圆相切时，2PO =，而当2PO >时，Q 在圆上任意移动，60OPQ ∠<︒恒成立．因此，P 的取值范围就是2PO …，即满足2PO …，就能保证一定存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，否则，这样的点Q 是不存在的．【详解】由分析可得：22200PO x y =+ 又因为P 在直线l 上，所以00(36)x y =--要使得圆C 上存在点Q ，使得60OPQ ∠=︒，则2PO …故22220000103634PO x y y y ==+-+… 解得0825y 剟，0605x 剟即0x 的取值范围是6[0,]5，故选：B ．【点睛】解题的关键是充分利用几何知识，判断出2PO …，从而得到不等式求出参数的取值范围． 5．B解析：B【解析】【分析】根据使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,再分析轨迹圆与圆C 的关系即可.【详解】由题, 使得90APB ∠=︒的点P 在以AB 为直径的圆上,又两点(),A m m -,(),B m m -, 所以圆心为()0,0.半径为()222m m m +-=.故P 的轨迹方程为2222x y m +=. 又由题意知,当圆()()22:341C x y -+-=内切于222x y m +=时m 取最大值. 此时2223416m =++=,故32m =.故选：B【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系,重点是根据90APB ∠=︒求出点P 的轨迹.属于中等题型. 6．C解析：C【解析】试题分析：由三视图可知，几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图所示，三棱柱的高为，消去的三棱锥的高为，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为和的直角三角形，所以几何体的体积为，故选C ．考点：几何体的三视图及体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图的应用及体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答的难点在于根据几何体的三视图还原出原几何体和几何体的度量关系，属于中档试题．7．D解析：D【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥P 不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥P 不正确，,l β有可能平行；C.}m r m n n r ⇒P P P 不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。

上海南汇中学第二学期期中考试高二数学

上海南汇中学第二学期期中考试高二数学满分：100分完成时间：90分钟一、填空题（每小题3分，共36分）1、直线013=+-y x 的倾斜角是 .2、若椭圆的长轴长为12，一个焦点是(0,2)，则椭圆的标准方程为____________.3、经过点(1,0)A 且与直线10x y ++=平行的直线l 的方程为 _.4、双曲线22149x y -=的虚轴长是 _. 5、已知直线220310x y x y +-=-+=和的夹角是 _.6、直线1x y +=被圆221x y +=所截得的弦长等于 _.7、已知方程221104x y k k -=--表示双曲线，则实数k 的取值范围为 _. 8、过点(1,2)且与圆221x y +=相切的直线的方程是 _.9、已知双曲线2214y x -=的两个焦点分别为1F 、2F ,P 为双曲线上一点，且122F PF π∠=,则12F PF ∆的面积是 .10、设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若点(1,2)A ， ABC ∆的重心与抛物线的焦点F 重合，则BC 边所在直线方程为 .11、若方程0x k +=只有一个解，则实数k 的取值范围是 _. 12、下列五个命题：①直线l 的斜率[1,1]k ∈-，则直线l 的倾斜角的范围是[,]44ππα∈-； ②直线:1l y kx =+与过(1,5)A -，(4,2)B -两点的直线相交，则4k ≤-或34k ≥-；③如果实数,x y 满足方程22(2)3x y -+=，那么yx④直线1y kx =+与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是1m ≥； ⑤方程052422=+-++m y mx y x 表示圆的充要条件是41<m 或1>m ；正确的是__________ _.二、选择题（每小题3分，共12分）13、直线320x y m ++=与直线2310x y +-=的位置关系是…………………………（）（A ）相交（B ）平行（C ）重合（D ）由m 决定14、若椭圆14222=+a y x 与双曲线12222=-y ax 有相同的焦点，则实数a 为 …………（）（A ） 1 （B ） 1- （C ） 1± （D ）不确定15、已知抛物线x y C =2:与直线1:+=kx y l ，“0≠k ”是“直线l 与抛物线C 有两个不同交点”的………………………………………………………………………………………（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 16、已知曲线C ：22||||1x x y y a b-=，下列叙述中错误．．的是………………………………（）（A ）垂直于x 轴的直线与曲线C 只有一个交点（B ）直线y kx m =+（,k m ∈R ）与曲线C 最多有三个交点（C ）曲线C 关于直线y x =-对称（D ）若111(,)P x y ，222(,)P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-三、解答题（第17、18题各8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17、已知△ABC 的三个顶点是(3,4)A -、(0,3)B 、(6,0)C -，求（1） BC 边所在直线的一般式方程；(4分)（2） BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程. (4分)18、求经过(3,0)A -,且与圆22(3)64x y -+=内切的圆的圆心M 的轨迹方程. (8分)19、已知双曲线1C ：2214y x -= （1）求与双曲线1C有相同的焦点，且过点P 的双曲线2C 的标准方程；（5分）（2）直线l ：y x m =+分别交双曲线1C 的两条渐近线于A 、B 两点。

(完整版)上海市南汇中学高二数学下学期期中考试试题沪教版

20、如图，弯曲的河流是近似的抛物线 C ，公路 l 恰好是 C 的准线， C 上的点 O 到 l 的距离
2x y 1 0 .
11、若方程 x k 1 x2 0只有一个解，则实数 k 的取值范围是
[ 1,1)U { 2} .
12、下列五个命题：①直线 l 的斜率 k [ 1,1] ，则直线 l 的倾斜角的范围是 ②直线 l : y kx 1与过 A( 1,5) ， B(4, 2) 两点的直线相交，则 k 4 或 k ③如果实数 x, y 满足方程 (x 2)2 y2 3 ，那么 y 的最大值为 3 ；
5分
4
（ 2）双曲线 C1 的两条渐近线方程为 y 2 x, y 2 x …………………………………… 6 分
y 2x
由
得 A(m,2 m)
y xm
y
由
2x
得 B(
m 2m , ) ……………… 8 分
y xm
33
uuur uuur OA OB
m2 4m2 m2 3 ，得 m 33
3 …………………… 10 分
_.
49
5、已知直线 2x y 2 0和3x y 1 0 的夹角是 6、直线 x y 1 被圆 x2 y2 1 所截得的弦长等于
_.
4
2 _.
x2
7、已知方程
y2 1表示双曲线，则实数 k 的取值范围为 ___ k 4或k 10 .
10 k k 4
8、过点 (1,2) 且与圆 x2 y 2 1相切的直线的方程是
x1 x2
三、解答题（第 17、18 题各 8 分，第 19 题 10 分，第 20 题 12 分，第 21 题 14 分，共 52 分）
17、已知△ ABC的三个顶点是 A(3, 4) 、 B (0,3) 、 C ( 6,0) ，求

上海市浦东新区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

上海市浦东新区2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷一、单选题1．若直线1(1)10l a x y -+-=：和直线2:620l x ay ++=平行，则a = A ．-2 B ．-2或3 C ．3 D ．不存在 2．圆O 1：2220x y x +-=和圆O 2：2240x y y +-=的位置关系是A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切3．过点()0,1P 与抛物线22y x =有且只有一个交点的直线有（）A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条4．设椭圆2212x y +=的左右焦点为1F ，2F ，点P 在该椭圆上，则使得12PF F V 为等腰三角形的点P 的个数为（）A ．2B ．4C ．6D ．8二、填空题5．双曲线22145x y -=的离心率是. 6．若直线l ：50x my ++=的倾斜角为π4，则实数m 的值为． 7．已知椭圆22143x y +=长轴的一个顶点为A ，短轴的一个顶点为B ，则AB =． 8．已知两点(3,4)A 、(5,6)B -，则直线AB 的斜截式方程是．9．若三点()1,2A -、()3,4B 、()5,C m 共线，则m 的值为．10．已知抛物线的焦点是圆22310x y x +--=的圆心，则该抛物线的标准方程为．11．若双曲线经过点3(4)P ，，它的一条渐近线方程为12y x =，则双曲线的标准方程为. 12．若O 为坐标原点，P 是直线20x y -+=上的动点，则||OP 的最小值为.13．已知椭圆(222112x y a a +=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若过1F 且斜率为34的直线与椭圆在第一象限交于点P ，且2210PF F F ⋅=u u u u r u u u u r，则a 的值为．14．省级保护文物石城永宁桥位于江西省赣州市石城县高田镇.永宁桥建筑风格独特，是一座楼阁式抛物线形石拱桥.当石拱桥拱顶离水面1.6m 时，水面宽6.4m ，当水面下降0.9m 时，水面的宽度为米.15．已知双曲线22198x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线交该双曲线于点A 、B ，且120AF AF ⋅=u u u r u u u u r ，2220F B F A +=u u u u r u u u u r r ，则1F AB V 的面积为．16．能使得命题“曲线2221(0)9x y a a-=≠上存在四个点,,,A B C D 满足四边形ABCD 是正方形”为真命题的一个实数a 是.三、解答题17．已知ABC V 中，()2,1A -，()4,3B ．(1)若()3,2C -，求BC 边上的高AD 所在直线的一般式方程；(2)若点()3,1M 为边AC 的中点，求BC 边所在直线的一般式方程．18．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)过焦点F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，若3AF =，求线段AB 的长．19．如图，某苗圃有两个入口A 、B ，100AB =，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有若干树苗放在苗圃外的C 处，已知80CA =，88CB =，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立直角坐标系．(1)工人计划将树苗运送至()7,1P 处，请帮助工人指出从哪个入口运送能够最近？并说明理由；(2)工人将C 处树苗运送到苗圃内点P 处时，发现从两个入口A 、B 运输的最近距离相等，求出的点P 所有可能的位置．20．已知点()2,0B 是椭圆Γ：22149x y +=的一个顶点． (1)若椭圆Γ的焦点分别为1F 、2F ，求12BF F △的面积；(2)设P 、Q 是椭圆D 上相异的两点，有如下命题：“若BP BQ =，则P 与Q 关于x 轴对称.”；请判断该命题的真假，并说明理由．21．已知椭圆221:143x y +=Γ，抛物线22:8y x Γ=.若直线l 与曲线1Γ交于点A 、B ，直线l 与曲线2Γ分别交于点C 、D ．当||||AB CD =时，则称直线l 是曲线1Γ与2Γ的“等弦线”．(1)求椭圆1Γ的离心率；(2)直线m 同时满足以下两个条件：①直线m 经过原点②直线m 是1Γ与2Γ的“等弦线”．请求出m 的方程；(3)已知点()0,0T x ，020-<<x ，证明：过点T 存在1Γ与2Γ的“等弦线”．。

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上海市南汇中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．点()2,0到直线20x +=的距离是.2．使直线()1:3230l x k y -++=与直线()2:2310l kx k y +-+=平行，求k =.3．已知函数()2f x x =，则曲线()y f x =在点()1,1P 处的切线方程是.4．已知抛物线C:22(0)x py p =->经过点(2,1)-，则此抛物线的准线方程是. 5．已知(13)n x + 的展开式中含有2x 项的系数是54，则n=.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>一条渐近线方程为30x y -=，且过点(，则双曲线的标准方程是.7．若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为8．已知,{1,2,3,4,5}m n ∈，m n ≠，则方程221x y mn+=表示焦点在x 轴上的椭圆的概率是.9．若'0()2,f x =则()()0003lim2h f x h f x h→--=10．若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是.11．已知二次曲线k C 的方程为：22194x y k k+=-- ，当m ，n 为正整数，且m n <时存在两条曲线,m n C C ，其交点P 与点12(F F 满足120PF PF ⋅=u u u r u u u u r，则m n +=12．高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡P （当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为A ，椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率e =．二、单选题13．圆221x y +=与圆22(2)1x y -+=的位置关系是（）A ．相交B ．外切C ．外离D ．内含14．已知函数()f x 及其导数()f x '，若存在0x 使得00()()f x f x '=，则称0x 是()f x 的一个“巧值点”，给出下列四个函数：（1）()3f x = ；（2）2()f x x = ；（3）()ln f x x = ；（4）()sin f x x =；其中没有“巧值点”的函数是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）15．定义点到曲线的距离为该点到这个曲线上任意点的距离的最小值.已知曲线C ：2260x y y ++=，那么平面内到曲线C 的距离与到坐标原点O 的距离相等的点的轨迹是（）A ．双曲线一支B ．一个椭圆C ．一条线段D ．一条射线16．已知曲线||||:143x x y y C -=，对于命题：（1）垂直于x 轴的直线与曲线C 有且只有一个交点;（2）若点 111222(,),(,)P x y P x y 为曲线C 上任意两点，则有12120y y x x ->-.下列判断正确的是（）A ．（1）和（2）均为真命题B ．（1）和（2）均为假命题C ．（1）为真命题，（2）为假命题D ．（1）为假命题，（2）为真命题三、解答题17．已知数列{}n a 是首项为23，公差为-4的等差数列. (1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，求n S 的最大值.18．在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，PA ⊥底面ABCD ，E 为BC 的中点，PC 与底面所成的角为.(1)求证: BD ⊥PC ;(2)求点E 到平面BDP 的距离.19．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的半径为1，其圆心在射线(0)y x x =≥上，且OC =.(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线l 过点()1,0P ，且与圆C 相切，求直线l 的方程；(3)自点()3,3A -发出的光线m 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆C 相切，求光线m 所在直线的方程.20．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的左,右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，下顶点为A ，点M在直线:0l x y m +-=上.(1)若2a m =，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；(2)若直线l 与y 轴交于B ，直线AM 经过右焦点2F ，在ABM V 中有一个内角的余弦值为 35，求b 的值;(3)若m =直线 l 与椭圆Γ没有公共点，在椭圆Γ上存在一点(cos ,sin )P a b θθ，[)0,2πθ∈，点P 到l 的距离为d ，且12||||4PF PF d ++=，当a 变化时，求d 的取值范围.21．在平面直角坐标系xOy 中，一动圆经过点(,0)(0)A a a >且与直线x a =-相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K ， P 是曲线K 上一点. (1)当1a =时，求曲线K 的轨迹方程;(2)已知过点A 且斜率为k 的直线l 与曲线K 交于B ，C 两点，若//l OP 且直线OP 与直线1x =交于Q 点.求证:||||||||AB AC OP OQ ⋅⋅为定值：(3)若12a=，且点D，E在y轴上，PDE△的内切圆的方程为22(1)1x y-+=，求PDE△面积的最小值.。

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