三角函数求值题
三角函数的求值练习题
三角函数的求值练习题1. 求解以下三角函数的值：a) sin 30° = ?b) cos 45° = ?c) tan 60° = ?d) cot 45° = ?e) sec 30° = ?f) csc 60° = ?解答：a) sin 30° = 0.5b) cos 45° = 0.7071c) tan 60° = √3d) cot 45° = 1e) sec 30° = 2f) csc 60° = 22. 求解以下三角函数的值：a) sin 150° = ?b) cos 210° = ?c) tan 300° = ?d) cot 240° = ?e) sec 120° = ?f) csc 225° = ?解答：a) sin 150° = 0.5b) cos 210° = -0.866c) tan 300° = -√3d) cot 240° = -√3e) sec 120° = -2f) csc 225° = -√23. 求解以下三角函数的值：a) sin π = ?b) cos 0 = ?c) tan π/2 = ?d) cot 3π/4 = ?e) sec 3π/2 = ?f) csc π/4 = ?解答：a) sin π = 0b) cos 0 = 1c) tan π/2 = undefinedd) cot 3π/4 = -1e) sec 3π/2 = undefinedf) csc π/4 = √24. 求解以下三角函数的值：a) sin (π/6)rad = ?b) cos (7π/4)rad = ?c) tan (11π/6)rad = ?d) cot (5π/4)rad = ?e) sec (5π/6)rad = ?f) csc (4π/3)rad = ?解答：a) sin (π/6)rad = 0.5b) cos (7π/4)rad = -0.7071c) tan (11π/6)rad = -√3d) cot (5π/4)rad = -1e) sec (5π/6)rad = -2f) csc (4π/3)rad = -2/√35. 求解以下三角函数的值：a) sin (-45°) = ?b) cos (-π/3) = ?c) tan (-60°) = ?d) cot (-π/4) = ?e) sec (-30°) = ?f) csc (-π/6) = ?解答：a) sin (-45°) = -0.7071b) cos (-π/3) = 0.5c) tan (-60°) = -√3d) cot (-π/4) = -1e) sec (-30°) = 2f) csc (-π/6) = -26. 求解以下三角函数的值：a) sin 75° + cos 75° = ?b) sin 30° * csc 60° = ?c) tan 45° - cos 45° = ?d) cot 180° + sec 0° = ?解答：a) sin 75° + cos 75° = 1 + 0.7071 = 1.7071b) sin 30° * csc 60° = 0.5 * 2 = 1c) tan 45° - cos 45° = 1 - 0.7071 = 0.2929d) cot 180° + sec 0° = -1 + 1 = 0通过以上练习题，我们可以更好地理解三角函数的求值。
三角函数的化简求值(含答案)
三角函数的化简求值一、单选题(共10道，每道10分)1.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简2.化简的结果是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简3.下列选项中，不是化简的结果的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简4.化简的结果的是( )A.，其中B.，其中C.，其中D.，其中答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简5.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简6.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简7.已知函数，若为偶函数，则的一个值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简8.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简9.函数（）的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简10.函数（）的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：形如asinx+bcosx的化简。
三角函数式的化简求值训练
)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的逆用、变形等．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin èæøöα±π4. ＝α＋β2－α－β2；α－β2＝èæøöα＋β2－èæøöα2＋β.原则: 用已知表示待求用已知表示待求 （2） 化简技巧：切化弦、“1”的代换等．的代换等． 6 三个变化三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．等．(3)等．等．二 典型题目1 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan èæøöπ4－x sin 2èæøöπ4＋x. 【训练1】 化简 (sin cos 1)(sin cos 1)sin 2a a a a a+--+：. 1三角三角函数式函数式的化简求值训练 一．重要公式与方法技巧：1 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2c os(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．的值唯一确定． 5两个技巧两个技巧（1）拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与分解与组合组合”、“配方与配方与平方平方”＜π2＜α＜π，且cos èæøöα－β2＝－19，sin èæøöα2－β＝23，求cos(α＋β)的值．的值．【训练2】 已知α，β∈èæøö0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．的值．三 三角函数的求角问题三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β. 【训练3】 已知α，β∈èæøö－π2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．的值．四 三角函数的综合应用三角函数的综合应用【例4】►已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f èæø－π62二 三角三角函数式函数式的求值的求值【例2】►已知0＜β，π2，且tan α，tan β是方程x 2öπ3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．和最小值．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；的最小正周期；(2)求f (x )在区间ëéûù，π2上的最大值和最小值．上的最大值和最小值．一、给值求值一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的求另外一些角的三角函数值三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，求解时要注意角的范围的讨论．角的范围的讨论．3【示例】►已知tan èæøöx ＋π4＝2，则tan ＝12，tan β，π2. (1)求sin θ和cos θ的值；的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．的值．【课后巩固】1．81cos sin =×a a ，且4p ＜a ＜2p，则a a sin cos -的值为：的值为：A 、23B 、23-C 、43D 、43-2．已知a a aa a cos 3sin 2cos sin ,2tan +--=则的值是的值是A 、－1 B 、1 C 、－3 D 、3 3．已知=-=+-=-)sin(,21sin cos ,43cos sin a b b a b a 则A 、3219B 、3219-C 、0 D 、1916-4．已知 5.已知3sin(),45x p -=则sin 2x 的值为的值为 （ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.7256．已知1sin cos 5q q -=，则sin 2q 的值是的值是A 、45B 、45-C 、2425D 、－24257．已知54)cos(-=-b a 54)cos(=+b a ),2(p p b a Î-)2,23(p p b a Î+则cos2a =( ） xtan 2x 的值为________．二、给值求角二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式把所求角用含已知角的式子表示子表示，由所得的函数值结合该函数的单调由所得的函数值结合该函数的单调区间区间求得角．求得角．【示例】►已知tan(α－β)＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．的值． ▲三角恒等变换与▲三角恒等变换与向量向量的综合问题的综合问题 两角和与差的两角和与差的正弦正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．高考的一个新考查方向．【示例】► 已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相互相垂直垂直，其中θ∈èæøö0q tam 和)4(q p-tam 是方程02=++q px x 的两根，则p 、q 间的关系是：间的关系是： A 、01=+-q p B 、01=++q p C 、01=-+q p D 、01=--q p4A 、257-B 、257C 、1-D 、1 8．22cos 75cos 15cos75cos15++ 的值等于（的值等于（ ） A 、62 B 、32 C 、54D 、1＋349．已知tan(α+β)＝52，tan(β－4p )＝41，那么tan(α+4p )的值是的值是A ．1813 B ．223 C ．2213 D ．18310.若,(0,)2pa b Î，3cos()22ba -=,1sin()22a b -=-，则cos()a b +的值等于 （A ）32-（B ）12- （C ）12（D ）32 11、已知tan 2a =，求2212sin cos cos sin a a a a +-12．求tan200+tan400+3tan200tan400的值. 13.已知3110,tan 4tan 3pa p a a<<+=-（Ⅰ）求tan a的值；（Ⅱ）求225sin 8sin cos 11cos 822222sin 2a a a a p a ++-æö-ç÷èø 14.已知40,sin 25pa a <<=（Ⅰ）求22sin sin 2cos cos 2a a a a++的值；（Ⅱ）求5tan()4pa -的值。
三角函数化简求值每日一练
三角函数化简求值每日一练1、的值为____________2、计算：=____________3、化简=____________4、sin15°+sin75°的值是____________5、求值：sin10°tan70°﹣2cos40°=____________6、sin315°sin（﹣1260°）+cos390°sin（﹣1020°）=____________7、=____________8、sin2230°+sin110°•cos80°=____________9、=____________10、=____________11、求值sin17°cos47°﹣sin73°cos43°=____________12、=____________13、﹣的值是____________14、（1+tan21°）（1+tan24°）的值为____________15、=____________16、计算3tan10°+4 =____________17、化简：=____________18、=____________19、sin40°（tan190°﹣）=____________20、计算：=____________21、求值：=____________22、计算：=____________答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：= = = ，故选：B．【分析】利用三角恒等变换化简所给的式子，可得结果．二、填空题2、【答案】1【考点】三角函数的化简求值，两角和与差的正切函数【解析】【解答】解：∵tan60°= ，∴==tan（60°﹣15°）=tan45°=1．故答案为：1．【分析】由tan60°= ，利用两角差的正切公式，即可求出答案来．3、【答案】﹣8【考点】三角函数的化简求值【解析】【解答】解：∵tan12°﹣= = = =﹣8sin12°cos24°，∴= =﹣8．故答案为：﹣8．【分析】由同角函数的三角函数关系以及两角和差的正弦公式转化原式可得tan12°﹣=﹣8sin12°cos24°，整理化简可得结果。
三角函数求值问题
则 cosβ ＝cos[α－(α－β)] ＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)， 1 13 4 3 3 3 ＝ × ＋ × 7 14 7 14 1 ＝ . 2 π π 而 β∈(0， )，则 β＝ . 2 3
1 π π 练习：已知 tanα＝ ，tanβ＝－2，其中 0<α< ， <β<π. 3 2 2 求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β 的值．
2．角的变换常见途径有： ( ) ， ( ) ( )， 2
2 等．对公式会“正用”“逆用”“变形用”．
2
3.“给值求角”问题，一般都需先求出待求角的某一个三 角函数值，再根据角的范围确定角的值；一般地，若 α∈ π π (－ ， )，则求 sinα 或 tanα；若 α∈(0，π)，则求 cosα 2 2 或 tanα，避免增角．
1.对于 “给角求值”问题：在不查表前提下，求三角 函数值，其一般方法是： （1）非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数； （2）将非特殊角的三角函数消去.
2.对于“给值求值”问题，即由给出的某些角的三角 函数的值，求另外一些角的三角函数值，关键在于 “变角”使“所求角”变为“已知角”；若角所在 象限没有确定，则应分类讨论.
【点评】 对于给角求值问题，往往所给角都是非特殊 角，基本思路有： (1)化为特殊角的三角函数值； (2)化为正、负相消的项，消去求值； (3)化分子，分母出现公约数进行约分求值．
二、给值求值问题 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的 三角函数式的值,解题关键在于“变角”及活用公式.
练习：
1 ＋2 tanα－tanβ 3 解:(1)tan(α－β)＝ ＝ ＝7. 1 1＋tanαtanβ 1＋ · －2 3 1 －2 tanα＋tanβ 3 (2)tan(α＋β)＝ ＝ ＝－1， 1 1－tanαtanβ 1－ · －2 3 π π π 3 又 0<α< ， <β<π，所以 <α＋β< π， 2 2 2 2 3 所以 α＋β＝ π. 4
三角函数10道大题(带答案)
三角函数10道大题(带答案)三角函数1.已知函数$f(x)=4\cos x\sin(x+\frac{\pi}{6})+\sin(2x-\frac{\pi}{4})+2\cos2x-1,x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的最小正周期；Ⅱ）求$f(x)$在区间$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$上的最大值和最小值。
2.已知函数$f(x)=\tan(2x+\frac{\pi}{4}),x\in R$。
Ⅰ）求$f(x)$的定义域与最小正周期；II）设$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，若$f(\alpha+\frac{\pi}{4})=2\cos2\alpha$，求$\alpha$的大小。
3.已知函数$f(x)=\frac{(sinx-cosx)\sin2x}{\sin x}$。
1）求$f(x)$的定义域及最小正周期；2）求$f(x)$的单调递减区间。
4.设函数$f(x)=\frac{2\pi\cos(2x+\frac{\pi}{4})+\sin2x}{24}$。
Ⅰ）求函数$f(x)$的最小正周期；II）设函数$g(x)$对任意$x\in R$，有$g(x+\pi)=g(x)$，且当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2\pi g(x)=1-f(x)$，求函数$g(x)$在$[-\pi,0]$上的解析式。
5.函数$f(x)=A\sin(\omega x-\frac{\pi}{6})+1(A>0,\omega>\frac{\pi}{6})$的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{\pi}{2}$。
1）求函数$f(x)$的解析式；2）设$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，则$f(\alpha)=2$，求$\alpha$的值。
6.设$f(x)=4\cos(\omega x-\frac{\pi}{6})\sin\omegax+\cos2\omega x$，其中$\omega>0$。
三角函数的化简与求值2
三角函数的化简与求值 （2）一、小题训练1．（A ）已知tan α=4，tan β=3，那么tan(α+β)= .2．（A ）计算：sin 75°·cos 30°-sin 15°·sin 150°= .3．（A ）已知tan -6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=37，tan +6πβ⎛⎫ ⎪⎝⎭=25，那么tan(α+β)= . 4．（B ）已知sin α=35，那么cos 2α= .5．（B ）已知α为第二象限角，且sin α+cos α=3，则cos 2α= . 6.（B ）已知sin(α+β) =21，sin(α-β) =101，则βαtan tan 的值为 .二、例题选讲例1．（A）目标角与已知角之间的变换已知α，β均为锐角，且sin α=35，tan(α-β)= 1-3.(1)求sin(α-β)的值；(2)求cos β的值.3 5，cos(α+β)=5-13，求sin β的值.变式（B）已知α，β均为锐角，且sin α=例2．（B）二倍角的三角函数公式的简单应用已知sin α=1213，且α∈2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值.变式（A ） (1)已知sin 2 cos α= . (2)设α为第二象限角，sin α=35，则sin2α= .例3．（B ） 二倍角的化简与求值(1sin cos )sin -cos θθθθ⎛⎫++ ⎪0<θ<π.变式 （B ） (1)化简：0205-cos203-cos 10= .(2)求证：= 21sin4cos41-tan θθθ++1sin4-cos42tan θθθ+例4 ．（C ）二倍角公式的简单应用已知函数f (x )2x cos 2x 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[-π，0]上的最小值.变式 （C ）已知函数f (x )=sin 2x-sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例5．与三角函数的图象与性质综合运用已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f(α)=32，求sin26πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值.ππ0022A Aωϕωϕ⎛⎫>>-<<⎪⎝⎭其中，，为常数，且，，变式 已知函数f (x )=12sin 2x 2x . (1) 求f (x )的最小正周期和最小值；(2) 将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变， 得到函数g (x )的图象，当x ∈2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，求g (x )的值域.四、巩固练习1．（A ）计算：sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°= .2．（A ）若α，β为锐角，cos α=17，cos(α+β)=-1114，则β= .3．（A ）已知α，β均为锐角，且tan β=cos -sin cos sin αααα+，则tan(α+β)= .4．（A ）已知sin2θ=45，cos 2θ =3-5，那么角θ在第 象限. 5．（A ）已知sin α+2cos α=0，则sin 2α+cos 2α= .6．（B ）已知sin -6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=13，那么cos 2+23πα⎛⎫⎪⎝⎭= .7．（B ）在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边经过点P (3，4).(1)求sin +4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；(2)若点P 关于x 轴的对称点为点Q ，求OP ·OQ 的值.8．（B ）设α为锐角，若cos +6πα⎛⎫⎪⎝⎭=45，求sin 2+12πα⎛⎫ ⎪⎝⎭的值.9．（B ）已知sin α∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，tan β=13.(1)求tan α的值； (2)求tan(α+2β)的值.10．（C ）设函数f (x )=A cos 46x π⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈R ，且f 3π⎛⎫⎪⎝⎭(1)求A 的值；(2)已知α，β∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且f443πα⎛⎫+⎪⎝⎭=3017-，f 243πβ⎛⎫-⎪⎝⎭=85， 求cos(α+β)的值.参考答案一、小题训练1．7-11 2 3．1 4．725 5．6．23 二、例题选讲 例1．【解析】(1)因为α，β∈02π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以-2π<α-β<2π，又tan(α-β)= 1-3<0，所以-2π<α-β<0，所以sin(α-β)=-10.(2)由(1)可得cos(α-β).因为α为锐角，sin α=35，所以cos α=45，所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β). 变式．【解析】因为sin α=35，α为锐角，所以cos α=45， 又α，β均为锐角，cos(α+β)=5-13，所以0<α+β<π，所以sin(α+β)=1213，所以sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=6365. 例2．【解析】 【思维引导】直接使用二倍角公式即可.因为α∈2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，，sin α=1213，所以cos α=5-13， 所以sin 2α=2sin αcos α=120-169， cos 2α=cos 2α-sin 2α=119-169， tan 2α=sin2cos2αα=120119．【精要点评】求cos α的值时，要注意正负的判断.变式【解析】(1)13 (2)2425- (1)cos α=1-2sin 22α=13.(2)直接求得cos α=45-，代入正弦的二倍角公式即可.例3．【解析】 【思维引导】考虑通过把角θ统一化为2θ，同时去掉根号.因为0<θ<π，所以0<2θ<2π，所以cos2θ>0，原式22cos 2sin cos sin -cos θθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪=2cos sin cos sin -cos 222222cos2θθθθθθ⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=sin 22θ-cos 22θ=-cos θ.变式．【解析】 (1) 2【解析】0205-cos203-cos 10=005-cos201cos203-2+=002(5-cos20)5-cos20=2例4．【解析】(1)因为f (x )=2sinx-2(1-cos x )=sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)因为-π≤x ≤0，所以34π-≤x+4π≤4π. 当x+4π=-2π，即x=-34π时，f (x )取得最小值，所以f (x )在区间[-π，0]上的最小值为f 34π⎛⎫⎪⎝⎭=-1-2. 变式【解析】(1)由题意得f (x )=1cos 2x 2--1cos 232x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭=11cos 2222x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭1cos 22x -=1sin 226x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以f (x )的最小正周期T=2π2=π.(2)当2k π-π2<2x-π6<2k π+π2，k ∈Z ，即k π-π6<x<k π+π3(k ∈Z )时，f (x )单调递增；当2k π+π2<2x-π6<2k π+3π2，k ∈Z ，即k π+π3<x<k π+5π6(k ∈Z )时，f (x )单调递减，所以f (x )在区间π,36π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间ππ64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，f -3π⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-4，f -6π⎛⎫ ⎪⎝⎭=12-，f 4π⎛⎫ ⎪⎝⎭=4，所以f (x )在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为4，最小值为12-.例5．【解析】(1) 由图可知，A=2，T=2π，故ω=1，所以f (x )=2sin (x +φ).又f 2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭=2sin 2π3ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=2，且-π2<φ<π2，故φ=-π6，于是f (x ) =2sin π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2) 由f (α)=32，得sin π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以sin π26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭=sin π2-62πα⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =cos π26α⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ =1-2sin 2π-6α⎛⎫ ⎪⎝⎭=1-2×234⎛⎫ ⎪⎝⎭=-18.变式：【解答】(1) f (x )=12sin 2x2x =12sin 2x-(1+cos 2x )=12sin 2x-cos 2x-=sinπ2-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-， 故f (x )的最小正周期为π，最小值为-.(2) 由条件可知g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-2.当x ∈ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时，有x -π3∈π2π63⎡⎤⎢⎥⎣⎦，， 从而sin π1-132x ⎛⎫⎡⎤⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为，，所以g (x )=sin π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的值域为⎣⎦. 巩固练习 1．122．3π 3．1 4．θ是第三象限角 5．7-5 6．7-97．(1)因为角α的终边经过点P (3，4)，所以sin α=45，cos α=35，所以sin +4πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=sinαcos4π+cos αsin 4π. (2)因为P (3，4)关于x 轴的对称点为Q ，所以Q (3，-4).所以OP =(3，4)，OQ =(3，-4)，所以OP ·OQ =3×3+4×(-4)=-7． 8．由cos +6πα⎛⎫⎪⎝⎭=45，得cos 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=2cos 2+6πα⎛⎫ ⎪⎝⎭-1=725. 因为cos 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭>0，α为锐角，所以2α+3π∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以sin 2+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=2425，所以sin 2+12πα⎛⎫ ⎪⎝⎭=sin π234πα⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=50.9．(1)因为sinα∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cosα=tan α=sin cos αα=12.(2)因为tan β=13，所以tan 2β=22tan 1-tan ββ=212311-3⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭=34，所以tan(α+2β)=tan tan21-tan tan2αβαβ+=1324131-24+⨯=2．10．(1)fπ3⎛⎫⎪⎝⎭=A cosππ126⎛⎫+⎪⎝⎭=A cosπ4=A=2．(2)f4π43α⎛⎫+⎪⎝⎭=2cosππ36α⎛⎫++⎪⎝⎭=2cosπ2α⎛⎫+⎪⎝⎭=-2sin α=-3017，即sin α=15 17.f2π4-3β⎛⎫⎪⎝⎭=2cosππ-66β⎛⎫+⎪⎝⎭=2cos β=85，即cos β=45.因为α，β∈π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，所以cosα=817，sin35，所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsinβ=817×45-1517×35=-1385.。
高考数学-三角函数专题复习
高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。
解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。
解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。
解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。
解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。
解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。
解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。
三角函数计算问题(试题含答案)
三角函数计算问题1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( )A ．0B ．12C ．32D ．1D [原式＝sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 75°＝sin 90°＝1.] 2．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于( )A ．17B ．7C ．－17D ．－7A [∵α∈(π2，π)，sin α＝35，∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17.]3．化简：sin (60°＋θ)＋cos 120°sin θcos θ的结果为( )A ．1B ．32C ． 3D ．tan θB [原式＝sin 60°cos θ＋cos 60°sin θ－12sin θcos θ＝sin 60°cos θcos θ＝sin 60°＝32.] 4．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( )A ．－75B ．75C ．－35D ．35B [∵3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝13.cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＋2sin θcos θ ＝cos 2θ＋2sin θcos θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋2tan θ－tan 2θ1＋tan 2θ＝1＋2×13－191＋19＝75.] 5．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( )A ．±4B ．4C ．－4D ．1 C [3cos(2α＋β)＋5cos β＝3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)cos α＋5sin(α＋β)sin α＝0， ∴2sin(α＋β)sin α＝－8cos(α＋β)cos α，∴tan(α＋β)tan α＝－4.]6．若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边一定落在直线( )上．A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝0D [cos θ2＝35，sin θ2＝－45，tan θ2＝－43，∴tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝－831－169＝247.∴角θ的终边在直线24x －7y ＝0上．] 7．tan 15°＋1tan 15°等于( )A ．2B ．2＋3C ．4D ．433C8．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin 2α的值为( )A ．103B ．53C ．23D ．－2A [∵3sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－13，∴1cos 2α＋sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝tan 2α＋11＋2tan α＝(－13)2＋11＋2×(－13)＝103．]9．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝59，那么sin 2θ等于( )A ．223B ．－223C ．23D ．－23A [∵sin 4θ＋cos 4 θ＝(sin 2 θ＋cos 2 θ)2－2sin 2 θcos 2 θ＝1－12sin 2 2θ＝59，∴sin 2 2θ＝89．∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ>0．∴sin 2θ＝223．]10．计算sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76°＝ ( )．A.2＋64 B.2－64 C.6－24D.24解析 sin 89°cos 14°－sin 1°cos 76° ＝sin 89°cos 14°－cos 89°sin 14° ＝sin 75°＝sin(45°＋30°)＝2＋64. 答案 A11．若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( )． A ．－65B ．－45C.45D.65解析 ∵tan θ＝13，∴原式＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝1210＝65. 答案 D12．已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α＝ ( )． A.3365 B.6365 C ．－3365D ．－6365解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴α－β∈(0，π)， 由cos(α－β)＝35得sin(α－β)＝45，由sin β＝－513得cos β＝1213，∴sin α＝sin[(α－β)＋β]＝45×1213＋35×⎝⎛⎭⎫－513＝3365. 答案 A13．设a ＝sin 17°cos 45°＋cos 17°sin 45°，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则有( )． A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <cD ．b <a <c解析 a ＝sin(17°＋45°)＝sin 62°， b ＝2cos 213°－1＝cos 26°＝sin 64°， c ＝32＝sin 60°，∴c <a <b .答案 A14．若x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x 等于 ( )．A.724 B ．－724C.247D ．－247解析 ∵x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 答案 D15．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为( )． A.1925 B.1625 C.1425D.725解析 sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－2×⎝⎛⎭⎫352＝725. 答案 D16．cos 43°cos 77°＋sin 43°cos 167°的值是( )A ．－32B.12C.32D ．－12【解析】 原式＝cos 43°sin 13°－sin 43°cos 13°＝sin(13°－43°)＝sin(－30°)＝－12.【答案】 D17．已知tan(π－α)＝2，则1sin αcos α等于( )A.52 B.75 C ．－52D ．－75【解析】 由tan(π－α)＝2，得tan α＝－2， ∴1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝－52. 【答案】 C18．tan(α＋β)＝25，tan(α＋π4)＝322，那么tan(β－π4)＝( )A.15B.1318C.14D.1322【解析】 tan(β－π4)＝tan[(α＋β)－(α＋π4)]＝tan (α＋β)－tan (α＋π4)1＋tan (α＋β)tan (α＋π4)＝25－3221＋25×322＝14.【答案】 C19．若sin α2＝33，则cos α＝( )A ．－23B ．－13C.13D.23【解析】 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝1－23＝13.【答案】 C20．已知sin(π4－θ)＋cos(π4－θ)＝15，则cos 2θ的值为( )A ．－725B.725 C ．－2425D.2425【解析】 将sin(π4－θ)＋cos(π4－θ)＝15两边平方得，1＋2sin(π4－θ)cos(π4－θ)＝125，即1＋sin(π2－2θ)＝125，cos 2θ＝－2425.【答案】 C21．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－2【解析】 α是第三象限的角且cos α＝－45，∴sin α＝－35.tan α2＝sin α1＋cos α＝－3515＝－3，∴1＋tanα21－tanα2＝－24＝－12.【答案】 A22．cos67°cos7°＋sin67°sin7°等于( )A ．12B ．22C ．32D ．1[答案] A[解析] cos67°cos7°＋sin67°sin7° ＝cos(67°－7°)＝cos60°＝12.23．已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin2α＝( )A ．－2425B ．－1225C ．1225D ．2425[答案] A[解析] ∵α是第二象限角，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴sin2α＝2sin αcos α＝2×35×(－45)＝－2425.24．下列各式中值为22的是( ) A ．sin45°cos15°＋cos45°sin15° B ．sin45°cos15°－cos45°sin15° C ．cos75°cos30°＋sin75°sin30° D ．tan60°－tan30°1＋tan60°tan30°[答案] C[解析] cos75°cos30°＋sin75°sin30°＝cos(75°－30°)＝cos45°＝22. 25．已知cos α＝23，270°<α<360°，那么cos α2的值为( )A ．66B ．－66C ．306D ．－306[答案] D[解析] ∵270°<α<360°，∴135°<α2<180°，∴cos α2＝－1＋cos α2＝－1＋232＝－306. 26．已知cos(x ＋π6)＝35，x ∈(0，π)，则sin x 的值为( )A ．－43－310B ．43－310C ．12D ．32[答案] B[解析] ∵x ∈(0，π)，∴x ＋π6∈(π6，7π6)，又∵cos(x ＋π6)＝35，∴x ＋π6∈(π6，π2)．∴sin(x ＋π6)＝45.sin x ＝sin[(x ＋π6)－π6]＝sin(x ＋π6)cos π6－cos(x ＋π6)sin π6＝32×45－12×35＝43－310. 27．已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________． 1解析 ∵sin αcos β＝1，∴sin α＝cos β＝1，或sin α＝cos β＝－1， ∴cos α＝sin β＝0.∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝sin αcos β＝1.28．若0<α<π2<β<π，且cos β＝－13，sin(α＋β)＝13，则cos α＝________．429解析 cos β＝－13，sin β＝223，sin(α＋β)＝13，cos(α＋β)＝－223，故cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝(－223)×(－13)＋223×13＝429.29．设α∈(0，π2)，若sin α＝35，则2cos(α＋π4)等于________．[答案] 15[解析] ∵α∈(0，π2)，sin α＝35，∴cos α＝45，∴2cos(α＋π4)＝2cos αcos π4－2sin αsin π4＝2×45×22－2×35×22＝45－35＝15. 30．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________． 4780解析 ∵(8sin α＋5cos β)2＋(8cos α＋5sin β)2 ＝64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β) ＝89＋80sin(α＋β)＝62＋102＝136． ∴80sin(α＋β)＝47，∴sin(α＋β)＝4780．31．已知α为第三象限的角，cos 2α＝－35，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝________． －17解析 由题意，得2k π＋π＜α＜2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π＜2α＜4k π＋3π．∴sin 2α＞0．∴sin 2α＝1－cos 22α＝45．∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝－43．∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan 2α1－tan π4 tan 2α＝1－431＋43＝－17． 32．设α为第四象限的角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________．－34解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135．∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135，∴cos 2α＝45．∵α为第四象限角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π，(k ∈Z )∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π，(k ∈Z ) 故2α可能在第三、四象限，又∵cos 2α＝45，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34．33．求值：tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝________. [答案]3[解析] tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50° ＝tan60°(1－tan10°tan50°)＋3tan10°tan50° ＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝ 3. 34．化简：1＋2sin610°cos430°sin250°＋cos790°＝________.[答案] －1 [解析] 1＋2sin610°cos430°sin250°＋cos790°＝1＋2sin (3×180°＋70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin70°cos70°－sin70°＋cos70°＝(sin70°－cos70°)2－sin70°＋cos70° ＝sin70°－cos70°－sin70°＋cos70°＝－1.35．若cos α＝45，α∈(0，π2)，则cos(α－π3)＝________.【解析】 由题意知sin α＝35，cos(α－π3)＝cos α·cos π3＋sin α·sin π3.＝45·12＋35·32＝4＋3310.【答案】4＋331036．tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)的值是________．【解析】 ∵tan π3＝tan(π6－θ＋π6＋θ)＝tan (π6－θ)＋tan (π6＋θ)1－tan (π6－θ)tan (π6＋θ)＝3，∴3＝tan(π6－θ)＋tan(π6＋θ)＋3tan(π6－θ)tan(π6＋θ)．【答案】337．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，那么log5tan αtan β＝________. 【解析】 由题意有sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，两式相加得sin αcos β＝512，两式相减得cos αsin β＝112.则tan αtan β＝5，故log 5tan αtan β＝2. 【答案】 238．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 【解析】 ∵sin 2α＝－sin α，∴2sin αcos α＝－sin α. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α≠0， ∴cos α＝－12.又∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴α＝23π， ∴tan 2α＝tan 43π＝tan ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝tan π3＝ 3. 【答案】339．已知sin x －cos x ＝sin x cos x ，则sin 2x ＝________. 解析 ∵sin x －cos x ＝sin x cos x ， ∴(sin x －cos x )2＝(sin x cos x )2 1－2sin x cos x ＝(sin x cos x )2， ∴令t ＝sin x cos x ，则1－2t ＝t 2.即t 2＋2t －1＝0，∴t ＝－2±222＝－1±2. 又∵t ＝sin x cos x ＝12sin 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12， ∴t ＝2－1，∴sin 2x ＝22－2.答案 22－240．已知sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π)． (1)求sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)的值； (2)求cos(2α－3π4)的值． 解 (1)sin(α＋π2)＝－55，α∈(0，π) ⇒cos α＝－55，α∈(0，π)⇒sin α＝255. sin (α－π2)－cos (3π2＋α)sin (π－α)＋cos (3π＋α)＝－cos α－sin αsin α－cos α＝－13. (2)∵cos α＝－55，sin α＝255⇒sin 2α＝－45，cos 2α＝－35. cos(2α－3π4)＝－22cos 2α＋22sin 2α＝－210. 41．已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，求sin θ2、cos θ2、tan θ2的值． 解 ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. 由cos θ＝1－2sin 2θ2， 有sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1， 有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55，tan θ2＝sinθ2cos θ2＝2. 42．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝24，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4x 的值．解 因为⎝⎛⎭⎫π4＋x ＋⎝⎛⎭⎫π4－x ＝π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin ⎝⎛⎭⎫π4－x＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝12⎣⎡⎦⎤2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x ＝12cos 2x ＝24，所以cos 2x ＝22. 又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2x ∈(π，2π)，所以sin 2x <0，所以sin 2x ＝－22. 所以sin 4x ＝2sin 2x cos 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－22×22＝－1. 43．已知sin α＝13，cos β＝－23，α、β均在第二象限，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． 解 因为sin α＝13，cos β＝－23，α、β均为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，sin β＝1－cos 2β＝53. 故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝13×⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－223×53＝－2－2109，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13×⎝⎛⎭⎫－23－⎝⎛⎭⎫－223×53＝－2＋2109. 44．化简：3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2). 【解】 原式＝3(sin 12°cos 12°－3)sin 12°×2(2cos 212°－1) ＝3(sin 12°－3cos 12°)2sin 12°cos 12°cos 24° ＝23(sin 12°cos 60°－cos 12°sin 60°)sin 24°cos 24° ＝2×23sin (12°－60°)2sin 24°cos 24° ＝－43sin 48°sin 48°＝－4 3. 45．若cos(π4＋x )＝35，17π12<x <7π4，求：(1)cos x ＋sin x 的值；(2)sin2x ＋2sin 2x 1－tan x的值． [解析] (1)由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π， 又∵cos(π4＋x )＝35， ∴sin(π4＋x )＝－45， ∴cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π4)＝－425. (2)cos x ＝cos[(π4＋x )－π4] ＝cos(π4＋x )cos π4＋sin(π4＋x )sin π4＝35×22－45×22＝－210. 又由17π12<x <7π4， ∴sin x ＝－1－cos 2x ＝－7210， ∴tan x ＝7，∴原式＝2sin x cos x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875. 46．已知sin α＝210，cos β＝31010，且α、β为锐角，求α＋2β的值． [解析] ∵sin α＝210，α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝1－⎝⎛⎭⎫2102＝7210. ∵cos β＝31010，β为锐角， ∴sin β＝1－⎝⎛⎭⎫310102＝1010. ∴sin2β＝2sin βcos β＝2×1010×31010＝35， cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝⎛⎭⎫10102＝45. 又β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2β∈(0，π)．而cos2β>0，∴2β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.∴α＋2β∈(0，π)． 又cos(α＋2β)＝cos α·cos2β－sin α·sin2β＝7210×45－210×35＝22，∴α＋2β＝π4.。
三角函数化简求值练习题(超级好)
三角化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求角A 。
高考100题三角函数：3 三角函数求值题型举例
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解.一、用三角函数定义求值例1.已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)且cos α＝36x ，求sin α＋tan α的值．例2.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos θ＝()。
A.－45 B.－35 C.35D.45【解析】取终边上一点(a,2a )(a ≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±55.点评:用定义法求三角函数值的两种情况:①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；②已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解.二、用诱导公式求值例3.【2016高考四川文科】sin 750.【解析】由三角函数诱导公式1sin 750sin(72030)sin 302︒=︒+︒=︒=.例4.已知α∈),2(ππ，sin α＝55，则tan(π－α)＝________.【解析】因为α∈),2(ππ，sin α＝55，所以cos α＝－25 5.所以tan α＝sin αcos α＝－12.所以tan(π－α)＝－tan α＝12.点评:诱导公式的应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了。
诱导公式用角度制和弧度制表示都可，运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.三、用同角三角函数间的关系求值例5.【2016高考新课标Ⅲ文数】若tan 13θ=，则cos 2θ=（）A.45-B.1-C.15D.45【解析】2222222211()cos sin 1tan 43cos 21cos sin 1tan 51(3θθθθθθθ---====+++．例6.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则=α2cos ()A.35-B.95-C.5 D.5【解析】法一:因为3cos sin =+αα,所以31)cos (sin 2=+αα,所以32cos sin 2-=αα,即322sin -=α.。
高中数学三角函数公式练习(答案)
高中数学三角函数公式练习(答案)1.sin(29π/6)的值为（）A。
-1133B。
-C。
D。
2222答案】C解析】考点：任意角的三角函数2.已知sin(α-π/4)=7/√5301，cos2α=71/2525，sinα=5/13，求cosα的值。
A。
-/6662B。
-1025/4433C。
-727/5555D。
5555/2553答案】D解析】考点：两角和与差的三角函数，二倍角公式3.cos690°的值为（）A。
-1133B。
C。
-2222D。
-答案】C解析】考点：三角函数的诱导公式4.tan(π/3)的值为（）A。
-33B。
C。
3D。
-333答案】C解析】考点：三角函数的求值，诱导公式5.若-π<β<α<π，且cos(β+π/4)=5/√5301，则cos(α+β)的值为（）A。
-B。
-3399C。
D。
-答案】C解析】考点：诱导公式，三角函数的化简求值。
6.若角 $\alpha$ 的终边在第二象限且经过点 $P(-1,3)$，则$\sin\alpha$ 等于 $\dfrac{3}{2}$。
7.$\sin7^\circ\cos37^\circ-\sin83^\circ\cos53^\circ$ 的值为$-\dfrac{1}{3}$。
8.已知 $\cos(-x)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，那么 $\sin2x=-\dfrac{1}{2}$。
9.已知 $\sin\dfrac{5\pi}{2}+\alpha=\dfrac{1}{23}$，则$\cos2\alpha=-\dfrac{5}{9}$。
10.已知 $\sin(\dfrac{\pi}{2}+a)=\dfrac{1}{27}$，则$\cos2a=-\dfrac{1}{9}$。
11.已知点 $P(\tan\alpha,\cos\alpha)$ 在第三象限，则角$\alpha$ 在第二象限。
12.已知 $\alpha$ 是第四象限角，$\tan\alpha=-\dfrac{5}{22}$，则 $\sin\alpha=-\dfrac{12}{13}$。
三角函数专项题型练习
三角函数专项题型练习题型一：三角函数求值1.已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+=________. 2.已知 ，则________.3.设⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,2,2,0，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则αsin =________.4.若3cos()45πα-=，则sin2α=________.题型二：求三角函数的单调区间1.已知函数13cos 2sin 222y x x=--，则函数函数的单调递增区间为______;单调递减区间为______.2.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像.若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.3.已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴，且21x x -的最小值为2π．则函数)(x f 的单调增区间为______.4.函数()2cos tan xf x xsinx =的单调增区间为______.5.函数()()2f x sin x ϕ=+，其中2tan()3πα-=-为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且2tan()3πα-=-，则()f x 的单调递增区间是______.题型三：由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式 1.已知函数sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的解析式是________.2.函数f(x)=ωx(ω>0)图像的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4，则a 的值是( )A. 0B. 1C. -D. 33.如图所示，是函数sin()y A x k ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的一部分，则函数解析式是________.4.要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象( )A. 向右平移π12个单位B. 向左平移π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位5.函数y=x+sinx -tanx -sinx 在区间(π23π2)内的图象是( )A. B. C. D.6.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点p0开始计算时间． (1)将点p 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？题型四：求三角函数的周期1.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.2.函数2tan()3πα-=-的最小正周期__________． 3.函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 .4.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为__________．5.已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-．则()f x 的最小正周期为 .题型五：三角函数的最值 1.函数2tan()3πα-=-的最小值为__________．2.已知函数()22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为__________．3.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．4.已知函数()sin cos f x x a x =+图象的一条对称轴是4x π=，且当x θ=时，函数()sin ()g x x f x =+取得最大值，则cos θ= .5.已知的定义域为[].则 的最小值为__________．6.函数sin 52sin x y x +=-的最大值为__________．题型六：三角函数的对称性1.已知函数y ＝A sin(2x ＋φ)的对称轴为x ＝，则φ的值为__________．2.将函数f (x )＝2sin(2x －)的图象向左平移m 个单位(m ＞0)，若所得的图象关于直线x ＝对称，则m 的最小值为__________．3.已知函数f (x )＝3sin(ωx －)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈[0，]，则f (x )的取值范围是________．泉州一中高二数学三角函数专题复习题型一：三角函数求值1.已知2tan()3πα-=-，且(,)2παπ∈--，则cos()3sin()cos()9sin απαπαα-++-+=________.15-2.已知 ，则________.3.设⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππβπα,2,2,0，若()97sin ,31cos =+-=βαβ，则αsin =________.314.若3cos()45πα-=，则sin2α=________.725-题型二：求三角函数的单调区间1.已知函数13cos 2sin 222y x x=--，则函数函数的单调递增区间为______;单调递减区间为______.2,,63k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦27,,36k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦2.将函数()()2sin 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图像.若()y g x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，则ω的最大值为______.23.已知函数),0)(62sin()(>+=ωπωx x f 直线21,x x x x ==是)(x f y =图像的任意两条对称轴，且21x x -的最小值为2π．则函数)(x f 的单调增区间为______.Z k k k ∈++-],6,3[ππππ4.函数()2cos tan x f x x sinx =的单调增区间为______.(),2k k k z πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭5.函数()()2f x sin x ϕ=+，其中2tan()3πα-=-为实数，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对x R ∈ 恒成立，且，则()f x 的单调递增区间是______.()263k ,k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦题型三：由sin()y A x ωϕ=+的图象求其函数式 1.已知函数sin()y A x ωϕ=+),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的图象如图所示，则该函数的解析式是________.)48sin(4π+π-=x y ２.函数f(x)=ωx(ω>0)图像的相邻两支截直线y=π4所得线段长为π4，则a 的值是( A )A. 0B. 1C. -D. 3 3.如图所示，是函数sin()y A x k ωϕ=++（0A >，0ω>，||2πϕ<）的图象的一部分，则函数解析式是________.2sin(2)16y x π=++4.要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象( A )A. 向右平移π12个单位B. 向左平移π12个单位C. 向右平移π6个单位D. 向左平移π6个单位 解：∵cos(2x-π3)=sin(2x-π3+π2)=sin(2x+π6)=sin[2(x-π12)+π3]，∴要得到y=(2x-π3)的图象，只需将函数y=(2x+π3)的图象向右平移π12个单位． 5.函数y=x+sinx -tanx -sinx 在区间(π23π2)内的图象是( D )A.B. C. D.6.解：函数分段画出函数图象如D 图示，故选D ．6.如图，一个水轮的半径为4m ，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点p0开始计算时间． (1)将点p 距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数； (2)点p 第一次到达最高点大约需要多少时间？解：(1)依题意可知z 的最大值为6，最小为-，∴--2A+B=6⇒B=2A=4； ∵每秒钟内所转过的角为(52π60)=π6t ，得z=4(π6t+φ)+2，当t=0时，z=0，得sin-12，即φ=π6，故所求的函数关系式为z=4(π6t-π6)+2 (2)令z=4(π6t-π6)+2=6，得sin π6t-π6)=1，取π6-π6=π2，得t=4，故点P 第一次到达最高点大约需要4S ．题型四：求三角函数的周期1.设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上单调，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.π2.函数2tan()3πα-=-的最小正周期__________．π 3.函数()2sin sin cos 1f x x x x =++的最小正周期是 .π4.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.π5.已知函数()2sin 23sin 2xf x x =-．则()f x 的最小正周期为.2π 题型五：三角函数的最值 1.函数 的最小值为．3-2.已知函数()3sin 22sin cos 44f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 在02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的最大值与最小值之差为__________．33.设当x θ=时，函数()2sin cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=__________．55-4.已知函数()sin cos f x x a x =+图象的一条对称轴是4x π=，且当x θ=时，函数()sin ()g x x f x =+取得最大值，则cos θ= .555.已知的定义域为[].则的最小值为．6.函数sin52sinxyx+=-的最大值为．6题型六：三角函数的对称性1.已知函数y＝A sin(2x＋φ)的对称轴为x＝，则φ的值为．kπ＋(k∈Z)2.将函数f(x)＝2sin(2x－)的图象向左平移m个单位(m＞0)，若所得的图象关于直线x＝对称，则m的最小值为．3.已知函数f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x∈[0，]，则f(x)的取值范围是________．[－，3]。
28_1_3 特殊角的三角函数值 基础训练(解析版)
28.1.3 特殊角的三角函数值基础训练一、单选题：1）A．cos30︒B．tan30︒C．cos45︒D．sin30︒2．已知()tan90α︒-α的度数是（）A．60°B．45°C．30°D．75°3．在ABC中，90C∠=︒，若1sin2A=，则cos B的值为（）A．12B C．2D 【答案】A4．下列各式中不成立的是（ ）A ．22sin 60sin 301︒+︒=B ．tan 45tan30︒>︒C ．tan45sin45>︒︒D ．sin30cos301︒+︒=5．若2(tan 1)|2cos 0A B -+=，则ABC ∆的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形6．式子2cos30tan45︒-︒的值是（）A．0B．C．2D．2-7．若菱形的周长为2，则菱形两邻角的度数比为（）A．6：1B．5：1C．4：1D．3：1菱形的周长为AB CD//C∴∠=135∴∠∠C B:故选：D．二、填空题：8．已知α是锐角，tan0α-=，则α＝______；cosα=______．##0.5【答案】60°##60度129．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin ABC∠＝____．##0.5【答案】12【分析】利用直角三角形的两锐角互余求得∠ABC 的度数，再利用特殊角的三角函数即可求得sin ABC ∠的10．已知()2sin 453α+=α=________．15)453=)3452=【详解】解：()2sin 453α+=)3452=， 4560=，15．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，灵活变形，熟记公式是解题的关键．11．计算：()22cos 60sin 45︒+︒︒=___________．【答案】34##0.75 【分析】将特殊角的三角函数值代入原式，即可求解．12．0111()()23--+|tan45°＝_____．13．在ABC 中，若()2sin tan 10A B -= ，则C ∠的度数为__________ 【答案】75︒##75度∠的正切值是______．14．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则AOB三、解答题：15．计算：(1)()012260cos60-+-π︒-︒；(2))021sin 4520226tan302︒+︒．16．先化简，再求值：22231393a a a a -⎛⎫-÷ ⎪+-+⎝⎭，其中2sin603tan 45a =︒+︒.17．已知：如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是弧AC 上一动点且不与点A ，C 重合，AG DC ，的延长线交于点F ，连结BC ．CD =2BE =．(1)求半径长．(2)求扇形DOC 的面积． 设O 的半径为Rt OEC 中，32COE ∠=60COE =︒，再由垂径定理可得扇形的面积公式求解即可．）解：如图，连接OC ．设O 的半径为R ．Rt OEC 中，22OC OE =＋()222R =-。
新教材三角函数求值练习题(附答案)
2021年12月30日高中数学作业姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、单选题（共10小题）1. 化简√1-sin 23π5的结果是( ) A. cos 3π5B. sin 3π5C. -cos 3π5D. -sin 3π52. 已知tan α＝√3，α为第三象限角，则sin α＝( )A. 12B. －12C. √32D. －√323. 如果角θ的终边经过点(−35,45)，那么sin (π2+θ)＋cos (π－θ)＋tan (2π－θ)等于( )A. －43B. 43C. 34D. －344. 已知sin θ=15,则cos (450°+θ)的值是( )A. 15B. -15C. -2√65 D. 2√65 5. 化简： sin (θ−5π)cos(−π2−θ)cos (8π−θ)sin(θ−3π2)sin (−θ−4π)等于( )A. －sin θB. sin θC. cos θD. －cos θ6. 若sin θ·cos θ>0,则θ在 ( )A. 第一或第四象限B. 第一或第三象限C. 第一或第二象限D. 第二或第四象限7. 已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{1,3,5}，B ＝{1,2}，则∁U (A ∪B )等于( )A. {4,6,7}B. {4,6}C. {1,2,3}D. {2,3,5}8. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数，设a ＝f (－3)，b ＝f (π)，c ＝f (－1)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. a <c <bB. c <b <aC. b <a <cD. c <a <b9. 给出三个数a ＝，b ＝3，c ＝log 3，则它们的大小顺序为( )A. b <c <aB. b <a <cC. c <a <bD. c <b <a10. 已知a ＝，b ＝log 2，c ＝log 3，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >b >a二、多选题（共1小题）11. (多选题)若角α的终边过点P (-3,-2),则 ( )A. sin αtan α<0B. cos αtan α<0C. sin αcos α>0D. sin αcos α<0三、填空题（共10小题）12. 若sin α＝45，cos α＝35，则tan α＝________.13. 已知tan α＝12，α∈(0,π2)，则sin α－cos α＝________.14. 若cos α＝35，且α为第四象限角，则tan α＝ .15. 已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α＝ .16. 已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α−cos 2α＝ .17. 化简sin(15π2+α)cos(α−π2)sin(9π2−α)cos(3π2+α)＝________.18. 已知sin α是方程2x 2－x －1＝0的根，α是第三象限角，则sin(−α−3π2)cos(32π−α)cos(π2−α)sin(π2+α)·tan 2(π－α)＝________.19. 在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为35，则t a n α＝________.20. 已知角α的终边经过点(－4，m )且cos α＝－45，则sin α＝________.21. 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限.四、解答题（共4小题）22. 已知tan α＝2.(1)求sin α−3cos αsin α+cos α的值；(2)求2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α的值.23. 已知α的终边与单位圆交于点P (m,√154)，且α为第二象限角．求sin(α−π2)sin (π+α)−sin(3π2−α)+1的值．24. 已知f (α)=tan (π-α)·cos (2π-α)·sin(π2+α)cos (-α-π).(1)化简f (α). (2)若f (π2-α)=-35,且α是第二象限角,求tan α.25. 利用诱导公式化简： (1)sin (3π2+α)；(2)cos (3π2−α).1. 【答案】C【解析】√1-sin 23π5=√cos 23π5=|cos 3π5|, 因为π2<3π5<π,所以cos 3π5<0,所以|cos 3π5|=-cos 3π5, 即√1-sin 23π5=-cos 3π5. 2. 【答案】D【解析】∵tan α＝sin αcos α＝√3，∴cos α＝√33sin α.又sin 2 α＋cos 2 α＝1，∴sin α＝±√32.又α为第三象限角，∴sin α＝－√32.3. 【答案】B【解析】易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.4. 【答案】B【解析】cos (450°+θ)=cos (90°+θ)=-sin θ=-15.5. 【答案】A【解析】原式＝sin (θ−π)cos(π2+θ)cos θsin θsin (−θ)＝(−sin θ)(−sin θ)cos θsin θ(−sin θ)＝－sin θ.6. 【答案】B【解析】因为sin θ·cos θ>0,所以sin θ>0,cos θ>0或sin θ<0,cos θ<0,所以θ在第一象限或第三象限.7. 【答案】A【解析】∵A ＝{1,3.5}，B ＝{1,2}，∴A ∪B ＝{1,2,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，∴∁U (A ∪B )＝{4,6,7}．8. 【答案】D【解析】由函数f (x )是偶函数可知f (－1)＝f (1)，f (－3)＝f (3)．又函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f (1)<f (3)<f (π)，即c <a <b ，故选D.9. 【答案】D【解析】因为a ＝>1,0<b ＝3<1，c ＝log 3<0，所以a >b >c .10. 【答案】A【解析】∵>30＝1，＝log 2<log 2<log 22＝1，log 3＝，∴a >b >c . 11. 【答案】ABC【解析】因为角α的终边过点(-3,-2),r =|OP |=√(-3)2+(-2)2=√13,所以sin α=y r =√13=-2√1313<0, cos α=x r =√13=-3√1313<0, tan α=y x =-2-3=23>0,sin α·tan α<0,cos α·tan α<0,sin α·cos α>0.12. 【答案】43【解析】tan α＝sin αcos α＝43.13. 【答案】－√55【解析】因为tan α＝12＝sinαcosα，由{sinαcosα=12,sin 2α+cos 2α=1,解得{sinα=√55,cosα=2√55,所以sin α－cos α＝√55－2√55＝－√55. 14. 【答案】－43 【解析】因为α为第四象限角，且cos α＝35，所以sin α＝－√1−cos 2α＝－√1−(35)2＝－45， 所以tan α＝sin αcos α＝－43.15. 【答案】－513【解析】由条件知sin α＝－√1−cos 2α＝－√1−(1213)2＝－513. 16. 【答案】43【解析】因为tan α＝－12，所以2sin αcos αsin 2α−cos 2α＝2tan αtan 2α−1＝2×(−12)(−12)2−1＝43. 17. 【答案】－1【解析】原式＝sin(3π2+α)cos(π2−α)sin(π2−α)sinα＝(−cos α)∙sin αcos αsin α＝－1.18. 【答案】－13【解析】∵方程2x 2－x －1＝0的根为－12或1，又α是第三象限角，∴sin α＝－12，∴cos α＝－√1−sin 2α＝－√32，∴tan α＝sin αcos α＝√33，∴原式＝cos α(−sin α)sin α∙cos α·tan 2α＝－tan 2α＝－13. 19. 【答案】34或－34【解析】由题意，设点A 的坐标为(x,35)，所以x 2＋(35)2＝1，解得x ＝45或－45.当x ＝45时，角α在第一象限，t a n α＝3545＝34；当x ＝－45时，角α在第二象限，t a n α＝354−5＝－34.20. 【答案】±35【解析】∵r ＝√16+m 2，∴cos α＝√16+m 2＝－45，∴m ＝±3.∴sin α＝±35.21. 【答案】二【解析】因为点P (tan α，cos α)在第三象限，则tan α<0且cos α<0，故角α的终边在第二象限.22. 【答案】解 (1)法一 (代入法)∵tan α＝2，∴sin αcos α＝2，∴sin α＝2cos α. ∴sin α−3cos αsin α+cos α＝2cos α−3cos α2cos α+cos α＝－13.法二 (弦化切)∵tan α＝2.sin α−3cos αsin α+cos α＝sin αcos α−3sin αcos α+1＝tan α−3tan α+1＝2−32+1＝－13. (2)2sin 2α－sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α−sin αcos α+cos 2αsin 2α+cos 2α ＝2tan 2α−tan α+1tan 2α+1＝2×4−2+14+1＝75.23. 【答案】解 由题意知m 2＋(√154)2＝1， 解得m 2＝116， 因为α为第二象限角，故m <0，所以m ＝－14，所以sin α＝√154，cos α＝－14. 原式＝−cos α−sin α−(−cos α)+1＝14−√154−14+1＝－3+√156. 24. 【答案】解 (1)f (α)=tan (π-α)·cos (2π-α)·sin(π2+α)cos (-α-π) =-tanα·cosα·cosα-cosα=sin α. (2)由sin (π2-α)=-35,得cos α=-35,又α是第二象限角,所以sin α=√1-cos 2α=45,则tan α=sinαcosα=-43.25. 【答案】解 (1)sin (3π2+α)＝sin (π＋π2＋α)＝－sin (π2＋α)＝－cos α (3π2−α)＝cos (π+π2−α)＝－cos (π2−α)＝＝－sin α.。
三角函数化简求值练习题(超级好)
三角化简求值测试题1．若sin α＝35，α∈(－π2，π2)，则cos(α＋5π4)＝________.2．已知π<θ<32π，则 12＋12 12＋12cos θ＝________.3．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.4．函数y ＝2cos 2x ＋sin2x 的最小值是__________________．5．函数f (x )＝(sin 2x ＋12010sin 2x )(cos 2x ＋12010cos 2x)的最小值是________． 6．若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝_____.7．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为________．8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．9．若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．10．若函数f (x )＝sin2x －2sin 2x ·sin2x (x ∈R )，则f (x )的最小正周期为________．11． 2cos5°－sin25°cos25°的值为________．12．向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，|a －2b |＝________________.13．已知1－cos2αsin αcos α＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.14．设a ＝sin14°＋cos14°，b ＝sin16°＋cos16°，c ＝62，则a 、b 、c 的大小关系是________.15．已知角α∈(π4，π2)，且(4cos α－3sin α)(2cos α－3sin α)＝0.(1)求tan(α＋π4)的值；(2)求cos(π3－2α)的值．16. 已知tan α＝2.求(1)tan(α＋π4)的值；(2)sin2α＋cos 2(π－α)1＋cos2α的值．17．如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α. (1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，tan C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B，sin(B －A )＝cos C .，，求角A 。
微专题1三角函数的求值问题(解析)
微专题1 三角函数的求值问题考题导航题组一 给角求值问题给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．1. 解析：(1) 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得sin α＝－45，所以sin (α＋π)＝－sin α＝45. (2) 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45得cos α＝－35， 由sin (α＋β)＝513得cos (α＋β)＝±1213. 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.1. 1 解析：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·(1＋3sin 10°cos 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝2sin 50°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2cos 40°·sin 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1. 2. 3 解析：2cos 10°－sin 20°cos 20°＝2cos （30°－20°）－sin 20°cos 20°＝3cos 20°cos 20°＝ 3. 题组二 给值求值问题给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．1. 解析：(1) 因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α， 所以sin α＝43cos α. 因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925， 所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2) 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos (α＋β)＝－55， 所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， 所以tan (α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247， 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.1. 59 解析：sin ⎝⎛⎭⎫x －5π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x ＋π6－π＋sin 2⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋cos 2⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝－13＋89＝59. 2. －12解析：因为sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， 所以(1－sin α)2＋(－cos α)2＝1，所以sin α＝12，cos β＝12，所以sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12×12－cos 2α＝14－1＋sin 2α＝－12. 题组三 给值求角问题此类问题通常可以转化为“给值求值”问题．1. 解析：因为cos α＝17，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以sin α＝437. 因为cos (α＋β)＝－1114，α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以sin (α＋β)＝5314， 所以cos β＝cos (α＋β－α)＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α＝－1114×17＋5314×437＝12. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以－α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0. 因为α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以α＋β－α∈(0，π)，所以β∈(0，π)，所以β＝π3.1. π4 解析：因为α，β为锐角，所以tan α＝2t >0，tan β＝t 15>0.因为10tan α＋3tan β＝20t ＋t 5≥220t ·t 5＝4，当且仅当t ＝10时等号成立，所以tan α＝15，tan β＝23，所以tan (α＋β)＝15＋231－15×23＝1.又因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4. 2. －π4 解析：因为tan α＝2，所以tan 2α＝2＋21－22＝－43.因为β∈(0，π)，cos β＝－7210，所以tan β＝－17，所以tan (2α－β)＝－43＋171＋⎝⎛⎭⎫－43×⎝⎛⎭⎫－17＝－1.因为α，β∈(0，π)，且tan α＝2，cos β＝－7210，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π，π2，所以2α－β＝－π4. 冲刺强化训练(1)1. (1) 3 解析：cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π5－π2＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5，所以原式＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5，将上式分子、分母同时除以cos αcos π5，则原式＝tan α＋tanπ5tan α－tan π5＝3. (2) －4 解析：原式＝3cos 10°－1sin 10°＝3sin 10°－cos 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫32sin 10°－12cos 10°12sin 20°＝2sin （10°－30°）12sin 20°＝－4. (3) 75 解析：tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16×1＝75. 2. 725解析：因为0°<α<90°，所以－45°<α－45°<45°，所以cos (α－45°)＝1－sin 2（α－45°）＝1－⎝⎛⎭⎫－2102＝7210，所以cos 2α＝sin (90°－2α)＝2sin (45°－α)cos (45°－α)＝－2sin (α－45°)cos (α－45°)＝－2×⎝⎛⎭⎫－210×7210＝725. 3. －2 解析：由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝1＋tan θ1－tan θ＝3，解得tan θ＝12，所以sin θcos θ－3cos 2θ＝sin θcos θ－3cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ－3tan 2θ＋1＝12－3⎝⎛⎭⎫122＋1＝－2. 4. －45 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝32cos α＋32sin α＝435，所以12cos α＋32sin α＝45，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45.5. π2 解析：tan α＝1＋sin βcos β＝（sin β2＋cos β2）2（cos β2＋sin β2）（cos β2－sin β2）＝sin β2＋cos β2cos β2－sin β2＝1＋tanβ21－tan β2＝tan ⎝⎛⎫π4＋β2.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以π4＋β2∈⎝⎛⎫π4，π2.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＝π4＋β2，即2α－β＝π2. 6.7π4 解析：因为α、β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，所以cos α＝－255，sin β＝1010，所以cos (α＋β)＝22.又π<α＋β<2π，所以α＋β＝7π4. 7. π3 解析：由tan x tan y ＝2，得sin x sin y ＝2cos x cos y ．又sin x sin y ＝13，所以cos x cos y ＝16，故cos (x －y)＝cos x cos y ＋sin x sin y ＝16＋13＝12.由0<y<x<π，得x －y ∈(0，π)，所以x －y ＝π3. 8. 4 解析：在锐角三角形ABC 中，因为b a ＋a b ＝6cos C ，由余弦定理可得a 2＋b 2ab＝6·a 2＋b 2－c 22ab ，化简得a 2＋b 2＝3c 22.又tan C tan A ＋tan C tan B ＝sin C cos A cos C sin A ＋sin C cos B cos C sin B ＝sin C cos C ·⎝⎛⎭⎫cos A sin A ＋cos B sin B ＝sin C cos C ·sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝sin 2C sin A sin B cos C ＝c 2ab·cos C＝c 2ab ·2ab a 2＋b 2－c 2＝2c 23c 22－c 2＝4. 9. －33解析：因为sin (α＋β)＝2sin (α－β)，所以sin αcos β＋sin βcos α＝2(sin αcos β－cos αsin β)，所以3cos αsin β＝sin αcos β，所以3tan β＝tan α，所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2tan β1＋3tan 2β＝21tan β＋3tan β.因为β为钝角，所以tan β<0，所以1tan β＋3tan β＝－(|1tan β|＋3|tan β|)≤－23，所以原式＝21tan β＋3tan β≥－33. 10. 解析：因为sin α＋sin β＝1，cos α＋cos β＝3，所以sin 2α＋sin 2β＋2sin αsin β＋cos 2α＋cos 2β＋2cos αcos β＝4，所以2cos (α－β)＋2＝4，所以cos (α－β)＝1.11. 解析：(1) cos B ＝45，B ∈⎝⎛⎭⎫0，3π4， 所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35， 由正弦定理知AC sin B ＝AB sin C， 所以AB ＝AC·sin C sin B ＝6×2235＝5 2. (2) 在三角形ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π－(B ＋C)，所以cos A ＝－cos (B ＋C)＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝－cos B cos π4＋sin B sin π4. 又cos B ＝45，sin B ＝35， 故cos A ＝－45×22＋35×22＝－210. 因为0<A<3π4，所以sin A ＝1－cos 2A ＝7210， 所以cos ⎝⎛⎭⎫A －π6＝cos A cos π6＋sin A sin π6＝－210×32＋7210×12＝72－620. 12. 解析：(1) 因为3tan A tan B －(tan A ＋tan B)＝3，所以－(tan A ＋tan B)＝3(1－tan A tan B)，所以tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－3， 所以tan (A ＋B)＝－3，所以－tan C ＝－3，所以tan C ＝3，C ∈(0，π)，所以C ＝π3. (2) 因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ， 所以a sin A ＝b sin B ＝c sin π3＝2， 所以a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin π3＝3， 所以a ＋b ＋c ＝2sin A ＋2sin B ＋ 3＝2sin A ＋2sin ⎝⎛⎭⎫2π3－A ＋ 3 ＝2sin A ＋2sin 2π3cos A －2cos 2π3sin A ＋ 3 ＝2sin A ＋3cos A ＋sin A ＋ 3＝3sin A ＋3cos A ＋ 3＝23⎝⎛⎭⎫32sin A ＋12cos A ＋ 3 ＝23sin (A ＋π6)＋ 3. 因为A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，所以A ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，5π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6∈⎝⎛⎦⎤12，1， 所以23sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋3∈(23，33]， 故△ABC 的周长的取值范围是(23，33]．13. 解析：(1) 因为点P 的横坐标为277，P 在单位圆上，α为锐角，所以cos α＝277，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝17. (2) 因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝3314. 又因为β为锐角，所以cos β＝1314. 因为cos α＝277且α为锐角，所以sin α＝217， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝437， 所以sin (2α－β)＝437×1314－17×3314＝32. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<π2. 又β为锐角，所以－π2<2α－β<π2， 所以2α－β＝π3.。
方法12：已知角求三角函数值
方法12 已知角求三角函数值一、单选题1．等腰三角形底和腰之比为黄金分割比的三角形称为黄金三角形，它是最美的三角形.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，且每个黄金三角形都是顶角为36°的等腰三角形，如图所示：在黄金角形ABC中，BC AC =，根据这些信息，可求得cos144︒的值为（ ）A．14- B．12-C．14+-D．38+-【答案】C 【分析】由已知求得72ACB ∠=︒，可得cos72︒的值，再由二倍角的余弦及三角函数的诱导公式求解cos144︒． 【解析】由图可知72ACB ∠=︒，且12cos 72BCAC ︒==所以21cos1442cos 7214︒=︒-=- 故选:C . 2．已知sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，则313f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ） A ．12B ．13 C ．12-D ．13-【答案】C 【分析】利用诱导公式先化简整理函数()f x ，再利用诱导公式求值即可. 【解析】 由sin()cos(2)()cos()tan x x f x x xπππ--=--，利用诱导公式得：sin cos ()cos cos tan x xf x x x x==--，所以31311cos cos 103332f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故选：C.3．sin160cos10cos20sin10︒︒+︒︒=（ ）A ．B ．12-C ．12D 【答案】C 【分析】利用诱导公式将160化为20，再根据两角和的正弦公式可得结果. 【解析】1sin160cos10cos 20sin10sin 20cos10cos 20sin10sin 302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒==。
故选：C 【小结】利用诱导公式将160化为20是解题关键.4．sin15cos15sin15cos15+-的值是（ ）A ．BCD 【答案】A 【分析】根据sin15cos150-<，将sin15cos15sin15cos15+-化为2(sin15cos15)-，利用同角公式和二倍角的正弦公式可解得结果. 【解析】因为sin15cos15<，所以sin15cos150-<，所以sin15cos15sin15cos15+-=2(sin15cos15)-30=== 故选：A 【小结】本题考查了同角公式，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题. 5．若0000cos sin 63cos18cos63cos108x =+，则cos2x 等于（ ） A ．12- B ．34- C ．0 D．12【答案】C 【解析】0000cos sin 63cos18cos 63sin18sin 45,2x =-=︒=21cos 22cos 12102x x =-=⨯-=.故选：C.6．()cos 75-︒的值是() A．2B．2C．4- D ．4【答案】C 【分析】变形()()cos 75cos 45120-︒=︒-︒后，根据两角差的余弦公式计算可得答案. 【解析】()()1cos 75cos 45120cos 45cos120sin 45sin12022⎛⎫-︒=︒-︒=︒⋅︒+︒︒=-+ ⎪⎝⎭2=， 故选：C. 【小结】本题考查了两角差的余弦公式，属于基础题.7．17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，12BC AC =.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A ．14- B ．38+-C ．14+-D ．48+-【答案】C 【分析】先求出1cos 4ACB ∠=，再根据二倍角余弦公式求出cos144，然后根据诱导公式求出sin 234. 【解析】由题意可得：72ACB ︒∠=，且12cos BCACB AC ∠==，所以22cos1442cos 72121︒︒=-=⨯-=⎝⎭， 所以()sin 234sin 14490cos144︒︒︒︒=+==， 故选：C 【小结】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.二、多选题8．下列选项中，与11sin()6π的值互为相反数的是（ ） A ．22cos 151- B ．cos18cos 42sin18sin 42︒︒︒︒-C ．2sin15sin 75D ．tan 30tan151tan 30tan15+-【答案】BC 【分析】先计算已知正弦值111sin(62π)=-，它的相反数等于12，逐一计算选项，判断是否相等即可.【解析】 首先111sin(sin()662ππ)=-=-，它的相反数等于12，下面计算选项：对于A ，2o o 2cos 151cos30-==对于B ，ooooooo1cos18cos 42sin18sin 42cos(1842)cos602-=+==，相等； 对于C ，ooooo12sin15sin 752sin15cos15sin 302===，相等； 对于D ，o o oo otan 30tan15tan 4511tan 30tan15+==-，不相等； 故选：BC.【小结】本题考查了三角恒等变换的应用，属于基础题. 9．下列选下选项中，值为14的是（ ） A ．cos72cos36︒︒ B．1sin 50cos50+︒︒C ．5sinsin1212ππ D ．22cossin 1212ππ-【答案】AC 【分析】利用三角恒等变换公式，逐个化简求值，即可得出答案. 【解析】对于A 中2sin 36cos36cos72cos36cos722sin 36︒︒︒︒︒=︒2sin 72cos72sin14414sin 364sin 364︒︒︒===︒︒.对于B中原式12cos50502cos50501sin 50cos502sin 50cos502⎛⎫︒︒ ⎪︒︒⎝⎭==︒︒⨯︒︒2sin802sin80411sin100sin8022︒︒===︒︒. 对于C 中sin2sincos511212sinsinsin cos 121212122246πππππππ====. 对于D中22πcos sin cos12126ππ-==故选：AC. 【小结】本题考查三角恒等变换公式，属于容易题. 10．下列四个等式其中正确的是（ ） A．tan 25tan 3525tan 35︒︒︒︒++=B ．2tan 22.511tan 22.5︒︒=- C ．221cossin 882ππ-=D．14sin10cos10︒︒-= 【答案】AD 【分析】根据利用两角和与差的正切、正弦、二倍角公式进行三角恒等变换一一计算可得答案. 【解析】 A 选项，tan 25tan 35tan(25351tan 25tan 3)5︒︒︒︒︒︒++==-tan 25tan 35tan 25tan 3525t )an 35︒︒︒︒︒︒∴-=+=tan 25tan 3525tan 3525tan 3525tan 35︒︒︒︒︒︒︒︒∴+=++=B 选项，2tan 22.5tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒︒==-+，2tan 22.511tan 22.52︒︒∴=-，所以错误； C 选项，22cos sin cos(2)cos 8884ππππ-=⨯==，所以错误； D 选项，132(cos10sin10)1cos103sin1022sin10cos10sin10cos10sin10cos10︒︒---==2(sin 30cos10cos30sin10)2sin 204112sin10cos10sin 2022-===⨯ 所以正确. 故选：AD. 【小结】本题考查三角恒等变换，两角和与差的正弦正切公式、二倍角公式等，公式要熟练记忆是解本题的关键. 11．下列化简正确的是（） A ．1cos82cos 22sin82sin 222︒︒+︒︒=B ．22cos 15sin 152︒-︒=C ．tan 48tan721tan 48tan72︒+︒=-︒︒D ．1sin15sin 30sin 754︒︒︒=【答案】ABC 【分析】利用两角差的余弦公式判断选项A ；利用二倍角公式判断选项B ；利用两角和的正切公式判断选项C ；先利用诱导公式转化，再利用二倍角公式判断选项D. 【解析】()1cos82cos 22sin82sin 22cos 8222cos602︒︒+︒︒=︒-︒=︒=，故A 正确；22cos 15sin 15cos30︒-︒=︒=B 正确； ()tan 48tan 72tan 4872tan1201tan 48tan 72︒+︒=︒+︒=︒=-︒︒C 正确；()1111sin15sin 30sin 75sin15sin 9015sin15cos15sin 302248︒︒︒=︒︒-︒=︒︒=︒=，故D 不正确.故选：A B C. 【小结】本题主要考查倍角公式和两角和与差公式.属于较易题.三、解答题12．已知函数()4cos sin 1()6f x x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象．（1）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （2）求函数()y g x =的解析式；（3）若02x f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求()0g x ． 【答案】（1）2；（2）()2sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）1- 【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简函数得解析式()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再代入3x π=即可求解；（2）利用图像平移变换“左加右减”即可得到()y g x =的解析式；（3）由02x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可求出02()2=+∈x k k Z ππ或052()6=+∈x k k Z ππ，再分类讨论求出()0g x ． 【解析】（1）1()4cos sin 14cos sin cos 162⎛⎫⎛⎫=-+=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x x x π2cos 2cos 12cos 2x x x x x =-+=-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 22sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）根据图像平移变换可知：2sin 22sin 6()2666πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦⎭⎝⎭g x f x x x π（3）02⎛⎫= ⎪⎝⎭x f 002sin 26⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x f x π，即0sin 6⎛⎫-= ⎪⎝⎭x π， 解得：02()63-=+∈x k k Z πππ或022()63-=+∈x k k Z πππ 所以：02()2=+∈x k k Z ππ或052()6=+∈x k k Z ππ 当022x k ππ=+时，()02sin 22s 66n 2142i ⎡π⎤7π⎛⎫+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫=+=+ ⎪⎦⎝⎭x k k g πππ 当0526x k π=+π时，()052sin 22s 21in 4666⎡π⎤11π⎛⎫+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎛⎫=+=+ ⎪⎦⎝⎭x k k g πππ 综上可知，()01g x =- 【小结】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图像变换规律，做题时要注意三点： （1）弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，先利用诱导公式化为同名函数； （3）由sin y A x ω=的图像得到()sin y A ωx φ=+的图像时，需平移的单位数应为ϕω，而不是||ϕ． 13．设函数()sin 2f x x π=．（1）求()()()122020f f f +++；（2）令()2g x f x π⎛⎫=⎪⎝⎭，若任意α、R β∈，恒有()()2cos sin 22g g αβαβαπβ+-++=⋅，求537coscos 2424ππ⋅的值． 【答案】（1）()()()0122020f f f +++=；（2）5371coscos 24244ππ⋅=. 【分析】（1）计算出函数()f x 的最小正周期为4T =，计算出()()()()1234f f f f +++的值，由此可求得所求代数式的值；（2）求得()sin g x x =，根据题中条件得出sin sin 2cossin22αβαβαβ+--=⋅，利用诱导公式可得出5375coscos cos sin 24242424ππππ⋅=⋅，结合等式sin sin 2cos sin 22αβαβαβ+--=⋅可求得结果. 【解析】（1）函数()sin2f x x π=的最小正周期为242T ππ==，则()()()()31234sinsin sinsin 21010022f f f f ππππ+++=+++=+-+=， 又20205054=⨯，因此，()()()12202050500f f f +++=⨯=；（2）()22sin sin 2g x f x x x πππ⎛⎫⎛⎫==⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则对任意的α、R β∈，恒有()()()sin sin sin sin 2cossin22g g αβαβαπβαπβαβ+-++=++=-=⋅，373coscos sin 2422424ππππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则5375cos cos cos sin 24242424ππππ⋅=⋅，令5224αβπ+=，224αβπ-=，可得4πα=，6πβ=，因此，53751511cos cos cos sin 2cos sin sin sin 24242424224242464ππππππππ⎛⎫⋅=⋅=⨯⋅=-=⎪⎝⎭. 【小结】本题的第（1）问在求解函数值时，要分析出函数()f x 的最小正周期为4，计算出()()()()1234f f f f +++的值，再结合函数()f x 的周期进行求解；本题的第（2）问要将代数式变形为5375cos cos cos sin 24242424ππππ⋅=⋅，并由5224αβπ+=，224αβπ-=求得α、β的值，结合题中信息求解. 14．在ABC 中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=.（1）求sin BAD ∠； （2）求ABC 的面积. 【答案】（1）26；（2） 【分析】（1）根据平方和公式算出sin ADC ∠，根据两角差的正弦公式算出sin BAD ∠； （2）由正弦定理算出7BD =，得到718BC =+=，代入面积公式1sin 2S AB BC ABD =⋅⋅⋅∠，即可得出面积值. 【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，知sin ADC ∠==， 则()sin sin 60BAD ADC ∠=∠-︒sin cos60cos sin60ADC ADC =∠⋅︒-∠⋅︒11226=-=， （2）在ABD △中，由正弦定理得：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠=，即7BD =，所以718BC =+=，于是1sin 2S AB BC ABD =⋅⋅⋅∠ 1158sin 602︒=⨯⨯⨯= 【小结】三角形常用面积公式：（1）12a S ah =(a h 表示边a h 上的高)； （2）111sin sin sin 222S ab C ac B bc A ===；（3）1()2S r a b c =++ (r 为三角形内切圆半径).15．已知函数()sin sin 3f x x x π=+-⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求f (0) 的值； （2）求f (x )的最小正周期；（3）当x ∈02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，时， 求f (x )的值域.【答案】（1（2）2π；（3）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）直接代入求解即可；（2）利用两角差的正弦公式以及辅助角公式化简整理得到()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，即可得出结果；（3）由x 的范围，结合不等式的性质，得到ππ5336π,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用正弦函数的取值即可得出答案． 【解析】（1）由()sin sin 3f x x x π=+-⎛⎫⎪⎝⎭，得()0sin 0sin 032f π⎛⎫=+-=⎪⎝⎭； （2）()sin sin sin sin cos cos sin 333f x x x x x x πππ⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭1sin 2x x = sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为221T ππ==； （3）π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5336π,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∈ 13πsin ,12x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． ∈ ()f x 的值域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 16．在ABC中，a =b =3B π=.（1）求sin()6A π+； （2）求C . 【答案】（1）4π；（2）512π. 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和大边对大角可求得A ，代入sin()6A π+，再根据两角和的正弦公式即可求出结果；（2）利用三角形内角和是180︒，由C A B π=--，从而 得出结果. 【解析】解：（1）由题可知，a =b =3B π=，由正弦定理得sin sin a b A B=，即：3sin sin A =，解得：sin 2A =， 由a b <可知A B <，于是4A π=，故sin sin sin cos cos sin 6464646A πππππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）在ABC 中，A B C π++=， 于是54312C A B πππππ=--=--=. 【小结】本题考查利用正弦定理解三角形，解题的关键在于：根据三角形中大边对大角从而得出A B <，还考查两角和的正弦公式和三角形内角和的应用，属于基础题.17．已知sin ,4102ππααπ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.求： （1）cos α的值； （2）sin 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35；（2）50-. 【分析】（1）利用两角和差公式展开整理，根据同角三角函数的基本关系可求cos α的值；（2）根据二倍角公式求出22cos ,sin αα，再利用两角和差公式展开，代入即可得出结论. 【解析】（1）sin 410πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin coscos sin4410ππαα+=， 化简得1sin cos 5αα+=，∈ 又sin 2α+cos 2α=1，∈ 由∈∈解得cos α=35或cos α=45， 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， 所以3cos 5α=-.（2）因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭， cos α=35， 所以sin α=45，则cos2α=1-2sin 2α=725-， sin2α=2sin αcos α=2425-，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 44450πππααα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭. 【小结】本题主要考查了两角和差公式以及二倍角公式.属于较易题. 18．已知向量()cos ,sin ,(cos ,sin ),105a b a b ααββ==-=. （1）求cos()αβ-的值； （2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α. 【答案】（1）45；（2）1665. 【分析】（1）对等式10a b -=进行平方运算，根据平面向量的模和数量积的坐标表示公式，结合两角差的余弦公式直接求解即可；（2）由（1）可以结合同角的三角函数关系式求出sin()αβ-的值，再由同角三角函数关系式结合sin β的值求出cos β的值，最后利用两角和的正弦公式求出sin α的值即可. 【解析】（1）1,1a b ==，()()2210242555a b a a b ba b -=⇒-⋅+=⇒⋅=44cos cos sin sin cos()55αβαβαβ⇒+=⇒-=；（2）因为0,022ππαβ<<-<<，所以0αβπ<-<，而4cos()5αβ-=，所以sin()35αβ-==，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==. 因此有16sin sin[()]sin()cos cos()sin 65ααββαββαββ=-+=-+-=. 【小结】本题考查了已知平面向量的模求参数问题，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了两角差的余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式的应用，考查了数学运算能力.属于中档题. 19．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，2b =，2242c a c +-=-. （1）求A 的值；（2）从∈a B =，∈4B π=两个条件中选一个作为已知条件，求sin C 的值.【答案】（1）23A π=；（2）选择见解析；sin C =【分析】 （1）由余弦定理结合已知即得解；（2）选择∈a B =，利用正弦定理求出π4B =，再利用sin sin()C A B =+即得解；选择∈4B π=，利用sin sin()C A B =+即得解. 【解析】（1）由2242c a c +-=-得：22222421cos 22242b c a c a c A bc c c +-+--====-⋅，又因为0A π<<，所以23A π=. （2）选择∈作为已知条件.在∈ABC 中，由a B =，以及正弦定理sin sin a b A B=，2sin sin 3B =，解得21sin 2B =， 由2π3A =，得B 为锐角，所以π4B =， 因为在∈ABC 中，πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+2ππ2ππsincos cos sin 3434=+，所以sin 4C =选择∈作为已知条件，因为在∈ABC 中，πA B C ++=，所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+2ππ2ππsincos cos sin 3434=+，所以sin C = 【小结】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．求下列三角函数值： （1）16sin 3π⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）()cos 945-︒.【答案】（1（2）【分析】（1）利用诱导公式，把负角化正角，大角化小角，即可得出结果. （2）利用诱导公式，把负角化正角，大角化小角，即可得出结果.【解析】（1）16164sin()sin()sin(4)sin()sin 33333πππππππ-=-=-+=-+==（2）()()()cos 945cos945cos 720+225cos 180+45cos 452︒︒︒︒︒︒︒-====-=- 【小结】本题考查了诱导公式的应用，考查了计算能力，属于基础题目.21．设函数()()sin f x A x =+ωϕ（A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()5f θ=-，求7cos 212πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1） ())3f x x π=+；（2）10-【分析】（1）由函数图象可得=A π，进而可得=2ω，由函数过点7(,12π，可得3πϕ=，进而可得结果 （2）3sin(2)035πθ+=-<和角的范围，可得4cos(2)35πθ+=-， 7cos(2)cos(2)1234πππθθ+=++，利用两角和的余弦公式可得结果. 【解析】（1）由图象可知，=A 373=(),41264ππππ--=∴=T T ，2==2ππωω⇒ ())ϕ=+f x x 过点7(,12π，7)2,123ππϕϕπ⋅+==+∈k k Z 0,3πϕπϕ<<∴=())3π=+f x x（2）()3)sin(2)0335ππθθθ=+=⇒+=-<f 又因为4(0,),2(,)2333ππππθθ∈+∈，所以42(,)33ππθπ+∈，4cos(2)35πθ∴+=- 7cos(2)cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 12343434πππππππθθθθ+=++=+-+43=()55---=【小结】本题考查了通过三角函数的图象求解析式，利用三角恒等变换求三角函数值，考查了运算求解能力，属于基础题目. 22．计算： （1）sin 57sin 27cos30cos 27︒-︒︒︒；（2）tan 25tan 3525tan 35︒+︒+︒︒ 【答案】（1）12； （2）0. 【分析】（1）根据()sin 57sin 3027=+，结合两角和与差的正弦公式化简即可求得答案.（2）根据两角和与差的正切公式求得)tan 25tan351tan 25tan35︒+︒=-︒︒，进而代入化简即可得出答案. 【解析】解：（1）由()sin 3027sin 27cos30sin57sin 27cos30cos 27cos 27︒︒+-︒︒-=︒︒︒︒︒ sin 30cos 27cos30sin 27sin 27cos30cos 27︒︒︒︒+︒︒-=．sin 30cos 271sin 30cos 272=︒︒︒=︒=；（2）由()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒=︒+︒==-︒︒可得)tan 25tan351tan 25tan35︒+︒=-︒︒，所以tan 25tan 3525tan 35︒+︒︒⋅︒)1tan 25tan3525tan35=-︒︒︒⋅︒=故原式tan 25tan 3525tan 35︒+︒=︒︒0=. 【小结】本题考查三角函数的化简求值，涉及两角和与差的正弦公式和两角和与差的正切公式的应用，考查化简求值能力.23．求下列各式的值： （1）1sin10cos10-︒︒； （2）若8x π=，求()2sin cos 2cos 2x x x ++的值．【答案】（1）4；（2）. 【分析】（1）先进行通分，然后结合二倍角及辅助角公式进行化简即可求解； （2）展开后结合二倍角公式进行化简，代入即可求解． 【解析】（1）12sin(3010)4sin 2041sin10sin 20sin 202︒-︒︒====︒︒︒； （2）若8x π=，则2(sin cos )2cos21sin 22cos21sin2cos144x x x x x ππ++=++=++= 【小结】本题主要考查了和差角公式、辅助角公式、二倍角公式在三角化简求值中的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.24．已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=． （1）求sin α的值； （2）求tan 2βα⎛⎫+⎪⎝⎭的值．【答案】（1）13；（2 【分析】（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和cos()αβ+，再由[]sin sin ()ααββ=+-，利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得tan α和tan β，利用余弦的二倍角公式求得tan 2β，再由正切的和角公式求解即可.【解析】解：（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭，所以sin β===又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3,22ππαβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以cos()αβ+===，所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+71193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭； （2）由（1）得，1sin 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3α===，所以sin tan cos ααα==，因为22222222cos sin 1tan 222cos cossin 22cos sin 1tan 222βββββββββ--=-==++且1cos 3β=-， 即221tan 1231tan 2ββ-=-+，解得2tan 22β=，因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以tan 02β>，所以tan2β=所以tan tan24tan 1221tan tan 122βαβαβα+⎛⎫+===⎪⎝⎭-⋅-. 【小结】本题考查已知三角函数值求值，考查三角函数的化简，考查和角公式，二倍角公式，同角的三角函数关系的应用，考查运算能力． 25．已知函数22()cos 22cos 3f x x x k π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小值为-3. （1）求常数k 的值，和()f x 的对称轴方程； （2）若63ππθ<<，且4()3f θ=-，求cos2θ的值. 【答案】（1）1k =-，,26k x k Z ππ=+∈；（2. 【分析】（1）化简()f x sin 216x k π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭求出k 的值，再利用正弦函数的对称轴方程，求出()f x 的对称轴方程；（2）利用角的配凑得cos 2cos 266ππθθ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式计算，即可得到答案； 【解析】222()cos 2cossin 2sin 2cos 1133f x x x x k ππ=⋅+⋅+-++1cos 22cos 212x x x k =-+++-1cos 2212x x k =++- sin 216x k π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭∴sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min ()23f x k =-=-，1k ∴=-；当262x k πππ+=+时，即,26k x k Z ππ=+∈为函数()f x 的对称轴方程； （2）4()sin 2263f πθθ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，∴sin 2632πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，63ππθ<<，∴52266πππθ<+<，cos 26πθ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2132=+⋅=【小结】本题考查两角差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函数基本关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意角度范围的限制. 26．求值： （1cos351sin 20-；（2）tan19tan1013tan19tan101+-； （3）248coscoscos cos 17171717ππππ.【答案】（1（2）；（3）116.【分析】（1）利用二倍角的正弦、余弦公式结合辅助角公式化简可得结果；（2）利用两角和正切公式变形()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，将所求代数式化简计算可得结果；（3）将所求代数式变形为447248c o oscoscos cos 1717428coscosc s cos 117172sin 1717171772sin1ππππππππππ⎛⎫⎪⎝⎭=，利用二倍角正弦的降幂公式结合诱导公式化简可求得所求代数式的值. 【解析】 （12222cos351sin 20cos35cos 10sin 102sin10cos10=-+-()()()2cos10sin10cos10sin102sin 1045cos10sin10cos 9055cos35cos 0co 310sin1s 5+-++===--552sin 55== （2）()tan19tan101tan120tan 1910131tan19tan101+=+==--，()tan19tan10131tan19tan10133tan19tan101∴+=--=-+，因此，tan19tan1013tan19tan1013+-=-；（3）447248c o oscoscos cos 1717428coscosc s cos 117172sin 1717171772sin1ππππππππππ⎛⎫⎪⎝⎭=324442248448882sin cos cos cos 2sin cos cos 2sin cos1717171717171717172sin2sin2sin171717ππππππππππππ===44416sin sinsin1171717162sin 2sin 2sin171717πππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭====. 【小结】本题考查三角代数式求值，考查二倍角公式、两角和的正切公式的应用，考查计算能力，属于中等题.27．设函数()cos f x x x =-，x ∈R ． （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）已知6f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）1；（2）2-- 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数()y f x =的解析式，然后代值计算可得出3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）由6f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得α的值，再利用两角和的正切公式可求得tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【解析】 （1）()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，2sin 136fππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭； （2）2sin 6f παα⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以sin α=，又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知3πα=．故tan 1tan 241tan πααα+⎛⎫+===- ⎪-⎝⎭【小结】本题考查三角函数求值，同时也考查了利用两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题. 28．（12sin 50cos101︒+︒+︒（2）在ABC 中，已知2AC =，1AB =，且角A ，B ，C 满足2cos 22sin 12B CA ++=.求角A 的大小和BC 边的长；【答案】（1）2；（2）60A =︒，BC =.【分析】（1）先切化弦，再用辅导角公式，分母用倍角公式等三角恒等变换化简求值；（2）对2cos 22sin12B C A ++=利用倍角公式，降次公式化简，可得1cos 2A =， 从而求得60A =︒，再求余弦定理可求得BC 的长. 【解析】 解：（12sin 50cos101︒+︒+︒40cos 40︒⋅+︒⋅==2sin85cos5︒=︒2= （2）由2cos 22sin12B CA ++=，得cos 2cos()ABC =+，又180A B C ++=︒， 得cos2A =cos(180)A ︒-，得22cos 1cos A A -=-，得(cos 1)(2cos 1)0A A +-=， 由cos 10A +≠，得1cos 2A =，又(0,180)A ∈︒，得60A =︒， 2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅⋅211221232=+-⨯⨯⨯=，得BC =，即60A =︒，BC =【小结】本题考查了三角恒等变换的化简与求值，辅助角公式，二倍角公式，降次公式，余弦定理，还考查了学生分析推理能力，运算能力，属于中档题. 29．化简下列各式： （1cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()cos101sin 40︒︒︒+； （3）sin 2cos 3⎛⎫+-⎪⎝⎭πααα． 【答案】（1）2sin α-；（2）2；（3）12πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意结合两角差的正弦公式化简即可得解；（2）由题意结合同角三角函数商数关系可得原式=，再利用两角和的正弦公式即可得解；（3）由题意结合两角差的正弦公式可得原式2sin 2cos 33ππαα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用两角和的正弦公式即可得解. 【解析】（1）原式12sin cos 626⎤⎛⎫⎛⎫=---⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππαα 2sin cos cos sin 6666⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππππαα()2sin 2sin 2sin 66ππααα⎛⎫=--=-=- ⎪⎝⎭；（2）原式cos10cos10cos101sin 40cos10sin 40cos10︒︒︒︒︒︒︒︒︒⎛⎫=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭12cos102cos10sin 40sin 40︒︒︒︒︒︒⎛⎫ ⎪+⎝⎭==()2sin30cos10cos30sin102sin 402sin 40sin 40︒︒︒︒︒︒︒⋅+⋅===； （3）原式12sin 2cos 23πααα⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos cos sin 2cos 333πππααα⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2cos 332323ππππαααα⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦sin cos cos sin 343434ππππππααα⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦12⎛⎫=- ⎪⎝⎭πα．【小结】本题考查了三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，关键是对原式进行合理变形，属于中档题. 30．已知函数()sin cos 1(0,0)=++≠>f x a x b x ab ωωω的周期为π，()f x 的最大值为4，且162⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f π．（1）求a ，b 的值；（2）若()≠+∈k k Z αβπ，且,αβ是方程()0f x =的两个实根，求tan()αβ+的值．【答案】（1）3,2==a b ；（2【分析】（1）根据辅助角公式化简()f x ，可得())1f x x ωθ++(tan baθ=)，根据正弦函数周期计算公式求得ω，根据()f x 的最大值为4和16⎛⎫=+⎪⎝⎭f π，联立方程即可求得a ，b 的值； （2）根据,αβ是方程()0f x =的两个实根，求得,αβ，根据正切两角和公式即可求得tan()αβ+的值． 【解析】（1）()sin cos 1)1f x a x b x x ωωωθ=++=++(tan b aθ=) 根据函数()f x 的周期为π，可得：2||ππω= 解得：2ω= 又()f x 的最大值为4∴14=故229a b +=——∈16⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f π可得()sincos1633f a b πππ=++——∈由∈∈解得：30a b =⎧⎨=⎩或322a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩0ab ≠∴32a =，b =可得：()3sin(2)13f x x π=++（2）由（1）得()3sin(2)13f x x π=++令()3sin(2)103f x x π=++=可得122arcsin()33x k ππ+=+-或122arcsin()33x k πππ+=+--(k Z ∈) ∴11arcsin()623x k ππ=--或11arcsin()323x k ππ=++(k Z ∈)()≠+∈k k Z αβπ，且,αβ是方程()0f x =的两个实根不妨取511arcsin()623πα=-，11arcsin()323πβ=+ ∴51111tan()tan arcsin()arcsin()623323ππαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦7tan()tan()66ππ===【小结】本题主要考查了求正弦型函数表达式和求三角函数值，解题关键是掌握辅助角公式和正弦函数周期计算公式，及其解三角函数方程的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题． 31．求下列各式的值.（1）cos 20cos 40cos80︒︒︒； （24cos80︒︒+. 【答案】（1）18（2）1 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可；（2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可. 【解析】解：（1）原式1sin160sin 20cos20cos40cos8018sin 20sin 208︒︒===；4sin10︒+=（2）原式()2sin 30102sin 20cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒+-+== cos10cos10︒︒= 1=【小结】本题主要考查了三角函数的化简求值，涉及了二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式，属于常考题.四、填空题32．sin 65sin 35cos30cos35︒︒︒︒-=__________. 【答案】12【分析】将sin 65变为()sin 3530+然后展开化简.【解析】()sin 35sin35sin 6305sin35cos30cos35cos3co 05s3︒︒︒︒︒︒︒︒︒+--=cos30cos35sin 30sin 3cos sin 3551sin 30cos35302︒︒︒︒=+-==.故答案为：12. 【小结】本题考查正弦两角和公式的运用，考查运用公式化简求值，解答时注意观察角度之间的关系，较简单. 33．设()()cos cos 30x f x x =-，则()()()1259f f f +++=__________．【答案】2 【分析】先求出()(60)x f x f +-=，再计算()()()()()()11259[(159)(2(58))2f f f f f f f +++=+++()()(591)]f f +++即得解.【解析】 由题得()()()cos cos cos 30cos 3060(60)(60)x f x x x x x f -+-=+--+ ()()()()cos cos cos cos cos 30co (60s 30cos 30cos 30)(60)x x x x x x x x =+=+------ ()()()(60)(603cos cos cos cos cos 22cos 30cos 30cos 3)0x x x x x x x x x +++==-=---- ()()()()3cos 3060)3sin(3090)3cos 30cos 30cos 30x x x x x x -+-+====---. 所以()()()()()()11259[(159)(2(58))2f f ff f f f +++=+++()()(591)]f f +++12=⨯= 故答案为：2. 【小结】本题主要考查辅助角公式和诱导公式的应用，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.34．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______【分析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可.【解析】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒ sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒ sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【小结】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.。