平面向量数量积练习题
平面向量的数量积练习题含答案
平面向量的数量积练习题一、选择题1．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是23，则a·b为 ( )C．3 D．2解析：由数量积的几何意义知所以a·b＝23×3＝2.答案：D2．设向量a，b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( )A．1 B．2 C．3 D．5解析：因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝10，|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝6，两式相减得：4a·b＝4，所以a·b＝1.答案：A3．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为( )解析：|a－b|＝（a－b）2＝a2＋b2－2a·b＝3，设向量a与a－b的夹角为θ，则cos θ＝a·（a－b）|a||a－b|＝22－12×3＝32，又θ∈[0，π]，所以θ＝π6.答案：A4．(2015·陕西卷)对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是( ) A．|a·b|≤|a||b| B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2 D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2解析：根据a·b＝|a||b|cos θ，又cos θ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．根据|a＋b|2＝a2＋2a·b ＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．根据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D恒成立．答案：B5．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为( ) A．2 B．4 C．6 D．12解析：因为(a＋2b)·(a－3b)＝a2－a·b＝6b2＝|a|2－|a|·|b|cos 60°－6|b|2＝|a|2－2|a|－96＝－72，所以|a |2－2|a |－24＝0，所以|a |＝6.答案：C6．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(x ，4)，且a ∥b ，则|a －b |＝( )A ．5 3B ．3 5C ．25D ．22解析：因为a ∥b ，所以4＋2x ＝0，所以x ＝－2，a －b ＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6)，所以|a －b |＝3 5.答案：B7．(2015·杭州模拟)如图，在圆O 中，若弦AB ＝3，弦AC ＝5，则AO →·BC →的值是( )A ．－8B ．－1C ．1D ．8[答案] D[解析] 取BC 的中点D ，连接AD 、OD ，则有OD ⊥BC ，AD →＝12(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC →＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12(AC →2－AB →2)＝12×(52－32)＝8，选D ． 8．(2015·福建卷)设a ＝(1，2)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋k b ．若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53解析：c ＝a ＋k b ＝(1＋k ，2＋k )，又b ⊥c ，所以1×(1＋k )＋1×(2＋k )＝0，解得k ＝－32. 答案：A9．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)、B (4，1)、C (0，－1)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：AC →＝(－1，－3)，AB →＝(3，－1)． 因为AC →·AB →＝－3＋3＝0，所以AC ⊥AB .又因为|AC →|＝10，|AB →|＝10，所以AC ＝AB .所以△ABC 为等腰直角三角形．答案：C10．点O 是△ABC 所在平面上一点，且满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则点O 是△ABC 的( )A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心解析：因为OA →·OB →＝OB →·OC →， 所以OB →·(OA →－OC →)＝0，即OB →·CA →＝0, 则OB →⊥CA →.同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.所以O 是△ABC 的垂心．答案：B11．在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC ++u u u v u u u v u u u v ＝AB u u u v ，则△PBC 与△ABC 的面积之比是( )解析：由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PB →＋BA →＋PC →＝0，即PC →＝2AP →，所以点P 是CA 边上的三等分点，如图所示．故S △PBCS △ABC ＝PC AC ＝23.答案：C12．O 是平面ABC 内的一定点，P 是平面ABC 内的一动点，若()()()()PB PC OB OC PC PA OA OC -⋅+=-⋅+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ＝0，则O 为△ABC 的( )A ．内心B ．外心C ．重心D ．垂心解析：因为(PB →－PC →)·(OB →＋OC →)＝0，则(OB →－OC →)·(OB →＋OC →)＝0，所以OB →2－OC →2＝0，所以|OB →|＝|OC →|.同理可得|OA →|＝|OC →|，即|OA →|＝|OB →|＝|OC →|.所以O 为△ABC 的外心．答案：B二、填空题13．如图所示，△ABC 中∠C ＝90°且AC ＝BC ＝4，点M 满足3BM MA =u u u u v u u u v ，则CM CB ⋅u u u u v u u u v ＝________．解析：CM →·CB →＝⎝⎛⎭⎪⎫CA →＋14AB →·CB →＝14AB →·CB →＝14(CB →－CA →)·CB →＝14CB 2→＝4. 答案：414.如图所示，已知点A (1，1)，单位圆上半部分上的点B满足OA OB ⋅u u u v u u u v ＝0，则向量OB u u u v 的坐标为________．解析：设B (x ，y )，y >0，⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y ＝0，⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝22，所以OB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－22，22 15．在△ABC 中， BC u u u v ＝a ， CA u u u v ＝b ，AB u u u v＝c ，且满足：|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a 的值为________． 解析：在△ABC 中，因为|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，所以△ABC 为直角三角形，且BC ⊥BA ，以BA ，BC 为x ，y 轴建立坐标系，则B (0，0)，A (3，0)，C (0，1)，所以a ＝BC →＝(0，1)，b ＝CA →＝(3，－1)，c ＝AB →＝(－3，0)． 所以a·b ＋b·c ＋a·c ＝－1－3＋0＝－4.答案：－416．在△ABC 中，已知|AB u u u v |＝|AC u u u v |＝4，且 AB AC ⋅u u u v u u u v ＝8，则这个三角形的形状是________．解析：因为AB →·AC →＝4×4·cos A ＝8， 所以cos A ＝12，所以∠A ＝π3，所以△ABC是正三角形．答案：正三角形三、解答题17．已知向量a＝(2，0)，b＝(1，4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量k a＋b与a＋2b 平行，求k的值；(3)若向量k a＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解：(1)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以a＋b＝(3，4)，则|a＋b|＝5.(2)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量k a＋b与a＋2b平行，所以8(2k＋1)＝16，则k＝1 2 .(3)因为a＝(2，0)，b＝(1，4)，所以k a＋b＝(2k＋1，4)，a＋2b＝(4，8)；因为向量k a ＋b 与a ＋2b 的夹角为锐角，所以⎩⎨⎧4（2k ＋1）＋32>0，k ≠12，解得k >－92或k ≠12. 18.如图所示，ABCD 是正方形，M 是BC 的中点，将正方形折起使点A 与M 重合，设折痕为EF ，若正方形面积为64，求△AEM 的面积．解：如图所示，建立直角坐标系，显然EF 是AM 的中垂线，设AM 与EF 交于点N ，则N 是AM 的中点，又正方形边长为8，所以M (8，4)，N (4，2)．设点E (e ，0)，则AM →＝(8，4)，AN →＝(4，2)，AE →＝(e ，0)，EN →＝(4－e ，2)，由AM →⊥EN →得AM →·EN →＝0，即(8，4)·(4－e ，2)＝0，解得e ＝5，即|AE →|＝5.所以S △AEM ＝12|AE →||BM →|＝12×5×4＝10.19．设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|3a －b |＝ 5.(1)求|a ＋3b |的值；(2)求3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值．解：(1)由|3a －b |＝5，得(3a －b )2＝5，所以9a 2－6a·b ＋b 2＝5.因为a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b 2|＝1，所以9－6a·b ＋1＝5.所以a·b ＝56. 所以(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝1＋6×56＋9×1＝15. 所以|a ＋3b |＝15.(2)设3a －b 与a ＋3b 的夹角为θ.因为(3a －b )·(a ＋3b )＝3a 2＋8a·b －3b 2＝3×1＋8×56－3×1＝203. 所以cos θ＝（3a －b ）·（a ＋3b ）|3a －b ||a ＋3b |＝2035×15＝439. 因为0°≤θ ≤180°，所以sin θ＝ 1－cos 2θ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫4392＝339. 所以3a －b 与a ＋3b 夹角的正弦值为339.20．在四边形ABCD 中，已知AB ＝9，BC ＝6，CP →＝2PD →.(1)若四边形ABCD 是矩形，求AP →·BP→的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，且AP →·BP →＝6，求AB →与AD →夹角的余弦值． 解：(1)因为四边形ABCD 是矩形，所以AD →·DC →＝0. 由CP →＝2PD →，得DP →＝13DC →，CP →＝23CD →＝－23DC →. 所以AP →·BP →＝(AD →＋DP →)·(BC →＋CP →)＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13DC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23DC →＝ AD →2－13AD →·DC →－29DC 2→＝36－29×81＝18. (2)由题意，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋13DC →＝AD →＋13AB →， BP →＝BC →＋CP →＝BC →＋23CD →＝AD →－23AB →， 所以AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋13AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝ AD 2→－13AB →·AD →－29AB →2＝36－13AB →·AD →－18＝18－13AB →·AD →.又AP →·BP →＝6，所以18－13AB →·AD →＝6， 所以AB →·AD →＝36.又AB →·AD →＝|AB →|·|AD →|cos θ＝9×6×cos θ＝54cos θ，所以54cos θ＝36，即cos θ＝23. 所以AB →与AD →夹角的余弦值为23. 21． (2015·济宁模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，θ∈[0，π]，向量b ＝(3，－1)．(1)若a ⊥b ，求θ的值；(2)若|2a －b |<m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵a ⊥b ，∴3cos θ－sin θ＝0，得tan θ＝3，又θ∈[0，π]，∴θ＝π3. (2)∵2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴|2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋8(12sin θ－32cos θ)＝8＋8sin(θ－π3)， 又θ∈[0，π]，∴θ－π3∈[－π3，23π]，∴sin(θ－π3)∈[－32，1]，∴|2a－b|2的最大值为16.∴|2a－b|的最大值为4.又|2a－b|<m恒成立．∴m>4.22．(本题满分12分)(2015·厦门模拟)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，其中0<α<x<π.(1)若α＝π4，求函数f(x)＝b·c的最小值及相应的x的值；(2)若a与b的夹角为π3，且a⊥c，求tan2α的值．[解析]∵b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sinα，cos x＋2cosα)，α＝π4.∴f(x)＝b·c＝cos x sin x＋2cos x sinα＋sin x cos x＋2sin x cosα＝2sin x cos x＋2(sin x＋cos x)．令t＝sin x＋cos x(π4<x<π)，则t∈(－1，2)，且2sin x cos x＝t2－1.∴y＝t2＋2t－1＝(t＋22)2－32，t∈(－1，2)．当t＝－22时，y min＝－32，此时sin x＋cos x＝－22.即2sin(x＋π4)＝－22，sin(x＋π4)＝－12，∵π4<x<π，∴π2<x＋π4<5π4.∴x＋π4＝7π6，即x＝1112π.所以函数f(x)的最小值为－32，相应的x的值为1112π.(2)∵a与b的夹角为π3，cos π3＝a·b|a||b|＝cosαcos x＋sinαsin x＝cos(x－α)，∵0<α<x<π，∴0<x－α<π.∴x－α＝π3，∵a⊥c，∴cosα(sin x＋2sinα)＋sinα(cos x＋2cosα)＝0，化简得sin(x＋α)＋2sin2α＝0.代入x－α＝π3得sin(2α＋π3)＋2sin2α＝52sin2α＋32cos2α＝0，∴tan2α＝－3 5 .。
平面向量：数量积难度(含答案)
《平面向量：数量积》（2） 姓名：类型一：【求数量积】1、在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则AB AC ⋅=________－16【解】由余弦定理222222cos 53253cos AB AM BM AM BM AMB AMB =+-⋅∠=+-⨯⨯∠，222222cos 35253cos AC AM CM AM CM AMC AMC =+-⋅∠=+-⨯⨯∠，0180AMB AMC ∠+∠=，两式子相加为222222222(35)68AC AB AM CM +=+=⨯+=，2222221068100cos 222AB AC BC AB AC BAC AB AC AB AC AB AC +-+--∠===⨯⨯⨯⨯⨯⨯，68100cos 162AB AC AB AC BAC AB AC AB AC-⋅=∠=⋅=-⨯⨯.2、若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16C B →＋23C A →，则M A →·M B →＝___________－2.【解】 ∵CM →＝16C B →＋23C A →，∴M A →＝C A →－CM →＝13C A →－16C B →，M B →＝C B →－CM →＝56C B →－23C A →.∴M A →·M B →＝－29C A →2－536C B →2＋718C A →·C B →＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2.3、如右图，在△OAB 中，∠AOB =120°，OA =2，OB =1，C 、D 分别是线段OB 和AB 的中点，那么OD AC ⋅=_________－324、已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于____－25____．【解】 由条件知∠ABC ＝90°，∴原式＝0＋4×5cos(180°－C )＋5×3cos(180°－A )＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－16－9＝－25.5、已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上求一点P ，使AP →·BP →取最小值，则P 点的坐标是 (3,0)【解】设P (x 0,0)，且AP →＝(x 0－2，－2)，BP →＝(x 0－4，－1)，∴AP →·BP →＝(x 0－2)(x 0－4)＋2＝x 20－6x 0＋10＝(x 0－3)2＋1，∴x 0＝3时，AP →·BP →取最小值． .6、如图，在平行四边形ABCD 中，()()1,2,3,2AC BD ==-， 则AD AC ⋅= .【解】令AB a =，AD b =，则(1,2)(2,0),(1,2)(3,2)a b a b a b ⎧+=⎪⇒==-⎨-+=-⎪⎩ 所以()3AD AC b a b ⋅=⋅+=.7、已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，且|AB |＝23，则OA →·OB →＝________.－2【解】∵|AB |＝23，|OA |＝|OB |＝2，∴∠AOB ＝120°. ∴OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos120°＝－2.8、(2009·天津文)若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16 CB →＋23 CA →，则MA →·MB →＝__________.－2【解】∵CM →＝16CB →＋23CA →，∴MA →＝CA →－CM →＝13CA →－16CB →，MB →＝CB →－CM →＝56CB →－23CA →.∴MA →·MB →＝－29CA →2－536CB →2＋718C A →·CB →＝－29×12－536×12＋718×12×12＝－2.9、已知菱形 ABCD 的边长为a ， ∠DAB=60°，2EC DE =，则 .AE DB 的值为 32a -．10、如图，在ABC △中，12021BAC AB AC ∠===，，°，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC =·83-．源头学子CBA11、设P 是双曲线1y x=上一点，点P 关于直线y x =的对称点为Q ，点O 为坐标原点，则OP OQ ⋅= 212、如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = .18【解】设ACBD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.13、如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 2．【解】由2AB AF =，得cos 2ABAF FAB ∠=cos =AF FAB DF ∠。
平面向量的数量积与立体几何练习题
平面向量的数量积与立体几何练习题前言：平面向量的数量积（又称内积、点积）是向量运算中的一个重要概念，它可以用来描述向量之间的夹角关系，以及计算向量的长度和方向等。
在立体几何中，数量积也被广泛应用于求解线段、平行四边形、三角形等几何问题。
本文将通过一些练习题来巩固和扩展读者对平面向量的数量积与立体几何的理解。
第一题：已知平面向量a = (3, -2, 1)和b = (2, 1, 4)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积定义为a·b = |a|·|b|·cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量的模长，θ表示向量a和向量b所夹的夹角。
根据定义，我们可以计算向量a和向量b的模长：|a| = √(3² + (-2)² + 1²) = √14，|b| = √(2² + 1² + 4²) = √21。
同时，根据数量积的性质，我们可以得到a·b = b·a，因此不妨计算b·a。
b·a = (2)(3) + (1)(-2) + (4)(1) = 6 - 2 + 4 = 8因此，向量a与向量b的数量积为8。
第二题：已知平面向量a = (1, -2, 3)和向量b = (4, -3, 2)，求向量a与向量b所围成平行四边形的面积。
解答：根据平行四边形的性质，平行四边形的面积等于以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积。
而平行四边形的面积可以通过法向量的模长来计算。
因此，我们需要先计算平行四边形的法向量，再求其模长。
设平行四边形的法向量为n，可以通过向量a和向量b的叉积得到：n = a × b = (1)(-3) - (-2)(4), (-3)(2) - (1)(-4), (1)(-3) - (-2)(4) = (-11, -2, -5)平行四边形的面积等于法向量n的模长，即S = |n| = √((-11)² + (-2)² + (-5)²) = √150因此，向量a与向量b所围成平行四边形的面积为√150。
平面向量数量积作业答案
DM 上靠近点 D 的三等分点，由题意知，D→A·C→B＝D→A·D→M＝|D→A|·|D→M|cos∠ADM＝
|D→A|·|D→P|，所以 cos∠ADM＝13，则 sin∠ADM＝232，所以|P→Q|的最小值为 2sin∠
ADM＝4
3
2 .
二、 解答题 11. 如图，在△OAB 中，已知 P 为线段 AB 上的一点，O→P＝xO→A＋yO→B. (1) 若B→P＝P→A，求 x，y 的值； (2) 若B→P＝3P→A，|O→A|＝4，|O→B|＝2，且O→A与O→B的夹角为 60°时，求O→P·A→B 的值．
当 y＝2 3时，P→E·P→F取得最小值 12－4 3. 综上，P→E·P→F的最大值为 19，最小值为 12－4 3.
14. 已知△ABC. (1) 设B→C·C→A＝C→A·A→B，求证：△ABC 是等腰三角形；
(2) 设向量 s＝(2sinC，－ 3)，t＝sin2C，2cos2C2－1，且 s∥t，若 sinA＝13，求 sinπ3－B的值． 解析： (1) 因为B→C·C→A＝C→A·A→B，则B→C·(B→A－B→C)＝B→A·(B→C－B→A)，所以B→C2＝B→A2， 即|B→C|＝|B→A|. 所以△ABC 是等腰三角形．
12. 已知在等边三角形 ABC 中，点 P 为线段 AB 上一点，且A→P＝λA→B(0≤λ≤1)． (1) 若等边三角形的边长为 6，且 λ＝13，求|C→P|； (2) 若C→P·A→B≥P→A·P→B，求实数 λ 的取值范围． 解析：(1) 当 λ＝13时，A→P＝13A→B， C→P2＝(C→A＋A→P)2＝C→A2＋2C→A·A→P＋A→P2＝62－2×6×2×12＋22＝28. 所以|C→P|＝2 7.
6.2.2 平面向量的数量积(精练)(解析版)
6.2.2 平面向量的数量积（精练）【题组一 向量的数量积】1．（2020·天水市第一中学高一期末）已知等边ABC 的边长为2，若3BC BE =，AD DC =，则BD AE ⋅等于（ ） A ．103B ．103-C ．2D ．2-【答案】D【解析】等边△ABC 的边长为2，3BC BE =，AD DC =， ∴()12BD BA BC =+，1313A AB BE AB B E BC A C B =+=+=-， ∴()221111223233BD AE BA BC BC BA BC BA BC BA ⎛⎫⎛⎫+-=--⋅ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭， 112144222332⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，2=-．故选：D ． 2．（2020·陕西渭南市·高一期末）在ABC 中，D 为线段BC 的中点，1AD =，3BC =，则AB AC ⋅（ ） A ．13- B ．54-C ．3D ．4【答案】B 【解析】在ABC 中，D 为线段BC 的中点()12AD AB AC BC AC AB⎧=+⎪∴⎨⎪=-⎩，可得12AB ADBC ，12AC ADBC , 2211152244AB AC AD BC ADBC AD BC ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2020·湖南益阳市·高一期末）在ABC 中，AB =AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．【答案】6【解析】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-， 所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：64．（2020·黑龙江大庆市·大庆一中高一期末）如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点5BA CA ⋅=，2BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是________.【答案】58【解析】因为222211436=52244AD BC FD BC BA CA BC AD BC AD （）（）--⋅=-⋅--==， 2211114223234FD BCBF CF BC AD BC AD （）（）-⋅=-⋅--==-，因此2223,827FD BC ==，222211416.224458ED BC FD BC BE CE BC ED BC ED （）（）--⋅=-⋅--===故答案为：58.5．（2020·四川内江市）在等腰Rt ABC 中，斜边BC =AB c =，BC a =，CA b =，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=_____.【答案】2-【解析】由题可知在等腰Rt ABC 中，斜边BC =1ABAC ，,24AB C，即2a =，1b c ==，()()cos 0cos a b b c c a a b C c a B ππ∴⋅+⋅+⋅=⋅⋅-++⋅⋅-11222⎛⎛⎫=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2-.6．（2020·北京101中学高一期末）如图，在矩形ABCD 中，AB =2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=，则AE BF ⋅的值是______.【解析】∵AF AD DF =+，()22AB AF AB AD DF AB AD AB DF AB DF DF ⋅=⋅+=⋅+⋅=⋅==，∴1DF =，21CF =，∴()()AE BF AB BEBC CF AB CF BE BC ⋅=++=⋅+⋅)11222=+⨯=-+=.7．（2020·陕西咸阳市·高一期末）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，()1c ta t b =+-.若1a c ⋅=，则实数t =______. 【答案】1 【解析】两个单位向量a ，b 的夹角为120︒，∴11·1122a b ⎛⎫=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，又(1)c ta t b =+-，1a c =，∴21[(1)](1)(1)12a ta tb ta t a b t t +-=+-=--=，解得1t =． 故答案为：1．8．（2020·长沙县实验中学高一期末）已知非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=.若n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则实数t 的值为_____________. 【答案】4-【解析】非零向量m →，n →满足4m →=3n →，cos m →〈，13n →〉=,n →⊥t m n →→⎛⎫+ ⎪⎝⎭,n →∴⋅22+||||cos ,||t m n t m n n t m n m n n →→→→→→→→→→⎛⎫+=⋅=<>+ ⎪⎝⎭223||||034t n n →→=⨯+=,解得4t =-，故答案为：4- 【题组二 向量的夹角】1．（2020·山东临沂市·高一期末）已知非零向量a ，b ，若||2||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B【解析】因为(2)a a b ⊥-，所以22(2)22cos ,0a a b a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-=，因为||2||a b =，所以22cos ,22aa ab a bb===， []a,b 0,,a,b 4ππ∈∴=.故选:B.2．（2020·镇原中学高一期末）已知a b c ，，为单位向量，且满足370a b c λ++=，a 与b 的夹角为3π，则实数λ=_______________. 【答案】8λ=-或5λ=【解析】由370a b c λ++=，可得7(3)c a b λ=-+，则22224996b b c a a λλ=++⋅. 由a b c ，，为单位向量，得2221a b c ===，则24996cos 3πλλ=++，即23400λλ+-=，解得8λ=-或5λ=.3．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面向,,a b c ，满足2,3,1a b c ===，且()()5a c b c -⋅-=，a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于_________.【解析】平面向,,a b c ,满足2,3,1a b c ===,则2222224,3,1a a b bc c ======因为()()5a c b c -⋅-=展开化简可得()25a b c a b c ⋅-++=,因为221c c ==,代入化简可得()4a b c a b ⋅-+= 设c 与a b +的夹角为[],0,θθπ∈ 则由上式可得cos 4a b c a b θ⋅-⋅+⋅= 而()222272a b aba abb a b +=+=+⋅+=+⋅代入上式化简可得cos θ=令m a b =⋅,设a 与b 的夹角为[],0,ααπ∈,则由平面向量数量积定义可得cosa b a b m αα⋅=⋅⋅==,而1cos 1α-≤≤所以m -≤≤由余弦函数的值域可得cos 1θ≤,即4cos 1722a b m a bθ⋅-==≤+⋅将不等式化简可得21090m m -+≤,解不等式可得19m ≤≤ 综上可得1m ≤≤即123a b ⋅≤≤而由平面向量数量积的运算可知,设a b -与a b +夹角为β,则()()22727c 2osa b a b a b a ba b a bβ-⋅+-⋅+-⋅⋅⋅=+==当分母越大时,cos β的值越小;当a b ⋅的值越小时,分母的值越大 所以当1a b ⋅=时,cos β的值最小 代入可得c s o β==所以a b -与a b +夹角余弦值的最小值等于15故答案为4．（2020·延安市第一中学高一月考）已知向量,a b满足2,1,2a b a b a b ==+=-. （1）求a 在b 上的投影； （2）求a 与2a b -夹角的余弦值. 【答案】（1）12-；（2）4. 【解析】（1）2222222(2)()442a b a b a b a b a a b b a a b b +=-⇒+=-⇒+⋅+=-⋅+2163,2a b b a b ∴⋅=-∴⋅=-，设a 和b 的夹角为θ，a 在b 上的投影为：1cos 2a ba bθ⋅==-；（2）设a 与2a b -夹角为α，()2222cos 2244a a ba a ba a ab bα⋅-====⨯⋅-⋅-⋅+.5．（2020·北京顺义区·高一期末）已知平面向量a ，b ，2=a ，1=b ，且a 与b 的夹角为3π． （1）求a b ⋅； （2）求2a b +；（3）若2a b +与()2a b R λλ+∈垂直，求λ的值． 【答案】（1）1；（2）（3）4-. 【解析】（1）1cos2132a b a b π⋅=⋅=⨯=； （2）()2222224444412a b a ba ab b +=+=+⋅+=++=，223a b +∴=；（3）()()22a b a b λ+⊥+，()()220a b a b λ∴+⋅+=，即()()222428421230a a b b λλλλλ++⋅+=+++=+=，解得：4λ=-. 6．（2020·南昌市·江西师大附中高一月考）已知向量,a b 满足||||1a b ==，||3||(0,)ka b a kb k k R +=->∈（1）若//a b ，求实数k 的值； （2）求向量a 与b 夹角的最大值. 【答案】（1）2±；（2）3π. 【解析】（1）因为//a b ，0k >，所以2104k a b k+⋅=>，则a 与b 同向.因为||||1a b ==，所以1a b ⋅=，即2114k k+=，整理得2410k k -+=，解得2k =所以当2k =±//a b . （2）设,a b 的夹角为θ，则221111cos 2444||||k a b k k a k a b b θ⋅⎡⎤+⎛⎫==⋅==+=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，=，即1k =时，cos θ取最小值12，又0θπ≤≤，所以3πθ=，即向量a 与b 夹角的最大值为3π. 7．（2020·全国高一专题练习）已知向量12,e e ，且121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π.12m e e λ=+，1232n e e =-.（1）求证：()1222e e e -⊥； （2）若m n =，求λ的值； （3）若m n ⊥，求λ的值； （4）若m 与n 的夹角为3π，求λ的值. 【答案】（1）见解析（2）2λ=或3λ=-.（3）14λ=（4）2λ= 【解析】（1）证明：因为121e e ==，1e 与2e 的夹角为3π，所以()2221221221221222cos2111032e e e e e e e e e π-⋅=-=-=⨯⨯⨯-=， 所以()1222e e e-⊥.（2）由m n =得()()22121232e e e e λ+=-，即()2211229(212)30e e e e λλ-++⋅-=.因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos 32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()2191(212)3102λλ-⨯++⨯-⨯=， 即260λλ+-=.所以2λ=或3λ=-.（3）由m n ⊥知0m n ⋅=，即()()1212320e e e e λ+⋅-=，即2211223(32)20e e e e λλ+-⋅-=. 因为121e e ==，12,3e e π=，所以22121e e ==，12111cos32e e π⋅=⨯⨯=， 所以()1332202λλ+-⨯-=.所以14λ=.（4）由前面解答知22121e e ==，1212e e ⋅=，7n =.而()22222212112221m e e e e e e λλλλλ=+=+⋅+=++，所以2m λ=()()1212211222113(32)23(32)222322e e e m n e e e e e λλλλλλ+-⋅-=+-⨯-⋅=+⋅-==-因为,3m n π=，由cos ,m n m n m n ⋅=得11222λ-=， 化简得23520λλ--=， 所以2λ=或13λ=-.经检验知13λ=-不成立，故2λ=.【题组三 向量的投影】1．（2021·江西上饶市）若向量a 与b 满足()a b a +⊥，且1a =，2b =，则向量a 在b 方向上的投影为（）A B ．12-C ．-1D ．3 【答案】B【解析】利用向量垂直的充要条件有：()20a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为12a b b⋅=-,故选B.2．（2020·沈阳市第一七〇中学高一期末）已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2-B ．1C ．1-D ．2【答案】C【解析】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .3．（2020·长沙市·湖南师大附中高一月考）已知向量a ，b 满足1a=，3b=，且a 在b 方向上的投影与b 在a 方向上的投影相等，则a b -等于（ ） A B C ．4D ．5【答案】A【解析】设两个向量的夹角为θ，则cos cos a b θθ=，从而cos 0θ=， 因为[]0,θπ∈，故2πθ=，所以2210a b a b -=+=．故选：A ．4．（2020·眉山市彭山区第一中学高一期中）已知1a =，2b =，,60a b =︒，则a b +在a 上的投影是（ ） A ． 1 B C ．2 D 【答案】C【解析】因为1a =，2b =，,60a b =︒，所以cos ,12cos601a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯︒=()22112a b a ab a +⋅=+⋅=+=所以a b +在a上的投影()2a b a a+⋅=故选：C 5（2020·陕西渭南市·高一期末）已知3a =，3b =，32a b +=，则向量a 在向量b 方向的投影（ ） A ．1 B ．1- C ．3D ．3-【答案】A【解析】由题意，向量3a =，3b =，32a b +=，可得222239218a b a b a b a b +=++⋅=++⋅=，解得3a b ⋅=， 所以向量a 在向量b 方向的投影313a b b⋅==.故选：A. 6．（2020·四川绵阳市·高一期末）在△ABC 中，ABAC ⋅=0，点P 为BC 的中点，且|PA |＝|AB |，则向量BA 在向量BC 上的投影为（ ） A BC B ．BC C ．﹣14BC D ．14BC 【答案】D【解析】根据题意，AB AC ⊥，又点P 为BC 中点，故可得PC PB PA AB ===， 如下所示：故三角形PAB 为等边三角形，故可得60B ∠=︒， 不妨设BA a =，故可得2BC a =， 则向量BA 在向量BC 上的投影为21212224a BA BC a BC a BC⨯⋅===. 故选：D .7．（2020·营口市第二高级中学高一期末）已知向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，则向量a 在向量b 上的投影为________.【答案】1-【解析】向量,a b 满足||5,||4,||6b a b a b =+=-=，可得2()16a b +=，2()36a b -=，即为22216a b a b ++=，22236a b a b +-=，两式相减可得5a b =-， 则向量a 在向量b 上的投影为515||a b b -==-．故答案为：1-． 8．（2020·湖北武汉市·高一期末）设向量a ，b 满足2a =，1b =，且()b a b ⊥+，则向量b 在向量2a b +上的投影的数量为_______. 【答案】12【解析】()b a b ⊥+，()20a b b a b b =⋅+∴⋅+=，21a b b ∴=-=-⋅，()2221b a b a b b ∴⋅+=⋅+=，22244442a b a b a b +=++⋅=+=，∴向量b 在向量2a b +上的投影的数量为()2122b a b a b⋅+=+.故答案为：12.9．（2021·河南郑州市）已知平面向量,a b 满足1,2,3a b a b ==+=，则a 在b 方向上的投影等于______． 【答案】12-【解析】由题意结合平面向量数量积的运算法则有：()22221243,1a b a a b b a b a b +=+⋅+=+⋅+=∴⋅=-，据此可得，a 在b 方向上的投影等于1122a b b⋅-==-. 10．（2020·四川高一期末）已知边长为2的等边ABC 中，则向量AB 在向量CA 方向上的投影为_____． 【答案】1-【解析】因为ABC 是等边三角形， 所以向量AB 与向量CA 的夹角为120， 因为ABC 边长为2，所以向量AB 在向量CA 方向上的投影为1cos120212AB ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪⎝⎭， 故答案为：1-.11．（2020·全国高一课时练习）已知e 为一个单位向量，a 与e 的夹角是120︒.若a 在e 上的投影向量为2e -，则a =_____________. 【答案】4【解析】e 为一个单位向量,a 与e 的夹角是120︒由平面向量数量积定义可得1cos1202a e a ⋅=⨯⨯︒=-, 根据平面向量投影定义可得122a e e ⎛⎫⨯-⋅=- ⎪⎝⎭,∴4a =.故答案为:4 12．（2020·福建省福州第一中学高一期末）已知非零向量a 、b 满足2a =，24a b -=，a 在b 方向上的投影为1，则()2b a b ⋅+=_______. 【答案】18 【解析】2a =，a 在b 方向上的投影为1，212a b ⋅=⨯=，24a b -=，222222216244444242a b a a b b a a b b b =-=-⋅+=-⋅+=⨯-⨯+，可得22b =，因此，()22222818b a b a b b ⋅+=⋅+=+⨯=.故答案为：18. 【题组四 向量的模长】1．（2020·全国高一）已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b -=（ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】A【解析】由题意得，2239636a b a a b b -=-⋅+=+=A .2．（2020·全国高一）若向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 则a b +等于（ ）A ．37B ．13C D 【答案】C【解析】因为向量a 与b 的夹角为60°，且43a b ==，， 所以22222+2++2cos 60+a b a a b b a a b b +⋅=⋅⋅=2214+243+3372=⨯⨯⨯=所以37a b +=，故选：C ．3．（2020·全国高一开学考试）已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（ ）A ．0B ．2C ．D【答案】D【解析】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b =则2a b a b -=-222a a b b =-⋅+==:D4．（2020·银川市·宁夏大学附属中学高一期末）已知向量a 、b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则a b -=_________. 【答案】3. 【解析】()222222222232441a b a b a a b b a a b b a b +=+=+⋅+=+⋅+=+⋅+=，8a b ∴⋅=，()2222222233a b a b a a b b a a b b ∴-=-=-⋅+=-⋅+=-，因此，3a b -=，故答案为3.5．（2020·全国高一单元测试）若平面向量a ，b 满足2a b +=，6a b -=，则a b ⋅=__________，22a b +=__________．【答案】-1 4 【解析】由2a b +=，得2222a a b b +⋅+=，①由6a b -=，得2226a a b b -⋅+=，②①-②得：44a b ⋅=-，∴1a b ⋅=-．故224a b +=．故答案为：①-1；②4.6．（2020·全国高一）已知6a →=，8b →=，则a b →→+的最大值为______；若6a →=，8b →=，且10a b →→-=，则a b →→+=______. 【答案】14 10【解析】222222()22cos ,a b a b a a b b a a b a b b →→→→→→→→→→→→→→+=+=+⋅+=+<>+3664248cos ,a b →→=++⨯<>10096cos ,a b →→=+<>10096196≤+=，当且仅当,a b →→同向时等号成立，所以14a b →→+≤，即a b →→+的最大值为14，由10a b →→-=两边平方可得：2222()21002100a b a b a a b b a b →→→→→→→→→→-=-=-⋅+=-⋅=，所以0a b →→⋅=，所以2222()2100a b a b a a b b →→→→→→→→+=+=+⋅+=，即10a b →→+=. 故答案为：14；107．（2020·东北育才学校）已知向量a ，b 满足4a =，b 在a 上的投影（正射影的数量）为-2，则2a b -的最小值为 【答案】8【解析】因为b 在a 上的投影（正射影的数量）为2-， 所以||cos ,2b a b <>=-， 即2||cos ,b a b =-<>，而1cos ,0a b -≤<><，所以||2b ≥，因为2222222(2)44||4||||cos ,4||a b a b a a b b a a b a b b -=-=-⋅+=-<>+22=1644(2)4||484||b b -⨯⨯-+=+所以22484464a b-≥+⨯=，即28a b-≥，故选D.9．（2020·四川广元市·高一期末）设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．3B C ．12D ．1【答案】B【解析】对于a，b 和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，22222222244cos4231244a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tbb+的最小值为2. 故选：B.10．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量a 、b 满足23a a b =+=，则b a b ++的最大值为________． 【答案】【解析】22222443443a b a a b b a b b +=+⋅+=+⋅+=，则2a b b ⋅=-，设a 与b 的夹角为θ，则2cos a b b θ⋅=-，3cos b θ∴=-，0b ≥，0θπ≤≤，可得2θπ≤≤π， 22222233sin a b a a b b b θ+=+⋅+=-=，则3sin a b θ+=，3cos 3b a b πθθθ⎛⎫++=-+=- ⎪⎝⎭，2θπ≤≤π，则2633πππθ≤-≤，所以，当32ππθ-=b a b ++取最大值故答案为：11．（2020·沙坪坝区·重庆南开中学高一期末）已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m . 【答案】（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【解析】（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==，∴3b =. （2）∵27a mb -=，∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m =-或1m =. 12．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一月考）已知平面向量,a b 满足:2a =，1b =|.（1）若()()21a b a b +⋅-=，求a b ⋅的值；（2）设向量,a b 的夹角为θ，若存在t R ∈，使得||1a tb +=，求cos θ的取值范围.【答案】（1）1-；（2）1,⎡⎤-⋃⎢⎥⎣⎦⎣⎦.【解析】（1）若()()21a b a b +⋅-=，则2221a a b b +⋅-=， 又因为2a =，1b =|，所以421a b +⋅-=，所以1a b ⋅=-； （2）若||1a tb +=，则22221a ta b t b +⋅+=，又因为2a =，1b =，所以2203ta b t +=+⋅即204cos 3t t θ++=，所以2=16120cos θ∆-≥，解得2cos θ≤-或cos 2θ≥，所以311cos ,,θ⎡⎡⎤∈-⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 13．（2020·全国高一单元测试）已知向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==． （1）求a b +，a b -；（2）求a b +与a 的夹角及a b -与a 的夹角．【答案】（1）43a b +=，4a b -=；（2）30，60．【解析】（1）因为向量OA a =，OB b =，60AOB ∠=，且4a b ==， 所以()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b +=+=+⋅+=++11624416482=+⨯⨯⨯+=，所以43a b +=， 又()22222222co 60s a ba ba ab b a a b b -=-=-⋅+=-+11624416162=-⨯⨯⨯+=，所以4a b -=；（2）记a b +与a 的夹角为,0,180αα⎡⎤∈⎣⎦，a b -与a 的夹角为0,180,ββ⎡⎤∈⎣⎦，则()211644cos 43a b a a b aα+⨯⨯+⋅====⨯+，所以30α=．()21164412cos 44162a b a a a ba b aβ-⨯⨯-⋅-⋅====⨯-，所以60β=．【题组五 平面向量的综合运用】1．（2020·北京丰台区·高一期末）a ，b 是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（ ） A ．a b = B ．1a b ⋅=C ．22a b ≠D ．22||||a b =【答案】D【解析】A ．,a b 可能方向不同，故错误；B ．cos ,cos ,a b a b a b a b ⋅=⋅⋅<>=<>，两向量夹角未知，故错误；C ．22221,1a a a a b b b b =⋅===⋅==，所以22a b =，故错误； D ．由C 知221a b ==，故正确，故选：D.2．（2020·全国高一单元测试）若a 是非零向量，b 是单位向量，①0a >，②1=b ，③ab a=，④()0a b λλ=≠，⑤0a b ⋅≠，其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②⑤C ．①②④D ．①②【答案】D【解析】∵0a ≠，∴0a >，①正确；b 为单位向量，故1=b ，②正确；aa表示与a 方向相同的单位向量，不一定与b 方向相同，故③错误； a 与b 不一定共线，故()0a b λλ=≠不成立，故④错误，若a 与b 垂直，则有0a b ⋅=，故⑤错误． 故选：D.3．（2021·重庆）设,a b 为向量，则“a b a b ⋅=”是“//a b ” （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据向量数量积运算，a b ⋅= a b cos θ 若a b a b ⋅=，即a b cos θ=a b 所以cos θ=± 1，即=0180θ︒︒或 所以//a b若//a b ，则a b 与的夹角为0°或180°，所以“0a b a b cos a b ⋅=︒= 或180a b a b cos a b ⋅=︒=-即a b a b cos θ⋅= 所以“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分必要条件 所以选C4．（2020·全国高一课时练习）若a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，则x y +的最大值是（ ）A ．2 BC D ．1【答案】A 【解析】a ，b ，c 均为单位向量，且12a b =-，(,)c xa yb x y R =+∈，∴222222()21c xa yb x y xya b x y xy =+=++=+-=，设x y t +=，y t x =-，得：22()()10x t x x t x +----=， 223310x tx t ∴-+-=，方程223310x tx t -+-=有解，∴()2291210t t ∆=--，23120t -+，22t ∴-x y ∴+的最大值为2．故选：A ．5．（2020·甘肃兰州市·兰州一中高一期末）已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ）A ．a b ⋅B ．a c ⋅C ．b c ⋅D ．不能确定【答案】C【解析】由0a b c ++=，可得()c a b =-+，平方可得2222()a b c a b =-+． 同理可得2222()b c a b c =-+、2222()a c b a c =-+，||||||a b c <<，∴222a b c <<则a b 、b c 、a c 中最小的值是b c ．故选：C ．6．（2020·浙江湖州市·高一期末）已知空间向量a ，b ，c 和实数λ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a b ⋅=，则0a =或0b = B ．若0a λ=，则0λ=或0a = C ．若()()22ab =，则a b =或a b =-D ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =【答案】B【解析】对于选项A ，若0a b ⋅=，则0a =或0b =或a b ⊥，故A 错误； 对于选项C ，由()()22ab =，得||||a b =，即可得其模相等，但方向不确定，故C 错误；对于选项D ，由a b a c ⋅=⋅，得()0⋅-=a b c ，则0a =或b c =或()a b c ⊥-，故D 错误；对于选项B ，由0a λ=，可得0λ=或0a =，故B 正确， 故选：B .7．（多选）（2021·江苏高一）若a 、b 、c 是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是（ ） A ．()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅B ．若a b a b ⋅=-⋅，则//a bC ．若a c b c ⋅=⋅，则//a bD ．若a a b b ⋅=⋅，则a b = 【答案】ACD【解析】()a b c ⋅⋅是与c 共线的向量，()b c a ⋅⋅是与a 共线的向量，a 与c 不一定共线，A 错， 若a b a b ⋅=-⋅，则a 与b 方向相反，∴//a b ，B 对，若a c b c ⋅=⋅，则()0a b c -⋅=，即()a b c -⊥，不能推出//a b ，C 错， 若a a b b ⋅=⋅，则||||a b =，a 与b 方向不一定相同，不能推出a b =，D 错， 故选：ACD.8．（多选）（2020·山东临沂市·高一期末）已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC【解析】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确， 对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确； 对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角， 可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-， 当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒=所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误； 故选:AC.9．（2020·浙江高一期末）已知2a b a b ==⋅=，()24c a b λλ=-+，则()()c a c b -⋅-的最小值为__________. 【答案】4952- 【解析】()14c a a b λλ-=-+，()()241c b a b λλ-=-+-，()()()()()14241c b c a a b a b λλλλ⎡⎤⎡⎤-⋅-=⋅∴-+-+-⎣⎦⎣⎦ ()()()2222216122871a a b b λλλλλλ=-++-+-⋅+-，代入2a b a b ==⋅=， 原式252386λλ=-+，∴当1952λ=时，原式最小值为4952-. 故答案为：4952-10．（2020·湖北高一开学考试）在ABC 中，已知2AB =，||||CA CB CA CB +=-，2cos 22sin 12B CA ++=，则BA 在BC 方向上的投影为__________.【解析】因为CA CB CA CB +=-，所以()()22CA CB CA CB +=-所以0CA CB =，即2C π=因为2cos 22sin12B C A ++=，所以2cos 22sin 12A A π-+=即2cos 22sin 12AA +=，即cos2cos 0A A +=，所以22cos cos 10A A +-=解得cos 1A =-或1cos 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2A =，即3A π=，所以6B π=，因为2AB =，所以2sin BC A ==所以BA 在BC 方向上的投影为3BC =【点睛】本题考查平面向量的几何意义，属于中档题.11．（2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π，则2a b -=____________；若t 为任意实数，则a tb +的最小值为____________．【答案】2【解析】由题意，平面向量,a b ，其中||2,||1a b ==，,a b 的夹角是3π， 可得cos 21cos133a b a b ππ⋅=⋅=⨯⨯=，则22224444414a ba b a b -=+-⋅=+-⨯=，所以22a b -=，又由22222()22a ta b t b t t a t a tb b ==+⋅+++=+=，所以当1t =-时，a tb +的最小值为故答案为：212．（2020·天津市滨海新区大港太平村中学高一期末）在ABC 中，2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，D 是BC 中点，E 在边AC 上，AE AC λ=，12AD BE ⋅=，则||=AD ________，λ的值为________.13【解析】因为2AB =，3AC =，120BAC ∠=︒，所以cos1203AB AC AB AC ⋅=⋅=-， 由题意()12AD AB AC =+，BE BA AE AC AB λ=+-=， 所以()()222211224AD AB AC AB AB AC AC ⎡⎤=+=+⋅+⎢⎥⎣⎦()1746944=-+=，所以72AD =； 由12AD BE ⋅=可得()()()2211222211AB AC AB AC AB AC AB AC λλλ+-⋅-=+⋅- ()31122229123λλλ=---=-=， 解得13λ=.；13. 13．（2020·湖北黄冈市·高一期末）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且1n =，3m =，()0n n m λ⋅-=. （1）求λ的值（2）记向量n 与向量3n m -的夹角为θ，求cos2θ. 【答案】（1）23λ=；（2）12-. 【解析】（1）由()2131cos 03n n m n m n πλλλ⋅-=-⋅=-⨯⨯⨯=，所以23λ=. （2）因为()2133333122n n m n m n ⋅-=-⋅=-⨯⨯= ()2223396963n m n m n m n m -=-=-⋅+=-=所以()3312cos 3132n n m n n m θ⋅-===⋅-⨯所以2211cos 22cos 12122θθ⎛⎫=-=⨯-=- ⎪⎝⎭. 14．（2020·山东省五莲县第一中学高一月考）已知2a =，3b =，向量a 与向量b 夹角为45°，求使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角时，λ的取值范围.【答案】1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 【解析】∵2a =，3b =，a 与b 夹角为45°，∴cos 453⋅=︒==b a a b ，而()()2222223393113a ab ba a b a b b λλλλλλλλλλ+++=++++=+=+⋅+，要使向量a λb +与a b λ+的夹角是锐角，则()()0a b a b λλ+⋅+>，且向量a λb +与a b λ+不共线，由()()0a b a b λλ+⋅+>得231130λλ++>，得λ<或λ>. 由向量a λb +与a b λ+不共线得211λλ≠∴≠±所以λ的取值范围为：1185((,1)(1,)-+-∞+∞ 15．（2020·全国高一课时练习）在ABC 中，2CA CB ==，记,a CA B CB ==，且||3||(ka b a kb k+=-为正实数），（1）求证：()()a b a b +⊥-；（2）将a 与b 的数量积表示为关于k 的函数()f k ； （3）求函数()f k 的最小值及此时角A 的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）1()f k k k =+；（3）2，3A π=. 【解析】（1）在ABC 中，2CA CB ==，可得2a b ==，所以2222()()440a b a b a b a b +-=-=-=-=，所以()()a b a b +⊥-. （2）由||3||ka b a kb +=-，可得22||3||ka b a kb +=-，即22222223(2)k a ka b b a ka b k b ++=-+，整理得2888ka b k ⋅=+， 所以1()f k a b k k=⋅=+． （3）由（2）知1()f k a b k k=⋅=+，因为k 为正实数，则12k k +≥=，当且仅当1k k 时，即1k =时，等号成立，所以()f k 的最小值为2，即2a b ⋅=， 此时21cos 42||||a b C a b ⋅===⋅，因为(0,)C π∈，可得3C π=，又因为CA CB =，此时ABC 为等边三角形，所以3A π=．16．（2020·全国高一单元测试）在如图所示的平面图形中，已知OA a =，OB b =，点A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点．（1）试用a ，b 表示CD ；（2）若1a =，2b =，且a ，b 的夹角2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试求CD 的取值范围．【答案】（1）()2CD b a =-；（2）||2CD ⎡∈⎣．【解析】（1）连接AB ，则AB OB OA b a =-=-， ∵A ，B 分别是线段CE ，ED 的中点， ∴12AB CD =，则()2CD b a =-． （2)222222CD b ab a a b =-=+-⋅2222cos b a a b θ=+-⋅，将1a =，2b =代入，则21CD == ∵2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]54cos 3,7θ-∈，故||2CD ⎡∈⎣．。
平面向量的数量积-2025届数学新高考一轮复习考点专练及答案解析
ＯＡ．ＯＢ＝２５ Ｂ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的同侧时，
Ｃ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的两侧时，｜ｏｃ－１ＯＡ－ＯＢ的最小值为３
Ｄ．当点Ａ，Ｂ在直线ＯＣ的同侧时，１０００Ｂ＝７５０Ａ＋７０Ｃ
试卷第４页，共７页
． １９．在ＡＢＣ中，令ＣＢ＝ａ，Ａｃ＝ｂ，若ａ＋ｂ＝ｑ，ａ－２ｂ＝ｅ，ｐｌ＝ｅ４＝１，ｑｅ＝１，
ｃ． ａ－ｂ≤ｌａｌ．ｂ
Ｄ． ｜ｉ－ｂ｜＜問＋ｂ
核心考点２ 向量数量积的计算
角度１ 定义法
７．已知钝角 ＡＢＣ的面积为３，ＡＢ＝４，ＡＣ＝２，则ＡＢ－ＡＣ的值是（ ）
Ａ． －６
Ｂ．－２√７
Ｃ． ２√７或－２√７ Ｄ． －６或６
８．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图１是八卦模型图，其平面图形记为图２中的正八
Ｂ． １
Ｃ． ２
Ｄ．２√２
１５．已知直线ｌ／ｌ？，Ａ是ｌ，ｌ？之间的一定点并且点Ａ到１，ｌ？的距离分别为１，，作 ＡＣ⊥ＡＢ，且使ＡＣ与直线ｌ？交于点Ｃ，
则（ ）
Ａ． △ＡＢＣ面积的最小值为２
Ｂ．点Ｇ到直线ｌ的距离为定值
５３５ Ｃ．当ＧＢ＝Ｇｃ时，△ＧＡＢ的外接圆半径为
【详解】因为（ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）＝ａ２－ｂ２＝０，可得ａ２＝ｂ２，即｜ａ＝ｂ，
可知（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０等价于ａｌ＝ｂ，
若ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ，可得ａ＝ｂ，即（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０，可知必要性成立；
若（ａ＋ｂ）·（ａ－ｂ）＝０，即｜ａ｜＝ｂ，无法得出ａ＝ｂ或ａ＝－ｂ，
例如ａ＝（１．０）．ｂ＝（０．１），满足ｌｄ＝５，但ａ≠ｂ且ａ≠－ｂ，可知充分性不成立：
Ａ．若ａ／／ｂ，则λ＝６
λ＝３ Ｂ．若ａｌｂ，则
高中数学必修二 6 3 2 平面向量数量积的坐标表示(精练)(含答案)
6.3.2 平面向量数量积的坐标表示（精练）【题组一 数量积的坐标运算】1．（2021·深圳市龙岗区）已知向量()1,3a =-，()5,4b =-，则⋅=a b （ ） A ．15 B ．16C ．17D ．18【答案】C【解析】因为向量()1,3a =-，()5,4b =-，所以()()153417a b ⋅=-⨯-+⨯=，故选：C 2．（2020·广东高一期末）若(1,2),(2,3)=-=a b 则(2b)b a -⋅=（ ） A ．-5 B ．5C ．-6D ．6【答案】A【解析】因为(1,2),(2,3)=-=a b ，所以(2b)b a -⋅=(4,1)(2,3)42135-⋅=-⨯+⨯=-.故选：A.3．（2020·湖北高一期末）已知向量()4,5a =，()22,11a b -=-，则向量a 在向量b 方向上的投影为（ ）A ．1B ．2-C ．2D ．-1【答案】B【解析】由题意，()4,5a =，()22,11a b -=-，可得()26,6b -=-，则()3,3b =-，所以43353a b ⋅=⨯-⨯=-，()233b =+-=所以向量a 在向量b 方向上的投影为3232a b b⋅-==-.故选：B.4．（2020·湖北武汉市·高一期末）已知()1,2A -，()4,1B-，()3,2C ，则cos BAC ∠=（ ）A ．10-B ．10C ．2-D ．2【答案】D【解析】由已知得()3,1AB =，()2,4AC =，∴cos cos ,23AB AC BAC AB AC AB AC⋅∠====.故选：D. 5．（2020·安徽合肥市·高一期末）已知点()1,1A -，()1,2B ，()2,1C --，()3,4D ，则向量CD →在BA→方向上的投影是（ ） A．- B．2-C．D．2【答案】A【解析】由题可知，(1,1)A -，(1,2)B ，(2,1)C --，(3,4)D ，所以(2,1)BA →=--，(5,5)CD →=， 则向量CD →在BA →方向上的投影是||BA CD BA →→→⋅==-故选：A.6．（2020·四川内江市）已知向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，若//a b ，a c ⊥，则()b a c ⋅-=（ ） A ．14 B ．-14C ．10D ．6【答案】C【解析】向量(1,2)a =，(,4)b x =，(2,)c y =，//a b ，可得142x ⨯=，解得2x =，(2,4)b =，a c ⊥，可得1220y ⨯+=，解得1y =-，(1,3)a c -=-，则()21210b a c -=-+=．故选：C ．7．（2020·山东聊城市·高一期末）向量(1,3)a =，(3,1)b =，则向量a b +与a b -的夹角为（ ） A ．12πB ．6πC ．3π D ．2π 【答案】D【解析】设θ为a b +与a b -的夹角，(1,3)a =，(3,1)b =，则1+31+a b +=（，，131a b -=（-，）||=6a b ++||6a b -=-又()()0cos 04a b a b a b a bθ+⋅-===+-，0,2πθπθ≤≤∴=. 故选：D .8．（2020·尤溪县第五中学高一期末）已知向量(1,2)a =，(,4)a b m +=，若a b ⊥ ，则m =（ ） A ．3- B ．2-C ．2D ．3【答案】A【解析】()()(,4)1,2(1,2)b a b a m m =+-=-=-，因为a b ⊥，所以()112230a b m m ⋅=-⨯+⨯=+=，解得：3m =-，故选：A9．（2020·全国高一课时练习）设(3,4)a =，a b ⊥且b 在x 轴上的投影为2，则b =（ ） A ．8(2,)3B ．3(2,)2-C ．8(2,)3-D ．3(2,)2-【答案】B【解析】由题意，向量b 在x 轴上的投影为2，可设(2,)b y =， 因为a b ⊥，可得2340a b y ⋅=⨯+=，解得32y =-，所以3(2,)2b =-.故选：B. 10．（2021·江苏高一）已知平面向量(1,)a m =，()0,2b =，若(3)b a mb ⊥-，则实数m =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】因为(3)b a mb ⊥-，所以(3)0b a mb ⋅-=，即23a b mb ⋅=，又(1,)a m =，()0,2b =，故324m m ⨯=，解得0m =.故选：B.11．（2020·全国高一）已知向量()()126,,3,2e e λ==-，若12,e e 为钝角，则λ的范围是（ ） A ．(,9)-∞ B ．(9,)+∞C ．(,4)(4,9)-∞⋃D ．(,4)(4,9)-∞-⋃-【答案】D【解析】12,e e 为钝角，∴12·0e e <且12,e e 不共线，∴18201230λλ-+<⎧⎨+≠⎩，解得9λ<且4λ≠-， λ∴的范围是(-∞，4)(4-⋃-，9).故选：D.12．（多选）（2021·江苏高一）已知向量(),3a m =，()2,4b =-，若()a b a +⊥，则（ ） A ．1m =或3m =- B ．1m =-或3m = C ．2a b +=或10a b += D ．2a b +=或26a b +=【答案】AC【解析】因为向量(),3a m =，()2,4b =-，所以()2,1b m a +=+-，若()a b a +⊥，则()()2130m m +⨯+-⨯=，即2230m m +-=，解得1m =或3m =-， 故A 正确，B 错；当3m =-时，(b m a +=+=当1m =时，(a b m +=+=故C 正确，D 错.故选：AC.13．（多选）（2020·全国高一）设向量()2,0a =，()1,1b =，则（ ） A ．a b = B ．()//a b b - C ．()a b b -⊥ D ．a 与b 的夹角为π4【答案】CD【解析】因为()2,0a =，()1,1b =， 所以2,2a b ==，所以a b ≠，故A 错误； 因为()2,0a =，()1,1b =，所以()()=1,1a b --，又()1,1b =， 则1111⨯≠-⨯，所以()a b -与b 不平行，故B 错误； 又()110a b b -⋅=-=，故C 正确；又2cos ,222a b a b a b⋅<>===⋅， 又a 与b 的夹角范围是[]0,π， 所以a 与b 的夹角为π4，故D 正确. 故选：CD.14．（2020·全国高一）已知向量()1,2a =-，()4,3b =，22c =.若a 与()b c -垂直，则向量a 与c 的夹角的余弦值是______.【答案】10-【解析】由已知14(2)32a b ⋅=⨯+-⨯=-，5a =，∵a 与()b c -垂直，∴()0a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅=，∴2a c a b ⋅=⋅=-，∴2cos 105a c a c a c⋅-<⋅>===-⨯．15．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学）已知向量()1,2a =，与向量(),1b x = （1）当x 为何值时，a b ⊥；（2）当3x =为何值时，求向量a 与向量b 的夹角； （3）求2b a -的最小值以及取得最小值时向量b 的坐标． 【答案】（1）2x =-；（2）4π；（3）最小值3，(2,1)=b ． 【解析】（1）20a b x ⋅=+=，2x =-，所以2x =-时，a b ⊥；（2）由题意(3,1)b =，3cos ,25a b a b a b⋅+<>===⨯,4a b π<>=；（3）由已知2(2,3)b a x -=--， 所以2(2)b a x -=-2x =时，2b a -取得最小值3，此时(2,1)=b ．【题组二 巧建坐标解数量积】1．（2020·安徽省亳州市第十八中学高一期中）如图，在矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，点P 为CD 的中点，点Q 在BC 上，且2BQ =．（1）求AP AQ ⋅；（2）若AC AP AQ λμ=+（λ，μ∈R ），求λμ的值.【答案】（1）14；（2）23λμ=. 【解析】如图，分别以边AB ，AD 所在的直线为x 轴，y 轴， 点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,3P ，()4,0B ，()4,3C ，()4,2Q .（1）∵()2,3AP =，()4,2AQ =，∴243214AP AQ ⋅=⨯+⨯=. （2）∵()4,3AC =，()2,3AP =，()4,2AQ =，由AC AP AQ λμ=+，得()()4,324,32λμλμ=++，∴244,323,λμλμ+=⎧⎨+=⎩解得1,23,4λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴23λμ=.2．（2020·江西高一期末）如图，在ABC 中，已知2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点.（1）求AD BC ⋅的值；（2）求EB ，EC 夹角的余弦值.【答案】（1）6；（2. 【解析】（1）依题意可知ABC为直角三角形，BC =则(0,0)B ，(0,2)A，C ， 因为D 为BC的中点，故D ，∴()3,2AD =-，()2BC =，∴36AD BC ⋅=⨯=.（2）由E 为线段AD 中点可知2E ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，∴12EB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，312EC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴cos ,||||EB ECEB EC EB EC ⋅<>=11-⨯+⨯==3．（2020·河北邢台市·高一期中）如图，扇形OAB的圆心角为90︒，2OA =，点M 为线段OA 的中点，点N 为弧AB 上任意一点.（1）若30BON ∠=︒，试用向量OA ，OB 表示向量ON ； （2）求MB ON ⋅的取值范围. 【答案】（1）1322ON OA OB =+；（2）[]2,4-. 【解析】（1）如图，以O 为坐标原点，建立直角坐标系xOy ， 则()0,0O ，()0,2A ，()2,0B ，)N，所以()0,2OA =，()2,0OB =，()3,1ON =.设ON xOA yOB=+，则212x y =⎧⎪⎨=⎪⎩12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1322ON OA OB =+. （2）设()0θ90BON θ∠=︒≤≤︒，则()2cos ,2sin N θθ，()0,1M ， 则()2,1MB =-，()2cos ,2sin ON θθ=， 所以()4cos 2sin MB ON θθθϕ⋅=-=+， 其中cos 5ϕ=，sin 5ϕ=（ϕ为锐角）. 因为090θ︒≤≤︒，所以90ϕθϕϕ≤+=+︒， 则()maxcos cos 5θϕϕ+==，()()mincos cos 90sin 5θϕϕϕ+=︒+=-=-，所以MBON ⋅的取值范围为[]2,4-.【题组三 数量积与三角函数综合运用】1．（2020·河南安阳市·林州一中高一月考）已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( ) A ．1 B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---，故选：A . 2．（2020·辽宁高一期末）已知向量()1,cos2a x =，(sin 2b x =，将函数()f x a b =⋅的图象沿x 轴向左平移ϕ()0ϕ>个单位后，得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．512π D ．3π 【答案】D【解析】()sin 222sin 23f x a b x x x π=⋅⎛⎫==+⎪⎝⎭， 将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位，得到()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 该函数的图象关于原点对称，∴该函数是奇函数，23k πϕπ∴+=，k Z ∈，62k ππϕ∴=-+，k Z ∈，又0ϕ>，min 3πϕ∴=.故选：D .3．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知α是锐角，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，且a b ⊥，则α为（ ） A ．15° B ．45°C ．75°D ．15°或75°【答案】D【解析】a b ⊥，3(,sin )2a α=，1(,2cos )3b α=-，112sin cos 0sin 222a b ααα∴⋅=-=⇒=，又()0,90α∈，则20,180α，230α∴=或150，解得α=15°或75°.故选：D4．（2020·辽宁大连市·）已知向量1,tan 3a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,cos b α=，若a b ⊥，则3cos 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13- B ．13C ．D 【答案】A【解析】若a b ⊥，则1tan cos 03a b αα⋅=+⋅=，即1sin 3α=-， 所以31cos sin 23παα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭.故选：A 5．（2020·陕西宝鸡市·高一期末）已知向量(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =，则a b +的值为（ ）A ．1 BC ．2D ．4【答案】B 【解析】(sin 70,cos 70)a =，(cos80,sin 80)b =(sin 701a ∴==，(cos801b ==，1sin 70cos80cos70sin80sin1502a b ， ()22223a b a b a a b b ∴+=+=+⋅+=.故选：B.6．（2020·泰兴市第二高级中学高一期末）已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<. （1）求向量a b +与a b -所成的夹角； （2）若k a b +与a k b -的模相等，求2αβ-的值（k 为非零的常数）.【答案】（1）90；（2）4π-. 【解析】（1）由已知得：1a b ==，则：()()22·0a b a b a b +-=-=，因此：()()a b a b +⊥-，因此，向量a b +与a b -所成的夹角为90；（2）由(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，可得()cos cos ,sin sin k a b k k αβαβ+=++，()cos cos ,sin sin a k b k k αβαβ-=--，(cos ka b k +=，(cos a kb α-=∴=整理可得：()()222cos 112cos k k k k βαβα+-+=--+，即：()4cos 0k βα-=，0k ≠ ， ()cos 0βα∴-=，即()cos 0αβ-=，00αβππαβ<<<∴-<-<，因此：2παβ-=-，即：24αβπ-=-.7．（2020·株洲市南方中学高一期末）已知向量()2sin ,1a α=，()1,cos b α=. （1）若角α的终边过点()3,4，求a b ⋅的值； （2）//a b ，且角α为锐角，求角α的大小； 【答案】（1）115；（2）4π．【解析】（1）角α的终边过点()3,4，点(3,4)到原点距离为5r ==，∴4sin 5α，3cos 5α=， ∴43112sin cos 2555a b αα⋅=+=⨯+=； （2）∵//a b ，∴2sin cos 10αα-=，sin21α=，又α为锐角，∴22πα=，∴4πα=．8．（2020·林芝市第二高级中学高一期末）在平面直角坐标系xoy中，已知向量2(,22m =-，(sin ,cos )n x x =，(0,)2x π∈．（1）若m n ⊥，求tan x 的值； （2）若m 与n 的夹角为3π，求x 的值． 【答案】（1）tan 1x =（2）512π． 【解析】（1）∵m n ⊥，∴0mn ⋅=0x x -=，∴tan 1x =． （2）∵m 与n 的夹角为3π，∴2cos 122cos ,112x x m n m n m n -⋅<>===⨯||||，故1sin()42x π-=， 又(0,)2x π∈，∴(,)444πππ-∈-x ，46x ππ∴-=，即512x π=．故x 的值为512π． 9．（2020·广西桂林市·高一期末）已知向量(sin ,1)m x =-，向量13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，函数()()f x m n m =+⋅.（1）求()f x 的最小正周期T 及其图象的对称轴的方程； （2）若方程()0f x t -=在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，求实数t 的取值范围.【答案】（1）π，23k x ππ=+，k z ∈；（2）3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】（1）∵(sin ,1)m x =-，13cos ,2n x ⎛⎫= ⎪⎭，∴1sin ,2m n x x ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，可得1()()sin (sin )2f x m n m x x x =+⋅=+21sin cos 2x x x =+∵21sin (1cos 2)2x x =-，1sin cos sin 22x x x =∴11()(1cos 2)2sin 212226f x x x x π⎛⎫=-++=-+ ⎪⎝⎭ 因此，()f x 的最小正周期22T ππ==. ∵262x k πππ-=+，k z ∈，∴对称轴方程为23k x ππ=+，k z ∈. （2）∵,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得52,636x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，得()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ∵方程()0f x t -=在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解， ∴()f x t =在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，即得实数t 的取值范围为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 10．（2020·甘肃白银市·高一期末）设向量()3cos ,2sin a θθ=-． （1）当43θπ=时，求a 的值： （2）若()3,1b =-，且//a b，求22cos 124θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1；（2）23．【解析】（1）43θπ=，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎝⎭⎝，所以2322a ⎛⎫==⎪； （2）//a b ，则3cos 32sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2θ=，故22cos 1cos 122sin cos tan 134θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭．11．（2020·湖北荆门外语学校高一期中）已知向量()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.（1）若//a b ，tan 2x =-，求实数m 的值；（2）记()f x a b =⋅，若()1f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）±（2）(,1]-∞. 【解析】（1）∵//a b ，∴ 228sin cos (sin cos )m x x x x -=+，整理得：228tan tan 1m x x =-- ∵tan 2x =-，2321m =，解得：m = （2）∵()f x a b =⋅，()2sin ,cos a m x x =，()sin cos ,4sin b x x m x =+-， ∴()2sin (sin cos )4sin cos f x m x x x x x =+-22sin 2sin cos m x m x x =- (1cos 2)sin 2m x m x =-- (sin 2cos2)m m x x =-+sin(2)4m x π=+∵(,0)2x π∈-，∴32444x πππ-<+<，∴1sin(2)42x π-≤+<，∴01)14x π<+≤若()sin(2)14f x m x π=+≤恒成立，则11)4m x π≤+恒成立，又∵111)4x π≥=+，∴1m ≤，故实数m的取值范围为(,1]-∞.12．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（理））已知()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=-，()0,4ω∈，若()2f x a b =⋅其图像关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称（1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （3）当a b ⊥时，求x 的值. 【答案】（1）()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）28k x ππ=+，k Z ∈. 【解析】（1）()sin ,cos a x x ωω=，()sin ,2sin cos b x x x ωωω=- ∴()2222sin4sin cos 2cos f x a b x x x x ωωωω=⋅=+-2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭∵()f x 的图象关于点,08M π⎛⎫⎪⎝⎭对称 ∴284k ππωπ⋅-=，k Z ∈即41k ω=+，k Z ∈∵()0,4ω∈ ∴1ω=∴()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.（2）()24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为： ()()322224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ-≤-≤+∈⇒-≤≤+∈； 单调递减区间为：()()33722224288k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈； 所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的增区间是30,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是3,82ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （3）∵a b ⊥∴()222sin 204f x a b x π⎛⎫=⋅=-= ⎪⎝⎭即24x k ππ-=，k Z ∈ 解得28k x ππ=+，k Z ∈13．（2020·广东高一期末）已知向量(1,2cos ),3sin ,0,23π⎛⎫⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭a x b x x . （1）若//a b ，求tan2x 的值；（2）若f （x ）＝a •b ，则函数f （x ）的值域．【答案】（1（2）【解析】（1）因为//a b ，所以cos 0x x -=，所以1sin 22x =，因为03x π<<，所以2023x π<<，所以26x π=，所以tan 2tan63x π==.（2）()f x a b =⋅=2cos 2x x x x+⨯=+)4x π=+， 因为03x π<<，所以74412x πππ<+<，所以sin(),1]42x π+∈，所以()f x ∈.14．（2021·广东湛江）已知向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，且0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，（1）求a b 及a b +的值；（2）若()·2f x a b a b λ=-+的最小值是32-，求实数λ的值． 【答案】（1）·cos 2a b x =，2cos a b x +=，（2）12λ= 【解析】（1）因为向量33cossin 22x x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，cos sin()22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，所以33·cos cos sin sin cos 22222x x x xa b x =-=， 33cos cos ,sin sin 2222x x x x a b ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，所以(cosa b +===因为02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以cos 0x >， 所以2cos a b x +=，（2）由（1）可得()2·2cos 24cos 2cos 4cos 1f x a b a b x x x x λλλ=-+=-=--， 令cos t x =，则[0,1]t ∈，令2()241g t t t λ=--，其图像的对称轴为直线44t λλ-=-=， 则问题转化为当λ为何值时，函数2()241g t t t λ=--在[0,1]t ∈上有最小值32-， ①当0λ≤时，则函数()g t 在[0,1]上递增，最小值为3(0)12g =-≠-，不合题意，舍去， ②01λ<<时，则函数()g t 在[0,]λ上递减，在[,1]λ上递增，则最小值为23()212g λλ=--=-，解得12λ=或12λ=-（舍去）， ③当1λ≥时，则函数()g t 在[0,1]上递减，最小值为3(1)142g λ=-=-，解得58λ=，不合题意，舍去，综上，12λ=【题组四 数量积与几何综合运用】1．（2020·全国高一课时练习）一个平行四边形的三个顶点坐标分别是()5,7、()3,5-、()3,4，则第四个顶点的坐标不可能是（ ） A ．()1,8- B ．()5,2-C ．()11,6D ．()5,2【答案】D【解析】设点()5,7A 、()3,5B -、()3,4C ，设第四个顶点为(),D x y ，分以下三种情况讨论： ①若四边形ABDC 为平行四边形，则AC BD =，即()()2,33,5x y --=+-，即3253x y +=-⎧⎨-=-⎩，解得52x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()5,2-；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AD BC =，则()()5,76,1x y --=-， 即5671x y -=⎧⎨-=-⎩，解得116x y =⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()11,6；③若四边形ACBD 为平行四边形，则AD CB =，即()()5,76,1x y --=-，即5671x y -=-⎧⎨-=⎩，解得18x y =-⎧⎨=⎩，此时，点D 的坐标为()1,8-.综上所述，第四个顶点的坐标为()11,6或()5,2-或()1,8-，所以不可能是()5,2，故选：D. 2．（2020·辽宁）已知向量．（1）若ΔABC 为直角三角形，且∠B 为直角，求实数λ的值． （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数λ应满足的条件 ． 【答案】（1）λ=2；（2）λ≠−2． 【解析】∵即：−7(6−λ)+7(3λ−2)=0,∴λ=2（2）∵若点A 、B 、C 能构成三角形，则A 、B 、C 不共线 ∴−7(3λ−2)≠7(6−λ) ∴实数λ应满足的条件 是λ≠−23．（2021·重庆市）已知向量(3,4),(6,3),(5,3)OA OB OC x y =-=-=---,(4,1)OD =． （1）若四边形ABCD 是平行四边形，求,x y 的值；（2）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B ∠为直角，求,x y 的值． 【答案】（1）2,5x y =-=-；（2）0{3x y ==-或2{3x y =-=．【解析】（1）(1,5)AD =，(1,)BC x y =---，由AD BC =得x=-2,y=-5． （2）(3,1),AB =(1,)BC x y =---，若B ∠为直角，则AB BC ⊥， ∴3(1)0x y ---=，又AB BC =，∴22(1)10x y ++=，再由3(1)y x =--，解得0{3x y ==-或2{3x y =-=．4．（2020·浙江温州市·高一期末）已知平面上三点,,A B C ，()2,3BC k =-，()2,4AC =. （1）若BC AC =，求实数k 的值.（2）若ABC ∆是以BC 为斜边的直角三角形，求实数k 的值.【答案】（1）2k =（2）2k =-【解析】（1）由于BC AC =，则=解得2k =.（2）(),1AB AC BC k =-= 由题意得A 为直角，则•0AB AC =. 即240k +=，故2k =-.5．（2020·山西朔州市·应县一中高一期中（文））已知向量OA =()3,4-,OB =()6,3-,OC =()5,3m m ---,O 为坐标原点.（1）若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值； （2）若点A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件. 【答案】（1）74m =；（2）12m ≠ 【解析】（1）因为OA =()3,4-，OB =()6,3-，OC =()5,3m m ---， 所以(3,1)AB OB OA =-=，(2,1)AC OC OA m m =-=--， 若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB AC ⊥， ∴3（2﹣m ）+（1﹣m ）＝0，解得74m =． （2）若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线， 得3（1﹣m ）≠2﹣m ，∴实数12m ≠时，满足条件． 6．（2020·广东云浮市·高一期末）（1）已知向量a ，b 满足5a =，()1,2b =，且//a b ，求a 的坐标． （2）已知()1,4A --、()5,2B 、()3,4C ，判断并证明以A ，B ，C 为顶点的三角形是否为直角三角形，若是，请指出哪个角是直角．【答案】（1）()1,2a =或()1,2a =--；（2）ABC 为直角三角形，B 为直角，证明见解析. 【解析】（1）设(),a x y =，则225x y +=，又//a b ，所以20x y -=，联立2252x y y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩． 于是()1,2a =或()1,2a =--．（2）ABC 是直角三角形，B 为直角．证明如下：∵()()()1,45,26,6BA =---=--，()()()3,45,22,2BC =-=-，∴()()62620BA BC ⋅=-⨯-+-⨯=，∴BA BC ⊥，即ABC 为直角三角形，B 为直角．7．（2020·湖北襄阳市·襄阳五中高一月考）已知向量(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，(4,1)OD =--．（Ⅰ）若四边形ABCD 是平行四边形，求x ，y 的值；（Ⅱ）若ABC ∆为等腰直角三角形，且B 为直角，求x ，y 的值．【答案】（Ⅰ）2,5--；（Ⅱ）03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩． 【解析】（Ⅰ）(3,4)OA =-，(6,3)OB =-，(5,3)OC x y =-+，∴(1,5)AD =--，(1,)BC x y =+，由AD BC =，2x =-，5y =-； （Ⅱ）(3,1)AB =--，(1,)BC x y =+，B ∠为直角，则AB BC ⊥，3(1)0x y ∴-+-=，又||||AB BC =，22(1)10x y ∴++=，再由3(1)y x =-+，解得：03x y =⎧⎨=-⎩或23x y =-⎧⎨=⎩．。
高考数学一轮复习全套课时作业5-3平面向量的数量积
题组层级快练5.3平面向量的数量积一、单项选择题1．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝10，则AB→·AC→等于()A．－32B．－23C.23D.322．(2021·河北省承德月考)已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，m)，则“m<12”是“〈a，b〉为钝角”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(2021·成都外国语学校高三模拟)设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.10 B.11C．23 D.134．已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是()A．－4B．4C．－2D．25．(2019·课标全国Ⅱ，理)已知AB→＝(2，3)，AC→＝(3，t)，|BC→|＝1，则AB→·BC→＝()A．－3B．－2C．2D．36．(2016·山东，理)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝13.若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为()A．4B．－4 C.94D．－947．已知向量a＝(1，2)，a·b＝5，|a－b|＝25，则|b|等于()A.5B．25C．5D．258．(2021·东北四校模拟)若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，(a＋b)·b＝32，则向量a，b的夹角为() A．30°B．45°C．60°D．90°9．(2021·沧州七校联考)在以BC为斜边的直角△ABC中，AB＝2，2BE→＝EC→，则AB→·AE→＝()A．3 B.73C.83D．210．(2020·人大附中模拟)已知a，b是非零向量，且向量a，b的夹角为π3，若向量p＝a|a|＋b|b|，则|p|＝() A．2＋3 B.2＋3C．3 D.311．(2020·河南鹤壁高级中学段考)如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF→＝2FO→，则FD→·FE→等于()A．－34B．－89C．－14D．－49二、多项选择题12．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，则()A．若a∥b，则x＝－2B．若x＝1，则|b－a|＝5C．若x＝－1，则a与b的夹角为60°D．若a＋2b与a垂直，则x＝313．(2021·成都七中月考)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是()A．a＋b B．a＋12b C．a－b D.233a－33b三、填空题和解答题14．设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b＝________，e1与e2的夹角为________．15．(2021·辽宁五校)已知|OA→|＝|OB→|＝1，|AB→|＝3，则|OA→＋2OB→|＝________．16．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1与e2的夹角为π3，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．17．(2020·江西上饶一模)在边长为1的正方形ABCD中，2AE→＝EB→，BC的中点为F，EF→＝2FG→，则EG→·BD→＝________．18．(2020·山东新高考Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP→·AB→的取值范围是() A．(－2，6)B．(－6，2)C．(－2，4)D．(－4，6)5.3平面向量的数量积参考答案1．答案D解析AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32.2．答案B解析若〈a ，b 〉为钝角，则有a ·b <0且a 与b 1＋2m<0，≠－2，得m<12且m ≠－2.故“m<12”是“〈a ，b 〉为钝角”的必要不充分条件．故选B.3．答案A解析由向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b 得a ·b ＝0，解得x ＝2，所以|a ＋b |＝|(3，－1)|＝10.4．答案A解析∵a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝18cos 〈a ，b 〉＝－12，∴cos 〈a ，b 〉＝－23.∴a 在b 方向上的投影是|a |cos〈a ，b 〉＝－4.5．答案C解析因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC→＝2×1＋3×0＝2，故选C.6．答案B解析由n ⊥(t m ＋n )可得n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，所以t ＝－n 2m ·n ＝－n 2|m |·|n |cos 〈m ，n 〉＝－|n |2|m |×|n |×13＝－3×|n ||m |＝－3×43＝－4.故选B.7．答案C解析由a ＝(1，2)，可得a 2＝|a |2＝12＋22＝5.∵|a －b |＝25，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝20.∴5－2×5＋b 2＝20.∴b 2＝25.∴|b |＝5，故选C.8．答案C解析∵(a ＋b )·b ＝b 2＋a·b ＝1＋a·b ＝32，∴a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝12，cos 〈a ，b 〉＝12，〈a ，b 〉＝60°.故选C.9．答案C 10．答案D解析∵|p |2＝1＋1＋2cosπ3＝3，∴|p |＝ 3.11．答案B解析∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13，∴FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝|FO →|2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＋0－1＝－89.故选B.12．答案ABD解析由a ∥b 可得x ＝－2，故A 正确；若x ＝1，则b ＝(2，1)，|b －a |＝|(2，1)－(1，－1)|＝12＋22＝5，故B 正确；当x ＝－1时，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝2＋12×5＝31010≠12，故C 错误；a ＋2b ＝(5，－1＋2x)，由(a ＋2b )·a ＝5＋(－1)(－1＋2x)＝0，解得x ＝3，故D 正确．13．答案CD解析由题意知，两个单位向量a ，b 的夹角为60°，则|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a |·|b |cos60°＋|b |2＝1－2×1×1×12＋1＝1，所以向量a －b 是单位向量．C 正确．同理计算知D 正确；A 、B 不正确．14．答案2π315．答案3解析由|OA →|＝|OB →|＝1可得|AB →|＝错误!＝2－2OA →·OB →)＝3，所以OA →·OB →＝－12，所以|OA →＋2OB →|＝|OA →|2＋4OA →·OB →＋4|OB →|2)＝1－2＋4＝3.16．答案7－142，－解析由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得（2t e 1＋7e 2）·（e 1＋t e 2）|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简即得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t<－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角．设2t e1＋7e2＝λ(e1＋t e2)，λ<0，＝λ，＝λt，<0，＝－14，＝－142.∴所求实数t的范围是(－7，－142)∪(－142，－12)．17．答案－14解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．∵正方形ABCD的边长为1，∴B(1，0)，D(0，1)，设G(a，b)，由EF→＝2FG→，－1，b＝43，＝34，∴∴EG→∵BD→＝(－1，1)，∴EG→·BD→＝－1＋34＝－14.18．答案A解析如图，AB→模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP→在AB→方向上投影的数量的取值范围是(－1，3)，结合向量数量积的定义式，可得AP→·AB→等于AB→的模与AP→在AB→方向上投影的数量的乘积，所以AP→·AB→的取值范围是(－2，6)．故选A.。
平面向量的数量积与向量投影练习题
平面向量的数量积与向量投影练习题在平面向量的运算中，数量积和向量投影是两个重要的概念。
它们在几何和物理学中有着广泛的应用。
本文将通过练习题的形式来帮助读者更好地理解和应用平面向量的数量积与向量投影。
1. 练习题一已知向量a = 3i + 4j和向量b = -2i + 3j，求向量a与向量b的数量积。
解析：向量a与向量b的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a||b|cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
首先，我们需要计算|a|和|b|，它们分别表示向量a和b的模。
向量a 的模为|a| = √(3^2 + 4^2) = 5，向量b的模为|b| = √((-2)^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13。
接下来，我们需要计算θ的余弦值。
根据向量的坐标表示，可以得出cosθ = (a·b)/(|a||b|)。
代入已知数据，可以得到cosθ = ((3)(-2) +(4)(3))/(5√13) = 6/(5√13)。
最后，将cosθ代回数量积公式，可以求得向量a与向量b的数量积：a·b = (5)(√13)(6/(5√13)) = 6。
因此，向量a与向量b的数量积为6。
2. 练习题二已知向量a = i + 2j和向量b = 2i + 3j，求向量a在向量b上的投影。
解析：向量a在向量b上的投影可以用以下公式计算：proj_b(a) = (a·b/|b|)* (b/|b|)，其中proj_b(a)表示向量b上投影的向量。
首先，我们需要计算a·b，它表示向量a与向量b的数量积。
根据向量的坐标表示，可以得出a·b = (1)(2) + (2)(3) = 2 + 6 = 8。
接下来，计算|b|，它表示向量b的模。
向量b的模为|b| = √(2^2 +3^2) = √(4 + 9) = √13。
然后，计算投影向量的方向，即b/|b|。
根据向量的坐标表示，可以得出b/|b| = (2/√13)i + (3/√13)j。
平面向量数量积应用题
平面向量数量积应用题问题描述：给定向量 $\vec{a} = (3, -1), \vec{b} = (-2, 4)$，求它们的数量积$\vec{a} \cdot \vec{b}$。
解题分析：根据向量数量积的公式，$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos{\theta}$，其中 $|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别是向量$\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的模，$\theta$ 是它们之间的夹角。
因为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 在二维平面内，所以它们的模分别为：$$\begin{aligned}|\vec{a}| &= \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{10}, \\|\vec{b}| &= \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = 2\sqrt{5}。
\end{aligned}$$根据向量的点积公式，$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times (-2) + (-1) \times 4 = -10$，因此 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos{\theta} = -10$。
两边同时除以 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$，得到：$$\cos{\theta} = -\frac{1}{\sqrt{2}}。
$$所以 $\theta = \frac{3\pi}{4}$（夹角的范围是 $[0, \pi]$）。
因此：$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cos{\theta} = -\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -10\sqrt{2}。
$$答案是 $-10\sqrt{2}$。
2023年高考数学微专题练习专练27平面向量的数量积及其应用含解析理
专练27 平面向量的数量积及其应用命题范围：平面向量的数量积及其几何意义、平面向量数量积的应用．[基础强化]一、选择题1．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为60°，向量m ＝5e 1－2e 2，则|m |＝( ) A ．19B ．21 C ．25D ．72．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，1)，且a ⊥b ，则实数x 的值为( ) A ．32B ．－32 C ．23D ．－233．已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( ) A ．－3B ．－2 C ．2D ．34．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4B ．3 C ．2D ．05．[2022·江西省九江市模拟]已知单位向量a 、b 满足|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．1B ．－1 C ．12D ．－126．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13，若n ⊥(t m ＋n )，则实数t的值为( )A ．4B ．－4C ．94D ．－947．已知x >0，y >0，a ＝(x ，1)，b ＝(1，y －1)，若a ⊥b ，则1x ＋4y的最小值为( )A ．4B ．9 D ．8D ．108．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．[2022·江西省南昌市第十中学月考]已知△OAB ，OA ＝1，OB ＝2，OA →·OB →＝－1，过点O 作OD 垂直AB 于点D ，点E 满足OE →＝12ED →，则EO →·EA →的值为( )A ．－328B ．－121C ．－29D ．－221二、填空题10．[2022·安徽省江南十校一模]已知向量a ＝(t ，2)，b ＝(－t ，1)，满足|a －b |＝|a ＋b |，则t ＝________.11．[2022·全国甲卷(理)，13]设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且||a ＝1，||b ＝3，则()2a ＋b ·b ＝________．12．已知向量b 为单位向量，向量a ＝(1，1)，且|a －2b |＝6，则向量a ，b 的夹角为________．[能力提升]13．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →14．[2022·陕西省西安中学模拟]在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝23，点M ，N 是线段AC 上的动点，且|MN |＝2，则BM →·BN →的最小值为( )A ．12B ．8C ．63D ．615．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________．16．[2022·江西省景德镇市质检]已知e 1，e 2是两个单位向量，设a ＝λe 1＋μe 2，且满足λ＋μ＝4，若|e 1－e 2|＝|e 2－a |＝|a －e 1|，则|a |＝________．专练27 平面向量的数量积及其应用1．A |m |＝（5e 1－2e 2）2＝25－20e 1·e 2＋4＝29－20×12＝19.2．B ∵a ⊥b ，∴2x ＋3＝0，∴x ＝－32.3．C 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)，所以|BC →|＝1＋（t －3）2＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1，0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2，故选C.4．B a ·(2a －b )＝2a 2－a ·b ＝2－(－1)＝3.5．C 由已知可得|a －2b |2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝5－4a ·b ＝3，解得a ·b ＝12.6．B ∵n ⊥(t m ＋n )，∴t m ·n ＋n 2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ·n 〉＋n 2＝0， ∴34×13t ＋1＝0，得t ＝－4. 7．B 依题意，得a ·b ＝x ＋y －1＝0⇒x ＋y ＝1.1x ＋4y ＝x ＋y x ＋4（x ＋y ）y ＝5＋y x ＋4xy≥9，当且仅当x ＝13，y ＝23时取等号．故选B.8．B 设a 与b 的夹角为α，∵(a －b )⊥b ，∴(a －b )·b ＝0，∴a·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3.故选B.9．D 由题意，作出图形，如图，∵OA ＝1，OB ＝2，OA →·OB →＝－1，∴OA →·OB →＝1×2cos∠AOB ＝2cos∠AOB ＝－1， ∴cos∠AOB ＝－12，由∠AOB ∈(0，π)可得∠AOB ＝2π3，∴AB ＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos∠AOB ＝7，又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin∠AOB ＝12·OD ·AB ＝32，则OD ＝37，∴EO →·EA →＝－OE →·(ED →＋DA →)＝－2OE →2＝－29·OD →2＝－29×37＝－221.10．± 2解析：因为|a －b |＝|a ＋b |，所以(a －b )2＝(a ＋b )2⇒a 2＋b 2－2a ·b ＝a 2＋b 2＋2a ·b ⇒a ·b ＝0，a ·b ＝t ×(－t )＋2×1＝－t 2＋2＝0，得t ＝± 2. 11．11解析：因为cos 〈a ，b 〉＝13，|a |＝1，|b |＝3，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×13＝1，所以(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝2×1＋32＝11.12.2π3解析：因为|a －2b |＝6，所以2－22a ·b ＋2＝6，∴a ·b ＝－12，∴向量a 与b 的夹角θ满足cos θ＝－12·2＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.13．D ∵b ＝AC →－AB →，∴|b |＝2，故A 不正确；又BA →·BC →＝2×2×cos60°＝2，即：－2a ·b ＝2，a ·b ＝－1，故B ，C 都不正确；∵(4a ＋b )·BC →＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋b 2＝－4＋4＝0，∴(4a ＋b )⊥BC →，故D 正确． 14．B直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝23， 所以AC ＝43＝2BC ，所以∠BAC ＝30°， 作AC ⊥OB 于点O ，则OB ＝3，OC ＝3，OA ＝33，如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，不妨设点N 在点M 的左侧，设N (x ，0)，则M (x ＋2，0)，x ∈[－3，33－2]，B (0，3)，则BM →＝(x ＋2，－3)，BN →＝(x ，－3)， 所以BM →·BN →＝x (x ＋2)＋9＝(x ＋1)2＋8≥8， 当且仅当x ＝－1时，BM →·BN →的最小值为8. 15.223解析：a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21 －9e 1·e 2＋2e 22 ＝11－9×13＝8，又|a |＝（3e 1－2e 2）2＝9e 21 ＋4e 22 －12e 1·e 2＝3，|b |＝（3e 1－e 2）2＝9e 21 －6e 1·e 2＋e 22 ＝9－2＋1＝22， ∴cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223. 16．2解析：根据题意，作出如下草图，令AF →＝e 1，AE →＝e 2，AB →＝λe 1，AD →＝μe 2，因为a ＝λe 1＋μe 2，由平行四边形法则，可得BC →＝AD →＝μe 2， 所以AD ∥BC ，因为|e 1－e 2|＝|e 2－a |＝|a －e 1|， 所以|EF →|＝|CE →|＝|CF →|， 因为|AE →|＝|AF →|，所以△AEC ≌△AFC ，所以∠DAC ＝∠BAC . 因为AD ∥BC ，所以∠DAC ＝∠ACB ，所以∠BAC ＝∠ACB ，所以|AB →|＝|BC →|，所以|AD →|＝|AB →|， 即|λe 1|＝|μe 2|，所以λ＝±μ，又λ＋μ＝4，所以λ＝μ＝2，即a ＝2e 1＋2e 2，所以平行四边形ABCD 为菱形，设∠BAD ＝θ，即向量e 1，e 2的夹角为θ， 因为|e 1－e 2|＝|a －e 1|，所以|e 1－e 2|＝|2e 2＋e 1|， 即|e 1－e 2|2＝|2e 2＋e 1|2，所以1＋1－2cos θ＝4＋1＋4cos θ，即6cos θ＝－3， 所以cos θ＝－12，即θ＝2π3，所以|a |＝2|e 1＋e 2|＝21＋1＋2cos 2π3＝2.。
(完整版)平面向量的数量积练习题(含答案)
平面向量的数量积A 组 专项根底训练一、选择题(每题5分，共20分)1． (2021·辽宁)向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，假设a ·b ＝1，那么x 等于( )A ．－1B ．－12 C.12 D ．1 2． (2021·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，那么|a＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．103． 向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．假设向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，那么c 等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，那么AB →·AC→等于 ( ) A ．－32 B ．－23 C.23 D.32二、填空题(每题5分，共15分)5．向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，那么|b |＝________.6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，那么AB →·AC→＝________. 7． a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，假设a 与b 的夹角为钝角，那么λ的取值范围是__________．三、解答题(共22分)8． (10分)a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.(1)求b ；(2)假设c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，假设向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．B 组 专项能力提升一、选择题(每题5分，共15分)1．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC→＝1，那么BC 等于 ( ) A. 3 B.7 C ．2 2 D.23 2． |a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，那么向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．23．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，那么|P A |2＋|PB |2|PC |2等于( )A ．2B ．4C ．5D ．10二、填空题(每题5分，共15分)4．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．假设(a ＋c )⊥b ，那么|a |＝________.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，假设AB →·AF →＝2，那么AE →·BF→的值是________．6．在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，假设M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，那么AM →·AN →的取值范围是________． 三、解答题7． (13分)设平面上有两个向量a ＝(cos α，sin α) (0°≤α<360°)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.(1)求证：向量a ＋b 与a －b 垂直；(2)当向量3a ＋b 与a －3b 的模相等时，求α的大小．平面向量的数量积参考答案A 组 专项根底训练1.答案 D 解析 a ·b ＝(1，－1)·(2，x )＝2－x ＝1⇒x ＝1.2． 答案 B解析 ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2.由b ∥c ，得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)．∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10. 3．答案 D解析 设c ＝(x ，y )，那么c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)，又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.①又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②联立①②解得x ＝－79，y ＝－73.4．答案 D解析 由于AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos ∠BAC ＝12(|AB →|2＋|AC →|2－|BC →|2)＝12×(9＋4－10)＝32.二、填空题(每题5分，共15分)5．答案 32解析 ∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |cos 45°＝22|b |，|2a －b |2＝4－4×22|b |＋|b |2＝10，∴|b |＝3 2.6． 答案 －16解析 如下图，AB→＝AM →＋MB →， AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM→－MB →) ＝AM→2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 7． 答案 (－∞，－6)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，32解析 由a·b <0，即2λ－3<0，解得λ<32，由a ∥b 得： 6＝－λ，即λλ<32，且λ≠－6.三、解答题(共22分)8．解 (1)a·b ＝2n －2，|a |＝5，|b |＝n 2＋4， ∴cos 45°＝2n －25·n 2＋4＝22，∴3n 2－16n －12＝0，∴n ＝6或n ＝－23(舍)，∴b ＝(－2,6)． (2)由(1)知，a·b ＝10，|a |2c 与b 同向，故可设c ＝λb (λ>0)，(c －a )·a ＝0，∴λb·a －|a |2＝0，∴λ＝|a |2b·a ＝510＝12，∴c ＝12b ＝(－1,3)． 9．解 ∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 60°＝2×1×12＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 21＋7t e 22＋(2t 2＋7)e 1·e 2＝8t ＋7t ＋2t 2＋7＝2t 2＋15t ＋7. 由得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2反向时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0，那么⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，λt ＝7⇒2t 2＝7⇒t ＝－142或t ＝142(舍)． 故t 的取值范围为(－7，－142)∪(－142，－12)．B 组 专项能力提升一、选择题(每题5分，共15分)1．答案 A解析 ∵AB →·BC→＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →||BC →|cos(π－B )，∴|AB →||BC →|cos B ＝－1. 在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ，即9＝4＋|BC |2－2×(－1)． ∴|BC |＝ 3.2．答案 A解析 a·b 为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积，得a·b ＝|b ||a |·cos 〈a ，b 〉，即－12＝3|a |·cos 〈a ，b 〉，∴|a |·cos 〈a ，b 〉＝－4.3． 答案 D解析 ∵P A →＝CA →－CP →，∴|P A →|2＝CA →2－2CP →·CA→＋CP →2. ∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|P A →|2＋|PB→|2 ＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD→＋2CP →2. 又AB→2＝16CP →2，CD →＝2CP →， 代入上式整理得|P A →|2＋|PB→|2＝10|CP →|2，故所求值为10. 二、填空题(每题5分，共15分)4．答案 2解析 利用向量数量积的坐标运算求解． a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )．∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0，∴m ＝－12.∴a ＝(1，－1)，∴|a |＝ 2.5．答案 2解析 方法一 坐标法． 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，那么A (0,0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x,2)．故AB→＝(2，0)，AF →＝(x,2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)， ∴AB →·AF →＝(2，0)·(x,2)＝2x .又AB →·AF→＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)． ∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.方法二 用AB→，BC →表示AE →，BF →是关键． 设DF →＝xAB →，那么CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，又∵AB →·AF→＝2，∴2x ＝2， ∴x ＝22.∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →.∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →⎣⎢⎡⎦⎥⎤BC →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1AB →2＋12BC →2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22－1×2＋12×4＝ 2. 6．答案 [1,4]解析 利用基向量法，把AM→，AN →都用AB →，AD →表示，再求数量积． 如下图，设|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|＝λ(0≤λ≤1)，那么BM→＝λBC →， CN→＝λCD →，DN →＝CN →－CD →＝(λ－1)CD →， ∴AM →·AN →＝(AB →＋BM →)·(AD →＋DN →)＝(AB →＋λBC →)·[AD →＋(λ－1)CD →]＝(λ－1)AB →·CD →＋λBC →·AD→ ＝4(1－λ)＋λ＝4－3λ，∴当λ＝0时，AM →·AN →取得最大值4；当λ＝1时，AM →·AN→取得最小值1.∴AM →·AN→∈[1,4]． 三、解答题7．(1)证明 ∵(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋34＝0， 故向量a ＋b 与a －b 垂直．(2)解 由|3a ＋b |＝|a －3b |，两边平方得3|a |2＋23a·b ＋|b |2＝|a |2－23a·b ＋3|b |2，所以2(|a |2－|b |2)＋43a·b ＝0，而|a |＝|b |，所以a·b ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·cos α＋32·sin α＝0， 即cos(α＋60°)＝0，∴α＋60°＝k ·180°＋90°， k ∈Z ， 即α＝k ·180°＋30°，k ∈Z ，又0°≤α<360°，那么α＝30°或α＝210°.。
平面向量的坐标表示及数量积练习题
ABDC平面向量的数量积练习题一、选择题：（ ）1．设)8,2( -=+→→b a ，)16,8( -=-→→b a ，则→a ·→b 等于A .-63 B.-16 C.16 D.63（ ）2．已知→a +→b +→c =→0,|→a |=1,|→b |=2，|→c |=2,则→a ·→b +→b ·→c +→c ·→a 的值为A.7B.27 C.-7 D .27- （ ）3．若非零向量→a 、→b 满足||||→→=b a ,（→a 2+→b ）·0=→b ，则→a 与→b 的夹角为A.︒30B.︒60 C .︒120 D.︒150 （ ）4．已知→a 、→b 均为单位向量，它们的夹角为︒60，那么|→a +3→b |等于 A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 （ ）5.已知向量→a =),1(n 、),1(nb -=→，若→→-b a 2与→b 垂直，则|→a |等于A ．2B ．21 C ．-3 D ．31- （ ）6．设)1,(a A 、),2(b B 、)5,4(C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若→--OA 与→--OB 在→--OC 方向上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为A .354=-b a B.345=-b a C.1454=+b a D.1445=+b a （ ）7．若向量→a =)sin ,(cos αα，)sin ,(cos ββ=→b ,则→a 与→b 一定满足A ．→a 与→b 的夹角等于βα- B ．→a ⊥→b C ．→a ∥→b D ．（→a +→b ）⊥（→a -→b ） （ ）8．（2010天津）如图，在ABC ∆中，AB AD ⊥，→--→--=BD BC 3，1||=→--AD ，则→--AC ·=→--ADA ．32B ．23C ．33D ．3（ ）9．已知向量→a =（1，2）,→b =（-2，-4），|→c |=5,若（→a +→b ）·→c =25，则→a 与→c 的夹角为A.︒30B.︒60 C .︒120 D.︒150（ ）10．已知向量→a ≠→e ，|→e |=1，满足：对任意R t ∈，恒有||||→→→→-≥-e a e t a ，则 A ．→→⊥e a B ．)(→→→-⊥e a a C ．)(→→→-⊥e a e D ．)()(→→→→-⊥+e a e a二、填空题：11．已知→a =)2,1(-、)2,4(=→b ，→a 与→a -→b 的夹角为θ，则θcos = 。
4.3 平面向量的数量积
4.3 平面向量的数量积一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·常州模拟)向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(－sin 15°，－cos 15°)，则|a －b |的值是__________．解析 由题设，|a |＝1，|b |＝1，a·b ＝－sin(15°＋15°)＝－12. ∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋1－2×⎝⎛⎭⎫－12＝3. ∴|a －b |＝ 3.答案 32.（2009·浙江温州十校联考）在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝a ，AB →＝c ，AC →＝b ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝______________________.解析 如图所示，a +c =b ，a ·b +b ·c +c ·a=b ·(a +c )+a ·c =b 2+a ·c=1+|a |·|c |cos 〈a ，c 〉 =1+cos 120°=.21答案 21 3．(2010·广东韶关一中模拟)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＋b·b 的值为________．解析 a·b ＋b·b ＝|a|·|b |·cos 60°＋|b |2＝1×2×12＋4＝5. 答案 54．(2009·重庆改编)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是________．解析 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，∴a 与b 的夹角为π3. 答案 π35．(2009·福建福州期末)若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的__________________条件．解析 若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0⇔a·b －a·c ＝0⇔a·b ＝a·c .答案 充要6.（2010·天津六校联考）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________心．解析 OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·OA →－OB →·OC →＝0，即OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →.同理可得OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.∴O 是三角形三条高线的交点．答案 垂7.（2008·江西理，13）直角坐标平面内三点A （1，2）、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F为线段BC 的三等分点，则=⋅ .解析 ),9,6(=).6,4(32),3,2(31====∴ 又),4,2(-=.22)1(64),2,6(),1,4(=⨯-+⨯=⋅∴=+=-=+=∴BF AB AF BE AB AE答案 228．(2009·辽宁改编)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.解析 a ＝(2,0)，故|a |＝2，|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝1，∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.答案 2 39.（2009·陕西改编）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足 =2PM →＝2PM →，则·(PB →·(PB →＋PC →)＝________.解析 M 是BC 的中点，则.94)32()(2)(22-=-=-=⋅=⋅=+⋅答案 －49二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·山东临沂一模)向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．(1)求a·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．解 (1)a·b ＝cos 23°·cos 68°＋cos 67°·cos 22°＝cos 23°·sin 22°＋sin 23°·cos 22°＝sin 45°＝22.(2)由向量b 与向量m 共线，得m ＝λb (λ∈R )，u ＝a ＋m ＝a ＋λb＝(cos 23°＋λcos 68°，cos 67°＋λcos 22°)＝(cos 23°＋λsin 22°，sin 23°＋λcos 22°)，|u |2＝(cos 23°＋λsin 22°)2＋(sin 23°＋λcos 22°)2＝λ2＋2λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ＋222＋12，∴当λ＝－22时，|u |有最小值为22.11．(16分)(2010·浙江台州月考)已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围．(1)证明 ∵(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a|·|c |·cos 120°－|b|·|c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2)解 |k a ＋b ＋c |>1⇔|k a ＋b ＋c |2>1，⇔k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c >1.∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 相互之间的夹角均为120°，∴a 2＝b 2＝c 2＝1，a·b ＝b·c ＝a·c ＝－12， ∴k 2＋1－2k >1，即k 2－2k >0，∴k >2或k <0.12．(16分)(2009·广东广州二模)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，－sin 3x2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x2，sin x2，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.若函数f (x )＝a·b －12λ|a ＋b |的最小值为－32，求实数λ的值．解 ∵|a |＝1，|b |＝1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，cos x ∈[0,1]．∴a·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |＝2cos x .∴f (x )＝cos 2x －λcos x ＝2cos 2x －λcos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎫cos x －λ42－λ28－1，①当λ<0时，取cos x ＝0，此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min ＝－1≠－32，不合题意．②当0≤λ≤4时，取cos x ＝λ4，此时f (x )取得最小值，并且f (x )min ＝－λ28－1＝－32，解得λ＝2.③当λ>4时，取cos x ＝1，此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min ＝1－λ＝－32，解得λ＝52，不符合λ>4舍去，∴λ＝2.。
平面向量的数量积专项训练(1对1培训)
平面向量的数量积专项训练一．选择题：1．已知9,1,36-=∙==b a b a ，则的夹角为与b a （ ）A ．1200 B.1500 C.600 D.3002．已知下列命题：.2)).(4,)).(3,).2,).1222222222b b a a b a b a b a a b ab a a a +∙-=-∙=∙=∙=其中真命题的个数有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个3．等于则设向量))((),1,2(),2,1(b a b a b a +∙-=-= （ ）A.(1,1)B.(-4,-4)C.-4D.(-2,-2)4． 是，则中，若已知ABC B C A C C B A B C A B A B A ABC ∆∙+∙+∙=∆ 2 ( )A.等边三角形B. 锐角三角形 C .直角三角形 D.钝角三角形5．已知12,5,3=∙==b a b a 且，则向量a 在向量b 方向上的投影为 （ ） A.512 B.3 C.4 D.5 6．点O 在△ABC 内部且满足0 =++C O B O A O ，则△ABC 的面积与四边形ABOC 的面积之比是 （ ）A.0B.23 C. 45 D. 34 7.若),3,2(),1,(x b x a == ，那么22b a b a +∙的取值范围是 （ ） A. )22,(-∞ B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡42,0 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42,42 D. [)+∞,22 8．若a +b =c ，a -b =d 且向量c 与d 垂直，则一定有………………………（ ）A 、a =bB 、|a |=|b |C 、a ⊥bD 、|a |=|b |且a ⊥b9．关于向量a 、b ，下列命题中正确的是………………………………………（ ）A 、a -b =a +(-b )B 、a -a =0C 、|a -b |=|a |-|b |D 、a //b ⇒存在唯一的λ使得b =λa10．已知a =（m-2，m+3），b =（2m+1，m-2）且a 与b 的夹角大于90°，则实数m （ ）A 、m ＞2或m ＜-4/3B 、-4/3＜m ＜2C 、m ≠2D 、m ≠2且m ≠-4/3二．填空题：11．若|a |=2，|b |=2，a 与b 的夹角为45°，要使k b -a 与a 垂直，则k=12．====N M BC M C N N A b D A a B A ABCD 的中心，则为中，平行四边形,3,,______________。
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平 面 向 量 数 量 积 练 习 题
一.选择题
1.下列各式中正确的是 （ ）
（1）(λ·a ) ·b =λ·(a b )=a · (λb ), （2）|a ·b |= | a |·| b |,
（3）(a ·b )· c = a · (b ·c ), （4）(a +b ) · c = a ·c +b ·c
A ．（1）（3）
B ．（2）（4）
C ．（1）（4）
D ．以上都不对.
2.在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+•-=,则ΔABC 为 （ ）
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．无法确定
3． 已知|a |＝6，|b |＝3，a·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )
A ．－4
B ．4
C ．－2
D ．2 4.已知|a |=1,|b |=2，且(a －b )与a 垂直，则a 与b 的夹角为 （ ）
A ．60°
B ．30°
C ．135°
D ．45°
5.设|a |= 4，|b |= 3，夹角为60°，则|a +b |等于 （ ）
A ．37
B ．13
C ．37
D ．13 6．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10
7． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
A.⎝⎛⎭⎫79，73
B.⎝⎛⎭⎫－73，－79
C.⎝⎛⎭⎫73，79
D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 二.填空题
8.已知e 是单位向量，a ∥e 且18-=⋅e a ，则向量a =__________.
9．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.
10． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．
三.解答题
11． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°.
(1)求b ；
(2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c .
两角和与差的正弦余弦正切公式
一、选择题：
1．Sin165º等于 （ ）
A ．21
B ．23
C ．426+
D ． 42
6-
2．Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）
A ．23
B ．21
C ．23
D ．-21
3．若sin （α+β）cos β－cos （α+β）sin β=0，则sin （α+2β）+sin （α－2β）等于( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．±1
4．sin 12π-3cos 12π
的值是． （ ）
A ．0
B ． —2
C ． 2
D ． 2 sin 125π
5.△ABC 中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是（ ）
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形
6．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）
A ．2-2
B ．2+ 2
C ．0
D ．1
二、填空题．
7．
15tan 115tan 1+-=__________________________．
8．如果cos θ= -1312 )23,(ππθ∈，那么 cos )4(π
θ+=________．
9．已知βα,为锐角，且cos α=71
cos )(βα+= -1411
, 则cos β=_________．
10．tan 20º+tan40º+3tan20ºtan40º的值是____________．
11.求︒+︒︒-︒15cos 15sin 15cos 15sin 的值.
12．化简︒︒-︒︒
︒+︒
8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin。