必修一对数函数

合集下载

必修一2.2.2对数函数及其性质

a
(a > 0且a ≠ 1)
y 2 1
0
11 42
y log2 x
y log3 x
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
底大图低
-1 -2
3
对数函数在第一象限越靠近y轴底数越小
由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y
logc x logd x
1
loga x logb x
注意： 1、对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，
2、对数函数对底数的限制：
(a 0
且
a 1)
判断是不是对数函数
(2) y log2 ( x 2)
x (1) y log 5 5
哈哈，我们都不是对数函数
（×）（×）
你答对了吗？？？
(3) y 2 log5 x （×）
x
-1
-2
这两个函数的图象有什么关系呢？
关于x轴对称
猜猜: 对数函数 y 2 1
0
y log3 x和y log1 x 的图象。
y log2 x
3
y log3 x
11 42
1 2 3
4
x
y log1 x
y l og1 x
2
-1 -2
3
y = loga x与y = log 1 x关于x轴对称
与轴交点（1,0）
图象向上、向下无限延伸
定点（1,0）
值域 :
R
自左向右看图象逐渐下降在(0,+∞)上是：减函数
2.对数函数的图象和性质
a>1

求对数函数的解析式(必修一)

求对数函数的解析式(必修一)求对数函数的解析式（必修一）
1. 引言
对数函数是数学中常见的一种函数形式。

在本文档中，我们将探讨对数函数的解析式，即如何表示和求解对数函数。

2. 对数函数的定义
对数函数是指以某个固定的底数为基准的函数。

常见的对数函数有自然对数（以e为底数）和常用对数（以10为底数）。

3. 自然对数的解析式
自然对数函数以e为底数，表示为ln(x)。

对数函数的定义域为正实数集合，即x>0。

自然对数的解析式可以通过积分得到：ln(x) = ∫(1/x) dx
4. 常用对数的解析式
常用对数函数以10为底数，表示为log(x)。

对数函数的定义域为正实数集合，即x>0。

常用对数的解析式可以通过自然对数换底公式得到：
log(x) = ln(x) / ln(10)
5. 对数函数的性质
对数函数具有一些重要的性质，包括：
- 对数函数的值随着自变量的增加而增加；
- 对数函数的导数为其自变量的倒数，并具有不变性质。

6. 对数函数的应用
对数函数在数学和科学中具有广泛的应用，例如在指数增长模型、复利计算、物理学和工程学等领域中。

7. 结论
本文介绍了求解对数函数的解析式，并简要讨论了对数函数的性质和应用。

对数函数是数学中重要的函数形式，对其有一定的了解有助于我们在实际问题中应用和理解相关概念和模型。

高中数学必修一对数函数

像性（1）定义域：（0，+）（2）值域：R （3）过点（1，0），即当x=1时，y=0 质（4）在（0，+）（4）在（0，+）上上是增函数是减函数
1.函数y log 2 x , y log 5 x , y lg x 的图象如图所示，回答下列问题: （1）哪个函数对应于哪个图象（2）在同一坐标系中画出
1 2
x
y log
1 4
x
观察他们之间有什么关系
指数函数y=ax的图像与性质
a>1
图
0<a<1
象
(1)定义域为(-∞，+ ∞ )，值域为(0，+ ∞ ) 性质
(2)图像都过点(0，1)，当x=0时，y=1 (3)是R上的增函数 (3)是R上的减函数
对数函数的图像与性质
a>1 图 0<a<1
y log
1 2
x , y log
1 5
x , y log
1 10
x
的图象．
思考:根据什么来画?
练习2：如下图的曲线是对数函数y log
a
x
的图像，已知 a 的取值
4 3 1 3、、、， 3 5 10
则相应于曲线 c 1、 c 2、 c 3、 c 4的 a 值依次为____________
a>1
0<a<1
a>1
0<a<1
指数函数 ( -∞ , +∞ ) ( 0 , +∞ ) 当a>1时,y=ax是增函数当0<a<1时, y=ax是减函数
1 x y a 与y 的图象 a 关于 y轴对称

高一必修一对数函数知识点

高一必修一对数函数知识点对数函数是高中数学中的一个重要内容，它涉及到了指数函数和对数函数的关系。

对数函数的学习对于高中数学学习的深入理解和能力的发展非常重要。

本文将为大家介绍高一必修一对数函数的主要知识点，并通过示例来加深理解。

一、对数函数的定义和性质1. 对数函数的定义：对数函数y=loga(x)定义为y=a^x，其中a>0且a≠1。

其中，a称为底数，x称为指数，y称为对数。

2. 对数函数的性质：- 当x>0时，对数函数y=loga(x)是严格单调递增函数。

- 当0<a<1时，对数函数关于x轴对称。

- 当a>1时，对数函数关于y轴对称。

二、对数函数的图像和性质1. 对数函数的图像：对数函数的图像随着底数a的不同而变化，当底数a>1时，对数函数的图像呈现上升的指数形状；当0<a<1时，对数函数的图像呈现下降的指数形状。

2. 对数函数的常用性质：- 对数函数的定义域为(0, +∞)，值域为(-∞, +∞)。

- 对数函数的图像经过点(1, 0)，即loga(1) = 0。

- 对数函数在x=1时取到最小值，即loga(1) = 0。

- 对数函数在x→+∞时，值趋近于正无穷；在x→0+时，值趋近于负无穷。

三、对数函数的基本性质1. 对数函数的指数运算：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)- loga(x^p) = p·loga(x)2. 对数函数的换底公式：- loga(x) = logb(x) / logb(a)四、对数方程和对数不等式1. 对数方程的求解：- 求解对数方程时，需要根据对数函数的性质来进行等式变形和求解。

2. 对数不等式的求解：- 求解对数不等式时，需要根据对数函数的性质来确定不等式的取值范围。

五、常用对数的计算常用对数是以10为底的对数，用logx表示。

高中数学必修一《对数函数》

答案：1
C．6
D．1
()
知识点二换底公式 (一)教材梳理填空
logcb logab＝ logca
对数换底公式．
(a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1)．我们把上式叫做
[微思考] 换底公式中底数c是特定数还是任意数？
提示：是大于0且不等于1的任意数．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)由换底公式可得 logab＝lloogg－－22ba.
()
(3)loga(xy)＝logax·logay.
()
(4)log2(－5)2＝2log2(－5)．
()
答案：(1)× (2)× (3)× (3)×
2．计算log84＋log82等于
A．log86
B．8
答案：D
3．log 1 27－log 1 9＝________.
3
3
答案：－1
4．2lg 4＋lg58＝________.
法二：原式
＝lglg1225＋llgg245＋llgg
5lg 8lg
25＋llgg245＋lglg1825
＝3llgg25＋22llgg
52＋3llgg52llgg
25＋22llgg
25＋33llgg
2 5
＝133llgg253llgg52＝13.
法三：原式＝(log253＋log2252＋log2351)·(log52＋log5222＋log5323)
aamn ＝am－n (am)n＝amn
logaN＝b loga(MN)＝logaM＋logaN
logaMN ＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM
(二)基本知能小试
1．判断正误：

高一数学必修一对数知识点

高一数学必修一对数知识点一、什么是对数对数是数学中一个很重要的概念，它与指数运算密切相关。

对数通常用来表示通过指数运算得到的结果。

在数学中，我们以log为符号，表示对数。

这里的底数通常是10，因此常用的对数就是以10为底的对数，简称为常用对数。

常用对数的符号是lg。

例如，如果我们有一个等式10^2=100，我们可以用对数来表达为：lg100=2。

这里的2就是这个数的对数。

二、对数的特性对数有一些特性，掌握这些特性可以更好地理解和应用对数。

1. 对数相加等于两个数相乘的对数：log(ab)=loga+logb。

这个特性称为对数的乘法法则。

2. 对数相减等于两个数相除的对数：log(a/b)=loga-logb。

这个特性称为对数的除法法则。

3. 底数为10的对数称为常用对数，它的特点是对数值与所表示的数的数量级相等。

4. 任何数的对数都必须大于0，即对数的底数必须大于1。

三、对数的应用1. 对数在科学计算中经常使用，尤其是当数据的数量级很大或很小时。

例如，天文学家用对数来表示星星的亮度等级，地震学家用对数来表示地震的震级等。

2. 对数在解决指数方程和指数不等式时非常有用。

通过运用对数的性质，我们可以将指数方程转化为对数方程，进而求解。

3. 对数还可以用于解决百分数和利率的问题。

当我们需要计算复利时，可以使用对数来简化计算过程。

四、对数的计算方法1. 利用对数的乘法法则和除法法则，我们可以将任意一个数转化为以某个底数为底的对数。

2. 计算对数时，可以利用科学计算器上的对数函数。

通常，对数函数的按键上标有log或lg的符号。

3. 当底数不是10时，我们可以利用换底公式来计算对数。

换底公式是loga(b)=logc(b)/logc(a)，其中c可以是任意不等于1的数。

五、对数的常见错误1. 计算对数时，一定要记得给出底数，否则对数没有意义。

2. 在使用对数进行计算时，一定要保证输入的数值大于0，否则计算结果将出错。

高中数学必修一课件：第四章对数函数的概念

x＋1>0， (4)由x＋1≠1，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1，0)∪(0，2)．
2－x>0，
探究2 (1)给定函数解析式求定义域的限制条件如下： ①分母不为0. ②偶次方根下非负． ③x0中x≠0. ④对数的真数大于0. ⑤对数、指数的底数a满足a>0且a≠1. (2)求定义域时，首先列全限制条件组成不等式组，然后正确解出不等式组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形式．
【解析】设经过y年后公司全年投入的研发资金为x，则x＝130(1＋12%)y，即13x0＝1.12y，所以y＝log1.1213x0，令x＝200，所以y＝log1.12210300＝log1.1212.3＝lg l2g－1l.1g21.3≈3.8，所以到2021年，公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
4．设f(x)＝l1g0xx，，xx≤>00，，则f(f(－2))＝___－_2____．解析 f(－2)＝10－2>0，f(10－2)＝lg 10－2＝－2.
5．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为 x万元时，奖励y万元．若y＝2log4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为___1_2_8___万元．
解析据题意5＝2log4x－2，所以7＝2log4x＝log2x， ∴x＝27＝128.
C．y＝logxe
D．y＝2lg x
解析 B中真数不对；C中底数不对；D中系数不对．
2．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是( B )
A．[1，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－∞，1]
解析由x－1>0得x>1，故定义域为(1，＋∞)．

高中数学必修一指数函数对数函数知识点

高中数学必修一指数函数对数函数知识点高中数学必修一中，指数函数和对数函数是重要的知识点。

指数函数是一种以指数为自变量的函数，形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。

而对数函数是指数函数的逆运算，形式为y = loga(x)，其中a为底数，x为真数。

以下是关于指数函数和对数函数的具体知识点。

一、指数函数的图像和性质1.指数函数的基本形式：-y=a^x，其中a>0且a≠12.指数函数的基本性质：-当0<a<1时，指数函数呈现递减的图像；-当a>1时，指数函数呈现递增的图像；-当a=1时，指数函数为常数函数y=1二、对数函数的图像和性质1.对数函数的基本形式：- y = loga(x)，其中a > 0且a≠12.对数函数的基本性质：- 对数函数与指数函数互为反函数，即loga(a^x) = x，a^loga(x) = x；-对数函数的图像关于直线y=x对称；-对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。

三、指数函数和对数函数的运算性质1.指数函数的运算性质：-a^x*a^y=a^(x+y)；- (a^x)^y = a^(xy)；- (ab)^x = a^x * b^x；-a^0=1，其中a≠0。

2.对数函数的运算性质：- loga(xy) = loga(x) + loga(y)；- loga(x^y) = y * loga(x)；- loga(x/y) = loga(x) - loga(y)；- loga(1) = 0，其中a≠0。

四、指数函数和对数函数的应用1.指数函数在生活中的应用：-经济增长模型中的应用；-指数衰减与物质的半衰期计算；-大自然中的指数增长现象。

2.对数函数在生活中的应用：-pH值的计算；-放大器的功率增益计算；-数字音乐的音量计算。

综上所述，指数函数和对数函数是高中数学必修一中的重要知识点。

掌握了指数函数和对数函数的基本形式、性质以及运算规律，能够理解其图像特征和在实际问题中的应用。

必修一对数函数

§2.2对数函数2．2.1对数与对数运算1．对数的概念一般地，如果ax＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N?x＝logaN，从而得对数恒等式：alogaN＝N.(2)“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．(3)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质：①零和负数没有对数，即N>0；②1的对数为零，即loga1＝0；③底的对数等于1，即logaa＝1.2．对数的运算法则利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．(1)基本公式①loga(MN)＝logaM＋logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．②loga＝logaM－logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．③logaMn＝n·logaM (a>0，a≠1，M>0，n∈R)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．(2)对数的运算性质注意点①必须注意M>0，N>0，例如loga[(－3)×(－4)]是存在的，但是loga(－3)与loga(－4)均不存在，故不能写成loga[(－3)×(－4)]＝loga(－3)＋loga(－4)．②防止出现以下错误：loga(M±N)＝logaM±logaN，loga(M·N)＝logaM·logaN，loga＝，logaMn ＝(logaM)n.3．对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN＝(b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)．证明设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数，得xlogcb＝logcN.所以x＝，即logbN＝.换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN＝或logbN·logNb＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；(2)logbnNm＝logbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R).题型一正确理解对数运算性质对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是()①若M＝N，则logaM＝logaN；②若logaM＝logaN，则M＝N；③若logaM2＝logaN2，则M＝N；④若M＝N，则logaM2＝logaN2.A．①与③B．②与④C．②D．①、②、③、④题型二对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32－log3＋log38－；(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；(3).题型三对数换底公式的应用计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．已知log(x＋3)(x2＋3x)＝1，求实数x的值．1．对数式log(a－3)(7－a)＝b，实数a的取值范围是()A．(－∞，7) B．(3,7) C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)3．log56·log67·log78·log89·log910的值为()A．1 B．lg5 C. D．1＋lg24．已知loga(a2＋1)<loga2a<0，则a的取值范围是()A．(0,1) B. C. D．(1，＋∞)5．已知函数f(x)＝ax－1＋logax (a>0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为()A．4 B. C．3 D.7．已知f(log2x)＝x，则f＝________.8．log(－1)(＋1)＝________.一、对数式有意义的条件例1求下列各式中x的取值范围：(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.二、对数式与指数式的互化例2将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54＝625；(2)log8＝－3；(3)－2＝16; (4)log101 000＝3.变式迁移2将下列对数式化为指数式求x值：(1)logx27＝；(2)log2x＝－；(3)log5(log2x)＝0; (4)x＝log27；(5)x＝log16.一、选择题1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．100＝1与lg1＝0 B．27－＝与log27＝－C．log3＝9与9＝3 D．log55＝1与51＝5 2．指数式b6＝a (b>0，b≠1)所对应的对数式是()A．log6a＝a B．log6b＝a C．logab＝6 D．logba＝63．若logx(－2)＝－1，则x的值为()A.－2B.＋2C.－2或＋2 D．2－4．如果f(10x)＝x，则f(3)等于()A．log310 B．lg3 C．103 D．3105．21＋·log25的值等于()A．2＋B．2 C．2＋D．1＋二、填空题6．若5lgx＝25，则x的值为________．7．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为________．三、解答题9．求下列各式中x的值(1)若log3＝1，则求x值；(2)若log2 003(x2－1)＝0，则求x值．二、对数运算性质的应用例2计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；(2)2(lg)2＋lg·lg5＋；(3)；(4)(lg5)2＋lg2·lg50.(1)log535＋2log－log5－log514；(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.一、选择题1．lg8＋3lg5的值为()A．－3 B．－1 C．1 D．33．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于()A．2 B. C．4 D.5．设函数f(x)＝logax (a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 005)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于()A．4 B．8 C．16 D．2loga8二、填空题6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg＝__________.7．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为____．8．已知log63＝0.613 1，log6x＝0.386 9，则x＝________.三、解答题9．求下列各式的值：(1)lg－lg＋lg；(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.2．2.2对数函数及其性质1．对数函数的概念形如y＝logax (a>0且a≠1)的函数叫做对数函数．对于对数函数定义的理解，要注意：(1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)；(2)对数函数的解析式y＝logax中，logax前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a必须满足a>0，且a≠1；(3)以10为底的对数函数为y＝lgx，以e为底的对数函数为y＝lnx.2．对数函数的图象及性质：a>10<a<1图象性质函数的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)函数图象恒过定点(1，0)，即恒有loga1＝0当x>1时，恒有y>0；当0<x<1时，恒有y<0当x>1时，恒有y<0；当0<x<1时，恒有y>0函数在定义域(0，＋∞)上为增函数函数在定义域(0，＋∞)上为减函数3.指数函数与对数函数的关系比较名称指数函数对数函数解析式y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)函数值变化情况a>1时，；0<a<1时，xa>1时，logax；0<a<1时，logax图象必过定点点(0,1)点(1,0)单调性a>1时，y＝ax是增函数；0<a<1时，y＝ax是减函数a>1时，y＝logax是增函数；0<a<1时，y＝logax是减函数图象y＝ax的图象与y＝logax的图象关于直线y＝x对称实际上，观察对数函数的图象不难发现，对数函数中的值y＝logmn有以下规律：(1)当(m－1)(n－1)>0，即m、n范围相同(相对于“1”而言)，则logmn>0；(2)当(m－1)(n－1)<0，即m、n范围相反(相对于“1”而言)，则logmn<0.有了这个规律，我们再判断对数值的正负就很简单了，如log2<0，log52>0等，一眼就看出来了！题型一求函数定义域求下列函数的定义域：(1)y＝log3x－1；题型二对数单调性的应用(1)log43，log34，log的大小顺序为()A．log34<log43<logB．log34>log43>logC．log34>log>log43D．log>log34>log43已知loga<1，那么a的取值范围是________．设函数f(x)＝lg(ax2＋2x＋1)，若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．1．已知函数f(x)＝的定义域为集合M，g(x)＝ln(1－x)的定义域为集合N，则M∩N等于() A．{x|x>－1} B．{x|x<1} C. D．?2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝，则f(－a)等于()A. B．－C．－2 D．23．已知a＝log23，b＝log32，c＝log42，则a，b，c的大小关系是()A．c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b4．函数f(x)＝lg|x|为()A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数5．函数y＝ax与y＝－logax (a>0，且a≠1)在同一坐标系中的图象只可能为()6．设函数f(x)＝log2a(x＋1)，若对于区间(－1,0)内的每一个x值都有f(x)>0，则实数a的取值范围为()A．(0，＋∞) B. C. D.7．若指数函数f(x)＝ax (x∈R)的部分对应值如下表：x－22f(x)0.69411.44则不等式loga(x－1)<0的解集为__________．8．函数y＝logax (1≤x≤2)的值域为[－1,0]，那么a的值为________．9．已知函数f(x)＝是实数集R上的减函数，那么实数a的取值范围为__________．一、对数函数的图象例1下图是对数函数y＝logax的图象，已知a值取，，，，则图象C1，C2，C3，C4相应的a 值依次是()A. B．C．D．二、求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y＝；(2)y＝；(3)y＝log(x＋1)(2－x)．三、对数函数单调性的应用例3比较大小：(1)log0.81.5与log0.82；(2)log35与log64.变式迁移3比较下列各组中两个值的大小：(1)log0.52.7，log0.52.8；(2)log34，log65；(3)logaπ，logae (a>0且a≠1)．例4若－1<loga<1，求a的取值范围．一、选择题1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是()2．函数y＝的定义域是()A．[1，＋∞) B.C. D.3．已知a＝log0.70.8，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b4．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之和为4，则a等于() A. B．2 C．2 D．45．若loga<1，则a的取值范围是()A．a>1 B．0<a<或a>1 C．0<a< D.<a<1二、填空题6．若f(x)＝则满足f(x)＝的x的值为________．7.函数f(x)＝log3x的反函数为__________．,答案f(x)＝3x,8.对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f＝______.三、解答题9．已知f(x)＝loga (a>0且a≠1)，其定义域为(－1,1)，试判断f(x)的奇偶性并证明．。

人教版高中数学必修一课件：2.2.2 对数函数的图像及其性质(共20张PPT)

y=0.5x 和y= log0.5x 的图象画在一个坐标内，观察图象的特点！
（书面作业）
•P73 2,3
19
Thank you!
要善于退，足够的退，退到不失去重要性的地方就是解决数学问题的诀窍。
20
比较两个同底对数值的大小时:
１.观察底数是大于1还是小于1（ a>1时为增函数
小
２.比较真数值的大小；
0<a<1时为减函数）
结
３.根据单调性得出结果。
14
•（3） loga5.1与 loga5.9 (a>0,且a≠1)
解: 若a>1 则函数y=log a x在区间（0，+∞）上是增函数；
∵5.1<5.9 ∴ loga5.1 < loga5.9
16
函数 yloga x,ylogb x,ylogc x,ylogd x
C 的图像如图,则所下示列式子中正( 确) 的
y ylogb x A .0 a b 1 c d
yloga x B .0 b a 1 d c
x
O
ylogd x C .0 d c 1 b a
2.2.2对数函数的图象与性质
y
x
o 1
1
（一）对数函数的定义 ★ 函数 y = log a x (a>0,且a≠1)叫做对数函数.
其中x是自变量，定义域是(0,＋∞)
想对数函数解析式有哪些结构特征？一 ①底数：a>0,且 a≠1 想 ②真数: 自变量x ？ ③系数函数？（导学与评价P53） ① y log a x 2 ; ② y log 2 x 1; ③ y 2 log 8 x ; ④ yloxga(x0,且x1); ⑤ ylo5gx.

必修一对数函数及其性质

log0.3 3.7; y
log28.5
y log2 x
log23.4
< log1.5 2.5 log1.5 3.2 < log0.5 1.5 log0.5 1.2
0 1 3.4 8.5 x
3loga 5.1和loga 5.9 (a 0且a 1)
4 log2.5 1.7 > log31.7
5 log1 2 > log1 2
解：当0
a
1时，有22
x x
1 1
0 , 2
解得 1 x 1 ;
2
2
当a
1时，有22xx
1 1
0 , 2
解得x 1 2
指数函数
y ax
x log a y
习惯写成 y log a x
对数函数
y ax叫做y log a x的反函数
课本P73练习第3题
x
y log 1 x
y
3
lyog1 xlog 1
xx
3
2
y log 1 x
2
y
y loga x
y
(a 1)
01
x
01
x
y loga x
(0 a 1)
对数函数
的图像及性质
底数
a>1
0<a<1
图像
（1,0）
（1,0）
当 x > 1 时，y > 0.
定义域当 0<x < 1 时，y < 0
性
值域: ( 0,+ ∞ )
恒过点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质在 R 上是单调增函数在 R log y 因变量

人教高中数学必修一A版《对数函数的概念》《对数函数的图象和性质》指数函数与对数函数说课教学课件

(3)在同一坐标系中,对数函数 y=log2x,y=log5x,y=log 1 x,y=log 1 x 的
2
5
图象如图所示.从图中看,对数函数图象的分布与底数有什么关系?
提示:在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴,0<a<1时,a
越小,图象越靠近x轴.
课前篇
自主预习
一
二
三
2.填表
对数函数的图象和性质
数的大小,如图所示.
2.牢记特殊点:对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象经过
(1,0),(a,1),
1

,-1 .
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练2作出函数y=
解:先画出函数y=lg x的图象(如图①).
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象
思想方法
随堂演练
反思感悟 1.对数函数是一个形式定义:
2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数
解析式时只须一个条件即可求出.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练
变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=
(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=
2
是
.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
思想方法
随堂演练

高一数学必修一对数函数的基本性质

高一数学必修一对数函数的基本性质对数函数是高中数学中重要的一类函数，具有许多特殊的性质和应用。

本文将介绍对数函数的基本性质。

1. 对数函数的定义对数函数是指以某个正数为底的对数函数，一般表示为$y=\log_{a}x$，其中 $a>0$，$a\neq 1$，$x>0$。

其中，$a$ 为底数，$x$ 为真数，$y$ 为对数值。

2. 对数函数的图像特征对数函数的图像呈现出以下特征：- 当 $0<x<1$ 时，$\log_{a}x<0$；- 当 $x=1$ 时，$\log_a1=0$；- 当 $x>1$ 时，$\log_a x>0$；- 对数函数的图像在 $x$ 轴的正半轴上单调递增，但增长速度越来越慢；- 对数函数的图像通过点 $(1, 0)$，并且与 $x$ 轴和 $y$ 轴分别渐近。

3. 对数函数的基本性质对数函数具有以下基本性质：- $\log_ab$ 为 $x=a^y$ 的反函数，即 $\log_ab=y\Rightarrowa^y=x$；- $\log_a(mn)=\log_am+\log_an$，即可以将乘积化为求和；- $\log_a\frac{m}{n}=\log_am-\log_an$，即可以将商化为差；- $\log_aa^x=x$；- $a^{\log_ax}=x$。

4. 对数函数的常用公式对数函数的常用公式有：- $\log_aa=1$；- $\log_a1=0$；- $\log_a a^k=k$。

5. 对数函数的应用对数函数在实际问题中具有广泛的应用，例如：- 在科学计算中，对数函数可以用于简化复杂的数值计算；- 在经济学中，对数函数可以用于描述指数增长和指数衰减的现象；- 在物理学中，对数函数可以用于描述某些物理现象的特性；- 在生物学中，对数函数可以用于研究生物体的生长和衰退规律。

以上就是对数函数的基本性质和应用的简要介绍。

对数函数在数学中具有重要的地位，通过深入理解对数函数的性质和应用，可以更好地解决实际问题。

高中必修一数学《对数函数》

（点击进入几何画板）
分成两种类型，
验证：
y
y log2 x
y log3 x
x
y log10 x
0
1
y log0.1 x
y log 1 x
3
y log 1 x
2
y=logax
a > 1
y=logax 0 < a < 1
对数函数y=log a x (a>0, a≠1)
a>1 图象
＞ log log 2 0.6 2 0.8
3 3
＜ log 2 m 2 n 则 m n ＞log
3 3
＜ log log1.5 6 1.5 8
＜ log1.5 m 1.5 n 则 m n ＜ log
指数函数的图象和性质 x y a (a 0且a 1) 的图象和性质：
例题讲解
• 例2：比较下列各组中，两个值的大小： • （1） log23与 log28.5 （2） log 0.7 1.6与 log 0.7 1.8 解2：把log 0.7 1.6与 log 0.7 1.8看做函数 y=log 0.7 x 的两个函数值,
∵a=0.7< 1,
∴ y=log 0.7 x在区间（0，+∞）上是减函数；
例1求下列函数的定义域： y log a x 2 （1）解 : 由 x2 0 得 x 0 ∴函数 y log a x 的定义域是
2
x | x 0
（2） y log a (4 x)
解 : 由4 x 0 得
∴函数 y log a (4 x) （3） y log a (9 x 2 )
o y (1, 0) x

高一数学有关必修一对数函数知识点

高一数学有关必修一对数函数知识点高一数学必修1对数函数知识点一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log（a）（N）=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。

底数则要大于0且不为1对数的运算性质当a0且a1时，M0，N0，那么：（1）log（a）（MN）=log（a）（M）+log（a）（N）；（2）log（a）（M/N）=log（a）（M）-log（a）（N）；（3）log（a）（M^n）=nlog（a）（M）（nR）（4）换底公式：log（A）M=log（b）M/log（b）A （b0且b1）对数与指数之间的关系当a0且a1时，a^x=N x=㏒（a）N常用简略表达方式（1）常用对数:lg（b）=log（10）（b）（2）自然对数:ln（b）=log（e）（b）（3）log（a）+（b）=log（a）（b）e=2.718281828... 通常情况下只取e=2.71828 对数函数的定义对数函数的一般形式为y=㏒（a）x，它实际上就是指数函数的反函数（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=a^y。

因此指数函数里对于a的规定（a0且a1），同样适用于对数函数。

右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

定义域：（0，+）值域：实数集R定点：函数图像恒过定点（1，0）。

单调性：a1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸；01时，在定义域上为单调减函数，并且下凹。

1时，在定义域上为单调奇偶性：非奇非偶函数周期性：不是周期函数零点：x=1知识拓展：16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。

必修一第四章课件对数函数的图象和性质

x
R
(1,0)
定点
单调性
1
(0,＋∞)
值域
性质
O
x
增函数
若x>1, 则y>0
若0<x<1, 则y<0
减函数
若x>1, 则y<0
若0<x<1, 则y>0
4.4 对数函数
4.4.2 对数函数的图象和性质
复习回顾
对数函数：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做
对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+∞)．
？探究
回顾研究幂这个方法，进一步研究对数函数
先画函数 y=log2x 的图象
请完成下表，并用描点法画出函数图象
O
x
y log d x
B.0 b a 1 d c
C.0 d c 1 b a
作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底
y log c x D.0 a b 1 d c
数，根据在第一象限内，自左向右，对数函数的底数逐
渐变大（底大图右）
所以y=-lgx在(0,+∞)上是减函数，
所以pH值随着溶液中氢离子浓度的增大而减小，
即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强.
(2)当[H+]=10-7时，pH=-lg10-7=7，
所以，纯净水的pH是7.
课堂小结
y＝logax(a>0，且a≠1)
a的范围
a>1
0<a<1
y
y
图象
O
1
定义域
函数值
=2
y
=2

4.4 对数函数(精讲)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一

4.4对数函数（精讲）一．对数函数的概念1.概念：一般地，函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞).2.概念理解(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a >0，且a ≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y ＝log a x (a >0，且a ≠1)中，log a x 前边的系数必须是1，自变量x 在真数的位置上，否则就不是对数函数.二．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象和性质a >10<a <1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x ＝1时，y ＝0函数值的变化当0<x <1时，y <0，当x >1时，y >0当0<x <1时，y >0，当x >1时，y <0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数三．对数函数图像两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x ＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.四.反函数一般地，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.一．对数函数的判断1.系数：对数符号前面的系数为12.底数：对数的底数大于0且不等于13.真数：对数的真数仅有自变量x 二．定义域1.分母不能为0；2.根指数为偶数时，被开方数非负；3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.三．比较对数值大小1.同底数的利用对数函数的单调性.2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.3.底数和真数都不同，找中间量.4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四.y ＝log a f (x )型函数性质1.定义域：由f (x )>0解得x 的取值范围，即为函数的定义域.2.值域：在函数y ＝log a f (x )的定义域中确定t ＝f (x )的值域，再由y ＝log a t 的单调性确定函数的值域.3.单调性：在定义域内考虑t ＝f (x )与y ＝log a t 的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.5.最值：在f (x )>0的条件下，确定t ＝f (x )的值域，再根据a 确定函数y ＝log a t 的单调性，最后确定最值.6.log a f (x )<log a g (x )型不等式的解法(1)讨论a 与1的关系，确定单调性；(2)转化为f (x )与g (x )的不等关系求解，且注意真数大于零.7.两类对数不等式的解法(1)形如log a f (x )<log a g (x )的不等式.①当0<a <1时，可转化为f (x )>g (x )>0；②当a >1时，可转化为0<f (x )<g (x ).(2)形如log a f (x )<b 的不等式可变形为log a f (x )<b ＝log a a b .①当0<a <1时，可转化为f (x )>a b ；②当a >1时，可转化为0<f (x )<a b .考点一对数函数的概念【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（）A ．()12log y x =-B ．24log y x=C ．ln y x =D ．()22log a a y x ++=（a 是常数）【答案】CD【解析】对于A ，真数是x -，故A 不是对数函数；对于B ，242log log y x x ==，真数是x ，不是x ，故B 不是对数函数；对于C ，ln x 的系数为1，真数是x ，故C 是对数函数；对于D ，底数22172124a a a ⎛⎫+=++> ⎪⎝⎭+，真数是x ，故D 是对数函数．故选：CD【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，则a 的值是（）A ．1或2B ．1C ．2D ．0a >且1a ≠【答案】C【解析】∵函数()2()33log a f x a a x =-+是对数函数，∴2331a a -+=，0a >且1a ≠，解得1a =或2a =，∴2a =，故选：C ．【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（）A ．ln y x =B ．22log y x =C ．log 9ax y =D ．2log 2022y x =-【答案】A【解析】形如()log 0,1a y x a a =≠＞的函数叫作对数函数，它的定义域是()0,∞+，对于A ，e ln log y x x ==满足，故A 正确；对于B ，C ，D ，形式均不正确，均错误.故选：A2．（2023秋·高一课前预习）在()()231log 4a b a -=-中，实数a 的取值范围是（）A ．()1,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．122,,2333⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．1,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】要使式子()()231log 4a b a -=-有意义，则231031140a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，解得1233a <<或223a <<.故A ，C ，D 错误.故选：B.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数()()()22log 51a y a x -⎡⎤=-+⎣⎦中，实数a 的取值可能是（）A ．52B ．3C ．4D ．5【答案】AC【解析】因为210x +>，所以根据对数函数的定义得：202150a a a ->⎧⎪-≠⎨⎪->⎩，即：235a a a >⎧⎪≠⎨⎪<⎩，所以23a <<或35a <<，故选：AC.考点二对数函数的定义域【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数()2log f x x x=-的定义域为（）A ．(]0,2B ．(),2∞-C ．()(],00,2∞-⋃D ．[)2,∞+【答案】A【解析】由题意得：2000x x x -≥⎧⎪≠⎨⎪>⎩，解得02x <≤，()f x \定义域为(]0,2.故选：A.【例2-2】（2023秋·辽宁）已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，则函数()()()lg 2f x g x x =-的定义域为.【答案】()(]2,33,5⋃【解析】已知函数()21f x +的定义域为[]1,2，所以[]1,2x ∈，[]212,5x +∈，所以函数()f x 的定义域为[]2,5，又20x ->，且21x -≠，解得2x >，且3x ≠，所以()g x 定义域为()(]2,33,5⋃.故答案为：()(]2,33,5⋃.【例2-3】（2023秋·江苏连云港·）若函数f (x )＝lg （x 2﹣mx +1）的定义域为R ，则实数m 的取值范围是．【答案】(-2,2)【解析】由题意得210x mx -+>在R 上恒成立，所以240m ∆=-<，解得22m -<<.故答案为：()2,2-.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数2y =）A ．{02}xx <<∣B ．{01xx <<∣或12}x <<C ．{02}xx <≤∣D ．{01xx <<∣或12}x <≤【答案】D【解析】由题意得2200log 0x x x -≥⎧⎪>⎨⎪≠⎩，∴01x <<或12x <≤，故定义域为{01xx <<∣或12}x <≤，故选：D.2．（2023秋·宁夏银川）函数()2log 21xf x x =-的定义域为（）A ．()0,∞+B ．()1,+∞C ．()0,1D ．110,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D【解析】由题意得0210x x >⎧⎨-≠⎩，解得110,,22x ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故选：D3．（2023春·浙江温州）函数2()ln x f x x+=的定义域为（）A ．()0,1B ．()1,+∞C ．()0,∞+D ．()()0,11,+∞ 【答案】D【解析】因为2()ln x f x x +=，所以0ln 0x x ≥⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以()f x 的定义域为()()0,11,+∞ .故选：D.考点三对数函数图像的辨析【例3-1】（2023·云南保山）函数()1y a x =-与log a y x =（其中1a >）的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A ，因为1a >，故()1y a x =-为R 上的减函数，其图象应下降，A 错误；对于B ，1a >时，()1y a x =-为R 上的减函数，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象符合题意；对于C ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；对于D ，1a >时，log a y x =为(0,)+∞上增函数，图象错误；故选：B【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若01b a <<<，则函数()log b y x a =+的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】01b a <<< ，log b y x ∴=在(0,)+∞上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移a 个单位，得到log ()b y x a =+，故函数log ()b y x a =+的图象不经过第一象限，故选：A ．【例3-3】（2023秋·高一课时练习）若函数()log (0,a y x b c a =++>且1)a ≠的图象恒过定点()3,2，则实数b =，c =．【答案】－22【解析】】∵函数的图象恒过定点()3,2，∴将()3,2代入()log a y x b c =++，得()2log 3a b c =++．又当0a >，且1a ≠时，log 10a =恒成立，2,31c b ∴=+=，2,2b c ∴=-=．故答案为：2-；2【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数15log y x =，17log y x =，5log y x =的一个是（）A ．（1）B ．（2）C ．（3）D ．（4）【答案】B【解析】因为111775111log log log 575<=，∴（3）是17log y x =，（4）是15log y x =，又155log log x x y -==与5log y x =关于x 轴对称，∴（1）是5log y x =．故选：B ．2．（2023·广西）若函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则实数a 的取值范围为．【答案】[)1,+∞【解析】函数()2log f x a x =+的图象关于x a =-对称，其定义域为{}x x a ≠-，作出函数()2log f x a x =+的大致图象如图所示，由图可得，要使函数()2log f x a x =+的图象不过第四象限，则()000f a ⎧≥⎨-<⎩，即2log 00a a ⎧≥⎨-<⎩，解得1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,+∞.故答案为：[)1,+∞.3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知0a >，且1a ≠，则函数x y a =与log a y x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】AC【解析】若01a <<，则函数x y a =的图象单调递减且过点()0,1，函数log a y x =的图象单调递减且过点()1,0；若1a >，则函数x y a =的图象单调递增且过点()0,1，而函数log a y x =的图象单调递增且过点()1,0，只有A,C 的图象符合．故选：AC4．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点．【答案】()1,2【解析】令321x -=，解得1x =，此时log 122a y =+=，故()log 322a y x =-+（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,2.故答案为：()1,2考点四比较对数值的大小【例4-1】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组中两个值的大小．①33log 1.99log 2，.②34log 0.2log 0.2，.③20.3log log 2，3.④log πlog 3.14a a ，(0a >且1)a ≠.【答案】答案见解析【解析】①因为()3log f x x =在(0,)+∞上是增函数，且1.992<，则(1.99)(2)f f <，所以33log 1.99log 2<②作出3log y x =和4log y x =的图象如下图．由图象知34log 0.2log 0.2<.③因为22log 3log 10>=，0.30.3log 2log 10<=,所以20.3log 3log 2>.④当1a >时，函数log a y x =在定义域上是增函数，则有log πlog 3.14a a >；当01a <<时，函数log a y x =在定义域上是减函数，则有log π<log 3.14a a .综上所述，当1a >时，log πlog 3.14a a >；当01a <<时，log π<log 3.14a a .【例4-2】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）三个实数1232log 4,log 5,3a b c -===的大小关系为（）A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a<<【答案】B【解析】由于333221log 3log 4log 92,log 5log 42=<<=>=，12(0,1)33c -==，故12323log 4log 5c a b -<=<==，故选：B【一隅三反】1．（2023秋·重庆）若3log 6a =，2b =，0.25log 0.125c =，则（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a>>D ．b a c>>【答案】D【解析】因为23142413log log 8log 282c ====，3333log log 6log 922a ==<=，所以b ac >>．故选：D2．（2023秋·湖北武汉）已知0.3log 0.7a =，0.30.7b -=，7log 3c =则（）A ．a c b <<B ．c a b<<C ．c b a<<D ．a b c<<【答案】A【解析】由0.3log y x =在()0,∞+上单调递减可知，0.30.30.3log 1log 0.7log <<即102a <<；由对数函数7log y x =在()0,∞+上单调递增可知，777log log 3log 7<，即112c <<；又可知0.3010.70.7b -==>，即1b >；所以可得a c b <<.故选：A3．（2023秋·广西南宁）设8log 27a =，0.5log 0.2b =，4log 24c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b<c<a【答案】C【解析】8221log 27log 27log 33a ===，0.522log 0.2log 0.2log 5b ==-=，4221log 24log 24log 2c ===因为2log y x =在定义域上是增函数，且35<<，故a c b <<.故选：C.4．（2023秋·宁夏银川）函数() f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递增，1212311log ,log ,523a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c>>D ．c b a>>【答案】D【解析】】因为函数() f x 是定义在R 上的偶函数，可得133311(log )(log )(log 2)22a f f f ==-=，2221(log )(log 3)(log 3)3b f f f ==-=，由对数的运算性质，可得33log 2log 31<=，2221log 2log 3log 42=<<=，又由2<，所以32log 2log 3<又因为() f x 在[0,)+∞上单调递增，所以32(log 2)(log 3)f f f <<，即c b a >>.故选：D.考点五对数型函数的单调性及应用【例5-1】（2023春·甘肃武威）函数()212log 45y x x =--的递减区间为.【答案】()5,+∞【解析】因为12log y u =在()0,∞+上单调递减，由复合函数的单调性可知，()212log 45y x x =--的递减区间为245u x x =--的单调递增区间，且要满足2450u x x =-->，解得5x >或1x <-，其中()224529u x x x =--=--在()5,+∞上单调递增，故()212log 45y x x =--的递减区间为()5,+∞.故答案为：()5,+∞【例5-2】（2023·河南）设函数()()2ln 4f x x x =-+在(),1a a +上单调递增，则a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．[0,2]C ．(0,2)D ．[0,1]【答案】D【解析】由函数240-+>x x ，得04x <<，即函数()f x 的定义域为()0,4，令()()24,0,4g x x x x =-+∈，由函数()g x 的对称轴为：2x =，开口向下，所以()g x 在(]0,2上单调递增，在[)2,4上单调递减，又ln y x =在()0,∞+上单调递增，所以当函数()f x 在(),1a a +上单调递增时，所以根据复合函数的单调性可知：012a a ≥⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤，故选：D.【一隅三反】1.（2023福建）求函数212y log x 2x 1)=-++（单调(1－2，1)减区间.【答案】(1－2，1)【解析】函数212y log x 2x 1)=-++（的定义域为－x 2＋2x ＋1>0，由二次函数的图象知1－2<x <1＋ 2.∴t ＝－x 2＋2x ＋1在(1－2，1)上是增加的，而在(1，1＋2)上是减少的，而y ＝12y log t =为减函数.∴函数212y log x 2x 1)=-++（的减区间为(1－2，1).2.（2023安徽）已知函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，求实数a 的取值范围.【答案】[22，2(2＋1)【解析】令g (x )＝x 2－ax ＋a ，g (x )∞，a2上是减函数，∵0<12<1，∴y ＝12y log x =是减函数，而已知复合函数212y log x ax a)=-+（在区间(－∞，2)上是增函数，∴只要g (x )在(－∞，2)上是减少的，且g (x )>0在x ∈(－∞，2)恒成立，2≤a2，（2）＝（2）2－2a ＋a ≥0，∴22≤a ≤2(2＋1)，故所求a 的取值范围是[22，2(2＋1)].3．（2023秋·江苏南通）设函数()()2ln 2f x ax x =-在区间()3,4上单调递减，则a 的取值范围是【答案】[]2,3【解析】ln y t =在()0,∞+单调递增，故22t ax x =-在()3,4单调递减，则3a ≤，又∵220t ax x =->在()3,4恒成立，则8160a -≥，故2a ≥，∴23a ≤≤，考点六解对数不等式【例6-1】（2023秋·高一课时练习）已知函数()()2log 31f x x =-，则使得2()(2)f x f x >+成立的x 的取值范围是（）A ．5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．43,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．13,⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．,13⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题设222log (31)log (35)x x ->+，即222log (31)log (35)x x ->+，因为函数2log y x =在(0,)+∞上单调递增，所以()23135310350x x x x ⎧->+⎪->⎨⎪+>⎩，解得43x >.故选：B【例6-2】（2023秋·高一课时练习）不等式log (23)log (56),(1)a a x x a +>->的解集为．【答案】6(,3)5【解析】因为1a >，可得对数函数log a y x =为单调递增函数，则原不等式等价于2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<，即原不等式的解集为6(,3)5.故答案为：6(,3)5.【例6-3】（2023秋·陕西渭南）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，则不等式()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的解集为.【答案】541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≤时，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上递增，因为()f x 是定义在R 上的偶函数，所以由()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，得()()133log 25log 8f x f ⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭，所以()33log 25log 8x ->，所以()33log 25log 8x -<-或()33log 25log 8x ->，所以10258x <-<或258x ->，解得541216x <<或132x >，所以不等式的解集为541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.故答案为：541216x x ⎧<<⎨⎩或132x ⎫>⎬⎭.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）不等式()()31128log 23log 56x x +<-的解集是.【答案】6,35⎛⎫⎪⎝⎭【解析】易知()()()333111822log 56log 56log 56x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=-=-，由()()31128log 23log 56x x +<-可得()()1122log 23log 56x x +<-；又函数12log x 在()0,∞+为单调递减，所以可得2305602356x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得635x <<.故答案为：6,35⎛⎫⎪⎝⎭2．（2023秋·高一课时练习）解下列关于x 的不等式．(1)1177log log (4)x x >-；(2)()()log 25log 1a a x x ->-；(3)1log 12x>．【答案】(1){}02x x <<(2)答案见解析(3)112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】（1）由题意可得0404x x x x >⎧⎪->⎨⎪<-⎩解得02x <<，所以原不等式的解集为{}02x x <<．（2）当1a >时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪->-⎩，解得>4x ，当01a <<时，原不等式等价于25010251x x x x ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩解得542x <<综上所述，当1a >时，原不等式的解集为{}4x x >；当01a <<时，原不等式的解集为542x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.（3）当1x >时，由1log log 2x x x >，可得12x <，此时无解；当01x <<时，由1log log 2xx x >，可得112x <<．综上，原不等式的解集为112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.考点七对数型函数的值域（最值）【例7-1】（2023秋·高一课时练习）函数12log y x =在区间[1,2]上的值域是（）A ．[1,0]-B ．[0,1]C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞-【答案】A【解析】12log y x = 在[1,2]上是减函数，121log 0x ∴-≤≤，即值域为[1,0]-.故选：A.【例7-2】．（2023·高一校考课时练习）求函数()212log 617y x x =-+的值域.【答案】(],3-∞-【解析】因为函数()212log 617y x x =-+的定义域为：26170x x -+>，而方程26170x x -+=的()2Δ6417320=--⨯=-<，所以26170x x -+>对R x ∀∈恒成立，令：()22617388t x x x =-+=-+≥12log y t =在[)8,+∞上是减函数，所以12log 83y ≤=-，即原函数的值域为(],3-∞-故答案为：(],3-∞-【例7-3】（2023秋·江苏南通）已知函数()22236log log y x x =-+，在[]24x ∈，上的值域为（）A ．15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]46，C ．1564⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】因为函数()22236log log y x x =-+，[]24x ∈，，令2log t x =，则[]12t ∈，.所以原函数转化为223153624y t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭,又对称轴为32t =，所以当32t =时，函数取得最小值154，当1t =或2t =时，函数取得最大值为4，所以所求函数的值域为15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：A ．【例7-4】（2023春·重庆北碚）已知函数2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）A ．(][)218-∞⋃∞,,+B ．()2,18C ．(][)0,218,+∞ D ．[][)0,218,+∞ 【答案】D【解析】由2(6)2y ax a x =+-+，a 不等于0时，()226422036a a a a ∆=--⨯=-+,当20,20360a a a >∆=-+<得218a <<，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，有最小值，不合题意.当20,20360a a a >∆=-+≥得18a ≥，02a <≤，二次函数2(6)2y ax a x =+-+没有最大值，有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，(][)0,218,a ∴∈+∞ 当20,20360a a a <∆=-+≥得a<0，二次函数2(6)2y ax a x =+-+有最大值，没有最小值，2(6)20y ax a x =+-+> ,2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦有最大值，没有最小值，不合题意.当20,20360a a a <∆=-+<无解.当0a =,2(6)262y ax a x x =+-+=-+既没有最大值，也没有最小值，2()ln (6)2f x ax a x ⎡⎤=+-+⎣⎦没有最大值，没有最小值，0a ∴=.[][)0,218,a ∴∈+∞ 故选：D.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数()52log 1y x x =+≥的值域为（）A ．()2,+∞B ．(),2-∞C ．[)2,+∞D ．[)3,+∞【答案】C【解析】由1x ≥知5log 0x ≥，2y ≥，值域是[)2,+∞．故选：C2．（2023·全国·高一假期作业）函数()212log 617y x x =-+的值域是．【答案】(,3]-∞-【解析】令2617t x x =-+，则12log y t =，因为22617(3)88t x x x =-+=-+≥，所以2617t x x =-+的值域为[8,∞+），因为12log y t =在[8,∞+）是减函数，所以1122log log 8-3y t =≤=，所以212log (617)y x x =-+的值域为(,3]-∞-，故答案为：(,3]-∞-3．（2023·全国·高一专题练习）已知()()31log 19f x x x =+≤≤，设()()()22g x f x f x =+，则函数()y g x =的值域为．【答案】[2,7]【解析】由题意得21919x x ≤≤⎧⎨≤≤⎩，则13x ≤≤，即()()()22g x f x f x =+的定义域为[1,3]，故()()()2223323321log )1log (log )4log 2(g x f x f x x x x x ++=+=+=++，令3log ,([0,1])x t t =∈，则2242(2)2y t t t =++=+-，函数2(2)2y t =+-在[0,1]上单调递增，故[2,7]y ∈，故函数()y g x =的值域为[2,7]，故答案为：[2,7]4．（2023·全国·高一假期作业）函数()()2log 2,f x x x =∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为．【答案】14-/0.25-【解析】显然0x >，∴()()()22221log 2log log 42f x x x x ==⋅()()2222221log log 42log log log 2x x x x =+=+，令2log x t =，∵x ∈142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴t ∈[－1，2]，则()2111244g t t ⎛⎫=+-≥- ⎪⎝⎭，当且仅当t ＝－12即x时，有()min 14f x =-.故答案为：14-5．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设0a >且1a ≠，若函数()7,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩的值域是[)5,+∞，则a 的取值范围是【答案】(【解析】由于函数7,2()(03log ,2a x x f x a x x -+≤⎧=>⎨+>⎩且1)a ≠的值域是[5,)+∞，故当2x ≤时，满足()75f x x =-≥.若1,()3log a a f x x >=+在它的定义域上单调递增，当2x >时，由()3log 5a f x x =+≥，log 2,log 22,1a a x a ∴≥∴≥∴<≤若01,()3log a a f x x <<=+在它的定义域上单调递减，()3log 3log 23a a f x x =+<+<，不满足()f x 的值域是[5,)+∞.综上可得，1a <≤考点八对数函数性质的综合运用【例8】（2023秋·山西长治）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0,1)a g x x a a =->≠且．(1)求函数()()f x g x +的定义域；(2)判断函数()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；(3)讨论函数()()f x g x +的值域．【答案】(1)()1,1-(2)偶函数，理由见解析(3)答案见解析【解析】（1）10x +>且10x ->，得11x -<<，即定义域为()1,1-.（2）因为定义域关于原点对称，且()log (1)log (1)()a a f x x x f x -=-++=，所以函数为偶函数.（3）()()2log (1)log (1)log (1)a a a f x g x x x x +=++-=-，令21t x =-，由11x -<<，得01t <≤，则log a y t =，(0,1]t ∈，当1a >时，log 0a y t =≤，所以原函数的值域为(,0]-∞；当01a <<时，log 0a y t =≥，所以原函数的值域为[0,)+∞.【一隅三反】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）设函数()()()33log 9log 3f x x x =⋅，且199x ≤≤．（1）求3f （）的值；（2）若令3log t x =，求实数t 的取值范围；（3）将()y f x =表示成以()3log t t x =为自变量的函数，并由此求函数()y f x =的最大值与最小值及与之对应的x 的值．【答案】（1）6；（2）[]22-，；（3）1()4min f x =-，此时9x =-；()12max f x =，此时9x =．【解析】（1）333log 27log 9326f =⋅=⨯=（）；（2）3log t x =，又199x ≤≤ ，32log 2x ∴-≤≤，22t ∴-≤≤，所以t 的取值范围为[]22-，；（3）由()()()223333log 2log 1(log )2log 232f x x x x x t t =++=++=++，令()223132()24g t t t t =++=+-，[]22t ∈-，，①当32t =-时，1()4min g t =-，即33log 2x =-，解得9x =，所以1()4min f x =-，此时x =；②当2t =时，()212max g t g ==（），即3log 29x x =⇒=，()12max f x ∴=，此时9x =．2（2023·湖北随州）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠).（1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）存在，a =.【解析】（1）根据对数型函数定义的求法简单计算即可.（1）由题意可得30ax ->，即3ax <，因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.（2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立，因为()f x 在区间[]1,2上单调递减，所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2，所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<<，所以131,22a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以存在实数12a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2.3．（2023江苏淮安）已知()lg(f x ax =是定义在R 上的奇函数，其中0a >．（1）求a 的值；（2）判断()f x 在[0,)+∞上的单调性，并证明；（3）若对于任意的x R ∈都有()f x mx >-成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）1a =；（2）函数单调递增，证明见解析；（3）02m ≤≤.【解析】（1）()()((lg lg f x f x ax ax -+=-+()222lg 10x a x =+-=，得21a =，0a > ，1a ∴=；（2）()(lg f x x =，设()t x x =120x x ≤<，()()1212t x t x x x -=()221212x x x x =-+=-+()121x x ⎛⎫ =- ⎝120x x ≤< ，()()12t x t x ∴<()t x ∴单调递增，根据复合函数的单调性可知()(lg f x x =单调递增；（3） ))()lg lg mx mx f mx --==+=，(()f x f mx ∴>，由（1）（2）可知函数是奇函数，并且在[)0,∞+单调递增，所以函数在R 上单调递增，x mx ∴>，当0x >时，1m <=min1m ⎛< ⎝，因为12>，则2m ≤，当0x <时，1m >=max1m ⎛> ⎝，因为10<，则0m ≥，当0x =时，m R ∈，综上可知，对x ∀∈R 恒成立，即02m ≤≤.。

高中数学必修一：对数函数

只要比较（a-1)(b-1)与0的大小
比较下列各组中两个值的大小:
⑴ log 67 , log 7 6 ;
⑵ log 3π , log 2 0.8 .
提示 : log aa＝1
提示: log a1＝0
(3)巩固练习:P73 T3
注意:利用对数函数的增减性比较两个对数的大小.当不能直接进行比较时,可在两个对数中间插入一个已知数(如1或0等),间接比较上述两个对数的大
②描点, ③连线。
作y=log2x图象
列 X 1/4 1/2 1 2 4 …..
表 y=log2x -2 -1 0 1 2 …
y
描2 点
1 11
42
0 1 23 4
x
连 -1
线 -2
作y=log0.5x图像
列
x
1/4
表 y log 2 x -2
y log 1 x
2
y2
描
2
点
1
11
42
0 1 23 4
小小技巧：判断对数 log a b 与0的大小是
只要比较（a-1)(b-1)与0的大小
一、对数函数的定义; 二、对数函数的图象和性质; 三、比较两个对数值的大小.
对数函数y=logax (a＞0,a≠1) 的图象与性质
a＞1
0＜a＜1
图y
y
象
0 (1,0)
x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
含量P，通过对应关系 t log P ，都有唯 5730 1 2
一确定的年代 t 与它对应，所以，t 是P的函数。
一般地，函数y = loga x (a＞0,且
a≠ 1)叫做对数函数.其中 x是自变量,

对数函数高一必修一知识点

对数函数高一必修一知识点对数函数是高一必修一数学课程中的重要知识点之一。

它是解决指数函数的反问题时所应用的数学工具。

在实际应用中，对数函数起着很大的作用。

本文将介绍对数函数的基本定义、性质及其在实际生活中的应用。

一、对数函数的基本定义对数函数的定义基于指数函数，而指数函数又是以指数为底数的常数幂函数。

设a是一个正实数，且a ≠ 1，x是任意实数，则以a为底数的对数函数定义如下：y = logₐx其中，a称为底数，x称为真数，y称为以a为底x的对数。

二、对数函数的性质1. 定义域和值域：由对数函数的定义可知，底数a为正实数且a ≠ 1，因此对数函数的定义域为(0, +∞)。

而对数函数的值域则为R（实数集）。

2. 对数函数的图象特点：对数函数y = logₐx的图象是一条曲线，对于a > 1时，该曲线从左下方逐渐上升，且永远不会超过x轴；对于0 < a < 1时，该曲线从左上方逐渐下降，且永远不会超过x轴。

此外，对于任意a 值，对数函数的图象均会通过点(1, 0)。

3. 对数函数的性质：（1）相等性质：logₐa = 1，即a的以a为底的对数等于1。

（2）互逆性质：logₐa = x 等价于aˣ = a。

（3）对数的连乘性：logₐ(ab) = logₐa + logₐb。

（4）对数的连除性：logₐ(a/b) = logₐa - logₐb。

（5）对数的连乘法则：logₐaⁿ = nlogₐa。

（6）对数的换底公式：logₐx = logᵦx / logᵦa。

三、对数函数在实际生活中的应用1. 比特率计算：对数函数在信息论中扮演着重要的角色。

在计算机科学中，比特率常被用于衡量数据传输的速率。

其计算公式为：log₂N，其中N为表示不同状态的离散符号数量。

对数函数在这里帮助我们将离散的符号数量转化为连续的比特率。

2. pH值计算：生活中，我们经常会用到pH值来衡量一个溶液的酸碱程度。