七年级数学从面积到乘法公式

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初一至初三数学全部知识点

七上第二章有理数整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。

任何一个有理数都可以在上表示。

和开平方开不尽的数叫作而有理数恰恰与它相反,和统称为有理数其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为或无限循环小数。

有理数分为正数、0、负数正数又分为正整数、负数又分为负整数、负分数全体有理数构成一个，即，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。

①加法的交换律a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使0+a=a+0=a；④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交换律ab=ba；⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；⑦分配律a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。

⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于0。

0的绝对值还是0.第二章有理数加减混合运算1.理数加减统一成加法的意义：对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做和。

2.有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。

（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。

有理数范围内已有的，等概念，在实数范围内有同样的意义。

一般情况下，有理数是这样分类的：整数、分数；正数、负数和零；，非负有理数整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。

我们日常经常使用有理数的。

比如多少钱，多少斤等。

凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数第三章用字母表示数代数式:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。

(新版)苏科版七年级数学下册第9章从面积到乘法公式9.1乘法公式

课堂练习
参考答案：解：S阴影＝（20152-20142）+（20132-20122）+…+（32-22）+1 ＝2015+2014+…+3+2+1＝2031120 cm2.答：所有阴影部分的面积和是2031120cm2.
课后习题
1. 下列各式中，计算结果是 2mn m2 n2 的是（ B ）
第九章整式乘法与因式分解
一、乘法公式
教学新知
完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a－b)2＝a2－2ab＋b2．
平方差公式： a2－b2＝ (a＋b)(a－b) ．
知识要点
1.会推导完全平方公式，并能正确运用公式进行计算。 2.会推导平方差公式，并能正确运用公式进行计算。 3.培养学生主动探索、敢于实践、勇于发现的科学精神似及合作交流的能力和创新意识。
（1） x2 2y2 2
（2）(2x2 1)2
2
（3） 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2
2
2

（4） (a b c)2
参考答案： x 4 4x 2 y 2 4 y 4
4x4 x2 1
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac
1 x2 8y2 2
课堂练习
6. 如图9.4-7，2015个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最外面一层画阴影，最里面一层画阴影，最外面的正方形的边长为2005cm，向里依次为2014cm，2013cm， …，1cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
图9.4-7
2. 填空：（-x+7）（-x-7）= x2-49 ，（3x+5y）• 3x-5y =9x2-25y2．

七年级数学从面积导乘法公式练习

七年级数学从面积导乘法公式练习班级姓名学号1、在代数式32b，2xy ＋3，－2，5x ab +，xy3，ba +1中整式有个.2、多项式 1－2x －31x 2+41x 3是由单项式、、、组成.3、多项式x 2y-2xy+3的是次项式，二次项的系数是 .4、一个学生由于粗心，在计算N +41时，误将“+”看成“－”，结果得23219x x -+-，则N+41的值应为 .5. 若53<<a ，则_________35=-+-a a6、计算：3()4()5()()x y x y x y x y --++--+=7、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，1x =，则代数式2a b x cd x++-=.8、若3232583n m a b a b a b -=-，则m= ，n= .9、观察下列各式：12+1＝1×2，22+2＝2×3，32+3＝3×4，…，请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥0）表示出来 . 10、化简（1）22225(3)2(7)a b ab a b ab --- （2）()()32326ab a a b ab -+--+（3）2237(43)2x x x x ⎡⎤----⎣⎦ （4）212a －[21(ab －2a )＋4ab ]11．计算（1） 23422293⎛⎫-÷⨯-- ⎪⎝⎭（2）)436()21()324()21(75.3-+-++---（3）12424(25)125⨯- （4）-()6015112132-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛--（5）—14—[1—（1—0.5×31）]×6 （6）-32-(-112 )3×29 -6÷|-23 |312、.化简求值：（1）()()()222476a b b a b a ---+--，其中3-=-b a（2）22222222(22)[(33)(33)],1, 2.x y xy x y x y x y xy x y ---++-=-=其中13、已知 32,62,3423223-+=-+=++-=x x C x x B x x x A ，求)(C B A +-的值，其中2-=x .15.已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，求13822+-+cd b a 的值16、某地区的手机收费有两种方式，用户可任选其一：A 、月租费 20元，0.25元／分；B 、月租费 25元，0.20元／分．（1）某用户某月打手机x 小时，请你写出两种方式下该用户应交付的费用；（2）若某用户估计一个月内打手机时间为25小时，你认为采用哪种方式更合算？。

七年级数学公式大全表必背知识点

七年级数学公式大全表必背知识点一、代数1. 一元一次方程- 标准形式：ax + b = c- 解方程公式：x = (c - b) / a2. 一元一次不等式- 解不等式的方法：将不等式化为一元方程，然后解出值3. 一元二次方程- 标准形式：ax^2 + bx + c = 0- 解方程公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a4. 因式分解- 判断一个多项式是否能够因式分解的方法- 先将多项式分解为一次因式的乘积- 再判断每一个一次因式是否能够继续分解5. 公式：- (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2- (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2- a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)二、几何1. 等腰三角形- 性质：两边相等，两底角相等- 面积公式：S = (底边长×高)/22. 直角三角形- 勾股定理：a^2 + b^2 = c^2- 三角函数公式：sinθ = 对边/斜边，cosθ = 邻边/斜边，tanθ = 对边/邻边3. 圆- 周长公式：C = πd，C = 2πr- 面积公式：S = πr^24. 平行四边形- 性质：对边相等，对角线互相平分- 面积公式：S = 底×高5. 三角形- 海伦公式：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p = (a + b + c)/2三、概率1. 事件的概率- 基本概率公式：P(A) = n(A)/n(S)- 互斥事件概率：P(A ∪ B) = P(A) + P(B)2. 条件概率- 条件概率公式：P(B|A) = P(A∩B)/P(A)四、统计1. 平均数- 算术平均数：平均数 = 总和/个数2. 中位数- 将一组数据从小到大排列，中间位置的数字就是中位数3. 众数- 一组数据中出现次数最多的数字- 众数可能有一个，也可能有多个以上便是七年级数学中常见的公式和必备知识点，希望同学们能够根据这些知识进行复习和总结，做到熟练记忆和灵活运用。

七年级下数学第九章从面积到乘法公式单元测验[1]

从面积到乘法公式单元测验姓名班级学号___________ 成绩____________一、选择题（本大题共10题，每题2分，共20分）1．计算（1-m ）（-m-1），结果正确的是（）A ．m 2-2m-1B ．m 2-1C ．1-m 2D ．m 2-2m+12.若a 的值使得x 2+4x+a=(x+2)2-1成立，则a 的值为A.5B.4C.3D.23. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．（x+3）（x －2）=x 2+x －6B ．ax －ay －1=a （x －y ）－1C ．8a 2b 3=2a 2·4b 3D ．x 2－4=（x+2）（x －2）4.(x+2)(x-2)(x 2+4)的计算结果是A.x 4+16B.-x 4-16C.x 4-16D.16-x 4 5．计算（a+b ）2-（a-b ）2的结果是（） A ．2a 2+2b 2 B ．2a 2-2b 2 C ．4ab D ．-4ab6.若(x+4)(x-2)= q px x ++2,则p 、q 的值是（）A 、2，8B 、-2，-8C 、-2，8D 、2，-87.19922-1991×1993的计算结果是A.1B.-1C.2D.-2 8.小明在计算一个二项整式的平方时，得正确结果x 2-6xy+ ，但最后一项不慎被污染了，这一项应该是( )。

A.9y 2B.y 2C.3yD.6y 29.若()()212-+-x mx x 的运算结果中x 的二次项系数为零，则m 的值是（）。

A ．1 B ．–1 C ．–2 D ．210.两个连续奇数的平方差一定是( )A.3的倍数B.5的倍数C.8的倍数D.16的倍数.二、填空题（每空2分，共20分）11、计算： 2x ·(-3x 2 )2 = ；(2x ＋5)(x －5) =_____________．12、计算：(3x －2)2=_______________；(—a+2b)(a+2b)= ______________．13.计算： ·c b a c ab 532243—=； ()()b a b b a a --+=_______________．14、计算742-262=_______________=______________15.多项式x 2+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .16．若x 2-- y 2=12，x+y=-2,则x —y= .三、计算（本大题共4题，每题5分，共20分）17. (-2ab 2)2·(3a 2b-2ab-1) 18. (x+3)2-(x+2)(2-x)19.923×1013 20.（a+b--c ）(a-b+c)四、分解因式：（每小题4分，共20分）21．－8a 3b 2+12ab 3c －6a 2b 22.3a （x －y ）+9（y －x ）23.（2m －3n ）2－2m+3n 24.16mn 4－m 25.a 2－3a －4五、解答题（本大题3题，26题6分,27题8分,28题6分）26.已知a+b=－5,ab=6,求下列各式的值:(1)a 2+b 2.(2)(a －b)2.(3)(a －2)(b －2).27.已知x(x －1)－(x 2－y)＝－2．求的值28.观察下面的各式的规律：12+(1×2)2+22=(1×2+1)222+(2×3)2+32=(2×3+1)232+(3×4)2+42=(3×4+1)2……先写出第10行式子，然后再写出第n 行式子，并说明你的结论。

初一数学知识点总结(集合15篇)

初一数学知识点总结(集合15篇)初一数学知识点总结1初一数学：七年级数学公式总结乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解根与系数的关系-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2aX1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+( 2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82 +…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6 *7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3其他常用数学公式正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c"*h正棱锥侧面积S=1/2c*h"正棱台侧面积S=1/2(c+c")h"圆台侧面积S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S"L注：其中,S"是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h初一数学知识点总结2知识点、概念总结1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。

七年级数学从面积到乘法公式

• 10、计算题： • （x-3y)(y+3x)-(x-3y)(3y-x) 解：原式＝xy+3x2-3y2-9xy+(x-3y)2 解法二： =3x2-3y2-8xy+x2-6xy+9y2 =(x-3y)(y+3x-3y+x) =(x-3y)(4x-2y) =4x2-14xy+6y2 =4x2-2xy-12xy+6y2 =4x2-14xy+6y2 • 11、计算题： • (p+2q)2-2(p+2q)(p+3q)+(p+3q)2 解：原式＝（p+2q-p-3q)2 =(-q)2=q2
• 6、已知1km2的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3×108kg煤所产生的能量，在我国9.6×106km2 的土地上，一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤＿＿ 1.248×1015 ＿＿＿＿＿＿＿ kg（用科学记数法表示） 2y+xy2=_____ • 7、若x-y=5,xy=6，则x2y-xy2=________,x 30 ±42 • 8、编一道因式分解题（编写要求：既要用提取公因式， ax4-2ax2y2+ay4 又要用到两个公式），这个多项式是＿＿＿＿＿＿＿＿ • 9、已知(3x+ay)2=9x2-48xy+by2，那么a,b的值分别为＿－8,64 ＿＿＿＿＿＿＿＿。
1 +y2+4y+4=0 4 1 2 (x- ) +(y+2)2=0 2 1
因为（x-
2 所以，x- 1 =0,y+2=0 1 2 即,x= ,y=-2 2
)2≥0,(y+2)2≥0
• 19、某居民小区进行美化环境教育，要在一块长为a，宽为b的长 1 方形绿地上建花坛，要求花坛所占面积不超过绿地面积的。小 2 明为此设计了一个如图①的方案，花坛是由一个长方形和两个半 1 3 圆组成的，其中m,n分别是a,b的，如果已知a= b，那么小明 2 2 的设计方案是否符合要求？（通过计算说明） • 你能否用正方形、圆（或圆的一部分）或三角形为小区设计一个既符合要求又美观的图案（圆、正方形和三角形的个数不限）？请把你的设计方案画在图②的长方形中，并说明你设计意图及其合理性。

江苏省赣榆县七年级数学下册第九章《从面积到乘法公式》教案一苏科版

教学目标：1、进一步理解本章的有关内容，掌握有关的运算法则，并会应用法则进行计算。

2、了解公式的几何背景。

3、反思本章的学习过程，进一步感受从图形面积计算得出整式乘法法则、整式乘法公式的过程，并会理解计算的算理，发展符号感，发展有条理的思考和表达能力。

教学重、难点：灵活运用整式乘法法则和乘法公式进行运算。

教学过程：一、由学生自己回顾本章所学的内容，在学生独立思考的基础上，开展小组交二、乘法公式以及因式分解与整式乘法的互逆关系。

例1、计算：（1）2)32(n m -；（2）)2)(2()3)(3(a b a b a b b a +-+-+-；（3）)2(6)2(23332x x x x x ++-；（4）223403)62()21()2(---÷⨯+---；（5）32237)()()(a a a a -÷-⋅÷-。

例2、把下列各式分解因式：（1）1)4)(2(+++x x ；（2）)1(4)(2++++b a b a ；（3）22)()(b a b a --+；（4）)()(2)(2x y y x x y x x ---+-。

例3、化简后求值： 22)32()32)(32(2)32(b a b a b a b a ++-+--，其中2-=a ，31=b 。

三、把几个图形拼成一个新图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子。

例4、（1）两个边长分别为a,b,c 的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个新的图形。

试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？（2）由四个边长分别为a,b,c 的直角三角形拼成一个新的图形。

试用两种不同的方法计算这个图形的面积，并说说你发现了什么。

四、通过探索数与数之间的关系发现一个等式的探索性问题，应先引导学生通过观察去发现等式，再运用学过的知识去说明其正确。

例5、（1）观察下面各式规律：2222)121(2)21(1+⨯=+⨯+；2222)132(3)32(2+⨯=+⨯+； 2222)143(4)43(3+⨯=+⨯+；……写出第n 行的式子，并证明你的结论。

2013七年级数学从面积到乘法公式测试

从面积到乘法公式★A 卷二基础知识点点通班级姓名成绩一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列计算中正确的是（）A.623a a a =∙B.22))((b a b a b a -=-+C.222)(b a b a +=+D.222)2)((b a b a b a -=-+2. 计算))((x y y x ---的结果是（）A.22y x +-B.22y x --C.22y x -D.22y x +3. 与)9(b a -之积等于2281a b -的因式是（）A.b a -9B.b a +9C.b a --9D.a b 9-4. 22)(b a --的运算结果为（）A.2242b b a a +-B.2242b b a a ++C.2242b b a a ---D.222b ab a ++5. 若22)(y x p y x -=∙--，那么p 等于（）A.y x --B.y x +-C.y x -D.y x +6. 若1622+-mx x 是完全平方式，则m 的值是（）A.2B.2±C.4D.4±7. 下列各式，能用平方差计算的是（） A.)231)(312(a b b a --- B.)23)(23(22a b b a ++- C.)2)(2(22-+-n m n m D.)3)(3(a bc bc a ---8. 当2-=x 时，代数式122-+-x x 的值等于（）A.9B.9-C.1D.1-9. 已知4=-y x ，12=xy ，则22y x +的值为（）A.28B.40C.26D.2510.计算结果为12224+-y x y x 的是（）A.222)1(-y xB.22)1(+y xC.22)1(-y xD.22)1(--y x二、填空题（每空1分，共20分）11.22)()()1)(1(-=-+--y x y x ，])2[()()2(22a b b a --=- 12.22)(6=++xy x ，222)(23)(=++y xy 13.=-=+n n n n 2223)()32(14.=+-+)4)(2)(2(2a a a ，4416)()2)(2(a x a x a x -=+-15.若m y x =+，n xy = ，则=+22y x ，=-2)(y x ，=+-22y xy x 16.已知m c b a =++,n c b a =++222,则=++ca bc ab17.如果2294y Mxy x +-是一个完全平方式,则=m 18.计算==-22267419.计算==29.8 三、解答题（第20题、第21题每题3分，第22题、第23题、第24题每题4分，第25题5分）20.简便计算⑴2002200420032⨯- ⑵2298⑶8110879⨯ ⑷28.9921.计算⑴)212)(212(22--+-x x ⑵))((n m n m y x y x +- ⑶22)3121()3121(b a b a -+ ⑷2)(z y x ++22.化简求值：)2)(2()2)(2(a b a b a b b a -+-+-，其中1=a ，2=b23.解方程：x x x x x 12)63)(2()3(2)1(522-+-=+--24.利用乘法公式计算⑴)4)(2)(16)(2(24+++-x x x x ⑵)231)(132(a b b a -+--25.已知1=+b a ，1-=ab ，求2)(3b a -的值。

初一数学所有的公式

初一数学所有的公式面对初一数学的学习，不少学生都有头疼的地方，最大的难点莫过于对数学公式的积累。

如果想要在学习中更好地掌握和理解数学，必须把这些数学公式积累默记，使脑海中建立起象牙塔般的数学公式库。

以下是初一数学常用的公式：1、立方体表面积公式：S=6a22、正方体体积公式：V=a33、平面直角坐标系内两点间距离公式：d=根号（（x2-x1）2+(y2-y1）2）4、体积公式：V=πr2h5、重心公式：G/M1+M26、定比例公式：a:b=M1:M27、三角形面积公式：S=1/2×a×b×sinC8、等差数列求和公式：Sn=(a1+an)×n/29、等比数列求和公式：Sn=a1×(1-qn)/1-q10、勾股定理：a2+b2=c211、勾股定理求角公式：tanA=b/a12、分数加减乘除运算：（1）加法：分母相同时，分子相加；（2）减法：分母相同时，分子相减；（3）乘法：分子分母分别相乘；（4）除法：分子分母分别交换再相乘。

此外，初一数学还包括其他几种数学计算公式：1、算式化简：算式运算过程中可以利用公式潜规则实现简化，例如：(a+b)2=a2+2ab+b22、因式分解：将表达式分解成因式，例如：2a2-3ab+2b2=(2a-b)(a-2b)+2b23、三角函数：以三角函数的值来求某角的大小，例如：sin=1/2=30°4、不等式：指在算术运算中，把两个数之间的大小关系用符号表示出来，例如：a<b5、组合数学：是计算穷举法中各种取组合方式的数学研究，例如：从六个不同的数字中取出三个不同的数字，构成一个三位数，有多少种可能？答案：选出三个数字的方法有六种：(1)选择第1个数字，然后从剩下的五个数字中选择第2个数字，再从剩下的四个数字中选择第3个数字；(2)选择第2个数字，然后从剩下的五个数字中选择第1个数字，再从剩下的四个数字中选择第3个数字；.....所以要构成一个三位数，共有6×5×4=120种可能。

2013七年级数学从面积到乘法公式测试2

从面积到乘法公式一、选择题（每题2分，共20分）1. 333)2(8ab b a -∙等于（）A.0B.6616b a -C.6664b a -D.6416b a -2. )5()()(223332abc c b a b a ∙-∙-等于（）A.314135c b a -B.236365c b a -C.314135c b aD.236365c b a3. 单项式乘以多项式依据的运算律是（）A.加法结合律B.乘法结合律C.乘法分配律D.乘法交换律4. 方程)2(4)6()23(2+=---x x x 的解为（）A.2=xB.3=xC.6=xD.4=x5. 下列计算正确的是（）A.y x xy xy y x xy 222212183)46(-=∙-B.12)12)((232+--=-+-x x x x xC.y x z y x y x yz xy y x 222232396)132)(3(--=-+--D.221232)2143(ab b a ab b a m m -=∙-++6. 下列计算中⑴ay ax y x a -=-)(⑵bxby xy b =)(⑶y x y x b b b +=+⑷344)6(216=⑸221212---=n n n xy y x 正确的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个7. 当1-=a 时，n 为整数，则)63(112321n n n n n a a a a a +---++++的值是（） A.9 B.3 C.-3 D.-98. 如果)51)((++x q x 的积中不含x 项，则q 等于（） A.51B.5C.51- D.5-9. 多项式b x x ++2与多项式22--ax x 的乘积不含2x 和3x 项，则2)3(2ba --的值是（）A.8-B.4-C.0D.94-10. 长方形一边长n m 23+，另一边比它长n m -，则这个长方形面积是（）A.2221112n mn m ++B.222512n mn m ++C.222512n mn m +-D.221112n mn m ++二、填空题（每空2分，共20分）11.若c bx ax x x ++=--2)25)(32(，则=a ，=b ，=c 12.=+-+)1)(1(2x x x ，=+-)13)(72(x x 13.ac ab a c b a 313132)2()(2--=-- ny my nx mx n m ++--=+)()(14.=----)154(65)232(311x x x x15.已知62-=ab ，则=---)(352b ab b a ab 16.如果a x -与b x -的乘积中不含x 的一次项，那么a 与b 的关系为三、解答题（第17题每题4分，第18题每题6分，第19题，第20题,第21题每题6分，共50分）17.计算: ⑴)21)(214(242x x x x --+-⑵)](3)3()3([2b a a b b a -+--- ⑶)32(6)543(5)32(4z y x z z y x y z y x x +--+-++-⑷544)()(98)])([(85a b b a b a b a -+∙-+⑸)]32(2)2321(43[22a ab b a ab ab ab -+--18.化简求值⑴)4)(56()32)(13(----+x x x x ,其中2-=x⑵)3)(5()96)(2(22b a b a a b ab a b a +-----其中32=a ,34-=b19.已知72=+y x ,522=+y x ,求)1(23)24(2222y y x y x -+--+的值20.已知4=+y x ，6=-y x ，化简xy x xy y y y xy 3)2()(22-+-+，并求它值21.若))(123(2b x x x ++-中不含2x 项，求b 的值，并求))(123(2b x x x ++-的值。

4.14七年级数学下册_第九章从面积到乘法公式复习教案_苏科版 2

第九章从面积到乘法公式单元总结提升班级____________姓名____________学号___________备课时间: 主备人:单元总结归纳一、本章的知识框图二、重点、难点突破重点：(一)单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（二）单项式乘以多项式1.单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即a（b＋c＋d）= ab＋ac＋ad.2.其几何意义为：3.单项式与多项式相乘的步骤：（1）按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；（2）进行单项式的乘法运算.（三）多项式乘以多项式1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2.其几何意义为：3.多项式与多项式相乘的步骤：（1）用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；（2）把所得的积相加.（四）乘法公式1. 完全平方式公式：（a±b）2= a2±2ab+b2.（1）特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍.可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”.（2）语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差（3）几何意义：（a+b）2= a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b22.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.（1）特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.（2）语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.（3）几何意义：5.因式分解（1）因式分解与整式乘法的区别与联系：把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解. 它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.（2）提公式法分解因式：提公因式的依据是乘法分配律，其实质是分配律的“逆用”；提公因式分解因式的步骤是：a.找出多项式各项的公因式；b.提出多项式的公因式；提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式，当一个多项式的公因式正确找出后，需要提取公因式，此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式；也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式.（3）公式法分解因式：平方差公式分解因式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.完全平方公式分解因式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.难点：1. 单项式与单项式相乘，应注意：（1）先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值；（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”；（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，注意不能漏掉这部分因式；（4）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行；（5）单项式与单项式相乘的积仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算；（6）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.2. 单项式与多项式相乘应注意：（1）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，为了避免发生符号上的错误，计算时可以分为两步：先把“-”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要进行合并.3. 多项式乘以多项式应注意：（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项之前，应是两个多项式项数的积；（2）多项式是几个单项式的和，每项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号；（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.4.乘法公式（1）运用完全平方公式时应注意：明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式；分清公式中的a、b分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，尤其是中间项的二倍不能忘记.（2）运用平方差公式时应注意：首先明确能否利用平方差公式计算（能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差，我们把符号相同的数看作是a，把符号相反的项看作是b）；结果是平方差，且两个数(项)的位置不能弄错；必须注意系数、指数的变化（3）灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样”，在此前提下再认真地对题目进行细致观察，想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行计算了，这里关键是要善“变”.5.因式分解（1）对因式分解结果的约定：a.与原多项式相等；b.为积的形式，即从整体上看，最后结果应是一些因式的乘积；c.每个因式都是整式；d.在指定数集里，每个多项式不能再分解.e.形式最简.（2）用提公因式法分解因式应注意：a.公因式要提尽；b.小心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同；c.提取公因式后的多项式首项一般取正号；d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程，所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性；e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时，要特别注意统一式子中字母的顺序；f.提公因式要干净彻底，也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的另一个因式中应该再不能提出公因式了.(3)使用公式法分解因式：如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式；如果多项式是三项，其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时，还可以适当将它们变形.(4)综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意: 1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解; 2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止; 3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”.特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.整合拓展创新类型之一、基本概念型例1 下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？ (1)8a 2b 3c=2a 2b ·2b 3·2c (2)3a 2+6a=3a(a+2)(3)x 2－21y=(x+y1)(x －y1)(4)x 2－4+3x=(x+2)(x －2)+3x (5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b) (6)(2a+5b)(2a －5b)=4a 2－25b 2【思路分析】因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形.变式题下列变形中，因式分解对不对？为什么？ (1)x 2y －xy 2=xy(x －y)(2)a 3－2ab+ab 2=a(a －b)2=a(a 2－2ab+b 2) (3)62ab －4ab 2+2ab=2ab(3a －2b) (4)4a 2－100=(2a+10)(2a －10) (5)a 2－b 2=(a －b)2提示：第（2）题提取公因式a 后，括号里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）出现了漏项；第（4）题没有分解彻底，应先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）题混淆了两个乘法公式.解：只有（1）是正确的.类型之二、基本运算型 1.整式乘法的运算例2 先规定一种运算：a ＊b=ab+a-b ，其中a 、b 为有理数，则a ＊b+（b-a ）＊b 等于（）A.a 2-b ；B.b 2-b ；C.b 2；D.b 2-a. 【点评】解决这类问题，理清题目意思是解题关键. 变式题已知：A=2x 2+3xy-y 2，B=-21xy ，C=81x 3y 3-41x 2y 4.求：2AB 2-C.提示：直接代入计算，在复杂的式子计算中，先算乘方，再算多项式乘法，最后合并同类项例3 计算：（1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2（2）[（4x n+1-21y ）2+4y （x n-16y ）]÷8x 2.变式题计算：（1）（a+b+c-d ）（a-b+c+d ）；（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.解：（1）观察运算符号，两多项式中a 、c 符号相同，b 、d 符号相反，因此可以把a 、c 结合在一起，看成一项，把b 、d 结合在一起，看成另一项，应用平方差公式计算.（2）经过观察1+4=2+3，因此将（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分别相乘，出现相同部分x 2+5x ，再视其为整体进行运算.2.因式分解例4 （1）分解因式:2x 2-18= ; (2) 分解因式:a 3-2a 2b+ab 2= ; (3) 分解因式:x 2-y 2+ax+ay= .【思路分析】(1)、(2)先提公因式，再用公式法；（3）要利用分组分解法.【点评】中考对因式分解的要求不太高，都以基本题为主.但有不少学生在解答第（1）、（2）题时常常在提公因式后就结束答题，从而失分.因此，在做因式分解时，最后一定要检验，使每个因式不能再分解才能结束.变式题先阅读，再分解因式：x 4+4=（x 4+4x 2+4）-4x 2=（x 2+2）2-（2x ）2=（x 2+2x+2）（x 2-2x-2）. 仿照这种方法把多项式644＋x 分解因式.提示仿照例题，运用添项、减项（配方），使其可以用平方差公式分解. 解：644＋x =（x 4+16x 2+64）-16x 2=（x 2+8）2-（4x ）2=（x 2+4x+8）（x 2-4x+8）类型之三、基本应用型例5 若x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，求x 2y 2＋2x 3y 2＋x 4y 2的值.【思路分析】一个方程求两个未知数显然不容易，考虑已知等式的特点，将其整理为两个完全平方式的和，利用其非负性求出x 、y ，再化简所求代数式后代入求值.解：因为x 2－4x ＋y 2－10y ＋29=0，所以（x 2－4x+4）＋（y 2－10y ＋25）=0，（x-2）2+（y-5）2=0，所以x=2，y=5.x2y2＋2x3y2＋x4y2= x2y2（1+2x+x2）= （xy）2（1+x）2=（2×5）2×（1+2）2=900.【点评】利用因式分解，根据完全平方式的非负性是由一个方程解两个未知数的常用方法之一.变式题矩形的周长是28cm，两边长为x，y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．提示把已知等式分解因式，利用矩形边长的非负性寻求解题途径.解：因为x3＋x2y－xy2－y3＝0，所以（x3＋x2y）－（xy2+y3）＝0，x2（x+y）－y2（x+y）=0，（x2－y2）（x+y）=0，（x+y）（x-y）（x+y）=0，（x+y）2（x-y）=0，又因为矩形的边长总是非负数，即（x+y）2＞0，所以有x-y=0，即x=y.而由矩形的周长是28cm得到x+y=14，所以x=y=7.矩形的面积为49C㎡.答：矩形的面积为49C㎡.例6 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.【思路分析】令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.对比多项式的系数得由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦∴m=-18.【点评】本题实质考查了学生对待定系数法的理解与运用能力. 变式题已知多项式2x 3-x 2+m 有一个因式(2x+1),求m 的值.解答：由已知条件可以设2x 3-x 2+m=(2x+1)(x 2+a x+b),则2x 3-x 2+m=2x 3+(2a +1)x 2+ (a +2b)x+b.对比多项式系数可得类型之四、思想方法型 1.整体转化思想例7 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，e 的绝对值是2，并且x=ｅ＋３ba 3+2cd+２１e 2，求9x 2+[x （4x-3）-2x （x-3）]的值.【思路分析】整体确定a+b 、cd 的值，进而得到x 的值，将求值式化简后再代入. 解：根据题意，a+b=0，cd=1，|e|=2，所以x=ｅ＋b a 33+2cd+２１e 2=ｅ）＋b a (3+2cd+２１e 2=e 03×+2×1+21×22=2+2=4.原式=9x 2+（4x 2-3x-2x 2+6x ）=11x 2+3x=11×42+4×3=6+12=188.【点评】本题综合性强，涉及到以前学过的互为相反数的和为0，互为倒数的积为1，绝对值的意义，题目较复杂，但还是应依据先化简，再求值的原则.变式题（1）已知（a+b ）2=144 ， (a-b)2=36, 求ab 与a 2 + b 2 的值. （2）设m 2+m-1=0，求m 3+2m 2+2004的值. 提示：本题在解题时要运用整体思想. 解：（1）已知（a+b ）2=144， (a-b)2=36,a2 +2ab+ b2=144，a2 -2ab+ b2=36，把ab 与a2 + b2分别看作是整体，两式相加得到2（a2 + b2）=180，即a2 + b2=90，两式相减，得到4ab=108，即ab=27.答：ab=27，a2 + b2=90.（2）∵m2+m-1=0，∴m2+m=1.∴m3+2m2+2004=m(m2+m)+m2+2004=m·1+m2+2004=m2+m+2004=1+2004=2005.答：m3+2m2+2004=2005.2.数形结合思想例8 在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A.（a+b）（a-b）=a2-b2；B.（a+b）2=a2+2ab+b2；C.（a-b）2=a2-2ab+b2；D.（a+2b）（a-b）=a2+ab-2b2.a图2图1【思路分析】先写出图中面积的不同表达形式，再比较作出判断.解：原阴影部分的面积为a2-b2，移动后阴影部分的面积为（a+b）（a-b），因此有（a+b）（a-b）=（a-b）2，选A.【点评】从面积到乘法公式，从乘法公式到面积表达式，充分展示了数学里的“数”与“形”的和谐美.由“数”到“形”，有“形”到“数”，这样反复观察思考、操作运算，对提高我们对数学的认识，锻炼我们的数学思维是大有益处的.变式题（苏科版课课练P63 6）如图，利用图形因式分解：a2+7ab+12b2. Array提示：结合图形寻求答案.解：a2+7ab+12b2=（a+3b）（a+4b）.五、实践型1.思维实践型例9 多项式9x 2+1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方式，那么加上的单项式可以是 .（填上一个你认为正确的即可）【思路分析】许多学生在解答此题时，由于受思维定势的影响，习惯于依据课本上的完全平方公式得9x 2+1+6x=（3x+1）2，或9x 2+1-6x=（3x-1）2，只要再动动脑筋，还可以得出：9x 2+1+481x 4=（29x 2+1）2，9x 2+1-1=（3x ）2，9x 2+1-9x 2=12.解：所加的单项式可以是±6x 或481x 4或-1或-9x 2.【点评】这是一个适度的开放题，对思维要求能力比较高.变式题观察一组式子：32+42=52，52+122=132，72+242=252，92+402=412，… 猜想一下，第n 个式子是 .提示：通过观察几个具体的等式，而抽象出一般规律，本题可以通过变形产生平方差，再反复用平方差公式得解.解：观察已知式子，可知每个等式左边第二项的底数与右边的结果的底数为相邻的两个连续整数，变形可得52-42=32，132-122=52，252-242=72，412-402=92，…且有关系5=2×1×（1+1）+1，13=2×2×（2+1）+1，25=2×3×（3+1）+1，41=2×4×（4+1）+1，…从而第n 个式子中右边的底数为2n （n+1）+1，因此有：[2n ·（n+1）+1]2-[2n （n+1）]2={[2n ·（n+1）+1]+[2n （n+1）]}{[2n （n+1）+1]-[2n （n+1）]}=4n 2+4n+1=（2n+1）2.故第n 个式子为（2n+1）2+（2n 2+2n ）2=（2n 2+2n+1）2. 2.动手实践型例10 现有足够的2×2，3 ×3的正方形和2×3的矩形图片A 、B 、C （如图），先从中各选取若干个图片拼成不同的图形，请你在下面给出的方格纸（每个小正方形的边长均为1）中，按下列要求画出一种拼法的示意图（要求每两个图片之间既无缝隙，也不重叠，画图时必须保留作图痕迹）.（1）选取A 型、B 型两种图片各1块，C 型图片2块，拼成一个正方形；（2）选取A型图片4块、B型图片1块，C型图片4块，拼成一个正方形；（3）选取A型图片3块、B型图片1块，再选取若干块C型图片，拼成一个矩形.【思路分析】按常规思路是用画图（或实物图片）尝试去拼接，这样费时费力，效率低.若设A形纸片的边长是a，B型纸片的边长为b（b＞a），则C型纸片的长为b、宽为a，抓住“拼接前后面积不变”这一条件，运用因式分解，可使解题目标的实施更明确，过程更简明.如（1）因拼接前后的总面积不变是a2+b2+2ab，分解因式得（a+b）2，则所拼接正方形边长为a+b.可拼接如图1所示的草图（注：没在提供的方格图中画）.（2）由拼接前后的面积是4a2+b2+4ab，分解因式得（2a+b）2，则所拼接正方形边长为2a+b.可拼接如图2所示的草图.（3）拼接图形面积为3a2+b2+（）ab，（）为整数，能够拼接为某一图，则其必能分解，结合因式分解，知b2+4ab+3a2=（b+a）（b+3a），即选4张C型纸片即可拼接成一矩形，由分解因式的特点，可拼出如图3的草图.变式题（苏科版课课练P63 6）已知3种形状的长方形和正方形纸片（如图1）：用它们拼成一个长为（3a+2b）、宽为（a+b）的长方形，各需多少块？并画出图形.提示：根据拼接前后面积不变知道长方形的面积为（3a+2b ）（a+b ）=3a 2+5ab+2b 2，显然需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片.解：需要A 正方形纸片3张、B 正方形纸片2张、C 长方形纸片5张，共10张纸片. 画图如图2所示. 中考名题欣赏1.计算：（-1-2a ）（2a-1）= ；化简：（21m+n ）（m-2n ）= .解：（1）方法1：（-1-2a ）（2a-1）=-2a+1-4a 2+2a=1-4a 2；方法2：（-1-2a ）（2a-1）=-（2a+1）（2a-1）=-（4a 2-1）=1-4a 2；方法3：（-1-2a ）（2a-1）=（-1-2a ）（-1+2a ）=（-1）2-（2a ）2=1-4a 2. （2）方法1：原式=21m 2-mn+mn-2n 2=21m 2-2n 2；方法2：原式=21（m+2n ）（m-2n ）=21（m 2-4n 2）=21m 2-2n 2；方法3：原式=2（21m+n ）（21m-n ）=2（41m 2-n 2）=21m 2-2n 2.【点评】该题考查乘法的基本运算和灵活运用乘法公式的能力，可以按多项式乘多项式的法则进行，也可以通过适当变形巧用乘法公式来简化计算.【方法技巧】对多项式进行适当变形，可达到运用乘法公式来简捷解题的目的.中考中对整式乘法知识的考查难度不大，但很灵活，在解题时我们一定要透过现象看本质，抓住特点，创造性地解题.2.（1）把代数式xy 2-9x 分解因式，结果正确的是（） A.x （y 2-9） B.x （y+3）2 C.x （y+3）（y-3） D.x （y+9）（y-9）（2）把代数式a 3+ab 2-2a 2b 分解因式的结果是 . 解：（1）xy 2-9x=x （y 2-9）= x （y+3）（y-3），故选C ；（2）原式=a （a 2+b 2-2ab ）=a （a 2-2ab+b 2）=a （a-b ）2.【点评】该题既考查因式分解的概念，又考查因式分解的方法，先提公因式，再根据项数确定应用什么公式.在中考中，对因式分解的考查一般以填空题、选择题的形式出现，比较容易，但失分率却比较高，主要是对因式分解的概念模糊，分解不彻底所致.如第（1）题，不少考生可能选A ，第（2）题误填a （a 2+b 2-2ab ）.3. （1）如图1是一个正方形与一个直角三角形所组成的图形，则该图形的面积为（）A.m 2+21mn B.２－ｍ２mn c.２＋ｍ２mn D.２＋ｎｍ２２（2）三种不同类型的矩形地砖长宽如图2所示若先有A 类4块，B 类4块，C 类2块，要拼成一个正方形，则应多余出一块型地砖；这样的地砖拼法表示了一个两数和的平方的几何意义，这个两数和的平方是 .解：（1）S=m 2+21·m ·（n-m ）=m 2+21mn-21m 2=２＋ｍ２mn ，选C ；（2）通过动手操作可得如图3（答案不唯一），易知多了一块C 型地砖，其面积为（2m+n ）2或4m 2+4mn+n 2.因此，依次填入C ，（2m+n ）2= 4m 2+4mn+n 2.【点评】第（1）题可分别求出正方形和直角三角形的面积，再求和；第（2）题可通过动手操作，摆出图形来寻求答案. 该题考查学生数形结合的能力以及对单项式乘以多项式和乘法公式——完全平方公式的理解和掌握.利用几何的面积法与代数的计算法相结合，考查了学生的数形结合的能力，提升了难度，更体现了新课标的基本理念.4.老师在黑板上写出三个算式：52-32=8×2，92-72=8×4，152-32=8×27，王华又接着写出了两个具有同样规律的算式：112-52=8×12，152-72=8×22，……（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；（2）用文字写出反映上述算式的规律；（3）证明这个规律的正确性.解：（1）写出两个正确的算式，如：32-12=8×1，72-32=8×5等等；（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数；（3）证明：设m 、n 为两个整数，两个奇数可表示为2m+1和2n+1，则（2m+1）2-（2n+1）2=4（m-n ）（m+n+1）.当m 、n 同是奇数或偶数时，m-n 一定为偶数，所以4（m-n ）一定是8的倍数；当m 、n 一奇一偶时，则m+n+1一定是偶数，所以4（m+n-1）一定是8的倍数.所以，任意两奇数的平方差是8的倍数.（说明：规律说成是：“两奇数的平方差是4的倍数”且证明正确也可得满分，如果证明中加设m ＞n 的条件，不扣分）.【点评】这是一则探索规律题，等式左边是两个奇数的平方差，（大数减小数），右边是8的倍数.【方法技巧】解决探索规律题，要认真观察已给的等式和自己写出的等式，充分联想已有的知识，大胆猜想相应的结论，再进行严密推理说明，即认真观察，广泛联想，大胆猜测，小心论证.5.化简：（2x-1）2-（3x-1）（3x-1）+5x （x-1），再选一个你喜欢的数代替x 求值. 解：分别用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式的法则进行计算，再去括号，合并同类项.原式=4x 2-4x+1-（9x 2-1）+5x 2-5x=4x 2-4x+1-9x 2+1+5x 2-5x=-9x+2. 取一个x 值，代入求值即可.取x=0，则原式=2.【点评】这是一道自编自解题，先化简，后取一个x 值代入求值，但取x 值既要使原代数式有意义，又要使计算简捷方便.6.物资调运是国民经济的重要问题，安排得当可以为国家节省大量资金和物力，下面是一个车床调运的实例.北京与上海分别制造同种型号的车床10台和6台，这些车床计划分配到武汉和西安两地，运送一台车床的费用（单位：元）如下图1所示，如果北京发往武汉x 台，上海发往西安y 台，求总运费.图1解：作出如图2的网络图，并标上相关的数据，由图易知总运费W=500x+400（10-x ）+950y+700（6-y）=100x+250y+8200（元）（答略）.【点评】这是一道实际应用题，先从题目中（特别是表格中）提取相关信息，借助于整式运算的知识来解答.这里运用“词、数、图、式”一体化的解题思路，架起“示意图”这座桥梁，达到解决数学问题的目的.这种方法将数化形，其优越性在于直观、形象，是将具体问题抽象为数学模型的一种普遍使用的方法.章内专题阅读如何用乘法公式？乘法公式是初一代数的重要内容，对今后学习数学影响很大.也是中考考查的重要知识点.本文介绍如何使用乘法公式.1.直接用例1 计算（3x2+y）（3x2-y）分析本题符合平方差公式的结构特征，其中3x2相当于公式中的a、y相当于公式中的b，故可直接使用平方差公式.解原式=（3x2）2-y2=9x4-y2.2.连续用例2计算（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）（x-1）.分析按顺序直接计算量很大，把最后一个因式放到前面，则可连续使用平方差公式.解原式=（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x2-1）（x2+1）（x4+1）（x8+1）=（x4-1）（x4+1）（x8+1）=（x8-1）（x8+1）= x16-1.3.整体用例3计算2)y-（新教案9.4（3）例4变式题）x-(z32分析将x-3y看成一个整体，原式可用完全平方公式计算.解原式=[（x-3y）-2z]2=（x-3y）2-4（3x-y）z+4z2=x2-6xy+9y2-12x+4y+4z2.4.逆向用例4 求证：无论x为何值，代数式4x2-12x+2都不小于-7.分析乘法公式是恒等式，必要时可逆向使用.本题配方后用完全平方式的非负性判断原式的取值范围.解原式=（4x 2-12x+9）-7=（2x-3）2-7，因为（2x-3）2≥0，所以原式=（2x-3）2-7≥-7. 5.变序用例5 计算22)32()32(-+x x分析先用积的乘方化为[（2x+3）（2x-3）]2，对用平方差公式，再用平方公式计算，改变运算顺序，要比先用完全平方公式将（2x+3）2、（2x-3）2展开后再计算要简便得多.解原式=[（2x+3）（2x-3）]2=（4x 2-9）2=16x 4-72x 2+81.6.凑项用例6 计算（5+4）（52+42）（54+44）（58+48）…（5256+4256）分析直接计算显然太麻烦.注意到从第二个因式开始每个因式的前项（或后项）都是前一个因式的前项（或后项）的平方，如果式子的开头能使用平方差公式，则后面就能反复循环使用.而式子的开头没有（5-4）这一因式，因此必然要拼凑因式（5-4）.7.裂项用例7已知a 2-2a+b 2+4b+5=0，求(a+b)2005的值. （新教案9.6（2）例3）分析一个方程两个未知数一般是不能确定其解的.但本题中的条件可通过裂项、分组、配方后求出a 、b 的值.8.搭配用例8 求证（x-1）（x-3）（x-5）（x-7）+16是完全平方式.分析考察四个因式有序变化的结构特征，可让它们“均衡”搭配.即一、四两个因式与二、三两个因式分别搭配运算后，把得到的其中某一个因式看成一个整体再作恒等变形.9.消元用例9 已知实数x、y、Z满足z2=xy+y-9，x+y=5，求（x+z）-y.分析条件z2=xy+y-9是三个未知量的复杂关系，可通过x+y=5消元，化为二个未知量的关系，实现“减肥瘦身”.解 x=5-y，所以z2=（5-y）y+y-9，所以（y2-6y+9）+z2=0，所以（y-3）2+z2=0，解得y=3，z=0，所以x=2，故.（x+z）-y=（2+0）-3= 18.。

(完整版)人教版七年级下册数学必背公式

完整版)人教版七年级下册数学必背公式一、代数式基本运算1.加减法运算法则：加法法则：$a + b = b + a$减法法则：$a - b ≠ b - a$2.乘法法则：乘法交换律：$a \times b = b \times a$乘法结合律：$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$分配律：$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$3.除法法则：除法的定义：$a \div b = \frac{a}{b}$4.乘方法则：幂的乘法法则：$a^{m+n} = a^m \times a^n$幂的除法法则：$a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$乘方的乘法法则：$(a \times b)^n = a^n \times b^n$5.公式：二次根式公式：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$二、平面几何1.直角三角形：勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。

c^2 = a^2 + b^2$2.圆的计算：面积公式：$S = \pi r^2$周长公式：$C = 2\pi r$3.三角形计算：面积公式：$S = \frac{1}{2} \times 底边 \times 高$三角形内角和：三角形内角和等于180°。

angle A + \angle B + \angle C = 180°$三、数与式1.百分数与小数的相互转换：百分数转小数：将百分数除以100，如：25% = 0.25小数转百分数：将小数乘以100加上%符号，如：0.5 = 50%2.比例计算：比例：两个同类事物的对应关系。

比例的性质：比例中的两个比例项互相乘积相等。

3.线性方程组：一元一次方程：$ax + b = 0$，其中$a ≠ 0$两个一元一次方程的解：求解两个方程，找出使两个方程同时成立的值。

苏科版七年级下数学第九章从面积到乘法公式提高题

单乘单 1、计算(－3x 2y)3·(－2xy 3z)2[2(a －b)3][－3(a －b)2][－32(a －b)]3423332435⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅c ab b a ab·c b a c ab 532243—=2、计算(－4x n ＋1y n )3[(－xy)n ]2的结果是( )A .64x 5n+3y 5n B. －64x 5n+3y 5n C .12x 5n+1y 5n D.－12x 5n+1y 5n 3、若992213yx yxyx n nm m =⋅++-,则n m 43-的值为（）（A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6多乘多1、(x+5)(x-7)=2、计算()()514+-y y(3x 2－2x －5)(－2x ＋3)(x －1)(2x －3)(3x ＋1)()()()()4321----x x x x3、若()()1532-+=++kx x m x x ，则m k +的值为（）（A ）3- （B ）5 （C ）2- （D ）2完全平方公式 1、(2x-4y)2 = 2、(-3a-5b)2= 3、(m －n －3)24、(2x ＋3y －z)25、下列式子中一定相等的是（）A 、（a- b ）2 = a 2 － b 2B 、(a+ b)2 =a 2 + b 2C 、(a - b)2 = b 2 －2ab + a 2D 、(-a - b)2 = b 2 －2ab + a26、已知2249x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ；7、若二项式4m 2+1加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则单项式为8、有个多项式，它的中间项是12xy ，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，你有几种方法？（要求至少写出两种不同的方法）. 多项式：+12xy+=（）2多项式：+12xy+=（）2完全平方公式的关系1、x 2＋y 2=（x+y ）2－＝（x －y ）2＋ .2、已知若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2a b -= ；已知（a+b ）2=144 (a-b)2=36, 求ab 与a 2+ b 2的值3、已知x+y=0，xy=－6，则x 3y+xy 3的值是（）A ．72B ．－72C ．0D ．6 4、若a ＋351=a ，则221aa +＝______若,41=+x x 求 441xx + = *5、已知a 2－3a ＋1＝0．求aa 1+、221a a +和21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值；平方差公式1、(2x-3y)（3x-2y ）= ______________2、(—a+2b)(a+2b)= ______________．3、(6x-7y)(-6x-7y) = ______________4、（2a+b+3）（2a+b －3）5、(a －2b ＋3)(a ＋2b －3)6、下列计算是否正确？为什么(5x ＋2y)(5x －2y)＝(5x)2－(2y)2＝25x 2－4y 2(－1＋3a)(－1－3a)＝(－1)2＋(3a)2＝1＋9a 2(－2x －3y)(3y －2x)＝(3y)2－(2x)2＝9y 2－4x 27、下列算式能用平方差公式计算的是（） A.（2a ＋b ）（2b －a ） B.)121)(121(--+x x C.（3x －y ）（－3x ＋y ） D.（－m －n ）（－m ＋n ）妙用公式化简22222)()()(b a b a b a ++-(x ＋y) ( x 2＋y 2) ( x －y))(44y x +2)5241(y x -2)5241(y x +[(x －y)2＋(x ＋y)2](x 2－y 2)（２a ＋１）2－（１－２a ）220092)1()1()1(1x x x x x x --∙∙∙------十字相乘公式1、计算：（1） (x ＋2)(x ＋1) （2） (x ＋2)(x －1) （3）(x －2)(x ＋1) （4） (x －2)(x －1) （5）(x ＋2)(x ＋3) (6） (x ＋2)(x －3) （7） (x －2)(x ＋3) （8） (x －2)(x －3) （9）(x ＋a )(x ＋b )你通过计算发现了什么规律 2、若)3)((62++=++x m x px x ，则___________==p m3、若(x+4)(x-2)= q px x ++2,则p 、q 的值是（）A 、2，8B 、-2，-8C 、-2，8D 、2，-84、两式相乘结果为1832--a a 的是（）（A ）()()92-+a a （B ）()()92+-a a （C ）()()36-+a a （D ）()()36+-a a 整式混合运算1、（2a ＋1）2－(2a ＋1)(－1＋2a)2、(1－y)2－(1＋y)(－1－y)3、(1－2x)(1－3x)－4(3x －1)24、下面是小明和小红的一段对话：小明说：“我发现，对于代数式()()()x x x x x 1033231++-+-，当2008=x 和2009=x 时，值居然是相等的.”小红说：“不可能，对于不同的值，应该有不同的结果.”在此问题中，你认为谁说的对呢？说明你的理由.5、试说明331122(24)(42)44m n m n n n ⎛⎫⎛⎫+-+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值与n 无关．面积公式1、通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是：（）A ．()2222——b ab a b a +=B ．()2222b ab a b a ++=+C ．()ab a b a a 2222+=+D ．()()22——b a b a b a =+2、按图中所示的几种方法分割正方形，你有何发现？请将你发现的结论分别用等式表示出来.3、（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方的差的形式）；（2）如图2，若将图1的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；（3）比较图1、图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（用式子表达）．4、如图，正方形卡片A 类、B 类和长方形卡片C 类各若干张，如果要拼一个长为(a ＋2b)、宽为(a ＋b)的大长方形，则需要C 类卡片张．5、例如，由两个边长分别a 、b 、c 为的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成一个新的图形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？简便计算1982 10.5×9.52.39×91+156×2.39－2.39×4722234.0766.3468.0766.3+⨯+个个个m m m 9991999999∙∙∙+∙∙∙⨯∙∙∙()117)17)(17)(17(6842+++++()()()()12121212)12(2842+∙∙∙++++n2006200420052⨯-999910199⨯⨯222)119899(100++200220022001200120012000⨯-⨯222222100994321-+∙∙∙+-+-)1011()411)(311)(211(2222-∙∙∙---数学内应用1、解方程：()()()21212322--+=-a a a2、已知a 、b 、c 、d 为四个连续的奇数，设其中最小的奇数为d=2n-1(n 为正整数),当ac-bd=88时，求出这四个奇数。

七年级~九年级数学公式大全

七年级~九年级数学公式大全1.乘法与因式分解b) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；③$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$；①$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；②$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$；$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$；$(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$。

2.幂的运算性质a^m\times a^n=a^{m+n}$；$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$；$a^0=1$；$(ab)^n=a^n\times b^n$；$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$；$\sqrt[n]{a}=\vert a\vert^{\frac{1}{n}}$；$a^1=a$，特别：$a^0=1(a\neq 0)$。

3.二次根式sqrt{a^2}= \vert a\vert$；$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}$；$\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}>1$（$a>0$，$b\geq 0$）；$\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{(a+b)(a-b)}$（$a\geq b$）。

4.三角不等式a|-|b|\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|$（定理）；加强条件：$||a|-|b||\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|$也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中$a$，$b$分别为向量$\textbf{a}$和向量$\textbf{b}$）；a+b|\leq |a|+|b|$；$|a-b|\leq |a|+|b|$；$|a|\leq b\Leftrightarrow -b\leq a\leq b$；a-b|\geq |a|-|b|$；$-|a|\leq a\leq |a|$。

5.某些数列前$n$项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$；$1+3+5+7+9+11+13+15+\cdots+(2n-1)=n^2$；$2+4+6+8+10+12+14+\cdots+(2n)=n(n+1)$；1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+\cdots+n^2=\dfrac{n( n+1)(2n+1)}{6}$；1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+\cdots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2 }{4}$；1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+5\times 6+6\times 7+\cdots+n(n+1)=\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}$；6.一元二次方程对于方程：$ax^2+bx+c=0$：x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$\Delta=b^2-4ac$叫做根的判别式。

西师版七年级上册数学教材目录

西师版七年级上册数学教材目录第一章我们与数学同行第二章有理数第三章用字母表示数第四章一元一次方程第五章走进图形世界第六章平面图形的认识（一）七年级下册第八章平面图形的认识（二）8.1 探索直线平行的条件8.2 探索平行线的性质8.3 图形的平移8.4 认识三角形8.5 三角形内角和数学活动第九章幂的运算9.1 同底数幂的乘法9.2 幂的乘方与积的乘方9.3 同底数幂的除法第十章从面积到乘法公式10.1 单项式乘单项式10.2 单项式乘多项式10.3 多项式乘多项式10.4 乘法公式10.5 乘法公式的再认识——因式分解第十一章二元一次方程组11.1 二元一次方程11.2 二元一次方程组11.3 解二元一次方程组11.4 用方程组解决问题第十二章图形的全等第十三章数据在我们周围（二）第十四章感受概率八年级上册第一章轴对称图形第二章勾股定理与平方根第三章中心对称图形一第四章数量、位置的变化第五章一次函数第六章数据的集中程度八年级下册第七章利用不等式进行估算第八章分式游戏第九章反比例函数实例调查第十章测量物体的高度第十一章尝试“证明”第十二章估计袋子中红球的白球的数目九年级上册第一章画画.算算第二章矩形绿地中的花圃设计第三章白纸与证明第四章制作冰淇淋纸筒第五章估计时间第六章用计算器模拟实验估计生日相同的概率九年级下册第七章校园景观设计第八章测量建筑物的高度第九章香烟浸出液对种子发芽的影响。

数学中常用的乘法公式有哪些及如何推倒出来？

数学中常⽤的乘法公式有哪些及如何推倒出来？我是中考数学当百荟，我来回答。

对初中⽣⽽⾔，乘法公式分两类：平⽅公式和⽴⽅公式。

其中常⽤的是平⽅公式，现⾏《课标》中已经把⽴⽅公式不做要求了。

平⽅公式包括：平⽅差公式和完全平⽅公式，⽴⽅公式包括：完全⽴⽅公式、⽴⽅和、⽴⽅差公式等。

它们的推导主要有两种⽅式：代数法和⼏何法，两种⽅式相互印证，体现数形结合的思想。

代数⽅法，主要运⽤整体思想和分配律，⼏何⽅法，主要运⽤图形的等（⾯）积变换。

01--乘法公式平⽅公式平⽅差(a-b)(a+b)=a²-b²完全平⽅公式(a-b)²=a²+b²-2ab(a+b)²=a²+b²+2ab⽴⽅公式⽴⽅差(a-b)(a²+b²+ab)=a^3-b^3⽴⽅和(a+b)(a²+b²-ab)=a^3+b^3完全⽴⽅公式(a-b)^3=a^3-3a²b+3ab²-b^3(a+b)^3=a^3+3a²b+3ab²+b^302--乘法公式的推导乘法公式是初中阶段务必掌握的基础内容，也是重点。

对初学者⽽⾔，乘法公式太多了，容易犯死记硬背的⼤忌。

死记硬背绝对是最后的选择，除⾮不能理解，学习没有章法（可想⽽知，死记硬背者，在公式运⽤阶段的那种痛苦和不堪状）。

因⽽学习乘法公式必须弄清楚公式的来龙去脉，掌握公式的推导，推导包括代数法和⼏何法。

理解了，你就会发现其中的规律，理解了，你就会巧妙记忆，将公式归类，在此基础上，你就会发现原来公式并不需要那么多，4个够了，甚⾄1个（分配律）⾜矣!乘法公式的代数法推导，主要依据初中七年级所学的多项式乘法法则，追根溯源，初中所学的多项式的乘法法则，是⼩学所学乘法对加法分配律⽽来。

乘法公式的⼏何法解释除了印证代数法推导的合理解释外，更重要的是其中涉及的数学思想：数形结合。

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