理论力学_定理综合总结

i 1
n
LO2 LO1
M
O
(
I
e i
)
i 1
O—静点 或
n
LC2 LC1
M
C
(
I
e i
)
i 1
C—质心
T 2T1 W
4
基本量的运算
序号 基本量 一般质点系
刚体
1
动量
p mvC
p mvC
2

n

LO roi mivi
解： T

1 2
m2
(v2
cos

v1 )2

(v2
sin )2


1 2
JC

v2 r
2

1 2
m1
v12
动能定理：
球：JC

2 5
m2r 2
1 2
m2
(v2
cos

v1 )2

(v2
sin
)2


v1
C
m2 g v1

v2
v2
m1 g

1 2
JC

动力学
一、矢量动力学
得
三大定理
基础：牛二
到
(建立运动量与力关系)
一
◎质心运动定理(动量定理) ◎动量矩定理
组 独 立
◎动能定理
方
程
从另一个角度分 析动力学问题
二、分析力学
殊途同归
1
第七节 普遍定理综合应用
• 动量定理 – 动量定理、质心运动定理、动量守恒定理
求速度 求加速度与约束力
求速度
• 动量矩定理
两边对t求导： m2 v2a2 v1a1 a1v2 cos v1a2 cos
(1)
2 5
m2v2a2

m1 v1
a1

m2 g
v2
sin
[整体]
“x” m1a1 m2 (a1 a2 cos ) 0
a2

(m1 m2 )a1
m2 cos
v1
代入(1):
mv
2
对瞬心的动量矩：LI

1 ml2
3
2 mvl 3
思考：
是不是每个时刻对该时刻瞬心的动量
矩都可写成：
LI
1 ml2
3
能否对该瞬心使用动量矩定理？形式如何？
如科夫斯基凳的分析
问题： 1、为何凳子的转速会变化？ 2、人与哑铃质点系的动能变化如何？ 3、动能变化是什么力做功引起的？
例1：质量为m1的三角块放置光滑平面上，有一质量为m2的小 球从斜面上滚下(无滑动)。试求：三角块滑动的加速度。
平面（x、y）运动刚体: p LC 0
即质量对称面平行于平面运动平面
7
基本概念
以下说法对不对？
1、任何一个质量不变的质点，其动量发生改变时，质点的动能必有变化。 2、任何一个质量不变的质点，其动能发生改变时，质点的动量不一定变化。 3、如果某质点系的动能很大，则该质点系的动量也一定很大。 4、作平面运动刚体的动能等于它随基点平移的动能和绕基点转动的动能之和。 3、自行车由静止到运动过程中，作用于主动轮上向前的摩擦力作正功。
运动、受力
解： （1）求
由动能定理 T1 0
T2

1 2
J 0 2

1 2

2
mR2

mR2

2

3 4
m R 2
2
W

M
P 2R
k 2
(

2 1


2 2
)
M P 2R k [0 (2 2R 2R)2]
取矩轴约束力不出现，可求加速度
– 对固定点、质心、任意动点的动量矩定理
• 动能定理
只出现做功的力，可求速度加速度
– 动能定理（微分和积分形式）、机械能守恒定理
方便解决只有一个运动未知量(一个自由度)的问题 2
公式归纳
动力学基本定理的基础— 质点动力学基本方程
d(mv) F dt
3
动力学基本定理
平动刚体
T 1 mv2
T

1 2
mvC
2

n i 1
1 2
miviC 2
定轴转动刚体
2
T

1 2
J z 2
Z为转轴
平面运动刚体
C—质心
T

1 2
mvC 2

1 2
JC2
4
功
W C F d r
重力的功：
C Fx d x Fy d y Fz d z 弹性力的功：
W mg(zC1 zC2 )
m2v2a1[
7 5
(m1 m2
m2 )
cos

cos
]

m2
g

v2
sin

C
m2 g v1

v2
v2
m1 g

FN (恰好没有带v1的项)
a1

m2g sin cos
7 5
(m1

m2
)

m2
c
os2

12
例2：匀质圆盘质量为m，半径为R，弹簧刚度为k，CA＝2R为 弹簧原长，在常力矩M作用下，由最低位置无初速度地在铅垂 平面内绕O轴向上转。试求达到最高位置时，轴承O的约束力。
W

1 2
k (12


2 2
பைடு நூலகம்
)
刚体上力矩、力偶的功：W C M d
5
势能
V ( x, y, z) WAA0
重力势能： V mg(zC1 zC0 )
弹性势能：
W

1 2
k
(12


2 0
)
6
动力学问题的方程数
质点
平面
2
空间
3
研究对象 刚体
平面
3
空间
6
刚体的动力学方程数与刚体的运动形式无关。 空间刚体简化为平面刚体,要有条件: 定轴转动刚体: p LO 0 即质量对称面垂直于转轴。
基本概念 填填空！
1、两均质圆盘A，B，质量相等，半径相同。置
于光滑水平面上，分别受到 F，F’ 的作用，
由静止开始运动。若F=F’ ，则在运动开始以
后的任一瞬时，两圆盘动能相比较是
________________。 TA<TB
2、已知均质杆长L，质量为m，端点B的速度为
，则AB杆的动能为：
2 3
序号
定理
微分形式
积分形式
1 动量定理 2 动量矩定理

dp dt

n i 1
Fi e

d LO dt

n M O (Fie )
i 1
O—静点
或 d LC dt

n M C (Fie )
i 1
C—质心
3 动能定理
dT δW

p2 p1
n

I
e i
v2 r
2

1 2
m1 v12
T0

m2 g

x2
sin
FN
两边对t求导： m2 v2a2 v1a1 a1v2 cos v1a2 cos
2 5
m2v2a2

m1
v1
a1

m2
g

v2
sin
11
例2：质量为m1的三角块放置光滑平面上，有一质量为m2的小 球从斜面上滚下(无滑动)。试求：三角块滑动的加速度。
平动刚体：
LO' rO'C mv
i 1
动量矩
LC rO'C p
——O’为任意点
O’—任意点
定轴转动刚体：
Lz Jz
——z为转轴
平面运动刚体： Lz rO'C mvC Jz
——O’为任意点
5
基本量的运算（续）
序号 基本量 一般质点系
刚体
3
动能
柯尼希定理（C为质心）