沪教版(上海)七年级下册 12.6 实数的运算 -教案设计

实数的运算
【教学目标】
一、知识目标
1．了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用。

2．用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算。

3．正确运用公式：
);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b
a 。

4．了解二次根式和最简二次根式的概念。

二、能力目标
1．让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的研究精神和创新能力。

2．能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识。

三、情感目标
通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。

时代在进步，科学在发展，只靠在学校积累的知识已远远不能适应时代的要求，因此在校学习期间应培养学生的能力，具备某种能力之后就能应付日新月异的新问题。

其中类比的学习方法就是一种学习的能力，本节课旨在让学生通过在有理数范围内的法则，类比地学习在实数范围内的有关计算，重要的是培养。

这种类比学习的能力，使得学生在以后的学习和工作中能轻松完成任务。

【教学重难点】
1．用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算。

2．发现规律：);0,0(≥≥⋅=⋅b a b a b a )0,0(>≥=b a b a b
a ，并能用规律进行计算。

【教学过程】
一、师生互动
（一）二次根式的理解
(0a ≥)的式子叫做二次根式。

说明：
1．被开方数大于0；
2(0a ≥)具有非负数的特性。

3．性质：一般地)0(≥a a 是a 的算术平方根，于是有)0()(2≥=a a a 。

练习：
1．若x 23-有意义，则=x ______；
2．要使二次根式1-x 有意义，字母x 的取值必须满足的条件是（ ）
A ．x ≥1；
B ．x ≤1；
C ．x>1；
D ．x<1
3．计算：
（1）2)5
3(； （2）2)32(；
答案：
1．2
3≤x ； 2．A ；
3．解：
（1）5
3)53(2=； （2）1234)3(2)32(222=⨯=⨯=。

（二）师生共析
在有理数范围内，可以进行加、减、乘、除和乘方运算，运算后所得到的数仍然是有理数。

把数从有理数扩充到实数以后，在实数范围内不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且正数和零可以进行开平方和开立方运算，负数可以进行开立方运算。

即：正数和零的平方根是实数，任何一个实数的立方根是实数。

关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立。

1．理解积的算术平方根的性质，必须注意：
（1）被开方数的每一个因子或因式必须是非负数，没有这个条件，性质不成立。

（2）这个公式的作用是化简二次根式，如果被开方数中有的因式（或因子）能开得尽方，
a （a≥0），将这些因式（或因子）开出来，因此化简二次根式时，一般先将被开方数进行因式分解或因子分解。

（3）积的算术平方根的性质对于当因子是三个或三个以上时仍然成立。

如：abcd ＝a ·b ·c ·d （a≥0，b≥0，c≥0，d≥0）。

（4）积的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的乘法公式，即a ·b ＝ab （a ≥0，b≥0），运用这个公式可以进行简单的二次根式的乘法运算。

2．二次根式的性质：
ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)，
b a ＝b
a (a ≥0，b>0)。

（三）利用性质化简
师：利用你自学的知识，说一说什么样的二次根式需要化简
生：被开方数中能分解因数。

且有些因数能开出来。

这时就需要对其进行化简。

生：被开方数中含有分母，需要化简，化简后被开方数中没有了分母。

如：224
24221===。

师：如果被开方数中含有分母，要把分子分母同时乘以某一个数，使得分母变成一个能开出来的数，然后把分母开出来，使被开方数中没有了分母。

（四）最简二次根式
师生共析：最简二次根式所满足的条件：
条件1：即为被开方数不含分母；
条件2：即为被开方数的每一个因子或因式的指数都小于根指数。

要判断一个根式是否为最简二次根式，两个条件缺一不可。

（五）引导学生小结
1．化二次根式为最简二次根式的方法：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成
分式的形式，然后利用分母有理化化简。

（2）如果被开方数是整数或整式，先将它分解因子或因式，然后把能开得尽方的因子或因式开出来，从而将式子化简。

2．二次根式的化简应注意以下问题：
（1）被开方数含有带分数，通常化成假分数。

（2）被开方数是和、差的形式，应把它分解因式，化成积的形式。

（3）根号内的分子或分母移到根号外时，应保留其对应的位置（即原来是分母的移到根号外后还是分母）。

（4）在整个化简过程中应注意符号问题，特别是注意被开方数是非负数这个隐含条件。