高中数学讲义微专题45 均值不等式
均值不等式讲义
均值不等式均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一，在形式上均值不等式比较简单，但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件（正、定、等）。
1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3. 均值不等式链：若b a 、都是正数，则2211222b a b a ab b a +≤+≤≤+，当且仅当b a =时等号成立。
（注：以上四个式子分别为：调和平均数、几何平均数、代数平均数、加权（平方）平均数）一、 基本技巧技巧1：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧2：分离配凑例 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧3：利用函数单调性例 求函数2y =的值域。
技巧4：整体代换例 已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。
典型例题1. 若正实数X ，Y 满足2X+Y+6=XY ， 则XY 的最小值是2. 已知x ＞0,y ＞0，x,a,b,y 成等差数列，x,c,d,y 成等比数列，则()cdb a 2+的最小值是( )A.0B.1C.2D. 43. 若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1］恒成立，则a 的取值范围为( )A.[)+∞,0B.[)+∞-,4C.[)+∞-,5D.[]4,4-4. 若直线2ax+by-2=0 （a,b ∈R +）平分圆x 2+y 2-2x-4y-6=0，则a 2+b1的最小值是( )A.1B.5C.42D.3+225. 已知x>0,y>0，x+2y+3xy=8,则x+2y 的最小值是 .6. 已知,x y R +∈，且满足134xy +=，则xy 的最大值为 .7. 设0,0.a b >>1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为( ) A 8 B 4 C 1 D 148. 若正数x ，y 满足x +3y =5xy ，则3x +4y 的最小值是 ( ) A. 245 B. 285C.5D.6 9. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①1ab ≤； ≤ ③ 222a b +≥； ④333a b +≥；⑤112a b+≥ 10.设0a ＞b ＞，则()211a ab a a b ++-的最小值是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）411.下列命题中正确的是A 、1y xx=+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2C 、423(0)y x x x =-->的最大值是2-D 、423(0)y x x x =-->的最小值是2-12. 若21x y +=，则24x y +的最小值是______。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式是高中数学中特别重要的一门学科，了解它对我们今后的学习和理解更深入的数学知识都至关重要。
首先，什么是均值不等式？简单来说，它是一条数学不等式，描述了不同给定数字之和与它们之差之间的联系。
其标准表达式为：a +b 2×√(ab)在这个不等式中，a和b是变量，代表任意实数。
关于这个不等式，我们可以推出以下的一些常用的结论。
1.a = b时，不等式成立。
此时a + b = 2b 2×√(ab)2.a > b时，不等式仍然成立。
此时a + b >2b 2×√(ab)3.a < b时，不等式仍然成立。
此时a + b <2b 2×√(ab)以上3点可以概括为：a + b 2×√(ab)，这就是均值不等式。
虽然它不能说明任何一个具体的数字，但它可以说明任何给定2个数字之和与它们之差之间的联系。
均值不等式可以用来证明各种更复杂的数学不等式，比如三角不等式，相似例子中也可以应用均值不等式。
比如，已知有三条边a,b,c，想要证明它们之间的三角不等式：a + b > c可以用均值不等式推导：a +b 2×√(ab)a + b(a + b)√(a + b) = c所以有：a +b c可以得出结论a + b > c。
另外，均值不等式也可以用来证明其他数学理论。
比如，在概率论中，可以使用均值不等式来证明事件A与事件B的独立性。
以上就是均值不等式在高中数学中的一般介绍。
一般来说，学习均值不等式能够帮助我们更好的理解和应用数学，在日常生活中也能够有所应用，帮助我们更快的解决问题。
因此，当我们学习数学的时候，不要忽视均值不等式，它给我们带来的好处太多了。
均值不等式法
均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。
它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。
本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。
首先，我们来介绍均值不等式的定义。
均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。
其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。
在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。
对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。
由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。
接下来，我们来证明这三个均值不等式。
首先是算术均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。
证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。
根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。
所以上述不等式恒成立。
证毕。
其次是几何均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。
均值不等式课件
在极值问题中的应用
总结词
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法。
详细描述
在求解函数的极值时，均值不等式可以为我们提供重 要的解题技巧和方法
04
均值不等式的推广
柯西不等式的定义与证明
柯西不等式的定义
$||x|| \cdot ||y|| \geqslant ||x \cdot y||$，其中$x, y$为向量，$||\cdot ||$表示向量的模。
要点一
均值不等式的概念
要点二
均值不等式的形式
均值不等式是数学中的一个重要不等 式，表示两个或多个正数的平均数与 它们的几何平均数之间的关系。
常见的均值不等式包括基本均值不等 式、柯西均值不等式、排序均值不等 式等。
要点三
均值不等式的证明
均值不等式的证明方法有多种，包括 利用导数证明、利用矩阵的迹证明、 利用矩阵的行列式证明等。
中等。
在物理中的应用
02
柯西不等式可以用于量子力学中的不确定关系和力学中的最小
作用量原理等。
在经济学中的应用
03
柯西不等式可以用于金融领域中的投资组合理论和风险评估等
。
柯西不等式的推广
向量形式的推广
对于任意的向量$x_1, x_2, ..., x_n$和$y_1, y_2, ..., y_n$，有$(x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2) \cdot (y_1^2 + y_2^2 + ... + y_n^2) \geqslant (x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n)^2$
在数列求和中的应用
高一数学辅导讲义11---均值不等式
高一数学辅导讲义----均值不等式【高考导航】历年来高考以选择题或填空题的形式考查利用均值不等式求最值的问题．利用均值不等式求最值的前提是“一正二定三相等”．需通过变形技巧，得到“和”或“积”为定值的情形．均值不等式作为求最值的工具，渗透在许多方面，应用非常广泛【知识要点】1、主要公式：（1）重要不等式若a b R ∈、,则222a b ab +≥22(2||2)a b ab ab +≥≥或（当且仅当a b =时取等号）。
（2）均值不等式如果a b 、都是正数，那么 2a b +≥（当仅当a b =时取等号）。
（其中2a b +叫做a b 、a b 、的几何平均数） （3）变形：①ab ≤222a b +，②ab ≤2()2a b +；222a b +≥2()2a b + 2、最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：①如果P 是定值, 那么当x y =时，S 的值最小；②如果S 是定值, 那么当x y =时，P 的值最大.注意：使用均值不等式求最值时要注意以下几点：①前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设条件；还要注意选择恰当的公式；②“和定积最大，积定和最小”，可用来求最值；③均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。
【思维方法】1、用均值不等式求函数最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用公式求出最值；2、利用均值不等式求最值时一定要注意使用条件：一正二定三相等，三者缺一不可。
如均值不等式法无效，一般可改用单调性法求解。
【基础自测】1.已知0,x ≠当x 为何值时，2281x x +有最小值？最小值为多少？ 2、若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是 （ ）A 、222a b ab +>B 、a b +≥、11a b +>、2b a a b +≥ 3、下列函数中，最小值为22的是（ ）A 、x x y 2+=B 、)0(sin 2sin π<<+=x x x yC 、x x e e y -+=2D 、2log 2log 2x x y +=【应用举例】 例1、已知0,x >则423x x --是否存在最大最小值？若存在，则求出其最值。
数学：《均值不等式》课件
练习：已知a，b为正数，且ab a b 3，则 a b的取值范围
二、均值不等式的应用---求最值
例、（1）一个矩形的面积为100m2，问这个矩形 的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长 是多少？ （2）已知矩形的周长为36m，问这个矩形的长宽 各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？
当且仅当
2b a 即: a 2b 时取“=”号 a b
即此时
1 a 2b b 而 2 2 a 2b 1 2 a 2 2
zmin 3 2 2
3 1.若x>0,当x= 时,函数 y x 的最小值是 x 4 2.若x>0,当x= 时,函数 y 9 x 有最 值 x 1 3.若x>4,函数 y x 当x= 时,函数有最
1 练习： (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值; 3 1 (1)已知0 x , 求函数y x(1 3 x)的最大值. 3
均值不等式的推广
abc 3 推广 : abc 3
当a1,a2, … ,an是正数时 (当且仅当a=b=c时取“=”号)
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。
利用均值不等式求函数最值的步骤:
12 12 此时x=_______. 2 3 x的最小值为_______; 练习1)若x>0,f(x)= x 12 -12 此时x=_______. -2 3 x的最大值为_______; 若x<0,f(x)= x
1 (x ≥ 0)的最小值为______,此时x=______. x 1
二不定, 需变形
例.a, b是正数且a b 4，求ab的最值
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
高中数学均值不等式讲解
高中数学均值不等式讲解一、教学任务及对象1、教学任务本次教学任务是以“高中数学均值不等式”为主题，对高中学生进行系统的讲解与训练。
均值不等式是高中数学中的一个重要内容，它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在实际应用中也具有广泛价值。
通过本节课的学习，使学生掌握均值不等式的概念、性质和应用，培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
2、教学对象教学对象为高中学生，他们已经具备了一定的数学基础和逻辑思维能力。
在这个阶段，学生们的思维逐渐从具体形象向抽象逻辑转变，他们对于数学问题的理解和解决能力也在不断提高。
因此，针对这个阶段的学生，教学过程中应注重启发式教学，引导学生主动探究、发现和解决问题，提高他们的数学素养。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握均值不等式的定义，包括算术平均数和几何平均数；（2）掌握均值不等式的证明方法，并能够灵活运用；（3）学会运用均值不等式解决实际问题，如求最大（小）值、证明不等式等；（4）通过均值不等式的学习，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
2、过程与方法（1）通过问题导入，引导学生自主探究均值不等式的概念，培养学生的自主学习能力；（2）采用比较、分析、归纳等教学方法，帮助学生掌握均值不等式的证明方法和应用，提高他们的逻辑思维能力；（3）设置典型例题，让学生在实践中掌握均值不等式的应用，培养他们分析问题和解决问题的能力；（4）鼓励学生进行合作学习，互相讨论，共享学习成果，提高他们的沟通能力和团队协作能力。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学的兴趣，激发他们学习数学的热情，使他们形成积极向上的学习态度；（2）通过均值不等式的学习，让学生认识到数学在生活中的广泛应用和价值，增强他们学习数学的信心；（3）教育学生尊重事实，遵循逻辑，树立正确的价值观，培养他们严谨、踏实的学术作风；（4）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，使他们具备面对挑战、克服困难的勇气和信心；（5）通过小组合作，培养学生团结协作、互助互爱的良好品质，提高他们的集体荣誉感和社会责任感。
《均值不等式》课件
05式
总结词
广义均值不等式是对于任意非负实数，其算术平均数总是大于或等于其几何平均数。
详细描述
对于任意非负实数 $x$ 和 $y$，有 $frac{x+y}{2} geq sqrt{xy}$。这个不等式在数学和物理中有广泛的应用，特 别是在优化和不等式证明中。
证明
利用切比雪夫不等式的定义和放缩技巧，通过代数变换和数学归纳法，可以得到上述不等式成立。
04
均值不等式的应用
在最优化问题中的应用
均值不等式可以用于解决最优化问题，例如最大值和最小值问题 。通过应用均值不等式，可以找到函数的最优解，使得函数取得 最大或最小值。
均值不等式在解决最优化问题时，可以提供一种有效的数学工具 ，帮助我们找到最优解，并理解函数的性质和行为。
均值不等式的数学符号表示
• 均值不等式的数学符号表示为：对于任意正实数$a_1, a_2, ..., a_n$，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时等号成立。
详细描述
均值不等式的可加性是指，如果一组 数$a_1, a_2, ..., a_n$都大于等于0， 那么这组数的算术平均数大于等于它 们的平方和的几何平均数。
均值不等式的乘除性
总结词
如果$a > 0, b > 0$，那么$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$；如果$a > 0, b < 0$，那么$frac{a+b}{2} < sqrt{ab}$。
高中数学 均值不等式
高中数学均值不等式均值不等式是高中数学中一个基本的结果，它对于研究许多数学问题有重要意义。
以下是关于均值不等式的详细介绍：通常情况下，均值不等式可以定义为：若存在一组实数（x1,x2,x3,...,xn)，则存在一个实数a，使得x1 + x2 + x3 + ... + xn na其中，n为实数序列中元素的个数，a为实数序列中每个元素的平均值。
由于均值不等式的存在，使得研究许多数学问题变得简单。
以最简单的情况为例，若 x1=x2=...=xn，则有x1 + x2 + x3 + ... + xn = nx1当x1=a，即均值，则有x1 + x2 + x3 + ... + xn na因此，均值不等式一定成立。
另外，存在一些特殊情况，也可以使用均值不等式。
例如，设有一组实数（x1, x2,..., xn），其中只有一个数与其它数不同，则将不同的数记为x0，可以得到：x0 + x1 + x2 + ... + xn na其中，a为实数序列中除x0以外的每个元素的平均值。
因此，均值不等式也可以用于特殊情况。
有了均值不等式，研究许多数学问题变得更加容易。
此外，均值不等式也可以应用于证明一些数学定理。
例如，可以使用均值不等式来证明定理：假设有一组实数（x1,x2,...,xn），其中有至少一个实数小于均值a，则x1 + x2 + x3 + ... + xn < na显然，以上这一命题可以通过均值不等式得到证实，因此，均值不等式是一个很有用的定理。
另外，均值不等式也可以用于解决实际中的问题。
例如，在企业管理中，有时候需要评估一组员工的绩效，此时可以利用均值不等式来做出有效的决策。
在总结上，均值不等式是高中数学中一个重要的结果，其在解决许多数学问题、证明数学定理和解决实际问题等方面都有重要的作用。
均值不等式课件
汇报人： 2024-01-01
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的推广 • 均值不等式的习题与解析
01
均值不等式的定义
定义及公式
定义
均值不等式是数学中的一个基本概念 ，它表示对于任意正实数，其算术平 均值总是大于或等于其几何平均值。
公式
对于任意正实数 $a_1, a_2, ..., a_n$， 有 $frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdot ... cdot a_n}$。
适用条件
正实数
均值不等式只适用于正实数，因 为当数不是正数时，算术平均值 和几何平均值的比较关系就不一
0$，$b > 0$。
进阶习题3
求证$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{4}$，其
中$a > 0$，$b > 0$。
高阶习题与解析
高阶习题1
求证$frac{a_1+a_2+cdots+a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$，其中$a_1, a_2, ldots, a_n > 0$。
M-GM不等式的推广形式
对于非负实数，算术平均数始终大于或等于几何平均数，当且仅当所有数相等时取等号 。
应用场景
在解决最值问题、求函数极值、证明不等式等方面有广泛应用。
柯西不等式的推广
柯西不等式的推广形式
对于任意的正实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2，当且仅 当ai/bi = const.时取等号。
均值不等式课件
03
解答1
解答2
解答3
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq sqrt{ab}$进行平方，得到 $(a+b)^2 geq 4ab$。然后，我们展 开并整理得到$(a-b)^2 geq 0$，由 于平方数总是非负的，所以原不等式 成立。
首先，我们将原不等式$frac{a+b}{2} geq frac{sqrt{a^2+b^2}}{2}$进行 平方，得到$(a+b)^2 geq a^2+b^2$。然后，我们整理得到 $ab geq 0$，由于$a > 0$且$b > 0$，所以$ab geq 0$成立，原不等 式也成立。
CHAPTER
03
均值不等式的证明方法
代数证明方法
代数证明方法是通过代数运算来 证明均值不等式的一种方法。
常用的代数证明方法包括比较法 、反证法、归纳法等。
这些方法通常需要使用基本的代 数公式和不等式性质，通过一系 列的推导和变换来证明均值不等
式。
几何证明方法
几何证明方法是利用几何图形和 面积来证明均值不等式的一种方
均值不等式ppt课件
CONTENTS
目录
• 均值不等式的定义 • 均值不等式的性质 • 均值不等式的证明方法 • 均值不等式的应用 • 均值不等式的变体 • 习题与解答
CHAPTER
01
均值不等式的定义
均值不等式的文字描述
• 均值不等式的文字描述为：“对于任意正数$a_1, a_2, ..., a_n$ ，有$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \geq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n}$，当且仅当$a_1 = a_2 = ... = a_n$ 时取等号。”
均值不等式常用公式
均值不等式常用公式均值不等式是数学中常用的重要不等式之一，可以用来描述一组数的大小关系。
在实际应用中，均值不等式常被用来求解最优化问题、证明其他不等式以及推导数学结论等等。
本文将介绍常用的均值不等式公式，并逐一解释其几何意义和使用方法，以帮助读者更好地理解和应用均值不等式。
一、算术均值不等式（AM-GM不等式）算术均值不等式是最基本的均值不等式，也是最常见的一种。
对于任意正实数 x1, x2, ..., xn，有以下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn)/n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)解释：这个不等式告诉我们，对于一组正实数，它们的算术均值（即平均数）一定大于等于它们的几何均值的开方。
几何均值指的是将这些数进行乘积后开根号得到的值。
应用：算术均值不等式常被用来求解最优化问题，例如确定一组数的最小值或最大值。
此外，它也常被用来证明其他不等式，以及推导其他数学结论。
二、几何均值不等式（GM-HM不等式）几何均值不等式是另一种常用的均值不等式，也被称为GM-HM不等式。
对于任意正实数 x1, x2, ..., xn，有以下不等式成立：√(x1 * x2 * ... * xn) ≥ n/(1/x1 + 1/x2 + ... + 1/xn)解释：几何均值不等式告诉我们，一组正实数的几何均值一定大于等于它们的调和均值倒数的倒数。
调和均值的倒数是将这些数的倒数进行算术平均后再取倒数得到的值。
应用：几何均值不等式常被用来证明其他不等式，以及推导数学结论。
它也可以用于最优化问题的求解，求出一组数的最小值或最大值。
三、均值不等式的推广除了常见的AM-GM和GM-HM不等式，均值不等式还有其他一些推广形式，如以下两个常见的不等式：1. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)2. 切比雪夫不等式（Chebyshev不等式）：对于任意实数 a1, a2, ..., an 和 b1, b2, ..., bn（其中b1≥b2≥...≥bn），有以下不等式成立：(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)/n ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn)/n^2这些推广形式的不等式在解决特定问题时，能够更灵活地运用于不同的数学领域中。
均值不等式课件
要点二
基于柯西-施瓦茨不等式的证明
考虑两个向量x和y，它们的柯西-施瓦茨不等式为 $\sum_{i=1}^n x_i^2 \cdot \sum_{i=1}^n y_i^2 \geq (\sum_{i=1}^n x_iy_i)^2$。当且仅当存在一个实数k，使 得x=ky时等号成立。将这个不等式两边同时除以4，得到 $\frac{(x+y)^2}{4} \geq (xy)^2$，即$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$。当且仅当x=y时等号成立。
基于均值不等式的经济模型研究
总结词
经济分析工具
VS
详细描述
在经济模型的研究中，均值不等式常常被 用作一种重要的分析工具。例如，在研究 经济增长、通货膨胀、就业等问题时，可 以通过运用均值不等式来分析这些问题的 内在机制和规律。
基于均值不等式的决策理论研
总结词
决策理论应用
详细描述
在决策理论中，均值不等式被广泛应用于风 险型决策、不确定型决策以及多目标决策等 问题中。通过运用均值不等式，可以获得各 种决策问题的最优解，从而实现决策的科学 化和最优化。
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应用
柯西不等式在数学多个领域有着广 泛的应用，如几何、分析学等。
贝努利不等式
1 2
内容
贝努利不等式是概率论和统计学中的重要不等式 ，它表述了对于任意实数a,b,有$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
公式
$e^(a+b) \geq e^a+b^b$
3
应用
贝努利不等式在概率论、统计学、经济学等领域 有着广泛的应用。
在投资组合理论中，CAPM模型利用均值不等式来衡量投资者对某项资产的预期 收益以及风险厌恶程度。根据均值不等式，资产的预期收益越高，其风险也越高 ，投资者需要根据自身风险承受能力来选择合适的投资策略。
高中均值不等式讲解及习题
高中均值不等式讲解及习题一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x xxx+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+ab ba (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x2（2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x 2＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
高一数学均值不等式的讲解
高一数学均值不等式的讲解一、教学任务及对象1、教学任务本节课的教学任务是向高一学生详细讲解数学中的均值不等式。
均值不等式是高中数学中的一个重要内容，不仅涉及到数学知识的理解和应用，而且对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略选择有着重要作用。
通过本节课的学习，学生应当掌握均值不等式的定义、性质，能够运用均值不等式解决实际问题，并理解其在几何与代数学习中的应用。
2、教学对象教学对象为高中一年级学生，他们在先前的数学学习过程中已经掌握了基本的代数运算和不等式的简单知识，具有一定的数学思维和问题解决能力。
然而，均值不等式作为一个相对抽象和复杂的概念，学生可能在理解和应用上存在一定难度。
因此，本节课将针对学生的实际情况，采取适当的教学策略，帮助他们构建知识框架，提高解决问题的能力。
同时，考虑到学生个体差异，教学中将注重分层指导，确保每位学生都能在原有基础上得到提高。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握均值不等式的定义，包括算术平均数和几何平均数的关系；（2）学会运用均值不等式解决具体数学问题，例如求最值、证明不等式等；（3）能够运用均值不等式解决实际生活中的问题，培养将数学知识应用于现实情境的能力；（4）掌握均值不等式的证明方法，理解其内在逻辑关系，提高学生的逻辑推理能力；（5）通过均值不等式的学习，提高学生的数学运算能力和数学思维能力。
2、过程与方法（1）通过引导式教学，激发学生的探究欲望，让学生在探索中发现均值不等式的性质和规律；（2）采用问题驱动法，设置不同难度的练习题，让学生在实践中掌握均值不等式的应用方法；（3）鼓励学生进行小组讨论，培养学生团队合作精神，提高学生的交流表达能力；（4）利用多媒体教具和实际案例，使抽象的数学概念形象化，降低学习难度，提高学习兴趣；（5）指导学生总结学习方法，形成适合自己的学习策略，提高学习效率。
3、情感，态度与价值观（1）培养学生对数学学习的兴趣和热情，使其认识到数学知识在现实生活中的重要性；（2）培养学生勇于探索、敢于挑战的精神，面对困难时不轻言放弃；（3）通过均值不等式的学习，引导学生认识到事物之间的内在联系，培养学生的整体观念；（4）培养学生严谨、踏实的学术态度，注重数学思维的培养和逻辑推理能力的提高；（5）引导学生树立正确的价值观，认识到数学知识的学习不仅是为了考试，更是为了解决实际问题，为社会发展做出贡献。
高一数学讲义( 均值不等式及其应用)
均值不等式及其应用【知识点】1．常用方法与结论：①ba ab b a 110,<⇒>>（倒数关系） ②222243)2(b b a b ab a ++=++（配方） ③222)2(2b a b a +≥+2．均值不等式：(1)公式：ab b a 222≥+；ab ba ≥+2(2)运用过程中注意：“一正、二定、三相等”【例题】例1．(1)已知x >0，y >0，且191x yx y +=+，求的最小值 (2)求函数254+++=x x x y 的最小值(3)设实数m ，n ，x ，y 满足m n x y 222249+=+=，，求mx +ny 的最大值。
例2．若2424243+++++=++∈+c b a c b a R c b a ，求，，，的最大值例3．(1)已知正数a 、b 满足2322a b +=，求a b 21+的最大值(2)已知a b >>0，求a b a b 216+-()的最小值(3)设0142<<=+x y x x ，求函数log log 的最值例4、已知0,0x y ≥≥，求证211()()24x y x y +++≥【练习】1．设0,0>>b a ，且4=+b a ，则有 ( ) (A)211≥ab (B)111≥+b a (C)2≥ab (D)41122≥+b a 2．设M ＝)11)(11)(11(---cb a ，且1=++c b a )0,0,0(>>>c b a ，则M 的取值范围是( )(A)[0，)81 (B)[81，1) (C)[1，8） (D)[8，)+∞3． 已知不等式9)1)((≥++y ax y x 对任意正实数y x ,恒成立，则正实数a 的最小值为( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 4．设c b a ,,是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是 ( ) (A)||||||c b c a b a -+-≤- (B)aa a a 1122+≥+ (C)21||≥-+-ba b a (D)a a a a -+≤+-+2135． 若0,,>c b a 且324)(-=+++bc c b a a ，则c b a ++2的最小值为 ( ) (A)13- (B)13+ (C)232+ (D)232-6．设0>x ，x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=，则P 、Q 的大小关系为 （ ） (A).P Q ≥ (B) P Q ≤ (C) P Q > (D) P Q <7．设a y x y x y x ≤+=+>>，则，，100恒成立的a 的最小值是 ( ) (A)22(B)2(C) 2(D)228．设+∈R b a ,，且1≥--b a ab ，则有 （ ） (A))12(2+≥+b a (B))12(2+≤+b a (C))12(2+<+b a (D))12(2+>+b a9．若不等式012≥++ax x 对一切]21,0(∈x 成立，则a 的最小值为 ( )(A)0 (B)2- (C)25- (D)3-10．对一切实数x ，当实数),0(,,b a a c b a <≠变化时，所有二次函数c bx ax x f ++=2)(的值恒为非负实数，则ab cb a M -++=的最小值是 ( )(A)21 (B)31(C)2 (D)311．已知c b a >>，求证：ac c b b a -+-+-411≥012、若对一切a>b>c,不等式ca nc b b a -≥-+-11恒成立,求n 的最大值.13、已知a 、b 为两个正常数，x>0,y>0,且1=+ybx a ,求x+y 的最小值.14、求证：βαβαβαsin sin sin sin 1sin sin 22++≥++，并指出等号成立的条件。
人教版高一数学课件-均值不等式及其应用
一、基础经典题
[课堂一刻钟巩固训练]
1．下列不等式中，正确的是
()
A．a＋4a≥4
B．a2＋b2≥4ab
C. ab≥a＋2 b
D．x2＋x32≥2 3
解析： a<0，则 a＋4a≥4 不成立，故 A 错；a＝1，b＝1，
a2＋b2<4ab，故 B 错，a＝4，b＝16，则 ab<a＋2 b，故 C 错；
4＋2 2≈6.828(m)(当且仅当 a＝b 时，取等号)．因为要求够
用且浪费最少，故选 C.
Байду номын сангаас
答案：C
2．[利用均值不等式求实际问题中的最大值]某公司购买一批机 器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的 总利润 y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系为 y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年 时，年平均利润最大，最大值是________万元． 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为xy＝18－x＋2x5， 且 x>0，故xy≤18－2 25＝8，当且仅当 x＝5 时等号成立，此 时年平均利润最大，最大值为 8 万元．
()
答案：(1)× (2) √ (3)× (4)√
2．设 x，y 满足 x＋y＝40，且 x，y 都是正数，则 xy 的最大值
是
()
A．400
B．100
C．40
D．20
解析：∵ xy≤x＋2 y(x>0，y>0)，∴xy≤x＋2 y2＝4202＝400. 当且仅当 x＝y＝20 时，等号成立．
答案：A
[方法技巧] 利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项
策略
從已證不等式和問題的已知條件出發，借助不等 式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最 後轉化為所求問題，其特徵是以“已知”看“可 知”，逐步推向“未知”．
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微专题45 利用均值不等式求最值一、基础知识：1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=（1）调和平均数：12111n nnH a a a =+++（2）几何平均数：2n n G a = （3）代数平均数：12nn a a a A n+++=（4）平方平均数：2nn a Q n++=2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===特别的，当2n =时，22G A ≤⇒2a b+≤即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：（1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求23y x x =+的最小值。
此时若直接使用均值不等式，则23y x x=+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。
① 求和的式子→乘积为定值。
例如：上式中24y x x =+为了乘积消掉x ，则要将3x拆为两个2x，则22422y x x x x x =+=++≥=② 乘积的式子→和为定值，例如302x <<，求()()32f x x x =-的最大值。
则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2112329322322228x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
5、常见求最值的题目类型（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求32x y+的最小值 解：()3232942366y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭94121224y x x y =++≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭ 所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥-，即()min 24x y +=-注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈ 二、典型例题：例1：设1x >-，求函数(5)(2)1x x y x ++=+的最小值为_______________思路：考虑将分式进行分离常数，(5)(2)41511x x y x x x ++==+++++，使用均值不等式可得：59y ≥+=，等号成立条件为4111x x x +=⇒=+，所以最小值为9 答案：9例2：已知0,0x y >>，且115x y x y+++=，则x y +的最大值是________ 思路：本题观察到所求x y +与11x y+的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即2114112x y x y x yx y+≤⇒+≥++，代入方程中可得： ()()()()245540x y x y x y x y ++≤⇒+-++≤+，解得：14x y ≤+≤，所以最大值为4 答案：4例3：已知实数,m n ，若0,0m n ≥≥，且1m n +=，则2221m n m n +++的最小值为（ ） A.14 B. 415 C. 18 D. 13思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。
考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简化。
2241212121m n m n m n m n +=-+-++++++，结合分母可将条件1m n +=，变形为()()214m n +++=，进而利用均值不等式求出最值解：222244114121212121m n m n m n m n m n m n -+-++=+=-++-+++++++()4141322121m n m n m n =+-++=+-++++ ()()1214m n m n +=⇒+++= ()()()414141112214121214421n m m n m n m n m n +⎛⎫+⎛⎫∴+=+⋅+++=+++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭19544⎛≥+= ⎝ 229122144m n m n ∴+≥-=++，即2221m n m n +++的最小值为14答案：A例4：已知正实数,x y 满足24xy x y ++=，则x y +的最小值为__________思路：本题所求表达式x y +刚好在条件中有所体现，所以考虑将x y +视为一个整体，将等式中的项往x y +的形式进行构造，()()()21xy x y xy x x y x y x y ++=+++=+++，而()1x y +可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于x y +的不等式，解不等式即可解：()()()24414xy x y xy x x y x y x y ++=⇔+++=⇔+++=()()2112x y x y ++⎡⎤+≤⎢⎥⎣⎦ ∴方程变形为：()()2142x y x y ++⎡⎤++≥⎢⎥⎣⎦()()21416x y x y ∴++++≥⎡⎤⎣⎦()()26150x y x y ∴+++-≥解得：3x y +≥= 答案：()x y +的最小值为3 例5：已知20a b >>，则4(2)a b a b +-的最小值为______________思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为()2b a b -，所以可将a 构造为()112222a a b b ⋅=⋅-+⎡⎤⎣⎦，从而三项使用均值不等式即可求出最小值：4181(2)3(2)2(2)2a a b b b a b b a b ⎡⎤+=-++≥⋅=⎢⎥--⎣⎦ 思路二：观察到表达式中分式的分母()2b a b -，可想到作和可以消去b ，可得()()2222b a b b a b a +-⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦，从而244(2)a a b a b a +≥+-，设()24f a a a =+，可从函数角度求得最小值（利用导数），也可继续构造成乘积为定值：()24322a a f a a =++≥= 答案：3小炼有话说：（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解 （2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元（3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。
所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验 例6：设二次函数()()24f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞，则1919c a +++的最大值为__________思路：由二次函数的值域可判定0a >，且04ac ∆=⇒=，从而利用定值化简所求表达式：19918918511999913913a c a c c a ac a c a c a c +++++====++++++++++，则只需确定9a c +的范围即可求出1919c a +++的最值。
由均值不等式可得：912a c +≥，进而解出最值 解：二次函数()()24f x ax x c x R =-+∈的值域为[)0,+∞164040ac ac a ∆=-=⇒=⎧∴⎨>⎩()()()9911991891851191999913913a c a c a c c a c a ac a c a c a c ++++++++====++++++++++++912a c +≥=195611912135c a ∴+≤+=+++ 答案：65例7：已知,,x y z R +∈，则222xy yzx y zμ+=++的最大值是________ 思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分子与分母能够将变量消掉，观察分子为,xy yz 均含y ，故考虑将分母中的2y 拆分与22,x z 搭配，即22222221122xy yz xy yzx y z x y y z μ++==++⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而222211,22x y z y +≥=+≥=，所以μ≤=答案：2小炼有话说：本题在拆分2y 时还有一个细节，因为分子,xy yz 的系数相同，所以要想分子分母消去变量，则分母中,xy yz 也要相同，从而在拆分2y 的时候要平均地进行拆分（因为22,x z 系数也相同）。
所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。
例8：已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的,x y ，都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为________思路：首先对恒成立不等式可进行参变分离，()1a x y x y≤+++。
进而只需求得()1x y x y+++的最小值。
将x y +视为一个整体，将3x y xy ++=中的xy 利用均值不等式换成x y +，然后解出x y +的范围再求最小值即可 解：()21()()10x y a x y a x y x y+-++≥⇒≤+++ ,0x y > 22x y xy +⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭232x y x y xy +⎛⎫∴++=≤ ⎪⎝⎭()()2412x y x y ∴++≤+ 解得：6x y +≥或2x y +≤-（舍）()min 1137666x y x y ⎡⎤∴++=+=⎢⎥+⎣⎦ （在6x y +=时取得） 376a ∴≤例9：已知1,0,0x y y x +=>≠，则121x x y ++的最小值是___________ 思路：观察到所求121x x y ++的两项中x 部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘积为定值，所以结合第二项的分母变形12x的分子。