【VIP专享】物理化学 03-05Maxwell关系式
物理化学maxwell关系式推导
物理化学maxwell关系式推导物理化学的maxwell关系式是一种非常重要的方程式，它描述了热力学系统中各种物理量之间的关系。
其中最为著名的就是关于熵（S）、温度（T）、压强（P）和体积（V）之间的四个关系式，可以用来计算和预测系统中的热力学性质。
下面我们将对这四个关系式进行详细的推导和解释。
首先，我们来看熵和温度之间的关系式，即：(1) (S/V)T = (P/T)V这个关系式描述了熵的体积导数与温度的关系，也就是说，在恒定温度下，系统中的熵随着体积的变化而变化，其变化率与温度有关。
这个关系式的推导涉及到热力学第一定律和热力学第二定律，具体推导过程可以参考相关教材和论文。
接下来是熵和压强之间的关系式，即：(2) (S/P)T = -(V/T)P这个关系式描述了熵的压强导数与温度的关系，也就是说，在恒定温度下，系统中的熵随着压强的变化而变化，其变化率与温度有关。
这个关系式的推导同样也涉及到热力学第一定律和热力学第二定律。
然后是体积和温度之间的关系式，即：(3) (V/T)P = (S/P)T / (S/V)T这个关系式描述了体积的温度导数与熵的压强和体积导数的比例关系，也就是说，在恒定压强下，系统中的体积随着温度的变化而变化，其变化率与熵的压强和体积导数的比例有关。
最后是体积和压强之间的关系式，即：(4) (V/P)T = -(S/P)T / (S/V)T这个关系式描述了体积的压强导数与熵的压强和体积导数的比例关系，也就是说，在恒定温度下，系统中的体积随着压强的变化而变化，其变化率与熵的压强和体积导数的比例有关。
以上就是maxwell关系式的四个基本方程式的推导过程和含义。
这些关系式为我们研究和理解热力学系统提供了有力的工具和方法，也为我们预测和设计新的热力学系统提供了重要的指导。
maxwell关系式推导
maxwell关系式推导Maxwell关系式是材料学和热力学中使用的一系列重要的关系式。
这些关系式用来描述物质的性质如何随着温度、压力和其他物理量的变化而变化。
在本文中，我们将讨论如何推导Maxwell方程式以及它们的应用。
Maxwell方程式的推导可以从熵的定义开始。
根据热力学的第二定律，熵被定义为系统内分子的无序性。
当一个物理系统处于平衡状态时，其熵最大。
因此，我们可以得到dS = dQ/T其中，dS代表系统熵的变化，dQ代表热量的变化，而T代表温度。
这个方程式成为热力学第一原理的推论，因为它说明了热量传递过程中的微观机制。
接下来，我们可以将熵的全微分表示为dS = (∂S/∂T)_p,dT + (∂S/∂p)_T,dp其中，p代表压力。
我们可以将这个式子中的温度T 和压力p进行变换，得出(∂T/∂p)_S = (∂V/∂S)_p(∂p/∂T)_V = (∂S/∂V)_T这些方程式被称为Maxwell关系式，其中第一个表达式被称为比热容关系式，第二个表达式被称为体积膨胀系数关系式。
这些方程式的应用非常广泛。
例如，在热力学中，我们通常需要估算物质的热容，可以使用比热容关系式。
对于液体和固体，我们通常采用Dulong-Petit定律，即比热容与摩尔质量无关。
而对于气体，则使用理想气体定律计算比热容。
体积膨胀系数关系式可以用来计算物质的可压缩性，这对于理解热力学的各种现象非常重要。
另一个应用Maxwell关系式的领域是相变热力学。
在这个过程中，物质的温度、压力和体积会发生改变，因此在理解相变过程中必须考虑这三个物理量的关系。
我们可以使用Maxwell方程式来推导物质在相变点附近的热力学性质，例如熔沸的温度和热容的跳跃等。
此外，Maxwell方程式还用于建立材料的热力学模型。
例如，在计算复杂材料的物性时，需要对材料进行建模，将其分解为若干个单元，然后使用熵和Maxwell方程式来描述单元之间的相互作用，从而推导出整个材料的物性。
maxwell公式推导
maxwell公式推导Maxwell 公式是电磁学领域中极其重要的一组公式，它们对于理解电场、磁场以及电磁波等现象起着至关重要的作用。
咱先来说说 Maxwell 方程组中的第一个方程，也就是高斯定律。
想象一下，你有一个充满电荷的气球，电荷就像一群调皮的小精灵，到处乱跑。
这个气球的表面就像一个边界，电荷在气球内部产生的电场，会导致通过这个气球表面的电通量与气球内部的总电荷量成正比。
就好比有一天，我在教室里给同学们做一个简单的实验。
我拿了一个金属球，然后在上面均匀地分布了一些电荷。
我让同学们想象这个金属球就是那个充满电荷的气球。
当我们用一个虚拟的面去包围这个金属球时，通过这个面的电场线的数量，就和金属球上的电荷量有关系。
这就是高斯定律在实际中的一个小小体现。
再来说说安培-麦克斯韦定律。
这就像是一条神奇的纽带，把电流和变化的电场联系在了一起。
假设你有一个通电的线圈，电流在里面流动，会产生磁场。
但如果这个电流还在不断变化，那可就更有意思啦！不仅电流能产生磁场，变化的电场也能“掺和一脚”，一起对磁场产生影响。
记得有一次，我带着学生们去实验室，我们做了一个关于变压器的实验。
当我们改变输入电压，也就是改变了电流的大小和方向时，我们发现输出端的电压也跟着变化。
这背后的原因，就是安培-麦克斯韦定律在起作用。
变化的电流和电场，共同塑造了磁场的变化。
还有法拉第电磁感应定律，这就像是一个神奇的魔法。
当一个导体在磁场中运动，或者磁场发生变化时，就会在导体中产生感应电动势。
比如说，你骑着自行车，车轮上有个金属条，当你经过一个磁场区域时，如果磁场在变化，那金属条中就会产生电流。
我曾经在一次课外活动中，带着学生们去了一个废弃的工厂。
那里有一个很大的电磁铁，我们用一些简单的导线和小灯泡做了一个装置。
当我们改变电磁铁的电流，让磁场发生变化时，小灯泡神奇地亮了起来。
学生们都兴奋得不行，这就是法拉第电磁感应定律的魅力所在。
最后是高斯磁定律，它告诉我们磁场的散度总是为零。
maxwell 关系式
maxwell 关系式
Maxwell关系式是电磁学中的一个重要定理，它描述了磁场和电场之间的相互作用关系。
Maxwell关系式包括四个方程式，分别是高斯定理、法拉第定律、安培环路定理和位移定理。
这些方程式揭示了电磁场的本质和其在物理学中的重要性，为电磁学的发展奠定了基础。
Maxwell关系式的应用范围非常广泛，包括电动势、电感、电容、电磁波等领域。
在电子工程、通讯工程、计算机科学等学科中都有重要的应用。
因此，理解和掌握Maxwell关系式对于学习和应用电磁学知识都至关重要。
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maxwell 参数化建模 表达式
maxwell 参数化建模表达式
Maxwell方程组是描述电磁场行为的基本方程组，包括四个方程：高斯定律、法拉第电磁感应定律、安培定理和法拉第电磁感应的反向定律。
这些方程可以用参数化建模的方法来表示，以便更方便地进行分析和计算。
以下是Maxwell方程组的参数化建模表达式：
1. 高斯定律：
∮ D · dA = q(εr) --> 静电通量与电荷之间的关系
2. 法拉第电磁感应定律：
∮ B · dl = -∂∫ E · dA / ∂t --> 磁感应强度与电场变化率之间的关系
3. 安培定理：
∮ B · dl = μ0(∫ J · dA + ε0 ∂∫ E · dA / ∂t) --> 磁感应强度与电流和电场变化率之间的关系
4. 法拉第电磁感应的反向定律：
∮ E · dl = -∂∫ B · dA / ∂t --> 电场与磁感应强度变化率之间的关系
其中，∮表示闭合积分，∂∫表示对闭合曲线内面积的积分变化率，D和E为电场强度，B为磁感应强度，q为电荷密度，J 为电流密度，A为面积，l为曲线，μ0为真空磁导率，ε0为真空介电常数，εr为相对介电常数。
麦克斯韦关系式
麦克斯韦关系式引言麦克斯韦关系式是电磁学中非常重要的一组方程，被广泛应用于电磁学和电子工程的研究中。
这些方程由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出，在电磁学领域有着重要的地位。
本文将对麦克斯韦关系式进行详细的介绍和解释。
麦克斯韦关系式的定义麦克斯韦关系式是描述电磁场中电磁学规律的一组方程。
它们的形式如下：1. 高斯定律：∇·E = ρ/ε₀2. 麦克斯韦-法拉第定律：∇×E = -∂B/∂t3. 高斯磁定律：∇·B = 04. 麦克斯韦-安培定律：∇×B = µ₀J + µ₀ε₀∂E/∂t这四个方程分别描述了电场和磁场中的电荷密度、电流密度、电磁感应和电磁波的行为。
其中，E和B分别代表电场和磁场的矢量，ρ代表电荷密度，ε₀是真空介电常数，J是电流密度，µ₀是真空磁导率。
麦克斯韦关系式的物理意义和应用这组方程包含了许多重要的电磁学规律，对研究电磁学现象和应用电磁学原理具有重要意义。
下面将逐个介绍其物理意义和应用。
1. 高斯定律高斯定律描述了电场的源和涡旋。
方程右侧的ρ代表着电荷密度，即电荷在单位体积内的分布情况。
方程左侧的∇·E表示电场的散度，即电场在某一点上的流出或流入程度。
高斯定律告诉我们，电场线从正电荷流向负电荷，而出现在闭合曲面内的净电荷决定了电场的强度。
2. 麦克斯韦-法拉第定律麦克斯韦-法拉第定律描述了变化的磁场会产生电场。
方程右侧的-∂B/∂t表示磁场对时间的变化率，而左侧的∇×E表示电场的旋度，即电场线的曲率和旋转程度。
麦克斯韦-法拉第定律告诉我们，当磁场发生变化时，会产生一个环绕着磁场变化区域的电场，这就是电磁感应现象的基础。
3. 高斯磁定律高斯磁定律描述了磁场的无源性和散度为零。
方程右侧的0表示磁荷的不存在，而左侧的∇·B表示磁场的散度，即磁场的流出或流入程度。
物理化学 03-05Maxwell关系式
dp ∆ 相变 H m = dT T∆ 相变Vm
7
2.Clausius-Clapeyron方程 方程
方程用于气—液及气 将Clapeyron方程用于气 液及气 固平衡 方程用于气 液及气—固平衡
4.麦克斯韦关系式 4.麦克斯韦关系式
∂Z ∂Z dZ = dx + ∂y dy = Mdx + Ndy ∂x y x ∂2Z ∂2Z ∂ M ∂ N = ∂x∂y = ∂y∂x ∂y ∂x x y
13
解:
A(l) T1=310K p1=81.06kPa 1 A(l) T2=360K p2=p1 2 A(g) T3=T2 p3=p2 3 A(g) T4=380K p4=50.6625kPa
∆H1=Cp,m(l)(T2－T1)=[75×(360－310)]J·mol-1=3750 J·mol-1 × － ∆H2= ∆vapHm=40kJ ·mol-1
销钉
p(环= 101.325 kPa )
绝热活塞
解：
A 2 mol 400 K
B 2 mol 400 K
A 2 mol T p
T3
p3 dT + R ln T p4
∆ S m= ∆ S1 +∆ S2+ ∆ S3=128.06J·mol-1K-1 S4= Smθ(g,380K)+∆S(pθ →p4) = Sm θ(g,380K) +Rln(pθ /p4)=180.00J·mol-1K-1 S1=S4-∆ Sm =51.91J·mol-1K-1 ∆ (TSm)=T4S4－T1S1=52.299J·mol-1 ∆Gm= ∆Hm- ∆(TSm)=-7.875kJ·mol-1 ∆Am= ∆Um- ∆(TSm)=-11.034kJ·mol-1
麦克斯韦关系式的推导
麦克斯韦关系式的推导1. 引言麦克斯韦关系式是电磁学中的一个重要公式，描述了电场、磁场和电流之间的相互关系。
它由苏格兰物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪提出，并成为了电磁学理论的基础之一。
本文将对麦克斯韦关系式进行推导，以便更好地理解其物理意义和应用。
我们将从基本的电场和磁场定律出发，逐步推导得到麦克斯韦关系式。
2. 推导过程2.1 安培定律安培定律是描述电流与磁场之间关系的基本定律。
根据安培定律，通过一个闭合回路的磁场积分等于该回路所包围的电流乘以真空中的磁导率μ₀。
数学表达为：∮B⃗ ⋅dl=μ0I其中，∮表示对闭合回路上路径积分，B⃗ 表示磁场强度，dl表示微元路径长度，μ0表示真空中的磁导率，I表示通过闭合回路的电流。
2.2 法拉第电磁感应定律法拉第电磁感应定律是描述磁场变化引起感应电动势的定律。
根据法拉第电磁感应定律，一个闭合回路中的感应电动势等于该回路所包围的磁通量变化率的负值。
数学表达为：ε=−dΦdt其中，ε表示感应电动势，Φ表示磁通量，t表示时间。
2.3 麦克斯韦-安培定律麦克斯韦-安培定律是描述电场和磁场之间关系的基本定律。
根据麦克斯韦-安培定律，一个闭合回路中的电场积分与该回路所包围的时间变化率的负值成正比。
数学表达为：∮E⃗⋅dl=−dΦdt其中，E⃗表示电场强度。
2.4 法拉第旋度定理法拉第旋度定理是描述旋度与闭合环路上的环流之间关系的定理。
根据法拉第旋度定理，一个闭合回路上的环流等于该回路所包围的磁场旋度积分。
数学表达为：∮B⃗ ⋅dA=μ0I enc其中，B⃗ 表示磁场强度，dA表示微元面积矢量，I enc表示通过被闭合曲面所包围的电流。
2.5 麦克斯韦方程组将安培定律和法拉第旋度定理结合起来，可以得到麦克斯韦方程组：∇×E⃗=−∂B⃗ ∂t∇×B⃗ =μ0J+μ0ε0∂E⃗∂t其中，∇表示梯度算子，×表示向量叉乘，J表示电流密度，ε0表示真空中的介电常数。
物理化学第五版上册公式归纳和知识点整理
定义式：H=U+pv=U+nRT G=H-TS=A+pv A=U-TS 基本公式： dU=TdS-pdv dH=TdS+vdp dA=-SdT-pdv dG=-SdT+vdp Maxwell 关系式：s v p s T v p TT p V S T v p S S p V T S v p T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭v p s pU H C ,C T T ∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭特征函数：U(S,v);H(S,p);A(T,v);G(T,p);S(U,v)等温可逆过程： △U=0，△H=0 W=-nRT lnQ=-W△A=△G=W 绝热可逆过程： Q=0， γ=，C p,m +C v,m =nR111122P T P T -γ-γ=△H=nC p,m (T 2-T 1) △U=n C,m (T 2-T 1) W=△U △S=0△A=△U-S △T △G=△H-S △T等外压膨胀： W=-p △V△H=nCp,m(T 2-T 1) △U=nC,m(T 2-T 1) Q=W+△U21T p,m T C dT S T∆=⎰△A=△U-△(TS) △G=△H-△(TS)多方可逆：111122P T P T -γ-γ=△H=nC p,m (T 2-T 1) △U=nC v,,m (T 2-T 1)21nRW (T T )1=--δRaoult 定律：p A =p A *x A =p A *(1-x B ) p=p A *x A +p B *x B Henry 定律： p=k x,B x B凝固点降低公式： △T f =k f m B =()()f B m B k M m A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ MB=()()f f K m B T m A ⎛⎫ ⎪ ⎪∆⎝⎭Kirchhiff 定律： △r H m (T)=pCdT ∆+⎰常数其余公式： Cp-Cv=nRQ dS=Tδ1.可逆热机的效率大于不可逆热机(η≤1)2.绝热真空（自由）膨胀，自发，△S>0，△A、△G<0，其余都等于03.二组分体系最低恒沸点物种数S=2,相态φ=2,独立变量n=0,自由度f=S-φ+n=04.保持温度、总压不变，增加惰性气体，效果相当于减压5.保持温度、总体积不变，增加惰性气体，效果相当于增压6.平衡常数KpΘ只与温度有关7.K<1，反应不能自发进行，△G>0；K=1，反应处于平衡状态，△G=0；K>1，反应有可能自发进行，△G<0 8.Z<1，真实气体易被压缩；Z>1，真实气体不易被压缩9.化学势越高，反应越容易自发进行10.二组分系统中相态数最多只能有3相11.平均平动能相同即温度相同12.三相点的自由度为0，温度、压力、组分均为固定值13.H=U-pv只适用于不做非体积功、等压的封闭系统14.△U=-P e(V2-V1)适用于不做非体积功、恒压、绝热的封闭系统15.隔离、封闭系统的熵变等于016.在等温过程中，系统△A 的减少值≥系统对外做的功17.任何循环过程的△(U、H、S、A、G)全为0 18.理想稀溶液中溶剂服从Raoult定律，溶质服从Henry定律19.熵变为可逆热温商之和，非状态函数20.对于封闭系统经历一个不作其他功的等压过程，其热量只决定于系统的始态和终态21.等温、等压、不做非体积功的可逆相变，△G=0定义式：H=U+pv=U+nRT G=H-TS=A+pv A=U-TS 基本公式： dU=TdS-pdv dH=TdS+vdp dA=-SdT-pdv dG=-SdT+vdp Maxwell 关系式：s v p s T v p TT p V S T v p S S p V T S v p T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭v p s pU H C ,C T T ∂∂⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭特征函数：U(S,v);H(S,p);A(T,v);G(T,p);S(U,v)等温可逆过程： △U=0，△H=0 W=-nRT lnQ=-W△A=△G=W 绝热可逆过程： Q=0， γ=，C p,m +C v,m =nR111122P T P T -γ-γ=△H=nC p,m (T 2-T 1) △U=n C,m (T 2-T 1) W=△U △S=0△A=△U-S △T △G=△H-S △T等外压膨胀： W=-p △V△H=nCp,m(T 2-T 1) △U=nC,m(T 2-T 1) Q=W+△U21T p,m T C dT S T∆=⎰△A=△U-△(TS) △G=△H-△(TS)多方可逆：111122P T P T -γ-γ=△H=nC p,m (T 2-T 1) △U=nC v,,m (T 2-T 1)21nRW (T T )1=--δRaoult 定律：p A =p A *x A =p A *(1-x B ) p=p A *x A +p B *x B Henry 定律： p=k x,B x B凝固点降低公式： △T f =k f m B =()()f B m B k M m A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ MB=()()f f K m B T m A ⎛⎫ ⎪ ⎪∆⎝⎭Kirchhiff 定律： △r H m (T)=pCdT ∆+⎰常数其余公式： Cp-Cv=nRQ dS=Tδ1.可逆热机的效率大于不可逆热机(η≤1)2.绝热真空（自由）膨胀，自发，△S>0，△A、△G<0，其余都等于03.二组分体系最低恒沸点物种数S=2,相态φ=2,独立变量n=0,自由度f=S-φ+n=04.保持温度、总压不变，增加惰性气体，效果相当于减压5.保持温度、总体积不变，增加惰性气体，效果相当于增压6.平衡常数KpΘ只与温度有关7.K<1，反应不能自发进行，△G>0；K=1，反应处于平衡状态，△G=0；K>1，反应有可能自发进行，△G<08.Z<1，真实气体易被压缩；Z>1，真实气体不易被压缩9.化学势越高，反应越容易自发进行10.二组分系统中相态数最多只能有3相11.平均平动能相同即温度相同12.三相点的自由度为0，温度、压力、组分均为固定值13.H=U-pv只适用于不做非体积功、等压的封闭系统14.△U=-P e(V2-V1)适用于不做非体积功、恒压、绝热的封闭系统15.隔离、封闭系统的熵变等于016.在等温过程中，系统△A的减少值≥系统对外做的功17.任何循环过程的△(U、H、S、A、G)全为018.理想稀溶液中溶剂服从Raoult定律，溶质服从Henry定律19.熵变为可逆热温商之和，非状态函数20.对于封闭系统经历一个不作其他功的等压过程，其热量只决定于系统的始态和终态21.等温、等压、不做非体积功的可逆相变，△G=0。
热力学中的麦克斯韦关系与表达式
热力学中的麦克斯韦关系与表达式热力学作为一门研究物质能量转化和热力学过程的学科，是自然科学中的重要分支之一。
麦克斯韦关系和表达式是热力学中的重要工具，用来描述恒态（平衡态）下的热力学性质之间的关系。
本文将着重介绍热力学中的麦克斯韦关系和表达式，探讨其原理和应用。
在研究热力学过程时，我们常常需要考虑不同的热力学性质之间的关系。
例如，我们希望知道热量、温度、压力和体积之间的关系，或者想要了解内能、焓和熵之间的相互作用。
这时，麦克斯韦关系和表达式就派上用场了。
麦克斯韦关系是由19世纪著名物理学家詹姆斯·麦克斯韦首次提出的，他发现了一系列热力学的基本关系。
其中最重要的关系可以总结为四个麦克斯韦方程，分别是：1. 温度的变化对热容的影响：$\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}=\left(\frac{\partial P}{\partialT}\right)_{V}$2. 压强的变化对压缩系数的影响：$\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial V}{\partialT}\right)_{P}$3. 温度的变化对熵的影响：$\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{V}=\left(\frac{\partial C}{\partialV}\right)_{T}$4. 压强的变化对熵的影响：$\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}=-\left(\frac{\partial C}{\partialP}\right)_{T}$这四个关系式描述了不同热力学性质之间的联系，可以通过对它们的应用来推断出一系列热力学过程中的变化规律。
例如，根据第一个关系式，我们可以得知热容与温度的关系，进一步研究物质在不同温度下的热传导性能。
麦克斯韦关系实用记忆法
麦克斯韦关系实用记忆法
麦克斯韦关系是一种老物理学家在计算物理数据时发现的有用的
关系，它具有许多应用在物理学和化学中，主要是用于求解物理
数据，如电势差、势能和温度等。
它说明了给定特定条件下，一
定温度和压力下的俩种同分异构体，其能量有能量转化的可能性，两种形式的能量在一定比例之间相互转换。
麦克斯韦关系是一个关系式：U=F/t，U为可能改变的物质参数，F为物理量，t代表温度。
这个关系式很容易理解，它能够揭示出，一定温度时物质参数改变的情况与物理量的变化有密切的关联，
从而使得计算物理量更加简单。
除了计算物理量外，麦克斯韦关系还应用于化学方面，可以对一
些物理量如温度和压力的变化进行分析，从而更好地了解化学方
程的变化规律，以及其衍生变化机理。
除了提供物理和化学中有关数据的计算运算外，麦克斯韦关系在现代物理和化学中可能也会有应用，特别是在热力学理论方面，它可以起到桥梁作用，使热力学理论在实践中更加容易使用。
总之，麦克斯韦关系是一个很有用的关系式，可以用于在物理和化学中求解一些重要的数据，也可以在热力学理论中桥梁连接。
它曾经为物理学和化学的发展以及热力学理论的创立，以及普通科学家联系理论与实践的解决提供了一种实用的知识和方法。
电动力学公式
总 复 习一、 Maxwell 方程 (1)真空中的Maxwell 方程库仑定律：'304QQ rF rπε= -----------------------------------------------------------------------------------30''3041 ()4q q V QrE r r E x dV r περπε=→⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 030104qSq Q E dS r E dl dl r επε⎧⋅=⎪⎪→⎨⎪⋅=⋅=⎪⎩⎰⎰⎰⎰00q q E E ρε⎧∇⋅=⎪⎪→⎨⎪⎪∇⨯=⎩Biot-Savart 定律：03()4Idl rB x r μπ⨯=⎰-----------------------------------------------------------------------------------对于电流分布：''3()()4J x r B x dV r μπ⨯=⎰00B B Jμ∇⋅=→∇⨯=电磁感应定律：d dt φε=-dB dS dtε→=-⋅⎰ B dB E dt ∇⨯=→-位移电流(变化的电场激发磁场)：0D EJ tε∂=∂，则：f D J J J =+真空中的Maxwell 方程：00000E B B E E B J t tρεμμε⎧∇⋅=∇⋅=⎪⎪⎨∂∂⎪∇⨯=-∇⨯=+⎪∂∂⎩Lorentz 力：q F qE qv B =+⨯，J f E J B ρ=+⨯电荷守恒定律：0J tρ∂∇⋅+=∂(2)介质的电磁性质 A) 电极化：'''()i i iVp q x x x dVρ==∑⎰⎰⎰，dp P dV=()p pp VSSQ dV qn l S P S ρ==-⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ P P ρ→∇⋅=-考虑介质极化后，为方便表示，引入电位移矢量：0D E P ε=+B) 介质磁化：m ia =，dm M dV=()M M M SI J dS in a dl M dl =⋅=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰ MM J→∇⨯=考虑介质磁化后，为方便表示，引入磁场强度矢量：01H B M μ=-C) 极化电流：i i i p P q x P J v t Vtρ⎛⎫∂∂ ⎪=== ⎪∂∂⎝⎭∑ 介质中的总电流密度为：0f p M f E D J J J J M J t tε∂∂=+++=∇⨯++∂∂ (3) 介质中的Maxwell 方程：ff D B BD E H J t tρ⎧∇⋅=∇⋅=⎪⎨∂∂∇⨯=-∇⨯=+⎪∂∂⎩(4) 边值关系()()()()21212121,,00,,f f f f f D n D D B E n E E t B n B B D H J n H H t ρσσα⎧∇⋅=⋅-=⎪⎪∂∇⨯=-⨯-=⎪⎪∂⎨∇⋅=⋅-=⎪⎪∂⎪∇⨯=+⨯-=⎪∂⎩(5) 电磁场的能量密度w 及能流密度S能量守恒定律：f vdV wdV S dA t∂⋅+=-⋅∂⎰⎰⎰⎰电磁场的能量密度w 及能流密度S ：w D BE H t t t S E H ⎧∂∂∂=⋅+⋅⎪∂∂∂⎨⎪=⨯⎩对于线性介质：()2212w E H S E H εμ⎧=+⎪⎨⎪=⨯⎩要求：要完全掌握Maxwell 方程的导出过程以及相应的边值关系的导出过程，掌握电磁学中的基本物理量的物理含义。
麦克斯韦关系式化学势微分如何求偏导数
麦克斯韦关系式化学势微分如何求偏导数麦克斯韦关系式是热力学中一种重要的关系式，用于描述物质的宏观性质之间的相互关系。
它是通过对熵（S）、内能（U）、体积（V）、压强（P）和温度（T）之间的微分关系进行推导得到的。
在热力学中，化学势（μ）是描述化学反应的趋势和平衡的重要参量，由于化学势无法直接测量，所以需要借助麦克斯韦关系式来计算。
本文将详细介绍如何利用麦克斯韦关系式对化学势进行微分并求偏导数。
麦克斯韦关系式的一般形式如下：(∂U/∂S)V,n = T，(∂U/∂V)S,n = -P，(∂U/∂n1)S,V = μ1，其中U表示内能，S表示熵，V表示体积，n表示物质的摩尔数，T 表示温度，P表示压力，μ1表示第一种物质的化学势。
根据麦克斯韦关系式，我们可以将化学势的微分表达式转化为其他宏观性质的偏导数表达式。
下面将分别介绍如何用麦克斯韦关系式求解化学势微分的偏导数。
1.对于(∂μ1/∂T)V,n的求解：通过麦克斯韦关系式(∂U/∂S)V,n = T，我们可以将μ1的微分关系式转化为(T的偏导数关系式)。
用链式法则，我们可以推导得到：(∂μ1/∂T)V,n = (∂(∂U/∂S)V,n/∂T)V,n = (∂T/∂T)V,n = 1。
2.对于(∂μ1/∂V)S,n的求解：根据麦克斯韦关系式(∂U/∂V)S,n = -P，我们可以将μ1的微分关系式转化为(P的偏导数关系式)。
用链式法则，我们可以推导得到：(∂μ1/∂V)S,n = (-∂(∂U/∂V)S,n/∂V)S,n = -(-∂P/∂V)S,n。
在实际应用中，通常将(-∂P/∂V)S,n表示为压缩因子（Z），即Z = -∂P/∂V。
所以，(∂μ1/∂V)S,n可以表达为：(∂μ1/∂V)S,n = Z。
3.对于(∂μ1/∂n1)S,V的求解：根据麦克斯韦关系式(∂U/∂n1)S,V = μ1，我们可以直接得到：(∂μ1/∂n1)S,V = 1。
【VIP专享】物理化学 03-05Maxwell关系式
R ln
p3 p4
J
m ol1
K
1
5.730J m ol1 K 1
Δ S m= Δ S1 +Δ S2+ Δ S3=128.06J·mol-1K-1
S4= Smθ(g,380K)+ΔS(pθ →p4)
= Sm θ(g,380K) +Rln(pθ /p4)=180.00J·mol-1K-1
S1=S4-Δ Sm =51.91J·mol-1K-1 Δ (TSm)=T4S4－T1S1=52.299J·mol-1
上次课主要内容
1.Helmholtz函数与Gibbsb函数
A def U TS
G def H TS ＝U＋pV TS
2. A及 G的计算
＝A pV
ΔA＝ ΔU－Δ(TS) ΔG＝ ΔH－Δ(TS)
rGm BfGm B
＝ΔU+Δ(pV)－Δ(TS) ＝ΔA+ Δ(pV)
3.热力学基本方程
p*2 ( 100.0 86.7 )kPa 13.3kPa
vap Hm 48.1103 J mol1
T2 = ?
ln(
13.3 101.3
)
48.1 103 8.3145
T2
1 /
K
1 455.1
T2 = 392.4K →119.2℃
12
例：已知纯A液体在360K的饱和蒸气压为
81.06kPa,在此条件下,A(l)的摩尔气化热 ΔvapHm=40kJ·mol-1. Cp,m(l)=75kJ·mol-1K-1 Cp,m(g)=(30+10-2T/K)J·mol-1K-1 Smθ(g,380K)=174.35J·K-1·mol-1 假定A(g)为理想气体,忽略温度的变化对A(l)体 积的影响.试计算下列始、末状态之间的ΔUm、 Δ Hm 、 Δ Sm、 ΔGm及Δ Am
Maxwell课件
maxwell方程对工程技术的贡献
推动电气工程技术的发展
Maxwell方程组为电气工程提供了理论基础，推动了电 力、电信、电子等技术的发展。
促进通信技术的进步
Maxwell方程组为无线通信技术的发展提供了理论基础 ，如电磁波的传播、天线设计等关键技术都依赖于 Maxwell方程组的描述。
支持材料科学的研究
Maxwell方程组对于材料中电磁波的传播、散射、反射 等特性的描述，为材料科学的研究提供了重要工具。
maxwell方程对未来科技发展的启示
1 2
支持未来通信技术的研究
Maxwell方程组将继续为无线通信技术的发展 提供理论基础，如5G、6G等新一代通信技术的 研究。
指导新材料的研发
Maxwell方程组对于材料中电磁波特性的描述 ，将为研发新型功能材料提供重要指导。
描述电磁波的传播特性
Maxwell方程组揭示了电磁波的存在、传播速度以及与物质的相 互作用规律，奠定了电磁学的基础。
统一电磁场理论
通过引入高斯定律和安培定律，Maxwell方程组将电场和磁场统 一为一个完整的电磁场理论。
预测电磁波的存在
Maxwell方程组预测了电磁波的存在，为后来的无线通信、雷达 等技术的发展奠定了理论基础。
maxwell课件
2023-10-30
目录
• maxwell方程的推导 • maxwell方程的应用 • maxwell方程的解 • maxwell方程与相对论的关系 • maxwell方程的意义与价值
01
maxwell方程的推导
静电学中的maxwell方程
静电学中的麦克斯韦方程组是由安培环路定律、法拉第电磁感应定律和库仑定律组合而成 的。
《Maxwell方程式》课件
该方程式是在前人研究的基础上 逐步完善的，Maxwell将其整合
为一个完整的理论体系。
Maxwell方程式的提出经历了漫 长的探索过程，Maxwell在实验 和理论上都做出了杰出的贡献。
02
CHAPTER
maxwell方程式的基本概念
电场和磁场的基本概念
总结词
理解电场和磁场的基本概念是理解Maxwell方程式的基础。电场是由电荷产生 的，而磁场是由电流和磁荷产生的。
03
无线通信
无线通信利用电磁波传递 信息，如手机、无线网卡 、蓝牙等。
雷达
雷达通过发射电磁波并接 收反射回来的信号，可以 探测目标的位置、速度和 方向等信息。
电磁炉
电磁炉利用电磁波产生涡 流加热食物，具有高效、 环保、安全等优点。
电磁波的干扰和防护
电磁干扰
电磁波的干扰可能导致电子设备性能 下降、信号传输错误等问题，如电磁 噪声、电磁辐射等。
Maxwell方程式是物理学中的 基本方程之一，它描述了电磁 场的运动规律和相互作用。
该方程式的提出为电磁学的发 展奠定了基础，对现代科技领 域产生了深远的影响。
Maxwell方程式在通信、电子 、能源等领域都有着广泛的应 用，是现代工业和科技发展的 重要支撑。
maxwell方程式的历史发展
Maxwell在19世纪60年代提出 了著名的Maxwell方程式，这标
05
CHAPTER
maxwell方程式的实验验证
实验验证的方法和步骤
01
02
03
04
实验准备
准备实验所需的设备，如磁场 测量仪、电场测量仪、粒子加
速器等。
实验设置
设置实验环境，包括磁场和电 场的强度、方向等参数。
maxwell公式
maxwell公式麦克斯韦方程组（Maxwell's equations）是一组描述电场、磁场与电荷、电流之间关系的极其重要的数学方程组。
这组方程组可是物理学中的大明星，就像超级英雄组合一样，拥有着无比强大的力量！记得我当年在大学学习电磁学的时候，被麦克斯韦方程组搞得晕头转向。
但后来随着深入研究和理解，我才真正领略到它的魅力。
咱先来说说麦克斯韦方程组到底是啥。
它由四个方程组成，分别是高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培-麦克斯韦定律。
高斯定律说的是，通过一个闭合曲面的电通量等于这个闭合曲面所包围的电荷的代数和除以真空中的介电常数。
这就好像是一个“电荷计数器”，能算出被包围在某个区域里的电荷总量。
高斯磁定律呢，则表示通过一个闭合曲面的磁通量总是为零。
简单来说，就是磁力线总是闭合的，没有磁单极子存在。
法拉第电磁感应定律告诉我们，当穿过一个闭合回路的磁通量发生变化时，就会在这个回路中产生感应电动势。
这就好比是大自然在跟我们玩“魔术”，磁场一变化，电流就出现了。
安培-麦克斯韦定律是说，磁场的环流等于传导电流和位移电流的代数和乘以真空磁导率。
这里的位移电流可是麦克斯韦的伟大创见，它让电磁学的世界更加完整。
有一次，我在给学生讲解麦克斯韦方程组的时候，有个调皮的学生问我：“老师，这玩意儿在生活中有啥用啊？”我笑着回答他：“那用处可大了去啦！比如说，咱们用的手机能接收到信号，靠的就是电磁波的传播，而电磁波的产生和传播都离不开麦克斯韦方程组的原理。
还有，家里的微波炉能加热食物，也是因为电磁波与食物中的水分子相互作用。
”学生们听了，眼睛都亮了起来，似乎对这看似枯燥的知识有了新的认识。
麦克斯韦方程组不仅在理论上有着重要的地位，在实际应用中也是无处不在。
从无线电通信到电力传输，从电子设备到天体物理，都有它的身影。
它就像是一把神奇的钥匙，打开了电磁世界的大门，让我们能够更好地理解和利用电磁现象。
而且呀，麦克斯韦方程组的影响还不止于此。
导出Maxwell关系式和恒等式的几种方法
自变量和常量调换位置, 等式即成。( 2) 在图导法中, 笔者特别要强调两邻的两个 变量为函数, 这是因为 Maxwell 关系式每个方程的左右两边的两个函数在图中的位置是相邻的, 四边形中有 4 对相邻的函数, 这 4
对相邻的函数代表着 Maxwell 关系式中的 4 个方程。相邻的一对函数各自对应的自变量也是相邻的, 强调这 一点, 在后面的应用中可显其必要性。( 3) 因( 1. 1. 3) 和( 1. 1. 4) 式与实测量( 如 A、B、Cp ,,) 无关, 应用很少, 但其理论意义不可忽。( 4) Maxwell 关系式的用途是: 可用容易实测的偏微商去代替那些不能或很难实测的 偏微商。( 5) 图导法的优点是: 简捷, 形象, 易记。下面举例说明之:
S(
5S 5T
)
V
(
5V 5P
)
T
(
5P 5T
)
V
(
5T 5V
)
P
=
-
1
则
(
5V 5P
)
T=
-
(
55TP)
V(
5V 5T
)
P
34
上饶师范学院学报
2010( 第 30 卷)
_
-
(
5 5
SP)
T
=
-
1-
(
55TV)
S
(
5S 5T
)
V2#1-
(
55TP)
V(
5V 5T
)
P2
=
-
(
5T 5V
)
S
(
55SP)
(
5V 5T
)
P)
1数学推导法2:
Maxwell 记忆圈记忆法
4 Maxwell 关系式（只涉及轴函数）
(
∂p ∂S
)V
=
−(
∂T ∂V
)
S
(
∂S ∂p
)
T
=
−(
∂V ∂T
)
p
( ∂V ∂S
)p
=
( ∂T ∂p
)S
(
∂S ∂V
)T
=
(
∂p ∂T
)V
T
p
V
S
两相邻轴函数对各自另一相邻轴函数的微分值相等，条件是它们相对的轴函 数不变（方向与轴相同取正号，相反取负号）；
U=H-pV=A+TS=G-pV+TS H
间函数 A = 相邻间函数 B ± 与 AB 平行的两个轴函
S
数 X、Y 的乘积（ AB 与轴同向取正号，否则取负号）
AF V
U
2 热力学基本方程
dU=TdS-pdV dH=TdS+Vdp dA= -SdT-pdV dG=-SdT+Vdp
间函数的全微分 = 两个相邻轴函数的全微分与各自相应轴函数的乘积之和 （方向与轴相同取正号，否则取负号）
−
∂V ∂T
S
∂S ∂p
T
=
−
∂V ∂T
p
T
=
∂U ∂S
V
=
∂H ∂S
p
V
=
∂H ∂p
S
=
∂G ∂p
T
−p
=
∂U ∂V
S
=
∂A ∂V
T
−S
=
∂G ∂T
p
=
∂A ∂T
V
两相邻轴函数沿相反方向的微分值相等（方向与轴相同取正号，相反取负号）
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vap Hm 48.1103 J mol1
T2 = ?
ln(
13.3 101.3
)
48.1 103 8.3145
T2
1 /
K
1 455.1
T2 = 392.4K →119.2℃
12
例：已知纯A液体在360K的饱和蒸气压为
81.06kPa,在此条件下,A(l)的摩尔气化热 ΔvapHm=40kJ·mol-1. Cp,m(l)=75kJ·mol-1K-1 Cp,m(g)=(30+10-2T/K)J·mol-1K-1 Smθ(g,380K)=174.35J·K-1·mol-1 假定A(g)为理想气体,忽略温度的变化对A(l)体 积的影响.试计算下列始、末状态之间的ΔUm、 Δ Hm 、 Δ Sm、 ΔGm及Δ Am
1.Clapeyron方程 平衡
T,p
B
Gm (α)
B
Gm (β )
T→T+dT
平衡
p→p+dp
B
B
Gm (α) dGm (α) Gm (β ) dGm (β )
Gm (α) Gm ( )
Gm (α) dGm (α) Gm ( ) dGm ( )
dGm(α) dGm (β)
6
dGm(α) dGm (β)
dGm (α) Sm (α)dT Vm (α)dp
dGm (β) Sm (β)dT Vm (β)dp Sm (α)dT Vm (α)dp Sm (β)dT Vm (β)dp
dp dT
Sm (β) Sm (α) Vm (β) Vm (α)
相变Sm 相变Vm
相变Hm T 相变Vm
dp 相变Hm dT T 相变Vm
A( l, 310K, 81.06kPa)→A( g, 380K, 50.6625kPa)
13
解:
A(l)
1 A(l)
2 A(g) 3 A(g)
3
例2 U f T ,V
Hale Waihona Puke dUU TV
dT
U V
dV T
C v dT
U V
dV T
dU TdS pdV
U T S p T p p
V T V T
T V
dU
CV dT
T
p T
V
pdV
同理
dH
C pdT
V
T
V T
dp p
4
例3
C
ln
p2 p1
vap H m R
1 T2
1 T1
8
*克—克方程的应用条件：
1.因ΔVm≈Vg,在靠近临界点时不能用。 2.Vm(g)=RT/p适用于理想气体，高压下不能 用。
3.因将ΔHm当常数，只有在温度变化不大时才 适用安。托万(Antoine)方程是对克—克方程最 简单的改进
ln
p Pa
H p
S
G p
T
dU = TdS – pdV dH = TdS + Vdp dA = -SdT –pdV dG = -SdT + Vdp
1
4.麦克斯韦关系式
dZ
Z x
y
dx
Z y
x
dy
Mdx
Ndy
M y
x
N x
y
2Z xy
2Z yx
dU TdS pdV
T p V S S V
7
2.Clausius-Clapeyron方程
将Clapeyron方程用于气—液及气—固平衡
RT Vm Vm (g) Vm (l) Vm (g) p
dp vap Hm vap Hm p
dT TVm (g)
RT 2
dln p dT
vap H m RT 2
ln
p Pa
vap H m RT
S随p或V的变化关系：
S p
T
V T
p
定义等压膨胀系数 1 V V T p
代入上式积分得：S p2Vdp p1
pV nRT V V nR T p p
S p2Vdp p2 nR dp nR ln p1 nR ln V2
p1
p p1
p2
V1 5
§3.9 克拉佩龙方程 (Clapeyronequation)
dU = TdS – pdV dH = TdS + Vdp
dA = -SdT –pdV dG = -SdT + Vdp 0
4.八个重要的关系式
T U H S V S p
p U A V S V T
S A G T V T p
V
则Vm (l)dp(l) Vm ( g)dp( g)
dp( g) Vm (l )
10
dp(l ) Vm ( g)
dp( g) Vm (l ) dp(l ) Vm ( g)
若蒸气为理想气体
RT Vm ( g) p( g) d ln p( g) Vm (l)
dp(l) RT
ln
p2 (g) p1 ( g)
dH TdS Vdp
T p
S
V S
p
dA SdT pdV
S p V T T V
dG SdT Vdp
S p
T
V T
p
2
5.热力学函数关系式的推导和证明 例1 对于恒容过程
dS Qr dUV CV dT
TT
T
S CV T V T
S C p T p T
A
T
/
B K C
9
3.外压对液体蒸气压的影响
Gm (l) Gm (g)
蒸气
恒 温 下 液 体 压 力 改 变dp(l ), 蒸气压 力改变dp( g),引起Gm变化 dGm (l )及dGm ( g)
Gm (l) dGm (l) Gm (g) dGm (g)
液体 加压
即dGm (l) dGm ( g) 恒温下dGm SdT Vdp Vdp
Vm (l RT
)
[
p2
(l
)
p1 (l )]
11
例 酚的精制采取减压蒸馏方法。已知酚的正常沸点为
181.9℃，如真空度为86.7kPa，酚的沸点应为多少？已
知酚的蒸为 48.1103 J mol1 ，外压为100.0kPa。
解：
T1，p1
△H
T2，p2
p1* 101.3kPa T1 (181.9 273.2 )K 455.1K
上次课主要内容
1.Helmholtz函数与Gibbsb函数
A def U TS
G def H TS ＝U＋pV TS
2. A及 G的计算
＝A pV
ΔA＝ ΔU－Δ(TS) ΔG＝ ΔH－Δ(TS)
rGm BfGm B
＝ΔU+Δ(pV)－Δ(TS) ＝ΔA+ Δ(pV)
3.热力学基本方程