【内蒙古民族大学】学年论文之《浅谈函数方程的解法》

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函数与方程解题技巧

函数与方程解题技巧引言：在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的数学问题，其中涉及到的一个重要内容就是函数与方程的解题技巧。

函数与方程是数学中的基本概念，掌握解题技巧可以帮助我们更好地理解和运用这些概念。

在本文中，我将介绍一些常见的函数与方程的解题技巧，希望能对大家的学习有所帮助。

一、一元一次方程的解题技巧1. 消元法：当方程中含有未知数的系数时，我们可以通过消元的方式将方程转化为更简单的形式。

例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4，进而求得x=2。

2. 移项法：当方程中含有未知数的系数和常数项时，我们可以通过移项的方式将所有未知数项放到等号一侧，将常数项放到等号另一侧。

例如，对于方程2x+3=7，我们可以通过减去3，得到2x=4。

3. 代入法：当方程中含有两个未知数时，我们可以通过代入的方式将一个未知数用另一个未知数来表示，然后将其代入另一个方程中求解。

例如，对于方程2x+y=7和3x-y=11，我们可以将第一个方程中的y用第二个方程中的y替代，得到2x+3x=7+11，进而求得x=3，再代入第一个方程中求得y=1。

二、一元二次方程的解题技巧1. 求根公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。

其中，b^2-4ac称为判别式。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程没有实数根。

2. 完全平方公式：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，当其可以写成形如(a^2x^2+b^2+c^2-2abx)=0时，我们可以通过完全平方公式(x-a)^2=x^2-2ax+a^2来解题。

例如，对于方程x^2+6x+9=0，我们可以把x^2+6x+9写成(x+3)^2=0，从而得到x=-3。

三、函数的解题技巧1. 求定义域和值域：对于给定的函数，我们需要确定其定义域和值域。

函数方程解题的关键技巧与方法

函数方程解题的关键技巧与方法函数方程是数学中常见的一类问题，它通过给定的条件和方程来寻找函数的解。

解决函数方程的关键技巧和方法有很多，本文将介绍其中几种常用的方法。

一、代入法代入法是解决函数方程的常用方法之一。

它的基本思路是将方程中的未知函数代入，然后通过简化方程，找到函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x) - 2f(2-x) = 1我们可以先令 x = 2，这样就可以得到：f(2) - 2f(0) = 1然后，代入其他的数值，比如 x = 0，我们得到：f(0) - 2f(2) = 1通过这样的代入和化简的过程，我们可以得到一个方程组，从中解出 f(x) 的值。

二、函数复合法函数复合法是解决函数方程的另一种常见方法。

它的基本思路是通过构造一个新函数，将原方程转化为一个更简单的形式，从而求得函数的解。

举个例子，考虑以下的函数方程：f(x + 2) + f(x - 2) = 2f(x)我们可以尝试定义一个新函数 g(x) = f(x + 2)，这样原方程就变成了：g(x) + g(x - 4) = 2g(x - 2)现在我们可以利用这个新方程来简化原方程，并通过求解 g(x) 来找到 f(x) 的解。

三、递推法递推法在解决函数方程中也是十分有用的方法。

它的基本思路是通过分析给定的条件和方程，构造递推式，从而找到函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x + 2) = 3f(x + 1) - 2f(x)我们可以通过给定的条件 f(0) = 1 和 f(1) = 2，构造递推式：f(2) = 3f(1) - 2f(0) = 4f(3) = 3f(2) - 2f(1) = 8f(4) = 3f(3) - 2f(2) = 16通过递推，我们可以得到 f(x) 的解为 2^x。

四、特殊点法特殊点法是解决函数方程的一种常见方法，它的基本思路是通过找到特殊点，从而对函数进行分析，进而求得函数的解。

例如，考虑以下的函数方程：f(x) = f(1-x)我们注意到当 x = 1/2 时，有 f(1/2) = f(1 - 1/2) = f(1/2)，也就是说函数在 x = 1/2 这个特殊点对称。

解函数方程的几种方法

绪论在数学研究的许多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.由于函数方程形式多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础知识.尤其是在中学数学教学中，函数方程是最基本、最易出现的问题，也是历年高考的重点.在中学教学和国内外数学竞赛中，经常遇到函数方程问题.这类题目一般是求解某一给定的函数方程，而数学上尚无一般方法可循.当然，较大一部分中学生在遇到这类问题时，常常没有比较清晰的解题思路.本文就着重以函数与方程的性质来讨论函数方程在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述.首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解以及解函数方程.其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常出现的方法进行归纳并结合相应的例题解析.当然由于中学数学中考查点的不同，我们的讨论也有所侧重.对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法，而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题的解题策略.最后，就种种方法进行总结归纳.“法无定法”，关键在于人们对问题的观察、分析，进而选择最优的方法来解决问题.很多情况下，由于解决的途径并不唯一，所以在解决问题的时候一般采用多种方法同步求解，以达到简化求解过程的目的.1函数方程的一些相关概念1.1函数方程的定义含有未知函数的等式叫做函数方程.如()()f x f x-=，=-，()()f x f x+=等，其中()f x即是未知函数.f x f x(1)()1.2函数方程的解设某一函数()f x对自变量在其定义域内的所有值均满足某已知方程，那么把()f x就叫做函数方程f x就叫做已知函数方程的解.即能使函数方程成立的()的解.函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解.如偶函数、奇函数、()1=-分别是上述各方程的解.f x x1.3解函数方程求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程.即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，或求出某些函数值，或证明这个函数所具有的其他性质.2函数方程的常见解法由于函数与方程的性质极多，解题的方法也形式多样，出现较为频繁的有换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法、数学归纳法等等.2.1换元法（代换法）换元法又叫代换法或引进辅助未知数法或定义法.将函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不发生变化），得到一个新的较为简单的函数方程，然后直接求解未知函数.但值得注意的是，某些换元会导致函数的定义域发生变化，这时就需要进行验证换元的可行性.例 2.1已知2-=,求()f x x(1cos)sinf x.分析此题是一个最基本的函数方程问题，要求解函数()f x的表达式，就需要将1cos xsin x进行转化.当然，我们可以先用换元法把x,y用t代替，消+和2去x,y，就得到一个关于t的解析式，再用x替代t，于是得解.但这里我们还给出了另外的解法，就是用()=的参数表达式进行求解.y f x解法一令1cos x t-=,所以c o s1=-，x t因为-≤≤,1cos1x所以x≤-≤,01cos2即t≤≤.02又因为22-==-,f x x x(1cos)sin1cos所以22=--=-+，(02)f t t t t()1(1)2t≤≤，故2=-+，(02)f x x x()2≤≤.x解法二设所求函数()=的参数表达式y f x=-，x t1c o s2y t=，sin即得=-，（1）c o s1t x2s i n t y=. （2）2+，消去参数t，得(1)(2)2-+=，(1)1x y整理，得22y x x =-+，[0x ∈,2]，即2()2f x x x =-+,[0x ∈,2].在本题中，由于三角函数可以相互转化，很容易看出1cos x -与2sin x 之间的联系，然后直接利用换元法进行转化，但考虑到x （或t ）的定义域，这个环节一般容易出错.故一般采用后面介绍的参数法相对来说也就简单多了.2.2 赋值法赋值和代换是确定适合函数方程的函数性质的基本方法，根据所给条件，在函数定义域内赋与变量一个或几个特殊值，使方程化繁为简，从而使问题获解.例 2.2.1 函数:f N N +→（N +为非负整数），满足：（i ）对任意非负整数n ，有(1)()f n f n +>；（ii ）对任意,m n N +∈，有(())()1f n f m f n m +=++.求(2001)f 的值.分析本题欲求(2001)f 的值，则须了解()f n 有什么性质.由条件（i ）、（ii ）可以联想到(0)f 的取值是本题的关键，而分别利用条件（i ）、（ii ）进行推导，并结合反证法推出矛盾，得到(0)f 的唯一值，进而得解.解令(0)f k =，其中k 为非负整数.由(ii)得()()1f n k f n +=+. （1）若0k =，则()()1f n f n =+，矛盾.故0k ≠，由（i ）有(1)()()1f n k f n k f n +-<+=+. （2）若1k >，则11n k n +-≥+，于是由（i ），得(1)(1)()1f n k f n f n +-≥+≥+，（3）但（2）与（3）矛盾，故1k =是惟一解.当1k =时，式（1）为(1)()1f n f n +=+，此函数满足条件（i ）、（ii ），所以得惟一解(2001)2002f =.例 2.2.2 解函数方程()()2()cos f x y f x y f x y ++-=.分析此题是函数方程里较为典型的一个问题，在很多文章中都有提到.本题中方程含有,x y 两个未知数，对于一个方程，首先想到的就是消元，考虑到三角函数cos y 的特殊性质，可用一些比较特殊的值分别去代换,x y ，再求得()f x 的表达式.解在原方程中令0x =,y t =得()()2(0)cos f t f t f t +-=，（1）再令2x t π=+,2y π=得()()0f t f t π++=，（2）又再令2x π=,2y t π=+得()()2()sin 2f t f t f t ππ++-=-，（3）（1）+（2）-（3）得()(0)cos ()sin 2f t f t f t π=+. 令(0)a f =，()2b f π=并将t 换成x 得 ()cos sin f x a x b x =+,（a ,b 均为任意常数）.代入（1）式验证()()f x y f x y ++-cos()sin()cos()sin()a x y b x y a x y b x y =++++-+-2cos cos 2sin cos a x y b x y =+2cos (cos sin )y a x b x =+2()cos f x y =.所以()f x 是函数方程（1）的解.赋值法是很特殊的一种方法，首先它考验人们的“眼力”，即根据所给出的式子找出其规律；其次，就是“笔力”即计算方面的能力，所赋的值即某些特殊值要有助于解题；最后，不难看出赋值法其实就是与代换法、消元法等方法相结合的一种方法.如例2.2.1就是赋值法与反证法相结合，例2.2.2是赋值法、代换法、消元法结合的典型.2.3迭代周期法（递推法）函数迭代是一类特殊的函数复合形式.一般由函数方程找出函数值之间的关系，通过n 次迭代得到函数方程的解法.例 2.3.1 对任意正整数k ，令()f k 定义为k 的各位数字和的平方，求2001(11)f .分析本题是迭代的简单运用题，由“()f k 定义为k 的各位数字和的平方”入手，可以找出11与函数方程以及函数值之间的关系，结合数列相关知识通过n 次迭代从而求解.解由已知有 12(11)(11)4f =+=，2(11)((11))(4)16f f f f ===，322(11)((11))(16)(16)49f f f f ===+=，432(11)((11))(49)(49)169f f f f ===+=，542(11)((11))(169)(169)256f f f f ===++=，652(11)((11))(256)(256)169f f f f ===++=，…从而当n 为大于3的奇数时，(11)256n f =，当n 为大于3的偶数时，(11)169n f =，故2001(11)256f =.例 2.3.2 设()f x 定义在自然数集N 上，且对任意,x y N ∈，都满足(1)1f =,()()()f x y f x f y xy +=++，求()f x . 解令1y =,得(1)()1f x f x x +=++，再依次令1x =,2…, 1n -,有(2)(1)2f f =+，(3)(2)3f f =+，…(1)(2)(1f n f n n -=-+-，()(1)f n f nn =-+，依次代入，得()(1)23f n f =+++…(1)(1)2n n n n ++-+=，所以(1)()2x x f x +=，()x N +∈. 前面的例2.3.1仅是迭代的入门题，可以直接根据函数方程找出函数值之间的关系，然后通过n 次迭代进行求解.而在迭代问题中，很大一部分题目并不是仅借助迭代的思想来解决的，而是综合所学知识进行求解.如例4.2就是赋予一些特殊值，再利用递推法简化问题，从而求解.2.4待定系数法待定系数法适用于所求函数是多项式的情形，且已知所求函数解析式的类型，可先设出一个含有特定系数的代数式，然后利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程（组），通过解方程（组）而求出待定系数的值，或者消除这些待定系数，使问题得以解决.例 2.4.1 已知()f x 是一次函数，且[()]41f f x x =-,求()f x .解因为()f x 是一次函数，不妨设()(0)f x ax b a =+≠，又因为[()]41f f x x =-，所以()()41f ax b a ax b b x +=++=-,即241a x ab b x ++=-，于是有24a =，1a b b +=-. 解这个方程组得2a =，或者 2a =-，13b =-， 1b =. 所以1()23f x x =-或()21f x x =-+. 本题考虑到()f x 是一次函数，故可设出()f x 的一般形式，再由条件[()]41f f x x =-代入()f x 进而对应求出a ,b .这属于较简单的待定系数法应用，而对于关系f 有很多次的就另当别论了.例 2.4.2 已知()f x 是一次函数，且10次迭代{[(f f f …())]}10241023f x x =+，求()f x .分析观察本题，()f x 是一次函数且函数方程是一个10次迭代的方程，要怎样进行思考呢？只能依据题中最基本的条件进行解决，故而给出如下解法：解设()(0)f x ax b a =+≠，则(2)2()[()]()()(1)f x f f x f ax b a ax b b a x a b ==+=++=++，(3)(2)232()(()){[()]}[(1)](1)f x f f x f f f x f a x a b a x a a b ===++=+++， …(9)1098(())(f f x a x a a =+++…1)a b ++.因为(10)()10241023f x x =+，所以10101024(2)a ==±，98(a a ++…1011)10231a a b b a -++==-. 解方程组得2a =，1b =或2a =-,3b =-.故所求的一次函数为()21f x x =+或()23f x x =--.观察题中条件，问题的难度比例2.4.1的增加了许多，这又怎么做呢？万变不离其宗，仍采用待定系数法进而找出规律，并结合等比数列相关性质而求得a ,b ，但要注意解决这类问题时千万不要漏根.2.5 数学归纳法数学归纳法主要适用于定义域是正整数的函数方程，其解题方法是通过对(1)f ,(2)f ,(3)f ,…的具体计算，加以概括抽象，提出对()f n 的解析式的一个猜想，然后用数学归纳法对猜想进行证明.根据已知条件，首先运用赋值法求出函数()f x 在某些点的特殊值，再猜想()f x 的表达式，最后用数学归纳法证明此猜想.例 2.5.1 函数()f n 的定义域为正整数集，值域为非负整数集，所有正整数m ,n 满足()()()0f m n f m f n +--=或1; (2)0f =,(3)0f >,(9999)3333f = ,求(1982)f .解由(11)(1)(1)0f f f +--=或1，而0(2)2(1)f f =≥，所以(1)0f =，由(21)(2)(1)0f f f +--=或1，得(3)0f =或1，因为(3)0f >，所以(3)1f =，同理，可推得(32)2f ⨯≥，(33)3f ⨯≥…已知(9999)(33333)3333f f =⨯=，猜想(3)f k k ≥,(3333)k <.下面用数学归纳法证明.（1）由上可知，1k =,2,3时，结论成立.（2）假设对小于k 的一切自然数，结论成立.则(3)[3(1)3]f k f k k =-+[3(1)](3)f k f ≥-+11k ≥-+k =，即(3)(3333)f k k k ≥<，如果(3)1f k k ≥+，则(9999)(99993)(3)f f k f k ≥-+33331k k ≥-++3333>，与题设矛盾，所以(3)f k k =，显然，有660(1982)661f ≤≤.若(1982)661f =，则(9999)(5198289)f f =⨯+5(1982)(89)f f ≥+5661(89)f ≥⨯+330529≥+3333>，与题设矛盾.所以(1982)660f =.例 2.5.2 已知2()2f x x x =+，求()n f x .解由2()(1)1f x x =+-，因此有22242()(())((1)1)(1)1(1)1f x f f x f x x x ==+-=+-=+-，233222()(())((1)1)(1)1f x f f x f x x ==+-=+-，猜想2()(1)1nn f x x =+-.下面用归纳法证明.（1）显然2n =时，猜想成立.（2）假设对n 成立，即 2()(1)1nn f x x =+-，则 (1)()(())n n f x f f x +=2((1)1)n f x =+- 22((1)11)1n x =+-+-12(1)n x +=+.综合（1）、（2），对任意n N ∈，有2()(1)1n n f x x =+-.数学归纳法一般适用于证明题，但有时候不排除这类找规律、猜想进而证明猜想的问题.遇到这种问题的时候，首先要找准规律，证明起来也就会很轻松了.2.6数列法利用等比、等差数列相关知识（通项公式、求和求积公式），求定义在N 上的函数()f x .例 2.6 已知(1)1f =，且对任意正整数n 都有(1)3()2f n f n +=+，求()f n . 解在已知等式两边都加上1，得(1)12f +=，(1)13()213[()1]f n f n f n ++=++=+，所以(1)13()1f n f n ++=+. 因此，数列{()1}f n +是首项为(1)12f +=，公比为3的等比数列，它的第n 项为1()123n f n -+=⋅，故1()231n f n -=⋅-.熟悉等差、等比数列的相关性质如公差（比）、求和公式等，运用起来解决本题就会感到得心应手.2.7 反证法反证法在数学上使用得相当普遍，即一些问题从正面直接证明有困难，而它的结论的相反结论比原结论更具体，更明确，易于导出矛盾，这时一般采用反证法.先从已知条件中得出满足函数方程的一些特殊解，然后再用反证法证明除了这些解以外无其他解.例 2.7 设f :(0,)(0+∞→,)+∞是连续函数，若对x ∀，(0y ∈,)+∞,有 ()(())f x f xf y y=. （1）证明此函数方程无解.证明在（1）中取1x y ==，得((1))(1)f f f =，取(1)y f =，得()(((1)))(1)f x f xf f f =，再取1y =，得((1))()f xf f x =.从而有()()((1))(((1)))(1)f x f x f xf f xf f f ===，即(1)1f =.在（1）中取1x =，得(1)1(())f f f y y y==，联立（1）推出()((()))()()f x x f xf f y f f y y==，即()()()x f x f y f y=. 取x st =，y t =,s ∀,(0t ∈,)+∞,有()()()f s t f t f s =，s ∀,(0t ∈,)+∞，（2）我们知道满足上面函数方程的连续函数为()a f x x =，(ln ())a f e =. 由1(())f f y y=，知 21a y y -=，即21a =-.矛盾，所以（1）没有连续解. 2.8不等式法在推导过程中，主要利用不等式02a b a +≥≥,0)b ≥的等式成立的充要条件a b =.例 2.8 设()f x 的定义域为（0，1），且()(1)2()(1)f x f x f y f y -+=-,x ∀,(0y ∈,1). （1）若()0f x >，(0x ∀∈,1)且1()12f =，求f x (). 分析本题给出了函数()f x 的一系列成立的条件，只要依据条件进行思考就很容易解决了.首先我们知道函数()f x 有一个特殊值1()12f =，而函数方程（1）中有,x y 两个未知量，故而解决问题时考虑到消元，并尽量结合1()2f 的值来使问题简化.解在（1）式中取12y =，得 ()(1)2()(1)11()(1)22f x f x f x f x f f -=+=+--，（2）再在（1）式中取12x =，y x =得11()()11222()(1)()(1)f f f x f x f x f x =+=+--，（3）把（2）和（3）相加得 411()(1)()(1)f x f x f x f x =++-+-≥4=，所以1()()f x f x =，即2(())1f x =，因为()f x 是正的，故()1f x ≡,(0x ∀∈,1).3 其它方法前面介绍的几种方法在中学数学中比较常见，应用起来也得心应手.但初等问题何其繁多，解决的途径也就形式多样.还有很多其它的方式，由于本文篇幅有限，在此仅给出方法及其概念.如：参数法、配凑法、通解问题、多项式法以及柯西法等.参数法即先设参数再消去参数得出函数的对应关系，而求出()f x .前面在例2.1.1的解法二已经就参数法进行作答，在此我们就不再讲解了.配凑法是根据函数的概念、对应法则并结合配方法求解函数方程的一种基本方法.当我们不能利用设元法求解时，配凑法不失为一种有效的方法，也是应用定义的一种方法.前面已经介绍了很多求解函数方程的方法.然而，求一个或若干个解也许容易，如果要求出一个函数方程的所有解常常遇到困难.这时就是所谓的通解问题.我们知道，只要给出函数在一个周期内的函数值，则需要将定义域延拓到整个实数域R 上，从而求得的()f x 就是相应函数方程的解.例如函数方程()()f x T f x +=，x R ∈，对以[0,]T 为定义域的任意函数()g x ，都可以得到函数方程的解()g x ，当0x T ≤≤时；()f x =()g x nT -，当(1)nT x n T ≤≤+时.其中n为整数.当函数方程中的未知函数是多项式时，就称为多项式函数方程.这是函数方程中较为常见、也较简单的一类.多项式法就是利用多项式相等的原理，通过比较等式两边的次数、系数，或通过比较方程的根的个数来求出多项式函数方程的解的方法.方程()()()+=称之为Cauchy方程，是法国数学家Cauchy最早研f x y f x f y究并解决的.他的解法是一种逐步扩充其定义域的推理方法，即先在自然数集上，求其函数方程应具有的形式，然后逐步证明这种解的定义域可扩充到整数、有理数、无理数直到实数.这种解题方法后人称之为Cauchy方法.在()f x单调（或连续）的条件下，先将自变量考虑成自然数求出函数方的解，然后证明该解的表达式当其自变量取成整数、有理数及实数时仍然满足该函数方程，从而获得函数方程的解.但它受函数连续性要求的限制.柯西法在高等数学中的使用频率极高，故在中学里只需了解就可.结论由于函数方程的形式相当多，解决的方式也就相对的丰富.尤其是在高等数学中，运用微积分解决函数方程问题就显得非常简单了；但在初等解法里，方式方法丰富多样：换元法（代换法）、赋值法、待定系数法、迭代周期法（迭代法）、数学归纳法、数列法、反证法及不等式法等，都是常见而且易懂的初等解法.但在解决很多问题时，不仅仅使用一种方法，也有几种方式相结合而进行的，如：例2.2.2就是换元法与赋值法的结合，例2.7是赋值法与反证法的结合.在求解某些问题时，通过构造函数方程，也可以将问题转化为函数方程分解，从而使问题比较简化、明了.参考文献[1] 张伟年、杨地莲、邓圣福.函数方程[M].成都：四川教育出版社，2002,36-72.[2] 陈刚、陈凌云.函数方程的初等解法[J].绥化师专学报.1996，第1期：120.[3] 黄洪琴.函数方程[J].成都教育学院报.2005，第19卷（6）：117-118.[4] 毕唐书.全线突破.高考总复习·数学（理科版）[M].北京：中国社会出版社，2005,13.[5] 陈传理、张同君.竞赛数学教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2005,170-170.[6] 聂锡军.函数方程的解法及应用[J].丹东师专学报.1997，总第68期：20.[7] 姚开成.函数方程的几种解法[J].新疆石油教育学院学报.2000，第5卷（5）：46-47.[8] 张同君、陈传理.竞赛数学解题研究[M].北京：高等教育出版社，2000（2005重印）,72-75.[9] 余元希.初等代数研究（下册）[M].北京：高等教育出版社，1988（2004重印）,344-345.[10] 蒋国宝.函数方程的解法[J].宁德师专学报（自然科学版）.1998，第10卷（1）：37-38.[11] 赵伟.解函数方程的若干初等方法[J].中学数学月刊.2004，第6期：30-31.致谢在本篇论文的选题，以及写作过程中，承蒙指导教师代泽明副教授的悉心指导，多次修改终于完成了本篇论文.在此我向代老师致以诚挚的感谢：通过这次论文的编写我感受到了学术编写的困难和乐趣，深省数学知识在各学科中的重要作用.同时，也感谢同组的所有同学，他们在我写作此篇论文的过程中也给予了我很多帮助.大学四年转瞬即逝,作为一名即将毕业的学生,我感谢绵阳师范学院的所有老师,感谢你们在这四年里对我的谆谆教导；感谢你们在这四年里对我的培养；感谢你们在这四年里对我的关怀；感谢你们为祖国培养了一批又一批优秀的人民教师.最后祝愿绵阳师范学院的明天更美好！祝愿数学与信息科学系前程似锦！祝愿所有老师身体健康，工作顺利！范臣菊 2007年5月30日。

数学中的函数与方程解题技巧

数学中的函数与方程解题技巧近年来，数学作为一门重要的学科，在各个阶段的教育中都占据着重要地位。

函数与方程作为数学的重要概念，涉及到许多解题技巧，对于学生提高数学解题能力至关重要。

本文将介绍一些常见的函数与方程解题技巧，帮助学生更好地应对考试和学习中的数学问题。

一、函数解题技巧1. 明确函数的定义域和值域解题时，首先要明确函数的定义域和值域。

定义域是指函数自变量的取值范围，值域是指函数因变量的所有可能取值。

明确定义域和值域有助于我们正确理解函数关系，并且在解题过程中可以避免出现无效的计算。

2. 利用函数的性质进行变形在解题过程中，我们可以利用函数的性质进行变形，从而更好地解决问题。

例如，对于二次函数，可以利用平方完成配方，求解最值等。

利用函数的性质进行变形可以简化问题，提高解题效率。

3. 掌握函数图像与函数表达式的关系函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的性质。

通过观察函数的图像，我们可以判断函数的单调性、奇偶性等特征，从而帮助我们解题。

同时，也可以通过函数表达式来画出函数的图像，加深对函数性质的理解。

二、方程解题技巧1. 运用等式的性质进行变形在解方程的过程中，我们可以利用等式的性质进行适当的变形，从而将方程转化为更简单的形式。

例如，可以利用分配律、合并同类项等运算进行等式的变形。

灵活运用等式的性质可以帮助我们更好地解决方程问题。

2. 注意方程两边的等价性解方程需要注意方程两边的等价性。

对方程进行等价变形时，要保证方程两边的值保持相等。

如果进行的变形会改变两边的值，需要在等式两边同时进行相同的操作，以保持等价性。

3. 利用因式分解简化方程对于多项式方程，我们可以利用因式分解简化方程。

通过找出方程中的公因式或者运用求根公式等方法，将方程化简成一次或二次方程。

因式分解的技巧对于解复杂方程问题非常有用。

三、函数与方程综合应用技巧1. 将问题转化为函数或方程在解决实际问题时，我们可以将问题转化为函数或方程的形式。

浅议函数与方程思想在解题中的运用

Ｌ
线对称轴ｚ一一为Ｙ轴，再结合特殊点位置＝０时，
厶“
ｌｃ一
＞ｏ，可轻松建立方程组求解．即
Ｖ＂一联合求解
Ｉ一３＞Ｏ
即可．该题在求解过程中首选根据抛物线特征参数，亦即对称轴方程确定关于的方程式，再结合抛物线定点特征，限定７／＇１的取值范围，通过二者之间的制约关系，建
出未知数的值．两者结合的思想关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系，这是轻松求解函数问题的基础，可以使数学问题变得简洁、清晰．通常情况下，函数与方程思想的应用涉及方程组的求解，此类题目的一般解题步骤是尽可能挖掘题目所含条件，根据上文所提到的函数和方程所具备的基本元素，限定特征方程解析式对应的等式条件，将互相制约的各个方程联立起来，构建具有共解的方程组，以下实例具体说明．
图（ａ）图（ｂ）图（ｃ）图（ｄ）
从以上基本知识的梳理中可以看出，构建数学模型是对简单函数知识深刻理解的有效途径，通过对关键系数的分类思考，可以全面掌握函数思想在解题过程中所具备的基本要素，实际题目中涉及的函数知识点往往围绕以上关键系数展开．因此学会采用数学模型方法，以数形结合的方式巩固基本知识，是熟练掌握函数求解题目首先要挖掘隐含条件．构建方程的首要任务是寻找题目中的等量关系．设想在题目所给条件下，存在一个类似方程式的等式，其中包括若干未知量和已知量．能否顺利应用函数与方程思想，取决于寻找方程所需要的对等条件．任何方程的求解，可以视为是对函数值为０时的自变量方程求解．比如，一元一次方程忌＋６ —０可以看做是一志＋ｂ的函数值为０时，自变量ｚ的表达式．方程思想的应用在一定程度上拓宽了解题思维，使得对方程式的求解更加形象具体，某种意义上赋予了一定的数学含义，对学生来说更加具有启发性．

【文献综述】关于函数方程的求解

文献综述数学与应用数学关于函数方程的求解1、本课题研究的意义当今世界，在数学研究的许多领域包括微分方程、动力系统、泛函分析、代数学、几何学、拓扑学、概率论等都涉及到函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.函数方程又是一个经典的课题，早在18世纪初期，欧拉(L ．Euler)、拉格朗日(Lagrange)等著名数学大师就已经利用函数方程解决问题了.1769年达朗贝尔〔D’A1cmbert)在讨论力的合成法则时，导出了函数方程()()2()()f x y f x y f x f y ++-=1773年法国数学家蒙日在研究曲面理论时又再一次运用了函数方程，并且给出了关于函数方程的一般阐述；同年，拉普拉斯又对另一类广泛应用的函数方程提供了解法；从1821年，数学家柯西(A. L ．Cauchy)对一系列函数方程，如()()()()()()()()2()()f x y f x f y f xy f x f y f x y f x y f x f y +=+=+++-=等作了深入的研究，并创造了一种求解函数方程的方法——柯西(Cauchy)法；另外，函数方程还受到了阿贝尔(N ．H ．Abel)、维尔斯特拉斯、哈代(G ．H ．Hardy)以及阿采尔等数学家的充分重视.被应用于不同的领域，取得了许多令人意想不到的结果.例如，罗巴切夫斯基就曾将平行角1()2x k tg x e π-=定义成函数方程(2x y f +=的解.20世纪初期，以谢留德为首的波兰学派对函数方程进行了—些开创性的研究工作.20世纪40年代前后，苏联数学家盖尔谢凡诺夫教授进一步发展了函数方程的某些理论，并成功解决了一系列有关力学、渗透理论、弹性理论和地层动力理论等问题(这些问题都与谢留德函数方程有关).20世纪以来函数方程常常出现在国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题之中，成为当今数学竞赛的一个重要领域，越来越受到数学竞赛命题者的青睐，并引起国内外数学教育界的广泛关注.2、目前国内的研究现状长期以来，尽管很多数学工作者付出艰辛的努力，并获得了大量结果，但遗憾的是至今仍没有像微分方程那样，建立起完整、系统的函数方程理论，就连一般的解法也较少.由于函数方程的异常复杂和困难，二百多年间发展缓慢、步履维艰.至今还没有关于函数方程的统一理论和解函数方程的一般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯一性的判断准则.不仅如此，甚至还有一些函数方程至今未能解出.3、本课题研究的内容与重点本文试图对函数方程的解法主要是初等解法作一个初步的总结.但由于函数方程类型十分复杂，想对它进行适当分类就比较困难，加之还没有形成一般的理论和一般的方法，以及受我能力所限，欲对这一课题作系统、完整的叙述，似乎不现实，所以本文就我感兴趣的方法作一介绍.1．介绍函数方程的有关背景;2．介绍函数方程的有关概念与定义;3．介绍并重点研究解函数方程的方法.本文研究讨论了解函数方程的8种方法.分别是：换元法、待定系数法、递归数列法、数学归纳法、辅助数列法、利用方程组求解函数方程、代值减元法、柯西法求解函数方程.这8种方法每种方法后面都有一定的例题.其中以柯西法求解函数方程篇幅最长.4、本课题研究所存在的问题由于函数方程的异常复杂和困难，二百多年间发展缓慢、步履维艰.长期以来，尽管很多数学工作者付出艰辛的努力，并获得了大量结果，但遗憾的是至今仍没有像微分方程那样，建立起完整、系统的函数方程理论，至今还没有解函数方程的一般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯一性的判断准则.甚至还有一些函数方程至今未能解出.当今几乎所有数学专业基础课《数学分析》和《高等数学》教材中都没有关于函数方程专门一章的讨论，这对于有些同学对函数方程的定义概念十分的陌生.同学们都知道函数与方程，但并不了解函数方程.函数与方程思想在中学以及大学中应用广泛.很多同学误认为函数方程就是函数与方程的应用.由于函数方程的研究发展缓慢，图书馆可以借到的关于函数方程的书籍资料异常的少.网上关于函数方程的文献资料也不充裕.这对我深入研究函数方程影响很大.5、参考依据[1] 王向东.函数方程及其应用[M].上海：上海科学技术文献出版社，2003：1-2.[2] 韩苏.函数迭代与函数方程[J].数学通讯，2001,24：第36页.[3] 马俊青.函数方程求解的迭代周期方法的研究[J].甘肃联合大学学报（自然科学版）， 2007,21（4）：第121页.[4] 蒋强.求解函数方程五法[J].中学教研（数学），1993,8:第21页.[5] 丁钧.巧用换元法解函数方程[J].河南科技，2010,4：第80页.[6] 周晓文.函数方程问题的求解策略[J].中学数学教学，2003，05：第29-30页.[7] 俞宏毓.函数方程的一些解法[J].数学教学通讯，2005,10:第45页.[8] 王晖.函数方程的解法浅析[J].消费导刊，2008,12,第164页.[9] 胡昱.函数方程的一些解法[J].西昌师范高等专科学校学报，2002, 14（3）：第79页.[10] 阿拉坦巴根.试论用初等方法解函数方程[J].内蒙古名族大学学报，2008,14（2）：第 7页.[11] 张桦.函数方程研究[J].文教资料，2005,29:第169-170页.[12] 蒋华函数方程有效解题方法探析[J].才智，2010,05：第45页.。

总结方程函数思想解题思路

总结方程函数思想解题思路方程函数思想是解决问题时使用方程与函数的性质、关系与运算方法进行分析、建模与求解，是一种非常重要的工具和方法。

通过方程函数的思想，我们可以将复杂的实际问题转化为简单的代数方程，从而能够更加深入地研究和分析问题的本质。

方程函数思想的解题思路可以概括为以下几个步骤：1.理解问题：首先要充分理解题目中给出的条件和要求，确定问题的背景和目标。

仔细阅读题目，提取关键信息，明确问题的具体内容。

2.分析问题：分析问题的性质和特点，确定需要求解的未知量，并且尽可能简化问题的形式和结构。

通过观察和思考，寻找问题中存在的模式、规律和关系。

3.建立方程：根据问题的要求，建立一个或多个与问题相关的方程。

这些方程可以是线性方程、二次方程、指数方程、对数方程等等，也可以是通过函数的关系进行建立的方程。

4.求解方程：使用代数运算的方法，求解建立好的方程。

根据方程的性质和特点，逐步推导解的过程，找到符合题目要求的解。

在解题的过程中，可以使用因式分解、配方法、二次根判别式、公式法等方法来求解方程。

5.检验结果：将求得的解带入原方程中进行验证，确保求解的结果符合实际问题的要求。

这一步非常重要，可以帮助我们发现和纠正可能存在的错误。

6.讨论和思考：对于复杂和困难的问题，可能需要进一步思考和讨论。

可以考虑使用函数的性质、图像和变化规律来解决问题，通过构造函数的关系、组合和分解来解决问题。

7.总结和应用：通过解题的过程，总结问题的解题思路和方法。

将解题经验运用到其他类似的问题中，加深对方程函数思想的理解和熟练应用。

方程函数思想在数学、物理、化学、经济等各个领域都有着广泛的应用。

它不仅可以解决实际问题，也可以帮助我们理解数学的本质和思维方式。

掌握方程函数思想的方法和技巧，可以提高数学思维的灵活性和创造性，培养解决问题的能力和思维方式。

在实际生活中，方程函数思想可以用于解决很多实际问题。

比如在经济学中，我们可以通过建立成本、收入和利润的方程来分析企业的经营状况和盈利能力；在物理学中，我们可以通过建立运动方程和牛顿定律的方程来研究物体的运动和力学规律。

函数方程的解法及其应用

函数方程的解法及其应用
函数方程是一种方法，用来把一个变量与另一个变量或几个变量之间的问题表示出来。

函数方程可以帮助科学家、工程师或数学家准确地定义、描述和解释物体之间的关系。

函数方程有许多解法，其中最常用的是求解和分解解法。

求解法就是解决所给函数的参数的值，而分解解法是把复杂的函数分解成比较容易理解的函数。

函数方程的应用十分广泛，可以说，函数方程是科学研究的基石。

其中，最常用的应用是解决物理问题，尤其是力学问题。

例如，估算汽车、飞机等运动物体的运动规律，都可以通过函数方程表达出来。

此外，函数方程还被广泛应用于自然科学中，例如，利用它们可以估算化学/介电反应以及生物学现象，研究材料性质等等。

另外，函数方程还可以应用于社会科学和管理学，比如用它们来估算社会学现象、分析决策过程和探索企业管理等等。

总之，函数方程可以用来解释在很多领域中复杂的现象，它们具有广泛的应用。

将函数方程以及解法系统地研究后，它就具有了解决科学问题、改善技术设备、估算企业管理和分析社会现象等多方面的实用意义。

函数方程的解法浅析

函数方程的解法浅析作者：王晖来源：《消费导刊·理论版》2008年第12期[摘要]在高等数学范畴中，灵活应用方程组、极限、导数、微分方程、积分等知识求解函数方程对教学具有普遍指导意义。

[关键词]函数方程解题方法高等数学作者简介：王晖（1973-），男，山东莱芜，副教授，教育硕士。

方程的教学是数学教学的重要内容之一。

初等数学中从一元一次方程开始，由浅入深的讨论了一元二次方程，二元、三元方程组，并在此基础上进一步研究了简单的高次方程、分式方程、无理方程、指数方程、对数方程等。

在教学实践中，常遇到以未知函数为未知量的方程，我们把这种方程称作函数方程，由于函数方程的形式多样，其解法也灵活多变，加之近年来各种考试中有所体现，本文就函数方程的解法通过典型例题作一探究，以供读者参考。

一、利用方程组求解函数方程有些函数方程，通过仔细观察分析会发现函数中变量之间存在互为倒数、互为相反数等特殊的关系，对这类函数方程，可利用换元法得到函数方程的导出方程。

由于变化时没有改变函数的定义域，所以原函数方程和其导出方程形成的方程组的解即为函数方程的解。

二、利用极限求解函数方程当函数方程是通过极限的形式或条件中含极限给出时，由函数极限的定义我们知道：在某极限过程中，函数存在极限时，此极限值必为一固定常数，或为某不定型经过变形可得一固定常数，因此解此类方程主要是通过对方程两边取极限或通过对所给极限结构的分析，在保证极限存在的前提下，利用极限求解．三、利用导数定义求解函数方程当所求函数方程中或题设条件中涉及到函数的导函数或函数在某点导数值时，可通过构造函数导数结构四、利用变限积分的可导性求解函数方程我们知道，如果函数f(x)在[a,b]上连续，则变上限积分在区间[a,b]上可导，且其导数为f(x)。

因此当函数方程中含有变上限的积分时，可以利用方程两边对自变量求导，将函数方程变成微分方程，通过解微分方程而求解．五、利用连续函数的可积性及原函数的连续性求解函数方程若函数f(x)在[a,b]上的连续，那么存在，有牛顿莱布尼兹公式知：如果F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数，则所以f(x)=ex+(1-e2)x解函数方程本文只起到抛砖引玉的作用，由于函数方程形式的多样化，其解法并无严格固定的模式可循，也并非拘泥于某些方法，对于勤奋努力学习的人来说，丰富而熟练的数学基础知识是解决问题的关键。

函数方程解题思想总结

函数方程解题思想总结函数方程解题是指在函数方程中找出满足条件的函数，使得方程成立。

解题过程中需要通过观察、代入和推理等方法来得出解的过程。

下面是我对函数方程解题思想的总结：1. 观察函数性质：首先要观察函数的性质，尤其是函数的定义域、值域以及函数的增减性等。

这些性质可以帮助我们对函数方程的解有初步的了解。

2. 代入法：通过将特定的数值代入函数方程，可以得到一些方程解的性质。

特别是当方程为恒等式时，通过代入法可以找到方程的解。

3. 构造法：构造法是一种常用的解函数方程的方法。

通过对函数方程进行逻辑推理和构造，可以得到满足方程的函数。

例如，根据函数的定义域、值域及性质，可以选择某些特定的函数，使得方程成立。

4. 函数的分解与合成求解：对于一些复杂的函数方程，可以通过将函数进行分解或合成，将问题化简为简单的函数方程。

例如，可以将一个复杂的函数方程分解为几个简单的函数方程来进行求解。

5. 函数的逆与复合：对于一些函数方程，可以通过求解其逆函数或者将函数进行复合来得到解。

这种方法通常需要对函数的性质有一定的了解。

6. 变量替换与代数化简：有时，通过将函数方程中的变量替换为一个新的变量，可以使得方程形式更加简单，进而更容易求解。

这种方法常常需要通过代数化简来得到方程的解。

7. 搜索法：对于一些比较复杂的函数方程，在通过观察、代入和推理等方法找不出解时，可以通过搜索法来求解。

搜索法通常会遍历函数的所有可能性，直到找到满足条件的函数。

在实际解题过程中，可以根据具体的问题选择合适的方法。

有时需要多种方法的结合，甚至需要一些创新的思路来解决问题。

函数方程解题需要灵活运用数学知识和技巧，提高问题解决能力和创新能力。

总之，函数方程解题的关键在于对函数的性质和方程的特点进行准确的分析和观察，然后选择适当的解题方法来求解。

在解题过程中，需要灵活应用数学知识和技巧，提高问题解决能力和创新能力。

函数与方程的解与应用

函数与方程的解与应用在数学中，函数与方程是两个重要的概念。

函数是一种元素之间的对应关系，而方程是用来求解未知数的等式。

函数与方程的解是数学中的基本概念，也是应用数学的重要工具。

本文将探讨函数与方程的解以及它们在实际应用中的作用。

一、函数的解函数是一种对应关系，通常由一个输入集合和一个输出集合组成。

对于给定的输入，函数会产生一个输出。

函数的解是指使函数等式得到真值的输入值。

例如，对于函数f(x) = 2x，当输入值x为2时，函数等式f(x) = 2x的解为4，因为2 * 2 = 4。

函数的解可以有多个，也可以没有解。

对于线性函数而言，解是唯一的。

例如，对于函数f(x) = 3x + 1，只有一个输入值能够使等式成立，即x = 0。

因此，函数f(x) = 3x + 1的解为x = 0。

而对于非线性函数，解可能有多个。

例如，对于函数f(x) = x^2 - 4，等式f(x) = x^2 - 4 = 0有两个解，即x = 2和x = -2。

函数的解对于理解函数的性质和性质的应用具有重要意义。

通过求解函数的解，我们可以确定函数的零点、最值以及图像的特征。

这些信息在数学建模和实际问题解决中具有重要作用。

二、方程的解方程是一种包含未知数的等式，通过求解方程，可以确定未知数的值。

方程的解是使方程等式成立的未知数的值。

解可以是实数、复数或其他数学结构中的元素。

方程的解可以有一个或多个，也可能没有解。

例如，线性方程x + 2 = 5只有一个解，即x = 3。

而对于二次方程x^2 + 4 = 0，由于平方数永远非负，因此该方程无实数解。

然而，通过引入复数，我们可以得到该方程的两个解，即x = 2i和x = -2i，其中i为虚数单位。

方程的解是解决实际问题的关键步骤。

许多实际问题可以转化为数学方程，通过求解方程的解，我们可以得到问题的答案。

例如，解线性方程组可以用于解决同时方程问题，求解二次方程可以用于计算抛物线的顶点等。

关于函数与方程的解题方法及总结

关于函数与方程的解题方法及总结关于函数与方程的解题方法及总结关于函数与方程的解题方法及总结纵观近几年的高考试题，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一。

在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题。

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重比较大，综合知识多、题型多、应用技巧多。

在高中新课标数学中，还安排了函数与方程这一节内容，可见其重要所在。

在近几年的高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐步提高的四个层次：（1）解方程；（2）含参数方程讨论；（3）转化为对方程的研究，如直线与圆、圆锥曲线的位置关系，函数的性质，集合关系；（4）构造方程求解。

高考函数与方程思想的命题主要体现在三个方面：①是建立函数关系式，构造函数模型或通过方程、方程组解决实际问题；②是运用函数、方程、不等式相互转化的观点处理函数、方程、不等式问题；③是利用函数与方程思想研究数列、解析几何、立体几何等问题．在构建函数模型时仍然十分注重“三个二次”的考查．特别注意客观形题目，大题一般难度略大。

类型一、函数思想在方程中应用类型二、函数思想在不等式中的.应用类型三、函数思想在数列中的应用类型四、函数思想在立体几何中的应用【点评】对于函数图象的识别问题，若函数y=f(x)的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间。

[函数与方程的解题方法及总结]。

函数与方程的求解

函数与方程的求解随着数学的发展，函数与方程的求解成为了数学中非常重要且基础的知识点。

函数是描述自变量和因变量之间关系的工具，而方程则是表达等式关系的数学语句。

在解函数与方程的过程中，我们需要了解不同类型的函数和方程，以及相应的求解方法。

一、一次函数与一元一次方程的求解一次函数的一般形式是y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。

一元一次方程的一般形式是ax + b = 0，其中a和b为常数，x为未知数。

在求解一次函数时，我们可以通过给定x的值，代入函数中计算出对应的y值。

例如，对于函数y = 2x + 1，当x = 3时，可以计算出y =2 *3 + 1 = 7。

而在求解一元一次方程时，我们需要将方程转化为标准形式，即将未知数从系数的一侧孤立出来。

例如，对于方程2x + 3 = 7，我们可以先将式子两侧同时减去3，得到2x = 7 - 3 = 4，然后再将式子两侧同时除以2，得到x = 4 / 2 = 2。

二、二次函数与一元二次方程的求解二次函数的一般形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。

一元二次方程的一般形式是ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，x为未知数。

求解二次函数时，我们可以利用抛物线的性质和顶点公式来求得顶点坐标，进而得知抛物线的开口方向和最值点。

而求解一元二次方程时，我们可以利用求根公式来求得方程的根。

一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

需要注意的是，方程的解可能是实数或复数，这需要根据判别式(b^2 - 4ac)的正负来判断。

三、其他类型函数与方程的求解除了一次函数和二次函数，还存在其他类型的函数和方程，如分式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

这些函数和方程在不同的数学领域中都有广泛的应用。

在求解其他类型函数时，我们需要根据具体函数的性质和特点来选择合适的求解方法。

总结方程函数思想解题技巧

总结方程函数思想解题技巧方程函数是高中数学中的一个重要概念，它经常用来解决各种实际问题。

方程函数思想解题技巧是指在解题过程中，利用方程函数的性质和特点，通过建立方程并求解，来得到问题的解答。

下面将详细介绍方程函数思想解题技巧。

首先，方程函数的基本概念是解题的关键。

方程函数是指一个等式中含有未知数的数学式。

在实际问题中，未知数通常代表某个未知的量或者要求的答案。

建立方程函数可以将问题中的各个条件联系起来，以方程的形式表示出来。

建立方程的过程中，需要注意问题中的关键词和关系。

有些关键词和关系可以直接转化为方程，比如“总数”、“比例”、“等距”，等等。

还有一些问题需要通过一定的逻辑推理和转换，来建立与问题相对应的方程。

其次，方程函数的特性为解题提供了方向。

方程函数的特性包括：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

每一种函数都有其独特的性质和特点，可以根据问题的要求选择合适的函数类型，进一步建立相应的方程。

通过分析问题和函数的特性，可以确定未知数的取值范围。

这个范围通常是根据问题的实际意义和条件来确定的，比如时间、长度、速度等。

在建立方程时，需要考虑这些限制条件，并加以合理的利用。

接下来，通过求解方程来得到问题的答案。

方程的解通常是未知数的取值，同时也是问题的答案。

求解方程的过程中，可以利用方程的性质和特点，采用代入法、变量代换法、图像法等不同的求解方法。

在进行代数运算时，需要注意方程两边的平衡性。

运用平等原则，可以进行逐步推导和化简，最终得到方程的解。

对于二次函数和对数函数等复杂的方程，可能需要使用开方、对数运算等技巧来求解。

最后，将得出的解带入原始问题进行检验。

这一步是非常重要的，可以验证方程的解是否符合问题的条件和要求。

如果解满足了所有条件，那么得到的解就是问题的正确答案。

综上所述，方程函数思想解题技巧是一种利用方程函数的性质和特点，通过建立方程并求解的方法，来解决实际问题的有效手段。

在解题过程中，需要注意问题的关键词和关系，理解函数的特性和未知数的取值范围，运用适当的求解方法，并对解进行检验。

数学中的函数与方程的解析技巧

数学中的函数与方程的解析技巧在数学中，函数与方程是两个非常重要的概念。

函数是一种表达两个变量之间关系的数学工具，而方程则是表示两个量相等的数学表达式。

掌握函数与方程的解析技巧对于数学学习和问题解决至关重要。

本文将介绍一些数学中的函数与方程的解析技巧，帮助读者更好地理解和应用它们。

一、函数的解析技巧函数描述了两个变量之间的依赖关系，常见的函数形式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

不同类型的函数具有不同的特征和性质，掌握它们的解析技巧可以帮助我们更好地理解函数的行为和性质。

1. 利用函数的定义域和值域进行分析在分析一个函数时，首先要确定其定义域和值域。

定义域是指函数的自变量可以取的值的集合，值域是指函数的因变量可以取的值的集合。

通过分析定义域和值域，我们可以得到函数的一些基本性质，比如函数的增减性、奇偶性等。

同时，对于一些特殊函数，如有界函数、周期函数等，我们还可以通过定义域和值域的特点来确定其具体的形式。

2. 求函数的导数和极限导数是函数的一种重要的数学工具，可以描述函数在某一点的变化率。

通过求函数的导数，我们可以得到函数的增减区间、最值点、拐点等重要特征。

同时，通过研究函数的导数的符号变化，我们还可以得到函数图像的凹凸性质。

极限是函数的另一个重要概念，可以描述函数的趋势和趋近性。

通过求函数的极限，我们可以判断函数在某一点是否连续，从而判断函数图像的断点和间断点。

3. 利用函数的性质简化计算在实际应用中，我们经常遇到一些复杂的函数表达式。

此时，利用函数的性质可以帮助我们简化计算过程。

比如，对于指数函数，我们可以利用指数函数的性质将复杂的指数运算转化为简单的乘法运算。

二、方程的解析技巧方程是数学中研究等式关系的一个重要概念，常见的方程类型包括线性方程、二次方程、指数方程、对数方程等。

解方程的过程就是寻找使得等式成立的未知数的值。

1. 求解方程的方法根据方程的类型和特点，我们可以选择不同的求解方法。

浅谈函数问题的解题策略

浅谈函数问题的解题策略函数是中学数学中的重要内容，高中数学大部分章节都涉及函数或者函数思想方法，其理论和应用涉及数学的各个分支。

所以说函数是中学数学的一条主线。

单从知识点在课本中的体现角度来看差不多整个高中所学的内容有一半的与函数知识紧紧地联系在一起，所以地位极其重要。

函数是中学数学最重要的基本概念之一，函数思想也是整个高中数学最重要的数学思想之函数与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、导数等内容的联系也非常密切；函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其它学科中有广泛的应用；函数概念及其反应的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。

再从高考的试题来分析高考大题（解答题）基本上是函数内容，没有学好、学透函数的性质可以说相当于没有读高中数学，也就是说在高考中不可能取得好成绩。

在综合题型中最能体现函数这一块知识内容，解析几何的题例直线与曲线是经典一元二次函数的问题，算法中同样也有函数问题。

总之，函数知识贯穿整个高中数学内容，在每一块知识领域中都有函数的存在，函数无处不在，没有函数就不是数学，函数是数学的核心。

正是因为函数的重要性、应用的广泛性，下面就个人在长期教学中的一些体会谈谈函数问题的一些解题策略。

一、定义域优先策略函数定义域是研究函数性质的基础，是函数成立的先决条件。

三、变量常量互化策略变量与常量是相对的，有时把看似常量的量看作变量，把变量看作常量，即通过变换主元，有时做题时会收到柳暗花明又一村的效果。

四、分类讨论策略分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论思想的数学命题在高考试题中占有重要地位。

高中数学中在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决。

函数方程的几种方法

函数方程三、求解函数方程的几种方法：一．代换法 1．解函数方程：x x x f x f +=-+1)1()( (1)解：令1,0,1≠-=y y y x ；则xy -=11，将此代入：yy y f y y f 12)11()1(-=-+-或x x x f x x f 12)11()1(-=-+-。

(2) 此时(1)及(2)并无法解出)(x f ；所以我们再令1,0,11≠-=z z x 此代入（1）式则可得z z z f z f --=+-12)()11(，即x f x f =+-)()11(将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以)1(),11(),(xx f x f x f --一次方程组；我们利用消去法来解此问题． (1)+(3)：x x x x x x f 1212)1()(2----++=)1(21)(23---=⇒x x x x x f 。

经检验是原函数方程的解．2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R f :得 )3(3)()(1)(1)(y y f b x y f b b b x f y x f y y -+⋅=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。

解：将原方程变形为：1)(3))(()(-++⋅+=++y f b x y x y b x f b y x f ， (x , 令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-⋅=+y g x g y x g ，(x , )R y ∈② 在②中令0=y 得1)0(3)()(-⋅=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或。

1）若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)(；2）若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=⋅=y g y g g y g ，即0)(31)(=--y g y g 。

)(R y ∈③考虑函数t t h t -=-13)(，它的导函数13ln 3)('1-=-t t h ，则11)(log log 0)('33<+=⇔=e t t h ，于是可知0)(=t h 有两根11=t 和c t =2)10(<<c ，于是③式等价于1)(=y g 或c 。