苏教版高二+圆的综合应用

苏教版高二圆的综合应用一．填空题（共22小题）1．若实数x、y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为．2．已知两点M（0，﹣）和N（0，），若直线上存在点P，使﹣=2，则称该直线为“和谐直线”．现给出下列直线：①x=2；②x﹣2y﹣3=0；③y=x；④2x+3y ﹣1=0，其中为“和谐直线”的是（请写出符合题意的所有编号）．3．设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为．4．已知x，y∈R，则的最小值为．5．在平面直角坐标系中，定义（n为正整数）为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，将之称为点变换，已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n+1（x n+1，y n+1）…是经过点变换得到的一列点，并记a n为点P n与P n+1间的距离，若数列{a n}的前n项和为S n，则S n为．6．已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是．7．设圆O1：（x+t）2+（y﹣2）2=4（t∈R），记N（t）为圆O1内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（t）的所有可能值为．8．已知直线（2lna）x+by+1=0与曲线x2+y2﹣2x+2y+1=0交于A、B两点，当|AB|=2时，点P（a，b）到直线2x﹣y+4=0距离的最小值等于．9．已知圆C的圆心与点M（1，﹣2）关于直线x﹣y+1=0对称，并且圆C与x﹣y+1=0相切，则圆C的方程为．10．已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为．11．已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2上，且，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为．12．若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上恰有三个不同的点到直线l：y=kx的距离为2，则k=．13．设直线3x+4y﹣5=0与圆C1：x2+y2=4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是．14．已知圆C的圆心在第一象限，与x轴相切于点，且与直线也相切，则该圆的方程为．15．过点M（a，0）的直线交圆O：x2+y2=25于点A、B，若•=﹣16，则实a=．16对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是．17．已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设P i是l i（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是．18．已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为．19．已知圆O的半径为R，圆内一定点M且，一直线过点M且与该圆交于A，B 两点，则△OAB面积的最大值为．20．如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B 点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是．21．设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最小值为．22．圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为．二．解答题（共8小题）23．已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），动圆过点F2，且与圆F1相内切．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．24．已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．25．已知点B′为圆A：（x﹣1）2+y2=8上任意一点、点B（﹣1，0）．线段BB′的垂直平分线和线段AB′相交于点M．（1）求点M的轨迹E的方程；（2）已知点M（x0，y0）为曲线E上任意一点．求证：点关于直线x0x+2y0y=2的对称点为定点、并求出该定点的坐标．26．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（﹣2，0），直角顶点，顶点C 在x轴上，点P为线段OA的中点（1）求BC边所在直线方程；（2）圆M是△ABC的外接圆，求圆M的方程；（3）若DE是圆M的任一条直径，试探究是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．27．已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（）．（1）求圆C的方程；（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y﹣4=0的距离的最小值；（3）若直线l与圆C相切，且l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，求△ABC的面积最小时直线l的方程．28．已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，设点B，C是直线l：x﹣2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（t∈R），点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．（1）若t=0，，求直线PA的方程；（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）．29．如图，已知定圆C：x2+（y﹣3）2=4，定直线m：x+3y+6=0，过A（﹣1，0）的一条动直线l与直线相交于N，与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点．（Ⅰ）当l与m垂直时，求证：l过圆心C；（Ⅱ）当时，求直线l的方程；（Ⅲ）设t=，试问t是否为定值，若为定值，请求出t的值；若不为定值，请说明理由．30．已知⊙C过点P（1，1），且与⊙M：（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．（Ⅰ）求⊙C的方程；（Ⅱ）设Q为⊙C上的一个动点，求的最小值；（Ⅲ）过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．苏教版高二圆的综合应用参考答案与试题解析一．填空题（共22小题）1．（2012•北京模拟）若实数x、y满足（x﹣2）2+y2=3，则的最大值为．考点：直线的斜率；直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：利用的几何意义，以及圆心到直线的距离等于半径，求出k的值，可得最大值．解答：解：=，即连接圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此的最值即为过原点的直线与圆相切时该直线的斜率．设=k，则kx﹣y=0．由=，得k=±，故（）max=，（）min=﹣．故答案为：点评：本题考查直线的斜率，直线与圆的位置关系，考查计算能力，是基础题．2．（2013•大观区校级三模）已知两点M（0，﹣）和N（0，），若直线上存在点P，使﹣=2，则称该直线为“和谐直线”．现给出下列直线：①x=2；②x﹣2y﹣3=0；③y=x；④2x+3y﹣1=0，其中为“和谐直线”的是①④（请写出符合题意的所有编号）．考点：两点间的距离公式．专题：压轴题；新定义．分析：由题意可知点P必在双曲线，把所给的直线方程与此双曲线的方程联立，只要有解就说明此直线是“和谐直线”．否则就不是．解答：解：由题意可知点P必在双曲线，（y＞0）．①联立，解得，∴直线x=2上存在点P满足题意，故直线x=2是“和谐直线”．②联立，且y＞0，消去x得到2y2+12y+11= 0，△=122﹣4×2×11=56＞0，但是因此此方程的y无大于0的解，∴此直线上存不在点P满足题意，故此直线不是“和谐直线”．③联立，消去y化为0=2，∴此方程组无解，∴直线上不存在点P满足题意，故此直线不是“和谐直线”．④联立，解得，∴此直线上存在点P（﹣4，3）满足题意，故此直线是“和谐直线”．综上可知：只有①④正确．故答案为①④．点评：由题意正确得出双曲线的方程和理解“和谐直线”的意义是解题的关键．3．（2014•济南一模）设圆C：（x﹣3）2+（y﹣5）2=5，过圆心C作直线l交圆于A，B两点，与y轴交于点P，若A恰好为线段BP的中点，则直线l的方程为y=2x﹣1或y=﹣2x+11．考点：直线与圆相交的性质；直线的一般式方程．专题：计算题；压轴题．分析：由题意可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3），P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，然后由方程的根与系数关系可得，x1+x2，x1x2，由A为PB的中点可得x2=2x1，联立可求x1，x2，进而可求k，即可求解直线方程解答：解：由题意可得，C（3，5），直线L的斜率存在可设直线L的方程为y﹣5=k（x﹣3）令x=0可得y=5﹣3k即P（0，5﹣3k），设A（x1，y1），B（x2，y2）联立消去y可得（1+k2）x2﹣6（1+k2）x+9k2+4=0由方程的根与系数关系可得，x1+x2=6，x1x2=①∵A为PB的中点∴即x2=2x1②把②代入①可得x2=4，x1=2，x1x2==8∴k=±2∴直线l的方程为y﹣5=±2（x﹣3）即y=2x﹣1或y=﹣2x+11故答案为：y=2x﹣1或y=﹣2x+11点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，方程的根与系数关系的应用，体现了方程的数学思想，属于中档题．4．（2012•柯城区校级模拟）已知x，y∈R，则的最小值为4．考点：两点间距离公式的应用．专题：综合题；压轴题；函数的性质及应用．分析：表示（x，x）与（﹣y，）两点距离的平方，相应动点的轨迹为直线y=x，曲线y=﹣，求出与直线y=x平行，且与曲线y=﹣相切的直线方程，则切点到直线的距离的平方为所求．解答：解：表示（x，x）与（﹣y，）两点距离的平方，相应动点的轨迹为直线y=x，曲线y=﹣求出与直线y=x平行，且与曲线y=﹣相切的直线方程，则切点到直线的距离的平方为所求．由y=﹣可得，令=1，则x=，故可得切点的坐标为，由点到直线的距离公式可得=2∴的最小值为4故答案为：4点评：本题考查两点间距离公式的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力．5．（2012•三元区校级模拟）在平面直角坐标系中，定义（n为正整数）为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，将之称为点变换，已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n+1（x n+1，y n+1）…是经过点变换得到的一列点，并记a n为点P n与P n+1间的距离，若数列{a n}的前n项和为S n，则S n为．考点：两点间距离公式的应用．专题： 压轴题；新定义．分析： 由题设可求P 1（0，1），P 2（1，1），由已知，可寻求a n 与a n ﹣1的关系，可得数列为等比数列，利用等比数列的求和公式，即可得到结论．解答： 解：由题设知P 1（0，1），P 2（1，1），a 1=|P 1P 2|=1，且当n ≥2时，a n 2=|P n P n+1|2=（x n+1﹣x n ）2﹣（y n+1﹣y n ）2=[（y n ﹣x n ）﹣x n ]2+[（y n +xn ）﹣y n ]2=5x n 2﹣4x n y n +y n 2a n ﹣12=|P n ﹣1P n |2=（x n ﹣x n ﹣1）2﹣（y n﹣y n ﹣1）2①由得，∴代入①计算化简得a n﹣12=|Pn﹣1P n|2=（）2+（）2=（5x n2﹣4x n y n+y n2）=a n2．∴=（n≥2），∴数列{a n}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，∴a n=n﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=故答案为：点评：本题是新定义类型，实际上考查了等比数列的判定与求和，考查推理、论力．探求数列{a n}的性质并利用得出的性质成为一种需求与自然．6．（2012•宝应县校级模拟）已知动点P（x，y）满足|x﹣1|+|y﹣a|=1，O为坐标原点，若的最大值的取值范围为，则实数a的取值范围是．考点：点到直线的距离公式；两点间的距离公式．专题：压轴题；函数的性质及应用．分析：先考虑|x﹣1|+|y﹣a|=1的图象，图象是（0，a），（1，a﹣1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，再对a进行分类讨论，如果a＞0就是（1，a+1）或（2，a）；如果a＜0就是（1，a﹣1）或（2，a）．再分类写出||平方的最大分段函数的图象，再读出||2取值范围为[，17]时，a取值范围．解答：解：考虑|x﹣1|+|y﹣a|=1的图象，如图，x必然是在0到2之间x取到0或2那么y只能取ax在两者之间y可以取两个值x取到1则y可以取a+1或a﹣1，图象是（0，a），（1，a﹣1），（1，a+1），（2，a）为端点的正方形，那么和O最远的应该是最远的两个端点之一，如果a＞0就是（1，a+1）或（2，a）如果a＜0就是（1，a﹣1）或（2，a）这样一来，||平方的最大值就是：当a＞0，（a+1）2+1或a2+4当a＜0，（a ﹣1）2+1 或a2+4比较它们的大小：当a≥1时，（a+1）2+1；﹣1＜a＜1时，a2+4；a≤﹣1时，（a ﹣1）2+1．作以上函数图象，再读出y取值范围为[，17]时a取值范围是．故答案为：．点评：本题主要考查了方程的曲线、向量的模及函数图象的应用，考查了数形结合思想、分类讨论思想．属于中档题．7．（2012•泉州一模）设圆O1：（x+t）2+（y﹣2）2=4（t∈R），记N（t）为圆O1内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（t）的所有可能值为9，10，12．考点：圆的一般方程．专题：计算题；压轴题．分析：分三种情况考虑：①当t为整数时；②当t为两个连续的整数点的正中间位置的数；③当t为两个连续的整数点中的数且不是两整数的平均数分布求解解答：解：∵圆O1：（x+t）2+（y﹣2）2=4的圆心（﹣t，2）半径为2①当t为整数时，圆内共有9个整数点②当t为两个连续的整数点的正中间位置的数时，圆内有12个整数点③当t为两个连续的整数点中的数且不是两整数的平均数时，圆内有10个整数点综上可得，可能的整数点的情况有9，10，12故答案为：9，10，12点评：本题主要考查了圆的标准方程的应用，体现了分类讨论思想的应用，但分类的点不易得出8．（2012•昆明模拟）已知直线（2lna）x+by+1=0与曲线x2+y2﹣2x+2y+1=0交于A、B两点，当|AB|=2时，点P（a，b）到直线2x﹣y+4=0距离的最小值等于．考点：直线与圆相交的性质；点到直线的距离公式．专题：综合题；压轴题；直线与圆．分析：由曲线（x﹣1）2+（y+1）2=1是圆心坐标为（1，﹣1），半径为1的圆，直线（2lna）x+by+1=0与曲线x2+y2﹣2x+2y+1=0交于A、B两点，|AB|=2，知直线（2lna）x+by+1=0过圆心（1，﹣1），故b=1+2lna．P（a，b）到直线2x﹣y+4=0距离d==，设f（a）=2a+3﹣2lna，利用导数能求出P（a，b）y+4=0距离最小值．解答：解：∵曲线x2+y2﹣2x+2y+1=0，∴曲线（x﹣1）2+（y+1）2=1是圆心坐标为（1，﹣1），半径为1的圆，∵直线（2lna）x+by+1=0与曲线x2+y2﹣2x+2y+1=0交于A、B两点，|AB|=2，∴直线（2lna）x+by+1=0过圆心（1，﹣1），∴2lna﹣b+1=0．∴b=1+2lna，P（a，b）到直线2x﹣y+4=0距离d==，设f（a）=2a+3﹣2lna，f′（a）=2﹣，令f′（a）=0，得a=1．∴＜a＜1，f′（a）＜0，f＞1，f′（a）＞0，f（a）递增，∴f（a）min=f（1）=5，∴d min==，∴a=1时，P（a，b）到直线2x﹣y+4=0距离最小值为．故答案为：．点评：本题考查点到直线的距离的最小值的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质、距离公式、导数性质、直线方程等知识点的合理运用．9．（2012•罗定市模拟）已知圆C的圆心与点M（1，﹣2）关于直线x﹣y+1=0对称，并且圆C与x﹣y+1=0相切，则圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=8．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：先求过M点，与x﹣y+1=0垂直的直线方程，再求两条直线的交点，求出对称圆的圆心坐标，再求半径，可得圆的方程．解答：解：过M点与x﹣y+1=0垂直的直线方程；x+y+1=0，它和x﹣y+1=0的交点是（﹣1，0）则圆C的圆心（﹣3，2），圆C与x﹣y+1=0相切，半径是，所求圆C的方程为（x+3）2+（y﹣2）2=8故答案为：（x+3）2+（y﹣2）2=8．点评：本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，是中档题．10．（2011•徐水县一模）已知点P在直线x+2y﹣1=0上，点Q在直线x+2y+3=0上，PQ中点为N（x0，y0），且y0＞x0+2，则的取值范围为．考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．专题：压轴题．分析：首先由直线x+2y﹣1=0与直线x+2y+3=0是平行线，得出PQ的中点N（x0，y0）满足的直线方程；再根据y0＞x0+2对应的平面区域进一步限定M的范围；最后结合的几何意义求出其范围．解答：解：根据题意作图如下因为PQ中点为N，则点M的坐标满足方程x+2y+1=0，又y0＞x0+2，则点N在直线y=x+2的左上部，且由得N（，），则k ON=﹣，并且直线x+2y+1=0的斜率k=﹣，而可视为点N与原点O连线的斜率，故﹣＜＜﹣．点评：本题考查数形结合的思想方法．11．（2011•江苏模拟）已知l1和l2是平面内互相垂直的两条直线，它们的交点为A，动点B、C分别在l1和l2上，且，过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为18π．考点：两点间的距离公式．专题：综合题；压轴题．分析：由题意可知当A与B或C重合时，所成的圆最大，它包括了所有的圆，所以求出半径为2时圆的面积即为动圆所形成的区域的面积．解答：解：当A与B或C重合时，此时圆的面积最大，此时圆的半径r=BC=3，所以此时圆的面积S=πr2=（3）2π=18π，则过A、B、C三点的动圆所形成的区域的面积为18π故答案为：18π点评：学生作此题时应注意：过A、B、C三点的动圆所形成的区域面积，不是过A、B、C三点的圆的面积．而是将所有圆的面积（只能算不重合的部分）即半径为BC最大圆的面积．此题是一道易错题．12．（2011•盐池县模拟）若圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上恰有三个不同的点到直线l：y=kx的距离为2，则k=2或2﹣．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和圆的半径，根据图象得到圆心到直线l的距离等于，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d，让d=列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．解答：解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，得到圆心坐标为（2，2），半径r=3，根据题意画出图象，如图所示：根据图象可知：圆心到直线l的距离d==3﹣2，化简得：k2﹣4k+1=0，解得：k==2±，则k=2+或2﹣．故答案为：2+或2﹣点评：此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．本题的关键是根据题意找出圆心到直线l的距离为．13．（2011•广陵区校级模拟）设直线3x+4y﹣5=0与圆C1：x2+y2=4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是1．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：综合题；压轴题；数形结合．分析：先根据圆C1的方程找出圆心坐标与半径R的值，找出圆C2的半径的最大时的情况：当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．求r的方法是，联立直线与圆的方程，消去y后得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理求出Q的横坐标，把Q的横坐标代入直线方程即可求出Q的纵坐标，得到Q的坐标，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离OQ等于d，然后根据两圆内切时，两圆心之间的距离等于两半径相减可得圆C2的半径最大值．解答：解：由圆C1：x2+y2=4，可得圆心O（0，0），半径R=2如图，当圆c2的圆心Q为线段AB的中点时，圆c2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，设切点为P，此时圆C2的半径r的最大．联立直线与圆的方程得，消去y得到25x2﹣30x﹣39=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，所以线段AB 的中点Q的横坐标为，把x=代入直线方程中解得y=，所以Q（，），则两圆心之间的距离OQ=d==1，因为两圆内切，所以圆c2的最大半径r=R﹣d=2﹣1=1故答案为：1点评：此题考查学生掌握两圆内切时两半径所满足的条件，灵活运用韦达定理及两点间的距离公式化简求值，是一道中档题．14．（2010•金水区校级模拟）已知圆C的圆心在第一象限，与x轴相切于点，且与直线也相切，则该圆的方程为．考点：圆的标准方程．专题：综合题；压轴题；数形结合．分析：要求圆A的方程，就要求出点A的坐标与圆的半径AC的长度，由题意可知过原点O的两条直线y=x与x轴都和圆A相切，根据切线长定理可得△AOB≌△AOC，由直线y=x可知直线的倾斜角的正切值等于直线的斜率等于，根据特殊角的三角函数值可得该直线的倾斜角为60°，则∠AOC就等于30°，由OC等于得到AC等于1，即可得到A的坐标和半径，根据圆心与半径写出圆的标准方程即可．解答：解：由直线y=x得到直线的斜率k=tan∠BOC=，所以∠BOC=60°根据切线长定理可知，∠AOC=∠BOC=30°因为圆A与x轴相切，所以AC⊥OC，由OC=得到圆的半径AC=1，则圆心A（，1）所以圆A的方程为：+（y﹣1）2=1故答案为：+（y﹣1）2=1点评：此题考查学生掌握直线的倾斜角与斜率的关系，灵活运用切线长定理及特殊角的三角函数值化简求值，会根据圆心与半径写出圆的标准方程，是一道中档题．15．（2010•宁波二模）过点M（a，0）的直线交圆O：x2+y2=25于点A、B，若•=﹣16，则实数a=±3．考点：直线与圆相交的性质；平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题．分析：先根据•=﹣16＜0判断出点M在圆内，进||•||的值，再由相似关系可得到垂直于x轴的特殊情况下的||•||的值仍然等于16，进而可确定a的值，得到答案．解答：解：因为若•=﹣16＜0，故点M在圆内，即两向量方向相反∴•=﹣|•||=﹣16，所以||•||=16，．由特殊化思想知，当直线垂直于x轴时||•||=16，故a=±3．故答案为：±3．点评：本题主要考查直线与圆的相交的性质和向量的数量积运算．考查基础知识的综合16．（2010•定西模拟）对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是．考点：恒过定点的直线．专题：压轴题；转化思想．分析：对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点，则与m，n的取值无关，则将方程转化为（x+12y）m+（x﹣2）n=0，让m，n的系数为零即可．解答：解：方程（m+n）x+12my﹣2n=0可化为（x+12y）m+（x﹣2）n=0∵对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点∴∴故定点坐标是点评：本题通过恒过定点问题来考查学生方程转化的能力及直线系的理解．17．（2008•上海）已知A（1，2），B（3，4），直线l1：x=0，l2：y=0和l3：x+3y﹣1=0、设P i是l i（i=1，2，3）上与A、B两点距离平方和最小的点，则△P1P2P3的面积是．考点：点到直线的距离公式．专题：计算题；综合题；压轴题；函数思想；方程思想．分析：设出P1，P2，P3，求出P1到A，B两点的距离和最小时，P1坐标，求出P2，P3的坐标，然后再解三角形的面积即可．解答：解：设P1（0，b），P2（a，0），P3（x0，y0）由题设点P1到A，B两点的距离和为d=32+（4﹣b）2+12+（2﹣b）2=2（b﹣3）2+12显然当b=3即P1（0，3）时，点P1到A，B两点的距离和最小同理P2（2，0），P3（1，0），所以故答案为：点评：本题考查得到直线的距离公式，函数的最值，考查函数与方程的思想，是中档题．18．（2008•天津）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y=x+1对称．直线3x+4y﹣11=0与圆C相交于A，B两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y+1）2=18．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：要求圆C的方程，先求圆心，设圆心坐标为（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线PC垂直与y=x+1且PC的中点在直线y=x+1上分别列出方程①②，联立求出a和b即可；再求半径，根据垂径定理得到|AB|、圆心到直线AB的距离及圆的半径成直角三角形，根据勾股定理求出半径．写出圆的方程即可．解答：解：设圆心坐标C（a，b），根据圆心与P关于直线y=x+1对称得到直线CP与y=x+1垂直，而y=x+1的斜率为1，所以直线CP的斜率为﹣1即=﹣1化简得a+b+1=0①，再根据CP的中点在直线y=x+1上得到=+1化简得a﹣b﹣1=0②联立①②得到a=0，b=﹣1，所以圆心的坐标为（0，﹣1）；圆心C到直线AB的距离d==3，|AB|=3所以根据勾股定理得到半径，所以圆的方程为x2+（y+1）2=18．故答案为：x2+（y+1）2=18点评：此题是一道综合题，要求学生会求一个点关于直线的对称点，灵活运用垂径定理及点到直线的距离公式解决数学问题．会根据圆心和半径写出圆的方程．19．（2008•沙坪坝区校级模拟）已知圆O的半径为R，圆内一定点M且，一直线过点M且与该圆交于A，B 两点，则△OAB面积的最大值为．考点：直线与圆的位置关系；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：以OM为y轴，建立直角坐标系，过点O作OD⊥AB，交AB于D，设直线AB的方程为y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2），则△OAB面积S=OM×|x1﹣x2|=×|x1﹣x2|然后联立直线与圆的方程，求出|x1﹣x2|的最大值即可求出所求．解答：解：以OM为y轴，建立直角坐标系M（0，）过点O作OD⊥AB，交AB于D设直线AB的方程为y=kx+，A（x1，y1），B（x2，y2）则△OAB面积S=OM×|x1﹣x2|=×|x1﹣x2|则∴（1+k2）x2+kRx﹣=0|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1•x2==﹣∴当k=0时|x1﹣x2|取最大值即S=故答案为：点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及函数的最值及其几何意义，同时考查了利用解析法求最值，属于中档题．20．（2007•上海）如图，A，B是直线l上的两点，且AB=2．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：结合图形，可见当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S就是矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，解答即可．解答：解：如图，当⊙O1与⊙O2外切于点C时，S最大，此时，两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，∴，随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴S∈．点评：本题考查圆与圆的位置关系，数形结合的思想，是中档题．21．（2004•陕西）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x﹣4y﹣10=0的距离的最小值为1．考点：直线与圆的位置关系．专题：压轴题．分析：求圆心到直线的距离减去半径可得最小值．解答：解：圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣10=0的距离d==2．再由d﹣r=2﹣1=1，知最小距离为1．故答案为：1点评：本题考查直线与圆的位置关系，是基础题．22．（2002•北京）圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为 2．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；压轴题．分析：根据题意可知，当Q为过圆心作直线的垂线与圆的交点的时候，Q到已知直线的距离最短，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后减去半径即可求出最短距离．解答：解：把圆的方程化为标准式方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，所以圆心A（1，1），圆的半径r=1，则圆心A到直线3x+4y+8=0的距离d==3，到直线距离的最小值为3﹣1=2故答案为：2点评：此题要求学生会将圆的方程化为标准式方程并会根据圆的标准式方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式化简取值，是一道中档题．此题的关键是找出最短距离时Q的位置．二．解答题（共8小题）23．（2012•南京一模）已知圆F1：（x+1）2+y2=16，定点F2（1，0），动圆过点F2，且与圆F1相内切．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）若过原点的直线l与（1）中的曲线C交于A，B两点，且△ABF1的面积为，求直线l的方程．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；压轴想．分析：（1）设出M的半径，依据题意列出关系MF1+MF2=4，可求轨迹C的方程．（2）根据椭圆性质以及△ABF1的面积为，可以求得A、B的坐标，再求直线l的方程．解答：解：（1）设圆M的半径为r．因为圆过点F2，且与圆F1相内切．所以MF2=r，所以MF1=4﹣MF2，即：MF1+MF2=4，所以点M的轨迹C是以F1，F2为焦点的椭圆且设椭圆方程为，其中2a=4，c=1，所以，所以曲线C的方程．（2）因为直线l过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，，因为，所以．不妨设点A （x1，y1）在x轴上方，则．所以，，即：点A的坐标为或．所以直线l的斜率为，故所求直线方和程为x±2y=0．点评：本题考查圆与圆的位置关系，考查转化思想，椭圆的定义，是中档题．24．（2011•江苏模拟）已知⊙O：x2+y2=1和定点A（2，1），由⊙O外一点P（a，b）向⊙O 引切线PQ，切点为Q，且满足|PQ|=|PA|．（1）求实数a，b间满足的等量关系；（2）求线段PQ长的最小值；（3）若以P为圆心所作的⊙P与⊙O有公共点，试求半径最小值时⊙P的方程．考点：圆的标准方程；圆的切线方程．专题：压轴题；直线与圆．分析：（1）由勾股定理可得PQ2=OP2﹣OQ2=PA2，即（a2+b2）﹣1=（a﹣2）2+（b﹣1）2，化简可得a，b间满足的等量关系．（2）由于PQ==，利用二次函数的性质求出它的最小值．（3）设⊙P的半径为R，可得|R﹣1|≤PO≤R+1．利用二次函。