高二数学练习(20)--平面与平面垂直的判定

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平面与平面垂直的判定基础练习题含答案解析

2.3.2 平面与平面垂直的判定基础练习题（含答案解析）1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定解析：选C.当这两个二面角的两个面均同向或均异向时，它们相等；当这两个二面角的两个面中，一组同向，另一组异向时，它们互补．2．在四棱锥P－ABCD中，已知P A⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是()A．平面P AB⊥平面P ADB．平面P AB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面P AD解析：选C.由面面垂直的判定定理知：平面P AB⊥平面P AD，平面P AB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面P AD，A、B、D正确．3．如果直线l、m与平面α、β、γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么() A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ解析：选A.如图，平面α为平面AD1，平面β为平面BC1，平面γ为平面AC，∵m⊂α，m⊥γ，由面面垂直的判定定理得α⊥γ，又m⊥γ，l⊂γ，由线面垂直的性质得m⊥l.4.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则下面四个结论中不成立的是()A．BC∥平面P DFB．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面P AE⊥平面ABC解析：选C.可画出对应图形(图略)，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A成立；由AE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面P AE，故B成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面P AE，故D成立．5．(2013·德州高一检测)已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有()A．1对B．2对C．3对D．5对解析：选D.∵DA⊥AB，DA⊥P A，AB∩P A＝A，∴DA⊥平面P AB，同理BC⊥平面P AB，AB⊥平面P AD，DC⊥平面P AD，∴平面AC⊥平面P AD，平面AC⊥平面P AB，平面PBC⊥平面P AB，平面PDC⊥平面P AD，平面P AB⊥平面P AD.6．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A ＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP ＝OA＝3，P A＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)解析：连接AC，则AC⊥BD.∵P A⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴P A⊥BD.∵P A∩AC＝A，∴BD⊥面P AC，∴BD⊥PC.∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)8．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________个．解析：设面外的点为A，面内的点为B，过点A作面α的垂线l，若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与α垂直，此时有无数个平面与α垂直；若点B不是垂足，则l与点B 确定唯一平面β满足α⊥β.答案：1或无数9．点P是菱形ABCD所在平面外一点，且P A＝PC，求证：平面P AC⊥平面PBD.证明：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接PO，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又∵AO＝OC，P A＝PC，∴PO⊥AC.∵BD∩PO＝O，∴AC⊥平面PBD.又AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.10．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连接AC，交BD于点F，连接EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.∵EF⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.。

高中数学第八章立体几何初步-平面与平面垂直的判定课件及答案

则 AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS 为二面角 A-BC-S 的平面角．在 Rt△BSC
中，∵SB＝SC＝a，
∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
在 Rt△ABD 中，AD＝ 22a.在△ADS 中， ∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角 A-BC-S 为直二面角，故平
面 ABC⊥平面 SBC.
(3)垂线法．过二面角的一个面内异于棱上的 A 点向另一个平面作垂线，垂足为 B，由点 B 向二面角的棱作垂线，垂足为 O，连接 AO，则∠AOB 为二面角的平面角或其补角．如图③，∠AOB 为二面角 α-l-β 的平面角．
【对点练清】
1．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两
D．AO⊥l，BO⊥l，且 AO⊂α，BO⊂β 答案：D
3.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，二面角 A-BC-A1 的平面角等于 ________．答案：45°
知识点二平面与平面垂直
(一)教材梳理填空 1．面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是_直__二__面__角__，就说定义
D．不存在
()
答案：C 3．若平面 α⊥平面 β，平面 β⊥平面 γ，则
()
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α 与 γ 相交但不垂直答案：D
D．以上都有可能
题型一二面角的概念及其大小的计算
【学透用活】 (1)一个二面角的平面角有无数个，它们的大小是相等的． (2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”，即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可． (3)当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 0°；当二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小是 180°，所以二面角的平面角 α 的取值范围是 0°≤α≤180°.

高中数学必修二同步练习直线与平面垂直的判定、平面与平面垂直的判定(解析版)

【解析】（1）∵ 平面，平面，所以．
在中，，
同理，得，又，则即，
又，故平面．
又平面，故．
17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，点是的中点，作，交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：平面．
【解析】（1）连接，与相交于，连接，则为的中位线，，又平面平面，由线面平行的判定定理知平面．
③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；
④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．
其中表述正确的个数是
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
5．正四面体中，分别是的中点，下面四个结论中不成立的是
A．平面 B．平面平面
C．平面 D．平面平面
【答案】B
【解析】因为分别是的中点，所以DF//BC，所以平面，则A正确；
C．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角
【答案】D
【解析】易知FG∥平面PBC，GE∥平面PBC，且FG∩GE＝G，故平面EFG∥平面PBC，A正确；
由题意知PC⊥平面ABC，FG∥PC，所以FG⊥平面ABC，故平面EFG⊥平面ABC，B正确；
根据异面直线所成角的定义可知，C正确；
（2）∵ ，且底面，∴ 为等腰直角三角形，
是的中点，，又底面为正方形，，
由，得平面，而平面，
又平面，又平面，故平面平面．
（3）由（2）知，平面平面，
又，平面．
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，若PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是

高二数学平面和平面垂直的判定

那么所砌的墙面与地面垂直。
大家知道其中的理论根据吗？
二、两个平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．已知：AB⊥β，AB⊂α（图1）．求证：α⊥β。 [证明]：设α∩β=CD， ∵AB⊥β，CD⊂β，∴AB⊥CD．在平面 β 内过点 B 作直线BE⊥CD，则 ∠ABE是二面角α-CD-β的平面角，而AB⊥BE，故α-CD-β是直二面角． ∴α⊥β。
学习目标
1 熟练掌握面面垂直定义 2 熟练掌握面面垂直的判定定理及其证明过程 3 掌握证明面面垂直的常用方法
1 直二面角定义 2 互相垂直的平面
平面与平面垂直的定义
α A D B C E
β
记作：
l

画法：

问题：如果你是一个质检员，你怎样去检测、判断建筑中的一面墙和地面是否垂直呢？建筑工人砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和地面垂直，如果系有铅锤的线和墙面紧贴，
例1、已知直线PA垂直于O所在的平面，A为垂足， AB为O的直径，C是圆周上异于A、B的一点。求证：平面PAC平面PBC；
P
判定定理：要证两个平面垂直，
C
A
只要在其中一个平面内找到
O
B
另一个平面的一条垂线。
例2、空间四边形ABCD中，已知AB=3，AC=AD=2，∠DAC= ∠BAC= ∠BAD=600 求证：平面BCD⊥平面ADC 证明：设DC中点为O，连结AO、BO， ∵AC=AD=2 ∠DAC=600 ∴AO⊥DC AO=√3 DC=2 又∠BAC= ∠BAD=600 AB=3 ∴⊿ABD≌⊿ABC DB=CB=√7 ∴BO⊥CD BO=√6 ∠AOB是二面角ADCB的平面角 ∴AB2=AO2+BO2 ∠AOB=900 ∴平面BCD⊥平面ADC 定义法：找二面角的平面角 D A

2.3.2平面与平面垂直的判定(人教A版必修2第二章)2020-2021学年高二下学期数学课时作业

课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则()A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．120°3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC4.如图所示，在三棱锥P-ABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B-P A-C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不确定6.如图所示，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论中正确的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是．8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是9．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC ，△ABD 的面积是△ACD 的面积的2倍．沿AD 将△ABC 翻折，使翻折后BC ⊥平面ACD ，此时二面角B -AD -C 的大小为.10．如图，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥平面ABCD .(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积．11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P 是等边三角形ABC 所在平面外一点，且P A ＝PB ＝PC ，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，则下列结论中不正确的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面P AE ⊥平面ABCD ．平面PDF ⊥平面ABC13．在二面角α-l -β中，A ∈α，AB ⊥平面β于点B ，BC ⊥平面α于点C ，若AB ＝6，BC＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为()A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF⊥PC；(2)试问，当点E在线段AB上移动时，二面角P-EB-C的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．课时作业16 平面与平面垂直的判定1．已知a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则(D)A．α⊥βB．α∥βC．α与β相交D．以上都有可能解析：因为b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，则a⊥β，从而α⊥β.又α∥β或α与β相交时，可以存在a⊥b，a⊥c，所以选D.2．已知二面角α-l-β的大小为60°，m，n为异面直线，且m⊥α，n⊥β，则m，n所成的角为(B)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α-l-β的平面角．3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADB C ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC解析：⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥BCAD ⊥BD BC ∩BD ＝B ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AD ⊥平面DBC AD ⊂平面ADC ⇒平面ADC ⊥平面DBC .4.如图所示，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，则二面角B -P A -C 的大小为( A)A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：∵P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，∴∠BAC 即为二面角B -P A -C 的平面角．又∠BAC ＝90°，所以二面角B -P A -C 的平面角为90°.5．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是( D )A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不确定解析：举例如下：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是90°，所以这两个二面角不一定相等或互补．6.如图所示，在三棱锥D -ABC 中，若AB ＝CB ，AD ＝CD ，E 是AC 的中点，则下列结论中正确的是( C)A ．平面ABC ⊥平面ABDB ．平面ABD ⊥平面BDCC ．平面ABC ⊥平面BDE ，且平面ADC ⊥平面BDED ．平面ABC ⊥平面ADC ，且平面ADC ⊥平面BDE解析：因为AB ＝CB ，且E 是AC 的中点，所以BE ⊥AC .同理有DE ⊥AC ，BE ∩DE ＝E ，所以AC ⊥平面BDE .因为AC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面BDE .又因为AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDE .故选C.7．如图，在正四面体P-ABC(棱长均相等)中，E是BC的中点．则平面P AE与平面ABC 的位置关系是垂直．解析：因为PB＝PC，E是BC的中点，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面P AE.又BC⊂平面ABC，所以平面P AE⊥平面ABC.8．如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．解析：如图，因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β，且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.9．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍．沿AD 将△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B-AD-C的大小为60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD ⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小为60°.10．如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求证：平面P AD ⊥平面P AB ；(2)若平面PDA 与平面ABCD 成60°的二面角，求该四棱锥的体积．解：(1)证明：∵PB ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，∴PB ⊥AD . ∵AD ⊥AB ，且AB ∩PB ＝B ，∴AD ⊥平面P AB .又∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面P AB .(2)由(1)的证明知，∠P AB 为平面PDA 与平面ABCD 所成的二面角的平面角，即∠P AB ＝60°，∴PB ＝3a .∴V P -ABCD ＝13·a 2·3a ＝3a 33. 11．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起至△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，求证：平面A ′BE ⊥平面BCDE .证明：如图所示，取CD 的中点M ，BE 的中点N ，连接A ′M ，A ′N ，MN ，则MN ∥BC .∵AB ＝12AD ，E 是AD 的中点，∴AB ＝AE ，即A ′B ＝A ′E .∴A ′N ⊥BE .∵A ′C ＝A ′D ，∴A ′M ⊥CD . 在四边形BCDE 中，CD ⊥MN ，又MN ∩A ′M ＝M ，∴CD ⊥平面A ′MN .∴CD ⊥A ′N . ∵DE ∥BC 且DE ＝12BC ，∴BE 必与CD 相交．又A ′N ⊥BE ，A ′N ⊥CD ，∴A ′N ⊥平面BCDE . 又A ′N ⊂平面A ′BE ，∴平面A ′BE ⊥平面BCDE .12．若P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下列结论中不正确的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面P AE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等边三角形ABC所在平面外一点，且P A＝PB＝PC，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DF∥BC，又∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正确．∵P A＝PB＝PC，△ABC为等边三角形，E是BC中点，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE ＝E，∴BC⊥平面P AE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面P AE，故B正确．∵BC⊥平面P AE，BC⊂平面ABC，∴平面P AE⊥平面ABC，故C正确．设AE∩DF＝O，连接PO.∵O不是等边三角形ABC的重心，∴PO与平面ABC不垂直，∴平面PDF与平面ABC不垂直，故D错误．13．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC ＝3，则二面角α-l-β的平面角的大小为(D)A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB即为二面角α-l-β的平面角或其补角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB ＝60°，∴二面角大小为60°或120°.14.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC 上一动点．当点M满足DM⊥PC(或BM⊥PC等)时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析：连接AC，则BD⊥AC.由P A⊥底面ABCD，可知BD⊥P A，所以BD⊥平面P AC，所以BD⊥PC，所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15．在图(1)等边三角形ABC中，AB＝2，E是线段AB上的点(除点A外)，过点E作EF⊥AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF(点A与点P重合，如图(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求证：EF ⊥PC ；(2)试问，当点E 在线段AB 上移动时，二面角P -EB -C 的大小是否为定值？若是，求出这个二面角的平面角的正切值，若不是，请说明理由．解：(1)证明：因为EF ⊥PF ，EF ⊥FC ，又由PF ∩FC ＝F ，所以EF ⊥平面PFC . 又因为PC ⊂平面PFC ，所以EF ⊥PC .(2)是定值．由(1)知，EF ⊥平面PFC ，所以平面BCFE ⊥平面PFC ，如图，作PH ⊥FC ，则PH ⊥平面BCFE ，作HG ⊥BE ，连接PG ，则BE ⊥PG ，所以∠PGH 是这个二面角的平面角，设AF ＝x ，则0<x ≤1，因为∠PFC ＝60°，所以FH ＝x 2，PH ＝32x ，易求GH ＝334x ，所以tan ∠PGH ＝PH GH ＝23，所以二面角P -EB -C 的大小是定值．。

【高中数学必修二】2.3.2平面与平面垂直的判定

P
M
A
N
C
线线垂直
O
线面垂直
B
面面垂直若AM⊥PC，N是PB上一点，
求证：平面PBC⊥平面AMN
课堂小结
1.二面角及其平面角的概念 2.二面角的范围及求二面角的步骤 3.两个平面垂直的定义 4.两个平面垂直的判定定理 5.证明两个平面垂直的方法（1）定义法（2）判定定理
6.核心思想：
线线垂直线面垂直面面垂直
2.3.2 平面与平面垂直的判定
复习回顾
1.在立体几何中,如何度量"异面直线所成的角"？
2.在立体几何中,如何度量"直线和平面所成的角"？
引入课题
既然线线存在角，线面存在角，那么面面是否
也存在角呢？如果面面存在角该如何度量呢？
一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。
l
A
一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。
Q
二面角的表示
B P

二面角 l 二面角 AB 二面角P l Q 二面角P AB Q

10
求二面角的步骤: 1、找(作)出二面角的平面角;
2、证明找到角就是二面角的平面角;
3、求出此平面角的大小。
一“找”二“证”三“求”
关键：确定二面角的平面角.
两个平面垂直的定义:
一般地，两个平面相交，如果它们所成二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作：
l

高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析人教版

高二数学二面角、两平面垂直的判定和性质例题解析人教版一. 本周教学内容：二面角、两平面垂直的判定和性质二. 重点、难点：重点：1. 二面角的有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫二面角的棱。

二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

平面角是直角的二面角叫直二面角。

2. 作二面角的平面角常有以下方法：①若构成二面角的两个面有特殊性（如等腰三角形或直角三角形），可根据特殊图形的性质作出平面角。

②若已知二面角内一点到两面的垂线，过两垂线作平面与两个面的交线所成的角就是二面角的平面角，称为垂面法。

③若已知二面角一面内一点到另一面的垂线，用三垂线定理或它的逆定理作出平面角，称为三垂线法。

④由定义找到棱上有关点，分别在两个面内作出（或找出）垂直于棱的射线，得到二面角的平面角。

⑤当直观图上只给出两个平面的一个交点而没给出交线时，要先延展平面找到棱，用上述方法之一作出平面角。

3. 两个平面垂直的定义：两个平面相交，所成二面角是直二面角。

作用：①用于证明两个平面垂直，证明二面角的平面角是直角。

②两平面垂直，二面角为直二面角，平面角的二直线互相垂直。

4. （1）两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。

两个平面垂直的判定定理不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据。

由判定定理的内容可知，证明面面垂直，可以转化为证线面垂直。

（2）性质定理如果两个平面垂直，那么一个平面内的垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。

简言为：“面面垂直，则线面垂直”。

难点：1. 二面角平面角的作法与计算。

2. 判定定理和性质定理的应用。

【典型例题】例1. 如图。

AC为圆O的直径，B，D为圆上在AC两侧的两个点，SA⊥平面ABCD，连SB，SC，SD，试写出图中所有互相垂直的各对平面并说明理由。

两个平面垂直判定定理

两个平面垂直判定定理
两个平面垂直判定定理是解析几何中的基本原理，它可以用来判断两个平面是否垂直。

下面我将以人类的视角，用简练的语言来描述这个定理。

我们先来了解一下什么是平面。

平面是一个无限扩展的二维空间，可以用一个平面上的点和法向量来唯一确定。

垂直是指两个物体或者事物之间的夹角为90度，即呈直角。

而两个平面的垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。

具体来说，设有两个平面A和B，它们的法向量分别为n1和n2。

如果向量n1和向量n2的点积为0，即n1·n2=0，那么平面A和平面B就是垂直的。

这是因为两个向量的点积等于它们的模长乘积再乘以它们的夹角的余弦值，而当夹角为90度时，余弦值为0。

这个定理在解析几何中有着广泛的应用。

例如，在空间几何中，我们可以通过两个平面的法向量来判断它们是否垂直。

在物理学中，我们可以利用这个定理来解决力的合成和分解问题。

在工程学中，我们可以利用这个定理来设计建筑物的结构。

总结起来，两个平面垂直判定定理告诉我们，如果两个平面的法向量相互垂直，那么这两个平面就是垂直的。

这个定理在解析几何中有着重要的应用，可以帮助我们解决各种问题。

希望通过这篇文章
的描述，读者能够更好地理解和应用这个定理。

两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类(50题)(教师版)2025学年高二数学(人教A版选修一)

专题2.1.2 两条直线平行和垂直的判定3种常见考法归类（50题）题型一两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析（二）两条直线平行关系的判定（三）已知两条直线平行求参数题型二两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析（二）两条直线垂直关系的判定（三）已知两直线垂直求参数题型三直线平行、垂直的判定在几何中的应用对于两条不重合的直线12121212对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点(1)1212l l k k ⇔= 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②1l 与2l 不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90 ，则12l l .(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1212l l k k ⇔=或1l ，2l 斜率都不存在.题型一两条直线平行的判定及应用（一）两条直线平行的概念辨析1．（2024·高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件B ．两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件C ．两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件D ．两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件【答案】B【分析】根据直线平行和相交的条件依次判断即可.【详解】当两条直线的斜率相等且截距也相等时，两直线重合，故A 错误；的倾斜角不相等，则两直线必定相交，反之也成立，故B 正确；倾斜角相等时，两直线可能重合，故C 错误；法向量平行时，两直线可能重合，故D 错误.故答案为：B2．（2024·北京·高二人大附中校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别为1a ，2a ，斜率分别为1k ，2k ，则下列命题①若12l l ∥，则斜率12k k =； ②若斜率12k k =，则12l l ∥；③若12l l ∥，则倾斜角12a a =；④若倾斜角12a a =，则12l l ∥，其中正确命题的个数是（）.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据两条直线平行的判定方法与结论即可判断．【详解】由于1l 与2l 为两条不重合的直线且斜率分别为1k ，2k ，所以1212l l k k ⇔= ，故①②正确；由于1l 与2l 为两条不重合的直线且倾斜角分别为1a ，2a ，所以12l l ∥⇔12a a =，故③④正确，所以正确的命题个数是4．故选：D ．3．【多选】（2024·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第六中学校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，则下列说法中正确的有（）A ．若12//l l ，则它们的斜率相等B ．若1l 与2l 的斜率相等，则12//l l C ．若12//l l ，则它们的倾斜角相等D ．若1l 与2l 的倾斜角相等，则12//l l 【答案】BCD【分析】由两直线斜率不存在可知A 错误；根据两直线平行与斜率和倾斜角的关系可知BCD 正确.【详解】对于A ，当1l 和2l 倾斜角均为2p 时，12//l l ，但两直线斜率不存在，A 错误；对于B ，若1l 和2l 斜率相等，则两直线倾斜角相等，可知12//l l ，B 正确；对于C ，若12//l l ，可知两直线倾斜角相等，C 正确；对于D ，若两直线倾斜角相等，则两直线斜率相等或两直线斜率均不存在，可知12//l l ，D 正确.故选：BCD.（二）两条直线平行关系的判定解题策略：1．判断两条不重合的直线是否平行的步骤2.两条直线平行的判定及应用k 1＝k 2⇔l 1∥l 2是针对斜率都存在且不重合的直线而言的，对于斜率不存在或可能不存在的直线，要注意利用图形． 4．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线1l 与2l 是否平行．(1)1l 经过点(1,2)A --，(2,1)B ，2l 经过点(3,4)M ，(1,1)N --；(2)1l 经过点(3,2)A -，(3,10)B -，2l 经过点(5,2)M -，(5,5)N ．【答案】(1)不平行(2)平行【分析】（1）求出1l k 、2l k ，即可判断；（2）求出1l 、2l 的方程，即可判断.【详解】（1）因为1l 经过点(1,2)A --，(2,1)B ，所以121112l k --==--，又2l 经过点(3,4)M ，(1,1)N --，所以2145134l k --==--，因为12l l k k ¹，所以1l 与2l 不平行；（2）直线1l 经过点(3,2)A -，(3,10)B -的方程为3x =-，直线2l 经过点(5,2)M -，(5,5)N 的方程为5x =，故直线1l 和直线2l 平行；5.（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)1l 经过点(2,3),(4,0)A B -，2l 经过点(3,1),(2,2)M N --；(2)1l 的斜率为10-，2l 经过点(10,2),(20,3)A B .【答案】(1)不平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【详解】（1）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，因为1l 经过点(2,3),(4,0)A B -，2l 经过点(3,1),(2,2)M N --，所以13012(4)2k -==--，21213(2)k -==---，所以12k k ¹，所以1l 与2l 不平行；（2）设直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则110k =-，因为2l 经过点(10,2),(20,3)A B ，所以2321201010k -==-，所以12k k ¹，所以1l 与2l 不平行.6．（2024·高二课前预习）根据下列给定的条件，判定直线1l 与直线2l 是否平行或重合：（1）1l 经过点()2,3A ，()4,0B -；2l 经过点()3,1M -，()2,2N -；( )（2）1l 的斜率为12-，2l 经过点()4,2A ，()2,3B ；()（3）1l 平行于y 轴，2l 经过点()0,2P -，()0,5Q ；()（4）1l 经过点()0,1E ，()2,1F --，2l 经过点()3,4G ，()2,3H ．( )【答案】不平行平行或重合平行重合【分析】根据过两点的直线的斜率公式，计算直线的斜率，根据斜率的关系，并注意直线是否重合，可判断（1）（2）（4）；当两直线斜率都不存在时，看它们是否重合，即可判断（3）.【详解】（1）()301242AB k -==--，()21123MN k -==---，AB MN k k ¹，所以1l 与2l 不平行．（2）1l 的斜率112k =-，2l 的斜率2321242k -==--，即12k k =，无法判断两直线是否重合，所以1l 与2l 平行或重合．（3）由题意，知1l 的斜率不存在，且不是y 轴，2l 的斜率也不存在，恰好是y 轴，所以12l l //．（4）由题意，知11120EF k --==--，34123GH k -==-，所以1l 与2l 平行或重合．需进一步研究E ，F ，G ，H 四点是否共线，()()41132FG k --==--．所以E ，F ，G ，H 四点共线，所以1l 与2l 重合．7.（2023·全国·高二专题练习）判断下列不同的直线1l 与2l 是否平行.（1）1l 的斜率为2，2l 经过()1,2A ，()4,8B 两点；（2）1l 经过()3,3P ，()5,3Q -两点，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点；（3）1l 经过()1,0M -，()5,2N --两点，2l 经过()4,3R -，()0,5S 两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【详解】（1）2l 经过()1,2A ，()4,8B 两点，则282241l k -==-，则12l l k k =，可得两直线平行.（2）1l 经过()3,3P ，()5,3Q -两点，可得1l 平行于x 轴，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点，所以12l l //；（3）1l 经过()1,0M -，()5,2N --两点，1021152l k +==-+，2l 经过()4,3R -，()0,5S 两点，则2351402l k -==--，所以12l l //.8.（23-24高二·江苏·课后作业）分别根据下列各点的坐标，判断各组中直线AB 与CD 是否平行：(1)()3,1A -，()1,1B -，()3,5C -，()5,1D ；(2)()2,4A -，()4B -，()0,1C ，()4,1D ；(3)()2,3A ，()2,1B -，()1,4C -，()11D -,；(4)()1,2--A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,1D --．【答案】(1)平行(2)平行(3)平行(4)不平行【分析】（1）求出AB ，CD ，BC 斜率，再判断两直线不重合得平行；（2）由斜率相等，及不重合得结论；（3）由两直线斜率都不存在，且不重合得平行；（4）由斜率不相等得不平行．【详解】（1）1113(1)2AB k --==---，511352CD AB k k -==-=--，5123(1)BC k -==----，,,A B C 不共线，因此AB 与CD 平行．（2）0AB k =，0CD k =，又两直线不重合，直线AB 与CD 平行，（3）直线AB ，CD 的斜率都不存在，且不重合，因此平行；（4）21112AB k --==--,145134CD AB k k --==¹--，直线AB 与CD 不平行，9.（23-24高二上·福建泉州·期末）记平面直角坐标系内的直线1l 、2l 与x 轴正半轴方向所成的角的正切值分别为1k 、2k ，则“12l l //”是“12k k =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件【答案】A【分析】根据直线的位置关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】由题意可知：12,k k 已经存在，若1l ∥2l ，则12k k =，即充分性成立；若12k k =，则12,l l 可能重合，即必要性均不成立；综上所述：“12l l //”是“12k k =”的充分不必要条件.故选：A ．10．（2024·高二课时练习）过点()1,2A 和点()1,2B -的直线与直线3y =的位置关系是（）A ．相交B ．平行C ．重合D ．以上都不对【答案】B【分析】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可.【详解】过点()1,2A 和点()1,2B -的直线方程为2y =，斜率为0，又因为直线3y =斜率为0，所以两直线平行.故选：B11．（2024·全国·高二专题练习）判断(1,3),(3,7),(4,9)A B C 三点是否共线，并说明理由．【答案】共线，理由见解析.【分析】根据直线斜率公式进行求解即可.【详解】这三点共线，理由如下：由直线斜率公式可得：73932,23141AB AC k k --====--，直线,AB AC 的斜率相同，所以这两直线平行，但这两直线都通过同一点(1,3)A ，所以这三点共线.（三）已知两条直线平行求参数解题策略:利用斜率公式解决两直线平行问题解决这类问题的关键是充分利用几何图形的性质，并将该性质用式子表示出来，最后解决问题．这里就是利用两直线平行与斜率的关系求解的．12．（2024·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知直线1l 的倾斜角为30°，直线12l l //，则直线2l 的斜率为（）A B ．C D ．【答案】C【分析】利用直线的斜率公式与直线平行的性质求解即可.【详解】因为直线1l 的倾斜角为30°，所以1tan 30l k =°=，又12l l //，所以21l l k k ==故选：C.13．（2024·江苏·高二假期作业）已知过(2,)A m -和(,4)B m 的直线与斜率为－2的直线平行，则m 的值是（）A ．－8B ．0C ．2D ．10【答案】A【分析】由两点的斜率公式表示出直线AB 的斜率AB k ，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案.【详解】由题意可知，422AB mk m -==-+，解得8m =-．故选：A14.（2024秋·河南濮阳·高二校考阶段练习）若直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为2l 的倾斜角为___________.【答案】56p【详解】解：因为直线1l 与直线2l 平行，直线1l 的斜率为所以直线2l 的斜率与直线1l 的斜率相等，即直线2l 的斜率为设直线2l 的倾斜角为()0a a p £<，则tan a =所以56p a =，即直线2l 的倾斜角为56p ，故答案为：56p.15．（2024·江苏·高二假期作业）已知直线1l 的倾斜角为45°，直线2l 的斜率为23k m =-，若1l ∥2l ，则m 的值为________．【答案】2±/2或2-/2-或2【分析】由直线倾斜角由斜率的关系可知直线1l 的斜率为1tan 45k =°，再由两直线平行，斜率相等列出等式，即可求出答案.【详解】由题意知23tan 45m -=°，解得2m =±.故答案为：2±16.（23-24高二上·全国·课后作业）已知A (－2，m )，B (m ，4)，M (m ＋2，3)，N (1，1)，若AB ∥MN ，则m 的值为 .【答案】0或1【分析】分当直线AB 的斜率不存在，直线MN 的斜率不存在及两直线的斜率都存在时进行求解即可，注意检验下两直线不重合.【详解】解：当m ＝－2时，直线AB 的斜率不存在，而直线MN 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；当m ＝－1时，直线MN 的斜率不存在，而直线AB 的斜率存在，MN 与AB 不平行，不合题意；当m ≠－2，且m ≠－1时，k AB ＝44(-2)2m mm m ---+，k MN ＝312211m m -+-+.因为AB ∥MN ，所以k AB ＝k MN ，即4221m m m -++＝，解得m ＝0或m ＝1. 当m ＝0或1时，由图形知，两直线不重合. 综上，m 的值为0或1.故答案为：0或117.（2024高三上·广东·学业考试）已知直线12l l //，它们的斜率分别记作12,k k ，若12,k k 是方程2210x ax ++=的两个根，则a 的值（）A ．1B ．1-C ．1或1-D ．无法确定【答案】C【分析】利用直线平行得到12k k =，从而得到二次方程判别式为零，由此得解.【详解】因为12l l //，所以12k k =，因为12,k k 是方程2210x ax ++=的两个根，所以2440a D =-=，解得1a =±.故选：C.1-，那么它们互相垂直，即12121l l k k ⊥⇔⋅=-.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)12121l l k k ⊥⇔⋅=-成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②10k ¹且20k ¹.(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．(3)判定两条直线垂直的一般结论为：12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．题型二两条直线垂直的判定及应用（一）两条直线垂直的概念辨析18．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中，正确的有（）A ．斜率均不存在的两条直线可能重合B ．若直线12l l ⊥，则这两条直线的斜率的乘积为1-C ．若两条直线的斜率的乘积为1-，则这两条直线垂直D ．两条直线12,l l ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则12l l ⊥【答案】ACD【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A ，若12:0:2,0l l x x ==，则12,l l 斜率均不存在，但两者重合，故A 正确；对于BD ，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为1-，故B 错误；D 正确；对于C ，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为1-时，这两条直线垂直，故C 正确.故选：ACD.19．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法中正确的有（）A ．若两直线平行，则两直线的斜率相等B ．若两直线的斜率相等，则两直线平行C ．若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直D ．若两直线垂直，则两直线的斜率乘积等于1-【答案】BC【分析】根据直线斜率与位置关系的相关知识直接判断即可.【详解】对于A ，两直线平行，可以是斜率都不存在，所以A 错误；对于B ，若两直线的斜率相等，则两直线平行，所以B 正确；对于C ，若两直线的斜率乘积等于1-，则两直线垂直，故C 正确；对于D ，若两直线垂直，可能是一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在，则不是两直线的斜率乘积等于1-，故D 错误；故选：BC20．【多选】（2024·山东济南·高二校考期中）若1l 与2l 为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是12,a a ，斜率分别为12,k k ，则下列命题正确的是（）A ．若斜率12k k =，则 12l l ∥B ．若121k k =-，则12l l ⊥C ．若倾斜角12a a =，则 12l l ∥D ．若12πa a +=，则12l l ⊥【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC ，举反例可判断D.【详解】对于A, 若两直线斜率12k k =，则它们的倾斜角12a a =，则12l l ∥，正确；对于B ，由两直线垂直的条件可知，若121k k =-，则12l l ⊥，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角12a a =，则 12l l ∥，正确；对于D, 若12πa a +=，不妨取12π2π33,a a ==，则1122tan tan k k a a ====121k k =-，12,l l 不垂直，D 错误，故选：ABC21.（2024·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A【详解】当两条直线斜率乘积为1-时，两条直线互相垂直，充分性成立；当两条直线互相垂直时，其中一条直线可能斜率不存在，必要性不成立；\“两条直线的斜率乘积为1-”是“两条直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.（二）两条直线垂直关系的判定解题策略：1.使用斜率判定两条直线垂直的注意事项(1)直线垂直只有两种情形，即一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0和k 1k 2＝－1.(2)当点的坐标中含有参数时，需注意两点连线的斜率是否存在．2.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论． 22．【多选】（2024·浙江杭州·高二杭师大附中校考期中）下列直线12,l l 互相垂直的是（）A ．1l 的斜率为23-，2l 经过点(1,1)A ，10,2B æö-ç÷èøB ．1l 的倾斜角为45°，2l 经过点(2,1),(3,6)P Q ---C ．1l 经过点(1,0),(4,5)M N -，2l 经过点(6,0),(1,3)R S --D ．1l 的斜率为2，2l 经过点(1,2),(4,8)U V 【答案】ABC【分析】由倾斜角与斜率的关系求出直线斜率，由两点坐标求出直线斜率，分别判断两直线斜率之积是否为1-，从而可选出正确答案.【详解】2l 的斜率为1132012k --==-，因为23132-´=-，所以12l l ⊥成立，故A 正确；1l 的斜率为1tan 451k =°=，2l 的斜率为()()26151325----===---k ，由121k k =-，则12l l ⊥成立，故B 正确；1l 的斜率为155413k -==--，2l 的斜率为()2303165k -==---，由121k k =-则12l l ⊥成立，故C 正确；2l 的斜率为82241k -==-，由221´¹-，所以12l l ⊥不成立，故D 错误.故选：ABC ．23．（2024·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)1l 经过点(3,4),(1,3),A B --2l 经过点(4,3),(3,1)M N --；(2)1l 经过点(3,4),(3,10),A B 2l 经过点(10,40),(10,40)M N -．【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别计算出1l 、2l 的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知1l x ⊥轴，2l x 轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线1l ，2l 的斜率存在，分别设为12,k k ，()()1347134k --==--，()()2134347k --==--，121k k \⋅=，∴1l 与2l 不垂直．（2）由题意知1l 的倾斜角为90°，则1l x ⊥轴；由题知直线2l 的斜率存在，设为3k ，34040010(10)k -==--，则2l x 轴，∴12l l ⊥．24．（2024·广东·高二校联考阶段练习）判断下列直线1l 与2l 是否垂直：(1)1l 的倾斜角为2π3，2l 经过(4,M -，(5,N 两点；(2)1l 的斜率为32-，2l 经过()3,2P -，()6,4Q -两点；(3)1l 的斜率为13-，2l 的倾斜角为a ，a 为锐角，且3tan 24a =-.【答案】(1)12l l ⊥(2)1l 与2l 不垂直(3)12l l ⊥【分析】（1）1l 的斜率为2πtan3=2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1-即可；（2）根据过两点的斜率公式可求2l 的斜率，判断斜率的乘积是否为1-即可；（3）根据二倍角的正切公式求出tan a 的值，判断斜率的乘积是否为1-即可.（1）因为1l 的倾斜角为2π3，所以1l 的斜率为2πtan 3=.因为2l 经过(4,M -，(5,N 两点，所以2l =因为1=-，所以12l l ⊥.（2）因为2l 经过()3,2P -，()6,4Q -两点，所以2l 的斜率为()422633--=---.因为1l 的斜率为32-，且32123æö-´-¹-ç÷èø，所以1l 与2l 不垂直.（3）记2l 的斜率为k ，因为3tan 24a =-，所以22314k k =--，解得3k =或13k =-.因为a 为锐角，所以3k =.因为1l 的斜率为13-，且1313æö´-=-ç÷èø，所以12l l ⊥.25．（2024·福建三明·高二校联考期中）已知直线1l 经过()3,2A -，()1,2B -两点，直线2l 倾斜角为45°，那么1l 与2l （）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直【答案】B【分析】根据两点求出直线1l 的斜率，根据倾斜角求出直线2l 的斜率，可知斜率乘积为1-，从而得到垂直关系.【详解】由题意可得：直线1l 的斜率()122131k --==---，直线2l 的斜率2tan451k =°=，∵121k k =-，则1l 与2l 垂直.故选：B.26.【多选】（2024·广西柳州·高二校考阶段练习）若()4,2A -，()6,4B -，()12,6C ，()2,12D ，下面结论中正确的是（）A ．//AB CDB ．AB AD ⊥C ．AC BD =D ．//AC BD 【答案】ABC 【详解】423645AB k --==-+，12632125CD k -==--，且C 不在直线AB 上，∴//AB CD ，故A 正确；又∵1225243AD k -==+，∴1AB AD k k ⋅=-，∴AB AD ⊥，故B 正确；∵()16,4AC =uuu r ，()4,16BD =-uuu r ，∴AC =，BD =，∴AC BD =，故C 正确；又∵6211244AC k -==+，124426BD k +==--，∴1AC BD k k =-⋅∴AC BD ⊥，故D 错误．故选:ABC ．27．【多选】（2024·江苏·高二假期作业）以(1,1),(2,1),(1,4)A B C --为顶点的三角形，下列结论正确的有（）A ．23AB k =-B ．14BC k =-C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB ，利用斜率公式计算判断，对于C ，通过计算AB AC k k ⋅判断，对于D ，通过计算AB BC k k ⋅判断.【详解】对于A ，因为(1,1),(2,1)A B --，所以1(1)2123AB k --==---，所以A 正确，对于B ，因为(2,1),(1,4)B C -，所以1415214BC k --==-¹--，所以B 错误，对于C ，因为23AB k =-，143112AC k -==--，所以22133AB AC k k ⋅=-´=-，所以AB AC ⊥，所以ABC V 以A 点为直角顶点的直角三角形，所以C 正确，对于D ，因为23AB k =-，5BC k =-，所以1AB BC k k ⋅¹-，所以D 错误，故选：AC28.（2024·全国·模拟预测）已知两条直线1l 和2l ，其斜率分别是一元二次方程220241k k +=的两不等实数根，则其位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．异面【答案】B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意，设两条直线1l 和2l 的斜率分别为12,k k ，且为一元二次方程22024 1 k k +=的两不等实数根，则211k k ⋅=-，所以12l l ⊥.故选：B 29．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知直线12,l l 的斜率是方程220x px --=的两个根，则（）A ．12l l ⊥B ．12//l l C ．1l 与2l 相交但不垂直D ．1l 与2l 的位置关系不确定【答案】C【分析】由122k k =-可知两直线不垂直，且12k k ¹知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线12,l l 的斜率为12,k k ，则122k k =-，121k k ¹-Q ，12,l l \不垂直，A 错误；若12k k =，则21210k k k =³，与122k k =-矛盾，12k k \¹，12,l l \不平行，B 错误；12,l l Q 不平行，也不垂直，12,l l \相交但不垂直，C 正确，D 错误.故选：C.（三）已知两直线垂直求参数解题策略：解决由垂直关系求参数问题的思路由两条直线垂直求参数的值，一般的解题思路是利用斜率的坐标公式表示出斜率，令斜率之积为-1求解,但在解题过程中要注意讨论直线与x 轴垂直的情况,此时一条直线的斜率为零，另一条直线的斜率不存在.对于斜率不存在的直线，可令直线上两点的横坐标相等,即可求解30.（2023·全国·高二专题练习）过点(,1)A m ，(1,)B m -的直线与过点(1,2)P ，(5,0)Q -的直线垂直，则m 的值为（）A ．2-B ．2C ．12D ．12-【答案】A【详解】两条直线垂直，则：120111(5)m m --´=-+--，解得2m =-，故选：A ．31．（2024·甘肃兰州·高二兰州五十九中校考开学考试）已知经过点()2,0A -和点()1,3B a 的直线1l 与经过点()0,1P -和点(),2Q a a -的直线2l 互相垂直，则实数a 的值为（）A ．0B ．1C ．0或1D ．1-或1【答案】C【分析】求出直线1l 的斜率为1k a =，分0a ¹、0a =两种情况讨论，在0a ¹时，由两直线斜率之积为1-可求得实数a 的值；在0a =时，直接验证12l l ⊥.综合可得结果.【详解】直线1l 的斜率()13012a k a -==--．①当0a ¹时，直线2l 的斜率()221120a a k a a----==-．因为12l l ⊥，所以121k k =-，即121a a a -⋅=-，解得1a =．②当0a =时，()0,1P -、()0,0Q ，此时直线2l 为y 轴，又()2,0A -、()10B ,，则直线1l 为x 轴，显然12l l ⊥．综上可知，0a =或1.故选：C.32.（2024·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知直线1l 经过()3,7A ，()2,8B 两点，且直线21l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为（）A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°【答案】B【详解】设直线2l 的倾斜角为a ，因为直线1l 的斜率178132l k -==--，由12l l ⊥，得121l l k k ⋅=-，所以21l k =，即tan 1a =，又0180a °£<°，则45a =°，所以直线2l 的倾斜角为45°．故选：B ．33．（2024·高二课时练习）已知直线l 的倾斜角为135°，直线1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，且1l 与l 垂直，直线22:1l y x b=-+与直线1l 平行，则a b +等于（）A ．4-B ．2-C ．0D ．2【答案】B【分析】由直线l 的倾斜角为135°，1l 与l 垂直可得1l k ，再由直线2l 与直线1l 平行求得b ，由1l 过,A B 求得a ，进而求a b +.【详解】由题意知：tan1351l k =°=-，而1l 与l 垂直，即11l k =，又直线22:1l y x b =-+与直线1l 平行，则21b-=，故2b =-，又1l 经过点(3,2)A ，(,1)B a -，则11213l k a --==-，解得0a =，所以2a b +=-.故选：B.34.（23-24高二上·甘肃兰州·阶段练习）若直线1l 与2l 的斜率1k 、2k 是关于k 的方程224k k b --=的两根，若12l l ⊥，则b =（）A ．2B ．－2C ．0D ．－4【答案】B【分析】由直线垂直得121k k =-，结合韦达定理得参数值．【详解】12121l l k k ⊥Þ=-，方程224k k b --=为2240k k b ++=，所以1212b k k ==-，2b =-，此时1680b D =->满足题意．故选：B ．35．（2024·青海海东·高二校考期中）已知点()2,2A -，()6,4B ，()5,2H ，H 是ABC V 的垂心．则点C 的坐标为（）A ．()6,2B ．()2,2-C ．()4,2--D ．()6,2-【答案】D【分析】先设点C 的坐标,再求出直线BH AH ，的斜率，则可求出直线AC 的斜率和直线BC 的倾斜角，联立方程组求出C 的坐标；【详解】设C 点标为(),x y ，直线AH 斜率22052AH k -==+，∴BC AH ⊥，而点B 的横坐标为6，则6x =，直线BH 的斜率42265BH k -==-，∴直线AC 斜率21622AC y k -==-+，∴=2y -，∴点C 的坐标为(6,2)-．故选:D .36.（2024·甘肃武威·高二民勤县第一中学校考开学考试）已知三角形三个顶点的坐标分别为()4,2A ，()1,2B -，()2,4C -，则BC 边上的高的斜率为（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】C【详解】()1,2B -Q ，()2,4C -，()42221BC k --\==---设BC 边上的高的斜率为k ，则1BC k k ⋅=-，12k \=故选：C37.（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知点()1,1A 和()2,4B ，点P 在y 轴上，且APB Ð为直角，则点P 坐标为（）A ．()0,2B ．()0,2或()0,3C ．()0,2或()0,4D ．()0,3【答案】B【详解】由题意，设点()0,P y ，APB ÐQ 为直角，AP BP \⊥，由141,12AP BP y y k y k --==-=，()4112AP BP y k k y -æö\⋅=-=-ç÷èø，解得3y =或2，所以点P 的坐标为()0,2或()0,3故选：B38．（2024·江苏·高二假期作业）已知两点(2,0)A ，(3,4)B ，直线l 过点B ，交y 轴于点(0,)C y ，O 是坐标原点，且O ，A ，B ，C 四点共圆，那么y 的值是________．【答案】194/4.75【分析】由题易知OC OA ⊥，即AC 为圆的直径，即AB BC ⊥,由1AB BC k k ⋅=-列出方程，即可求出答案.【详解】由题易知OC OA ⊥，即AC 为圆的直径，即AB BC ⊥,∴1AB BC k k ⋅=-，即40413230y--´=---，解得194y =．故答案：194.39．（2024·江苏·高二假期作业）已知()1,1M -，()2,2N ，()3,0P ．(1)求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，PN MQ ∥；(2)若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ Ð=Ð，求直线MQ 的倾斜角．【答案】(1)()0,1Q (2)90°【分析】（1）根据两直线的垂直关系和平行关系即可求出结果；（2）根据条件可得NQ NP k k =-即可求出结果.【详解】（1）设(,)Q x y ，由已知得2(1)321MN k --==-，又PQ MN ⊥，可得1MN PQ k k ⋅=-，即31(3)3yx x ´=-¹-．　①由已知得02232PN k -==--，又PN MQ ∥，可得PN MQ k k =，即()1211y x x +=-¹-．　②联立①②解得0,1x y ==，∴(0,1)Q ．（2）设(,0)Q x ，∵NQP NPQ Ð=Ð，∴NQ NP k k =-，又∵22NQ k x =-，2NP k =-，∴222x=-，解得1x =．∴(1,0)Q ，又∵(1,1)M -，∴MQ x ⊥轴，故直线MQ 的倾斜角为90°．40．【多选】（2024·广西贵港·高二校考阶段练习）已知等腰直角三角形ABC 的直角顶点为()3,3C ，点A 的坐标为()0,4，则点B 的坐标可能为（）A ．()2,0B ．()6,4C ．()4,6D ．()0,2【答案】AC【分析】根据三角形ABC 为等腰直角三角形列方程组，即可求解.【详解】设(),B x y ，由题意可得=，可化为()()22360 3310x y x y --=ìïí-+-=ïî，解得:20x y =ìí=î或46x y =ìí=î，即()2,0B 或()4,6B ．故选：AC题型三直线平行、垂直的判定在几何中的应用解题策略：1.利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤2.平行和垂直的综合应用(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定．(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形．41．（2024·全国·高二期中）已知5,111(),()2)3,(A B C -，，三点，则△ABC 为__________ 三角形.【答案】直角【分析】根据直线斜率关系即得.【详解】如图，猜想,AB BC ABC ⊥V 是直角三角形，由题可得边AB 所在直线的斜率12AB k =-,边BC 所在直线的斜率2BC k =，由1AB BC k k =-，得,AB BC ⊥即90ABC Ð= ，所以ABC V 是直角三角形.故答案为：直角.42．（2024·河南商丘·高二校联考期中）若()5,1A -，()1,1B ，()2,3C ，则ABC V 的外接圆面积为______．【答案】254p【分析】由斜率得AB BC ⊥，从而可得AC 是直角三角形的斜边，也是ABC V 的外接圆的直径，求得AC 长后得圆半径，从而得圆面积．【详解】111512--==--AB k ，31221BC k -==-，1AB BC k k ⋅=-，∴AB BC ⊥，AC 是直角三角形的斜边，也是ABC V 的外接圆的直径，5=，外接圆半径为522AC r ==，圆表面积为22544()252S r p p p ==´=．故答案为：254p ．43．（2024·高二课时练习）以(2,1),(4,2),(2,6),(3,1)A B C D ---为顶点的四边形是（）A ．平行四边形，但不是矩形B ．矩形C ．梯形，但不是直角梯形D ．直角梯形【答案】D【分析】先在坐标系内画出ABCD 点，再根据对边和邻边的位置关系判断四边形ABCD 的形状.【详解】在坐标系中画出ABCD 点，大致如上图，其中11622,2,,//3224AD BC AD BC k k k k AD BC +-==-==-\=-+-，211,1,422AB AB BC k k k AB BC +===-⊥+g ，==所以四边形ABCD 是直角梯形；故选：D.44.（2024高二上·全国·专题练习）已知四边形MNPQ 的顶点()()()()1,1,3,1,4,0,2,2M N P Q -，则四边形MNPQ 的形状为.【答案】矩形【分析】分别求出直线,,,MN PQ MQ NP 的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论.【详解】解：()11201,11324MN PQ k k ---==-==---Q ，且P 不在直线MN 上，//MN PQ \.又()01211,12143MQ NP k k ---====--Q ，且N 不在直线上，//MQ NP \，\四边形MNPQ 为平行四边形.又1,MN MQ k k MN MQ ⋅=-\⊥Q .\平行四边形MNPQ 为矩形.故答案为：矩形.45.（2024·山东滨州·高一校考阶段练习）已知点()4,3A -，()2,5B ，()6,3C ，()3,0D -，试判定四边形ABCD的形状．【答案】直角梯形【详解】由斜率公式可得：5312(4)30313630333(4)351622AB CDADBC k k k k -==---==---==-----==--AB CD k k =，//AD BCAB CDk k \¹Q AD \与BC 不平行又1(3)13AB AD k k ⋅=´-=-Q ，AB AD \⊥，故四边形ABCD 是直角梯形．46．（2024·高二课时练习）（拓广探索）在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为(0,0)O ，(1,)P t ，(12,2)Q t t -+，(2,2)R t -，其中0t >．则四边形OPQR 的形状为______.【答案】矩形【分析】根据点的坐标计算斜率，利用斜率相等得到直线平行，再根据矩形的判定，即可得到答案；【详解】由斜率公式得010Op t k t -==-，RQ 2(2)2(12)1t t k t t t -+-===----，20120OR k t t-==---，PQ 2211212t t k t t t +-===----，所以OP RQ k k =，QR PQ k k =，从而//OP RQ ，//OR PQ ．所以四边形OPQR 为平行四边形．又1OP QR k k ⋅=-，所以OP OR ⊥，故四边形OPQR 为矩形．故答案为：矩形.47．（2024·江苏·高二假期作业）已知ABC V 的顶点为(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ，是否存在R m Î使ABC V 为直角三角形，若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．【答案】存在，7m =-或3m =或2m =±【分析】对ABC V 的直角进行讨论，利用两直线垂直的斜率关系即可求出结果.【详解】若A 为直角，则AC AB ⊥，∴1AC AB k k ⋅=-，即11112515m ++⋅=---，解得7m =-；若B 为直角，则BC AB ⊥，∴1BC AB k k ⋅=-，即11112115m -+⋅=---，解得3m =；若C 为直角，则AC BC ⊥，∴1AC BC k k ⋅=-，即1112521m m +-⋅=---，解得2m =±．综上所述，存在7m =-或3m =或2m =±，使ABC V 为直角三角形．48．（2024·高二课时练习）已知(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标.【答案】(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标.【详解】由题，(1,3),(5,1),(3,7)A B C ，所以kAC =2，12AB k =-，kBC =－3，设D 的坐标为（x ，y ），分以下三种情况：①当BC 为对角线时，有kCD =kAB ，kBD =kAC ，所以，125BD y k x -==-，71=32CD y x k -=--，得x =7，y =5，即(7,5)D ②当AC 为对角线时，有kCD =kAB ，kAD =kBC ，所以，331AD y k x -==--，71=32CD y x k -=--得x =－1，y =9，即(1,9)D -③当AB 为对角线时，有kBD =kAC ，kAD =kBC 所以132351BD AD y y k k x x --====---，，得x =3，y =－3，即(3,3)D -所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-.49．（2024·全国·高二专题练习）用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直.【答案】证明见解析【分析】建立坐标系，根据AB AD =得出1AC BD k k =-⋅，从而证明菱形的对角线互相垂直.【详解】以AB 为x 轴，过A 作AB 的垂线为y 轴，如图，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为(0,0),(,0),(,),(,),,,AC BD c c A B b D a c C a b c k k a b a b+==+-。

高中数学必修二 8 6 3 平面与平面垂直(第1课时)平面与平面垂直的判定练习(含答案)

8.6.3 平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定一、选择题1．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB AD ==1CC ，则二面角1C BD C --的大小是（） A ．30º B ．45ºC ．60ºD ．90º【答案】A【解析】由题意，作出长方体1111ABCD A B C D -的图象，取BD 中点为O ，连接CE 、1C E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以C 即1C 在平面ABCD 上的投影，又BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为AB AD ==ABCD 是正方形，O 为BD 中点，所以CO BD ⊥，又1CO CC C =，所以BD ⊥平面1COC ，又1C O ⊂平面1COC ，所以1BD C O ⊥，1COC ∠即二面角1C BD C --，又1CC =，CO ==所以1tan COC ∠==130COC ∠=.故选：A2．如图，AB 是圆的直径，P A 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且P A ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30C ．45︒D ．15︒【答案】C 【解析】由条件得：P A ⊥BC ，AC ⊥BC 又P A ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．3．如图，在三棱锥P -ABC 中，已知PC ⊥BC ，PC ⊥AC ，点E ，F ，G 分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是 ( )A ．平面EFG ∥平面PBCB ．平面EFG ⊥平面ABCC ．∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角D ．∠FEG 是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角【答案】D【解析】对于A ，因为点E ，F 分别是AB,AP 的中点，所以EFPB ，又EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以EF 平面PBC ．同理EG ∥平面PBC ，又EFEG E =,所以平面EFG ∥平面PBC ．因此A 正确．对于B ，因为,,PC BC PC AC BC AC C ⊥⊥⋂=, 所以PC ⊥平面ABC ．又FG PB ,所以FG ⊥平面ABC ，又FG ⊂平面FGE ，所以平面FGE ⊥平面ABC ．因此B 正确．对于C ，由于平面EFG ∥平面PBC ，且与平面PAB 交于EF ，PB ，∴EF PB所以∠BPC 是直线EF 与直线PC 所成的角．因此C 正确．对于D ，由于FE,GE 与AB 不垂直，所以∠FEG 不是平面PAB 与平面ABC 所成二面角的平面角，因此D 不正确．综上选项D 不正确．选D ．4．已知AB 是圆柱上底面的一条直径，C 是上底面圆周上异于A ，B 的一点，D 为下底面圆周上一点，且AD ⊥圆柱的底面，则必有（） A ．平面ABC ⊥平面BCD B ．平面BCD ⊥平面ACD C ．平面ABD ⊥平面ACD D ．平面BCD ⊥平面ABD【答案】B【解析】因为AB 是圆柱上底面的一条直径，所以AC BC ⊥，又AD ⊥圆柱的底面，所以AD BC ⊥，因为ACAD A =，所以BC ⊥平面ACD .又BC ⊂平面BCD ，所以平面BCD ⊥平面ACD . 故选：B.5．（多选题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ︒∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°C ．二面角P BC A --的大小为45°D ．BD ⊥平面PAC 【答案】ABC【解析】解：如图，对于A ，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形， AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，PM ，BM ⊂平面PMB ，AD ∴⊥平面PBM ，故A 正确.对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90°，故B 正确.对于C ，∵平面PBC平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PBM ，BC PB ∴⊥BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则BM =，PM =，在Rt PBM △中，tan 1PMPBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45°，故C 正确.对于D ，因为BD 与PA 不垂直，所以BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误. 故选：ABC6．（多选题）如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AD =AB =1，AD ⊥AB ，∠BCD =45°，将ΔABD 沿对角线BD 折起.设折起后点A 的位置为A ′，并且平面A ′BD ⊥平面BCD .给出下面四个命题正确的：()A ．A ′D ⊥BCB ．三棱锥A ′−BCD 的体积为√22C ．CD ⊥平面A ′BD D ．平面A ′BC ⊥平面A ′DC【答案】CD【解析】如图所示：E 为BD 中点，连接A′EAD//BC ，AD =AB =1，AD ⊥AB 得到∠DBC =∠ADB =45° 又∠BCD =45°故ΔBCD 为等腰直角三角形平面A ′BD ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，所以CD ⊥平面A ′BD ，所以C 正确 E 为BD 中点，A′E ⊥BD 则A′E ⊥平面BCD 所以A ′E ⊥BC如果A ′D ⊥BC ，则可得到BC ⊥平面A ′BD ，故BC ⊥BD 与已知矛盾.故A 错误三棱锥A ′−BCD 的体积为S =13×12×√2×√2×√22=√26 .故B 错误在直角三角形A′CD 中，A′C 2=CD 2+A′D 2∴A′C =√3在三角形A′BC 中，A′B =1,BC =2,A′C =√3 满足BC 2=A′B 2+A′C 2∴BA′⊥CA′ 又BA′⊥DA′ 所以BA′⊥平面A ′DC ，所以平面A ′BC ⊥平面A ′DC ，故D 正确综上所述：答案为CD三、填空题7．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，1AD =，则平面11BD C 与平面111A D C 所成的二面角的正弦值是_________.【解析】画出图像如下图所示，将平面11BD C 延展成平面11ABC D ，将平面111A D C 延展成平面111A B C ，平面11ABC D 与平面111A B C 相交于11C D ，且1111111,C D B C C D BC ⊥⊥，所以11BC B ∠是平面11BD C 与平面111A D C 所成的二面角.在11Rt BB C ∆中11111,2,BC BB BC ===11sin BC B ∠==.8．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD 且底面各边都相等，M 是PC 上一点，当点M 满足时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）【答案】DM ⊥PC (或BM ⊥PC ) 【解析】连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．9．如图所示，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB =，将ABE 沿BE 边折起，折起后A 点在平面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE ；②AB CE ；③316B ACE V a -=；④平面ABC ⊥平面ADC ，其中正确的命题序号为___________．【答案】③④ 【解析】作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB ,BE =a ,∴AE a .∴.AD a AC =∴==.∵BC ∥DE ，∴∠ABC 是异面直线AB ，DE 所成的角，在Rt △ABC 中, ACtan ABC BC∠==故①不正确；连结BD ，CE ，则CE ⊥BD ，又AD ⊥平面BCDE ，CE ⊂平面BCDE ，∴CE ⊥AD ，又BD ∩AD =D ，BD ⊂平面ABD ，AD ⊂平面ABD ， ∴CE ⊥平面ABD ，又AB ⊂平面ABD ， ∴CE ⊥AB .故②错误．三棱锥B −ACE 的体积2311113326B ACE A BCE BCEV V S AD a a a --===⨯⨯=.故③正确．∵AD ⊥平面BCDE ，BC ⊂平面BCDE ， ∴BC ⊥AD ，又BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面ACD ，∵BC ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面ACD . 故答案为③④．10．如图所示，在长方体中ABCD EFGH -，棱AB 与棱HG 的位置关系是_________，棱AD 与平面DCGH 的位置关系是__________，平面ABCD 与平面ADHE 的位置关系是_________.【答案】平行垂直垂直【解析】根据长方体的性质可知，棱AB 与棱HG 平行，棱AD 与DC,DH 垂直，所以棱AD 与平面DCGH 垂直，长方体的侧面与底面垂直，故平面ABCD 与平面ADHE 垂直. 三、解答题11．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，AD 的中点M 是顶点P 在底面ABCD 的射影，N 是PC 的中点．（1）求证：平面MPB ⊥平面PBC ；（2）若MP MC =，直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值．【答案】(1)见解析（2 【解析】 (1)证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∠ADC ＝120°，且M 是AD 的中点，∴MB ⊥AD ，∴MB ⊥BC . 又∵P 在底面ABCD 的射影M 是AD 的中点， ∴PM ⊥平面ABCD ，又∵BC ⊂平面ABCD ，∴PM ⊥BC ，而PM ∩MB ＝M ，PM ，MB ⊂平面PMB ， ∴BC ⊥平面PMB ，又BC ⊂平面PBC ， ∴平面MPB ⊥平面PBC .(2)解过点B 作BH ⊥MC ，连接HN ，∵PM ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ，∴BH ⊥PM ，又∵PM ，MC ⊂平面PMC ，PM ∩MC ＝M ， ∴BH ⊥平面PMC ，∴HN 为直线BN 在平面PMC 上的射影， ∴∠BNH 为直线BN 与平面PMC 所成的角，在菱形ABCD 中，设AB ＝2a ，则MB ＝AB ·sin 60°＝a ，MC ＝＝a .又由(1)知MB ⊥BC ， ∴在△MBC 中，BH ＝＝a ，由(1)知BC ⊥平面PMB ，PB ⊂平面PMB ， ∴PB ⊥BC ，∴BN ＝PC ＝a ，∴sin ∠BNH ＝＝＝.12．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ；（2）平面BDE ⊥平面ABC .【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由于,D E 分别是,PC AC 的中点，则有//PA DE ，又PA ⊄平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以//PA 平面DEF ．（2）由（1）//PA DE ，又PA AC ⊥，所以DE AC ⊥，又F 是AB 中点，所以132DE PA ==，142EF BC ==，又5DF =，所以222DE EF DF +=，所以DE EF ⊥，,EF AC 是平面ABC 内两条相交直线，所以DE ⊥平面ABC ，又DE ⊂平面BDE ，所以平面BDE ⊥平面ABC ．。

直线和平面垂直的判定和性质(习题)

利用直线和平面垂直的性质解决实际问题，如建筑物的设计、空间定位等。
总结词：结合其他几何知识，考察对直线和平面垂直的综合应用能力。
在给定的几何图形中（如长方体、正方体、球等），判断某一直线是否与某一平面垂直，并证明。
在解析几何中，结合直线和平面垂直的性质，研究曲线的性质和几何意义。
04
数学建模中的应用
解析几何
在解析几何中，直线和平面垂直的性质是重要的概念之一，用于描述几何图形中的垂直关系和位
置关系。
物理建模
在物理建模中，直线和平面垂直的性质常常被用来描述物体的运动轨迹和受力分析，以解决物理问题。
经济建模
在经济建模中测经济发展趋势。
判定定理的应用
应用场景
在几何、工程、建筑等领域中，常常需要判断一条直线是否与某个平面垂直。通过应用判定定理，可以快速准确地判断出结果。
实例
在建筑设计中，为了确保建筑物的稳定性，需要确保建筑物的支撑柱与地面垂直。这时，可以通过应用直线和平面垂直的判定定理来判断支撑柱是否与地面垂直。
02
直线和平面垂直的性质
解释
这个定理说明，只要一条直线与平面内的一条直线垂直，那么这条直线就与整个平面垂直，不需要与平面内的所有直线都垂直。
判定定理的证明
• 证明方法：通过反证法，假设直线与平面不垂直，那么直线要么与平面斜交，要么与平面平行。但当直线与平面斜交或平行时，直线不可能与平面内的任意一条直线都垂直，这与已知条件矛盾。因此，原假设不成立，直线与平面垂直。
性质的理解
直线和平面垂直时，该直线与平面内任意一条直线都垂直。
直线和平面垂直时，该直线上的任意一点到平面的距离都相等。

高中数学-直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定

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已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则
π
侧面与底面所成的二面角等于 3 .
（设O为底面ABCD的中心，E为BC边
的中点，则∠PEO即为侧面与底面所成
二面角的平面角，
∵底面对角线的长为2 6，
∴底面边长为2 3.
又∵V=
1
3 Sh=12.
∴OE= 3,高OP=3，
∴tan∠PEO= ∴∠PEO= π
A1D1,A1G
A1GFD1，
∴AE⊥平面A1GF.
又∵AE
ADE，
∴平面ADE⊥平面A1FG.
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.
OP OE
=3.
3
即侧面与底面所成的二面角为
π
）
3
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怎样理解线面垂直的判定定理？直线和平面垂直的判定定理，应抓住“两条”和“相交”这两个关键词语.要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，是无关紧要的.
条相交直线”是关键性词语，证明时一定要明确指出，
弄清定理的条件是掌握好定理的关键.
（3）转化思想在本学案中的应用:
线线垂直
线面垂直.
在转化时要弄清相互转化的条件，根据具体问题灵活
选取恰当的证明方法.
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4.证面面垂直的方法：
（１）证明两平面构成的二面角的平面角为90°.
（２）证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，将
直的判定定，理用符ຫໍສະໝຸດ 表示为：a αb α
a∩b=O l⊥a

高中数学必修2立体几何常考题型：平面与平面垂直的判定

平面与平面垂直的判定【知识梳理】1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图)．直线AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．记法：α－AB－β，在α，β内，分别取点P、Q时，可记作P－AB－Q；当棱记为l时，可记作α－l－β或P－l－Q.(2)二面角的平面角：①定义：在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，如图所示，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．②直二面角：平面角是直角的二面角．2．面面垂直的定义(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)画法：记作：α⊥β.3．两平面垂直的判定(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．(2)图形语言：如图．(3)符号语言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB⊂α⇒α⊥β.【常考题型】题型一、面面垂直的判定【例1】如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求证：平面ABC⊥平面SBC.[证明]法一：(利用定义证明)∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB 和△ASC 是等边三角形，则有SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ，令其值为a ，则△ABC 和△SBC 为共底边BC 的等腰三角形．取BC 的中点D ，如图所示，连接AD ，SD ，则AD ⊥BC ，SD ⊥BC ，∴∠ADS 为二面角A －BC －S 的平面角．在Rt △BSC 中，∵SB ＝SC ＝a ，∴SD ＝22a ，BD ＝BC 2＝22a . 在Rt △ABD 中，AD ＝22a ，在△ADS 中，∵SD 2＋AD 2＝SA 2，∴∠ADS ＝90°，即二面角A －BC －S 为直二面角，故平面ABC ⊥平面SBC .法二：(利用判定定理)∵SA ＝SB ＝SC ，且∠BSA ＝∠CSA ＝60°，∴SA ＝AB ＝AC ，∴点A 在平面SBC 上的射影为△SBC 的外心．∵△SBC 为直角三角形，∴点A 在△SBC 上的射影D 为斜边BC 的中点，∴AD ⊥平面SBC .又∵AD ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面SBC .【类题通法】证明面面垂直的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．【对点训练】1.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点． (1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．解：(1)证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. 又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1，由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.题型二、二面角【例2】已知D ，E 分别是正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱AA 1和BB 1上的点，且A 1D ＝2B 1E ＝B 1C 1.求过D ，E ，C 1的平面与棱柱的下底面A 1B 1C 1所成的二面角的大小．[解] 如图所示，在平面AA1B 1B 内延长DE 和A 1B 1交于点F ，则F 是平面DEC 1与平面A 1B 1C 1的公共点．于是C 1F 为这两个平面的交线．因而，所求二面角即为二面角D －C 1F －A 1.∵A 1D ∥B 1E ，且A 1D ＝2B 1E ，∴E ，B 1分别为DF 和A 1F 的中点．∵A 1B 1＝B 1C 1＝A 1C 1＝B 1F ，∴FC 1⊥A 1C 1.又∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1，∴CC 1⊥FC 1.又∵A 1C 1，CC 1为平面AA 1C 1C 内的两条相交直线，∴FC 1⊥平面AA 1C 1C .∵DC 1⊂平面AA 1C 1C ，∴FC 1⊥DC 1.∴∠DC 1A 1是二面角D －C 1F －A 1的平面角．由已知A 1D ＝A 1C 1，则∠DC 1A 1＝45°.故所求二面角的大小为45°.【类题通法】解决二面角问题的策略清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点．求二面角的大小的方法为：一作，即先作出二面角的平面角；二证，即说明所作角是二面角的平面角；三求，即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”．【对点训练】2.如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．解：∵E为SC中点，且SB＝BC，∴BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，∴SC⊥平面BDE，∴BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，∴BD⊥平面SAC，从而BD⊥AC，BD⊥DE，∴∠EDC为二面角E－BD－C的平面角．设SA＝AB＝1.△ABC中，∵AB⊥BC，∴SB＝BC＝2，AC＝3，∴SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，∴∠EDC＝60°，即二面角E－BD－C为60°.题型三、线面、面面垂直的综合问题【例3】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，P A＝PC＝2a，求证：(1)PD⊥平面ABCD；(2)平面P AC⊥平面PBD；(3)二面角P－BC－D是45°的二面角．[证明](1)∵PD＝a，DC＝a，PC＝2a，∴PC2＝PD2＋DC2.则PD⊥DC.同理可证PD⊥AD.又∵AD∩DC＝D，且AD，DC⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，又∵AC⊂平面ABCD，∴PD⊥AC.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵BD∩PD＝D，且PD，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.又∵AC⊂平面P AC，∴平面P AC⊥平面PBD.(3)由(1)知PD⊥BC，又∵BC⊥DC，且PD，DC为平面PDC内两条相交直线，∴BC⊥平面PDC.∵PC⊂平面PDC，∴BC⊥PC.则∠PCD为二面角P－BC－D的平面角．在Rt△PDC中，∵PD＝DC＝a，∴∠PCD＝45°，即二面角P－BC－D是45°的二面角．【类题通法】本题是涉及线面垂直、面面垂直、二面角的求法等诸多知识点的一道综合题，解决这类问题的关键是转化：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直．【对点训练】3.△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA.证明：(1)设BD＝a，作DF∥BC交CE于F，则CF＝DB＝a.因为CE⊥面ABC，所以BC⊥CF，DF⊥EC，所以DE＝EF2＋DF2＝5a.又因为DB⊥面ABC，所以DA＝DB2＋AB2＝5a，所以DE＝DA.(2)取CA的中点N，连接MN，BN，则MN//12CE//DB.所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.又因为EC⊥面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.又DE＝DA，M为EA中点，所以DM⊥AE.所以DM⊥平面AEC，所以面BDM⊥面ECA.(3)由(2)知DM⊥平面AEC，而DM⊂面DEA，所以平面DEA⊥平面ECA.【练习反馈】1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必须具有的条件是()A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β答案：D2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂βC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：选C A与D中α也可与β平行，B中不一定α⊥β，故选C.3.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________________________．解析：如图：因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理4．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，P A＝6，那么二面角P－BC－A的大小为________．解析：取BC的中点O，连接OA，OP，则∠POA为二面角P－BC－A的平面角，OP＝OA＝3，P A ＝6，所以△POA 为直角三角形，∠POA ＝90°.答案：90°5．在四面体ABCD 中，BD ＝2a ，AB ＝AD ＝CB ＝CD ＝AC ＝a ，求证：平面ABD ⊥平面BCD .证明：如图所示，∵△ABD 与△BCD 是全等的等腰三角形，∴取BD 的中点E ，连接AE ，CE ，则AE ⊥BD ，BD ⊥CE .∴∠AEC 为二面角A －BD －C 的平面角．在△ABD 中，AB ＝a ，BE ＝12BD ＝22a ，AE ＝ AB 2－BE 2＝22a .同理CE ＝22a .在△AEC 中，AE ＝CE ＝22a ，AC ＝a ，由于AC 2＝AE 2＋CE 2，∴AE ⊥CE ，即∠AEC ＝90°，∴平面ABD ⊥平面BCD .。

高二数学面面垂直的判定和性质

α A
D
α A
β
B
C
D
β
B C
那么在已有条件的基础上，再添加什么条件，可使命题为真？
发现猜想证明证明过程结论问题发现
注
性质定理
猜想，得：若增加条件ABCD，则命题为真，即
α 直线AB 平面 α 直线AB 平面 β 。 A 平面 α 平面 β CD D AB CD
A
D
β
E
AB BE AB CD
BE β CD β

AB β 。
B
C
BE CD B
证明过程过程结论问题发现猜想证明证明
注
性质定理
平面与平面垂直的性质定理是：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
α A
D
β
B
C
问题发现猜想证明证明过程结论
面面垂直
线面垂直
线线垂直
3、平面 ⊥平面β ，要过平面内一点引平面β 的垂线，
只需过这一点在平面内作交线的垂线。
作业
P.81：
1、习题：2、3、6；
2、课后总结。
2) 若PA=AB=a, AC
6 a，求二面角A PB C的大小。 3
2 a, PA PB a , 在Rt PAB中，AE 2 6 PA a, AC a, EE 3 15 在Rt PAC中，PC a, FF 3 AF 2 5 在Rt AEF中， sin AEF 。 AE 5
PA AC 10 AF a, PC 5
平面与平面垂直的判定定理和性质定理（一）

【优质文档】高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定

(2) 解:由 (1) 知 BE ⊥平面 PAB,PB? 平面 PAB,所以 PB ⊥BE.又 AB ⊥BE, 所以 ∠PBA 是二面角 A-BE-P 的平面角 .
在 Rt△PAB 中 ,tan∠ PBA=
,∠ PBA= 60° ,
故二面角 A-BE-P 的大小是 60° .
7
∴BD⊥ AC.∵SA⊥ 平面 ABCD ,∴SA⊥ BD.
∵SA∩AC=A ,∴BD ⊥ 平面 SAC.
∵BD? 平面 PBD ,
∴平面 PBD ⊥ 平面 SAC.故选 B.
答案 :B
6.经过平面 α外一点和平面 α内一点与平面 α垂直的平面有
个.
解析 :设平面 α外的一点为 A,平面 α内的一点为 B,当直线 AB 垂直于平面 α时 ,经过直线 AB 的任意
所以 PA ⊥ CD. 因为 CD ⊥ AD,PA∩AD=A , 所以 CD ⊥ 平面 PAD. 因为 CD ? 平面 PDC , 所以平面 PDC ⊥ 平面 PAD.
能力提升
1.如果直线 l,m 与平面 α,β,γ满足 : l= β∩γ,l∥ α,m? α和 m⊥ γ,那么必有 ( ) A .α⊥ γ,且 l ⊥ m B .α⊥ γ,且 m∥ β C.m∥ β,且 l⊥ m D .α∥β,且 α⊥ γ
一个平面均垂直于平面 α,即此时有无数个 ;当直线 AB 与平面 α相交但不垂直时 ,过点 A 作直线 AC
2
垂直于平面 α,则直线 AC 仅有一条 ,由于直线 AC 和 AB 是两条相交直线 ,则 AB 和 AC 确定一个平面且该平面垂直于平面 α,此时仅有一个与平面 α垂直的平面 . 答案 :1 个或无数 7.
如图 ,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的菱形 ,∠ BCD= 60° ,E 是 CD 的中点 ,PA⊥底面 ABCD ,PA= . (1) 求证 :平面 PBE⊥平面 PAB; (2) 求二面角 A-BE-P 的大小 .