Riemann函数的连续问题

合集下载

从Riemann函数连续性的证明浅谈数学分析课程中的启发式教学

［文章编号］１７．８４（１）０．０４０６８８７２０２０７－２０
ＴｉｋｎｉＨｅｒｓｉｅｃｉｇｏａｈｍａｃｌｎｌｓｆｏｔｅＣｎｉｕｔｆＲｅｎｕｃｉｎｈｎｉｇＯｌｕｉｃＴａｈｎｆｔＭｔｅｔａａｙｉｒｍｏｔｉｏｉｍａｎＦｎｔｏｉＡｓｈｎｙ
Ｒｅａｎ函数连续性的证明浅谈ｉｎｍ数学分析课程中的启发式教学
王红霞，成礼智，陈波，何艳丽
（国防科学技术大学理学院，湖南长沙４０７）１０３
［摘
要］本文针对数学分析课程的特点，以Ｒｅｎｉｎ函数的连续性证明为例，探讨了启发式教学在数学ｍａ
第３卷第２期３２１６月００年
高等教育研究学报
ＪｕａｆＨｇｅｄｃｔｎＲｓａｃｏｒｌｉｈｒＥｕａｉｅｅｒｈｎｏｏ
Ｖｏ．３，Ｎ．１３ｏ２
Ｊｎ２１ｕ．０Ｏ
Ｉ）：１．６／ｉｎ１７・８４２１．１０４ＸＩ０３９ｊｓ．２８７．００．２９．ｓ６０
Ａｂｔａｔｈｓｐｐｒｄａｓｗｔｅｈｕｉｉｅｃｉｇｍｏｅｅｔａｈｎｆｍａｅｔａｎｌｓ．ｉｅｌｈｆｔｅａｒｅ：Ｔｉａｅｅｌｉｔｅｒｔｔａｈｎｄｌｉｔｅｃｉｇｏｔｍａｃｌａａｙｉｎｔｉｔｈｈｓｃｎｈｈｉｓｈｇｏｈ
ＷＡＮＧＨｏｇｘａＣＮｉｈ，ＣＥｏＨＥＹａ — ｎ－ｉ，ＨＥＬ．ｉＨＮＢ，ｚｎｌｉ

希尔伯特23个问题及解决情况

希尔伯特23个问题及解决情况1900年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问题》重要演讲。

在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：正如人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。

正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新观点，达到更为广阔的自由的境界。

希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：“如果我们想对最近的将来数学知识可能的发展有一个概念，那就必须回顾一下当今科学提出的，希望在将来能够解决的问题。

” 同时又指出：“某类问题对于一般数学进程的深远意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。

只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。

”他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：清晰性和易懂性；虽困难但又给人以希望；意义深远。

同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一些方法。

就是在这次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的23个问题，即著名的“希尔伯特23个问题”。

编号问题推动发展的领域解决的情况1 连续统假设公理化集合论1963年，Paul J.Cohen 在下述意义下证明了第一个问题是不可解的。

即连续统假设的真伪不可能在Zermelo_Fraenkel公理系统内判定。

2 算术公理的相容性数学基础希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，后来发展为系统的Hilbert计划（“元数学”或“证明论”）但1931年歌德尔的“不完备定理”指出了用“元数学”证明算术公理的相容性之不可能。

数学的相容性问题至今未解决。

3 两等高等底的四面体体积之相等几何基础这问题很快（1900）即由希尔伯特的学生M.Dehn给出了肯定的解答。

4 直线作为两点间最短距离问题几何基础这一问题提得过于一般。

希尔伯特之后，许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，在研究第四问题上取得很大进展，但问题并未完全解决。

病态函数的性质

一、Dirichlet 函数()D x ()10D x ⎧=⎨⎩/x Q x R Q∈∈它可由无穷次的累次极限运算得到()()2lim lim cos !nm n D x m x π→∞→∞=(其中m ,n 位置不可交换)1).Dirichlet 函数的不连续性证明：对于任意0x R ∈,取()0,n n x Q x x n ∈→→∞且，则有()lim 1n n D x →∞=再取()0/,n n y R Q y x n ∈→→∞且，则有()lim 0n n D x →∞=由海涅定理可知()0lim x x D x →不存在再由0x 的任意性 ()D x 在任意点处的极限都不存在，故函数在任意点处都不连续. 注:1.由上述证明可知，()D x 的非连续性本质上说的是在任意点处的极限不存在，也就是说，对于任意0x R ∈，0x 都是()D x 的第二类间断点，这也就说明了Dirichlet 函数的图像无法画出。

2.利用函数极限的Cauchy 准则亦可证明任取0x R ∈对于任意的0δ>，设()'0;x x P δ∈；()"0;(/)x x R P δ∈存在12ε=，使得()()1'"12D x D x -=≥ 故()0lim x x D x →不存在推广：利用Dirichlet 函数构造仅存在若干个连续点的函数 1.函数()()0xf x xD x ⎧==⎨⎩/x Q x R Q∈∈在点0x =处连续。

证明：对于任意0ε>，存在δε=，当()0;x δ∈时，()1D x ≤()x D x x δε∴≤<= 即()()0f x f ε-<故()()0lim 00x f x f →==2.函数()()()1nii f x x a D x ==-∏在点(1,2,3,,)ia i n =处连续。

2).Dirichlet 函数的不可导性由()D x 在任意点处的极限都不存在，即在任意点处都不连续可知，()D x 在任意点处都不可导。

Riemann可积函数与连续函数

之不真．是Ｒｅａｎ可积函数与连续函数在微积分的学习中，但ｉｎｍ占有重要的地位，弄清两者之间的关系，
不仅对学生学习《等数学》程有很大的帮助．高课，而且对教师讲授《高等数学》程也有很大的帮助，课同时也可使很多《等数学》材内容得到很好的丰富与补充，就是笔者写此文的目的所在．高教这
积与和小和，Ｔ＝ａ｛ｘ，：… ，）ｌ）ｍｘＡ（，．定义１３若函数）区间，．在有界．ｍｉ｛）设＝ｎｆ：ＩＭ＝ｕ【：ｌ则＝ｍ称为数）ｆ（ ∈／，ｓｐ厂）（ ∈ｌ，
在区间，的振幅．
随着教育改革的不断深化，学《大高等数学》学不仅向学生传授基础数学知识，时也为其它相教同
关学科提供有力的计算工具，因此高等数学课在理科、科、济管理等学科中有着重要的作用．高等工经《
第２２卷第３期２１年８月００
宁德师专学报（科学版）自然
ＪｕａｏＮｉｇｅａｈ￣Ｃｌｇ（ｔｒｌｃｅｃ）ｏｒｌｆｎｄＴｅｃｅｎｏｌｅＮａｕａＳｉｎｅｅ
Ｖｏ．２ＩＮｏ３２．
Ａｕｇ．２００１
Ｒｅｎ可积函数与连续函数ｉｍａｎ
江枫
（宁德职业技术学院，建福安３５０）福５００

riemann-stieltjes的分部积分

一、什么是Riemann-Stieltjes积分Riemann-Stieltjes积分是关于函数的积分运算的一种扩展。

传统的Riemann积分是对于区间上的函数进行积分运算，而Riemann-Stieltjes积分是对于区间上的函数乘以另一个函数的导数来进行积分运算。

这种积分的概念在数学分析中有着重要的应用，能够帮助我们更好地理解函数的性质和积分运算的规律。

二、Riemann-Stieltjes积分的定义在区间[a, b]上，考虑两个函数f(x)和g(x)，其中f(x)是一个有界函数，g(x)是一个可微函数。

那么Riemann-Stieltjes积分的定义如下：∫[a, b] f(x)dg(x) = lim[n→∞] Σ[i=1->n] f(ξi)Δg(ξi)其中Δg(ξi)是区间[xi-1, xi]上g(x)的增量，ξi是区间[xi-1, xi]上g(x)的取值。

这个定义告诉我们，Riemann-Stieltjes积分是对于f(x)在区间[a, b]上的加权求和，权重正是g(x)的增量。

三、Riemann-Stieltjes积分的性质1. 线性性质：Riemann-Stieltjes积分满足线性性质，即对于任意的实数α，β，以及函数f(x)和g(x)，有∫[a, b] (αf(x) + βg(x))dg(x) = α∫[a, b] f(x)dg(x) + β∫[a, b] g(x)dg(x)2. 积分的存在性：和Riemann积分一样，Riemann-Stieltjes积分也满足达布条件，因此在一定条件下存在积分。

3. 积分的加法性：如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，g(x)在区间[a, b]上单调且有界，h(x)在区间[a, b]上也是可积函数，那么有∫[a, b] f(x)(g(x)+h(x))dg(x) = ∫[a, b] f(x)g(x)dg(x) + ∫[a, b]f(x)h(x)dg(x)四、Riemann-Stieltjes积分的应用Riemann-Stieltjes积分在数学分析、微积分和概率论中有着广泛的应用。

处处连续处处不可微的函数

学过数学分析的人都知道，存在处处连续处处不可微的函数，第一个这样的例子是Weierstrass给出的。

最近，跟学生学了一个更简洁的例子。

在实直线上定义函数如下：这个函数是处处连续处处不可微的。

据说这个例子由Riemann构造，其连续而不可微的性质是由Hardy严格证明的。

以前不知道这个例子，是学生们告诉我的，可见我是孤陋寡闻了。

(想试试公式编辑器，看样子不能用！？)[10]我想搞明白这个函数到底是什么样子，为什么不可微。

[9]博主回复(2011-3-31 11:16)：没有导数啊。

===========可以每项求导数，得到一个无穷求和，但不收敛。

[8]有这样的函数不难理解，难的是怎么构造出来表达式博主回复(2011-3-31 11:15)：你说的很对。

[7]我也学习了。

博主回复(2011-3-31 11:14)：谢谢。

[6]这个函数能在坐标系上画个图出来吗？博主回复(2011-3-31 21:42)：但电脑画的图是近似的，不能精确。

博主回复(2011-3-31 11:14)：用电脑试试，应该可以。

[5]博主回复(2011-3-31 11:16)：没有导数啊。

[4]最好再解释一下这个函数为什么连续不可微。

博主回复(2011-3-31 11:15)：严格证明并不是很容易。

[3]建议把公式用图片形式发出来。

博主回复(2011-3-30 13:18)：已经上传了图片，谢谢建议。

博主回复(2011-3-30 13:09)：老版的公式编辑器很好，其他方面也不错，不知为何换个新版？为了创新？为了政绩？为了评职称？搞不懂？[2]很多分形曲线应该都是处处连续处处不可微吧？博主回复(2011-3-30 13:06)：是的。

谢谢评论。

匿名图裂了，看不到。

求转发。

yarving#博主回复(2011-3-30 13:20)：请看图片。

博主回复(2011-3-29 23:40)：我会发给你。

你的邮箱写对了吗？。

距离空间上半连续函数的一些性质

距离空间上半连续函数的一些性质郭志华;曹怀信【摘要】There are several different characterizations of upper semi-continuity and lower semi continuity of functions on a metric space. Especially, the Dirichlet function lies in the upper semi-continuity at any rational point and lower semi-continuity at any irrational point;Riemann function is in the upper semi-continuity at any rational point but not the lower semi continuity;the in-tegral function is in the upper semi-continuity at any point. At the same time, on a compact metric space, every upper semi-contin-uous function has its maximum value and every lower semi-continuous function has its minimum value.%在距离空间上函数的上半连续性与下半连续性有几种不同的刻画，特别是Dirichlet函数在任一有理点处上半连续，在任一无理点处下半连续；Riemann函数在有理点处上半连续但不下半连续；取整函数在任一点处上半连续。

同时，在紧致距离空间上，上半连续函数必有最大值，下半连续函数必有最小值。

【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)014【总页数】7页(P34-39,88)【关键词】距离空间;函数;上半连续性;下半连续性【作者】郭志华;曹怀信【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710119;陕西师范大学数学与信息科学学院，西安710119【正文语种】中文【中图分类】O177.1众所周知，数是表达各种量的基本数学工具，函数是表述与研究各种数量关系的基本数学工具．一元函数用来研究简单变量之间的关系；多个变量与一个变量之间的关系要用多元函数来表示；要表述与研究多个变量与多个变量之间的关系就要使用映射或算子的概念了．研究各种数量关系是数学学科的基本目标．因而，函数及其推广就成为整个分析数学研究的主要对象．数学分析[1]的主要研究对象是连续函数，复变函数论[2]研究的是解析函数，实变函数论[3]研究可测函数，泛函分析[4]研究函数的各种推广——泛函与算子.函数的连续性是高等数学与数学分析研究的重要内容.闭区间(更一般地，紧集)上的连续函数具有很多重要性质，如一致连续、具有介值性、能够达到最大值与最小值等.在高等数学教学过程中，我们发现函数的连续性并非函数有最大(小)值的必要条件.例如，著名的狄里克雷(Dirichlet)函数[1]处处不连续，但它有最大值1与最小值0.一个自然的问题是：是否存在比连续性更弱但又能保证函数具有最大(小)值的条件呢？基于此，本文将介绍距离空间上函数的上半连续性与下半连续性，给出它们的几种不同刻画及一系列重要性质.特别，证明Dirichlet函数在任一有理点处上半连续、在任一无理点处下半连续；Riemann函数[1]在有理点处上半连续但不下半连续；取整函数在任一点处上半连续.此外，还将证明在紧致距离空间上的上(下)半连续函数必有最大(小)值.从而，得到一个比连续性更弱但又能保证函数具有最大(小)值的充分条件.设(X,d)为一距离空间[4]，x0∈X，定义N(x0,δ)={x∈X:d(x,x0)<δ}，称其为点x0的δ-邻域.定义1[4] 设f:X→R=(-,+)为一函数，x0∈X.(1)称f在x0处下半连续,是指∀ε>0,∃δ>0，使得当x∈N(x0,δ)时,有(2)称f在x0处上半连续,是指∀ε>0,∃δ>0，使得当x∈N(x0,δ)时,有(3)称f在x0处连续,是指∀ε>0,∃δ>0，使得当x∈N(x0,δ)时,有由定义可见：f在x0处连续当且仅当它在x0处既下半连续又上半连续.定义2 设f:X→R=(-,+)为一函数，如果f在X的任意一点x0处都上半连续(下半连续)，则称f在X上上半连续(下半连续).此时，也称f是X上的上半连续(下半连续)函数.上半连续函数与下半连续函数统称为半连续函数.以下以f:R→R为例，分别给出f在x0处上半连续(图1)、下半连续(图2)及连续(图3)的几何解释.例1 Dirichlet函在任一有理点处上半连续，在任一无理点处下半连续，但处处不连续.证明任取有理点x0，则D(x0)=1.对任一正数ε，取δ=1，当|x-x0|<δ时，有可见，D在x0处上半连续.任取无理点x0，则D(x0)=0.对任一正数ε，取δ=1，当|x-x0|<δ时，有于是，D在x0处下半连续.最后，根据有理数集及无理数的稠密性可知：在任何点x0处，极限都不存在，所以D在任何点处都不连续.例2 Riemann函数[1]在(0,1)中的任一无理点处既下半连续又上半连续(即连续)，在(0,1)中的任一有理点处上半连续但不是下半连续的.从而，它在开区间(0,1)上处处上半连续.证明由文献[5-6]可知，函数R在(0,1)中的任一无理点处连续，从而既下半连续又上半连续；但它在(0,1)中的任一有理点处不连续.设x0=q0p0-1为(0,1)中的任一有理点，其中容易看到：区间(0,1)中满足条件p-1≥p0-1及(p,q)=1的有理点x=qp-1只有有限个，设它们是：x0,x1,x2,…,xN，其中xk≠x0(k=1,2,…,N).取正数δ使得x0的δ-邻域N(x0,δ)⊂(0,1)且当x=qp-1∈N(x0,δ)((p,q)=1)时,有x≠xk(k=1,2,…,N)，从而R(x)).于是，∀ε>0，当x=qp-1∈N(x0,δ)((p,q)=1)时，有R(x)<R(x0)+ε.对N(x0,δ)中的任何无理点x，都有R(x)=0，从而以上不等式也成立.这就证明了函数R在(0,1)中的任一有理点处上半连续.由于R在(0,1)中的任一有理点处不连续，所以R在(0,1)中的任一有理点处不是下半连续的.例3 取整函数y=f(x)=[x]在整个直线上处处上半连续.证明因为对任一整数n，有所以对任一正数ε，取δ=1，当|x-n|<δ时，有f(x)≤n=f(n)<f(n)+ε.因此，对任一整数n，f在x=n处上半连续.显然，f在任何开间(n,n+1)上处处连续，从而它在整个直线上处处上半连续.例4 若函数f:[a,b)→R为单调增加函数且在x0∈[a,b)处右连续，则它在x0处上半连续.证明因为f在x0∈[a,b)处右连续，所以∀ε>0,∃δ>0，使得当x0≤x<x0+δ时，有f(x0)-ε<f(x)<f(x0)+ε.从而，当x0≤x<x0+δ时，有f(x)<f(x0)+ε.又因为f:[a,b)→R为单调增加函数，所以当x0-δ<x≤x0时，有故当x0+δ<x<x0+δ时，总有f(x)<f(x0)+ε.因此， f在x0处上半连续.例5 符号函数在x0=0处既不是上半连续的，又不是下半连续的.证明取ε0=0.5，则sgnx0-ε0=-0.5,sgnx0+ε0=0.5.对任意正数δ，总存在两点x1,x2∈(x0-δ,x0+δ)使得因此，sgnx在x0=0处既不是上半连续的，又不是下半连续的.例6 若函数f:X→R在x0∈X处有极大(小)值，则它在x0处上(下)半连续.证明设f在x0处有极大值，则存在N(x0,r)使得当x∈N(x0,r)时，有f(x)≤f(x0).从而，对∀ε>0，当x∈N(x0,r)时，有因此，f在x0处上半连续.类似可证：当f在x0处有极小值时，它在x0处下半连续.定理1 函数f:X→R在x0∈X处上半连续的充分必要条件是当时，必有其中(上极限).证明必要性：设函数f在x0∈X处上半连续，则对任一整数ε，存在δ>0，使得当x∈N(x0,δ)时,有f(x)<f(x0)+ε.设{xn}⊂X,xn→x(n→)，则存在自然数N，使得当n>N时，有xn∈N(x0,δ).从而，f(xn)<f(x0)+ε(∀n>N). 因此ε.由于ε是任意的，所以).充分性：假设f在x0∈X处不是上半连续的，则存在整数ε0，使得对任一整数δ，都存在x∈N(x0,δ),满足f(x)≥f(x0)+ε0.特别，对任一正整数n，都存在一点xn∈N(x0,n-1),满足f(xn)≥f(x0)+ε0. 于是).这与题设矛盾.注1 由例1得：当f在x0∈X处上半连续时，条件{xn}⊂X,xn→x(n→)不能保证存在.类似可证：定理2 设函数f:X→(-,+)在x0∈X处下半连续的充分必要条件是当时，必有其中(下极限).定理3 设函数f:X→(-,+)，则(1)f在x0∈X处上半连续当且仅当(2)f在x0∈X处下半连续当且仅当).其中：分别称为f在点x0处的上极限与下极限.证明 (1) 必要性：设f在点x0处上半连续,则∀ε>0,∃δ'>0，使得当x∈N(x0,δ')时，有f(x)<f(x0)+ε.于是ε.从而ε.由于ε是任意的，所以).充分性：设则当ε>0时，有ε.从而，存在δ>0使得ε.故当x∈N(x0,δ)时有f(x)<f(x0)+ε.从而，f在点x0处上半连续.(2)类似于(1)的证明.定理4 设函数f:X→(-,+)是上半连续的当且仅当对任一实数a，集合为X中的开集.证明必要性：设f是上半连续的,则对于任意的x0∈X,f在x0处上半连续,即对∀ε>0,∃δ>0，使得当x∈N(x0,δ)时有f(x)<f(x0)+ε.当x0∈f-1(-,a)时有f(x0)<a.令则ε>0，从而一定存在δ>0，使得当x∈N(x0,δ)时，有因此,N(x0,δ)⊆f-1(-,a),再由x0的任意性可得:f-1(-,a)是开集.充分性：若对任一实数a，f-1(-,a)是开集,则对于任意的x0∈X,∀ε>0,令a0=f(x0)+ε,f-1(-,a0)是开集.由于x0∈f-1(-,a0)，所以∃δ>0，使得于是，当x∈N(x0,δ)时，有f(x)<a0=f(x0)+ε.因此,f在x0∈X处是上半连续的.由x0的任意性可知函数f是上半连续的.类似可证定理5 设函数f:X→R是下半连续的当且仅当对任一实数a，集合为X中的开集.定理6 设函数f:X→R是连续的当且仅当对任意实数a<b，集合为X中的开集.证明必要性：设函数f在X上上半连续，则它既是上半连续的，又是下半连续的.于是，根据定理3与定理4知：对任意实数a<b，集合f-1(-,b)及f-1(a,+)都为X 中的开集.从而为X中的开集.充分性：设对任意实数a<b，集合f-1(a,b)为X中的开集，则对任意实数b，集合为X中的开集.从而，由定理4知f在X上上半连续.又因为对任意实数a，集合为X中的开集.从而，由定理5知f在X上上半连续.故f在X上连续.根据定义容易证明上(下)半连续性具有下列运算性质：定理7 若fk(k=1,2)在x0∈X处上半连续,gk(k=1,2)在x0处下半连续,则函数都在x0处上半连续，且函数都在x0处下半连续.关于复合运算，有定理8 若f在x0∈X处连续,g在y0=f(x0)处上(下)半连续,则复合函数g∘f在x0处上(下)半连续.证明设g在y0处上半连续,则∀ε>0,∃δ>0，使得当y∈N(y0,δ)时，有因为f在x0处连续,所以存在η>0，使得当x∈N(x0,η)时有f(x)∈N(y0,δ). 从而于是,g∘f在x0处上半连续.同理,若g在y0处下半连续,则g∘f在x0处下半连续.定理9 若f1,f2都在x0处上(下)半连续,则函数都在x0处上(下)半连续.证明以上半连续为例.设f1,f2在x0处上半连续,则∀ε>0,∃δ>0使得当x∈N(x0,δ)时，有所以,当x∈N(x0,δ)时，有h(x)<h(x0)+ε.于是,h在x0处上半连续.另外,由于当x∈N(x0,δ)时，有因此,当x∈N(x0,δ)时，有从而,g在x0处上半连续.定理10 设f:X→R，x0∈X，定义则f在x0处上(下)半连续当且仅f+在x0处上半连续(下)且f-在x0处下(上)半连续. 证明以上半连续为例.由定义可知 f+=max{f,0},f-=max{-f,0}.必要性：设f在x0处上半连续，则f及0都在x0处上半连续，所以由定理9知：f+在x0处上半连续.又因为-f及0都在x0处下半连续，故由定理9知：f-在x0处下半连续.必要性：设f+在x0处上半连续，且f-在x0处下半连续，则由f=f+-f-及定理7知f在x0处上半连续.下面的结果推广了经典的“最值定理”：定理11 设(X,d)为一个紧距离空间.(1)若f:X→(-,+)下半连续,则f在X上必有最小值.(2)若f:X→(-,+)上半连续,则f在X上必有最大值.证明首先证明f在X上有下界.若不然,则对任意的n∈N+,一定存在xn∈X使得f(xn)<-n.由于X是紧致的,所以有收敛子列设xnk→x0∈X(k→).又因为函数f在x=x0处是下半连续的,所以对∀ε>0,∃δ>0，使得当x∈N(x0,δ)时,有f(x0)-ε<f(x).于是,存在N∈N+使得当k>N时,有xnk∈N(x0,δ)且这与f(x0)>-矛盾.可见,f在X上有下界.令(x).下证f在X上有最小值，即存在{xn}⊂X使得).因为X是紧致的,所以存在的收敛子列使得xnk→x0∈X(k→).于是,对∀ε>0,∃N∈N+，使得当k>N时,有f(x0)-ε<f(xnk), 可见,令ε→0+可得m≤f(x0)≤m,故(x).(2)类似(1)的证明可得.【相关文献】[1] 华东师范大学数学系.数学分析[M].第4版.北京：高等教育出版社，2010.[2] 曹怀信，张建华，陈峥立，等.An Introduction to Complex Analysis [M].西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2013.[3] 曹怀信，吴保卫，张建华，等.实变函数引论[M].西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2010.[4] 曹怀信，张建华，陈峥立，等.泛函分析引论[M].西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2014.[5] Rudin W.Real and Complex Analysis[M].第3版.New York:McGraw-Hill,1987.[6] 王红霞,成礼智,陈波,等.从Riemann函数连续性的证明浅谈数学分析课程中的启发式教学[J].高等教育研究学报,2010,33(2):74-78.。

大连理工大学2000-2017年数学分析真题

大连理工大学2000年数学分析真题 (2)大连理工大学2001年数学分析真题 (4)大连理工大学2002年数学分析真题 (6)大连理工大学2003年数学分析真题 (8)大连理工大学2004年数学分析真题 (10)大连理工大学2005年数学分析真题 (12)大连理工大学2006年数学分析真题 (14)大连理工大学2008年数学分析真题 (16)大连理工大学2009年数学分析真题 (18)大连理工大学2010年数学分析真题 (20)大连理工大学2011年数学分析真题 (22)大连理工大学2013年数学分析真题 (24)大连理工大学2014年数学分析真题 (25)大连理工大学2015年数学分析真题 (28)大连理工大学2016年数学分析真意 (30)大连理工大学2017年数学分析真题 (32)大连理工大学2000年数学分析真题一.从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分 1.证明：()xx f 1=于区间()10，δ（其中0<0δ<1）一致连续，但是于（0,1）内不一致连续。

2.证明：若()x f 于[a ，b]单调，则()x f 于[a ，b]内Riemann 可积。

3.证明：Dirichlet 函数：()()⎪⎩⎪⎨⎧==有理数为无理数q px q x x f ,1,0在所有无理点连续，在有理点间断。

4.证明：若()()b a C x f ,∈，（指（a ，b ）上的连续函数，且任意()()b a ,,⊂βα，()⎰=βα0dx x f ，那么()()b a x x f ,0∈≡，。

5.证明：∑∞=-1n nx ne 于（0,+∞）不一致收敛，但是对于0>∀δ，于[)+∞,δ一致收敛。

6.证明：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 4x x xx x f ，在0=x 处有连续的二阶导数。

7.利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c 的椭球体的体积。

8.计算第二类曲面积分：⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中，∑是三角形()10,,=++>z y x z y x ，，法方向与z y x ,,轴成锐角为正。

三类与riemann zeta函数有关的级数的求和公式

三类与riemann zeta函数有关的级数的求和公式Riemannzeta函数是数学中的一个重要函数，它在数论、复分析和物理学中都有重要应用。

这个函数最初由德国数学家Bernhard Riemann于1859年提出，它是一个广义的无穷级数，具有许多有趣的性质。

本文将介绍三类与Riemann zeta函数有关的级数的求和公式。

一、Euler-Mascheroni常数与调和级数Euler-Mascheroni常数是一个重要的常数，它的定义如下：$$gamma=lim_{ntoinfty}left(sum_{k=1}^nfrac{1}{k}-ln nright)$$其中，$ln$表示自然对数。

这个常数出现在许多数学问题中，特别是在分析和数论中。

它的值约为0.5772156649。

调和级数是一个无穷级数，它的通项公式为$1/k$。

它的和是无穷大的，但是如果把调和级数中的每一项都减去$ln n$，再取极限，得到的结果就是Euler-Mascheroni常数。

即：$$lim_{ntoinfty}left(sum_{k=1}^nfrac{1}{k}-lnnright)=gamma$$这个公式的证明可以用到Riemann zeta函数。

Riemann zeta函数的定义如下：$$zeta(s)=sum_{n=1}^inftyfrac{1}{n^s}$$其中，$s$是一个复数。

当$s=1$时，这个级数就是调和级数。

因此，我们可以考虑下面的等式：$$zeta(s)-frac{1}{s-1}=sum_{n=1}^inftyleft(frac{1}{n^s}-frac{1}{n^{s-1}}right)$$这个等式可以通过对$zeta(s)$进行部分分数分解得到。

现在，我们要证明的是：$$lim_{sto1}(zeta(s)-frac{1}{s-1})=gamma$$为了证明这个等式，我们可以先证明：$$lim_{sto1}frac{zeta(s)-frac{1}{s-1}}{s-1}=-gamma$$ 这个等式可以通过对$zeta(s)-frac{1}{s-1}$在$s=1$处进行泰勒展开得到。

黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性

黎曼积分的局限性和勒贝格积分的优越性一、本文概述本文将深入探讨黎曼积分（Riemann Integral）的局限性和勒贝格积分（Lebesgue Integral）的优越性。

黎曼积分作为数学分析中的经典积分理论，具有广泛的应用和深远的历史影响。

然而，随着数学理论的发展和应用领域的拓展，其局限性逐渐显现。

勒贝格积分作为一种更为先进的积分理论，不仅克服了黎曼积分的缺陷，而且在处理复杂函数和更广泛的积分问题上显示出独特的优越性。

本文将通过对比两者的定义、性质和应用实例，全面揭示勒贝格积分相较于黎曼积分的优势所在，进而揭示积分理论在数学及其他领域中的重要作用。

二、黎曼积分的局限性黎曼积分，作为微积分学中的经典概念，对于许多基本的数学问题和物理问题都提供了有效的解决方案。

然而，随着数学理论的发展，人们逐渐发现了黎曼积分的局限性，这主要体现在以下几个方面：黎曼积分在处理某些类型的函数时显得无能为力。

比如，对于那些在某一点处不连续但在该点附近快速振荡的函数，黎曼积分往往难以准确描述其积分行为。

这是因为黎曼积分依赖于函数在分割区间上的上确界和下确界，而对于快速振荡的函数，这些上确界和下确界可能并不能很好地反映函数的整体特性。

黎曼积分在处理无界函数时也存在困难。

虽然可以通过引入极限过程来处理无界函数的积分，但这无疑增加了计算的复杂性。

相比之下，勒贝格积分则能更自然地处理这类问题，因为它允许函数在积分区域内无界，只要其积分值有限即可。

黎曼积分在处理可测集时也有一定的局限性。

在黎曼积分的定义中，积分区域必须是一系列矩形的并集，这限制了其在处理复杂集合时的应用。

相比之下，勒贝格积分则将积分区域推广到更一般的可测集，这使得它在处理更广泛的数学问题时具有更大的灵活性。

尽管黎曼积分在许多方面都有着重要的应用，但其局限性也限制了其在某些领域的发展。

相比之下，勒贝格积分则以其更广泛的适用范围和更强的处理能力，逐渐成为现代积分理论的主流。

riemann积分与lebesgue积分的区别

riemann积分与lebesgue积分的区别Riemann积分与Lebesgue积分是数学中两种不同的积分方法。

虽然它们都可以用于计算函数在一个区间上的面积，但它们的计算方式、适用范围和性质等方面有很大的不同。

本文将从定义、计算方式、适用范围和性质等方面详细介绍Riemann积分和Lebesgue积分的区别。

一、Riemann积分的定义及计算方式Riemann积分是一种用有限和的方式来逼近函数在一个区间上的面积的方法。

它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，即$a=x_0<x_1<x_2<cdots<x_n=b$，其中$Delta x_i=x_i-x_{i-1}$为第$i$个小区间的长度。

在每个小区间上取一点$x_i^*in[x_{i-1},x_i]$，则有$$int_a^bf(x)dx=lim_{Deltaxrightarrow0}sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Delta x_i$$其中$Delta x=max{Delta x_i}$为小区间长度的最大值。

Riemann积分的计算方式是将区间$[a,b]$分成许多小区间，然后在每个小区间上取一个代表点，求出每个小区间上的面积，最后将所有小区间上的面积相加即可得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。

二、Lebesgue积分的定义及计算方式Lebesgue积分是一种更加广义的积分方式，它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，$E$是$[a,b]$上的一个可测集合，定义$f(x)$在$E$上的积分为$$int_Ef(x)dx=int_a^bf(x)chi_E(x)dx$$其中$chi_E(x)$为$E$的特征函数，即$$chi_E(x)=begin{cases}1,xin E0,xotin Eend{cases}$$Lebesgue积分的计算方式是将函数$f(x)$在$[a,b]$上的值域分成许多小区间，然后将每个小区间上的面积相加，最终得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。

Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别

力Ｊ１．镌ｓＤｍ胁珊蹦如２００８年５月Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的联系和本质区别张丽君（山西师范大学数计学院，山西临汾０４１００４）【摘要】Ｒｉｅｍａｎｎ在１９世纪中期引入了Ｒｉｅｍａｎｎ积分．比较完整深刻的提出定积分概念的实质。

２０世纪初，集合论的观点引起积分学的变革，ｋｂｅ８舭以集合测度为基础，对Ｒｉｅｎｍｎ积分的定义加以改造．建立‰舭积分的概念。

在一般的分析书中，揭示了Ｒｉｏ－１ｌｌＳＩＬｒｌ积分和ＩＪｅｂｅＢｇＩ埒积分的联系，指出了ｋｂｅ孵地积分是Ｒｉｅｍａｎｎ积分的一种推广，井为一般的有界函数的Ｒｉｅｍａｎｎ积分提出了简明的判别准则，并没有指出它们之间的本质区别。

本文将从Ｒｉｅｍａｒｍ积分和Ｌｅｂｅａｇｕｅ积分的定义和联系入手，去探讨它们之同的本质的区别：从Ｒｉｅｍａｎｎ积分推广到１．ｄａｅｓｇｕｅ积分的本质是从不完备空间Ｒ［ａ，ｂ］到完备空间Ｌ［ａ’ｂ】的扩充。

【关键词】Ｒｉｅｍａｒｍ积分；Ｉ，ｅｂｅｓｇｕｅ积分；完备空间；Ｌ［ａ，ｂ】Ｒ［ａ，ｂ】‘１．引言积分真正的发展要在１７世纪以后，经过半个世纪的酝酿，牛顿的＜流数简论＞标志着微积分的诞生，莱布尼茨对积分也作出了巨大的贡献。

进入１８世纪，数学的发展进入了分析的时代，欧拉对微积分的进步作出了巨大的贡献，但是积分的概念一直受面积观念的影响，直到柯西才真正的从分析的角度给出了积分的构造性定义，此外，柯西具有创造性的从“和式极限”这个观点出发，使积分作为一个独立的个体从微分中分离出来，并且积分作为“和式极限”的观点，为在数学分析中引入重积分，曲线和曲面积分创造了条件，为引进其他类型的积分，如Ｒ／ｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｃ积分创造了条件。

２．Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分简介。

积分的发展和函数概念的发展是密不可分的。

积分理论一直和函数的连续性紧密的联系在一起。

随着傅立叶的不连续函数可以用三角级数和来表示，这样便提出了一个问题：是否可以将只适用于连续函数的积分推广到更为一般的函数上呢？２．１．彪ｅｍａｎｎ积分简介ｏＲ／ｅｍａｔｍｌ８２６年生于汉诺威的步雷斯伦茨，１８６６年卒于意大利的塞那斯加。

Riemann函数性质及实数完备性的推导

147
科教之窗
科技·经济·市场
无穷多个点的函数值满足
。
因此 Riemann 函数在有理数点处极限均存在且为 0。
综上所述，Riemann 函数在定义域内任意点处的极
限均存在且为 0。
2.2 Riemann 函数的连续性及其间断点的类型
性质 2：Riemann 函数在（0，1）内任意无理点，0 和
1-T>0，T ，即
，有 R(x+T)=R(x)
①当 x 为（0，1）内任意有理数时
令，p，q 均为正整数，为既约真分数，q>p
则 x+T=
，则 R(x)=，R(x+T)=R
(
)= .
②当 x 为（0，1）内任意无理数时则有 R(x)=0，R(x+T)=0 Riemann 函数在（0，1）内以任意有理数为周期。 2.3.2 证明任何无理数均不是 Riemann 函数的周期我们通过反证法来证明：假设
1 Riemann 函数性质及其推导 Riemann 函数的表达式
②再证任意两个无理数之间必有一个无理数
图像
x ∈ [0,1]
③再证任意两个无理数之间必有一个有理数设则
由 a，b 的任意性得 a1，b1 为任意无理数，则两个无理数之间也必有一个有理数。
④最后再证明任意两个有理数之间必有一个无理数
使 a<c<b，a<d<b。证明：①先证明任何两个有理数之间必有一个有理数
由③得
故两个有理数之间必有一个无理数证毕。因此，任意两个无理数点之间必有一个有理数，回到 Riemann 函数，在 Riemann 函数每一个无理点的任意领域内，必存在一个有理数。因而要想 Riemann 函数的极限存在，它在有理数点的极限也必须全为 0，即 R(x)=0。下面证明 Riemann 函数在有理数点的极限也全为 0。证明：设 { }，{ } 分别为任意的无理数列和有理

与连续函数等价的z—积分的riemann型定义

与连续函数等价的z—积分的riemann型定义
与连续函数等价的z—积分的riemann型定义如下：
Riemann积分是一个重要的概念，用于测量函数关于给定区间上的变动。

与Riemann积分等价的连续函数是以函数上的每一点为基础，分析函数变动以计算某一区间内总和。

Z-积分概念类似，它是区间上函数的累加，区间上的单元累加，取得最终结果。

Riemann积分通过将函数划分为等长的F（x）的子段来定义。

每个x的点被称为定点，它表示函数在这一点的值。

子段的长度被称为步长，步长可以任意选择。

子段的累加会计算出一个积分值。

Riemann积分的定义是依赖于F（x）在区间上的变化，因此它用来计算函数在某一区间上的变动，而不一定是等长的子段。

Z-积分的定义和Riemann积分的定义类似。

与Riemann积分一样，Z-积分也是将函数按x轴划分为小段，计算它在每一点的值，但它不需要按等长的小段来定义。

Z-积分的定义是：将函数按x轴划分为区间，对各点分别计算其函数值，所有区间段上值的累加，即为函数的Z-积分。

在此定义中，每个区间可以是任意定义的，计算结果可以用来代表函数关于给定区间上的变动。

总之，Riemann积分与Z-积分同为实现函数上变动综合值的方式，二者均围绕着对函数变化累加以确定总和进行定义。

Riemann积分以函数上的每一点为基础，将函数划分为等长的子段，在子段的累加来计算出一个积分值；而Z-积分则是将函数按x轴划分为任意段来定义，将函数按段累加以取得总和。

riemann可积的必要条件

riemann可积的必要条件
黎曼可积的必要条件：函数在闭区间有界。

1、黎曼创立的黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义，黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼·斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

黎曼积分的公式：S=f(x)dx。

定义：作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分对于一在区间[a,b]上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。

2、黎曼可积的充分条件：①函数在闭区间连续。

②函数在闭区间单调。

单调指f(x1) < f(x2) ，if x1 < x2 在整个区间内可以有不连续的点，但是函数在区间内都是有定义的。

③函数在整个区间内有有限个第一类间断点。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。

可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同瑕积分一样。

以上就是关于黎曼可积的相关内容。

riemann函数的解析性质

riemann函数的解析性质
Riemann函数是数学中一类重要函数，它可以被广泛用于
互联网技术中。

它具有三种解析性质，这些解析性质对互联网
功能的实现有着重大的影响。

首先，Riemann函数可以连续变化及其关于一个无限点集
中函数的值。

这样，它避免了互联网功能在计算过程中由于变
量值的分段性而产生不稳定性的情况。

此外，Riemann函数的
另一类解析性质是其可以经自变量的一次变化而导致其输出函
数的无穷次变化。

这对于实现互联网动态特性，比如实时访问
有着至关重要的作用。

再者，Riemann函数可以以一种“恒等”方式把数据输出从一个区域移至另一个区域。

这为网络数据收集、传输和处理提供了强有力的保障，保证收集的数据可以不
被外界干扰而得到便捷、准确的把握。

Riemann函数的三种解析性质，无疑为实现互联网的深度
功能提供了充沛的支持，同时也改善了互联网数据收集、传输
和处理的过程，让其变得更加便捷、准确。

因此，Riemann函
数在互联网领域始终是一把瑞士军刀，且将继续发挥其巨大价值。

黎曼函数

黎曼函数（Riemann function）一、黎曼函数的定义二、黎曼函数是否连续？在哪些点连续？三、黎曼函数的可积性一、黎曼函数的定义为有理数且、互质为无理数R(x)={1px为有理数qp, p∈N+,q∈Z且p、q互质1x=00x为无理数，为什么定义R(0)=1？这样能使得R(x) 成为周期为 1 的周期函数（无理数+1后还是无理数，有理数+1后分母不变），当 x 为整数时，黎曼函数的值均为 1。

因此以下只讨论黎曼函数在区间[0,1] 上的性质。

二、黎曼函数的连续性讨论黎曼函数性质描述：黎曼函数对∀x0∈(−∞,+∞) 均有limx→x0R(x)=0 （也就是黎曼函数在数轴上一切无理点连续，有理点不连续）证明：只考虑[0,1] 上的情况；需要用到函数极限的ϵ−δ语言；对∀ϵ∈(0,1) ，令k=[1ϵ] ，则 k 是正整数；在[0,1] 上，设分母为p(p≥2) 的有理数的个数为np ，则np 是个有限的数字（不可能是无穷大，因为至多只能有1p,2p,3p,...,pp ，一共 p 个）；当 p=1 时，有两个分母为 1 的有理数：01,11 ，即n1=2 ；因此，我们得出：[0,1] 上分母不超过 k 的有理数的个数Nk=n1+n2+...+nk 是个有限的数字（不为无穷大），设这些有理数为r1,r2,...,rNk令且δ=min1≤i≤Nk且ri≠xo{|ri−x0|} （也就是这Nk 个点中离x0 最近的那个点与x0 间的距离；如果x0 正好与这Nk 个点中的某个点重合，则在剩下Nk−1 个点中重新计算离x0 的最小距离）；现在我们观察0<|x−x0|<δ中的所有数，这些数：（1）、要么是有理数但分母比 k 大；（2）、要么是无理数；对于（1）中的x ，我们有R(x)≤1k=1[1ϵ]≤21ϵ=2ϵ；对于（2）中的x ，很显然R(x)=0<2ϵ；综上，根据极限的ϵ−δ语言我们得出limx→x0R(x)=0 。

黎曼ζ函数

黎曼ζ函数历史奥里斯姆ζ函数最早出现于1350年左右，当时的尼克尔·奥里斯姆发现了调和级数发散，即奥里斯姆对调和级数发散的“证明”欧拉之后的一次进展来自莱昂哈德·欧拉，他给出了调和级数呈对数发散。

欧拉对调和级数发散速度的证明为了求出调和级数的部分和，使用欧拉-麦克劳林求和公式（当然，亦可使用阿贝尔求和公式）：注意到其中的是一个常数。

实际上，这就是欧拉-马斯刻若尼常数γ 再考虑剩下的一个积分，也就是由于被积项非负，又有，于是最终得到除此之外，他还在1735年给出了巴塞尔问题的解答，得到的结果。

欧拉最初的证明可以在巴塞尔问题中看到，然而那是他的第一个证明，因而广为人知。

事实上，那个证明虽有不严谨之处，但是欧拉仍然有自己的严格证明。

欧拉对的严格证明下面将写出欧拉对上式的证明中缺失的严格论证的部分，即对连乘积公式的证明部分，而不涉及最终的系数比较首先考虑当n为奇数时，将分解为连乘积形式。

事实上，容易发现上式的全部复根为由于n为奇数，所以可以将除了z=a外的其他根及其共轭一一配对，即将看做一对，则通过二次方程的韦达定理可以还原出每对根的最小多项式：按照韦达定理，有由于最小多项式首项系数为1，故，由此得到这对根最小多项式为注意到k的取值上限为，将每一对根的最小多项式相乘，还有z=a这个根的最小多项式，乘在一起，得到令，代入上式，有：此时，上述乘积中的仅和N有关，记作，上式变为而利用二项式定理，将等式左边展开：两式相减，考虑一次项，为这正是等式的左边的一次项而等式右边的一次项只能是连乘积中的全部1与连乘积外的C(n)x相乘，为使两边相等，必须有，于是上式变为另一方面，令，有于是，代入上式，得到令N→∞，则右端大O符号的诸项都变为无穷小。

另一方面，左端可写为：于是上式变为此时，只需比较左右两端展开式的三次项系数，即可得出结果。

欧拉在1737年还发现了欧拉乘积公式：这是ζ函数与素数的联系的朦胧征兆，其证明可以在证明黎曼ζ函数的欧拉乘积公式中看到。

世界数学十大未解难题

世界数学十大未解难题（其中“一至七”为七大“千僖难题”；附录“希尔伯特23个问题里尚未解决的问题”）一：P（多项式算法）问题对NP（非多项式算法）问题在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。

由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。

你的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。

不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现你的主人是正确的。

然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。

生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。

这是这种一般现象的一个例子。

与此类似的是，如果某人告诉你，数13，717，421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。

不管我们编写程序是否灵巧，判定一个答案是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。

它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陈述的。

二：霍奇(Hodge)猜想二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。

基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。

这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导至一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。

不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。

在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。

霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

三：庞加莱(Poincare)猜想如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。

关于上（下）半连续函数的讨论

关于上（下）半连续函数的讨论尚朝阳【摘要】In this paper, first we give the concepts of the upper（lower）semicontinuous functions on a topological space and their equivalent propositions, and then show a few basic properties of the upper（lower）semieontinuous functions, finally present the lower semicontinuity of common Hardy-Littlewood maximal functions and weakly semi- continuous functionals.%给出了拓扑空间上的上（下）半连续函数的概念及其等价命题，证明了上（下）半连续函数的一些基本性质，最后介绍常用的Hardy．Litflewood极大函数的下半连续性以及弱下半连续泛函．【期刊名称】《淮阴师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(011)002【总页数】5页(P137-141)【关键词】拓扑空间;上（下）半连续;极大函数;泛函【作者】尚朝阳【作者单位】南京财经大学应用数学学院,江苏南京210046【正文语种】中文【中图分类】O29函数的连续性在分析学中有着重要的理论意义和应用价值,而如今人们对函数的连续性已经了解得较为透彻.在连续函数的理论及其应用的推动下,一些学者纷纷将连续的条件进行减弱,并且在此基础上得出了许多漂亮和有用的结果,如函数的上(下)半连续性和泛函的弱上(下)半连续性等等. 函数的上(下)半连续性在广义函数理论、积分理论以及凸分析等很多研究领域有着广泛的应用[1,2]. 然而泛函的弱上(下)半连续性在极值理论中也有许多应用[3], 尤其重要的是在著名的Ekeland变分原理[3]及Caristi不动点定理[3]等方面的应用. 本文在文献[4,5]的基础上讨论一般拓扑空间中上(下)半连续函数的几个等价命题、四则运算性质、有界性、保半连续性以及半连续函数都可以用一致连续函数进行单调逐点逼近. 最后我们还介绍常用的Hardy-Littlewood极大函数的下半连续性和弱下半连续泛函,以及上(下)半连续函数的例子.定义1 设X是一个拓扑空间,f:X→R是定义在X上的一个实值函数,x0∈X,称f(x)在x0处上半连续,如果∀εgt;0,存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时,恒有f(x)lt;f(x0)+ε.又称f(x)在x0处下半连续,如果∀εgt;0,存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时,恒有f(x)gt;f(x0)-ε.当且仅当f(x)在∀x∈X处上(下)半连续时,称f(x)在X中上(下)半连续.注1 f(x)在x0处连续当且仅当f(x)在x0处既上半连续又下半连续.定理1 设f(x)是在度量空间X上的一个实值函数,x0∈X. 则下列命题等价:1) f(x)在x0处上半连续;2) ∀{xn}:xn∈X,xn→x0,必有3)∀α∈R,集合{x∈X: f(x)lt;α}是开集.证明 1)⟹2)因为f(x)在x0处上半连续,所以∀εgt;0,存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时,恒有f(x)lt;f(x0)+ε. 又因为∀{xn}:xn∈X,xn→x0,所以当n充分大时有xn∈U(x0),故从而有f(xn)lt;f(x0)+ε,于是可知).2)⟹3)用反证法,设E={x∈X:f(x)lt;α},x0∈E,但是x0不是E的内点,则有f(x0)lt;α,且存在xn∉E,使得xn→x0.则有f(xn)≥α,从而有此与假设(2)相矛盾. 故集合E是开集.3)⟹1) ∀εgt;0,取α=f(x0)+ε,因为集合E={x∈E:f(x)lt;α}是开集且f(x0)lt;f(x0)+ε,故x0∈E,于是存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时,有f(x)lt;f(x0)+ε.注2 上半连续性与下半连续性是对偶概念. 以上只证明了上半连续的结果,同理可证明关于下半连续的相应结论.推论1 1) 开集上的特征函数是下半连续的.2) 闭集上的特征函数是上半连续的.证明 1)设特征函数其中E是开集.下证对∀α∈R,A={x:χE(x)gt;α}是开集.当α≥1时,A=ø是开集.当0≤αlt;1时,A=E 是开集,当αlt;0时,A=X是开集.故∀α∈R,A是开集.2) 设特征函数其中E是闭集.要证明对∀α∈R,A={x:χE(x)lt;α}是开集. 当αgt;1时,A=X是开集. 当0lt;α≤1时,A=EC是开集. 当α≤0时,A=ø是开集. 因此∀α∈R,A都是开集. 因此,由定理1可知1)和2)均成立.推论2 1) 设{fn: n∈I}是X上的任意一族下半连续函数,则其上确界也是下半连续的.2) 设{fn: n∈I}是X上的任意一族上半连续函数,则其下确界也是上半连续的.证明由于其中En={x∈X: fn(x)gt;α},其中En={x∈X: fn(x)lt;α},以及En都是开集,所以E是开集,故上述1)和2)成立.定理1(四则运算性质) 设f(x),g(x)均定义在拓扑空间X上的实值函数,则有下列命题成立:1) 若f(x),g(x)都上(下)半连续,则f(x)+g(x)上(下)半连续.2) 若f(x)上(下)半连续,则-f(x)为下(上)半连续.3) 若f(x)gt;0及g(x)gt;0且都上半连续(或f(x)lt;0及g(x)lt;0,且都下半连续),则它们的积f(x)g(x)为上半连续.4) 若f(x)gt;0上(下)半连续,g(x)lt;0为下(上)半连续,则f(x) g(x)下(上)半连续.5) 若f(x)gt;0上(下)半连续,则为下(上)半连续.证明 1)和2)可通过上(下)半连续的定义直接得出.3) 如果f(x)及g(x)gt;0且上半连续,那么∀εgt;0,∀x0∈X,取存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时有0lt;f(x)lt;f(x0)+ε0,0lt;g(x)lt;g(x0)+ε0.则有f(x)g(x)lt;(f(x0)+ε0)(g(x0)+ε0)=f(x0)g(x0)+ε,故f(x)g(x)在X上上半连续.4) 当f(x)gt;0上半连续,g(x)lt;0为下半连续时,有-g(x)gt;0为上半连续,由3)知-f(x)g(x)为上半连续,得f(x)g(x)为下半连续5) 若f(x)gt;0上半连续,由定理1中的3)知∀α0∈R,有E={x∈X|f(x)lt;α0}是开集.对于任何α∈R,当α≤0时,有为开集.当αgt;0时,有也为开集.因此是下半连续函数. 推论3 设{fn}是拓扑空间X上的非负实值函数列且每一个fn都是下半连续的,则也是下半连续的.注3 如果把上述推论中的下半连续函数换成上半连续函数,则相应的结论不成立. 反例如下:设其中{rn}是实数集R中所有有理数组成的序列,那么{fn}是R上的非负的上半连续实值函数. 设(x),则f(x)不是R上上半连续函数.定理2 (有界性)设X是拓扑空间,如果f:E→R为上(下)半连续函数,E⊂X且E是紧集,那么f在E上必有上(下)界,并且达到上(下)确界,即若f(x)在紧集E上上(下)半连续,则1) f(x)在E上有上(下)界,即∃Mgt;0,使f(x)≤M,∀x∈E(或∃mlt;0,使m≤f(x),∀x∈E).2) f(x)在E上达到上(下)确界,即∃x0∈E,使得或∃x0∈E,使得(x)).证明 1)设En={x∈E:f(x)lt;n},有由于E是紧集,所以存在自然数k使得:E⊆取M=max{n1,n2,…,nk},故有∃Mgt;0使f(x)≤M,∀x∈E. 因此f(x)在E上有上界. 2)因f(x)上有界,设lt;+∞,若f(x)在集合E上达不到上确界,则∀x∈E,f(x)lt;M,M-f(x)gt;0,所以由定理1知在E上也上半连续,从而有上界,即∃M′gt;0,使∀x∈E有lt;M′,故f(x)lt;M-∀x∈E,这与矛盾.同理证明下半连续的有界性.定理3 (保半连续性)设函数列fn(x)(n=1,2,…)在拓扑空间X上上半连续,且fn(x)单调递减趋于f(x),即f1(x)≥f2(x)≥…fn(x)≥fn+1(x)≥…,∀x∈X且(x),则f(x)在X上也上半连续.证明∀x0∈X,因为所以∀εgt;0,∃Ngt;0,当ngt;N时有fn(x0)lt;f(x0)+. 将n固定,因为fn(x)在X上上半连续,所以∀εgt;0,存在x0的一个邻域U(x0),使得当x∈U(x0)时,有fn(x)lt;fn(x0)+.又因为fn(x)单调递减趋于f(x),故有f(x)≤fn(x), 从而当x∈U(x0)时有f(x)lt;f(x0)+ε,于是f(x)在X上上半连续.类似地证明关于下半连续函数的保下半连续性结果.下面给出上半连续函数的一种刻画,即它可以作为单调一致连续函数序列的极限.定理4 (一致连续函数的逐点逼近)设X度量空间,d是X中的距离,f:X→R是有上界的上半连续函数的充分必要条件为存在X上一个递减的一致连续函数序列f1(x)≥f2(x)≥…fn+1(x)≥…,使得∀x∈X.证明应用定理3可知充分性,下面证明必要性.定义函数fn(x)=sup{f(p)-nd(x,p):p∈X},x∈X,则fn(x)(n=1,2,…)都是X上的有限函数并且由定义知函数序列{fn(x)}是单调递减的.由上确界的定义知,∀εgt;0,存在p1∈X使得由函数的定义知当p取p1时,有通过1)和3)且令ε→0+,有fn(x)-fn(y)≥nd(y,p1)-nd(x,p1)≥-nd(x,y),再互换x,y,有fn(y)-fn(x)≥-nd(x,y),故有|fn(x)-fn(y)|≤nd(x,y),因此fn(x)是X上一致连续函数.又由(2)式,当p取x时有fn(x)≥f(x)(n=1,2,…).因此单调递减的函数序列{fn(x)}的极限存在并且∀x∈X.下面证明:(x).由(1)式知,当n→∞时p1→y,否则当n→∞时,有fn(y)-εlt;f(p1)-nd(y,p1)→-∞,所以当n→∞时有fn(y)→-∞,∀y∈X,则f(y)=-∞,此与假设相矛盾. 再由(1)式fn(y)-εlt;f(p1)-nd(y,p1)lt;f(y)+ε-nd(y,p1),其中第二个不等式是因为f(y)在p1点处上半连续,故有fn(y)lt;f(y)+2ε,所以有再令ε→0+,得(y).因此∀x∈X.注4 由上述定理可知,上半连续函数可用一致连续函数从上方来逼近,关于下半连续函数也有类似的结论,即下半连续函数也可用一致连续函数从下方来逼近.3.1 应用上(下)半连续的性质和等价刻画判定常见函数的半连续性例1 Dirichlet函数其中Q表示有理数集.则有1) D(x)在有理点处上半连续,但不下半连续.2) D(x)在无理点的情况恰恰相反.例2 Riemann函数则有:1) R(x)在无理点处既上半连续又下半连续.2) R(x)在有理点处上半连续,但不下半连续.由此可知Riemann函数在无理点处连续,在有理点处不连续.3.2 半连续函数的两个应用利用半连续函数的相关性质来证明常用的Hardy-Littlewood极大函数是下半连续的可测函数.例3 对任意的f∈L1(Rk),则它的极大函数Mf:Rk→[0,∞]是Lebesgue可测的下半连续函数,其中Mf(x)是中心为x而半径为r的开球,m表示Lebesgue测度.证明任意的λgt;0,设E={x∈Rk|Mf(x)gt;λ}.任取点x∈E,那么存在rgt;0,使得故(x,r)),同时存在δgt;0使得(r+δ)klt;. 如果|y-x|lt;δ,那么有B(y,r+δ)⊃B(x,r),从而有即gt;λ,所以B(x,δ)⊂E,由定理1知极大函数Mf是下半连续的.又因为E是开集,所以极大函数Mf也是Lebesgue可测.在Banach空间中,如果将上(下)半连续的条件适当减弱,可以得到泛函的弱上(下)半连续性及其相关性质.最后我们以泛函弱下半连续性的一个有趣例子来结束本文,而对于弱上半连续的泛函也有类似的结果.例4 设E是一个Banach空间,D⊂E是弱列紧的弱闭集,泛函f:D→R,并且在D上是弱下半连续的,即对任给{xn}⊂D,且xn弱收敛于x∈D,都有则f在D必有下界,并且存在x0∈D,使得(x).证明设根据c的定义,存在{xn}⊂D,使?f(xn)→c.因为D是弱列紧的,所以存在{xn}的子列{xnk}弱收敛于某x0.又D是弱闭的,故x0∈D.根据弱下半连续的概念,有于是c 是有限数并且f(x0)=c.【相关文献】[1] 黄金莹,赵宇. 关于半连续函数与凸函数的注记[J]. 高等数学研究,2010,32(2):91-92.[2] 韦丽兰. 预拟不变凸函数与半连续函数的关系[J]. 江西师范大学学报：自然科学版,2009,33(2):242-244.[3] 孙经先. 非线性泛函分析及其应用[M]. 北京:科学出版社,2008.[4] 卢天秀,朱培勇. 拓扑空间上半连续函数的一些性质[J]. 西南民族大学学报：自然科学版,2008,34(6):1133-1137.[5] Walter Rudin. Real and Complex Analysis (Third Edition)[M]. Beijing: China Machine Press,2004.[6] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)[M]. 3版. 北京:高等教育出版社,2001.。