无穷远点的留数
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函数在无穷远点的留数及其应用
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18
第二节留数的计算方法
Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ).
z z0
7
•规则2 如果 z0 为 f ( z ) 的 m 级极点, 那末
1 d Res[ f ( z ), z0 ] lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
2
计算较麻烦.
19
解
如果利用洛朗展开式求 c1 较方便:
z sin z 1 z3 z5 6 z z 6 3! 5! z z
z3 z5 , 3! 5!
1 z sin z Res ,0 c1 . 6 5! z
5
证
C
如图
C1 C2 Cn
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
.zn
z1 . .z2
C
两边同时除以 2i 且
D
1 1 1 f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 2i C1 2i C2 2i Cn
证
m 1
f ( z ) c m ( z z0 )
m
c 2 ( z z0 )
2
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 )
z z0
7
•规则2 如果 z0 为 f ( z ) 的 m 级极点, 那末
1 d Res[ f ( z ), z0 ] lim m 1 [( z z0 )m f ( z )]. ( m 1)! z z0 dz
2
计算较麻烦.
19
解
如果利用洛朗展开式求 c1 较方便:
z sin z 1 z3 z5 6 z z 6 3! 5! z z
z3 z5 , 3! 5!
1 z sin z Res ,0 c1 . 6 5! z
5
证
C
如图
C1 C2 Cn
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
.zn
z1 . .z2
C
两边同时除以 2i 且
D
1 1 1 f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz 2i C1 2i C2 2i Cn
证
m 1
f ( z ) c m ( z z0 )
m
c 2 ( z z0 )
2
c1 ( z z0 )1 c0 c1 ( z z0 )
数学物理方法第4章
1 2 1 i f ( i ) i d 2i 0 re re
1 2 1 i i f ( i ) i 2 d ( re ) 2i 0 re ( re ) 1 1 i f ( ) 2 d Re s() 2i 1
f(z)在ρ<|z|<+∞解析，从而f(1/ξ)在0<|ξ|<1/ρ内解析， 除ξ=0外没有其它奇点，由留数定理得：
1 Re sf () f ( z )dz 2i l
l是顺时针方向
1 1 dt k dt a t ( t ) k 2 2 l l 2 i t 2i t k 1 k 2 ak t dt a1 2i l k 所以： Re s() a1
P' ' (0) sin z |z 0 0
P' ' ' (0) cos z |z 0 1 0
2
所以z=0是P(z)的三级零点，从而是f(z)的三阶极点
1 d 3 z sin z Re sf (0) lim 2 [ z ] 6 (3 1)! zz0 dz z 1 1 3 1 5 展开法： z sin z 6 [ z ( z z z )] 6 z z 3! 5! 1 1 所以： Re sf (0) a1 5! 5!
5-2留数和留数定理
都在圆 z 2 的内部,由规则1,2可得以下结果
Res[ f1 ( z ), 0] 1 ; Res[ f1 ( z ),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
e sin z dz I2 2 2 z ( z 1) z 2
解： f 2 ( z ) esin z [ z 2 ( z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一 个二级极点 z 0和两个一级极点 z i , 于是利用留数的计算规则 2 和 1 得
ez 1 1 z2 z3 z4 z5 z6 5 1 z 1 5 2! 3! 4! 5! 6! z z , 1 1 1 1 1 z 4 , 3 2 4! z 5! 6! z 2! z 3! z
其中 n 4 的项的系数为 c1 1 4! ,从而也有
eii e ii 1 e e 1 sin i ish1 2i i 2
21
e sin z dz (2) I 2 2 2 z ( z 1) z 2
esin z Res[ f 2 ( z ), i] lim [( z i) 2 2 ] z i z ( z 1) esin z 1 sin(-i) - i -ish1 lim [ 2 ] e e z i z ( z i ) 2i 2
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
注 2：条件可减弱为：f(z)连续到边界 C，且沿 C 有 f(z)≠0 4.（辅角原理）：
5.（定理 鲁歇（Rouche）定理）：设 C 是一条周线，函数 f(z)及 (z)满足条 件：
（1）它们在 C 的内部均解析，且连续到 C；
（2）在 C 上，|f(z)|>| (z)|
则函数 f(z)与 f(z)+ (z)在 C 内部有同样多（几阶算几个）的零点，即
§2.用留数定理计算实积分
一. 注：注意偶函数
→ 引入
二.
型积分
1.（引理 大弧引理）： 上
则
2.（定理）设
为互质多项式，且符合条件： （1）n-m≥2; （2）Q(z)没有实零点 于是有
注：
可记为
三.
型积分
3.（引理 若尔当引理）：设函数 g(z)沿半圆周 上连续，且
在 上一致成立。则
2
4.（定理）：设 （1）Q 的次数比 P 高； （2）Q 无实数解； （3）m>0 则有
，其中 P(z)及 Q(z)为互质多项式，且符合条件：
特别的，上式可拆分成： 及
四.计算积分路径上有奇点的积分 5.（引理 小弧引理）：
于 上一致成立，则有
五.杂例 六.应用多值函数的积分
§3.辐角原理及其应用 即为：求解析函数零点个数 1.对数留数：
2.（引理）：（1）设 a 为 f(z)的 n 阶零点，则 a 必为函数 的一阶极点，并且
复变函数第六章留数理论及其应用知识点总结
第六章留数理论及其应用
§1.留数
1.（定理6.1 柯西留数定理）：
∫f(z)dz=2πi∑Res(f(z),a k)
n
k=1
C
2.（定理6.2）：设a为f(z)的m阶极点，
f(z)=
φ(z) (z−a)n
,
其中φ(z)在点a解析，φ(a)≠0，则
Res(f(z),a)=φ(n−1)(a) (n−1)!
3.（推论6.3）：设a为f(z)的一阶极点，
φ(z)=(z−a)f(z),则
Res(f(z),a)=φ(a) 4.（推论6.4）：设a为f(z)的二阶极点
φ(z)=(z−a)2f(z)则
Res(f(z),a)=φ′(a)
5.本质奇点处的留数：可以利用洛朗展式
6.无穷远点的留数：
Res(f(z),∞)=
1
2πi
∫f(z)dz
Γ−
=−c−1
即，Res(f(z),∞)等于f(z)在点∞的洛朗展式中1
z
这一项系数的反号
7.（定理6.6）如果函数f(z)在扩充z平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内），设为a1,a2,…,a n,∞,则f(z)在各点的留数总和为零。
注：虽然f(z)在有限可去奇点a处，必有Res(f(z),∞)=0，但是，如果点∞为f(z)的可去奇点（或解析点），则Res(f(z),∞)可以不为零。
8.计算留数的另一公式：
Res (f (z ),∞)=−Res (f (1t )1t 2,0)
§2.用留数定理计算实积分
一.∫R (cosθ,sinθ)dθ2π0型积分 → 引入z =e iθ
注：注意偶函数
二.∫P(x)Q(x)dx +∞−∞型积分
1.（引理6.1 大弧引理）：S R 上
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
c k 1
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1ห้องสมุดไป่ตู้
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
用2 i 除上式两边得:
z z0
p( z ) p ( z0 ) lim z z0 Q ( z ) Q ( z ) 0 Q' ( z 0 ) z z0
(Q' ( z0 ) 0)
得证！
例1
解
5z 2 计 算: dz 2 z 2 z( z 1)
5z 2 f (z) 在 z 2的 内 部 有 一 个 一 级 极 点 2 z( z 1) z 0和 一 个 二 级 极 点 z 1 ，
3. 留数的计算规则
一般求 Res[f (z), z0] 是采用将f (z) 在 z0邻域内展开 成洛朗级数求系数 c–1 的方法,但如果能先知道奇点 的类型，对求留数更为有利。 以下就三类奇点进行讨论：
(i) 若z z0为可去奇点 , c1 0 Re s[ f ( z), z0 ] 0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
n
k
]
(3)
证明
用互不包含 , 互不相交的正向简单闭 曲线ck (k 1,2,n)，将 c内的弧立奇点zk 围绕,
由复合闭路定理得：
f ( z)dz
c
c1ห้องสมุดไป่ตู้
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
c2 cn
用2 i 除上式两边得:
z z0
p( z ) p ( z0 ) lim z z0 Q ( z ) Q ( z ) 0 Q' ( z 0 ) z z0
(Q' ( z0 ) 0)
得证！
例1
解
5z 2 计 算: dz 2 z 2 z( z 1)
5z 2 f (z) 在 z 2的 内 部 有 一 个 一 级 极 点 2 z( z 1) z 0和 一 个 二 级 极 点 z 1 ，
3. 留数的计算规则
一般求 Res[f (z), z0] 是采用将f (z) 在 z0邻域内展开 成洛朗级数求系数 c–1 的方法,但如果能先知道奇点 的类型，对求留数更为有利。 以下就三类奇点进行讨论：
(i) 若z z0为可去奇点 , c1 0 Re s[ f ( z), z0 ] 0
Re s[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z )
留数
则 z0 为 f (z) 的
10
例
计算积分
，C为正向圆周|z|=2。 有两个一级极点
[解] 由于
而这两个极点都在圆周 |z|=2 内，所以
由规则I, 得
因此
我们也可以用规则III来求留数:
这比用规则1要简单些.
例 求下各函数 f (z)在有限奇点处的留数：
[解] (1)
方法一 由规则I, 得
有两个一级极点
B
C
R
A
x
而第二个积分的绝对值：
例5 证明 (已知 [证]：
R
O
y
B
C
R
A
x
由此可知
时，第二个积分趋于零，从而有
令两端的实部与虚部分别相等，得
例4 计算积分 例5 证明 (已知
的值。
这两个积分称为菲涅耳(Fresnel)积分，在光学的
研究中很有用。
70
所以
例2 计算积分 [解] 被积函数 都在圆周|z|=2内，所以
，C为正向圆周|z|=2。 有四个一级极点
由规则III，
，故
例3 计算积分
，C为正向圆周|z|=2。
[解] z=0为被积函数的一级极点, z=1为二级极点, 而
所以
例
3.在无穷远点的留数
设函数 f (z)在圆环域 R<|z|<+ 内解析, C为圆 环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分
留数定理及应用
留数及其应用
摘 要 数定理得知，计算函数)(z f 沿C 的积分，可归结为计算围线C 各孤立奇
点处的留数之和．而留数又是该奇点处的罗朗级数的负一次幂的系数，因此我们只关心该奇点处罗朗留数理论是复积分和复级数理论相结合的产物，利用留数定理可以
把沿闭路的积分转化为计算孤立点处的留数．此外，在数学分析及实际问题中，往往一些被积函数的原函数不能用初等函数表示，有时即便可以，计算也非常复杂．我们利用留数定理可以把要求的积分转化为复变函数沿闭曲线的积分，从而把待求积分转化为留数计算．本文首先介绍留数定义及留数定理，然后针对具体不同的积分类型有不同的计算方法以及留数理论在定积分中的一些应用． 关键词 留数定理；留数计算；应用
引 言 对留数理论的学习不仅是前面知识的延伸，更为对原函数不易直接求得的定积分和反常积分的求法提供了一个较为方便的方法．
一. 预备知识 孤立奇点
1．设()f z 在点a 的把计算闭曲线上的积分值的问题转化为计算各个孤立奇点上的留数的问题，即计算在每一个孤立奇点处的罗朗展式中负幂一次项的系数1-C .在一般情况下，求罗朗展式也是比较麻烦的，因此，根据孤立奇点的不同类型，分别建立留数计算的一些简便方法是十分必要的. 1.1 若0z 为)(z f 的可去奇点
则)(z f 在R z z <-<00某去心邻域解析，但在点a 不解析，
则称a 为f 的孤立奇点.例如sin z
z
，1
z e 以0=z 为孤立奇点
.
以0=z 为奇点，但不是孤立奇点，是支点.
11sin z
以0=z 为奇点（又由1sin
留数的定义留数定理留数的计算规则无穷远点的留数
§2
留数(Residue)
1. 留数的定义
2. 留数定理
3. 留数的计算规则
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
事实上：
Q( z0 ) 0及Q' ( z0 ) 0, z0 为Q( z )的一级零点 , 1 从而 z0为 的一级极点 , Q( z )
1 1 因此, ( z ) ( ( z )在z0处解析且 ( z0 ) 0) Q( z ) z z 0
故
1 f ( z) g ( z) z z0
两边求m 1阶导数得 d m1 m ( z z ) f ( z ) (m 1)!c1 m!( z z0 ) 0 m 1 dz
d m1 lim m1 ( z z0 ) m f ( z ) (m 1)!c1 , 移项得(5)式. z z0 dz
3. 留数的计算规则
一般求 Res[f (z), z0] 是采用将f (z) 在 z0邻域内展开 成洛朗级数求系数 c–1 的方法,但如果能先知道奇点 的类型，对求留数更为有利。 以下就三类奇点进行讨论：
留数(Residue)
1. 留数的定义
2. 留数定理
3. 留数的计算规则
4. 无穷远点的留数
1. 留数的定义
定义 设 z0为f (z)的孤立奇点， f (z)在 z0邻域内的 洛朗级数中负幂次项 (z- z0)–1 的系数 c–1 称为f (z)在 z0 的留数(Residue)， 记作 Res[f (z), z0] 或 Res f (z0)。 由留数定义, Res[f (z), z0]= c–1
事实上：
Q( z0 ) 0及Q' ( z0 ) 0, z0 为Q( z )的一级零点 , 1 从而 z0为 的一级极点 , Q( z )
1 1 因此, ( z ) ( ( z )在z0处解析且 ( z0 ) 0) Q( z ) z z 0
故
1 f ( z) g ( z) z z0
两边求m 1阶导数得 d m1 m ( z z ) f ( z ) (m 1)!c1 m!( z z0 ) 0 m 1 dz
d m1 lim m1 ( z z0 ) m f ( z ) (m 1)!c1 , 移项得(5)式. z z0 dz
3. 留数的计算规则
一般求 Res[f (z), z0] 是采用将f (z) 在 z0邻域内展开 成洛朗级数求系数 c–1 的方法,但如果能先知道奇点 的类型，对求留数更为有利。 以下就三类奇点进行讨论：
数学物理方法权威讲解(留数定理)
C C
(重要积分公式或 0 高阶导数公式)
C C C
2i
c0dz c1 ( z z0 )dz cn ( z z0 )n dz
0 (柯西-古萨基本定理)
2ic1
洛朗级数中负幂项 1 ( z z0 )1的系数 c
1 即 c 1 f ( z )dz 2i C
2、定义
f ( z) 在 z0 处的留数为：
1 Res[f ( z ), z0 ]= f ( z)dz =c1 2 i C
C为 z0 的去心邻域 0 z z0 内包围z0的 任意一条正向简单闭曲线.
二、留数定理及留数的求法
1.留数定理 函数 f (z ) 在区域 D内除有限个孤
所以 z0 为 f (z ) 的单极点,
P(z) Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) z z0 P ( z0 ) . Q ( z 0 )
z 例4 求f ( z ) 4 在各有限远孤立奇点处的留数. z 1 解 函数 f ( z ) z 有四个单极点z 1, i 0 4 z 1 由规则２，
n
即
C
f ( z )dz 2 i Re s[f ( z ), zk ] .
(重要积分公式或 0 高阶导数公式)
C C C
2i
c0dz c1 ( z z0 )dz cn ( z z0 )n dz
0 (柯西-古萨基本定理)
2ic1
洛朗级数中负幂项 1 ( z z0 )1的系数 c
1 即 c 1 f ( z )dz 2i C
2、定义
f ( z) 在 z0 处的留数为：
1 Res[f ( z ), z0 ]= f ( z)dz =c1 2 i C
C为 z0 的去心邻域 0 z z0 内包围z0的 任意一条正向简单闭曲线.
二、留数定理及留数的求法
1.留数定理 函数 f (z ) 在区域 D内除有限个孤
所以 z0 为 f (z ) 的单极点,
P(z) Res[ f ( z ), z0 ] lim ( z z0 ) f ( z ) lim z z0 z z0 Q ( z ) Q ( z0 ) z z0 P ( z0 ) . Q ( z 0 )
z 例4 求f ( z ) 4 在各有限远孤立奇点处的留数. z 1 解 函数 f ( z ) z 有四个单极点z 1, i 0 4 z 1 由规则２，
n
即
C
f ( z )dz 2 i Re s[f ( z ), zk ] .
第三讲 无穷远点
n 1 ( t ) 在0 | t | 内的洛朗展式为： R (t ) cnt n c1t 1 c0 c1t cnt n
其中t 的负幂项对应 z 的正幂项。
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相应的，我们有：如果在级数
f ( z ) c n z
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1 从而在0 | z | 内 R 1 1 1 1 1 1 f ( ) 2 2 c n n c 2 c 1 c 0 2 z z z z n z z 1 1 从而 Re s[ f ( ) 2 ,0] c1 , 由于 Re s[ f ( z ), ] c1 z z 1 1 Res[ f ( z ), ] Res[ f ( ) 2 ,0] 所以 z z 例 4、求下列函数在 点的留数。 17 1 z sin z 2 z 1)e 2) 2 3) 3 3 4 z ( z 2) ( z 3) 1 2 1 1 1 2 z z 解： 1) f (z) e f ( ) 2 e 2 z z z
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关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则：
1 1 规则 4 Res[ f ( z ), ] Res[ f ( ) 2 ,0] z z 1 那么函数f ( ) 在 事实上，设 f ( z ) 在R | z | 内解析， z 1 1 1 1 0 | z | 内解析，从而 f ( ) 2 在0 | z | 内解析。 R R z z 设 f ( z ) 在 R | z | 的洛朗展式为 1 n f ( z ) cn z c1 c0 c1 z z n 1 1 那么 f ( ) 在 0 | z | 内的展式为 z R 1 1 1 f ( ) cn n c1 z c0 c1 z n z z
其中t 的负幂项对应 z 的正幂项。
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相应的，我们有：如果在级数
f ( z ) c n z
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1 从而在0 | z | 内 R 1 1 1 1 1 1 f ( ) 2 2 c n n c 2 c 1 c 0 2 z z z z n z z 1 1 从而 Re s[ f ( ) 2 ,0] c1 , 由于 Re s[ f ( z ), ] c1 z z 1 1 Res[ f ( z ), ] Res[ f ( ) 2 ,0] 所以 z z 例 4、求下列函数在 点的留数。 17 1 z sin z 2 z 1)e 2) 2 3) 3 3 4 z ( z 2) ( z 3) 1 2 1 1 1 2 z z 解： 1) f (z) e f ( ) 2 e 2 z z z
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关于在无穷远点的留数计算，我们有以下的规则：
1 1 规则 4 Res[ f ( z ), ] Res[ f ( ) 2 ,0] z z 1 那么函数f ( ) 在 事实上，设 f ( z ) 在R | z | 内解析， z 1 1 1 1 0 | z | 内解析，从而 f ( ) 2 在0 | z | 内解析。 R R z z 设 f ( z ) 在 R | z | 的洛朗展式为 1 n f ( z ) cn z c1 c0 c1 z z n 1 1 那么 f ( ) 在 0 | z | 内的展式为 z R 1 1 1 f ( ) cn n c1 z c0 c1 z n z z
留数及留数定理
7
Re s f ( z ), z0 0
(3)如果 z 0 为 f ( z ) 的极点, 则有如下计算规则 规则1o 若z0为f(z)的一阶极点，则有
Re s f ( z ), z0 lim( z z0 ) f ( z )
规则2o 若z0为f(z) 的n阶极点，则对任意整数
z z0
ez 1 1 z2 z3 z4 z5 z6 5 1 z 1 5 2! 3! 4! 5! 6! z z 1 1 1 1 1 z 4 , 3 2 z 2! z 3! z 4! z 5! 6!
其中n=4的项的系数为c-1=1/4!, 从而也有
用Laurent级数的展开式计算积分
根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得
1 即 f ( z )dz c1 2 i C 因此，我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。 步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域； 2.在包含积分路径C的解析环域里将函数 展成Laurent级数
C
f ( z )dz 2 ic1
8
规则3
P(z) , P ( z ) 及 Q( z ) 在 z 0 都解析， 设 f (z) Q( z )
如果 P ( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , 那末 z0 为
f ( z ) 的一级极点, 且有
Re s f ( z ), z0 0
(3)如果 z 0 为 f ( z ) 的极点, 则有如下计算规则 规则1o 若z0为f(z)的一阶极点，则有
Re s f ( z ), z0 lim( z z0 ) f ( z )
规则2o 若z0为f(z) 的n阶极点，则对任意整数
z z0
ez 1 1 z2 z3 z4 z5 z6 5 1 z 1 5 2! 3! 4! 5! 6! z z 1 1 1 1 1 z 4 , 3 2 z 2! z 3! z 4! z 5! 6!
其中n=4的项的系数为c-1=1/4!, 从而也有
用Laurent级数的展开式计算积分
根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得
1 即 f ( z )dz c1 2 i C 因此，我们可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。 步骤：1.分析f(z)的解析性，确定解析环域； 2.在包含积分路径C的解析环域里将函数 展成Laurent级数
C
f ( z )dz 2 ic1
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规则3
P(z) , P ( z ) 及 Q( z ) 在 z 0 都解析， 设 f (z) Q( z )
如果 P ( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , Q( z0 ) 0 , 那末 z0 为
f ( z ) 的一级极点, 且有
无穷远点处留数的计算及应用
其中依i曰 姨4 2
e
仔+2k仔 4
i
,k =0,1,2袁4曰
姨3
3
e
0+2k仔 4
i
袁k =0袁1袁2曰
都在周线|z|=5 内袁则
9
乙 移 |z|=5
z26 渊z2+1冤2渊z4+2冤3渊z3-3冤4
dz=2仔i Res[f渊z冤袁zk]
k=1
9
如果直接算这些留数会很麻烦袁由上面的性质可知院移
k=1
内的洛朗展式为院
f渊z冤=噎+
c-n zn
+噎+
c-1 z
+c0+c1z+噎+cnzn+噎
则 Res[f渊z冤袁肄]=-c-1遥
方法三院对于
肄
的讨论袁常利用变量代换院t=
1 z
袁于是 f渊z冤
=f渊
1 t
冤=渍渊t冤袁那么 肄 的去心邻域 N-{肄}院0臆r约|z|约+肄 就
.com.cn.
变成原点的去心邻域 K-{0}院0约|t|约
Fra Baidu bibliotek
揖中图分类号铱G64
揖文献标识码铱A
揖文章编号铱2095-3089渊2020冤05-0135-01
在复数域中袁留数理论是很重要的理论基础袁而无穷远 点处的留数也有不得不提及的讨论价值袁尤其在解决一些周 线积分时能很好的简化计算过程遥
无穷远点的留数
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复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
一、留数定义 二、留数定理 三、留数的计算规则 四、无穷远点的留数*
四、无穷远wk.baidu.com的留数*
定义2：设 f (z) 在圆环域 R z 内解析，C 为此圆环域中绕原点的任何
一条正向简单闭曲线，
则 Res f
z,
1
2i
f zdz
c
注意： C 取 C , 亦即Res f z, C1
定理2： 如果 f (z) 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包含无穷远点在内）， 则 f (z) 在各奇点处的留数总和为零。
复变函数与积分变换
沈阳工业大学理学院
一、留数定义 二、留数定理 三、留数的计算规则 四、无穷远点的留数*
四、无穷远wk.baidu.com的留数*
定义2：设 f (z) 在圆环域 R z 内解析，C 为此圆环域中绕原点的任何
一条正向简单闭曲线，
则 Res f
z,
1
2i
f zdz
c
注意： C 取 C , 亦即Res f z, C1
定理2： 如果 f (z) 在扩充复平面上只有有限个孤立奇点（包含无穷远点在内）， 则 f (z) 在各奇点处的留数总和为零。
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