1.2.1第1课时等差数列学案(高中数学必修五北师大版)

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北师大版高中数学必修5同步学案：第1章等差数列的概念及其通项公式

§2 等差数列2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…所以a2＝a1＋d,a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1D ．3n －1D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．－2B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]3．等差数列32,－12,－52,…的第10项为( )A ．－372B ．－332C ．372D ．332B [由a 1＝32,d ＝－12－32＝－2,得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.所以a 10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{a n }中,d ＝－13,a 7＝8,则a 1＝________.10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－13代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2－n.[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列；当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列；当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ,即1a n ＋1－1a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2,a 1＝2,故a n ＝2n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？[解] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＝4，a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2＝a 2＋(a ＋d)2,即a 2－2ad －3d 2＝0,解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.【例3】某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费．令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,等候时间为0,那么,需支付多少车费？[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1D ．0,0,0,0D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.52 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，解得a 1＝52.]4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 2.1等差数列》

§等差数列一编写：马振华时间：2021 5 13学习目标1 掌握等差数列的定义，通项公式；2 会求等差数列的通项公式；会证明一个数列是等差数列；3 探索通项公式推导过程中体现出的数学思想。

重点：对等差数列概念的理解及通项公式的运用。

难点：通项公式推导与应用。

学习过程使用说明：（1）预习教材，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成各种问题，总结规律方法；（2）用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容。

奖励规则：（1）认真预习案的组均加2分，特别突出的加3分；（2）合作探究部分基础分2分，板书认真，展示精彩到位或特别突出可以根据情况加分，其他部分根据难易和回答的精彩与否加分。

第Ⅰ部分预习案（自主学习）（阅读课本10--12页或者查阅课外资料解答下列问题）问题1 ★一个定义★（1）看课本归纳并得出等差数列的定义（2）用符号语言描述等差数列的定义问题2 ★一个公式★根据定义填空 d a a ___12=-，d a a __13=-，d a a __14=-，… d a a n __1=-。

等差数列通项公式：+=1a a n问题3 判断下列说法是否正确，对的在括号后面画 √ 错的画 × 。

（1）（2）（3）（4）（5）（6）合作合作在等合作在数解：解：合作探究四 ★一个猜想★已知在等差数列}{n a 中，12+=n a n ，求：（1）,,,,,,987321a a a a a a ；（2）求91a a +,82a a +73a a +的值；（3）通过第（2）问的结论你能发现什么规律？并猜想如果mn=，n ，，q 为正整数）那么nm a a +与q p a a +有什么关系？第Ⅲ部分检测案（课堂练习）1、求等差数列9,5,1，…的第10项。

2、已知在等差数列中，,35,20205-=-=a a 求这个数列的通项公式。

3、在等差数列中已知,16,675==a a 求1a 与公差d 。

数学北师大版高中必修5等差数列(第1课时：等差数列的概念、通项公式)

（2）所以这个数列不是等差数列。
例2、（1）求等差数列9，5，1，…第10项；
（2）已知等差数列中，
求首项和公差。
解：（1）
（2）
7（2）盯住基本量，强化方程思想的运用
例3、已知在等差数列中，
试求出数列的通项公式。
解：设公差为，则可建立一个以首项和公差为未知数的二元一次方程组，如下：
③老师视具体情况可择讲解：迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式。
7、概念、公式的运用。
7（1）基本运用及其变通、提高
例1：判断下列数列是否为等差数列。
分析：注意等差数列定义运用及变通，若是等差数列，则运用正整数的任意性，尝试运算求差为一个常数；否则，只需找出一个反倒，足以说明不是等差数列。
略解：（1）由的任意性，此数列是等差数列；
⑥概念:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，称这个数列为等差数列，称此常数为等差数列的公差，通常用字母表示。对于以上四个等差数列，它们的公差依次是2，-2，- ，。
3、等差数列通项公式的互动探究
（1）提出问题:对于以上四个等差数列，能不能用通项公式将它们表示出来呢？
提示：写出通项公式，即第项与其序号之间的函数关系表达式 ,可根据前三或四项,猜想出一个。
2、过程与方法：通过数学情境与实践活动，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；指导自主学习，猜想确定等差数列通项公式，从而逐步建立等差数列模型。学习运用这一模型，解决一些简单的问题；强化实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到相应等差数列的问题研究，逐步感悟函数思想、特殊性到一般性思想、方程思想、数形结合思想、化归思想、数形结合思想等重要数学思想方法。

1.2第1课时等差数列的概念及通项公式教案(北师大版必修五)

§2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式知能目标解读1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.重点难点点拨重点：等差数列的概念.难点：等差数列的通项公式及其运用.学习方法指导1.等差数列的定义（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：①如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=a n+1-a n(n∈N+)或者d=a n-a n-1 (n∈N+且n≥2). （2）如何证明一个数列是等差数列?要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,a n+1-a n是同一个常数(或a n-a n-1 (n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指一个与n无关的常数.注意:判断一个数列是等差数列的定义式：a n+1-a n=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明a n+1-a n或a n-a n-1(n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.2.等差数列的通项公式（1）通项公式的推导常用方法：方法一（叠加法）：∵{a n}是等差数列，∴a n-a n-1=d,a n-1-a n-2=d,a n-2-a n-3=d,…,a3-a2=d,a2-a1=d.将以上各式相加得：a n-a1=(n-1)d,∴a n=a1+(n-1)d.方法二(迭代法)：∵{a n}是等差数列，∴a n=a n-1+d=a n-2+d+d=a n-2+2d=a n-3+3d=…=a1+(n-1)d.即a n=a1+(n-1)d.方法三（逐差法）：∵{a n}是等差数列，则有a n=(a n-a n-1)+(a n-1-a n-2)+(a n-2-a n-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用. （2）通项公式的变形公式在等差数列{a n}中，若m，n∈N+，则a n=a m+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有a m =a 1+(m -1)d ①a n =a 1+(n -1)d ②由②-①得a n -a m =(n -m )d ,∴a n =a m +(n -m )d .注意：将等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 变形整理可得a n =dn +a 1-d ，从函数角度来看，a n =dn +(a 1-d )是关于n 的一次函数(d ≠0时)或常数函数(d =0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d 是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d =m n a a m n -- (n ≠m ).（3）通项公式的应用①利用通项公式可以求出首项与公差;②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.3.从函数角度研究等差数列的性质与图像由a n =f (n )=a 1+(n -1)d =dn +(a 1-d )，可知其图像是直线y =dx +(a 1-d )上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d 是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d . 当d>0时，{a n }为递增数列，如图（甲）所示.当d <0时，{a n }为递减数列，如图(乙)所示.当d =0时，{a n }为常数列，如图(丙)所示.4.等差中项如果在数a 与b 之间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做数a 与b 的等差中项.注意:(1)等差中项A =2b a +⇔a ,A ,b 成等差数列； (2)若a,b,c 成等差数列，那么b =2c a +，2b=a+c ,b-a=c-b,a-b=b-c 都是等价的； (3)用递推关系a n+1=21 (a n +a n+2)给出的数列是等差数列，a n+1是它的前一项a n 与后一项a n+2的等差中项.知能自主梳理1.等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的是，我们称这样的数列为等差数列.2.等差中项如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a,A,b 成等差数列，那么A 叫做 .3.等差数列的判断方法（1）要证明数列{a n }是等差数列，只要证明：当n ≥2时， .。

高中数学北师大版必修5 1.2 教学设计《等差数列》(北师大)

《等差数列》第1课时是在生活中具体例子的基础上引出等差数列的概念，接着归纳出等差数列的通项公式，最后根据这个公式进行有关计算。

本课内容的安排旨在培养学生的观察分析、归纳猜想、应用能力。

结合本节课特点，宜采用指导自主学习方法，即学生主动观察—分析概括—师生互动，形成概念—启发引导，演绎结论—拓展开放，巩固提高。

在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆猜想，学会探究。

第2课时主要是让学生明确等差中项的概念，进一步熟练掌握等差数列的通项公式及其推导的公式，并能通过通项公式与图像认识等差数列的性质。

让学生明白一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，使学生学会用图像与通项公式的关系解决某些问题。

在学法上，引导学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，学会探究。

在问题探索过程中，先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探，提出猜想，最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想。

在教学过程中，应遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，尽可能让学生经历知识的形成和发展过程，激发他们的学习兴趣，发挥他们的主观能动性及其在教学过程中的主体地位。

使学生认识到生活离不开数学，同样数学也是离不开生活的。

学会在生活中挖掘数学问题，解决数学问题，使数学生活化，生活数学化。

【知识与能力目标】通过实例理解等差数列的概念，通过生活中的实例抽象出等差数列模型，让学生认识到这一类数列是现实世界中大量存在的数列模型。

同时经历由发现几个具体数列的等差关系，归纳出等差数列的定义的过程。

【过程与方法目标】探索并掌握等差数列的通项公式，由等差数列的概念，通过归纳或迭加或迭代的方式探索等差数列的通项公式。

通过与一次函数的图像类比，探索等差数列的通项公式的图像特征与一次函数之间的联系。

【情感态度价值观目标】通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣。

2.1等差数列-北师大版必修5教案

2.1 等差数列-北师大版必修5教案一、教学目标1.了解等差数列的定义和概念；2.掌握等差数列的通项公式和求和公式；3.学会应用等差数列解决实际问题。

二、教学重点1.理解等差数列的概念及其特点；2.掌握等差数列的通项公式和求和公式；3.能够运用等差数列的公式解决实际问题。

三、教学难点1.理解等差数列的特点；2.理解通项公式和求和公式的原理。

四、教学方法1.教师讲授与学生演练相结合的方法；2.课堂练习与小组合作学习相结合的方法；3.让学生通过实例分析来理解概念和方法。

五、教学过程1. 引入（10分钟）教师通过贴近学生生活的例子，引入等差数列的概念和原理。

比如：两个人去旅行，第一个人每次走10米，第二个人每次走20米，问他们能不能相遇？如何计算相遇点的距离？2. 概念讲解（20分钟）教师讲解等差数列的定义和特点，包括公差、通项公式、前n项和公式等。

3. 公示演练（25分钟）教师让学生通过公式来计算等差数列的第n项和前n项和，并让学生互相检查答案。

4. 解决实际问题（20分钟）教师让学生通过实际例子来解决问题。

比如：如何计算摩托车行驶的路程？如果已知起点坐标、速度和时间，如何计算终点坐标？如果已知起点坐标和终点坐标，如何计算旅行时间？5. 小组合作学习（20分钟）将学生分成小组，让他们合作完成几道等差数列的题目，并将答案汇总到黑板上进行讲解。

6. 总结（5分钟）教师帮助学生总结本节课所学的知识。

六、教学资源1.课本；2.计算器；3.练习题。

七、教学评估1.课堂练习；2.作业练习；3.课后测试。

八、教学延伸让学生通过编写程序来计算等差数列的通项公式和前n项和，来巩固和拓展所学知识。

高中数学 1.2.1 等差数列(一)教案北师大版必修5

第四课时§1.2.1 等差数列（一）一、教学目标1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题；体会等差数列与一次函数的关系。

2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究。

3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。

二、教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式；会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的联系。

教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

三、学法：引导学生首先从四个现实问题（数数问题、座位问题、鞋号问题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列的特点，推导出等差数列的通项公式；可以用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

四、教学过程（一）、创设情景上节课我们学习了数列。

在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。

今天我们就先学习一类特殊的数列。

（二）新知探究(Ⅰ)、引导观察数列：0，5，10，15，20，……①； 48，53，58，63 ②18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③； 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 ④看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析）引导学生观察相邻两项间的关系，得到：对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ；对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ；对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 72 ；由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。

高中数学北师版必修5 等差数列教案

等差数列一．课题：等差数列二．教学目标：1．理解等差数列中等差中项的概念； 2．会求两个数的等差中项； 3．掌握等差数列的特殊性质及应用； 4．掌握证明等差数列的方法。

三．教学重、难点： 1．等差中项的概念； 2．等差数列性质的应用； 3．掌握证明等差数列的方法。

四．教学过程：（一）复习：1.等差数列的定义、表达式：1(1)n a a n d=+-；（二）新课讲解： 1．等差中项的概念：（1）如果在a 与b 中间插入一个数A ，使得a ，A ，b 成等差数列，那么A 应满足什么条件？解：由a ，A ，b 成等差数列，得A a b A -=-，所以2a bA +=，反之成立。

（2）定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。

其中2a b A +=a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=．2．等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a中，相隔等距离的项组成的数列是AP如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d=+-，n ma a d n m -=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ ．3．例题分析：例1．{}n a 是等差数列，证明{}n ka b+为等差数列。

证明：设数列{}n a 公差为d ，n n c ka b=+，111()()n n n n n n c c ka b ka b k a a kd+++-=+-+=-=，∵kd 是一个与n 无关的常数，所以，{}n ka b+为等差数列。

例2．在等差数列{}n a 中，若410a =，719a =，求18a．解：（法一）设首项1a ，公差为d ，则11310619a d a d +=⎧⎨+=⎩ ∴3d =，11a =， ∴1811752a d =+=．（法二）741910333a a d --===，1871152a a d =+=．例3．①在等差数列{}n a 中，278136a a a a +++=，求69a a+． ②在等差数列{}n a 中，14812152a a a a a ---+=，求313a a +的值。

高中数学 1.2.1等差数列学案北师大版必修5 学案

等差数列
一．学习目标:
1、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式并能进行准确的计算。

2、能在具体情境中，对等差数列做出准确地判断。

二．学习重点: 能根据等差数列的概念，通项公式并能进行准确的计算
三．学习难点:能根据等差数列的概念，通项公式并能进行准确的计算
四、自主学习
1、等差数列的定义: 。

2、等差数列通项公式及及其推导:
通项公式:;
3、等差中项: ；
4、等差数列判断方法：
①、定义法②、通项法③、等差中项法
五、合作与探究
1、证明数列13-=n a n 是等差数列。

2、在数列{}n a 中，111,22.n n n a a a +==+设1
.2n n n a b -=证明：数列{}n b 是等差数列。

五、练习与展示
}{n a 中，21=a ，1221+=+n n a a ，则通项=n a ___________，=101a .
}{n a 中，首项11=a ，公差为3=d ，如果2005=n a ，则=n .
3、在等差数列中已知a 1=12, a 6=27,则d=___________
4、在等差数列中已知13
d =-，a 7=8，则a 1=_______________ {}n a 中，已知3
11=
a ，33,452==+n a a a ，则n =_____. 6、在等差数列}{n a 中，
(1)已知153,334515==a a ，求61a ；
(2)前三项是
x
x x 1,65,11+，求11a .。

2020-2021学年高一数学北师大版必修5第一章1.2.1 等差数列教学设计(一)

§2.1 等差数列（一）一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修5》（北师大版）第一章数列第二节等差数列第一课时。

等差数列在生活中有着广泛的应用，是在学生学习了函数、数列的有关概念和数列通项公式的基础上，是学生进一步理解、掌握函数思想，学生探究特殊数列的开始，为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

二、学生学习情况分析我所教的是我校高二理科班的学生，经过了一年的学习，大部分学生知识经验已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时针对个体差异，注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、设计思想1．教法⑴诱导思维法：有利于学生对等差数列的概念进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；在学生参与到知识的形成过程中，有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性，诱导学生进行理性分析与推导，从而得出通项公式。

⑵分组讨论法：如何判断一个数列是否为等差数列，学生分组交流探究出判别方法。

⑶讲练结合法：对等差数列的通项公式及时巩固，抓住重点，突破难点。

2．学法引导学生首先从三个现实问题给出的数组特点并抽象概括出等差数列的概念；接着就等差数列定义的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标1、知识与技能目标（1）理解和掌握等差数列的概念；能用定义法在3分钟内判断某一数列是否为等差数列，准确率为95% 。

（2）能在3分钟内写出已知首项和公差的任意一个等差数列的通项公式，准确率为95%。

高二数学北师大版必修5教学教案1-2-1等差数列(5)Word版含解析

等差数列教学设计一、教材分析《等差数列》是北师大版新课标教材《数学》必修5第一章第二节的内容。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。

二、学情分析虽然学生刚开始接触数列，但对数列比较感兴趣，愿意研究数列、分析数列，从而归纳结论，这也正是知识产生的过程，学习的本源。

本节课将充分发挥学生的主体作用，引导着学生探究问题，分析问题，归纳结论，从而获得等差数列的系列知识，培养学习兴趣。

部分学生，存在眼高手低现象，简单的运算也会出错，且不擅长检验。

三、教学目标根据教学的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标1.知识与技能：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。

培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

2.过程与方法：在教学过程中我采用讨论式、启发式的方法使学生深刻的理解不完全归纳法。

3.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

四、教材重点和难点分析重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①等差数列的通项公式的推导②用数学思想解决实际问题八、反思总结成功的地方：1.课堂准备充分，环节流程，达到了预期效果！2.课堂注重知识的产生过程，充分发挥学生的主体作用，让学生探究、分析、总结规律。

高二数学学案2.1等差数列北师大版必修5

等差数列复习学案一、课标要求：1．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。

2．探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式。

3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关的知识解决相应的问题。

4．体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。

二、课前热身（一）等差、等比数列中的“知三求二”问题（等差、等比数列中，围绕a n ，s n 分别有两套公式，均含有五个量：a 1，n ，a n ，S n ，d （q ）。

已知其中三个量，可以求其余两个量。

练习1：（06全国文）已知{a n }为等比数列，a 3=2，a 2+a 4=320，求{a n }的通项公式。

练习2：已知等差数列{a n }，a 1=65，d=-61，S n = -5。

求：n 与a n（二）灵活应用等差、等比数列的通项公式练习1等比数列{a n }中，如果a 6=6，a 9=9，求a 3（两种方法）（三）灵活应用等比数列前n 项和公式练习1．已知等比数列的前4项和为1，且公比为2，求此数列的前8项的和。

二、典例解析例1：已知等差数列{a n }，若a 3+a 5+ a 13+a 21+ a 23=20，求S 25解析：等差数列{a n }的一条重要性质：若m 、n 、p 、q ∈N 且m+n=p+q ，则a m +a n = a p +a q ；特别地：m+n=2s 则a m +a n =2a s ，简记为：“两项和等于两项和”类比变式1：已知等比数列{a n }中，a n >0，a 2a 4+2 a 3a 5+ a 4a 6=25，求a 3+a 5变式练习：已知等差数列{a n }、{b n }，且274172121++=++++++n n b b b a a a n n ，求1111b a 的值。

例2．设{a n }为等差数列，其前n 项和记为S n 。

已知S 7=7，S 15=75，T n 为⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和，求T n解析：数列{a n }为等差数列，其前n 项和记为S n ，可推导出数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也是等差数列。

1.2.1第1课时等差数列 学案(高中数学必修五北师大版)

北师大版高中数学必修5同步学案：第1章 等差数列的概念及其通项公式

高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修5 2.1等差数列》

数学北师大版高中必修5等差数列(第1课时：等差数列的概念、通项公式)

1.2第1课时 等差数列的概念及通项公式 教案(北师大版必修五)

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高中数学北师大版必修5 1.2 教学设计 《等差数列》(北师大)