理论力学经典课件-第四章刚体的平面运动
理论力学4-刚体的平面运动
其中 a
n BA
AB ω
2 AB
337.5 cm s
2
A
aA
0
n aB
2 a A O1 B ω0 2700 cm s 2
O1
τ (目标:求 aB )
向x方向投影:
n a aA cos60o aBA B
n aBA a BA
O
aB
x
B
aA
OB
a B 9.74 1/s 2 OB
2、两点运动关系。
四、方法: 复合运动法,在基点固连平移系,任一点相对 圆周运动。本章采用矢量法。
第四章 刚体的平面运动
4-1 刚体平面运动方程 平面运动方程
确定运动的独立参数
一、运动的简化
z
y
y
y
S
B
o x
x
A
o
x
刚体 图S 线段AB 平移+转动
第四章 刚体的平面运动
4-1 刚体平面运动方程 二、 运动方程
aC
aC
1 aB 2
4-2 平面图形上各点的速度与加速度分析
4.2.3 投影法
问: 基点法公式 在任何方向的投影式成立,在何方
向获得最简形式? (1) 速度投影法 将 vB vA vBA在AB连线上投影
vBA
vB
B
vA
vBA AB
基点法投影式
A
vA
有 v B AB v A AB
B
B
B
B A
A
A
A
A B ωA ωB
求导
理论力学06_4刚体平面运动_加速度
§6.3* 平面运动刚体上点的加速度由于平面运动可以看成是随同基点的牵连平移与绕基点的相对转动的合成运动,于是图形上任一点的加速度可以由加速度合成定理求出。
设已知某瞬时图形内A 点的加速度a A ,图形的角速度为ω,角加速度为α,如图6-13所示。
以A 点为基点,分析图形上任意一点B 的加速度a B 。
因为牵连运动为动坐标系随同基点的平移,故牵连加速度a e =a A 。
相对运动是点B 绕基点A 的转动,故相对加速度a r =a BA ,其中a BA 是点B 绕基点A 的转动加速度。
由式 (5.3.7)可得图6-13 加速度分析的基点法 α (6.3.1) BA A B αα+=由于B 点绕基点A 转动的加速度包括切向加速度和法向加速度a ,故式(6.3.1)可写为t BA a n BAa (6.3.2) n t BA BA A B a a a ++=即平面图形上任意一点的加速度,等于基点的加速度与该点绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
当基点A 和所求点B 均作曲线运动时,它们的加速度也应分解为切向加速度和法向加速度的矢量和,因此,式(6.3.2)可表示为(6.3.3)n t n t n t BA BA A A B B a a a a a a +++=+在式(6.3.3)中,相对切向加速度与点A 和B 连线方向垂直,相对法向加速度沿点A 和B连线方向从B 指向A ;仅当点A 和B 的运动轨迹已知时,才可以确定点A 和B 的切向加速度a 和及法向加速度和a 。
t BA a n BA a t A t B a n A a n B 在应用式(6.3.2)或(6.3.3)计算平面图形上各点的加速度时,只能求解矢量表达式中的两个要素。
因此在解题时,要注意分析所求问题是否可解。
当问题可解时,将式(6.3.2)或(6.3.3)在平面直角坐标系上投影,即可由两个代数方程联立求得所需的未知量。
例6.3-2:半径为R 的车轮沿直线滚动,某瞬时轮心O 点的速度为v O ,加速度为a O ,如图a 所示。
理论力学PPT课件第4章 刚体的平面运动
2024年3月15日
1. 轮C作平面运动,
C1为其速度瞬心,C。
2. BD作平面运动,
C2为其速度瞬心,BD。
3. AB作平面运动,
C3为其速度瞬心,AB。
43
平面图形在任一瞬时的运动可以 视为绕速度瞬心的瞬时转动,速度瞬 心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若点C 为速度瞬心,则任意一点A的速
度大小为 vA AC ω 方向A C,指
16
车轮的运动分解
车轮的平面运动可以看成 是车轮随同车厢的平移和 相对车厢的转动的合成.
车轮相对定系(Oxy)的平面运动(绝对运动)
车厢(动系 A x y ) 相对定系的平移(牵连运动) 车轮相对车厢(动系 A x y )的转动(相对运动)
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17
2024年3月15日
18
转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。
aB cos 300 aBnA
式中
aBnA
AB
2 AB
15 3 ( 2 )2 20 3 2cm/s2
3
3
aB aBnA / cos 300
40 2cm/s2
3
aB 8 2cm/s2
R9
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例2. 已知 : OA = r AB = l、ω
求: vc、ac 解: 各联接点速度如图.
将 vB vA vBA 在AB连线上投影
vBA AB
有 [vB ]AB [vA ]AB
基点法投影式.
或 vB cos vA cos
2024年3月15日
53
结 论:S上任意两点的速度在这两点
连线上投影相等. 意 义:刚体上两点距离不变. 注 意:仅在两点连线上成立.
理论力学7—刚体的平面运动
A
[vB ]AB [v A ]AB
平面图形上任意两点的速度在其连线上的投影( 大小和方向)相等。这就是速度投影定理。
例7-3 用速度投影定理解例1。 解:由速度投影定理得 vB
[vB ]AB [v A ]AB
B
vA cos30 vB cos60
解得
30°
vA
A
vB 10 3 cm s
0
O
I
vCA与vA方向一致且相等, 点C的速度
vC vA vCA 2vA
7.2 平面图形上各点的速度
7.2.2 投影法
vB v A vBA
vBA
vB vA
B
将两边同时向AB方向投影:
[vB ]AAB,因 此[vBA]AB=0。于是
M
x
xO f1 (t ), yO f2 (t ), f3 (t )
这就是刚体的平面运动方程。
运动分解
y S O' O M
x
如果O'位置不动,则平面图形此时绕轴O'做定 轴转动; 如果O'M方位不变,则平面图形做平移。因此刚 体的平面运动包含了平移和定轴转动两种情况。 但能不能说平移和定轴转动是刚体平面运动的特 殊情况呢? 不能!
M
7.1 刚体平面运动的描述 而垂直于图形S的任 一 条 直 线 A1A2 必 然 作平移。 A1A2 的 运 动 可 用 其与图形S的交 点A的运动来代 替。无数的点A 构成了平面S。
A1 N A S
A2
M
因此,刚体的平面运动可以简化为平面图 形S在其自身平面内的运动。
刚体的平面运动方程 平面图形S在其平面上的位 y 置完全可由图形内任意线段 S O'M的位置来确定,而要确 定此线段的位置,只需确定 O' 线段上任一点O'的位置和线 段O'M与固定坐标轴Ox间的 O 夹角 即可。点O'的坐标和 角 都是时间t的函数,即
理论力学课件-刚体平面运动
作速度 vA、vB的垂线,交点P即为该瞬时的
速度瞬心。
③ 已知某瞬时图形上两点A 、B 的速度 vA vB且 ⊥连线 AB, 则连线 AB与速度矢 vA、vB 端点连线的交点P即速度瞬心。 (a)
vA vB (a) 若vA 与vB 同向,则 AB
v A vB (b) 若v A 与vB 反向, 则 AB
但各点的加速度并不相等。 设匀角速度为,则 aB aB n AB 2 () 而 ac 的方向沿AC,故
aB ac ,瞬时平动与平动不同。
4. 速度瞬心法 利用速度瞬心求平面图形上点的速度的方法,称速度瞬心法。 平面图形任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动, 故速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若P点为速度瞬心,则任意一点A的速度大小为 vA AP , 方向 AP,指向与 一致。 5. 注意的问题 ① 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的,而是随时间 不断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 ② 速度瞬心处速度为零,但加速度不一定为零,不同于定轴 转动。 ③ 刚体作瞬时平动时,虽然各点速度相同,但各点加速度 不一定相同,不同于刚体作平动。
vB v A / sin
在B点做 速度平行四边形,如图示。
l / sin 45 2l ()
vBA vActg l ctg45 l
AB vBA / AB l / l (
)
根据速度投影定理 vB AB vA AB vB sin vA vB vA / sin
n 其中 aa aB , ae aA , ar aBA aBA aBA
于是
aB a A aBA aBA
n
aB a A aBA aBA n 其中:aBA AB ,方向 AB,指向与 一致; aBA n AB 2,方向沿AB,指向A点。
理论力学刚体的平面运动
B
A O vo C P
B ω
A O vo C vPO Pvo
解(1)∵轮子纯滚动 取O为基点
∴vP=0
vP vO vPO
∵ vP 0
vO vPO 0
vPO vO
由 vPO vO
且 vPO R
vO
R
B vAO vA ω
A voO vo C P
B vA
AO
C
P
(2)A点速度,取O为基点
于零?如果存在的话,该点如何确定?
2.速度瞬心的概念 一般情况,在每一瞬时,平面图形 上都唯一地存在一个速度为零的点,该 点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中
B
vB
vA
A O vo C vC
P
心,简称速度瞬心.
证明: vP vA vPA 取 AP vA /
vPA AP vA , 方向PA, 恰与vA反向. 所以
三、平面运动的分解• 刚体的平面运动方程
确定平面图形的位置------只需确定平面图形内任意 一条线段的位置.
任意线段AB的位置可 用A点的坐标和AB与x轴夹 角表示.因此图形S 的位
置决定于 xA, yA, 三个
独立的参变量,它们都是 时间的函数.
平面图形的运动方程
xA f1(t) yA f2 (t)
vA vO vAO vAO R vO
( vO )
R
vA vO2 vAO2
vO 2 vO 2
2vO 或取P为基点: vA vP vAP
vA vAP AP 2R 2vO
(3)B点速度,取O为基点
B vBO vo
vB
ω
A O vo C
P
vB vO vBO
理论力学第章刚体的平面运动
E
30
B vB
A vA
vD
vB CD CB
3vB
0.693
m s-1
vE60
CO
ω
轮E沿水平面滚动,轮心E的速度 水平,由速度投影定理,D,E 两
点的速度关系为
vE cos 30 vD
求得 vE 0.8 m s-1
§9.3 求平面图形内各点速度的瞬心法
一、问题的提出
B
vA vA
C
vD vA vDA
A Ⅱ
由于齿轮Ⅰ固定不动,接触点D不滑动,所以
ωO O
D
vDA ωⅡ
vD=0 ,因而有 vDA v A O r1 r2
Ⅰ
vDA为D点绕基点A的转动速度,应有
vDA Ⅱ DA
因此
Ⅱ
vDA DA
O (r1
r2
r2 )
(逆时针)
y
SM
O
o
x
§9.1 刚体平面运动的概述和运动分解
刚体平面运动方程
xo xo (t )
yo
yo (t )
(t)
刚体的平面运动可以看成是平动和转动的合成运动。
四、刚体的平面运动分解为平动和转动
刚体平面运动可以分解为随同基点的平动和绕基点
的转动,平面图形随同基点平动的速度和加速度与基点 的选取的有关。绕基点转动的角速度和角加速度则与基 点的选择无关。
动画
刚体平面运动分解
动画
平面运动
动画
平面运动
动画
平面运动分解
动画
平面运动
动画
理论力学第4节 刚体的定轴转动和平面运动微分方程
圆盘质心 加速度
aC
2M 3mR
FN
2)如果作用于圆盘的力偶矩 M
圆盘连滚带滑,所受摩擦力为
3 2
fmgR
时,则
F mgf
aC fg
2(M mgfR) mR2
0
d
dt
maC F
FN mg
1 mR 2 M FR
2
纯滚动 应满足
M C aC
mg F
FN
F f FN
M
3 2
fmgR
解得
F
2M 3R
,M
3 2
RF
,aC
2M 3mR
讨论
M
1)为使圆盘作纯滚动,应满足
作用于圆盘 的力偶矩
M
3 2
fmgR
C aC mg F
• 刚体绕定轴转动的运动微分方程:绕定轴转动的刚 体对转轴的转动惯量与其角加速度的乘积,等于作 用在刚体上的所有外力对转轴力矩的代数和。
例11-5 如图所示一均质圆盘质量 m = 100kg,半径 r = 0.5m,转速 n 擦因数 f = 0.6。开始加制动闸,使闸块对轮
dt
J C
n
M C (Fi(e) )
i1
式中 M 为刚体的质量,aC 为质心的加速度,J C为刚 体对通过质心Cz轴的转动惯量。
MaC
F (e) R
y
d(JC)
dt
JC
n
M C (Fi(e) )
i1
d
dt
d 2
理论力学第四章
或
rO rO (t ) (t )
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4.1 刚体的平面运动概述和运动分解
刚体平面运动的运动方程
若为常量,平面图形S作平移; 若 xO、y O 为常量,即基点O的位
置不动,平面图形S将绕通过基点
O且与图形S的平面垂直的轴转动。
xO f1 (t ) yO f 2 (t ) f 3 (t )
Theoretical Mechanics
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4.1 刚体的平面运动概述和运动分解
平移和转动与基点之间的关系
随同基点平移的特点
基点不同 位移不同
AA BB
v A vB
a A aB
结论:选择不同基点,平面图形随 同基点平移的速度和加速度不相同。
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y´
B vBA A
y
S A O
B点对于A点的相对速度 vBA v B B vA x x´
vr= vBA
vr v BA ( AB)
方向与半径AB垂直,指向与角 速度的转向一致
Theoretical Mechanics
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4.2 求平面图形内各点速度的基点法
4.2.2 速度投影定理
v M v O v MO
平面Ⅱ与刚体相交截出 一个平面图形S
平面图形S始终保持在 平面Ⅱ内运动 平面图形S上作M点
A1MA2:做平动,垂直于平面Ⅱ
M点可代表直线A1MA2上各点的运动
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4.1 刚体的平面运动概述和运动分解
刚体平面运动模型-平面图形
A1
M
工程力学理论力学第4章
Fi xi F
平衡的充要条件为 主矢 R =0
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为:
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零,即 X 0 恒成立 ,所以只有两个 独立方程,只能求解两个独立 的未知数。
mA (Fi ) 0 二矩式
RB
qa 2
m a
2P
200.8 2
16 0.8
22012(
kN)
YA PqaRB 20200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念
我们学过:
平面汇交力系 X 0 Y 0
两个独立方程,只能求两个独立 未知数。
例3. 塔式起重机翻转问题
如图所示塔式起重机的简图。已知机身重W,重 心在C处;最大的起吊重量为P。各部分的尺寸如图。 求能保证起重机不致翻转的平衡锤重Q大小。
b
Q
C e
W
a
P
A
B
dd
★ 物体系统的平衡问题
例5. 如图所示,水平梁由AB和BC两部分组成,它们
在B处用铰链相连。梁的A端固定在墙上,在C处受滚 动支座支持,该支座放在倾角为α =30°的光滑斜面 上。已知P=4KN,均布载荷q=2KN/m,尺寸如图。试求 A、B、C处约束反力。
解物系问题的一般方法:
由整体
局部(常用),由局部
整体(用较少)
[例1] 已知:OA=R, AB= l , 当OA水平时,冲压力为P 时,
求:①M=?②O点的约束反力?③AB杆内力? ④冲头给导轨的侧压力?
理论力学刚体的平面运动
A的速度为
vA vO vAO 2vO
B的速度为
vB vO2 vBO2 2vO
同理,可得D的速度为
A
vDO
vD
D vO O
vO
vAO
vA
vO B vO
vCO
C
vBO vO
vB
vD 2vO
9.3.2 速度投影法
应用矢量投影定理,将该矢量式 vB vA vBA向
AB连线投影 。
vA cos vB cos
结论:刚体的平面运动可以 简化为平面图形S 在其自身 平面内的运动。
9.1.3 刚体的平面运动方程
在平面图形S内建立平面直角坐标系Oxy,为确定
平面图形 S 在任意瞬时 t 的位置,只须确定其上任意
线段 AB 的位置,而线段 AB 的位置可由点 A 的坐标
xA,yA 和线段 AB 与 x 轴(或 y 轴)的夹角j 来确定。
9.1.2 平面运动的简化
⑴ 作平面Ⅱ∥定平面Ⅰ且与 刚体相交成一平面图形S 。当刚体 运动时,平面图形S 始终保持在平 面Ⅱ内。平面Ⅱ称为平面图形S 自 身所在平面。
⑵ 在刚体上任取⊥平面图形S 的直线A1A2 , A1A2 作平动,其上各 点都具有相同的运动。
⑶ A1A2 和图形S 的交点 A 的运动可代表全部A1A2 的运动, 而平面图形S 内各点的运动即可代表全部刚体的运动。
[vB ]AB [v A ]AB
(9-3)
速度投影定理:平面图形上任意两点的速度在 这两点连线上的投影相等。速度投影定理是刚体上任 意两点间的距离保持不变的必然结果。适用于任何形 式的刚体运动。
应用速度投影定理求速度的方法称为速度投影 法。
例9-4 用速度投影法求例9-1中点B的速度。
理论力学课件 刚体平面运动的加速度分析
16
rad
s2
6-3 刚体平面运动的加速度分析
刚体平面运动的加速度分析解题步骤
1、速度分析:首选速度瞬心法(不选择速度投影法),求 平面运动刚体的角速度。 2、加速度分析:基点法。弄清点的运动是直线还是曲线。 (直线1项;曲线2项),画加速度分析图。未知加速度方向 可以假设。法向加速度方向确定。 3、利用投影式求未知加速度。
a 加速度矢量式能求解两个未知数。欲求一未知, 将加速度矢量式向另一未知的垂直方向投影。 b 投影时应按加速度矢量式公式的原始形式逐项进 行投影,与坐标轴的指向一致为正,相反为负。
4 速度瞬心的加速度≠0, 因而速度瞬心法不能用于求加速度。
思考:已知图示机构中两个滑块的速度方向,试确定图示 瞬时铰链C的速度方向和各杆角速度的转向。v A ⊥ AC
D 30º
P1
ωAB
B
vB
C
vC
ωBC
P2
速度小结
速度分析
1、基点法 vvB = vvA + vvBA
vBA = AB ⋅ ω
2、速度投影法
[vvB
] AB
=
[vvA
] AB
3、速度瞬心法
vB = ω ⋅ BP
基点法:即可求速度,也能求角速度,但计算烦琐。
速度投影法:求速度方便,但不能求角速度。 速度瞬心法:求速度和角速度方便,应为首选。
解:连杆AB作平面运动,瞬心在P1点,则
ω AB
=
vA AP1
=
rω =
AB cos 30°
2
3rω
3l
vB = BP1 ⋅ωAB = AB sin 30° ⋅ωAB
= 3 rω