4.平行线分线段成比例.详解

相交的平行直线a、b、c.分别度量l1，l2被直线a、b、 A1 B1 AB 与 c截得的线段AB，BC，A1B1，B1C1的长度. B1C1 BC 相等吗？任意平移直线c，再度量AB，BC，A1B1，B1C1 AB AB 与 1 1 还相等吗？ 的长度， B1C1 BC
AB BC
=
A1 B1 B1C1
AD AE DB EC
如图，过点A作直线MN，使MN∥DE.
∵ DE∥BC ， ∴ MN∥DE∥BC. 因此AB，AC被一组平行线MN，DE，BC 所截， 则由平行线分线段成比例可知， AD AE AD AE AB AC DB EC DB EC DB EC ， . 同时还可以得到 AD AE AB AC
由于 AD DB
1 1 ， AB BE EF FC BC . 2 3
因此 AD DB BE EF FC .
由于a∥d∥b∥e∥f∥c， 因此 A1D1=D1B1 =B1E1 =E1F1 = F1C1.
A1 B1 2 A1 D1 2 . 从而 B1C1 3 B1 E1 3B D NhomakorabeaA
4
E F
2
C
图1 12
8
解 因为 DE // BC, 所以 AD AE 4 2 1 . AB AC 6 3 AD CF 因为 DF // AC , 所以 . AB CB
2
2 CF 16 16 8 由12式得 , 即CF .所以 BF 8 . 3 8 3 3 3
观察 下图是一架梯子的示意图.由生活常识可以知
道：AA1，BB1，CC1，DD1互相平行，且若AB=BC， 则A1B1=B1C1.由此可以猜测：若两条直线被一组平 行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.这个猜测是 真的吗？
平行线等分线段定理:
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得 的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等. 已知：如图，直线 l1∥l2∥l3 AB=BC
F
C1
平行线等分线段定理:
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得 的线段相等， 那么在另一条直线上截得的线段也相等.
符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
l1 l2 l3
A B C
A1
？B1 ？C1
∴ A1B1=B1C1
动脑筋
如图，任意画两条直线l1，l2 ，再画三条与l1，l2
AB EF 左上 右上 ( ) BD FH 左下 右下
BD FH 左下 右下 ( ) AB EF 左上 右上
b E F H
l1 l2
l3
A B
D
1.如右图，已知L1//L2//L3，下列比例式中错误的是：（D）
AC BD B. AC BD C. CE DF D. A. AE BD A. B. C. D. CE DF AE BF AE BF BF AC
例 3 如图1 13, ABC 中, DE // BC , EF // CD . 求证 :
F
A
AD是AB和AF的比例中项 . D 证明 在ABC中, B DE // BC, 图1 13 AB AC AD AE AD AC 在ADC 中, EF // CD, AF AE AB AD . AD 2 AB AF . AD AF
AB A1 B1 解 ∵AA ∥BB ∥CC ，∴ 1 1 1 BC B1C1
2 1.5 即 ， 3 B1C1
2
3
1.5
3 1.5 因此 B1C1 2.25. 2
练习1.
已知：EG//BC ，GF//CD,
求证： AE
AF AB AD
例 2 如图1 12, ABC 中, DE // BC , DF // AC , AE 4, EC 2, BC 8.求 BF 和 CF 的长.
平行线分线段成比例定理推论:
A
D E E D A
表达式： ∵DE∥BC， AD AE ∴ = . AB AC
B
C
B
C
“A”字图形
“8”字图形
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线），所得的对应线段成比例.
这是今后最常用的两个基本图形.
例 如图，已知AA1∥BB1∥CC1，AB = 2， BC = 3， A1B1= 1.5，求 B1C1 的长.
求证： A1B1=B1C1 证明：过B1作EF∥AC，分别交l1、l3于 点E、F
l1 l2 l3
A B
A1 B1
3 1 2 4
E
C
∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ ABB1E和□ BCFB1 ∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC ∴EB1=B1F 又∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△A1B1E≌△C1B1F ∴A1B1=B1C1
我们还可以得到：
BC B1C1 AB A1 B1 BC B1C1 . ， AB A1 B1 AC A1C1 ， AC A1C1
结论
平行线分线段成比例定理：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
说明： “对应线段成比例”，注意“对应”两字. 强化“对应”两字的理解和记忆，如图
a
A C B D L1 L2
E
F
L3
2.如右图，已知L1//L2//L3，下列比例式中成立的是（ D） A.
AD CE DF BC
B.
AD BC BE AF
C.
CE AD DF BC
D.
AF BE DF CE
E
A
B
L1
C
D
L2
F L3
动脑筋
如图，在△ABC 中，已知DE∥BC，则
AD AE 和 AB AC 成立吗？为什么？
下面我们来证明：
AB 2 假设 ，则把线段 AB 二等分，分点为D，过点D BC 3
作直线d∥a，交l2于点D1，如下图:
把线段BC三等分，三等分点为E，F，分别过点E，F
作直线e∥a，f∥a，分别交l2于点E1，F1.
由已知 AB 2 ， 得 1 AB 1 BC. 2 3 BC 3
类似地，可以证明：直线a∥b∥c，直线 l1，l2 被 直线a、b、c截得的线段分别为AB，BC 和A1B1 ，B1C1， AB m 若 （其中m，n是正整数），则 A1 B1 m . BC n B1C1 n
AB 进一步可以证明，若 k（其中k为无理数），则 BC A1 B1 k. B1C1 AB A1 B1 . 从而 BC B1C1