全等三角形、直角三角形、等边三角形、轴对称---新思维

三角形综合
一．选择题
1．如图1，△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABE ，DE ⊥BC ，如果BC=10cm ，则△DEC 的周长是（ ）
A
．
8cm
B ．
10cm
C ．
11cm
D ．
12cm
图1 图3 图4 图5
2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（ ）
A ．
甲
B ．
乙
C ．
丙
D ．
乙与丙
3．如图3，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（ ） A ．
1
B ．
2
C ．
3
D ．
4
4．如图4，在△ABC 中，BC=AC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，垂足为E ．则结论：①AD=BF ；②CF=CD ；③AC+CD=AB ；④BE=CF ；⑤BF=2BE ；其中正确结论的个数是（ ） A ．
1
B ．
2
C ．
3
D ．
4
5．如图5，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD=CD ；②AD+CF=BD ；③CE=BF ；④AE=BG ．其中正确的是（ ） A ．
①②
B ．
①③
C ．
①②③
D ．
①②③④
6．如图，在△ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点I ，若∠B=35°，BC=AI+AC ，则∠BAC 的度数为（ ）
A ．60°B
．
70°C
．
80°D
．
90°
7．如图7，在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩
下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（
）
A
．
10 B
．
C
．
10或D
．
10或
图7 图8 图10 图11
8．如图8，2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b ，那么（a+b）2的值为（）A
．
13 B
．
19 C
．
25 D
．
169
9．在锐角三角形ABC中，a=1，b=3，那么第三边c的变化范围是（）
A
．
2＜c＜4 B
．
2＜c＜3 C
．
2＜c＜D
．
2＜c＜
10．如图10，△ABC及△CDE均为等边三角形，B、C、E、在同一直线上．AE与BD相交于O，则下列结论：①△ACE≌△BCD；②∠AOB=∠ACB；③AC∥DE；④OC平分∠ACD中正确的有（）
A
．
①②③④B
．
①②④C
．
①②③D
．
①③④
11．如图11，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（）
A
．
4 B
．
5 C
．
6 D
．
8
12．如图12，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）
A
．
B ．
C ．
D ．
不能确定
图12 图13
13．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2
+y 2
=49，②x ﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ） A ．
①②
B ．
①②③
C ．
①②④
D ．
①②③④
14．如图14，勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的面积为（
）
A ．
90
B ．
100
C ．
110
D ．
121
图14 图15 图16
15．如图，四边形ABCD 中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN+∠ANM 的度数为（ ） A ．
130°
B ．
120°
C ．
110°
D ．
100°
16．在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点分别为A （1，1）、B （1，﹣1）、C （﹣1，﹣1）、D （﹣1，1），y 轴上有一点P （0，2）．作点P 关于点A 的对称点P 1，作P 1关于点B 的对称点P 2，作点P 2关于点C 的对称点P 3，作P 3关于点D 的对称点P 4，作点P 4关于点A 的对称点P 5，作P 5关于点B 的对称点P 6┅，按如此操作下去，则点P 2011的坐标为（ ）
A ．（0，2）B
．
（2，0）C
．
（0，﹣2）D
．
（﹣2，0）
二．填空题
1．如图图2-1，△ABC与△AEF中，AB=AE，BC=EF，∠B=∠E，AB交EF于D．给出下列结论：
①∠AFC=∠C；②DE=CF；③△ADE∽△FDB；④∠BFD=∠CAF；其中正确的结论是_________ ．
图2-1 图2-2
2．如图，△ABC中，∠A=60°，AB＞AC，两内角的平分线CD、BE交于点O，
OF平分∠
BOC交
BC
于F，（1）∠BOC=120°；（2）连AO，则AO平分∠BAC；（3）A、O、F三点在同一直线上，（4）OD=OE，（5）BD+CE=BC．其中正确的结论是_________ （填序号）．
3．如图2-3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF=5cm，则AE= _________ cm．
图2-3 图2-4 图2-5 图2-6
4．如图2-4，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为_________ 度．
5．如图2-5，将△OAB绕点O按逆时针方面旋转至△0A′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB=4cm，BB′=1cm，则A′B长是_________ cm．
6．如图2-6所示，两块完全相同的含30°角的直角三角板叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：①AF 丄BC；②△ADG≌△ACF；③O为BC的中点；④AG：DE=：4，其中正确结论的序号是_________ ．（错填得0分，少填酌情给分）．
7．如图2-7，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB=2，AC=4，则AD的取值范围是_________ ．
图2-7 图2-10 图2-11 图2-13 图2-14 8．已知△ABC中，AC边上的高BE与BC边上的高AD交于点H，且BH=AC，则∠ABC= _________ ．
9.用直角边分别为3和4的两个直角三角形拼成凸四边形，所得的四边形的周长是_________ ．
10．如图2-10，P是正△ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′= _________ ，∠APB= _________ 度．
11．如图2-11，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，若四边形ABCD的面积为24cm2，则AC长是_________ cm．
12．在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，过点C作直线l∥AB，F是l上的一点，且AB=AF，则点F到直线BC 的距离为_________ ．
13．如图2-13，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN的长是_________ ．14．如图2-14，网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点在格点上，则△ABC中AB边上的高为
_________ ．
15．如图2-15，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是_________ ．
图2-15 图2-16 图2-17
16．如图2-16，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则的值为_________ ．
17．如图2-17，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________ ．
18．如图2-18，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是_________ ．
图2-18 图2-19 图2-20 图2-22
19．如图2-19，四边形ABCD中，AB=3，BC=4，∠B=∠C=120°，CD=5，则四边形ABCD的面积为_________ ．20．如图2-20，等边三角形ABC的边长为2cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为_________ cm．
21．已知∠AOB=45°，其内部一点P，OP=10，在∠AOB的边OA、OB上分别有点Q、R（P、Q、R三点不在同一直线上，Q、R不同于点O），则△PQR周长的最小值为_________ ．
22．如图2-22，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是_________ ．
三．解答题
1．将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆放成如下图的形式，使点B、F、C、D在同一条直线上．（1）求证：AB⊥ED；（2）若PB=BC，请找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并给予证明．
2．如图1，小明将一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2）量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°再将这两张三角形纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）．
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮忙解决．
（1）将图3中的△ABC沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
（2）将图3中的△ABC绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于G，若DG=kEG，求k的值；（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH．
3．复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”
（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．
4．已知：如图AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD．
27．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．
5．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．
6．小明学了勾股定理后很高兴，兴冲冲的回家告诉了爸爸：在△ABC中，若∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，如下图，根据勾股定理，则a2+b2=c2．爸爸笑眯眯地听完后说：很好，你又掌握了一样知识，现在考考你，若不是直角三角形，那勾股定理还成不成立？若成立，请说明理由；若不成立，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．〔下图备用）
7．请选择一个图形来证明勾股定理．（可以自己选用其他图形进行证明）
8．如图所示，在△ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长．
9．有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m，8m．现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．（图2，图3备用）
10．A，B，C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，如图，AB=2km，BC=3km，在B村的正北方向有一个D村，测得∠ADC=45°．今将△ACD区域规划为开发区，除其中4km2的水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少？
11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠CAB=90°，P是△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=．请利用旋转的方法求：∠CPA的大小．
全等三角形与直角三角形（一）---新思维
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABE，DE⊥BC，如果BC=10cm，则△DEC的周长是（）
A ．8cm B
．
10cm C
．
11cm D
．
12cm
考点：角平分线的
性质．
分析：根据角平分
线的性质，得
AD=DE，利用
HL判定BAD≌
△BED，得出
AB=BE，进而
得出
BC=DE+DC+EC
=10．
解答：解：∵BD平分
∠ABE，DE⊥
BC，DA⊥AB
∴AD=DE
又∵BD=BD
∴△BAD≌△
BED（HL）
BC=BE+EC=AC
+EC=AD+DC+E
C=DE+DC+EC=
10cm
∴△DEC 的周
长是10cm
，
故选B ．
点评： 本题主要考
查了角平分
线的性质、全
等三角形的
判定及其性
质等知识．要
通过全等把
相等的线段
转到转到一
个三角形中．
2．如图，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是（
）
A ． 甲
B ． 乙
C ． 丙
D ．
乙与丙
考点： 全等三角形
的判定．
分析： 首先观察图
形，然后根据
SAS），即可求
得答案．
解答：解：如图：
在△ABC和△
MNK中，
，
∴△ABC≌△
MNK（AAS）；
在△ABC和△
HIG中，
，
∴△ABC≌△
HIG（SAS）．
∴甲、乙、丙
三个三角形
中和△ABC全
等的图形是：
乙或丙．
故选D．
点评：此题考查了
全等三角形
的判定．此题
定两个三角
形全等的一
般方法有：
SSS 、SAS 、
ASA 、AAS 、
HL ．注意数形
结合思想的
应用．
3
．（2007•芜湖）如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（ ）
A
．
1 B ．
2 C ．
3 D ． 4
考点： 直角三角形
全等的判定；
全等三角形
的性质． 分析： 本题可先根
据AAS 判定△
AEH ≌△CEB ，
可得出
AE=CE ，从而
得出CH=CE ﹣
解答：解：在△ABC
中，AD⊥BC，
CE⊥AB，
∴∠AEH=∠
ADB=90°；
∵∠EAH+∠
AHE=90°，∠
DHC+∠
BCH=90°，
∵∠EHA=∠
DHC（对顶角
相等），
∴∠EAH=∠
DCH（等量代
换）；
∵在△BCE和
△HAE中
，
∴△AEH≌△
CEB（AAS）；
∴AE=CE；
∵EH=EB=3，
AE=4，
∴CH=CE﹣
EH=AE﹣EH=4
﹣3=1．
故选A．
点评：本题考查三
角形全等的
定两个三角
形全等的一
般方法有：
SSS 、SAS 、
ASA ，AAS 、HL ，
要熟练掌握
并灵活应用
这些方法．
4．如图，在△ABC
中，BC=AC ，∠ACB=90°，AD 平分∠BAC ，BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ，垂足为E ．则结论：①AD=BF ；②CF=CD ；③AC+CD=AB ；④BE=CF ；⑤BF=2BE
其中正确结论的个数是（ ）
A
．
1 B ．
2 C ．
3 D ． 4
考点： 线段垂直平
分线的性质；
全等三角形
的判定与性
质． 专题：
探究型． 分析： ①根据
BC=AC ，∠
ACB=90°可
知∠CAB=∠
ABC=45°，再
由AD 平分∠
EAF=22.5°，在Rt△ACD与Rt△BFC中，∠EAF+∠
F=90°，∠FBC+∠
F=90°，可求出∠EAF=∠FBC，由BC=AC 可求出Rt△ADC≌Rt△BFC，故可求出AD=BF；
②由①中Rt △ADC≌Rt△BFC可直接得出结论；
③由①中Rt △ADC≌Rt△BFC可知，CF=CD，故AC+CD=AC+CF =AF，∠CBF=∠
EAF=22.5°，在Rt△AEF 中，∠F=90°﹣∠
EAF=67.5°，根据∠
ABF=180°﹣
∠EAF﹣∠
CAB=67.5°，
即可求出
AF=AB，即
AC+CD=AB；
④由③可知，
△ABF是等腰
三角形，由于
BE⊥AD，故
BE=BF，在
Rt△BCF中，
若BE=CF，则
∠CBF=30°，
与②中∠
CBF=22.5°
相矛盾，故BE
≠CF；
⑤由③可知，
△ABF是等腰
三角形，由于
BE⊥AD，根据
等腰三角形
三线合一的
性质即可解
答．
解答：解：①∵
BC=AC，∠
ACB=90°，
∴∠CAB=∠
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAE=∠EAF=22.5°，∵在Rt△ACD 与Rt△BFC 中，∠EAF+∠F=90°，∠FBC+∠
F=90°，
∴∠EAF=∠FBC，
∵BC=AC，∠EAF=∠FBC，∠BCF=∠AEF，
∴Rt△ADC≌Rt△BFC，
∴AD=BF；
故①正确；
②∵①中Rt △ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，
故②正确；
③∵①中Rt △ADC≌Rt△BFC，
∴CF=CD，AC+CD=AC+CF =AF，
EAF=22.5°，∴在Rt△AEF 中，∠F=90°﹣∠
EAF=67.5°，∵∠
CAB=45°，
∴∠
ABF=180°﹣∠F﹣∠
CAB=180°﹣67.5°﹣45°
=67.5°，
∴AF=AB，即AC+CD=AB，
故③正确；
④由③可知，△ABF是等腰三角形，
∵BE⊥AD，
∴BE=BF，∵在Rt△BCF 中，若BE=CF，则∠
CBF=30°，与②中∠
CBF=22.5°
相矛盾，
故BE≠CF，故④错误；
△ABF 是等腰
三角形，
∵BE ⊥AD ，
∴BF=2BE ，
故⑤正确．
所以①②③
⑤四项正确．
故选D ．
点评： 本题考查的
是线段垂直
平分线的性
质及等腰三
角形的判定
与性质，熟知
线段垂直平
分线的性质及等腰三角
形的判定与
性质是解答
此题的关键．
5．如图，△ABC 中，∠ABC=45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD=CD ；②AD+CF=BD ；③CE=BF ；④AE=BG ．其中正确的是（ ）
A
．
①② B ． ①③ C ． ①②③ D ． ①②③④
考点： 全等三角形
质；等腰三角
形的判定与
性质；等腰直
角三角形．
分析：根据∠
ABC=45°，CD
⊥AB可得出
BD=CD，利用
AAS判定Rt△
DFB≌Rt△
DAC，从而得
出DF=AD，
BF=AC．则
CD=CF+AD，即
AD+CF=BD；再
利用AAS判定
Rt△BEA≌Rt
△BEC，得出
CE=AE=AC，
又因为BF=AC
所以
CE=AC=BF
，
连接CG．因为
△BCD是等腰
直角三角形，
即BD=CD．又
因为DH⊥BC，
那么DH垂直
平分BC．即
边，CE是直角
边，所以CE
＜CG．即AE
＜BG．
解答：解：∵CD⊥
AB，∠
ABC=45°，
∴△BCD是等
腰直角三角
形．
∴BD=CD．故
①正确；
在Rt△DFB和
Rt△DAC中，
∵∠
DBF=90°﹣
∠BFD，∠
DCA=90°﹣
∠EFC，且∠
BFD=∠EFC，
∴∠DBF=∠
DCA．
又∵∠BDF=
∠CDA=90°，
BD=CD，
∴△DFB≌△
DAC．
∴BF=AC；
DF=AD．
∵CD=CF+DF，
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
又∵BE=BE，∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴
CE=AE=AC．又由（1），知BF=AC，
∴
CE=AC=BF ；故③正确；连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD
又DH⊥BC，
BG=CG
在Rt△CEG
中，
∵CG是斜边，
CE是直角边，
∴CE＜CG．
∵CE=AE，
∴AE＜BG．故
④错误．
故选C．
点评：本题考查三
角形全等的
判定方法，判
定两个三角
形全等的一
般方法有：
SSS、SAS、
SSA、HL．在
复杂的图形
中有45°的
角，有垂直，
往往要用到
等腰直角三
角形，要注意
掌握并应用
此点．
6．如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点I，若∠B=35°，BC=AI+AC，则∠BAC的度数为（）
．．．．
考点：三角形内角
和定理；角平
分线的定义；
三角形的外
角性质；等腰
三角形的判
定与性质．
专题：推理填空题．
分析：方法一：在BC
上取CD=AC，
连接BI、DI，
然后利用边
角边证明△
ACI与△DCI
全等，根据全
等三角形对
应边相等可
得AI=DI，对
应角相等可
得∠CAI=∠
CDI，再根据
BC=AI+AC求
出AI=BD，从
而可得
BD=DI，然后
根据等角对
等边的性质
以及三角形
的任意一个
和可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；方法二：延长CA到D，使AD=AI，根据等边对等角可得∠D=∠AID，根据BC=AI+AC可得BC=CD，然后利用边角边证明△BCI 与△DCI全等，根据全等三角形对应角相等可得∠D=∠CBI，再根据叫平分线的定义以及三角形的任意一个
和可得∠
CAI=2∠D=∠
ABC，又∠
BAC=2∠CAI，
代入数据进
行计算即可
求解．
解答：解：方法一：
如图1，在BC
上取CD=AC，
连接BI、DI，
∵CI平分∠
ACB，
∴∠ACI=∠
BCI，
在△ACI与△
DCI中，
，
∴△ACI≌△
DCI（SAS），
∴AI=DI，∠
CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠
BID，
又∵AI、CI
分别是∠BAC、∠ACB
的平分线，
∴BI是∠ABC 的平分线，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠
CDI=2∠ABC，∵∠B=35°，∴∠
BAC=35°×
2=70°；
方法二：如图2，延长CA到D，使AD=AI，∴∠D=∠AID，
∵BC=AI+AC，∴BC=CD，
在△BCI与△DCI中，
，
∴△BCI≌△DCI（SAS），∴∠D=∠CBI，
∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC 的平分线，∴∠ABC=2∠CBI，
又∵∠CAI=∠D+∠AID=2∠D，
∠BAC=2∠CAI=2∠ABC，∵∠B=35°，∴∠BAC=2×35°=70°．故选B．
点评： 本题考查了
三角形的内
角和定理，角
平分线的定
义，三角形的
一个外角等
于与它不相
邻的两个内
角的和的性
质，全等三角
形的判定与
性质，利用
“割补法”
作辅助线构造
全等三角形
以便于利用
条件
“BC=AI+AC ”
是解决本题
的关键，也是
难点．
7．（2012•安徽）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（ ） A
．
10 B ． C ． 10或 D ． 10或
考点： 图形的剪拼．
专题：压轴题．
分析：先根据题意
画出图形，再
根据勾股定
理求出斜边
上的中线，最
后即可求出
斜边的长．解答：解：①如图：
因为
CD=
=2，
点D是斜边
AB的中点，
所以
AB=2CD=4
，
②如图：
CE=
=5，
点E 是斜边
AB 的中点，
所以
AB=2CE=10，
原直角三角
形纸片的斜
边长是10或
，
故选C ．
点评： 此题考查了
图形的剪拼，
解题的关键
是能够根据
题意画出图
形，在解题时
要注意分两
种情况画图，
不要漏解．
1．（2003•山东）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a ，较长的直角边为b ，那么（a+b ）2
的值为（ ） A
．
13 B ． 19 C ． 25 D ． 169
分析：根据勾股定
理，知两条直
角边的平方
等于斜边的
平方，此题中
斜边的平方
即为大正方
形的面积13，
2ab即四个直
角三角形的
面积和，从而
不难求得
（a+b）2．
解答：解：（a+b）
2=a2+b2+2ab=
大正方形的
面积+四个直
角三角形的
面积和=13+
（13﹣1）
=25．
故选C．
点评：注意完全平
方公式的展
开：（a+b）
2=a2+b2+2ab，
还要注意图
形的面积和
a，b之间的关
系．
A ．2＜c＜4 B
．
2＜c＜3 C
．
2＜c＜D
．
2＜c＜
考点：三角形三边
关系．
分析：题中已知△
ABC是锐角三
角形，没有指
明哪个角是
最大角，从而
无法确定边
之间的关系，
从而可以分
两种情况进
行分析，从而
确定第三边c
的变化范围．解答：解：①∵当∠
C是最大角
时，有∠C＜
90°
∴c＜
∴c＜
②当∠B是最
大角时，有∠
B＜90°
∴b2＜a2+c2
∴9＜1+c2
∴c＞2
∴第三边c的
故选D ．
点评： 此题主要考
查学生对三
角形三边关
系的理解及
运用，关键是
确定最大角．
3．如图，△ABC 及△CDE 均为等边三角形，B 、C 、E 、在同一直线上．AE 与BD 相交于O ，则下列结论：①△ACE ≌△BCD ；②∠AOB=∠ACB ；③AC ∥DE ；④OC 平分∠ACD 中正确的有（ ）
A
．
①②③④ B ． ①②④ C ． ①②③ D ． ①③④
考点： 等边三角形
的性质；全等
三角形的判
定与性质． 分析： 根据等边三
角形性质得
出AC=BC ，
CE=CD ，∠
ACB=∠
DCE=60°，推
出∠BCD=∠
ACE ，利用SAS
①正确；
由△ACE≌△
BCD，得出∠
CAE=∠CBD，
又根据三角
形外角的性
质有∠AOB=
∠CBD+∠
AEC，∠ACB=
∠CAE+∠
AEC，判断②
正确；
由等边三角
形的性质得
出∠ACB=∠
DEC=60°，根
据平行线的
判定定理判
断③正确；
先证明∠
MOC=∠NOC，
再证明∠OMC
≠∠ONC，然
后根据三角
形内角和定
理证明∠MCO
≠∠NCO，判
断④错误．解答：解：①∵△
ABC和△DCE
角形，
∴AC=BC，
CE=CD，∠ACB=∠
DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+
∠ACD，
即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
①正确；
②∵△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD，
又∵∠AOB=
∠CBD+∠AEC，∠ACB=∠CAE+∠AEC，
∴∠AOB=∠ACB，②正确；
③∵△ABC和△DCE均是等
∴∠ACB=∠DEC=60°，∴AC∥DE，③正确；
④设AC与BD 交于点M，AE 与CD交于点N．
由②可知，∠AOB=∠
ACB=60°，∴∠
MON=120°．由①△ACE≌△BCD，可得∠CAE=∠CBD，即∠MAO=∠MBC，又∵∠AMO=∠BMC，
∴△AMO∽△BMC，
∴=，∵∠AMB=∠OMC，
∴△AMB∽△OMC，
∴∠MAB=∠MOC=60°，∴∠NOC=∠MON﹣∠
∵∠OMC=∠OBC+∠BCA=∠EAC+60°，∠ONC=∠OEC+∠NCE=∠AEC+60°，在△ACE中，∵AC≠CE，∴∠EAC≠∠AEC，
∴∠OMC≠∠ONC，
∵∠
MCO=180°﹣∠MOC﹣∠OMC=180°﹣60°﹣∠OMC=120°﹣∠OMC，
∠NCO=180°﹣∠NOC﹣∠ONC=180°﹣60°﹣∠ONC=120°﹣∠ONC，
∴∠MCO≠∠NCO，即OC不平分∠ACD，④错误．
故选C．
点评：本题考查了
全等三角形
的性质和判
定，等边三角
形的性质，平
行线的判定，
三角形的内
角和定理及
外角的性质，
相似三角形
的性质与判
定，题目具有
一定的代表
性，有一定的
难度．当题中
出现两个等
边三角形时，
常见的两对
三角形对应
全等等知识
点应牢固掌
握．得到其中
的三角形相
似并且利用
相似的性质
是本题的难
点．
4．如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是（）
A ．4 B
．
5 C
．
6 D
．
8
考点：旋转的性质；
全等三角形
的判定与性
质；等边三角
形的判定与
性质．
专题：压轴题．
分析：根据∠COP=
∠A+∠APO=
∠POD+∠
COD，可得∠
APO=∠COD，
进而可以证
明△APO≌△
COD，进而可
以证明
AP=CO，即可
解题．
解答：解：∵∠COP=
∠A+∠APO=
∠POD+∠
COD，∠A=∠
POD=60°，
∴∠APO=∠
COD．
在△APO和△
COD中，
，
∴△APO≌△
COD（AAS），
∴AP=CO，
∵CO=AC﹣
AO=6，
∴AP=6．
故选C．
点评：本题考查了
等边三角形
各内角为
60°的性质，
全等三角形
的证明和全
等三角形对
应边相等的
性质，本题中
求证△APO≌
△COD是解题
的关键．
5．（2010•随州）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）
A ．B
．
C
．
D
．
不能确定
考点：等边三角形
的性质；平行
线的性质；全
等三角形的
判定与性质．
专题：计算题；压轴
题．
分析：过P作BC的
平行线，交AC
于M；则△APM
也是等边三
角形，在等边
三角形APM
中，PE是AM
上的高，根据
等边三角形
三线合一的
性质知
AE=EM；易证
得△PMD≌△
QCD，则
DM=CD；此时
发现DE的长
正好是AC的
一半，由此得
解．
解答：解：过P作PM
∥BC，交AC
于M；
∵△ABC是等
边三角形，且
PM∥BC，
∴△APM是等
边三角形；
又∵PE⊥AM，
∴
AE=EM=AM；
（等边三角
形三线合一）
∵PM∥CQ，
∴∠PMD=∠
QCD，∠MPD=
∠Q；
又∵
PA=PM=CQ，
在△PMD和△
QCD中
∴△PMD≌△
QCD（AAS）；
∴
CD=DM=CM；
∴
DE=DM+ME=
=AC=，故
选B ．
点评： 此题考查了
平行线的性
质、等边三角
形的性质、全
等三角形的
判定和性质；
能够正确的
构建出等边
三角形△APM
是解答此题
的关键．
6．（2010•河池）如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直角边（x ＞y ），下列四个说法：①x 2+y 2
=49，②x ﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．其中说法正确的是（ ） A
．
①② B ． ①②③ C ． ①②④ D ． ①②③④
考点：
勾股定理． 专题：
压轴题． 分析： 大正方形的
显然，利用勾
股定理可得
①x2+y2=49；
小正方形的
面积是4，则
其边长是2，
根据图可发
现y+2=x，即
②x﹣y=2；
还可以得出
四个三角形
的面积+小正
方形的面积=
大正方形的
面积，即4×
xy+4=49，化
简得③
2xy+4=49；
其中④
x+y=，故
不成立．
解答：解：①大正方
形的面积是
49，则其边长
是7，显然，
利用勾股定
理可得
x2+y2=49，故
选项①正确；
②小正方形
2，根据图可
发现y+2=x，
即x﹣y=2，故
选项②正确；
③根据图形
可得四个三
角形的面积+
小正方形的
面积=大正方
形的面积，即
4×
xy+4=49，化
简得
2xy+4=49，故
选项③正确；
④
，则
x+y=，故
此选项不正
确．
故选B．
点评：本题利用了
勾股定理、面
积分割法等
知识．
7．（2012•宁波）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由
图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ 的面积为（）
A ．90 B
．
100 C
．
110 D
．
121
考点：勾股定理的
证明．
专题：常规题型．
分析：延长AB交KF
于点O，延长
AC交GM于点
P，可得四边
形AOLP是正
方形，然后求
出正方形的
边长，再求出
矩形KLMJ的
长与宽，然后
根据矩形的
面积公式列
式计算即可
得解．
解答：解：如图，延
长AB交KF于
点O，延长AC
交GM于点P，
所以四边形。