高中数学易错题整理

笔记一 集合与常用逻辑用语
易错点1 集合中元素的特征认识不明 例1.已知集合{
}
{}
232>=+-=
=x x N x x y x M ，，则N M I =（ ）
A.{}2>x x
B. {}2-<x x
C.{}32<<x x
D.{}
32≤<x x 错因分析：容易把集合M 看成函数的值域，得到),0[+∞=M ，从而出现求解错误. 正确解答：集合M M 势函数{}
x x y x M 32+-==的定义域，即x 满足032
≥+-x x ，解得30≤≤x ，即]3,0[=M ；集合N
N 是不等式2>x 的解集，即
),2()2,(+∞--∞=Y N ，所以]3,2（=N M I .故选D.
陷阱：
①集合{}
)(x f y x =表示函数的定义域； ②集合{}
)(x f y y =表示函数的值域； ③集合{}
)(),(x f y y x =表示函数图像上的点.
易错点2 遗忘空集
例2.设{}{}
12111-≤≤-=≤≤-=a x a x B x x A ，，若A B ⊆A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）
A.1≤a
B.1<a
C.10≤≤a
D.10<<a
错因分析：本题在解决A B ⊆的问题时，一定要分Φ=B 和Φ≠B 两种情况进行讨论. 正确解答：当Φ=B 时，121->-a a ，即0<a ，符合题意；
当Φ≠B 时，⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥--≤-112111
21a a a a ，解得10≤≤a
综上，当1≤a 时，A B ⊆.故选A. 易错点3 忽视不等式解集的端点值
例3.设{}{}
211<<=≥==x x B x x A R U ，，，=B C A U I （ ）
A.)2,1[
B.{}
),2[1+∞Y C.)2,1( D.),2[+∞
错因分析：进行稽核的交集运算时，遗漏了“1”这个端点值.
正确解答：因为{}21<<=x x B ，所以)2][1-∞+∞=，，（B C U ，又{}
1≥=x x A ，所以{}),2[1+∞=Y I B C A U
易错点4 充分、必要条件顺序颠倒
例4.已知b a ，是实数，则“11>>b a ，”是“2>+b a 且1>ab ”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 错因分析：p 是q 的充分条件表示为q p ⇒，p 是q 的必要条件表示为q p ⇐.解题时最容易出错的地方就是颠倒充分性与必要性的顺序，所以在解决这类问题时，一定要根据充分、必要的概念作出准确的判断.
正确解答：由不等式的性质知，当11>>b a ，时，有2>+b a 且1>ab 成立；反过来，令
61==b a ，，则2>+b a 且1>ab ，但“11>>b a ，”不成立.故“11>>b a ，”是
“2>+b a 且1>ab ”的充分不必要条件.
方法提炼：解充分、必要条件的判断转化为3种常用解题方法：
1.定义法：将充分、必要条件的判断转化为两个命题：“若p 则q ”与“若q 则p ”.根据两个命题是否正确，来确定p 与q 之间的充要关系.
2.等价转化法：根据互为逆否命题的两个命题的真假性相同，要判断p 是q 的什么条件，可间接第转化为判断q ⌝是p ⌝的什么条件.
3.集合法：利用满足两个命题的参数取值集合之间的关系来判断命题间的充分、必要关系，主要用于两个相似命题难以进行区分或判断时.
易错点5 “或”“且”“非”理解不准确
例5.设原命题：“已知d c b a ，，，是实数，若d c b a ==，，则d b c a +=+”，则它的逆否命题是（ ）
A.已知d c b a ，，，是实数，若d b c a +≠+，则d c b a ≠≠且
B.已知d c b a ，，，是实数，若d b c a +≠+，则d c b a ≠≠或
C.若d b c a +≠+，则d c b a ，，，不是实数且d c b a ≠≠，
D.以上全不对
错因分析：没有分清“且”的否定是“或”，“或”的否定是且.
正确解答：逆否命题是“已知d c b a ，，，是实数，若d b c a +≠+，则d c b a ≠≠或.故选B ”.
易错点6 对含有量词的命题的否定不当
例6.命题“对任意的012
3≤+-∈x x R x ，”的否定是（ ）
A.不存在012
0300≤+-∈x x R x ， B.存在存在012
0300≤+-∈x x R x ， C.存在012
0300>+-∈x x R x ，
D.对任意的012
3≤+-∈x x R x ，
错因分析：对全称命题的否定，在否定结论时，容易忽视否定全称量词.特别要注意的是，由于有的命题的全称量词往往可以省略不写，从而进行命题否定时，易只否定结论，而不否定被省略的全称量词.
正确解答：对命题进行否定时，“任意”换成“存在”，“≤”换成“>”即可.故选C
笔记二 函数与导数
易错点1 求函数定义域时忽略细节
例1.若0622
2
=+-y x x ，则2
2
2y x x ++的最大值是 . 错因分析：考生在解题过程容易忽视x 的取值范围，从而出现错误结果.
正确解答：因为0622
2
=+-y x x ，所以16)4(622
2
2
+--=+-=x x x y ，又因为
06222≥+-=x x y ，所以30≤≤x ，所以当3=x 时，所求式子的取得最大值15.故填15.
易错点2 判断函数单调性时忽视定义域
例2.函数)65(log 22
1+-=x x y 的单调区间为（ ）
A.)25(∞+，
B.)3(∞+，
C.)2
5(，-∞ D.)2(，-∞ 错因分析：因为函数u y 2
1log =为减函数，故只需找函数652
+-=x x u 的单调递减区间，
所以选C.该解法没有考虑函数的定义域，从而导致函数的单调区间范围扩大.
正确解答：由定义域为),3()2,(+∞-∞Y ，排除A ，C ，因为函数u y 2
1log =为减函数，故只
需找函数652
+-=x x u 的单调递减区间，故函数)65(log 22
1+-=x x y 的单调递减区间为
)2,(-∞.故选D.
易错点3 判断函数奇偶性时忽视定义域的对称性 例9.判断函数x
x
x x f -+-=11)
1()(的奇偶性. 错因分析：因为)()(x f x f =-，所以得出函数)(x f 是偶函数.此解法忽视了对函数定义域的讨论. 正确解答：由011≥-+x
x
得函数定义域为)1,1[-，关于原点不对称，故函数)(x f 为非奇非偶函数.
误区：判断函数奇偶性时忽视定义域的对称性，所以在判定函数奇偶性之前务必先观察函数的定义域分类讨论，如例9，另外有些函数要根据定义域分类讨论、化简后才能判断.
易错点4 错误利用零点存在性定理 例4.试判断函数⎩⎨
⎧+-=x x x f ln 11)()
1()
1(≥<x x 在区间)2,0(内是否有零点？
错因分析：本题考生易由02ln 1)2(,010)0(>+=<-=f f 得出函数)(x f )(x f 在)2,0(内存在零点的错误结论.产生错误的原因是分段函数)(x f 在1=x 处是“断开”的，其图象在)2,0(内不是连续不断的一条曲线，错误利用了零点函数存在性定理.
正确解答：画出函数⎩⎨⎧+-=x x x f ln 11)()
1()
1(≥<x x 的图象如图所示，由图象知函数)(x f 在)
2,0(内不存在零点.
误区：利用零点存在性定理判断函数是否存在零点时，要注意零点存在性定理的使用条件：①其图象在区间],[b a 上连续不断的一条曲线；②满足0)()(<b f a f ，两者缺一不可，例10就是忽略了零点存在性定理的使用条件①. 易错点5 导数大集合意义不明确 例5.已知函数)0()(>+
=t x
t
x x f 和点)0,1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PN PM ，，切点分别为)()(2211y x N y x M ，，，.
（1）求证：21x x ，为关于的方程022
=-+t tx x 的两根； （2）设)(t g MM =，求函数)(t g 的表达式.
错因分析：本题易出现的错误：（1）不理解导数的几何意义，致使求错切线方程；（2）利用两点间的距离公式求)(t g 时，易在化简和利用（1）中结果整体带入时出错. 正确答案：（1）∵N M ，两点的横坐标分别为21x x ，，21)(x
t
x f -=' ∴切线PM 的方程为))(1()(121
11x x x t
x t x y --=+
-. 又∵切线PM 过点)0,1(P ，即0212
1=-+t tx x ①
同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得0222
2=-+t tx x ② 由①②可得21x x ，是方程022
=-+t tx x 的两根. （2）由（1）知t x x 2-21=+，t x x -=21 ∴22
2112
21)()()(x t x x t x x x MN t g --+
+-==
)
0(2020])1(1][4)[(22
2121221>+=-+-+=t t t x x t x x x x
易错点6 混淆导数与单调性的关系
例6.已知函数2)7215()14(3
)(223
+--+--=x m m x m x x f 在R 上是增函数，求实数m 的取值范围.
错误原因：研究函数的单调性与其导函数的关系时要注意)),((0)(b a x x f ∈>'是)(x f 在
),(b a ),(b a 内单调递增的充分不必要条件，实际上，可导函数)(x f 在),(b a 内为单调递增
（减）函数的充要条件是“对于任意),(b a x ∈有)0)((0)(≤'≥'x f x f 且)(x f '在),(b a 的任意子区间上都不恒为零”，否则极易出错，使得m 的取值范围为)4,2(
正确解答：7215)14(2)(2
2
--+--='m m x m x x f ，依题意，知)(x f '在R 上恒大于或等于0，所以0)86(42≤+-=∆m m ，解得42≤≤m .
易错点7 导数与极值关系运用不当
例7.已知函数)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x g ，其中)(x g 是R 上的奇函数，当1=x 时，
)(x g 取得极值2-.求函数)(x g 的单调区间和极大值.
错因分析：0)(0='x f 只是可导函数)(x f 在0x 处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足)(x f '在0x 两侧异号.处理好导数与极值的关系是避免错误的关键.
正确解答：∵)0()(2
3
≠+++=a d cx bx ax x g 是R 上的奇函数， ∴对任意R x ∈，)()(x g x g -=-，
即)()()()(3
2
3
d cx bx ax d x c x b x a +++-=+-+-+-
∴02
=+d bx 对任意R x ∈都成立， ∴0==d b
∴c ax x g cx ax x g +='+=2
3
3)(,)( 又当1=x 时，)(x g 取得极值2-
∴⎩⎨
⎧=+='-=+=03)1(2)1(c a g c a g 解得⎩⎨⎧-==3
1
c a
∴)1)(1(333)(,3)(2
3
+-=-='-=x x x x g x x x g
当),1()1,(+∞--∞∈Y x 时0)(>'x g 0)(>'x g ，故)(x g 在区间
),1[]1,(+∞--∞Y 上是增函数；
当)1,1(-∈x 时0)(<'x g ，故)(x g 在区间]1,1[-上是减函数. ∴当1-=x 时，)(x g 取得极大值2.
易错点8 忽视对参数进行讨论 例8.已知函数ax
e x
x x f --+=
11)( （1）设0>a ，讨论)(x f y =的单调性；
（2）若对任意)1,0(∈x 恒有1)(>x f ，求a 的取值范围.
错因分析：本题考生容易忽视对参数a 的讨论.比如在（1）中，确定导函数
ax
e x a ax x
f ---+='2
2)1(2)(的正负，关键是要确定a ax -+22的正负，而a -2的正负不确定就无法判定导函数ax
e x a ax x
f ---+='2
2)
1(2)(的正负，所以需分2,2,20>=<<a a a 三种情况讨论.
正确解答：函数)(x f 的定义域为),1()1,(+∞-∞Y ，导函数为ax
e x a ax x
f ---+=
'2
2)1(2)(. ①当20<<a 时，0)(>'x f 恒成立，故函数)(x f 在区间),1()1,(+∞-∞，为增函数.
②当2=a 时，0)(>'x f )10(≠≠x x ，，故函数)(x f 在区间),1()1,(+∞-∞，为增函数.
③当2>a 时，解0)(='x f 得a
a x 2
-±
=，
所以函数)(x f 在区间)2,(a a --
-∞，)12
，（a
a -，),1(+∞上为增函数，在)2,2(a a a a ---
)2
,2(a
a a a ---为减函数. （2）参数a 的变化范围和（1）不同，但由（1）知仍分三种情形讨论.
①当20≤<a 时，由（1）知)(x f 在区间)1,(-∞为增函数，故对于任意)1,0(∈x 恒有1)0()(=>f x f ，此时a 满足要求.
②当2>a 时，由（1）知)(x f 在区间)2
,2(a
a a a ---
内为减函数，故在区间)2,
0(a a -内任取一点，比如取a
a x 2
210-=就有)1,0(0∈x 且1)0()(0=<f x f ，此时a 不满足要求.
③当0≤a 时，对于任意)1,0(∈x 恒有11111)(>-+≥-+=-x
x
e x x x
f ax ，此时a 满足要求.
综上知，a 的取值范围为]2,(-∞
笔记三 三角函数
易错点1 忽视“隐含条件”
例1.设2
1cos sin 0=
+<<ααπα，，求αα2
2sin cos -的值. 错因分析：本题产生错误的原因是易忽略题干中的隐含条件“ααcos ,sin ”异号，而根据
ααααcos sin 21)sin (cos 2-=-得到ααsin cos -可取两个值的错误结论.
正确解答：∵2
1cos sin =
+αα ∴41)cos (sin 2
=+αα，4
3cos sin 2-=αα 又∵πα<<0
∴0cos ,0sin <>αα，∴0sin cos <-αα ∵4
7
431cos sin 21)sin (cos 2
=+
=-=-αααα ∴2
7sin cos -
=-αα ∴4
7)sin )(cos sin (cos sin cos 2
2-=+-=-αααααα
易错点2 忽视对字母的分类讨论 例2.设函数)()3
2sin()(R x b x a x f ∈++=π
的最大值为5，最小值为1-，求实数b a ，的
值.
错因分析：这里误认为)3
2sin(π
+
x a 的最大值为a ，最小值为a -，忽视了对字母a 取值的
分类讨论，从而得出错误的结果：2,3==b a
正确解答：由题设可知0≠a .当0>a 时，由题意得5=+b a ，且1-=+-b a ，解得
2,3==b a ；当0<a 时，有5=+-b a 且1-=+b a ，解得2,3=-=b a ，综上，
2,3==b a 或2,3=-=b a .
易错点3 忽视函数定义域的限制 例3.函数x
x
y 2
tan 1tan -=
的最小正周期为 .
错因分析：化简三角函数之前，忽略了函数的定义域，直接根据化简结果x y 2tan 2
1
=得出函数x x y 2
tan 1tan -=
的最下正周期为2
π
的错误结果. 正确解答：要使函数有意义，需满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
∈+≠∈±≠)
(2)(4
Z k k x Z k k x ππππ，化简函数得
x x x y 2tan 21tan 1tan 2
=-=
，画出)(2
42tan Z k k x k x x y ∈+≠±≠=π
πππ且，的图象.根据图象可得x x
y 2
tan 1tan -=的最小正周期为π.故填π.
易错点4 忽视正、余弦函数的有界性
例4.求函数)2)(cos 2(sin --=x x y 的最大值和最小值.
错因分析：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时忽略了正、余弦函数的有界性，该题容易出现的问题时令t x x =+cos sin 时，忽略了2≤t
正确解答：原函数可化为4)cos (sin 2cos sin ++-=x x x x y
令t x x =+cos sin )2(≤t ，则21cos sin 2-=t x x
∴2
3
)2(21422122+-=+--=t t t y ∵]2,2[-∈t ，且函数在]2,2[-上为减函数
∴当2=t ，即)(42Z k k x ∈+
=π
π时，2229
min -=
y
当2-=t ，即)(432Z k k x ∈-=ππ时，222
9
max +=y
易错点5 忽视复合函数的单调性
例5.求函数)6
cos(x y -=π
的单调递增区间
错因分析：令x z -=
6
π
，则z y cos =，由于x z -=
6
π
是减函数，所以z y cos =的单调递
增区间是复合函数)6
cos(x y -=π
的单调递减区间.该题容易出现的问题是x y cos =的单
调递增区间为]2,2[πππk k -)(Z k ∈，得出)6
cos(x y -=π
的单调递增区间为
ππππk x k 262≤-≤-，从而得出6
7262π
πππ+
-≤≤+-k x k )(Z k ∈的错误结果.这里忽视复合函数的单调性致错，这种错误常常出现，要引起注意. 正确解答：因为)6cos()6
cos(π
π-
=-=x x y ，所以)6
cos(π
-=x y 的单调递增区间即为
)6cos(x y -=π的单调递增区间，即ππ
ππk x k 262≤-≤-，解得
62652ππππ+
≤≤-k x k ，因此函数)6cos(x y -=π
的单调递增区间是]6
2,652[ππππ+-k k )(Z k ∈
陷阱：求解三角函数的单调区间时，应先将自变量的系数化为正数，否则容易出错.
易错点6 图象平移变换的方向与距离把握不准 例6.将函数)0)(4tan(>+=ωπ
ωx y )0)(4tan(>+=ωπ
ωx y 的图象向右平移个单位长度
后，与函数)0)(6
tan(>+
=ωπ
ωx y 的图象重合，则ω的最小值为 .
错因分析：在对图象进行平移或伸缩时，都是只针对x 本身而言的，平移只是在x 本身加上（或减去）某个值，伸缩只是给x 本身乘以某个值，与其他变量无关，本题我们容易在x ω上减去
6π，而正确的方法是在x 上减去6
π
正确解答：)6
tan(]4)6(tan[)4tan(6
π
ωππωπ
ωπ
+=+-=−−−−−→−+
=x x y x y 个单位
向右平移，因此
)(6
6
4
Z k k ∈+=
-
ππ
ωπ
π
，解得)(6-21Z k k ∈=
ω，又∵0>ω∴2
1min =ω 易错题7 三角恒等变换忽视角的范围
例7.在ABC ∆中，如果33cos 4sin 21
cos 2sin 4=+=+A B B A ，，则C ∠的大小是
（ ）
A.30°
B.150°
C.30°或150°
D.60°或120°
错因分析：造成错解的原因是对于三角形这个条件的忽视，此题若没有“在ABC ∆中”这个条件，则选修C 是正确的，但多了这个条件就有了限制，如从第一个等式
1cos 2sin 4=+B A 可得2
1cos <
B ，那么ο
60>∠B ，这样C ∠不可能超过120°，因此150°要舍去.
正确解答：对上面两式进行平方相加可得28)sin(416=+++B A ，所以2
1)sin(=
+B A ，所以ο
30=+B A 或ο
150=+B A ，所以C ∠大小事30°或150°，但从第一个等式
1cos 2sin 4=+B A 可得2
1cos <
B ，那么ο
60>∠B ，这样C ∠不可能超过120°，因此150°要舍去.因此C ∠的大小是30°.故选A.
易错点8 解三角形时忽视对解的讨论
例8.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且3,1==c a .
（1）若3
π=∠C ，求A ∠； （2）若6
π
=
∠A ，求b 的值.
错因分析：第（1）文易出现多解的错误，由已知条件求得2
1
sin sin ==
c C a A ，即可得出6
π
=
∠A 或6
5π
=
∠A ，没有考虑a c >；第（2）问易出现漏解的错误，由23sin sin ==
a A c C ，只得出3π=∠C ，漏了3
2π
=∠C 正确解答：（1）由正弦定理得
C c
A a sin sin = 所以21sin sin ==c C a A ，即6π=∠A 或6
5π
=∠A ， 又a c >
所以A C ∠>∠，故6
π
=
∠A
（2）由正弦定理得C
c
A a sin sin =
所以23sin sin ==a A c C ，所以3π=∠C 或3
2π
=∠C 当3
π=∠C 时，2
π
=
∠B ，可得2=b
当32π=
∠C 时，6
π
=∠B ，可得1=b 笔记四 平面向量
易错点1 忽视零向量的性质
例1.下列叙述错误的是 . ①若∥∥,，则∥；
②向量与向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得λ= ③0=+ ④若b a λλ=，则b a =
错因分析：对于两个共线的向量，它们的四个起点和终点不一定在同一条直线上，讨论共线向量的问题时常常忽略零向量而使得题目出错.
正确解答：对于①，若0=b ，则a 不一定与c 平行，故①错；
对于②，若向量0=a ，向量0≠b ，则不存在实数λ，使得a b λ=，故②错； 对于③，=+，故③错；
对于④，当0=λ时，λλ=，但与不一定相等，故④错.
故填①②③④.
易错点2 忽视平面向量基本定理的使用条件 例
2.已知
=====,,,，设R t ∈，如果
)(23t +===，，那么t 为何值时，E D C ,,三点在一条直线上？
错因分析：本题在用平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向量基本定理的使用条件，出现漏解的情况，即漏掉了b a ,共线时，参数t 可以取任意实数.
正确解答：由题意可得E D C t ,,,)3(,32+-=-=-=-=三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使CD k CE =，即k k t t 23)3(+-=+-，整理得
t k k k )2()33(-=+-，若b a ，
共线，则t 可为任意实数；若b a ，不共线，则有⎩⎨
⎧=-=+-0
2033t k k t ，解得56=t .综上可知，当共线，时t 可为任意实数；当不共线时56
=t . 易错点3 向量夹角范围不明确
例3.已知21e e 12==，且21e e 的夹角为60°，
设2172e e t +向量与向量21e t e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.
错因分析：考生在解答过程中，容易错误认为两向量的夹角为π时，所成的角也为钝角，导致所求的结果范围内扩大.
正确解答：若)180,90(ο
ο
∈θ，则有1cos 0cos -≠<θ且
∵492816221++==+tt t e t
224t t ++==+
而
cos =
θ
02440281671522
2
2<++⋅++++=
t
t t t t t
且2172e e t +)0)((21>+≠k e t e k
∴⎩⎨⎧>-≠-≠<++)
0(72071522k kt k t t t 或 ②①
有①得2
1
7-
<<-t 对于②，当)0(72>-=-=k kt k t 且同时成立时，解得2
14-
=t ∴②的解为2
14-
≠t 综上可得2
1
7-
<<-t 且214-≠t
故实数t 的取值范围为⎪⎭
⎪
⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≠-<<-214,217t t t 且.
陷阱：两个非零向量的夹角范围为],0[π，当两个非零向量共线时，它们的夹角可能为0也可能为π.
笔记五 数列
易错点1 奇、偶项的变化规律归纳错误
例1.数列{}n a ，)(543*
1N n n a a n n ∈-=++，若201-=a ，求数列的通项公式.
错因分析：将n 分为奇数和偶数进行讨论时，辨别不清楚其奇、偶项的变化规律导致瑞丽运算错误.
正确解答：由5154312-=-=+a a ，得312-=a 又∵513543121-=+-=++++n a a n a a n n n n ， ∴32=-+n n a a 当n 为奇数时，2433-=
n a n ；当n 为偶数时，2
68
3-=n a n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=)(2
683)(2
43
3为偶数为奇数n n n n a n
指点迷津：数列中奇、偶项问题时数列中一种常见题型，每年在各地的模拟试题及高考试题中都是“热点”，解决此类问题的关键是分清奇偶、数清个数.
易错点2 n a 与n S 关系不清楚
例2.已知数列{}n a 的首相31=a ，通项n a 与前n 项和n S 之间满足)2(21≥=-n S S a n n n . （1）求证⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S 1是等差数列，并求公差；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
错因分析：第（1）文中，对数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系，即当2≥n 时恒有
1--=n n n S S a 理解不清导致出错；第（2）问中，由n S 求n a 的过程中，忽视了对1=n 的分
类讨论，导致最后只求出了2≥n 成立的结果. 正确解答：（1）∵)2(21≥=-n S S a n n n ∴11)(2--=-n n n n S S S S 两边同时除以1-n n S S ，得
2
1
-111-=-n n S S ∴⎭
⎬
⎫⎩⎨
⎧n S 1是等差数列，公差21
-=d （2）∵
3
1
1111==a S ∴
6
356521)21()1(311n n n S n -=+-=-⨯-+= ∴n
S n 356
-=
当1=n 时，311==S a 当2≥n 时，)
38)(35(1838635621211n n n n S S a n n n --=-⨯-⨯==
- ∴⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--==)2()
38)(35(18
)
1(3n n n n a n
易错点3 求最值时忽视n 的取值要求
例3.在等差数列{}n a 中，1691,25S S a ==，求此数列的前多少项和最大.
错因分析：本题易出现以下两个错误：①解题不细心，在用等差数列前n 项和公式求解时，
解得5.12=n ，误认为5.12=n .②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出013=a 时，误认为只有13S 最大.数列的通项公式与前n 项和公式都是关于正整数n 的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题.但是考生很容易忽视n 为正整数的特点，有时即使考虑了n 为正整数，但对于n 为何值时，能够渠道最值的讨论中出错.在关于正整数n 的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定. 正确解答：∵1691,25S S a ==，设公差为d ，由求和公式可得
d d 2)
116(1625162)19(9259-⨯+⨯=-⨯+
⨯ 解得12
25
-=d
∴n n n n n S n 24
625
2425)1225(2)1(252+-=-⨯-+=
∴当1312==n n 或时，此数列前12项和前13项和一样大.
易错点4 用错位相减法求和时项数处理不当
例4.已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，)(2
,1*121N n a a a a n
n n ∈+==++. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n na b =，求{}n b 的前n 项和n S .
错因分析：用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和时，易出现三个错误：①出现某些项的遗漏；②项数的计算错误；③两式相减时，等比数列前面的系数出错.
正确解答：（1）∵数列{}n a 是公比为q 的等比数列，)(2
,1*121N n a a a a n
n n ∈+==++ ∴2
,21
121123a q a q a a a a +=∴+=
∴0122
=--q q 解得2
1
1-
==q q 或
∴1
)
2
1(1--==n n n a a 或
（3）当1=n a 时，2
)
1(21,+=+++==n n n S n b n n Λ 当1)
21(--=n n a 时，1
)21(--⋅==n n n n na b ∴1
210)21()21(3)21(2)21(--⋅++-⋅+-⋅+-=n n n S Λ ①
n
n n S )21()21(3)21(2)21(21321-⋅++-⋅+-⋅+-=-Λ ②
②①-得，n
n n n S )2
1()21()21()21()21(231210---++-+-+-=-Λ
n n
n )21()2
1(1)21(1-⋅-----=
∴n n n S )2
1
()3294(94-⋅+-=
易错点5 数列的递推关系转换不当 例5.已知函数1
2)(+=
x x
x f ，数列{}n a 满足)(1),(,32*11N n a a b a f a a n n n n n ∈-=
==+，则{}n b 的通项公式为=n b .
错因分析：对递推式转换不当，在变换中方向不明确，导致思维混乱，转换错误. 正确解答：∵函数12)(+=x x x f ，数列{}n a 满足)(,3
2
11n n a f a a ==+ ∴)11(211,1211n
n n n n a a a a a +=∴+=
++ ∵1111-=∴-=
n
n n n n a b a a b ， ∴
2
1111,21)11(211111111=-==-=-=++a b b a a b n n n n
∴⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧n b 1是首相为21，公比为21
的等比数列
∴n n n n b b 2,2
1
1=∴=.
笔记六 不等式
易错点1 不等式的性质应用不当 例1.已知2
4
,0π
βπ
πα<
<-
<<，求βα-的取值范围.
错因分析：∵2
4
,0π
βπ
πα<
<-
<<，∴2
)4
(0π
πβαπ
-
<-<-
-，∴)2
,4(
π
πβα∈-，
该题容易出现的问题时套用错误，不等式具有通项相加性质，但两边不能相减. 正确解答：∵2
4
,0π
βπ
πα<
<-
<<，∴4
2
π
βπ
<
-<-
，∴4
2
π
πβαπ
+
<-<-
，∴
)4
5,2(π
πβα-∈-.
易错点2 忽视基本不等式的应用条件
例2.设0,0>>b a ，且1=+b a ，则函数b
a x f 3
2)(+=
的最小值为 . 错因分析：∵
64622)32)((32=⋅≥++=+ab
ab b a b a b a ，∴函数)(x f 的最小值为64.上述解法似乎很巧妙，但两次使用基本不等式时取等号的条件不一样，因此取不到64.基本不等式)0,0(2>>≥+b a ab b a 取等号的条件是“一正，二定，三相等”.
正确解答：
6252325235)32)((32+=⨯+≥++=++=+a
b b a a b b a b a b a b a .故填625+.
口诀技巧：“和定积最大，积定和最小”
易错点2 解含参数的不等式时分类讨论不当 例2.解关于x 的不等式212-≤-a x
错因分析：原不等式等价于212)2(-≤-≤--a x a ，解得2
1
2232-≤≤+-a x a .由于基础不扎实，易忽视对2-a 2-a 进行分类讨论.
正确解答：当02<-a 时，不等式解集为Φ；当02≥-a 时，不等式解集为
⎭⎬⎫
⎩⎨
⎧-≤≤+-2122
32a x a x .
易错点3 平面区域不明确或不能把握目标函数的几何意义 例3.0)3)(12(<-++-y x y x 表示的平面区域时（ ）
A B C D
错因分析：一条直线l ：),(0不全为零B A C By Ax =++把平面分成两个平面，在每个半平面内的点),(y x 使C By Ax ++值的符号一致.鉴于此，作不等式对应的平面区域的方法是画线定界，取点定域，若含等号画实线，否则画虚线.由于思维不缜密导致计算错误，易选A 或B ；由于审题粗心，未注意到不含等号，易错选D.
正确解答：先作出直线321=+=+y x y x 与，得它们的交点为)34
,35(，将)2,3
5(),0,35(代入不等式都成立，则可知C 项平面区域即为所求.故选C.
易错点4 混淆恒成立问题和存在性问题
例4.设0>a ，函数x x x g x a x x f ln )(,)(2
-=+=，若对任意的],1[,21e x x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围.
错因分析：本题考生易出现的错误有两个：对“任意”理解不透彻；对)()(21x g x f ≥恒成
立的条件使用不当，即最大值与最小值的使用不当.
正确解答：由于对任意],1[,21e x x ∈，都有)()(21x g x f ≥成立，因此只要函数)(x f 在],1[e 上的最小值大于或等于)(x g 在],1[e 上的最大值即可.
∵],1[,1
1)(,1)(22e x x
x g x a x f ∈-='-='
∴0≥'g ∴1)(max -=e x g 当e a >时，0)(<'x f
∴e
a e e f x f 2min
)()(+==
由12
-≥+e e
a e ，得e a -≥2恒成立，∴e a > 当e a ≤≤1时，a a f x f 2)()(min == 由12-≥e a ，得2
1
->
e a ，∴e a ≤≤1 当10<<a 时，0)(>'x
f ∴2
min 1)1()(a f x f +== 由112
-≥+e a ，得2-≥e a
∴12<≤-a e
综上，可知a 的取值范围为)2[∞+-，
e .
笔记七 立体几何
易错点1 三视图识图出错
例1.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .
错因分析：本题易出错的地方有两处：（1）由三视图还原几何体时出错；（2）在计算几何体的体积时出错.
正确解答：由三视图知该几何体为水平放置的三棱柱，底面为两直角边分别为1和2的直角三角形，高为2，故1222
1
=⨯⨯=V .故填1.
易错点2 错误理解异面直线所成的角
例2.已知在空间四边形ABCD 中，3==CD AB ，点F E ，分别是边BC 和AD 上的点，并且21：：：==FD AF EC BE ，7=
EF ，求异面直线AB 和CD 所成的角.
错因分析：对异面直线所成的角的概念和范围不熟悉，造成计算结果错误.异面直线所成的角的范围是]90,0(ο
正确解答：如图，在BD 上取靠近点B 的三等分点G ，连接GE FG ,，在BCD ∆中，可得
EC
BE
GD BG =
，故有DC EG ∥，同理在ABD ∆中，可得AB GF ∥，所以EGF ∠或其补角就是异面直线AB 和CD 所成的角，在BCD ∆中，由3
1
3==CD EG CD CD GE ，，∥，得
1=EG ，在ABD ∆中，由3
2
,
3==AB GF AB AB GF ，∥，得2=FG ，在EFG ∆中，由7,2,1===EF FG EG ，由余弦定理可得2
1
2cos 222-=⋅-+=∠FG EG EF FG EG EGF ，所
以ο
120=∠EGF ，所以异面直线AB 和CD 所成的角为60°.
易错点3 线面位置关系定理使用不当
例3.正方体1111D C B A ABCD -中，Q N M ,,分别是棱BC D A C D ,1111，的中点，点P 在对角线1BD ，给出下面四个命题：①M P A ,,三点共线；②APC Q C 平面∥1；③
APC MN 平面∥；④APC MNQ 平面∥平面；其中所有正确命题的序号为（ ）
A.②③
B.①④
C.①②
D.③④
错因分析：考生对空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出MN 在平面APC 内而导致错误.证明有关线线、线面、面面平行或垂直时，使用定理应该注意找足条件，书写规范，推理严谨.
正确解答：①由已知条件易证MP D APB 1∆∆∽，又由点P 在对角线1BD 上和11C D AB ∥可得M P A ,,三点共线，故①正确；②由①知，N P C ,,也三点共线，将平面APC 延展，可知点N M ,在平面APC 上，又因为Q C AN 1∥，所以∥Q C 1平面APC ，故②正确；③由②知，N M ,都在平面APC 上，故APC MN 平面⊂，故③错误；④由③知
APC MN 平面⊂，由②知点Q 在平面APC 外面，所以平面MNQ 与平面APC 相交，故
④错误.故选C.
例4.如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，N M ,分别为DF AB 、中点，若平面⊥ABCD 平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值.
错因分析：本题在求得平面DCEF 的一个法向量)2,0,0(=DA 及)2,1,1(--=MN 后，可得
3
6
,cos -
==
〉〈DA
MN DA MN .考生就会误认为36-就是正确答案，其实是错误的.我们计算线面角时容易出错的有以下三点：①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成的角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成的角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围.
正确解答：设正方形ABCD 和DCEF 的边长为2，以D 为坐标原点，分别以射线
DA DF DC ,,为z y x ,,轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)2,1,1(),2,0,1(--N M ，可得
)1,1,1(--=MN .又∵)2,0,0(=DA 为平面DCEF 的法向量，∴3
6
,cos -
==
〉〈DA
MN DA MN DA MN .∴MN 与平面DCEF 所成的角的正弦值为3
6
,cos =
〉〈DA MN .
例5.如图，四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为矩形，⊥SD 平面ABCD ，2
=
AD ，
2==SD DC ，点M 在侧棱SC 上，ο60=∠ABM .
（1）证明：M 为侧棱SC 的中点； （2）求二面角B AM S --的余弦值.
错因分析：设两个平面的法向量分别为,，若两个平面所成的锐二面角为θ，则
〉〈=,cos cos θ；若两个平面所成的二面角为钝角，则〉〈-=,cos cos θ.考生在解此类
题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定，避免出现二面角的余弦值的正负问题.
正确解答：（1）分别以DS DC DA ,,为z y x ,,轴建立空间直角坐标系Dxyz ，则)0,0,2(A ，
)2,0,0(),0,2,0()0,2,2(S C B ，.设)0,0)(,,0(>>b a b a M ，则)0,2,0(-=BA ，
),2,2-(b a -=，)2,,0(-=b a ，)2,2,0(-=,由题意得⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=〉〈SC SM BM BA ∥21,cos ，即⎪⎩
⎪
⎨⎧
-=-=++-⋅--)2(22212)2(2)2(222b a b a a ，解方程组得1,1==b a 即)1,1,0(M ，所以M 是侧棱SC 的中点.（2）由（1）得)1,0,0(M ，)1,1,2(--=MA 又)2,0,2(=AS ，)0,2,0(=AB ，设
),,(1111z y x n =，),,(2222z y x n =分别是平面SAM 、平面MAB 的法向量，则⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅0
11n n
且⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
022AB n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=--022*******z x z y x 且⎩⎨⎧==--02022222y z y x ，分别令221==x x 则
2
,0,1,12211====z y y z ，
即
)
1,1,2(1=n ，
)
2,0,2(2=n ，所以
36
6
2202,cos 21=⨯++=
〉〈n n ，又因为二面角B AM S --为钝角，所以二面角B AM S --的余弦值为3
6
-
. 陷阱：二面角的平面角的取值范围是],0[π，所以求二面角的余弦值时一定要讨论二面角是锐角还是钝角.
笔记八 解析几何
易错点1 忽视斜率不存在的情况
例1.求过点)2,4(-A 且与x 轴的交点到)0,1(的距离是5的直线方程.
错因分析：本题容易只考虑斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过点A 且垂直于x 轴的直线，其实4-=x 也符合题意.
正确解答：当直线的斜率存在时，设直线斜率为k ，其方程为)4(2+=-x k y ，则与x 轴
的交点为)0,24(k -
-.由5124=---k ，解得5
1
-=k ，即直线的方程为065=-+y x ；
当直线的斜率不存在时，直线方程为4-=x ，其与x 轴的交点到)0,1(的距离为5，满足题意.综上，所求直线的方程为065=-+y x 或.
易错点2 直线与圆的位置关系考虑不全
例2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为322
2+-=+y y x ，直线l 的方程为
01=-+y ax ，则直线l 与圆C 的位置关系是（ ）
A.相离
B.相交
C.相切
D.相切或相交
错因分析：本题考生容易忽视直线与圆相切的情况，在做关于直线与圆的位置关系的题目时，一定要考虑完全，避免出现漏解的情况，在平时练习的时候应多加注意.
正确解答：圆C 的标准方程为4)1(2
2
=++y x ，可知直线过圆上的点，所以直线l 与圆C 相切或相交.故选D.
易错点3 焦点位置考虑不全
例3.已知椭圆142
2=+m
y x 的离心率等于23，则m = .
错因分析：本题易出现的问题就是误认为给出的椭圆的焦点在x 轴上，从而导致漏解.对参数m 没有进行讨论，令4>m 和4<m 正确解答：当4>m 时，2==
b m a ，，则4-=m
c ，∴23
4=-=
m
m e ，求得16=m ；当4<m 时，m b a ==，2，则4-=m c ，∴2
3
24=-=m e ，求得1=m .故填1或16.
误区警示：椭圆、双曲线的焦点可能存在两种情况：①在x 轴上；②在y 轴上.考生很容易受固定思维的影响误认为焦点都是在x 轴上，其实焦点在x 轴或者y 轴上都可能会考，要求考生对基本概率理解透彻.
易错点4 忽视圆锥曲线定义中的条件
例4.写出方程8)6()6(2222=++-+-y x y x 表示的曲线.
错因分析：考生易写成双曲线，原因是忽视了圆锥曲线定义中的条件.在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时对距离差加了绝对值，如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错.
正确解答：轨迹是以)0,6()0.6(21-F F ，为焦点的双曲线的左支.
易错点5 离心率范围求解错误
例5.已知椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，若椭圆上
存在点P （异于长轴的端点），使得1221sin cos F PF a F PF ∠=∠，则该椭圆离心率e 的取值范围是 .
错因分析：本题易出现的问题是错误利用椭圆的定义或性质建立不等关系，导致离心率的范围求解错误.
正确解答：在21F PF ∆中，由正弦定理得
2
121
21sin sin F PF PF F PF PF ∠=
∠，∴
2
11
22
1sin sin F PF F PF PF PF ∠∠=
，又∵1212sin sin F PF a F PF c ∠=∠，∴
e a c F PF F PF ==∠∠2112sin sin （e 为椭圆的离心率），∴1222
2
2
2
1-=
-=
=
PF a
PF PF a PF PF e ，由椭圆的几何性质，知c a PF c a +<<-2，∴
c a c a PF a +->-122，即e e e +->11且e
e e +-<11，即0122
>-+e e 且012>+e ，又10<<e ，∴)1,12(-∈e。