3第三章整数规划
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目标规划整数规划第三、四、五章
销地 产地 A1 A2 4
B1
B2
B3 2
B4
B5
产量
3
11 3 6 4 3
12 7 5
5
3 2 5 1 4
6
4 2 9 2 5
4
0 8 0 5 0 9
A3
销量
当产大于销时，即
a b
i 1 i j 1 m
m
n
j
加入假想销地（假想仓库），销量为
a b
i 1 i j 1
n
(二)对偶变量法（位势法） 1.基本原理
检验数的计算： 一般问题：σj = C j- CBB-1 Pj = Cj - Y Pj 运输问题： σij = C ij- CBB-1 Pij = Cij - Y Pij = Cij - (u1,u2, …,um, v1, v2, …,vn) Pij = Cij - ( ui+ vj ) 当xij 为基变量时， σij = Cij - ( ui+ vj )=0 由此，任选一个对偶变量为0，可求出其余所有 的ui， vj 。 再根据σij = Cij - ( ui+ vj )求出所有非基变量的检验 数。
A 1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4 12
产量
16 10 2 3 9 10 8 2 8 14 5 11 8 6 22 8 14 12 14 48
10
4
6
11
z 0 8 2 14 5 10 4 2 3 6 11 8 6 246 优点：就近供应，即优先供应运价小的业务。
4. 计划利润不少于48元。
- , P d + , P d -} Min{ P1 d16 maxZ= x1 +8 2 2x2 3 3 5x1 + 10x2 60 • 原材料使用不得超过限额 x1 - 2x2 +d1- -d1+ =0 • 产品II产量要求必须考虑 - -d + =36 4x + 4 x +d 1 2 2 2 • 设备工时问题其次考虑
运筹学-第3章整数规划
2018/8/17
9
生产计划问题
某机器制造厂可生产四种产品，对于三种主要资源（钢， 人力，能源）的单位消耗及单位利润见表。问如何安排 生产，可使总利润最大？
消耗 产品1
1
产品2 产品3
10 6 0 7 3 4 2 8
产品4
0 1 5 4
资源量
5000 3000 3000
资源A（钢）
资源B（人力） 2 资源C（能源） 2 单位利润 1
这里取M=5000
2018/8/17
15
（2）批量生产
在前例中的基础上, 增加假设：产品4要求批量生 产，批量为不少于500件。 试建立最佳生产计划模型。
定义0-1变量y4
1 , x 4 500 y 4= 0 , x 4=0
500y4 x4 My4 y4 {0,1}
增加约束
2018/8/17 4
附加条件
项目1和项目3至少采纳一个; y1+y2 ≥1 项目2和项目5不能同时采纳; y2+y5 ≤1 项目1仅在项目2采纳后才可考虑是否采纳; y1≤ y2 项目1仅在项目2和3同时采纳后才可考虑是否采纳; 项目1，2，3不能同时采纳; y1+y2+y3 ≤2 或者选择项目1和2，或者选择项目3; y1= y2, y1+y3 =1; 或者 0.5(y1+y2) +y3 =1.
i 1 j 1 5 4
1, 采用Ai建厂 yi , i 3,4,5 0 ，不采用
s.t. x11 x12 x13 x14 400 x x x x 600 23 24 21 22 x31 x32 x33 x34 200y3 x41 x42 x43 x44 200y4 x x x x 200y 5 51 52 53 54 y3 y 4 y5 1 x11 x21 x31 x41 x51 300 x12 x22 x32 x42 x52 350 x13 x23 x33 x43 x53 400 x x x x x 150 24 34 44 54 14 xij 0, i 1,2,3,4,5, j 1,2,3,4 y3 , y4 , y5 {0,1}
第3章 整数规划
第3章 整数规划3.1 整数规划的数学模型一个规划问题中要求部分或全部决策变量是整数，则这个规划称为整数规划。
当要求全部变量取整数值的，称为纯整数规划(Pure Integer Programming ，IP )，要求一部分变量取整数值的，称为混合整数规划(Mixed Integer Programming ，MIP )，决策变量全部取0或1的规划称为0－1整数规划(Binary Integer Programming ，BIP )，如果模型是线性的，称为整数线性规划（Integer Linear Programming, ILP ）。
本章只讨论整数线性规划。
求解整数规划问题时，如果先不能考虑对变量的整数约束，作为一般线性规划问题来求解，当解为非整数时再用舍入凑整方法寻求最优解，这样得到的解有可能不是整数规划的可行解或是可行解而不是最优解。
【例3.1】某人有一背包可以装10公斤重、0.025m 3的物品。
他准备用来装甲、乙两种物品，每件物品的重量、体积和价值如表3－1所示。
问两种物品各装多少件，所装物品的总价值最大。
表3－1【解】设甲、乙两种物品各装x 1、x 2件，则数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤++=且均取整数,0,255.22108.02.134max 21212121x x x x x x x x Z (3.1)如果不考虑x 1、x 2取整数的约束（称为式（3.1）的松弛问题），线性规划的可行域如图3-1中的阴影部分所示。
图3-1用图解法求得点B 为最优解：X ＝(3.57，7.14)，Z ＝35.7。
由于x 1，x 2必须取整数值，整数规划问题的可行解集只是图中可行域内的那些整数点。
用凑整法求解时需要比较四种组合，但（4，7）、（4，8）（3，8）都不是可行解，（3，7）虽属可行解，代入目标函数得Z =33,并非最优。
实际上问题的最优解是（5，5），Z =35。
即两种物品各装5件，总价值35元。
数学建模 -整数规划
z1 3
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
松弛问题 L0： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 x1 0, x 2 0
z 2 130 剪枝 ( IP)的最优解：x 3，x 2 1 2
最优值：Z * 130
4x1+x2=16.5
3 L3：xx21 2 z 3 130 关闭
11 L4 x1 4 ，x2 3 28543;3x2=14.5
L5 x1 2，x2 7
剪枝 z 130 5
2
L6 剪枝
无可行解
· · · · · · · · · 1 2 3 4 5 6 7
19:01
分枝定界法
分枝定界法
（1）分枝：通常，把全部可行解空间反复地分割为越 来越小的子集，称为分枝； （2）定界：并且对每个子集内的解集计算一个目标下 界（对于最小值问题），这称为定界。 （3）剪枝：在每次分枝后，凡是界限超出已知可行解 集目标值的那些子集不再进一步分枝，这样，许多子 集可不予考虑，这称剪枝。 求解生产进度问题、旅行推销员问题、工厂选址问题、 背包问题及分配问题。
对（ IP） max z 30x1 20x 2 2 x1 3x 2 14.5 4 x1 x 2 16.5 s.t x 0, x 2 0 1 x1 , x 2为整数
父问题
松弛问题 ( L0 )： max z 30x1 20x 2 2 x1 3 x 2 14.5 s.t 4 x1 x 2 16.5 最优解： x1 3.5, x1 0, x 2 0
x 2 2 .5
子问题
( L1 ) max z 30x1 20x 2 ( L ) max z 30x 20x 2 1 2 2 x1 3 x 2 14.5 2 x1 3x2 14.5 4 x1 x 2 16.5 4 x1 x2 16.5 s.t s.t x1 3 x1 4 x1 0, x 2 0 x1 0, x2 0
管理科学基础——3.整数规划
⑵ 若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，则 ( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。 ⑶ 若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转 入下一步。为讨论方便，设( LP )的最优解为： , b2 ,, br ,, bm ,0,,0)T X ( 0) (b1
0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个 整数。
10
•整数规划与线性规划的关系 从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上， 通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到 的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至 不能保证所得的解是整数可行解。
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
9
纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这时 引进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非负 整数，另一部分可以取非负实数。 全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外， 系数aij和常数bi也要求取整数（这时引进的松弛变 量和剩余变量也必须是 整数）。
x1 4, x2 1, Z2 29
整数规划求解
第四步，定界过程。
LP2的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是29， 大于原有下界0，则新的下界为29，即 Z 29 ；现有上界为 2 未分枝子问题中目标函数最大值，即为 Z 32 。 7 LP1的解仍不满足整数约束的要求，且现有上界大于现有下界 ，则应继续分枝。
整数规划的模型
整数规划问题实例
例：合理下料问题
设用某型号的圆钢下零件A1, A2,…,Am 的毛坯。在一根圆钢 上下料的方式有B1,B2, … Bn 种，每种下料方式可以得到各种 零件的毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎样安 排下料方式，使得即满足需要，所用的原材料又最少？
0－1整数规划：所有决策变量只能取 0 或 1 两个 整数。
10
•整数规划与线性规划的关系 从数学模型上看整数规划似乎是线性规划的 一种特殊形式，求解只需在线性规划的基础上， 通过舍入取整，寻求满足整数要求的解即可。 但实际上两者却有很大的不同，通过舍入得到 的解（整数）也不一定就是最优解，有时甚至 不能保证所得的解是整数可行解。
依照决策变量取整要求的不同，整数规划可分为纯整 数规划、全整数规划、混合整数规划、0－1整数规划。
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纯整数规划：所有决策变量要求取非负整数（这时 引进的松弛变量和剩余变量可以不要求取整数）。
混合整数规划：只有一部分的决策变量要求取非负 整数，另一部分可以取非负实数。 全整数规划：除了所有决策变量要求取非负整数外， 系数aij和常数bi也要求取整数（这时引进的松弛变 量和剩余变量也必须是 整数）。
x1 4, x2 1, Z2 29
整数规划求解
第四步，定界过程。
LP2的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是29， 大于原有下界0，则新的下界为29，即 Z 29 ；现有上界为 2 未分枝子问题中目标函数最大值，即为 Z 32 。 7 LP1的解仍不满足整数约束的要求，且现有上界大于现有下界 ，则应继续分枝。
整数规划的模型
整数规划问题实例
例：合理下料问题
设用某型号的圆钢下零件A1, A2,…,Am 的毛坯。在一根圆钢 上下料的方式有B1,B2, … Bn 种，每种下料方式可以得到各种 零件的毛坯数以及每种零件的需要量，如表所示。问怎样安 排下料方式，使得即满足需要，所用的原材料又最少？
《运筹学教程》胡云权 第五版 第三章 整数规划
人出国留学打点行李，现有三个旅行包，容积大小分别 为1000毫升、1500毫升和2000毫升，根据需要列出需带物品清单， 其中一些物品是必带物品共有7件，其体积大小分别为400、300、 150、250、450、760、190、（单位毫升）。尚有10件可带可不带 物品，如果不带将在目的地购买，通过网络查询可以得知其在目的 地的价格（单位美元）。这些物品的容量及价格分别见下表，试给 出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里。 物品 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1
割平面法
纯整数线性规划
max z c j x j
j 1 n
松弛问题
（3.1a）
max z c j x j
j 1
n
（3.1a）
aij x j bi
j 1
n
(i 1, 2, , m) （3.1b） ( j 1, 2, , n) （3.1c） ( j 1, 2, , n)（3.1d）
整数规划数学模型解的特点
• 不考虑x1、x2取整数的约束，称为上述 规划的松弛问题，可行域如图； • B为最优解：X＝(3.57，7.14)，Z＝ 35.7。 • 由于x1 、 x2必须取整数值，可行解集 只是图中可行域内的那些整数点；
• 凑整法：比较四种组合，但（4，7）、 （4，8）（3，8）都不是可行解，（3， 7）虽属可行解，但代入目标函数得 Z=33；
m个约束方程可表示为 CB CN
xi aij x j bi
jK
i Q
（3.2）
XB
CB XB cj-zj B-1b I 0
XN
B-1N ≤0
若其中的 不是整数， 则式（3.2）中相应的约束方程为
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
整数规划规划论
Xpress-Optimizer广泛应用于各种行 业，如金融、物流、能源和制造业， 用于解决复杂的优化问题。
06
整数规划的实际应用案 例
生产计划优化
要点一
生产计划
整数规划可以用于优化生产计划，通过合理安排不同产品 的生产数量、生产时间和生产顺序，降低生产成本，提高 生产效率。
要点二
资源分配
整数规划还可以用于优化资源分配，例如合理分配人力、 物料、设备等资源，确保生产过程的顺利进行，同时避免 资源的浪费。
物流与运输优化
路径规划
整数规划可以用于优化物流和运输过程中的路径规划， 通过选择最短或最优路径，降低运输成本和时间。
车辆调度
整数规划还可以用于优化车辆调度，例如合理安排车辆 的出发时间、行驶路线和装载量等，以提高运输效率和 服务质量。
金融投资组合优化
投资组合选择
整数规划可以用于优化金融投资组合的选择，通过合 理分配资金到不同的投资品种，实现风险和收益的平 衡。
整数规划理论
目录
• 整数规划简介 • 整数规划的基本概念 • 整数规划的算法 • 整数规划的优化方法 • 整数规划的软件工具 • 整数规划的实际应用案例
01
整数规划简介
定义与特性
定义
整数规划是一种数学优化方法，旨在 找到满足一系列约束条件的最大化或 最小化的整数值。
特性
整数规划的主要特性是要求决策变量 取整数值，这使得它在处理某些问题 时具有独特的优势，例如资源分配、 排程和布局问题等。
CPLEX
概述
CPLEX是IBM出品的一款商业优化软件，用于解决线性规划、混合整数规划和其他优化 问题。
特点
CPLEX提供了强大的求解器，支持大规模问题，具有高度的可靠性和稳定性。它提供了 广泛的算法和功能，支持多种编程语言和平台。
第3章 整数规划
分枝定界法的解题步骤
1、不考虑整数约束，解相应LP问题
2、检查是否符合整数要求，是，则得最 优解，完毕。否则，转下步
3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个 新的约束条件：xi ≤[bi] ,xi ≥ [bi]+1,分别 加入到上一个LP问题，形成两个新的分 枝问题。
4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整 数解的Z值>所有分枝末梢的Z值，则得最 优解。否则， 取Z值最大的非整数解， 继续分解，Go to 3
L4：z4=14 x1=4，x2=1
3.4 隐枚举法与0-1规划问题
3.4.1 0-1规划问题及模型
1、0-1规划问题的概念 • 在整数规划问题中，若变量取值为0或者1，则为0-1 规划问题。
• 0-1变量通常用来表示逻辑性选择的决策。
2、0-1变量的应用
（1）表示选择性决策（投资场所的选定——相互排斥的计划）
解题时先引入0-1变量xi (=1,2，…，7)
令
xi
1, 当Ai点被选用 0, 当Ai点没有被选用
i 1,2,,7
于是问题可列成：
目标函数： max
z
7
ci xi
i 1
7
bi xi B
i1
约束条件xx14
x2 x5
x3 1
2
x6 x7 1
0
xi
1
（2） 表示选择性约束
例3.在本章开始的集装箱运输中，关于运货的体积
-----年总收益 ----投资额限制
(j=1,2,---,10)
例2 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议 中有7个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定：
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如 计 个选点为可用ci元使Ai，点年但，利投设润资备为总投最额资大不估? 能计超为过bi元B元，。每问年应可选获择利哪润估几
第三章整数线性规划
割平面法
IP LP xl*
Yes xI* = xl*
判别是否整数解
No 加入割平面条件 用对偶单纯型方法继续求解
§3.3 分枝定界方法
分枝定界方法的基本思想 分枝定界方法的实现——例题
1 分枝定界方法的基本思想
如果松弛问题(P0)无解，则(P)无解；
如果(P0)的解为整数向量，则也是(P)的解；
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P1 ) 4x1 2 x2 11 x1 1 x1 , x2 0, Integer
P2
约束 x1 1, x1 2 (它们将x1=3/2排除在外)，得到两个子问题：
min -(x1 x2 ) s.t.-4x1 2 x2 1 (P2 ) 4x1 2 x2 11 x1 2 x1 , x2 0, Integer
运筹 帷幄之中
决胜 千里之外
运 筹 学
主讲教师
赵玉英
62338357(O) yuyingzhao@
北京林业大学理学院
第3章 整数线性规划
整数线性规划问题 Gomory割平面方法(1958) 分枝定界方法(Land doig and Dakin 1960’s) 0-1规划
3
(3/2,10/3)
3
x1
3 整数线性规划问题的求解
思路2：由于纯整数线性规划的可行集合就是一些离散 的格点，可否用穷举的方法寻找最优解？ 当格点个数较少时，这种方法可以； 对一般的ILP问题，穷举方法无能为力。
3 整数线性规划问题的求解
目前，常用的求解整数规划的方法有： 割平面法和分枝定界法； 对于特别的0－1规划问题采用隐枚举法和匈牙利法。
第3部分整数规划
(l 1,, L) ( j 1,, n) (l 1,, L)
(4.1b)
(4.1c) (4.1d ) (4.1e)
式中p k 为第k 级优先因子, k=1 、2、…… K；wkl- 、wkl+，为 分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标 的预期目标值，l=1,…L． (4.1b)为系统约束,（4.1c）为目标约 束
管理运筹学
12
目标规划的图解法
四、目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简
便，把它们用一个模型来表达，如下：
s.t.
Min P1（d1+）+P2（d2-）
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
（6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者 首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等 方法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序；
（7）合理的确定目标数。目标规划的目标函数中包含了多个 目标，决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标， 如果同一目标中还想分出先后次序，可以赋予不同的权系数， 按系数大小再排序。
管理运筹学
15
目标规划的基本概念
（8）目标规划的一般模型．设xj（j=1,2,…,n）为决策变量
K
L
min z
Pk (
wkl
d
l
wkl
d
l
)
(4.1a)
k 1
l 1
(4.1b)
(4.1c) (4.1d ) (4.1e)
式中p k 为第k 级优先因子, k=1 、2、…… K；wkl- 、wkl+，为 分别赋予第l个目标约束的正负偏差变量的权系数；gl为目标 的预期目标值，l=1,…L． (4.1b)为系统约束,（4.1c）为目标约 束
管理运筹学
12
目标规划的图解法
四、目标规划模型的标准化
例6中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行求解。为简
便，把它们用一个模型来表达，如下：
s.t.
Min P1（d1+）+P2（d2-）
20x1＋50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2-d1++d1-=700 3x1+4x2-d2++d2-=10000 x1,x2,d1+,d1-,d2+,d2-≥0
（6）目标的排序问题。多个目标之间有相互冲突时，决策者 首先必须对目标排序。排序的方法有两两比较法、专家评分等 方法，构造各目标的权系数，依据权系数的大小确定目标顺序；
（7）合理的确定目标数。目标规划的目标函数中包含了多个 目标，决策者对于具有相同重要性的目标可以合并为一个目标， 如果同一目标中还想分出先后次序，可以赋予不同的权系数， 按系数大小再排序。
管理运筹学
15
目标规划的基本概念
（8）目标规划的一般模型．设xj（j=1,2,…,n）为决策变量
K
L
min z
Pk (
wkl
d
l
wkl
d
l
)
(4.1a)
k 1
l 1
运筹学-第三章-整数规划
于是，对原问题增加两个新约束条件，将原问题分为两个 子问题，即有
max z 40x1 90x2
max z 40x1 90x2
9x1 7x2 56
s.t
7 x1
20 x2
70
x1 4
x1, x2 0
（LP1）
9x1 7x2 56
和
s.t
7
x1
20
x2
70
（LP2）
x1 5
表 3.1
货物 体积（米 3/箱） 重量（百公斤/箱） 利润（百元/箱）
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制 24 米 3
13 百公斤
解： 设x1，x2 分别为甲、乙两种货物的托运箱数，则数 学模型可以表示为：
max z 20x1 10x2
5x1 4x2 24 2x1 5x2 13 x1, x2 0, x1, x2整数
其中，目标函数表示追求最大的卫星实验价值；第1,2个约
束条件表示体积和重量的限制；第3-5个约束条件表示特定的卫
星装载要求,该问题的决策变量是0-1整数变量。
3.2.3隐枚举法 从上面两个例子可以看出，此类型问题是整数规划中的特
殊情形，其中决策变量 xi 的取值只能为0或1，此时变量 xi 称 为0-1变量，这类问题被称为0-1整数规划。对于 xi 的取值的 0-1约束，可以转化成下述整数约束条件：xi 1, xi 0, xi Z
目前对于整数规划问题的求解主要有两种方法：分支 定解法和割平面法。本章仅介绍分枝定界法，该方法在上 世纪60年代由Land Doig和Dakin等人提出，其具有灵活 且便于计算机求解的优点，所以现在已成为解决整数规划 问题的重要方法。下面通过例子说明分支定界方法的算法 思想和步骤。
整数规划PPT课件
混合整数规划
总结词
混合整数规划是同时包含连续变量和整数变量的规划问题。
详细描述
混合整数规划问题在数学上表示为在一定的约束条件下，求一组连续变量和整数变量的函数的最优解 。这类问题在现实生活中应用广泛，如生产计划、物流优化、金融投资等。求解混合整数规划问题需 要同时考虑连续变量和整数变量的特性，通常需要使用特殊的算法进行求解。
通过不断分割解空间并确 定可行解的范围，逐步逼 近最优解。
割平面法
通过添加割平面方程来不 断缩小解空间，直到找到 最优解。
迭代优化法
通过迭代优化算法不断逼 近最优解，适用于大规模 整数规划问题。
02 整数规划问题建模
线性整数规划
总结词
线性整数规划是整数规划的一种，其目标函数和约束条件都是线性函数，且决 策变量都是整数。
装箱问题
总结词
装箱问题是一个经典的整数规划问题， 旨在确定如何将一组物品装入有限容 量的容器中，以最小化装载成本。
详细描述
装箱问题需要考虑物品的尺寸、重量、价值 等多个因素，通过整数规划的方法，可以确 定最佳的装箱方案，包括每个容器的装载物 品和数量等，从而实现装载成本最小化。
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遗传算法
要点一
总结词
一种基于生物进化原理的优化算法
要点二
详细描述
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过选择 、交叉和变异等操作来逼近最优解。在整数规划问题中， 遗传算法将决策变量编码为染色体，通过不断进化染色体 群体来寻找满足整数约束的解。遗传算法具有全局搜索能 力强、能够处理多约束和离散变量等优点，因此在整数规 划问题中得到了广泛应用。
整数规划ppt课件
contents
整数规划
5. 分支定界法
分支定界法的思想：（以极小问题为例） 分支定界法的思想：（以极小问题为例） ：（以极小问题为例 分支：将连续问题的解空间（可行域）分解成两个相互 分支：将连续问题的解空间（可行域） 排斥的子空间，从而消去不存在所求整数解的区域， 排斥的子空间，从而消去不存在所求整数解的区域，使 得解空间（可行域）不断缩小。 得解空间（可行域）不断缩小。 定界：伴随线性规划的极小值为对应的整数规划问题的 定界： 下界。 下界。 子空间中满足整数要求的解对应的目标函数值为整数规 划问题的上界 在搜索过程中， 上界。 划问题的上界。在搜索过程中，不断更新上界以缩小与 下界之间的距离，最终得出最优解。 下界之间的距离，最终得出最优解。 1）如果子空间的线性规划解的目标函数值比某个已知 的可行整数解对应的目标函数值大， 的可行整数解对应的目标函数值大，那么最优整数解不 可能在这一子集中，停止分支。 可能在这一子集中，停止分支。2）如果这个线性规划 解满足整数要求， 解满足整数要求，目标函数值是所得到的最小的整数规 划解，这个目标函数值就成为整数规划问题的上界。 划解，这个目标函数值就成为整数规划问题的上界。
上这一堆堆的线缆可以看作线性规划，它意味着不用一一考察所有 上这一堆堆的线缆可以看作线性规划， 的可能，他们就能预感到哪一个结果是正确的。”——Len Deighton 的可能， ——Len
在侦探故事《 在侦探故事《Billion Dollar Brain》(《十亿美元的大脑》1966年出版) Brain》 十亿美元的大脑》1966年出版) 中写道。
5
x2
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 5
x2
1 x1 = (3,1 )T 4 X1
分支
4 3 2 1
第三章_整数规划
分枝定界法对可行域恰当地进行系统搜索，基 本上是一种“分而治之”的策略。
通常，它把可行域反复地划分为越来越小的一系 列子域，称之为分枝；子域的一个边界为整数，在 子域上解线性规划，对于最大值问题，线性规划解 的目标函数值是整数规划的上界，整数规划任意可 行点的目标函数值是其下界，这称为定界。在子域 分解的过程中，上界非增，下界非减，经有限多次 分解即可得到整数规划的最优解。
求解思路
1）舍入取整法 即先不考虑整数性约束，而去求解其相应的LP问题， 然后将得到的非整数最优解用“舍入取整”的方法。 解相应的LP问题，得：X1=4.8，X2=0 不是可行解，舍入取整得X1=4，X2=0 是否最优？ 优点：可节省求解的人力、物力和财力
2）完全枚举法 此法仅在决策变量很少的情况下才实际有效。
值的上界 z = 87。令最优值的下界 z = 0，则有 z = 0 < z* 87 = z 。我们将这些结果记录在树形图图 3.3.3 中。
2. 因为此时两个变量都不是整数，我们从中选择一个变量
进行分枝。假定选择 x1，在 (P0) 的约束之外，增加两个互相排 斥的约束条件：x1 2 与 x1 3，形成两个子模型 (P1) 和 (P2)： (P1)：max Z = 15x1 20x2 (P2)：max Z = 15x1 20x2
第三章 整数规划
§3.1 整数规划模型 §3.2 0-1型整数规划 §3.3 指派问题 §3.4 软件解法
§3.1 引言
在工程设计和企业管理中，常会遇到要求决策变量取 离散的非负整数值的线性规划问题。例如，最优调度的车 辆数，设置的销售网点数，指派工作的人数等。这类问题 在形式上与线性规划类似，只是比线性规划增加了某些约 束条件，来限制全部或部分决策变量必须取离散的非负整 数值。我们称之为整数线性规划问题，也经常简称为整数 规划问题。
运筹学第三章 整数规划PPT课件
（一）
问题（1）
X1=2, x2=2.67
Z=83.3
x2≤2
x2≥3
问题（0） X1=2.5, x2=2.5
问题（0）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=87.5 下界为:Z=0
Z=87.5
x1≤2
x1≥3
（二）
问题（2）的原问题 的目标函数值
上界为:Z^=80 下界为:Z=75
问题（2）
X1=3, x2=1.75
20
1 11/14 4 2/7 0
检验数zj-cj
0
0
1 11/14 4 2/7 0
15
x1 2
1
0
0
20
x2 2 2/3 0
1
0
0
x5 2 1/3 0
0
1
zj
15
20
0
检验数zj-cj
0
0
0
27.11.2020
问题1求解的单纯形表
《整数规划》
0 1/3
-1 1/3 6 2/3
6 2/3
1 - 1/3 -4 2/3 8 1/3
原问题的松弛问题
max Z 15 x1 20 x 2
6 x1 4 x 2 25
x
1
3x2
10
x 1 0 , x 2 0
注：此松弛问题的最优目标值为原整数规划问题目标值的上界
原问题目标值的上界为Z^=87.5 下界可定为Z=0
27.11.2020
《整数规划》
10
CB 0 0
cj
问题（5）的原问题 的目标函数值 上界为:Z^=72.5 下界为:
问题（6） 无可行解
25
管理运筹学 第三章 整数线性规划
注意在分枝定界求解过程中，为了最优整数解，我们要不断 缩小其最优目标函数值上界与下界的距离，故通过分枝要使得其 上界越来越小，而其下界则越来越大。 在例题中，通过对上下界的修改，上下界距离有所缩小，但 并不相等，所以还要继续分枝。
(5)在线性规划2和线性规划3中选择一个上界最大的线性规划， 即 线 性 规 划 3 ， 进 行 分 枝 。 线 性 规 划 3 的 最 优 解 为 x1=3 ， x2=2.86，把x2分成x2≤2和x2 ≥3两种情况，这样线性规划3分 解为线性规划4和线性规划5，如下： 线性规划4： s.t. 线性规划5： s.t.
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问题。如果其最优 解不符合整数条件，则求出整数规划的上下界，用增加约束条件 的办法，把相应的线性规划的可行域分成子区域（称为分枝）， 再求解这些子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划的上下 界的距离，最后得整数规划的最优解。
“ 分枝”为整数规划最优解的出现创造了条件， 而“定界”则提高了搜索的效率。
(6)进一步修改整数规划最优目标函数值z*的上下界。 由于线性规划 1 分枝为线性规划 2 和线性规划 3 ，线性规 划3又分枝为线性规划4和5，也就是线性规划1分枝为线性规 划 2、 4、 5，故从线性规划 2， 4，5中进一步修改整数规划 最优目标函数值的上下界。 因为线性规划2的最优目标函数值为13.90，线性规划4 的最优目标函数值为 14，而线性规划 5无可行解，可得整数 规划最优目标函数值的上界可修改为14，即 z =14， 取线性 规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值的最大值。 又因为在线性规划2中可知存在整数规划可行解x1=2， x2=3，其目标函数值为13，在线性规划4中可知存在整数规 划可行解 x1=4 ， x2=2 ，其目标函数值为 14 ，而线性规划 5 无可行解，可知整数规划最优目标函数值的下界可修改为 14， z=14，也取线性规划2，4，5中的整数可行解的目标函数值 的最大值。
第3章 整数规划II
管
理
运
筹
学
8
整数规划问题的提出及数学模型的建立 四、投资问题
例4．某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%， 但要求第一年投资最低金额为4万元，第二、三、四年不限； 项目B：第三年初需要投资，到第五年末能回收本利128％，但规定最低投 资金额为3万元，最高金额为5万元；
管 理 运 筹 学
11
整数规划问题的提出及数学模型的建立
3）建立模型如下： Max z = 1.15x4A+ 1.40x2C+ 1.28x3B + 1.06x5D x1A+ x1D = 100000； x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D； x4A+x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D； x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D； x1A ≥ 40000y1A ， s.t. x1A ≤ 200000y1A ， x3B ≥ 30000y3B ， x3B ≤ 50000y3B ； x2C = 20000y2C ， yiA， yiB = 0 或 1，i = 1,2,3,4,5 y2C = 0，1，2，3，4 xiA ，xiB ，xiC ，xiD ≥ 0 ( i = 1、2、3、4、5）
求解方法:隐枚举法;匈牙利法
管
理
运
筹
学
15
整数规划的求解—分枝定界法 三、分枝定界法
分枝定界法是先求解整数规划的线性规划问 题。如果其最优解不符合整数条件，则先确定 出整数规划目标函数值的初始上下界，之后， 用增加约束条件的办法，把相应的线性规划的 可行域分成子区域（称为分枝），再求解这些 子区域上的线性规划问题，不断缩小整数规划 的上下界的距离，当 z = z 时，原整数规划问 题的最优解出现。
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时段
1 234567 8
服务员最少人数 10 8 9 11 13 8 5 3
解：设在第 j时段开始时上班的服务员人数为 xj。由于第 j 时段开始时上班的服务员在第(j+3)时段结束时下班，故决 策变量只需要考虑x1~x5。
问题的数学模型为：
min z x1 x2 x3 x4 x5
x1 10
为其松弛问题的最优解，对应目标函数值z=94/7。在P点附近
对x1，x2简单取整，得四点A1,A2,A3,A4,其中A1,A2为非可行
解，A3,A4虽可行，但不是最优解。本例最优解为A*(x1=4,
x2=2),目标函数值z=12。
对松弛问题最优解简单取整不是求整数规划的有效方法！
3.2 分支定界法
分支定界法：一种部分枚举法，不是一种高效的算法。 分支：设整数规划的松弛问题的最优解xi=bi不符合整数 要求，若[bi]是不超过bi的最大整数，构造两个约束条件 xi≤[bi] 和xi≥[bi]+1，将其并入松弛问题中，形成两个分 支（后继问题）。每个后继问题又可以产生自己的两个 分支，这样不断按分支搜索最优解。 定界：在分支过程中，若某后继问题恰巧获得整数规划 问题的一个可行解，它的目标值就是一个“界限”，用 作衡量处理其它分支的依据。对于最优解目标函数值低 于已知“界限”的后继问题（分支），可以不用分析。 分支缩减了最优解搜索范围，定界提高了搜索效率。
解：每个投资项目都有被选择和不被选择的可能，因此令
1 对项目j投资 x j 0 对项目j不投资
该整数规划数学模型可表示为
n
max z c j x j
j 1
n
ajxj B
j1
x2 x1
s.t.
x3
x4
1
x5 x6 x7 2
x
j
0或1（j＝1,2,...,n）
此为0-1整数规划问题。
估计分别为1200万元和1500万元。问应建工厂A3还是A4，使 每年总费用（全部物资运费与新工厂生产费用）最少？
cij(万/kt) B1
B2
B3
B4 生产能力kt
A1
2
9
3
4
400
A2
8
3
5
7
600
A3
7
6
1
2
200
A4
4
5
2
5
200
需求量kt 350
400
300
150
解：设xij为由Ai工厂运往Bj需求地的物资数量(单位kt)，A3
和A4只能选择一个方案，引入0-1变量
1 若建工厂A3
则问题的数学模型为：
44
y 0 若建工厂A4
min z
cij xij [1200 y 1500 (1 y)]
i1 j1
x11 x21 x31 x41 350
x12
x22
x32
x42
400
x13 x23 x33 x43 300
例：求解整数规划问题
max z x1 x2
s.t.x12x1194 x1, x2
x2
51 14
x2
1 3
0且取整数
解：设松弛问题为LP，整数规 x2
划问题为IP。图中S为LP可行 3 域，黑点为IP可行解。用单纯
形法求得LP最优解为A点
x1,
x2
,.
.
.
,xn中部分或全部取整数
整数线性规划可分为：
（1）纯整数线性规划：全部变量必须取整数的线性规划；
（2）混合整数线性规划：部分变量必须取整数的线性规划；
（3）0-1整数线性规划：变量只能取0或1的整数线性规划。
整数规划的松弛问题：不考虑整数条件的线性规划问题。
二、整数规划的例子
例1：某服务部门各时段（每2h为一个时段）需要的服务员人 数如下表，按规定，服务员连续工作8h（4个时段）为一班。 现要求安排服务员的工作时间，使服务部门服务员总数最少。
例3：工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求， 故计划再建一家工厂。现有A3，A4两个建厂方案，只能选择 一个方案。这种物资的需求地有B1，B2，B3，B4四个。各工 厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求地的单位物资
运费cij（i, j=1,2,3,4）见下表。工厂A3，A4每年的生产费用
第三章 整数规划
主要内容 整数规划的数学模型及解的特点 分枝定界法 0-1型整数规划 指派问题
一、整数规划数学模型的一般形式
n
Max(或 Min) z c j x j
n
j 1
aij x j (or ,) ..,n)
例4：用图解法求解下面整数规划问题
max z x1 4x2 s.t.x12x12x23x28 3
x1, x2 0且取整数
解：画图，四边形OBPC及其内部为松弛问题的可行域， 整数格点为整数规划问题的可行解。
x2 max
4
3
A1 P A2
A*
2
A3 A4
B
C
O 123 456 7 8
x1
根据目标函数等值线优化方向，知P点（x1=18/7, x2=19/7）
(2)整数规划问题的可行解一定也是它的松弛问题的 可行解，反之则不一定，因此整数规划最优解的 目标函数值不会优于其松弛问题最优解的目标函 数值。
(3)松弛问题的最优解一般不会刚好满足整数约束条 件，因此对松弛问题最优解简单地取整，所得到 的解不一定是整数规划的最优解，甚至也不一定 是整数规划的可行解。
s.t.
x14 x11
x24 x12
x34 x13
x44 x14
150 400
x21
x22
x23
x24
600
x31 x32 x33 x34 200 y
x41
x42
x43
x44
200(1
y)
xij 0 (i, j 1,2,3,4), y 0或1
三、整数规划解的特点
(1)整数规划问题的可行解集合是它的松弛问题可行 解集合的一个子集；
x1
x2
8
x1 x2 x3 9
s.t.
x1 x2
x2 x3
x3 x4
x4 x5
11 13
x3
x4
x5
8
x4 x5 5
x5
3
x1, x2, x3, x4, x5 0,且均取整数值
例2：现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目j所 需投资额和预期收益分别为 aj和 cj（j=1,2,…,n）。由于某些原 因，有三个附加条件，第一，若选择项目1，就必须同时选择 项目2，反之则不一定；第二，项目3和项目4中至少选择一个； 第三，项目5，6，7中恰好选择2个。问应如何选择投资项目， 使得总预期收益最大？