2020届高三数学一轮复习 圆的方程巩固与练习
(北师大版)2020版高考文科数学一轮复习圆的方程文课后训练题含解析
课后限时集训(四十四)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1A [设圆心为(0，a )， 则1－02＋2－a2＝1，解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A ．]2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0C ．(－2,0)D ．⎝⎛⎭⎪⎫－2，23 D [方程化简为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.]3．(2019·广东六校模拟)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 D [设所求圆的圆心为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝33×a ＋22，b a －2＝－3，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.]4．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋ 2B ．2C ．1＋22D ．2＋2 2A [将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A ．]5．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4C [设圆心坐标为(2，－a )(a ＞0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d ＝|2－a －22|2＝2，所以a ＝2，所以该圆的标准方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4，故选C ．]二、填空题6．圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．(0,4) [设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |得 (a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32.所以a ＝2. 半径r ＝|CA |＝2＋12＋12＝10.故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.由题意知(m －2)2＋(6)2＜10，解得0＜m ＜4.]7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254[由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2，得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.]8．(2018·宜昌模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．(0，－1) [圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大，此时圆C 坐标为(0，－1)．]三、解答题9．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1,12)，B (7,10)，C (－9,2)．[解] (1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，3－a 2＋－2－b 2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝1－32＋－4＋22＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0.解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．如图，等腰梯形ABCD 的底边AB 和CD 长分别为6和26，高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E 的方程；(2)若线段MN 的端点N 的坐标为(5,2)，端点M 在圆E 上运动，求线段MN 的中点P 的轨迹方程．[解] (1)由已知可知A (－3,0)，B (3,0)，C (6，3)，D (－6，3)，设圆心E (0，b )． 由|EB |＝|EC |，得(0－3)2＋(b －0)2＝(0－6)2＋(b －3)2， 解得b ＝1，r 2＝(0－3)2＋(1－0)2＝10， 所以圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)设P (x ，y )，由已知得M (2x －5,2y －2)， 代入x 2＋(y －1)2＝10， 得(2x －5)2＋(2y －3)2＝10，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝52.B 组 能力提升1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1A [设M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋42，y ＝y 0－22，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.]2．(2019·辽宁锦州月考)如果圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在到原点的距离为2的点，则实数a 的取值范围是( )A ．(－3，－1)∪(1,3)B ．(－3,3)C ．[－1,1]D ．[－3，－1]∪[1,3]D [圆(x －a )2＋(y －a )2＝8的圆心(a ，a )到原点的距离为|2a |，半径r ＝22，由圆(x －a )2＋(y －a )2＝8上总存在点到原点的距离为2，得22－2≤|2a |≤22＋2，∴1≤|a |≤3，解得1≤a ≤3或－3≤a ≤－1.∴实数a 的取值范围是[－3，－1]∪[1,3]．故选D.]3．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则点M 的轨迹方程为________．(x －1)2＋(y －3)2＝2 [圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0. 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.]4．已知以点C ⎝⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． [解] (1)因为圆C 过原点O ，所以|OC |2＝t 2＋4t2.设圆C 的方程是(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4，即△OAB 的面积为定值． (2)因为|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， 所以OC 垂直平分线段MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12.所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2.当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2,1)，|OC |＝5， 此时，C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15＜5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点． 符合题意，此时，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)， |OC |＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＞ 5. 圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去． 所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 即为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.。
【2020】人教版高考理科数学一轮复习练习：第八篇 第2节 圆与方程
4.(20xx·沈阳二模)直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为( A )(A) (B) (C)4 (D)3解析:圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,圆心到直线x-3y+3=0的距离d==,弦长为2=.故选A.5.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为( A )(A)5-4 (B)-1(C)6-2 (D)解析:圆C1,C2的图象如图所示.设P是x轴上任意一点,则|PM|的最小值为|PC1|-1,同理|PN|的最小值为|PC2|-3,则|PM|+|PN|的最小值为|PC1|+|PC2| -4.作C1关于x轴的对称点C1′(2,-3),连接C1′C2,与x轴交于点P,连接PC1,可知|PC1|+|PC2|的最小值为|C1′C2|,则|PM|+|PN|的最小值为5-4.故选A.6.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是( A )(A)(x-2)2+(y+1)2=1 (B)(x-2)2+(y+1)2=4(C)(x+4)2+(y-2)2=4 (D)(x+2)2+(y-1)2=1解析:设M(x0,y0)为圆x2+y2=4上任一点,PM中点为Q(x,y),则所以代入圆的方程得(2x-4)2+(2y+2)2=4,即(x-2)2+(y+1)2=1.故选A.7.(20xx·东××区调研)当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角α= .解析:由题意知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.=(2-x,2-y),。
2020版高考数学一轮复习课时规范练46圆的方程理北师大版
课时规范练46 圆的方程基础巩固组1.(2018河北涞水月考,5)圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,则圆的面积为()A.9πB.πC.2πD.由m的值而定2.已知点A(-4,-5),B(6,-1),则以线段AB为直径的圆的方程为()A.(x+1)2+(y-3)2=29B.(x-1)2+(y+3)2=29C.(x+1)2+(y-3)2=116D.(x-1)2+(y+3)2=1163.(2018四川阆中中学期中,4)若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则a的取值范围是()A.-1<a<1B.0<a<1C.a<-1或a>1D.a=±14.(2018贵州凯里期末,6)设圆x2+y2-4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y-4=0的距离为d,则d的取值范围是()A.[0,3]B.[2,4]C.[3,5]D.[4,6]5.(2018甘肃兰州诊断,7)半径为2的圆C的圆心在第四象限,且与直线x=0和x+y=2均相切,则该圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y+2)2=4B.(x-2)2+(y+2)2=2C.(x-2)2+(y+2)2=4D.(x-2)2+(y+2)2=46.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为()A.2B.-2C.1D.-17.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.8.若直线l:2ax-by+2=0(a>0,b>0)与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则|OA|+|OB|(O为坐标原点)的最小值为.9.已知等腰三角形ABC,其中顶点A的坐标为(0,0),底边的一个端点B的坐标为(1,1),则另一个端点C的轨迹方程为.10.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为.综合提升组11.设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是()A.[-1,1]B.-C.[-]D.-12.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则的最大值为.13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.创新应用组15.(2018安徽定远重点中学月考,16)如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)16.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为.参考答案课时规范练46 圆的方程1.B∵圆的方程是x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0,∴圆心坐标是(2m+1,m),∵圆心在直线x+y-4=0上,∴2m+1+m-4=0,解得m=1,∴圆的方程是x2+y2-6x-2y+9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1,∴半径r=1,圆的面积S=πr2=π,故选B.2.B由题意知以线段AB为直径的圆的圆心为点,,即(1,-3),其半径为=,故以线段AB为直径的圆的方程是(x-1)2+(y+3)2=29.故选B.3.A∵点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,∴(1-a)2+(1+a)2<4,解得-1<a<1.故选A.4.C由题得圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=1,所以圆心坐标为(2,-2),半径为1.所以圆心到已知直线的距离为=4,所以动点P到已知直线的最短距离为4-1=3,最大距离为4+1=5,故选C.5.C设圆心坐标为(2,-a)(a>0),则圆心到直线x+y=2的距离d==2,所以a=2,所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=4.6.D曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l 对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.7.(x-1)2+y2=2由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为=.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.3+2由题意可得圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为(-1,2),半径为2,而直线l被圆截得的弦长为4,所以直线过圆心,所以a+b=1,又A-,0,B0, ,所以|OA|+|OB|=+=+(a+b)≥=3+2,当且仅当b=a时等号成立.9.x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1))设C(x,y),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x2+y2=2.考虑到A,B,C三点要构成三角形,因此点C不能为(1,1)和(-1,-1).所以点C的轨迹方程为x2+y2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得解得或所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.A如图所示,设点A(0,1)关于直线OM的对称点为P,则点P在圆O上,且MP与圆O相切,而点M在直线y=1上运动,圆上存在点N使∠OMN=45°,则∠OMN≤∠OMP=∠OMA,∴∠OMA≥45°,∴∠AOM≤45°.当∠AOM=45°时,x0=±1.∴结合图像知,当∠AOM≤45°时,-1≤x0≤1,∴x0的取值范围为[-1,1].12.6方法1:设P(cos α,sin α),α∈R,则=(2,0),=(cos α+2,sin α),·=2cos α+4.当α=2kπ,k∈Z时,2cos α+4取得最大值,最大值为6.故·的最大值为6.方法2:设P(x,y),x2+y2=1,-1≤x≤1,=(2,0),=(x+2,y),·=2x+4,故·的最大值为6.13.解 (1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.又|QC|==4>2,所以点Q在圆C外,所以|MQ|max=4+2=6,|MQ|min=4-2=2.(2)由题意可知表示直线MQ的斜率,设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,则=k.因为直线MQ与圆C有交点,所以≤2,所以2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-.14.解 (1)将圆C的方程配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.①当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,由=,得k=2±,∴切线方程为y=(2±)x.②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0(a≠0),由=,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.∴切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,圆的切线方程为y=(2+)x或y=(2-)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得+=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线PO⊥l,∴直线PO的方程为2x+y=0.解方程组得点P的坐标为-,.15.①②④当-2≤x≤-1,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,当-1≤x≤1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为的圆,当1≤x≤2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的圆,当3≤x≤4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的圆,∴函数y=f(x)的周期是4.画出函数y=f(x)的部分图像如图所示.①根据图像的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.②由图像可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.16.(x-2)2+(y-1)2=5由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为△OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r==,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.。
2020届高考数学(理)一轮复习精品特训专题九：解析几何(3)圆的方程
解析几何（3）圆的方程1、已知点(2,0),(0,2)A B ，点M 是圆22220x y x y +++=上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最小值为（ ）A ．2 BC ．2D ． 2、若方程220x y x y m -++=+表示一个圆，则m 的取值范围是( )A ．12m <B ．2m <C ．12m ≤ D ．2m ≤ 3、已知圆的方程22290x y ax +++=圆心坐标为()5,0,则它的半径为( )A. 3?C. 5D. 44、圆()222224121600x y ax ay a a +-++=<的周长等于( )A. aB. a -C. 22a πD. a5、如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )6、以为()1,1A -圆心且与直线20x y +-=相切的圆的方程为( )A. ()()221+1=4x y -+B. ()()221+1=2x y -+C. ()()22+1-1=4x y +D. ()()22+1-1=2x y +7、已知圆的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,且与直线3440x y ++=相切,则圆的方程是( )A. 2240x y x +-=B. 2240x y x ++=C. 22230x y x +--=D. 22230x y x ++-=8、若一动圆的圆心在抛物线216x y =上,且与直线40y +=相切,则此圆恒过定点( )A. ()0,8-B. (0,4)C. (0,4)-D. ()0,89、已知点()()5,0,1,3A B ---,若圆()222:0C x y r r +=>上恰有两点,M N ,使得MAB ∆和NAB ∆的面积均为5,则r 的取值范围是( )A. (B. (1,5)C. ()2,5D. ( 10、若,x y 满足222420? 0x y x y +-+-=,则22x y +的最小值是( )5B. 5-C. 30-D.无法确定11、已知R a ∈,方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.12、已知直线240x y +-=和坐标轴交于A 、B 两点, O 为原点,则经过,,O A B 三点的圆的方程为__________.13、若直线:1l ax by +=与圆22:1C x y +=有两个不同交点,则点(),P a b 与圆C 的位置关系是__________(点在圆内、圆上或圆外)14、圆22:2210O x y x y +--+=上的动点 Q 到直线:3480l x y ++=的距离的最大值是__________.15、已知圆22:1O x y +=和定点()3,2T ,由圆O 外一动点(),P x y 向圆O 引切线PQ ,切 点为Q ,且满足PQ PT =.1.求证:动点P 在定直线上；2.求线段PQ 长的最小值并写出此时点P 的坐标.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：2答案及解析：答案：A解析：2211()40m -+->，12m ∴<.3答案及解析：答案：D解析：由题得252a -=,5a ∴=-842==,故答案为:D 点睛:(1)本题主要考查圆的一般方程,意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2) 当2240D E F +->时, 220x y Dx Ey F ++++=表示圆心为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,半径为2的圆.4答案及解析：答案：B解析：原方程配方得()()22232x a y a a -++=.∵0a <,∴半径r =.∴圆的周长为()2πa ⨯=-.5答案及解析：答案：B解析：6答案及解析：答案：B解析：7答案及解析：答案：A解析：解:因为圆的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上设为(a,0),a>0,那么利用与直线相切,点到直线的距离公式得到为a=2,故圆的方程是,选A8答案及解析：答案：B解析：9答案及解析：答案：B解析：10答案及解析：答案：C解析：设(),P x y 是圆22:24200C x y x y +-+-=上一点.配方,得()()221?2? 25x y -++=,圆心坐标为()1,2C -,半径5r =.=,则线段PO 最短.如图,当点,,P O C 在同一直线上时,min 55PO PC OC =-==,即()22min 30x y +=-.11答案及解析：答案：();2,45--解析：由题意22a a =+, 1a =-或2, 1a =-时方程为224850x y x y +++-=,即22(2)(4)25x y +++=,圆心为(2,4)--,半径为5,2a =时方程为224448100x y x y ++++=,2215()(1)24x y +++=-不表示圆.12答案及解析：答案：22(2)(1)5x y -+-=解析：13答案及解析：答案：点在圆外解析：直线:1l ax by +=与圆22:1C x y +=有两个不同交点, 则2211a b<+,∴221a b +>,点(),P a b 在圆C 外部,故选C.14答案及解析：答案：4解析：∵圆 O 的标准方程为()()22111x y -+-=,圆心()1,1到直线l 的距离为31=>,∴动点 Q 到直线l 的距离的最大值为3+1=4.15答案及解析：答案：1.证明:由2221PQ PT PQ OP PT =⇒=-=,∴3270x y +-= 即动点P 在定直线3270x y +-=上.2.由221PQ OP =-,要求PQ 的最小值，只需求OP 的最小值,又点P 在直线3270x y +-=上,所以min min OP PQ ===== 此时直线OP 的方程为230x y -=,联立直线3270x y +-= 解得点2114,1313P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 已知圆()()221:4220C x y -+-=与y 轴交于O ，A 两点，圆2C 过O ，A 两点，且直线2C O与圆1C 相切.解析：。
(天津专用)2020版高考数学大一轮复习9.1直线方程与圆的方程精练
9.1 直线方程与圆的方程【真题典例】挖命题【考情探究】分析解读从高考试题来看,本节主要考查基础知识和基本方法,一是考查直线的倾斜角与斜率的关系、斜率公式以及直线方程的求解;二是圆的标准方程和一般方程的互化以及利用待定系数法、数形结合法求圆的方程,考查形式以选择题和填空题为主.同时圆的方程作为由直线方程向曲线方程的过渡,蕴含着解析法的解题思路和解题方法,是解析法的基础,因此,以圆为载体考查解析法的基本思想和方法是历年高考考查的重点.破考点【考点集训】考点一直线的倾斜角、斜率与方程1.已知直线l过定点(0,1),则“直线l与圆(x-2)2+y2=4相切”是“直线l的斜率为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B2.过点M(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=9分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l的方程是.答案x-2y+3=0考点二直线与直线的位置关系3.已知圆的方程为(x+1)2+y2=2,则圆心到直线y=x+3的距离为( )A.1B.C.2D.2答案 B4.已知直线3x+(1-a)y+1=0与直线x-y+2=0平行,则a的值为( )A.4B.-4C.2D.-2答案 A5.已知a∈R,则“直线y=ax-1与y=-4ax+2垂直”是“a=”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 B考点三圆的方程6.若直线x+y+a=0是圆x2+y2-2y=0的一条对称轴,则a的值为( )A.1B.-1C.2D.-2答案 B7.(2015课标Ⅰ, ,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案-+y2= 5炼技法【方法集训】方法1 直线方程的求法1.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心,且与直线x+y+1=0垂直,则l的方程是( )A.x+y-2=0B.x-y+2=0C.x+y-3=0D.x-y+3=0答案 D方法2 两直线平行与垂直问题的解决策略2.已知直线3x+4y+3=0与直线6x+my-14=0平行,则它们之间的距离是( )D.A.2B.8C.5答案 A3.已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为,则a= ;若l1⊥l2,则a= ;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为.答案-1;1;2方法3 关于对称问题的求解策略4.若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为( )A.(x-1)2+y2=1B.x2+(y+1)2=1C.x2+(y-1)2=1D.(x+1)2+y2=1答案 C方法4 圆的方程的求法5.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=06.(2016江苏改编,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=5=5.因为BC=OA==25,而MC2=d2+,所以25= 55+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.评析本题主要考查直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系,考查分析问题、解决问题的能力及运算求解能力.过专题【五年高考】A组自主命题·天津卷题组1.(2013天津文,5,5分)已知过点P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5相切,且与直线ax-y+1=0垂直,则a=( )A.-B.1C.2D.答案 C2.(2016天津文,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到,则圆C的方程为.直线2x-y=0的距离为55答案(x-2)2+y2=9B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2016课标Ⅱ, ,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )A.-B.-C.D.2答案 A2.(2015课标Ⅱ, ,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )A.2B.8C.4D.10答案 C3.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=04.(2014江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是.答案-35.(2018课标Ⅱ, 9, 分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C 交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由- ,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5. 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则-5,-解得,或,-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.6.(2017课标Ⅲ, , 分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由 ,可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为9,-,圆M的半径为 5,圆M的方程为-9+= 5.解后反思解直线与圆锥曲线相交问题时,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.疑难突破将直径所对的圆周角为9 °转化为两向量数量积等于0,进而由根与系数的关系进行整体运算求解.7.(2015课标Ⅰ, , 分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).又y'=,故y=在x=2处的导数值为,C在点(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,C在点(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2=-+-= a-=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)C组教师专用题组1.(2016四川,8,5分)设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,M 是线段PF上的点,且|PM|=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1答案 C2.(2015北京,2,5分)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( )A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案 D3.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若·≤ ,则点P的横坐标的取值范围是.答案[-5,1]4.(2015湖北文,16,5分)如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准．．方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-)2=2 (2)--1【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2018天津河西三模,4)设a∈R,则“a= ”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 C2.(2018天津十二区县二模,4)已知m为实数,直线l1:mx+y-1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,则“m= ”是“l1∥l2”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 A二、填空题(每小题5分,共20分)3.(2017天津和平四模,12)经过圆x2+2x+y2=0的圆心,且与直线x+y-2=0垂直的直线方程是.答案x-y+1=04.(2017天津耀华中学二模,10)已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为.答案205.(2017天津一中3月月考,12)圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于A(-2,0)、B(-4,0)两点,则圆C的方程为.答案(x+3)2+(y-2)2=56.(2018天津河东一模,12)已知A(0,),B(1,0),点P为圆x2+y2+2x=0上的任意一点,则△PAB面积的最大值为.答案。
2020届高考数学(理)大一轮复习增分练： 圆的方程 含解析
- 1 - / 72020届高考数学（理）大一轮复习增分练：圆的方程1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1 解析：选A.设圆心为(0，a )，则（1－0）2＋（2－a ）2＝1， 解得a ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.故选A.2．以M (1，0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是( )A ．(x －1)2＋y 2＝8B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．(x ＋1)2＋y 2＝16解析：选A.因为所求圆与直线x －y ＋3＝0相切，所以圆心M (1，0)到直线x －y ＋3＝0的距离即为该圆的半径r ，即r ＝|1－0＋3|2＝2 2.所以所求圆的方程为：(x －1)2＋y 2＝8.故选A. 3．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆 解析：选 D.由题意得⎩⎨⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎨⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎨⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1.故原方程表示两个半圆．4．(2019·山西晋中模拟)半径为2的圆C 的圆心在第四象限，且与直线x ＝0和x ＋y ＝22均相切，则该圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝4B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝4D ．(x －22)2＋(y ＋22)2＝4解析：选C.设圆心坐标为(2，－a )(a >0)，则圆心到直线x ＋y ＝22的距离d。
2020年高中数学 一轮复习 课时练46 圆的方程(理科)(人教A版)
课时练46 圆的方程1.(2019浙江绍兴模拟,5)已知圆x 2+y 2+kx+2y+k 2=0,当圆的面积最大时,圆心的坐标是( ) A.(-1,1) B.(1,-1) C.(-1,0)D.(0,-1)2.(2019江西南昌八中、二十三中、十三中联考,7)圆心在x+y=0上,且与x 轴交于点A (-3,0)和B (1,0)的圆的方程为( )A.(x+1)2+(y-1)2=5B.(x-1)2+(y+1)2=√5C.(x-1)2+(y+1)2=5D.(x+1)2+(y-1)2=√53.(2019福建宁德模拟,6)已知点M (3,1)在圆C :x 2+y 2-2x+4y+2k+4=0外,则k 的取值范围为( ) A.(-6,12)B.(-∞,-6)∪(12,+∞) C.(6,+∞)D.(-∞,12)4.(2019河南林州一中模拟,5)已知圆的方程为x 2+y 2-6x-8y+16=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( ) A.12√2 B.3√2C.6√2D.4√25.(2019安徽天长模拟,8)如果圆(x-a )2+(y-a )2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,则实数a 的取值范围为( ) A.[√2,2] B.[√2,2√2] C.[1,√2]D.[1,2√2] 6.(2019浙江湖州模拟,4)若圆C 1:(x+2)2+(y-1)2=1与圆C 2关于原点对称,则圆C 2的方程是( ) A.(x+1)2+(y-2)2=1 B.(x-1)2+(y+2)2=1 C.(x-2)2+(y-1)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=17.在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 .8.设点P 是函数y=-√4-(x -1)2图象上的任意一点,点Q 坐标为(2a ,a-3)(a ∈R ),则|PQ|的最小值为 .9.已知等腰三角形ABC ,其中顶点A 的坐标为(0,0),底边的一个端点B 的坐标为(1,1),则另一个端点C 的轨迹方程为 .10.已知圆M 与y 轴相切,圆心在直线y=12x 上,并且在x 轴上截得的弦长为2√3,则圆M 的标准方程为 .11.设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN=45°,则x 0的取值范围是( ) A.[-1,1] B.-12,12 C.[-√2,√2]D.-√22,√2212.(2019安徽江南十校二联,14)已知在直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,32),若点P满足OP=1,PA的中点为M,则BM的最大值为.13.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值;(2)若M(m,n),求n-3m+2的最大值和最小值.14.(2019河北邢台模拟,18)已知圆M:(x+a)2+(y-a)2=r2的圆心M在直线y=x上,且直线3x+4y-15=0与圆M相切.(1)求圆M的方程;(2)设圆M与x轴交于A,B两点,点P在圆M内,且|PM|2=|PA|·|PB|.记直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,求k1k2的取值范围.15.如图所示,边长为1的正方形PABC沿x轴滚动,点B恰好经过原点.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:①若-2≤x≤2,则函数y=f(x)是偶函数;②对任意的x∈R,都有f(x+2)=f(x-2);③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数.其中判断正确的序号是.(写出所有正确结论的序号)16.(2019宁夏石嘴山四模,14)点M(x,y)在曲线C:x2-4x+y2-21=0上运动,t=x2+y2+12x-12y-150-a,且t的最大值为b,若a,b∈R+,则1a+1+1b的最小值为.参考答案课时练46圆的方程1.D当圆的半径最大时,圆的面积最大,已知圆的一般方程x2+y2+kx+2y+k2=0,其圆心为(-k2,-1),半径为r=√4-3k22,可知当k=0时,r取最大值,即圆的面积最大时,圆心的坐标为(0,-1),故选D.2.A由题意得,圆心在直线x=-1上,又圆心在直线x+y=0上,∴圆心M的坐标为(-1,1).又A(-3,0),半径|AM|=√(-1+3)2+(1-0)2=√5,则圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.故选A.3.A∵圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0,∴圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=1-2k,∴圆心坐标(1,-2),半径r=√1-2k,若M(3,1)在圆C:x2+y2-2x+4y+2k+4=0外,则满足√(3-1)2+(1+2)2>√1-2k,且1-2k>0,即13>1-2k且k<12,即-6<k<12,故选A.4.A圆的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=9,故该圆圆心是(3,4),半径是3,圆心到点(3,5)的距离为1,根据题意,知最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,且|BD|=2√32-1=4√2,|AC|=6,所以四边形ABCD的面积为12|AC|·|BD|=12×6×4√2=12√2,故选A.5.B(x-a)2+(y-a)2=1(a>0),圆心为(a,a),半径为1,圆心到原点的距离为√2a,如果圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3,即圆心到原点的距离d∈[2,4],即2≤√2a≤4⇒√2≤a≤2√2,故选B.6.D由题意可得圆C1的圆心为(-2,1),半径为1,由对称性,关于原点对称的圆心(2,-1),半径也是1,∴圆C2的圆心为(2,-1),半径为1,∴圆C2的方程为(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.7.(x-1)2+y2=2由mx-y-2m-1=0,可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为√(2-1)2+(-1-0)2=√2.故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.8.√5-2 函数y=-√4-(x -1)2的图象表示圆(x-1)2+y 2=4在x 轴上及下方的部分,令点Q 的坐标为(x ,y ),则{x =2a ,y =a -3,得y=x2-3,即x-2y-6=0,作出图象如图所示,由于圆心(1,0)到直线x-2y-6=0的距离d=√1+(-2)=√5>2,所以直线x-2y-6=0与圆(x-1)2+y 2=4相离,因此|PQ|的最小值是√5-2.9.x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)) 设C (x ,y ),根据在等腰三角形中|AB|=|AC|,可得(x-0)2+(y-0)2=(1-0)2+(1-0)2,即x 2+y 2=2.考虑到A ,B ,C 三点要构成三角形,因此点C 不能为(1,1)和(-1,-1). 所以点C 的轨迹方程为x 2+y 2=2(除去点(1,1)和点(-1,-1)).10.(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4 设圆M 的标准方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2,由题意可得{12a -b =0,|a |=r ,b 2+3=r 2,解得{a =2,b =1,r =2或{a =-2,b =-1,r =2,所以圆M 的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.11.A 如图所示,设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ,则点P 在圆O 上,且MP 与圆O 相切,而点M 在直线y=1上运动,圆上存在点N 使∠OMN=45°, 则∠OMN ≤∠OMP=∠OMA ,∴∠OMA ≥45°,∴∠AOM ≤45°. 当∠AOM=45°时,x 0=±1.∴结合图象知,当∠AOM ≤45°时,-1≤x 0≤1,∴x 0的取值范围为[-1,1]. 12.3 由A (4,0),B (0,32),OP=1,则P 点轨迹为x 2+y 2=1,设M (x ,y ),则P (2x-4,2y )⇒(2x-4)2+(2y )2=1⇒(x-2)2+y 2=14,M 的轨迹为圆心为D (2,0),半径为12的圆,故BM的最大值为|BD|+12=52+12=3.13.解 (1)由圆C :x 2+y 2-4x-14y+45=0,可得(x-2)2+(y-7)2=8,所以圆心C 的坐标为(2,7),半径r=2√2.又|QC|=√(2+2)2+(7-3)2=4√2>2√2,所以点Q 在圆C 外,所以|MQ|max =4√2+2√2=6√2, |MQ|min =4√2-2√2=2√2.(2)由题意可知n -3m+2表示直线MQ 的斜率, 设直线MQ 的方程为y-3=k (x+2), 即kx-y+2k+3=0,则n -3m+2=k. 因为直线MQ 与圆C 有交点, 所以√1+k≤2√2,所以2-√3≤k ≤2+√3,所以n -3m+2的最大值为2+√3,最小值为2-√3.14.解 (1)因为圆M 的圆心M (-a ,a )在直线y=x 上,所以-a=a ,即a=0,因为直线3x+4y-15=0与圆M 相切,所以r=√3+4=3,故圆M 的方程为x 2+y 2=9.(2)由(1)知,圆心M (0,0),A (-3,0),B (3,0).设P (x ,y ),因为点P 在圆M 内,所以x 2+y 2<9.因为|PM|2=|PA|·|PB|,所以x 2+y 2=√(x +3)2+y 2·√(x -3)2+y 2, 所以2x 2-2y 2=9.因为直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2, 所以k 1=yx+3,k 2=yx -3, 则k 1k 2=y 2x 2-9=2x 2-92x 2-18=1+92x 2-18.因为{2x 2-2y 2=9,x 2+y 2<9,所以92≤x 2<274,所以-29<12x 2-18≤-19, 则-1<1+92x 2-18≤0.故k 1k 2的取值范围为(-1,0].15.①②④ 当-2≤x ≤-1,点P 的轨迹是以A 为圆心,半径为1的14圆,当-1≤x≤1时,点P的轨迹是以B为圆心,半径为√2的1圆,当1≤x≤2时,点P的轨迹是以C为圆心,半径为1的1圆,当3≤x≤4时,点P的轨迹是以A为圆心,半径为1的1圆,∴函数y=f(x)的周期是4.画出函数y=f(x)的部分图象如图所示.①根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,∴①正确.②由图象可知函数的周期是4.∴②正确.③函数y=f(x)在区间[2,3]上单调递增,∴③错误.④函数y=f(x)在区间[4,6]上是减函数,∴④正确.故答案为①②④.16.1曲线C可整理为(x-2)2+y2=25,则曲线C表示圆心为(2,0),半径为5的圆,t=x2+y2+12x-12y-150-a=(x+6)2+(y-6)2-222-a,设d=√(x+6)2+(y-6)2,则d表示圆上的点到(-6,6)的距离,则d max=√(2+6)2+(0-6)2+5=15,∴t max=152-222-a=b,整理得a+1+b=4,∴1 a+1+1b=141a+1+1b(a+1+b)=14×1+ba+1+a+1b+1.又ba+1+a+1b≥2√ba+1·a+1b=2当且仅当ba+1=a+1b,即a=1,b=2时取等号,∴1a+1+1 b ≥14×4=1,即1a+1+1b的最小值为1.。
2020高三数学一轮复习(人教版理)：圆 的 方 程
解析 (1)由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有|a－－a|＝|a－－a－4|
2
2
即|a|＝|a－2|，解得 a＝1。故圆心坐标为(1，－1)，半径 r＝ 2 ＝ 2，所以 2
圆 C 的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2。故选 B。
答案 (1)B
(2)(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系 xOy 中，以点(0,1)为圆心 且与直线 x－by＋2b＋1＝0 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ()
答案 48
微考点·大课堂
考点例析 对点微练
考点一 圆的方程 【例 1】 (1)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x－y－1＝0 相切于点 B(2,1)，则 圆 C 的方程为________。
解析 (1)由已知 kAB＝0，所以 AB 的中垂线方程为 x＝3①。过 B 点且 垂直于直线 x－y－1＝0 的直线方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0②， 联立①②，解得xy＝ ＝30， ， 所以圆心坐标为(3,0)，半径 r＝ 4－32＋1－02 ＝ 2，所以圆 C 的方程为(x－3)2＋y2＝2。
一、走进教材
1．(必修 2P124A 组 T1 改编)圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标是( )
A．(2,3)
B．(－2,3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析 故选 D。
答案
圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)。 D
2．(必修 2P120 例 3 改编)过点 A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线 x＋y －2＝0 上的圆的方程是( )
解析
设圆心的坐标为(a,0)(a>0)，根据题意得|2a|＝4 5
2020届高考数学(理)一轮复习讲练测专题44圆的方程(教学案)Word版含解析
专题44圆的方程（教学案）1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．1．圆的定义和圆的方程2. 平面上的一点M (x 0，y 0)与圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2之间存在着下列关系： (1)d ＞r ⇔M 在圆外，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔M 在圆外；(2)d ＝r ⇔M 在圆上，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔M 在圆上；(3)d ＜r ⇔M 在圆内，即(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔M 在圆内．高频考点一 求圆的方程例1、(1)(2016·天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为________.(2)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为________.(2)抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，准线为x ＝－1，故所求圆的圆心为(1，0)，半径为2，所以该圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝4.答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)(x －1)2＋y 2＝4【举一反三】(1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为__________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254解析 由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点，(4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52. (2)根据下列条件，求圆的方程．①经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； ②圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．②方法一 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.方法二 设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－4x 0，－x 02＋－2－y2＝r 2，|x 0＋y 0－1|2＝r ，解得⎩⎨⎧x0＝1，y 0＝－4，r ＝2 2.因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.【感悟提升】(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程组，进而求出D 、E 、F 的值．【变式探究】(1)若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为____________． (2)过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________． 答案 (1)x 2＋(y －1)2＝1 (2)(x －3)2＋y 2＝2半径r ＝－2＋－2＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2. 高频考点二 与圆有关的最值问题例2、已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0. (1)求yx的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值； (3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆.(1)y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3(如图1). 所以y x的最大值为3，最小值为－ 3.学科@网所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 【感悟提升】与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 【变式探究】(1)设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为 ( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 答案 B解析 |PQ |的最小值为圆心到直线的距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ |的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.(2)已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)．①求|MQ |的最大值和最小值； ②若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值． 解 ①由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22， 可得2－3≤k ≤2＋3， 所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3. 变式探究三 与圆有关的轨迹问题例3、设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285(点P 在直线OM 上的情况)． 【举一反三】已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积.因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165，故△POM 的面积为165.【感悟提升】求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． ②定义法：根据圆、直线等定义列方程． ③几何法：利用圆的几何性质列方程．④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【变式探究】已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN .在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.1.【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C（D ）2 【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．1.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C2.【2015高考山东，理9】一条光线从点()2,3--射出，经y 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） （A ）53-或35- （B ）32- 或23- （C ）54-或45- （D ）43-或34- 【答案】D【解析】由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点()2,3- ，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反身光线所在直线方程为：()32y k x +=- ，即：230kx y k ---=.又因为光线与圆相切，()()22321x y ++-=1= ,整理：21225120k k ++= ，解得：43k =-，或34k =-,故选D ．3.【2015高考陕西，理15】设曲线xy e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为 ． 【答案】()1,14.【2015高考广东，理20】已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个交点：若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()3,0；（2）223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）3325,,4477k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦．【解析】（1）由22650x y x +-+=得()2234x y -+=，学科#网 ∴ 圆1C 的圆心坐标为()3,0； （2）设(),M x y ，则∵ 点M 为弦AB 中点即1C M AB ⊥， ∴ 11C M AB k k ⋅=-即13y yx x⋅=--，∴ 线段AB 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）由（2）知点M 的轨迹是以3,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心32r =为半径的部分圆弧EF （如下图所示，不包括两端点），且53E ⎛ ⎝⎭，5,3F ⎛ ⎝⎭，又直线L ：()4y k x =-过定点()4,0D ，当直线L 与圆C 相切时，32=得34k =±，又05743DE DFk k ⎛- ⎝⎭=-=-=-，结合上图可知当3325,,44k ⎡⎧⎫∈--⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．1．（2014·福建卷）设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 2 【答案】D【解析】设圆心为点C ，则圆x 2＋(y －6)2＝2的圆心为C (0，6)，半径r ＝ 2.设点Q (x 0，y 0)是椭圆上任意一点，则x 2010＋y 20＝1，即x 20＝10－10y 20，L∴|CQ |＝10－10y 20＋（y 0－6）2＝－9y 20－12y 0＋46＝－9⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋232＋50， 当y 0＝－23时，|CQ |有最大值52， 则P ，Q 两点间的最大距离为52＋r ＝62.2．（2013·新课标全国卷Ⅰ）已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C. (1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.当且仅当圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2，所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则|QP||QM|＝R r 1，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k|1＋k2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0.解得x 1，2＝－4±6 27.所以|AB|＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB|＝187. 综上，|AB|＝2 3或|AB|＝187.3．（2013·重庆卷）如图1－9所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；(2)取垂直于x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外，若PQ⊥P′Q，求圆Q 的标准方程．图1－9【解析】解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16.故该椭圆的标准方程为x 216＋y28＝1.即(x 1－x 0)2－y 21＝0.由椭圆方程及x 1＝2x 0得14x 21－8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116＝0，解得x 1＝±4 63，x 0＝x 12＝±2 63，从而|QP|2＝8－x 20＝163.故这样的圆有两个，其标准方程分别为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2632＋y 2＝163，⎝⎛⎭⎪⎫x －2 632＋y 2＝163. 4．(2013年高考江西卷)若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________． 解析：由已知可设圆心为(2，b )，由22＋b 2＝(1－b )2＝r 2得b ＝－32，r 2＝254.故圆C 的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2541.已知点A (1，－1)，B (－1，1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A.x 2＋y 2＝2 B.x 2＋y 2＝ 2 C.x 2＋y 2＝1D.x 2＋y 2＝4答案 A2.圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为( ) A.(x －2)2＋(y －1)2＝1 B.(x ＋1)2＋(y －2)2＝1 C.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D.(x －1)2＋(y ＋2)2＝1解析 已知圆的圆心C (1，2)关于直线y ＝x 对称的点为C ′(2，1)，∴圆(x －1)2＋(y －2)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故选A.学&科网 答案 A3.方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C.(－2，0)D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，23解析 方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24＞0，解得－2＜a ＜23.答案 D4.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A.(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B.(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C.(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D.(x ＋2)2＋(y －1)2＝1解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋x 02，y ＝－2＋y 02，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2.因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 20＝4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案 A5.已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53 B.213 C.253 D.43答案 B6.若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________.解析 设圆心C 坐标为(2，b )(b <0)，则|b |＋1＝4＋b 2.解得b ＝－32，半径r ＝|b |＋1＝52，故圆C 的方程为：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254.答案 (x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝2547.已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________. 解析 圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.所以，当k ＝0时圆C 的面积最大.答案 (0，－1)8.已知点M (1，0)是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0内的一点，那么过点M 的最短弦所在直线的方程是________. 解析 过点M 的最短弦与CM 垂直，圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＝0的圆心为C (2，1)，∵k CM ＝1－02－1＝1，∴最短弦所在直线的方程为y －0＝－(x －1)，即x ＋y －1＝0. 答案 x ＋y －1＝09.已知三条直线l 1：x －2y ＝0，l 2：y ＋1＝0，l 3：2x ＋y －1＝0两两相交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程.解 l 2平行于x 轴，l 1与l 3互相垂直.三交点A ，B ，C 连线构成直角三角形，经过A ，B ，C 三点的圆就是以AB 为直径的圆.10.在△ABC 中，已知|BC |＝2，且|AB ||AC |＝m ，求点A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.解 如图，以直线BC 为x 轴、线段BC 的中点为原点，建立直角坐标系. 则有B (－1，0)，C (1，0)，设点A 的坐标为(x ，y ).由|AB ||AC |＝m ，得（x ＋1）2＋y 2＝m （x －1）2＋y 2.整理得(m 2－1)x 2＋(m 2－1)y 2－2(m 2＋1)x ＋(m 2－1)＝0.①当m 2＝1时，m ＝1，方程是x ＝0，轨迹是y 轴.当m 2≠1时，对①式配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 2＋1m 2－12＋y 2＝4m 2（m 2－1）2.所以，点A 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2－1，0为圆心，2m |m 2－1|为半径的圆(除去圆与BC 的交点).。
2020版高考数学一轮复习课时训练(四十八)圆的方程(含解析)新人教A版(2021-2022学年)
课时跟踪检测（四十八) 圆的方程一、题点全面练1．圆(x－3)２+（ｙ-1）2=5关于直线y＝-ｘ对称的圆的方程为( ）A．（x+3)2+（y－1)２=5ﻩ B.（x－1)2+(y－3)2=５Ｃ．（ｘ+1)2＋(y+3)2＝5ﻩ D.（ｘ-1）2＋（ｙ＋３)2=5解析：选 C 由题意知，所求圆的圆心坐标为(-1,-3），半径为错误!未定义书签。
,所以所求圆的方程为(x＋1）2+（ｙ＋3)2＝5，故选C.2．已知三点A(1，0)，Ｂ（０，错误!未定义书签。
)，C(2，错误!未定义书签。
）,则△ＡBC 外接圆的圆心到原点的距离为(）Ａ。
错误!未定义书签。
ﻩ B.＼f(21）３C。
错误!未定义书签。
D。
错误!未定义书签。
解析：选Ｂ设圆的一般方程为x２+y２+Dx＋Eｙ+F＝0(Ｄ2+Ｅ2－４F>0），∴错误!∴错误!未定义书签。
∴△ABC外接圆的圆心为错误!未定义书签。
,故△AＢC外接圆的圆心到原点的距离为错误!＝错误!未定义书签。
3.(2019·成都模拟）若抛物线y＝x2－2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则由交点确定的圆的方程为(）A．x２+(y-１)2=4ﻩ B.（x-1)2＋（y-1)2＝4C．（x-１）2+y2=4ﻩ D.（ｘ－１)2＋(y＋1)2＝5解析:选 D 抛物线y＝x2－2x－３关于直线x=1对称，与坐标轴的交点为A(－1,0),B（3,0),Ｃ（０,-3),设圆心为M(1,ｂ),半径为r,则|ＭA｜2＝｜MC｜2＝r2，即4＋ｂ２=1＋（b+3)2＝ｒ2,解得b=－1，r＝＼r(5),∴由交点确定的圆的方程为（ｘ-1)2+(y＋1)２=5，故选Ｄ.4.(２０19·银川模拟)若圆C与y轴相切于点P(０,1)，与x轴的正半轴交于A,Ｂ两点,且|AB|=2，则圆C的标准方程是( )A.(ｘ＋2)2＋（ｙ+1)2=2ﻩB。
(x＋１)2＋（ｙ+２)2＝2C．(x-＼r(2))2+(y－1)２＝2ﻩＤ．（x-１）2+（y－错误!未定义书签。
2020年高考文科数学一轮总复习：圆的方程
2020年高考文科数学一轮总复习：圆的方程第3讲 圆的方程1．圆的方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系． (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程x 2＋y 2＝a 2表示半径为a 的圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆．( )(4)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2，3) B ．(－2，3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D.圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的充要条件是( ) A.14<m <1 B ．m <14或m >1C ．m <14D ．m >1解析：选B.由(4m )2＋4－4×5m >0，得m <14或m >1.点(1，1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4内，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为点(1，1)在圆的内部， 所以(1－a )2＋(1＋a )2<4， 所以－1<a <1. 答案：(－1，1)(教材习题改编)圆C 的直径的两个端点分别是A (－1，1)，B (1，3)，则圆C 的方程为________．解析：因为点A (－1，1)和B (1，3)为圆C 直径的两个端点，则圆心C 的坐标为(0，2)，半径|CA |＝（2－1）2＋1＝2，所以圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝2.答案：x 2＋(y －2)2＝2求圆的方程(师生共研)(1)圆心在x 轴上，半径长为2，且过点A (2，1)的圆的方程是( ) A ．(x －2－3)2＋y 2＝4 B ．(x －2＋3)2＋y 2＝4 C ．(x －2±3)2＋y 2＝4D ．(x －2)2＋(y －1)2＝4(2)(一题多解)(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________．【解析】 (1)根据题意可设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝4，因为圆过点A (2，1)，所以(2－a )2＋12＝4，解得a ＝2±3，所以所求圆的方程为(x －2±3)2＋y 2＝4.(2)法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，①（1－a ）2＋（1－b ）2＝r 2，（2－a ）2＋b 2＝r 2，③②由①－③，得a ＝1，代入②，得(1－b )2＝r 2，结合①，得b ＝0，所以r 2＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0. 法三：记A (0，0)，B (2，0)，C (1，1)，连接AB ，由圆过点A (0，0)，B (2，0)，知AB的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC ，又圆过点C (1，1)，BC 的中点为⎝⎛⎭⎫32，12，BC 所在直线的斜率k BC ＝－1，所以BC 的垂直平分线为直线y ＝x －1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1，0)，半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.【答案】 (1)C (2)x 2＋y 2－2x ＝0求圆的方程的两种方法(1)直接法根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．[提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．1．(2019·湖北名校摸底)过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：选C.由题知直线AB 的垂直平分线为y ＝x ，直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点是(1，1)，所以圆的圆心为(1，1)，圆的半径为2，故圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4.2．与x 轴切于原点且过点(2，1)的圆的方程是________．解析：设圆心坐标为(0，r )，则方程为x 2＋(y －r )2＝r 2，代入点的坐标求得r ＝52，所以圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254. 答案：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝254与圆有关的最值问题(典例迁移)(一题多解)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求yx 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2，0)为圆心，3为半径的圆． (1)yx 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3(如图所示)．所以yx的最大值为3，最小值为－ 3.(2)法一：x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为2.所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.法二：由x 2＋y 2－4x ＋1＝0，得(x －2)2＋y 2＝3.设⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，则x 2＋y 2＝(2＋3cos θ)2＋(3sin θ)2＝7＋43cos θ.所以当cos θ＝－1时，(x 2＋y 2)min ＝7－43， 当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝7＋4 3.[迁移探究1] (变问法)在本例条件下，求y －3x ＋1的最大值和最小值．解：y －3x ＋1的几何意义是圆上一动点P (x ，y )与定点A (－1，3)连线的斜率．所以设y －3x ＋1＝k 即y ＝kx ＋k ＋ 3.当直线y ＝kx ＋k ＋3与圆相切时，斜率k 取得最大值或最小值． 此时，|2k ＋k ＋3|k 2＋1＝3，解得k ＝0或k ＝－3(如图所示)． 所以y －3x ＋1的最大值为0，最小值为－ 3.[迁移探究2] (变问法)在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值． 解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6(如图所示)．所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.求解与圆有关的最值问题的方法1．(2019·厦门模拟)设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．解析：由题意，知P A →＝(2－x ，－y )，PB →＝(－2－x ，－y )，所以P A →·PB →＝x 2＋y 2－4，由于点P (x ，y )是圆上的点，故其坐标满足方程x 2＋(y －3)2＝1，故x 2＝－(y －3)2＋1，所以P A →·PB →＝－(y －3)2＋1＋y 2－4＝6y －12.易知2≤y ≤4，所以，当y ＝4时，P A →·PB →的值最大，最大值为6×4－12＝12.答案：122．设点P 是函数y ＝－4－（x －1）2图象上的任意一点，点Q 坐标为(2a ，a －3)(a ∈R )，则|PQ |的最小值为________．解析：函数y ＝－4－（x －1）2的图象表示圆(x －1)2＋y 2＝4的下半圆(包括与x 轴的交点)．令点Q 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a ，y ＝a －3，得y ＝x2－3，即x －2y －6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1，0)到直线x －2y －6＝0的距离d ＝|1－2×0－6|12＋（－2）2＝5>2，所以直线x －2y－6＝0与圆(x －1)2＋y 2＝4相离，因此|PQ |的最小值是5－2.答案：5－2与圆有关的轨迹问题(师生共研)已知A (2，0)为圆x 2＋y 2＝4上一定点，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 【解】 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4. 故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.与圆有关的轨迹问题的四种求法已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程． 解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0. 因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1，0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3，0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y . 由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．[基础题组练]1．圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1，2)的圆的方程是( ) A ．x 2＋(y －2)2＝1 B ．x 2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝4解析：选A.根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1，2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.2．方程|x |－1＝1－（y －1）2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆D ．两个半圆解析：选 D.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（|x |－1）2＋（y －1）2＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋（y －1）2＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2＋（y －1）2＝1，x ≤－1. 故原方程表示两个半圆．3．(2019·湖南长沙模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( )A ．1＋2B ．2C ．1＋22D ．2＋22解析：选A.将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1，选A.4．(2019·河南六校联考(一))圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝4解析：选B.设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为A (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，所以a ＝1，b ＝3，所以A (1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选B.5．(2019·山西太原模拟)已知方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，则实数F ＝________．解析：法一：因为方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以4＋4－4F4＝4，得F ＝－2.法二：方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2－F ，因为方程x 2＋y 2－2x ＋2y ＋F ＝0表示半径为2的圆，所以F ＝－2.答案：－26．过两点A (1，4)，B (3，2)且圆心在直线y ＝0上的圆的标准方程为________． 解析：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.因为圆心在直线y ＝0上，所以b ＝0，所以圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2.又因为该圆过A (1，4)，B (3，2)两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2＋16＝r 2，（3－a ）2＋4＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r 2＝20.所以所求圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝20.答案：(x ＋1)2＋y 2＝207．求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)； (2)过三点A (1，12)，B (7，10)，C (－9，2)．解：(1)法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ，解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2. 所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22， 所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0. 解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.8．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1，0)和B (3，4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1，2)． 则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又因为直径|CD |＝410，所以|P A |＝210， 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.所以圆心P (－3，6)或P (5，－2)．所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.[综合题组练]1．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2，3)，则n －3m ＋2的最大值为( )A ．3＋2B ．1＋2C ．1＋3D ．2＋3解析：选D.由题可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，其中n －3m ＋2＝k ，将圆C 的方程化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，C (2，7)，半径r ＝22，由直线MQ 与圆C 有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，解得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，故选D.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2，6]B ．[4，8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2，0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |·d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．3．已知点A 是直角三角形ABC 的直角顶点，且A (2a ，2)，B (－4，a )，C (2a ＋2，2)，则△ABC 的外接圆的方程是________．解析：由题意，得2a ＝－4，所以a ＝－2.所以B (－4，－2)，C (－2，2)． 所以圆的半径为BC2＝（－4＋2）2＋（－2－2）22＝5，圆心为(－3，0)．所以△ABC 的外接圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝5. 答案：(x ＋3)2＋y 2＝54．(应用型)已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5，因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝55．已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 和点A ，与y 轴交于点O 和点B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：因为圆C 过原点O ，所以OC 2＝t 2＋4t 2. 设圆C 的方程是 (x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2， 令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t； 令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×|4t|＝4， 即△OAB 的面积为定值．(2)因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分线段MN .因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12. 所以2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，OC ＝5，此时，圆心C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点．符合题意，此时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，OC ＝5，此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， 所以t ＝－2不符合题意，舍去．所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.6．(2019·河北唐山调研)已知点A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |.(1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，则（x ＋3）2＋y 2＝2（x －3）2＋y 2.化简可得(x －5)2＋y 2＝16，故此曲线方程为(x －5)2＋y 2＝16.(2)曲线C 是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．由题知直线l 2与圆C 相切于M ，连接CQ ，CM ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ⊥l1时，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，此时|CQ|＝|5＋3|2＝42，故|QM|的最小值为32－16＝4.。
2020高三数学一轮复习(人教版文)：课时作业51圆 的 方 程
7．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC
和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．5 2
B．10 2
C．15 2
D．20 2
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1,3)，半径r＝ 10，由题意知AC⊥BD，且|AC| ＝2 10，|BD|＝2 10－5＝2 5，所以四 边形ABCD的面积为S＝12|AC|·|BD|＝21×2 10×2 5＝10 2。
解析 过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为
C(2,1)，因为kCM＝
1－0 2－1
＝1，所以最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－
1)，即x＋y－1＝0。
答案 x＋y－1＝0
10．(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y＝
1 2
x2(x<0)上，且和该抛
物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为________。
答案 B
6．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C 与y轴相切于原点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a,0))，且 半径r＝|a|，所以当E＝F＝0且D<0时，圆心为－D2 ，0，半径为D2，圆C 与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选 A。
解析 直线x－y＋1＝0与x轴的交点(－1，0)。根据题意，圆C的圆心 坐标为(－1,0)。因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的 距离，即r＝d＝|－11＋2＋0＋123|＝ 2，则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2。
2020高考数学一轮复习名师随堂巩固练43附答案解析
解析： 设圆 C 的标准方程为 (x － a)2＋(y －b)2＝r2，则圆心 (a， b)到直线 x －y－ 1＝ 0 的距离
|a－b－1|
d＝
＝r① .又圆 C 过点 A(4 ，1)，B(2，1)，所以 (4－a)2＋ (1 －b)2＝ r2② ，(2－ a)2＋(1－ b)2
2
＝ r2③，由 ①②③ 解得 a＝ 3， b＝ 0，r ＝ 2，所以圆 C 的标准方程为 (x － 3)2＋ y2＝ 2.
7. 若圆 C 的半径为 1，其圆心 C 与点 (1，0)关于直线 y＝ x 对称，则圆 C 的标准方程为 __x2 ＋ (y －1)2＝ 1__．
解析： 因为圆心 C 与点 (1，0)关于直线 y＝ x 对称，所以圆心为 (0，1)．又圆 C 的半径为 1， 所以圆 C 的标准方程为 x2＋ (y－ 1)2＝1.
3. 已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是 __(x － 4)2＋ (y－ 1)2＝ 26__．
A(5 ，6)， C(3，－ 4)，则圆的方程为
解析： 由题意知圆心是 (4，1)，圆的直径为 AC ＝ （ 5－3）2＋（ 6＋4） 2＝ 2 26，半径为 26，所以圆的方程为 (x －4)2＋ (y－ 1)2＝ 26.
因为圆 M 过三点 A(0 ， a)，B( － 3a， 0)，C( 3a， 0)，
a2＋ aE＋ F＝ 0，
D＝ 0，
所以 3a－ 3aD＋ F＝ 0，解得 E＝ 3－ a，
3a＋ 3aD＋ F＝ 0，
F＝－ 3a，
所以圆 M 的方程为 x 2＋y2＋(3－ a)y－ 3a＝0.
4. 已知圆的方程为 x2＋y2＋ λｘ＋ ( λ－ 2)y ＋5＝0，且定点 P(2， 3)在圆外，则实数 λ的取值 12
2020高考数学理科大一轮复习导学案《圆的方程》(含答案)
第三节圆的方程知识点一 圆的方程 1．圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，其中(a ，b )为圆心，r 为半径． 3．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是D 2＋E 2－4F >0，其中圆心为(－D 2，－E 2)，半径为12D 2＋E 2－4F .1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( D ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)．2．方程x 2＋y 2＋x ＋y －m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析：由题1＋1＋4m >0，所以m >－12.故选A.3．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程为( C )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r ，因为圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，所以b ＝2－a .因为|CA |2＝|CB |2，所以(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2.所以a ＝1，b ＝1.所以r ＝2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4. 知识点二 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系 1．若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. 2．若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. 3．若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2<r 2.4．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(－1,1)．解析：由条件知(1－a)2＋(1＋a)2<4，即2＋2a2<4.∴a2<1.即－1<a<1.1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.考向一求圆的方程【例1】 (1)(2019·广东珠海四校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2(2)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．【解析】 (1)由题意设圆心坐标为(a ，－a )，则有|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|2，即|a |＝|a －2|，解得a ＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.(2)解法1：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝0，F ＝0，即圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.解法2：记A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，连接AB ，由圆过点A (0,0)，B (2,0)，知AB 的垂直平分线x ＝1必过圆心．连接BC ，又圆过点C (1,1)，BC 的中点为(32，12)，BC 所在直线的斜率k BC ＝－1，所以BC 的垂直平分线为直线y＝x －1，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，x ＝1，得圆心的坐标为(1,0)，半径为1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.【答案】 (1)B (2)x 2＋y 2－2x ＝0一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过已知条件及圆的性质求出圆的基本量；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.应用待定系数法求圆的方程时，如果由已知条件易求得圆心坐标和半径，常设为圆的标准方程求解；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常设为圆的一般方程进行求解.(1)若圆C 过点(0，－1)，(0,5)，且圆心到直线x －y －2＝0的距离为22，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝9或(x －8)2＋(y －2)2＝73.(2)过点(0,2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4或(x ＋2)2＋(y －2)2＝4.解析：(1)依题意，设圆心的坐标为(a,2)，圆C 的方程为(x －a )2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋9＝r 2，|a －4|2＝22，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，r ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，r ＝73，故圆C 的方程为x 2＋(y －2)2＝9或(x －8)2＋(y －2)2＝73.(2)由题意可得所求圆的圆心在第一象限或第二象限，当圆心在第一象限时，圆心为(2,2)，半径为2，故圆的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.当圆心在第二象限时，圆心为(－2,2)，半径为2，故圆的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4.考向二 与圆有关的最值问题 方向1 与基本不等式有关的最值【例2】 圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，则1a ＋3b 的最小值是( )A ．2 3B.203 C ．4D.163【解析】 由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线经过圆心(－1，3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥1310＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号，故选D. 【答案】 D方向2 与距离有关的最值【例3】 (2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]【解析】 圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2＋0＋2|2＝22，所以点P 到直线的距离d 1∈[2，32]．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以△ABP 的面积S ＝12|AB |d 1＝2d 1.因为d 1∈[2，32]，所以S ∈[2,6]，即△ABP 面积的取值范围是[2,6]．【答案】 A方向3 与斜率有关的最值【例4】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值．【解】 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆．y x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设yx ＝k ，即y ＝kx . 当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．1．(方向1)已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝4，若点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，则1a ＋9b 的最小值为8.解析：由题意将两圆的方程相减，可得公共弦方程为x ＋y ＝2.点P (a ，b )(a >0，b >0)在两圆的公共弦上，∴a ＋b ＝2，∴1a ＋9b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b (a ＋b )＝1210＋b a ＋9a b ≥12×(10＋6)＝8，当且仅当b a ＝9a b ，即b ＝3a 时取等号，所以1a ＋9b 的最小值为8.2．(方向2)(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：解法1：由已知得点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动，d 的最大值为圆心(0,0)到直线x －my －2＝0的距离与圆x 2＋y 2＝1的半径之和，即d max ＝21＋m 2＋1≤3(当且仅当m ＝0时取“＝”)．∴当θ，m 变化时d 的最大值为3.解法2：由题意可得d ＝|cos θ－m sin θ－2|m 2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m 2＋1＝|m 2＋1(m m 2＋1sin θ－1m 2＋1cos θ)＋2|m 2＋1＝|m 2＋1sin (θ－φ)＋2|m 2＋1(其中cos φ＝m m 2＋1，sin φ＝1m 2＋1)，∵－1≤sin(θ－φ)≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1，m 2＋1＋2m 2＋1＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3，故选C. 3．(方向3)若实数x ，y 满足x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，则y －4x －2的取值范围为( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，0 解析：将原方程，整理得(x －1)2＋(y －1)2＝1，y －4x －2表示的是圆上的点和点(2,4)之间的连线的斜率，设y －4x －2＝k ，即kx －y －2k ＋4＝0，则由|k －1－2k ＋4|1＋k2≤1，解得k ≥43，故选B. 考向三 与圆有关的轨迹问题【例5】 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．【解】(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法(1)直接法：根据题设条件直接列出方程；(2)定义法：根据圆的定义写出方程；(3)几何法：利用圆的性质列方程；(4)代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．(1)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( D )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0(2)已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点P ，动点Q 满足P A →＝2AQ →，则点Q 的轨迹方程为( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1 C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1 解析：(1)由题意得|PC |2－22＝|PO |，所以(x －3)2＋(y ＋4)2－4＝x 2＋y 2，即6x －8y －21＝0，故选D.(2)设Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，由P A →＝2AQ →，得x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y ，代入圆的方程，得⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.。
2020年高考数学一轮复习专题10.2圆的方程及位置关系练习(含解析)
第二讲 圆的方程与位置关系一．求圆的方程1．圆的定义：在平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆． 2．圆的标准方程(1) 若圆的圆心为C(a,b ),半径为r ，则该圆的标准方程为：． (2) 方程表示圆心为C(a,b ),半径为r 的圆． 3．圆的一般方程(1)任意一个圆的方程都可化为：.这个方程就叫做圆的一般方程． (2) 对方程：. ①若，则方程表示以，为圆心,为半径的圆； ②若，则方程只表示一个点，； ③若，则方程不表示任何图形． 4.点与⊙C 的位置关系(1)|AC |<r ⇔点A 在圆内⇔； (2)|AC |＝r ⇔点A 在圆上⇔； (3)|AC |>r ⇔点A 在圆外⇔.二．圆与圆的位置关系设两圆的圆心分别为、，圆心距为，半径分别为、(). (1)两圆相离：无公共点；，方程组无解.(2)两圆外切：有一个公共点；，方程组有一组不同的解. (3)两圆相交：有两个公共点；，方程组有两组不同的解. (4)两圆内切：有一公共点；，方程组有一组不同的解.(5)两圆内含：无公共点；，方程组无解.特别地，时，为两个同心圆.222()()x a y b r -+-=222()()x a y b r -+-=220x y Dx Ey F ++++=220x y Dx Ey F ++++=2240D E F +->(2D -)2E -F E D 42122-+0422=-+F E D (2D -)2E-0422<-+F E D 00()A x y ，22200()()x a y b r <－＋－22200()()x a y b r =－＋－22200()()x a y b r >－＋－1C 2C 12d C C =R r R r >d R r >+d R r =+R r d R r -<<+d R r =-0d R r ≤<-0d =考向一 圆的方程【例1】（1）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为 。
2020届高三理数一轮讲义：9.3-圆的方程(含答案)
C.(x－1)2＋(y－1)2＝4D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
解析设圆心C的坐标为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去.
当a＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化为标准方程为(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.
答案(－2，－4)5
考点一 圆的方程
【例1】(1)(一题多解)(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
法三设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为 ，半径r＝ ，
∵圆心在直线x＋y＝0上，∴－ － ＝0，即D＋E＝0，①
又∵圆C与直线x－y＝0相切，
∴ ＝ ，
即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，
∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②
又知圆心 到直线x－y－3＝0的距离d＝ ，
由已知得d2＋ ＝r2，
第
最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.
知识梳理
1.圆的定义和圆的方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方
程
标准
(x－a)2＋(y－b)2
＝r2(r＞0)
圆心C(a，b)
半径为r
一般
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
2020版高考数学一轮复习课后限时集训45圆的方程理(含解析)北师大版(最新整理)
课后限时集训（四十五）圆的方程(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．若方程（2m2＋m－1）x2＋（m2－m＋2）y2＋m＋2＝0的图形表示一个圆，则实数m等于（)A．3 B．－3C．1 D．－1B［由题意得2m2＋m－1＝m2－m＋2，所以m＝－3或m＝1。
当m＝1时,原方程为2x2＋2y2＋3＝0，不能表示圆；当m＝－3时，原方程为x2＋y2＝错误!,该曲线表示圆．故选B．］2．动点P与定点A(－1,0），B（1,0)的连线的斜率之积为－1，则点P的轨迹方程是（）A．x2＋y2＝1B．x2＋y2＝1（x≠0)C．x2＋y2＝1（x≠±1)D．y＝错误!C［设P（x，y),由题意可知k PA·k PB＝－1，即错误!·错误!＝－1（x≠±1），∴y2＋x2＝1（x≠±1）．故选C。
]3．圆：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( ）A．1＋错误!B．2C．1＋错误!D．2＋2错误!A［由已知得圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1）2＝1，则圆心坐标为（1，1),半径为1，所以圆心到直线的距离为错误!＝错误!,所以圆上的点到直线的距离的最大值是1＋错误!,故选A.］4．已知三点A(1,0），B(0，3)，C(2，错误!)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（) A。
错误!B．错误!C.错误!D．错误!B［设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则错误!解得错误!即圆的方程为x2＋y2－2x－错误!y＋1＝0.∴△ABC外接圆的圆心为错误!，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为错误!＝错误!.］5．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是（)A．(x＋1）2＋y2＝2 B．(x＋1）2＋y2＝8C．（x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8A[直线x－y＋1＝0与x轴的交点为（－1,0）．根据题意，圆C的圆心坐标为(－1,0）．因为圆C与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离,即r＝d＝错误!＝错误!,则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.故选A.]二、填空题6．若不同的四点A（5，0)，B（－1,0）,C（－3，3），D（a,3)共圆，则a的值为________．7［设过A,B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0。
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巩固1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝5B ．x 2＋(y －2)2＝5C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5D ．x 2＋(y ＋2)2＝5 答案：A 2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则F ＝E ＝0且D ＜0是⊙C 与y 轴相切于原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－D2，0)，而D 可以大于0，故选A.3.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：选B.设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4.可知圆的面积为4π，故选B.4．(2020年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________．解析：将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1＝52，所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝252.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝2525．(原创题)已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1)6．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解：(1)设AP 中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.练习1．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 解析：选C.设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a .由|CA |2＝|CB |2得(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，即(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2，解得a ＝1，b ＝1，∴r ＝|CA |＝(1－1)2＋(1＋1)2＝2.即所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4.2．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2)y －4＝0关于直线y －x ＝0对称的曲线仍是其本身，则实数a 为( )A ．±12B ．±22C.12或－22 D ．－12或22解析：选B.由题意知，圆心C (－a 22，a 2－12)在直线y －x ＝0上，∴a 2－12＋a 22＝0，∴a2＝12，∴a ＝±22.故选B. (注：F ＝－4＜0，不需验D 2＋E 2－4F ＞0)3．(2020年高考上海卷)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 解析：选A.设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.4．(2020年高考辽宁卷)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选B.由题意可设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝|a ＋a －4|2，解得a ＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝|1＋1|2＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －3)2＋(y －73)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．(x －32)2＋(y －1)2＝1解析：选B.设圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧|b |＝1|4a －3b |5＝1，又b >0，故b ＝1，由|4a －3|＝5得a ＝2或a ＝－12，又a >0，故a ＝2，所求圆的标准方程是(x －2)2＋(y －1)2＝1.(采用检验的方法也可以)6．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程是( )A ．4B ．5C ．32－1D ．26 解析：选A.圆C 的圆心C 的坐标为(2,3)，半径r ＝1.点A (－1,1)关于x 轴的对称点A ′的坐标为(－1，－1)．因A ′在反射线上，所以最短距离为|A ′C |－r ，即[2－(－1)]2＋[3－(－1)]2－1＝4.7．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为________．解析：将方程配方，得(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.∴r 2＝1－34k 2>0，r max ＝1，此时k ＝0.∴圆心为(0，－1)． 答案：(0，－1)8.圆心在原点且圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________．解析：如图，因为圆周被直线3x ＋4y ＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB ＝120°.而圆心到直线3x ＋4y＋15＝0的距离d ＝1532＋42＝3，在△AOB 中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＝36.答案：x 2＋y 2＝369．一个等腰三角形底边上的高等于4，底边两端点的坐标是(－3,0)，(3,0)，则它的外接圆方程是________．解析：底边端点关于原点对称， 所以底边的中垂线方程为x ＝0，①底边上的高等于4，说明第三个顶点的坐标为(0,4)或(0，－4)．一腰的中垂线方程为y －2＝34(x －32)或y ＋2＝－34(x －32)，②方程①②联立得圆心坐标为(0，78)或(0，－78)，半径为(0－3)2＋(±78－0)2＝258，所求圆的方程为x 2＋(y ＋78)2＝62564或x 2＋(y －78)2＝62564.答案：x 2＋(y ＋78)2＝62564或x 2＋(y －78)2＝6256410．求与x 轴相交于A (1,0)和B (5,0)两点且半径为5的圆的标准方程．解：法一：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝5. ∵点A ，B 在圆上，所以可得到方程组：⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )2＋(0－b )2＝5(5－a )2＋(0－b )2＝5，解得a ＝3，b ＝±1. ∴圆的标准方程是(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5.法二：由A 、B 两点在圆上可知线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识：这个圆的圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝3上，于是可设圆心为C (3，b )，又|AC |＝5，即(3－1)2＋b2＝5，解得b ＝1或b ＝－1.因此，所求圆的标准方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5或(x －3)2＋(y ＋1)2＝5. 11．圆C 通过不同的三点P (k,0)、Q (2,0)、R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，试求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则k 、2为x 2＋Dx ＋F ＝0的两根， ∴k ＋2＝－D,2k ＝F ， 即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ，又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0. ∴E ＝－2k －1. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0，圆心坐标为(k ＋22，2k ＋12)．∵圆C 在点P 处的切线斜率为1，∴k CP ＝－1＝2k ＋12－k，∴k ＝－3.∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6.∴所求圆C 的方程为x 2＋y 2＋x ＋5y －6＝0.12．已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程．解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心C (t ，2t)，∴D ＝－2t ，E ＝－4t，令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4t)，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4t|＝4(定值)．(2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C, ∴k OC ＝12，∴2t t ＝12，解得t ＝2或t ＝－2， 而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2， ∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.。