2020届高三数学一轮复习 圆的方程巩固与练习

巩固

1．圆(x ＋2)2

＋y 2

＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )

A ．(x －2)2＋y 2＝5

B ．x 2＋(y －2)2

＝5

C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝5

D ．x 2＋(y ＋2)2

＝5 答案：A 2．已知⊙C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则F ＝E ＝0且D ＜0是⊙C 与y 轴相切于原点的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.由题意可知，要求圆心坐标为(－D

2

，0)，而D 可以大于0，故选A.

3.已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )

A ．π

B ．4π

C ．8π

D ．9π

解析：选B.设P (x ，y )，由题知有：(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y

2

＝0，配方得(x －2)2＋y 2

＝4.可知圆的面积为4π，故选B.

4．(2020年高考广东卷)以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________．

解析：将直线x ＋y ＝6化为x ＋y －6＝0，圆的半径r ＝|2－1－6|1＋1＝5

2

，所以圆的方程

为(x －2)2＋(y ＋1)2

＝252

.

答案：(x －2)2＋(y ＋1)2

＝252

5．(原创题)已知圆x 2＋y 2

＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________．

解析：圆的方程变为(x ＋1)2＋(y －2)2

＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a ＞0，即a ＜5. 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，

∴2＝－2＋b ，∴b ＝4.∴a －b ＝a －4＜1. 答案：(－∞，1)

6．已知圆x 2＋y 2

＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程． 解：(1)设AP 中点为M (x ，y )，

由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．

∵P 点在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2

＝4.

故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2

＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt△PBQ 中，|PN |＝|BN |， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ，

所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2

，

所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2

＝4.

故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2

－x －y －1＝0.

练习

1．过点A (1，－1)，B (－1,1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )

A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4

B ．(x ＋3)2＋(y －1)2

＝4

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2

＝4 解析：选C.设圆心C 的坐标为(a ，b )，半径为r . ∵圆心C 在直线x ＋y －2＝0上，∴b ＝2－a .

由|CA |2＝|CB |2

得

(a －1)2＋(b ＋1)2＝(a ＋1)2＋(b －1)2

，

即(a －1)2＋(2－a ＋1)2＝(a ＋1)2＋(2－a －1)2

，

解得a ＝1，b ＝1，∴r ＝|CA |＝(1－1)2＋(1＋1)2

＝2.

即所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2

＝4.

2．若曲线x 2＋y 2＋a 2x ＋(1－a 2

)y －4＝0关于直线y －x ＝0对称的曲线仍是其本身，则实数a 为( )

A ．±12

B ．±22

C.12或－22 D ．－12或22

解析：选B.由题意知，圆心C (－a 22，a 2－12)在直线y －x ＝0上，∴a 2－12＋a 22＝0，∴a

2

＝12，∴a ＝±2

2

.故选B. (注：F ＝－4＜0，不需验D 2＋E 2

－4F ＞0)

3．(2020年高考上海卷)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2

＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( )

A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1

B ．(x －2)2＋(y ＋1)2

＝4

C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝1

D ．(x ＋2)2＋(y －1)2

＝1 解析：选A.设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，

则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝x 1＋42，y ＝y 1－2

2，

⎩⎪⎨⎪⎧

x 1＝2x －4，

y 1＝2y ＋2，

代入x 2＋y 2

＝4得

(2x －4)2

＋(2y ＋2)2

＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2

＝1.

4．(2020年高考辽宁卷)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为( )

A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2

B ．(x －1)2＋(y ＋1)2

＝2

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2

＝2

解析：选B.由题意可设圆心坐标为(a ，－a )，则|a ＋a |2＝|a ＋a －4|

2

，解得a ＝1，故圆

心坐标为(1，－1)，半径r ＝|1＋1|2

＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2

＝2.

5．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )

A ．(x －3)2＋(y －73

)2＝1 B ．(x －2)2＋(y －1)2

＝1

C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1

D ．(x －32

)2＋(y －1)2

＝1

解析：选B.设圆心坐标为(a ，b )，则⎩

⎪⎨⎪

⎧

|b |＝1|4a －3b |

5＝1，又b >0，故b ＝1，由|4a －