中考专题-比例和比例线段

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比例及平行线分线段成比例定理

一、比例1、比例的基本性质：1),a c ad bc b d =⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2)a c b db d ac =⇔=(反比定理); 3)a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)(更比定理);4)a c a b c d b d b d ++=⇔=(合比定理);5)a c a b c d b d b d --=⇔=(分比定理);6)a c a b c d b d a b c d ++=⇔=--(合分比定理);7)(0)a c m a c m a b d n bdn b d n b ++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理).2、比例中项：若::a b b c =,则b 叫做,a c 的比例中项. 3、如图,设三条平行线123l l l ∥∥,则AB DEBC EF=.此定理称为平行线分线段成比例定理,它的逆定理仍然成立.l 3l 2l 1FE D CB A二、平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

重点：掌握比例的基本性质，同时掌握比例的几种变形；掌握平行线分线段成比例定理的内容难点：掌握定理的内容和推论及其初步运用关键：掌握好与相似的过渡板块一、比例的基本性质【例1】已知：a c b d=，求证：ab cd +是2222a cb d ++和的比例中项。

【例2】已知：234x y z==。

求33x y z x y-+-. 【例3】设14a c e b d f ===，则a c e b d f+-=+-_______板块二、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例4】如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解33 相似形(解析版)

初中数学中考复习考点知识与题型专题讲解专题33相似形【知识要点】考点知识一相似图形及比例线段相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.相似多边形：若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。

特征：对应角相等，对应边成比例。

比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段。

考点知识二相似三角形相似图形的概念：形状相同的图形叫做相似图形。

相似图形的概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似用符号“∽”，读作“相似于”。

相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.判定方法（五）：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形的性质：1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形的面积比等于相似比的平方．相似三角形与实际应用：关键：巧妙利用相似三角形性质，构建相似三角形求解。

考点知识三位似位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：1.位似图形是相似图形的一种特殊形式。

2.位似图形的对应顶点的连线所在直线相交与一点，位似图形的对应边互相平行或者共线。

位似中心的位置：形内、形外、形上。

线段的比与比例线段的概念

线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。

相似三角形-备战2022年中考数学一轮复习考点(浙江专用)(解析版)

考点14 相似三角形【命题趋势】相似三角形是中考数学中非常重要的一个考点，它不仅可以作为简单考点单独考察，还经常作为压轴题的重要解题方法，和其他如函数、特殊四边形、圆等问题一起考察。

而且，在很多压轴题中，虽然题面上没有明确考察相似三角形的判定或性质，但是经常通过相似三角形的判定以及性质来得到角相等或者边长间的关系，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段。

需要考生在复习的时候给予加倍的重视！【中考考查重点】一、比例线段二、相似三角形的性质三、相似三角形的判定四、相似三角形的基本图形考向一：比例线段一．比例的性质1.基本性质：bc ad d c b a =⇔=::；2.比例中项：b a c b c c a ⋅=⇔=2::，此时，c 为a 、b 的比例中项；二．比例线段1.比例线段：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段简称比例线段；2.黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 3.平行线分线段成比例的基本性质：如图：AB ∥CD ∥EF ⇔DE BD CF AC =【同步练习】 1．已知＝，则的值为（） A ．B ．C ．D ．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．2．线段AB的长为2，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长可能是（）A．+1B．2﹣C．3﹣D．﹣2【分析】根据黄金分割点的定义，知AC可能是较长线段，也可能是较短线段，分别求出即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，或AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故选：C．3．如图，直线a，b，c截直线e和f，a∥b∥c，，则下列结论中，正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解答本题．【解答】解：∵a∥b∥c，，∴＝，∴，，，故选项A正确，符合题意，选项B、D不正确，不符合题意；连接AF，交BE于H，∵BE∥CF，∴△ABH∽△ACF，∴，，∴选项C不正确，不符合题意；故选：A．4．若＝＝（a≠c），则＝．【分析】根据等比的性质即可求解．【解答】解：∵＝＝（a≠c），∴＝．故答案为：．5．若（x、y、z均不为0），则＝．【分析】设比值为k，然后用k表示出x、y、z，再代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：设＝＝＝k（k≠0），则x＝6k，y＝4k，z＝3k，所以，＝＝3．故答案为：3．6．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知AE＝6，，则EC的长是．【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出＝，将AE＝6代入，求出AC＝14，那么EC＝AC﹣AE＝8．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∵AE＝6，∴＝，解得：AC ＝14，∴EC ＝AC ﹣AE ＝14﹣6＝8．故答案是：8．考向二：相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例相似三角形的周长之比等于相似比相似三角形的面积之比等于相似比的平方相似三角形的对应“三线”（高线、中线、角平分线）之比等于相似比【方法提炼】【同步练习】1．如图，已知△ABE ∽△CDE ，AD 、BC 相交于点E ，△ABE 与△CDE 的周长之比是，若AE ＝2、BE ＝1，则BC 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】首先利用周长之比求得相似比，然后根据AE 的长求得CE 的长，从而求得BC 的长．【解答】解：∵△ABE ∽△CDE ，△ABE 与△CDE 的周长之比是， ∴AE ：CE ＝2：5， ∵AE ＝2， ∴CE ＝5，相似三角形性质的主要应用方向： ➢ 求角的度数 ➢ 求或证明比值关系 ➢ 证线段等积式 ➢ 求面积或面积比相似三角形的对应边成比例是求线段长度的重要方法，也是动点问题中得到函数关系式的重要手段∵BE＝1，∴BC＝BE+EC＝1+5＝6，故选：D．2．如图，已知△ABC∽△DEF，若∠A＝35°，∠B＝65°，则∠F的度数是（）A．30°B．35°C．80°D．100°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，再根据相似三角形对应角相等即可解决问题．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝35°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣35°﹣65°＝80°，又∵△ABC∽△DEF，∴∠F＝∠C＝80°，故选：C．3．如图，在正方形网格中：△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】利用相似三角形的性质，证明∠BAC＝135°，可得结论．【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF＝135°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣135°＝45°，故选：B．4．如图，△ABC∽△A'B′C′，下列说法正确的是（）A．∠B＝∠C′B．S△ABC＝2S△A′B'C'C．AC＝4A'C'D．A'B′＝6【分析】根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵△ABC∽△A'B′C′，AB＝12，BC＝2a，B'C'＝a，∴∠B＝∠B'，S△ABC：S△ABC＝＝4，AC＝2A'C'，A'B'＝AB＝＝6．故A、B、C错误，D正确；故选：D．5．若D为△ABC中AB边上一点，且DE∥BC交AC于E，AB＝6，BC＝8，AC＝10，若△ADE与△ABC 的相似比为，则AE ＝．【分析】先根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，再根据AC＝10以及△ADE与△ABC的相似比为，即可求出AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵△ADE与△ABC的相似比为，∴＝，∵AC＝10，∴AE＝5．故答案为：5．考向三：相似三角形的判定一．相似三角形的判定方法：判定方法1·平行∵DE∥BC∴△ABC∽△ADE判定方法2·“AA”∵∠A=∠A`，∠C=∠C` ∴△ABC∽△A，B，C，二．判定三角形相似的思路：（1）有平行截线——用平行线的性质，找等角（2）有一对等角，找⎩⎨⎧该角的两边对应成比例另一对等角（3）有两边对应成比例，找夹角相等（4）直角三角形，找⎩⎨⎧例直角边、斜边对应成比一对锐角相等（5）等腰三角形，找⎩⎨⎧底边和腰长对应成比例一对底角相等【同步练习】1．如图，在△ABC 纸片中，∠A ＝76°，∠B ＝34°．将△ABC 纸片沿某处剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是（） A ．①②B ．②④C ．①③D ．③④【分析】根据相似三角形的判定定理逐个判断即可．【解答】解：图①中，∠B ＝∠B ，∠A ＝∠BDE ＝76°，所以△BDE 和△ABC 相似；图②中，∠B ＝∠B ，不符合相似三角形的判定，不能推出△BCD 和△ABC 相似；判定方法3·“SAS ”∵````C B BCB A AB =，∠B=∠B ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，判定方法4·“SSS ”∵``````C A ACC B BC B A AB == ∴△ABC ∽△A ，B ，C ，图③中，∠C＝∠C，∠CED＝∠B，所以△CDE和△CAB相似；图④中，∠C＝∠C，不符合相似三角形的判定，不能推出△CDE和△ABC相似；所以阴影三角形与原三角形相似的有①③，故选：C．2．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC C．＝D．AB2＝AD•AC【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；C、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；D、∵AB2＝AD•AC，∴，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意．故选：C．3．如图，在下列四个条件：①∠B＝∠C，②∠ADB＝∠AEC，③AD：AC＝AE：AB，④PE：PD＝PB：PC 中，随机抽取一个能使△BPE∽△CPD的概率是（）A．0.25B．0.5C．0.75D．1【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【解答】解：由题意得：∠DPC＝∠EPB，①∠B＝∠C，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE∽△CPD，②∵∠ADB＝∠AEC，∴∠PDC ＝∠PEB ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ③∵AD ：AC ＝AE ：AB ，∠A ＝∠A ， ∴△ADB ∽△AEC ， ∴∠B ＝∠C ，所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ，④PE ：PD ＝PB ：PC ，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：△BPE ∽△CPD ， ∴在上列四个条件中，随机抽取一个能使△BPE ∽△CPD 的概率是：1，故选：D ．4．如图，在△ABC 中，AB ＝12，BC ＝15，D 为BC 上一点，且BD ＝BC ，在AB 边上取一点E ，使以B ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BE＝．【分析】根据相似三角形对应边成比例得出或，再代值计算即可．【解答】解：∵△BDE ∽△BCA 或△BDE ∽△BAC ， ∴或，∵BD ＝BC ，BC ＝15， ∴BD ＝5， ∵AB ＝12， ∴或，解得：BE ＝4或．故答案为：4或．考向四：相似三角形的基本图形一、A 字图及其变型“斜A 型”当∠ADE=∠ACB 时 △ADE ∽△ACB 性质：BCDEAB AE AC AD ==当DE ∥BC 时 △ADE ∽△ABC 性质：BCDEACAE ABAD ==①当∠A=∠C 时 △AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CDAB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用：如图可得：△PAB ∽△PCD二、8字图及其变型“蝴蝶型”变型三、一般母子型：联系应用：切割线定理：如图，PB 为圆O 切线，B 为切点，则：△PAB ∽△PBC得：四、一线三等角：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）当AB ∥CD 时 △AOB ∽△DOC性质：OCOBOD OA CD AB ==当∠ABD=∠ACB 时 △ABD ∽△ACB 性质：ACAD AB •=2 PC PA PB •=2其中： ∠A 是公共角 AB 是公共边 BD 与BC 是对应边异侧型五、手拉手相似模型：模型名称几何模型图形特点具有性质相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E逆时针A、B、C逆时针连结BD、CE①△ABD∽△ACE②△AOB∽△HOC③旋转角相等④A、B、C、H四点共圆“反向”相似型手拉手△ABC∽△ADEA、D、E顺时针A、B、C逆时针A、D、E`逆时针作△ADE关于AD对称的△ADE`性质同上①②③【同步练习】1．如图，已知，DE∥BC，AD：DB＝1：2，那么下列结论中，正确的是（）A．DE：BC＝1：2B．AE：AC＝1：3C．AD：AE＝1：2D．S△ADE：S四边形BDEC＝1：4【分析】利用平行线分线段成比例定理，比例的性质和相似三角形的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【解答】解：∵AD：DB＝1：2，∴．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴A选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴B选项的结论正确；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．∴C选项的结论错误；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC．∴．设S△ADE＝k，则S△ABC＝9k，∴S四边形BDEC＝S△ABC﹣S△ADE＝8k，∴．∴D选项的结论错误．综上所述，正确的结论是B，故选：B．2．如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（）A．4B．C．D．5【分析】由矩形的性质可求出∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，证明△EFB∽△FGC，由相似三角形的性质得出，求出CG＝4，同理可得出△DAE∽△EBF，由相似三角形的性质求出AE的长，则可求出答案．【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，FC＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故选：B．3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转α得到△DEC，此时点D落在边AB上，且DE垂直平分BC，则的值是（）A．B．C．D．【分析】根据旋转的性质和线段垂直平分线的性质证明△DCF∽△DEC，对应边成比例即可解决问题．【解答】解：如图，设DE与BC交于点F，由旋转可知：CA＝CD，AB＝DE，BC＝EC，∠B＝∠E，∵DE垂直平分BC，∴DF⊥BC，DC＝DB，CF＝BF＝BC＝EC，∴∠DCB＝∠B＝∠E，∵∠DCB+∠FDC＝90°，∴∠E+∠FDC＝90°，∴∠DCE＝90°，∴△DCF∽△DEC，∴＝＝，∴＝．故选：B．4．如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，那么下列条件中不能判定△ABC∼△ACD的是（）A．B．AC2＝AD•AB C．∠B＝∠ACD D．∠ADC＝∠ACB【分析】△ABC和△ACD有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵∠DAC＝∠CAB，∴当∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC；当，即AC2＝AD•AB时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ACD∽△ABC．故选：A．5．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝3，ED＝5，则的值为．【分析】利用平行线的性质判定△ABE∽△DCE，利用相似三角形的性质可得结论．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE．∴．∵AE＝3，ED＝5，∴＝．故答案为：．1．已知，则的值是（）A．B．C．D．【分析】设＝k（k≠0），得出a＝13k，b＝5k，再代入要求的式子进行计算即可求出答案．【解答】解：设＝k（k≠0），则a＝13k，b＝5k，∴＝＝；故选：D．2．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠A，AC＝6，BC＝4，所以AB长为（）A．2B．C．D．4【分析】将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，利用托勒密定理列出方程组，求解即可解决问题．【解答】解：将∠ABC三等分，与△ABC外接圆相交，交点分别为：E与F，如图所示：圆上依次为ABCEF，记BE＝m，AB＝b，则利用托勒密定理有：，可得：，即，∴b＝，故选：B．3．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（）A．1：4B．1：9C．1：16D．1：25【分析】根据平行四边形的性质求出AD＝BC，AD∥BC，推出△AFE∽△BGE，△AFO∽△CGO，再根据相似三角形的性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E为AB的中点，F为AD的中点，∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，∴，∵AE＝BE，∴AF＝BG＝BC，∴＝∵AD∥BC，∴△AFO∽△CGO，∴＝（）2＝，即S△AOF：S△COG＝1：9，故选：B．4．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例性质进行解答便可．【解答】解：∵EF∥BC，∴，∵EG∥AB，∴，∴，故选：A．5．如图，P为平行四边形ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△P AB 的面积分别为S，S1，S2．若S＝3，则S1+S2的值为（）A．24B．12C．6D．3【分析】过P作PQ平行于DC，由DC与AB平行，得到PQ平行于AB，可得出四边形PQCD与ABQP 都为平行四边形，进而确定出△PDC与△PCQ面积相等，△PQB与△ABP面积相等，再由EF为△BPC 的中位线，利用中位线定理得到EF为BC的一半，且EF平行于BC，得出△PEF与△PBC相似，相似比为1：2，面积之比为1：4，求出△PBC的面积，而△PBC面积＝△CPQ面积+△PBQ面积，即为△PDC面积+△P AB面积，即为平行四边形面积的一半，即可求出所求的面积．【解答】解：过P作PQ∥DC交BC于点Q，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD与四边形APQB都为平行四边形，∴△PDC≌△CQP，△ABP≌△QPB，∴S△PDC＝S△CQP，S△ABP＝S△QPB，∵EF为△PCB的中位线，∴EF∥BC，EF＝BC，∴△PEF∽△PBC，且相似比为1：2，∴S△PEF：S△PBC＝1：4，S△PEF＝3，∴S△PBC＝S△CQP+S△QPB＝S△PDC+S△ABP＝S1+S2＝12．故选：B．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE＝2EB，连接DF．若S△AEF＝4，则S△ADF的值为（）A．6B．10C．15D．【分析】因为四边形ABCD是平行边形，所以AD∥BC，则△AEF∽△ABC，得＝＝，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积为25，而△CDA≌△ABC，则△CDA的面积为25，根据等高三角形面积的比等于底的比即可求出△ADF的面积．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行边形，∴AD∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵3AE＝2EB，∴＝，∴＝＝，∴＝＝＝，∵S△AEF＝4，∴S△ABC＝＝＝25，∴CD＝AB，AD＝BC，AC＝CA，∴△CDA≌△ABC（SSS），∴S△CDA＝S△ABC＝25，∴S△ADF＝S△CDA＝×25＝10，∴S△ADF的值为10，故选：B．7．如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果，那么＝．【分析】由平行四边形的对边相等可求得BC＝AD，BC∥AD，易证得△BEF∽△DAF，则，根据比例的性质即可得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC；∵＝，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴，∴，∴＝＝．故答案为：．8．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接CF、AC．（1）线段DF的长为；（2）若AC交DF于点M，则＝．【分析】（1）利用三角形面积相等，列出等式，求解即可；（2）延长DF交CB的延长线于K，利用相似三角形的性质求出KE，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．【解答】解：（1）根据题意，画出下图：∵AB＝6，AD＝8，BE＝＝4，∴AE＝，∴S△ADE＝＝，S△ADE＝＝24，∴DF＝＝．（2）若AC交DF于点M，延长DF交BC延长线于点K，如图所示：∵∠KEF＝∠AEB，∠EFK＝∠ABE＝90°，∴△KEF∽△AEB，∴，∴，∴KE＝5，∴CK＝KE+EC＝9，∵AD∥CK，∴＝．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：BD•AD＝DE•AC．（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．（3）在（2）的条件下，求cos∠BDE的值．【分析】（1）证明∠B＝∠C，∠DEB＝∠ADC＝90°，可证明△BDE∽△CAD即可解决问题；（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可；（3）可得出∠BDE＝∠BAD，则cos∠BDE＝cos∠BAD＝．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD．∴，∴BA•AD＝DE•CA；（2）∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝＝＝12，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝．（3）∵∠ADB＝∠AED＝90°，∴∠BDE＝∠BAD，∴cos∠BDE＝cos∠BAD＝．10．已知：四边形ABCD中，AC＝AB＝20，点E为BC边上一点，BE≥CE，且DE＝DC，∠AED＝∠B，AC、DE相交于点F，cos∠B＝．（1）求证：△ABE∽△ECF；（2）若BE＝18，求EF的长；（3）若∠DAE＝90°，求CE的长．【分析】（1）正确作出辅助线，找到对等关系，即可证明△ABE∽△ECF；（2）找到包含有要求解的边长有关系的三角形，利用勾股定理，求出AE的边长，再利用相似三角形，找到对应关系，即可求出EF的长；（3）在直角三角形内，根据给定的余弦值，找到对应边长，即可求出CE的长．【解答】（1）证明：如图所示：过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝20，∴∠AED＝∠B，∴∠1+∠2＝180°﹣∠AED，∵∠3+∠2＝180°﹣∠B，∴∠1＝∠3，∴△ABE∽△ECF；（2）解：由（1）知，过点A作AH⊥BC于H，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BH＝16，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝16，∴BC＝32，∵BE＝18，∴EC＝14，在△ABH中，AH＝，HE＝BE﹣BH＝18﹣16＝2，∴AE＝，∵△ABE∽△ECF，∴，即，∴EF＝．（3）解：若∠DAE＝90°，则∠BAE＝90°，∵AB＝20，cos∠B＝，∴BE＝25，∴CE＝BC﹣BE＝32﹣25＝7．1.（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且OA＝OB，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，F A，EB均与地面垂直，测得F A＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的长度为cm．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角∠CHD 的度数达到最小值30°时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）【分析】（1）由平行线的性质可得∠ECB＝∠ABF，由锐角三角函数可得，即可求解；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，由“ASA”可证△ABF≌△BAN，可得BN＝AF，可求NE的长，由锐角三角函数可求DE的长，即可求DH的长，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，由锐角三角函数和等腰三角形的性质，可求DC的长，通过相似三角形的性质可求解．【解答】解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案为：40；（2）如图2，延长AD，BE交于点N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tan N＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵点H是CD的中点，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如图3，连接CD，过点H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16（cm），∴CD＝2PD＝8.32（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案为：12.5．2.（2021·浙江宁波）【证明体验】（1）如图1，AD为△ABC的角平分线，∠ADC＝60°，点E在AB上，AE＝AC．求证：DE平分∠ADB．【思考探究】（2）如图2，在（1）的条件下，F为AB上一点，连结FC交AD于点G．若FB＝FC，DG＝2，CD＝3，求BD的长．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA＝2∠DCA，点E在AC上，∠EDC＝∠ABC．若BC＝5，CD＝2，AD＝2AE，求AC的长．【分析】（1）由△EAD≌△CAD得∠ADE＝∠ADC＝60°，因而∠BDE＝60°，所以DE平分∠ADB；（2）先证明△BDE∽△CDG，其中CD＝ED，再由相似三角形的对应边成比例求出BD的长；（3）根据角平分线的特点，在AB上截取AF＝AD，连结CF，构造全等三角形和相似三角形，由相似三角形的性质求出AC的长．【解答】（1）证明：如图1，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵AE＝AC，AD＝AD，∴△EAD≌△CAD（SAS），∴∠ADE＝∠ADC＝60°，∵∠BDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠BDE＝∠ADE，∴DE平分∠ADB．（2）如图2，∵FB＝FC，∴∠EBD＝∠GCD；∵∠BDE＝∠CDG＝60°，∴△BDE∽△CDG，∴；∵△EAD≌△CAD，∴DE＝CD＝3，∵DG＝2，∴BD＝＝＝.（3）如图3，在AB上取一点F，使AF＝AD，连结CF．∵AC平分∠BAD，∴∠F AC＝∠DAC，∵AC＝AC，∴△AFC≌△ADC（SAS），∴CF＝CD，∠FCA＝∠DCA，∠AFC＝∠ADC，∵∠FCA+∠BCF＝∠BCA＝2∠DCA，∴∠DCA＝∠BCF，即∠DCE＝∠BCF，∵∠EDC＝∠ABC，即∠EDC＝∠FBC，∴△DCE∽△BCF，∴，∠DEC＝∠BFC，∵BC＝5，CF＝CD＝2，∴CE＝＝＝4；∵∠AED+∠DEC＝180°，∠AFC+∠BFC＝180°，∴∠AED＝∠AFC＝∠ADC，∵∠EAD＝∠DAC（公共角），∴△EAD∽△DAC，∴＝，∴AC＝2AD，AD＝2AE，∴AC＝4AE＝CE＝×4＝．3.（2021·浙江杭州）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，交BC边于点F，连接BG．（1）求证：△ABG∽△AFC．（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD ＝∠CBE，求证：BG2＝GE•GD．【分析】（1）根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠F AC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABG∽△AFC；（2）由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；（3）先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，∴∠BAG＝∠F AC，又∵∠G＝∠C，∴△ABG∽△AFC；（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，∴＝，∵AC＝AF＝b，∴AB＝AG＝a，∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，∴∠BAG＝∠CBG，∵∠ABD＝∠CBE，∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，又∵∠DGB＝∠BGE，∴△DGB∽△BGE，∴＝，∴BG2＝GE•GD．4.（2021·浙江金华）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣，0），点B在直线l：y＝x上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．①若BA＝BO，求证：CD＝CO．②若∠CBO＝45°，求四边形ABOC的面积．（2）是否存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，而根据已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，从而可得∠COD＝∠CDO，CD＝CO；②过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，设M（m，m），可得tan∠OMN＝tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等腰直角三角形，从而有AM＝BM＝3，BO＝CO ＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC＝BO＝5，即可求出S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB ＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝，BC＝＝，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，OB＝4；②若＝，OB ＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，由△AMB∽△BOC，＝，即＝，得OC＝•（8+x），以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，可得OB＝1．【解答】（1）①证明：∵BC⊥AB，CO⊥BO，∴∠ABC＝∠BOC＝90°，∴∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，∵BA＝BO，∴∠BAD＝∠DOB，∴∠ADB＝∠COD，∵∠ADB＝∠CDO，∴∠COD＝∠CDO，∴CD＝CO；②解：过A作AM⊥OB于M，过M作MN⊥y轴于N，如图：∵M在直线l：y＝x上，设M（m，m），∴MN＝|m|＝﹣m，ON＝|m|＝﹣m，Rt△MON中，tan∠OMN＝＝，而OA∥MN，∴∠AOM＝∠OMN，∴tan∠AOM＝，即＝，设AM＝3n，则OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，又A的坐标为（﹣，0），∴OA＝，∴（3n）2+（8n）2＝（）2，解得n＝1（n＝﹣1舍去），∴AM＝3，OM＝8，∵∠CBO＝45°，CO⊥BO，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC⊥AB，∠CBO＝45°，∴∠ABM＝45°，∵AM⊥OB，∴△ABM是等腰直角三角形，∴AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，∴等腰直角三角形△ABM中，AB＝AM＝3，等腰直角三角形△BOC中，BC＝BO＝5，∴S△ABC＝AB•BC＝15，S△BOC＝BO•CO＝，∴S四边形ABOC＝S△ABC+S△BOC＝；（2）解：存在点B，使得以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，理由如下：（一）过A作AM⊥OB于M，当B在线段OM或OM延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝|8﹣x|，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝，Rt△BOC中，BC＝＝，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，分两种情况：①若＝，则＝，解得x＝4，∴此时OB＝4；②若＝，则＝，解得x1＝4+，x2＝4﹣，x3＝9，x4＝﹣1（舍去），∴OB＝4+或OB＝4﹣或OB＝9；（二）当B在线段MO延长线上时，如图：由（1）②可知：AM＝3，OM＝8，设OB＝x，则BM＝8+x，AB＝，∵CO⊥BO，AM⊥BO，AB⊥BC，∴∠AMB＝∠BOC＝90°，∠ABM＝90°﹣∠OBC＝∠BCO，∴△AMB∽△BOC，∴＝，即＝，∴OC＝•（8+x），Rt△BOC中，BC＝＝•，∵∠ABC＝∠BOC＝90°，∴以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，需满足＝，即＝，解得x1＝﹣9（舍去），x2＝1，∴OB＝1，综上所述，以A，B，C为顶点的三角形与△BCO相似，则OB的长度为：4或4+或4﹣或9或1；1．（2021•瓯海区模拟）若＝，则的值是（）A．3B．C．D．2【分析】根据比例的性质求出b＝2a，再代入求出答案即可．【解答】解：∵＝，∴b＝2a，∴＝＝＝，故选：C．2．（2021•下城区校级四模）在比例尺为1：10000的地图上，相距4cm的A、B两地的实际距离是（）A．400m B．400dm C．400cm D．400km【分析】设AB的实际距离为xcm，根据比例尺的定义得到4：x＝1：10000，利用比例的性质求得x的值，注意单位统一．【解答】解：设AB的实际距离为xcm，∵比例尺为1：10000，∴4：x＝1：10000，∴x＝40000cm＝400m．故选：A．3．（2021•温岭市一模）如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，则BC：CE＝（）A．3：5B．1：3C．5：3D．2：3【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝＝＝．故选：A．4．（2021•拱墅区二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF 交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4【分析】作CH⊥DF于点H，证明△AGD≌△DHC，可得AG＝DH＝GH，tan∠ADG＝＝．由此可解决此问题．【解答】解：作CH⊥DF于点H，如图所示．在△ADF和△BAE中，，∴△ADF≌△BAE（SAS）．∴∠ADF＝∠BAE，又∠BAE+∠GAD＝90°，∴∠ADF+∠GAD＝90°，即∠AGD＝90°．由题意可得∠ADG+∠CDG＝90°，∠HDC+∠CDG＝90°，．∴∠ADG＝∠HDC．在△AGD和△DHC中，，∴△AGD≌△DHC（AAS）．∴DH＝AG．又CG＝BC，BC＝DC，∴CG＝DC．由等腰三角形三线合一的性质可得GH＝DH，∴AG＝DH＝GH．∴tan∠ADG＝．又tan∠ADF＝＝，∴AF＝AB．即F为AB中点，∴AF：FB＝1：1．故选：A．5．（2021•宁波模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝2，则的值为（）A．B．C．2D．3【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵＝2，∴＝，∵DE∥AB，∴＝＝，故选：B．6．（2021•丽水模拟）如图，已知△ABC∽△BDC，其中AC＝4，CD＝2，则BC＝（）A．2B．C．D．4【分析】直接利用相似三角形的性质得出BC2＝AC•CD，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△BDC，∴＝，∵AC＝4，CD＝2，∴BC2＝AC•CD＝4×2＝8，∴BC＝2．故选：B．7．（2021•宁波模拟）如图，△ABC的两条中线BE，CD交于点O，则下列结论不正确的是（）A．＝B．＝C．△ADE∽△ABC D．S△DOE：S△BOC＝1：2【分析】根据三角形中位线定理得到DE＝BC，DE∥BC，根据相似三角形的性质进行计算，判断即可．【解答】解：∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE＝BC，DE∥BC，∴＝，A选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴＝，B选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，C选项结论正确，不符合题意；∵DE∥BC，∴△DOE∽△COB，∴S△DOE：S△COB＝1：4，D选项结论错误，符合题意；故选：D．8．（2021•西湖区校级二模）如图，正六边形ABCDEF外作正方形DEGH，连接AH交DE于点O，则等于（）A．3B．C．2D．【分析】连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，解直角三角形求出BD，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．【解答】解：连接BD，如图所示：由正六边形和正方形的性质得：B、D、H三点共线，设正六边形的边长为a，则AB＝BC＝CD＝DE＝a，∵在△BCD中，BC＝CD＝a，∠BCD＝120°，∴BD＝a．∵OD∥AB，∴＝＝＝，故选：B．9．（2021•拱墅区二模）黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．【解答】解：根据已知条件可知：下半身长是165×0.6＝99（cm），设需要穿的高跟鞋为ycm，则根据黄金分割定义，得＝0.618，解得：y≈8，经检验y≈8是原方程的根，答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．故答案为8．10．（2021•金东区校级模拟）如图，已知直角坐标系中四点A（﹣2，4）、C（2，﹣3），分别过A、C作AB、CD垂直于x轴于B、D．设P是x轴上的点，且P A、PB、AB所围成的三角形与PC、PD、CD所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点P的坐标是．【分析】需要分情况分析，当点P在AB左边，在AB与CD之间，在CD的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得．【解答】解：设OP＝x（x＞0），分三种情况：一、若点P在AB的左边，有两种可能：①此时△ABP∽△PDC，则PB：CD＝AB：PD，则（x﹣2）：3＝4：（x+2），解得x＝4，∴点P的坐标为（﹣4，0）；②若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝PB：PD，则（﹣x﹣2）：（2﹣x）＝4：3，解得：x＝14，与假设在B点左边矛盾，舍去．二、若点P在AB与CD之间，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（x+2）：（2﹣x），解得：x＝，∴点P的坐标为（，0）；②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（2﹣x）＝（x+2）：3，方程无解；三、若点P在CD的右边，有两种可能：①若△ABP∽△CDP，则AB：CD＝BP：PD，∴4：3＝（2+x）：（x﹣2），∴x＝14，∴点P的坐标为（14，0），②若△ABP∽△PDC，则AB：PD＝BP：CD，∴4：（x﹣2）＝（x+2）：3，∴x＝4，∴点P的坐标为（4，0）；∴点P的坐标为（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．故答案为：（，0）、（14，0）、（4，0）、（﹣4，0）．11．（2021•宁波模拟）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠ACB，G是线段OD上一点，∠DGC﹣∠DCG＝90°，tan∠DCG＝，则的值为．【分析】由锐角三角函数可设GF＝a，CF＝2a，由“AAS”可证△GCE≌△GCF，可得CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，通过证明△GFD∽△CED，可求DC＝a，DE＝a，通过证明△DCO∽△ACD，可得，由勾股定理可求OE，即可求解．【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD于E，过G作GF⊥CD于F，∵∠DGC＝∠CEG+∠GCE＝90°+∠GCE，∴∠DGC﹣∠GCE＝90°，又∵∠DGC﹣∠DCG＝90°，∴∠GCD＝∠ECG，∵tan∠DCG＝＝，∴设GF＝a，CF＝2a，在△GCE和GCF中，，∴△GCE≌△GCF（AAS），∴CE＝CF＝2a，GF＝EG＝a，∵∠GDF＝∠EDC，∠GFD＝∠CED＝90°，∴△GFD∽△CED，∴，∴＝＝，∴DF＝a，DG＝a，∴DC＝a，DE＝a，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AO＝CO，BO＝DO，∴∠ABD＝∠BDC，∠DAC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ACB，∴∠BDC＝∠DAC，又∵∠ACD＝∠DCO，∴△DCO∽△ACD，∴，∴DC2＝2OC2，∴OC2＝a2＝a2，∴OE＝＝a，∴OD＝DE+OE＝a＝OB，∴＝，故答案为：．12．（2021•西湖区二模）如图，在矩形ABCD中，E是CD上一点，AE＝AB，作BF⊥AE．（1）求证：△ADE≌△BF A；（2）连接BE，若△BCE与△ADE相似，求．【分析】（1）根据矩形的性质得出∠D＝∠DAB＝90°，求出∠DAE+∠F AB＝90°，∠FBA+∠F AB＝90°，求出∠D＝∠AFB，∠DAE＝∠FBA，再根据全等三角形的判定推出即可；（2）根据矩形的性质得出∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，根据平行线的性质得出∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，根据等腰三角形的性质求出∠AEB＝∠EBA＝x°，根据相似三角形的性质得出两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，根据∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°得出x+x+x＝180，求出x，再解直角三角形求出AE和AD，再求出答案即可；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，求出∠DEA+∠AEB+∠CEB＝（y+2x）°＝180°，∠EBC+∠CEB＝（y+x）°＝90°，求出x，再得出答案即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠DAB＝90°，∴∠DAE+∠F AB＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°，∴∠D＝∠AFB，∠FBA+∠F AB＝90°，∴∠DAE＝∠FBA，在△ADE和△BF A中，∴△ADE≌△BF A（AAS）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，DC∥AB，∴∠CEB＝∠ABE，设∠CEB＝∠ABE＝x°，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠EBA＝x°，当△BCE与△ADE相似时，有两种情况：①∠DEA＝∠CEB＝x°，∵∠DEA+∠AEB+∠CEB＝180°，∴x+x+x＝180，解得：x＝60，即∠DEA＝60°，∴∠DAE＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝2DE，由勾股定理得：AD＝＝＝DE，∵AE＝AB，∴＝＝＝；②∠DEA＝∠EBC，设∠DEA＝∠EBC＝y°，∵∠CEB＝∠EBA＝∠AEB＝x°，则∠DEA+∠AEB+∠CEB＝y°+x°+x°＝（y+2x）°＝180°，在Rt△BCE中，∠EBC+∠CEB＝y°+x°＝（y+x）°＝90°，即，解得：x＝90°，即∠CEB＝90°，此时点E和点C重合，△BEC不存在，舍去；所以＝．13．（2021•拱墅区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．【分析】（1）首先利用中位线定理得到DE∥AB以及DE的长，再证明∠DEC＝∠F即可；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，进而求出∠CDE＝∠F并结合∠CED＝∠DEF即可证明△CDE∽△DFE．【解答】解：（1）∵D、E分别是AC、BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝5，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠B，而∠F＝∠B，∴∠DEC＝∠F，∴DF＝DE＝5；（2）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CDE＝∠A，∠CED＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠CDE＝∠F，∵∠CED＝∠DEF，∴△CDE∽△DFE．14．（2021•宁波模拟）如图，矩形ABCD中，E是边AD的中点，CE与BD交于点P，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在线段CP上．（1）求证：△EBC是等边三角形．（2）求的值．【分析】（1）根据矩形的性质证明△ABE≌△DCE（SAS），可得EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，进而可以解决问题；（2）证明△PDE∽△PBC，可得＝＝，所以＝，进而可以解决问题．【解答】（1）证明：∵E是边AD的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠CDA＝90°，AB＝CD，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴EB＝EC，∠AEB＝∠CED，由翻折可知：∠AEB＝∠FEB，∴∠AEB＝∠FEB＝∠CED＝60°，∴△EBC是等边三角形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，。

线段的分点公式与比例定理

线段的分点公式与比例定理线段是几何学中的基本概念之一，它在我们的日常生活中无处不在。

线段的长度可以通过测量得到，但是在某些情况下，我们需要知道线段上某个点的具体位置。

这就引出了线段的分点公式和比例定理。

一、线段的分点公式线段的分点公式是指在已知线段的两个端点的情况下，如何确定线段上任意一点的坐标。

设线段的两个端点分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，现在我们要确定线段上一点P的坐标。

根据线段的定义，点P在线段AB上，那么点P的坐标可以表示为P(x, y)。

根据点的坐标计算公式，我们可以得到以下关系式：(x - x₁) / (x₂ - x₁) = (y - y₁) / (y₂ - y₁)这就是线段的分点公式。

通过这个公式，我们可以根据已知的线段端点坐标，求出线段上任意一点的坐标。

二、比例定理比例定理是指在线段上的两个点与线段的两个端点之间的比例关系。

设线段的两个端点分别为A和B，线段上有两个点P和Q。

根据比例定理，我们可以得到以下关系式：AP / PB = AQ / QB这个关系式告诉我们，如果我们知道线段上两个点与线段的两个端点之间的比例关系，那么我们可以通过已知的线段端点长度计算出线段上任意两点之间的距离。

比例定理在几何学中有广泛的应用。

例如，我们可以用比例定理来解决三角形的相似性问题，或者用它来证明平行线间的性质。

三、应用举例为了更好地理解线段的分点公式和比例定理的应用，我们来看一个具体的例子。

假设有一条线段AB，已知A(2, 3)和B(6, 9)是线段的两个端点。

现在我们要求线段上一点P，使得AP : PB = 2 : 3。

根据比例定理，我们可以得到以下关系式：AP / PB = 2 / 3根据线段的分点公式，我们可以将点P的坐标表示为P(x, y)。

将已知的线段端点坐标代入线段的分点公式，我们可以得到以下方程组：(x - 2) / (6 - 2) = 2 / 3(y - 3) / (9 - 3) = 2 / 3通过求解这个方程组，我们可以得到点P的坐标为P(3, 5)。

中考数学专题复习专题20 相似三角形问题(学生版)

中考专题20 相似三角形问题一、比例1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即dcb a =(或a ：b=c ：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

如果作为比例内项的是两条相同的线段，即cbb a =或a ：b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。

2．黄金分割：用一点P 将一条线段AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。

这种分割称为黄金分割，分割点P 叫做线段AB 的黄金分割点，较长线段叫做较短线段与全线段的比例中项。

3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。

5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。

二、相似、相似三角形及其基本的理论1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。

相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。

2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

相似多边形对应边的比叫做相似比。

3．三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。

(3)两个三角形相似的判定定理判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形

知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。

说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。

比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

比例线段和平行线分线段成比例定理

复习课
复习目标
1.熟练掌握成比例线段及有关概念。 2.熟练掌握比例的有关性质及其应用。 3.熟练掌握平行线分线段成比例定理及其应用。
一、比例线段的主要知识点
1 两条线段的比：
(1) 定义：同一单位度量的两条线段a、b，长度分别为m、n，那么就写成 a m
a:b= m:n 或 b = n .
c 5k 5k 5 = = = . a + b + c 3k + 4k + 5k 12k 12
(2) 若a+b+c≠0,
Q a+ b a+ c b+ c a+b+a+c+b+c = = = k, \ = k = 2. c b a a+b+c
若a+b+c=0, 则a+b=－c.
\ a+ b - c = = k = - 1. c c
A
A. 1个.
B. 2个.
C. 3个.
D. 4个.
D
E
B
F
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例2.已知：如图，若DE∥BC, D在AB上，E在AC上， AD : DB=2 : 3, BC=20. 求：DE的长. 解： Q
AD 2 = . DB 3 \
\
A
AD 2 = . AB 5
AD DE 2 = = . AB BC 5
D
E
Q DE // BC.
即
DE 2 = . 20 5
B
\ DE=8.
C
四、平行线分线段成比例定理的例题和练习：
例3：已知：如图，在ABC中，AD是BC边上的 AF 1 AE 如果求：的值 FD 5 AC A

初三数学--线段的比和比例线段

初三数学线段的比和比例线段一、线段的比：1.在同一单位长度下，两条线段的倍数关系叫做这两条线段的比。

即两条线段的长度的比。

如：线段a 与b 的比，记作b a （或a ：b ），若b a ＝31，则说明a 是b 的31，b 是a 的3倍。

2.n 1=实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位。

[练习]1.已知一矩形的长a=1.35m ，宽b=60cm ，则a ∶b 的值为2.图纸上画出的某个零件的长是32mm ，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .a ，b 的长度分别为8㎝，32㎝，则a ∶b = 。

4.如图，点C 是AB 的中点，点D 在BC 上，AB=24，BD=5，（1）AC ∶CB ＝；AC ∶AB ＝；（2）_____=BD BC ；_____=AB CD ；_____=CD AD。

5..如图延长线段AB 到C ，使BC=4，若AB=8，则线段AC•：BC=6.延长线段AB 到C ，使BC=2AB ，则AC ：AB 为（） A ．1：2 B ．2：1 C ．1：3 D ．3：17.等边三角形的一边与这边上的高的比是（） A.3∶2 B. 3∶1 C. 2∶3 D. 1∶3，等边三角形的一边与这一边的高的比是△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB ＝15 cm ，AC ＝10 cm ，且BD ∶DC ＝AB ∶AC ，BD －DC ＝2 cm ，则BC= ． 10.如图所示，已知直角三角形的两条直角边的长的比为a ∶b ＝1∶2，其斜边长为45cm ，那么这个三角形的面积是（）cm 2．A. 32B. 16C. 8D. 411.已知A 、B 两地相距300km ，在地图上量得两地相距15cm ，则图上距离与实际距离之比为．∶30000的地图上，如果两点的图上距离为5厘米，那么两点的实际距离为千米．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3cm,而两地的实际距离为1500m ，那么这张地图的比例尺为________.13.已知在同一时刻物高与影长成比例．12时整，1.5m 的标杆在地上的影子长3m ，•现在量得一建筑物的影长20m ，则该建筑物有多高？二、比例线段AD CBb a的值叫做线段b a ,的比，若d c b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。

比例线段练习题及答案

比例线段练习题及答案一、选择题1. 在线段AB上，C为在线段AB上一点，AC:CB=2:3，则下列说法正确的是：A) AC的长度是CB的三分之二B) AC的长度等于CB的五分之二C) CB的长度等于AC的三倍D) CB的长度等于AC的五倍答案：A) AC的长度是CB的三分之二2. 在一个比例尺为1:500的地图上，两个城市的距离是8厘米，则实际距离为：A) 5000米B) 4000米C) 8000米D) 4500米答案：A) 5000米3. 在直角三角形ABC中，角A的正弦值为3/5，则下列说法正确的是：A) AB:AC = 5:3B) AB:BC = 3:5C) BC:AC = 5:3D) AC:BC = 3:5答案：A) AB:AC = 5:34. 已知线段AB与线段CD平行，AB = 5 cm，CD = 10 cm，则线段AB的放大比例为：A) 1:2B) 2:1C) 1:5D) 2:5答案：B) 2:15. 直线段的一个线段上有A、B、C三个点，AB = 5 cm，BC = 3 cm，AC = 8 cm，则下列说法正确的是：A) AB:AC = 5:8B) AB:BC = 5:3C) BC:AC = 3:8D) AB:BC = 8:3答案：D) AB:BC = 8:3二、填空题1. 根据比例线段的定义，比例线段的特点是_________________。

答案：对于线段AB和线段CD，若AB:CD=a:b，则a和b称为AB和CD的长度比例。

2. 已知线段AB = 6 cm，线段BC = 8 cm，若线段AB与线段BC成比例，则线段AB:线段BC = ________。

答案：3:43. 若线段AB与线段CD成比例，线段AB:线段CD = 2:3，且线段AB = 12 cm，则线段CD的长度为__________。

答案：18 cm4. 在一个比例尺为1:200的地图上，两个城市的实际距离为4000米，则地图上的距离为__________。

2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-图形的相似

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习图形的相似［课标要求］1.了解线段的比，成比例线段，了解比例的基本性质.2.了解黄金分割.3.了解相似三角形、相似多边形及相似比的概念.4.熟练掌握相似三角形的判定和性质.5.了解平行投影，理解在平行光线的照射下物高与影长的关系.6.了解中心投影，理解在点光源的照射下，物高与影长的关系7.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质.画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．［要点梳理］1.比例线段：在四条线段a.b.c.d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比即dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）,那么这四条线段a.b.c.d 叫做成比例线段,简称比例线段. 在比例式dc b a =（或a ：b ＝b ：c ）中，a.b.c.d 称为比例的＿＿＿＿＿，a.d 为比例＿＿＿＿＿，b.c 称为比例＿＿＿＿＿，在比例式dc b a =（或a ：b ＝c ：d ）当b ＝c 时，b 叫做a 和d 的比例＿＿＿＿2.黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ）且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割（点C 叫做线段的黄金分割点，AC ＝215-AB≈0.618AB ）（口诀：两式两点三个数，两种判法会画图） 3.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是相似图形.4.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相似三角形.5.＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相似比.6.相似三角形的判定方法：（1）若DE ∥BC （A 型和X 型）则△ADE ∽△ABC（2）射影定理：若CD 为Rt △ABC 斜边上的高（双垂直三角形）则Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2=__ ___；（3）两个角对应相等的两个三角形__________；（4）两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似；（5）三边对应成比例的两个三角形___________．7.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应边_________，对应角________．（2）相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比.（3）相似三角形的面积比等于_________的平方．8.平行投影：在平行光的照射下，物体所产生的影.9.中心投影：在点光源的照射下，物体所产生的影.10.视点：眼睛的位置；视线：由视点发出的线；盲区：由于遮挡眼睛看不到的地方.11.在平行光照射下，在同一时刻不同物体的物高与影长成比例.12.（1）位似多边形：两个多边形的顶点A 与A’.B 与B’.C 与C’所在的直线都经过同一点O ，并且...'''OCOC OB OB OA OA ==，像这样的两个多边形叫做位似多边形，这个点O 叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．（2）掌握位似多边形概念，需注意：①两个图形是位似图形，根据定义可以证明它们也是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比．利用位似图形的定义可判断两个图形是否位似．（3）位似多边形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质．位似图形是一种特殊的相似图形，它又具有特殊的性质，位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比（相似比）．（4）两个位似多边形的主要特征是：①对应顶点的连线都经过位似中心；②对应边互相平行（或在同一条直线上）．（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，作图时要注意:①首先确定位似中心，若要自己确定，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点，如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形．［强化训练］一、选择题1.若两个图形中，对应点到位似中心的线段比为2：3，则这两个图形的位似比为（）A ．2：3B ．4：9C ．：D ．1：2 2.△ABC 的三边长分别为2.6.2，△A'B'C'的两边长分别为1和3，如果△ABC ∽△A'B'C'，那么△A'B'C'的第三边长应为（）3.如图，在△ABC 中，点D.E 分别在AB.AC 边上，DE ∥BC ，若AD ：AB ＝3：4，AE ＝6，则AC 等于（）A ．3B ．4C ．6D ．8第3题图第4题图4.如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m,BD 长0.55m,则梯子的长为（）A.3.85mB.4.00mC.4.40mD.4.50m5.如图，在△ABC 中，点D.E.F 分别是边AB.AC.BC 上的点，DE ∥BC ，EF ∥AB ，且AD ∶DB = 3∶5，那么CF ∶CB 等于（）A ．5∶8B ．3∶8C ．3∶5D ．2∶56.如图，点D 在△ABC 的边AC 上，要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件，不正确的是（）A ．∠ABD ＝∠CB ．∠ADB ＝∠ABC C ．CD CB BD AB = D ．ACAB AB AD = F E AB C D 第5题第6题第7题7.如图，DE 是△ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，则AG ：GD 等于（）A ．2：1B ．3：1C ．3：2D ．4：3二、填空题8.若0234x y z ==≠，则23x y z+= ． 9.已知线段AB ＝20cm ，C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝＿＿＿cm10.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3.4及x ，那么x 的值为＿＿＿＿＿.11.在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 长为。

《图形的相似》中考常考考点专题(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学

专题4.52 《图形的相似》中考常考考点专题（基础篇）（专项练习）一、单选题【知识点一】相似图形相关概念及性质【考点一】比例的性质✮✮线段的比（2018·甘肃陇南·中考真题）1. 已知23a b =（a ≠0，b ≠0），下列变形错误的是（）A. 23a b = B. 2a =3b C. 32b a = D. 3a =2b （2020·安徽阜阳·二模）2. 某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A. 1：2000B. 1：200C. 200：1D. 2000：1【考点二】成比例线段✮✮黄金分割（2018·河北·模拟预测）3. 如图，画线段AB 的垂直平分线交AB 于点O ，在这条垂直平分线上截取OC OA =，以A 为圆心，AC 为半径画弧交AB 于点P ，则线段AP 与AB 的比是（）A. 2B.C.D. 2（2022·福建莆田·一模）4. P 是线段AB 上一点（AP BP >），则满足=AP BP AB AP，则称点P 是线段AB 的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”．如图，一片树叶的叶脉AB 长度为10cm ，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），求叶柄BP 的长度．设cm BP x =，则符合题意的方程是（）A. ()21010x x -=B. ()21010x x =-C. ()21010x x -=D.()210110x x -=-【考点三】相似图形✮✮相似多边形（2021·四川成都·一模）5. 下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是（）A. B. C. D.（2020·河北衡水·一模）6. 在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图1的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．乙：将边长为4的菱形按图2方式向外扩张，得到新菱形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸1，则新菱形与原菱形相似；对于两人的观点，下列说法正确的是（）．A. 两人都对B. 两人都不对C. 甲对，乙不对D. 甲不对，乙对【考点四】相似多边形的性质（2022·山东淄博·二模）7. 如图，将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折，如果得到两个矩形都与原矩形相似，则原矩形长与宽的比是（）A. 2：1B. 3：1C. 3：2D. （2022·湖北省直辖县级单位·一模）8. 如果两个相似多边形的周长比是2：3，那么它们的面积比为（）A. 2：3B. 4：9C.D. 16：81【考点五】平行线分线段成比例（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）9. 如图，在平面直角坐标系中，C 为AOB 的OA 边上一点，:1:2AC OC ，过C 作CD OB ∥交AB 于点D ，C 、D 两点纵坐标分别为1、3，则B 点的纵坐标为（）A. 4B. 5C. 6D. 7（2020·新疆·中考真题）10. 如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB ＝CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（）A. 10B. 5C.D. 【知识点二】相似三角形【考点一】相似三角形的判定（2022·浙江绍兴·二模）11. 如图，如果∠BAD ＝∠CAE ，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ADE 与△ABC 相似的是（）A. B ＝∠DB. ∠C ＝∠AEDC. AB AD ＝DE BCD. AB AD ＝AC AE （2022·山东东营·中考真题）12. 如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立的是（）A. AD AE DB EC =B. DE DF BC FC =C. DE AE BC EC =D. EF AE BF AC=【考点二】相似三角形的性质和判定➽➸求解✮✮证明（2021·山东济宁·中考真题）13. 如图，已知ABC ．（1）以点A 为圆心，以适当长为半径画弧，交AC 于点M ，交AB 于点N ．（2）分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部相交于点P ．（3）作射线AP 交BC 于点D ．（4）分别以A ，D 为圆心，以大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于G ，H 两点．（5）作直线GH ，交AC ，AB 分别于点E ，F ．依据以上作图，若2AF =，3CE =，32BD =，则CD 的长是（）A. 510 B. 1 C. 94 D. 4（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校三模）14. 如图，点F 是矩形ABCD 的边CD 上一点，射线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是（）A. ED DF EA AB =B. DE EF BC FB =C. BC BF DE BE =D. BF BC BE AE=【考点三】相似三角形的性质和判定➽➸坐标✮✮网格（2016·江苏南京·一模）15. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 在y 轴上，△ABC 是等边三角形，AB=4，AC 与x 轴的交点D0），则点A 的坐标为（）A. （1，B. （2，C. （1）D. （，2）（2012·湖北荆门·中考真题）16. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（）A. B. C. D.【考点四】相似三角形的性质和判定➽➸动点问题（2020·山东菏泽·一模）17. 如图，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D ，A 在直线BC 同侧，且∠ACD ＝∠ABC ，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点．若△DCE 和△ABC 相似，则线段CE 的长为（）A. 43 B. 23 C. 43或3 D. 23或4（2021·河北石家庄·九年级期中）18. 如图，在锐角三角形ABC 中，6cm AB =，12cm AC =，动点D 从点A 出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（）ABCA. 3s或4.8sB. 3sC. 4.5sD. 4.5s或4.8s【考点五】相似三角形的性质和判定➽➸应用举例（2022·湖北十堰·中考真题）19. 如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（）A. 0.3cmB. 0.5cmC. 0.7cmD. 1cm（2020·山西·中考真题）20. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。

中考数学数线段长度题答题技巧

中考数学数线段长度题答题技巧中考数学数线段长度题答题技巧介绍在中考数学中，数线段长度题是一种常见的题型。

对于这类题目，我们可以采用一些技巧来提高我们的解题效率。

技巧一：利用勾股定理勾股定理是我们解决尺规作图或求解直角三角形边长的重要工具。

对于给定的两个坐标点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用勾股定理求得线段AB的长度。

勾股定理的公式如下：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)技巧二：利用坐标点间的距离公式如果题目给出的点的坐标已知，我们可以直接使用坐标点间的距离公式计算线段的长度。

距离公式如下：AB = √((x2 - x1)^2 +(y2 - y1)^2)技巧三：利用图形特性当题目给出的是一些特殊的图形，我们可以利用图形的特性来计算线段的长度。

例如，如果题目给出的是一个正方形或者矩形，我们可以直接使用正方形或矩形的边长作为线段的长度。

技巧四：利用比例关系在某些情况下，我们可以利用线段之间的比例关系来计算未知线段的长度。

例如，如果我们知道两条平行线段之间的比例，我们可以利用这个比例来计算未知线段的长度。

技巧五：利用正弦定理或余弦定理如果题目给出的线段构成一个三角形，我们可以利用正弦定理或余弦定理来求解未知线段的长度。

正弦定理的公式如下： a/sinA = b/sinB = c/sinC余弦定理的公式如下： c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC总结在中考数学中，数线段长度题是一种常见的题型。

在解决这类题目时，我们可以利用勾股定理、坐标点间的距离公式、图形特性、比例关系以及正弦定理或余弦定理来提高解题效率。

掌握这些技巧，我们能够更加灵活地解决数线段长度题，从而在考试中取得更好的成绩。

中考数学数线段长度题答题技巧（续）技巧六：利用平行线性质当题目中出现平行线时，我们可以利用平行线性质来计算线段的长度。

根据平行线的性质，平行线切割的线段成比例。

线段的比例与长度计算

线段的比例与长度计算线段是初中数学中的基础概念之一，它在几何图形的构造和计算中起着重要的作用。

在数学学习中，我们经常会遇到线段的比例和长度计算问题。

本文将以实例为基础，详细介绍线段的比例计算和长度计算的方法，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用这一知识点。

一、线段的比例计算在几何图形中，线段的比例计算是指给定两个线段的长度，求它们之间的比例关系。

下面我们通过一个例子来说明。

例1：已知线段AB的长度为6cm，线段CD的长度为12cm，求线段AB与线段CD的比例。

解：线段AB与线段CD的比例可以表示为AB：CD。

根据已知条件可知AB：CD = 6：12。

由于6和12都可以被2整除，所以可以简化比例为1：2。

因此，线段AB与线段CD的比例为1：2。

在实际问题中，线段的比例计算常常涉及到两个或多个线段之间的关系。

比如，在一条直线上，已知线段AB的长度为4cm，线段BC的长度为6cm，求线段AC的长度。

这个问题可以通过线段的比例计算来解决。

解：设线段AC的长度为x cm，则根据线段的比例计算可得4：6 = x：6。

通过交叉相乘得到4×6 = 6x，解得x = 4。

因此，线段AC的长度为4cm。

二、线段的长度计算线段的长度计算是指已知线段的两个端点的坐标，求线段的长度。

下面我们通过一个例子来说明。

例2：已知线段AB的坐标为A(2, 3)，B(5, 7)，求线段AB的长度。

解：根据坐标计算线段的长度需要使用到勾股定理。

设线段AB的长度为d，则根据勾股定理可得d² = (5-2)² + (7-3)²。

计算得d² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，因此d = √25 = 5。

所以，线段AB的长度为5。

线段的长度计算在实际问题中也经常出现。

比如，在一个矩形中，已知矩形的两个对角线的端点坐标分别为A(1, 2)、B(4, 6)和C(3, 1)、D(6, 5)，求矩形的对角线长度。

专题：比例线段与平行推相似定理

专题：比例线段与平行推相似定理考点一比例线段与比例的基本性质1．比例线段与比例中项若线段a ，b ，c ，d 满足：，则称这四条线段成比例；若线段a ，b ，c 满足，则称b 叫a ，c 的比例中项． 2．比例的性质(1)基本性质：如果a b ＝cd，那么：．反之也成立；(2)合比性质：如果a b ＝cd ，那么：a ＋b b ＝；(3)等比性质：如果a 1b 1＝a 2b 2＝…＝a nb n，且b 1＋b 2＋…＋b n ≠0，那么：a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝ .【例1】1．下列各选项中的四条线段成比例的是( ) A ．a ＝12，b ＝8，c ＝15，d ＝11 B ．a ＝4，b ＝6，c ＝5，d ＝10 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝2，d ＝3 D ．a ＝2，b ＝5，c ＝15，d ＝232．若mn ＝ab ≠0，则下列比例式中错误的是( )A ．a m ＝n bB ．a n ＝m bC ．m a ＝n bD ．m a ＝b n3．若a=3，b=6，且b 是a 和c 的比例中项，则c= ．4．若x 2＝y 3＝zm (x ，y ，z 均不为0)，x ＋2y －z z ＝1，则m = ．5．若c a ＋b ＝a b ＋c ＝ba ＋c ＝k ，则k 的值为．6．已知三条线段的长分别为1 cm ，2 cm ， 2 cm ，如果另外一条线段与它们是成比例线段，试求出另外一条线段的长．考点二黄金分割1．黄金分割的相关概念(如下图)(1)黄金分割点：如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使AP >PB ，且____________，则称线段AB 被点P _________；(2)黄金分割比：黄金比APAB ＝________≈________．【例2】1．已知C 是AB 的黄金分割点(AC >BC )，下列结论错误的是( )A ．AC AB ＝BC ACB ．BC 2＝AB ·ACC ．AC AB ＝5－12D ．BCAC≈0．6182．宽与长的比是5－12的矩形叫做黄金矩形．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图②，作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连结EF ；如图③，以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH3．如图1，已知P 是线段AB 的黄金分割点，且P A ＞PB ．若S 1是以P A 为边的正方形的面积，S 2表示长是AB ，宽是PB 的矩形的面积，则S 1 S 2(填“＞”“＝”或“＜”)．图14．如图2，电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．若舞台AB 长为20 m ，试计算主持人站到离A 点多远处主持节目较为合适．图2考点三平行线分线段成比例1．平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段___________． 2．平行线分线段成比例推论：________三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段．【例3】1．如图3，l 1∥l 2∥l 3，直线AC 与DF 交于点O ，且与l 1，l 2，l 3分别交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，则下列比例式不正确的是( )A ．AB BC ＝DE EF B ．AB BO ＝DE EO C ．OB OC ＝OE OFD ．OD OF ＝OA AB图32．如图4，在△ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 边上的点，DE ∥BC ，点F 为BC 边上一点，连接AF 交DE 于点G ，则下列结论中一定正确的是( )A ．AD AB ＝AE EC B ．AG GF ＝AE BD C ．BD AD ＝CE AE D ．AG AF ＝AC EC图4 3．如图，过平行四边形ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于点E，F，G．求证：EA2＝EF·EG．4．如图，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC．(1)求证：AF·BD＝AD·FD；(2)若AB＝15，AD：BD＝2：1，求FD的长．考点四平行线分三角形相似定理1．平行线分三角形相似定理：平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交，截得的三角形与原三角形________．【例4】1．如图5，在△ABC中，D，E分别在AB边和AC边上，DE∥BC，M为BC边上一点(不与B，C重合)，连接AM 交DE于点N，则() A ．ADAN＝ANAE B．BDMN＝MNCE C．DNBM＝NEMC D．DNMC＝NEBM图5 2．如图6，在□ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC 于点F，交CD于点G，则下列结论中错误的是( )A．△ABE∽△DGE B．△CGB∽△DGEC．△BCF∽△EAF D．△ACD∽△GCF图63．如图7，直线l1∥l2，AF：FB＝2：3，BC：CD＝2：1，则AE：EC为()A．5：2 B．4：1 C．2：1 D．3：2图74．如图8，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AF：FC的值是()A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．3：5图85．如图9，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，则GH的长为．图96．如图10，△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD边上一点，且AEEB＝16，射线CF交AB于E点，则AFFD等于．图107．如图，点M ，N 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，MN ∥BC ，过顶点A 作BC 的平行线PQ 分别交CM 和BN 的延长线于点P 和点Q ．试判断线段AP 与AQ 之间的数量关系，并说明理由．※课后练习1．若b 是a 和c 的比例中项，c 是b 和d 的比例中项，则下列各式中不一定成立的是( )A．a b ＝b c B ．a d ＝b c C ．b c ＝c d D ．a b ＝c d2．如图1，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于A ，B ，C ，直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于D ，E ，F ．已知AB AC ＝13，则( )A ．AB BC ＝13 B ．DE EF ＝13 C ．DE EF ＝12D ．DE DF ＝14图13．如图2，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误的是( )A ．ED EA ＝DF AB B ．ED BC ＝EF FB C ．BC DE ＝BF BED ．BF BE ＝BC AE图24．如图3，在□ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则EF ：EA 为( ) A ．1：4 B ．1：3 C ．2：3 D ．1：2图35．如图4，在矩形ABCD 中，AB ＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使点B 落在AD 上的点F 处，若四边形EFDC 与矩形ABCD 相似，则AD 的长为( )A ．5－12B ．5＋12C ． 5D ．2图46．已知a 2＝b 3＝c5≠0，则3a ＋2b －2c 2a －b ＋c的值为．7．如图5，E 是□ABCD 的边AD 上的一点，且AE DE ＝32，CE 交BD 于点F ，BF ＝15 cm ，则DF 的长为 cm ．图58．如图6，菱形BEFD 的顶点E ，F ，D 在△ABC 的边上，且AB ＝18，AC ＝BC ＝12，则菱形的边长为．图69．如图7，在△ABC 中，D 在AC 边上，DC ＝2AD ，O 是BD 的中点，连接AO 并延长交BC 于E ，则BE ：EC ＝．图7 10．我们定义：顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形(底边与腰的比值为黄金比)．如图8，△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形．已知AB＝1，则DE的长为．图8 11．如图，已知EC∥AB，∠EDA＝∠ABF．求证：(1)四边形ABCD是平行四边形；(2)OA2＝OE·OF．12．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，BD，AC于点E，F，G．若AD＝6，BC＝10，AE＝5，AB＝8．求EG和FG的长．13．如图，在△NBE中，点D，C分别在NE和NB上，DC∥BE，延长BE到点A，使AE＝BE，连接AD，AC，AC交EN于点M．求证：DM·NE＝ME·DN．14．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N．求证：BM＝MC．15．探究与应用型问题(1)小明遇到一个问题：如图①所示，AD是△ABC的角平分线．求证：BDCD＝ABAC．他通过思考发现：过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E，通过证三角形相似，可以解决问题(如图②)．请证明：BDCD＝ABAC．(2)请你利用上述结论，解决下列问题：如图③，在四边形ABCD中，AB＝2，BC＝6，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，CD⊥BD，AC与BD相交于点O．则：①AOOC＝________；②ODCD＝________．。

比例的性质及成比例线段(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)

专题27.1 比例的性质及成比例线段（知识讲解）【学习目标】1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.会运用比例线段解决简单的实际问题.【要点梳理】线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a :b=m :n ，或写成a mb n=．注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD .成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．比例的基本性质：;a cad bc b d=⇔=（1）2;a bb ac b c=⇔=（2）几个重要的比例定理：a c a bb dc d=⇔=更比定理：a cb db d a c=⇔=反比定理：a c abc db d b d++=⇔=合比定理：--a c a b c db d b d=⇔=分比定理：...=...==(b d ...+f 0)...a c e a c eb d f b d f +++=++≠++等比定理：=a c a mcb d b md ±=±等比定理：【典型例题】类型一、线段的比1．如图所示，有矩形ABCD 和矩形A B C D ''''，AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A B ''＝4cm ，B C ''＝6cm ．(1)求A B AB ''和B C BC''； (2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段吗？【答案】(1)12，12(2)线段A B ''，AB ，B C ''，BC 是成比例线段．【分析】（1）根据已知条件，代入A B AB ''和B C BC''，即可求得结果；（2）根据A B AB ''和B C BC''的值相等，即可判断线段A ′B ′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．解：(1)∵AB ＝8cm ，BC ＝12cm ，A ′B ′＝4cm ，B ′C ′＝6cm ．∵A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12 (2)由（1）知A B AB ''＝48＝12 ，B C BC ''＝612＝12；∵A B AB ''＝B C BC''， ∵线段A′B′，AB ，B ′C ′，BC 是成比例线段．【点拨】本题考查了比例线段，知道成比例线段的条件是解题的关键．【变式1】（1）若x y =115，求代数式2x yy -的值；（2）已知2a =3b =5c ≠0，求代数式23a b ca b c -+-+的值．【答案】（1） 15 （2） 14【分析】（1）先把原式化为115x y =，进而可得出结论；（2）直接利用已知得出2,3,5a k b k c k ===，进而代入原式求解．解：（1）∵x y =115， ∵115x y =， ∵1122155y yx y y y --==；（2）设2a =3b =5c=k ，则2,3,5a k b k c k ===，∵23a b ca b c -+-+=2354122335164k k k k k k k k -+==⨯-+⨯．【点拨】本题考查了比例式的性质，解题的关键是正确用k 表示a 、b 、c ．【变式2】在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠=︒==；在DEF 中，12cm,8cm ED EF DF ===，求AB 与EF 之比，AC 与DF 之比．【答案】56AB EF =，52AC DF ，【分析】在直角△ABC 中，利用勾股定理求得AC 的值，然后根据在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可．解：如图，在Rt △ABC 中，根据勾股定理知，AC 22AB BC =+=2cm ，则105126AB EF ==， 10252ACDF ==【点拨】本题考查了勾股定理的应用．在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．也考查了两条线段的比的求法．类型二、比例的性质2．已知a b c +＝b c a +＝c ab+＝x ，求x 的值．【答案】1-或2【分析】分两种情况讨论：当a +b +c ＝0，当a +b +c ≠0，再进行计算即可．解：若a +b +c ＝0，则a +b ＝-c ，b +c ＝-a ，c +a ＝-b ，此时，x ＝-1，若a +b +c ≠0，则2a b b c c a a b b c c axc a b a b c，综上所述，x 的值为-1或2．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．【变式1】已知a ：b ：2c =：3：4，且23215a b c +-=，求23a b c -+的值．【答案】24【分析】由已知条件设a =2k ，则b =3k ，c =4k ，根据等式得到关于k 的方程，解方程求得k ，即求得a 、b 、c 的值，从而可求得代数式的值．解：∵a ：b ：c =2：3：4，∵设a =2k ，则b =3k ，c =4k ． ∵2a +3b -2c =15， ∵4k +9k -8k =15，解得：k =3， ∵a =6，b =9，c =12， ∵a -2b +3c =6-18+36=24．【点拨】本题考查了比例关系，解方程及求代数式的值，由比例关系设a =2k ，则b =3k ，c =4k 是关键．【变式2】已知3a b ＝4b c +＝5c a +，求a b cc a b ---+的值．【答案】－1 【分析】设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，把三式相加得到a +b +c =6k ，再利用加减消元法可计算出a =2k ，b =k ，c =3k ，然后把a =2k ，b =k ，c =3k代入a b cc a b---+中进行分式的化简求值即可．解：设3a b ＝4b c +＝5c a+＝k ，则a ＋b ＝3k ，b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，三式相加得a +b +c =6k ∵用∵式分别减去上述三个式子，可得出解得a ＝2k ，b ＝k ，c ＝3k ，所以a b c c a b ---+＝2332k k kk k k---+＝－1．【点拨】本题考查了比例的性质，掌握设比法求值是解题关键．类型三、比例中项3．已知线段a 、b 满足a ：b ＝3：2，且a ＋2b ＝28 （1）求a 、b 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x 的值．【答案】（1）a ＝12，b ＝8；（2）x ＝6．【分析】（1）利用:3:2a b =，可设3a k =，2b k =，则3428k k +=，然后解出k 的值即可得到a 、b 的值；（2）根据比例中项的定义得到2x ab =，即296x =，然后根据算术平方根的定义求解．解：（1）:3:2a b =∴设3a k =，2b k =，228a b +=，3428k k ∴+=，4k ∴=，12a ∴=，8b =；（2）x 是:a b 的比例中项，296x ab ∴==， x 是线段，0x >，46x ∴=【点拨】本题考查了比例线段，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便．【变式1】已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，满足438324a b c +++==，且12a b c ++=．（1）求a ，b ，c 的值．（2）若线段x 是线段a 、b 的比例中项，求x ．【答案】（1）5a =，3b =，4c =；（2）15x =【分析】（1）根据438324a b c +++==，且12a b c ++=，根据比例的性质可得a ，b ，c 的值；（2）根据比例中项的性质求解即可．解：（1）∵438324a b c +++==，且12a b c ++=， ∵438438151215332432499a b c ab c a b c ，∵433a +=，332b ，834c ，∵5a =，3b =，4c =，（2）∵线段x 是线段a 、b 的比例中项，∵25315x ab，∵15x =【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项，熟悉相关性质是解题的关键．【变式2】已知线段a ＝4cm ，线段b ＝7cm ，线段c 是线段a ，b 的比例中项，求线段c 的长.【答案】线段c 的长为7cm ．【分析】根据比例中项的定义，成比例线段，构建方程即可解决问题．解：∵线段c 是线段a ，b 的比例中项，∵ab =c 2，∵a =4cm ，b =7cm ，c ＞0， ∵24728c =⨯=， ∵c 7cm ．故线段c 的长为7cm ．【点拨】本题考查比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用成比例线段性质列出等式，属于中考常考题型．类型四、成比例线段4．已知三条线段长分别为1cm ，2cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．2cm 2cm 、2 【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论．解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，122时，212x =2x =； ∵若四条线段的长度大小为： 1，x 22212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12x ，2212x =⨯，解得：2x ∵若四条线段的长度大小为： 12，2 ，x 时，122x ⨯=22x = 2cm 2或2．【点拨】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．【变式1】如图，在ABC 中，12cm,6cm,5cm AB AE EC ===，且AD AEDB EC=，求AD 的长．【答案】72cm 11AD =．【分析】利用比例线段得到6125AD AD =-，然后根据比例性质求AD ．解：AD AE BD EC=，即AD AEAB AD EC =-，∴6125AD AD =-，7211AD ∴=cm ．【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质，解题的关键是掌握对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如::a b c d =（即)ad bc =，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．【变式2】若P 在线段AB 上，点Q 在AB 的延长线上，10AB =，且32AP AQ PB BQ ==，求PQ 的长．【答案】24 【分析】根据AP AQ BP BQ =＝32，分别求出BP ，BQ 的长，两者相加即可求出PQ 的长. 解：设AP ＝3x ，BP ＝2x ，∵AB ＝10，∵AB ＝AP ＋BP ＝3x ＋2x ＝5x ，即5x ＝10， ∵x ＝1，∵AP ＝6，BP ＝4. ∵AQ BQ ＝32，∵可设BQ ＝y ，则AQ ＝AB ＋BQ ＝10＋y ， ∵1032y y +=，解得y ＝20，∵PQ ＝PB ＋BQ ＝4＋20＝24.【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识，运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键．。

专题27.2 比例的性质及成比例线段(基础篇)(专项练习)-2022-2023学年九年级数学下册基础

专题27.2 比例的性质及成比例线段（基础篇）（专项练习）一、单选题1．地图上乐山到峨眉的图上距离为3.8厘米，比例尺是1：1000000，那么乐山到峨眉的实际距离是（）A ．3800米B ．38000米C ．380000米D ．3800000米2．已知线段b 是线段a 和线段c 的比例中项，若3a =，4c =，则b 的值是（）A ．3.5B ．6C ．D ．3．某地图上1cm 2面积表示实际面积900m 2，则该地图的比例尺是（） A ．1:30B ．1:3000C ．1:900D ．1:900000004．已知线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，其中a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝5cm ，则d 等于（）A ．1cmB ．10cmC ．52cmD ．85cm5．下面的四个数中能组成比例的是（）A ．14、34、0.6和0.3B ．20、14、4和5C ．3、4、12和13D ．6、10、9和156．如果4a ＝5b (ab ≠0)，那么下列比例式变形正确的是（） A ．54a b = B ．45a b = C ．45a b = D ．45b a = 7．已知a cb d=，则下列各式成立的是（） A ．a d c b = B ．b a c d=C ．a ca d c b=++ D ．a b ac d c+=+ 8．下列四组线段中，是成比例线段的是（） A ．0.5，3，2，10 B ．3，4，6，2 C ．5，6，15，18D ．1.5，4，1.2，59．如果:12:8a b =，且b 是a ，c 的比例中项，那么:b c 等于（）A ．4:3B ．3:2C ．2:3D ．3:410．如图，P 是线段AB 的黄金分割点，且P A >PB ，S 1表示P A 为一边的正方形的面积，S 2表示长为AB 、宽为PB 的矩形面积，则S 1、S 2的大小关系是（）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法确定二、填空题11．已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是_______厘米． 12．已知点B 在线段AC 上，2AB BC =，那么:AC AB 的比值是_________． 13．若32a b =，则235a b a b +-＝_____．14．若234a b c ==，则63a bb c +=-___________．15．已知线段8a =，2b =，线段c 是线段a ，b 的比例中项，则c =_______． 16．已知52a b =，则():a b b +的值为_________．17．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m ，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为x m ，根据题意，可列方程为__________．18．两地的实际距离是1200千米，在地图上量得这两地的距离为2厘米，则这幅地图的比例尺是1∶___．19．已知三条线段a 、b 、c ，其中1a cm =，4b cm =，c 是a 、b 的比例中项，则c =_____cm ．20．如图1）一次又一次对开，按图2叠放，可以发现，这些叠放起来的矩形的右上顶点与左下顶点在同一直线上．若以图2最大矩形的左下顶点为原点，以宽和长所在直线分别为x 轴和y 轴，则这组矩形的右上顶点所在直线的函数表达式为______．三、解答题21．（1）已知线段a ＝2，b ＝9，求线段a ，b 的比例中项．（2）已知x ：y ＝4：3，求y xy-的值．22．已知x ：y ：z ＝3：5：7，求234532x y zx y z-++-的值．23．线段a 、b 、c ,且234a b c ==．（1）求a bb+的值．（2）如线段a 、b 、c 满足27a b c ++=,求a b c -+的值．24．已知线段a 、b 、c 满足a ：b ：c ＝3：2：6，且a +2b +c ＝26．（1）求a 、b 、c 的值；（2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．参考答案1．B【分析】设乐山到峨眉的实际距离为x cm ，利用比例尺的定义得到3.8：x =1：1000000，然后利用比例的性质求出x ，再化单位化为米即可．解：设乐山到峨眉的实际距离为x 厘米，根据题意得3.8：x =1：1000000，解得x =3800000，所以乐山到峨眉的实际距离是3800000厘米，即38000米．故选：B ．【点拨】本题考查了比例线段，正确理解比例尺的定义是解决问题的关键． 2．C 【分析】根据题意列出比例式，计算即可求得答案解：23412b ac ==⨯=∴b =故选C【点拨】本题考查了成比例线段，比例中项的概念，理解比例的性质是解题的关键．比例式为 ::a b b c =，则内项 b 称为外项 a 和c 的比例中项．3．B 【分析】先设该地图的比例尺是1：x ，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程，求得x 的值即可．解：设该地图的比例尺是1：x ，根据题意得：1：x 2＝1：9000000，解得x 1＝3000，x 2＝−3000（舍去）．则该地图的比例尺是1：3000；故选：B ．【点拨】此题考查了线段的比，根据面积比是比例尺的平方比，列出方程是解题的关键． 4．B 【分析】根据第四比例项的概念，得a ：b ＝c ：d ，再根据比例的基本性质，求得第四比例项．解：∶线段d 是线段a 、b 、c 的第四比例项，∶a ：b ＝c ：d ∶bc d a=∶a ＝2cm ，b ＝4cm ，c ＝5cm ， ∶45102bc da cm ∶线段a ，b ，c 的第四比例项d 是10cm ．故选：B ．【点拨】本题考查的是比例的基本性质，熟悉第四比例项的概念，写比例式的时候一定要注意顺序．再根据比例的基本性质进行求解是关键．5．D 【分析】根据比例的性质依次判断四个选项即可．解：A 、因为14：0.3≠0.6：34，所以A 选项不符合题意；B 、因为4：5≠14：20，所以B 选项不符合题意；C 、因为13：12≠3：4，所以C 选项不符合题意；D 、因为6：9＝10：15，所以D 选项符合题意．故选：D ．【点拨】本题考查比例的性质，熟练掌握该知识点是解题关键． 6．A 【分析】根据等式的性质：两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变，可得答案．解：两边都除以20，得54a b=，故A 正确； B 、两边都除以20，得54a b=，故B 错误； C 、两边都除以4b ，得54a b =，故C 错误； D 、两边都除以5a ，得45ba=，故D 错误．故选：A ．【点拨】本题考查了比例的性质，利用两边都除以同一个不为零的数（或整式），结果不变是解题关键．7．D 【分析】根据比例的性质解答并判断．解：∶a cb d=， ∶a b c d b d ++=，b ad c=， ∶a b bc d d+=+， ∶a b ac d c+=+，故选：D ．【点拨】此题考查了比例的性质，熟记比例的性质是解题的关键． 8．C 【分析】根据各个选项中的数据可以判断哪个选项中的四条线段不成比例，本题得以解决．解：∶052310≠.，故选项A 中的线段不成比例，不符合题意； ∶3642≠，故选项B 中的线段不成比例，不符合题意； ∶515=618，故选项C 中的线段成比例，符合题意； ∶151245≠..，故选项D 中的线段不成比例，不符合题意，故选：C【点拨】本题考查比例线段，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 9．B 【分析】由b 是a 、c 的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得=b ac b，又由a ：b =12：8，即可求得答案．解：∶b 是a 、c 的比例中项，∶b 2=ac ，b ac b∴=∶a:b=12:8，∶12382ab==，:3:2b c∴=，故选：B．【点拨】此题主要考查了比例线段，正确把握比例中项的定义是解题关键．10．B【分析】根据黄金分割的定义得到P A2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=P A2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2．解：∶P是线段AB的黄金分割点，且P A＞PB，∶P A2=PB•AB，又∶S1表示P A为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，∶S1=P A2，S2=PB•AB，∶S1=S2．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点．11．4【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求．解：∶线段b是a、c的比例中项，∶b2＝ac＝2×8＝16，解得b＝±4，又∶线段是正数，∶b＝4．故答案为4．【点拨】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．12．32【分析】根据题意作出图形，进而即可求解．解：如图，∶2AB BC = 设,BC a =则2AB a =23AC AB BC a a a ∴=+=+=∶:3:2AC AB = 故答案为：3:2【点拨】本题考查了比例线段，数形结合是解题的关键． 13．1213【分析】根据32a b =，设3,2a k b k ==，代入代数式求值即可．解：∶32a b =，设3,2a k b k ==，∶235a b a b +-661215213k k k k +==-，故答案为：1213【点拨】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 14．3 【分析】设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =，然后代入所求的代数式即可求解．解：设234a b ck ===，则2a k =，3b k =，4c k =， ∶662315333345a b k k kb c k k k+⨯+===-⨯-，故答案为：3【点拨】本题考查了比例的性质，根据题意设k 法是比较好的解题方法． 15．4【分析】利用比例中项的定义得到c 2=ab =16，然后求出16的算术平方根即可．解：∶线段c 是线段a ，b 的比例中项，∶c 2=ab ，而线段a =8，b =2， ∶c 2=8×2=16，而c ＞0， ∶c =4．故答案为：4．【点拨】本题考查了成比例线段，掌握比例中项的定义是解决问题的关键． 16．75【分析】首先得到a =25b ，然后代入代数式求值．解：∶5a =2b ，∶a =25b ，∶277555b b ba b b b b ++===，故答案为：75．【点拨】本题考查比例的性质和分式的化简求值，解题的关键是掌握分子和分母都除以同一个不为0的数．17．33x xx -=或()233x x =- 【分析】设雕像的下部高为x m ，则上部长为（2-x ）m ，然后根据题意列出方程即可．解：设雕像的下部高为x m ，则上部长为（3-x ）m ，由题意得：33x xx -=，即()233x x =-，故答案为：33x xx -=或()233x x =-．【点拨】本题考查了线段的比，解题的关键在于读懂题目信息并列出方程． 18．60000000【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离列式计算即可．解：1200千米＝120000000厘米，2：120000000＝1：60000000．故答案为：60000000．【点拨】本题考查了比例线段，掌握比例尺的定义是解题的关键，注意单位的换算问题．19．2【分析】由c 是a 、b 的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c 的长，注意线段的长度不能为负．解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段长度的乘积．∶c 是a 、b 的比例中项，∶2144c ab ==⨯=，解得：2c =±（线段的长度是正数，负值舍去），则2c cm =．故答案为：2【点拨】本题考查了比例线段；理解比例中项的概念，这里注意线段的长度不能是负数．20．y =【分析】设直线为y =kx +b .解：设直线为y =kx +b ，∶直线经过原点，∶b =0.由矩形的性质可知：矩形的右上顶点的坐标为该矩形的宽和长，∶长∶宽，∶y ∶x ∶1，∶y x ，故答案为y =；【点拨】本题考查了一次函数解析式，矩形的性质，比例的性质；掌握一次函数的性质是解题关键．21．（1）2）1 3 -【分析】（1）设线段x是线段a，b的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外项之积即可得出答案．（2）设x＝4k，y＝3k，代入计算，于是得到结论．解：（1）设线段x是线段a，b的比例中项，∶a＝3，b＝6，x2＝3×6＝18，x＝±∶线段a，b的比例中项是（2）设x＝4k，y＝3k，∶y xy-＝343k kk-＝13-．【点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．22．19 16【分析】根据x：y：z＝3：5：7设x＝3k、y＝5k、z＝7k，然后代入234532x y zx y z-++-化简求解即可．解：∶x：y：z＝3：5：7，∶设x＝3k、y＝5k、z＝7k，∶234 532 x y z x y z-++-＝233547 533527k k kk k k ⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⨯＝19 16【点拨】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例的性质转化成含同一字母的式子．23．（1）53；（2）9【分析】(1) 根据比例的性质得出23a b =, 即可得出a b b +的值; (2) 首先设234a b c ===k, 则a=2k, b=3k, c=4k,利用a+b+c=27求出的值即可得出答案. 解：（1）23a b =，∴23a b = ∴53a b b +=；（2）设234a b c ===k, 则a=2k, b=3k, c=4k ，由a+b+c=27，由2k+3k+4k=27，得：k=3，∴a=6，b=9，c=12故a b c -+ =6-9+12=9，故答案：53；9. 【点拨】这是一道考查代数式求值的题目, 属于中等难度的题目, 只要同学们认真分析就可以求出答案.24．（1）a ＝6，b ＝4，c ＝12；（2）x 的值为【分析】（1）设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入等式求解得到k ，然后求解即可；（2）根据比例中项的定义列式求解即可．解：（1）∶a ：b ：c ＝3：2：6，∶设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝6k ，又∶a +2b +c ＝26，∶3k +2×2k +6k ＝26，解得k ＝2，∶a ＝6，b ＝4，c ＝12；（2）∶x 是a 、b 的比例中项，∶x 2＝ab ，∶x 2＝4×6，x =∶x =x =-（舍去），即x 的值为【点拨】本题考查比例与比例中项问题，掌握比例性质以及比例中项定义，如果a 、b 、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项．。