高中数学模块综合测试新人教A版必修1

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高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1,1)，b ＝(1，y,1)，c ＝(2，－4，2)，a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A ．2 2B ．10C ．3D ．4【答案】C【解析】∵b ∥c ，∴y ＝－2．∴b ＝(1，－2,1)．∵a ⊥c ，∴a ·c ＝2x ＋1·()－4＋2＝0，∴x ＝1．∴a ＝(1,1,1)．∴a ＋b ＝(2，－1，2)．∴|a ＋b |＝22＋－12＋22＝3．2．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD →＋12(BC →－BD →)等于( )A ．AD →B ．FA →C ．AF →D ．EF →【答案】C【解析】∵BC →－BD →＝DC →，12(BC →－BD →)＝12DC →＝DF →，∴AD →＋12(BC →－BD →)＝AD →＋DF →＝AF →．3．若直线l 1：mx ＋2y ＋1＝0与直线l 2：x ＋y －2＝0互相垂直，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．12 D ．－12【答案】B【解析】直线l 1：y ＝－m 2x －12，直线l 2：y ＝－x ＋2，又∵直线l 1与直线l 2互相垂直，∴－m2×(－1)＝－1，即m ＝－2．4．已知直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，则a ＝( )A ．－9B ．1C ．1或－2D ．1或－9【答案】D【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为(1，－2)，因为直线l ：x －2y ＋a －1＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝9相交所得弦长为4，所以9－⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋4＋a －1|52，所以a 2＋8a －9＝0，解得a ＝1或a ＝－9．5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1上的一点，半焦距为c ，若|MO |≤c (其中O 为坐标原点)，则y 20的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 4c 2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，a 4c 2C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫b 4c 2，＋∞ D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2c 2，＋∞ 【答案】A【解析】因为|MO |≤c ，所以|MO |≤a 2＋b 2，所以x 20＋y 20≤a 2＋b 2，又因为x 20a 2－y 20b2＝1，消去x 2得0≤y 20≤b 4a 2＋b 2，所以0≤y 20≤b 4c2．6．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦距为2c ，直线l ：y ＝24x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若|AB |＝2c ，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．34C ．12D ．14【答案】A【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为A (x ，y )，则y ＝24x ，由|AB |＝2c ，可知|OA |＝x 2＋y 2＝c ，即x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫24x 2＝c ，解得x ＝223c ，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫223c ，13c ．把点A 代入椭圆方程得到⎝ ⎛⎭⎪⎫223c 2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13c 2b2＝1，整理得8e 4－18e 2＋9＝0，即(4e 2－3)(2e 2－3)＝0，因为0＜e ＜1，所以可得e ＝32． 7．在空间直角坐标系Oxyz 中，O (0,0,0)，E (22，0,0)，F (0,22，0)，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足|CO →|＝|CB →|＝3，若cos 〈EF →，BC →〉＝16，则OC →·OF →＝( )A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】D【解析】设C (x ，y ，z )，B (2，2，0)，OC →＝(x ，y ，z )，BC →＝(x －2，y －2，z )，EF →＝(－22，22，0)，由cos 〈EF →，BC →〉＝EF →·BC→|EF →||BC →|＝－22，22，0·x －2，y －2，z 4×3＝16，整理可得x －y ＝－22，由|CO →|＝|CB →|＝3，得x 2＋y 2＝x －22＋y －22，化简得x ＋y ＝2，以上方程组联立得x ＝24，y ＝324，则OC →·OF →＝(x ，y ，z )·(0,22，0)＝22y ＝3． 8．已知点M ，N 是抛物线y ＝4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN ＝135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y ＝－116的距离为d ，若|MN |2＝λ·d 2，则λ的最小值为( )A ．22B ．1－22C ．1＋22D ．2＋ 2【答案】D【解析】抛物线y ＝4x 2的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116，准线为y ＝－116．设|MF |＝a ，|NF |＝b ，由∠MFN ＝135°，得|MN |2＝|MF |2＋|NF |2－2|MF |·|NF |·cos ∠MFN ＝a 2＋b 2＋2ab ．由抛物线的定义，得点M 到准线的距离为|MF |，点N 到准线的距离为|NF |．由梯形的中位线定理，得d ＝12(|MF |＋|NF |)＝12(a ＋b )．由|MN |2＝λ·d 2，得14λ＝a 2＋b 2＋2ab a ＋b 2＝1－2－2aba ＋b 2≥1－2－2ab 2ab2＝1－2－24＝2＋24，得λ≥2＋2，当且仅当a ＝b 时取得最小值2＋2．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知直线l ：(a 2＋a ＋1)x －y ＋1＝0，其中a ∈R ，下列说法正确的是( ) A ．当a ＝－1时，直线l 与直线x ＋y ＝0垂直 B ．若直线l 与直线x －y ＝0平行，则a ＝0C ．直线l 过定点(0,1)D ．当a ＝0时，直线l 在两坐标轴上的截距相等【答案】AC【解析】对于A 项，当a ＝－1时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，显然与x ＋y ＝0垂直，所以正确；对于B 项，若直线l 与直线x －y ＝0平行，可知(a 2＋a ＋1)·(－1)＝1·(－1)，解得a ＝0或a ＝－1，所以不正确；对于C 项，当x ＝0时，有y ＝1，所以直线过定点(0,1)，所以正确；对于D 项，当a ＝0时，直线l 的方程为x －y ＋1＝0，在x 轴、y 轴上的截距分别是－1,1，所以不正确．故选AC ．10．已知F 1，F 2是双曲线C ：y 24－x 22＝1的上、下焦点，点M 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段F 1F 2为直径的圆经过点M ，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2xB ．以F 1F 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝2 C ．点M 的横坐标为± 2 D ．△MF 1F 2的面积为2 3 【答案】ACD【解析】由双曲线方程y 24－x 22＝1知a ＝2，b ＝2，焦点在y 轴，渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x ，A 正确；c ＝a 2＋b 2＝6，以F 1F 2为直径的圆的方程是x 2＋y 2＝6，B 错误；由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝6，y ＝2x ，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝－2，由对称性知点M 横坐标是±2，C 正确；S △MF 1F 2＝12|F 1F 2||x M |＝12×26×2＝23，D 正确．故选ACD ．11．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( )A ．(0，2)B ．(1，2－1)C ．(2，0)D ．(2－1,1)【答案】AC【解析】如图所示，原点到直线l 的距离为d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切．由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值．连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ 为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝2．设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式，得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得2t 2－22t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)．故选AC ．12．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋512OB →＋512OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面C ．设{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底D ．若a ·b ＜0，则〈a ，b 〉是钝角【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有OP →＝16OA →＋13OB →＋12OC →，因为16＋512＋512＝1，所以P ，A ，B ，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{}a ，b ，c 是空间中的一组基底，则向量a ，b ，c 不共面，可得向量2a ，－b ，c 也不共面，所以{2a ，－b ，c }也是空间的一组基底，所以是正确的；对于D 中，若a ·b ＜0，又由〈a ，b 〉∈[0，π]，所以〈a ，b 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，所以不正确．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是__________；|OM |＝________．【答案】(1,1，－1)3【解析】在空间直角坐标系Oxyz 中，点M (1，－1,1)关于x 轴的对称点坐标是M ′(1,1，－1)，|OM |＝12＋－12＋12＝3．14．(2021年惠州期末)圆C ：(x －1)2＋y 2＝1关于直线l ：x －y ＋1＝0对称的圆的方程为______________．【答案】(x ＋1)2＋(y －2)2＝1【解析】圆C ：(x －1)2＋y 2＝1圆心C (1,0)，半径r ＝1，设圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0的对称点C ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12－b2＋1＝0，ba －1＝－1，解得a ＝－1，b ＝2，即圆C 的圆心关于直线l 的对称圆心为C ′(－1,2)，而圆关于直线对称得到的圆的半径不变，所以所求的圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1．15．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，N 分别是线段BB 1，B 1C 1的中点，则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．【答案】32【解析】如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，12，A (1,0,0)．∴AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，AC→＝(－1,1,0)，AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝z ＝1，∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32．又∵MN →綉12AD 1→，∴MN ∥平面ACD 1．∴直线MN 到平面ACD 1的距离为32．16．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为该双曲线上一点且2|PF 1|＝3|PF 2|，若∠F 1PF 2＝60°，则该双曲线的离心率为________．【答案】7【解析】2|PF 1|＝3|PF 2|，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，故|PF 1|＝6a ，|PF 2|＝4a ．在△PF 1F 2中，利用余弦定理得4c 2＝36a 2＋16a 2－2·6a ·4a cos60°，化简整理得到c ＝7a ，故e ＝7．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)． (1)求顶点B ，C 的坐标； (2)求CA →·BC →．解：(1)设点O 为坐标原点，OB →＝OA →＋AB →＝(2，－5,3)＋(4,1,2)＝(6，－4,5)，则B (6，－4,5)．OC →＝OB →＋BC →＝(6，－4,5)＋(3，－2,5)＝(9，－6,10)，则C (9，－6,10)．(2)AC →＝AB →＋BC →＝(7，－1,7)，则CA →＝(－7,1，－7)，又因为BC →＝(3，－2,5)，所以CA →·BC →＝－7×3＋1×(－2)＋(－7)×5＝－58． 18．(12分)菱形ABCD 的顶点A ，C 的坐标分别为A (－4,7)，C (6，－5)，BC 边所在直线过点P (8，－1)．求：(1)AD 边所在直线的方程； (2)对角线BD 所在直线的方程．解：(1)k BC ＝－5－－16－8＝2，∵AD ∥BC ，∴k AD ＝2．∴AD 边所在直线的方程为y －7＝2(x ＋4)，即2x －y ＋15＝0． (2)k AC ＝－5－76－－4＝－65．∵菱形的对角线互相垂直，∴BD ⊥AC ，∴k BD ＝56．∵AC 的中点(1,1)，也是BD 的中点，∴对角线BD 所在直线的方程为y －1＝56(x －1)，即5x －6y ＋1＝0．19．(12分)已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0． (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长． (1)证明：圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝11．圆C 2的圆心C 2(5,6)，半径r 2＝4．两圆圆心距d ＝|C 1C 2|＝5，r 1＋r 2＝11＋4，|r 1－r 2|＝4－11， ∴|r 1－r 2|＜d ＜r 1＋r 2． ∴圆C 1和圆C 2相交．(2)解：圆C 1和圆C 2的方程相减，得4x ＋3y －23＝0，∴两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0．圆心C 2(5,6)到直线4x ＋3y －23＝0的距离d ＝|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27．20．(12分)如图，过抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 的直线交C 于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，且x 1x 2＝－4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，R ，Q 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．解：(1)由题意，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －p 2＝0，由题意知x 1，x 2是方程两根，所以x 1x 2＝－p 2＝－4，所以p ＝2，抛物线的标准方程为x 2＝4y ．(2)设R (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，T (0，t )，因为点T 在RQ 的垂直平分线上，所以|TR |＝|TQ |，得x 23＋(y 3－t )2＝x 24＋(y 4－t )2．因为x 23＝4y 3，x 24＝4y 4，所以4y 3＋(y 3－t )2＝4y 4＋(y 4－t )2，即4(y 3－y 4)＝(y 3＋y 4－2t )(y 4－y 3)，所以－4＝y 3＋y 4－2t ．又因为y 3＋y 4＝1，所以t ＝52，故T ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52．于是S △MNT ＝12|FT ||x 1－x 2|＝34|x 1－x 2|．由(1)得x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以S △MNT ＝34|x 1－x 2|＝34x 1＋x 22－4x 1x 2＝3416k 2－4×－4＝3k 2＋1≥3．所以当k ＝0时，S △MNT 有最小值3．21．(12分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 上的点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)二面角P －AC －E 的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．(1)证明：∵PC ⊥底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ， ∴PC ⊥AC ．∵AB ＝2，AD ＝CD ＝1，∴AC ＝BC ＝2． ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC ．又∵BC ∩PC ＝C ，∴AC ⊥平面PBC ． ∵AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBC ．(2)解：如图，以C 为原点，取AB 中点F ，CF →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,1,0)，B (1，－1,0)．设P (0,0，a )(a ＞0)，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，CA →＝(1,1,0)，CP →＝(0,0，a )，CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，a 2，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面PAC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·CA →＝x 1＋y 1＝0，m ·CP →＝az 1＝0，所以可取x 1＝1，y 1＝－1，z 1＝0，即m ＝(1，－1,0)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面EAC 的法向量，则n ·CA →＝n ·CE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，x 2－y 2＋az 2＝0，取x 2＝a ，y 2＝－a ，z 2＝－2，则n ＝(a ，－a ，－2)，依题意，|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝a a 2＋2＝63，则a ＝2．于是n ＝(2，－2，－2)，PA →＝(1,1，－2)．设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈PA →，n 〉|＝|PA →·n ||PA →||n |＝23，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为23． 22．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32．(1)求椭圆C 的方程．(2)过点(3，0)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问在x 轴上是否存在定点Q 使得直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可得32＝c a ，1a 2＋34b2＝1，又因为a 2－b 2＝c 2，解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．(2)存在定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，理由如下：设直线l 的方程为x ＋my －3＝0，与椭圆C 联立，整理得(4＋m 2)y 2－23my －1＝0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，定点Q (t,0)(依题意t ≠x 1，t ≠x 2)，则由韦达定理可得，y 1＋y 2＝23m 4＋m 2，y 1y 2＝－14＋m2．直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称，等价于AQ ，BQ 的斜率互为相反数．所以y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，即y 1(x 2－t )＋y 2(x 1－t )＝0．又因为x 1＋my 1－3＝0，x 2＋my 2－3＝0，所以y 1(3－my 2－t )＋y 2(3－my 1－t )＝0，整理得(3－t )(y 1＋y 2)－2my 1y 2＝0．从而可得(3－t )·23m 4＋m 2－2m ·－14＋m2＝0，11 即2m (4－3t )＝0，所以当t ＝433，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0时，直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称成立．特别地，当直线l 为x 轴时，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫433，0也符合题意．综上所述，存在x 轴上的定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫433，0，满足直线QA 与直线QB 恰关于x 轴对称．。

高中数学模块综合测评新人教A版必修1

【高考调研】2014-2015学年高中数学模块综合测评新人教A版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．全集U ＝{0，－1，－2，－3，－4}，M ＝{0，－1，－2}，N ＝{0，－3，－4}，则(∁U M )∩N 为( )A ．{0}B ．{－3，－4}C ．{－1，－2}D ．∅答案 B解析因为∁U M ＝{－3，－4}，所以(∁U M )∩N ＝{－3，－4}． 2．用分数指数幂表示a 3a a ，正确的是( )A ．a 43B ．a 34C ．a 112D ．a － 14答案 B解析a 3a a ＝[a ·(a ·a 12 )13] 12 ＝a 12 ·a16 ·a 112 ＝a 34 .3．函数y ＝1x＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋3>0，得x >－3且x ≠0.∴函数定义域为(－3,0)∪(0，＋∞)．4．在区间(0,1)上，图像在y ＝x 的下方的函数为( ) A ．y ＝log 12xB ．y ＝2xC ．y ＝x 3D ．y ＝x 12答案 C解析特殊值法，取x ＝14，则直线y ＝x 上的点是(14，14)，函数y ＝log 12 x 上的点是(14，2)，排除A ；函数y ＝2x上的点是(14，42)，排除B ；函数y ＝x 12 上的点是(14，12)，排除D ；函数y ＝x 3上的点是(14，164)，故选C ，也可以根据这四个函数在同一坐标系内的图像得出．5．函数f (x )＝a x －3＋4(a >0且a ≠1)的图像恒过定点( )A ．(3,4)B ．(0,1)C ．(0,5)D ．(3,5)答案 D解析当x ＝3时，ax －3＝1，所以f (3)＝5.所以函数图像恒过点(3,5)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2.若f (a )＝3，则a 的取值个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2＝3， ∴a ＝1，与a ≤－1矛盾；当－1<a <2时，f (a )＝a 2＝3，∴a ＝± 3. ∵－1<a <2，∴a ＝ 3.7．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3是偶函数，则f (x )在(－5，－2)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．不具有单调性 D ．单调性由m 确定答案 A解析由f (x )＝f (－x )，得m ＝0，所以f (x )＝－x 2＋3在(－5，－2)上是增函数． 8．若在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ·c <0，则函数的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．无法确定答案 B解析 ∵Δ＝b 2－4ac >0，∴函数必有2个零点. 故选B. 9．三个数0.32,20.3，log 0.32的大小关系为( ) A ．log 0.32<0.32<20.3 B ．log 0.32<20.3<0.32C ．0.32<log 0.32<20.3D ．0.32<20.3<log 0.32解析 ∵0<0.32<1,20.3>1，log 0.32<0，∴log 0.32<0.32<20.3.10．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A ．f (－72)<f (－3)<f (4)B ．f (－3)<f (－72)<f (4)C ．f (4)<f (－3)<f (－72)D ．f (4)<f (－72)<f (－3)答案 D解析 ∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，又－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f (－72)<f (－3)．11．若奇函数f (x )在[a ，b ](a ，b >0)上是增函数，且最小值是1，则f (x )在[－b ，－a ]上是( )A ．增函数且最小值是－1B ．增函数且最大值是－1C ．减函数且最小值是－1D ．减函数且最大值是－1 答案 B解析函数f (x )在[－b ，－a ]上的单调性与在[a ，b ]上的单调性相同．12．某地区植被被破坏后，土地沙漠化越来越严重，据测，最近三年该地区的沙漠增加面积分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，若沙漠增加面积y 万公顷是关于年数x 的函数关系，则此关系用下列哪个函数模拟比较好( )A ．y ＝x5B ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝110·2xD ．y ＝0.2＋log 16x答案 C解析把x ＝1,2,3分别代入函数式，则求得函数值与实际值的误差最小者作为函数模拟最好．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上) 13．0.25－0.5＋2713 －6250.25＝________.解析原式＝(14)－12 ＋2713 －62514 ＝2＋3－5＝0.14．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}至多有一个元素，则a 的取值范围是________．答案 a ＝0或a ≥98解析当a ＝0时，－3x ＋2＝0，即x ＝23，满足题意；当a ≠0时，要使集合A 至多有一个元素，只需Δ＝9－8a ≤0，即a ≥98.15．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ≥0时，有f (x )＝x2x ，则当x ≤0时，函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x ·2x解析设x ≤0，则－x ≥0.所以f (－x )＝－x2－x .又因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以f (x )＝x2－x ＝x ·2x.16．某种商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50≤x ≤80时，每天售出的件数P ＝100 000x －402，当销售价格定为________元时所获利润最多．答案 60解析设销售价每件x 元，获利润y 元，则有y ＝(x －50)·100 000x －402＝100000[1x －40－10x －402]．将此式视为关于1x －40的二次函数，则当1x －40＝120，即x ＝60元时，y 有最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }． (1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解析 (1)因为A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，所以A ∪B ＝{x |2<x <10}，∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．(2)因为A ＝{x |3≤x <7}，C ＝{x |x <a }，A ∩C ≠∅，所以a >3，即a 的取值范围是{a |a >3}． 18．(12分)计算下列各式． (1)|1＋lg0.001|＋lg 212－4lg2＋4＋lg6－lg0.03； (2)(0.001) － 13 ＋(27) 23 －(14)－ 12 ＋(19)－1.5.解析 (1)原式＝|1＋lg10－3|＋lg 22－4lg2＋4＋lg6－lg 3100＝|1－3|＋lg2－22＋lg6－lg3＋2＝2＋2－lg2＋lg6－lg3＋2 ＝6＋lg 62×3＝6.(2)原式＝(10－3) － 13 ＋(33) 23 －(2－2) － 12 ＋(3－2) － 32 ＝10＋9－2＋27＝44. 19．(12分)已知函数f (x )＝mx ＋n 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)求实数m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解关于t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0. 解析 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即n 1＝0，∴n ＝0.∴f (x )＝mx1＋x2.∵f (12)＝25，∴m21＋14＝25，∴m ＝1.∴f (x )＝x1＋x 2，综上，m ＝1，n ＝0.(2)∵f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－1,1)，设0<x 1<x 2<1，f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 1x 22－x 2－x 2x 211＋x 211＋x 22＝x 1－x 2＋x 1x 2x 2－x 11＋x 211＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22， ∵0<x 1<x 2<1， ∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在(－1,1)上单调递增． (3)∵f (t －1)＋f (t )<0， ∴f (t －1)<－f (t )＝f (－t )． ∵f (x )在(－1,1)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧t －1<－t ，－1<t －1<1，－1<－t <1，得0<t <12.20．(12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且f (x y)＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)＋f (1x)≤2.解析 (1)令x ＝y ＝1，得f (1)＝0. (2)∵f (x ＋3)＋f (1x)≤f (6)＋f (6)，∴f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x)．∵f (x y)＝f (x )－f (y )，∴f (x ＋36)≤f (6x )．∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x >0，x ＋36≤6x ，得x ≥335.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解析 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. ∵f (x )在[－5,1]上单调递减，在[1,5]上单调递增， ∴f (x )min ＝f (1)＝1，f (x )max ＝f (－5)＝37. (2)f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2，∴f (x )在(－∞，－a ]上单调递减，在[－a ，＋∞)上单调递增． ∴－a ≤－5或－a ≥5，即a ≥5或a ≤－5.22．(12分)在中国轻纺城批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势．设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周末，该服装已不再销售．(1)试建立价格P 与周次t 之间的函数关系；(2)若此服装每件进价Q 与周次t 之间的关系式Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N ，问该服装第几周每件销售利润最大？解析 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t 0<t ≤5，20 5<t ≤10，20－2t －10 10<t ≤16.(2)设当t 周的利润为y ，则 y ＝P －Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.125t －82＋2t －20<t ≤5，0.125t －82＋85<t ≤10，0.125t －82－2t ＋28，10<t ≤16.当t ＝5时，y 最大＝738.。

新教材2024年秋高中数学模块综合测评新人教A版必修第一册

模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1 或x>3}，则A∩B＝( )A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}2．(2024·河北辛集中学月考)若幂函数f(x)]＝xα的图象经过点，则α的值为( )A．2 B．－2C．D．－3．(2024·湖北武汉期末)已知函数f(x)]＝x－e－x的部分函数值如表所示：x 10.50.750.6250.562 5f(x)0.632 1－0.106 50.277 60.089 7－0.007那么函数f(x)]的一个零点的近似值(精确度为0.01)为( )A．0.55 B．0.57C．0.65 D．0.74．(2024·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2024·福建厦门双十中学月考)将y＝图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)] 的图象，再将y＝g(x)]图象向左平移，得到y＝φ(x)]的图象，则y＝φ(x)]的解析式为( )A．y＝sin x B．y＝cos xC．y＝sin 9x D．y＝sin6．(2024·山东青岛期末)在直角坐标系中，已知圆C的圆心在原点，半径等于1 ，点P从初始位置(0，1)起先，在圆C上按逆时针方向，以角速度rad/s均速旋转3 s后到达P′点，则P′的坐标为( )A．B．C．D．7．(2024·浙江杭州四中期末)已知实数x，y，z满意x＝40.5，y＝log53，z＝sin ，则( )A．z<x<y B．y<z<xC．z<y<x D．x<z<y8．(2024·北京高考)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则( )A．f(x)在上单调递减B．f(x)在上单调递增C．f(x)在上单调递减D．f(x)在上单调递增二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．(2024·山东新泰一中期末)下列结论中正确的是( )A．若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3>a2b＋ab2B．若a，b，m为正实数，且a<b，则<C.若>，则a>bD．当x>0时，x＋的最小值为210．(2024·新高考Ⅰ卷)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝( )A．sin B．sinC．cos D．cos11．(2024·浙江省杭州七中期末)已知函数f(x)]＝sin ，则fA．是奇函数B．是偶函数C．关于点(π，0)成中心对称D．关于点成中心对称12．(2024·山东泰安期末)已知f(x)]是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，则下列结论正确的是( )A．f(x)]在(0，＋∞)上单调递减B．f(x)]最多有两个零点C．f(log0.53)>f(log25)D．若实数a满意f(2a)>f，则a<三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若2a＝3b＝，则＋的值为________．14．的值为________．15．(2024·山东青岛期末)已知函数f(x)]＝ax2＋bx＋c，满意不等式f(x)]<0的解集为(－∞，－2)∪(t，＋∞)，且f(x－1)为偶函数，则实数t＝________．16．某化工厂产生的废气必需经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函数关系为P＝P0·e t ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，P0为原污染物总量)．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝________；要能够按规定排放废气，还须要过滤n小时，则正整数n的最小值为________(参考数据：log52≈0.43)．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)(2024·浙江高校附属中学期末)(1)计算：＋log23·log34＋lg 2＋lg 50；(2)已知tan α＝2，求cos ·cos(π－α)的值．18．(本小题满分12分)(2024·山东临沂期末)已知集合A＝{x|log2(x－1)<2}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}．(1)若a＝1，求A∪B；(2)求实数a的取值范围，使________成立．从①A⊆∁R B，②B⊆∁R A，③(∁R A)∩B＝∅中选择一个填入横线处求解．注：假如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin2x＋cos x－2.(1)求函数f(x)的零点；(2)当x∈时，函数f(x)的最小值为－1，求α的取值范围．20．(本小题满分12分)(2024·湖北华中师大一附中期末)函数f(x)]＝－sin2x＋sin x cos x.(1)若f＝－＋，α∈(0，π)，求sin α；(2)若函数y＝f(ω)(0<ω<3)的图象在区间有且仅有一条经过最高点的对称轴，求ω的取值范围(不须要证明唯一性)．21．(本小题满分12分)(2024·湖北沙市中学期末)某地某路无人驾驶公交车发车时间间隔t(单位：分钟)满意5≤t≤20，t∈N.经测算，该路无人驾驶公交车载客量p(t)与发车时间间隔t满意：p(t)＝其中t∈N.(1)求p(5)，并说明p(5)的实际意义；(2)若该路公交车每分钟的净收益y＝－10(元)，问当发车时间间隔为多少时，该路公交车每分钟的净收益最大？并求每分钟的最大净收益．22．(本小题满分12分)(2024·山东烟台期末)已知函数f(x)＝4log2x＋，g(x)＝m·4x ＋2x+1－m，m<0.(1)求函数f(x)在区间(1，＋∞)上的最小值；(2)求函数g(x)在区间[1，2]上的最大值；(3)若对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f(x1)＋g(x2)>7成立，求实数m的取值范围．模块综合测评1．A [在数轴上表示出集合A，B，如图所示．由图知A∩B＝{x|－2x－1}．]2．C [由已知可得f (3)＝3α＝，解得α＝．故选C．]3．B [函数f (x)＝x－在R上单调递增，由数表知：f (0.5) f (0.562 5)0 f (0.625) f (0.75) f (1)，由函数零点存在定理知，函数f (x)的零点在区间(0.562 5，0.625)内，所以函数f (x)的一个零点的近似值为0.57．故选B．]4．A [sin x＝1，x＝＋2kπ，k∈Z，cos x＝0，x＝＋kπ，k∈Z；sin x＝1可推出cos x＝0，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件，故选A．]5．A [将y＝sin 图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，得到g(x)＝sin 的图象，再将y＝g(x)图象向左平移，得到φ(x)＝sin＝sin x的图象，故选A．]6．D [点P(0，1)为角α＝的终边上一点，3 s后点P按逆时针方向旋转到达P′点，点P′落在角β＝＋3×的终边上，cos β＝cos ＝－cos ＝－，sin β＝sin ＝－sin ＝－，故P′的坐标为．故选D．]7．C [x＝40.5＝>1，0＝log51y＝log53log55＝1，z＝sin 0，综上所述，故z y x．故选C．]8．C [f (x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x．选项A中：2x∈，此时f (x)单调递增，A错误；选项B中：2x∈，此时f (x)先递增后递减，B错误；选项C中：2x∈，此时f (x)单调递减，C正确；选项D中：2x∈，此时f (x)先递减后递增，D错误．故选C．]9．AC[对于A，若a，b为正实数，且a≠b，则a3＋b3－＝(A＋B)－ab(A＋B)＝(A＋B)(a－b)2>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2，故A正确；对于B，若a，b，m为正实数，且a<b，则－＝>0，所以>，故B错误；对于C，因为>，又c2>0，故a>b，故C正确；对于D，当x>0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝时取等号，故D错误．故选AC．] 10．BC[由题图可知，函数的最小正周期T＝2＝π，∴＝π，ω＝±2．当ω＝2时，y＝sin (2x＋φ)，将点代入得，sin ＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin ．由于y＝sin ＝sin ＝sin ，故选项B正确；y＝sin ＝cos＝cos ，选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin ＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos ＝1≠－1，错误．当ω＝－2时，y＝sin (－2x＋φ)，将代入，得sin ＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin ，但当x＝0时，y＝sin ＝－<0，与图象不符合，舍去．综上，选BC．]11．BD[因为f ＝sin ＝sin ＝cos x，故函数f 为偶函数，因为函数f 的对称中心坐标为，所以函数f 的图象关于点成中心对称．故选BD．]12．ACD[因为f (x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，所以f (x)在(0，＋∞)上单调递减，故A正确；函数零点个数无法确定，故B错误；f ＝f (log23)，因为log23<log25，所以f (log23)>f (log25)，故C正确；若实数a满意f (2a)>f ，即f (2a)>f ，则2a<＝，解得a<，故D正确．故选ACD．]13．2 [因为2a＝3b＝，所以a＝log2，b＝log3，所以＋＝＋＝＋＝＝2．]14．1 [原式＝＝＝＝1．]15．0 [依据解集易知：a<0 ，由f (x－1)为偶函数，可得f (x)关于直线x＝－1对称，即b－2a＝0．易知ax2＋bx＋c＝0的两根为t，－2，则依据根与系数的关系可得t－2＝－＝－2，解得t ＝0．]16． 4 [明显，当t＝0时，P＝P0，当t＝4时，P＝4%P0，则有P0＝P0·e4ln k，于是得k4＝，而k>0，解得k＝，设经过m小时后能够按规定排放废气，则有P0·e m ln k≤0.25%P0⇔k m≤，即≤⇔≥400⇔m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44，于是得还须要过滤时间n＝m－4≥3.44，则正整数n的最小值为4．所以k＝，正整数n的最小值为4．]17．解：(1)＋log23·log34＋lg 2＋lg 50＝＋log23×2log32＋lg 100＝＋2＋2＝．(2)cos ·cos (π－α)＝sin α·(－cos α)＝＝＝－．18．解：(1) A＝{x|log2(x－1)<2}＝{x|0<x－1<4}＝{x|1<x<5}，B＝{x|x2－2ax＋a2－1<0}＝{x|[x－(a－1)][x－(a＋1)]<0}＝{x|a－1<x<a＋1}，当a＝1时，B＝{x|0<x<2}，所以A∪B＝{x|0<x<5}．(2)由(1)知，A＝{x|1<x<5}，B＝{x|a－1<x<a＋1}，所以∁R A＝{x|x≤1或x≥5},∁R B＝{x|x≤a－1或x≥a＋1}．若选①，A⊆∁R B，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选②，B⊆∁R A，则a＋1≤1或a－1≥5，解得a≤0或a≥6，所以a的取值范围为a≤0或a≥6．若选③，(∁R A)∩B＝∅，则解得2≤a≤4，所以a的取值范围为2≤a≤4．19．解：(1)由sin2x＋cos2x＝1得：f (x)＝－2cos2x＋cos x，令f (x)＝0，解得cos x＝0或cos x＝，当cos x＝0时，x＝＋kπ，k∈Z；当cos x＝时，x＝2kπ±，k∈Z．所以函数f (x)的零点为＋kπ，2kπ±，k∈Z．(2)因为f (x)＝－2cos2x＋cos x，令cos x＝t，则f (x)＝g(t)＝－2t2＋t，因为f (x)的最小值为－1，所以－2t2＋t≥－1(等号可取)，解得－≤t≤1(等号可取)，即－≤cos x≤1(等号可取)，因为x∈，且cos ＝－，由－≤cos x≤1(等号可取)，x∈可得－≤α<．所以α的取值范围为．20．解： f (x)＝－sin2x＋sin x cos x＝－＋＝sin －．(1)由f ＝－＋，∴sin ＝，∵α∈(0，π)，∴<α＋<π．又sin ＝<＝sin ，∴<α＋<π，∴cos ＝－．故sin α＝sin ＝sin cos －cos sin ＝．(2) y＝f (ωx)＝sin －，设t＝2ωx＋，由x∈，则t∈，由0<ω<3，则<＋<，<ωπ＋<，由题意y＝sin t－，在t∈时，有且仅有一条经过最高点的对称轴，即y＝sin t－的对称轴x＝或x＝仅有一条在定义域内．所以或解得<ω<或<ω<．又0<ω<3，故ω的取值范围为∪．21．解：(1)p(5)＝60－(5－10)2＝35，实际意义为：发车时间间隔为5分钟时，载客量为35．(2)∵y＝－10，∴当5≤t<10时，y＝－10＝110－，任取5≤t1<t2≤6，则y1－y2＝－＝6(t2－t1)＋－＝6(t2－t1)＋＝，∵5≤t1<t2≤6，∴t2－t1>0，25<t1t2<36，∴y1－y2<0，∴函数y＝110－在区间[5，6]上单调递增，同理可证该函数在区间[6，10)上单调递减，∴当t＝6时，y取得最大值38；当10≤t≤20时，y＝－10＝－10，该函数在区间[10，20]上单调递减，则当t＝10时，y取得最大值28.4．综上，当发车时间间隔为6分钟时，该路公交车每分钟的净收益最大，最大净收益为38元．22．解：(1)当x∈(1，＋∞)时，log2x>0，所以4log2x ＋≥ 2＝4，当且仅当4log2x ＝，即x ＝时，等号成立，所以，函数f (x)在区间(1，＋∞)上的最小值为4．(2)g(x)＝m·4x＋2x+1－m＝m(2x)2＋2·2x－m，x∈[1，2]，令2x＝t，则上述函数化为y(t)＝mt2＋2t－m，t∈[2，4]．因为m<0，所以对称轴t ＝－>0，当－≤2，即m ≤－时，函数y(t)在[2，4]上单调递减，所以当t＝2时，y max＝3m＋4；当2<－<4，即－<m<－时，函数g(t)在上单调递增，在上单调递减，所以y max＝y＝－m －；当－≥4，即－≤m<0时，函数g(t)在[2，4]上单调递增，所以y max＝y(4)＝15m＋8．综上，当－≤m<0时，g(x)的最大值为15m＋8；当－<m<－时，g(x)的最大值为－m －；当m ≤－时，g(x)的最大值为3m＋4．(3)对∀x1∈(1，＋∞)，∃x2∈[1，2]，使得f (x1)＋g(x2)>7成立，等价于g(x2)>7－f (x1)成立，即g(x)max>[7－f (x)]max，由(1)可知，当x∈(1，＋∞)时，[7－f (x)]max＝7－f (x)min，因此，只须要g(x)max>3．所以当－≤m<0时，15m＋8>3，解得m>－，所以－≤m<0；当－<m<－时，－m －>3，解得m <或<m<0，所以，<m<－；当m ≤－时，3m＋4>3，解得m>－，此时解集为空集．综上，实数m 的取值范围为<m<0．。

高一数学必修模块1综合考试卷(人教A版)附答案.doc

一、选择题（每小题5分，共60分）1.设集合A 二{3的倍数}, B 二{2的倍数}・则AUB 是（）.A. {偶数}B. {被2或3整除的数}C. {6的倍数}D. {2和3的公倍数}2•若 U 二 R,集合 A 二{x I xNl,或 x<-l},B 二{x I xW-l}・则 BQ （C L A ）为（）.A. 0B. {x | x<-l}C. {x | —lWx 〈l}D. {-1}3.已知集合A={x | aTWxWa+2}, B={x | 3<x<5}.则能使AoB 成立的实数a p 二 07. 若集合A 二{x | kx?+4x+4二0, XGR}只有一个元素.则集合A 中实系数k 的值为（）・A. 1B. 0C. 0或1D.以上答案都不对8. 已知集合A={x | -2<x<4） ,B={x | x^a}，若AGB 二0,且AUB 中不含元素6•则下列值中a 可能是（）.A. 4B. 5C. 6D. 7 9•已知集合A, B, C 满足A 尝古则下列各式中错误的是( ).A. (AUB^ CB. AAC $C. A (BPC) 隅(AUC) B的取值范圉是（A. {a I 3<aW4} 4. 满足条件MU {2, 3} = {1, 2, 3}的集合M 的个数是（A. 1B. 25. 下列集合中，只有一个子集的集合是（ A. {x | x'WO} B. {x I x'WO}6•已知集合A 、B 、C 为非空集合，M 二AQC, A. 一定有 c n p=c B . 一定有 c n P =P)・ B. {a I C ・{a I 3<a<4}C. 3 )・C. {x | x 2<0} N=BAC, P=MU Nc. 一定有 cnp=cup )・ D. 0 D. 4 D. {x | x 3<0} ( )・ D.—定有CQ 10.设全集I 二{（x, y) I x, yWR},集合 M 二{(x, y) N 二{(x, y) | y Hx+1}・那么Ci (M UN)等于(A. 0B. {(2, 3)}D. {(x, y) | y 二x+1} ). C. (2, 3)11.已知1］二匕 A={x | x>3 V2 }, a=—— ・贝lj (2-V3 ).A. a c Ci AB. Ci AC. {a} G A C.A12 •设A,B非空集合，且A QB二0,若M二{A的子集},W二{x | x 15}・则（).A.MPW= 0B. APB^MUW c.Mnw={ 0 } D. AUB^MnW二、填空题(每小题4分，共16分)13•方程x2-3ax + 2a2=0 (aHO)的解集为______________________________ 。

高中数学模块综合检测C新人教A版必修1

部分．若年利润必须按 p%纳税，且年广告费超出年销售收入 2%的部分也按 p%纳税，其他不
纳税．已知该企业去年共纳税 120 万元，则税率 p%为 ( )
A． 10%
B． 12%
C． 25%
D． 40%
6．设 A． 0 C． 2
则 f ( f (2)) 的值为 ( ) B． 1 D． 3
7．定义运算： a* b＝
(1) 当 t ＝ 4 时，求 s 的值；
(2) 将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3) 若 N城位于 M地正南方向，且距 M地 650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到 N城，
如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到
N城？如果不会，请说明理由．
22．(12 分 ) 已知函数 f ( x) 的定义域是 { x| x≠0} ，对定义域内的任意＝f ( x1) ＋ f ( x2) ，且当 x>1 时， f ( x)>0 ， f (2) ＝ 1.
C． { x|1< x≤2}
D． { x| x<2}
2．设
2a＝
5b＝
m，且
11 a＋b＝
2，则
m等于 (
)
A. 10
B． 10 C ． 20
D． 100
3．设函数 f ( x) 满足： ① y＝ f ( x＋ 1) 是偶函数； ②在 [1 ，＋∞ ) 上为增函数，则 f ( － 1) 与 f (2)
21． (12 分 )
据气象中心观察和预测：发生于 M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度 v(km/h)
与时间 t (h) 的函数图象如图所示，过线段 OC上一点 T( t, 0) 作横轴的垂线 l ，梯形 OABC在

高中数学-模块1-高考真题(含解析)新人教A版必修1-新人教A版高一必修1数学试题

模块1高考真题对应学生用书P81剖析解读高考全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是由教育部按照普通高考考试大纲统一命题, 适用于不同省份的考生. 但在难度上会有一些差异, 但在试卷结构、命题方向上基本上都是相同的.“稳定”是高考的主旋律. 在今年的高考试卷中, 试题分布和考核内容没有太大的变动, 三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历年考查的重点. 每套试卷都注重了对数学通性通法的考查, 淡化特殊技巧, 都是运用基本概念分析问题, 基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析和解决问题, 这有利于引导中学数学教学回归基础. 试卷难度结构合理, 由易到难, 循序渐进, 具有一定的梯度. 今年数学试题与去年相比整体难度有所降低.“创新”是高考的生命线. 与历年试卷对比, Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变, 这也体现了对于套路性解题的变革, 单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心去理解归纳, 是难以拿到高分的. 在数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查有所提升, 也符合当前社会的大数据处理热潮和青少年创新性的趋势.全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修1集合与函数知识的考查, 相对来说比较常规, 难度不大, 变化小, 综合性低, 属于基础类必得分试题, 主要考查集合的概念及运算, 函数的图象及定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、周期、最值等基本性质. 做题时若能熟练应用概念及性质, 掌握转化的技巧和方法, 基本不会丢分。

若综合其他省市自主命题卷研究, 必修1的知识又能与命题、不等式、导数、分段函数等知识综合, 强化了数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归的数学思想的运用, 提高了试题的难度, 所以作为高一学生来说, 从必修1就应该打好牢固的基础, 培养最基本的能力.下面列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及其他自主命题省市试卷必修1所考查的全部试题, 请同学们根据所学必修1的知识, 测试自己的能力, 寻找自己的差距, 把握高考的方向, 认清命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性, 是与以后要学习内容的小综合试题, 同学们可根据目前所学内容, 有选择性地试做！)穿越自测一、选择题1. (2018·全国卷Ⅰ, 文1)已知集合A＝{0,2}, B＝{－2, －1,0,1,2}, 则A∩B＝( )A. {0,2}B. {1,2}C．{0} D．{－2, －1,0,1,2}答案A解析根据集合交集中元素的特征, 可以求得A∩B＝{0,2}, 故选A.2．(2018·全国卷Ⅱ, 文2)已知集合A＝{1,3,5,7}, B＝{2,3,4,5}, 则A∩B＝( )A. {3}B. {5}C. {3,5}D. {1,2,3,4,5,7}答案C解析∵A＝{1,3,5,7}, B＝{2,3,4,5}, ∴A∩B＝{3,5}, 故选C.3．(2018·某某卷, 1)已知全集U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,3}, 则∁UA＝( )A. ∅B. {1,3}C. {2,4,5}D. {1,2,3,4,5}答案C解析因为全集U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,3}, 所以根据补集的定义得, ∁UA＝{2,4,5}, 故选C.4．(2018·全国卷Ⅲ, 文1)已知集合A＝{x|x－1≥0}, B＝{0,1,2}, 则A∩B＝( )A. {0}B. {1}C. {1,2}D. {0,1,2}答案C解析由集合A＝{x∈R|x≥1}, 所以A∩B＝{1,2}, 故选C.5．(2018·某某卷, 文1)设集合A＝{1,2,3,4}, B＝{－1, 0,2,3}, C＝{x∈R|－1≤x<2}, 则(A∪B)∩C＝( )A. {－1,1}B. {0,1}C. {－1,0,1}D. {2,3,4}答案 C解析由并集的定义可得, A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}, 结合交集的定义可知, (A∪B)∩C ＝{－1,0,1}. 故选C.6．(2018·某某卷, 理1)设全集为R, 集合A＝{x|0<x<2}, B＝{x|x≥1}, 则A∩(∁RB)＝( )A. {x|0<x≤1}B. {x|0<x<1}C. {x|1≤x<2}D. {x|0<x<2}答案 B解析由题意可得, ∁RB＝{x|x<1}, 结合交集的定义可得, A∩(∁RB)＝{x|0<x<1}. 故选B.7．(2018·卷, 文1)已知集合A＝{x||x|<2}, B＝{－2,0,1,2}, 则A∩B＝( )A. {0,1}B. {－1,0,1}C. {－2,0,1,2}D. {－1,0,1,2}答案 A解析A＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}, B＝{－2,0,1,2}, ∴A∩B＝{0,1}. 故选A.8．(2018·全国卷Ⅰ, 理2)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}, 则∁RA＝( )A. {x|－1<x<2}B. {x|－1≤x≤2}C. {x|x<－1}∪{x|x>2}D. {x|x≤－1}∪{x|x≥2}答案 B解析解不等式x2－x－2>0, 得x<－1或x>2, 所以A＝{x|x<－1或x>2}, 于是∁RA＝{x|－1≤x≤2}, 故选B.9．(2018·全国卷Ⅲ, 文7)下列函数中, 其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是( )A. y＝ln (1－x)B. y＝ln (2－x)C. y＝ln (1＋x)D. y＝ln (2＋x)答案 B解析函数y＝ln x过定点(1,0), (1,0)关于x＝1对称的点还是(1,0), 只有y＝ln (2－x)过此点. 故B正确.10．(2018·某某卷, 理5)已知a＝log2e, b＝ln 2, c＝log , 则a, b, c的大小关系为( )A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b答案 D解析由题意结合对数函数的性质可知, a＝log2e>1, b＝ln 2＝∈(0,1), c＝log ＝log23>log2e, 据此可得, c>a>b.故选D.11．(2018·全国卷Ⅱ, 文3)函数f(x)＝的图象大致为( )答案 B解析∵x≠0, f(－x)＝＝－f(x),∴f(x)为奇函数, 排除A, ∵f(1)＝e－e－1>0, ∴排除D；∵f(2)＝＝；f(4)＝＝ , ∴f(2)<f(4), 排除C.因此选B.12. (2018·全国卷Ⅰ, 理9)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点, 则a的取值X围是( )A. [－1,0)B. [0, ＋∞)C．[－1, ＋∞) D．[1, ＋∞)答案 C解析画出函数f(x)的图象, 再画出直线y＝－x, 之后上下移动, 可以发现当直线过点A时, 直线与函数图象有两个交点, 并且向下可以无限移动, 都可以保证直线与函数的图象有两个交点, 即方程f(x)＝－x－a有两个解, 也就是函数g(x)有两个零点, 此时满足－a≤1, 即a≥－1, 故选C.13. (2018·全国卷Ⅰ, 文12)设函数f(x)＝则满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值X围是( )A. (－∞, －1]B. (0, ＋∞)C．(－1,0) D．(－∞, 0)答案 D解析将函数f(x)的图象画出来,观察图象可知解得x<0, 所以满足f(x＋1)<f(2x)的x的取值X围是(－∞, 0), 故选D.14．(2018·全国卷Ⅲ, 理12)设a＝log0.20.3, b＝log20.3, 则( )A. a＋b<ab<0B. ab<a＋b<0C. a＋b<0<abD. ab<0<a＋b答案 B解析∵a＝log0.20.3, b＝log20.3, ∴＝log0.30.2, ＝log0.32, ∴＋＝log0.30.4, ∴0< ＋ <1, 即0< <1.又∵a>0, b<0, ∴ab<0, 即ab<a＋b<0, 故选B.二、填空题15. (2018·某某卷, 1)已知集合A＝{0,1,2,8}, B＝{－1, 1,6,8}, 那么A∩B＝________.答案{1,8}解析由题设和交集的定义可知, A∩B＝{1,8}.16. (2018·某某卷, 5)函数f(x)＝的定义域为________.答案[2, ＋∞)解析要使函数f(x)有意义, 则log2x－1≥0, 解得x≥2, 即函数f(x)的定义域为[2, ＋∞).17．(2018·全国卷Ⅰ, 文13)已知函数f(x)＝log2(x2＋a), 若f(3)＝1, 则a＝________.答案－7解析根据题意有f(3)＝log2(9＋a)＝1, 可得9＋a＝2, 所以a＝－7.18．(2018·全国卷Ⅲ, 文16)已知函数f(x)＝ln ( －x)＋1, f(a)＝4, 则f(－a)＝________.答案－2解析f(x)＋f(－x)＝ln ( －x)＋1＋ln ( ＋x)＋1＝ln (1＋x2－x2)＋2＝2,∴f(a)＋f(－a)＝2, 则f(－a)＝－2.19．(2018·卷, 理13)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立, 则f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．答案y＝sin x(答案不唯一)解析令f(x)＝则f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立, 但f(x)在[0,2]上不是增函数. 又如, 令f(x)＝sinx, 则f(0)＝0, f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立, 但f(x)在[0,2]上不是增函数.20．(2018·某某卷, 9)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R), 且在区间(－2,2]上, f(x)＝则f[f(15)]的值为________.答案2 2解析由f(x＋4)＝f(x)得函数f(x)的周期为4, 所以f(15)＝f(16－1)＝f(－1)＝－1＋＝ , 因此f[f(15)]＝f ＝cos ＝ .21. (2018·某某卷, 15)已知λ∈R, 函数f(x)＝当λ＝2时, 不等式f(x)<0的解集是________. 若函数f(x)恰有2个零点, 则λ的取值X围是________.答案(1,4) (1,3]∪(4, ＋∞)解析由题意, 得或所以2≤x<4或1<x<2, 即1<x<4, 不等式f(x)<0的解集是(1,4),当λ>4时, f(x)＝x－4>0, 此时f(x)＝x2－4x＋3＝0, x＝1,3, 即在(－∞, λ)上有两个零点；当λ≤4时, f(x)＝x－4＝0, x＝4, 由f(x)＝x2－4x＋3在(－∞, λ)上只能有一个零点, 得1<λ≤3.综上, λ的取值X围为(1,3]∪(4, ＋∞).22．(2018·某某卷, 理14)已知a>0, 函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝ax恰有2个互异的实数解, 则a的取值X围是________．答案(4,8)解析当x≤0时, 方程f(x)＝ax, 即x2＋2ax＋a＝ax, 整理可得, x2＝－a(x＋1), 很明显x＝－1不是方程的实数解, 则a＝－ , 当x>0时, 方程f(x)＝ax, 即－x2＋2ax－2a＝ax, 整理可得, x2＝a(x－2), 很明显x＝2不是方程的实数解, 则a＝ , 令g(x)＝其中－＝－x＋1＋－2, ＝x－2＋＋4, 原问题等价于函数g(x)与函数y＝a有两个不同的交点, 求a的取值X围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数g(x)的图象, 同时绘制函数y＝a的图象如图所示, 考查临界条件, 结合a>0观察可得, 实数a的取值X围是(4,8).。

2022新教材高中数学模块检测含解析新人教A版必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合M ＝{－1，1，2}，集合N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( ) A ．{1，2，4}B ．{1}C ．{1，2}D ．{4}解析：选B ∵M ＝{－1，1，2}，x ∈M ，∴x ＝－1或1或2.由y ＝x 2得y ＝1或4，∴N ＝{1，4}．∴M ∩N ＝{1}．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x＋1（x ≤0），x a ＋2（x ＞0），如果f (f (－1))＝18，那么实数a 的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x＋1（x ≤0），x a ＋2（x ＞0），∴f (－1)＝3＋1＝4，f (f (－1))＝f (4)＝4a＋2＝18，解得a ＝2.3．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (厘米)和时间t (秒)的函数关系为s ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2t ＋π3，那么单摆来回摆动的振幅(厘米)和完成一次完整的摆动所需的时间(秒)分别为( )A ．3，4B ．－3，4C ．3，2D ．－3，2解析：选A 振幅是3，T ＝2πω＝2ππ2＝4. 4．若“p ：x >a ”是“q ：x >1或x <－3”的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．a ≥－3D ．a ≤－3解析：选A p 是q 的充分不必要条件，则p ⇒q 且q ⇒/ p ．设A ＝{x |x >a }，B ＝{x |x >1或x <－3}，则A ⊆B ，但B ⃘A .如数轴，易知a ≥1.故选A.5．如果关于x 的不等式x 2<ax ＋b 的解集是{x |1<x <3}，那么b a等于( ) A ．－81 B ．81 C ．－64D ．64解析：选B 因为不等式x 2<ax ＋b 可化为x 2－ax －b <0，其解集是{x |1<x <3}，所以x ＝1和x ＝3是关于x 的一元二次方程x 2－ax －b ＝0的两个实数根，所以由一元二次方程根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3＝a ，1×3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3.所以b a ＝(－3)4＝81.故选B.6．已知α为锐角，且满足cos 2α＝sin α，则α等于( ) A ．30°或60° B ．45° C ．60°D ．30°解析：选D 因为cos 2α＝1－2sin 2α，故由题意，知2sin 2α＋sin α－1＝0，即(sinα＋1)(2sin α－1)＝0.因为α为锐角，所以sin α＝12，所以α＝30°.7．若1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝( )A ．－717B.717 C.512 D ．－512解析：选A 因为1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，所以sin 2α＋sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2，即sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2，所以tan α＝23，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×231－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝125，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－1251＋125＝－717，故选A.8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x <0，－x 2，x ≥0且方程f (x )－k ＋1＝0有三个不相等的实根，则k 的取值范围为( )A ．(－1，0)B ．(0，1)C ．[－1，0]D ．[0，1]解析：选B f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ＜0，－x 2，x ≥0的图象如下：方程f (x )－k ＋1＝0有三个不相等的实根等价于函数y ＝f (x )的图象与y ＝k －1的图象有三个交点，所以－1＜k －1＜0，即0＜k ＜1.故选B.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知全集U ＝R ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为M ，集合N ＝{x |x 2－x ＜0}，则下列结论正确的是( )A ．M ∩N ＝NB ．M ∩(∁U N )≠∅C ．M ∪N ＝UD ．M ⊆(∁U N )解析：选AB 由题意知M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |0＜x ＜1}，∴M ∩N ＝N .又∁U N ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∴M ∩(∁U N )＝{x |x ≤0}≠∅，M ∪N ＝{x |x ＜1}＝M ，M ⃘(∁U N )，故选A 、B.10．下列命题是真命题的是( )A ．若幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4，则α＝－12B ．∃x ∈(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12xC ．∀x ∈(0，＋∞)，log 12x ＞log 13xD ．命题“∃x ∈R ，sin x ＋cos x ＜1”的否定是“∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≥1”解析：选BD 选项A 中，4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α⇒2－α＝22⇒α＝－2，A 错误；选项B 中，在同一平面直角坐标系中作出y＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝log 12x 的图象，设两图象交点的横坐标为x 0，则当x 0＜x ＜1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＞log 12x ，B 正确；选项C 中，取x ＝2，log 122＝－1，log 132＝－log 32＞－1，C 错误；选项D 显然正确．故选B 、D.11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2(x ∈R)，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数解析：选ABC 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝cos 2x ，所以函数f (x )是偶函数，且最小正周期T ＝2πω＝π，故A 、B 正确；由2x ＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z)，当k ＝0时，x ＝π4，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称，故C 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数，故D 不正确．故选A 、B 、C.12．若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： ①∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； ②∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0.则以下四个函数中不是“优美函数”的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－2x 3C ．f (x )＝1－xD ．f (x )＝ln(x 2＋1＋x )解析：选ACD 由条件①，得f (x )是奇函数，由条件②，得f (x )是R 上的减函数．对于A ，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于B ，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于C ，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于D ，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选A 、C 、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．一批救灾物资由51辆汽车从某市以v km/h 的速度匀速送达灾区，已知两地公路线长400 km ，为了安全起见，两辆汽车的间距不得小于v 2800km ，那么这批物资全部到达灾区，最少需要________ h.解析：当最后一辆汽车出发时，第一辆汽车走了50·v 2800v ＝v16 h ，最后一辆汽车走完全程共需要400vh ，所以一共需要⎝⎛⎭⎪⎫400v ＋v 16h ，结合基本不等式计算最值，可得400v ＋v 16≥2400v ·v 16＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当400v ＝v 16，即v ＝80时，等号成立，故最小值为10 h.答案：1014．已知函数g (x )＝f (x )＋x 2是奇函数，当x >0时，函数f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称，则g (－1)＋g (－2)＝________．解析：∵当x >0时，f (x )的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴当x >0时，f (x )＝2x，∴当x >0时，g (x )＝2x＋x 2，又g (x )是奇函数，∴g (－1)＋g (－2)＝－[g (1)＋g (2)]＝－(2＋1＋4＋4)＝－11. 答案：－1115.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由图象可知，点A (x A ，2)在函数y ＝log 22x 的图象上，所以2＝log 22x A ，x A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12. 点B (x B ，2)在函数y ＝x 12的图象上，所以2＝(x B )12，x B ＝4.所以点C (4，y C )在函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象上，所以y C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫224＝14.又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1416．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝________．函数f (x )的单调递增区间为________．解析：函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω＞0，x ∈R ，由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，得T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23.所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.则f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝sin π3＋12＝3＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z. 答案：3＋12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知p ：1x＜1，q ：x 2－3ax ＋2a 2＜0(其中a 为常数，且a ＞0)，(1)若p 为真，求x 的取值范围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围．解：(1)由1x＜1，得x ＞1或x ＜0，即命题p 是真命题时x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)． (2)由x 2－3ax ＋2a 2＜0得(x －a )(x －2a )＜0，因为a ＞0，则a ＜x ＜2a ，若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应的集合是p 对应集合的真子集，因为a ＞0，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，a ≥1，得a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，cos α＝35，cos(α＋β)＝－55.(1)求sin 2α的值； (2)求cos β的值．解：(1)已知α为锐角，cos α＝35，所以sin α＝45，则sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425.(2)由于α，β为锐角，则0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－55⇒sin(α＋β)＝255，所以cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－55×35＋255×45＝55. 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋x －|x |4.(1)用分段函数的形式表示函数f (x )；(2)在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g (x )＝1x(x ＞0)的图象，观察图象，写出当x＞0时，不等式f (x )＞1x的解集．解：(1)当x ≥0时，f (x )＝1＋x －x4＝1；当x ＜0时，f (x )＝1＋x ＋x 4＝12x ＋1. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，12x ＋1，x ＜0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)函数g (x )＝1x (x ＞0)的图象如图所示，当f (x )＞1x时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方，所以由图象可知f (x )＞1x的解集是{x |x ＞1}．20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1x2－x 是定义在(0，＋∞)上的函数．(1)用定义法证明函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(2)若关于x 的不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ＋m x ＜0恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)证明：任取0＜x 1＜x 2，∴f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22－x 2＝x 22－x 21x 21x 22＋(x 2－x 1) ＝（x 2－x 1）（x 2＋x 1）x 21x 22＋(x 2－x 1) ＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 1x 21x 22＋1. ∵0＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 2＋x 1x 21x 22＋1＞0，即f (x 1)－f (x 2)＞0，∴f (x 1)＞f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． (2)∵函数f (x )在其定义域内是减函数，且f (1)＝0，∴当x ∈(0，＋∞)时，原不等式恒成立等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x ＋m x ＜f (1)恒成立，即x 2＋2x ＋m x ＞1恒成立，即m ＞－x 2－x .∵当x ∈(0，＋∞)时，－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14＜0，∴m ≥0，即实数m 的取值范围是[0，＋∞)．21．(本小题满分12分)从①函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，0＜φ＜π2，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π，________．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵函数f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π， ∴T ＝2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．选条件①：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ－π3为奇函数，∴φ－π3＝k π，k ∈Z ，∴φ＝π3＋k π，k ∈Z.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)令－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π6＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6.∴函数f (x )在[0，2π]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π6，2π.选条件②：(1)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝3， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝32，∴π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π，k ∈Z ， ∴φ＝2k π或φ＝π3＋2k π，k ∈Z.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)同条件①. 选条件③：(1)∵2π3是函数f (x )的一个零点，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝k π－2π3，k ∈Z.∴0＜φ＜π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)同条件①.22．(本小题满分12分)某人开网店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开始第一个月就达到1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的成本与月份的平方成正比，第4个月成本为8 000元，但第11个月起每月成本固定为3万元，现打算用函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)或f (x )＝km x＋n (k ≠0，m ＞0，m ≠1)来模拟销量下降期间的月销量．(1)请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x 之间的函数关系式；(2)前20个月内，该网店取得的月利润最高是多少，出现在哪个月？解：(1)假设从第11个月开始，月销量符合f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的变化趋势，则(11，13)，(12，9)，(13，7)均在f (x )上，即⎩⎪⎨⎪⎧121a ＋11b ＋c ＝13，144a ＋12b ＋c ＝9，169a ＋13b ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－27，c ＝189.所以f (x )＝x 2－27x ＋189，对称轴为x ＝272，当x ≥14时，不符合题意，故此模型舍去；假设从第11个月开始，月销量符合f (x )＝km x ＋n 的变化趋势，则(11，13)，(12，9)，(13，7)均在f (x )上，即⎩⎪⎨⎪⎧km 11＋n ＝13，km 12＋n ＝9，km 13＋n ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝214，m ＝12，n ＝5.所以f (x )＝214－x ＋5，当x ＝17时，f (17)＝214－17＋5＝418， f (18)＝214－18＋5＝8116，f (18)＜f (17)，故f (x )＝km x ＋n 更合理，此时f (x )＝214－x ＋5，x ≥11；由题知前10个月符合一次函数模型，设f (x )＝1.5x ＋b ，将(1，1)代入，解得b ＝－0.5，则f (x )＝1.5x －0.5，1≤x ≤10，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x －0.5，1≤x ≤10，214－x ＋5，x ≥11.x ∈N ＋. (2)设前10个月成本(万元)与月份的关系为h (x )＝nx 2，将(4，0.8)代入解得n ＝120，则h (x )＝x 220，前10个月利润可表示为w (x )＝f (x )－h (x )＝2(1.5x －0.5)－x 220＝－120(x －30)2＋44，当x ＝10时取到最大值， w (x )max ＝24；当x ≥11时，f (x )＝214－x ＋5单调递减，第11个月利润有最大值，w(x)max＝13×2－3＝23；故月利润最高记录为24万元，出现在第10个月．。

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D ． A∩（?UB) ＝ {1}
2．已知集合 A＝ { x| y＝ 1－ x2， x∈ Z} ， B＝ { y| y＝ x2＋ 1， x∈ A} ，则 A∩ B 为 (
)
A． ? B ．{1} C ． [0 ，＋∞）
D ． {(0,1)}
3．函数 f ( x) ＝ 2x＋ 3x 的零点所在的一个区间是 (
若 f [ f (0)] ＝ 4a，则实数 a 等于 ________．
13. 如图是偶函数 y＝ f ( x) 的局部图象，根据图象所给信息，有以下结论：
①函数一定有最小值； ② f ( －1) － f (2)>0 ； ③ f ( －1) － f (2) ＝ 0； ④ f ( －1) － f (2)<0 ； ⑤ f ( －1) ＋ f (2)>0. 其中正确的结论有 ________． ( 填序号 ) 14．已知函数 f ( x) ＝lg(2 x－ b)( b 为常数 ) ，若 x∈ [1 ，＋∞ ) 时， f ( x) ≥０恒成立，则 b 的取值范围是 ________．三、解答题 ( 本大题共 4 小题，共 50 分．解答时应写出文字说明，证明过程或运算步骤． )
7．已知函数
f ( x) ＝log 1 x，则方程
1 2
|x| ＝| f
( x)|
的实根个数是
(
)
2
A． 1 B ． 2 C ． 3
D ． 2 006
8．若偶函数 f ( x) 在( －∞，－ 1] 上是增函数，则下列关系式中，成立的是 ( )
3 A． f － 2 <f ( － 1)< f (2)
3 B． f ( － 1)< f － 2 <f (2)

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高中数学模块测试新人教A 版必修1一、选择题（每小题4分，共40分）1.设U 是全集,集合A 、B 满足A B,则下列式子中不成立的是（） A.A B=U B.A ∪B=B C.(A)∪B=U D.A ∩B=A 答案：A2.下列四组函数中,表示同一函数的是（）A.f(x)=2x-1,g(u)=2u-1B.y=x 0,y=1C.y=x 2,y=x 2xD.y=x-1,y=122+-x x 答案：A解析：两函数只要定义域相同，对应关系相同即可，与自变量用哪一个符号表示没有关系.。

3.设全集U={2,3,5},A={|a-5|,2},A={5},则a 的值为（）A.2B.8C.2或8D.-2或8 答案：C解析：由条件得|a-5|=3,∴a=8或2。

.4.函数y=12-x 的定义域是(-∞,1)∪［2,5］,则其值域是（） A.(-∞,21)∪［2,+∞］ B.(-∞,0)∪(21,2) C.(-∞,2) D.(0,+∞) 答案：B解析：y=12-x 在（-∞，1）上单调递减，此时y ∈(-∞,0)，y=12-x 在［2，5］上单调递减，此时y ∈(21,2).∴选B 。

. 5.设集合M={x|-1≤x<2},N={x|x-k ≤0},若M ∩N ≠∅,则k 的取值范围是（） A.k ≤2 B.k ≥-1 C.k>-1 D.-1≤k ≤2 答案：B解析：由图形可知k ≥-1.。

6.函数y=(21)x -(21)-x 是（） A.奇函数,在(0,+∞)上是减函数 B.偶函数,在(0,+∞)上是减函数C.奇函数,在(0,+∞)上是增函数D.偶函数,在(0,+∞)上是增函数答案：A解析：利用奇偶性定义可知为奇函数，再取特殊点验证知在（0，+∞）上单调递减。

.7.三个数60.7、0.76、log 0.76的大小顺序是…（）A.0.76<log 0.76<60.7B.0.76<60.7<log 0.76C.log 0.76<60.7<0.76D.log 0.76<0.76<60.7 答案：D解析：60.7＞1，0＜0.76＜1，log0.76＜0.∴选D.。

2022_2022学年高中数学模块综合测评新人教A版必修1

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( ) A ．A ⊆B B ．A ∩B ＝{2} C ．A ∪B ＝{1,2,3,4,5}D ．A ∩(∁U B )＝{1}D [A 显然错误；A ∩B ＝{2,3}，B 错；A ∪B ＝{1,2,3,4}，C 错，故选D.]2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 32x－1，x ≥2，则f (f (2))等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [∵f (2)＝log 3(22－1)＝1， ∴f (f (2))＝f (1)＝2e1－1＝2.]3．函数f (x )＝2x＋x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)B [∵f (－1)＝12－1＝－12<0，f (0)＝20＝1>0，且f (x )单调递增，故零点在(－1,0)内，选B.]4．函数y ＝log 2|1－x |的图象是( )A B C DD [函数y ＝log 2|1－x |可由下列变换得到：y ＝log 2x →y ＝log 2|x |→y ＝log 2|x －1|→y ＝log 2|1－x |.故选D.]5．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝lg xC ．f (x )＝12xD ．f (x )＝x 2－2x ＋1B [f (x )＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，故选B.] 6．若10m＝2，10n＝6，则n －2m ＝( ) A ．－lg 2 B ．lg 2 C ．－lg 3D ．lg 3D [∵10m＝2，10n＝6，∴m ＝lg 2，n ＝lg 6，∴n －2m ＝lg 6－2lg 2＝lg 6－lg 2＝lg 62＝lg 3，故选D.]7．设f (x )＝ax 2＋bx ＋2是定义在[1＋a,2]上的偶函数，则(－3)b ＋3－1－a的值为( )A.109B.19 C ．10D ．不能确定A [由偶函数的定义知，1＋a ＝－2，即a ＝－3.由f (x )＝f (－x )恒成立，得b ＝0.所以(－3)b＋3－1－a＝(－3)0＋3－1－－3＝109.故选A.] 8．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是( ) A ．x －a>y －aB ．ax <ayC ．a x<a yD ．log a x >log a yC [对于A ，由0<a <1，可知－1<－a <0，因此函数y ＝x －a为减函数，所以由x >y >1得到x －a <y －a ，A 不正确；对于B ，由x >y >1,0<a <1，得ax >ay ，B 不正确；对于C 、D ，由于0<a <1，所以函数y ＝a x 以及y ＝log a x 均为减函数，所以由x >y >1可得a x <a y及log a x <log a y ，所以C 正确，D 不正确．所以选C.]9．已知函数f (x )＝1＋x21－x2，则有( )A ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x ) C ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝f (x ) C [∵f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数，排除A 、B.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋x 2x 2－1＝－f (x )，故选C.]10．用二分法求函数f (x )＝3x－x －4的零点时，其参考数据如表所示．f (1.600 0)＝0.200 f (1.587 5)＝0.133 f (1.575 0)＝0.067 f (1.562 5)＝0.003f (1.556 2)＝－0.002 9f (1.550 0)＝－0.060xA ．1.55B ．1.56C ．1.57D ．1.58B [由表可知，f (1.562 5)＝0.003>0，f (1.556 2)＝－0.002 9<0，所以函数f (x )＝3x－x －4的一个零点在区间(1.556 2,1.562 5)上，故函数的一个零点的近似值(精确到0.01)为1.56.]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x，x ≤2，log a x －1＋3，x >2是R 上的单调增函数，则a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(5－1，3)C ．[3－3，2)D ．(1,3－3)C [若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x，x ≤2log a x －1＋3，x >2是R 上的单调增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a >1，a >1，3－a 2≤log a 2－1＋3，解得3－3≤a <2.故选C.]12．若函数f (x )＝a x－x －a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1，＋∞)D ．(0，＋∞)C [函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x与函数y ＝x ＋a 的图象的交点的个数，如图，a >1时，两函数图象有两个交点；0<a <1时，两函数图象有一个交点．故a >1.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．设A ∪{－1,1}＝{－1,1}，则满足条件的集合A 共有________个． 4 [∵A ∪{－1,1}＝{－1,1}，∴A ⊆{－1,1}，满足条件的集合A 为：∅，{－1}，{1}，{－1,1}，共4个．] 14．计算：lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278＝________.13 [lg 12－lg 58＋lg 252－log 89×log 278 ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×85×252－2lg 33lg 2×3lg 23lg 3＝lg 10－23＝1－23＝13.]15．若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上是增函数，则实数m 的最小值等于________．1 [由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的对称轴为x ＝1，∴a ＝1，∴f (x )＝2|x －1|，又∵f (x )在[1，＋∞)上是单调递增的，∴m ≥1.]16．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且一个零点是2，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．(－2,2) [因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数且一个零点是2，则还有一个零点为－2.又函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，则f (x )<0的x 的取值范围是(－2,2)．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x >1}． (1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．[解] (1)A ＝{x |3≤3x≤27}＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |log 2x >1}＝{x |x >2}．A ∩B ＝{x |2<x ≤3}，(∁R B )∪A ＝{x |x ≤2}∪{x |1≤x ≤3}＝{x |x ≤3}． (2)①当a ≤1时，C ＝∅，此时C ⊆A ； ②当a >1时，C ⊆A ，则1<a ≤3.综合①②，可得a 的取值范围是(－∞，3]．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2a ·4x－2x－1. (1)当a ＝1时，求函数f (x )的零点； (2)若f (x )有零点，求a 的取值范围． [解] (1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x－2x－1. 令f (x )＝0，即2·(2x )2－2x－1＝0，解得2x ＝1或2x＝－12(舍去)．所以x ＝0，所以函数f (x )的零点为x ＝0.(2)若f (x )有零点，则方程2a ·4x－2x－1＝0有解，于是2a ＝2x＋14x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋122－14. 因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0，所以2a >14－14＝0，即a >0.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1－2x.(1)若g (x )＝f (x )－a 为奇函数，求a 的值；(2)试判断f (x )在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明． [解] (1)由已知得g (x )＝1－a －2x，∵g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即1－a －2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a －2x ，解得a ＝1. (2)函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＝2x 1－x 2x 1x 2.∵0＜x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，从而2x 1－x 2x 1x 2＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在(0，＋∞)内是单调增函数． 20．(本小题满分12分)已知函数y ＝2－x 2＋x＋2x－2的定义域为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求函数f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x 的最大值． [解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2－x x ＋2≥0，2x－2≥0，x ≠－2.解得1≤x ≤2，故M ＝{x |1≤x ≤2}．(2)f (x )＝2(log 2x )2＋a log 2x ，令t ＝log 2x ，t ∈[0,1]，可得g (t )＝2t 2＋at ，t ∈[0,1]，其对称轴为直线t ＝－a4，当－a 4≤12，即a ≥－2时，g (t )max ＝g (1)＝2＋a ，当－a 4>12，即a <－2时，g (t )max ＝g (0)＝0.综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋a ，a ≥－2，0，a <－2.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (2x ＋1)，g (x )＝log a (1－2x )(a ＞0且a ≠1)． (1)求函数F (x )＝f (x )－g (x )的定义域；(2)判断F (x )＝f (x )－g (x )的奇偶性，并说明理由； (3)确定x 为何值时，有f (x )－g (x )＞0. [解] (1)要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，1－2x >0，解得－12<x <12.∴函数F (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <12. (2)F (x )＝f (x )－g (x )＝log a (2x ＋1)－log a (1－2x )，F (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (－2x ＋1)－log a (1＋2x )＝－F (x )．∴F (x )为奇函数． (3)∵f (x )－g (x )＞0，∴log a (2x ＋1)－log a (1－2x )＞0，即log a (2x ＋1)＞log a (1－2x )． ①当0＜a ＜1时，有0<2x ＋1<1－2x ， ∴－12<x <0.②当a ＞1时，有2x ＋1>1－2x >0， ∴0<x <12.综上所述，当0＜a ＜1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，使得f (x )－g (x )＞0；当a ＞1时，有x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使得f (x )－g (x )＞0. 22．(本小题满分12分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数解析式；(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大利益，其最大利益是多少万元？[解] (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，所以f (1)＝18，得k 1＝18，g (1)＝12，得k 2＝12，即f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12 x (x ≥0)．(2)设投资债券类产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元，依题意得y ＝f (x )＋g (20－x ) ＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16万元时，收益最大，y max ＝3万元．则投资债券类产品16万元，股票类产品4万元，能使投资获得最大利益，其最大收益是3万元．。

2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评含解析新人教A版选择性必修第一册

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,则实数k 的取值范围为( )A.(-12,12) B.(-12,0)C.(12,+∞)D.(-∞,-12){kx -y -1=0,x +2y -2=0,解得{x =41+2k,y =2k -11+2k ,∴41+2k >0且2k -11+2k <0, ∴-12<k<12.2.(2020浙江湖州期末)在空间直角坐标系中,若直线l 的方向向量为a =(1,-2,1),平面α的法向量为n =(2,3,4),则( ) A.l ∥α B.l ⊥αC.l ⊂α或l ∥αD.l 与α斜交a ·n =1×2+(-2)×3+1×4=0,可知a ⊥n .∴l ∥α或l ⊂α.3.设直线l 1:y=k 1x+1,l 2:y=k 2x-1,其中实数k 1,k 2满足k 1k 2+2=0,则l 1与l 2的交点一定在( ) A.2x 2+3y 2=1(x ≠0)上 B.x 2+2y 2=1(x ≠0)上 C.2x 2+y 2=1(x ≠0)上 D.3x 2+2y 2=1(x ≠0)上l 1:y=k 1x+1,∴k 1=y -1x(x ≠0);直线l 2:y=k 2x-1,∴k 2=y+1x(x ≠0).又k 1k 2+2=0,∴y -1x·y+1x+2=0,整理得2x 2+y 2=1(x ≠0),∴l 1与l 2的交点一定在2x 2+y 2=1(x ≠0)上.4.在下列条件中,使点M 与点A ,B ,C 一定共面的是 ( )A.OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗B.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0D.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ =0A,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得1-1-1=-1≠1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面; 对于B,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得15+13+12≠1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面; 对于C,由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为共面向量,即M ,A ,B ,C 四点共面; 对于D,由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其系数和不为1,所以M ,A ,B ,C 四点不共面.5.已知圆C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,则实数m 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(-1,1)C.(3,+∞)D.(-3,-1)∪(1,3)圆C 1:x 2+(y+m )2=2与圆C 2:(x-m )2+y 2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.又C 1圆心为(0,-m ),半径为√2,C 2圆心为(m ,0),半径为2√2,∴√2<√2|m|<3√2,即1<|m|<3, 解得-3<m<-1或1<m<3.6.(2020安徽池州模拟)已知MN 是正方体内切球的一条直径,点P 在正方体表面上运动,正方体的棱长是2,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]O ,则OM=ON=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵MN 为球O 的直径, ∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1, ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1. 又点P 在正方体表面上移动,当P 为正方体顶点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最大,最大值为√3; 当P 为内切球与正方体的切点时,|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,最小值为1, ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1∈[0,2],即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[0,2].7.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,若以双曲线C 的右焦点F 为圆心、以2为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为( ) A.√3B.2C.√5D.3y=±ba x ,所以A (a ,b )或A (a ,-b ),因此|AF|=c=2, 即√(2-a )2+b 2=2,整理可得a 2+b 2-4a=0.因为a 2+b 2=c 2=4,解得a=1, 所以双曲线的离心率为e=ca =2.8.(2021黑龙江大庆一模)由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x 轴重合,顶点与原点重合,如图,若抛物线过点A (14,1),平行于对称轴的光线经过点A 反射后,反射光线交抛物线于点B ,则线段AB 的中点到准线的距离为( )A.25B.258C.174D.2y 2=mx ,将A 的坐标代入可得12=14m ,可得m=4,所以抛物线的方程为y 2=4x ,可得焦点F (1,0),准线方程为x=-1, 由题意可得反射光线过焦点(1,0),所以直线AB 的方程为y -01-0=x -114-1,整理可得y=-43(x-1),联立{y =-43(x -1),y 2=4x ,解得{y 1=-4,y 2=1,代入直线方程可得{x 1=4,x 2=14,所以反射光线与抛物线的两个交点A (14,1),B (4,-4), 所以AB 的中点为(178,-32),所以AB 的中点到准线的距离d=178+1=258.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),则下列结论正确的有( ) A.AP ⊥ABB.AP ⊥ADC.AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量D.AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确;∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×4+2×2+(-1)×0=0, ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AD ,故B 正确;由AP ⊥AB ,AP ⊥AD ,且AB ∩AD=A ,得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的一个法向量,故C 正确; 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD 的法向量,得出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D 错误.10.设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A 为双曲线的左顶点,以F 1,F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ,N 两点(M 在x 轴上方,N 在x 轴下方),c 为双曲线的半焦距,O 为坐标原点.则下列说法正确的是( ) A.点N 的坐标为(a ,b ) B.∠MAN>90°C.若∠MAN=120°,则双曲线C 的离心率为√213D.若∠MAN=120°,且△AMN 的面积为2√3,则双曲线C 的方程为x 23−y 24=1y=ba x ,代入圆x 2+y 2=c 2=a 2+b 2,解得M (a ,b ),N (-a ,-b ),故A 错误;由于A (-a ,0),M (a ,b ),N (-a ,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ,b ),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b 2<0,则∠MAN>90°,故B 正确; 若∠MAN=120°, 由余弦定理得4c 2=(a+a )2+b 2+b 2-2√(a +a )2+b 2·b cos120°, 化简得7a 2=3c 2,即e=ca =√213,故C 正确;由△AMN 的面积为2√3,得12ab ×2=2√3,再由a 2+b 2=c 2,7a 2=3c 2,解得a=√3,b=2,即有双曲线C 的方程为x 23−y 24=1,故D 正确.11.过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,作AC ,BD 垂直抛物线的准线l 于C ,D 两点,其中O 为坐标原点,则下列结论正确的是( ) A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ B.存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立 C.FC⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.准线l 上任意一点M ,都使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确; 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得C (-p2,y 1),D (-p2,y 2),又直线OA 的斜率k OA =y 1x 1=2p y 1,直线AD 的斜率k AD =y 1-y 2x 1+p 2,设直线AB 方程为x=my+p2,代入抛物线的方程,可得y 2-2pmy-p 2=0,可得y 1y 2=-p 2,即有y 1(y 1-y 2)=y 12-y 1y 2=2px 1+p 2,则k OA =k AD ,即存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO ⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,故B 正确; FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-p ,y 1)·(-p ,y 2)=y 1y 2+p 2=0,故C 正确; 由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,可得以AB 为直径的圆的半径与梯形ACDB 的中位线长相等,即该圆与CD 相切,设切点为M ,即AM ⊥BM ,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 不正确.12.(2021江苏海安检测)双纽线像数字“8”,不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,则下列结论正确的是 ( )A.曲线C 经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C.曲线C 关于直线y=x 对称的曲线方程为(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2)D.若直线y=kx 与曲线C 只有一个交点,则实数k 的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞)y=0时,x 4=4x 2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图象可知-2≤x ≤2,令x=±1,得y 2=2√3-3,不是整点, ∴曲线C 共经过3个整点,故A 错误; x 2+y 2=4(x 2-y 2)x 2+y 2≤4,曲线C 上任取一点P (x ,y )到原点的距离d=√x 2+y 2≤2,故B 正确;曲线C 上任取一点M 关于y=x 的对称点为N , 设N (x ,y ),则M (y ,x ),M 在曲线C 上, ∴(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2),故C 正确;y=kx 与曲线C 一定有公共点(0,0), ∵y=kx 与曲线C 只有一个公共点, 则x 4(1+k 2)=4x 2(1-k 2),∴1-k 2≤0, ∴k ≥1或k ≤-1,故D 正确.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.设向量a =(1,2,λ),b =(2,2,-1),若cos <a ,b >=49,则实数λ的值为 .a =(1,2,λ),b =(2,2,-1),所以a ·b =2+4-λ=6-λ, |a |=√1+4+λ2=√5+λ2, |b |=√4+4+1=3. 若cos <a ,b >=49,则a ·b|a ||b |=√5+λ2×3=49,化简得7λ2+108λ-244=0, 解得λ=-1227或λ=2,则实数λ的值为-1227或2.-1227或214.(2020浙江宁波期末)如图,在空间四边形OABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,H 是EF 上一点,且EH=14EF ,记OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则(x ,y ,z )= ;若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,则|OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= .OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +14EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14×2(OB +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x ,y ,z )=(38,12,18).∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°, 且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=964|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+164|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2×12×18×cos60° =964+14+164+116=3064,∴|OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√308. (38,12,18)√30815.(2021河北邢台检测)在△ABC 中,A ,B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点C 在椭圆上,且∠ABC=30°,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则该椭圆的离心率为 .,作平行四边形ABEC ,由(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AE ⊥BC , 故|AC|=|AB|=2c.又∠ABC=30°,∴|BC|=2×2c sin60°=2√3c. 由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+√3)c , 故a=(√3+1)c , ∴离心率e=ca =√3+1=√3-12.16.(2020山东临沂期末)如图,光线从P (a ,0)(a>0)出发,经过直线l :x-3y=0反射到Q (b ,0),该光线又在Q 点被x 轴反射,若反射光线恰与直线l 平行,且b ≥13,则实数a 的最小值是 .P 关于直线l 的对称点P'(m ,n ),直线l 的斜截式方程y=13x ,所以{0+n2=13·a+m2,n -0m -a ·13=-1,解得{m =45a ,n =35a ,所以点P'(45a ,35a).根据两点式得到直线P'Q 的方程为y -035a -0=x -b 45a -b,整理可得3ax-(4a-5b )y-3ab=0. 因为反射光线恰与直线l 平行, 所以3a4a -5b =-13,所以a=513b.又因为b ≥13,所以a ≥5, 则a 的最小值是5.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020安徽黄山期末)圆心为C 的圆经过点A (-4,1),B (-3,2),且圆心C 在直线l :x-y-2=0上. (1)求圆C 的标准方程;(2)过点P (3,-1)作直线m 交圆C 于M ,N 两点且|MN|=8,求直线m 的方程.由已知直线AB 的斜率k AB =1,AB 中点坐标为(-72,32),所以AB 垂直平分线的方程为x+y+2=0. 则由{x +y +2=0,x -y -2=0,解得{x =0,y =-2,所以圆心C (0,-2), 因此半径r=|AC|=5,所以圆C 的标准方程为x 2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C 到直线m 的距离d=√52-42=3, 所以当直线m 斜率不存在时,其方程为x=3,即x-3=0; 当直线m 斜率存在时,设其方程为y+1=k (x-3), 则d=√k 2+1=3,解得k=-43,此时其方程为4x+3y-9=0.所以直线m 的方程为x-3=0或4x+3y-9=0.18.(12分)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点.(1)借助向量证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1; (2)借助向量证明MN ⊥平面A 1BD.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则D (0,0,0),A 1(2,0,2),B (2,2,0),B 1(2,2,2),C (0,2,0),D 1(0,0,2),设平面A 1BD 的法向量为m =(x ,y ,z ), ∵DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),∴{DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{2x +2z =0,2x +2y =0,令x=-1,则平面A 1BD 的一个法向量m =(-1,1,1).同理平面B 1CD 1的一个法向量为n =(-1,1,1), ∴m ∥n ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD 1. (2)∵M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点, ∴M (2,1,0),N (1,2,1), ∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥m , ∴MN ⊥平面A 1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=6,点E ,F 分别在AD ,BC 上,且AE=1,BF=4,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A'EFB',使点B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.(1)求证:平面B'CD ⊥平面B'HD ; (2)求证:A'D ∥平面B'FC ;(3)求直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值.ABCD 中,CD ⊥DE ,点B'在平面CDEF 上的射影为H , 则B'H ⊥平面CDEF ,且CD ⊂平面CDEF , ∴B'H ⊥CD.又B'H ∩DE=H ,∴CD ⊥平面B'HD. 又CD ⊂平面B'CD , ∴平面B'CD ⊥平面B'HD.A'E ∥B'F ,A'E ⊄平面B'FC ,B'F ⊂平面B'FC ,∴A'E ∥平面B'FC.由DE ∥FC ,同理可得DE ∥平面B'FC. 又A'E ∩DE=E ,∴平面A'ED ∥平面B'FC ,∴A'D ∥平面B'FC.,过点E 作ER ∥DC ,过点E 作ES ⊥平面EFCD ,分别以ER ,ED ,ES 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. ∵B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上, ∴设B'(0,y ,z )(y>0,z>0). ∵F (3,3,0),且B'E=√10,B'F=4, ∴{y 2+z 2=10,9+(y -3)2+z 2=16, 解得{y =2,z =√6,∴B'(0,2,√6), ∴FB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1,√6), ∴EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14FB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34,-14,√64. 又ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,5,0), 设平面A'DE 的法向量为n =(a ,b ,c ),则有{n ·EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·ED⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-3a -b +√6c =0,5b =0, 解得b=0,令a=1,得平面A'DE 的一个法向量为n =(1,0,√62). 又C (3,5,0),H (0,2,0), ∴CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,0),∴直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值为sin θ=|cos <CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n ||CH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√1+0+64×√9+9+0=√55. 20.(12分)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M 在抛物线C 上,点A (-2p ,0).若当MF ⊥x 轴时,△MAF 的面积为5. (1)求抛物线C 的方程;(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求点M 的坐标.当MF ⊥x 轴时,点M (p2,±p),F (p2,0),则|AF|=p2+2p=5p2,|MF|=p ,∴S △MAF =12|AF|·|MF|=12×5p 2×p=5,解得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.(2)设M (x 0,y 0),由(1)可知A (-4,0),F (1,0),∴|AF|=5.∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM 中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π,∴∠MAF=∠AMF ,∴|FA|=|FM|.又|MF|=x 0+p 2=x 0+1,∴x 0+1=5, ∴x 0=4,∴y 0=±4.故点M 的坐标为(4,4)或(4,-4).21.(12分)(2021江苏南通模拟)如图,在四棱锥P-ABCD 中,四边形ABCD 是等腰梯形,AB ∥DC ,BC=CD=2,AB=4.M ,N 分别是AB ,AD 的中点,且PD ⊥NC ,平面PAD ⊥平面ABCD.(1)证明:PD ⊥平面ABCD ;(2)已知三棱锥D-PAB 的体积为23,求平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小.DM ,则DC ∥BM 且DC=BM ,所以四边形BCDM 为平行四边形,所以DM ∥BC 且DM=BC ,所以△AMD 是等边三角形,所以MN ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ∩平面ABCD=AD ,所以MN ⊥平面PAD.因为PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥MN.又因为PD ⊥NC ,且MN ∩NC=N ,MN ⊂平面ABCD ,NC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥平面ABCD.BD ,则BD ∥MN ,所以BD ⊥AD ,BD ⊥PD.在Rt △DAB 中,DA 2+DB 2=AB 2, 又AD=2,AB=4,所以DB=2√3,故△DAB 的面积为S △DAB =12·DA ·DB=2√3. 由等体积法可得V D-PAB =V P-DAB =13·PD ·S △DAB =13·PD ·2√3=23,所以PD=√33.建立空间直角坐标系如图所示,则D (0,0,0),N (1,0,0),C (-1,√3,0),M (1,√3,0),P (0,0,√33), 所以PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√33),NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3,0),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 设平面PNC 的法向量为n =(x ,y ,z ),则有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -√33z =0,-2x +√3y =0,令x=1,则y=2√33,z=√3, 所以平面PNC 的一个法向量n =(1,2√33,√3). 设平面PNM 的法向量为m =(a ,b ,c ),则有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{a -√33c =0,√3b =0,解得b=0, 令a=1,则c=√3,所以平面PNM 的一个法向量m =(1,0,√3).所以n ·m =1+3=4,|n |=4√33,|m |=2, 所以|cos <n ,m >|=|n ·m ||n ||m |=4√33×2=√32, 则平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小为30°.22.(12分)(2020江苏镇江期末)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点P (2,1),且离心率为√32,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M.(1)求椭圆C 的方程;(2)若∠APB 的角平分线与x 轴垂直,求PM 长度的最小值.因为椭圆经过点P ,且离心率为√32,所以{22a 2+12b 2=1,c a =√32,其中a 2=b 2+c 2, 解得{a 2=8,b 2=2,所以椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)因为∠APB 的角平分线与x 轴垂直,所以直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数. 设直线PA 的斜率为k (k ≠0),则直线PA 的方程为y=k (x-2)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k (x -2)+1,x 28+y 22=1,得(1+4k 2)x 2+8k (1-2k )x+16k 2-16k-4=0,所以2x1=16k2-16k-41+4k2,即x1=8k2-8k-21+4k2,y1=k(8k2-8k-21+4k2-2)+1=-4k2-4k+11+4k2,即A(8k 2-8k-21+4k2,-4k2-4k+11+4k2),同理可得B(8k 2+8k-21+4k2,-4k2+4k+11+4k2),则M在直线x+2y=0上,所以PM的最小值为P到直线x+2y=0的距离,即d=√5=4√55,此时M(65,-35)在椭圆内,所以PM的最小值为4√55.。

高中数学综合检测新人教A版必修1

综合检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z}，A ＝{1,2}，B ＝{－2，－1,2}，则A ∪∁I B 等于( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{2}D ．{0,1,2}解析：∵x ∈Z ，∴I ＝{－2，－1,0,1,2} ∴∁I B ＝{0,1} ∴A ∪∁I B ＝{0,1,2}．答案：D2．函数y ＝1x＋log 2(x ＋3)的定义域是( )A ．RB ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－3,0)∪(0，＋∞)解析：函数定义域⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0x ＋3>0∴－3<x <0或x >0.答案：D3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝lg |x |解析：偶函数的有C 、D 两项，当x >0时，y ＝lg |x |单调递增，故选C. 答案：C4．设x 0是方程ln x ＋x ＝4的解，则x 0属于区间( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)解析：设f (x )＝ln x ＋x －4，则有f (1)＝ln 1＋1－4＝－3<0.f (2)＝ln 2＋2－4＝ ln 2－2<1－2＝－1<0，f (3)＝ln 3＋3－4＝ln 3－1>1－1＝0. ∴x 0∈(2,3)．答案：C5．3log 34－2723－lg 0.01＋ln e 3＝( ) A ．14B ．0C ．1D ．6解析：原式＝4－3272－lg 0.01＋3＝7－323－lg 10－2＝9－9＝0.答案：B6．若y ＝log 3x 的反函数是y ＝g (x )，则g (－1)＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析：由题设可知g (x )＝3x ，∴g (－1)＝3－1＝13.答案：C7．若实数x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数的图象大致是( )解析：由|x |＝ln 1y，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ，x ≥0e x ，x ＜0.答案：B8．已知f (x )＝log 12x ，g (x )＝2x－1，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定解析：在同一坐标系中作函数f (x )，g (x )的图象(图略)，从而判断两函数交点个数．答案：B 9．函数f (x )＝－1x －3的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：函数的定义域为{x |x ≠1}，当x >1时f (x )<0，当x <1时f (x )>0，所以函数没有零点，故选A. 答案：A10．某新品牌电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售700台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场月数x 之间的关系的是( )A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：代入验证即可．答案：B11．若f(x)＝ax3＋ax＋2(a≠0)在[－6,6]上满足f(－6)>1，f(6)<1，则方程f(x)＝1在[－6,6]内的解的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：设g(x)＝f(x)－1，则由f(－6)>1，f(6)<1得[f(－6)－1][f(6)－1]<0，即g(－6)g(6)<0.因此g(x)＝f(x)－1在(－6,6)有一个零点．由于g(x)＝ax3＋ax＋1(a≠0)，易知当a>0时g(x)单调递增；当a<0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点．因此方程f(x)＝1仅有一个根．故选A.答案：A12．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单价：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A．45.666万元B．45.6万元C．45.56万元D．45.51万元解析：设在甲地销售x辆，在乙地则销售(15－x)辆，∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15)∴当x＝10时，S有最大值45.6万元．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.解析：∵f(x)为定义在R上的偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(－2)＝f(2)＝22－3＝1.答案：114．已知集合A＝{x|ax2－3x＋2＝0}至多有一个元素，则a的取值范围为________．解析：集合A 有为∅和A 中只有一个元素两种情况，a ＝0时，A ＝{23}满足题意，a ≠0时，则由Δ＝9－8a ≤0得a ≥98.答案：a ≥98或a ＝015．用二分法求方程ln x ＝1x在[1,2]上的近似解时，取中点c ＝1.5，则下一个有根区间为________．解析：令f (x )＝ln x －1x ，则f (1)＝－1<0，f (2)＝ln 2－12＝ln 2－ln e 12>0，f (1.5)＝f (32)＝ln 32－23＝ln 32－ln e 23e 23＝3e 2>32，∴ln e 23>ln 32，即f (1.5)<0. ∴下一个有根区间为(1.5,2)．答案：(1.5,2)16. 给出下列四个命题：①a >0且a ≠1时函数y ＝log a a x与函数y ＝a log a x 表示同一个函数． ②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点．③函数y ＝3(x －1)2的图象可由y ＝3x 2的图象向右平移1个单位得到． ④若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (2x )定义域为[0,4]．其中正确命题的序号是________(填上所有正确命题的序号)解析：①两函数定义域不同，y ＝log a a x定义域为R ，y ＝a log a x 定义域(0，＋∞)． ②如果函数在x ＝0处没有定义，图象就不过原点，如y ＝1x.③正确．④f (x )定义域[0,2]∴f (2x )定义域0≤2x ≤2即0≤x ≤1， ∴f (2x )定义域为[0,1]．答案：③三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，B ＝{x |log 2(x 2－5x ＋8)＝1}，C ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}．若A ∩C ＝∅，B ∩C ≠∅，求a 的值．解析：A ＝{2，－4}，B ＝{2,3}，由A ∩C ＝∅知2∉C ，－4∉C ，又由B ∩C ≠∅知3∈C ，∴32－3a ＋a 2－19＝0解得a ＝－2或a ＝5，当a ＝－2时，C ＝{3，－5}，满足A ∩C ＝∅，当a ＝5时，C ＝{3,2}，A ∩C ＝{2}≠∅，(舍去)， ∴a ＝－2.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b 为实数，a ≠0，x ∈R)(1)当函数f (x )的图象过点(－1,0)，且方程f (x )＝0有且只有一个根，求f (x )的表达式． (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围．解析：(1)因为f (－1)＝0，所以a －b ＋1＝0 因为方程f (x )＝0有且只有一个根， ∴Δ＝b 2－4a ＝0， ∴b 2－4(b －1)＝0，即b ＝2，a ＝1， ∴f (x )＝(x ＋1)2.(2)∵g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋2x ＋1－kx ＝x 2－(k －2)x ＋1 ＝(x －k －22)2＋1－k －24∴当k －22≥2或k －22≤－2时即k ≥6或k ≤－2时，g (x )是单调函数．19．(本小题满分12分)已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对任意x ，y ∈(0，＋∞)，都有f (xy)＝f (x )－f (y )． (1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≤2.解析：(1)∵f (x )是(0，＋∞)上的增函数，且对任意x ，y ∈(0，＋∞)，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )，∴f (1)＝f (11)＝f (1)－f (1)＝0.(2)若f (6)＝1，则f (x ＋3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ≤2＝1＋1＝f (6)＋f (6)，∴f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋36≤f (6x )， ∴0＜x ＋36≤6x ，解得x ≥335.∴原不等式的解集为{x |x ≥335}． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝mx ＋n 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)求实数m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数； (3)解关于t 的不等式f (t －1)＋f (t )<0. 解析：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即m －x ＋n 1＋－x 2＝－mx ＋n1＋x2.∴n ＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12m 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝25，∴m ＝1.(2)由(1)得，f (x )＝x1＋x2.设－1<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2) ＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1＋x 22－x 2＋x 21＋x 21＋x 22＝x 1－x 2－x 1x 2＋x 21＋x 22. ∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0,1－x 1x 2>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在(－1,1)上为增函数．(3)∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，由f (t －1)＋f (t )<0，得f (t )<－f (t －1)＝f (1－t )．又∵f (x )在(－1,1)上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<t <1，－1<1－t <1，t <1－t ，解得0<t <12.21．(本小题满分13分)某医疗研究所开发了一种新药，如果成人按规定的剂量服用，则服药后每毫升血液中的含药量y 与时间t 之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式；(2)据测定，每毫升血液中含药量不少于4μg 时治疗痢疾有效．假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果更佳？解析：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药在第一次服药后t 1小时，则－23t 1＋203＝4.解得t 1＝4，因而第二次服药应在11：00.设第三次服药在第一次服药后t 2小时，则此时血液中含药量应为前两次服药后的含药量的和，即－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4.解得t 2＝9小时，故第三次服药应在16：00.设第四次服药在第一次服药后t 3小时(t 3>10)，则此时第一次服进的药已吸收完，血液中含药量为第二、三次的和，即－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4.解得t 3＝13.5小时，故第四次服药应在20：30.22．(本小题满分13分)已知函数f (x )定义域为[－1,1]，若对于任意的x ，y ∈[－1,1]，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，有f (x )>0，(1)证明： f (x )为奇函数；(2)证明：f (x )在[－1,1]上是增加的．(3)设f (1)＝1，若f (x )<m －2am ＋2，对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解析：(1)令x ＝y ＝0，∴f (0)＝0 令y ＝－x ，f (x )＋f (－x )＝0∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (2)∵f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，令－1≤x 1<x 2≤1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0， ∴f (x )在[－1,1]上是增加的．(3)f (x )在[－1,1]上是增加的，f (x )max ＝f (1)＝1，使f (x )<m －2am ＋2对所有x ∈[－1,1]恒成立，只要m －2am ＋2>1，即m －2am ＋1>0，令g (a )＝m －2am ＋1＝－2am ＋m ＋1，要使g (a )>0时，a ∈[－1,1]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧g －，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋3m >0，1－m >0，∴－13<m <1.∴实数m 的取值范围是(－13，1)．。

高中数学综合测试新人教A版必修1

数学1在本模块中，学生将学习集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）。

集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现代数学的基本语言。

使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。

高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。

高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。

学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。

学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系。

内容与要求1. 集合（约4课时）（1）集合的含义与表示①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。

②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。

（2）集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。

②在具体情境中，了解全集与空集的含义。

（3）集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

2. 函数概念与基本初等函数I（约32课时）（1）函数①通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

2022年秋高中数学模块综合测评新人教A版选择性必修第一册

模块综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021山东青岛模拟)“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.如图,四面体S-ABC中,D为BC中点,点E在AD上,AD=3AE,则SE⃗⃗⃗⃗⃗ =()A.13SA⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC⃗⃗⃗⃗B.23SA⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC⃗⃗⃗⃗C.12SA⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC⃗⃗⃗⃗D.12SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC⃗⃗⃗⃗3.圆P:(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q的方程是()A.(x+2)2+(y-1)2=1B.(x+2)2+(y-5)2=1C.(x-2)2+(y+5)2=1D.(x-4)2+(y+3)2=14.如图,在一个60°的二面角的棱上有两点A,B,线段AC,BD分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱AB,若AB=AC=BD=4,则线段CD的长为()A.4√3B.16C.8D.4√25.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.[√2,3√2]B.[√2,2√2]C.[2√2,3√2]D.[1,3√2]6.(2021辽宁沈阳期末)正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cm7.如图,四棱柱S-ABCD中,底面是正方形,各侧棱都相等,记直线SA与直线AD所成角为α,直线SA 与平面ABCD所成角为β,二面角S-AB-C的平面角为γ,则()A.α>β>γB.γ>α>βC.α>γ>βD.γ>β>α8.已知双曲线x 24−y2b2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且与x轴垂直的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点,|AB|=3√5,M(4,1),若双曲线上存在一点P使得|PM|+|PF2|≤t,则t的最小值为()A.5√2B.√2C.5√2+4D.5√2-4二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.在下列四个命题中,错误的有()A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π]C.若一条直线的斜率为tan α,则此直线的倾斜角为αD.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan α10.若a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,则λ的值为()A.17B.-17C.-1D.111.(2021河北石家庄检测)已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.椭圆C的焦距为√5B.椭圆C的离心率为√306C.圆D在椭圆C的内部D.|PQ|的最小值为2√5512.定义空间两个向量的一种运算a⊗b=|a|·|b|·sin<a,b>,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有()A.a⊗b=b⊗aB.λ(a⊗b)=(λa)⊗bC.(a+b)⊗c=(a⊗c)+(b⊗c)D.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊗b=|x1y2-x2y1|三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.14.下列结论中,正确的个数是.①若a,b,c共面,则存在实数x,y,使a=x b+y c②若a,b,c不共面,则不存在实数x,y,使a=x b+y c③若a,b,c共面,b,c不共线,则存在实数x,y,使a=x b+y c④若a=x b+y c,则a,b,c共面15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.16.(2021山东聊城期末)已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与⏜上的动点,△AMB面积的最大值抛物线交于A,B两点,|AB|=8,则p=,M为抛物线弧AOB是.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴、y轴上截距的绝对值相等.18.(12分)已知A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5), (1)求平面ABC 的一个法向量;(2)证明:向量a =(3,-4,1)与平面ABC 平行.19.(12分)(2021河南洛阳检测)过点P (0,2)的直线与抛物线C :x 2=4y 相交于A ,B 两点. (1)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且点A 在第一象限,求直线AB 的方程; (2)若A ,B 在直线y=-2上的射影分别为A 1,B 1,线段A 1B 1的中点为Q ,求证:BQ ∥PA 1.20.(12分)如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=√2,AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证:AM∥平面BDE;(2)求二面角A-DF-B的大小;(3)试在线段AC上找一点P,使得PF与CD所成的角是60°.21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛物线C上,点A(-2p,0).若当MF⊥x轴时,△MAF的面积为5.(1)求抛物线C的方程;(2)若∠MFA+2∠MAF=π,求点M的坐标.22.(12分)(2021黑龙江双鸭山期中)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆C:x 24+y2=1的上、下顶点分别为A,B,点P在椭圆C上且异于点A,B,直线AP,PB与直线l:y=-2分别交于点M,N.(1)设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,判断k1·k2是否为定值?请证明你的结论.(2)求线段MN长的最小值.(3)当点P运动时,以MN为直径的圆是否经过y轴上的定点?请证明你的结论.模块综合测评1.B ∵两直线平行,∴斜率相等,即可得ab=4, ∵不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合, ∴两直线平行时需ab=4,且a ≠1,b ≠4. 故选B .2.B 四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ . 3.B 圆P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心为(-3,4),半径为1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.D CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵CA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°,AB=AC=BD=4, ∴CD⃗⃗⃗⃗⃗ 2=42+42+42-2×16×12=32,∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√2. 5.A 直线mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0, 故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P , 故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心为C (1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|CQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.A 设对应抛物线的标准方程为y 2=2px ,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p ×10,得p=5, 则p2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0), 则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm .7.C 连接AC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直, 以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设AB=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2), cos α=|SA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12, 平面ABCD 的法向量n =(0,0,1), cos β=|n ·SA⃗⃗⃗⃗⃗ ||n||SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22, 设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ), 则{m ·SA⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1), cos γ=|m ·n||m||n|=√3=√33, ∵cos α<cos γ<cos β, ∴α>γ>β.8.D 双曲线的左、右焦点分别为F 1(-c ,0),F 2(c ,0), 渐近线方程为y=±ba x , 令x=c ,解得y=±bc a , 可得|AB|=2bc a,|AB|=3√5,即2bca=3√5,由a=2,c2=a2+b2, 解得b=√5,c=3,即有双曲线的方程为x 24−y25=1.由题意可知,若P在左支上,由双曲线的定义可得|PF2|=2a+|PF1|,|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|+2a≥|MF1|+4=√(4+3)2+1+4=5√2+4,当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值4+5√2;若P在右支上,由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a,|PM|+|PF2|=|PM|+|PF1|-2a≥|MF1|-4=5√2-4,当且仅当M,P,F1共线时,取得最小值5√2-4.综上可得,所求最小值为5√2-4.9.ABCD对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A错误;对于B,直线倾斜角的取值范围是[0,π),∴B错误;对于C,一条直线的斜率为tanα,此直线的倾斜角不一定为α,如y=x的斜率为tan5π4,它的倾斜角为π4,∴C错误;对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tanα或不存在,∴D错误.10.AC∵a=(-1,λ,-2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为120°,∴cos120°=a·b|a|·|b|=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.BC依题意可得c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=562+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.AD对于A,a⊗b=|a|·|b|sin<a,b>,b⊗a=|b|·|a|sin<b,a>,故a ⊗b =b ⊗a 恒成立;对于B,λ(a ⊗b )=λ(|a |·|b |sin <a ,b >),(λa )⊗b =|λ||a |·|b |sin <λa ,b >, 故λ(a ⊗b )=(λa )⊗b 不会恒成立;对于C,取a ,b ,c 为两两垂直的单位向量,易得(a +b )⊗c =√2,(a ⊗c )+(b ⊗c )=2,则此时(a +b )⊗c =(a ⊗c )+(b ⊗c )不成立; 对于D,cos <a ,b >=x 1x 2+y 1y 2|a||b|,sin <a ,b >=√1-(x 1x 2+y 1y 2|a||b|)2,即有a ⊗b =|a |·|b |·√1-(x 1x 2+y 1y 2|a||b|)2=|a |·√|b|2-(x 1x 2+y 1y 2|a|)2=√x 12+y 12√x 22+y 22-(1212√x 1+y 1)2=√(x 12+y 12)(x 22+y 22)-(x 1x 2+y 1y 2)2 =√x 12y 22+x 22y 12-2x 1x 2y 1y 2=|x 1y 2-x 2y 1|.则a ⊗b =|x 1y 2-x 2y 1|恒成立.13.√22 过点(1,√2)的直线l 将圆(x-2)2+y 2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,√2)的连线垂直的直线,连线的斜率是√2-01-2=-√2,∴直线l 的斜率k=√22. 14.3 对于①,向量b ,c 共线,且a 与b ,c 不共线时,不存在实数x ,y ,使a =x b +y c ,∴①错误; 对于②,根据空间向量的共面定理,结合逆否命题与原命题的真假性,得: a ,b ,c 不共面时,不存在实数x ,y ,使a =x b +y c , ∴②正确;对于③,若a =0时,与b ,c 共面,且b ,c 不共线,则存在实数x=y=0,使a =0·b +0·c =0,∴③正确; 对于④,根据空间向量的共面定理得,当a =x b +y c 时,a ,b ,c 共面,∴④正确. 综上,正确的命题是②③④. 15.π3√33建立如图空间直角坐标系,A (0,1,0),B (1,0,0),C 1(0,0,1),A 1(0,1,1),B 1(1,0,1),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).由cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=√2×√2=-12, 故异面直线BC 1与A 1B 1所成角为π3. 设平面ABC 1的一个法向量为m =(a ,b ,c ), 由{m ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +c =0,m ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b =0,由a=1,得m =(1,1,1),平面BC 1C 的一个法向量n =(0,1,0), cos <m ,n >=√3=√33. 16.2 4√2 ∵抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点F ,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,故直线AB 的方程为y-p 2=x-0,即y=x+p2,且直线AB 的倾斜角为45°. 代入抛物线的方程为x 2=2py ,可得x 2-2px-p 2=0.设A ,B 两点的横坐标分别为m ,n ,m<n ,由韦达定理可得m+n=2p ,mn=-p 2.∵|AB|=|AF|+|BF|=(y A +p 2)+(y B +p 2)=[(m +p 2)+p 2]+[(n +p 2)+p2]=8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,故抛物线的方程为x 2=4y ,AB 的直线方程为y=x+1. 设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m , 代入抛物线方程,得x 2-4x-4m=0. 由Δ=42+16m=0,得m=-1.与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=√2=√2,∴△AMB 面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×√2=4√2. 17.解(1)当l 斜率不存在时,l 的方程为x=1,满足条件;当l 斜率存在时,设l :y-3=k (x-1),即kx-y+3-k=0, 由d=√k 2+1=1,得k=-34,即l :3x+4y-15=0. 综上l :x=1,或3x+4y-15=0. (2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线的方程为x-2y=0.当直线截距相等时,设为xa +ya =1,代入(2,1), 则a=3,即x+y-3=0. 当直线截距互为相反数时, 设为xa +y-a =1,代入(2,1), 则a=1,即x-y-1=0.综上,直线方程为x-2y=0,或x+y-3=0,或x+y-1=0. 18.(1)解∵A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5), ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2). 设n =(x ,y ,z )为平面ABC 的一个法向量, 则有n ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(-2,-1,3)=-2x-y+3z=0, n ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y ,z )·(1,-3,2)=x-3y+2z=0. 由{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0, 解得x=y=z ,取x=1,则平面ABC 的一个法向量为(1,1,1). (2)证明若存在实数m ,n ,使a =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即(3,-4,1)=m (-2,-1,3)+n (1,-3,2), 则{-2m +n =3,-m -3n =-4,3m +2n =1, 解得{m =-57,n =117,所以a =-57AB⃗⃗⃗⃗⃗ +117AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即向量a ∥平面ABC. 19.(1)解设直线AB 的方程为y=kx+2(k>0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),x 1>0, 联立方程得{x 2=4y,y =kx +2,消去y ,得x 2-4kx-8=0,Δ=16k 2+32>0. ∴{x 1+x 2=4k,x 1x 2=-8,①又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1,2-y 1),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2-2), 由AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得x 1=-2x 2, 代入①解得k=12,∴直线AB 的方程为y=12x+2,即x-2y+4=0. (2)证明设直线y=kx+2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∴A 1(x 1,-2),B 1(x 2,-2), ∴Q (x 1+x 22,-2).∴BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+x 22-x 2,-2-y 2),PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1,-4).∵(x 1+x 22-x 2)·(-4)-x 1·(-2-y 2)=4·x 2-x 12+x 1·(y 2+2)=2x 2-2x 1+x 1y 2+2x 1=2x 2+x 1y 2=2x 2+x 1·x 224=2x 2+x24·x 1·x 2=2x 2+x24·(-8)=0. ∴BQ ∥PA 1.20.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系.设AC ∩BD=N ,连接NE , 则点N ,E 的坐标分别是(√22,√22,0),(0,0,1), ∴NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,-√22,1),又点A ,M 的坐标分别是(√2,√2,0),(√22,√22,1), ∴AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,-√22,1). ∴NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 且NE 与AM 不共线,∴NE ∥AM. 又∵NE ⊂平面BDE ,AM ⊄平面BDE ,∴AM ∥平面BDE. (2)解∵AF ⊥AB ,AB ⊥AD ,AF ∩AD=A ,∴AB ⊥平面ADF.B (0,√2,0),D (√2,0,0),F (√2,√2,1). ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,0,0)为平面DAF 的法向量. ∵NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,-√22,1)·(-√2,√2,0)=0, ∴NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·NF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√22,-√22,1)·(√22,√22,1)=0,得NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥NF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BDF 的法向量. ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=12. ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是60°, 即所求二面角A-DF-B 的大小是60°.(3)解设P (x ,x ,0),PF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2-x ,√2-x ,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,0),则cos π3=|√2·√2-√2×√2(√2-x)2+1|,解得x=√22或x=3√22(舍去). 所以当点P 为线段AC 的中点时,直线PF 与CD 所成的角为60°. 21.解(1)当MF ⊥x 轴时,点M (p2,±p),F (p2,0),则|AF|=p 2+2p=5p2,|MF|=p , ∴S △MAF =12|AF|·|MF|=12×5p 2×p=5,解得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.(2)设M (x 0,y 0),由(1)可知A (-4,0),F (1,0), ∴|AF|=5.∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM 中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π,∴∠MAF=∠AMF ,∴|FA|=|FM|. 又|MF|=x 0+p2=x 0+1,∴x 0+1=5, ∴x 0=4, ∴y 0=±4.故点M 的坐标为(4,4)或(4,-4).22.解(1)是定值.证明:由题设x 24+y 2=1可知,点A (0,1),B (0,-1), 令P (x 0,y 0),则由题设可知x 0≠0, 所以直线AP 的斜率k 1=y 0-1x 0,PB 的斜率为k 2=y 0+1x 0,又点P 在椭圆上, 所以x 024+y 02=1(x 0≠0),从而有k 1·k 2=y 0-1x 0·y 0+1x 0=y 02-1x 02=-14.(2)由题设可以得到直线AP 的方程为y-1=k 1(x-0),直线PB 的方程为y-(-1)=k 2(x-0), 由{y -1=k 1x,y =-2, 解得{x =-3k 1,y =-2,由{y +1=k 2x,y =-2,解得{x =-1k 2,y =-2,所以直线AP 与直线l 的交点M (-3k 1,-2),直线PB 与直线l 的交点N (-1k 2,-2).于是MN=|3k 1-1k 2|,又k 1k 2=-14,所以MN=|3k 1+4k 1|=3|k 1|+4|k 1|≥2(√3|k 1|·4|k 1|)=4√3,等号成立的条件是3|k 1|=4|k 1|,解得k 1=±√32,故线段MN 长的最小值是4√3.(3)设点Q (x ,y )是以MN 为直径的圆上的任意一点,则QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故有(x +3k 1)(x +1k 2)+(y+2)(y+2)=0.又k 1·k 2=-14,所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+(y+2)2-12+(3k 1-4k 1)x=0.令x=0,解得{x =0,y =-2+2√3或{x =0,y =-2-2√3.所以以MN 为直径的圆恒过定点(0,-2+2√3),(0,-2-2√3).。

2022年秋新教材高中数学模块综合检测新人教A版必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M ＝{－1,1,2}，集合N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则M ∩N ＝( ) A ．{1,2,4} B ．{1} C ．{1,2}D ．{4}【答案】B 【解析】因为M ＝{－1,1,2}，x ∈M ，所以x ＝－1或1或2.由y ＝x 2得y ＝1或4，所以N ＝{1,4}．所以M ∩N ＝{1}．2．已知集合M ＝{x |y ＝log 122x －1}，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝23＋2x，则M ∪N ＝( ) A ．(0,1]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12 ，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ，23D ．(0，＋∞)【答案】A 【解析】因为集合M ＝{x |y ＝log 122x －1}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12＜x ≤1，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝23＋2x＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪0＜y ＜23，所以M ∪N ＝{x |0＜x ≤1}＝(0,1]．故选A ． 3．函数f (x )＝x 3－x 2－1的零点所在的区间可以是( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C 【解析】函数f (x )＝x 3－x 2－1是连续函数．因为f (1)＝1－1－1＝－1<0，f (2)＝8－4－1＝3>0，所以f (1)·f (2)<0，所以函数f (x )的零点所在的区间可以是(1,2)．故选C ．4．设x ，y ，z ∈R ，条件p ：xz 2＞yz 2，条件q ：x ＞y ，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为条件p ：xz 2＞yz 2⇒条件q ：x ＞y ；反之，则不成立，例如取z ＝0，xz 2＝yz 2.则p 是q 的充分不必要条件．故选A ．5．下列关系中，正确的是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1215B ．20.1＞20.2C ．2－0.1＞2－0.2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13【答案】C 【解析】对于A ，13＞15，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1215，所以A 错误；对于B,0.1＜0.2，所以20.1＜20.2，所以B 错误；对于C ，－0.1＞－0.2，所以2－0.1＞2－0.2，所以C 正确；对于D ，－15＞－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12－15＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13，所以D 错误．故选C ． 6．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x＋log 2x ，则f (15)＝( )A ．5B ．12 C ．2D ．－2【答案】D 【解析】由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数．所以f (15)＝f (3×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.故选D ．7．三个数a ＝70.3，b ＝0.37，c ＝log 70.3，则( ) A ．c ＜b ＜a B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b【答案】A 【解析】因为a ＝70.3＞70＝1,0＜b ＝0.37＜0.30＝1，c ＝log 70.3＜log 71＝0，所以c ＜b ＜a .故选A ．8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2(x ∈R )，下列说法错误的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是πB ．函数f (x )是偶函数C ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称D ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增【答案】D 【解析】因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝cos 2x ，所以函数f (x )是偶函数，且最小正周期T ＝2πω＝π，故A ，B 正确；由2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π4(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π4，所以函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0中心对称，故C 正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ∈[0，π]，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递减，故D 不正确．故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列四个选项，正确的有( )A ．点P (tan α，sin α)在第三象限，则α是第二象限角B ．若三角形的两内角A ，B ，满足sin A cos B ＜0，则此三角形必为钝角三角形C ．sin 145°cos(－210°)＞0D ．sin 3·cos 4·tan 5＞0【答案】BD 【解析】对于A ，由题意知tan α＜0且sin α＜0，所以α是第四象限角，故A 错误；对于B ，因为A ，B ∈(0，π)，且sin A cos B ＜0，所以sin A ＞0，cos B ＜0，三角形必为钝角三角形，故B 正确；对于C ，因为145°是第二象限角，所以sin 145°＞0，因为－210°＝－360°＋150°，所以－210°是第二象限角，则cos(－210°)＜0，故sin 145°cos(－210°)＜0，故C 错误；对于D ，因为π2<3＜π，π＜4＜3π2，3π2 ＜5＜2π，所以sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，sin 3·cos 4·tan 5＞0.故D 正确．故选BD ．10．函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A ．f (x )为奇函数 B ．f (x )为周期函数 C ．f (x ＋3)为奇函数D ．f (x ＋4)为偶函数【答案】ABC 【解析】因为f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)①，f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)②.所以由①可得f [－(x ＋1)＋1]＝－f (x ＋1＋1)，即f (－x )＝－f (x ＋2)③.所以由②③得f (－x )＝f (－x ＋2)．所以f (x )的周期为2.所以f (x )＝f (x ＋2)，则f (x )为奇函数．所以f (x ＋1)＝f (x ＋3)，则f (x ＋3)为奇函数．故选ABC ．11．已知实数x ，y 满足a x ＞a y＞1(0＜a ＜1)，则下列关系式正确的为( ) A ．x 2＋1＞y 2B ．|1－x |＞|y －1|C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3【答案】AB 【解析】因为实数x ，y 满足a x＞a y＞1(0＜a ＜1)，所以x ＜y ＜0.所以x2＋1＞y 2，故A 正确；－x ＞－y ＞0，1－x ＞1－y ＞1，|1－x |＞|y －1|，故B 正确；不一定有sin x ＞sin y ，故C 不一定正确；x 3＜y 3，故D 不正确．故选AB ．12.在一次社会实践活动中，某数学调研小组根据车间持续5 h 的生产情况画出了某种产品的累计总产量y (单位：kg)与时间x (单位：h)的函数图象，则以下关于该产品生产状况的正确判断是( )A ．在前三小时内，每小时的产量逐步增加B ．在前三小时内，每小时的产量逐步减少C ．最后一小时内的产量与第三小时内的产量相同D ．最后两小时内，该车间没有生产该产品【答案】BD 【解析】由该车间5 h 来某种产品的总产量y (kg)与时间x (h)的函数图象，得：前3 h 的总产量逐步减少，故A 错误，B 正确；后2 h 均没有生产，故C 错误，D 正确．故选BD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题“∃x ∈(0，＋∞)，ln x ＝x －1”的否定是________．【答案】∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1 【解析】命题的否定要把存在量词改为全称量词，把结论否定．因此把存在量词“∃”改为全称量词“∀”，把“＝”变为“≠”，即∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1.14．已知函数f (x )＝2log 12x 的定义域为[2,4]，则函数f (x )的值域是________．【答案】[－4，－2] 【解析】因为y ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，所以当2≤x ≤4时，log 124≤log 12x ≤log 122，即－2≤log 12x ≤－1，所以－4≤2log 12x ≤－2，所以函数f (x )的值域为[－4，－2]．15．(2020年天河区一模)设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 取得最大值，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________. 【答案】2＋ 3 【解析】f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，因为当x ＝θ时，函数f (x )取得最大值，所以θ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，所以θ＝ π6＋2k π，k ∈Z .所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝1＋331－33＝2＋ 3.16．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，f (x )＋g (x )＝2·3x，则函数f (x )＝________.【答案】3x ＋3－x四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )，f (1)＝2，f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)解关于x 的不等式f (x )＜－ax 2＋(3－2a )x ＋1(a ∈R )．解：(1)由二次函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )，可知二次函数f (x )的对称轴为x ＝1，又有f (1)＝2，设二次函数f (x )＝m (x －1)2＋2(m ≠0)，因为f (0)＝1.所以f (0)＝m ＋2＝1，所以m ＝－1.f (x )的解析式为f (x )＝－(x －1)2＋2，即f (x )＝－x 2＋2x ＋1.(2)关于x 的不等式f (x )＜－ax 2＋(3－2a )x ＋1⇔(a －1)x 2＋(2a －1)x ＜0. ①当a ＝1时，不等式⇔x ＜0.②当a ≠1时，方程(a －1)x 2＋(2a －1)x ＝0有两个实根0，1－2a a －1.当a ＝12时，1－2a a －1＝0，不等式⇔x 2＞0，所以x ≠0；当a ＞1时，1－2a a －1＜0，不等式⇔x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2a a －1＜0，所以1－2a a －1＜x ＜0；当12<a ＜1时，1－2a a －1＞0，不等式⇔x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2a a －1＞0，所以x ＜0或x ＞1－2a a －1；当a ＜12时，1－2a a －1＜0，不等式⇔x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－2a a －1＞0，所以x ＜1－2a a －1或x ＞0.故当a ＝1时，不等式的解集为{x |x ＜0}；当a ＝12时，不等式的解集为{x |x ≠0}；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－2aa －1＜x ＜0；当12<a ＜1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞1－2a a －1；当a ＜12时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1－2a a －1或x ＞0.18．乔经理到老陈的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：乔经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间的函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点A ，但包含端点C )．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)已知老陈种植该水果的成本是2 800元/吨，那么乔经理的采购量为多少时，老陈在这次买卖中所获得的利润W 最大？最大利润是多少？解：(1)当0<x ≤20时，y ＝8 000；当20<x ≤40时，设BC 满足的函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝8 000，40k ＋b ＝4 000，解得k ＝－200，b ＝12 000，所以y ＝－200x ＋12 000.综上，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧8 000，0<x ≤20，－200x ＋12 000，20<x ≤40.(2)当0<x ≤20时，老陈获得的利润为W ＝(8 000－2 800)x ＝5 200x ≤104 000，此时老陈获得的最大利润为104 000元．当20<x ≤40时，老陈获得的利润为W ＝(－200x ＋12 000－2 800)x ＝－200(x 2－46x )＝－200(x －23)2＋105 800，所以当x ＝23时，利润W 取得最大值，最大值为105 800元．因为105 800>104 000，所以当乔经理的采购量为23吨时，老陈在这次买卖中所获得的利润最大，最大利润为105 800元．19．已知函数f (x )是定义在(－1,1)上的偶函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x －log 2(1－x )． (1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)求不等式f (log a x )－32＜0.解：(1)设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，故f (－x )＝－x －log 2(1＋x )，又函数f (x )是定义在(－1,1)上的偶函数，故f (－x )＝f (x )，则f (x )＝f (－x )＝－x －log 2(1－x )，由上可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －log 21－x x ∈[0，1－x －log 21＋x x ∈－1，0.(2)不等式f (log a x )－32＜0可化为f (log a x )＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，当x ∈[0,1)时，f (x )＝x －log 2(1－x )是增函数，又函数是偶函数，故x ∈(－1,0)时f (x )单调递减．则不等式可化为－12＜log x ＜12，得－1＜log a x ＜1故当a ＞1时，不等式解集为(a －1，a )；当0＜a ＜1时，不等式解集为(a ，a －1)． 20．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求f (x )的解析式；(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2.解：(1)因f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .又－π2≤φ＜π2，得k ＝0，解得φ＝π2－2π3＝－π6.因此所求解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. (2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14.由π6＜α＜2π3，得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝154.因此cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 21．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx－cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.22．已知定义域为I ＝(－∞，0)∪(0，＋∞)的函数f (x )满足对任意x 1，x 2∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (x 1x 2)＝x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)．(1)求证：f (x )是奇函数． (2)设g (x )＝f xx，且x ＞1时g (x )＜0. ①求证：g (x )在(0，＋∞)上单调递减； ②求不等式g (2x －1)＞g (3x )的解集．解：(1)取x 1＝x 2＝1，可得f (1)＝0，取x 1＝x 2＝－1，可得f (－1)＝0，取x 1＝x ，x 2＝－1，可得f (－x )＝xf (－1)－f (x )＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．(2)①因为f (x )是奇函数，所以g (x )＝f xx是偶函数．由f (x 1x 2)＝x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，可得有g (x 1x 2)＝g (x 2)＋g (x 1)．设x 1＞x 2＞0，则x 1x 2＞1，x ＞1时g (x )＜0，可得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＜0.所以g (x 1)＝g ⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝g (x 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x2＜g (x 2)．所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减．②因为g (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是单调递减，所以不等式g (2x －1)＞g (3x )．所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≠0，3x ≠0，|2x －1|＜|3x |，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≠12且x ≠0，x >15或x <－1，则x ＜－1或x ＞12或15＜x ＜12.所以不等式g (2x －1)＞g (3x )的解集为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15 ，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.。