根式的加减、混合计算

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(完整版)二次根式混合运算经典

( 4 )( 5 + 3 2 )2 .
答案： 3 答案：5 3 - 3 答案：1 答案：43+30 2
1、计算：
（1）、3 2 1 33
(2)、7 2 1 5
(3)、7 （ 7）2
(4)(7 2 2 6)(2 6 7 2)
(5)、( 7 7 3)2
(6)、( 2 3 6)2 ( 2 3 6)2
(3)已知 10 的整数部分为a，小数部分为b，求a2－b2的值．
6 解：(1) 2－
18－120＝3
2－3
2－1＝－1
(2)(－3)2－ 4＋12－1＝9－2＋2＝9
(3)∵3< 10<4 ∴ 10的整数部分 a＝3，小数部分 b＝ 10－3
∴a2－b2＝32－( 10－3)2＝9－(10－6 10＋9)＝－10＋6 10
例3 计算：
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
从例3的第(2)小题看到，二次根式的和相乘，与多项式的乘法相类似.
我们可以利用多项式的乘法公式，进行某些二次根式的和相乘的运算.
例4 计算：
( 1 )( 2 + 1 )( 2 - 1 ) ； ( 2 )( 2 - 3 )2 .
动脑筋
解：(1)∵x＝2－ 3，y＝2＋ 3 ∴x＋y＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4，xy＝(2－ 3)×(2＋ 3)＝1 ∴x2＋xy＋y2＝(x＋y)2－xy＝42－1＝15
(7)、(7 54 3 21） 3
(8)、18 ( 3 2)
注意：
1、运算顺序。 2、运用运算律和乘法公式，简化运算。 3、结果为最简二次根式。
二、巧用“分母有理化”进行二次根式混合运算

八年数学下二次根式加减乘除混合运算考点与讲解二次根式加减乘除混合运算考点与讲解

二次根式加减乘除混合运算考点与解析1．计算：．考点：二次根式的乘除法．专题：计算题．分析：按照•=，从左至右依次相乘即可．解答：解：，=2．点评：本题考查二次根式的乘法运算，比较简单，注意在运算时要细心．2．计算：﹣32+×+|﹣3|考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可．解答：解：﹣32+×+|﹣3|=﹣9+×+3﹣=﹣5﹣．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质等知识，正确化简各数是解题关键．3．计算：（﹣1）2015+sin30°+（2﹣）（2+）．考点：二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．分析：运用﹣1的奇次方等于﹣1，30°角的正弦等于，结合平方差公式进行计算，即可解决问题．解答：解：原式=﹣1++4﹣3=．点评：该题主要考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点及其应用问题；牢固掌握特殊角的三角函数值、灵活运用二次根式的混合运算法则是正确进行代数运算的基础和关键．4．计算：．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．解答：解：原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算．5．计算：（1）sin60°﹣|﹣|﹣﹣（）﹣1（2）（1+）÷．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）根据特殊角的三角函数值、分母有理化和负整数指数幂的意义得到原式=﹣﹣﹣2，然后合并即可；（2）先把括号内合并和除法运算化为乘法运算，然后约分即可．解答：解：（1）原式=﹣﹣﹣2=﹣2；（2）原式=•=x．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂和分式的混合运算．6．计算：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：首先根据零指数幂、负整数指数幂的运算方法，二次根式的除法的运算法则，以及绝对值的求法计算，然后根据加法交换律和结合律，求出算式（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1的值是多少即可．解答：解：（2015﹣π）0+|﹣2|+÷+（）﹣1．=1+3=（1+2+3）=6+0=6点评：（1）此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”．（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a0=1（a≠0）；（2）00≠1．（3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）a﹣p=（a≠0，p为正整数）；（2）计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；（3）当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．（4）此题还考查了绝对值的非负性和应用，要熟练掌握．7．化简：（1）（2）（3）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）、（2）利用二次根式的性质把二次根式化为最简二次根式；（3）根据平方差公式计算．解答：解：（1）原式=4；（2）原式=；（3）原式=（﹣）（+）=3﹣2=1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．8．计算：（1）（2）﹣5+6（3）×﹣（4）﹣π（精确到0.01）．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘法法则运算；（4）把≈1.414，π=3.142代入原式进行近似计算即可．解答：解：（1）原式=2+4﹣=5；（2）原式=4﹣+=3；（3）原式=﹣=20﹣3=17；（4）原式≈0.5+1.414﹣3.142≈﹣1.23．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．9．计算：﹣﹣（）2+|2﹣|．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：先把各二次根式化为最简二次根式，再根据绝对值的意义去绝对值，然后合并即可．解答：解：原式=2﹣﹣2+2﹣=．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．计算：（）﹣1﹣|2﹣1|+．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂和分母有理化的意义得到原式3﹣2+1+，然后合并即可．解答：解：原式=3﹣（2﹣1）+=3﹣2+1+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．11．计算：+（﹣）+．考点：二次根式的混合运算．分析：先进行二次根式的化简和乘法运算，然后合并．解答：解：原式=+1+3﹣3+=4﹣．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简和乘法法则．12．计算：（）﹣2﹣+（﹣6）0﹣．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=4﹣4+1﹣，然后进行二次根式的除法运算后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+1﹣=1﹣2=﹣1．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．13．计算：（2﹣）2+﹣（）﹣1．考点：二次根式的混合运算；负整数指数幂．专题：计算题．分析：根据完全平方公式和负整数指数幂的意义得到原式=4﹣4+3﹣3，然后合并即可．解答：解：原式=4﹣4+3﹣3=1﹣．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂．14．计算（1）（2）．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．分析：（1）先算负指数幂，0次幂和绝对值，再进一步合并即可；（2）先利用平方差公式和二次根式的性质化简，再进一步合并即可．解答：解：（1）原式=2﹣1+3=4；（2）原式=2﹣3+﹣2=﹣3．点评：此题考查二次根式的混合运算，正确掌握二次根式的性质化简以及乘法计算公式是解决问题的关键．15．（1）计算：4×÷﹣2sin30°﹣（）﹣1（2）化简：÷﹣．考点：二次根式的混合运算；分式的混合运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）分别进行二次根式的乘法运算、除法运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂等运算，然后合并；（2）根据分式的混合运算法则求解．解答：解：（1）原式=10÷﹣2×﹣2=10﹣1﹣2=7；（2）原式=•﹣=﹣=．点评：本题考查了二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．16．计算：（1）+（﹣2013）0﹣（）﹣1+|﹣3|（2）÷﹣×+．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）根据零指数幂和负整数指数幂的意义得到原式=3+1﹣2+3，然后进行加减运算；（2）根据二次根式的乘除法则运算．解答：解：（1）原式=3+1﹣2+3=5；（2）原式=﹣+2=4﹣+2=4+．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和负整数指数幂．17．计算（1）÷+﹣3（2）（+）（﹣）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行二次根式的除法运算，再先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用平方差公式计算．解答：解：（1）原式=+2﹣3=0；（2）原式==a﹣2b．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．18．（1）（2）．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）先进行乘方和开方运算，再进行乘法运算，然后进行减法运算；（2）先去括号，然后合并即可．解答：解：（1）原式=4+4×（﹣）=4﹣3=1；（2）原式=2+2﹣=2+．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．19．计算题：（1）+﹣；（2）（1+）（﹣）﹣（2﹣1）2．考点：二次根式的混合运算．分析：（1）先进行二次根式的化简，然后合并；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后合并．解答：解：（1）原式=3+﹣=4﹣；（2）原式=﹣+﹣3﹣13+4=4﹣2﹣13．点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的化简．20．计算（1）+（3+）（2）（﹣）×2（3）先化简，再求值．（a+）﹣（﹣b），其中a=2，b=3．考点：二次根式的混合运算；二次根式的化简求值．专题：计算题．分析：（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算；（3）先把各二次根式化为最简二次根式得到原式=+2﹣+，然后合并后把a和b的代入即可．解答：解：（1）原式=3+3+2=8；（2）原式=2﹣2=4﹣；（3）原式=+2﹣+=+3当a=2，b=3时，原式=+3．点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了二次根式的化简求值．。

2023学年沪教版上海八年级数学上学期同步考点精讲精练16-3-2二次根式的加减及混合运算带讲解

16.3.2二次根式的加减及混合运算考点一、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.考点二、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.题型1：二次根式的加减法1-数字型182）A．5 B10C．32D．42C【分析】根据二次根式的运算法则即可求解．82822232==故选C．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．2273______．23先进行化简，然后作差求解即可．解：原式333==【点睛】本题考查了二次根式的化简与减法运算．解题的关键在于正确的计算．3______．首先化简二次根式，进而合并求出即可．解：原式==故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．题型2：二次根式的加减法2-字母型4．计算：（1________；（2）=_________．根据合并同类二次根式的法则计算即可；解：（1=，（2）-=故答案为：【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键5．计算；（1(=________；（2）5-________．-【分析】（1）先化简二次根式，然后根据合并同类二次根式的法则计算即可；（2）讨论x和a同时大于0和同时小于0，利用二次根式的性质化简即可．解：（1(=（2）ax≥∴0当0x >，0a ≥时55x ---当0x <，0a ≤时55x -+=故答案为：-【点睛】本题考查了二次根式的加减法，熟练掌握合并同类二次根式的法则是解题的关键．6．计算二次根式________．合并同类二次根式得：故答案：7．1642 ） A ．正数B ．非正数C ．非负数D ．负数B【分析】先化为最简二次根式，然后合并同类项，再根据二次根式有意义确定0x ≥0≥，最后确定值的符号即可．解:1642=1642x x ⋅24==-∴0x ≥0≥，∴0-≤，故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的化简，及二次根式的加减运算，二次根式有意义条件，熟知此知识点是解题的关键．题型3：二次根式的混合运算1-数字型8=_____________． 2【分析】先把分子中的二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．2=．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，然后进行二次根式的乘除运算．9．计算：=（）A ．4B ．5C ．6D ．8C【分析】先根据二次根式的性质化简括号内的式子，再进行减法运算，最后进行除法运算即可．原式6=÷==．故选C ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简是解题的关键．1002019)-=________． 1【分析】根据二次根式的运算法则和零指数的性质进行计算即可．解：原式1= 4211=--=故答案为1．【点睛】本题考查了二次根式的运算法则和零指数，解题关键是熟练运用相关法则，准确进行计算．11-+⨯ ）A ．+B ．32C ．D ．A【分析】先化简各个二次根式再合并即可.=故选A.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简与同类二次根式的合并是解题的关键.12=______．44 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．=4==4故答案为：4【点睛】本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．13 ）A ．-B C ．36-D ．6-D【分析】根据二次根式的混合运算法则进行计算即可原6==-故选D ．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．=______．14先分母有理化，再根据二次根式的加减运算法则求解即可．==11【点睛】本题考查分母有理化、二次根式的加减运算，熟练掌握分母有理化的方法是解答的关键．15-分别根据分母有理化、二次根式的乘法和二次根式的性质化简与计算，再合并同类二次根式即可．-=-262【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型4：二次根式的大小比较16．请用“>，=，<”符号比较大小：＞【分析】求出=解：==∵18＞12，∴故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次根式的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．17910＝______．> 2##2【分析】根据45<<可推出101711210510，从而可比较两数大小；利用平方差公式分母有理化即可．解：∵45<<，∴516<<， ∴51716555即101711210510，910>；2==故答案为：>； 2．【点睛】本题考查实数的大小比较，和二次根式的化简．能正确得出45<<和利用平方差公式分母有理化是解题关键．18．比较大小：（1）（2）4_________2+（3；（4> ， < ， > ， <【分析】（1）先将，有4532>，即可比较大小；（2）利用作差法，即可比较大小；（3）利用作商法，即可比较大小；（4>解：（1）∵==4532>，>∴>（2）∵(4(24222(1-+=--=-，又1，∴2(10<，即(4(20-+<，∴42+（3）1 ===>，>；（4）><故答案为：（1）>；（2）<；（3）>；（4）<．【点睛】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．题型5：二次根式的混合运算2-字母型及复合型19．若m，n+mn=_____.1【分析】利用二次根式的运算法则将已知等式化简，求出m、n的值，代入mn即可求解.1414∴4m=1, 4n=16,∴m=14， n=4，mn=414⨯= 1. 故答案为1.【点睛】本题考查二次根式的化简求值.20．若a 、b a +=a ________，b =________． 0 214 【分析】先把等式的左边化简，再合并同类二次根式，再利用实数的无理数性质可得答案．解： a =+，∴a =+a =+ ∴a =0，b =214．故答案为：0;214．【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，实数中无理数的性质，掌握合并同类二次根式与实数中无理数的性质是解题的关键．21．已知22a b ==，则（）A ．a b =B ．1ab =C ．1ab =-D ．0a b +=D【分析】根据a 与b 的值结合选项进行一一比较及计算即可结论．∵2a =(22b ==-，∴a b ，A 选项不正确；∴(227ab =-=-+∴B 、C 选项都不正确；∴220a b +==，D 选项正确．故选D ．【点睛】此题考查了二次根式求值运算，掌握二次根式的运算法则是解题关键．22．已知：5a b +=-，1ab = ） A ．5B ．-5C ．25D ．5或-5A【分析】首先由a+b=-5，ab=1得出a 、b 的取值范围，然后使原式分母有理化，再由a 、b 的取值范围确定所求值的符号，通分化简代入求值；解：∵ab=1＞0，∴a 、b 同号，又∵a+b=-5＜0，∴a ＜0，b ＜0．115a b ⎫==+==⎪⎭；故选：A【点睛】此题考查的知识点是二次根式的化简求值，关键是体现了整体代入思想，还要注意字母的取值．23．已知x =y =y x x y+=______． 8【分析】先把所求代数式通分，再把x 、y 的值代入进行计算即可．解：22y x y x x y xy++=，将x =y =得：原式=22(53)(53)1682(53)(53)++-==+-，故答案为：8．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，结合平方差公式以及完全平方公式是解题的关键．题型6：二次根式的混合运算与分式24．先化简，再求值：223112-⎛⎫-÷⎪++⎝⎭a a a a ，其中3a =． 2aa+，233- 【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可．解：原式1(1)2(1)(1)-+=⨯++-a a a a a a 2=+a a 当3a =时，原式323=+ 233=-．【点睛】本题考查了分式加减乘除的混合运算，分式的化简求值，二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确进行化简．25．已知1526x =-，则21055x x x -+-的值．63【分析】先根据分母有理化化简x ，再把原式变形即可求解． ∵1526x =-()()526526226526+==+-⨯+ ∴21055x x x -+-21025205x x x -+-=-25+2652065+26526--．【点睛】此题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式、分式及完全平方公式的运算． 26．先化简，再求值：已知a 23+2221211a a a a a -+-+- 11a a-+，3【分析】先化简得11aa-+，再将a=11aa-+即可得．解：原式=2(1)1aa--=11(1)aaa a----=11aa -+当a=代入11aa-+得：111221231+=++．【点睛】本题考查了整式的化简求值，二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．题型7：复杂的二次根式混合运算275【分析】先把二次根式进行化简，再合并同类二次根式即可求得结果．55==【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．28．计算：(1)；(2)．(1)4(2)【分析】（1）先把括号内的二次根式化简及除法运算，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可；（2）先计算括号内的二次根式的减法运算，再计算二次根式的除法运算，从而可得答案.(1)解：2332332232322322626262626 464(2)解：ab a ab ab a b a ab a ab ab aa ab a ba ab ab a2a ab a bab aa ab a baba b a【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键.292式的性质和二次根式的加减计算法则进行化简即可．2===【点睛】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，分式的化简，二次根式的加减计算，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公式和完全平方公式．30．计算：（1（2）（12．【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式的加减法则进行计算；（2）利用二次根式的乘除法则及分式乘法运算法则进行计算即可．解：（1）原式=4= （2）原式22213a m n m n =+-222133a m n m n=⨯+- )212a m n m n=+-2=2== 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分式的乘法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．题型8：二次根式混合运算的应用31=________．根据长+宽列式，利用二次根式的性质化简，再进行二次根式的加法计算即可．解：这个长方形的长与宽的和．故答案为【点睛】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握二次根式的化简方法．32．解不等式：11)x x +>-2x +＜根据解不等式的步骤解不等式即可．解：去括号，得1x +>，移项、合并同类项，得(11x >- 系数化为1，得x <2x <+【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法和分母有理化，本题的易错点是易忽略10．33．如图是一个简单的数值运算程序，若输入x _________．24x x →→→输入减输出-根据题意可得：程序所代表的代数式为24x -，再由x 1x =，代入即可求解．解：程序所代表的代数式为24x -， ∵x∴1x =，当1x =时，输出的值为21)4314-=--=-故答案为：- 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据程序图得到程序所代表的代数式为24x -是解题的关键． 34．宋代数学家秦九韶，古希腊数字家海伦在探究三角形面积的求解过程中发现，若一个三角形的三边长分别为a ，b ，c ，设1()2p a b c =++，则这个三角形面积为：S =明，这个公式叫海伦秦九韶公式，当4a =，5b =，6c =时，三角形边a 上的高等于（）A B C D A【分析】由题意易得()11522p a b c =++=，则有S a 边上的高为h ，进而问题可求解．解：由题意，得：4a =，5b =，6c =；()11522p a b c ∴=++=；S ∴==；设a 边上的高为h ，则12ah S =，22424s h a∴==故选：A．【点睛】本题主要考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．35．若22248t t---＝2.5，则22248t t-+-的值为_____．325【分析】设224t-=a，将原等式变形后可求得a的值，代入所求式子可得结论．设224t-=a，则24-t2=a2，8-t2=a2-16，∵224t-−28t-=2.5，a-216a-=52，a−52＝216a-，两边同时平方得：(a−52)2＝a2−16，解得：a=89 20，则22248t t-+-，=8920+216a-，=8920+289()1620-，=8920+1521400，=8920+3920，=325，故答案为325．【点睛】本题是二次根式的化简求值问题，利用换元法，将原方程转化为关于a的方程，解方程可解决问题，计算量大，要细心．一、单选题1．下列运算正确的是（）A222B222233=C．333D633=B【分析】根据二次根式的化简、加法与乘除法法则逐项判断即可得．解：A=B==C1>，所以，则此项错误，不符题意；D=故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的运算以及化简，熟练掌握运算法则是解题关键．2．下列等式成立的是（）A=B=C=3C【分析】用二次根式的加减法的法则，二次根式的乘除法的法则对各项进行运算即可．A A不符合题意；B=B不符合题意；C=C符合题意；D=D不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．3）A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间C【分析】由二次根式的性质，二次根式的乘法、加法进行计算，再进无理数的估算即可．==3∵12<<，∴435<+；故选：C【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法、加法运算法则，以及无理数的估算，解题的关键是掌握运算法则进行计算．4．当x=222x x++的值为（）A．14 B．17 C．533D．5+D【分析】将x=解：由题意得：当x=22++=+=+22225x x故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算及求代数式的值，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（）5A．B．-C．2D．2-A【分析】m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可．2，解：∵1m=1，小数部分为n，∴（2m+n）（2m﹣n）=224m n-=)22411⨯-=()431--=故选：A．【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．6）A．0 B．3 CD．不存在B【分析】先根据二次根式有意义，求出xx的增大而增大，则在x取值范围内x取最小值时代入计算，即可求解．则102020xxx-≥⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩，解得：x≥2，∵x的增大而增大，∴当x＝2时，代数式的值最小，1+0+2＝3．故选：B．【点睛】此题考查了函数的最值问题，考查了二次根式的意义．此题难度适中，解题的关键是根据题意求得x的取值范围．7．已知ab11a b+的值为（） A ．﹣B ．C ．﹣D ．A 【分析】先进行通分计算，然后代入求值即可．解：原式＝b a ab ab+＝a bab + 当ab＝﹣故选：A ．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算成为解答本题的关键． 8．若0a <，0b <，化简） A ．(23-b a B ．(23--b a C ．(23-+b a D ．(23+b a C 【分析】a 化简，注意0a <，0b <，最后加减运算即可．解：223,ab a ab =-0a <，0b <，(2223332ab a abb a ∴-=-=-+故选：C ．【点睛】a 是解题关键．9．已知a b =c =a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b c a << A【分析】先把,,a b c再结合2021+20202020+2019,从而可得答案．解：∵a ==，b =，c ==，2021+20202020+2019, ∴.a b c <<故选A ．【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键．10．设12211112a =++，22211123a =++，32211134a =++，……，22111(1)n a n n =+++．其中n 为正整数，则）A ．201920202020 B ．202020202021 C ．202020212021 D ．202120212022D【分析】11(1)n n =++，然后把代数式进行化简，再进行计算，即可得到答案．解：∵n 为正整数，＝21(1)n n n n +++ ＝11(1)n n ++；2021a +＝（1+112⨯）+（1+123⨯）+（1+134⨯）+…+（1+120212022⨯）＝2021+1﹣11111112233420212022+-+-++- ＝2021+1﹣12022 ＝202120212022．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是用裂项法将分数1n(n 1)+化成111n n -+抵消规律求和．二、填空题11=________．33【分析】先根据二次根式的性质化简，同时进行二次根式的乘法运算，然后合并即可．解：原式＝33=故答案为：3本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．12＝ ____．4--4-【分析】根据二次根式的混合运算可进行求解．解：原式=2⎝=31--=4--故答案为4--【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．13，一矩形的长为，若该圆的面积与矩形的面积相等，则矩形的宽为____cm．【分析】园的面积=2rπ，矩形的面积=长×宽，根据圆的面积与矩形的面积相等可得2rπ=长×宽，代入数据即可求解．设矩形的宽为x cm∵圆的面积与矩形的面积相等，∴2rπ=长×宽2π=，解得：x=故答案为：【点睛】本题主要考查了圆的面积与矩形面积得等量代换，熟练地掌握圆的面积公式与矩形的面积公式，根据题意找出等量关系列出等式是解题的关键．14==ab=_________2【分析】运用二次根式化简的法则先化简，再得出a，b的值即可．解：246-==∴== 2.2,1,a b∴=故答案为：2．ab本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式运算法则．15．已知52x =+，52y =-，求下列各式的值：（1）x y +=______；（2）222x xy y -+=______；（3）22x y -=______．25 16 85【分析】（1）把52x =+，52y =-代入x y +进行计算即可；（2）先计算x y -，再把222x xy y -+化为()2x y -，再代入计算即可；（3）把22x y -化为()()x y x y +-，再整体代入计算即可．解：（1）∵52x =+，52y =-，2 5.x y（2）∵52x =+，52y =-， 52524,x y ∴()22222416.x xy y x y -+=-==（3）∵25,x y4,x y -= ∴()()222548 5.x y x y x y -=+-=⨯=故答案为：（1）25；（2）16；（3）85【点睛】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘法运算，掌握“利用完全平方公式与平方差公式进行简便运算”是解本题的关键．16．现有一块长25dm ，宽23dm 的长方形木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是4dm 2和9dm 2的正方形木板？______（填“能”或者“否”）．否根据正方形的面积可以分别求得两个正方形的边长是2dm 和3dm ，然后进行比较相应的边长即可．解：，由于，∴不能够在这块木板上截出两个面积分别是4dm 2和9dm 2的正方形木板．故答案为：否．【点睛】本题考查了二次根式的应用，正确求得每个正方形的边长，并能够正确比较实数的大小是解题的关键．17．对任意的正数a ，b ，定义运算“*”如下：)),*.a b a b a b ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩计算()()3*23*5+的结果为______．【分析】根据新定义，将所给数值代入计算即可．解：∵))*a b a b a b ⎧≥⎪=⎨>⎪⎩， ∴()()3*23*5+==故答案为：【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是读懂新定义的运算法则．180.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a =b =11111S a b =+++，2222211S a b =+++，…，10010010010010011S a b =+++，则12100S S S +++=_______．5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S 2=2，S 100=100，•••，利用规律求解即可．解：a =b =1ab ==∴， 1112211112a b a b a b b b a bS a a ++++=+===+++++++， 222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=⨯=⨯=+++++++， …，10010010010010010010010010010010011100100111a b S a b a b a b +++=+=⨯=+++++∴12100S S S +++=121005050++⋯⋯+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．三、解答题19．计算：﹣(22+（3）（ (1)-5(2)-6【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后化简后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．(1)解：原式））7﹣﹣1=﹣5(2)原式=﹣6．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20．计算：⎛ ⎝-【分析】先化简括号内的二次根式，同步计算后面的分母化，再计算二次根式的除法运算，最后合并同类二次根式即可.解：⎛ ⎝2222326322222222222222=-【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的加减乘除运算的运算法则与混合运算的运算顺序”是解本题的关键.21．计算：)21⎭．-根据二次根式的性质、二次根式的加减混合运算法则计算．解：原式=31-=31231---+=-【点睛】本题考查了二次根式的加减运算、乘法运算，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．22==的值．4 【分析】根据二次根式分母有理化计算即可；2=+2==原式===224=；【点睛】本题主要考查了二次根式分母有理化和乘除运算，准确化简是解题的关键．23-【分析】通分并利用同分母分式的减法法则合并，再利用平方差公式简便计算即可求解．=((1218⨯=-==-【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键．24．已知：11,x y--==，求值：x2﹣y2．先利用分母有理化把二次根式化简，再利用平方差公式分解因式，进而即可求解．解：∵11,x y--==，∴x y====∴x2﹣y2=（x+y）（x-y）=⎝⎭∙535322=【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握负整数指数幂和分母有理化是解题的关键．25．三角形的周长为(cm，面积为(2cm，求：（1）第三边的长；（2）第三边上的高．（1）；（2）()4cm【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案；（2）设第三边上的高为x，列出等式12x⨯，求解即可．解：（1）三角形周长为(cm，∴第三边的长是：(故第三边的长为：；（2）设第三边上的高为x，则12x⨯，解得：x=，故第三边上的高为：()4cm．【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，解题的关键是掌握正确化简二次根式运算法则．26．算即可===本题考查了因式分解，二次根式的加减，将分式的分子因式分解是解题的关键．27先将各项分别化简，再合并同类二次根式．=【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则以及二次根式的性质．28．计算：（1）129+）0115-⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）41a⎫+⎪⎪-⎭．（1）3-；（2【分析】（1）分别计算分数指数幂，零指数幂，负指数幂以及化简二次根式，再算加减法；（2）根据二次根式和分母有理化以及约分进行计算即可．解：（1）)1121915-⎛⎫+- ⎪⎝⎭=(3152+--=3-（2）41a⎫+⎪⎪-⎭=13⎤21-21本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解答此题的关键．29．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a ＝b ＝的大小，我们可以把a 和b 分别平方，∵a 2＝12，b 2＝18，则a 2＜b 2，∴a ＜b ．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c ＝，d ＝c d （填写＞，＜或者＝）．(2)猜想m ＝n ＝(3)＝（直接写出答案）．(1)c >d(2)m <n ，证明过程见解析(3)4或【分析】（1）根据题干中“平方法”比较实数大小；（2）根据题干中“平方法”比较二次根式的大小；（3）根据题干中“平方法”找出21)p =-21)p =+质结合完全平方公式进而开平方分类讨论得出答案．(1)解：∵c 2=32，d 2=28，则c 2>d 2，∴c >d ；故答案为：>．(2)解：猜想：m <n ，证明：∵m ＝n ＝∴m 2=(2 n 2＝(2∴m 2<n 2，∴m <n ；(3)解：∵21)p =-21)p =+11∴p ≥1，分情况讨论：①1≤0，即1≤p ≤2时，原式=2(1+21)，=4；②1>0，即p >2时，原式=21)+21)，综合①②得：当1≤p ≤2时，原式=4；当p >2时，原式故答案为：4或．【点睛】此题考查了实数的大小比较，二次根式的大小比较和化简二次根式，解题的关键是熟练运用题干中“平方法”，第（3）题注意分情况讨论．30．综合与实践：在学习二次根式时，发现一些含有根号的式子可以结合完全平方式化成另一个式子的平方，如：()(2224131211+++=+⨯=+，()2225322-=+--=．1==(1)请你依上述方法将4-(2)(3)=a 、m 、n 均为正整数，则=a ________．(1))211 (2)2(3)5或7【分析】（1）参照题目例子，将4拆分为1和3，把4-转化为2()a b -的形式，即可求解；（2）用（1）中方法把被开方数是无理数的式子依次化简，再进行二次根式的加减运算即可；（3的平方，与a +进行对比即可求出a 值． (1)解：())22243121-=+-=-=，1． (2)解：()2228215532-+-=-===3=132=． (3)解：222()m n m n =+=+=++26a +a 、m 、n 均为正整数，()m n a ∴++=+m n a ∴+=，6mn =，当2m =，3n =或3m =，2n =时，5a m n =+=；当1m =，6n =或6m =，1n =时，7a m n =+=；故答案为：5或7．【点睛】本题考查完全平方公式、二次根式的混合运算，题目较为新颖，能够灵活运用完全平公式对二次根式进行化简是解题的关键．。

二次根式混合运算

当2a b 0时，即2a=b, 原式= a 2a a (1 2) 1 2 2 2 3. a 2a a (1 2) 1 2
1: 先化简，再求值：
（a 1）2 4 （a 1）-2 4
a
a
1 其中a =
，
3
(2)已知 x＋1x＝－3，求 x－1x的值．
解： (2)∵x－1x2＝x＋1x2－4＝(－3)2－4＝5
∴x－1x＝± 5
2.注意到(x－1x)2＝(x＋1x)2－4，可得(x－1x)2＝5，x－1x＝± 5.
1 已知a，b分别是 36 3的整数部分和小数部分，
那么a – 2b 的值是
2 已知 x2+ 3x-1=0，求
；
x2 1x2 2 的值。
二次根式的混合运算是根据实数的运算律进行的.
例3 计算：
(
1)
6-
3 8
×
2；
( 2 )( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ).
解
(1)
6-
3 8
×
2
=
6×
2-
3× 8
2
=
6× 2 -
3× 8
2
=
3× 2× 2 -
3 4
=
2
3-
ห้องสมุดไป่ตู้
3 2
=
(
2-
1) 2
3
=
3 2
3
；
( 2 ) ( 2 + 3 2 )( 1 - 2 ) = 2- 2 2+ 3 2- 3 2× 2 = 2-2 2+ 3 2 -3× 2 = -4 + 2 .
如何计算
2 +1 2 -1

二次根式加减乘除混合运算100道

二次根式加减乘除混合运算100道【原创版】目录1.题目概述2.二次根式的基本概念3.二次根式的加减乘除运算规则4.混合运算的解题技巧5.练习题目及答案正文一、题目概述二次根式加减乘除混合运算是中学数学中的一个重要内容。

这种题目不仅考查学生对二次根式的理解和掌握程度，还考查学生对数学运算规律的应用能力。

本文将为大家介绍二次根式的加减乘除混合运算 100 道题目，帮助大家更好地掌握这一知识点。

二、二次根式的基本概念二次根式是指形如√ax+bx+c（a≠0）的代数式，其中 a、b、c 为常数，x 为未知数。

二次根式的值表示为非负数，即根式的解为 x=(-b±√(b-4ac))/2a。

在实际运算中，我们通常只考虑正根号，即 x=(-b+√(b-4ac))/2a。

三、二次根式的加减乘除运算规则1.加减运算二次根式的加减运算是将同类二次根式合并，即具有相同根式部分的二次根式可以进行加减运算。

例如：√3x+2x+1+√(3x+2x+1)。

2.乘除运算二次根式的乘除运算是将根式中的系数进行乘除运算。

例如：√3x+2x+1 * √(3x+2x+1)/(√3x+2x+1)。

四、混合运算的解题技巧1.先进行乘除运算，再进行加减运算。

2.注意将同类二次根式合并。

3.灵活运用二次根式的性质，如根式的非负性、乘法公式等。

五、练习题目及答案这里列举 100 道二次根式加减乘除混合运算题目，供大家练习。

在实际操作中，可以先自行解答，再对照答案进行检查。

通过大量的练习，相信你会对二次根式的加减乘除混合运算有更深入的理解和掌握。

（此处省略 100 道题目及答案）总之，掌握二次根式的加减乘除混合运算对于解决相关数学问题至关重要。

二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义

内容基本要求略高要求较高要求二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根式的混合运算（不要求分母有理化）板块一二次根式的乘除最简二次根式：a 0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则a b ab 0a ≥，0b ≥）二次根式的除法法则a a bb =（0a ≥，0b >）利用这两个法则时注意a 、b ab a b =a 、b 都非负，否则不成立， (7)(5)(7)(5)-⋅---一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：(x x a b x +=+【例1】 35a -3a +是可以合并的二次根式，则____a =。

【例2】 a ）A ．2aB ．23aC ．3aD ．4a中考要求例题精讲二次根式基本运算、分母有理化【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：【例3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）．【例4】若最简二次根式a2b-的值．a【巩固】若a b，的值是（），为非负数，a a bA．02a b，或11==，D．20====，a b==a b，B．11a b，C．02==a b【例5】已知最简根式a a,b的值（）A．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a a，b为整数，则a=______，b=________；【例6】=的整数解有组.…这1999是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例7】【例8】【巩固】-【例9】3【例10】计算：+【巩固】计算：-【例11】计算：-【巩固】+-【例12】先化简后求值。

二次根式基本运算(根式加减)分母有理化讲义

二次根式基本运算、分母有理化中考要求内容基本要求略高要求较高要求二次根式的理解二次根式的加、减、乘、除运算法则会进行二次根式的化简，会进行二次根化简和运算式的混合运算（不要求分母有理化）例题精讲板块一二次根式的乘除最简二次根式：二次根式 a （ a 0 ）中的 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：⑴ 被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）⑵ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式⑶ 分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．二次根式的乘法法则： a bab （ a 0 ， b 0 ）二次根式的除法法则： a a（ a 0 ，b 0 ）b b利用这两个法则时注意a 、 b 的取值范围，对于aba b ， a 、 b 都非负，否则不成立，如 (7)(5)(7) ( 5)一、二次根式的加减1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式： a x b x (a b) x ．同类二次根式才可加减合并．【例 1】若最简二次根式3a 5 与 a 3 是可以合并的二次根式，则 a ____ 。

【例 2】下列二次根式中，与 a 是可以合并的是（）A ．2a B．3a 2C．a3D． a 4【巩固】判断下列各组二次根式是不是同类二次根式：⑴2x3 y和 2x3 yz ⑵2b和aa 2b⑶27 x和 3xy ⑷ 4 a3 b2 和 a2 b34 y85 5【例 3】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）127 ；48 ；20；1125；1y； y x ．5 2 x x y【例 4】若最简二次根式 a b 2a b与 a 2b 是同类根式，求a2b的值．【巩固】若 a ，b 为非负数， a b 4b 与3a b 是可以合并的二次根式，则 a ，b 的值是（）A ． a 0 ，b 2 B． a 1，b 1 C． a 0，b 2 或 a 1，b 1 D． a 2 ，b 0【例 5】已知最简根式 a2a b与a b 7 是同类二次根式，则满足条件的a ,b 的值（）A ．不存在B．有一组C．有二组D．多于二组【巩固】若a b4与最简二次根式3a b 为同类二次根式，其中a，b为整数，则a ______，b________；b【例 6】方程x y 1998 的整数解有组 .【巩固】在 1 ， 2 ， 3 ，⋯，1999 这 1999 个式子中，与2000 是同类二次根式的共有多少个？2.二次根式的加减【例 7】化简：a26a 9a210a 25【例 8】计算：48 1 2 17527 81 1【巩固】 (3 0.5 4 1.5)( 0.24 4 )2 2【例 9】3x y y x x3 yxy3x y【例 10】计算： 5 2 8 7 18【巩固】计算：1 1 2 12315348 3 3【巩固】计算：2 1 240.5 2 63 8【例 11】计算：8 2 0.251150 2 728 31 1【巩固】(27) (12 45)3 5【例 12】先化简后求值。

根式的运算法则含根式的运算法则

根式的运算法则含根式的运算法则一：[根式的运算法则]二次根式的运算知识点总结一、因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面．反之，也可以将根号外面的正因式，平方后移到根号里面去。

二、有理化因式与分母有理化：两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式。

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

三、二次根式运算法则：（1）加法法则（合并同类二次根式）；（2）乘、除法法则。

四、有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算。

常见考法二次根式的运算是中考命题的热点，二次根式的运算在中考中多以混合运算为主，解决时，我们还要与分母有理化以及各运算法则，公式相结合。

题型既有选择填空，也有计算解答。

误区提醒二：[根式的运算法则]3.二次根式的运算3.二次根式的运算★★★二次根式的加法和减法★★★整式的加减归结为合并同类项. 二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式.要点解析1.二次根式的加减实际上就是合并同类二次根式，因此在进行二次根式加减时，化简二次根式和合并同类二次根式是关键.不是同类二次根式不能合并，如就是最简结果，不能再合并.2.有理数的交换律、结合律都适用于二次根式运算.二次根式的乘法法则★★★ 两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变.要点解析1.法则用数学式子表示，即：.它是将积的算术平方根性质逆用得到的.2.根据这一法则可以对二次根式进行恒等变形，或将根号内的因式变形后移到根号外，或将根号外面的非负因式平方后移到根号内.3.乘法交换律、结合律、分配律在二次根式中仍然适用，适当地应用运算律有时会简化计算；4.法则可推广,如：.二次根式的除法法则★★★ 两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变.要点解析1.法则用数学式子表示，即：.它是将商的算术平方根性质逆用得到的.2.二次根式的混合运算顺序与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的.3.二次根式运算的结果必须化为最简根式.三：[根式的运算法则]★初二数学根式及其运算专题复习初二数学根式及其运算专题复习二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为__2＜0，1__＜0，所以原式=2__+__1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(__4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以__4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a ＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)。

洋葱数学二次根式混合运算

洋葱数学二次根式混合运算哎呀，今天咱们聊聊二次根式混合运算，听起来有点复杂对吧？其实没啥好怕的，就像吃洋葱，剥开外皮，里面是个宝贝，越往里越香。

先说说啥是二次根式。

简单来说，二次根式就是开平方的意思。

比如说，√4 等于2，√9 等于3。

没错，就是这么简单。

不过，千万别小看这些根式，它们可是数学世界的小明星，跟我们的生活息息相关。

想象一下，咱们走进了一个神秘的数学王国，那里有各种各样的根式在跳舞。

哎呀，看到这些根式，小伙伴们一定得小心，不然会被它们迷了眼。

这些根式会跟数字一起出场，形成一场精彩的“混合运算”。

比如说，√4 + √9，这个就好理解了。

简单加起来就是 2 + 3，结果是 5。

是不是很简单？就像一杯果汁，水果切好了，放进榨汁机，喝上一口，清爽又好喝。

不过，混合运算可不止这些。

要是遇到√4 √9，大家也不要慌。

哎呀，这不就是2 3，结果是 1。

哇，结果竟然是负数，真是让人意外。

就像生活中，有时候好事坏事交替出现，没准今天刚开心，明天就遇上了点小麻烦。

不过，不管怎样，咱们都得勇敢面对，继续前行。

然后，我们再来看点更复杂的，比如说√(4 + 9)。

先算括号里的，4 + 9 等于 13，接着开平方，√13。

这个√13 就是咱们的最终结果，没法再简化了。

就像去旅行，虽然路途坎坷，但看到美丽的风景，那一刻一切都值得。

搞定这些根式，咱们就像数学界的“老司机”，开车畅通无阻。

有时候混合运算还会涉及到乘法和除法。

比如说，√4 × √9，大家都知道√4 是2，√9 是 3，乘起来就是 6。

这么简单，简直就像是炒鸡蛋，热锅冷油，迅速搞定。

还有就是√(4/9)，这个稍微复杂点儿，但其实也不难，先开平方，得到 2/3，简单又明了。

对了，大家有没有发现，根式和分数的结合也很有趣？比如√(1/4)，这个就是开平方，结果是1/2。

就像人生中的平衡，一边是甜，一边是苦，咱们得学会把它们调和，才能活得更加精彩。

混合运算的过程中，有时候可能会遇到根式的加减乘除，这就像在厨房里做饭，调味料加多了，味道就变了。

初中数学二次根式的运算(含解析)

初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1）（2【难度】2星【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ；当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点：（1）整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2）多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -；（4）3+【巩固】（1）（2（3）（4）3ab （0,0a b ≥≥）【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+；（2）1；（3）（4）a -．【例6】解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值．【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三二次根式的化简求值【例7】（2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =．【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】（2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =．【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =．【难度】2星【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=．【答案】36【例10】已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值．【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值．【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果．原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是．（用“＞”表示）【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于．【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察．【答案】1【例18】如果2y =，则2x y += ．【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察．解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=．【答案】5【例19】当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-．【答案】2-【例20】已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值．【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（）．A 2B C D【难度】1星【解析】因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2）【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简【难度】1星【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -．原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。

二次根式的加减乘除运算

二次根式的加减乘除运算一、基本知识1.同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式。

2.二次根式的加减运算：步骤为，去括号；化为最简二次根式；合并同类二次根式.3.二次根式的乘除法运算: 运用公式a b ab（a ≥0，b ≥0)a a bb(a ≥0，b ＞0)进行计算。

注意上面两个公式与“abab、aa bb”的区别。

运算中还经常用到这两个公式:2a=a (a ≥0）2a = 0a a二、训练题（一)二次根式的加减1. 下列根式中,与3是同类二次根式的是（）A 。

24 B.12 C。

32D.182。

与3a b 不是同类二次根式的是（ ) A 。

2ab B.b aC.1abD 。

3b a3。

下列式子中正确的是（）A 。

527 B.22aba bC. a x b x a b xD. 68343224. 若12x，则224421xxxx 化简的结果是（）A 。

21x B. 21x C. 3 D。

-35。

若2182102x x xx，则x 的值等于（）A. 4 B。

2 C. 2 D 。

46. 在8,12,18,20中,与2是同类二次根式的是 .7.三角形的三边长分别为8,12,18cm cm cm ，则周长是 cm 。

8.最简二次根式125a a 与34b a 是同类二次根式,则___,___a b 。

9。

已知32,32x y，则33_____x y xy。

10.已知33x，则21__xx .11.200020013232___?。

12。

计算：11221231548333148542331327437433512211aaaa13。

已知：1110aa,求221aa的值。

（二）二次根式的乘除1。

当0a,0b时,3__ab。

2。

计算：23____;369____。

3. 计算：483273______。

4．ba ab 182______；222425______．5．计算：b a 10253__________．6．计算：2216ac b =______．7.对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（） A 。

含有根号的混合计算题

含有根号的混合计算题
对于二次根式加减，咱们可以把含有根号的部分看作字母，把根号前面的数字部分看成系数，把根号里面含有相同式子的项看作同类项，可以合并，根号里面的式子不相同的项不能合并，例如，3倍的根号2加上2倍的根号2，可以合并，结果等于5倍的根号2，而3倍的根号2加上2倍的根号3，就不能合并，结果还是其本身。

对于其它运算，如乘法，除法等等，以前所学的运算律都适用。

下面通过例题讲解二次根式综合化简中的难点问题。

第1题分析：本题考查二次根式运算中多项除以单项的问题，这和多项式除以单项式一样的运算方法，即多项中每一项都除以
单项即可，单个二次根式相除时，根号外的数字相除，根号内的数字相除。

第2题分析：在加减乘除混合运算中，一定要遵从先乘除后加减的原则，同时注意符号问题，例如第二项（红色部分）是一个整体，前面有一个负号，不熟练的情况下，在计算过程中，第二项化简得出的式子最好先加上括号，然后再去括号；第三项（蓝色部分）是二次根式相乘，系数－1/36和－2相乘，根号27和根号6相乘。

在这儿讲一点儿根号运算的技巧，当两个或两个以上的根号相乘除时，里面的数字比较大时，不要直接把数字相乘除，因为直接计算得到的数字会更大，不利于观察化简，可以使用下面的方法，以第2题中某些计算为例来说明：
第3题分析：当需要化简的分母是二次根式两项的和时，一般都是使用平方差公式对分母进行有理化，如红色式子，只需要分子分母同时乘以根号3减1即可；再如蓝色式子，它实际上也是一个分数，分子分母同时乘以2减根号3即可；同时要注意红色式子的前面是一个减号，分母有理化后不要忘了加上括号。

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根式混合运算

根式混合运算
根式混合运算是指在一个算式中同时包含有整数、分数和根号的运算。

以下是几个根式混合运算的例子：
1. 简化根式：对于给定的根号表达式，将其简化为最简形式。

例如，简化根式√8 = 2√2。

2. 求根式的和或差：对于给定的两个根号表达式，求其和或差。

例如，计算√3 + √5 或√7 - √2。

3. 求根式的积或商：对于给定的两个根号表达式，求其积或商。

例如，计算√2 × √3 或√10 ÷ √2。

4. 求根式的幂次：对于给定的根号表达式，求其幂次。

例如，计算(√5)²。

需要注意的是，在进行根式混合运算时，有时需要先进行运算的优先级，例如先进行根号内的运算，再进行乘除法和加减法。

根式的运算技巧

平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。

2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a”（a称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3≥0有意义的条件是a≥0。

4、公式：⑴2=a（a≥0（a取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（）．A ．2B ．±2C ．4D ．±42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．4、327= ， 64-的立方根是；5、7的平方根为，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4）31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。