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指数函数幂函数对数函数的比较

指数函数幂函数对数函数的比较1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊一些数学里的“明星”——指数函数、幂函数和对数函数。

这三位可不是普通的数学函数，它们在生活中扮演着重要的角色，像是在演一场大戏，各自有各自的风格和特点。

别看它们名字听起来很高大上，其实咱们可以用简单易懂的方式来理解它们，今天就让我们轻松愉快地把这些数学概念捋一捋！2. 指数函数的魅力2.1 指数函数是什么先来看看指数函数，简单来说，它的形式就是 ( f(x) = a^x )，其中 ( a ) 是一个正数，比如 2、3、甚至更大。

这个函数的特征就是，随着 ( x ) 的增加，函数值会迅速飞涨，简直就像是火箭发射！想象一下，当你用 ( a=2 ) 时，( x ) 从 1 增加到 10，结果就从 2 跑到了 1024，哇哦，真是个“数”字飞人！2.2 日常应用这玩意儿在哪用呢？比如说，利息计算就是个典型的例子。

银行给你存款利息，随着时间的推移，利息就像坐上了直升机，飞速增长。

这让人觉得，哦，时间就是金钱，没错！而且在科学和工程领域，指数函数也经常被用到，比如放射性衰变、人口增长等，简直无处不在。

3. 幂函数的风采3.1 幂函数是什么再说说幂函数，它的形式是 ( f(x) = x^n )，其中 ( n ) 是个常数。

你可以把它想象成在做一些小型的数学“杂技”，当 ( n ) 是正整数时，随着 ( x ) 的增加，函数值也是在慢慢上涨，但没那么快。

就像爬山一样，虽然一路上坡，但总有些缓冲。

3.2 常见场景幂函数在生活中也常常见到，比如说，物体的体积和边长的关系就是个典型的例子。

如果你有一个立方体，边长增加一倍，体积可是翻了八倍哦，真是让人惊掉下巴！而且在物理学中，许多公式，比如牛顿的引力定律，也都涉及到幂函数的运算，可以说是非常“靠谱”的小伙伴。

4. 对数函数的智慧4.1 对数函数是什么接下来我们要聊的是对数函数，形式为 ( f(x) = log_a(x) )。

对数指数幂函数比大小技巧

对数指数幂函数比大小技巧1. 定义对数指数幂函数是由幂函数、指数函数和对数函数组合而成的一类特殊函数。

它们在数学中具有重要的应用，尤其在比较大小时，可以通过一些技巧简化计算。

常见的对数指数幂函数包括：•幂函数y=ax b，其中a和b是常数，x是变量。

•指数函数y=a x，其中a是常数，x是变量。

•对数函数y=log a(x)，其中a是底数，x是变量。

2. 用途对数指数幂函数比大小技巧主要用于比较各种复杂的函数关系。

通过转换为对数或指数形式，可以简化计算过程，并更容易理解和分析问题。

这些技巧在实际应用中具有广泛的应用场景，例如：•经济学中的边际效益分析：通过比较两个变量之间的增长率来确定最优决策。

•物理学中的衰减和增长模型：通过比较指数衰减或增长速度来预测系统行为。

•生物学中的生长模型：通过比较不同生物体的增长率来研究种群动态。

3. 工作方式对数指数幂函数比大小技巧的工作方式主要包括以下几个步骤：步骤1：转换为对数或指数形式首先，将需要比较的函数转换为对数或指数形式。

这可以通过以下公式实现：•对数形式：y=log a(f(x))•指数形式：y=a f(x)其中，f(x)是原始函数。

步骤2：确定底数和指数根据具体情况，确定底数和指数的取值。

通常情况下，选择底数和指数使得计算更加简单，并且能够满足问题的要求。

步骤3：比较大小通过比较转换后的对数或指数形式，确定原始函数之间的大小关系。

•对于两个对数形式y1=log a(f(x1))和y2=log a(f(x2))，若x1<x2，则y1<y2。

•对于两个指数形式y1=a f(x1)和y2=a f(x2)，若x1<x2，则y1<y2。

步骤4：反向转换根据比较结果，可以将对数或指数形式重新转换为原始函数形式，得到最终的大小关系。

4. 示例以下是一些常见的对数指数幂函数比大小技巧的示例：示例1：比较幂函数和指数函数考虑两个函数y1=2x和y2=3x2，我们想要比较它们之间的大小关系。

指数函数对数函数幂函数比较大小

指数函数对数函数幂函数比较大小
1.指数函数比对数函数大：
指数函数 y=2^x （x 是正实数）增长速度非常快，因为它主要是在
增加底数，例如 2 的 x 次方在 x=10 时是 1024，而在 x=20 时是
1,048,576。

相反，对数函数 y=log2(x) 的增长速度非常缓慢，它只是寻
找 x 的幂次，使得给定底数 2 的该幂次等于 x。

因此，当 x 趋近于无
穷大时，指数函数比对数函数大得多。

2.幂函数与指数函数比对数函数大：
幂函数y=x^n（n是正整数）增长速度会随着n增大而变得非常快。

但是，它在不同的x值上增长的速度可能会有所不同。

相反，指数函数
y=b^x的增长速度只与指数的大小有关，而与底数b或x的值无关。

因此，在x趋近于无穷大时，指数函数比幂函数大。

综上所述，在大多数情况下，指数函数比对数函数和幂函数都要大。

指数对数比较大小六方法

“六法”比较指数幂大小对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．1．转化法例1 比较12(3-+与231)的大小．解：∵2231)1)-+==，∴11222(31)]1---+==．又∵011<<，∴函数1)x y =在定义域R 上是减函数．2311)<，即2132(31)-+<．评注：在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．２．图象法例2 比较0.7a 与0.8a的大小．解：设函数0.7x y =与0.8x y =，则这两个函数的图象关系如图．当x a =，且0a >时，0.80.7a a >；当x a =，且0a <时，0.80.7a a <；当0x a ==时，0.80.7a a =．评注：对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．3．媒介法例3 比较124.1-，345.6，1313⎛⎫- ⎪⎝⎭的大小．解：∵1313004215.6 5.61 4.1 4.103-⎛⎫>==>>>- ⎪⎝⎭，∴13134215.6 4.13-⎛⎫>>- ⎪⎝⎭．评注：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．４．作商法例４比较a b a b 与b aa b （0a b >>）的大小．解：∵a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又∵0a b >>，∴1a b>，0a b ->． ∴1a b a b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，即1a b b a a b a b>．∴a b b a a b a b >．评注：当底数与指数都不同，中间量又不好找时，可采用作商比较法，即对两值作商，根据其值与1的大小关系，从而确定所比值的大小．当然一般情况下，这两个值最好都是正数．5．作差法例5 设0m n >>，0a >，且1a ≠，试比较m m a a-+与n n a a -+的大小．解：()()m m n n m m n n a a a a a a a a ----+-+=+--()()m n m n a a a a --=-+-(1)(1)(1)()n m n m m n m n n m a a a a a a a -----=-+-=--．（1）当1a >时，∵0m n ->，∴10m n a-->．又∵1n a >，1m a-<，从而0n m a a -->． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．（2）当01a <<时，∵1m n a-<，即10m n a --<．又∵0m n >>，∴1n a <，1m a->，故0n m a a -<． ∴(1)()0m n n m a a a ---->．∴m m n n a a a a --+>+．综上所述，m m n n a a a a --+>+．评注：作差比较法是比较两个数值大小的最常用的方法，即对两值作差，看其值是正还是负，从而确定所比值的大小．6．分类讨论法例6 比较221x a +与22x a +（0a >，且1a ≠）的大小．分析：解答此题既要讨论幂指数221x +与22x +的大小关系，又要讨论底数a 与１的大小关系．解：（１）令22212x x +>+，得1x >，或1x <-．①当1a >时，由22212x x +>+，从而有22212x x a a ++>；②当01a <<时，22212x x aa ++<．（2）令22212x x +=+，得1x =±，22212x x aa ++=．（3）令22212x x +<+，得11x -<<．①当1a >时，由22212x x +<+，从而有22212x x a a ++<；②当01a <<时，22212x x a a ++>．评注：分类讨论是一种重要的数学方法，运用分类讨论法时，首先要确定分类的标准，涉及到指数函数问题时，通常将底数与1的大小关系作为分类标准．。

指、对、幂的大小比较

指、对、幂的大小比较【考试提醒】指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．【核心题型】题型一　直接法比较大小利用特殊值作“中间量”在指数、对数中通常可优先选择“-1,0，12，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 23，可知1=log 22<log 23<log 24=2，进而可估计log 23是一个1~2之间的小数，从而便于比较．命题点1　利用函数的性质1(2024·全国·模拟预测)已知a =30.6，b =log 25，c =log 323，则实数a ，b ，c 的大小关系是()A.b >a >cB.a >b >cC.b >c >aD.a >c >b【答案】A【分析】利用指数函数单调性可得32<a =30.6<2、对数函数的单调性可得b =log 25>2，c =log 323<32，从而可得结果.【详解】由y =3x 在R 上单调递增，可得30.6>30.5=3>32，又30.6 5=27<25=32，则32<a =30.6<2．由y =log 2x 在0,+∞ 上单调递增，可得b =log 25>log 24=2．由y =log 3x 在0,+∞ 上单调递增，可得c =log 323<log 333=32．所以b >a >c ，故选：A 【变式训练】1(2024·四川德阳·二模)已知a =4ln3π,b =3π,c =4lnπ3，则a ,b ,c 的大小关系是()A.c <b <aB.b <c <aC.b <a <cD.a 0,f (x )单调递增，当x ∈(e ,+∞)时，f (x )<0,f (x )单调递减，因为π>3>e ，所以f (π)<f (3)，即lnππ<ln33，所以3lnπ<πln3，即4×3lnπ<4πln3，即c <a ；又lnπ>ln e =1，所以3π<3×4<4×3lnπ，即b <c ；综上，b <c <a .故选：B .2(2023·甘肃平凉·模拟预测)已知幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，设a =f m ,b =f n ,c =f ln2 ，则a 、b 、c 的大小用小于号连接为．【答案】c <a <b【分析】首先求出幂函数的解析式，再利用其单调性即可比较大小.【详解】幂函数f x =mx n 的图象过点2,22 ，则m =1m (2n )=22⇒m =1,n =3，所以幂函数的解析式为f x =x 3，且函数f x 为单调递增函数，又ln2<1<3，所以f (ln2)<f (1)<f (3)，即c <a 2，再利用导数探讨单调性比较大小作答.【详解】依题意，c =32+23=log 222+log 222，而a =log 23+log 32,b =log 2e +ln2，令函数f x =log 2x +log x 2=ln x ln2+ln2ln x ,x >2，求导得f(x )=1x ln2-ln2x (ln x )2=(ln x )2-(ln2)2(x ln2)(ln x )2>0，因此函数f (x )在(2,+∞)上单调递增，而2<e <22<3，于是f (e )<f (22)<f (3)，又a =f (3),b =f (e ),c =f (22)，所以b <c <a .故答案为：b ；c ；a 命题点2　找中间值1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a =ln5，b =log 35，c =5-0.3，则()A.b <c <aB.c <a <bC.c b =log 35>1，c =5-0.3<1，所以c log 34>1，利用换底公式可判断a 1，进而得出结果.【详解】由题得a =log 53=1log 35,b =log 43=1log 34，而log 35>log 34>1，所以a 0.40=1，所以a 20=1，sin 32<1，log 213=-log 23<0.所以213最大.故选：B3(2024·北京石景山·一模)设a =20.3，b =sin π12，c =ln2，则()A.c 20=1，b =sin π12<sin π6=12，而e <2<e ，则12<ln2<1，即12<c <1，所以b <c <a .故选：B 命题点3　特殊值法1(2024·全国·模拟预测)若log a b >1，则下列不等式一定成立的是()A.a >b B.ab <a +b -1C.a +1b>b +1a D.a -1b1，分类讨论0<a <1和a >1可判断A ，B ；取特值可判断C ；根据y =x +1x的单调性可判断D .【详解】因为log a b >1，所以log a b >log a a ，当0<a <1时，解得01时，解得1<a 0，即ab >a +b -1，A ，B 错误.当a =2,b =3时，a +1bab >b 2B.若a cb D.若0<a 2ab【答案】AC【分析】对A 和C 利用不等式性质即可判断，对B 和D 举反例即可反驳.【详解】对A ，因为a ab ，两边同乘b 得ab >b 2，则a 2>ab >b 2，故A 正确；对B ，当c =0时，ac 2=bc 2，故B 错误；对C ，因为0<a 1b ，又因为c >0，所以c a >cb，故C 正确；对D ，举例a =2,b =8，则2a +b 2=2×2+82=8，而2ab =22×8=8，此时两者相等，故D 错误.故选：AC .2(多选)(2023·全国·模拟预测)下列说法正确的有()A.若0<a <1，则ln a +1ln a≤-2 B.若lg a <lg b ，则a 20D.若2a <2b a ,b ∈N * ，则a -b ≤-1【答案】ABD【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.【详解】选项A ：当0<a <1时，ln a <0,-ln a +1-ln a≥2，所以ln a +1ln a ≤-2，当且仅当ln a =1ln a ，即a =1e时等号成立，故选项A 正确；选项B ：由lg a <lg b 得0<a 0不成立，故选项C 错误；选项D ：由2a <2b 得a <b ，因为a ,b ∈N *，所以a +1≤b ，所以a -b ≤-1，故选项D 正确．故选：ABD .3(2024·上海静安·二模)在下列关于实数a 、b 的四个不等式中，恒成立的是．(请填入全部正确的序号)①a +b ≥2ab ；②a +b 22≥ab ；③|a |-|b |≤|a -b |；④a 2+b 2≥2b -1．【答案】②③④【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证|a |-|b |≤|a -b |即证2a b ≥2ab 可判断③.【详解】对于①，取a =-1,b =1，故①错误；对于②，a +b 2 2-ab =a 2+b 2+2ab -4ab 4=a 2+b 2-2ab 4=a -b 2 2≥0，故②正确；对于③，当a ≥b ，要证|a |-|b |≤|a -b |，即证a -b 2≤a -b 2，即a |2+ b |2-2a b ≤a 2+b 2-2ab ，即证2a b ≥2ab ，而2a b ≥2ab 恒成立，当a <b 时，a -b 0,a -b 0，所以|a |-|b |≤|a -b |，故③正确.对于④，a 2+b 2-2b +1=a 2+b -1 2≥0，所以a 2+b 2≥2b -1，故④正确.故答案为：②③④.题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小求同存异法比较大小如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．1(2024·天津·一模)已知a=30.3，b=log43，c=12-0.3，则a，b，c的大小关系为()A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b【答案】B【分析】由幂函数和对数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为0=log41<b=log43<log44=1，c=12-0.3=20.3>1，a=30.3>1，因为y=x0.3在0,+∞上单调递增，所以20.3<30.3，所以b<c<a.故选：B【变式训练】1(2024·陕西西安·模拟预测)已知a=π-0.2,b=log3π,c=sin π5，则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a【答案】C【分析】根据指数函数的性质判断a的范围，利用指数函数、幂函数以及正弦函数的单调性可比较a,c的大小关系，结合b的范围，即可判断出答案.【详解】由题意得a=π-0.2<π0=1，且a=π-0.2>4-0.2=2-0.4>2-0.5=22=sinπ4>sinπ5=c，又b=log3π>1，故c<a<b，故选：C2(2024·广东肇庆·模拟预测)已知a=1.013.2,b=0.523.2,c=log0.523.2，则() A.a>b>c B.c>b>a C.c>a>b D.b>a>c 【答案】A【分析】利用幂函数和对数函数的性质来判断即可.【详解】幂函数y=x3.2在0,+∞上单调递增，故a=1.013.2>0.523.2=b>0，又c=log0.523.2<log0.521=0，所以a>b>c.故选：A.3(2024·四川攀枝花·二模)若a=323,b=log3e,c=1e-13，则()A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a 【答案】A【分析】利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小即可.【详解】易知y =x 13在0,+∞ 上单调递增，则3 23=313>e 13=1e-13，即a >c ，而由y =a xa >1 单调递增，得313>30=1,e 13>e 0=1，即a >c >1，又y =log 3x 单调递增，故1=log 33>b =log 3e ,则a >c >1>b .故选：A题型三　构造函数比较大小某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．1(2024高三·全国·专题练习)若a =1.1,b =ln1110e ，c =e 0.1，则a ,b ,c 的大小关系为()A.b <a <cB.a 1时,m (x )=1x -1<0,m x 在1,+∞ 单调递减，当0<x <1时，m(x )>0,m x 在0,1 单调递增，故当m (x )≤m 1 =0，故ln x ≤x -1,当且仅当x =1时取等号，当x >0,n x =e x -1>0⇒x >0,n x 在0,+∞ 单调递增，当n x =e x -1<0⇒x <0,n x 在-∞,0 单调递减，所以n (x )≥n (0)=0，故e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，所以b =ln 1110e =ln 1110+1<1.1，故b <a ．e 0.1>1.1，故a <c 因此b <a <c ，故选：A【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：(1)结合函数性质进行比较；(2)利用特殊值进行估计，再进行间接比较；(3)根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小【变式训练】1(2024·辽宁·二模)若a =1.01+sin0.01,b =1+ln1.01,c =e 0.01，则()A.b >c >aB.a >c >bC.c >b >aD.c >a >b【答案】B【分析】通过构造函数f (x )=1+x +sin x -e x ，利用导数与函数单调性间的关系，得到f (x )=1+x +sin x-e x 在区间0,12上单调递增，从而得出c <a ，构造函数G (x )=e x -ln (x +1)-1，利用导数与函数单调性间的关系，得到G (x )=e x -ln (x +1)-1在区间0,1 上单调递增，从而得出b <c ，即可得出结果.【详解】令f (x )=1+x +sin x -e x ，则f (x )=1+cos x -e x ，令h (x )=1+cos x -e x ，则h (x )=-sin x -e x <0在区间0,12上恒成立，即f(x )在区间0,12 上单调递减，又f 12 =1+cos 12-e 12>1+cos π6-e 12=1+32-e 12，而1+32 2=1+34+3>e ，所以f 12 =1+32-e 12>0，即f (x )=1+x +sin x -e x 在区间0,12上单调递增，所以f (0)<f (0.01)，得到0<1.01+sin0.01-e 0.01，即e 0.01<1.01+sin0.01，所以c <a ，令G (x )=e x -ln (x +1)-1，则G (x )=e x -1x +1，当x ∈(0,1)时，G (x )>0，即G (x )=e x -ln (x +1)-1在区间0,1 上单调递增，所以G (0)<G (0.01)，得到0<e 0.01-ln1.01-1，即1+ln1.01<e 0.01，所以b <c ，综上所述，b <c <a ，故选：B .【点睛】关键点点晴：通过构造函数f (x )=1+x +sin x -e x 和G (x )=e x -ln (x +1)-1，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题.2(2023·辽宁·模拟预测)已知a =1e1e,b =ln22 ln22,c =ln33ln33，试比较a ,b ,c 的大小关系()A.a 0 ⇒fx =1-ln x x 2，当x >e 时，f x <0，f x 单调递减，所以有f e >f 3 >f 4 ，因为1e =ln e e ,ln22=2ln24=ln44，所以1e >ln33>ln44，设g x =x x (x >0)⇒ln g x =x ln x ，设y =x ln x ⇒y =ln x +1，当0<x <1e 时，y <0，函数y =x ln x 单调递减，因为1e >ln33>ln44>0，所以ln g 1e <ln g ln33 <ln g ln44，因为函数y =ln x 是正实数集上的增函数，故g 1e <g ln33 <g ln44，即1e 1e <ln33 ln33<ln44 ln44=ln22 ln22，所以a <c <b ，故选：C【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题的关键3(2023·湖南·模拟预测)设a =52-ln5 e2，b =1e ，c =ln44，则a ，b ，c 的大小顺序为()A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c 【答案】A【分析】根据a、b、c的结构，构造函数f x =ln xx，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案．【详解】因为a=5(2-ln5)e2=ln e25e25，b=1e=ln ee，c=ln44故构造函数f x =ln xx，则fx =1-ln xx2，令f x =1-ln xx2=0，解得x=e，当x∈0，e时，f x >0，f x 在0，e上单调递增，当x∈e，+∞时，f x <0，f x 在e，+∞上单调递减，又因为a=fe25，b=f e ，c=f4所以a<b，c<b．因为c=f4 =ln44=ln22=f2 ，又e25<2<e，所以fe25<f2 ，即c>a，故a<c<b，故选：A．【课后强化】基础保分练一、单选题1(2024·天津·二模)若a=log131.9，b=log215.8，c=22.01，则a，b，c的大小关系为()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法求解即可.【详解】a=log131.9<log131=0，0=log21<b=log215.8<log216=4，c=22.01>22=4，所以c>b>a.故选：B.2(2024·北京顺义·二模)已知a=log42，b=12e，c=π12，则()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b 【答案】D【分析】利用换底公式计算a，利用指数函数单调性判断b，c即可得答案.【详解】因为a=log42=log22log24=12，b=12e<12 2=14，c=π12>π0=1，所以c>a>b.故选：D3(2024·全国·模拟预测)若a =2π2，b =π2 2，c =log π2cos π5，则()A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.b >c >a【答案】A【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性比较大小．【详解】由0<cos π5<1，则c =log π2cos π5<0，又a =2π2>232=2 3=22>2.828，且0b >c ．故选：A ．4(2024·全国·模拟预测)若a =log 83,b =0.132,c =ln cos 22023 ，则下列大小关系正确的是()A.b <a <cB.c <a <bC.a <b <cD.c <b <a【答案】D【分析】利用指数函数，对数函数及幂函数的单调性可比较a 与1和12，b 与0和12的大小，后利用0<cos 22023<1结合对数函数单调性，可比较c 与0的大小，即可得答案.【详解】因对数函数y =log 8x 在0,+∞ 上单调递增，则log 88=12<log 83<log 88=1，即12<a <1．因指数函数y =110x 在R 上单调递减，幂函数y =x 13在R 上单调递增，则0<0.132=110 32<110 13<18 13=12，即0bB.a -12>b-12C.log 1ea <log 1ebD.e 1a>e1b【答案】AC【分析】利用导数证明sin x <x ,x >0，利用不等式的性质，结合函数y =x +ln x 的单调性可得b <a ，再逐项判断即可得解.【详解】令函数f (x )=x -sin x ,x >0，求导得f x =1-cos x ≥0，函数f (x )在(0,+∞)上递增，f (x )>f (0)=0，即当x >0时，sin x <x ，则当a >0时，sin a <a ，于是b +ln b =sin a +ln a <a +ln a ，而函数y =x +ln x 在(0,+∞)上递增，因此a >b >0，对于A ，2a >a >b ，A 正确；对于B ，函数y =x-12在(0,+∞)上递减，则a -120，b>0，且a+b=2，则()A.a2+b2≥2B.14<2a-b<4 C.log2a+log2b≥0 D.a2-b>0【答案】AB【分析】根据基本不等式可判定A，根据指数函数的单调性可判定B，根据基本不等式、对数运算及对数函数单调性可判断C，根据二次函数的性质可判断D.【详解】∵a>0，b>0，且a+b=2，∴a2+b2≥a+b22=2，当且仅当a=b=1时取等号，故A正确.∵a>0，b>0，且a+b=2，∴0<a<2，0<b<2，∴-2<a-b<2，∴14<2a-b<4，故B正确.由2=a+b≥2ab，得0<ab≤1，当且仅当a=b=1时取等号，∴log2a+log2b=log2ab≤log21=0，故C错误.∵a2-b=a2-2-a=a+1 22-94，又0<a<2，∴-2<a2-b<4，故D错误.故选：AB.三、填空题7(2023·吉林长春·模拟预测)已知a=log3322，b=22-33，c=ln1e，则a，b，c的大小关系为．【答案】c<a<b【分析】由对数函数及指数函数单调性得到a∈0,1，b>1，c=-12，从而得到大小关系.【详解】因为y=log33x在0,+∞上单调递减，1>22>33，故a=log3322<log3333=1且a=log3322>log331=0，所以a∈0,1，因为y=22x在R上单调递减，-33<0，所以b=22-33>22 0=1，c=ln1e=ln e-12=-12，故c<a<b.故答案为：c<a<b8(2023·全国·模拟预测)已知a=ln3，b=log113，现有如下说法：①a<2b；②a+b>3ab；③b-a<-ab.则正确的说法有.(横线上填写正确命题的序号)【答案】②③【分析】根据对数的运算法则及对数函数的性质判断即可.【详解】因为a=ln3>0，b=log113>0，所以a=ln3=log e3，2b=2log113=log113<log e3=a，所以a>2b，故①错误；1 a +1b=log3e+log311=log311e>log327=3，所以a+b>3ab，故②正确；1a -1b=log 3e -log 311=log 3e 11<log 313=-1，所以b -a <-ab ，故③正确.故答案为：②③四、解答题9(22-23高三·全国·对口高考)(1)比较a a b b 与b a a b (a >0,b >0)的大小；(2)已知a >2，比较log (a -1)a 与log a (a +1)大小【答案】(1)a a b b ≥b a a b ；(2)log (a -1)a >log a (a +1)【分析】(1)利用作商法，分类讨论即可；(2)利用做差法、换底公式以及不等式的性质分析即可.【详解】(1)因为a >0,b >0，所以a a b b b a ab =a b a -b，所以①当a =b >0时，a a b b b a ab =a b a -b=1，所以a a b b =b a a b ，②当a >b >0时，ab>1,a -b >0，即a ba -b>1，所以a a b b >b a a b ，③当b >a >0时，0<ab<1,a -b <0，即a ba -b>1，所以a a b b >b a a b ，综上所述：当a >0,b >0，a a b b ≥b a a b .(2)log (a -1)a -log a (a +1)=lg alg a -1-lg a +1 lg a =lg 2a -lg a +1 lg a -1 lg a lg a -1 ，因为a >2，所以lg a +1 >0,lg a -1 >0,lg a >0，所以lg a lg a -1 >0，由lg a +1 lg a -1 <lg a -1 +lg a +1 22=lg a 2-1 22<lg a 222=lg 2a ，所以lg 2a -lg a +1 lg a -1 >0，所以lg 2a -lg a +1 lg a -1 lg a lg a -1 >0，即log (a -1)a -log a (a +1)>0，故log (a -1)a >log a (a +1).10(2020高三·上海·专题练习)设a >5-12，且a ≠1，记x =log a 2 ,y =log a +12,z =log a +22，试比较x ,y ,z 的大小.【答案】x>y>z【分析】根据对数函数的性质，由1<5+12<a+1<a+2，先得到log a+12>log a+22；再分别讨论5-12<a<1，a>1两种情况，得到x>y，即可得出结果.【详解】因为a>5-12，所以1<5+12<a+1<a+2，根据对数函数的性质可得：log a+12>log a+22，即y>z；又a≠1，当5-12<a<1时，1a<25-1=5+12，所以x=log a2=-log a2=log1a 2>log5+122>log a+12，即x>y，因此x>y>z；当a>1时，由a<a+1，得x=log a2=log a2>log a+12，即x>y，因此x>y>z；综上，x>y>z.【点睛】本题主要考查比较对数式的大小，熟记对数函数的性质即可，属于常考题型.综合提升练一、单选题1(2024·天津河东·一模)设a=23,b=log23,c=log33，则a,b,c的大小关系为()A.b<c<aB.b<a<cC.c<b<aD.a<b<c【答案】A【分析】根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.【详解】a=23>21=2,b=log23<log24=2,c=log33=2，故b<c<a,故选：A2(2024·河南·模拟预测)设a=log32,b=log333,c=log222,d=20.49，则()A.a<b=c<dB.d<c=b<aC.a<d<b=cD.c<a<d<b【答案】C【分析】根据指数幂与对数的运算性质，分别求得a,b,c,d的取值范围，即可求解.【详解】由a=log32<log33=1,b=log333=32,c=log222=32,1=20<d<20.5=2，即1<d<2<32，所以a<d<b=c．故选：C．3(2024·陕西安康·模拟预测)若a=11232,b=ln20232024,c=log2738，则()A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<b<a 【答案】C【分析】根据对数运算以及对数函数单调性可得c>16,b<0，结合分数指数幂运算分析可得0<a<c，即可得结果.【详解】因为c=log2738=13log32>13log33=16>0，a=11232=112 3=1243>0，因为16>1243>0，可知c>a>0，又因为b=ln 20232024<ln1=0，所以b<a<c.故选：C.4(2024·四川·模拟预测)已知a=ln 32,b=13,c=e-2，则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a 【答案】A【分析】利用当x>0时，ln x≤x-1判断a>b，通过函数y=1x在是减函数判断b>c.【详解】当x>0时，设f x =ln x-x+1，则f x =1x-1，当0<x<1时，f x >0，f x 单调递增，当x>1时，f x <0，f x 单调递减，所以f x ≤f1 =0，也就是说当x>0时，ln x≤x-1，用1x代替x，可得ln1x≤1x-1，即ln x≥1-1x，所以ln 32>1-23=13，即a>b．又知13>1e2=e-2，所以b>c，所以a>b>c．故选：A5(2023·天津河北·一模)若a=37-38,b=log1737,c=log1838，则a,b,c的大小关系为()A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a 【答案】D【分析】首先化简a=37-38=73 38>1，b=log773=1-log73<1，c=log883=1-log83<1，再根据log73>log83即可得解.【详解】a=37-38=73 38>73 0=1，即a>1，b=log1737=log773=1-log73<1，c=log1838=log883=1-log83<1，又log73>log83，所以c>b，所以a>c>b，故选：D6(2024·全国·模拟预测)已知a>b>1，则下列各式一定成立的是()A.log a b>1B.ln a-b>0 C.2ab+1<2a+b D.b⋅a b<a⋅b a【答案】D【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函数f x =ln x x-1x>1，利用导数判断出函数的单调性即可判断D.【详解】对于AB，因为a>b>1，所以log a b<log a a=1，故A错误；因为a>b>1，所以a-b>0，但a-b不一定大于1，故ln a-b不一定大于0，故B错误；对于C，因为ab+1-a+b=a-1b-1>0，则ab+1>a+b，所以2ab+1>2a+b，故C错误；对于D，不等式b⋅a b<a⋅b a等价于a b-1b>1,a-1>0,b-1>0，所以原不等式等价于ln aa-1<ln bb-1，设函数f x =ln xx-1x>1，则f x =1-1x-ln xx-12，令g x =1-1x-ln x x>1，则g x =1x2-1x=1-xx2，当x>1时，g x <0，所以g x 在1,+∞上单调递减，故当x>1时，g x <g1 =0，所以f x <0，故f x 在1,+∞上单调递减，所以f a <f b ，即ln aa-1<ln bb-1，故D正确．故选：D．7(2024·宁夏银川·二模)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数，且当x1<x2<2时，[f(x2 )-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，若a=f(1)，b=f(ln10)，c=f354，则a，b，c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.c<a<b【答案】D【分析】根据条件先得到函数的对称性和单调性，再根据单调性比较大小.【详解】当x1<x2<2时，[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0恒成立，即当x1<x2<2时，f(x2)>f(x1)，函数f(x)在-∞,2上单调递增，又f(x+2)为偶函数，即f(x+2)=f(-x+2)，所以函数f(x)关于x=2对称，则函数f(x)在2,+∞上单调递减，所以a=f(1)=f(3)因为10<523<e3，所以10<52 3<e3所以2<ln10<ln e3=3<35 4，所以f ln10>f3 >f35 4，即c<a<b，故选：D.8(2024·全国·模拟预测)已知a=e π10，b=1+sin9π10，c=1.16，则a，b，c的大小关系为()A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a【答案】C【分析】先利用常见不等式放缩得到a，b的大小关系，再利用幂函数的单调性比较a，c的大小关系即可得到答案.【详解】令f x =e x-x-1x≥0，则f x =e x-1≥0恒成立，所以f x 在0,+∞单调递增，所以当x>0时，f x >f0 =0，即e x>x+1x>0；令g x =x-sin x x≥0，则g x =1-cos x≥0恒成立，所以g x 在0,+∞ 单调递增，所以当x >0时，g x >g 0 =0，即sin x <x (x >0)；由诱导公式得b =1+sin 9π10=1+sin π10，所以b =1+sin π10<1+π10<e π10，因此a >b ；因为a =e π10<e 410=e 0.4，c =1.16= 1.115 0.4，故只需比较e 与1.115的大小，由二项式定理得，1.115=(1+0.1)15>1+C 115×(0.1)1+C 215×(0.1)2>3>e ，所以c >a ．综上，c >a >b .故选：C【点睛】方法点睛：本题考查比较大小问题，此类问题常见的处理方法为：(1)中间值法：通过与特殊的中间值比较大小，进而判断两个数的大小关系；(2)构造函数法：通过观察两个数形式的相似之处，构造函数，利用导数研究函数单调性与极值等性质进而比较大小；(3)放缩法：利用常见的不等式进行数的放缩进而快速比较大小.二、多选题9(2023·广东广州·模拟预测)下列是a >b >c (a ，b ，c ≠0)的必要条件的是()A.ac >bcB.ac 2>bc 2C.2a -c >2a -bD.7a +b >7b +c【答案】CD【分析】AB 选项，可举出反例；CD 选项，利用指数函数单调性可进行判断.【详解】A 选项，若c <0，则A 错误，B 选项，等价为a 2>b 2，当a >0>-a >b 时不成立，故B 错误，C 选项，因为y =2x 在R 上单调递增，而a -c >a -b ，所以2a -c >2a -b ，C 正确；D 选项，因为y =7x 在R 上单调递增，而a +b >b +c ，所以7a +b >7b +c ，D 正确.故选：CD10(2024·全国·模拟预测)已知实数a ,b ,c ，其中a ,c c >a >0 是函数f x =e xx-m m >e 的两个零点．实数b 满足b =log 73a +22c b >1 ，则下列不等式一定成立的有()A.a +c b -1C.ca>b D.ac <b【答案】BCD【分析】设g x =e x xx >0 ，利用导数研究其性质，画出大致图象，a ,c c >a >0 是直线y =m 与函数g x 的图象交点的横坐标，数形结合可得0<a <1<c ，又由条件得7b =3a +4c ，可推出7b -c <1，得b <c ，即可判断ABC ；由e a a =e c c 0<a <1<c ，取对数后可得c -aln c -ln a=1，设t =c a ,t >1，令h (t )=2ln t -t +1t ,t >1，利用导数可证得ln c -ln a <c -a ac，进而可判断D .【详解】设g x =e x x x >0 ，gx =e x x -1 x2，当x ∈0,1 时，gx <0，当x ∈1,+∞ 时，g x >0，所以g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以，当x =1时，g x 取极小值g 1 =e.a ,c c >a >0 是函数f x =e xx-m m >e 的两个零点，即直线y =m 与函数g x 的图象交点的横坐标，如图，由图可知，0<a <1<c ，由b =log 73a +22c b >1 ，得7b =3a +4c ，所以7b -c=47 c +3a 7c <47 c +37 c <47+37=1，所以b <c ，所以0<a <11，令h (t )=2ln t -t +1t ,t >1，则h(t )=2t -1-1t 2=-(t -1)2t 2<0，所以h (t )在(1,+∞)上单调递减，则h (t )<h (1)=0，所以ln c -ln a -c -a ac=ln ca -c a +a c <0，即ln c -ln a <c -a ac，从而可得ac <c -aln c -ln a ，所以ac <1lg bB.a +b =abC.12a>12bD.a +b >4【答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D .【详解】由题意得a =log 315>log 31>0，b =log 515>log 51=0，0<1a =log 153，0<1b =log 155，则0<1a <1b ，则a >b >0，对A ，根据对数函数y =lg x 在0,+∞ 上单调递增，则lg a >lg b ，故A 正确；对B ，因为1a +1b =log 153+log 155=1，即a +bab=1，则a +b =ab ，故B 正确；对C ，因为a >b >0，根据指数函数y =12 x 在R 上单调递减，则12 a <12b，故C 错误；对D ，因为a >b >0，1a +1b =1，a +b =a +b 1a +1b =2+b a +ab≥2+2b a ⋅a b =4，当且仅当a =b 时等号成立，而显然a ≠b ，则a +b >4，故D 正确；故选：ABD .三、填空题12(23-24高三上·北京昌平·阶段练习)①在△ABC 中，b =2，c =3，B =30°，则a =；②已知a =90.1，b =30.4，c =log 40.3，则a 、b 、c 的大小关系是【答案】 3+132c <a <b【分析】对于①：利用余弦定理运算求解即可；对于②：根据指、对数函数单调性分析判断.【详解】对于①：利用余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ，即4=a 2+3-3a ，而a >0，解得a =3+132；对于②：因为a =90.1=30.2，且y =3x 在定义域内单调递增，可得30<30.2<30.4，即1<a <b ，又因为c =log 40.3<log 41=0，所以c <a <b .故答案为：3+132；c <a <b .13(22-23高三上·陕西咸阳·阶段练习)已知a =log 372,b =1413,c =log 135，则a ，b ，c 的大小关系为.【答案】c 1，则log n n +1 与log n +1n +2 的大小关系为.(用“<”连接)【答案】log n +1n +2 <log n n +1【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系.【详解】log n +1n +2 log n n +1=log n +1n ⋅log n +1n +2 <log n +1n +log n +1n +2 2 2=log n +1n 2+2n 2 2<log n +1n 2+2n +1 2 2=1，因为n ∈N *，n >1，则log n n +1 >log n 1=0，log n +1n +2 >log n +11=0，所以log n +1n +2 <log n n +1 .故答案为：log n +1n +2 <log n n +1 .四、解答题15(22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习)比较下列两组数的大小(写出详细理由)．(1)a =0.40.3，b =0.30.3，c =0.30.4(2)a =log 26，b =log 312，c =log 515【答案】(1)a >b >c (2)c 0.3，则0.40.3>0.30.3；由函数y =0.3x ，且0.4>0.3，则0.30.3>0.30.4；则0.40.3>0.30.3>0.30.4，即a >b >c .(2)a =log 22×3 =log 22+log 23=1+log 23，b =log 34×3 =log 34+log 33=1+log 34，c =log 55×3 =log 55+log 53=1+log 53，则log 53<1<log 34<32<log 23，故c 5.26-1>5.26-2；②log 30.5<0.53<30.5；③log 0.76<0.76<60.7．【解析】(1)构造相应的函数，依据其单调性比较函数值的大小，如：y =x -1在(0,+∞)上递减有5.25-1>5.26-1，y =5.26x 是增函数有5.26-1>5.26-2，即可得大小关系；(2)将0.53，30.5，log 30.5与0和1比较大小，即可确定它们的大小关系；(3)利用同底的指数、对数以0、1作为界值，比较log 0.76，0.76，60.7的大小【详解】①∵y =x -1在(0,+∞)上递减，5.25<5.26∴5.25-1>5.26-1，∵y =5.26x 是增函数，-1>-2∴5.26-1>5.26-2综上，5.25-1>5.26-1>5.26-2；②∵0<0.53<1，30.5>1，log 30.5<0∴log 30.5<0.53<30.5；③log 0.76<log 0.71<0，0<0.76<0.70=1，60.7>60=1，则log 0.76<0.76<60.7【点睛】本题考查了比较指数式、对数式的大小，结合相应的指数或对数函数，利用其单调性比较函数值的大小，或以0、1作为界值，结合同底的指数函数或对数函数的单调性比较大小17(2022高三·全国·专题练习)已知a ,b 均为正实数，且a ≠1．(1)比较a b 2+b a2与1a +1b 的大小；(2)比较log a b 3+1 和log a b 2+1 的大小．【答案】(1)a b 2+b a2≥1a +1b (2)答案见解析【分析】(1)利用作差法比较大小，即得答案；(2)结合指数函数以及对数函数的单调性，分类讨论a ,b 的取值范围，即可得答案.【详解】(1)a b 2+b a 2-1a +1b =a -b b 2+b -aa 2=a +b (a -b )2a 2b 2，a ,b 均为正实数，∴a +b >0,(a -b )2≥0，∴a +b (a -b )2a 2b 2≥0,∴a b 2+b a 2≥1a +1b ；(2)当a >1时，函数y =log a x 为增函数；当0<a <1时，函数y =log a x 为减函数．①当b >1时，b 3>b 2，则b 3+1>b 2+1，若a >1，则log a b 3+1 >log a b 2+1 ；若0<a <1，则log a b 3+1 <log a b 2+1 ；②当b =1时，log a b 3+1 =log a b 2+1 ；③当01，则log a b 3+1 <log a b 2+1 ；若0<a <1，则log a b 3+1 >log a b 2+1 ．综上所述，当a >1b >1 或0<a <10log a b 2+1 ；当a ≠1b =1时，log a b 3+1 =log a b 2+1 ；当a >101时，log a b 3+1 <log a b 2+1 .18(22-23高三下·全国·开学考试)已知函数f x =e x -ax -1a ∈R 的最小值为0．(1)求实数a 的值；(2)设m 1=1.1+ln0.1，m 2=0.1e 0.1，m 3=19，判断m 1，m 2，m 3的大小．【答案】(1)a =1(2)m 1<m 2<m 3【分析】(1)求出函数的导函数，分a ≤0、a >0两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的最小值为f ln a =e ln a -a ln a -1，从而得到ln a +1a -1=0，再令φa =ln a +1a-1，利用导数说明函数的单调性，即可得到a 值，从而得解；(2)由(1)可得e x ≥x +1，当x >-1时两边取对数得到ln x ≤x -1，当x ∈0,1 时，设F x =xe x -1+x-ln x ，根据函数值的情况判断m 2>m 1，当x ∈0,1 时，设G x =x +ln x -ln x1-x，即可判断m 2<m 3，从而得解.【详解】(1)解：由题意得f x =e x -a ．当a ≤0时，f x =e x -a >0，f x 单调递增，无最小值，不满足题意．当a >0时，令f x =0，得x =ln a ．当x ∈-∞,ln a 时，f x <0；当x ∈ln a ,+∞ 时，f x >0．所以f x 在-∞,ln a 上单调递减，在ln a ,+∞ 上单调递增．所以f x 的最小值为f ln a =e ln a -a ln a -1=0，即ln a +1a-1=0．设φa =ln a +1a -1，则φ a =a -1a 2．令φ a =0，得a =1．当a ∈0,1 时，φ a <0；当a ∈1,+∞ 时，φ a >0，所以φa 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，即φa min =φ1 =0．故ln a +1a-1=0的解只有a =1，综上所述，a =1．(2)解：由(1)可得f x =e x -x -1≥0，所以e x ≥x +1，当且仅当x =0时等号成立．当x >-1时，不等式两边取对数，得x ≥ln (x +1)，所以ln x ≤x -1，当且仅当x =1时等号成立．当x ∈0,1 时，设F x =xe x -1+x -ln x ，则F x =e x +ln x -1+x -ln x ≥x +ln x +1-1+x -ln x =0，当且仅当x +ln x =0时，等号成立．因为0.1+ln0.1≠0，所以0.1e 0.1-1.1-ln0.1>0，所以m 2>m 1．当x ∈0,1 时，设G x =x +ln x -ln x1-x，因为0<1-x <1，所以G x =x +ln x -ln x +ln 1-x =x +ln 1-x <x +1-x -1=0，。

指数函数,幂函数,对数函数增长的比较

y y=x4
(1,0)
x
O 1
2
3
x
对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢? 对函数y=2x,y=x100(x>0),y=log2x的函数值(取近似值)比较
借助计算器完成右表
y=2x · · · · · · 1 2 1.007 004 4 2.009 733 8 10 1 024 100 1.27×1030 300 2.04×1090 500 3.27×10150 700 5.26×10210 900 8.45×10270 996 6.70×10299 1 000 1.07×10301 1 100 1.36×10331 1 200 1.72×10361 · · · · · ·
指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
指数函数
1.当a＞1时，指数函数y=ax是增函数，并且对于x＞0，当a越大时，其函数值的增长就越快。
y 3x
y 2x
对数函数
2.当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，并且对于x＞1，当a越小时，其函数值的增长就越快。 y
y=log2x y=log3x y=log5x O
10100－1
10200
3.321 928 1
3.321 928 1
5.15×10247 1.584 962 5
3.27×10150 7.89×10269 0.736 965 6
5.26×10210 3.23×10284 0.485 426 8
8.45×10270 2.66×10295 0.362 570 1 1.07×10301 10300 0.152 003 1
(1,0)
x
幂函数

指数函数幂函数对数函数增长的比较(完整版)3

①对于模型 y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，当 x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求． ②对于模型 y＝1.002x，利用计算器，可知 1.002806≈5.005，由于 y ＝1.002x 在(－∞，＋∞)上是增函数，故当 x∈(806,1 000]时，y>5，因此，也不符合要求． ③对于模型 y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上是单调递增的，且当 x＝1 000 时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过 5 万元的要求．
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• 三、指数函数、幂函数、对数函数的增长情况
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• 教材P120 练习
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思考探究：函数增长快慢比较
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思考探究：函数增长快慢比较
解：(1)根据指数函数与幂函数的增长速度知： C1 对应函数 g(x)＝x3，C2 对应函数 f(x)＝2x； (2)依题意知 x1 和 x2 是使两个函数的函数值相等的自变量 x 的值．当 x<x1 时，2x>x3，即 f(x)>g(x)；当 x1<x<x2 时，f(x)<g(x)；当 x>x2 时，f(x)>g(x)．因为 f(1)＝2，g(1)＝1， f(2)＝22＝4，g(2)＝23＝8，所以 x1∈[1,2]，即 a＝1.
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• 思考探究：函数不同增长特点在实际问题中的
应用
再计算按模型 y＝log7x＋1 奖励时，奖金是否超过利润 x 的 25%，即当 x∈[10,1 000]时，利用计算器或计算机作 f(x)＝log7x＋1－0.25x 的图象(图略)，由图象可知 f(x)在[10,1 000]上是单调递减的，因此 f(x)<f(10)≈－0.316 7<0，即 log7x＋1<0.25x，所以当 x∈[10,1 000]时，y<0.25x. 这说明，按模型 y＝log7x＋1 进行奖励，奖金不超过利润的 25%. 综上所述，模型 y＝log7x＋1 符合公司要求．

指数对数幂函数对比

指数函数概念：一般地，函数y=a^x(a＞0，且a≠1）叫做指数函数,其中x是自变量，函数的定义域是R.注意:⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义.指数函数的图像与性质：规律:1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2。

当a＞1时,底数越大,图像上升的越快，在y轴的右侧,图像越靠近y轴；当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧,图像越靠近y轴.在y轴右边“底大图高"；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀:“大增小减"。

即:当a＞1时,图像在R上是增函数；当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。

4。

指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法:1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论；3. 当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较;4. 对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数,图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(—∞,+∞)上是单调函数，所以它存在反函数,我们把指数函数y=a x （a ＞0，a ≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a ＞0，a ≠1）.因为指数函数y=a x 的定义域为（-∞,+∞）,值域为（0，+∞），所以对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞)，值域为（-∞，+∞）。

2.对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 。

据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质.为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1）的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x ，y=log 10x ，y=log 21x ，y=log101x 的草图由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数函数y=log a x（a＞0，a≠1)的图像的特征和性质。

指数函数幂函数对数函数增长的比较

11时，y=logax是增函数，
底数a越小，其函数值增长就越快.
三幂函数y=xn (n>1)图像及n对图像影响
y
y=x2
y=x3
O
x
n>1时，y=xn是增函数，
且x>1时，n越大其函数值增长就越快 .
比较函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢
y=2x
y=x2
16
y=log2x
4 24
函数y=2x, y=x2, y=log2x图像增长快慢比较
对数函数 y=log2x增长最慢，幂函数 y=x2和指数函数y=2x快慢则交替进行
在(0,2)，幂函数比指数函数增长快在(4,+∞)，指数函数比幂函数增长快
规律总结
(1)对数函数增长最慢 (2)当自变量x大于某一个特定值时，指数函数比幂函数增长快
本节内容
一指数函数、幂函数、对数函数图像回顾二指数函数、幂函数、对数函数增长比较
一指数函数y=ax (a>1)图像及a对图像影响
ay
y=ax
b
y=bx
O1
x
a>1时，y=ax是增函数，
底数a越大，其函数值增长就越快.
二对数函数y=logax (a>1)图像及a对图像影响
y y=logax y=logbx
由于指数函数增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”
本节内容
一指数函数、幂函数、对数函数图像回顾二指数函数、幂函数、对数函数增长比较

指数对数幂函数对比

指数函数概念:一般地,函数y=a^x(a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中x就是自变量,函数的定义域就是R。

注意:⒈指数函数对外形要求严格,前系数要为1,否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅就是形式定义。

指数函数的图像与性质:规律:1、当两个指数函数中的a互为倒数时,两个函数关于y轴对称,但这两个函数都不具有奇偶性。

2、当a＞1时,底数越大,图像上升的越快,在y轴的右侧,图像越靠近y轴;当0＜a＜1时,底数越小,图像下降的越快,在y轴的左侧,图像越靠近y轴。

在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”。

3、四字口诀:“大增小减”。

即:当a ＞1时,图像在R 上就是增函数;当0＜a ＜1时,图像在R 上就是减函数。

4、指数函数既不就是奇函数也不就是偶函数。

比较幂式大小的方法:1. 当底数相同时,则利用指数函数的单调性进行比较;2. 当底数中含有字母时要注意分类讨论;3. 当底数不同,指数也不同时,则需要引入中间量进行比较;4.对多个数进行比较,可用0或1作为中间量进行比较底数的平移:在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。

对数函数1、对数函数的概念由于指数函数y=a x 在定义域(-∞,+∞)上就是单调函数,所以它存在反函数,我们把指数函数y=a x (a ＞0,a ≠1)的反函数称为对数函数,并记为y=log a x(a ＞0,a ≠1)、因为指数函数y=a x 的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞),所以对数函数y=log a x 的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞)、2、对数函数的图像与性质对数函数与指数函数互为反函数,因此它们的图像对称于直线y=x 、据此即可以画出对数函数的图像,并推知它的性质、为了研究对数函数y=log a x(a ＞0,a ≠1)的性质,我们在同一直角坐标系中作出函数y=log 2x,y=log 10x,y=log 10x,y=log 21x,y=log101x 的草图由草图,再结合指数函数的图像与性质,可以归纳、分析出对数函数y=log a x(a＞0,a≠1)的图像的特征与性质、见下表、图象a＞1 a＜1性质(1)x＞0(2)当x=1时,y=0(3)当x＞1时,y＞00＜x＜1时,y＜0(3)当x＞1时,y＜00＜x＜1时,y＞0 (4)在(0,+∞)上就是增函数(4)在(0,+∞)上就是减函数补充性质设y1=log a x y2=log b x其中a＞1,b＞1(或0＜a＜1 0＜b＜1) 当x＞1时“底大图低”即若a＞b则y1＞y2当0＜x＜1时“底大图高”即若a＞b,则y1＞y2比较对数大小的常用方法有:(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断、(2)若底数为同一字母,则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论、(3)若底数不同、真数相同,则可用换底公式化为同底再进行比较、(4)若底数、真数都不相同,则常借助1、0、-1等中间量进行比较、3、指数函数与对数函数对比名称指数函数对数函数一般形式y=a x(a＞0,a≠1) y=log a x(a＞0,a≠1) 定义域(-∞,+∞) (0,+∞)值域(0,+∞) (-∞,+∞)幂函数幂函数的图像与性质幂函数ny x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质与图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当112,1,,,323n =±±±的图像与性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论:① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限.② 11,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上就是增函数. ③ 1,1,22a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上就是减函数.④ 任何两个幂函数最多有三个公共点.0n <y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=定义域 R R R {}|0x x ≥{}|0x x ≠奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x α=(x ∈R,α就是常数)的图像在第一象限的分布规律就是: ①所有幂函数y x α=(x ∈R,α就是常数)的图像都过点)1,1(;②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(;③当1=α时,y x α=的的图像在第一象限就是第一象限的平分线(如2c );④当3,2=α时,y x α=的的图像在第一象限就是“凹型”曲线(如1c )⑤当21=α时,y x α=的的图像在第一象限就是“凸型”曲线(如3c )⑥当1-=α时,y x α=的的图像不过原点)0,0(,且在第一象限就是“下滑”曲线(如4c )当0>α时,幂函数y x α=有下列性质:(1)图象都通过点)1,1(),0,0(; (2)在第一象限内都就是增函数;(3)在第一象限内,1>α时,图象就是向下凸的;10<<α时,图象就是向上凸的; (4)在第一象限内,过点)1,1(后,图象向右上方无限伸展。

指数函数幂函数对数函数比较大小

指数函数、幂函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

在本篇文章中，我们将深入探讨这三种函数的性质，以及它们之间的比较大小关系。

通过本文的阅读，你将能够更全面地理解这些函数的特点，并从中获得更深入的数学启发。

1. 指数函数指数函数是数学中常见的一种函数，其一般形式可表示为 y = a^x，其中a为常数且不等于1。

指数函数的特点是随着自变量x的增大，函数值y以指数方式增长或者下降。

指数函数在自然科学、工程技术以及金融领域都有着广泛的应用，例如放射性衰变、人口增长模型等都可以使用指数函数来描述。

在指数函数中，底数a的大小决定了函数的增长速度，当a大于1时，函数呈现增长趋势；当a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。

2. 幂函数幂函数是指数函数的一种特殊形式，其一般形式可以表示为y = x^a，其中a为常数。

幂函数的特点是自变量x的次幂影响了函数值y的大小，不同的a值会导致函数曲线的形状发生变化。

当a为正数时，幂函数呈现增长趋势；当a为负数时，幂函数呈现下降趋势。

幂函数在物理学、生物学以及经济学中都有着重要的应用，例如牛顿定律中的物体受力情况、生物种群数量增长模型等都可以用幂函数来描述。

3. 对数函数对数函数是幂函数的逆运算，常见的对数函数有以10为底的常用对数函数和以e为底的自然对数函数。

对数函数的一般形式可以表示为 y= loga(x)，其中a为底数。

对数函数的特点是能够将幂函数转化为线性函数，便于进行求解和分析。

对数函数在科学领域、信息论以及计算机科学中有着广泛的应用，例如信噪比的计算、数据压缩算法等都离不开对数函数的运算。

指数函数、幂函数和对数函数各自具有独特的特点和应用，它们在数学领域和现实生活中都扮演着重要的角色。

在比较大小方面，一般来说，指数函数增长速度最快，其次是幂函数，对数函数增长速度最慢。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的函数来进行建模和求解。

9高三一轮复习专题一指数对数幂比较大小-学生版

高三一轮复习专题九指数对数幂比较大小【考点预测】（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a ，b ，c 的大小.（2）指、对、幂大小比较的常用方法：①底数相同，指数不同时，如1x a 和2x a ，利用指数函数x y a =的单调性； ②指数相同，底数不同，如1ax 和2ax 利用幂函数a y x =单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如1log a x 和2log a x 利用指数函数log a x 单调性比较大小； ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.（3）转化为两函数图象交点的横坐标（4）特殊值法（5）估算法（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法【题型归纳目录】题型一：直接利用单调性题型二：引入媒介值题型三：含变量问题题型四：构造函数题型五：数形结合题型六：特殊值法、估算法【典例例题】题型一：直接利用单调性例1．已知1331log sin ,74a b c π⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．a c b >>D ．b c a >>例2．已知1ln 2a =，()ln lg 2b =，()lg ln 2c =则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．a b c >>D ．b c a >>例3．已知31log 8a =，(21log322b =-，49log 42c =-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．b c a << C ．c a b << D ．b a c <<题型二：引入媒介值例4．若2log 3a =，3log 4b =，4log 5c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a b c <> B ．c b a >> C ．b c a >>D ．c a b >>例6．已知13sin 2,ln 2,2a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a <> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．b c a >>例8．已知31log 2a =，lnb π=，ac b =，则a ，b ，c 的大小关系（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>题型三：含变量问题例9．（已知π(0,)6θ∈，2222ln(2cos 1)(2cos 1)a θθ-=-，22ln(cos 1)(cos 1)b θθ-=-，22ln(sin 1)(sin 1)c θθ-=-，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b c a <，则x ，y ，z 大小关系为（） A ．y x z >>B ．x z y >>C ．y z x >>D ．x y z >>例11．已知()1e ,1x -∈，记ln ln 1ln ,,e 2⎛⎫=== ⎪⎝⎭xx a x b c ，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b <mm >m eB ．m e >e m >mmC ．m e >mm >e mD ．e m >m e >mm例13．已知04παβ<<<，则下列大小关系中正确的是（）A ．cos cos (sin )(sin )αβαα>B ．sin sin log cos log cos αααβ>C ．sin sin (cos )(cos )αβαβ>D ．sin cos (cos )(sin )ββαα<例14．已知b 0,b 1a a >>=，若()21,log ,2a b x y a b z a b==+=+，则()log 3x x ，()log 3y y ，()log 3z z 的大小关系为（）A ．()()()log 3log 3log 3x y z x y z >>B ．()()()log 3log 3log 3y x z y x z >>C ．()()()log 3log 3log 3x z y x z y >>D ．()()()log 3log 3log 3y z x y z x >>（多选题）例15．若1a b >>，01m <<，则（） A ．m m a b C ．ln ln a b b a <D ．ln ln a a b b >题型四：构造函数例17．若sin1tan1a =+，2b =，1ln 42c =+，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c b a <>B ．c a b >>C ．a c b >>D ．b a c >>例19．已知108a =，99b =，810c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>例20．若0.2e a =， 1.2b =ln3.2c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >>D ．c b a >>例21．实数x ，y ，z 分别满足212022log 21x =，2122y =，2021z =，则x ，y ，z 的大小关系为（） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．z x y >> D ．y x z >>例22．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c <<例23． 23(2ln 3)1ln 3,,3a b c e e -===，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A ．a c b << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<题型五：数形结合（交点问题）（多选题）例24．（下列大小关系正确的是（） A ．2 1.91.92>B ．x z y >>C ．z x y >>D ．z y x >>例26．已知函数()21x f x x =+-，()2log 1g x x x =+-，()31h x x x =+-的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．a c b >>例27．已知a 为函数()21log f x x x=-的零点，b e =3c π=a 、b 、c 的大小关系正确的是（） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>例28．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（） A ．lg lg b a a b D ．不确定题型六：特殊值法、估算法例29．已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d ,,,的大小关系为（）A ．b a d c >>>B ．b c a d >>>C ．b a c d >>>D ．a b d c >>>例30．已知3a =142b =，2e log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．b c a >>例31.三个数22a e =，ln 44b =，ln 33c =的大小顺序为（）A ．b c a <> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>。

2025高考数学总复习指、对、幂的大小比较

思维升华
利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，1 ，1”对所比较的数进行划
2 分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如 log23 ，可知 1 ＝ log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较.
＜
3 2
4
，即b<c，故c>b>a.
命题点2 找中间值
例2
(2023·无锡模拟)已知a＝log72，b＝
1 log0.10.7
，c＝0.60.4，则a，b，c
的大小关系是
√A.a<clog0.70.7＝1，∴b>1，
(2)(2023·镇江模拟)若
a
1
23
，b＝log213，c＝sin
13，则
a，b，c
的大小关
系为
A.a>b>c
√B.a>c>b
C.b>a>c
D.b>c>a
1
∵a＝2 3
>20＝1，且
b＝log213<log21＝0，
又13∈0，π2，∴c＝sin13∈(0,1)，∴a>c>b.
题型二利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小

指数对数幂函数对比

精心整理指数函数概念：一般地，函数y=a^x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

时，图3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较底数的平移：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数1.对数函数的概念由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log a x(a＞0，a ≠1).ax ax(a＞象限．② 11,,1,2,332a =时，幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数．③ 1,1,22a =---时，幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数．④ 任何两个幂函数最多有三个公共点．①所有幂函数y x α=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1=α时函数y x α=的图像都过原点)0,0(；③当1=α时，y x α=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21=α时，y x α=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1-=α时，y x α=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0>α时，幂函数y x α=有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3（4当α（1（2（3 （4“√”xb ax =即a b x =时取等号），由此可得函数xbax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质: 当a b x =时，函数xbax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）有最小值a b 2，特别地，当a=b=1时函数有最小值2。

指数、对数、幂比较大小(原卷版)高考数学专题03 十大方法

专题03“十大方法”，玩转指对幂比较大小方法一：单调性法【典例分析】典例1-1．设0.93a =，0.59b =，1213c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）．A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．b c a>>典例1-2．0.302a =.，0.40.2b =，0.2log 0.1c =，则（）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b>>D ．c a b>>【变式训练】1．设0.4log 2a =，21log 0.3b =，0.40.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）．A ．a b c<>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a b c>>方法二：“媒介数”法【典例分析】典例2-1．已知0.33a =，2log 6b =，0.3log 2c =，则三数大小关系为（）A ．a b c<>B ．b a c>>C ．c a b>>D ．c b a>>【变式训练】1．已知0.412log 1.41,2,ln 2a b c ===，则（）A ．a c b<>B ．b a c >>C ．b c a>>D ．c b a>>方法三：作差法【典例分析】典例3-1．设6log 2a =，12log 3b =，40log 5c =，则（）A ．a b c<>B ．c b a >>C ．a b c >>D ．b c a>>【变式训练】1．已知3log 2a =，4log 3b =，πsin 6c =，比较a ，b ，c 的大小为（）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞c ＞aD ．b ＞a ＞c2．设1,22a b c ===，则,,a b c 的大小顺序是（）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．a c b>>D ．b c a>>方法四：作商法【典例分析】典例4-1．）已知0.40.8a -=，5log 3b =，8log 5c =，则（）A ．a b c<>B ．a b c>>C ．c a b>>D ．b c a>>【变式训练】1．已知41291log ,log ,0.90.8204p m n ===，则正数,,m n p 的大小关系为（）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n>>D ．p n m>>2．已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（）A ．p m n>>B ．m n p>>C ．m p n>>D ．p n m>>方法五：构造函数【典例分析】典例5-1．已知()2log 22a a a =≠，()3log 33b b b =≠，()4log 44c c c =≠，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．c b a <<D ．a c b<<典例5-2．设150a =，112ln sin cos 100100b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，651ln 550c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．a b c <>B ．c b a >>C ．b a c>>D ．a b c>>2．已知0.1sin 0.1,ln1.1,e 1.005a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c b a>>D ．c a b>>方法六：乘方法【典例分析】典例6．已知3log 5a =，5log 7b =，43c =，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a>>D ．a c b>>【变式训练】1．已知5log 3a =，13log 8b =，1-2e c =，则下列判断正确的是（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．<<c a bD ．<<b c a方法七：对数法【典例分析】典例7．已知1011910911a b c ===，，，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．b a c <<C ．a b c <<D ．c b a<<【变式训练】1．已知20232022a =，20222023b =，2022log 2023c =，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a b c<>B ．b c a >>C ．c a b>>D ．b a c>>【变式训练】1．已知函数()()()3e ,ln ,xf x xg x x xh x x x =+=+=+的零点分别为,,a b c ，则,,a b c 的大小顺序为（）A ．a b c>>B ．c a b>>C ．b c a>>D ．b a c>>方法九：特殊值法【典例分析】典例9．已知31,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，记sin cos log ,log sin ,log tan x y z αααααα===，则x ，y ，z 的大小关系正确的是（）A ．x y z <>>且2αγβ<，设log a αγ=，log b βα=，log c γβ=，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b方法十：放缩法【典例分析】典例10-1．若4log 3a =，5log 4b =，0.032c -=，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a<<B ．a c b<<C ．b a c<<D ．a b c<<典例10-2．已知1sin 3a =，0.913b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，271log 92c =，则（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c a b<<【变式训练】1．设0.302a =.，3log 4b =，4log 5c =，则（）A ．a b c <a >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．a b c>>2．已知155a =，1925b =，154.5=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c<a<bB ．c b a<<C ．a c b<<D ．a b c <<3．设151627log 3,e ,log 9log 8a b c -===⋅，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <>B ．c a b >>C ．b c a>>D ．b a c>>6．已知实数2log 3a =，3log 4b =，54c =，那么实数a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>7．设x 、y 、z 为正实数，且111234xyz⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．234x y z <<B ．423z x y<<C ．324y x z<=D ．423z x y =<8．若实数m ，n ，p 满足354m e =，235n e =，218p e =，则（）A ．p m n <<B ．p n m<<C ．m p n<<D ．n p m<<9．设2ln 2a =，3ln 3b =，e c =（e 2.718≈ ），则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b10．设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin 0.06c =+，则a ，b ，c 大小关系是（）A ．c b a<>B ．b a c>>C ．a c b>>D ．a b c>>13．已知三个函数112()21,()e 1,()log (1)1x x f x x g x h x x x --=+-=-=-+-的零点依次为,,a b c ，则,,a b c 的大小关系（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b>>D ．c b a>>14．已知1e a b <<<（e 为自然对数的底数），则（）A ．b aa b >B ．ee aba b >C ．ee ba a a >D ．ee bb a a <15．已知2log a =3log 2b =，52log 2c =，则（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c a b<<D ．b<c<a16．设a ＝1101，b ＝ln1.01，c ＝0.01e 1-，则（）A ．a <b <cB ．b <c <aC ．b <a <cD ．c <a <b。

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