【新课标】2010高二下学期期末考试(数学理)答案
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参考答案
一、选择题 ABDCD A D DAC BD 二、填空题13．24 14．
3
2 15．)321()1()1(16941121n n n n ++++-=⋅-++-+-++ 16．1280x y +-= 三、解答题
17．证明：（1） ∵222a b ab +≥
,23a +≥
,23b +≥ ;
将此三式相加得
:222(3)2a b ab ++≥++,
∴223)a b ab a b ++≥+.
（2）要证原不等式成立，只需证（6+7）2
>（22+5）2
，
即证402422>.∵上式显然成立, ∴原不等式成立.
18．解：（1）由题设知2245,45,10.n n n C C n -==∴=即
21
113010363
3412
110
10
710433101130()
(),3,6,12
210.
r r r
r
r r r T C x x C x
r x T C x
C x x --
-+-=⋅======令
得含的项为 （2）系数最大的项为中间项，即5530
255
12
12
610
252.T C x
x -==
19．解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z
依题意得⎪⎩
⎪
⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=----=-=--5.06.04.0,88.0)1)(1)(1(1,
12.0)1(,08.0)1)(1(z y x z y x z xy z y x 解得
（I ）若函数x x x f ξ+=2
)(为R 上的偶函数，则ξ=0
当ξ=0时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选.
)1)(1)(1()0()(z y x xyz P A P ---+===∴ξ
=0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24
∴事件A 的概率为0.24
（II ）依题意知ξ=0.2
则ξ的分布列为
∴ξ的数学期望为E ξ=0×0.24+2×0.76=1.52
20．解：（1）'()3(1)(1)f x x x =+-
当[3,1)x ∈--或3
(1,]2x ∈时，'()0f x >，3[3,1],[1,]2
∴--为函数()f x 的单调增区间当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，[1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间 又39
(3)18,(1)2,(1)2,()28
f f f f -=--==-=-，∴当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x =
（2）设切点为3(,3)Q x x x -，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=-- 由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--，解得0x =或3x = 所以切线方程为30x y +=或24540x y --= 21．解：（1）2
21
111221)(1)())(()(x x x f x f x f f x f +=
+=
=
222221331)
(1)())(()(x
x x f x f x f f x f +=
+=
=
（2）猜想：)(1)(2
*∈+=
N n nx x x f n
下面用数学归纳法证明： ①当n=1时，2
11)(x
x x f +=
，已知，显然成立
②假设当)(*
∈=N K K n 时 ，猜想成立，即2
1)(kx
x x f k +=
则当1+=K n 时，
2
2
2
2
211)1(1)1(11)(1)
())(()(x
k x kx x kx x
x f x f x f f x f k k k k ++=
+++=+==+
即对1+=K n 时，猜想也成立. 由①②可得)(1)(2
*∈+=
N n nx x x f n 成立
22．解: 解：(Ⅰ) ∵3233()22f x x ax x a =+++，∴23()322
f x x ax '=++．
∵函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线，∴()0f x '=有实数解． ∴2344302a D =-⨯⨯≥，…………………4分 ∴292a ≥．
因此，所求实数a 的取值范围是32
(,(
,)-∞+∞． (Ⅱ) (ⅰ)∵(1)0f '-=，∴33202a -+
=，即94a =． ∴231
()323()(1)22
f x x ax x x '=++
=++． 由()0f x '>，得1x <-或12x >-； 由()0f x '<，得1
12x -<<-．
因此，函数()f x 的单调增区间为(,1]-∞-，1
[,)2-+∞；
单调减区间为1
[1,]2
--．
(ⅱ)由(ⅰ)的结论可知，
()f x 在1[1,]2--上的最大值为25(1)8f -=，最小值为149()216
f -=；
()f x 在1[,0]2-上的的最大值为27(0)8f =，最小值为149
()216f -=．
∴()f x 在[1,0]-上的的最大值为27(0)8f =
，最小值为149()216
f -=． 因此，任意的12,(1,0)x x ∈-，恒有1227495
()()81616
f x f x -<-=．